اصل گسترش و اعداد فازی

فصل :3اصل گسترش و اعداد فازی ‏اصل گسترش ‏اعداد فازی اصل گسترش تعریف :1فرض کنید Xو Yدو مجموعه و fیک تابع به صورت f : X  Yو Aیک زیرمجموعه فازی از Xباشد .اصل گسترش بیان می‌کند که می‌توانیم قلمرو fرا به زیرمجموعه‌های فازی Xو به‌صورت زیر گسترش دهیم: ‏B  f  A   y , B y  | y  f  x , x X  که در آن ‏f  1 y  ‏f  1 y  ‏ supA x ‏ x, y  f  x ‏  ‏ ‏B y  ‏ ‏0 ‏ مثال :1فرض کنید X=Zوy f  x  x2 و مجموعه فازی Aاز Xبیانگر «تقریب ًا : »2 ‏ 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 0.2  ‏A  , , , , , , , , ‏ 0 1 2 3 4 5 6  ‏  2 1 در این صورت با توجه به اصل گسترش داریم: ‏ 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 0.2  ‏B f  A  , , , , , , ‏ 0 1 4 9 16 25 36 ‏ ‏ تعریف:2 فرض کنید , , X1 ‏n n ،Xمجموعه مرجع و X  X1  Xn باشد n ،A n , , A1 .زیر مجموعه فازی به ترتیب از ,  , X1 ‏n حاصلضرب دکارتی آنها ،Xباشند .در این صورت حاصلضرب دکارتی ،A n , , A1به صورت یک مجموعه فازی از Xتعریف می‌شود که برای آن ‏ x1 , , xn  ‏min A1 x1 , , An  xn   ‏A1  An  ‏x1  xn به عبارت دیگر: ‏ A1  An   x1  xn  min A1 x1 , , An xn   مثال :فرض کنید X1  X2 Zو A1و A2دو زیرمجموعه فازی از :Z ” : A1تقریب ًا صفر“ ‏ 0.2 0.5 1 0.5 0.2  ‏A1  , , , , ‏ 2  ‏  2 1 0 1 ‏A2 ‏ 0.2 0.5 1 0.5 0.2  ‏A2  , , , , ‏ 3  ‏ 1 0 1 2 ” :تقریب ًا یک“ در این صورت: 0.2  ‏ 2, 3  ,  , 0.5 ‏ 0, 2 , 1 ‏ 0,1 ,  , 0.2 ‏  2, 0 ‏ 0.2 ‏A1 A2  , ‏   2,  1 X  X1  Xn تعریف( 3اص&ل گس&ترش) :فرض کنید n ،X n , , X1مجموعه مرجع و حاصلضرب دکارتی آنها باشد n ،A n , , A1 .زیر مجموعه فازی به ترتیب از ،X n , , X1باشند .همچنین - . y f  x1 , , x n حال ،حاصل عمل fبر n فرض کنید fیک نگاشت از Xبه مجموعه Yباشد ،یعنی مجموعه فازی ،A n , , A1به‌عنوان یک زیرمجموعه فازی Bاز Yبه‌صورت زیر تعریف می‌شود: ‏B f  A1 , , An    y , B y  | y f  X1 , , X n  , x1  X1 , , xn  Xn  که در آن : ‏f  1 y  ‏f  1 y  ‏ sup ‏min  A1 x1 ,  , An  xn   ‏x ,  , x ‏n ‏ 1  ‏B y  y f  x1 , , xn  ‏ ‏0 ‏ :Z دو زیرمجموعه فازی ازA2 وA1 وX1  X2 Z فرض کنید:مثال  0.2 0.5 1 0.5 0.2  A1  , , , ,  2    2 1 0 1 “ ” تقریب ًا صفر: A1  0.2 0.5 1 0.5 0.2  A2  , , , ,  3   1 0 1 2 A2 “ ” تقریب ًا یک: y f  x1 , x2   x12  x22 f : X1 X2  Y : در این صورت. به‌صورت همچنین  0.2 0.2 1 0.5 0.2  A1 A2  , , , , , ,             2 ,  1  2 , 0 0 , 1 0 , 2 2 , 3    0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.2 0.2 0.2 0.2  B f  A1 , A2   , , , , , , , ,  0 1 2 4 5 8 9 10 13   اعداد فازی * اعداد فازی یک تعمیم طبیعی برای اعداد معمولی می‌باشند. تعریف :1یک مجموعه فازی نرمال محدب مانند Nاز ( Rخط حقیقی) را یک عدد فازی (حقیقی) گوییم ،اگر : کX0  ک ماییب اشد .ی عنیدقیق ًا ی R N(x) .1ت ن وجود داشته ب اشد1ک ه. N X0  N(x) .2ق طعه ب ه ق طعه پ یوسته ب اشد. مجموعه تمام اعداد فازی را با ) F(Rنشان می‌دهیم. مثال :مجموعه فازی Nبا تابع عضویت زیر یک عدد فازی است .می‌توان Nرا عدد فازی «تقریب ًا صفر» تعبیر کرد. ‏x   1,1 سایر نقاط ‏ 1 x ‏ ‏A x  ‏0 ‏ مثال :مجموعه فازی Mبا تابع عضویت زیر یک عدد فازی است .می‌توان Mرا یک تعبیر دیگر از عدد فازی «تقریب ًا صفر» تلقی کرد. ‏   x  ‏x2 ‏ 2 ‏M x e تعریف :2عدد فازی Nرا مثبت (منفی) گوییم اگر برای هر . x < 0 (x > 0 ) : N(x) = 0 تعریف :3فرض کنید M  F Rو f : R  R یک عملگر یک بعدی باشد .بر اساس اصل گسترش، عدد فازی ) f(Mبا تابع عضویت زیر تعریف می‌شود ‏f  1 y  ‏f  1 y  ‏ supM x ‏ x, y  f  x ‏f  M y  ‏  ‏0 ‏ مثال :در تعریف 3اگر f(x)= − xفرض شود ،آنگاه قرینه عدد فازی ،Mعدد فازی – ،Mبه صورت زیر تعریف شده و به‌دست می‌آید. ‏ M   x ,   M x   | x R  مثال :فرض کنید عدد فازی «تقریب ًا »10با تابع عضویت زیر تعریف شود 0  x 10 10 x 20 سایر نقاط آنگاه قرینه Mدارای تابع عضویت زیر است ‏ 20 x  10 ‏ 10 x 0 سایر نقاط ‏x ‏10 ‏ ‏ 20 x ‏M x  ‏ 10 ‏ ‏0 ‏ ‏ 20 x ‏ 10 ‏ ‏ x ‏ M x  ‏ 10 ‏ ‏0 ‏ تعریف :4فرض کنید N F Rو Mبا توابع عضویت پیوسته باشند و  : RR  Rیک عملگر دوتایی بر اعداد حقیقی باشد .اگر تعمیم * را برای اعداد فازی با نشان دهیم ،با استفاده از اصل گسترش حاصل Nبه صورت یک مجموعه فازی با تابع عضویت زیر تعریف می‌شود. ‏ M  N z supmin M x, N y ‏z  x y تعمیم چهار عمل اصلی برای اعداد فازی در حالت‌های خاص برای چهار عمل اصلی ،تعریف فوق به‌صورت‌های زیر در می‌آید. ‏ M  N z  supmin M x , N y  ‏z x  y ‏ M  N z  supmin M x , N y ‏z x  y ‏ M  N z  supmin M x , N y  ‏z  xy ‏ M  N z supmin M x , N y ‏z x y ‏M