صفحه 1:
صفحه 2:
صفحه 3:
آمار توصیفی وارائه داده ها
احتمال
متغیر های تصادفی و توزیع آنها
معرفی چند توزیع احتمال گسسته
معرفی چند توزیع احتمال پیوسته
استنباط آماری
رگرسیون
صفحه 4:
مقدمه 4
به معنی مجموعه اطلاعاتی از جمعیت واقتصاد بود»
آن شروع ابتدایی » به یک روش علمی تجزیه و تحلیل
در تمام رشته های علوم اجتماعی ومهندسی و... به کار برده میشود؛ترقی.
کرده است.
آمار شاخهای از علوم است که به نقش:
۰ سازماندهی وخلاصه کردن
+ . استنباط ونتیجه گیری در باره مجموعه ای از داده ها
بخشی از آن ها مشاهده شده اند.
صفحه 5:
آمار یک روش است که هدفش توصیف کردن است
۳ 3 روش کمی است که از عدد به عنوان وسله ای ۱۱
بیان و توصیف استفاده میشود.
بانگرش به اين توصیف. از نقطه نظر آموزشی » سه مرحله زیر رام
1 امار 5( نظر كرفت: ١
٠ آمار توصيفى
٠ احتمالات
+ آماررياضى
صفحه 6:
صل اول و
مار توصيفى وارائه داده ها
امار 9
صفحه 7:
* علم آمار. با روشهای مورد استفاده از جمع آوری» اريائه»
تجزیه و تحلیل و تفسیرداده ها سروکار دارد. هر نوع
he کردن روی داده ها که پیش بینی ها یا استنباط
هایی درباره گروه بزرگتری از داده ها منجر- شود.
استتباطی و مجموعه روشها و قوانینی که نتایج:
تر کند آمار توصیفی شمرده می شود.
صفحه 8:
مجموعه داده همه مشاهدات ممکن یک پدیده خاص را شامل
۰ آن را یک جامعه می نامیم . اگر یک مجموعه داده فقط یک
بخش از مشاهدات را شامل شود آن را نمونه می نامیم -
به عنوان مثال برآمدهاى ١١ يرتاب يكك سكه (شير و خط)
نمونه از همه يرتاب هاى ممكن سکه در جامعه بررسی
صفحه 9:
حسابی
مورد بررسی دارای | عضو ...مو باشد.
ن جامعه از رابطه زیر بدست مى آيد:
a الودج ودعو د ود ددم
مثال : در یک روز خاص ٩ دانش آموز به ترتیب : ۱0۲۵۳۰6۱۸۵۸۲۰۱
نامه دریافت کرده‌اند » میانگین را پیدا کنید .
حل : تعداد کل نامه‌هایی که ٩ دانش آموز دریافت کرده‌اند
است . بنابراین ?= و ميانكين تعداد نامه براى هر د د
صفحه 10:
: فرص کنید مهندسین نرم افزار کامپیوتر دارای " عضو
است که حقوق سالانه آن ها عبارتند از:
1806006 4960 56600 1900 ۶00 (SOO
۳0
میانگین جامعه را حساب کنید.
حل:
7
و
1900 200061300 14001750-6
10
صفحه 11:
صفحه 12:
ميانكين هارمونیک 5
یک نمونه به حجم ۲ از جامعه مورد بررسى
ن هارمونیک از رابطه زیر بدست می آید و با
12
صفحه 13:
تراشکاری یک قطعه خاص به وسیله سه رایانه
3 5 1 1 ل ماه إلى
زمان های 234 ساعت تراش داده می شود. میانگین .
هارمونیک را محاسبه کنید.
نا 3
3 (۲2۳1۵
13
صفحه 14:
پیراسته حالت خاصی از میانگین حسابی است به طوری که
داد ار مشاهدات به علت نا هماهنگ بودن, از داده ها حذف می
شود و میانگین حسابی برای داده ها باقی مانده محاسبه می شود.
اگر] تا از مشاهدات حذف شده باشند میانگین پیراسته از را
زیر بدست می آید(>6).
14
صفحه 15:
میانه و دیگر چندكك +
ورجلو گیری از خطای ایجاد شده توسط مقادیر خبلی بز رگ با
1 كث » گاهی اوقات بهتر است "وسط" یا "مرک" یک مجموعه از
داده را بوسیله اندازه‌های آماری دیگر به جز میانگین توصیف کنیم .
تعریف : یکی از این مقیاس ها یعنی ميانة ۱ مقدار ما را ملزم می‌سازد "
داده‌ها را بر حسب اندازه نمونه مرتب کنیم .
وقتی که ] فرداست . میانه برابر با وسط داده هاست .
وقتی که 0] زوج است ميانه برابر با ميانكين دو عددى
وسط داده‌ها هستند.
15
صفحه 16:
و صد ک ها مهم هستند اما صد ک ها به طور کلی در
عدهاى بزركك به كار مى روند . بنابراين اكنون سه جاركك به
زیر معرفی می کنیم .
*:چارک اول هيانه تمام مقادیر سمت چپ موقعیت میانهتمام داده
مجموعه است .
© :جارك دوم » ميانه است .
3 :جارك سوم » ميانه تمام مقادير سمت راست میانه
است .
16
صفحه 17:
۴ ات که فردی در طول ۱۴ روز باید Biel
۷ 9 الل شود ۵۸۵۳۱۰۵۲۹۸۵۹۱۳۸۰ ۱۱۱۲۱۷۵۱۱۶و ۰۱۰
و
١ موتعیت مین
۳ ارس مقدار از آخر می‌باشد . هنگامی که ۱۰۰۱ ۱۳۱
شان مرتب کنیم» داریم : ۵ ۸۶۵:۳۲ ۰۱۱۷۱۳۰۵۱۰۱۰۹۹
ملاحظه مى كنيد كه ميانه برابر با 85- گم و 9-3 و210
701-4 بنبراین موقعیت TY Cael lp
17
صفحه 18:
۳ oS
4 کوچکترین مقدار و بز رگترین مقدار.
صفحه 19:
توزیع هاي فراواني
مانند جدول زیررا جدول توزیع فراوانی و یا
ص ا تزع أعلادى مى نامند . این جدول
توزیع سن ۱۰ میلیون فرد دستگیر شده را نشان ل
Let . این مقادیر داده‌ها بر طبق یک مقدار عدد (سن)
طبقه‌بندی شده‌اند » در بعضی از مثال ها اطلاعات را ۱
bi 3 3 ۵ 4 ت۱۸
براساس مقیاس های غیر عددی مانند : we
vere
رنگناحبه جغرافیایی» تشخیص پزشکی دسته بندی
مى كنيم
avy اه
19
صفحه 20:
٠. ها
20
قاعده مستطيل هاى نمايش داده
شده روى فاصلههاى مساوى و
ارتفاعشان مطابق با فراوانى
است
مجموعه‌های بزرگی از داده‌ها در یک شکل ساده » :
صورت نموداری نمایش میدهیم . معمولترین شکل
2
ت نموداری توزیع فراوانی » بافت نگار است.
صفحه 21:
نمودار میله ای برای توزیع تعداد دفعاتی که ۸۰ دانشجو
برنامه کاندید شده اند.
21
صفحه 22:
صفحه 23:
صفحه 24:
—
ولا بوسيله 725 Cy i شده است . مقدار
|0000 ا نشان مى دحم ee
24
صفحه 25:
میانگین موزون :
میانگین کل داده های تر کیب شده :
25
صفحه 26:
۴ نازمان ماهيگيري اعلام کرد که
8 و 20 تخلف در صید ماهي در ٩
1 ناحیه متفاوت
اتفاق افتاده است . ميانة تعداد تخلفات براي مادهاي اخير را
كنيد:
حل : ابتدا اعداد را به ترتيب صعودي مرتب مي
220 220
6 بنابراین میانه برابر با 69 است
صفحه 27:
س0
یگر از مقیاس های مکان است که در بعضى مواقع برای
توصیف وسط یک مجموعه از داده‌ها مقیاس های مکان دیگری
در کنار میانگین . میانه و مد وجود دارند و سوالی که کدام
متوسط در یک موقعیت به خصوص باید انتخاب شود هموار
راحتی پاسخ داده نمی‌شود . واقعیت این است که
می‌تواند هر چیزی را ثابت کند .
27
صفحه 28:
از گزارش گرفته شده در سال جاری یک شرکت وسایل نقلیه
ی حاکی از آن است که شانزده راننده در گروه‌های سنی مشخص:
۸ ۸۲۰۱۰۰۸۳۰۴۰ 0۳۵۳۰۱۰۰ ۲و «وجود دارد » مد را پیدا کنید.
حل :۰ پنج Ob ۱دو ob aT Ob ۳پنج SSF Ol بار و "و۳ هر کدام با
فراوانی پنج بار تکرار شده‌اند » بنابراین ۲ مد وجود دارد .
می‌توانیم نتیجه بگیرب یم که هم تعداد رات ٩ ۱۳
al . و تعداد رانند گانی بین این دو دسته وجود دارند
28
صفحه 29:
انحراف معیار یکی از پرکارترین مقیاس پراکند گی بیان می
کنیم که اگر مقادیر در اطراف میانگین متراکم باشند انحراف معیار
کوچک و اگر از میانگینشان دور باشند مقدارش بزرگ است .
به‌نظر قابل‌قبول می‌رسد که برای اندازه گیری پرا کند گی داده‌ها در
مجموعه » تفاوتشان را از میانگین محاسبه کنیم . اگر
داده‌ها اعداد :21111271 اعضای یک جامعه با
تفاوت بین 727*۴۰ انحراف از میانگین نامیده
29
صفحه 30:
و
ل برای استاندارد کردن واحدها :
4 در
0
ضریب تغییرات :
30
صفحه 31:
که داده‌ها یک نمونه يا یک جامعه تشکیل می‌دهند » از
فرمول صفحه قبل می توان استفاده کرد . در این قسمت بیان.
می کند که متغیرها چند . انحراف معیار استاندارد بالاتر با
Gal تر از میانگین مجموعه داده‌ها قرار می‌گیرد . وا"
استاندارد در قسمت بعدی به کار برده میشود .
31
صفحه 32:
' در طول چند ماه گذشته يك دونده با میانگین 46 مایل درهفته
راف معیار استاندارد 6 مایل در حالي که يك دونده دیگر با
" میانگین 56 مایل در هفته با انحراف معیار استاندارد 5 ile
دویده است . كداميك از اين دو دونده سازگاري ارتباطي بيشتري با
برنامة هفتكي دويدن دارد ؟
حل : دو ضريب تعيين به ترتيب :
2 5
= =1677 x1 =
fp oo 67% 25 006 2-6
پس دونده دوم سازگاري ارتباط بيشتري با برنامه هفتگي :
~=
32
صفحه 33:
صفحه 34:
اين فصل مبانی علم احتمال شر.ح داده شده است.
مفاهیمی چون فضای نمونه» پیشامد و نیز اصول
شمارش و جایگشت ها و ترکیب ها بیان شده است. و
نیز مفهوم احتمال» تابع احتمال» اصل موضوع احتما
شرطی استقلال دو پیشامد قانون و احتمال کز
داده می شود.
صفحه 35:
ل پیش بینی باشد. مجموعه ی همه آنها را فضای نمونه ای نامیم و
| معمولا با 5 وهمچنین برآمدها را با ۹/۹۰۳۰ نشان میدهیم:
فضای نمونه ای 5
و برآمدها ات
پیشامد : زیر مجموعه ای از فضای نمونه ای را یک پیشامد !
