آنالیز ریاضی ۲

آنالیز ریاضی ۲

اسلاید 1: آناليز رياضي 2

اسلاید 2: انتگرال هاي ريمان‌ ــ استيلتيسفصل اول

اسلاید 3: جايگاه درس :آناليز رياضي 2 درس اصلي تخصصي والزامي رشته رياضي ميباشد. اين درس در دوره كارشناسي ارشد آمار نيز تدريس ميشود.اين درس پيش نياز آناليز رياضي 3و پيش نياز آن اناليز رياضي 1 است.

اسلاید 4: هدف هاي كليدر اين درس انتگرالهاي ريمان استيلتيس به عنوان تعميم انتگرال ريمان ارايه ميشود.انتگرالهاي ناسره و توابع با تغيير كراندار از ديگر موضوعات اين درس مي باشد.دنباله ها وسري هاي توابع وبررسي خواص آنها وسپس مطالعه سري هاي فوريه وسري هاي تواني وتوابع خاص مانند تابع گاما از ديگر موضوعات مورد مطالعه اين درس مي باشد.

اسلاید 5: هدف هاي رفتاريپس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد 1 ‌. يك افراز براي بازه را تعريف نماييد ‌ 2. مجموع هاي بالايي و پاييني يك تابع روي را تعريف نماييد ‌‌‌ 3. انتگرالهاي بالايي و پاييني براي يك تابع را روي يك بازه تعريف نماييد ‌ 4. انتگرال ريمان استيليتيس يك تابع روي يك بازه را تعريف نماييد .

اسلاید 6: ادامه هدف هاي رفتاري6.خواص انتگرال ريمان استيليتيس را بيان و اثبات نماييد.7. رابطه انتگرال پذيري ريمان ايتيليتيس را با مشتق پذيري بيان كنيد .8. قضاياي اساسي براي انتگرال ريمان استيليتيس را بيان كنيد .9.انتگرال گيري به روش جز به جز را انجام دهيد. 5. شرط ريمان را براي يك تابع روي يك بازه تعريف نماييد.

اسلاید 7: تعريف : هر گاه يك بازه باشد مجموعهرا يك افراز مي نامند. مجموعه افراز هاي را به نمايش مي دهيم. مثال :

اسلاید 8: تعريف : اگر افرازي از باشد نماد را چنين تعريف مي كنيم :و قرار مي دهيم

اسلاید 9: مثلاً در بازه ، مجموعه هايتشكيل افراز مي دهند در داريم : . در نتيجه . در داريم : . در نتيجه ، بالاخره در داريم :

اسلاید 10: حال به تعبير هندسي اين موارد مي پردازيم :

اسلاید 11: تعريف : هر گاه دو افراز براي بازه باشد را ظريف تر از گوييم هرگاه

اسلاید 12: تعريف : تابع را بر بازه كراندار و را افرازي از مي گيريم اعداد را چنين تعريف مي كنيم :

اسلاید 13:

اسلاید 14: تعريف : اگر بر بازه كراندار و بر صعودي و افرازي از باشد مجموعه هاي بالا و پايين را به ترتيب با نمايش مي دهيم و چنين تعريف مي كنيم :كه در اينجا

اسلاید 15:

اسلاید 16:

اسلاید 17:

اسلاید 18:

اسلاید 19: قضيه . الف) اگر و دو افراز از و (يعني ظريف تر از باشد)، آن گاه :ب) به ازاي هر دو داريم :

اسلاید 20: الف) يعني با ظريف‌تر شدن افراز حاصل جمع هاي بالايي افزايش نمي يابند و حاصل جمع هاي پاييني كاهش نمي يابند. به عبارتي ديگر حاصل جمع هاي بالايي از بالا كراندارند و حاصل جمع هاي پاييني از پايين كراندارند.سوال : اين كران ها كدامند ؟تعبير هندسي

اسلاید 21: ب) هر حاصل جمع پاييني از هر حاصل جمع بالايي نابيشتر است به عبارت ديگر هر حاصل جمع بالايي يك كران براي مجموعة حاصل جمع هاي پاييني و هر حاصل جمع پاييني يك كران پايين براي مجموعة حاصل جمع هاي بالايي است.سوال : كدام يك از اين دو مجموعه سوپريموم و كدام اينفيموم دارد ؟چه رابطه اي بين آن دو برقرار است ؟

اسلاید 22: نتيجه : اگر آنگاه براي هر افراز از

اسلاید 23: تعريف : اگر بر كراندار و بر صعودي باشد آن گاه انتگرال هاي بالا و پايين را به ترتيب چنين تعريف مي كنيم .

اسلاید 24: را نسبت به انتگرال پذير مي ناميم در صورتي كه دو انتگرال فوق با هم برابر باشند و در ايـن صورت مي نويسيم و مقدار انتگرال را با نمادنشان مي دهيم . طبق قرارداد و مي گيريم.

اسلاید 25: مثال : تابع بر با ضابطه زير تعريف شده است :و تابع صعودي دلخواهي است آيا بر ؟چرا ؟

اسلاید 26: حل . اگر افرازي دلخواه از باشد. مي دانيم كه در هر بازه اعداد گويا و اصم وجود دارد. از اين رو و بنابراين ،

اسلاید 27: در نتيجه ، و به طريق مشابه در نتيجه، . پس

اسلاید 28: مثال : تابع و بر فاصله چنين تعريف شده است :آيا ؟ چرا ؟

اسلاید 29: حل. چون در هر بازة نقاط گويا و اصم وجود دارد. از اين رو ، به ازاي هر افراز از . از اين رو

اسلاید 30: كه در آن از اين رو ،پس .

اسلاید 31: مثال : تابع بر بازة به صورت تعريف شده است. به كمك تعريف نشان دهيد اين تابع به مفهوم ريمان انتگرال پذيز است. انتگرال آن را بيابيد.

اسلاید 32: حل. فرض كنيد ، در اين صورت

اسلاید 33: در نتيجه ،رابطه فوق به ازاي هر برقرار است. چون حدود طرفين برابر است. پس

اسلاید 34: مثال : تابع بر با ضابطه زير تعريف شده است. آيا ؟ چرا؟

اسلاید 35: حل. اگر بگيريم، داريم :در نتيجه با توجه به مثال قبل چون . بنابراين

اسلاید 36: به طريق مشابه اگر بگيريم، خواهيم داشت :از اين رو چون با توجه به مثال قبل نيز انتگرال پذير است و

اسلاید 37: بنابراينپس .

