آمار و احتمالات مهندسی

amar_va_ehtemalate_mohandesi

در نمایش آنلاین پاورپوینت، ممکن است بعضی علائم، اعداد و حتی فونت‌ها به خوبی نمایش داده نشود. این مشکل در فایل اصلی پاورپوینت وجود ندارد.

جزئیات
امتیاز و نظرات
متن پاورپوینت

منتشرکننده‌ی پاورپوینت

admin

11004 بازدید ۲۶ بهمن ۱۳۹۶

برچسب‌های مرتبط

با این قالب‌ها ارائه‌ی جذاب‌تری داشته باشید

بررسی تلفیق برنامه درسی آموزش عالی با فناوری اطلاعات با رویکرد آموزش مجازی

alrza 29,000 تومان

سفر در زمان

MohammadrezaAdel 16,000 تومان

مدیریت تحول استراتژی ها کاربرد و الگو های نوین بخش ۲

نازنین زهرا رضاپور 15,000 تومان

قالب پاورپوینت MultiEco – رنگ قرمز

ppt.ir 34,000 تومان

قالب پاورپوینت خلاقانه طرح قطره _ رنگ آبی

narges13

3(2 رای) 5,000 تومان

قالب پاورپوینت – طرح MOA – رنگ بنفش

ppt.ir 29,000 تومان

قالب پایان نامه حرفه ای – زمینه آبی

رضا شیرزاد

5(2 رای) 29,000 تومان

Mr.Scientist

fatiix

5(1 رای) 12,000 تومان

امتیاز

درحال ارسال

امتیاز کاربر [0 رای]

نقد و بررسی ها

هیچ نظری برای این پاورپوینت نوشته نشده است.

اولین کسی باشید که نظری می نویسد “آمار و احتمالات مهندسی”

اسلاید 1: بسم الله الرحمن الرحيم

اسلاید 2: آمار و احتمالات مهندسيرشته : كامپيوتردكتر پرويز نصيري

اسلاید 3: فصل اولآمار توصیفی

اسلاید 4: دراین فصل مسائل زیر بررسی می شود:-مفاهیم اساسی-شاخص های گرایش مرکزی-شاخص های پراکندگی-جدول توزیع فراوانی-نمودارها-چولگی و برجستگی-کدگزاری-جامعه آماری دو بعدی

اسلاید 5: مفاهيم اساسي1-جامعه2-نمونه3-داده هاي آماري4-متغير

اسلاید 6: i=1,2,…,N ام جامعه است براي i عضو xiكه 1-جامعه2- نمونهi=1,2,…,N ام جامعه است براي i عضو xiكه

اسلاید 7: 3-انواع داده هاي آماريانواع داده هاي آماري به دو گروه، داده هاي دست اول (خام) و داده هاي دست دوم تقسيم بندي مي شوند.4-متغيرانواع آن:1-کمی2-کیفی

اسلاید 8: شاخص هاي گرايش مركزي:1-ميانگين2- ميانه3- نما4- چاركها

اسلاید 9: 1- ميانگينفرض كنيد جامعه مورد بررسي داراي Nعضو Xn,…,X2,X1 باشد. ميانگين جامعه از رابطه زير بدست مي آيد.الف- ميانگين حسابيالف-میانگین حسابیب- میانگین هندسیپ-میانگین هارمونیکت- میانگین پیراسته

اسلاید 10: ب- ميانگين هندسياگر Xn,…,X2,X1 يك نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسي باشد ميانگين هندسي از رابطه زير بدست مي آيد و با علامت G نمايش داده مي شود.اگر Xn,…,X2,X1 يك نمونه به حجم n از جامعه مورد بررسي باشد ميانگين هارمونيك از رابطه زير بدست مي آيد و با علامت H نمايش داده مي شود.ياپ-ميانگين هارمونيك

اسلاید 11: ت-ميانگين پيراستهاگرkتا از مشاهدات حذف شده باشند ميانگين پيراسته از رابطه زير بدست مي آيد .k<n 2- میانهویژگی ها:الف- ميانه مشاهدات را به دو بخش مساوي تقسيم مي كند.ب- منحصر به فرد است.ج- تحت تأثير داده هاي پرت قرار نميگيرد.د- محاسبه آن ساده است.

اسلاید 12: 3- نمانماي يك مجموعه عددي است كه در آن مجموعه بيش از بقيه تكرار شده باشد. چاركهاي يك مجموعه مورد بررسي عبارتست از كميتها يا مقاديري كه مجموعه را به چهار قسمت مساوي تقسيم ميكنند. محاسبه چاركها همانند ميانه مي‌باشد. 4- چارکها

اسلاید 13: شاخص های پراکندگی:1- دامنه2-واریانس3-انحراف معیار4-متغیرهای استاندارد5-ضریب تغییر یا تعیین6-انحراف چارکی7-گشتاورها

اسلاید 14: 1- دامنهR=XMAX-XMIN2-واریانسویژگی های واریانس نمونه:1-واريانس عدد ثابت C برابر با صفر است.2-اگرمقدار ثابت α رابه مشاهدات اضافه يا ازآنها كم كنيم واريانس تغيير نمي‌‌كند.3-اگر مشاهدات در مقدار ثابت K ضرب يا برآن تقسيم شود واريانس جديد از ضرب يا تقسيم واريانس قديم درK2 بدست مي آيد

اسلاید 15: 3-انحراف معیارانحراف معيار در نمونه جذر واريانس يا پراش مي باشد.µ= میانگین جامعهδ2 = واریانس جامعهو جذر آن انحراف معیار جامعه

اسلاید 16: ویژگی های متغیرهای استاندارد:1- ميانگين متغيرهاي استاندارد برابر صفر است. 2-واريانس متغيرهاي استاندارد برابر با 1 است .3- متغيرهاي استاندارد فاقد واحد اندازه گيري هستند. 4- مقدار Zi مي تواند، منفي، صفر يا مثبت باشد. 4-متغیرهای استاندارد1,2,…,n

اسلاید 17: ويژگيهاي ضريب تغيير 1- به واحد اندازه گيري بستگي ندارد.2- براي مقايسه دو صفت از يك جامعه با واحدهاي اندازه گيري متفاوت مورد استفاده قرار مي گيرد.3- مجموعه مشاهداتي كه داراي C.V كمتري است از سازگاري و همگني بيشتري برخوردار هستند. 5- ضريب تغيير يا ضريب تعيين