35
صفحه 36:
شود که: بر آمدها (6) می توانند به صورت یک نقطه 7
دو تایی مرتب ویا ... ۱ تایی مرتب باشند زبه مثالهای ز
ود
صفحه 37:
صفحه 38:
نود.اكر خط بيايد» تاس پرتاب می شود واگر شير بيايد » سكه
دوباره برتاب مى شود.فضاى نمونه اى را تعريف كرده وپیشامدهای
زیر را تعريف كنيد .الف. آمدن شيردراولين يرتاب
ب. آمدن عددى فرد وقتى تاس يرتاب شود .
حل : S={T1, T2, T3, T4, Ts, T6, HT, HA}
الف. . لاحم
S={T, H}
ب. 9-1319
38
صفحه 39:
39
رب یر سر کر
كيك 3
حل: col bles Sd) ate . جنين فضاى نمونه
لى رآ ای نمونه ای گسسته نا
S=(H,THTTHTTTH...
اما مثال های ۱ تا ۵ دارای فضای نمونه ای متناهی می باشند .
۷- فرض کنید فضای نمونه ای عبارتست از : اندازه گیری طول
لامپ بنابراین داریم:
ل پیشامد لینکه عمر بکلا مپحدلقل۱۰۰ ساعساشد
8 پیشامد آنلستکه عمر لا مپحداکثر ۱۰۰۰ ساعس اش
©): پیشامد آنلسنکه عمر لا مدقیقا ۵۰۵ ساعقاشد
صفحه 40:
نمونه ای » یک فضای پیوستار است . به عبارت
چنین فضای نمونه ای را فضای نمونه از نوع پیوسته . .
صفحه 41:
ونه پیوسته وقتی رخ می دهد که برآمدهای آزمایش ها
آندازه گیری هایی با ویژگی های فیزیکی هستند که بر طبق مقیاس
osu 8 كيرى مى شوند . مانند : طول ۰ م۰۱ ۲
مى توانيم بر اساس بيشامد هاء تركيبى از بيشامد ها را داشته
41
صفحه 42:
تركيب پیشامدها
8 _
رک (Boro). Ets, وقتی رخ می
که پیشامد ل رخ ندهد .
۲- اجتماع : اجتماع دو پیشامد 10 یعنی * 2 پیشامدی است که.
وقتی رخ دهد که حداقل یکی رخ دهد .
۳- اشتراک : اشتراک دو پیشامد 1 یعن و۳ 0 ری ظ
می دهد كد "7 هر دو رخ دهند .
42
صفحه 43:
ا .۷
ای را زین مجموعه ی "گوئیم ۲7۱ ۳ گر
٩ تلم رخ دادن " باشد .
Ee - 2 برع 2
از گاری : دو پیشامد را ناسا گار گوییم 2 ph LE 2
EF=9
: يعتى
BF cay و توعد ى
Vitj EE, =¢ Sa
را دوب
43
صفحه 44:
مطمئن : پیش آمدی که یقینا رخ دهد .
د ناممکن : پیشامدی که یقینا رخ ندهد .
8 دو پیشامد "را برابر eS
دادن یکی مستلزم So دادن دیگری باشد .
44
صفحه 45:
45
له —
AE HEEL UB =RUBU Ba
(UBY=AE (NE) =UE,
a
oe at A
of ee
. مثال :فرض كنيد فرود هواپیماها بر اساس نظام سرویس دهی به ترتیب
: فرود می باشد . پیشامدهای را به صورت زیر تعریف می کنیم
: منتظر ماندن حداکثر۳مواپیما :متلظر ماندن حداقل "هوایما
منتظر ماندن دقيقا 'هوابيما : 4 در ابن صورت تعريف كنيا
الفا ؟ ب. 9 ج. جه رابطه اى بين 2 جود دارد ؟
د. جه رابطه اى بين41.”#وجود دارد ؟ ه 74 جه رابطه
صفحه 46:
های زیررا تعریف می کنیم:
پیشامد منتظر ماندن حداکثر ۳هواپیما
ب. پیشامد منتظر ماندن حداقل ۴هواپیما
bam a
ee ودر
١ ae دصر
اکنون آماده ایم تا اصول موضوع احتمال را بیان
46
صفحه 47:
اصول موضوع احتمال +
5 فضای نمونه ای یک آزمایش باشد . به هر پیشامد
از 5 عددی به نام احتمال وقوع ۸ که با نماد (0)۸ نشان می
ag 677 >
BA =0 0 1
07( اگر 4 دنباله ای از پیشامدهای دو به دو
م- يفك
آن گاه : ازع
A) =A)+ KA,)+...=¥ AA)
47
صفحه 48:
ی ااریبی را پرتاب می کنیم . از آن جايى كه سكه نااريب است »
بنابراين احتمال آمدن شير و خط با هم برابر است . در يرتاب اين سكه 7١
فضاى نمونه اى برابر است با : مده
جون وقوع بيشامدهاى 177:17 با هم برابرند در اين صورت
بيشامد هم احتمالند و مى نويسيم : )2070
از طرفی این دو پیشامد ناساز گارند » پس :
( اسرد( تا PAT})= PLH})+
pel.
3
48
صفحه 49:
کنیم 5 فضای نمونه ای مربوط به آزمایش سه بار پرتاب یک سکه
سالم باشد . 711113 زر
فرض می کنیم پیشامد ۸ پیشامد آمدن حداقل دو شیر باشد . پس :
17۳1111۲۲
۳ ee
۱ aor دادن
pe)=~ (#لعسايرة- وى)
49
صفحه 50:
ین( 27 06 00
با توجه به مثالهای بالا» نتيجه می گیریم :
به طور کلی اگر فضای نمونه ای 5 شامل لا ب رآمد باشد و:
از آن با (۱)/۵] برآمد باشد آن گاه :
50
صفحه 51:
۰ب رآمدهای یک ee) باشد که تعداد آن ها نامتناهی است ۰
UT (0 را یک اندازه احتمال قابل قبول باشد .
ol 3 ISOS] بايد ١ Le
داریم: easy . دیاب از طرفی
AS =1
1
3 a براين 8
1 2
مم نو
51
صفحه 52:
۸ -1- هامر ج (مکتر + هر - (۸ دشر < 8
اگر داشته باشیم :
=1- p)= pg) =0
صفحه 53:
0 8 ع4 إن ع ,4 ۸-9 2
هعم
B=(B- AUA
(B- AA=9
BB =H(B- AU A=B- A+ 1A
PB- A=—fB- A)
53
صفحه 54:
مر < هر ۸<0 -2ر
قضیه :
۳ وشات - يبر + شام - 2 د4 ابر
در صورتی که شلو 8 ناساز کار باشتد ۱۲۰ كا |
54
صفحه 55:
۱ رات ناسا گارند داریم :
۹ هم -عر + هم - و دقار
" از طرفی 485 پس طبق قضيه قبل : ه/تر -هر- 4 ‘BB
همام - هار + هر < 3 ۱
اين قضيه را مى توانيم براى !١ پیشامد تعميم دهيم . مثلا
تسام :
HA)- HAA)- KAA)- KAA)+ HAAA)
55
صفحه 56:
۶ ۹ ۱ یکت شهر روزنامه ۵ و ۸۲۰ روزن۰ ۰۳ ۱۲
وه و ۸۱۰ روزنامه های ۸۵,5 و ۸/ روزنامه های ۵,۲ و 1۵
روزنامه های 9,6 و ۸۴ همه ی روزنامه ها را می خوانند .۱
این که شخصی به تصادف از بین مردم این شهر ا
یک از این روزنامه ها را نخواند چقدر است ؟
56
صفحه 57:
کنیم ]و و ت) به ترتیب پیشامدهای خواندن روزنامه های » ۸۵
8 و0 باشند . پس پیشامد آن که شخصی حداقل یکی را بخواند
HEU FUG 2 Vegas
) FU 6( 2 36+ 206+ 1360 - 1076- 896- 5%+ 4%=3M
بنابراين : (0 لا لا2) -1 عبارتست از احتمال اين كه ه
روزنامه ها را نخواند . ۳
57
صفحه 58:
—
بد پیشامدی مانند 8 رخ داده است . )0> (AB
مال وقوع ۸ به شرط 8 که با نماد (0)8[8 نشان می دهیم عبارتست از :
(0<ظ2)
داریم :
و ضرب احتمال ) .3 [شتر ع قفار
به محض آن که ۸و 5 مستقل از یکدیگر باشند » را
حول
58
صفحه 59:
ال گوييم مرگ : يم اهار
بدین ترتیب نتیجه می گیریم وقتی ۸۸و 3 مستقل باشند : 0419-04709
00 فرمولهایی که برای جمع و ضرب بیان کردیم » به صورت زیرخلاصه م
یمه قم - هم + شير و نهر
1B +۵ - 3 داشر مده م
(۸ و نا سا ز گار باشند) ۱
: ۱
Sie?
(4b Je. Bs A)
59
صفحه 60:
جعبه ای شامل ۱۰ لامپ می باشد که دربین آن ها ۴ لامب
معیوب وجود دارد . دو لامپ پشت سر هم و بدون جایگذاری
استخراج می کنیم . احتمال این که هر دو لامپ معیوب باشند.
است ؟
4 ۹
اولی ناسالم :۸۵ . 6 (دومی ناسالم :8
60
صفحه 61:
به طور مستقیم نمی توانیم احتمال یک پیشامد مانند ۵ را
. اما برای BAB) AABN LB ust easly
لكان پذیر است و نون موارد برای مدا ۱1 مى توانیم از
قضیه مهمی به نام احتمال کل استفاده کنیم .
این قضیه به صورت زیر بیان می شود :
فرض كنيد 8 پیشامدی باشد به طوری که 0< (07 و 0< 19 آو
براى هر بيشامد از 5 داریم :
) AB) + A] B) 1B)
61
صفحه 62:
کل فرض می کنیم 5 فضای نمونه ای باشد . داریم :
U(AB)=A
(ABU (AB)) = (AB + AB)
صفحه 63:
—
برای پیشامدهای ۸۸ و 8 داشته باشيم : 209 19
12۱9 و 207 (14|2 . مطلوب است محاسب» FA
BA=A|B.AB)+ LA|B).B) حل:
۱<0,9+ 0.7 <0- 0.9( 2-5
به طور کلی فرض می کنیم فضای نمونه ای 9 به
لاش
63
صفحه 64:
را افرازی برای 5 گوییم ه رگاه :
Bro
BB =o
در این صورت برای هر پیشامد دلخواه مانند ۵ از 9 داریم
B).AB)+ KA B).(B)+...+ AA|B,).4B,)
64
صفحه 65:
ن می کنیم به ترتیب ۳۰/و ۸۵۰و ۸۲۰ محصولات یک تولیدی
سیله ی سه دستگاه ۰8 ۸ و) تولید می شود . از طرفی معلوم شده
است كه به ترتیب ۰1/۴ ۵/ و ۸۳ این تولیدات ناقص می باشد .گر
محصولی به تصادف انتخاب شود احتمال این که معیوب باشد چق
است ؟
حل : AD| A).AA)+ AD|B.AB)+ ADIO.AO)
احتمال پیشامد خراب بودن : (0)0 ۹
20%x3%
65
صفحه 66:
ار كب :> 1 000 ۱
010 انار توسط دستگاه ۵ تولید شده باشد 2 ۱ ]
نظر قرار د. 5
حالت در حقيقت می خواهیم (0)58|]0 را مورد نظر قرار 3
5 = قفد 1" a
دراين حالت از قضيه ى موسوم به قضيه بيز استفا مى كنيم
66
صفحه 67:
5 : باشد. آنگاه برای هر
مد دلخواه ۸ از داريم :
اثبات : )8 5 تشک ور ویر
PBA) _ KA B,).AB,)
67
صفحه 68:
مثال قبل مطلوب است احتمال اینکه محصولی که به تصادف
اب می شود و معیوب است متعلق به دستگاه 6 باشد .
