آناليز رياضی 2

صفحه 1:


صفحه 2:
انتگرال هاي ریمان - استیلتیس 

صفحه 3:
این درس در دوره کارشناسي ارشد آمار نیز تدریس اين درس پیش نیاز آنالیز رياضي ۳و پیش نیاز آن ‎gullet‏ رئاضي ‎١١‏ اسع 

صفحه 4:
در اين درس انتگرالهاي ریمان استیلتیس به عنوان تعمیم انتگرال ریمان ارایه ميشود. اككرالهاياتاسره واتزليع يا (تقييركزائذاز از حيكر موضوعات اين درس مي باشد. دنباله ها وسري هاي توابع وتررنسي خواص آنها وسيس مطالعه سري هاي فوریه وسري هاي تولني وتولبع خاص مانند تابع گاما از دیگر موضوعات مورد مطالعه این درس می باشد. 

صفحه 5:
يس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد la ۱ یک افراز برای بازه ‏ " " را تعریف نمایید ۲ مجموع های بالایی و پایینی یک تابع ‎at aD te‏ نمایید ۳ انتگرالهای بالایی و پایینی برای یک تابع را روی یک بازه تعریف نمایید ره ] ‎called thay alse 8‏ يكت افابع :وو يك باژه. ۳ را تبریف ‎be‏ 

صفحه 6:
ءسرط ویمانرا بسرلیسکتسلبع رکب اند تسعریفنسایید 5۰ *.خواص انتگرال ریمان استیلیتیس را بیان و اثبات نمایید. ۷ رابطه انتگرال پذیری ریمان ایتیلیتیس را با مشتق پذیری بیان کنید . ۸ قضایای اساسی برای انتگرال ریمان استیلیتیس را بیان کنید . 4انتگرال گیری به روش جز به جز را انجام دهید. 

صفحه 7:
د ‎le‏ ‏تعريف : هر كاه (24 | يك بازه باشد مجموعيآ- بهد > ‎٠:‏ > بد >ير- 8 <ط را يك افراز ۱۵3 مي نامند. مجموعه افراز هاليك| ‎Fah‏ نمايش مي eons \abeRab| ue إطره اك قيفو | ات سس هه | 

صفحه 8:
‎os‏ مرج ‎st ad) ys PH axe‏ اد ‏را چنین تعریف مي کنیم : ...رم ) رد - هدع هد ۸ و قرار مي دهیم ‎|A =Max A x,i=12,...,0 ‎20 ‎pp 4 ‏چ‎ ‎a Xe ‏هد‎ 1 

صفحه 9:
lor), ‏مثلاً در بازه .مجموعه هاي‎ که 2 ظ ر الیه‌دط ر ره دج AX =I ¥=1,%-0 PP <n ‏تشکیل افراز مي دهند در داریم:‎ Ax = A= ‏ودرگ بارت ير‎ 20 BB. 3 ‏نتیجه‎ 1 = B . as. mi n Ant ‏در دازیم:‎ 

صفحه 10:
5 3 اين موارد مى حال به تعبير هندسي اين موارد مي يردازيم : 

صفحه 11:
P aby OY ay sto و7 ‎PB ۲‏ تعریف : هر كاه ‏ریق تراز گوییم هرگاه ‎BcP 

صفحه 12:
‎xh te‏ نگ تعریف : تابع ‎Pras ] a,‏ را ‎oa‏ 24 مي كيريم ‎mf) ; Mi,f) ‎: ‏را چنین تعریف مي کنیم‎ M; =M({ f) =sup f(x). <x<x) ‎m=mf) =inf £( 9%) SKS) 

صفحه 13:


صفحه 14:
lA ‏صمو و‎ IAA gis ly, ‏تعریف :ار‎ UP, fa), UP, Ba) باشد مجموعه هاي بالا و پایین را به ترتیب با ‎UP, fa) =¥ Mado} LP EHF mio Sls‏ که در نج (رعداه -(و)»< زد 

صفحه 15:


صفحه 16:


صفحه 17:


صفحه 18:


صفحه 19:
قضیه .الف) اک وگ دو افراز رللية] © > )= ظرینگر از باشد). آن گاه : UP, fa) <P, fa) , UP, fa) <U(P, fa) ب) به ازاي هر دوگ ,62 داریم : LP, fa) <U(Q fa) 

صفحه 20:
للف) يعني با ظریفتر شدن افراز حاصل جمع هاي بالايي افزلیش نمي یابند و حاصل جمع هاي پاييني کاهش نمي ‎sah‏ به عبارتي دیگر حاصل جمع هاي بالايي از بالا کراندارند و حاصل جمع هاي پاييني از پایین کراندارند. سو[ كران كران ها کدامند ؟ 

صفحه 21:
ب) هر حاصل جمع پاييني از هر حاصل جمع بالايي نابیشتر است به عبارت دیگر هر حاصل جمع بالايي يك کران براي مجموعة حاصل جمع هاي پاييني و هر حاصل جمع پاييني يك کران پایین براي مجموعة حاصل جمع هاي بالايي است. سوال : کدام يك از اين دو مجموعه سوپریموم و کدام اینفیموم دارد ؟ چه رابطه اي بین آن دو برقرار است ؟ 

صفحه 22:
M=supf(9 ,m= sup fs; asi asx<b asx<b آنگاه براي هرطفراز 2 | 120 - 42( > 1 ۲ ۶۵ >) ۶2 > - da) 

صفحه 23:
تعريف : 1 بر صعودي باشد آن گاه انتگرال هاي بالا و يايين را به ترتيب جنين تعريف مي كنيم . (50 طلتردعح دم ,0ل طالاكصك قير 

صفحه 24:
1 . 4 1 را نسبت به" انتگرال پذیر مي نامیم در صورتي که دو انتگرال فوق با هم برابر باشند و در این صورت م39 و مقدار ‎ie Fa‏ ۳ ۳ بقل لو نشان مي دهیم . طبق قرارداد و مي گیریم. 

صفحه 25:
مثال : تابي برا9] با ضابطه زیر تعریف شده است : {i xe Qn|ab “|-1 x€ Orla و تابع صودي دلخواهي است ۶6۷44 ‎LAB‏ ؟جرا؟ 

صفحه 26:
lad ‎Pap‏ افرازي دلخواه از ‎ """‏ باشد. مي دانيم که در هر بازه اعداد گویا ‎mi =1 ۸۵ ‏و اصم وجود دارد. از اين وا ‏بنابراین + ‎UP, fa) =F Mi AAak ‏و‎ =alD- ala) kat kat 

صفحه 27:
Ptr =alD- aa) در نتیجه . و به طریق مشابه IP, f,a) =ala- alD f¢Ha) Pid =ala- ald در نتیجه. يس 

صفحه 28:
مثال :تابي وه بر ‎[AML‏ چنین تعریف شده است : 00۵ عبر * ادوم ‎-x x¢Qn|al| 1‏ 2 ‎fe Ra)yj‏ ؟ چرا؟ 

صفحه 29:
۱۳۹۹ Xd ‏حل. چون در هر بازة نقاط گویا و اصم وجود دارد. از این رو . به ازاي‎ هر افاز ‎Xe‏ = )£ 4 رید -< ( ‎my‏ .از این رو 17۳ 0) =3 xAq; < ‏مر‎ - 1) =X LP, f,a) =3- ‏زم‌شود‎ <- Xk ia 

صفحه 30:
cl jl Mer > ‏که در آن9>‎ say ‎=inflP, f) =inf x, =‏ امه 1۵ ز ‎J fddal x =supl PA) =suyp- x) = ‎. fe Ra). 

صفحه 31:
تعروف:قنده أممت. جم كنيك: تعريف نشان دهيد اين تلبع به مفهوم ريمان انتكرال يذيز است. انتكرال آن را 

صفحه 32:


صفحه 33:
((+دز ارر DMS | Anddxs jf ‏رن‎ at? 1 رابطه فوق به ازاي مله برقرار است. جون حدود طرفين تزابر است. يس 1 ده 1 ] مه | 

صفحه 34:
01 fos: ju 0 ‏ع بر تعرب‎ ‏تا پر ؟ جرا؟‎ ‏بر | با ضابطه‎ ‏زیر‎ ‏تعریف‎ ‎| ‏مثا شده‎ Re 1 ‏يه‎ ‏؟ جرا؟‎ 

صفحه 35:
حل. اگرل< 19 _ بگيريم. داریم : ‎PA m=S Ml glam =UP.g)‏ )4 ۵ ان ‎ka ka‏ ‏در نتیجه با توجه ‎pr Is Jie‏ > 909 .بنبراین ‏كج ده 

صفحه 36:
به طریق مشابه الا -- 11 بگیریم» خواهيم داشت : لاد يده هايم #- ره )ورگ - زر ‎Ka ka‏ یی رواجون با رهب ملق نیز انتگرال پذیر است و وه« ] 

صفحه 37:


صفحه 38:
متا :لا ۶9 ‎lo),‏ تعریف شده است. انتگرال 4 بیابید (به مفهوم ریمان) 

صفحه 39:
حل. همانند (ج) به ازاي ‎is Bl‏ (جم2الجص اد 10۳,۲۱ - (KP xt ka 

صفحه 40:
در (n- 1) ‏ماو‎ - ( < f Ad dxs ‏تحص لط اتسين ورار م‎ on on 

صفحه 41:
رل 1۵ ] ععرل ۶۵ ] اولين سؤالى كه بعد از اين مثال ها مطرح مى شود اين است كه كدام توابع هستند كه انتكرال يذيرند. ذيلاً دسته اي از توابع را مشخص مي كنيم كه نسبت به هر تابع صعودي انتگرال پذیرند. در واقع توابع پیوسته انتگرال يذيرند. اما قبل از اثبات اين موضوع به قضيه اي كه ذيلاً مى آوريم نياز داريم. 