اسلاید 38: مثال : تابع بر تعريف شده است. انتگرال را بيابيد (به مفهوم ريمان)

اسلاید 39: حل. همانند (ج) به ازاي افراز داريم :

اسلاید 40: در نتيجه ،

اسلاید 41: از اين رو ،اولين سؤالي كه بعد از اين مثال ها مطرح مي شود اين است كه كدام توابع هستند كه انتگرال پذيرند. ذيلاً دسته اي از توابع را مشخص مي كنيم كه نسبت به هر تابع صعودي انتگرال پذيرند. در واقع توابع پيوسته انتگرال پذيرند. اما قبل از اثبات اين موضوع به قضيه اي كه ذيلاً مي آوريم نياز داريم.

اسلاید 42: قضيه (شرط ريمان). شرط لازم و كافي براي آن كه آن است كه شرط اخير را شرط ريمان مي نامند .

اسلاید 43: لم . اگر تابع بر بازة كراندار باشد، آنگاه

اسلاید 44: قضيه . اگر تابع بر بازة پيوسته و بر صعودي باشد ، آن گاه ‍ ‍ ‍ .

اسلاید 45: قضيه . احكام زير معادلند ‌:الف) ؛ب)

اسلاید 46: ج )د )

اسلاید 47: قضيه : اگر بر صعودي و بر صعودي و پيوسته باشد، آن گاه

اسلاید 48: قضيه : اگر توابع و در نقطه از بازة از راست ناپيوسته باشند ، آن گاه

اسلاید 49: قضيه : فرض كنيد تابع كراندار به غير از تعداد متناهي نقطه از نقاط داخلي بازة پيوسته و تابع در نقاط ناپيوستگي پيوسته باشد در اين صورت

اسلاید 50: مثال : تابع با ضابطة زير تعريف شده است .در آناليز ديده ايد كه تابع در نقاط اصم پيوسته ولي در نقاط گويا ناپيوسته است . در اين مجموعه نشان مي دهيم كه تابع فوق داراي انتگرال هاي ريمان بر بازة ‍ است .

اسلاید 51: حل. فرض كنيد عدد طبيعي را طوري انتخاب مي كنيم كهفرض كنيد

اسلاید 52: كه در آن عدد طبيعي دلخواه است. اگر ، آن گاه مجموعه هاي را به صورت زير تعريف مي كنيم :

اسلاید 53: اگر ، آن گاه اعداد گوياي بازة داراي مخرج بزرگتر يا مساوي است . از اين رو ، واضح است كه همواره همچنين

اسلاید 54: كه در آن تعداد اعضاي است ، و . در نتيجه ،از اين رو ، ، پس و .

اسلاید 55: محك لبگ در مورد انتگرال پذيري ريمانتعريف. گوييم مجموعة با اندازة صفر است در صورتي كه به ازاي هر خانواده‌اي شمارا از بازه‌هاي باز مانند وجود دارد به طوري كه

اسلاید 56: بـديهي است كـه هـر مـجموعه يكـاني بـا مجموعه‌اي بـا انـدازه صـفر است زيـرا ‍ . از اين رو مجموعه‌هاي متناهي با اندازة صفر است. ذيلاً ثابت مي كنيم هر مجموعة شمارش پذير با اندازة صفر است.

اسلاید 57: قضيه. اگر شمارش پذير باشد ، آن گاه با اندازة صفر است .برهان. فرض كنيد داريم :

اسلاید 58: همانند قضية فوق مي توان نشان داد كه اگر با اندازه صفر باشد، آن گاه نيز با اندازه صفر است .

اسلاید 59: تعريف : فرض كنيد بر بازة كراندار باشد. اگر عددرا نوسان تابع بر مي ناميم. نوسان تابع را در نقطة به صورت زير تعريف مي كنيم :اگر ، آن گاه ، در نتيجه ، حد بالا موجود است .

اسلاید 60: قضيه . تابع بر بازة تعريف شده است اين تابع در نقطة پيوسته است اگر و فقط اگر .

اسلاید 61: برهان. فرض كنيد تابع در پيوسته است در نتيجه ،اگر ، آن گاهاز اين رو ، .در نتيجه ، ، پس .

اسلاید 62: قضيه . فرض كنيد تابع بر بازة كراندار است و به ازاي هر ، همواره ‍ ‍ . آن گاه ي (وابسته به ) وجود دارد به طوري كه به ازاي هر زير بازة اگر ، آن گاه . (منظور از ‍ طول بازة است) .

اسلاید 63: برهان. بنا به خاصيت اينفيمم ، ي وجود دارد به طوري كهچون ، و فشرده است پس

اسلاید 64: فرض كنيد . اگر ، آنگاه ‍ .

اسلاید 65: قضيه : فرض كنيد تابع بر بازة كراندار است . به ازاي هر مجموعة ‍‍ به صورت زير تعريف مي شوددر اين صورت بسته است .

اسلاید 66: برهان. فرض كنيد . اگر ، آن گاه ، از اين رو ‍ ي وجود دارد به طوري كهاز اين رو هيچ نقطة به تعلق ندارد ، كه با فرض متناقض است . پس ‍‍

اسلاید 67: قضيه (محك لبگ براي انتگرال پذيري ريمان) . فرض كنيد تابع بر بازة كراندار و مجموعة نقاط ناپيوستگي بر باشد. بر اگر و فقط اگر با اندازة صفر باشد

اسلاید 68: انتگرال ريمان استيلتيس داراي خواص زيادي است كه ذيلاً اهم آن خواص را مي آوريم.قضيه : احكام زير برقرار است (همة انتگرال ها در بازة تعريف شده اند مگر آنكه خلاف آن تصريح شود)خواص انتگرال

اسلاید 69: الف) اگر و ، آن گاه و ‍ اگر ، آن گاه ب) اگر ، آن گاه و

اسلاید 70: ج) اگر و ، آن گاه .د) اگر و ، آن گاه و

اسلاید 71: قضيه : اگر بر ، آن گاه بر و و

اسلاید 72: قضيه . فرض كنيد بر و تابع بر پيوسته است . آن گاه تابع بر نسبت به داراي انتگرال است.

اسلاید 73: نتيجه . اگر ، آن گاه اگر ، آن گاه .

اسلاید 74: برهان. فرض كنيد پس . عددي حقيقي مانند ‍‍ وجود دارد به طوري كه .در اين صورت ،

اسلاید 75: با فرض و 3.4.1 نتيجه مي شود كه ‍ ‌ پس

اسلاید 76: قضيه : فرض كنيد موجود است و . آنگاه . اگر و فقط اگر

اسلاید 77: قضيه ( اول مقدار ميانگين ) . اگر بر پيوسته باشد ، آن گاه نقطه‌اي مانند بر وجود دارد به طوري كه

اسلاید 78: برهان. فرض كنيدبنابه قضية 1.4.1 داريم :

اسلاید 79: اگر ، آن گاه حكم بديهي است ، در غير اين صورت بنا به پيوستگي ، نتيجه مي شود عضوي مانند در بازة وجود دارد به طوري كهذيلاً قضية فوق را به حالتي كه پيوسته نيست تعميم مي دهيم .