6 ميرو اص
د a
68
صفحه 69:
— ۰-۰.
oe دانیم 7۸۰ دانشجویان سال سوم و 1۷۰ دانشجویان سال
و ۵۰ دانشجویان سال اول و ۳۰/ دانشجویان پیش دانشگاهی
اکتا نه استفاده می کنند. اگرازهمه ی دانشجویان ۸۳۰ پیش
دانشگاهی » 1۲۵ سال اول » 1/۲۵ سال دوم و1۲۰ سال سوم باش
اینصورت چند درصد همه ی دانشجویان از کتابخانه ی م
استفاده می کنند ؟
69
صفحه 70:
که به تصادف انتخاب می شود و از کتابخانه ی مر کزی
' می کند :۸۵
| بش دنشگامی : ۲
تال اول :0
سال دوم :لل
سال سوم ۴ ١
KA|D).AD + (ل0م۰(|صاتر + 0.0 ]انرب
6 + 7 )76<2 3/۵ + 8076 <2 076۵ 2-0
70
صفحه 71:
» روش ها و تکنیک هایی که برای شمارش بکار می روند »
وع آناليز تركيبى را تشكيل مى دهند .
ی از موضوعات اساسی در آنالیز ترکیبی اصل های جمع و ضرب است كه د
سادگی اهمیت و کاربرد دارند . بعد از این دو اصل » موضوع ترا
و2 ءعات پر کاربردند که ما در اين قسمت خلاصه ای از[ ها ۳۱
اصل جمع
اگر یک عمل به ۲0 طریق و عمل دیگر به 0] طریق انجام شود ؛
از دو عمل را می توان به ۲۲-۳۲۱ طریق انجام داد .
71
صفحه 72:
اصل جمع :
ae داراى ۱ عضور و مجموعه 9 دارای 17۱ عضو باشد .
AUB
ون صورت دارای ۲۱-۲۲۲۱ عضو خواهد بود .
به " صورت امکان پذیر باشد » آن كاه انجام يكى از اين اء
6 ۰۰-۶ 1 ۰ 13 صورت امکان 1 ۱ ۱
72
صفحه 73:
73
کنید عملی در دو مرحله انجام می پذیرد به طوری که مرحله اول را به 2
صورت و مرحله دوم صورت انجام داد . در اي صورت آن عمل به "
امکان می پذیرد .همین طور می توان اصل 2 ۱ ۱۳
کر اگرعملی در > مرحله اتجام شود » ه بر ۱
مرحله > ام صورت انجام شود در ۰۱ ۰ ۳ 5
صورت انجام می گیرد .
صفحه 74:
دو کتاب از دو رشته مختلف از بین ۶ کتاب ریاضی» ۷
ادبی » ۱۲ کتاب فلسفی انتخاب می کنیم . چند انتخاب مت
خواهیم داشت ؟
74
صفحه 75:
75
5 داشت :
الف. ریاضی و ادبی ۶۷-۴۲
ب. ریاضی و فلسفی ۶۱۲-۷۲
ج. ادبی و فلسفی ۷۱۲-۸۴
و بنابر اصل جمع در کل تعداد انتخاب ها برا
۴۲۸۷۲۰۸۴-۸
صفحه 76:
برس
طوری که 6<تباشد . مثل انتخاب گروه های 2 تایی از میان 6 عدد
رو هر و9 به طوری که ارقام تکراری نباشند .
ترتیب 0 شیء ۲ به ۲ اكر و ۲ اعداد طبيعى باشند و جز مرآن كاه أت
این قضیه برای انتخاب گروه های ۲ تایی مرتب از 0 شىء متمايز
به ذكر است كه تمايز در اين جا به اين معناست كه
») مجموعه اشیاء بکار رفته متمایز باشند
) ترتیب قرار گرفتن اشیاء متفاوت باشد .
76
صفحه 77:
یز از 10 شیء متمایز از تر کیب استفاده می کنیم.لازم است که یا آور شويم
به این معناست که مجموعه اشیانی که بکار رفته متمایز باشند .
ویژگی های ترکیب 0 شیء ۲ به ۲ 8
n)_ oa
۳ “HG dD! اكد
77
صفحه 78:
صفحه 79:
8 تصادفی از نوع گسسته با پیوسته باثد
یک قالب احتمال ارائه می شود. تابع چگالی احتمال»
تابع توزيع؛ تابع چگالی احتمال توام» تابع توزیع توام
و... از مفاهیم تعریف شده در این فصل می باشد. در
پایان نیز با تعریف گشتاورها و تابع مولد احتمال»
میانگین واریانس» و برجستگی در جامعه تعرا
شود.
صفحه 80:
تعریف کنیم و اگر خط بيايد 6[ را برابر صفر تعريف
تابع حقیقی مقدار 26 را که روی ٩ ( فضای نمونه ای ) تعريف شده
است یک متغیر تصادفی گوال ٩۵ :21
متغیرهای تصادفی را با ۰2 ۰۷ 2و ... و مقادیر آن ها
نشان می دهیم .
=
80
صفحه 81:
:به جاى مثلا ( شیر باید ) 0] مى نويسيم : 7
-به جای آن كه بكوييم ( خط بیاید ) 0 مى نویسیم : 10850
a طور کلی اگر بنویسیم («< )بیعنی احتمال آنکه 26 مقدار کارا
اختیار کند .
متغیرهای تصادفی می توانند گسسته یا پیوسته باشند .
گسسته وقتی که فضای نمونه ای متناهی یا نامتناهی شه
در غير اینصورت متغیر تصادفی از نوع پیوسته ۱
81
صفحه 82:
ع ۰ >
رها تصادفی گسته - توزیع of ها
حالت گسسته احتمال ها بوسیله ی تایعی به نام تا احتمال معرفی
ا رت از ۸0 - ند خم روبد (702 ۱۰2
بنابر اصول موضوع احتمال و به سبب برابری 468 با 7 0 وقتی
یک تابع احتمال است که :
۱- 7 در حوزه ۶ ۷
۷ 20< ۶
۶ ۵-1
82
صفحه 83:
د را به صورت های گوناگون میتوان نشان داد:
سورت جدول مانند مثال زیر:
83
صفحه 84:
EE
0
25
&
aH
اصل اول برقرار است (. م-دورار
2( 2
بنابراين » اصول موضوع برقرار است و ياسخ مثبت است.
به اين ترتيب يكى از راه هاى توزيع احتمال به صورت -
مثال فوق .
24
صفحه 85:
صفحه 86:
۳*2 توجه شود برای سایر مقادیر 2 که (06)؟ تعریف
ء 9 صفر قرار مى دهيم 4 cn! ۳
احتمال بالا را به صورت زیر بنویسید :
صفحه 87:
] رکی 8 aay
اس Se
صفحه 88:
0 8 ب این سری باید همگرا باشد .
اما این سری هارمونیکک و واگرا است . پس این
از ۲ نمی تواند تابع احتمال باشد .
تابع به ازاء یچ
88
صفحه 89:
تابع توزیع "۳
قات مایلیم احتمالاتی به صورت > ۸ را محاسبه کنیم . در
کلی این احتمالات تابعی از لا می باشد . که آن را تابع توزيع
می نامیم و بال" نشان می دهیم .
مرو
۵ ۳-۳-۲
مثال : اگر تابع احتمال 26 به صورت زیر باشد » F(2)
بنابراين مى توانيم بنویسیم :
x=2)= fi) + £2) =h+? =
Nie
89
صفحه 90:
تبعی طیر نزولی است . (:/> :۳ ,ود هد
0ك ! تایمی پله ای شکل است.
Flex) =limea)=1_y ار 0- سامسلا- رصم
پس : > 028
90
صفحه 91:
اميد رياضى "۳
رياضى ( مقدار مورد انتظار ) متغير تصادفى 2 با تابع احتمال
در صورستوجود عبارنسلز : شاه - نا
این امید ریاضی را میانگین 6( می نامیم و باه یا * نشان می دهیم .
واد عر
۹ oe
۱ ۰ مثال : فرض کنید تابع احمال عبارتست از
. کنید Le و
Be) =S 1009 9
6 0:27 1 9
م36 ۱۳۱
۰ ۲
91
صفحه 92:
خصوصيات اميد رياضى 4
1401 عل ثابتاست)
۶-0 67 - ۶۵ ۲ - 2۵
دول + (زد) ,تا = U(X) + 9) ناا
صفحه 93:
3 + ( دق - دق + رز
BURT P= |
تاه + ره( مینک +( هن
: ۱و ۲ می توانیم بنویسیم a
Acs) =¥ cU) f(x) =c¥ Ul) fla) =cHU)
: بدین ترتیب می توانیم نتیجه کلی زیر را بگیریم
( << («ه تهب
ao. =3A.x) +5519) +6 * : مثال
Sle بدین ترتیب نتیجه می گیریم که
93
صفحه 94:
: در آن صورت امید ریاضی آن را در صورت وجود
ین 6 می نامیم و می نویسیم : 4 < (تل- »
U9 =(% “مر ۲
اميد ریاضی آن را واریانس 26 می نامیم و می نویسیم 0 .
دك “لمر سن ”5 - [2(مر =Vaitx) =Hx-
94
صفحه 95:
2 +( قمرة - + Hx? =)?) مک
کر - (ص‌قع م2 - ثم + ]د
خب - )82 Ae w)1= =
مثال : فرض می کنیم تابع احتمال 26 عبارت است از
واریانس 26 را از هر دو روش حل کنید .
95
صفحه 96:
a >8(+ )£2 ?)1 +2 + زمر لات مد ۳1( عم
=
aa 428) 402-1422) 400-1423,
دهدن + رد سم + اما +0
روش دوم :
96
صفحه 97:
بت واربانس را انحراف معیار می نامب وبا نشان می دهیم
=AX)- (E(9) ?0 ۱
a =o"
DB =02,4, 2222
: Sie 9-10 م1
۰ همه
97
صفحه 98:
ریاضی این تابع وجود داشته باشد . آن را گشتاور مرتبه ام می
و یا نشان مى دهیم . مر د uy
۸ هد - رشق نار
یعنی گشتاور مرتبه اول همان ميانگین توزیع است .
در برابر این گشتاورها ۰ گشتاورهای حول ما
(x wf) r=12....
<<
عبارتست از :
98
صفحه 99:
ne ” ”
0 تابع مولد کشتاور ها
4 2 “آن كاه اميد رياضى آن را در صورت وجود تابع مولد
pe Oe فال" 5 - رتمه- قاذ
: ينكه 13> >1 - مى توانيم مشتقات ۵ را در همسایگی (حول
حساب کنیم . هد ۱۵-2
٩ - x fl =A x) ۷۱۵-2
اکنون مشتق دوم را حساب می کنیم :
گشتاور مرتبه دوم
به طور کلی داریم :
99
صفحه 100:
5 eS Xe
100
صفحه 101:
بع احتمال 6 عبارت است از : فقو ]زر
O:ow
نو ۳
1
لد گشتاورها را محاسبه نموده و با استفاده از
5 1 م ]عا
حل , 40+ 36+ 41-030 |
ee
3
3
101
صفحه 102:
1 -)
1
ل می کنیم تابع ال ۸ عبارت است از aay
8 ان را حساب کنید . ۰-0۳2 237
۳
:راه او : ايع ممع مه oo
3
3 1 | ۵ | >
24 | 45 | 0 2
91 | 91 | 98
راه دوم :
۳
=O) 0۰1/۵2۱۵۰۵۶۵ 20+ 2و
(Ey?
102
صفحه 103:
٠ معرفی چند توزیع احتمال گس
صفحه 104:
هدف این فصل معرفی چند توزیع احتمال خاص از نوع
گسسته و پیوسته با ارائه الگو می باشد. با ارائه فرم
تابع چگالی احتمال هر توزیع چند ویژگی توزیع نیز
مورد بحث قرار می گیرد.