صفحه 42:
قضیه (شرط ریمان». شرط لازم و كافي براي آن کأ» 4 ۶ که آن است ۷۶2 ۷۳۷ © P= UP fa)- UP fa)<e) شرط اخیر را شرط ریمان مي ‎ali‏ 

صفحه 43:
لم . اگر تابو بر بازة,4] ‎cash Jibs‏ آنگاه M;- m=sup| fd- Ap) |x, <x ys) 

صفحه 44:
قضیه . اكز ‎lat, fats‏ بيوسته و“ بر 4 اصعودي باشد . آن ‎fe Ra)‏ اه 

صفحه 45:
قضیه . احکام زیر معادلند : fe Ra) (ay 237۰ 23۳ ۷ ۳۷ tel Pe © P, thE ( Xe, Xk) > | SP, fa)- Al<e) 

صفحه 46:
| )درد را > )۴,۲ ۲۷ 3۳ ۷۶ > 3| flu)- fly)|Aa<e د ‎SP, f,a) \<e)‏ -(۵گ 3 | د ۲ ط ع چ )۲ ۲ ۷۶3 

صفحه 47:
‎f 7‏ قضیه : اگر ‎lH,‏ صعودي 5 2 صعودي و پیوسته باشد. ‎fe Aq) ‏آن‎ 

صفحه 48:
۳" a, ‏از راست ناپیوسته‎ | A Ris ‏قضيه : أكر توي و‎ ‏ع1‎ Ka) باشند » أن كاه 

صفحه 49:
f ‏قضیه : فرض کنید تلبع کراندار به غیر از تعداد متناهي نقطه از نقاط‎ داح ‎yor ally Ean‏ ۳ ناپيوستگي ‏ . پیوسته ‎PLR}‏ 1° 

صفحه 50:
مقال :قبط با ضابطا ویر تعریف.شده ات 0 ) ۶ QO) fal 5 (x="(m0 =i) ‎f ;‏ در آنالیز دیده لید که تابع در نقاط اصم پیوسته ولی در نقاط گویا ‏ناپیوسته است . در این مجموعه نشان مي دهیم که تابع فوق داراي انتگرال ‎. 2 ‎a, ‎. ‏اي ریمان بر بازة است‎ 

صفحه 51:
حل. فرض كنيدا< 8 عدد طبيللي را طوري انتخاب مي کنیم که 2 م8>- N فرض كنيد ‎X=) <r<s<N(r9 =)‏ P ۳۳ و در رما |[ ور ‎aa‏ 

صفحه 52:
POX =\04) 7 ‏لاحم‎ n. ‏که در آن عدد طبيعي دلخواه است. اکر آن گاه‎ BA : ‏مجموعه هاي را به صورت زیر تعربف مي کنیم‎ 

صفحه 53:
i, Ag اقا ‎N‏ ‏آن گاه اعداد گوياي باق "2 داراي مخرج بزرگتر یا مساوي ‎M; <i <2 ۱‏ .0 > ناا است « از ایزع روز واضح است که همواره اگر 1_m_2 x Ax; <mx— =— <= icB 12 2 ‏م‎ 

صفحه 54:
دز + رد24 - ود ۸۸ 07۳ El KB + > ور ۵<ر۶ +ور ور 2 ‎EB 2 2‏ ۸ ازاين رو 04 ۸9 رز ,بقع مچعه (د۶ ز 

صفحه 55:
محك لبگ در مورد آنتکرال پديري رب ‎SCR 2‏ 0>€ تعریف. گوییم مجموعةً با اندازة صفر است در صورتي که به ازاي ‏| ‏هر خانوده‌اي شمارا از ‎Aedes‏ نت وجود دارد به ‏طوري که ‎Olay b)‏ ع5 و ۶>(ره واگ ‎ket‏ بو 

صفحه 56:
بتیفی اش 4 غرم موق بگنانی رن مچم ای ‎Bini Bsa fH Ly‏ | زیوا ‎|a cla: ¢,ate)‏ از لین رو مجموعه‌هاي متناهي با اندازة صفر است. ذیلاً ثابت می کنیم هر مجموعة شمارش پذیر با اندازة صفر است. 

صفحه 57:
قضیه. اک شمارش يذير باشد ‎٠‏ أن 5-5 اب برهان. فرض کنید|۰., 25 ,2۷ ‎B=‏ داريم : 9 يي + هرجش ‎ES Ue‏ 2 2 يدق 6 م ‎Se =<‏ 

صفحه 58:
7 ‎E=‏ ۲ همائند قضية'فوق مى توان نشان داد که لا با اندازه صفر باشدء آن كاه نیز با اندازه صفر است . 

صفحه 59:
تعریف : فرض 1۲| ۸ - ۶ جرناعت (7), 9 را نوسان تب 1 هي نانیم.توینان ی را در گقطة ‏ به صورت زیر تعریف مي کنیم : (ظ,۵) له جعر يز عد)ار ‎old =]ime‏ اگر 7 ك7 ,آن ىإ ام 9ك (13م 99 .در نتيجه . حد بالا موجود است . 

صفحه 60:
‎ad Foto acd‏ تعریف شده است اين تابع در قطة ‏پیوسته است 9 ليله اكر 

صفحه 61:
(ع> |۸۵ - ۸ | حل > لد | ۷۶23۷۸ علط ععاط عد اك وليل .آن كاه = é 1 8 ‎fly) 207‏ | ,>< لد - 12 | ازاين رو .|(4)[2 - 61 | ‏در نتیجه ,(,6)۵ 2 جعد رط عد)ر 9 , پچ ۵داره 

صفحه 62:
اندار است و به ازاي هر م 0>8 6 .كن كاه ي (وابسته به ) وجود دارد به طوري که به ازاي هر ‎AN so Tsl ad,‏ اين ot oe Ay 

صفحه 63:
برهان. بنا به خاصیت اینفیمع ي وجود دارد به طوري که 2,1 0۱ ۱م ۵جدرم 6 دار 9۵ چون ,۵+۵ دای > ‎|ab [a‏ فشرده است پس 

صفحه 64:
n lab > ‏-ودال‎ 165% +155) ۱ ل فرض کنید ‎=MIN 505/50 x 150K,‏ ۳ ۵( بل ‎QAD<e‏ 

صفحه 65:
قضيه : فرض كنيد تابع ‏ بر كراندار است . به ازاي هر © مجموعة به صورت زير تعريف مي شود امح هام هر آطره ‎x|xe|‏ در این صور له بسته است . 