اسلاید 18: 6- انحراف چارکیويژگيهاي انحراف چاركي: 1- اين شاخص چون ميزان پراكندگي در اطراف مركز توزيع را نشان مي دهد از شاخص دامنه با ثبات تر است.2- اين شاخص چون شامل 25% از مشاهدات كوچك و بزرگ نيست تحت تأثير داده هاي پرت قرار نمي گيرد.3- اين شاخص براي داده هاي كلاس بندي نيز قابل محاسبه است

اسلاید 19: 7- گشتاورها1,2,…ويژگيهاي گشتاورهاي مركزي:1-m1=0 , r=1 2- r=2 3- تغيير در مبدأ يا اضافه و كم كردن مقدار ثابت به مشاهدات تغييري درmr ندارد 4-باتغيير در مقياس يا ضرب و تقسيم كردن مقدار ثابت در مشاهدات، mr در توانr ام مقدار ثابت ضرب يا تقسيم مي شود 5-

اسلاید 20: جدول توزیع فراوانیطول کلاس :محاسبه ميانگين و واريانس در جدول توزيع فراواني :.میانگین حسابیمیانگین هندسیمیانگین هارمونیکواریانس1,2,...,k

اسلاید 21: محاسبه نما در جدول توزيع فراواني محاسبه ميانه در جدول توزيع فراوانيمحاسبه چارك ها در جدول توزيع فراواني

اسلاید 22: نمودارها:1-نمودار نقطه ای2- نمودار دایره ای3-نمودار میله ای4- نمودار مستطیلی5- نمودار چندضلعی فراوانی6- نمودار چند ضلعی تجمعی

اسلاید 23: چولگيمعيارهاي محاسبه ميزان چولگي عبارتند از: 1- ضريب چولگي پيرسن2- ضريب چولگي بر اساس گشتاور مركزي مرتبه سومبرجستگيویژگی های برجستکی:1- مستقل از واحد2-k=0 ميزان برجستگي صفر است و منحني چندضلعي فراواني بر منحني نرمال منطبق است.3-k>0 منحني چندضلعي فراواني در مقايسه با منحني نرمال داراي برجستگي است. 4-k<0 منحني چندضلعي فراواني در مقايسه با منحني نرمال داراي پخي است.

اسلاید 24: كدگذاريكدگذاري مجموعه اي داده ها عبارت از عملياتي است كه طي آن از هر مشاهده عدد ثابتي را كم (اضافه) كرده و نتيجه را بر عدد ثابتي تقسيم (ضرب) مينمايند. جامعه آماري دوبعدي

اسلاید 25: بسم الله الرحمن الرحيم

اسلاید 26: فصل دوماحتمال

اسلاید 27: دراین فصل مسائل زیر بررسی می شود:11- دو پیشامد12- فرمول بیز1- فضای نمونه2- پیشامد3- شمارش4- اصول شمارش5- جایگشت6- ترکیب7- احتمال8- تابع احتمال9- قوانین احتمال10- احتمال شرطی

اسلاید 28: 1- فضای نمونه:مجموعه اي از همه برآمدهاي ممكن يك تجربه تصادفي را فضاي نمونه مي‌گويند. و آن را با علامت نمايش مي دهند. يك سكه را آنقدر پرتاب مي كنيم تا شير ظاهر شود. فضاي نمونه را بنويسيد.كه S گسسته و نامتناهي شمارا است2- پیشامد:هر زير مجموعه اي از فضاي نمونه را يك پيشامد گويند.2-1 رخداد یک پیشامد2-2 دو پیشامد ناسازگار2-3 تفاضل پیشامد A از B

اسلاید 29: 3- شمارشتعيين تعداد عناصر يك فضاي نمونه متناهي به وسيله شمارش مستقيم، واقعاً مشكل يا لااقل خسته كننده است. فرض كنيد كار X با m طريق به نامهای Xm,…,X2,X1 و كارY با N طريق به نامهاي Yn,…,Y2,Y1قابل انجام باشند. اصول شمارش عبارتند از:3-1 اصل اول شمارش : اگر انجام كارZ منوط به انجام كار X يا Y باشد آنگاه كار Z را مي توان بهm+n طريق Xm,…,X2,X1 و Yn,…,Y2,Y1 با نامهاي انجام داد. 3-2 اصل دوم شمارش : اگر انجام كارZ منوط به انجام كار X يا Y باشد آنگاه كار Z را مي توان به m×n طریق زیر انجام داد:4-اصول شمارش

اسلاید 30: 5-جایگشتمثال: چند عدد زوج سه رقمي از ارقام 1، 2، 5، 6 و 9 مي توان نوشت به طوريكه هر رقم فقط يك بار استفاده شود؟از اينكه اعداد زوج باشد، براي رقم يكان فقط دو انتخاب وجود دارد پس كل طرق برابر است با 24=342 .ترتيبي از مجموعه n شيء با آرايش معين جايگشت اشياء خوانده مي شود 4-1 جایگشت nشی ء متمایز4-2 جایگشت r تایی n شی ء متمایز4-3 جایگشت r تایی n شی ء متمایز با تکرار4-4 جایگشت با اشیاء مکرر4-5 جایگشت n شیء متمایز در محیط دایرهn(n-1)(n-2)×…×2×1-n!n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

اسلاید 31: 6- ترکیبهرگاه در جايگشت، آرايش و نظم اشيا كنار هم مورد توجه نباشد آن را تركيب گويند. 5-1 ترکیب r تایی n شیء متمایز5-2 ترکیب r تایی n شیء با تکرار اشیاء 7- احتمالمفهوم كلاسيك: مفهوم فراواني :احتمال يك پيشامد برابر با نسبت دفعاتي است كه پيشامدهاي از يك نوع در تكرار زياد رخ خواهند داد، احتمال به مفهوم فراواني تلقي مي شود. تعداد حالات مساعدتعداد حالات كل