اسلاید 80: قضيه . فرض كنيد ، آن گاه عددي مانند وجود دارد به طوري كه ‍ ‍ و كه در آن و به ترتيب سوپريمم و اينفيمم تابع ‍ ‍ در بازة است .

اسلاید 81: (قضية مشتق گيري). فرض كنيد والف) اگر در پيوسته باشد ، آن گاه در پيوسته است .آن گاه

اسلاید 82: ب) اگر در پيوسته و در مشتق پذير باشد ، آن گاه در ‌ مشتق پذير است و

اسلاید 83: نتيجه : اگر و در نقطة پيوسته باشد وآن گاه در مشتق پذير است وقضية اول اساسي حسابان

اسلاید 84: اگر و تابعي مانند باشد به طوري كه ‍‍ ، آن گاهدومين قضية اساسي حسابان

اسلاید 85: قضيه. فرض كنيد و بر مشتق پذير ،آن گاهانتگرال گيري به روش جزء به جزء

اسلاید 86: قضيه (صورت ديگر انتگرال گيري به روش جزء به جزء). اگر و هر دو صعودي باشند و ، آن گاه و

اسلاید 87: قضيه (دوم مقدار ميانگين) . اگر صعودي و علاوه بر صعودي بودن پيوسته هم باشد آن گاه نقطه اي مانند در بازة وجود دارد به طوري كه

اسلاید 88: نتيجه . اگر صعودي و پيوسته و نامنفي باشد ، آن گاه نقطه‌اي مانند در بازة ‌ ‌‌ وجود دارد به طوري كه

اسلاید 89: نتيجه . اگر در تابع نامنفي هم باشد آن گاه نقطه‌اي مانند در بازة‌ ‌وجود دارد به طوري كه

اسلاید 90: قضيه. فرض كنيد و در پيوسته باشد و . آن گاه بر و .انتگرال گيري نسبت به توابع پله‌ايتعريف. تابع پله‌اي واحد به صورت زير تعريف مي شود :

اسلاید 91: قضيه. فرض كنيد و همگرا باشند، دنباله‌اي از اعضاي متمايز ‌ باشد و . اگر بر پيوسته باشد آن گاه و

اسلاید 92: قضيه. اگر دنباله‌اي متناهي از اعضاي باشد، آن گاه را مي توان به صورت يك انتگرال ريمان ـ استيلتيس نوشت .

اسلاید 93: برهان. تعريف مي كنيم:بنا به بحث برهان قضية داريم :كه در آن به معني جزء صحيح است .

اسلاید 94: مثال :فرض كنيد دنبالة اعداد گوياي باشد و .اگر بر پيوسته باشد . را بيايد .

اسلاید 95: مثال : اگر نشان دهيد :نتيجه بگيريد

اسلاید 96: مثال : اگر بر پيوسته و مثبت باشد و نشان دهيد

اسلاید 97: مثال : ( نامساوي هلدر ) فرض كنيد و اعداد حقيقي مثبتي باشند به طوري كه ابتدا نشان دهيد كه اگر نامنفي باشند آن گاهو تسـاوي فقط و فقط وقـتي بـرقرار است كــه ، نتيجه بگيريد كـه اگر‌ ‌ آن گاه و

اسلاید 98: مثال : الف) ابتدا نشان دهيد كه اگر ، و بر نسبت به انتگرال پذير باشد ، آن گاهب) اگر بر و ، نشان دهيد تابع پيوسته‌اي مانند وحود دارد كه (توجه كنيد كه ) .

اسلاید 99: تغيير متغيرتغيير متغييردر انتگرال ها بـه ويـژه در انتگرال هـاي ريـمان ابـزاري تـوانا بـراي محاسبه انتگرال ها است . از ان رو قضيه و نتيجة زير را مي آوريم :

اسلاید 100: قضيه. فرض كنيد و تابع بر به روي پيوسته و اكيداً صعودي است اگر و بر تعريف شوند آن گاه بر و .

اسلاید 101: مشتق گيري از انتگرالقبلاً قضية اساسي حسابان را ثابت كرديم و نشان داديم كه اگر تابع در نقطة‌‌ پيوسته باشد و آن گاه موجود است و . كنون اين سؤال پيش مي‌آيد كه اگر تابعي از دو متغير باشد و يا به جاي و يا حتي توابعي از ‌ ‌ قرار گيرد چگونه مي توان مشتق گرفت .

اسلاید 102: قضيه. فرض كنيد وتابع بر تعريف شده و (مشتق نسبت به ) بر پيوسته است . تابع بر چنين تعريف شده است .در اين صورت بر موجود است و داريم

اسلاید 103: نتيجه. اگر بر آن گاه

اسلاید 104: قضيه. فرض كنيد و تابع و بر‌ ‌ پيوسته است. فرض كنيد ‌دو تابع مشتق پذير بر باشند به طوري كه به ازاي هر از داريم : .‌‌ ‌در اين صورت موجود است و

اسلاید 105: فصل دومانتگرال هاي ناسره

اسلاید 106: پس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد ‌ 1.انتگرالهاي ناسره را تعريف نماييد. ‌‌ 2 . انواع انتگرالهاي ناسره را تعريف و براي آنها مثال بياوريد. ‌‌ 3. همگرايي انتگرال ناسره را تعريف نماييد. ‌‌ 4. شرط لازم و كافي براي وجود انتگرال ناسره را بيان كنيد. ‌ 5. آزمون انتگرال براي همگرايي سري هاي نا منفي را بيان كنيد .

اسلاید 107: اگر را در نظر بگيريم و بدون توجه به بي كران بودن تابع ‌ ‌محاسبه كنيم در مي يابيم كه

اسلاید 108: مسلماً با تكيه بر خواص انتگرال ريمان رابطة فوق نمي تواند برقرار باشد . يعني طرف راست منفي است در حالي كه طرف چپ انتگرال ، يك تابع نامنفي است .مثال فوق نشان مي دهد كه نياز به تعريف اين نوع انتگرال ها داريم كه منجر به تناقض نشويم. اين انتگرال ها را مي توان به صورت انتگرال هاي ناسرة نوع اول و نوع دوم مورد بررسي قرار داد .