صفحه 66:
برهان. فرض كذ >0 ين رو ي وجود دارد به طوري كه ۵۵( ۵ جر ر و عد) )۶ 9۵ از این روميع بشلا قصعرة عد ) ‎Ee‏ تعلق نار که با ‎eis palit,‏ لطعم ‎ep Cel eee‏ 

صفحه 67:
قضیه (محك لبک براي انتکرال پذيري ریمان) . فرض ‎BS‏ lab fer ‏م لها‎ D 7 ‏کراندار و مجموعة نقاط ناپيوستگي بر باشد.‎ اكر ولشخط اكر با اندازة صفر باشد 

صفحه 68:
انتگرال ریمان استیلتیس داراي خواص زيادي است که ذیلا اهم آن خواص را مي آوریم. ورم قضيه : احكام زير برقرار است (همة انتكرال ها در ‎LOB‏ تجزیفت شديه الدركر آنكه خلاف آن تصريح شود) 

صفحه 69:
بو asl. ‏م‎ Pfdon) =cf fdr, fe Ha) f+ ge Ras i. Lge Ha) si و ‎Pods‏ + ی ع م9 +۶ از 

صفحه 70:
ج) گر 101 ۶,9 ‎f<g‏ . آن 94 را > ۵ ‎fe Rp fe Ra) si(s‏ . آن ۵۵ + ع1 ‎5 ‏فر + مقط فز - (م جه 1 ذل 

صفحه 71:


صفحه 72:
قضیه ‏ فرتی عي(10 ۶ ‎msf<Mab‏ بل ‎[aM‏ پیوسته است . آن 16 ‎lay n= OF‏ نسیت به داراي ead Stel 

صفحه 73:
نتیجه . 6 ‎f\dx,| fle Ras i, fe Ha) si‏ اي > زر fe Hale j, fg¢ Hal ge 

صفحه 74:
برهان. فرض كنيد ‎(ones) of fat 2 6‏ عددي حقيقي مانند ‏ وجود دارد به طوري ‏در این صورت ۰ ‎| fte| = cf) fel = ‏اير > شعي‎ ۰ 

صفحه 75:
) ۶+ ‏۴و‎ > od و ۳۸۰۱ نتیجه مي شود که 6 6د با فرض (£- g? € Ha) ‎f+? -(f- g’)e Ho)‏ )مسرم 

صفحه 76:
mS Rs 0 

صفحه 77:
قضیه ( اول مقدار میانگین ) ۱۰ بر پیوسته باشد ۰ آن گاه ‎Satis‏ ملك ابر وجود دارد به طوري که ‎[Pfs = fd (alD- ala) 

صفحه 78:
برهان. فرض کنید m=inf f(X|a<x<b , M=sup | ۵ >> بنابه قضية ‎1.4.١‏ داريم : nha D- ala) > 2 fax <MalD- aa) 

صفحه 79:
بديهي آست » در یر این صورت بنا به lab 3 5 ۳ ۲ پيوستگي ‎١‏ نتيجه مي شود عضوي مانند در بأزة 1 وجود دارد به طوري که 1 os aD ata 1 9 . ‏قضية فوق را به حالتي گه بيوسته نيست تعمیم مي دهیم‎ SUS 

صفحه 80:
‎Ra ۱‏ € ۱ 2 قضیه . فرض كنيد » آن گاه عددی مانند ‏> که ‎Pfr =alalb- ala)‏ وجود دارد به طوري كه و ‏1 م يها ‎gl pay‏ و به ترتیب سوپریمم و اینفیمم تابع ‏در بازة است : 

صفحه 81:
(قضية مشتق گيري). فرض کنب 3 هعدعه) . تاج < كر آن كاه الف) اكر© دو پپوسته باشد آن گاه در ييوسته است . 

صفحه 82:
ب) اگر در پیوستهی بر مشتق پذیر باشد . آن گاه ‎x‏ یی در مشتق پذیر است و ‎F(x) = flx) a(x) 

صفحه 83:
پیوسته باشد و ۵۱ 9 | < ۵د ۳[ آن گاه گ درگ مشتق پذیر است و F(x) = flx) 

صفحه 84:
feR = F PE gfe ‏اگر و تابعي مانند باشد به‎ آن گاه PAdd=AD- Aa 

صفحه 85:
‎al GF... |.‏ قضیه. فرض كنيد و ‎ad‏ ‏مشتق پذیر » ‎G=geR, F=fek ‏آن گاه ‎3 ‏اعد 9و‎ 0۵ - 2۵ 02-۳ 30 0) ds 

صفحه 86:
قضيه (صورت ديكر انتكرال كيري به روش جزء به جزء). 1 وگ هر دو ‎fe Ra)‏ ۳ 1 11 > » آن كاه صعودي باشند وا 18: + ‏هه ۵ دعفمم‎ - fladala 

صفحه 87:
و 05 ۳ ‎a‏ ‏قضیه (دوم مقدار میانگین) . اگر صعودي و علاوه بر صعودي بودن بيوسته هم باشد كن كاه نتككه ‎ab ol Abin ce‏ وجود دارد به طوري كه عه ] هل + ‎fla) fda‏ = ير 

صفحه 88:
9 g 3 7 تقیجه داگر ‏ صعودي 59 بيوسته و نامنفى باشد ء آن كاه نقطهاي مانند درب ورد وتطوريقه دك قد أو 19 جدك اداو ب 120 سرك لو لدب 

صفحه 89:
نتیجه . اگر و تابع نامنفي هم باشد آن كاه نقطه‌اي کانند ‎lad,‏ وجود دارد به طوري که ۳ ظ ع لاو ۶ ۲ 

صفحه 90:
انتگرال گيري نسبت به توابع پله‌اي تعریف. تابع پله‌اي واحد به صورت زیر تعریف مي شود : ta =f! X<0 i x>0 ‏پیوسته بالگ و رات ره‎ if f a<c<b. ‏قضیه. فرض‎ مگ یهار ۵ عو 2 ۳ 

صفحه 91:
8 قضیه. فرض کنید 2 20 و3 2 ‎Gast ica‏ | دنبالهاي از یلار (يوة الية .5- لاله ‎a4 f‏ , ‎SAG) a,‏ و ‎[, fax -S a, fc) 

صفحه 92:
مرا قضیه. 9 2 | دنبالهاي متناهي از مه باشد. آ هط را مي توان به صورت یك انتگرال ریمان - استیلتیس نوشت . 

صفحه 93:
بنا به بحث برهان قضية داریم : يه د مر هك 2 بر ۵ كاعر ‎ka ka‏ که در آن 24 ] به معني جزء صحلح. است . 

صفحه 94:
۶ < داه 1 اد کوب ب نبالة اعدا | ‎Bes 2‏ | ۳-۹ ۳ 0۱ را بيايد . اشد . 5 ‎pea‏ ‏بر ‏اگر 

صفحه 95:
ous FERS: Jus دهید : 2 ‏متسر‎ fas ke) = P lads ‏كيريد‎ 2 2 ۳ lim a =2 | lim !_ =lodi + \2) 9 7 | ‏نوه‎ +2 

صفحه 96:
نشان دهید “أده فرتم ضر ‎M=liml‏ 

صفحه 97:
aP = 5. Ls و تساوي فقط و فقط وقتي برقرار است که » نتیجه بگیرید ‎Pp‏ 4 fe Aa) |61» , ۱۶ ‏بعال‎ و ‎a‏ مهو 7 i 9 peas ۳ 

صفحه 98:
پذیر باشد . آن گاه با + ,9 > بل ‎|f‏ o> 5 [ay fe Ha) ‏و‎ ‎): | fo نشان دهید تلبع پيوسته‌اي ‎of‏ ws at وحود ارد 2 که 04 

صفحه 99:
تغییر متغییردر انتگرال ها بسه ویسژه در انتگرال هاي ريمان ابزاري توانا براي محاسبه انتگرال ها است . از آن رو قضیه و نتيجة زیر را مي آوریم : 

صفحه 100:
پیوسته و اکیدا ‎Is,‏ :۱ > مد 

صفحه 101:
مشتق كيري از انتكرال قبلاً قضية اساسي حساان را ثليت كرديم و نشان داديم كه اكر ع برد پیت ۳9-۸ ی وراج زا موجود وت و ی يآ ده اكر العلي زخو سيو * باشد وا به جاية وياحتي توابعي از قرار كيرد جكونه مي توان مشتق گرفت . 

صفحه 102:
تعریف شده است . ‎(c<x<d)‏ = لاه 0 )1 ۲ - كر ‎FS yy ogh‏ بر وا ‎Symp‏ ست واخارهم ‎FIX=(D, flxddald 

صفحه 103:
ا ۶9 جر ۲ < زرا 

صفحه 104:
rey a asply by asa > ‏مر‎ at ‏باشند به تلور که‎ F . در این صورت موجود است و تام 8 ,لد كر كا - لد اع 8 ,فک +0 جد ا صم - 5 

صفحه 105:
انتگرال هاي ناسره 

صفحه 106:
wo ۱.انتگرالهای ناسره را تعریف نمایید. ۲ . انواع انتگرالهای ناسره را تعریف و برای آنها مثال بياوريد. ۳. همگرایی انتگرال ناسره را تعریف نمایید. ۶ شرط لازم و کافی برای وجود انتگرال ناسره را بیان کنید. ۵ آزمون انتگرال برای همگرایی سری های نا منفی را بیان کنید . 

صفحه 107:
ds 1 x را در نظر بكيريم و بدون توجه به بي كران بودن تابع 1 كد ور محادتهه كنيم در مي يابيم كه 

صفحه 108:
برقرار باشد . يعني طرف راست منفي است در حالي که طرف چپ انتگرال ۰ يك تابع نامنفي است . مثال فوق نشان مي دهد که نیازبه تعریف لین نوع انتگرال ها داریم که منجر به تناقض نشویم. اين انتگرال ها را مي توان به صورت انتگرال هاي ناسرة نوع اول و نوع دوم مورد بررسي قرار داد . 

