آمار ریاضی ۲

آمار ریاضی ۲

اسلاید 1: آمار ریاضی 2

اسلاید 2: مرجع مقدمه ای بر نظریه آمار تألیف الکساندر . م . مود فرانگلین . آ . گریبیل دون . س . بوز

اسلاید 3: فهرست مطالب : 1- برآورد بازه ای پارامتر 2- آزمون فرض ها 3- مدل های خطی

اسلاید 4:

اسلاید 5: هدف فصل : ساخت استنباطی که طبق آن مقدار واقعی پارامتر در یک بازه معین قرار گیرد .

اسلاید 6: عناوین مهم فصل : 1 ـ بازه های اطمینان 2 ـ نمونه گیری از توزیع نرمال 3 ـ روش های یافتن بازه های اطمینان 4 ـ بازه های اطمینان بزرگ نمونه ای

اسلاید 7: مقدمه : اگر يك يا چند پارامتر در جامعه مجهول باشد و بخواهيم به نوعي به آنها دسترسي پيدا كنيم ، به سراغ برآورد خواهيم رفت كه در حالت كلي به دو صورت مورد توجه قرار ميگيرد:

اسلاید 8: 1ـ Point Estimation 2ـ Interval Estimation – or – Confidence Interval

اسلاید 9: از آنجايي كه نمي توانيم غالباً به برآورد نقطه اي دسترسي پيدا كنيم به سراغ برآورد فاصله اي مي رويم .

اسلاید 10: در حالت كلي بر حسب گرفتن نمونه از توزيع مورد نظر و معرفي آماره هاي به سراغ تابعي از پارامتر به شكل در سطح گاما می رویم .

اسلاید 11: در حاليكه اطلاعات زير همواره مورد توجه ما خواهد بود .

اسلاید 12: 1 ـ توزيع و به پارامتر بستگي ندارد . 2 ـ موقعيت و منحصراً به بستگي دارد . 3 ـ گاما را سطح اطمينان مي ناميم . 4 ـ در حالت كلي و متغير خواهند بود و مي توانند در حالت خاص يك يا هر دو كران ثابت معرفي شوند .

اسلاید 13: نكته 1 : در حاليكه به سراغ برآورد فاصله اي مي رويم بايستي ويژگي هاي زير را مورد توجه قرار دهيم .

اسلاید 14: الف ) برآورد فاصله اي نااريب باشد . ب ) برآورد فاصله اي در كمترين ريسك خود قرار بگيرد . ج ) طول فاصله برآورد به حالت مينيمم معرفي شود .

اسلاید 15: نكته 2 : مواردي اتفاق مي افتد كه فاصله اطمينان به شكل يك طرفه مطالعه شود ، بدين صورت :

اسلاید 16: از آنجايي كه شيوه هاي خاصي براي برآورد مورد توجه قرار مي گيرد لذا در آغاز به سراغ تكنيك برآورد محوري (pivot) مي رويم و همانطور كه مي دانيم كميتهاي محوري داراي توزيع هايي هستند كه به پارامتر بستگي ندارند و به نوعي نيز جايگزين آماره هاي مورد نظر ( و ) مي شوند .

اسلاید 17: بر اساس اين تكنيك مي توانيم موقعيت و را به شرح زير داشته باشيم . در آغاز به سراغ جامعه نرمال كه در آن پارامترهاي و مجهول مي باشند خواهيم رفت و در چهار مرحله آنرا مطالعه مي كنيم .

اسلاید 18: الف ) محاسبه فاصله اطمينان براي ميانگين ب ) محاسبه فاصله اطمينان براي واريانس ج ) محاسبه فاصله اطمينان براي زوج ( و ) د ) و در نهايت جهت تفاضل ميانگين ها به سراغ فاصله اطمينان خواهيم رفت .

اسلاید 19: الف) محاسبه فاصله اطمينان براي ميانگين جامعه : براي اين منظور از توزيع نمونه اي به حجم انتخاب مي كنيم و به سراغ محاسبه و در قالب تكنيك زير خواهيم رفت :

اسلاید 20: و يا نيز در حالت كلي مي توان به صورت زير آنرا مورد توجه قرار داد . با توجه به اين فاصله مي توان نوشت : طول فاصله

اسلاید 21: مي توان از رابطه بالا مشتق گرفت : با توجه به قسمت بالا :

اسلاید 22: بنابراين خواهيم داشت : نتيجه اي كه از اين محاسبات صورت مي گيرد مي تواند به يكي از وضعيت هاي زير باشد : 1) or 2)

اسلاید 23: اين حالت اخير كاملاً غير ممكن است زيرا و نمي توانند يك موضع را انتخاب كنند . لذا موقعيت 1 مورد توجه قرار خواهد گرفت كه در حالت خاص نتيجه گذشته را تداعي مي كند .

اسلاید 24: ب ) واريانس جامعه مجهول باشد : در اين حالت با گرفتن نمونه به حجم و استفاده از كميت محوري مي توانيم نتيجه زير را داشته باشيم :

اسلاید 25: بنابراين :

اسلاید 26: ديده مي شود محاسبه و در وضعيت موجود پيچيده خواهد بود . زيرا به علت عدم تقارن در شكل پياده شدن ديدگاه بهترين فاصله اطمينان در محاسبه ما را در استفاده كردن از نرم افزارهاي كامپيوتر ترغيب مي كند .

اسلاید 27: معادلات سياله اند ، يعني بي نهايت جواب دارند ، يعني تعداد مجهولات از تعداد معادلات بيشتر است .

اسلاید 28: ج ) محاسبه برآورد جهت زوج ( و ) : محاسبه اين فاصله مي تواند در قالب استقلال و يا بدون در نظر گرفتن پديده هاي استقلال صورت بگيرد .

اسلاید 29: به اين شكل :

اسلاید 30: و و يا

اسلاید 31: در حالت استقلال فاصله انتخابي بدين صورت شكل خواهد گرفت : و يا و يا

اسلاید 32: نكته : ثابت مي شود (لهمن) مناسب ترين فاصله براي زوج ( و ) بيضي خواهد بود .

اسلاید 33: مطالب گفته شده در بالا بدون استفاده از آماره مربوطه در قالب پارامترهاي مورد نظر مي باشند ولي مي توانيم با ارائه آماره هاي قابل قبول نتايج مشابهي نيز داشته باشيم :

اسلاید 34: .

اسلاید 35: .

اسلاید 36: د ) محاسبه برآورد فاصله اي براي تفاضل ميانگين ها : اگر دو جامعه و را مورد توجه قرار دهيم مي توانيم با انتخاب نمونه هايي به حجم هاي و از اين دو جامعه به سراغ و و نيز و برويم .

اسلاید 37: (نمونه ها از يكديگر مستقلند) و نيز معرفي (Pooled) و برخورداري از آماره به شكل :

اسلاید 38: مي توانيم فاصله مورد نظر را به شكل زير داشته باشيم : كه در حالت استاندارد مي تواند را انتخاب كند .

اسلاید 39: نكته مهم : اگر حجم نمونه ها در هر دو جامعه مورد نظر يكسان باشند مي توانيم بر حسب متغيرهاي زوجي يك فاصله اطمينان را براي تفاضل مشاهدات در نمونه ها داشته باشيم.

اسلاید 40: نكته مهم : در قالب محاسبه فاصله اطمينان لازم است كه در ابتدا به سراغ كميت محوري برويم يكي از مسيرهاي ساده استفاده از تكنيك در حاليكه كميت هاي محوري مي توانند به صورت هايي نظير : و . و نظاير آن مورد توجه نيز باشد .

