آشنایی با نظریه مجموعه‌ های فازی

آشنایی با نظریه مجموعه‌ های فازی

اسلاید 1: آشنایی بانظریه مجموعه‌های فازی

اسلاید 2: 2فصل 1: مفاهیم و تعاریف مقدماتیچند مفهوم مقدماتینماد گذاریعدد اصلی یک مجموعه فازیعملگرهای مجموعه‌ای و ویژگی‌های آن‌هاافراز فازیچند عملگر ديگرحاصلضرب دکارتيبرش‌ها و تحدب

اسلاید 3: 3مثالفرض کنید: X=[0,100] و به عنوان سن باشد و زیر مجموعه فازی A از X پیری را نشان می‌دهد، آنگاه:

اسلاید 4: 4مثالدر مثال زیر مجموعه A بیانگر ” آپارتمان‌های نامناسب برای یک خانواده 4 نفره“ است:این شیوه از نمایش مجموعه مرجع را به شکل ضمنی بیان می‌کند. به عبارت دیگر X={1, 2, 3, 4, …, 7} است.

اسلاید 5: 5چند مفهوم مقدماتیتکیه‌گاه A (suppA) : مجموعه نقاطی از X که برای آن نقاطارتفاع مجموعه A : اگر ارتفاع مجموعه فازی A برابر یک باشد، آنگاه A نرمال نامیده می‌‌شود. در غیر این‌صورت A را زیرنرمال گوییم. هر مجموعه فازی زیر نرمال A را می‌توان با تقسیم ها بر ارتفاع A نرمال کرد.x یک نقطه گذر (معبر) A می‌باشد، اگر

اسلاید 6: 6نمادگذاریتوصیف یک مجموعه فازی به صورت مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب:اگر X یک مجموعه متناهی و یا نامتناهی شمارا باشد، آنگاه یک زیر مجموعه فازی A از X بصورت های زیر نمایش داده می‌شود:علامت + نشان دهنده اجتماع می‌باشد، نه جمع حسابی.

اسلاید 7: 7اگر X یک مجموعه پیوسته باشد، آنگاه نماد زیر بکار برده می‌شود. * برای اختصار، به‌جای می‌نویسیم .

اسلاید 8: 8عدد اصلی یک مجموعه فازیتعریف1: اگر X : مجموعه معمولی متناهی و A : زیر مجموعه فازی آن باشد، انگاه:عدد اصلی A : عدد اصلی نسبی A : در حالتی که X نامتناهی باشد: عدد اصلی زیر مجموعه فازی A از X :

اسلاید 9: 9مثال:خانواده‌ای شش نفره را در نظر می‌گیریم،اگر مجموعه فازی افراد بی‌کار این خانواده باشد: آنگاه:* به بیان دیگر گویی سه نفر از اعضای خانواده تمام وقت کار می‌کنند و سه نفر تمام وقت بی‌کار هستند.پدرمادرپسر بزرگپسر کوچکدختر بزرگدختر کوچک

اسلاید 10: 10عملگرهای مجموعه‌ایتعریف1: مجموعه فازی A را تهی گوییم، اگر برای هرتعریف2: مجموعه فازی A را تام گوییم، اگر برای هر تعریف3: مجموعه فازی A را زیرمجموعه فازی B گوییم ، اگر برای هرتعریف4: دو مجموعه فازی A و B را مساوی گوییم ، اگر برای هر تعریف5: ، متمم مجموعه فازی A، توسط تابع عضویت زیر تعریف می‌شود:تعریف6: اگر ، متمم نسبی A نسبت به B که با نشان داده می‌شود، بصورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود:

اسلاید 11: 11مثال: اگر و زیر مجموعه فازی A از X نشان دهنده ویژگی « نه خیلی کوچک و نه خیلی بزرگ» وزیر مجموعه فازی B از X نشان دهنده ویژگی « نزدیک به 5» باشد، یعنی: * چون برای هر x از X، پس . * همچنین داریم :

اسلاید 12: 12مثال: فرض کنید X = R و زیر مجموعه فازی A از X نشان دهنده ویژگی « نسبت به یک، بزرگ» و زیر مجموعه فازی B از X نشان دهنده ویژگی « خیلی بزرگتر از یک» توسط توابع عضویت زیر تعریف شده باشند: * چون برای هر x از X، پس . * یعنی برای هر عدد بزرگتر از یک، ویژگی « نسبت به یک، بزرگ» را بیشتر از ویژگی «خیلی بزرگتر از یک» داراست.