صفحه 109:
تعریف (نتگرال هاي ناسرة نوع اول). انتگرال هاي ناسرة نوع اول از بسياري جهات شبیه سري هاي نا متناهي است. اگر به ازاي هر عدد ‎la 1 7‏ داراي انتگرال ریمان و حد زیر ‎lim [f(¥ ds Too 

صفحه 110:
موجود یا همگراست و در واقع داریم : [fia Jim [ree در حالتي ع[ ا موجود باشد كوي مطلقاً همگراست . 

صفحه 111:
Tre ‏وقتي كه‎ pelle ۳ a xP pti = | p> PAG ‏در صورتي كلا 17 إن‎ از این رو داریم : 

صفحه 112:
به طوري كه اشاره شد اين انتكرال ها شبيه سري ها هستند. در واقع ی ا 22 ‏هش‎ f(x ds ‏ي 8 تیاعر حاصل جمع جزيي‎ Polite ۹ اموی‌ژّلین شباهت ها شباهت هایی در اثبات همگرایی انتگرال ها و سري ها را ایجاب مي کند. 

صفحه 113:
موجود و برابر مجموع (تفاضل) دو به طریق مشلبه مي توان ‎ye‏ از | 9 © رابه صورت زیر تعریف کرد : [tia im fra مشروط به اين ‎As‏ بر هر باز ‎ ]77‏ داراي نتگرل ریمان باشد . 

صفحه 114:
موجود باشد آن است که ,۲ 217۷ ۷۶ (شرط كوشي ) 1 <1 << | fe 

صفحه 115:


صفحه 116:
اگر و و همگرا باشد. (لين قضیه به «آزمون انتگرال» mt در مورد سري هاي نامنفي مشهور است ) 

صفحه 117:


صفحه 118:


صفحه 119:


صفحه 120:


صفحه 121:


صفحه 122:
مس 

صفحه 123:
تعاریف وخواص كلي: تعريف:تيع 5 رابر بازه ‎lab‏ با تغییر کراندار مي نامیم هرگاه: ‎|Af, |<M‏ 3 لد ‎ka‏ 

صفحه 124:
قضيه:اكرتابع] , ‎[aby‏ با تغییر کراندار باشد آنگاه ‏ بر |(1 ,2 | كراندار است. اثبات: ب انتخاب افراز /(12,36,1 بنا به تعريف با تغيير كرانداري عذذي حقيقي مانند ]10 وجود دارد كه ‎\f(x)- f(a) |+E(b)- £60) <M‏ lf) | s|f(@) |+M ‏يعني‎ ۲00 - f(@) |<M ‏درنتیجه‎ 

صفحه 125:
۳ تعریف: فوض کنید ‎MO‏ يك فضاي متريك باشدو > و 80 دنباله اي از توابع (حقيقي ویامختلط ابر تلباشد.فرض کنید به ازاي هرك © دنباله عددي ‎f, fn(x) |‏ همگرا باشد.دراین صورت مي توانیم ‎OE‏ راباضابطه ‎f(x) =limf,(x) (xeB)‏ ‎neo‏ ‎Ie |‏ تعريف كنيم. دراين صورت كوبيم دنباله ا | به طور نقطه وار به تابع أهمكراست. 

صفحه 126:
مثالها. الف) دنباله ‎gaily By‏ كيريم واضح است که اکر ‏ ویو ‎Sty lim fri) =O‏ 7= عآن كاه 05۲1 ‏درنتیجه‎ lim f(x) =l ‏اه‎ x4 a ‏مه بو‎ ملاحظه 5 ون پیوسته ویاحتی مشتق پذیراست 2 1 که ]چنین نیست. 

صفحه 127:
در مثالهاي گذشته ومثالهاي دیگر کتاب که مجال پرداختن به آنها نیست مي بینیم که همگرايي نقطه وار خواص مهمي مانند پيوستگي- مشتق پذيري انتگرال پذيري و حتيكرانداري را به حد دنباله منتقل نمی کند. دنبال شرايطي هستیم که بتواند چنین خواصي را منتقل نماید. 

صفحه 128:
دا ‎fet‏ ‏-1 ملاحظه ميكنيم كه هر 11 بر (07] كراندار است در واقع fn=Gex+x +x’ ‏ربمومب‎ 1 ( <n در حالي که ] بر(101 کراندار نیست. 

صفحه 129:
۳۱ 0 دم ۶0-1 2 1 <1 ملاحظه مي شود كه هر 1 بر ‎[1١‏ بيوسته است در حالي كه 1 در نقاط )دع و -< 2 نا پیوسته است. نتيجه: مشتق بذيري حكرانداري وييوستكي بوسيله همكرايي نقطه وار 

صفحه 130:
تعریف: فرض کنید ۴ حد نقطه وار دنباله ۳ باشدگوييم دنباله ‎(ta‏ بر ثبه طور یکنواخت با همگراست در صورتي که داشته باشیم در اين صورت مي نويسيم 

صفحه 131:
چه نفاوتي بین دو تعریف همگرايي نقطه وار و یکنواخت وجود دارد؟ در همگرایی یکنواخت( مستقل از است در صورتي که در همكرايي نقطه وار [( وابسته به * مي باشد. 

صفحه 132:
ملاحظه مي کنیم که يك تفاوت اساسي در تعریف بوجود آمد . در اثر این تفاوت انتظار داریم که: اگر تمام جملات پیوسته باشند حد نیز پیوسته باشد. اگر تمام جملات مشتق پذیر باشند حد نیز چنین باشد. 

صفحه 133:
7 —_———SE_— ‏توجه:‎ در حالتیکه تما م1 ها و در نتیجه ؟ حقيقي باشنداز تعریف همگرايي یکنواخت چنین نتیجه مي شود که n>=N=> f(x)- ¢<fn(x)<f(x) +e ‏يعني از مر تبه اي به بعد نمودار تمام 122 ها بين‎ دو نمودار #+100-<017 و * -100- 7 واقع مي شوند. به نمودار اسلاید بعد توجه کنید: 

صفحه 134:


صفحه 135:
را بیان میکند قضیه: : شرط لازم وكافي براي آنكه ؟ 9 بر ‎E‏ آن است که On=sufpFn(x)- f (x)| 0 

صفحه 136:
ا زآنالیز رياضي يك به ياد داریم که شرط کوشی براي دنباله ها معادل با همگرايي بود. در مورد دنباله توابع نیز شرطي مشابه آن به نام * كح . + 0 وجود دارد که معادل با همکرایی یکنواخت است. 

صفحه 137:
ققلیه( فرط همگرابی یکنواعت کوشي ] شرط لازم وكافي برا يآنكه ‎Ex lin‏ به طور یکنواخت همگرا باشد آن است كه Ve SNVm,n,x(mn=N,xe E> |fm(x)- fn(x) |<e 

صفحه 138:
تعريف:كوييم دنباله, | بر به طور نقطه واركرانداراست 0 اكربه ازاي هر 1 قابعي حقيقي مقدارنامنقی مانند #۴ باشدبه طوري كه به ازاي مرع ولس 11 داشته باشیم. ‎(xe E,n=72....)‏ > | ممما 

صفحه 139:
تعریف.گوییم دنباله «۱3 بر " به طوریکنواخت کراندار M ‏است اگر عددی مثبت مانند موجودباشدبه طو رکه‎ ۳ ع 26 به ازاي هر وهرعددطبيعي (1داشته باشیم: (..., 2ت ۳,۲ ع2) 11> | مما 

صفحه 140:
قضيه :فر ض كنيد دنباله ‎fy‏ | بر مجموعه شمارش ‎ly‏ ا لگ به طور نقطه وا ر کراندار باشد آنگاه زیر دنباله اي ما نند وجود دارد که بر همگراست 

صفحه 141:
C(X) ‎xX .‏ تعريف :فرض ‎Ani‏ يك فضاي متريك فشرده باشد ‎Xx ‏را مجموعه_ توابع مختلط پیوسته بر ميكيريم با تعريف‎ C(X) ‏جمع نقطه وار وضرب اسکالر به يك فضاي برداري‎ ‏تبدیل مي شود.‎ ‏در این فضاي برداري نرمي به صورت زیر تعریف مي کنیم 

صفحه 142:
چون کراندار است لذا *>1 پس با استفاده از این نرم مي توان يك متريك به صورت زیر تعریف کرد: d(£,g) =|f - gl (f,geC(X)) ‏بدين ترقيب (0)06) يك فضاي متريك است.‎ 

صفحه 143:
كلت ‎ ...‏ ‏۳ | حال مي خواهیم ببینیم که چه ارتباطي بین ‏ 1 همگرايي یکنواخت يك دنباله از توابع و نرم 008 وجود دارد؟ وو ‎ae‏ 1 اگروفقط اگر ام در 000 