اسلاید 109: انتگرال هاي ناسره نوع اولتعريف (انتگرال هاي ناسرة نوع اول). انتگرال هاي ناسرة نوع اول از بسياري جهات شبيه سري هاي نا متناهي است. اگر به ازاي هر عدد حقيقي‌‌‌ ‌ ‌ تابع ‌ ‌بر داراي انتگرال ريمان و حد زير موجود باشد

اسلاید 110: موجود يا همگراست و در واقع داريم :در حالتي كه موجود باشد گوييم مطلقاً همگراست .گوييم

اسلاید 111: مثال . اگر و ، آن گاهدر صورتي كه آن گاه و بنابراين ، وقتي كه . از اين رو داريم :

اسلاید 112: مثال :به طوري كه اشاره شد اين انتگرال ها شبيه سري ها هستند. در واقع ‌ ‌متناظر سري و متناظر حاصل جمع جزيي است. اين شباهت هـا ، شباهت هـايي در اثبات همگرايي انتگرال ها و سري ها را ايجاب ‌مي كند.

اسلاید 113: نتيجه : اگر موجود باشند ، آن گاه نيز موجود و برابر مجموع (تفاضل) دو انتگرال قبلي است .به طريق مشابه مي توان انتگرال را به صورت زير تعريف كرد :مشروط به اين كه بر هر بازة داراي انتگرال ريمان باشد .

اسلاید 114: قضيه. فرض كنيد به ازاي هر عدد حقيقي تابع بر بازة انتگرال پذير است . شرط لازم و كافي براي آن كه موجود باشد آن است كه( شرط كوشي )

اسلاید 115: نتيجه. اگر يك تابع نا منفي باشد به طوري كه همواره و موجود باشد، آن گاه موجود است .

اسلاید 116: قضيه. اگر نزولي باشد، آن گاه همگراست اگر و فقط اگر همگرا باشد. (اين قضيه به «آزمون انتگرال» در مورد سري هاي نامنفي مشهور است )

اسلاید 117:

اسلاید 118:

اسلاید 119:

اسلاید 120:

اسلاید 121:

اسلاید 122:

اسلاید 123: توابع با تغيير كراندازتعاريف وخواص كلي:تعريف:تابعرا بر بازه با تغيير كراندار مي ناميم هرگاه:

اسلاید 124: توابع با تغيير كراندار چه نوع توابعي هستند؟وچه ويژگيهايي دارند؟اولين ويژگي را در قضيه زير مي بينيم:قضيه:اگرتابع بر بازه با تغيير كراندار باشد آنگاه بر كراندار است.اثبات:با انتخاب افراز بنا به تعريف با تغيير كرانداري عذذي حقيقي مانند وجود دارد كهدرنتيجه يعني

اسلاید 125: فصل چهاردنباله ها وسريهاي توابع تعريف: فرض كنيد يك فضاي متريك باشدو و دنباله اي از توابع (حقيقي ويامختلط)برEباشد.فرض كنيد به ازاي هر دنباله عددي همگرا باشد.دراين صورت مي توانيم تابع راباضابطه تعريف كنيم. دراين صورت گوييم دنباله به طور نقطه وار به تابع همگراست.

اسلاید 126: مثالها. الف) دنباله رابر باضابطه درنظرمي گيريم.واضح است كه اگر آن گاه واگر آن گاه درنتيجه ملاحظه مي كنيم كه هرجمله پيوسته وياحتي مشتق پذيراست درحاليكه f چنين نيست.

اسلاید 127: در مثالهاي گذشته ومثالهاي ديگر كتاب كه مجال پرداختن به آنهانيست مي بينيم كه همگرايي نقطه وار خواص مهمي مانند پيوستگي- مشتق پذيري -انتگرال پذيري و حتي كرانداري را به حد دنباله منتقل نمي كند.دنبال شرايطي هستيم كه بتواند چنين خواصي را منتقل نمايد.

اسلاید 128: دنباله با ضابطه بر بازه تعريف شده است.داريم ملاحظه ميكنيم كه هر بر كراندار است در واقع در حالي كه بر كراندار نيست.

اسلاید 129: دنباله با ظابطه بر مفروض استواضح است كه ملاحظه مي شود كه هر بر پيوسته است در حالي كه در نقاط و نا پيوسته است.نتيجه: مشتق پذيري –كرانداري وپيوستگي بوسيله همگرايي نقطه وار منتقل نمي شود.

اسلاید 130: همگرايي يكنواختتعريف: فرض كنيد حد نقطه وار دنباله باشدگوييم دنباله بر به طور يكنواخت به همگراست در صورتي كه داشته باشيم در اين صورت مي نويسيم

اسلاید 131: چه تفاوتي بين دو تعريف همگرايي نقطه وار و يكنواخت وجود دارد؟در همگرايي يكنواخت مستقل از است در صورتي كه در همگرايي نقطه وار وابسته به مي باشد.

اسلاید 132: ملاحظه مي كنيم كه يك تفاوت اساسي در تعريف بوجود آمد . در اثر اين تفاوت انتظار داريم كه:اگر تمام جملات پيوسته باشند حد نيز پيوسته باشد.اگر تمام جملات مشتق پذير باشند حد نيز چنين باشد.اگر تمام جملات كراندار باشند حد نيز كراندار باشد.

اسلاید 133: توجه:در حالتيكه تمام ها و در نتيجه حقيقي باشنداز تعريف همگرايي يكنواخت چنين نتيجه مي شود كه يعني از مر تبه اي به بعد نمودار تمام ها بين دو نمودار و واقع مي شوند.به نمودار اسلايد بعد توجه كنيد:

اسلاید 134:

اسلاید 135: قضيه: شرط لازم وكافي براي آنكه بر آن است كهقضيه زير شرط لازم وكافي براي همگرايي يكنواخترا بيان ميكند

اسلاید 136: از آناليز رياضي يك به ياد داريم كه شرط كوشي براي دنباله ها معادل با همگرايي بود. در مورد دنباله توابع نيز شرطي مشابه آن به نام شرط همگرايي يكنواخت كوشي وجود دارد كه معادل با همگرايي يكنواخت است.

اسلاید 137: قضيه( شرط همگرايي يكنواخت كوشي )شرط لازم وكافي براي آنكه بر به طور يكنواخت همگرا باشد آن است كه

اسلاید 138: همپيوستگي تعريف:گوييم دنباله بر به طور نقطه واركرانداراست اگربه ازاي هر تابعي حقيقي مقدارنامنفي مانند باشدبه طوري كه به ازاي هرعددطبيعي داشته باشيم.