اسلاید 41: مثال : فرض كنيد يك تك مشاهده از چگالي زير باشد كه در آن :

اسلاید 42: الف ) يك كميت محوري يافته و از آن براي برآوردگر بازه اطميناني استفاده كنيد . ب ) نشان دهيد يك بازه اطمينان براي است ضريب اطمينان آن را پيدا كنيد. هم چنين بازه اطمينان بهتري براي بيابيد . ( تعريف مي كنيم)

اسلاید 43: احتمال اينكه بين و قرار بگيرد:

اسلاید 44: در اين مرحله پاسخ مسئله داده شده است ، اما براي رسيدن به و مسير گفته شده در درس را دنبال مي كنيم :

اسلاید 45: بنابراين :

اسلاید 46: در مسير حركت دوره اي مي توانيم به و مناسبي دسترسي پيدا كنيم .

اسلاید 47: ب ) از آنجايي كه كمتر از مي باشد لذا مي تواند به عنوان يك بازه اطمينان بر مبناي تعريف باشد . ضريب اطمينان

اسلاید 48: يادآوري : با عنايت به مطالب گذشته توانستيم فواصل اطمينان را در زمينه هاي زير بيان كنيم و اطلاعاتي را نيز براي روش محوري (كميت محوري) داشته باشيم . حال به موارد بعدي مي پردازيم .

اسلاید 49: 1) براي با واريانس هاي مجهول يا معلوم (كميت محوري) Pivot براي واريانس . براي . براي . 2) (روش آماري) Ststistical Method 3) (برآورد بزرگنمايي) Large Sample Estimation

اسلاید 50: 2 ـ روش آماري براي معرفي فاصله هاي اطمينان : براي به كارگيري روش آماري در قالب برآورد فاصله اي اطلاعات زير همواره مورد توجه قرار خواهند گرفت .

اسلاید 51: فرض مي كنيم نمونه : و متعلق به فضاي پارامترها باشد . چنانچه آماره معرفي گردد توزيع مربوط به اين آماره تكنيك روش آماري را براي ما تبيين مي كند .

اسلاید 52: اين مطلب با ارائه دو تابع صعودي به شكل و و اعتقاد به دو احتمال . و مي تواند يك فاصله مناسبي را براي پارامتر حاصل نمايد .

اسلاید 53: در حاليكه فرض بر اينست كه پيوسته مي باشد .

اسلاید 54: با توجه به معرفي انتگرال هاي اخير بايستي به سراغ معرفي و برويم كه به كمك اين دو بدست مي آيد .

اسلاید 55: مثال : فرض مي كنيم نمونه از توزيع كه در آن انتخاب شده است به روش آماري ، فاصله اطمينان براي را در سطح معرفي نماييد .

اسلاید 56: حل : از آنجايي كه دامنه تغييرات به پارامتر بستگي دارد مناسب ترين آماره براي برآورد پارامتر ، آماره هاي مرتب خواهند بود كه در اينجا مي باشند . حال طبق الگوي گفته شده به سراغ توزيع مي رويم :

اسلاید 57: بنابراين :

اسلاید 58: .

اسلاید 59: اگر فرض كنيم خواهيم توانست يك بازه اطمينان در سطح براي به صورت زير داشته باشيم .

اسلاید 60: اما بر مبناي اين اعتقاد كه مي تواند باشد ، فاصله مورد نظر چنين خواهد شد :

اسلاید 61: 3 ـ تكنيك سوم روش بزرگنمايي در اين تكنيك كه مسير حد مركزي مورد توجه قرار مي گيرد مي توان فاصله مورد نظر را معرفي كرد . با اين سياست كه دنباله برآوردگرهاي در ساختار داراي نرمال صفر و يك باشد :

اسلاید 62: بر اساس اين مطلب برآوردگر كه از طريق نسبت درستنمايي ماكزيمم معرفي مي شود و نيز كه از طريق نامساوي كرامرـ رائو محاسبه مي گردد خواهيم توانست به كمك الگوي : .

اسلاید 63: يك فاصله مناسبي را براي داشته باشيم توضيح اينكه : . .

اسلاید 64: مثال : اگر فرض كنيم : مورد توجه قرار گيرد از طريق تكنيك بزرگ نمونه اي فاصله اطمينان را براي بدست آوريد .

اسلاید 65: حل : ابتدا به كمك يك نمونه به حجم و استفاده از سياست به كار گرفته شده در درس و را بدست مي آوريم . بنابراين خواهيم داشت :

اسلاید 66: البته با فرمول دوم داريم :

اسلاید 67: .

اسلاید 68: .

اسلاید 69: مثال : فرض مي كنيم توزيع با متعلق به از يك توزيع برنولي با احتمال موفقيت پيروي كند يك فاصله اطمينان براي در قالب تكنيك نمونه هاي بزرگ پيدا كنيد . حل :

اسلاید 70: تكنيك نمونه هاي بزرگ روش بزرگنمايي براي بدست آوردن فاصله اطمينان : 1 ـ بدست آوردن از طريق :

اسلاید 71: 2 ـ بدست آوردن از طريق اميد رياضي : 3 ـ استفاده از فرمول زير و بدست آوردن فاصله اطمينان براي :

اسلاید 72: بسيار ساده خواهد بود زماني كه واريانس را بر حسب برآوردگر معرفي مي كنيم . اما شيوه عملكرد و سياست كلي چنين نخواهد بود و غالباً واريانس بر حسب پارامتر مورد نظر و مورد توجه قرار مي گيرد و اين نظريه اكثراً جاري است .

اسلاید 73: .

اسلاید 74: طرفين به توان 2 :

اسلاید 75: كه اگر را به طور تقريب برابر با صفر اختيار كنيم . در اينصورت نتيجه نهايي به طور اختصار و در قالب يك فاصله اطمينان از طريق تكنيك كميت محوري معرفي مي شود . در صورت نياز را برابر صفر قرار مي دهيم .

اسلاید 76: نكته مهم : يكي ديگر از تكنيك هاي متداول و معمول در جهت محاسبه فاصله هاي اطمينان تكنيك بيضي مي باشد . در اين حركت بر مبناي سياست توزيع هاي پسين و پيشين مي توانيم بازه مناسبي را براي پارامتر معرفي كنيم.

اسلاید 77:

اسلاید 78: هدف فصل : استنباط آماری دارای دو قسمت عمده است : برآورد پارامترها و آزمون فرض ها . هدف ما گسترش روش های کلی برای آزمون فرض ها و اعمال این روش ها به برخی از مسائل متداول می باشد .

اسلاید 79: عناوین مهم فصل : 1 ـ آزمون های دنباله ای فرض ها 2 ـ فرض های ساده در فرض مقابل ساده 3 ـ فرض های مرکب 4 ـ آزمون های فرض ها 5 ـ آزمون های کی دو

اسلاید 80: آزمون نسبت احتمال دنباله اي (SPRT) Sequential Probability Ratio Test يكي از بحث هاي مهم در آمار رياضي (2) و در بحث آزمون هاي فرض ، وجود اندازه حجم به گونه اي است كه در بعضي از مطالعات تحقيقاتي محقق علاقه مند مي شود كه اندازه حجم را به گونه اي انتخاب كند كه اولاً كمترين مخارج را براي آن صرف نمايد . ثانياً آزمون معني دار شود . (R.H)

اسلاید 81: لذا يكي از تكنيك هاي مناسب در جهت تحقق اين ايده آزمون نسبت احتمال دنباله اي بدين صورت است كه ابتدا يك نمونه به حجم . . ر را انتخاب مي كنند و در قالب نسبت درستنمايي نتيجه را با 2 عدد كه از قبل مشخص شده اند مقايسه مي كنند .

اسلاید 82: اگر در منطقه رد قرار بگيرد يا منطقه پذيرش ، آزمون به پايان میرسد و اِلا نمونه بعدي را وارد نمونه قبل نموده و با حجم 2 عمليات را تكرار مي كنند تا اينكه نتيجه به ثمر بنشيند . ديدگاه معرفي شده به صورت زير شكل خواهد گرفت .