صفحه 144:
بع مختلط بر مجموعه 1 در فضاي متريك (0,/)باشد کوییم ‎F‏ همپیوسته است در صورتي که: 

صفحه 145:


صفحه 146:
توابع با تغییر کراندار 

صفحه 147:
پس از مطالعه اين فصل باید بتوانید: ). يك تابع با تغییر کراندار بر يك بازه را تعریف نمایید ©. براي توابع با تغيير كراندار بر يك بازه مثال بزنيد . ©. مثالي از يك تابع كه كراندار است ولي با تغيير كراندار نيست ارايه دهيد 

صفحه 148:
<4. تابع تغییر كلي را تعریف نمایید . ©. ثابت كنيد هر تابع با تغيير كراد ابع با تغییر کراندار به ت تفاض ~ صورت تفاضل دو تابع صعودي است ©. يك + ذیر را تعریف خم طول يذير را تعريف و براي آن مثال بزنيد 

صفحه 149:
تعاربف وخواص كلي: تا ۲ 5 تعريف : تابع ل را بر بازه 21 ] با تغيير كراندار مي ناميم هركاه : aMvP| SIAL <M| ka كه در آن 0ت و1 ۸ 

صفحه 150:
توابع با تغيير كراندار جه نوع توابعي هستند؟ و چه ويژگي هايي دارند؟ اولین ويژگي را در قضیه زبر مي بینیم: قضیه : اگرتایع كبر بازه [2,1ي! تغيير كراندار باشد آنكاء بر ,2 اکراندار است. 

صفحه 151:
با انتخاب افراز (10 ,4,5 بنا به تعریف با تغییر كرانداري عددي حقيقي مانند © وجود دارد که ‎<M‏ و۴6 - ۲0۵+ (262 مام lf) | sif@ |+M ‏درنتيجه 24> |(1)2 - 11 | يعني‎ ‏کراندار است‎ Fie, 

صفحه 152:
أيا عكس اين مطلب نیز صحیح است؟ جواب اين سوال را در مثال زیر مي بينيم * مثال : تابع زیر که به وضوح کراندار است با تغییر کراندارنیست , ب عي 0 10 =| xEQ 

صفحه 153:
براي اينكه نشان دهيم این ؟ ۷/2۲ (P)>M) فرض مي كنيم ‎gave Mf‏ مثبت ودلخواه باشد افراز ‎P‏ را چنین ميكيريم ‎I‏ ليق تق ٠د‏ 37 3 37ج ,60 دمل 

صفحه 154:
‎gins‏ رلک لک 1 0 >ززر 0) 76 در نتيجه داريم: ‏+ جلی6 رو +(۳0 رباع را ‎|fCx)- £5, )+|f0)- fx) aititit+ ۰.۱ ۵ ‏بديهي است میتوان گرفت:‎ ‏لال 12 مین یگ با تغيير كراندار نينت . 

صفحه 155:
1 ریز للا ‎f(x)=‏ ° X=o 

صفحه 156:


صفحه 157:
با توجه به نوسانات اين تابع در همسايگي صفر حدس مي زنیم که lea] این تابع بر " " با تغییر کراندار نیست. Kn sink, =a Lakn+D, ‘ 2111+ ۲۲ ‏يعني‎ » x 206 gle 

صفحه 158:
حال ‎oe MI‏ حقيقي دلخواهي باشد افراگررا به صورت زير در نظر مي گیریم: 2 22 321 Tt 5 2 2 2 = 7 0۲2 0 :داريم 

صفحه 159:
sin——__ - Cnt+im 211 5 2 .ال مرو د 2 poet 2.2m 2 1 _ 1 2 + ‏لوو‎ 2 sinh "+2 sint- 2 - sin ۲ 2 3m 2 2 2 2 

صفحه 160:
+ 2 + 42474724 7 6 2+1] 1+1۲ 31] 31] ۲ sin 2 1 1 11 ...+ جر 5 3 # قوسو گرا دك ‎4m ۲‏ آل 2+1 6 ۲( 2+1 6 7 

صفحه 161:
با توجه به اينكه طرف طبيعي ‎sete.‏ مرجع دروي مقر واست مسن سماو با تغییر کراندار نیست در حالي که کراندار است. 

صفحه 162:
برهان: فرض كنيد صعودي 5 افراز دلخواهي از ‎al‏ | باشد. در اين صورت £041 ۶-۶۶ هاگ ‎ka ks‏ =3 fla) f0%,)= f(b) f(a) 

صفحه 163:
قضیه, اگر تابع ‏ بر بازه بر اين بازه با تغییر کراندار است. 

صفحه 164:
بدا ‎Ps fs. ۲‏ برهان. فرض كنيد صعودي و افرازي دلخواه از ‏بدا( << نکم ‎ka ka‏ ‏باشد. در اين صورت ((يهد كا - ليد )- ‏جحل ‏۶۵ - 9 - ‏پسگ_با تغییر کراندار است. به طریق مشابه در مورد توابع نزولي ثابت مي شود. 

صفحه 165:
قضیه. اكر تابي بر باز؛ "۳" داراي مشتق کراندار باشد, آن گاه 3 تغییر کراندار است. 

صفحه 166:
م9 برهان, ‎VB‏ 2 افرازي دلخواه از باشد» آن گاه 6رد - با (< رد - 12 > > و 7 چون كراندار است يس SAVE | f(x) <A 

صفحه 167:
از از ايز ‎U3‏ روء | - Mey fl x, | ‏كك‎ > Js ۳۹۹ لهذاء f( - fx, <Ab- ) zs )| = a) 21 1 2۱ يعني حکم برقرار است است. 

صفحه 168:
تغرات کلي 11 و = ‎v,(aD‏ ‎(aD =sup ¥ (p| pe a‏ a sy LRH ۰ Ba مجموعه افرازهاي كه در آن 

صفحه 169:
قضیه. فرض کنید توابع و با تغییر کراندار است» آن olf الف) به ازاي اعداد ‎B, A nts‏ تبع 86 +46 بر ‎lad‏ با تغییر کراندار است و ونا |+ وناك اك ووبئينا 

صفحه 170:
ب) تابع : با بر ‎la‏ iu 5 g تغییر کر اندار ۱ ار است است و ونا ۸ + م دكار ‎Vig S‏ که به ترتیب در آن 1 9 M ر آن24 و4 سو يمم به تر ثرت یب سوپر! يمم |9| 3 سوير ual | faa: است. 

صفحه 171:
Ir ‏ج) اگر تابع از صفر دور شود يعني ي باشد که به ازاي‎ | ۶2 | < m>. ‏هر ‘ » آن كاه‎ 1 لا > ,نا * و + 

صفحه 172:
برهان. الف) اگر افزار دلخواهي ار باشد» آنگاه A Af+ Bo, =Af x,) + ‏ود 0ظ‎ - ۸,۸ + BEX,.,) حول + ۸ < در نتيجه» IA Af+ ‏بوحظ8 + |4۵ > لوط‎ 

صفحه 173:
اقا + > ‎Af+ Boow‏ تغییر کراندار است و Var eng <|AU,; (aD +|Bu,(aD 

صفحه 174:
- لد و لآ < ,20 ۸ < ‏(لی او - ان یدز‎ - A) Ag) A0K)| Me 1 ید0 و1 < ازاين روءداريم 

صفحه 175:
جد لد 195 )دا ‎<M Ag; +M ۳۸‏ ‎S Ag‏ 00 رم ‎kl kal ke ‎> ‏ود‎ 6 Mp; 

صفحه 176:


صفحه 177:
‎Zl =z‏ > |« ام هام 1 يعني تابع گر با تغییر کراندار است و بن لع بدا ‎m‏ 3 

صفحه 178:
جنين تعريف مي كنيم: ‎(ax “ac x<b‏ Ux - X=a ‏ذيلأنشان مي دهيم که هر تابع با تغییر کراندار را مي توان به صورت دو‎ تابع صعودي و یا تفاضل دو تابع نزولي نوشت. براي اين منظور نشان مي ‎jah D=V- FV,‏ دهیم که توابع صعودي هستند. 

صفحه 179:
5 است, قضيه. الف) تابع بر * "۲" صعودي [ay D=V- f ب)تابع صعودي است. است تابع صعودي تابع با تغییر کراندار تفاضل دو تابع ج) هر تابع ب 

صفحه 180:
۳ ‏م< ورور‎ Gl Dy- Dx=—lay-|fa- fy) ‏با‎ ‎Sux p-|fd- fy طرف راست نانتفي است زیرا به ززاي د ‎SP‏ ‎DV |Ad: Ay‏ يعني و صعودي هستند 

صفحه 181:
ج)با توجه به (ب)داریم: f=V- D يعني تفاضل دو تابع صعودي است. همچنین با توجه به رابطه ۶ <)- [(- )- ۷( نتیجه مي شود که تفاضل دو تابع نزولي است و برهان تمام است. 