اسلاید 13: 13تعریف7: ، اجتماع دو مجموعه فازی A و B :و یا به بیان ساده‌تر:تعریف8: ، اشتراک دو مجموعه فازی A و B :و یا به بیان ساده‌تر:

اسلاید 14: 14مثال: یک مجتمع مسکونی که دارای آپارتمان‌هایی با تعداد اتاق‌های آن از یک تا هفت است.بنابراین: A: ” آپارتمان‌های مناسب یک خانواده 4 نفره“B: ” آپارتمان‌های بزرگ“اجتماع A و B که مجموعه فازی ”آپارتمان‌های بزرگ یا مناسب یک خانواده 4 نفره“ است، خواهد بود:و اشتراک A و B که مجموعه فازی ”آپارتمان‌های بزرگ و مناسب یک خانواده 4 نفره“ است، خواهد بود:

اسلاید 15: 15همچنین در این مثال:َََA: مجموعه ” آپارتمان‌های نامناسب برای یک خانواده 4 نفره“َB: مجموعه ” آپارتمان‌های کوچک“

اسلاید 16: 16مثال: فرض : X=R ، A: مجموعه فازی ”اعداد نزدیک به یک“ ، B: مجموعه فازی ”اعداد نزدیک به دو“ بنابراین داریم: آنگاه: * در اینجا اجتماع A و B یعنی: مجموعه فازی ”اعدادی که یا به یک نزدیک‌اند و یا به دو“ * و اشتراک آنها یعنی: مجموعه فازی ”اعدادی که هم به یک نزدیک‌اند و هم به دو“

اسلاید 17: 17ویژگی‌های عملگرهای متمم و اجتماع و اشتراکدر این بخش قضایایی را بررسی می‌کنیم که نشان می‌دهند، تعاریف ارائه شده برای متمم ، اجتماع ، اشتراکِ مجموعه‌های فازی، دارای همان ویژگی‌های اجتماع و اشتراک مجموعه‌های معمولی می‌باشند. البته یک مورد تفاوت نیز وجود دارد.قضیه 1: اَعمال اجتماع و اشتراک بین دو مجموعه فازی، دارای ویژگی‌های خودتوانی، جابجایی و شرکتپذیری هستند. یعنی برای A، B و C، مجموعه‌های فازی دلخواه،

اسلاید 18: 18اثبات قضیه 1:فرض: توابع عضویت مجموعه‌های فازی A، B و C به ترتیب، A(x)، B(x) و C(x) هستند. بنابراین برای هر داریم: * اثبات روابط مربوط به اشتراک نیز مشابه است.

اسلاید 19: 19قضیه2: عمل اجتماع، نسبت به اشتراک و عمل اشتراک نسبت به اجتماع ویژگی توزیعپذیری دارند. یعنی: الف) ب)اثبات: برای اثبات رابطه (الف) کافی است ثابت کنیم که برای هر ،برای تحقیق رابطه فوق، کافی است شش حالت مختلف زیر را بررسی کنیم:در حالت اول : طرف چپ رابطه حکم: و طرف راست آن : * می‌توانید صحت تساوی رابطه حکم را برای پنج حالت دیگر و همچنین صحت رابطه (ب) را خودتان بررسی کنید.

اسلاید 20: 20قضیه3 (قوانین دمورگان): برای هر دو مجموعه فازی A و B داریم: الف) ب)اثبات: برای اثبات رابطه (الف) کافی است ثابت کنیم که برای هر ، اگر برای هر آنگاه دو طرف تساوی فوق برابر خواهد شد. و اگر داشته باشیم آنگاه هر دو طرف تساوی فوق برابر خواهد شد. و بنابراین رابطه فوق در هر حالتی برقرار است. * اثبات رابطه (ب) نیز به‌طور مشابه انجام می‌شود.

اسلاید 21: 21 ** تنها قوانین مربوط به مجموعه‌های معمولی که در زمینه مجموعه‌های فازی برقرار نیست، قوانین مربوط به متمم (قوانین شمولیت و طرد) است.یعنی برای مجموعه‌های فازی در حالت کلی:* این امر از آنجا ناشی می‌شود که مجموعه‌های فازی A و َA هیچکدام کران‌های دقیقی ندارند. در نتیجه A و َA تا اندازه‌ای همدیگر را در بر دارند و اصطلاحاً همپوش هستند.البته این همپوشی محدود است یعنی:بعلاوه A و َA با هم کل X را نمی‌پوشانند، اما:مثال: فرض کنید X، مجموعه تمام گل‌ها و A زیر مجموعه فازی گل‌های قرمز باشد. در این صورت A(x) بیانگر درجه قرمز بودن یک گل خاص است. حال يک گل صورتي رنگ با درجه‌ی 1/2 عضو A است و همین‌طور با درجه‌ی 1/2 عضو َA (زیر مجموعه فازی گل‌های غیرقرمز) است. به بیان ساده‌تر، گل صورتی تا اندازه‌ای گل قرمز و در عین حال تا اندازه‌ای گل غیر قرمز محسوب مي‌شود.

اسلاید 22: 22افراز فازیتعریف1: فرض کنید X یک مجموعه مرجع باشد و (برای هر ) زیرمجموعه‌های فازی X باشند به قسمی که برای هر x از X داشته باشیم:در این صورت را یک افراز فازی X گوییم.