اسلاید 83: شروع عمليات در قالب فرض هاي ساده به صورت زير است . فرض مي كنيم : نسبت درستنمايي :

اسلاید 84: Go on

اسلاید 85: Go on

اسلاید 86: سوال در راستاي مطالب فوق مي تواند بدين صورت مطرح شود كه : آيا به مرحله اي خواهيم رسيد كه توقف كنيم يا خير و يا اينكه احتمال برابر با يك است يعني : (يعني حجم نمونه نامتناهي است)

اسلاید 87: پاسخي كه در اين مرحله مي توانيم براي آن بازگو كنيم اين است كه كليه آزمون ها چه در قالب نمونه اي دنباله اي و غير از آن اگر : معرفي گردند قطعاً حجم نمونه متناهي خواهد بود . يعني . (اثبات اين موضوع را مي توانيد در كتاب لهمن جستجو كنيد)

اسلاید 88: و نقاط بحراني و تصميم گيري است . با عنايت به مطالب اخير مي توانيم موقعيت منطقه رد و منطقه پذيرش را به صورت زير خلاصه نماييم و آنرا در مسايل مورد نظر مورد توجه قرار دهيم .

اسلاید 89: C : Cretical A : Accept

اسلاید 90: با عنايت به دو منطقه پذيرش يا رد مي توانيم در حالت زير نيز موقعيت را تشخيص دهيم :

اسلاید 91: نكته مهم : همانطور كه مي دانيم در انجام آزمون هاي فرض (خطاي نوع اول) همواره مورد توجه قرار مي گرفت و از طريق تابع توان محاسبه مي شد . اما در اينجا خطاي نوع اول و دوم قبل از انجام آزمون ملاك خواهد بود.

اسلاید 92: تابع توان يعني : بر اساس اين نظريه و به صورت زير بدست خواهد بود .

اسلاید 93: در مورد خطاهاي منتسب در دو وضعيت موجود ، اگر را در نظر بگيريم در اين صورت نتيجه زير بدست خواهد آمد .

اسلاید 94: قضيه والد : Walds Thearem اگر فرض كنيم : چنانچه و ميزان يا اندازه فرض شود و بدانيم در اين صورت :

اسلاید 95: اثبات :

اسلاید 96: از آنجايي كه پيش آمد فقط به پيش آمدهايي نظير ، : لذا مي توانيم نتيجه نهايي را به صورت زير به پايان ببريم .

اسلاید 97: با عنايت به قضيه والد مي توانيم (ثابت مي شود) نتايج تقريبي زير را داشته باشيم . با فرض درست بودن :

اسلاید 98: .

اسلاید 99: نتيجه اخير در حالت كلي به صورت زير محاسبه مي شود . ها مستقل و هم توزيعند .

اسلاید 100: استنباط آماري معمولاً در دو زمينه مورد توجه قرار مي گيرد : 1- Estimation 2- Test Of Hypothesis كه ما هم اكنون درباره آزمون فرض سخن خواهيم داشت .

اسلاید 101: آزمون فرض چيست ؟ آزمون فرض مقوله اي است كه در جهت تأييد يا رد يك ادعا ، براي يك يا چند متغير معرفي مي شود .

اسلاید 102: آزمون فرض مبتني بر موارد زير است : 1 ـ فرض آماري تعريف : فرض آماري كه معمولاً با نماد يا مورد توجه قرار مي گيرد يك حدس يا گمان براي يك موضوع است .

اسلاید 103: 2 ـ آزمون فرض تعريف : آزمون فرض يك قاعده روشن مي باشد كه براي پذيرش يا رد بكار مي رود كه معمولاً با نماد آنرا مي شناسند و به دو صورت مورد توجه قرار مي گيرد . ا ـ غير تصادفي (تعييني) 2 ـ تصادفي

اسلاید 104: آزمون غير تصادفي آزمون هاي معمولي هستند كه محققين براي انجام يك عمل تحقيقاتي خود مورد استفاده قرار مي دهند . مثلاً‌ : يا نظاير آن .

اسلاید 105: اما آزمون تصادفي به گونه اي است كه در قالب يك آزمايش تصادفي صورت مي پذيرد . مثل آزمايش پرتاب سكه جهت آمدن شير . آنگاه رد پديد مي آيد .

اسلاید 106: اگر آزمون غير تصادفي باشد معمولاً فضاي مورد مطالعه به دو قسمت تقسيم مي شود . منطقه اي از آن به عنوان منطقه رد (منطقه بحراني) و منطقه ديگر به عنوان منطقه پذيرش مي باشد .

اسلاید 107: 3 ـ اعتقاد به دو ميزان خطا به صورت زير است : فرض هاي واقعي :

اسلاید 108: به استناد خطاي مي توانيم موقعيت و را به صورت زير داشته باشيم .

اسلاید 109: نكته : و بر مبناي يك قرارداد مورد توجه قرار گرفته است . در ضمن تغييرات به نوعي مرتبط با يكديگر مي باشند ، اما تأثير مستقيمي روي هم ندارند . در ضمن يعني كمترين مقدار براي رد .

اسلاید 110: مثال 1 : فرض مي كنيم از توزيع برنولي با پارامتر پيروي مي كند و فرض مي كنيم منطقه بحراني در قالب كمتر از باشد . با انجام يك آزمايش آزمون تصادفي و غير تصادفي را براي آن معرفي كنيد :

اسلاید 111: حل : همانطور كه مي دانيم برآوردگر نااريب براي مي تواند و يا باشد كه اگر نمونه را به حجم 10 انتخاب كنيم ، آزمون تصادفي و غير تصادفي به صورت زير شكل مي گيرد .

اسلاید 112: تخصيص دادن يك ارزش به پيش آمدها را احتمال گويند .

اسلاید 113: همانطور كه ملاحظه مي شود وجود پيش آمدهاي فوق در قالب يك ارزش صورت ميگيرد و اين ارزش در قالب يك تابع بحراني با تعريف زير مفهوم پيدا مي كند .

اسلاید 114: دامنه اعداد حقيقي تابع بحراني برد آزمون تصادفي : Randomize Test

اسلاید 115: به اعتبار اين تابع خواهيم داشت : در حالت غير تصادفي خواهيم داشت :

اسلاید 116: مثال 2 : فرض مي كنيم متغير تصادفي از توزيع نرمال با پارامتر (مجهول) و (معلوم) پيروي مي كند با انجام آزمون براي فرض : موقعيت را معرفي كنيد در حاليكه : (معلوم)

اسلاید 117: حل :

اسلاید 118: .

اسلاید 119: سؤال 1 : با توجه به مثال فوق آيا ميتوانيم بين يك رابطه مناسبي را برقرار كنيم ؟

اسلاید 120: از روابط بالا نتيجه مي شود :

اسلاید 121: اگر آزمون هايي نظير حالت قبلي و مقادير معلومي را اختيار نكنند (فرض ها مركب اند) و يا نظاير آن ، مورد توجه قرار بگيرد ، نمي توانيم به سادگي موقعيت خطاي اول و دوم را محاسبه كنيم . بلكه لازم است از طريق تابع توان اين نتيجه را بدست آوريم .

اسلاید 122: تابع توان : Power Function تعريف : تابع توان را كه معمولاً با نماد نشان مي دهند به صورت زير تعريف مي نماييم

اسلاید 123: به تعبيري اگر فضاي پارامتر را به منطقه رد و پذيرش تقسيم كنيم مي توانيم تابع توان را به صورت زير تعبير نماييم .

اسلاید 124: تابع توان ايده آل : Ideal Power Function تابع توان ايده آل يك تابع در قالب تابع نشانگر (Indication) مي باشد كه به صورت زير تعريف مي شود .