اسلاید 32: 8- تابع احتمالتابعي را كه به هر پيشامد عددي در بازه (1،0) نسبت دهد و در سه اصل زير صدق كند تابع احتمال گويند .اصل اول: احتمال هر پيشامد بزرگتر يا مساوي صفر است.اصل دوم: احتمال فضاي نمونه S برابر با 1 مي باشد.اصل سوم: 1

اسلاید 33: 9- قوانین احتمالقضيه 9-1 اگر  مجموعه تهي باشد آنگاه =0()P برهان: مي دانيم  =S SوS و  دو مجموعه مجزا هستند. يعني=    Sطبق اصل دوم و سوم.قضیه 9-2 اگر AC متمم پیشامد Aباشد آنگاه P(AC)=1-P(A) برهان: می دانیم و پس:

اسلاید 34: قضیه 9-3 اگر باشد آنگاه .برهان: اگر باشدB را مي توان به صورت دو پيشامد مجزايA و نوشت. طبق اصل اول احتمال است. اگر آن را از طرف راست رابطه اخير حذف كنيم نتيجه مي شود: قضیه 9-4 اگر A یک پیشامد باشد آنگاه 0≤P(A)≤1برهان: چون S طبق قضیه 9-3 داریم: 0≤P(A)≤1

اسلاید 35: قضیه9-5 اگرA ، B دو پيشامد دلخواه در S باشند آنگاهبرهان: پيشامد A را مي توان به دو پيشامد مجزاي و تجزيه كرد قضیه9-6 اگرA ، Bدو پيشامد دلخواه در S باشند آنگاهبرهان: پيشامد را مي توان به دو پيشامد مجزاي و B تجزيه كرد. طبق قضیه 9-5

اسلاید 36: قضیه9-8 اگر A ، B وC پيشامدهاي دلخواه در S باشند آنگاه:10- احتمال شرطیاحتمال شرطي پيشامد A به شرط وقوع پيشامد B به صورت زير تعريف مي‌شودنکته10-1 اگر از نتيجه مي شود كه:

اسلاید 37: نکته 10-2اگر باشد نتيجه مي شود كه در اين صورت . تعريف نشده است. نکته 10-3 اگر پيشامدهاي A1 ، A2، ... ، Ak دوبه دو مجزا باشند. احتمال شرطي . به شرط B برابر با: 11- دو پيشامد مستقلدو پيشامد Aو B را مستقل گوييم، اگر رخ داد يكي تأثيري در ديگري نداشته باشد. يعني , بنابراين A و B مستقل اند اگر :

اسلاید 38: قضیه 11-1 اگر دو پيشامد A و Bمستقل باشند آنگاهA و B نيز مستقل اند.برهان: قضیه 11-2 پيشامدهاي A1 ، A2 ، ...، Ak مستقل اند اگر و تنها اگر احتمال اشتراك هر 2، 3، ...، kتا از اين پيشامدها مساوي حاصلضرب احتمالهاي مربوطه به هر پيشامد باشد.براي استقلال سه پيشامد 1 A، 2 A و 3 Aلازم است كه :

اسلاید 39: قضیه 11-3 اگر احتمال وقوع پيشامد 1 AبرابرP1و احتمال وقوع پيشامد 2 Aبرابر 2 Pو دو پيشامد 1 Aو 2 A مستقل باشند آنگاه احتمال اينكه فقط يكي از آنها اتفاق بيفتد برابر است با: برهان: رخداد پيشامد A1برابر با رخ داد پيشامد A1اشتراكش با A2و رخداد پيشامد A2برابر با رخداد پيشامد 2 Aاشتراكش با Ac1 است. پس: چون A1 و A2مستقل اند و مجزا هستند

اسلاید 40: قضیه 11-4 (قانون جمع احتمالات) فرض كنيد پيشامدهاي A1 ، A2 ، ...،Ak پيشامدهاي دو به دو مجزا از هم و اجتماع آنها S باشد وA يك پيشامد دلخواه از S باشد آنگاه:برهان:پيشامدهاي طرف راست رابطه اخير دوبه دو مجزا هستند. طبق اصل سوم

اسلاید 41: 12 - فرمول بيزاگر پيشامدهاي A1 ،A2 ، ...، Ak دو به دو مجزا و باشد احتمال شرطي هريك ازA ها به شرط اتفاق پيشامد A از S برابر با: با توجه به فرمول قضیه 11-4

اسلاید 42: بسم الله الرحمن الرحيم

اسلاید 43: توزيع متغيرهاي تصادفيفصل سوم

اسلاید 44: در این فصل مسائل زیر بررسی می شود:9- استقلال دو متغیر تصادفی10- امید ریاضی11- گشتاورها12- ضریب همبستگی دو متغیر تصادفی13- چولگی و برجستگی در جامعه14- تابع مولد گشتاورها15- نامساوی مارکف و چبیشف 1- متغیر تصادفی2- متغیر تصادفی گسسته3- متغیر تصادفی پیوسته4- تابع توزیع F(x)5- تابع احتمال و تابع توزیع توام دو متغیر تصادفی6- تابع توزیع توام7- تابع چگالی احتمال و تابع توزیع حاشیه ای8- تابع چگالی احتمال و تابع توزیع شرطی

اسلاید 45: 1- متغیر تصادفی با فرض اينكه هر تجربه تصادفي داراي فضاي نمونه S باشد با تدوين يك قانون يا مجموعه اي از قوانين مي‌توان اعضاي فضاي نمونه را به وسيله اعداد يا زوج اعداد (X1,X2) يا به طور كلي تر با nگانه مرتب اعداد (X1,X2,…,Xn)افراز كرد. 2- متغیر تصادفی گسسته فرض كنيد متغير تصادفي X داراي فضاي نمونه يك بعدي A باشد. به طوري كه A گسسته و شمارا باشد. هرگاه بتوان تابع احتمال A)P(A) (Aرا برحسب تابع ƒ(X) به شكل زير تعريف كرد:

اسلاید 46: به طوري كه ƒ(X) در دو شرط زير صدق كند. 1- 2- Xرا متغير تصادفي از نوع گسسته و ƒ(X) را تابع احتمال يا پخش گسسته X گويند. 3- متغیر تصادفی پیوسته فرض كنيد متغير تصادفي X داراي فضاي نمونه يك بعدي A باشد. به طوري كه A پیوسته و بازه از اعداد حقیقی باشد. هرگاه بتوان تابع احتمال A)P(A) (Aرا برحسب تابع ƒ(X) به شكل زير تعريف كرد:

اسلاید 47: تابع توزيع متغيرهاي تصادفي از نوع گسسته و پيوسته به ترتيب به صورت زير تعريف مي شوند. خواص تابع توزيع (گسسته يا پيوسته): 1- یا 2- F(x) يك تابع غير نزولي است. 3- و4- F(x) در هر نقطه x از راست پيوسته است.F(x)4- تابع توزیع

اسلاید 48: 5-6-كه درآن F(X-) حد چپ F(X) در نقطه x است. 7-8- الف: در متغير پيوسته یا ب: در متغير گسستهکه در آن

اسلاید 49: مثال: اگر متغير تصادفي پيوسته X داراي تابع توزيع F(X) باشد تابع چگالي احتمال آن را بدست آوريد. همانطور كه ملاحظه مي كنيد F(X) از راست پيوسته است چون: F(1)=0

اسلاید 50: 5 - تابع احتمال و تابع توزيع توام دو متغير تصادفي فرض كنيد متغيرهاي تصادفي X و Y داراي فضاي دوبعدي A باشد. به طوري كهA گسسته و شمارا باشد. هرگاه بتوان تابع احتمال P(A)را برحسب تابع ƒ(x,y) به شكل زير تعريف كردبه طوري كه ƒ(x,y) در دو شرط زير صدق كند.1-2-(X,Y) را متغيرهاي تصادفي توام از نوع گسسته و ƒ(x,y) را تابع چگالي احتمال يا پخش توام گسسته گويند.

اسلاید 51: و براي حالتي كه X و Y متغيرهاي تصادفي از نوع پيوسته اند، مي توان تابع چگالي احتمال ƒ(x,y) را روي همه صفحه تعريف كرد. تابع دومتغيره ƒ(x,y) را تابع چگالي احتمال توام متغيرX و Yگوييم اگر و تنها اگر براي هر ناحيه A از صفحه xy و ƒ(x,y) همواره در دو شرط زير صدق نمايد.1-2-

اسلاید 52: 6- تابع توزيع توام اگر X و Y متغيرهاي تصادفي با تابع چگالي احتمال توام ƒ(x,y) باشند تابع توزيع يا تابع توزيع تجمعي توام X و Y در حالت گسسته و پيوسته به ترتيب به صورت زير تعريف مي شود. تبصره: محاسبه احتمال (Y,X) روي A به طوري كه از فرمول زیر محاسبه می شود:

اسلاید 53: 7- تابع چگالي احتمال و تابع توزيع حاشيه اي فرض كنيد دو متغير تصادفي X و Y داراي تابع چگالي احتمال توام ƒ(x,y) باشند و بخواهيم احتمال پيشامد را حساب كنيم. محاسبه احتمال پيشامد براي دو متغير تصادفي X و Y با تابع چگالي احتمال توام ƒ(x,y) هم ارز است با محاسبه احتمال پيشامد )، ) پسمحاسبه احتمال رابطه اخير در حالت گسسته و پيوسته به ترتيب برابرند با:

اسلاید 54: اگر تعريف كنيم: تابع هاي و را به ترتيب تابع توزيع حاشيه اي در حالت گسسته و پيوسته گويند. با معلوم بودن تابع توزيع حاشيه‌اي، تابع چگالي احتمال حاشيه اي براي متغيرهاي گسسته و پيوسته به ترتيب از رابطه هاي زير بدست مي آيند.تابع حاشيه اي Xدر حالت گسسته تابع حاشيه اي Yدر حالت گسسته تابع حاشيه اي X در حالت پيوسته

اسلاید 55: تابع حاشيهاي Y در حالت پيوسته اگر تابع چگالي احتمال توام ƒ(x,y) معلوم باشد تابع چگالي احتمال حاشيه اي X و Yبراي حالت گسسته و پيوسته به ترتيب از روابط زير بدست مي آيند.يادآوري مي شود كه هريك از توابع چگالي حاشيه اي X و Y به نوبه خود تابع چگالي احتمال مي باشند و در تمام شرايط تابع چگالي بودن صدق مي كنند.

اسلاید 56: 8 - تابع چگالي احتمال و تابع توزيع شرطي فرض كنيد دو متغير تصادفي X و Y از نوع گسسته، داراي تابع احتمال توام ƒ(x,y) ، تابع هاي چگالي احتمال حاشيه اي ƒx(x)، ƒy(y) و فضاي نمونه A باشند. دو پيشامد A1و A2را به صورت زير درنظر مي گيريم. می دانیم که:

اسلاید 57: احتمال شرطي پيشامد A1 به شرط A2 برابر است با:اگر تعریف کنیم:آنگاه تابع احتمال شرطي x1 به شرط y1برابر است با: براي سادگي تابع احتمال X به شرط Y را به صورت زير تعريف مي كنيم.

اسلاید 58: و تابع احتمال Y به شرط X را به صورت ƒ(y|x)تعريف مي كنيم.در حالتي كه متغيرهاي تصادفي X و Y پيوسته باشند از همين نماد استفاده مي‌كنيم.يادآوري مي شود كه تابع چگالي احتمال شرطي نيز به نوبه خود يك تابع چگالي احتمال است و در تمام شرايط چگالي بودن صدق مي كند.

اسلاید 59: 9 - استقلال دو متغير تصادفي فرض كنيد دو متغير تصادفي X و Y داراي تابع چگالي احتمال توام ƒ(x,y) ، توابع چگالي حاشيه اي ƒx(x)، ƒy(y) ، و توابع چگالي احتمال شرطي ƒ(x|y) وƒ(y|x) باشند. گوييم دو متغير تصادفي X و Y به طور احتمالي مستقل اند اگر:يا تابع چگالي احتمال شرطي X به شرط Y مستقل از Y باشد يا تابع چگالي احتمال شرطيY به شرط X مستقل از X باشد. يا:

اسلاید 60: 10 - اميد رياضي اگر متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال ƒ(x) باشد. اميد رياضي در حالت گسسته و پيوسته به ترتيب به صورت زير تعريف مي شود.در ادبيات آماري اميد رياضي را معمولاً با μ نمايش مي دهند.