اسلاید 139: تعريف:گوييم دنباله بر به طوريكنواخت كراندار است اگر عددي مثبت مانند موجودباشدبه طوركه به ازاي هر وهرعددطبيعي داشته باشيم:

اسلاید 140: قضيه :فرض كنيد دنباله بر مجموعه شمارش پذير به طور نقطه وار كراندار باشد آنگاه زير دنباله اي ما نند وجود دارد كه بر همگراست

اسلاید 141: تعريف :فرض كنيد يك فضاي متريك فشرده باشد را مجموعه توابع مختلط پيوسته بر ميگيريم با تعريفجمع نقطه وار وضرب اسكالر به يك فضاي برداري تبديل مي شود.در اين فضاي برداري نرمي به صورت زير تعريف مي كنيم

اسلاید 142: چون كراندار است لذاپس با استفاده از اين نرم مي توان يك متريكبه صورت زير تعريف كرد:بدين ترتيب يك فضاي متريك است.

اسلاید 143: حال مي خواهيم ببينيم كه چه ارتباطي بين همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع و نرم وجود دارد؟قضيه:دنباله به طور يكنواخت به همگراست اگروفقط اگر در

اسلاید 144: تعريف فرض كنيد خانواده اي از توابع مختلط بر مجموعه در فضاي متريك باشد.گوييم همپيوسته است در صورتي كه:

اسلاید 145: در قضيه زير نشان مي دهيم كه همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع در يك فضاي فشرده باعث همپيوستگي دنباله مي شودقضيه:اگر يك فضاي متريك فشرده باشد و آنگاه همپيوسته است.

اسلاید 146: فصل سومتوابع با تغيير كراندار

اسلاید 147: پس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد: 1. يك تابع با تغيير كراندار بر يك بازه را تعريف نماييد ‌ 2. براي توابع با تغيير كراندار بر يك بازه مثال بزنيد .‌ 3. مثالي از يك تابع كه كراندار است ولي با تغيير كراندار نيست ارايه دهيد

اسلاید 148: 4. تابع تغيير كلي را تعريف نماييد .5. ثابت كنيد هر تابع با تغيير كراندار به صورت تفاضل دو تابع صعودي است 6. يك خم طول پذير را تعريف و براي آن مثال بزنيد

اسلاید 149: تعاريف وخواص كلي: تعريف : تابع را بر بازه با تغيير كراندار مي ناميم هرگاه :كه در آن

اسلاید 150: توابع با تغيير كراندار چه نوع توابعي هستند؟و چه ويژگي هايي دارند؟ اولين ويژگي را در قضيه زير مي بينيم:قضيه : اگرتابع بر بازه با تغيير كراندار باشد آنگاه بر كراندار است.

اسلاید 151: اثبات:با انتخاب افراز بنا به تعريف با تغيير كرانداري عددي حقيقي مانند ‌ وجود دارد كهدرنتيجه يعني يعني كراندار است.

اسلاید 152: آيا عكس اين مطلب نيز صحيح است؟جواب اين سوال را در مثال زير مي بينيم :مثال : تابع زير كه به وضوح كراندار است با تغيير كراندارنيست

اسلاید 153: براي اينكه نشان دهيم اين تابع با تغيير كراندار نيست بايد ثابت كنيم:فرض مي كنيم عددي مثبت ودلخواه باشد افراز را چنين ميگيريم

اسلاید 154: كه در آن در نتيجه داريم:بديهي است ميتوان گرفت:يعني با تغيير كراندار نيست .

اسلاید 155: تابع بر به صورت زير تعريف شده است

اسلاید 156:

اسلاید 157: با توجه به نوسانات اين تابع در همسايگي صفر حدس مي زنيم كه اين تابع بر با تغيير كراندار نيست.اگر ،آن گاه ، يعني ، و اگر ، آن گاه . از اين رو .

اسلاید 158: حال اگر عدد حقيقي دلخواهي باشد افراز را به صورت زير در نظر مي گيريم:داريم:

اسلاید 159:

اسلاید 160:

اسلاید 161: با توجه به اينكه طرف راست وقتي كه به بي نهايت ميل مي كند لذا عددي طبيعي مانند وجود دارد كه به ازاي آن طرف راست از بيشتر است پس با تغيير كراندار نيست در حالي كه كراندار است.

اسلاید 162: قضيه. اگر تابع بر بازه يكنوا باشد آنگاه بر اين بازه با تغيير كراندار است .برهان: فرض كنيد صعودي و افراز دلخواهي از باشد. در اين صورت

اسلاید 163: قضيه. اگر تابع بر بازه صعودي (نزولي) باشد، آن گاه بر اين بازه با تغيير كراندار است.

اسلاید 164: برهان. فرض كنيد صعودي و افرازي دلخواه از باشد. در اين صورتپس با تغيير كراندار است. به طريق مشابه در مورد توابع نزولي ثابت مي شود.

اسلاید 165: قضيه. اگر تابع بر بازه داراي مشتق كراندار باشد، آن گاه با تغيير كراندار است.

اسلاید 166: برهان. اگر افرازي دلخواه از باشد، آن گاه چون كراندار است پس

اسلاید 167: از اين رو، لهذا،يعني حكم برقرار است.

اسلاید 168: تعريف. فرض كنيد تابع بر با تغيير كراندار باشد. تغييرات كلي تابع بر با ضابطه زير تعريف مي شود: كه در آن مجموعه افرازهاي است.

اسلاید 169: قضيه. فرض كنيد توابع و بر بازه با تغيير كراندار است، آن گاه، الف) به ازاي اعداد ثابت و تابع بر با تغيير كراندار است و

اسلاید 170: ب) تابع بر با تغيير كراندار است وكه در آن و به ترتيب سوپريمم وسوپريمم است.

اسلاید 171: ج) اگر تابع از صفر دور شود يعني ي باشد كه به ازاي هر ، ، آن گاه

اسلاید 172: برهان. الف) اگر افزار دلخواهي از باشد، آنگاهدر نتيجه،

اسلاید 173: پس با تغيير كراندار است و

اسلاید 174: ب) ازاين رو،داريم

اسلاید 175:

اسلاید 176: ج)

اسلاید 177: بالنتيجه،يعني تابع با تغيير كراندار است و

اسلاید 178: تعريف. تابع را به چنين تعريف مي كنيم: ذيلاًنشان مي دهيم كه هر تابع با تغيير كراندار را مي توان به صورت دو تابع صعودي و يا تفاضل دو تابع نزولي نوشت. براي اين منظور نشان مي دهيم كه توابع و بر صعودي هستند.