104
صفحه 105:
برئولی : عبارت است از آزمایشی که دارای ۲ نتیجه » یکی
8 ری شکست باشد .موفقیت : 5 شکست : ]:
فرض می کنیم 6( متفیر تصادفی وابسته به این آزمایش باشد ؛ آنگاه :
اک موفقبت ال شکست Mees x-0
احتمال موفقیت را 0] می نامیم .پس احتمال شکست 1۳3 ات 5
تابع احتمال برنولی عبارت است از : .
این تابع احتمال را می توان به صورت زیر نوشت :
x x=01
خا 105
صفحه 106:
۱
دم متغير نی ae x ای توا
نولی است هر گاه
fe =? =
0: 07
ال باشد .
)1- "ور -)) ور +9 ور -1- p+ p=1
106
صفحه 107:
۱ p+ Op pI
2
(Ba) =3 xf (p عدا
=
‘dU
D'+Q)p0- p"- f=p- p=n- p=pq 02?
۳- مطلوبست محاسبه تابع مولد گشتاورها : 20
“لاي حل ورا +" ور
107
صفحه 108:
در ریختن یک تاس سالم آمدن عدد * با 0 را موفقیت بنامیم و
ها را شکست به حساب آوریم » واریانس توزیع را حساب کنید .
108
صفحه 109:
توزیع دوجمله ای +
های پرنولی را ۱] بار و همه با احتمال موفقیت 0 به طور
ازیکدیگر انجام شوند » آنگاه 26 تعداد موفقیت ها دارای توزیعی
به نام توزیع دوجمله ای می نامیم .
اگر 26 دارای توزیع دوجمله ای باشد » می نویسیم : 6-1688
می خوانیم 26 دارای توزیع دوجمله ای است با پارامترهای 0و ۰0
اکنون تعریف می کنیم :
گوییم متفیر تصادفی 26 دارای توزیع دوجمله ای با بارامة
باشد مر كاء تابع احتمال 2۵ ۱۳۳ ‘
*:x=01,...2
109
صفحه 110:
بالا واقعا تابع احتمال است : 0< و۶ 1
ور سل | هه گرد
اد (a+b?
با مقایسه این دو فرمول قرار می دهیم : م<ج و 0-1-0
1= ۳ هر سل جك **م "م
مثال : احتمال آمدن ينج شير و هفت خط در 02 :
گر است ۶ .
حل :
110
صفحه 111:
٩
انی ۸نوع خوراک ماهی » ۱۲ نوع خوراکك گوشت و ۱ نوع
ک مرغ درست می کند . اگر مشتریان این رستوران خوراكك ها را به
تصادف انتخاب کنند احتمال اينکه دونفر ازچهار مشتری بعدی خوراک
ناش Jans Gili جقدر است ؟ 5
3 “رق ی لد هدر 5
Sulu ese مپانگین برتولیبرابر ۰۵ ۲۱ ۰ ۰ ۱۳۲
دوجمله ای داریم : :
به همین ترتیب واریانس در توزیع دوجمله ای
111
صفحه 112:
ولد گشتاورها را در توزیع دوجمله ای محاسبه کنید .
waio=2)=$44 ‘pa ve =$|hpara a
پا استفاده از بسط دوجمله ای نتیجه می گیریم : ظ "لوط
pr -@
112
صفحه 113:
ی از آزمایش های برنولی با احتمال موفقیت 0 را آنقدر
تا به اولین پیروزی برسیم در اینصورت متغیر تصادفی 6(
به این آزمایش را گویيم دارای توزیع هندسی است .
سول : فرض می کنیم شکست را با ۳ و موفقیت را با ٩ نشان
113
صفحه 114:
—
ض می کنیم آزمایش را ۴ بار انجام داده
به طوری که احتمال موفقیت 0 باشد و در مرحله چهارم به اولین
ت رسیده باشیم » بتابراين داري : ۴۳۳5
در ایتصورت اگر 6( تعداد شکست ها تا اولین پیروزی باشد داریم *
qaqp 8
به طور کلی فرض می کنیم آزمایش 1+ بار انجام شود .(0) در
(<0)262 برابر است با :
GP e012...
دارای توزیع هندسی 2٩ در این صورت گوییم
114
صفحه 115:
یک ناس سالم احتمال آن که نخستین پیروزی در
اششم رخ دهد » برابر است با : د - (29< 2۲
7 کامی آوقات تایع احتمال هندسی رابه صورت زير 00007070
کنیم : ماد ۰ ۱ ۱ ۳
در اين فرمول ا تعداد امتحان ها است تا به اولین
115
صفحه 116:
ار احتمال قبولی در یک امتحان رانندگی که شخصی هر
شرکت میکند ۷۵/ باشد » احتمال اينکه اين شخص سرانجام
در چهارمین بار قبول شود مت است ؟
حل : 0-706
7 £(4) =X =4) = pg -2730<01- 736(
۰ ۰ 2
در توزیع هندسی میانگین و واریانس به ترت تیب <
208 عا 1 1
116
صفحه 117:
توزیع دوجمله ای منفی +
ض می کنیم تعداد امتحان هایی را درنظربگیریم که برای
1 ۱ پیروزی رخ می دهد. دراین صورت شماره امتحانی که > امین
پیروزی در آن رخ می دهد دارای توزیعی به نام توزیع دوجمله ای
منفی است .
تعریف :
گویيم متفیر تصادفی 26 دارای توزیع دوجمله ای منفی|
تابع احتمال آن به صورت زیر باشد : ۴ج pa
x=K k+l...
17
صفحه 118:
k=1 شود » توزیع دوجمله ای منفی به توزب
شود .
و واریانس دوجمله ای منفی عبارتست از :
2 ee.
Pp p
pss 9
4
صفحه 119:
٩8 a
در معرض ابتلا به یک بیماری مسری DA
با احتمال 9/0200 به آن دچار می شود . احتمال اينکه
آمین شخص در معرض بیماری سومین شخصی باشد که به
آن
مبتلا إدء جقدر g ١
۹ وريدن ود كا
۹ 1
} 0۵
119
صفحه 120:
توزیع فوق هندسی ۴
ل را در نظر می گیریم که از جامعه ای با دو حالت ( موفقیت و
مت ) نمونه ای تصادفی بدون جایگذاری داشته باشیم .
فرض می کنیم از جامعه ای با اندازه لا با دو حالت موفقيت ( سالم
بودن ) و شکست ( معیوب بودن ) داشته باشیم .
از این جامعه نمونه ای به اندازه 1۱ انتخاب می کنیم .
فرض می کنیم در اين نمونه : ا تا از نوع > و بقیه ۱-6
می باشند
120
صفحه 121:
الى كريم 6 دارا توزع نود 2 > ۳
Jeo و تاه صورت اه نج ۴
bee bn xfoy ye & 6 N-K 516 ۱- به دنبال آن
|: کل بارتست از est
121
صفحه 122:
صورت تعریف زیر را داریم :
متغیر تصادفی 26 دارای توزیع فوق هندسى است هركاه تابع
N- kj 1 a
احتمال آن به صورت زیر باشد :
ee) cle
٠ 2
0 :0
مى توانيم ثابت كنيم A(X) تعريف شده دربالاواقعا
122
صفحه 123:
نظور از فرمول زیر می توانیم استفاده کنیم : al 7
lb 2 ۸۵ _ 1 ۳
TN (xl ox] “Tat a] >
1 ۱"
مثال : فرض می کنیم از جعبه ای شامل ۶ لامپ که ۳ تای آن ها ده ر
است » ۴ لامپ به تصادف و بدون جایگذاری انتخاب می کن
elt
اينكه بين اين ؟ لامب » " لامب سوخته وجود داشته باشد
0 ۹
1 123
هو تمه ۱
صفحه 124:
ان ( تقریبی برای توزیع دوجمله ای )
با را PO)
بر مقدار ثابتى به نام 4 باشد ie توزیع دوجمله ای
به سمت توزيعى به نام توزيع يواسون با بارامتر 2 ميل خواهد كرد؛ که .
007[ ان می دهيم . 0
0
me : بنابراين
تعریف : گوییم متغیر تصادفی 6( دارای توزیع پواسون
تایع احتمال آن به صورت زير باشد :
2-2
124
صفحه 125:
Lily VE A(X) يكك تابع احتمال است . د
اد سم 2
i
تربع عر دوع
ام ۳
2 ۶ 2
میانگین و واریانس :
با استفاده ازفرمولهای توزیع دوجمله اى ٠ ميتوانيم ميانكين و
پواسون را به صورت زیر محاسبه
o? =njfl- p) =A() =2
پواسون تنها توزیع آماری است که میانگین و وا
125
صفحه 126:
د تلفن هایی که اشتباها به یک اداره بز رگ می شود در
هفت مورد است . مطلوب است احتمال اينكه :
ب) حداقل یک تلفن اشتباه وجود داشته باشد .
126
صفحه 127:
—
کنیم هر روز تلفن های زیادی به اين اداره زده می شود .
لفرادیمیاشد که به طور لشتباهیت لفزمی‌زنند.
در این صورت می توانیم فرض کنیم > تقریبا دارای توزیع پواسون
با ۳
ار
ee a 6
=ik a Co 0 1- (0-<د )بر -1- (1> :)یر -21- )1
127
صفحه 128:
—
در هر ۳ صفحه از کتابی به طور متوسط یک اشتباه
وجود دارد . اگر فرض کنیم تعداد اشتباهات چاپی در هر صفحه
متغیر تصادفی پواسون باشد » مطلوب است احتمال اينکه در یک
صفحه از این کتاب حداقل یکک اشتباه پیدا شود .
1
حل : ۲۰
1
1
5
e ©
0
-1- (0دمدير -1- لادعواير
سره
128
صفحه 129:
صفحه 130:
چگاحتما مین امیم.(۳.(.8)
صفحه 131:
2 ميكنيم تابع چگالی احتمال ۷ عبارت است از 4008
0<: کلم وروي
O:ow
BossxsD-? 00000000002
صفحه 132:
: بنابر این باید 0-< باشد پس با 0<علروع می کنیم A
1220
2) f ke dx=kf e*dx=1
1
عبر مد كد بوه ۲
at ao.
132
صفحه 133:
F()=4X <0 =f fOdt F=f
بنا به قضیه اساسی حساب دیفرانسیا و انتگرال داریم :
Fla) -ه- ]هن ] Fa)=
بنا به تعریف تابع توزیع داریم :
Fla) هه ] > > > وم
Col jie P(X=A) Salar glint 2 توانیم هه
=Ha<x<b =a<x<b =| fydx دع > مر - رز
133
صفحه 134:
بل تابع توزیع را محاسبه کرده و بر اساس آن احتمال
AES ool +
F=f Modt= [3e%at=a- 46"), = 6
<x<1) =F(l)- F(0.5) =(1+ 6°)- (1- 6°) =e- 6?
134
صفحه 135:
اميد رياضى و
می کنیم 6 متغير تصادفى يبوسته با تابع جكالى
و (*)] تابعی از 26 باشد . . امید ریاضی (*)] در
وجود عبارت است از :
=e 1)? y 7 # اند ریاضی آن را واریانس X می نامیم
توزیع ) Ble yu)? = fx 0)? foods
Z
135
صفحه 136:
واریانس به صورت زیر محاسبه می شود :
o*x=B)- (BW)! =Bx)- 18 = fe dd
۱ انحراف معیار : ©
ty 5 2 (ا جره)یع۲
Omen =|40x
136
صفحه 137:
—
مى كنيم متغير تصادفى 6( دارای تابع چگالی احتمال زیر
fa={- 2 dps 3¥):-1<x<1 11
0:9۳
میانگین و واریانس 6( را محاسبه کنید .