صفحه 182:
بايد توجه داشت كه نمایش فوق منحصر به فرد نیست. زیرا؛ مثلا مر يك تابع صعودي دلخواهي باشده‌آن گاه ‎f=-(V+@)- (D+q)‏ f ‏نمایش ديگري براي تابع با تغییر کراندار به صورت تفاضل دو تابع‎ صعودي است 

صفحه 183:
‎fe Sper‏ در نفک > 2 بيوسته باشدء آن كاء/1 ‏نیز چنین است و بعكس. برهان, فرض کند ی در نگ گ 2 بيوسته است. ‎Ax) |<‏ - 0ك | دق > اير عد ۷9 ‎2 

صفحه 184:
فصل چهار دنباله ها وسريهاي توابع 

صفحه 185:
يس از مطالعه اين فصل بايد بتوانيد : ‎.١‏ دنباله وسرى تابعى را تعریف و برای آنها مثال بزنید. ۲. همگرایی نقطه وار یک دنباله از توابع را تعریف کنید. ۳ همگرایی یکنواخت یک دنباله از توابع را تعريف كنيد و فرق آن با ‏همگرایی نقطه وار را بیان کنید . 

صفحه 186:
۶ شرط کوشی برای همگرایی یکنواخت یک دنباله تابعی را بیان واثبات کنید. ۵ رابطه همگرایی یکنواخت و پیوستگی را بیان و اثبات کنید . 1 رابطه همگرایی یکنواخت و انتگرال پذیری را بیان و اثبات کنید . ۷ رابطه همگرایی یکنواخت و مشتق را بيان و اثيات كنيد 

صفحه 187:
۸ مفاهیم مربوط به دنباله تابعی را به سری تابعى تعميم دهید . ‎٩‏ قضیه تقریب وایراشتراس را بیان و اثبات کنبد. ۰. کرانداری نقطه وار یک دنباله بر یک مجموعه را بیان کنید ‏۱ همپیوستگی خانواده‌ای از توابع راتعریف کنید. 

صفحه 188:
۲ رابطه پین همپیوستگی و فشردگی را بیان واثبات کنید ۳. قضیه استون وایراشتراس را بیان و اثبات کنید . 

صفحه 189:
‎le |‏ تعريف: فرض كنيى ( ۳ يك فضاي متريك باشدو 21 و 0 دنبله اي از توابع (حقيقي ویامختلط ابر تلباشد.فرض کنید به ازاي هرك گ* دنباله عددي ‎fn(x) |‏ ‏همگرا باشد.دراین صورت مي توانیم ‎ae‏ راباضابطه (ظع) ‎f(x) =limf,(x)‏ ‎Teo‏ ‎lel ‏تعريف كنيم. دراين صورت كوبيم دثاله |50 | به طور تقطه وآربه تابع أهمكراسست.‎ 

صفحه 190:
7 2 ۱221 مثال. الف) دنباله . رابر باضابطه در نظر مى كيريم . اک وگل ر لا واضح است که اگر آن گاه ۶ واگر آن گاه ‎limf y=!‏ ‎qe ae ae‏ >> هه - هرز ‎i 2‏ 

صفحه 191:
ملاحظه می کنیم که هرجمله پیوسته ویا حتی مشتق پذیراست درحالی که . چنین نیست.نمودار تعدادی از جملات دنباله فوق را ملاحظه می کنیم 

صفحه 192:


صفحه 193:
در مثالهاي گذشته ومثالهاي دیگر کتاب که مجال پرداختن به آنها نیست مي بینیم که همگرايي نقطه وار خواص مهمي مانند پيوستگي - مشتق پذيري - انتگرال پذيري و حتي كرانداري را به حد دنباله منتقل نمي کند . دنبال شرايطي هستیم که بتواند چنین خواصي را منتقل نماید . 

صفحه 194:
if, ‎alse‏ جا ضابطه ۲ 17 * _ بر بازه تعریف شده است. با توجه به مثال (الف) داریم : ‎1)(< ِ x ‎ ‏ملاحظه ميكنيم كه هر ‎fa‏ پر ‎(on)‏ کراندار است در ‏واقع ‎<n‏ ( 1 مربمومب ورب عربربره- و 

صفحه 195:
۳۱ 0 دم ۶0-1 2 1 <1 ملاحظه مي شود كه هر 1 بر ‎[1١‏ بيوسته است در حالي كه 1 در نقاط )دع و -< 2 نا پیوسته است. نتيجه: مشتق بذيري حكرانداري وييوستكي بوسيله همكرايي نقطه وار 

صفحه 196:
تعریف: فرض كنيد 5 حد نقطه وار دند باشدگوییم دنباله 8 ابر © به طور يكنواخت ب همكراست در صورتي كه داشته باشيم در اين صورت مي نويسيم 

صفحه 197:
چه نفاوتي بین دو تعریف همگرايي نقطه وار و یکنواخت وجود دارد؟ در همگرایی یکنواخت( مستقل از است در صورتي که در همكرايي نقطه وار [( وابسته به * مي باشد. 

صفحه 198:
ملاحظه مي کنیم که يك تفاوت اساسي در تعریف بوجود آمد . در اثر این تفاوت انتظار داریم که: اگر تمام جملات پیوسته باشند حد نیز پیوسته باشد. اگر تمام جملات مشتق پذیر باشند حد نیز چنین باشد. 

صفحه 199:
7 —_———SE_— ‏توجه:‎ در حالتیکه تما م1 ها و در نتیجه ؟ حقيقي باشنداز تعریف همگرايي یکنواخت چنین نتیجه مي شود که n>=N=> f(x)- ¢<fn(x)<f(x) +e ‏يعني از مر تبه اي به بعد نمودار تمام 122 ها بين‎ دو نمودار #+100-<017 و * -100- 7 واقع مي شوند. به نمودار اسلاید بعد توجه کنید: 

صفحه 200:


صفحه 201:
قضیه: شرط لازم وكافي برا يآنکه . ؟ صطد بر لآ آن‌است‌که On=suttn(x)- f(x)) 7 O 

صفحه 202:
ا زآنالیز رياضي يك به ياد داریم که شرط کوشی براي دنباله ها معادل با همگرايي بود. در مورد دنباله توابع نیز شرطي مشابه آن به نام * كح . + 0 وجود دارد که معادل با همکرایی یکنواخت است. 

صفحه 203:
ققلیه( فرط همگرابی یکنواعت کوشي ] شرط لازم وكافي برا يآنكه ‎Ex lin‏ به طور یکنواخت همگرا باشد آن است كه Ve SNVm,n,x(mn=N,xe E> |fm(x)- fn(x) |<e 

صفحه 204:
‎oa Se‏ دنبال,ع | بر به طور نقطه وارکرانداراست ‎g(x) ۱ xX ۳‏ اگربه ازاي هر تابعي حقيقي مقدارنامنفي مانند ‏باشدبه طورى كه به ازاى مرع ولس 11 داشته باشیم. ‏(..., 2ت نظ عع) 0ك 0 

صفحه 205:
تعریف:گوییم دنباله::؟| بر" به طوریکنواخت کراندار M ‏موجودباشدبه طو رکه‎ " ‏است اگر عددي مثبت مانند‎ به ازاي ه رش > 26 وهرعددطبيعي (داشته باشیم: «20 | > (xeEn=12....) 

صفحه 206:
قضيه :فر ض كنيد دنباله ‎fy‏ | بر مجموعه شمارش ‎ly‏ ا لگ به طور نقطه وا ر کراندار باشد آنگاه زیر دنباله اي ما نند وجود دارد که بر همگراست 

صفحه 207:
C(X) ‎xX .‏ تعريف :فرض ‎Ani‏ يك فضاي متريك فشرده باشد ‎Xx ‏را مجموعه_ توابع مختلط پیوسته بر ميكيريم با تعريف‎ C(X) ‏جمع نقطه وار وضرب اسکالر به يك فضاي برداري‎ ‏تبدیل مي شود.‎ ‏در این فضاي برداري نرمي به صورت زیر تعریف مي کنیم 

صفحه 208:
چون کراندار است لذا *>1 پس با استفاده از این نرم مي توان يك متريك به صورت زیر تعریف کرد: d(£,g) =|f - gl (f,geC(X)) ‏بدين ترقيب (0)06) يك فضاي متريك است.‎ 

صفحه 209:
كلت ‎ ...‏ ‏۳ | حال مي خواهیم ببینیم که چه ارتباطي بین ‏ 1 همگرايي یکنواخت يك دنباله از توابع و نرم 008 وجود دارد؟ وو ‎ae‏ 1 اگروفقط اگر ام در 000 

صفحه 210:
بع مختلط بر مجموعه 1 در فضاي متريك (0,/)باشد کوییم ‎F‏ همپیوسته است در صورتي که: 

صفحه 211:
سري هاي تواني و توابع خواص 

صفحه 212:
يس از مطالعه اين فصل با ید بتوانید . یک سری توانی را تعريف كنيد . ۲ شعاع همگرایی یک سری توانی را تعریف و روابط مربوط به آن را بيان كنيد . *. شعاع همكرايى يك سرى توانى را بيان كنيد 

صفحه 213:
۶. تابع نمایی را تعریف و خواص آنرا بیان کنید. ۵ توابع مثلثاتی را بر حسب سری توانی تعریف و خواص آن را اثبات نمایید 

صفحه 214:
يا به طورکلی به صورت 12 مه 0 مه حداصه 8 ‎n=0‏ ‎Cn .‏ تعریف می شودکه درآن یک عددحقیقی 6ا یک متغیرحقیقی و ها ‏اعداد حقیقی هستند . 