اسلاید 61: ويژگيهاي اميد رياضي 1- اميد رياضي مقدار ثابت برابر با خودش است. 2- 3- 4- اگر X و Y مستقل از هم باشند.

اسلاید 62: 11 - گشتاورها اگر متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال ƒ(x)و α يك عدد ثابت حقيقي باشد گشتاورهاي مرتبه rام حول نقطه α در جامعه در حالت گسسته و پيوسته به ترتيب به صورت زير تعريف مي شود.در ادبيات آماري، معمولاً گشتاورهاي حول نقطه ميانگين جامعه μ) (را گشتاورهاي مركزي مي گويند و با نماد μr نمايش مي دهند.

اسلاید 63: 11-1 واريانس اگر در فرمول گشتاورهاي مركزي r برابر با 2 درنظر گرفته شود واريانس جامعه بدست مي آيد و معمولاً آن را با نماد2 يا V(X) نمايش مي دهند. باتوجه به خواص عملگر E مي توان واريانس X را به صورت زير تعريف كرد.

اسلاید 64: 11-2 ويژگيهاي واريانس 1- واريانس مقدار ثابت صفر است. 2- 3- 4- 5- جذر واريانس را انحراف معيار گويند. براي نمونه ويژگي 3 را مي توان به صورت زير ثابت كرد.

اسلاید 65: 11-3 كوواريانس دو متغير تصادفي اگر متغيرهاي تصادفي X و Y داراي تابع چگالي احتمال توام ƒ(x,y) باشند كوواريانس آنها به صورت زير تعريف مي شود. كه μx و μy به ترتيب اميد رياضي X و Y مي باشند. رابطه بالا را مي توان به صورت زير نيز نوشت: قضیه 11-3-1اگر دو متغير X و Y مستقل باشند آنگاه: قضیه 11-3-2اگر X و Y داراي تابع چگالي احتمال توام ƒ(x,y) باشند آنگاه:

اسلاید 66: 12- ضريب همبستگي دو متغير تصادفي ضريب همبستگي دو متغير تصادفي X و Y را در جامعه با  نمايش مي دهند و به صورت زير تعريف مي شود. 12-1 ويژگيهاي ضريب همبستگي: 1- همواره و مستقل از واحد اندازه گيري است.2- هنگامي كه 1= است همبستگي دو متغير X و Y شديد و هم سو است. 3- هنگامي كه 1- =  است همبستگي دو متغير X وY شديد و خلاف هم است. 4- هنگامي كه  در همسايگي صفر است همبستگي دو متغير ضعيف است.

اسلاید 67: 5- باتوجه به مقدار  ، نمودار پراكنش X و Y به صورت زير دسته بندي مي‌شود6-يعني اگر متغيرهاي X و Y را در مقدار ثابت ضرب كنيم و مقدار ثابت به آنها اضافه كنيم تغييري در همبستگي ايجاد نمي شود. =-1=0=1

اسلاید 68: 13 - چولگي و برجستگي در جامعه در آمار توصيفي ميزان چولگي و برجستگي را به ترتيب از فرمولهاي زير محاسبه كرديم. ميزان چولگي و برجستگي در جامعه به ترتيب از فرمولهاي زير محاسبه مي شود :

اسلاید 69: 14 - تابع مولد گشتاورها اگر متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال ƒ(x) باشد تابع مولد گشتاورها در حالت گسسته و پيوسته به ترتيب به صورت زير تعريف مي شود.بطوری که |t|<h. تابع مولد گشتاورها تعريف خاصي از اميد رياضي است. اگر h(X)=etx تعريف شود E[h(X)]همان تعريف تابع مولد گشتاورها است و در مواقعي كه محاسبه E(Xr) براي بعضي از توزيع ها وقت گير است از MX(t) استفاده مي شود.

اسلاید 70: از MX(t) نسبت به t مشتق هاي متوالي مي گيريم.پس از r بار مشتق گيريبراي t=0در مشتق rام14-1 ويژگيهاي تابع مولد گشتاورها

اسلاید 71: 15- نامساوي ماركف و چبيشف 15-1 نامساوی مارکف فرض كنيد متغير تصادفي X داراي فضاي مفروض A باشد به طوري كه اعضاي A همه مثبت باشند و α يك عدد بزرگتر از صفر باشد. نامساوي ماركف را تحت قضيه زير بيان مي كنيم. قضیه15-1 اگر متغير تصادفي X داراي فضاي A باشد و E(X) موجود باشد آنگاه همواره:برهان: تابع اشاره I(X) را به صورت زير تعريف مي كنيم. چون 0≤x است پس:

اسلاید 72: 15-2 نامساوي چبيشفاز طرفين رابطه اخير اميد رياضي مي گيريم: اگر متغير تصادفي X داراي ميانگين μ و واريانس 2 باشد آنگاه براي هر k>0اثبات:اگرk2را برابر α و (X- μ )را Xفرض كنيم شرايط ماركف تأمين مي شود و

اسلاید 73: اهميت نامساوي ماركف و چبيشف در اين است كه ما را قادر مي سازد با معلوم بودن ميانگين و واريانس جامعه، كرانهاي بالا و پايين را براي مقادير مختلف احتمال بدست آوريم، گرچه فرم تابع چگالي احتمال معلوم نيست.مثال:فرض كنيد تعداد محصولات توليد شده در يك كارخانه در طول هفته يك متغير تصادفي با ميانگين 50=μ و واريانس 25=2 باشد. مطلوبست:الف- احتمال اينكه توليد محصول در يك هفته معين بيش از 75 باشد.ب- احتمال اينكه محصول يك هفته معين بين 40 و 60 باشد.

اسلاید 74: بسم الله الرحمن الرحيم

اسلاید 75: فصل چهارمتوزيع هاي احتمال خاص

اسلاید 76: در این فصل مسائل زیر بررسی می شود:1- توابع احتمال خاص گسسته2- توابع چگالي احتمال خاص پيوسته

اسلاید 77: 1 - توابع احتمال خاص گسسته در اين بخش توابع احتمال يكنواخت، برنولي، دوجمله اي، دو جمله اي منفي، هندسي، فوق هندسي، پواسن، سري لگاريتمي و سري لگاريتمي ماركف با ارائه الگو معرفي مي شود.