حل:
3 4_3 4 7
err
صفحه 138:
مبدا: در صورت وجود عبارت است از 24< 17
Mu, = EU) = fx’. f(x)dx
اد رمد بر 0دعر 3
E(x) =n = ۳
مس ی
138
صفحه 139:
gt Sl چگالی احتمال ک به صورت زیر باشد : اولا
۲ ام را محاسبه کنید . انیا با استفاده از فرمول بدست آمده
[ ۶( بیرلعحاسبه كنيد . 1> > ۵:0 -20
0:0۷
۳ رز رز 2) 2 en
0 يي ل ا
1) |=Hast +4xe1] =A) +429) دس رسد
: ب) گشتاور مرتبه ۲ ام حول میانگین
]- فال
139
صفحه 140:
556
۷,۵ عدض)لثم] - هه - a<t<ho |f<h
» از اين تابع و محاسبه مشتقات مراتب مختلف در نقطه 1-0
مى توانيم كشتاورهاى هر مرتبه را توليد كنيم . به طور كلى داريم :
كشتاور مرتبه ]ام در (0-]) - 0ب
مثال ۱: گشتاور مرتبه اول را بدست آورید . (۳- (۱ ۳
po f(a) حل
0 م- (کاسه 9 < ۰310
g
140
صفحه 141:
واریانس بر حسب تابع مولد گشتاور ؟
o? =A): (BL) =" O- WOF
۳ و کم تم جگالی تال ها تست از
A) =f
O:ow
sx مطلوبست محاسبه تابع مولد گشتاورهای
| هه سح Bale
141
صفحه 142:
ان لازم برای سفارش و تحویل یک غذای خاص
مت تصادفی با تابع چگالی احتمال :
1
250 :و7 ]د وا
0:9۳
الف. میانگین و انحراف معیار مدت زمان لازم برای تحویل این غذا
را حساب کنید.
ب. فرض کنید زمان لازم برای طبخ این غذا ۱۲ دقيقه باشد.
و انحراف معیار مدت زمان تحویل این غذا را تعبین
142
صفحه 143:
کاربردهایی از میانگین و واریانس
قضایای مارکوف - چی بیشف :
۲ مر تصادفی نامنفی باشد » آنگاه برای هر 8۳0
xz >
بات ( حالت گسسته ) :
فرضی می کنیم ۸٩ فضای نمونه ای 26 باشد BOE AB
0<عکرا- ۶ <- ۸۶ << ۶ ط< و۶
ss 5 ۳
143
صفحه 144:
5 ۰.
نامساوی می توانیم نامساوی مهم چی بیشف را نتیجه
iat ۱ نگیو ارایانس "۳ متناهی ) و
re 0
تذ کر مهم : با استفاده از سود تس توا +
صورت زير نیز بنویسیم : faye >
بي اتمال بنك زد اه ناف مر از ان
كيرد» حداقل Lt می باشد .
144
صفحه 145:
اد ۵ ۱۱
یه ردمعاح *(, بر
جرد علد بر عدم
مثال : فرض می کنیم 26 متغیر تصادفی با ميانگین ۲۵ و واریانس ۱۶
مطلوب است احتمال آنکه ۲۳> 17 < 26 باشد . 5
۶22 حل<
145
صفحه 146:
مار کوف را در حالت پیوسته ثابت کنید .
جى بيشف را به صورت مستقيم ثابت كنيد .
146
صفحه 147:
صفحه 148:
ن فصل روی استنباط روی پارامتر. یا پارامترهایی
26
برآوردگن برآورد؛ ws مشترک و تن
مورد بحث قرار می دهیم.
148
صفحه 149:
معرفی چگالی های خاص
: متغیر تصادفی 26 دارای توزیع یکنواخت است اگر و تنها
چگالی احتمال آن به صورت زیر باشد :
1
عه ايج )- وار
ow :0
صفحه 150:
نس ؟
( 6°( پر( هیر - (#
او
۵ + 2ب + ۱2
3
oF =AX)- )(B- a)(? +a? +p) =
*(» -8)_ مهد - 2+ 2م _ عه + 2ج +2م و
12 12
جنبه های آماری استفاده از این توزیع به خاطر ساد
تمرین : تابع توزیع یکنواخت را محاسبه کنید
150
صفحه 151:
توزیع گاما ( نمایی - کای 5 )
ate Ne *dx y گامای می"ناميم وبا نلاكامى
Tq) = fed
j
۲ +1( =aP(@) _)
Tn =(2- 1)! + ae ۲
مثال : 3ع os مس fre
عد عاك 5 16
151
صفحه 152:
۳
8 نوزيع كامااست هركاء تيع
احتمال آن به صورت زیر باشد : 0<د: 74ودعر.
0:0۳
3 ۲۵۲ - دار
در اين توزيع مى توانيم ميانكين و واريانس را به صورت ذير ۹
/
محاسبه كنيم : معد
به همين ترتيب واريانس برابر است با :
152
صفحه 153:
م كاما قرار مى دهيم : 1- كو 8-0
توزیع حاصله را نمایی با يارامتر / مى ناميم .
تعریف : 26 دارای توزیع نمایی است ه رگاه تابع چگالی احتمال آن
صورت زیر باشد : 0
0:0w
با استفاده از میانگین و واریانس گاما داریم :
153
صفحه 154:
۳ 5
ار در توزیع گاما قرار دهیم : 72 و5راینصورت
را توزیع کای ۲می نامیم و ۲ درجات آزادی توزیع می نامیم
متفیر تصادفی 26 دارای تویع کای ۲ با ۲ درجه آزادی است هر گاه
5 ee
۶ ۳۵ : آن ه صورت زير باشد 9
اکنون با انتخاب لو ی مورد بحث و با در نظر گرفتن اینکه میانگین :
اتشحوببواريانس برا st tes و 5
توزیع کای ۲ به ترتیب عبارتست آز : 1
Sap? =2r
154
صفحه 155:
عبارتست از ie 10- yi dx=p(a,p)
:
)'dx=p(45) -1) |
Mare) 5 f a
بین تابع گاما و توزیع با رابطه زیر برقرار است : ۰ ۸۳:07
تعریف توزیع بتا : متغیر تصادفی 26 دارای توزیع بتا است هرگاه تایع.
چگالی او Oo زیربت ۲۰ oe
O:ow
: برای این توزیع میانگین و واریانس عبارتست از
ان
07 01
155
صفحه 156:
a
رت داریم
تیب نتیجه می گیریم تابع یکنواخت پیوسته 1 < (626] حالت
از توزیع بتا است .
a=p=l.
صفحه 157:
۱ توزيع نرمال | ١
ادفی 6 دارای توزیع نرمال است هرگاه تابع چگالی
5 1
erm <X<0 وج )- 2
0:0۷
" خصوصيات
۱- شکل توزیع : اين توزيع زنگی شکل و مساحت کل زیر مند
ات
۲-اين منحنی نسبت به خحط متقارن 7 گست .
157
صفحه 158:
تی که به اندازه یک انحراف معیار در طرفین میانگین جدا کنیم »
لح حاصله تقریبا برابر 1۶۸ سطح خواهد بود .
Pu- lo <X <u +10) =0.68
۴- اگر به اندازه ی ۲ انحراف معیار در طرفین میانگین جدا کنیم » سطح
حاصله تقریبا ۸٩۵ سطح کل می باشد95 0< (20 + »> 2۶ > 20 Bu
۵- اگر به اندازه ی ۳ انحراف معیار جدا نیم ؛ سطح حاصله
حواهد بود . 7- (30 + > ۶ >
برای این که در حالت کلی هر احتمالی را بتوانیم در تو
کنیم » کافی است نرمال را به نرمال استاندارد تبدیل
جدول های مربوطه مقدار احتمال را محاسبه کنیم .
158
صفحه 159:
نرمال استاندارد
ex ۲ تس
آنگاه متغیر تصادفی 2-۳ دارای توزیع
لاست
فساله ) : داريمك يهو 0-مم
x- بت
0 “فك Lax. i= = ۱
159
صفحه 160:
که ترمال استاندارد را تعریف کردیم فورا نتيجه مى
Ay <X<x)=pS" <x <2") oz <Z<2) م:
7 7 5
آخير را می توانیم با استفاده از جدول ۱۰ ۳۱۱
راحتی محاسبه کنیم ( استفاده از جدول ) .
جدول های مورد نظر کتاب مقدار احتمال را از" - تا
بخصوصی می دهد . برای این کتاب داریم :20(
160
صفحه 161:
ت محاسبه 172> 2 :2-7 1.72> 2
مطلوب است HO Z<1.7Q
05-5 0509573 - 1.72> 2 < 2 17> 2 > 0إتر
با استفاده از جدول داریم :
9 ار ۴
172-> 2
با توجه به متقادن بودن توزیع نرمال می توانیم بنویسیم :
1.72 =1- (Z<1.72 =1- 0.957:
161
صفحه 162:
اس احمال ¢Al3<Z<179
32 208599 (13> ۳2 -173> ۳2 < 1.73> 7 >3 یز
احتمال1-02542>043؟ 2 029-> 2م -049> 2م - 0252-0459 نابر
'1+0598 0.6736- 0.29> )م +1 - 045 > 12
۶ فرض می کنیم 26 دارای توزیع نرمال با میانگین ۴.۳۵ و انف
el glee. ASL, 50 (X ~M4.35(059")) + 04 |
3 _ 4.35 =
باشد . :0925 -1- 144> 2تر -1- 14۵ <<
3 059
162
صفحه 163:
ترمال : ( تفریب نرمال برای
دوجمله ای (
0 در توزیع دوجمله ای بزرگ باشد » می توانیم از توزیع نرمال
تقریب دوجمله ای استفاده کنیم . یک شرط مناسب برای استفاده
0020000 تارشت از : 2۵ .
اکنون برای آن که بتوانيم دوجمله ای را به کمکک نرمال تقریب بز
باید توجه داشته باشیم که چون دوجمله ای یک توزیع گسسته
باشد و آن را به کمکک توزیع نرمال که یکك توزیع پیوسته می
تقريب مى زنيم بايد از تصحيح يبو
163
صفحه 164:
8.
آین که (] بزرگک در نظر گرفته می شود اين احتمال را
1 ی استاندارد تبدیل می کنیم به شرط آن که 7۳ ۷ و 2 حلكزصل- هم
منظور شود .
بتابراین داریم :
(2> > ۳2 < خر
Rp 0.5)- np_ X-np —(k+0.5)- کر
Yani Jan مرس و
اکنون مانند قبل مى توانيم اين احتمال را به كمكك
محاسیه کنیم .
164
صفحه 165:
165
) = 2026-27-7
©(239- (0.26 -09911 0602)
7 =X >10 < ۳65 > 2 <105)
5 105-6
۳9
cel dae ga د عر 0لا
a به کمک تقریب نرمال ؟
np=6>5
65-6 =a X= np
23 ارم D
صفحه 166:
توزیع چند متغیره
(دومتغیره)
6و ۷ دو متغیر گسسته باشند . احتمال اینکه26 مقدار(
)و ۷مقدار ( ۷-۷۷ ) ۷۷ را اختیار کند را با
<< کفانق می دهیم . به عبارت دیگر این احتمال ؛ احتمال اشتراک
پشامدهای و می باشد< لقن اعقطال‌لرا به صورت ساده نشان
هى دهيم وآن را توزلقع»تؤكم او لا می نامیم .
تعریف :51 VE WX تلا صلادفوا/گسسته باشند تابعی که با رابطه
برای هر زوج مرتب {xy 2 و ۷ تعریف می شود تو
و ۷( تابع احتمال توام ) می نامیم .