اسلاید 179: قضيه. الف) تابع بر صعودي است.ب)تابع بر صعودي است.ج)هر تابع با تغيير كراندار تفاضل دو تابع صعودي است

اسلاید 180: الف)ب)طرف راست نامنفي است زيرا به ازاي افراز ،مقدار برابراست با ‌ يعني و صعودي هستند

اسلاید 181: ج)با توجه به (ب)داريم:يعني تفاضل دو تابع صعودي است. همچنين، با توجه به رابطه نتيجه مي شود كه تفاضل دو تابع نزولي است و برهان تمام است.

اسلاید 182: بايد توجه داشت كه نمايش فوق منحصر به فرد نيست. زيرا، مثلاً، اگر يك تابع صعودي دلخواهي باشد،آن گاه نمايش ديگري براي تابع با تغيير كراندار به صورت تفاضل دو تابع صعودي است

اسلاید 183: قضيه. مجموعه نقاط نا پيوستگي و در يكسان است. به عبارت ديگر،اگر در نقطه پيوسته باشد، آن گاه نيز چنين است و بعكس.برهان. فرض كنيد تابع در نقطه پيوسته است. پس

اسلاید 184: فصل چهاردنباله ها وسريهاي توابع

اسلاید 185: پس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد : 1. دنباله وسري تابعي را تعريف و براي آنها مثال بزنيد. 2. همگرايي نقطه وار يك دنباله از توابع را تعريف كنيد. 3. همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع را تعريف كنيد و فرق آن با همگرايي نقطه وار را بيان كنيد .

اسلاید 186: 4. شرط كوشي براي همگرايي يكنواخت يك دنباله تابعي را بيان واثبات كنيد. 5. رابطه همگرايي يكنواخت و پيوستگي را بيان و اثبات كنيد .6. رابطه همگرايي يكنواخت و انتگرال پذيري را بيان و اثبات كنيد .7. رابطه همگرايي يكنواخت و مشتق را بيان و اثبات كنيد

اسلاید 187: 8. مفاهيم مربوط به دنباله تابعي را به سري تابعي تعميم دهيد .9. قضيه تقريب وايراشتراس را بيان و اثبات كنبد.10. كرانداري نقطه وار يك دنباله بر يك مجموعه را بيان كنيد 11. همپيوستگي خانواده‌اي از توابع راتعريف كنيد.

اسلاید 188: 12. رابطه بين همپيوستگي و فشردگي را بيان واثبات كنيد 13. قضيه استون وايراشتراس را بيان و اثبات كنيد .

اسلاید 189: تعريف: فرض كنيد يك فضاي متريك باشدو و دنباله اي از توابع (حقيقي ويامختلط)برEباشد.فرض كنيد به ازاي هر دنباله عددي همگرا باشد.دراين صورت مي توانيم تابع راباضابطه تعريف كنيم. دراين صورت گوييم دنباله به طور نقطه وار به تابع همگراست.

اسلاید 190: مثال. الف) دنباله را بر باضابطه در نظر مي گيريم .واضح است كه اگر آن گاه واگر آن گاه ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ درنتيجه

اسلاید 191: ملاحظه مي كنيم كه هرجمله پيوسته ويا حتي مشتق پذيراست درحالي كه چنين نيست.نمودار تعدادي از جملات دنباله فوق را ملاحظه مي كنيم

اسلاید 192:

اسلاید 193: در مثالهاي گذشته ومثالهاي ديگر كتاب كه مجال پرداختن به آنهانيست مي بينيم كه همگرايي نقطه وار خواص مهمي مانند پيوستگي ـ مشتق پذيري ـ انتگرال پذيري و حتي كرانداري را به حد دنباله منتقل نمي كند .دنبال شرايطي هستيم كه بتواند چنين خواصي را منتقل نمايد .

اسلاید 194: دنباله با ضابطه بر بازه تعريف شده است. با توجه به مثال (الف) داريم :ملاحظه ميكنيم كه هر بر كراندار است در واقع در حالي كه بر كراندار نيست.

اسلاید 195: دنباله با ظابطه بر مفروض استواضح است كه ملاحظه مي شود كه هر بر پيوسته است در حالي كه در نقاط و نا پيوسته است.نتيجه: مشتق پذيري –كرانداري وپيوستگي بوسيله همگرايي نقطه وار منتقل نمي شود.

اسلاید 196: همگرايي يكنواختتعريف: فرض كنيد حد نقطه وار دنباله باشدگوييم دنباله بر به طور يكنواخت به همگراست در صورتي كه داشته باشيم در اين صورت مي نويسيم

اسلاید 197: چه تفاوتي بين دو تعريف همگرايي نقطه وار و يكنواخت وجود دارد؟در همگرايي يكنواخت مستقل از است در صورتي كه در همگرايي نقطه وار وابسته به مي باشد.

اسلاید 198: ملاحظه مي كنيم كه يك تفاوت اساسي در تعريف بوجود آمد . در اثر اين تفاوت انتظار داريم كه:اگر تمام جملات پيوسته باشند حد نيز پيوسته باشد.اگر تمام جملات مشتق پذير باشند حد نيز چنين باشد.اگر تمام جملات كراندار باشند حد نيز كراندار باشد.

اسلاید 199: توجه:در حالتيكه تمام ها و در نتيجه حقيقي باشنداز تعريف همگرايي يكنواخت چنين نتيجه مي شود كه يعني از مر تبه اي به بعد نمودار تمام ها بين دو نمودار و واقع مي شوند.به نمودار اسلايد بعد توجه كنيد:

اسلاید 200:

اسلاید 201: قضيه: شرط لازم وكافي براي آنكه بر آن است كهقضيه زير شرط لازم وكافي براي همگرايي يكنواخت را بيان ميكند

اسلاید 202: از آناليز رياضي يك به ياد داريم كه شرط كوشي براي دنباله ها معادل با همگرايي بود. در مورد دنباله توابع نيز شرطي مشابه آن به نام شرط همگرايي يكنواخت كوشي وجود دارد كه معادل با همگرايي يكنواخت است.

اسلاید 203: قضيه( شرط همگرايي يكنواخت كوشي )شرط لازم وكافي براي آنكه بر به طور يكنواخت همگرا باشد آن است كه

اسلاید 204: همپيوستگي تعريف:گوييم دنباله بر به طور نقطه واركرانداراست اگربه ازاي هر تابعي حقيقي مقدارنامنفي مانند باشدبه طوري كه به ازاي هرعددطبيعي داشته باشيم.