اسلاید 125: در عمل تابع ايده آل معمولاً مورد توجه نخواهد بود ،‌ هر چند كه از نظر محقق اين نتيجه بسيار مناسب است .

اسلاید 126: نكته مهم : همانطور كه يك معيار مناسب براي برآوردگرها مي باشد ، مي توانيم تابع توان را نيز در قالب دو برداشت زير با چنين مفهومي بكار گيريم :

اسلاید 127: الف) تشخيص كيفيت نوع آزمون ب) مقايسه بين آزمون ها و تعيين برترين آنها

اسلاید 128: مثال : فرض مي كنيم نمونه آمده باشد . آزمون زير را انجام دهيد : در حاليكه به صورت زير تعريف شده است : و سرانجام آزمون تابع توان را معرفي كنيد .

اسلاید 129: حل : از آنجايي كه مفروضات معرفي شده مركب مي باشد لازم است ابتدا به سراغ تابع آزمون برويم و از طريق تابع توان نتيجه را خواهيم گرفت ‌:

اسلاید 130: بديهي خواهد بود كه مي توانيم تفسيرهاي مناسبي را در جهت معرفي ايده آل شدن تابع توان داشته باشيم : يا

اسلاید 131: مثال : اگر ناحيه رد آزمون عبارت از باشد ، بنابراين : = تابع آزمون اگر مي خواهيم تواناترين آزمون را در اندازه بيابيم :

اسلاید 132: قابل قبول نيست قابل قبول هست

اسلاید 133: از جدول توزيع دوجمله اي با پارامترهاي و داريم : تواناترين آزمون در اندازه است .

اسلاید 134: نكته و يادآوري مهم : اگر باشد ، آنگاه

اسلاید 135: اثبات :

اسلاید 136: بنابراين : اگر باشد ، داريم :

اسلاید 137: مثال 1 : توزيع احتمال به صورت : ، را در نظر مي گيريم . علاقه منديم با گرفتن يك نمونه به حجم فرض را در مقابل آزمون كنيم و از آنجا با انجام دو آزمون فضاي برتري آن دو را با يكديگر مقايسه كنيد :

اسلاید 138: حل : همانطور كه ملاحظه مي كنيد ، آزمون را در قالب شكل مي توانيم صورت دهيم اما مي توانيم به سراغ مناسب ترين آن (با دقت در قالب ) برويم . در اينجا را به عنوان نقطه رد در گام اول در نظر مي گيريم .

اسلاید 139: چون : كه يك حركت خوش بينانه نسبت به قضيه است. 16 تا داريم : به اعتبار اين تابع توان را معرفي مي كنيم .

اسلاید 140: موقعيت را به صورت زير در نظر مي گيريم .

اسلاید 141: سؤال : براي تشخيص برتري اين دو مي توانيم در قالب انجام عمليات زير، نتيجه را داشته باشيم : همانطور كه ملاحظه مي شود نتيجه نهايي به نفع رقم مي خورد .

اسلاید 142: مثال : خانواده توزيع هاي برنولي را به صورت زير در نظر مي گيريم . در حاليكه فضاي پارامتر به صورت زير تعريف مي شود . با انتخاب يك نمونه به حجم 5 فرض را در مقابل فرض آزمون كنيد .

اسلاید 143: حل : با توجه به مثال 1 مي توانيم هاي مختلفي را در قالب معرفي كنيم و فضاي كميت هاي به شكل خواهد بود . كه با انجام يك حركت خوش بينانه مي توانيم منطقه رد را به صورت زير داشته باشيم .

اسلاید 144: .

اسلاید 145: .

اسلاید 146: اگر فرض را داشتيم بايد در اين مرحله حتماً را درست كنيم . حالا كه داريم بايد را درست كنيم . بنابراين :

اسلاید 147: = طريقه تشخيص

اسلاید 148: نكته : به سادگي مي توانيم در قالب يا خطاي را از طريق تابع توان محاسبه كنيم .

اسلاید 149: نكته 1 : با توجه به تعريف تابع توان مي توان خطاي نوع اول و دوم را به صورت زير معرفي نماييم .

اسلاید 150: نكته 2 : بر اساس نمودار تابع توان ميتوانيم خطاي نوع اول و دوم را در قالب يك حركت تصويري معرفي كنيم به گونه اي كه بعضي مواقع اين دو متمم يكديگر خواهند بود و در بيشتر اوقات اين جمع كمتر از يك مي باشد . ،

اسلاید 151: مثال : كيسه اي محتوي 5 مهره است كه تعدادي از آنها سفيد است آزمون فرض حداكثر يك مهره سفيد در مقابل حداقل 2 مهره سفيد است . بر اساس نمونه اي 2 تايي بدون جايگذاري از اين كيسه در نظر بگيريد :

اسلاید 152: الف) كليه آزمون هاي ممكن بر اساس نمونه 2 تايي را بنويسيد . ب) احتمال خطاي نوع اول و دوم را براي هر فرض ساده در تعيين كنيد . در صورتي كه آزمون عبارتست از رد كردن اگر و فقط اگر دست كم يك مهره سفيد استخراج شود . ج) آيا آزموني با اندازه خطاي نوع 2 كوچكتر از آزمون قسمت (ب) وجود دارد ؟

اسلاید 153: حل : تعداد مهره هاي سفيد حداكثر 2 مهره سفيد تعداد هاي معرفي شده مي باشد ، كه يكي از آنها ساختاري است كه در بالا معرفي شده است .

اسلاید 154: از اين به بعد در قالب يك حركت كاربردي (به صورت عددي وارد مي شويم) به صورتي كه: اگر مهره ام سفيد باشد و اگر مهره ام سفيد نباشد .

اسلاید 155: (ناسازگارند) بنابراين :

اسلاید 156: .

اسلاید 157: در قسمت آخر را مي توانيم به صورت زير در نظر بگيريم : (بطور ايده آل)

اسلاید 158: ارزيابي در ساختن آزمون فرض : مطلبي كه در ذيل مي آيد براي فرض ساده مورد توجه مي باشد كه در حالت كلي در بين آزمونها آن آزموني از همه مناسب تر است كه حجم خطاي آن كمترين باشد در حاليكه داراي خصوصيات زير است : الف) نااريب است . Unbiased ب) سازگار است . Consistent

اسلاید 159: تعريف : را در بين هاي ديگر نااريب مي گوييم ، هرگاه نامساوي زير برقرار باشد.

اسلاید 160: تعريف : اگر دنباله را براي فرض در مقابل در نظر بگيريم ، چنانچه گزاره زير برقرار باشد . گوييم تابع توان در ميدان دنباله فوق سازگار است . مثلاً اگر :

اسلاید 161: خانواده توزيع : علاقه مند مي شويم فرض ساده را با گرفتن يك نمونه مناسب آزمون كنيم . براي اين منظور ابتدا توزيع احتمال را تحت و رسم مي كنيم و از جامعه مورد نظر نمونه به حجم خارج مي كنيم و در اختيار اين توزيع قرار مي دهيم . نتيجه چه خواهد شد ؟

اسلاید 162: در اين حالت اگر : حالت 1 : بنابراين : بنابراين پذيرش را داريم .

اسلاید 163: حالت 2 : بنابراين :

اسلاید 164: حالت 3 : در اين حالت Randomize خواهد شد و سكه تعيين كننده است .

اسلاید 165: نكته مهم 1 : از آنجايي كه تابع درستنمايي ماكزيمم خود مي تواند به عنوان يك تابع چگالي معرفي شود .

اسلاید 166: مي توانيم در قالب كسرهاي زير داشته باشيم :

اسلاید 167: نكته مهم 2 : همانطور كه قبلاً اشاره كرديم آن اي مناسب خواهد بود كه تابع توان تحت آن كمترين خطاي را معرفي كند و به نوعي تركيب خطي از آن دو را به صورت : ، به حالت در آيد كه اين يكي از ملاك هاي برتري آزمون و به نوعي اولين ملاك معرفي مي شود . اين نتيجه يا اين ملاك ما را به سمت لم معروف (نيمن ـ پيرسن) هدايت مي كند .