صفحه 215:
R ‏اكرعددى مثبت مانند موجود باشد به طوری که به ازای هرعدد‎ 7 Xx ‏حقیقی دربازه سری(۱) همگرا باشد در این صورت می‎ نویسیم : ۶۵ ۶ ‏عبر «ری‎ )- RR 

صفحه 216:
1 وكوييم به وسيله سرى توانى(١)حول‏ نقطه صفربسط داده شده 1 است .در حالت (۲)گویيم تابع به صورت f(x) = = Cn(x- a)” n=O a . ‏حول نقطه بسط داده شده است‎ 

صفحه 217:
R ‏تعریف: عددحقیقی را شعاع همگرلیی سری تولنی (۱) ویا (۲) می‌نامیم . باید‎ R=0 ۰ R ‏توجه داشت که می تولند باشد. در حالتی که در لين صورت سری‎ a ‏فقط در صفر و سری (۲) فقط در همگراست‎ )۱( 

صفحه 218:
Cn x” ‏يك سری توانی باشد و‎ 12-0 AS ‏قضیه فرض‎ R ‏م‎ oe Tim Ye Noo Son __ MSR ‏الف)اكر آن كاه 12-0 به طور مطلق همكراست‎ 

صفحه 219:
مه ‎cnx" 5 xj>R‏ + ب)اگر آنگاه 2-0 واگراست مه ‎n O<e<R‏ ‎Se‏ آنگاه ‎als ao‏ ‎R+e,R- e|‏ -| به طور یکنواخت همگرا است. 

صفحه 220:
> , اگر ‎n=0‏ آن گاه ۳ 0( fk(x) = =n(n- Din- 2)...(n- k+ Denx* ) > ‏له‎ £9(0) =Kea (k=0,1,2,..) Ves 4 (0) (kK) ‏كه درآن منظوراز 0-7 ام ومنظوراز سيان ] اسبة.‎ 

صفحه 221:
= x eee b n=O ‏الف)شعاع همگرایی سری‎ R=1 Cn=1 ‏حل,چون همواره پس‎ 

صفحه 222:
در در ب)شعاع همكرابى سرى 0-1 رابيابيد. ‎R=1 2801‏ حل.ميدانيم كه پس 

صفحه 223:
قضيه(آبل). فرض كنيد ‎pan‏ همگرا باشد. اگر 1 >< >1 -] مين 2 - 00خ ‎n=0‏ 0 آن گاه ‎lim f(x) = Zon‏ xo 1- 0) 

صفحه 224:
n (ab) XX. 1 قضیه. فرض كنيد درنقطه ‏ دربازه دارای مشتقات تامرتبه ‏ باشد lim» =» ‎ROO i at a‏ يه موجوداست به طوری که ‎f(x) 5 Xo) ‎ ‎k 4 ‏م‎ (x- ‏ند‎ + ROx)(x- Xo)" ‎|xe(aD| n=-]2,... 

صفحه 225:
co © 2 2 aij ‏قضيه. فرض كنيد زنه 11 همكرا باشد.آن گاه‎ SS a 5 Say ia ja ja ia 0) 

صفحه 226:
‎bs 500‏ قضيه .فرض كنيد سرى هاى ‏همكرا باشد و ‎E=| xxe As ‏قرط ارج‎ 

صفحه 227:
‎SI‏ در دارای حداقل یک نقطه اجتماع باشد آن گاه ‎oO 00 an =bn(n=4,2,3,..), 2anx" = ¥ bn x” 2-0 n=0 

صفحه 228:
تعریف. ‎Gls gb‏ رابرصفحه مختلط ‏ را باضابطه 0و مه ۶ و - (۳۲2 معط ‎oO 3‏ تعريف مى كنيم باتوجه به اينکه شعاع همگرایی این سری را برابر " است يس بر تمام صفحه مختلط تعریف شده است 

صفحه 229:
e ‏در آنالیز ۱ نشان دادیم که عددى است اصم. در واقع نه تنها اصم‎ است بلکه غیرجبری هم است یعنی ریشه هیچ معادله‌ای با ضرایب گویا 

صفحه 230:
اكر یک عددحقیقی منفی باشد.آن گاه بنابه رابطه(۲)و(٩)داريم:‏ ‎1=E(0) =E(x)E(- x) =E(x)e *‏ ‎E(x) =‏ ‎(x) =e its‏ ‎x‏ ۳ یعنی رابطه(٩)به‏ ازای های منفی هم برقراراست ازاین رو.به ازای هر . 6 ‎E(x) =e* ‏داریم‎ 

صفحه 231:
L ‏تعریف. تابع راکه به صورت زیرتعریف می شود تابع لکاریتم می نامیم.‎ Ly) - 2 lye](0,0)| Li) =0 (1,00) )( L تعریف فوق نشان میدهد که بر منفی و بر مثبت است و 

صفحه 232:
قضیه. اگر " كه درآن ‏ عدد مثبت دلخواه 520135 برهان. بنابه رابطه(1١).‏ قضيه 1.1.0 و قضيه مشتق تركيب توابع داريم : |07 بر - (مر) ‎alla)’ E/ atl 9‏ |= 

صفحه 233:


صفحه 234:
تصاعدهندسی زیررا در نظر می گیریم: ۳( -) 1 ۳۵ - رز )...جر 0) مه ب (1 ازحدگیری از طرفین(۱)وقتی که .خواهيم داشت: 1 (۱>ل). .+ لیر جر -۱ 0 +1 

صفحه 235:
|- aal a اكر یک عدد مثبت دلخواه باشد به طوری که عدر بازه ‎xa > 2 ۵‏ داریم: لهذا . چون سری 0« همگراست پس سری ۲ 98 ۳ بر بازه به طور یکنواخت همگراست و در نتیجه از سری فوق می توان جمله به جمله انتگرال گرفت یعنی 

صفحه 236:
عدم سدع سدق( .. + + - کم # یر -و< 2 

صفحه 237:
تعریف. توابع و رابه ترتیب توابع سینوس و کسینوس می نامیم و چنین تعریف می کنیم: )0 _Bix)- Hei) Gy _Hlin)- Blind 21 2 Sx) 

صفحه 238:
درواقع. نشان می دهیم که توابع و همان توابع سینوس و کسینوس عادی 20x) =Blix) +H ix) PO ‏معد از رايط‎ 2iS.x) = Blix) - 8)- i) از جمع دو رابطه اخیر خواهیم داشت E(ix) =C(x) =iS.x) 

صفحه 239:
Ax =. قضیه. عددی حقیقی و مثبت مانند وجود دارد به طوری که 

صفحه 240:
تعریف. عدد " "را مساوی تعریف می کنیم . در مثلثات مقدماتی با اين عدد ‎Tl 1 ِ‏ آشنا شده اید. عدد نه تنها اصم است بلکه متعالی هم است. اصم بودن " را ضمن مثالها ثابت کرده‌ايم ولی اثبات متعالی بودن ‏ "از حوصله اين درس خارج است . 

صفحه 241:
@x) =cox + x sinx ‏حل. تابع را تعریف می کنیم .داریم:‎ “| از این رو در این بازه صعودی است و Q(x) =- sinx + sinx + xcosxx =xcosx <0 x) > do) =1 ۶ 

صفحه 242:


صفحه 243:
سریهای فوریه 

صفحه 244:
قضیه. اگر سري (0)به طور یکنواخت 1 60990 #۷ ] << ره ‎Tl 1‏ db, =f f(x sinnx ds 

صفحه 245:
تعریف. سري ()) را سري فوریه تابع ] و" " و 7زا ضرایب فوریه تابع؟ مي ناميم. قضيه . اگر سریه فوریه ۲ ۲ ‎5A +)3|A,comx+ B, simx‏ 1124 ‎fx 9‏ ‎oa‏ 7 | سور وت همگرا باشد آن گاه (م) ‏3 ‏سري فوریه تابع است . 