اسلاید 78: 1-1 تابع احتمال يكنواخت متغير تصادفي X داراي تابع احتمال يكنواخت با پارامتر k است اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد:الگو: جعبه اي شامل صفحه كليد با شماره هاي 1 تا k است. اگر هم شانس بودن را براي همه شماره ها يكسان درنظر بگيريم و تعريف كنيم Xشماره صفحه كليد خارج شده آنگاه X داراي تابع چگالي احتمال يكنواخت گسسته است

اسلاید 79: 1-2 تابع احتمال برنولي متغير تصادفي X داراي تابع احتمال برنولي با پارامتر (شانس) Pاست اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. الگو: جعبه اي شامل صفحه كليدهايي از نوع دست دوم و نو با نسبت هاي P-1 و P است. يك صفحه كليد به تصادف از جعبه خارج كنيم و اگر متغير X را به صورت زير تعريف كنيم: آنگاه X داراي تابع برنولي است.اگر صفحه كليد خارج شده دست دوم باشد اگر صفحه كليد خارج شده نو باشد

اسلاید 80: 1-3 تابع احتمال دو جمله ايمتغير تصادفي X داراي تابع احتمال دوجمله اي با پارامترها n و p است. اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد.الگو: جعبه اي شامل صفحه كليدهاي از نوع دست دوم و نو با نسبت هايp و p-1 است. از اين جعبه در شرايط يكسان و به تصادف n صفحه كليد يكي يكي و با جايگذاري خارج مي كنيم و اگر تعريف كنيمX : تعداد صفحه كليدهاي نو خارج شده آنگاه Xداراي توزيع دوجمله اي است.

اسلاید 81: 1-3-1 ويژگيهاي توزيع دو جمله اي 1- 2- داراي نماي منحصر به فرد است. تابع چگالي احتمال دو جمله اي همان تابع احتمال برنولي است. n=13-برای است.np(1-p) و واریانس np4- دارای میانگین 5- را محاسبه کردF(x) می توان از جدول ضمیمه 1 مقدار p وn6- براي مقادير مختلف

اسلاید 82: 1-4 تابع احتمال دو جمله اي منفي (پاسكال) متغير تصادفي X داراي تابع احتمال دو جمله اي منفي با پارامتر r و p است اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد. 1-4-1 ويژگيهاي توزيع دو جمله اي منفي 1-2-دارای میانگین و واریانس است.

اسلاید 83: 1-5 تابع احتمال هندسي متغير تصادفي X داراي تابع احتمال هندسي با پارامتر p است اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد. 1-5-1 ويژگيهاي توزيع هندسي 1- اين توزيع فاقد حافظه است يعني 2- داراي ميانگين و واريانس است.3-

اسلاید 84: 1-6 تابع احتمال فوق هندسي متغير تصادفي X داراي تابع احتمال فوق هندسي با پارامترهاي N،kوn است اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد. 1-6-1 ويژگيهاي توزيع فوق هندسي 1-2- Nيك عدد صحيح مثبت، k يك عدد صحيح نامنفي (k≤N)و n يك عدد نامنفي و حداكثر برابر با N است. 3-داراي ميانگين و واريانس است.

اسلاید 85: 1-7 تابع احتمال پواسن متغير تصادفي X داراي تابع احتمال پواسن با پارامتر λ است اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد. 1-7-1 ويژگيهاي توزيع پواسن1- 2- داراي نماي منحصر به فرد است.3- داراي ميانگين λ و واريانس λ است.4- براي مقادير مختلف λ مي توان از جدول ضميمه (2) مقدار F(x) را محاسبه كرد

اسلاید 86: 1-8 تابع احتمال سري لگاريتمي متغير تصادفي X داراي تابع احتمال سري لگاريتمي با پارامتر  است اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد. 1-9 تابع احتمال سري لگاريتمي ماركف متغير تصادفي X داراي تابع احتمال سري لگاريتمي ماركف با پارامترهاي و  است اگر تابع احتمال آن به صورت زير باشد.

اسلاید 87: 1-9-1 ويژگيهاي سري لگاريتمي ماركف 1- براي -1= توزيع سري لگاريتمي ماركف به توزيع سري لگاريتمي تبديل مي شود.2- داراي ميانگين است. مثال: طول نوبت بارندگي داراي توزيع سري لگاريتمي ماركف با 63/0= و 3/0 = است مطلوبست:الف- احتمال اينكه طول نوبت بارندگي برابر با 1 باشد. ب- احتمال اينكه طول نوبت بارندگي حداكثر 2 باشد.

اسلاید 88: 2 - توابع چگالي احتمال خاص پيوسته در اين بخش توابع چگالي احتمال يكنواخت، نرمال، نرمال استاندارد، نمايي، گاما، كي‌دو، بتا، استودنت و فيشر ارائه مي شود.

اسلاید 89: 2-1 تابع چگالي احتمال يكنواخت (مستطيلي) متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال يكنواخت با پارامترهاي α و b است اگر تابع چگالي آن به صورت زير باشد. 2-1-1 ويژگيهاي تابع چگالي احتمال يكنواخت 1- نمودار x))ƒ براي به صورت زير است. 0 α b x2- تابع توزيع F(x) برابر است با:

اسلاید 90: 3- داراي ميانگين و واريانس است.4- براي 0=α ، 1=b تابع ƒ(х)را روي بازه (1،0) گويند و آن را به صورت زير تعريف مي كنند.كه را تابع نشانگر گويند.ذكر اين نكته ضروري است كه تابع توزيع هر متغير تصادفي همانند 0<u<1و F(u) عمل مي كند چون ، پس u=F(x) است. از اين خاصيت در آمار براي شبيه سازي متغيرهاي تصادفي استفاده ميكنند.

اسلاید 91: 2-2 تابع چگالي احتمال نرمال متغير تصادفي نرمال يكي از توزيع هاي مهم آماري در حالت پيوسته است. متغير تصادفي X داراي توزيع نرمال با ميانگين μ و واريانس 2است اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. μ و 2 پارامترهاي توزيع نرمال هستند.

اسلاید 92: 2-2-1 ويژگيهاي توزيع نرمال 1- اين توزيع نسبت به محور y=μ داراي تقارن است.2- 3- 4- براي μ=0 و 2=1، توزيع نرمال را توزيع نرمال استاندارد گويند. μ5/05/0

اسلاید 93: 2-3 توزيع نرمال استاندارد متغير تصادفي Z داراي توزيع نرمال استاندارد است اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. همانطور كه ملاحظه مي كنيد اين توزيع فاقد پارامتر است و براي راحتي متغير نرمال استاندارد را با Z نمايش مي دهند. در حقيقت Z همان متغير X است با ميانگين صفر و واريانس يك.مقادير مختلف F(x)را مي توان با توجه به ويژگي Z از جدول ضميمه (3) بدست آورد كه .متغير تصادفي نرمال استاندارد نسبت به محور داراي تقارن است. يعني:

اسلاید 94: 2-4 تابع چگالي احتمال نمايي متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال نمايي با پارامتر  است اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. توزيع نمايي كاربردهاي مهمي دارد. از جمله در مدلهاي صف بندي، مي توان نشان داد كه زمان انتظار مابين ورودي هاي متوالي از توزيع نمايي پيروي مي كند 2-4-1 ويژگيهاي توزيع نمايي 1- 2- فاقد حافظه است.3- داراي ميانگين  و واريانس 2 است.4- اگر u داراي توزيع يكنواخت روي (10,) باشد آنگاه –ln(u) داراي توزيع نمايي با 1= است.

اسلاید 95: 2-5 تابع چگالي احتمال گاما متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال گاما با پارامترهاي  و  است اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. حالت خاص: براي =1، = توزيع گاما به توزيع نمايي تبديل مي شود. تابع چگالي احتمال گاما باتوجه به ويژگي تابع گاما تعريف مي شود. چون:

اسلاید 96: 2-5-1 ويژگيهاي توزيع گاما 1-2- داراي ميانگين  و واريانس 2 است.مثال : در يك شهر مصرف برق روزانه داراي توزيع گاما با 3= و 2= است. اگر ظرفيت روزانه 12 ميليون كيلووات ساعت باشد. احتمال اينكه برق موجود براي يك روز كافي باشد چقدر است؟

اسلاید 97: 2-6 تابع چگالي احتمال كي‌دو متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال كي‌دو با پارامتر r است اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. توزيع كي دو حالت خاص توزيع گاما است 1- rرا درجه آزادي توزيع گويند.2- داراي ميانگين r و واريانس 2r است.3-4- مقادير مختلف F(x) را مي توان براي مقادير مختلف r از جدول ضميمه (5) بدست آورد.2-6-1 ويژگيهاي توزيع كي دو

اسلاید 98: 2-7 تابع چگالي احتمال بتا متغير تصادفي X داراي تابع چگالي احتمال بتا با پارامترهاي  و  است اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. 2-7-1 ويژگيهاي توزيع بتا 1- 2- برای 1= و 1= توزيع بتا به توزيع يکنواخت پيوسته تبديل می شود.3- دارای ميانگين و واريانس است.

اسلاید 99: 2-8 تابع چگالي احتمال استودنت (توزيعt ) متغير تصادفي X داراي توزيع t با پارامتر r است اگر تابع چگالي احتمال آن به صورت زير باشد. كه r را درجه آزادي توزيع t گويند.2-8-1 ويژگيهاي توزيع t :1- 2- براي 1> rداراي ميانگين صفر و براي 2> rداراي واريانس است.3- در توزيع استودنت اگر درجه آزادي r از حد تصور بزرگتر باشد توزيع، بر توزيع نرمال استاندارد منطبق مي شود.4- مقادير مختلف F(x) براي مقادير مختلف درجه آزادي r از جدول ضميمه (4) قابل محاسبه است.

اسلاید 100: 2-9 تابع چگالي احتمال فيشر متغير تصادفي X داراي توزيع فيشر با پارامترهاي r1و r2 است، اگر تابع چگالي آن به صورت زير باشد كه r1و r2 به ترتيب درجه آزادي صورت و مخرج خوانده ميشود براي مقادير مختلفr1و r2 مقادير مختلف F(x) از جدول ضميمه (6) قابل محاسبه است.

اسلاید 101: بسم الله الرحمن الرحیم

اسلاید 102: فصل پنجمتوزیع های نمونه گیری

اسلاید 103: در این فصل مسائل زیر بررسی می شود:7- توزیع واریانس نمونه8- توزیع t9- توزیع نسبت واریانس دو نمونه1- برآوردگر2- توزیع مشترک3- توابع خطی از متغیرهای تصادفی مستقل4- توزیع میانگین5- قضیه حد مرکزی6- تقریب نرمال برای توزیع دو جمله ای

اسلاید 104: ا- برآوردگرهر تابعي از نمونه را كه به پارامتر يا پارامترهاي جامعه بستگي نداشته باشد برآوردگر يا آماره گويند. چون مقدار برآوردگر از نمونه اي به نمونه ديگر تغيير مي‌كند متغيري است تصادفي. مقدار عددي آماره يا برآوردگر را برآورد گويند.1-1 ويژگيهاي برآوردگر كارا1- نااريب باشد.2- داراي كمترين واريانس باشد.

اسلاید 105: 2 - توزيع مشترك فرض كنيد متغير تصادفي گسسته X داراي تابع احتمال ƒ(x)=p(X=x) باشد وXn,…,X2,X1 نمونه هاي تصادفي مستقل از هم باشند. اگر xn,…,x2,x1 مقادير متناظر مشاهده براي Xn,…,X2,X1 باشند. پيشامدهاي Xn=xn,…,X2=x2,X1=x1به طور مجزا از هم مستقل اند و احتمال توام آنها برابر است با:P[X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn]=P(X1=x1)P(X2.x2)…P(Xn=xn)اگر از نماد ƒ(x1,x2,…,xn) به جای P[X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn] استفاده کنیم:ƒ(x1,x2,…,xn)=ƒ(x1) ƒ(x2) … ƒ(xn)=براي 2=n ،ƒ(x1,x2)=ƒ(x1) ƒ(x2)تابع چگالي احتمال توام X1 و X2 مي‌باشد. در حالتي كه متغير تصادفي X از نوع پيوسته است تابع چگالي مشترك يا توام را با ƒ(x1,x2,…,xn) نيز نمايش مي دهند.

اسلاید 106: 3 - توابع خطي از متغيرهاي تصادفي مستقل فرض كنيد Xn,…,X2,X1 نمونه تصادفي مستقل با توزيع مشترك ƒ(x1,x2,…,xn) باشند. يك تابع خطي يا آماره را مي توان در حالت كلي به صورت زير تعريف كرد. كه که αi ها مقادير ثابت هستند.اگر X1 و X2به ترتيب داراي ميانگين هاي μ1 و μ2 و واريانسهاي 12، 12 باشند. ميانگين و واريانس Y به طريق زير محاسبه ميشود:

اسلاید 107: 4 - توزيع ميانگين در آمار توصيفي، ميانگين نمونه تصادفي به صورت تعريف شده بود. در اين بخش، توزيع را باتوجه به توزيع جامعه اي كه نمونه از آن گرفته شده بدست مي آوريم.

اسلاید 108: قضيه 4-1 اگر Xn,…,X2,X1 نمونه هاي مستقل و هم توزيع از جامعه اي با ميانگينμ و واريانس 2 باشند آنگاه ميانگين نمونهXداراي ميانگين μ و واريانس است.برهان: چون يك تركيب خطي از Xi هاست، پس: تابعي از Xi هاست و به پارامترهاي جامعه μ و 2 بستگي ندارد. يك آماره نااريب و داراي كمترين واريانس است.

اسلاید 109: قضيه 4-2 اگر Xn,…,X2,X1 يك نمونه تصادفي n تايي از جامعه نرمال با ميانگينμ و واريانس 2 باشند آنگاه داراي توزيع نرمال با ميانگين μ و واريانس است.برهان: است. تابع مولد گشتاورهاي آن برابر است با:

اسلاید 110: چون Xi ها مستقل و هم توزيع اند. تابع مولد گشتاورهاي متغير تصادفي نرمال با ميانگين و واريانس است.از اينكه يك تركيب خطي از ها و ها از هم مستقلاند، اميد رياضي و واريانس مستقيماً به صورت زير نيز محاسبه مي شود. لم 4-3 اگر شرايط قضيه 4-2 برقرار باشد متغير داراي توزيع نرمال استاندارد است.

اسلاید 111: 5 - قضيه حد مركزي اگر ميانگين نمونه تصادفي Xn,…,X2,X1 از توزيعي (جامعه اي) با ميانگين μ و واريانس متناهي2< باشند آنگاه توزيع متغير تصادفي ميل مي كند به توزيع نرمال استاندارد اگراين قضيه با استفاده از تابع مولد گشتاورها به راحتي اثبات مي شود. 6- تقريب نرمال براي توزيع دوجمله اي در توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p براي nهاي بزرگ محاسبه احتمال گاهي اوقات با استفاده از جدول ضميمه (1) خسته كننده و گاهي ممكن است جدولي با چنين nاي در دسترس نباشد.

اسلاید 112: مي دانيم اگر Y داراي توزيع دوجمله اي باشد، مي توان Yرا به صورت جمعي از متغيرهاي برنولي يعني نوشت كه Xiها متغيرهاي برنولي با ميانگين p و واريانس-p(1-p)مي باشند و مقاديري كه Yاختيار مي كند اعداد صحيح 0، 1، 2، ...،n است.متغير Y را كه از نوع گسسته است مي توان با توجه به نتيجه قضيه حد مركزي به وسيله متغير نرمال استاندارد تقريب زد. احتمال پيشامد Y=kرا مي توان به صورت زير تقريب زد.

اسلاید 113: كه تابع (t) برابر است با:

اسلاید 114: 7 - توزيع واريانس نمونه واريانس نمونه nتايي در آمار توصيفي به صورت تعريف شده بود. اكنون براي نااريب بودن، آن را به صورت تعريف مي‌كنيم. قضيه 7-1 اگر متغير Z داراي توزيع نرمال استاندارد باشد آنگاه Z2 داراي توزيع كي‌دو با يك درجه آزادي است.برهان: با استفاده از تابع مولد گشتاورهابرای متغیر Zبرای متغیر Z2

اسلاید 115: با فرضقضيه 7-2 اگر متغيرهاي مستقل Zn,…,Z2,Z1 داراي توزيع نرمال استاندارد باشند آنگاه داراي توزيع كي‌دو با n درجه آزادي است.اثبات اين قضيه با استفاده از تابع مولد گشتاورها آسان است كه در اينجا بدون اثبات مي پذيريم. از اين قضيه استنتاج مي شود كه اگر دو متغير مستقل داراي توزيع كي‌دو باشند جمع آنها نيز توزيع كي‌دو است. در مورد تفاضل هم در شرايط خاص درست است. يعني اگر دو متغير مستقل داراي توزيع كي‌دو باشند تفاضل آنها نيز داراي توزيع كي‌دو است با تفاضل درجه آزادي دو متغير.

اسلاید 116: قضيه 7-3 اگر و S2 به ترتيب ميانگين و واريانس نمونه Xn,…,X2,X1 از جامعه نرمال با ميانگين μ و واريانس 2 باشد آنگاه الف- و S2 از هم مستقل اند.ب- متغير داراي توزيع كي‌دو با 1- nدرجه آزادي است. 8- توزيع t فرض كنيد كه Xn,…,X2,X1 يك نمونه nتايي از توزيع نرمال با ميانگين μ و واريانس2 باشد. مي دانيم متغير داراي توزيع نرمال استاندارد و متغیر داراي توزيع كي‌دو با 1- nدرجه آزادي است. متغير T را كه تابعي از دو متغير است به صورت زير تعريف مي كنيم.

اسلاید 117: 9- توزيع نسبت واريانس دو نمونه

اسلاید 118:

اسلاید 119:

اسلاید 120: پایان فصل 5

اسلاید 121: برآورد نقطه ای و فاصله ای پارامترفصل 6