اسلاید 168: بر مبناي مطلب فوق مي توانيم مدعي شويم كه ملاك فوق زماني تحقق خواهد يافت كه نسبت درستنمايي ماكزيمم به صورت زير شكل بگيرد و برعكس :

اسلاید 169: .

اسلاید 170: توضيح آنكه از آنجايي كه قرار است تركيب خطي به حالت قرار بگيرد لازم مي آيد كه : منفي باشد . بنابراين :

اسلاید 171: و يا مي توان گفت : آن چيزي كه در بالا اتفاق افتاد معروف به Simple Likeli Hood Test خواهد بود .

اسلاید 172: مثال : فرض می کنیم خانواده توزیع نرمال . مفروض است می خواهیم از طریق آزمون نسبت درستنمایی ساده فرض . را آزمون کنیم .

اسلاید 173: حل : می دانیم را در حالت کلی برای توزیع نرمال برابر :

اسلاید 174: .

اسلاید 175: معمولاً از طریق خطای نوع اول قابل تشخیص خواهد بود ، در حالی که بدانیم آماره مورد نظر در ساختار انجام آزمون با چه عنوانی مورد توجه قرار می گیرد .

اسلاید 176: .

اسلاید 177: مثال : خانواده : با فضای پارامتری را در نظر می گیریم . با انتخاب یک نمونه به حجم آزمون مربوط به فرض ، را انجام دهید .

اسلاید 178: حل :

اسلاید 179: از آنجایی که فرضهای مورد نظر ساده می باشند به مفهوم مقدار اصلی آن که در مسئله تعیین می شود صورت خواهد گرفت .

اسلاید 180: از آنجایی که دارای توزیع می باشد می توانیم موقعیت را در سطح خطای ملاحظه کنیم . خطا

اسلاید 181: آزمون نسبت درستنمایی تعمیم داده شده Generated Like Lihood Ratio Test همانطور که می دانیم در بحث لم نیمن پیرسن مواردی اتفاق می افتد که فرض های مورد نظر (یک یا هر دو) به شکل مرکب معرفی می شوند .

اسلاید 182: در این صورت نمی توانیم کسر مورد نظر را به حالت ساده داشته باشیم لذا در حالت این عمل امکان پذیر خواهد بود . توضیح اینکه مخرج کسر مورد نظر در این مرحله کل فضای پارامتر را دربر می گیرد .

اسلاید 183: نکته : همانطور که قبلاً اشاره شده است یا ارزش یک پارامتر در قالب توابع درستنمایی ماکزیمم قابل تشخیص خواهد بود . برای این منظور به مثالهای زیر توجه کنید .

اسلاید 184: مثال : توزیع نرمال به شکل : در نظر می گیریم آزمون مربوط به را صورت دهید .

اسلاید 185: حل : قبل ازحل این مسئله ، بی مناسبت نخواهد بود که به مطالب زیر توجه دقیق داشته باشیم .

اسلاید 186: همانطور که ملاحظه می شود نتیجه بر حسب یک تابع معرفی خواهد شد و از آنجایی که :

اسلاید 187: می توانیم به سادگی در قالب تکنیک زیر مقدار را معرفی کنیم . در این صورت موقعیت آزمون معرفی و نتیجه به پایان خواهد رسید . حال به سراغ حل مسئله خواهیم رفت .

اسلاید 188: .

اسلاید 189: .

اسلاید 190: همانطور که ملاحظه می گردد می توانیم نتیجه را در قالب تکنیک زیر محاسبه کنیم .

اسلاید 191: مثال 2 : خانواده : در نظر می گیریم فرض را آزمون کنید .

اسلاید 192: حل : برای این منظور به سراغ یک نمونه ای به حجم از توزیع مورد نظر خواهیم رفت . سپس از طریق نسبت درستنمایی ، را می یابیم و از آنجا با انجام عملیات منطقی آزمون مورد نظر مشخص خواهد شد .

اسلاید 193: .

اسلاید 194: .

اسلاید 195: نکته : در بالا چون فضا تعریف شده است در صورت کسر مقدار و در مخرج کل فضای حالت را قرار می دهیم . با شرط .

اسلاید 196: با فرض اینکه داریم :

اسلاید 197: اما عبارت می تواند در قالب یک توزیع معرفی شود و از آنجا در قالب یک عمل هم ارزی موقعیت منطقه رد را در سطح خطای ملاحظه می کنیم . توزیع گاما :

اسلاید 198: جمع آوری نکات فوق در قالب تفاوت فرض ها 1ـ فرض های ساده . عدد

اسلاید 199: ابزار کار برای هر فرضی در قدم اول گرفتن نمونه ای به حجم است . سپس با توجه به مقدار بدست آمده توزیع مورد نظر را بدست می آوریم . بعد از انتگرال گیری مقدار خطای را به راحتی بدست می آوریم .

اسلاید 200: 2ـ فرض های غیر ساده . حالت 1 : گرفتن نمونه به حجم . یک عدد ادامه کار مثل حالت فوق می باشد . انتگرال گیری و تشخیص نوع توزیع . این حالت مثل حالت بالا است .

اسلاید 201: حالت 2 : ابتدا گرفتن نمونه ای به حجم : در این حالت یک مشتق گیری هم داریم که در حالت های قبلی نداشتیم .

اسلاید 202: بعد از محاسبه مقدار از آن نسبت به مشتق گرفته ، بعد برابر صفر قرار می دهیم و از آن مقدار را بدست می آوریم .

اسلاید 203: در نهایت دو حالت برای بدست می آید .

اسلاید 204: نکته : با توجه به مطالب گذشته در ارتباط با بایستی برابر باشد با نسبت کسر: نسبت به یک آماره بسنده مینیمال باشد که در این صورت به صورت معرفی خواهد شد .

اسلاید 205: آماره بسنده مینیمال است زیرا همانطور که در آخرین مثال ملاحظه کردیم :

اسلاید 206: آزمون تواناترین niformly Most Power Foll Test تعریف : را در میان های دیگر تواناترین آزمون به طور یکنواخت گویند هرگاه ویژگیهای آن برقرار باشد . 1) 2)

اسلاید 207: مثال : خانواده توزیع نمایی : در نظر می گیریم با انتخاب یک نمونه به حجم فرض را آزمون نمایید و تحقیق نمایید که آزمون انجام گرفته می باشد .

اسلاید 208: حل : با توجه به نسبت درستنمایی ماکزیمم می توانیم موقعیت منطقه رد را که در قالب مثال بالا معرفی شده ، مجدداً در نظر بگیریم .

اسلاید 209: اما بر اساس مطالب زیر خصوصیات برقرار بوده و نتیجه به پایان می رسد .

اسلاید 210: چون تابع توان یک تابع صعودی است و با افزایش مقدار تابع زیاد می شود ، بنابراین رابطه بالا را خواهیم داشت .

اسلاید 211: نسبت درستنمایی یکنوا Monotone Like Lihood Ratio تعریف : گوییم : نسبت درستنمایی یکنوا را برای خود داراست ، هرگاه یک آماره نظیر وجود داشته باشد که نسبت به آن همواره نزولی یا همواره صعودی باشد .

اسلاید 212: مثال : خانواده توزیع نرمال با مشخصات . در نظر می گیریم ، تحقیق کنید که این خانواده خصوصیات نسبت درستنمایی یکنوا را داراست .

اسلاید 213: .

اسلاید 214: این تابع نزولی است می توان مشتق گرفت و این عامل را ثابت کرد . همانطور که ملاحظه می شود تابع درستنمایی ماکزیمم نسبت به مقدار یکنوا است .