166
صفحه 167:
صفحه 168:
كنيد ARMY OS یک توزیع احتمال توام
0( + )1()2( + )0()3 + )20( + )22)2( + )2 + )30( + )002( +)
168
صفحه 169:
دو صورت می توانیم مشخصر کنیم :
Allee | y
مانند حالت یک متغیره در اینجا نیز می توانیم
زیر تعريف كنيم : و كاد
ts
169
صفحه 170:
1
هه عوجر را
۳02:2( < رهم + ره > (2> > کر + £2D+ 2D
۹ 3 _
2300۵۵۵۰۵0۵۵
)2< برع ) ۳۳3
وت محسبه را ۳
£(2,2) 0,10
170
صفحه 171:
8
تام دومتیره با مقادیر (کهاژوی صفحه تعر يقللاشده
کالی احتمال توام 26,۷ خوانده مى شود اگر و فقط اگر برای
۵ داشته باشیم :
Hee Al= fla yard, 5
آزاین تعریف فورا نتیجه مى كيريم :
تابع دومتغيره 7 "ی به عنوان تابع چگالی احتمال توام 26,۷ بکاره
که مقادیر آن یعنی در شرایط دی کند : ١
۱-به ازاء HEMI | «+واطه باشيم :
-Y — هرمز
171
صفحه 172:
لی احتمال توام دو متغیر تصادفی ۷,۷6 به صورت زیر
Mx yp ={ BA 0x10 <y>2
O:ow
مطلوب است محاسبه ۴4 برای آن ۸۸ عبارتست از ناحیه ای از
ميرمل مدهو رم
ببس و ۹
حل : مطابق تعريف كلى: , رفعة فرعام | لول زر كاك
oa ۵ ail. Si
ايك 00 foxy + xy] =3 faxeae وه رهز
1
11 0
و
172
صفحه 173:
تعیین کنید(1:/ که به صورت زير:
ارك 7 ۳
0:0۳
چگالی احتمال توام باشد .
A280: ffflaydxdel — [fixrdydet
ay ox
112117 1 مر |
و وضو چا 0-7
173
صفحه 174:
a های حاشیه ای
فاده از توزیع های توام lS cate b ae
توزیع تنهای 26 و توزیع تنهای ۷ را معرفی کنیم که در این
صفحه 175:
حالت گسته
<<
تابع احتمال توام 26 و ۷ باشد . آنگاه تابع احتمال
کی تال حایه ای ۷ عبارتست از
,= £09 = 9(£
xy) ولد دي - صب
قم
مثال : فرض كنيد فیدر ay واگ است احتمال حاشیه ای :
6
۳ i =
p= ¥ 2 y= 1 (00) + 10)+)={ 36
6
elo) + 302)+ 1) ={ 36" 7-23
0:0۷
175
صفحه 176:
176
یم توزیع احتمال 6و ۷ به صورت زیر باشد :
Y=
2 \\4
| in| om
al [BIS | sis | SF
1
داع
صفحه 177:
و ۷ متفیرهای تصادفی پیوسته و ۰ الب ییگالی احتمال
د آنگاه تبع چگالی حاشیه ای me ay ox عبارت ۱
5۵ < ور H() = ffx dx
: ض این که تابع چگالی توام 2 و ۷ به صورت زیر باشد
۲۷ مطلوب است چگالی حاشیه ای 6( و
109: ae : حل
177
صفحه 178:
تابع چگالی احتمال توام و لا به صورت زير
_p 2x>0,y>0,x+ y<1
ow :0 ار
مطلوب است اولا تعیین توزیع حاشیه ای 26و ۷ و ثانيا تابع توزب
FO یکنواخت
178
صفحه 179:
استنباط آمار ى
صفحه 180:
در اين فصل انواع برآورد پارامترها و روش های
برآورد را که شاخه ای از آماری است مورد بحث قرار
می دهیم. به عنوان مثال ارائه یک عدد معینی بر اساس
مشاهدات به منظور تخمین پارامتر. را برآورد نقطه ای
و ارائه یک فاصله بین دو مقدار عددی را برآورد
فاصله می گویند. در انتهاى فصل نيز برآورد فاصل
برای مینگین» نسبت» واریانس و نسبت واریان
ارائه می شود.
180
صفحه 181:
تمونه تصادفی : گویيم اگر :۰ یرای تصادفی و
تقل و هم توزیع باشند » تشکیل نمونه ای تصادفی به اندازه
١ از جامعه نامتناهی را می دهند .
تعریف میانگین نمونه ای : اگر ۰ رای تصادفی باشد .
آنگاه میانگین نمونه ای عبارتست از : ١
واریانس نمونه ای عبارت است از :
181
صفحه 182:
توزيع نمونه اى(20) :
نه اى تصادفى از جامعه اى با ميانكين و وارپانس
DAX) =uy =H
a a “ft سر
x) = 3) =| (49) ع x) كد AX)
دوع ۳۲
2
مار تمونه ای :
182
صفحه 183:
ه مورد مطالعه نرمال باشد ¢ آنگاه دارائة توزیع
وواریانل است. و"
0
كسد
۲: فرض می کنیم نمونه تصادفی به اندازه 0 از جامعه إى !|
غیرنرمال استخراج کرده باشیم » در این حالت می توانیم از قضيه
مرکزی به صورت زیر استفاده کنیم .
183
صفحه 184:
قضیه حد مرکزی :
فی از جامعه نامتناهی به اندازه 1۱ را تشکیل
ان وواربانس» و تابع مولد گثتعاورهای
فک
Via
2
تی "۰" به توزیع نرمال استاندارد همگراست .
XH, Non
184
صفحه 185:
۲ ری متکی بر آماره ها می باشد .
ی أز متقرهاى تصادفى كه به ميج باراشر يجهولى
نداشته باشد ( بارامتر - مشخصه هاى جامعه ماننلاا” :.:
اراس و :آمارة
حت ee وان
مثال : 26 و ** آماره هستند ولی »۳ آماره تست ٩۱۳ ۰
دو آماره مهم عبارتند از :2-7 moo f=
از مشخصه های آماره ها یکی نااریب بودن آن ها است ..
185
صفحه 186:
۲ تاریب گوییم هرگاه : MOU برای
ك جامعه یعنی * ااریب است .
atx) =u ود مه - رهد هو يعدم در
x
EP Shin a مثال : در توزیع دوجمله ای نسبت پیروزی ها
> - > HO) = و مم - وس - ورم - که
186
صفحه 187:
ظر می گیریم معیار کارا
برای یک آماره در نظر می گيریم معیار کارایی
: باشند و داشته باشیم * é,
8 و ۶" دو آماره نااریب برای * باشند و
کاراتر ان است .
آنگاه گویم ار از
187
صفحه 188:
که برای آماره ها تعریف می کنیم سا زگاری می
۹ ۲" رابرای 6 سازگار گوییم هرگاه :
ر کاری : اماره " را برای از و
۳
به عنوان مثال برای 7 داریم :
اک آماره ساز گار است
188
صفحه 189:
است که برای بر آورد یک پارامتر به کار می بریم
عى شود .
ای : اگر مقدار یک بررآورد گر را برای بر آورد یک پارامتر به
۱ ریم گوییم یک برآورد نقطه ای دارد .
۳ ی برآورد گربرای " است. اگر داشته باشیم 2 ۲۳
32 2
آنگاه یک برآورد نقطه ای برای جامعه است .
189
صفحه 190:
به دو روش مورد نظر قرار می گیرند یعنی دو روش
ت آوردن برآورد نقطه ای وجود دارد .
درستنمایی ما کزیمم (۱۸۱)
۲- روش گشتاورها ) (MME
صفحه 191:
: تعریف تابع درستنمایی a
نمونه تصادفى از جامعه اى با جكالى 49 باشد
: اسان
YO, Ky 30%) = FU, XS) = 68) كا و
a cS ريع i ا
این متغیرها یعنی
اك ““ نمونه ای تصادف Pees
هستند و جكالى مشتركك يعنى (413:26:.::25 برابر حاصاخ
هاى هر يكك از متغيرهاى تصادفى است . يعنى داريم : 7
)%(,£ -..)2(%5
191
صفحه 192:
»< ۰
نتیجه می گیریم تابع درستنمایی به صورت زیر در مسائل مور
قرار مى كيرد :
(0 يقس ية )1 ح (وكت..., و3 رة ,140
0 []- و[ [- .۵20۵ - (ملة.
اروش درستنمایی ما کزیمم مبتنی بر این اصل است که مقداری از را
جواب #7-0اتهمان اسكه.
192
صفحه 193:
صفحه 194:
مک ا تصاد فى از بع زير باشدن
ra
روش ۷۶ برآورد کنید .حل : **)0 -07(1= )£00 )1
ay" =* من عوك 1050-0۳۴ ]- ( بدا
mai 194
صفحه 195:
ژ توزیم تمایی با پارامن © ۲
ای تصادفی از توزیع نمایی با پارامتر
۳ ae
0 ۳ < 0, <0 . بدست آورید MLE
O:ow
صفحه 196:
ن روش دو تعریف زیر را در نظر می گیریم :
Sx.
Bt fe fda: 31 Cand jhe ا مرتبه ۲ ام جامعه
a, 28
۲- گشتاور نمونه ای مرتبه ۲ ام :
از جمله گشتاورهای نمونه ای وقتی است که :
x
196
صفحه 197:
Hy, = Blu)
برای روشن شدن مطلب به مثال زیر توجه شود :
197
صفحه 198:
تابع چگالی احتمال عبارتست از ؛
G6": x>0
O:ow
f(x0) ={
صفحه 199:
برآورد فاصله ای
زیع خاص مورد استفاده درس :
رنود لدع میرب لیم
Wn
Xe 2 ۲ دوم 2 کارت از : کای ote
2
كما جمع يذيرند با شرط استقلال . يعنى اكر متغير ۳
تصادفى مستقل » نرمال استاندارد باشند آ:
مد لد و .+ و2 +
199
صفحه 200:
ا درس برآورد فاصله ای از اين 1۶۶ ۱ ۳
مى کنیم که واریانس جامعه مجهول و اندازه ی نمونه یعنی (] کوچک .
باشد » كاريرد 71 به دست آوردن برآورد فاصله ای برای میانگین
است . 5
©) شكل خاصی از کای ۲: ا
کاربرد این فرمول در درس برآورد فاصله ای وقتی
» یک برآورد فاصله ای بدست آوریم .
200
صفحه 201:
خارج قسمت تقسیم دو توزیع کای ۲ مستقا و
و فرض کنیم 26 و ۷ مستقل از یکدیگرند آنگاه 7 دارای
یعی به نام توزیع ۳ یا توزیع فیشر خواهد بود . اين توزيع داراى دو
درجه آزادی است که یکی مربوط به صورت و یکی مربوط به مخر-
کسر می باشد که می نویسیم :
201
صفحه 202:
۱
جامعه ی نرمال داشته باشیم و از آن ها دو نمونه ی تصادفی و
هاى و استخراج كرده باشيم .قر اين#صورت ثابت مى
ی توزیع ۴ به ترتیب با و رو برد رجعرآزوى است .