اسلاید 205: تعريف:گوييم دنباله بر به طوريكنواخت كراندار است اگر عددي مثبت مانند موجودباشدبه طوركه به ازاي هر وهرعددطبيعي داشته باشيم:

اسلاید 206: قضيه :فرض كنيد دنباله بر مجموعه شمارش پذير به طور نقطه وار كراندار باشد آنگاه زير دنباله اي ما نند وجود دارد كه بر همگراست

اسلاید 207: تعريف :فرض كنيد يك فضاي متريك فشرده باشد را مجموعه توابع مختلط پيوسته بر ميگيريم با تعريفجمع نقطه وار وضرب اسكالر به يك فضاي برداري تبديل مي شود.در اين فضاي برداري نرمي به صورت زير تعريف مي كنيم

اسلاید 208: چون كراندار است لذاپس با استفاده از اين نرم مي توان يك متريكبه صورت زير تعريف كرد:بدين ترتيب يك فضاي متريك است.

اسلاید 209: حال مي خواهيم ببينيم كه چه ارتباطي بين همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع و نرم وجود دارد؟قضيه:دنباله به طور يكنواخت به همگراست اگروفقط اگر در

اسلاید 210: تعريف فرض كنيد خانواده اي از توابع مختلط بر مجموعه در فضاي متريك باشد.گوييم همپيوسته است در صورتي كه:

اسلاید 211: فصل پنجمسري هاي تواني و توابع خواص

اسلاید 212: پس از مطالعه اين فصل با يد بتوانيد 1. يك سري تواني را تعريف كنيد . 2. شعاع همگرايي يك سري تواني را تعريف و روابط مربوط به آن را بيان كنيد . 3. شعاع همگرايي يك سري تواني را بيان كنيد

اسلاید 213: 4. تابع نمايي را تعريف و خواص آنرا بيان كنيد.5. توابع مثلثاتي را بر حسب سري تواني تعريف و خواص آن را اثبات نماييد

اسلاید 214: تعريف: يك سري تواني(سري تواني حقيقي) به شكل (1) يا به طوركلي به صورت (2) تعريف مي شودكه درآن aيك عددحقيقي x يك متغيرحقيقي و ها اعداد حقيقي هستند .

اسلاید 215: اگرعددي مثبت مانند موجود باشد به طوري كه به ازاي هرعدد حقيقي دربازه سري(1) همگرا باشد در اين صورت مي نويسيم :

اسلاید 216: وگوييم به وسيله سري تواني(1)حول نقطه صفربسط داده شده است .در حالت (2)گوييم تابع به صورت حول نقطه بسط داده شده است .

اسلاید 217: تعريف: عددحقيقي را شعاع همگرايي سري تواني (1) ويا (2) مي‌ناميم . بايد توجه داشت كه مي تواند باشد. در حالتي كه در اين صورت سري (1) فقط در صفر و سري (2) فقط در همگراست

اسلاید 218: قضيه.فرض كنيد يك سري تواني باشد و(3)الف)اگر آن گاه به طور مطلق همگراست

اسلاید 219: ب)اگر آنگاه واگراستج)اگر آنگاه بربازه به طور يكنواخت همگرا است.

اسلاید 220: اگر آن گاه (5) به وي‍‍‍‍‍ژه(6) كه درآن منظوراز مشتقk امf ومنظوراز همانf است

اسلاید 221: الف)شعاع همگرايي سري را بيابيد.حل.چون همواره پس

اسلاید 222: ب)شعاع همگرايي سري رابيابيد. حل.ميدانيم كه پس

اسلاید 223: قضيه(آبل). فرض كنيد همگرا باشد. اگر(1)آن گاه (2)

اسلاید 224: قضيه. فرض كنيد درنقطه دربازه داراي مشتقات تامرتبه باشد آنگاه تابعي مانند بر موجوداست به طوري كه و(1)

اسلاید 225: قضيه. فرض كنيد همگرا باشد.آن گاه (1)

اسلاید 226: قضيه .فرض كنيد سري هاي و بر همگرا باشد و

اسلاید 227: اگر در داراي حداقل يك نقطه اجتماع باشد آن گاه

اسلاید 228: تعريف. تابع نماي رابرصفحه مختلط را باضابطهتعريف مي كنيم باتوجه به اينكه شعاع همگرايي اين سري را برابر است پس بر تمام صفحه مختلط تعريف شده است

اسلاید 229: در آناليز 1 نشان داديم كه عددي است اصم. در واقع نه تنها اصم است بلكه غيرجبري هم است يعني ريشه ‌هيچ معادله‌اي با ضرايب گويا نيست.

اسلاید 230: اگر يك عددحقيقي منفي باشد،آن گاه بنابه رابطه(2)و(9)داريم:لهذا،يعني رابطه(9)به ازاي هاي منفي هم برقراراست ازاين رو،به ازاي هر ،داريم

اسلاید 231: تعريف. تابع راكه به صورت زيرتعريف مي شود تابع لگاريتم مي ناميم.تعريف فوق نشان ميدهدكه بر منفي و بر مثبت است و .

اسلاید 232: قضيه. اگر ،آن گاه كه درآن عدد مثبت دلخواه وناصفر است.برهان. بنابه رابطه(13)، قضيه 2.2.5 و قضيه مشتق تركيب توابع داريم :

اسلاید 233:

اسلاید 234: تصاعدهندسي زيررا در نظر مي گيريم:(1)ازحدگيري از طرفين(1)وقتي كه ،خواهيم داشت:(2)

اسلاید 235: اگر يك عدد مثبت دلخواه باشد به طوري كه ،در بازه داريم: لهذا ، چون سري همگراست پس سري 2 بر بازه به طور يكنواخت همگراست و در نتيجه از سري فوق مي توان جمله به جمله انتگرال گرفت، يعني

اسلاید 236:

اسلاید 237: تعريف. توابع و را به ترتيب توابع سينوس و كسينوس مي ناميم و چنين تعريف مي كنيم:(1)

اسلاید 238: درواقع، نشان مي دهيم كه توابع و همان توابع سينوس و كسينوس عادي هستند. از رابطه (1) داريم از جمع دو رابطه اخير خواهيم داشت

اسلاید 239: قضيه. عددي حقيقي و مثبت مانند وجود دارد به طوري كه

اسلاید 240: تعريف. عدد را مساوي تعريف مي كنيم . در مثلثات مقدماتي با اين عدد آشنا شده ايد. عدد نه تنها اصم است بلكه متعالي هم است. اصم بودن را ضمن مثالها ثابت كرده‌ايم ولي اثبات متعالي بودن از حوصله اين درس خارج است .

اسلاید 241: ثابت كنيد: حل. تابع را تعريف مي كنيم ،داريم:از اين رو، در اين بازه صعودي است و

اسلاید 242: در قضيه زير نشان مي دهيم كه همگرايي يكنواخت يك دنباله از توابع در يك فضاي فشرده باعث همپيوستگي دنباله مي شودقضيه:اگر يك فضاي متريك فشرده باشد و آنگاه همپيوسته است.

اسلاید 243: سريهاي فوريهفصل ششم

اسلاید 244: قضيه. اگر سري (1)به طور يكنواخت همگرا باشد ، آن گاه

اسلاید 245: تعريف. سري (1) را سري فوريه تابع f و و را ضرايب فوريه تابعf مي ناميم.قضيه . اگر سريه فوريهدر بازه به طور يكنواخت به همگرا باشد آن گاه (7) سري فوريه تابع است .

اسلاید 246: قضيه. اگر توابع انتگرال پذير و در پيوسته باشد و ، آن گاه سريهاي فوريه و متفاوت هستند .

اسلاید 247: نتيجه. اگرf پيوسته و سري فوريه f به طوريكنواخت همگرا باشد ، آن گاه مجموع اين سري در هر نقطه f(x) است برهان.اگر سري فوريه f به تابع ديگري مانند g همگرباشد ،در اين صورتبنابه قضيه 4.1.6اين سري ،سري فوريه g نيز است پس

اسلاید 248: قضيه(ريمان-لبگ). فرض كنيدf بربازه انتگرل پذير ريمان است، آن گاه

اسلاید 249: تعريف. به طوري كه قبلا اشاره كرديم چند جمله‌اي زير را يك چند جمله اي مثلثاتي مي‌ناميم .كه در آن ها و ها اعدادي مختلط هستند حال اگر و ضريب فوريه در بازه باشد، آن گاه را ميتوان به صورت مناسب تري نوشت

اسلاید 250:

اسلاید 251: تعريف. دنباله با ضابطه زير را هسته ديريكله مي ناميم با توجه به تعريف كسينوس مي توان را محاسبه كرد

اسلاید 252: قضيه. اگر به ازاي مفروض اعداد مثبتي مانند و باشد به طور ي كه به ازاي هر اگر ، آن گاه در اين صورت

اسلاید 253: مي دانيم كه سريواگراست. در واقع، اگر مجموع جمله اول اين سري باشد ، آن گاه اما ميانگين برابر است با اگر n فرد باشد اگر n زوج باشد

اسلاید 254: در نتيجه ، اگر n فرد باشد اگر n زوج باشد

اسلاید 255: تعريف. فرض كنيد ودر اين صورت گوييم ، ميانگين است و اگر گوييم ، جمع پذير به است

اسلاید 256: تعريف. فرض كنيد دنباله مجموع nجمله اول يك سري فوريه باشد. در اين صورت دنباله را چنين تعريف مي كنيم :توجه كنيد كه در اين حالت جمله اول صفر است

اسلاید 257: تعريف. فرض كنيد دنباله اي از توابع مختلط انتگرال پذير بر بازه باشد به طوري كه در اين صورت يك دستگاه يكا متعامد مي ناميم

اسلاید 258: الف) خانواده يك خانواده يكا متعامد در بازه است.

اسلاید 259: ب) به عنوان مثال ديگر ، خانواده توابع لژاندر را در نظر مي گيريم كه در آنيك خانواده يكا متعامد بر بازه است .

اسلاید 260: ج)مثال ديگر خانواده توابع رادماخر است. اين خانواده به صورت تعريف مي شود ، كه در آن

اسلاید 261: تابع علامت را قبلا تعريف كرديم كه به صورت زيراست مي توان نشان داد كه اين خانواده يك خانواده يكا متعامد بر بازه است. بايـد توجه داشت كـه در حالتي كه z يك عدد مختلط باشد ، در اين صورت تعريف مي شود

اسلاید 262: تعريف.فرض كنيد تابع بر بازه انتگرال پذير و دنباله اي از توابع يكا متعامد بر باشد . اگر را به صورت زير تعريف كنيم:

اسلاید 263: در اين صورت را ضريب فوريه تابع نسبت به بر بازه مي ناميم. در اين صورت مي نويسيم :

اسلاید 264: تعريف. اگر خانواده يكا متعامد بر باشد در اين صورت را يك چند جمله اي مي ناميم

اسلاید 265: قضيه (نامساوي بسل ).اگر يك خانواده يكا متعامد بر و بر انتگرال پذير باشد، آن گاه

اسلاید 266: قضيه. اگر تابع پيوسته و متناوب با دوره تناوب باشد، آن گاه به ازاي هر يك چند جمله‌اي مثلثاتي مانند وجود دارد به طوري كه به ازاي ‌ ‌ هر

اسلاید 267: قضيهٌ پارسوال. فرض كنيد و دو تابع انتگرال پذير ريمان و متناوب با دورهٌ تناوب باشد، وآنگاه (الف

اسلاید 268: (ب (ج

اسلاید 269: قضيه. اگر موجود باشد، آن گاه

اسلاید 270: فضيه. به ازاي هر عدد حقيقي داريم:

اسلاید 271: قضيه. شرط لازم و كافي براي آنكه آن است كه

اسلاید 272: قضيه. همگرايي انتگرال زير وقتي كه فقط بستگي به مقدار در همسايگي دلخواه دارد

اسلاید 273: قضيه. شرط لازم و كافي براير آنكه آن است كه ي مثبت موجود باشد به طوري كه كه در آن

اسلاید 274: فصل هفتم تابع گاماهدف هاي رفتاري

اسلاید 275: با تعريف ساده فاكتوريل به صورت زير آشنا هستيم اما اين تعريف را فقط در مورد اعداد طبيعي مي توان به كار برد علاوه بر اين تعريف ديگري نيز به صورت زير داريم:تابع فاكتوريل

اسلاید 276: تابع گاما كه تعميمي از اين تابع در نظر گرفته مي شود به صورت زير تعريف مي شود:حال بايد ديد آيا اين تعريف با معني است؟براي پاسخ به اين سوال دو انتگرال زير را بررسي ميكنيم:تابع گاما

اسلاید 277: ودر مورد انتگرال انتگرال اول داريم:كه با ميل كردن به صفر به همگراست يعني انتگرال اول همگراست

اسلاید 278: قضيه برهان: از انتگرال گيري جز به جز داريم

اسلاید 279: حال وقتي و طرف چپ به ميل مي كند در حالي كه در طرف راست جملات اول و دوم به طرف صفر و جمله سوم به ميل ميكند. از اين رو،

اسلاید 280: نتيجه. اگر و يك عدد طبيعي باشد،آن گاه

اسلاید 281: (الف) نتيجه. و با جايگزيني داريم:

اسلاید 282: (ب) قضيه. محدب است