اسلاید 215: مثال : تابع : تحقیق کنید که این تابع خاصیت نسبت درستنمایی یکنوا را داراست .

اسلاید 216: حل :

اسلاید 217: چون خارج از بازه است ، بنابراین برابر صفر خواهد بود ، پس در کل برابر صفر خواهد بود .

اسلاید 218: این تابع ناصعودی است ، بنابراین نمی توان گفت یکنواست اما نسبت به بحث می کنیم و در بازه مورد نظر یکنوایی را بررسی می کنیم . بنابراین چون منحصر به فرد است پس تنها یک مقدار را به خود نسبت می دهد . بنابراین یکنواست .

اسلاید 219: نکته مهم : کلیه چگالی ها که خاصیت یکنوا بودن را دارا باشند دارای آزمون هستند .

اسلاید 220: مثال : آیا در خانواده آزمون وجود دارد ؟ معلوم ،

اسلاید 221: حل : همانطور که ملاحظه شد این خانواده نسبت به یا دارای نسبت درستنمایی یکنواست و همواره نزولی و یکنوا خواهد بود که در این صورت منطقه رد متناظر با عبارت زیر خواهد بود :

اسلاید 222: در اینصورت می توانیم تابع توان را در قالب رد معرفی و بر حسب خطای نوع اول نتیجه را معرفی کنیم .

اسلاید 223: .

اسلاید 224: .

اسلاید 225: اما می توانیم از طریق نتیجه را به گونه ای دیگر بیان کنیم .

اسلاید 226: عبارتی که تابعی از و در نهایت بر حسب فیشر معرفی می شود و همانطور که ملاحظه می شود نسبت به این عامل نزولی خواهد بود . بنابراین در قالب مسیر نیز آزمون مورد توجه قرار می گیرد .

اسلاید 227: مثال : آیا در خانواده ، یا وجود دارد ؟

اسلاید 228: حل : برای این مطلب می توانیم مسیرهای مختلفی را دنبال کنیم : 1 ) به سراغ برآوردهای فاصله ای جهت زوج خواهیم رفت و از آنجا با معرفی محدوده قابل قبول ، مجدداً وجود را در آن جستجو خواهیم کرد .

اسلاید 229: 2 ) از طریق به صورت : منطقه متناظر با آماره در جهت رد اقدام خواهیم کرد .

اسلاید 230: آزمون برابری میانگین ها در اینجا فرض می کنیم : ، که برای هر کدام یک نمونه تصادفی داریم .

اسلاید 231: می خواهیم فرض های زیر را آزمون کنیم . در اینجا می خواهیم ببینیم آیا میانگین این دو توزیع با هم برابرند یا نه ؟

اسلاید 232: حالت خاص است در نظر می گیریم ، پس در اینجا فضای پارامتری سه بعدی است : : تحت فرض : تحت فرض

اسلاید 233: با استفاده از اصل نسبت درستنمایی تعمیم یافته داریم :

اسلاید 234: .

اسلاید 235: در اینجا داریم : : تحت فرض : تحت فرض که در اینجا همان است .

اسلاید 236: .

اسلاید 237: دیگری هم ، همین طور ساده می شود . لذا :

اسلاید 238: که این را باید ساده تر و تبدیل به یک آماره ساده تری کرد :

اسلاید 239: و می دانیم : و نیز می دانیم : یک برآوردگر برای است که .

اسلاید 240: در نتیجه : چون مجهول است گذاشتیم و نیز :

اسلاید 241: چون دو تا از یکدیگر مستقل اند : پس :

اسلاید 242: حال اگر فرض درست باشد ، در نتیجه . است .

اسلاید 243: اگر را به توان 2 برسانیم .

اسلاید 244: پس می توان را به صورت زیر بیان کرد . : تحت

اسلاید 245: که اگر از مشتق بگیریم . مشتق همواره منفی است ، پس همواره نزولی است .

اسلاید 246: اگر بر حسب می گرفتیم ، مسئله در همین جا حل بود ولی اگر بر حسب بگیریم چون را در آزمون یکنواخت است .

اسلاید 247: آزمون : این آزمون درباره وضعیت خود توزیع سخن می گوید و بدین صورت مورد توجه قرار می گیرد . آیا توزیع از توزیع پیروی می کند .

اسلاید 248: برای انجام این آزمون لازم است مشاهدات مورد نظر را به قسمت افراز نماییم ، آنگاه با انجام آزمایشی مشاهدات منتسب به هر قسمت را محاسبه می کنیم ، پس از طریق تکنیک خاص در جهت برآورد مشاهدات در هر رده اقدام خواهیم کرد .

اسلاید 249: آنگاه به کمک آماره : می توانیم نتیجه آزمون را بدست آوریم : : تعداد پارامترهای برآورد شده

اسلاید 250: مثال : تاسی در اختیار گذاشته شده است می خواهیم بدانیم که آیا این تاس نااریب می باشد یا خیر ؟ تاس نااریب است و تاس اریب است .

اسلاید 251: برای این منظور فضای نمونه را به افرازهای زیر تقسیم می کنیم :

اسلاید 252: سپس این تاس را 24 بار پرتاب می کنیم ، ملاحظه می کنیم که در این تعداد پرتاب 6 بار موقعیت 1 یا 2 آمده است . 8 بار موقعیت 3 یا 4 آمده و 10 بار موقعیت 5 یا 6 ظاهر شده است در قالب آماره نتیجه را بیابید . در اینجا انتخاب شده است .

اسلاید 253: .

اسلاید 254: نتیجه : چون می باشد لذا دلیلی برای رد نکردن وجود ندارد .

اسلاید 255: نکته : در راستای مطالب اخیر می توانیم نظر خود را به جداول توافقی معطوف داریم . حرکتی که در داخل این جداول صورت می گیرد عملاً بر مبنای توزیع به ثمر خواهد نشست با این تفاوت که برآوردها از طریق مجموع مشاهدات حاشیه ای صورت می گیرد که در قالب یک جدول فرضی نتیجه را به صورت زیر ملاحظه می کنیم .

اسلاید 256: .

اسلاید 257: .

اسلاید 258:

اسلاید 259: هدف فصل : هدف اين فصل بحث در يك حالت خاص مدل آماري خطي مي باشد . درباره اين موضوع ، مطالب زيادي در دسترس است ولي ما تنها حالت خاص مدل خطي ساده را بررسي مي كنيم .

اسلاید 260: عناوین مهم فصل : 1 ـ مقدمه 2 ـ مثال های مدل خطی 3 ـ تعریف مدل خطی 4 ـ برآورد نقطه ای ـ حالت A 5 ـ برآورد نقطه ای ـ حالت B

اسلاید 261: مقدمه و رؤوس مطالب برخي از مؤلفان به اين مدل نظريه رگرسيون خط مستقيم مي گويند . براي مطالعه اين مدل استفاده از برخي نظريه ها ،‌ از قبيل نظريه توزيع ، مفاهيم برآوردهاي نقطه اي و بازه اي و برخي از مطالب آزمون فرض لازم مي باشند .

اسلاید 262: در اين قسمت توضيح مي دهيم كه چگونه مي توان اين مفاهيم را براي حالت مدل خطي ساده كه در آمار كاربردي اهميت دارد ، به كار برد.

اسلاید 263: مثال هاي مدل خطي در اين بخش دو مثال براي بيان اين كه چگونه مدل خطي در مسايل كاربردي استفاده مي شود ، ارائه مي دهيم .

اسلاید 264: مثال 1 : فاصله اي كه يك ذره در زمان طي مي كند با فرمول داده مي شود ، كه در آن سرعت متوسط و محل قرار گرفتن ذره در زمان است . اگر و نامعلوم باشند ، آن گاه مي توان را براي دو مقدار متمايز مشاهده كرده و دو معادله حاصل را بر حسب و حل كرد .

اسلاید 265: براي مثال ، فرض كنيد وقتي ، را برابر 2 مشاهده كرده ايم و وقتي ، برابر 11 مي شود . از اين مطلب و به دست مي آيند و جواب برابرست با و ؛ بنابراين مي باشد .

اسلاید 266: فرض كنيد به دليلي نمي توان فاصله را با دقت مشاهده كرد و يك خطاي اندازه گيري وجود دارد كه ماهيت آن تصادفي است . بنابراين را نمي توان مشاهده كرد ، اما فرض كنيد مي توانيم را مشاهده كنيم كه در آن و خطاي تصادفي است كه ميانگين آن صفر است ، به جاي مقدار قرار مي دهيم .

اسلاید 267: داريم : كه در آن يك متغير تصادفي قابل مشاهده ، يك متغير غير تصادفي قابل مشاهده ، يك متغير تصادفي غير قابل مشاهده و و پارامترهاي مجهول مي باشند .

اسلاید 268: در اينجا نمي توانيم با مشاهده دو مجموعه از مقادير و ، مانند آنچه كه در بالا با و انجام داديم ، و را به دست آوريم ، زيرا بين و ارتباط تابعي وجود ندارد .

اسلاید 269: در اين مدل ، هدف ، پيدا كردن و و از آنجا محاسبه براي مقادير مختلف مي باشد . چون خطاپذير است و نمي توان آن را مشاهده كرد ، نمي توانيم و را معلوم كنيم ، اما با مشاهده مجموعه هاي مختلفي از مقادير و ، مي توان روش هاي آماري را براي به دست آوردن برآوردهاي ، و به كار برد . اين نوع مدل ، يك مدل ارتباط تابعي با خطاي اندازه گيري مي باشد .

اسلاید 270: مثال 2 : به عنوان مثالي ديگر ، ارتباط بين قد و وزن افراد در يك شهر معيني را در نظر بگيريد . مسلماً بين و رابطه تابعي وجود ندارد ، اما به نظر مي رسد كه بين آنها نوعي ارتباط وجود دارد .

اسلاید 271: ما آنها را به عنوان متغيرهاي تصادفي بررسي كرده و فرض مي كنيم داراي توزيع نرمال دو متغيره است . در اين صورت مقدار اميد رياضي براي يك مقدار مفروض از به صورت زير است : كه در آن و توابعي از پارامترهاي يك چگالي نرمال دو متغيره مي باشند .

اسلاید 272: گرچه بين و رابطه تابعي وجود ندارد ، اما اگر آنها نرمال توأم شوند ، يك رابطه تابعي خطي بين وزنها و مقدار متوسط قدها وجود دارد . بنابراين مي توانيم عبارت زير را بنويسيم :

اسلاید 273: يا مي توان نوشت : كه در آن يك متغير تصادفي با توزيع نرمال است كه خطا را نشان مي دهد . اين يك مدل رگرسيون است و گرچه از مسأله اي تا حدي متفاوت با مسأله ارتباط تابعي در مثال 1 به دست آمد هر دوي آنها حالت هاي خاصي از يك مدل آماري خطي مي باشد .

اسلاید 274: تعريف مدل خطي فرض كنيد يك تابع خطي از متغير حقيقي باشد كه با تعريف شده است كه در آن در دامنه مي باشد . اغلب خط حقيقي كامل ، يك نيم خط ،‌ يا يك بازه محدود روي خط حقيقي مي باشد .

اسلاید 275: براي مدل بندي حالت هايي كه در مثال هاي 1 و 2 در بالا اشاره شدند ، فرض مي كنيم يك خانواده توابع توزيع تجمعي (يك تابع توزيع تجمعي براي هر در ) وجود دارد چنان كه ميانگين تابع توزيع تجمعي متناظر با يك داده شده (مانند ) در برابر با مي باشد .

اسلاید 276: بنابراين ميانگين توابع توزيع تجمعي روي خطي كه با تعريف شده است ، مي باشند . هدف گرفتن نمونه از برخي از اين توابع چگالي احتمال و ساختن استنباط هاي آماري درباره و و غيره بر اساس اين نمونه مي باشد .

اسلاید 277: اين نمونه گيري به صورت زير انجام مي شود: 1- يك مجموعه تايي از ها در مشاهده شده و با نشان داده مي شوند . ها متغيرهاي تصادفي نيستند ، اما مي توان آنها را با يك روش تصادفي يا انتخاب مبتني بر هدف ، برگزيد .

اسلاید 278: 2- هر يك تابع توزيع تجمعي را كه ميانگين آن و واريانس آن مي باشد مشخص مي كند . از اين تابع توزيع تجمعي يك مقدار به تصادف انتخاب كرده و با نشان مي دهيم . ( ساده شده نماد است) .

اسلاید 279: بنابراين يك مجموعه جفت مشاهده داريم كه آنها را با نشان مي دهيم . فرض كرديم كه : و

اسلاید 280: بنابراين مي توانيم متغيرهاي تصادفي را با : تعريف كنيم . و ها در : و صدق مي كنند .

اسلاید 281: بنابراين مي توانيم بنويسيم : كه در آن و . اين رابطه يك مدل خطي را تعريف مي كند . اين مطالب را در زير خلاصه مي كنيم .

اسلاید 282: تعریف : مدل خطی فرض کنید تابع برای هر در مجموعه با تعریف شده باشد . برای هر در فرض کنید یک تابع توزیع تجمعی با میانگین برابر با یعنی و واریانس باشد .

اسلاید 283: فرض كنيد يك مجموعه مشاهده شده مركب از تا از باشد . براي فرض كنيد يك نمونه تصادفي به حجم 1 از تابع توزيع تجمعي ، باشد .

اسلاید 284: در اين صورت ، يك مجموعه مشاهدات مرتبط با : و مي باشد . اين مشخصات يك مدل آماري خطي را تعريف مي كنند .

اسلاید 285: توجه : معادله را مي توانيم به صورت : نيز بنويسيم ، كه در آن .

اسلاید 286: توجه : لغت «خطي» در عبارت «مدل آماري خطي» به اين واقعيت كه تابع تابعي خطي از پارامترهاي نامعلوم مي باشد اشاره دارد . در مثال ساده اي كه اشاره كرديم ، با ، در تعريف شد كه تابعي خطي از مي باشد .

اسلاید 287: اما اين مطلب قسمت اصلي از تعريف اين مدل خطي نيست . براي مثال ، ، كه در آن يك مدل آماري خطي مي باشد .

اسلاید 288: توجه : در بيشتر وضعيت ها برخي فرض هاي اضافي درباره تابع توزيع تجمعي ، از قبيل نرمال بودن ، قايل مي شويم . همچنين ، عموماً روش نمونه گيري چنان است كه ها يا توأماً مستقل يا دو به دو ناهمبسته مي باشند .

اسلاید 289: در واقع ما روش هاي استنباطي را براي دو مجموعه از فرض ها درباره متغيرهاي تصادفي كه در حالت هاي و در زير تعريف شده اند ، بحث مي كنيم .

اسلاید 290: حالت : براي اين حالت فرض مي كنيم متغير تصادفي توأماً مستقل اند و يك متغير تصادفي نرمال مي باشد .

اسلاید 291: حالت : براي اين حالت تنها فرض مي كنيم ها دو به دو ناهمبسته اند ، يعني براي هر ، .

اسلاید 292: برآورد نقطه اي ـ حالت براي اين حالت متغيرهاي تصادفي نرمال مستقل با ميانگين هاي و واريانس هاي مي باشند . براي پيدا كردن برآوردگرهاي نقطه اي ، روش درستنمايي ماكزيمم را به كار مي بريم .

اسلاید 293: تابع درستنمايي عبارت است از : و

اسلاید 294: مشتقات جزئي را نسبت به به دست آورده و مجموعه را برابر صفر قرار مي دهيم . فرض مي كنيم جوابهاي اين سه معادله حاصل را نشان مي دهند .

اسلاید 295: اين سه معادله در زير داده شده اند . (با اندكي ساده كردن) : اولين دو معادله معادلات نرمال براي تعيين مي نامند .

اسلاید 296: اين معادلات بر حسب خطي هستند و به آساني حل مي شوند . داريم : كه به ترتيب برآوردهاي درستنمايي ماكزيمم مي باشند.

اسلاید 297: توجه داريم كه ها بايد چنان باشند كه ، يعني بايد حداقل دو مقدار مجزا براي وجود داشته باشد .

اسلاید 298: توجه كنيد كه : يك عضو خانواده نمايي سه پارامتري است .

اسلاید 299: بنابراين: يك مجموعه آماره هاي بسنده مي نيمال و توأماً كامل مي باشند . به علاوه چون مجموعه آماره هاي داده شده در معادله بالا ، يك تبديل يك به يك از برآوردگرهاي (آماره هاي) تعريف شده با معادلات قبلي مي باشند ، خود اين برآوردگرها نيز بسنده مي نيمال و توأماً كامل مي باشند .

اسلاید 300: براي بررسي بيشتر ويژگي هايي كه اين برآوردگرها دارا هستند ، توزيع توأم آماره هاي متناظر را پيدا مي كنيم . براي انجام اين كار ابتدا تابع مولد گشتاور را كه كميتهايي تصادفي با مقادير تعريف شده با : مي باشند ، پيدا مي كنيم .

اسلاید 301: مي دانيم اگر براي هنگامي كه ، اميد رياضي وجود داشته باشد ، تابع مولد گشتاور توأم با : تعريف مي شود .

اسلاید 302: داريم : كه در انتگرال ، كميتهاي بر حسب نوشته مي شوند .

اسلاید 303: اين انتگرال ساده اما محاسبه آن كسل كننده است و نتيجه آن عبارت است از : ،

اسلاید 304: از اين تابع مولد گشتاور مي توانيم چيزهايي بياموزيم : 1- اين عبارت به تابعي تنها از ضرب در تابعي تنها از تجزيه مي شود . ما اين نتيجه را به صورت : مي نويسيم .

اسلاید 305: با استفاده از قضيه هاي ذكر شده ، معلوم مي شود متغيرهاي تصادفي مرتبط با مستقل از متغيرهاي تصادفي مرتبط با مي باشند ، يعني ، مستقل از مي باشند ، كه دلالت بر اين دارد كه برآوردگرهاي درستنمايي ماكزيمم توأماً مستقل از برآوردگر درستنمايي ماكزيمم مي باشند .

اسلاید 306: 2- چون مي دانيم ، يك تابع مولد گشتاور ، توزيع متغيرهاي تصادفي را كه دخيل اند به طور يكتا تعيين مي كند ؛ سعي مي كنيم شكل را بشناسيم .

اسلاید 307: توجه داريم تابع مولد گشتاور يك توزيع نرمال دو متغيره است و طبعاً ميانگين ها ، واريانس ها و كوواريانس را به دست مي آوريم . مي بينيم متغيرهاي تصادفي ، مانند ، مرتبط با ، متغيرهاي نرمال دو متغيره با ميانگين هاي و ماتريس كوواريانس زير مي باشند :

اسلاید 308: روش ديگر بيان اين مطلب به صورت زير است : يك متغير تصادفي نرمال دو متغيره با پارامترهاي زير است : و

اسلاید 309: 3- تشخيص مي دهيم تابع مولد گشتاور يك متغير تصادفي كي دو با درجه آزادي مي باشد . بنابراين داريم : كه داراي توزيع كي دو با درجه آزادي است . (در اينجا به ترتيب براي نشان دادن متغيرهاي تصادفي با مقادير به كار مي روند) .

اسلاید 310: داريم : بنابراين را با : تعريف مي كنيم . اين نتايج را در قضيه زير خلاصه مي كنيم .

اسلاید 311: قضيه : حالت از مدل خطي ساده را در نظر بگيريد . برآوردگرهاي درستنمايي ماكزيمم (پس از تصحيح براي اريبي) با : داده مي شوند .

اسلاید 312: اين برآوردگرها در موارد زير صدق مي كنند : 1- آماره هاي بسنده كامل توأم مي باشند . 2- برآوردگرهاي نااريب پارامترهاي متناظرشان مي باشند . 3- مستقل از مي باشند .

اسلاید 313: 4- داراي توزيع نرمال دو متغيره با ميانگين و ماتريس كوواريانس داده شده در بالا مي باشد . 5- يك متغير تصادفي كي دو با درجه آزادي است .

اسلاید 314: برآورد نقطه اي ـ حالت براي اين حالت متغيرهاي تصادفي دو به دو ناهمبسته با ميانگين هاي : و واريانس هاي مي باشند .

اسلاید 315: چون چگالي توأم ها مشخص نشده است ، نمي توان برآوردگرهاي درستنمايي ماكزيمم ، را به دست آورد . در مدلهايي كه در آنها چگالي توأم متغيرهاي تصادفي قابل مشاهده داده نشده است ، مي توان از يك روش برآورد موسوم به كمترين مربعات استفاده كرد .

اسلاید 316: تعريف كمترين مربعات فرض كنيد ، ، جفت مشاهده باشند كه در مدل خطي ساده صدق مي كنند . مقادير كه مجموع مربعات : را مي نيمم مي كنند ، برآوردگرهاي كمترين مربعات تعريف مي شوند .

اسلاید 317: براي پيدا كردن برآوردگرهاي كمترين مربعات ، بايد مقاديري كه را مي نيمم مي سازند پيدا كنيم و به وضوح اين مقادير ، همان مقاديري است كه تابع درستنمايي را در معادله ماكزيمم مي كنند . بنابراين قضيه زير را داريم .

اسلاید 318: قضيه : در حالت مدل خطي ساده ، برآوردگرهاي كمترين مربعات با داده مي شوند ، كه در آن ، روش كمترين مربعات ، برآوردگري را براي به دست نمي دهد .

اسلاید 319: اما يك برآوردگر بر اساس برآوردگرهاي كمترين مربعات عبارت است از :

اسلاید 320: براي حالت برآوردگرهاي درستنمايي ماكزيمم برخي ويژگي هاي بهينه مطلوب را دارا بودند . اين مطالب بيان مي دارد كه برآوردگرهاي نااريب با واريانس مي نيمم مي باشند .

اسلاید 321: يعني در رده همه برآوردگرهاي نااريب ، برآوردگرهاي در معادله : داراي به طور يكنواخت واريانس مي نيممم مي باشد .

اسلاید 322: براي حالت ، برآوردگرهاي مي نيمم مربعات از چنين ويژگي جالبي برخوردار نيستند . براي حالت ، فرض ها قوي تر از حالت ، كه در آن توزيع متغيرهاي تصادفي نامعلوم فرض شده اند ، مي باشند . بنابراين براي حالت ، نبايد انتظار چنين ويژگي بهينه نيرومندي را داشته باشيم .

اسلاید 323: توجه : دو محدوديت روي توابع برآورد وجود دارند . اولاً رده توابع برآورد به توابعي خطي از محدود شده اند . ثانياً در رده توابع خطي از تنها برآوردگرهاي نااريب بررسي شده اند .

اسلاید 324: قضيه گاوس ـ ماركف مدل خطي ساده را در نظر مي گيريم و فرض مي كنيم براي حالت فرض ها برقرارند . در اين صورت برآوردگرهاي كمترين مربعات كه در معادله : داده شده اند ، به ترتيب براي ، بهترين برآوردگرهاي نااريب خطي مي باشند .

اسلاید 325: THE END