- ریا جرا
کاربرد این فرمول در درس جایی است که بخواهیم برای نسبت وا
استباط داشته باشیم بر
قضیه : (نتیجه ) و BSS | eee
اع
202
صفحه 203:
4 ای ( فاصله اطمینان )
»#احلمال مشخص ولی بزرگی باشد . > یا
»و -1 و 209ک برآورد فاصله ای برای پارامتری
Fe LY ABD) scsi alot eae
می باشند ) . که با احتمال ۰ ©لالْمته باشيم : L<0 <U) =1- a
به -1را سطح اطمینان (ضریب اطمینان )می نامیم و معمولا با درصد
با استباط از این تعریف نتیجه می گیریم که در برآوود فاصله ای OB
فاصله ی بازی مانند ارا بيابيم که با احتمال مشخص تعر
(LU)
203
صفحه 204:
سله های اطمینانی که پیدا می کنیم عبارتند از :
» ای برای ۸
آورد فاصله ای برای 7
برآورد فاصله ای برای تفاوت میانگین ها
Oo
2 a
برآورد فاصله ای برای
2 Pe ۹
5 برآورد فاصله ای برای 91
2
2
204
صفحه 205:
صفحه 206:
ای برای /( میانگین جامعه )
SEK,
7
(LU) =(X- و2 3 Dy) aR td
BZ, <ZeZy)a-a = M2, < dea
می شود :
در این فرمول ميانگین نمونه ای مربوط به جامعه ی نرمال ۳ ۲۰ انحر
تا جامعه و ۲۱ اندازه ی نمونه‌می باش1 ۰ ۱۳۳۳
2 که با داشتن * باه ۳ از جدول بدست می ی "
206
صفحه 207:
عمر کامپیوترهای تولیدی یکك موسسه از توزیع
۴ ۰۵سال پیروی می کند.. بر اسان
تصادفی از این جامعه مقادیر زیر حاصل شده است :
- ۷-۰۶-۵۸۵4 ۱۰
قرار می دهیم:
207
صفحه 208:
صفحه 209:
صفحه 210:
ری
mg :۱- 0 ی
َ ا ال مه
زر خواهد بود : 00 :۷
صفحه 211:
صفحه 212:
رد فاصله ای 100-۰0 برای 0 .
بزرگ آنگاه یک برآورد فاصله ای 100-56
صفحه 213:
اطمینان ( فاصله ای ) برای تفاوت میانگین ها (۷۶ ۲7
دو جامعه ی نرمال و واریانس های OT ها معلوم است . فرض
و شادنی مستقل از مب دز دام A
جامعه ی نرمال استخراج کرده باشیم .با فرض این که میانگین و
واریانس جامعه ای اول۰*و میانگین و واریانس جامعه ی دوم
می باشد . (ور2- ۲ ( و0
213
صفحه 214:
برای(:-:ایک ب رآورد فاصله ای با ضریب اطمینان * 7
صورت داريم 3 مط خط :و حمر
2
ee
2
جک ها + ها ۲ روه
در این صورت فرمول بالا به صورت
توجه شود که واریانس ها معلوم فرض شدند .
214
صفحه 215:
اندازه های نمونه بزرگ باشند ولیکن واریانس ها معلوم نباشند
2
( ی رت می توانيم در مسئله ی قبل به جای 92۰07 از ,2 ۹
استفاده کنیم . ولیکن مسئله ی مهم وقتی اتفاق می افتد که اندازه های ۰ .
نمونه کوچکک و واریانس ها مجهول باشند . در اين صورت در فرمول .
برآورد فاصله ای از واریانس pee نام واریانس تر کیبی یا اد
شده استفاده کرده که آن را با نماد" نشان داده و به صورت ز
تعریف می کنیم : +(m- DS
215
صفحه 216:
در برآورد فاصله ای مورد نظر باید از توزیع ] با
درجه ی آزادی استفاده نمود و بدین ترتیب برآورد
ای به صورت زير خواهد بود .
صفحه 217:
ی برای (:/ 7*وقتی که اندازه ی نمونه های حاصل از دو
Bw کوچک و واریانس های دو جامعه نامعلوم باشند .
د اساسی که برای این مسئله در نظر می گیریم آن است که هر
ا ل ولیک آن ما را ec یعنی داریم
در این صورت بر آورد فاصله مورد نظر عبارتست از :
۳ 9 ,24 ی + ها(
217
صفحه 218:
برای واریانس جامعه*0 :
اگر از جامعه ی نرمالی با انگین و واروانس مب
ادفی انتخاب کنیم آن گاه متغیر تصادفی دارای ois
به نام توزیع کای ۲ با 1 -(] درجه آزادی است .
ged XD
a1
و ل لول مى تواني بای ی تجامعه ی نرمال استنباط داشته
ru .از جمله مى توانيم برآورد فاصله اى به صورت زير را معرفى
11 رز
با معلوم بودن یا »ولیز اندازه ی نمونه مقادیر و
218
صفحه 219:
برای نسبت واریانس ها
شد در این مورد باید از توزیعی به نام توزیع LF
اگر از یک جامعه ی نرمال دو نمونه ی تصادفی
با واریانس های مجهول -. BS bs!
متغیر تصادفی دارای توزیعی به نام توزیع ۳ با درجات آزادی
2 4
&
5
صورت و مخرج به صورت زير خواهد بود :
219
صفحه 220:
می توانیم یک برآورد فاصله ای برای
ot 1 كيك gs
9 Farias Ea Tai s)
مقادیر ۴ از جدول محاسبه می شود .
220
صفحه 221:
اوقات مقادیر ۳ در جدول وجود ندارد ؛ در
توانیم از رابطه ی زیر استفاده کنیم :
1
Beg) وي
صفحه 222:
برای انجام یک کار به دو روش برای کاربران رایانه»
زير بدست آمده است :
۲۲ - ۲۳-۲۷-۲۶2۲
۳۸ - ۳۴ - ۳۲-۵-۷۵
٠ الف. یک فاصله اطمینان ٩۰/۰ برای واریانس هر یک از دو روش ب
آورید .
ب. یک برآورد فاصله ای ٩۰/۰ برای نسبت واریانس ها بد
222
صفحه 223:
6 ات درباره ی پارامتر جامعه .
متوسط عمر تزاشه های تولیدی یک کارخانه بزرگ
: ات تتابراین فرض آماری عبارتست از ٩
0 لقا ل SI" GCF Cn و
ها به دو دسته تقسیم می شوند : يا ساده هستند و یا م رکب .
223
صفحه 224:
ر توزیع آماری را کاملا مشخص كند . در غير اين
ااست.
ا می شوند که عبات 73
رب هم
یک طرفه از راست :۱۰۰<م
+ دو طرفه Bee
224
صفحه 225:
صفحه 226:
صفحه 227:
صفحه 228:
5 .
ض ها با دو فرض روبرو هستیم . یکی از اين فرض
رض صفر ناميده و با نشان می دهیم7# فرض دوم را فرض
بل ناميده وبا نشان مى دهيم. 24
آزمون فرض ها با دو نوع خطا مواجه هستيم كه عبارتند از :
خطای نوع اول : که احتمال آن BLS LL مى دهيم .
sis, H,) = (RH,/ H,)
: خطای نوع دوم : که احتمال آن را با نشان می دهیم
AH, | H,)
228
صفحه 229:
—
راست وقتی رهلتقی شود که مقدار مسئله ی مورد نظر
ا لوكا تصادفى بدست مى آيد که بزرگ تراز
ار مقدار حاهّل از مستله را با نشان دهیم رد.می شود :2
اكر و فقط اط eZ,
٠ حالت ۲: یک طرفه از چپ
در آزمون یک طرفه از چپ وقتی ریلمی شود که مسئلیگدر:
,2 ->صیق کند.
و22
صفحه 230:
“دو طرقه
2
0
4 ی در حل مسائل آزمون فرض:
ee
9 ار (اتنظيم مى كنيم.
See
ل كنيم.
براساس نمونه ى مورد نظر تابع محوری مورد بحث 5
. آن را مشخص مى كنيم
تصميم لازم را اخذ مى كنيم. +
230
صفحه 231:
tex سر #
) os
. بر اساس** تنظیم می کنیم ۲
. لازم را اخذ می کنیم
5 همه ی مواردی که بر آورد فاصله ای داشتیم می خواهیم آزمون .
فرض را انجام دهيم .
231
صفحه 232:
رمون فرض برای # جامعه .
نرمال (0] بزرگ ) و :م معلوم . lees ۱
ee 5 9
3 معلوم و آماره آزمون عبارت است از: (۳- -
قاعده تصميم: Z> Zo RH
232
صفحه 233:
2 و © معلوم و آماره آزمون عبارت است از:
قاعده 7 تصميم: الا ه ,2-2
233
is.
NGA)
صفحه 234:
9
و *معلوم و آماره آزمون عبارت است از: ۰ ل«
قاعده تصمیم: RH ©
234
صفحه 235:
صفحه 236:
رمالی نمونه ای تصادفی به اندازه ی ۲۵ انتخاب کرده
3 تصادفی میانگین نمونه ای برابر 1۷۶ ۳
oF. اگر واریانس جامعه برابر ۱۰ باشد فرض ١
بر فرض در سق <معدية! دار ۰ آزمون كنيد.
7
5 76
oe
وچ
شلك يقد يج
2-05-29
نتیجه : يس ae
236
صفحه 237:
2107 از جامعه نرمال : وقتی (] کوجک و۶
در برآورد فاصله ای گفته شد در این حالت آزمون را بر
توزیع قرار می دهیم .
۷ > 35
ac ESR : صورت داریم aloe
RE = b <-f,
يك < اا ه 2۳
237
صفحه 238:
بم نموه ی تصادفی به اندازه ی ۲-5 از جامعه ی نرما
الهو في ى نر
يم كه بر اساس آن نتايج زير حاصل شده است :
۱/۱۸۹ - ۹/۱۸۴ - ۳/۱۸۷ 2-۲۱
را در برابر درسطح معنی دارمحاسبه
185 مر مر
1834= تفع
2
32-<049 << وا
238
صفحه 239:
Sal به اندازه ی ۶ از جامعه ی نرمالی انتخاب کرده
ساس آن مقادیر ۲۴ و ۲۸ و ۲۱ و ۲۳ و ۳۲ و ۲۲ حاصل
1 تلم معنی دار ۰ می توان ادعا کرد که میانگین
مه حداکثر برابر ۲۹ است ؟
صفحه 240:
رض در مورد 0 دوجمله ای :
در مورد 0 از دوجمله ای به صورت های زیر مطرح خواهد
30 ی و
11: جر <م 1: 8> AL: P*#R
با فرض این که اندازه ی نمونه بزرگ باشد در مورد آزمون فرض برا
توزیع 0 از توزیع دوجمله ای فقط از توزیع 2 استفاده می
بنابراین تابع محوری مورد نظر عبارت است از :
240
صفحه 241:
صفحه 242:
ee ۹9۰
RH= Z,>Z, : در این صورت داریم
RHe Z,<-Z,
RH |Z|>Z,,
242
صفحه 243:
۳
همه شرایط برقرار بوده و واریانس ها معلوم
حالت در فرمول تابع محوری به جای می توائم ,5
:ما مسئله اساسی وقتی می باشد که اندازه نمونه ها
چک و واریانس ها مجهول باشد که در این صورت آن را به
eee مفرح مى كنيم.
243
صفحه 244:
رض برای میانگین ها وقتی اندازه های نمونه کوچک و
ی ها مجهول ( ولی با هم برابر ) باشد ( ۲ جامعه نرمال ) هم چنان که
آوردهای فاصله ای گفته شد در این حالت توزیع مورد استفاده توزیع.
تواهد بود و به جای مجهول ولی مشترک از استفاده می کنیم .
7
(2م- هد 3)
۷ ات فرض تظيومى کت
7
244
صفحه 245:
صفحه 246:
مال نمونه های تصادفی و مستقل از یکدیگر با
۲ اختیار کرده ايم که بر اساس آن ها ميانگین های نمونه
تیب برابر ۱۳۶/۰ و ۰۸۳/۰بدست آمده است . ادعا شده است
وت مبانگین های واقعی بیشتر از ۰۵/۰ است . آزمون فرض
۳ ۱ مربوط به اين ادعا را انجام دهيد فرض اين ك إن ا ٠
. مى باشد ٠08/٠ و ٠05/٠ جامعه اصلى به ترتيب برابر
246
صفحه 247:
H=n,=32 5-0130 2 ا
2-5 و جره
5ح وير - بل : و
Zoos =1.64
ن شود .