صفحه 246:
3 قضیه. اگر توابع انتگرال پذیر و در پیوسته باشد و اتکی رید و مت من ‎٩‏ 

صفحه 247:
نتیجه, اگر پیرسته و سري فوریه ۶ به طوریکنواخت همگرا باشد » آن گاه مجموع این سري در هر ‎cul F(X) Ab‏ برهان.اگر سري فوریه ] به تابع ديگري مانند 9 همگرباشد »در اين f=g ‏صورتبنابه قضیه 6*,1.0اين سري .سري فوریه و نیز است پس‎ 

صفحه 248:
قضیه(ریمان-لبگ). فرض کنید۴ بربازه آن گاه انتگرل پذیر ریمان است» lim P(x) costxdx=o too lim f( x) sintxdx=e مه بت 

صفحه 249:
تعریف. به طوري که قبلا اشاره کردیم چند جمله‌اي زیر را يك چند جمله اي مثلثاتي مي‌ناميم . ‎cosnx+ b, simx = 3 ce"‏ با + گ- 9 کبک ‎ns n= ۷‏ ‏که در ارت ‎by‏ ها اعدادي مختلط هستند حال گر و ضريب ‎Lye aaa‏ بل آن گاه ‏ را میتوان به صورت مناسب 

صفحه 250:
Sy = ty fil fldcomtconx+ f(dsimbimxdi =2.41f 8S cosit- wdi =i f,i+S cose. | fad 

صفحه 251:
N Do = + ¥ cos با توجه به تعریف کسینوس مي توان ‎DMO‏ را محاسبه کرد 

صفحه 252:
قضیه. اگر به ازاي ‎a” ieee‏ طور ي که به ازاي هرا اگر ۳-5 » آن كاه ۶۵ > | ۶۵ - ۵ +۶۶ | در اين صورت 9" - لج اركجررز[ مه بآ 

صفحه 253:
مي دانیم که سري 8 5 11 ۲ واگراست. در واقع» اگر" مجموع جمله اول اين سري باشد ء آن كاه اگر ۱ فرد { اشد 1 مزوج 2 باشد اما ‎Shaye‏ برابر است با 

صفحه 254:
1 اگر ۲۱ فرد باشد گر 0 فر ۳ 1 ‏جر‎ ‎n اگر ] زوج باشد 2 

صفحه 255:
7 ‎TP aS cyte i Cay‏ و + ققدم 2 ‎Ig |‏ . در اين صورت گوییم ‎iy (Pn‏ ميانكين 5 ‎on” A gs yeu‏ ‎A -)0( 2‏ ‏جمع پذیر به است 

صفحه 256:
| تعريف. فرض كنيد !2" ‎١‏ دنباله مجموع (اجمله اول يك سري فوريه باشد. در اين صورت دنباله © أرا جنين تعريف مي كنيم : تداك + ...+ نداو + داك _ هی om x توجه کنید که در این حالت جمله اول صفر است 

صفحه 257:
[ad تعريف. فرض كنيد دنباله اي از توابع مختلط انتگرال پذیر بر (eae ‏بازه‎ 9, © | (n=m در اين صورت ره < 0 يك دستگاه یکا متعامد مي نامیم 

صفحه 258:
الف) خانواده -| 1 COSX sink CO8x ‏هلک‎ ۲ vom’ Vn’ Vn Won” Vm یاف تخایراده زا ستناند. در باه اي | است. 

صفحه 259:
ب) به عنوان مثال دیگر » خانواده توابع لژاندر 71 را در نظر مي گیریم که در آن ۳ 1 9+1 (. روکد > ر-)(ز- )گر و۳۳۳ ‎2"n! dX‏ 17 ‎Gh‏ خانواده یکا متعامد بر بازه است 

صفحه 260:
ج)مثال دیگر خانواده توابع رادماخر است. این خانواده به صورت R= R_R....| تعریف مي شود » که در آن Rid =sghsin"n = (c<x<I,n=>,/ 2,..) 

صفحه 261:
مي توان نشان داد که این خ خان این خانواده يك خاتواده يكا متعامد بر باز ‎led]‏ ‏بر بازه است. بايد توجه داشت كه 3 7 در حالتي که 2 يك عدد مختلط باش مختلط باشد » در اين صورت تعریف مي شود 

صفحه 262:
9 تعريف.فرض كنيد تابع بر بازه " ‎ "‏ انتگرال پذیر و له اي ان ‎G 2,‏ توابع یکا متعامد بر گز رآ به صورت زیر تعریف کنیم: ‎C,=(f9,) =PAvo,Gdx (n= 2,3...) 

صفحه 263:
بز ی حور را ضریب فوریه تابع ‎Wl ig‏ بر باه( ] مي ناميم. در اين صورت مي نويسيم : fx of ‏ارونو‎ 2 

صفحه 264:
9 تعریف. اگر خانواده یکا متعامد بر" ۰ " باشد در این صورت ارم + ...)رب + 9ج 0< )7 ‎Pa‏ چند جمله اي مي نامیم 

صفحه 265:
قضيه (نامساوي بسل ).اكرام S laf <p ‏دك‎ 

صفحه 266:
1 قضیه. اگر تابع پیوسته و متناوب با دوره تناوب ‎cath‏ آن گاه به ‎PB E>o‏ ازاي هر يك چند جمله‌اي مثلثاتي مانند وجود دارد به طوري 2 که به ازاي هر ع > ۶۵ - ود لا 

صفحه 267:
قضيه پارسوال. فرض كنيد و دو تابع انتگرال پذیر ریمان و متتاوب با دورةٌ تناوب باشد» و ل عر ال وو ار ‎fAd~Sae™‏ آنكاه 1 ‎f; =o‏ - لير 1 ‎Sl af de‏ - لک ‎fim‏ (الف 

صفحه 268:
ah fd gl dx= ¥ 6. (ب 1 € ‏أن | جه الك اماي‎ 

صفحه 269:
0 Adis f, flvcosAmx> o , ff fdsirkxdx> o موب مب( 

صفحه 270:
فضیه. به ازاي کي اريم di fduf,, fldcoskt- x dt= f° Ap Sinakt- x) 3 t-x 

صفحه 271:
قضيه. شرط لازم و كافي براي آنكه وح فد )نعم 2 ال رنه آن است كه lim 40 sont ‏ال‎ مهب 

صفحه 272:
قضیه: ممگزای انتگزان زیر وق ۳ < ۳ اققط بتتگي یقن در همسايگي دلخواه 5+0 ‎(x-‏ دارد | ‏-۶انوهه ۶۵ نات‎ x di 

صفحه 273:
2 ] 0], Adcoskt- 2 dt=s آن است که ي مثبت موجود باشد به طوري که limf*( ۸ ‏بولگ‎ م بو که در آن ۸-6 عراز +۵ بیرار - ۲)۵* 

صفحه 274:
هدف هاي رفتاري 

صفحه 275:
با تعریف ساده فاکتوریل به صورت زیر آشنا هستیم nape Xx Xn ‏اما اين تعريف را فقط در مورد اعداد طبيعي مي توان به كار برد‎ :علاوه بر اين تعريف ديكري نيز به صورت زير داريم nl= fe ۳0 (ne N) 0 

صفحه 276:
١ ‏لمم‎ امي شود: T(x) ‏ی‎ 0101 (x >0) 0 حال بايد ديد آيا اين تعريف با معني است؟ :براي ياسخ به اين سوال دو انتكرال زير را بررسي ميكنيم 

صفحه 277:
1 ی ان ور ۳ ۳۴ 0 در مورد اتگرال انتگرال ول داریم: ‎xf x‏ 1 1 2ك | 00 ز کل تا ور ‎a a Xa X X‏ كه با ميل كردن به صفر به همكراست يعني انتكرال اول همگراست 

صفحه 278:
‎(x>o)‏ (2) لا حر ر+ج) ا ‏برهان: از انتكرال كيرى جز به جز داريم ‎T =‏ ‎J ef dt=ft'd- 6')‏ ‎= bell + xfe" 

صفحه 279:
خمد- حال وقتی, پچ د موه و طرف چب به (رپیر)] میل می کند در حالی که در طرف راست جملات اول و دوم به طرف صفر و جمله سوم به (ز) )یز میل میکند. از این رو )2 - (رجير)] 

صفحه 280:
([ -وز جعر)](ز -وز جيرا ور بعر)۲] (ر -ور +عر)](2 -وز بر از -وز جير )- =... =(x4+ n- 1)... (xX 

صفحه 281:
۲0( < ] 6*0 پا جایگزینی حير داریم: لور (/)2(..2۲ -و ا(ز -ور ار (زج+ور)۲] 

صفحه 282:
(ب) قضیه. ‎logi(x)‏ محدب است