اسلاید 23: 23مثال: فرض کنید X={1,2,…,10}،یک افراز فازی برای برای مجموعه مرجع X با سه زیرمجموعه فازی زیر حاصل می‌شود: : ”اعداد کاملاً کوچک“: : ”اعداد متوسط“: : ”اعداد کاملاً بزرگ“:

اسلاید 24: 24تعریف1: جمع جبری (احتمالی) دو مجموعه فازی A و B ، که با A+B نشان داده می‌شود، به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود.تعریف2: حاصل‌ضرب جبری دو مجموعه فازی A و B ، که با A . B نشان داده می‌شود، به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود.عملگرهای دیگر

اسلاید 25: 25عملگرهای دیگرتعریف3: جمع کراندار دو مجموعه فازی A و B ، که با B A نشان داده می‌شود، به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود.تعریف4: تفاضل کراندار دو مجموعه فازی A و B ، که با B A نشان داده می‌شود، به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود.قضیه1: برای هر دو مجموعه فازی A و B ، داریم:

اسلاید 26: 26مثال: فرض کنید :و زیرمجموعه A از X نشان دهنده ویژگی ” کوچک بودن“:و زیرمجموعه B از X نشان دهنده ویژگی ” نزدیک به پنج“:آنگاه:

اسلاید 27: 27عملگرهای دیگرتعریف6: توان m ام (m > 0) یک مجموعه فازی A، که با نشان داده می‌شود، به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود:تعریف5: اگر A یک مجموعه فازی باشد، آنگاه aA که در آن به‌صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود.به عنوان دو حالت خاص تعریف فوق، عملکرهای تمرکز و گسترش (اشباع) بر یک مجموعه فازی A اینگونه تعریف می‌شوند:

اسلاید 28: 28ادامه مثال: و همچنین با توجه به اینکه :داریم:

اسلاید 29: 29تعریف7: اگر به‌ترتیب زیرمجموعه‌های فازی از باشند، حاصلضرب دکارتی - که به نشان داده می‌شود، به صورت یک زیرمجموعه فازی از فضای حاصلضرب - با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. حاصلضرب دکارتی

اسلاید 30: 30مثال: و آنگاه:

اسلاید 31: 31α- برش‌تعریف1: زیرمجموعه (معمولی) عناصری را از X که درجه عضویت آن‌ها در مجموعه فازی A حداقل به بزرگی (α > 0) α باشد، -αبرش A (یا مجموعه تراز α وابسته به A) گوییم و با نشان می‌دهیم. پس:در بعضی موارد نیز از مفهوم –αبرش قوی استفاده می‌شود که با نشان داده می‌شود:

اسلاید 32: 32قضیه3 1- خانواده یکنواست، یعنی:2-3- الف) ب) * روابط قضیه فوق برای -αبرش‌های قوی نیز برقرارند. * یادآوری: عمل متمم‌گیری با عمل –αبرش بر یک مجموعه فازی، تعویض‌پذیر نیستند یعنی در حالت کلی - ، اما در این مورد داریم:یعنی –αمتمم A برابر است با متمم –(1-α)برش قوی A.

اسلاید 33: 33اتحاد تجزیه: هر مجموعه فازی مانند A را می‌توان به‌صورت زیر بر حسب مجموعه‌های تراز آن تجزیه کرد:در بعضی موارد بسته به اینکه تابع عضویت A گسسته باشد یا پیوسته باشد رابطه فوق به‌صورت‌های زیر نیز نوشته می‌شودکه البته در آن‌ها اجتماع ها را نشان می‌دهد.

اسلاید 34: 34مثال: فرض کنید :و زیرمجموعه A از X نشان دهنده ویژگی ” حدود سه“:داریم:پس می‌توانیم بنویسیم:و یا به طور خلاصه‌تر:با استفاده از نماد ∑ نیز تجزیه فوق اینگونه نوشته می‌شود:

اسلاید 35: 35تحدّبتعریف1: مجموعه فازی A را محدب گوییم، اگر و فقط اگر برای هر –αبرش A (برای تمام 0 < α ≤ 1) محدب باشد. یعنی:مجموعه فازی A محدب است، اگر و فقط اگر برای هر و هر داشته باشیم: * اگر A و B دو مجموعه فازی محدب باشند، اشتراک آن‌ها نیز یک مجموعه فازی محدب است. درباره اجتماع این نتیجه برقرار نیست.تعریف2: مجموعه فازی A را کراندار گوییم، اگر برش‌های A (برای هر 0 < α)، کراندار باشد. یعنی برای هر α>0 یک R(α) متناهی وجود داشته باشد که برای هر داشته باشیم ||x||≤R(α)، که در آن ||x|| نرم اقلیدسی x است.

اسلاید 36: 36الف) نمودار تابع عضویت یک مجموعه فازی غیرمحدب ب) نمودار تابع عضویت یک مجموعه فازی محدب و کراندارج) نمودار تابع عضویت یک مجموعه فازی غیرکراندار