و رتیه دس
247
صفحه 248:
که پر اساس آن ها میانگین ها به ترتیب برابر ۷۱/۳۱ و
ورن های نمونه ای ب» رد ۳
در سطح معنی دار ۰۵/۰
- DF +(n- DS Ee) 28262 =262
hooasio =2.22€ 2 =0.025
نتيجه :3,682.22 38s | - إم| لل
رق
248
صفحه 249:
دو نمونه تصادفی به اندازه های ۴ از دو جامعه
که بر اساس آن ها میانگین ها برابر ۵۱۲ و
آمده است . اگر بر اساس این نمونه ها انحراف معیارهای
أى به ترتیب برابر ۳۱ و ۲۶ باشد » فرض E>
0 و < و :ملظ و9
در سطح ۰ آزمون کنید .
249
صفحه 250:
کل ۵ رنه است اگر ۸ رایانه در اين محموله
در سطح ۵ درصد می توان گفت نسبت معیوب ها
2 رصد است ؟ vee
ae beac
64-16 ea
2-001
نتيجه : ملاحظه مى شود كه رطتحمى شود ( ب
250
صفحه 251:
توزیع کای ۲ با درجه 1 آزدی ام :۰ ۳
ض در مورد یز بر اساس همین توزیع کای ۲ م لاه رگ
| تحت فرض تنظیم کنیم بنا براین داریم:
Hy
oe
20 0 Rhee
10° <o"0
x70 >70 لو
2
Hora
ه و
»بز > تبر
251
صفحه 252:
252
صفحه 253:
صفحه 254:
اه يرهض WO Bodh»
م 8
صفحه 255:
۱ کنیم از جامعه نرمالی نمونه تصادفی به اندازه ۱18
ب کرده باشیم . بر اساس این نمونه تصادفی انحراف معیار BGR
8 شده است . فرض | Ree ol
در سطح معنو93ز ۰.۰۵ محاسبه کنید .
‘Hy:07 =036 Ho" > 0.36 : حل
=Xéosi7 =2758 %1 © 2183=
نتیجه کا توجه به اينکه مقدار مستله کبتر ۱ ۳2 1
فرض رد نمی شود .
Hy
255
صفحه 256:
2 5 مت از این آزمون آن است که تسف 9 35
كر از اين ازمون أن است Bes ss
عستا چچر . يا معادل آن تحقیق می کنیم لد
256
صفحه 257:
در
a
Shes با د
ت با توجه
صفحه 258:
از دو جامعه نرمال نمونه های تصادفی به اندازه های
کرده باشیم که بر اساس آن ها واریانس های نمونه
رتیب برابر ۲/۱۹ و ۵/۳ محاسبه شده اند . در سطح معنی دار ۵1
1 ی واریانس ها را در برابر فرض مخالف آن که واریانس ها
مساوی نباشند آزمون کنید .
ples
549-7- و 7- 5401219 2 2549
نتيجه : رد مى شود.
H,
258
صفحه 259:
از دو جامعه نرمال دو نمونه تصادفی با اندازه های
ده باشیم که بر اساس آن ها واریانس های نمونه
تیب برابر ۲۷۵ و ۱۵۰ محاسبه شده است . فرض در
ذر سطع 87زمؤن كنيد . H,:07 >o3
2-05
a Fa(2i9=233 Fy >Ros <2.33
نتیجه : شرط رد شدن برقرار نیست و رد نمی شود چوا
A
259
صفحه 260:
صفحه 261:
در فصل اول با جامعه آماری که از مقادیر یک یا چند
" صفت متغیر تشکیل شده بود آشنا شدیم. گاهی اوقات
تحلیلگر آماری علاقه مند به مطالعه همزمان دو یا چند
صفت آماری در جامعه است اگر دو متغیر 7,۷ صفات
متغیر مورد بررسی باشند همبستگی بین آنها برازش
خط رگرسیون» پیش بینی» و آزمون فرض ها روا
پارامترهای خط رگرسیون در اين فصل مورد ب
قرار می گيرند.
صفحه 262:
موارد با کمیت هایی روبرو هستیم که تخییرات آن ها
ر وابسته است. (یکی از کمیت ها را با 2 و دیگری را با
262
صفحه 263:
را پیدا کنیم. بدیهی است وقتی اب ین معادله مشخص
و معلو» باشن كه در اين ن جا آن ها رابه کمک
تصادفى برآورد خواهيم كرد. روشى كه در اين مورد انتخاب
زوش كمترين مربعات مى باشد.
و( را شیر ستقل يا بيش بين مى ناميم.
تعریف ۲) ۲ را متغیر وابسته یا پاسخ می نامیم.
263
صفحه 264:
potion وسقاور ۲ را با Xn
اين داده ها قابلٍ ترل باشند, توسط آزمایشگر مورد نظرقرار
اگر مقادیر26 توسط ۱
a مشاهده می ود ول
sia 5, ics avenge gi
: آن ها را موردنظر قرار دهیم.
264
صفحه 265:
نمونه می توانیم داده ها را به یکی از صورت های زیر
KDA Hy Ae Ys
Re Rf
x ae
روش برآوره و | روشی
۶ . مربعات ) می بنگد.
K
به نام روش حداقل مربعات (ک
265
صفحه 266:
8 ار که انتخاب می شود عبارت است از: ٠
E, 1
| خطاهای تصادفی می باشند. ee
اینکه هر 9 sane بعدى رادر نظر مى كيريم (برای
بررسی روش حداقل مربعات )
266
صفحه 267:
صفحه 268:
۲
موع لكها معمولاً صفرمى باشد بنبراین ازمجموع توان دوم
استفاد ميق كنيم.
اقل مربعات عبارت است ازمينيمم كردن رابطه زير:
ولا - لاد بك
— A@B=S d = y- 5)"
268
صفحه 269:
«ط +6 +
; حداقل مربعات عبارت است ازحداقل نمودن تابع زیر:
Aa, =% d; =3| yj- @+ by)
ee داشته باشیم:
«ايهلهة
269
صفحه 270:
1 معادلاتی را ارائه می کند که بر مبنای آن تابع (۸)2,/۵
مقدار خود را اختيار مى كند. معادلاتى را كه از حل اين
صفحه 271:
هد - زد << ( - بد) << (95)ی5 ۲۱
#«د - زر << (« S,fSS)=3(¥- (۲
mY - رز ود <<( - 0( -رد) وگ (
271
صفحه 272:
ها و معادلات نرمال نتیجه خواهیم گرفت:
۳
G=az=y- px om
تیب معادله خط برآورد شده عبارت است از:
عط جه عم +۵
272
صفحه 273:
۳
رابطه خطی يا معادله ركرسيونى بين دو
ce تصادفی به اندازه ۱۵ بدست آوریم. ee
7 إر تمونه مسئله را حل کنید:
۶۲ ۶ <2۱۸۲۰/۵ ۶ 2:1 2-2۷
۱۰/۲ 2 ۶ 2 2 ۷۵
273
صفحه 274:
۲ ۵ _ 1 2 ۲ لا 2
ane 29 ه اك
2۶ (6۰/۸ 2۱۸۲۰/۲۱۵ - زر << 5
6۰/۸۷۲/۷۶۳ ۱۵- 2۳۱۹۹۴۵/۷ - رک لاح ررق
= Se ما </۹۶ 6 ۱۲۲/۷۶۸۰۵۶
ده
در نتيجه معادله خط ركرسيون برآورد شده عبارت ا
۹۶/ ۱۲/۲۵۶۰
274
صفحه 275:
رن فى توانيم به ازاى مقدار خاصی از
لا را بيش بينى كنيم: م مدخو
لات ماعو جعن/ اد #ر مجم خر
275
صفحه 276:
صفحه 277:
صفحه 278:
a ۱
ده ها که آن را با نماد SSE نشان می دهیم, عبارت
= So)" ۳
SSE=S,y- B' Sex =Syy~ By Sa So B Sy
7 لاس توانيم مجموع مانده ها در مثل قبل Fe eel,
1 2-۸۸
6 5-۹ ۱۲۶/۸۸- ۷ ۸۵ =rra
278
صفحه 279:
تعبين رابطه خطى بين دو متغير تصادفى 26 و7
: به اندازه ٠١ از جامعه استخراج كرده ايم كه بر اساس
آن نتایج زیر حاصل شده است.
۶۰ زرد 2 ۲۸ زر واد
2-۸ 1 ۶ ۶۸۰
معادله خط رگرسیون و مجموع مربعات مانده ها را
آورید.
279
صفحه 280:
=e لاح
Sex 2 زد - UR =FVN/VO Sy =E yp ~ 1 ۸
رز با << رگ - ۳-۷۶
۴ یم
Sex ۷۵
لدجم 6-2 كرد
«ادله خط رگرسیون برآورد شده عا ۱ ۱
عداك/ ۰۷/ 6-۰ +
8 9۶
280
صفحه 281:
صفحه 282:
A ال طسو
۷
سس ۷ = 2۹۷
R = ae /۵
۲ - رو زعیگ 0۱۱۸/۲ د ب -برگ
Say WIS م بعرت =y- Bxr=-5A/0
84 Sex ۴
در نتیجه معادله خط رگرسیون بر آورد شده عبارت است
۶/۵ ۲
282
صفحه 283:
SSE
كد كدق
2
همم -
6-22
ane
خطاي معیار & (ه
2 خطاي معبار 8 (۶
صفحه 284:
—
'مى توانيم براى 2 ا#تتتاط داشته باشيم وقتى برٍ اساس
۱ انجام می دهیم, موارد زیر مورد نظر قرار مي كيرئد:
- tpn)
2152
فرمولها می توانیم جهت انجام استنباط درمورد استفاده.
0030207 0 فاصله اطمینان براى عبارت| oS Se
a Z\+Q- a)
284
صفحه 285:
اطمینان )@ ArgtO- عبارت 7 از:
9-۰
مأنند درس های گذشته می توانید برای
آزمون فرض ان
در برابر فرض های مقابل آن ها می Ga
285
صفحه 286:
مقادیر زیر پارامترها را بررآورد کنید.
سیون را بنویسید.
Bute ۳ 4
زیر را در سطح جام دهيد مش
.6ع 6 : 3
:: ۵۲ ۷۵ ۳۴ ۴۷ ۵۷ ۲۸ ۳۹ ۲۱ ۴۳ ۴
۷۵ ۹۸ ۵۶ ۸٩ ٩۲ ۷۳ ۶۵ ۵۲ ۷۲
286
صفحه 287:
صفحه 288:
۱ 0176x
SSE = 5, - 5-2056 40/800/760
SSE 2 781/37
ooo =21306 < 4/47 - 7ج
صفحه 289:
اد ساعات مطالعه را در برابر نمره دریافتی برای درس زبان
مى باشد. با توجه به اين داده ها معادله خط ركرسيون را كه
قیقت ر گرسیون نمرات امتحانی روی تعداد ساعات مطالعه را
تقریب می کند, بیابید.
۱۴ ۷۲
(۲ ۴
سپس آزمون را در برابر فرض در سطح ۰۱/۰ انجام دهید.
onli cc dee 40( ی ار
289
صفحه 290:
دانيم معادله خط رگرسیون بصورت می باشد
ای از جامعه را داریم بس بايد به فكر برآورد 74172 007 |
۵ زرد 2 2۱۳۷۶ 2 2-۵۶۲ 2۰۰ لا
x نا _۵۶۲- ۱۳۹۷/۰۰
۷۰
۳۰2۳
6 ۷/۷
290
صفحه 291:
مون زير را در سطح (000/0 بيازماييم:
صفحه 292:
صفحه 293:
—
بریم که نمی توانیم ادعا کنیم که بطور متوسط يكك
مطالعه بیشتر نمره امتحانی را سه نمره افزایش خواهد داد.
ی خواهیم یک فاصله اطمینان ۸۹۵ برای بسازیم, برای این کار
B é
۲/۲۰۶۸ تا ۱
۱۳/۲۷ - ۰/۶۲ ۰۳/۲۷ +۰/۶۲(-6/۸۲ ,(
293
صفحه 294: