تئوری احتمال و كاربرد آن

صفحه 1:
مور ‎Sei‏ وکار ردان http://www.Beiki.info 

صفحه 2:
۰ له دم مه ۲ مقدمه ۳ نظریه نمونه برداري ‎M‏ ل شيم 8 5 ین 2 ۹ يافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفي ‎٩‏ روش توابع توزیع تجمعي 0 روش تبدیل *روش تبدیل براي توابعي از متفيرهاي تصادفي يك بعدي گسسته *روش تبدیل براي توابعي از متفيرهاي تصادفي دو بعدي گسسته ‎e‏ هتسخ ‎ 

صفحه 3:
علس باد مقدمه ‎Gan 0‏ از يك مطالعه آماري قضاوت یا تصمیم گيري در مورد جمعيتها از روي نمونه هاي تصادفي گرفته شده از آن جمعیت هاست. ‏9 همه كميتهابي كه براي برآورد پارامترهاي يك جمعیت از طریق نمونه گيري تصادفي ناشي مي شود توابعي از (] متغیر تصادفي موجود در نمونه هاي تصادفي است. ‏© مثال: براي برأورد ميانكين يك جمعيت يك نمونه تصادفي شامل ‎١‏ مشاهدم كر ل از جمعيت كرفته مي شود و از ميانكين نمونه به صورد, 7 ‏براي برأورد مقدار عددي ميانكين جمعيت استفاده مي شود. ‏حال اين برآورد جقدر مناسي اببت يسيكي بو رفتار متنیرهای ‎Xe Xp bolas‏ اثر آن بر متغیر تصادکلی2, دارد ‎ ‎7 72 ‎ ‎ ‎ ‏يكي از معيارهاى اندازه گيري میزان مناسب بودن این برآورد خطاي برآورد است. چون 6,۰( ی متغیر تصادفی هستند مقادیرشان از نمونه اي به نمونه دیگر متفاوت است و يك متغیر تصادفي است. 1 حال اگر بتوان توزیع احتمال پراورد کننده را به دست آورد مي توان احتمال اینکه خطاي برآورد از مقداري خاص کمتر باشد قابل محاسبه است. ‎ ‏هتسخ ‎ ‎ 

صفحه 4:
2 دم 7 ‎as‏ نمونه برداري يك آزمایش آماري شامل مشاهدات مربوط به نمونه هاي انتخاب شده از مجموعه اي بزرگتر به نام جمعیت یا جامعه است. به دو روش نمونه برداري بدون جايگذاري و با جايگذاري مي توان عمل کرد. © به روشهاي نمونه برداري طراحي آزمایشها گویند که هر يك ويژگي هاي خاص خود را دارند ولي ما فقط به نمونه برداري تصادفي ساده اکتفا مي کنیم. 0 تعریف: اگر لا و 0 به ترتیب تعداد عناصر جمعیت و نمونه را نشان دهند. اگر نمونه برداري به طريقي انجام يذيرد که هر يك از #رمونه ممکن پخت یکسانیبرایانتخاب شدن داشه باشیم آنگاه گفته مي شود که نمونه بٌداري به صورت تصادفي انجام شده و در نتیجه يك نمونه تصادفي به اندازه (] است. 0 براي به دست آوردن نمونه تصادفي مطلوب از جداول اعداد تصادفی استفاده مي شود که شامل ترتيبي از ارقام بین 0 تا 9 تكراري هستند به نحوي که در درازمدت همه ارقام تقریبا به تعداد يكساني دیده مي شوند. 0 اگر اندازه نمونه در مقایسه با جمعیت کوچك باشد آزمایشها تقریبا مستقل از هم خواهند بود. 0 _توزیع احتمال توام ی6ا .ی26.... و ملا که نمونه هايي از يك جمعیت است عبارت است از 0 منظور از جمله ‎Ke Sl O.A) of OG)‏ | متفيرهاي تصادفي داراي توزیع ()۴ است. ‎DebarPy 3‏ الها ‎ 

صفحه 5:
2 دم ” يافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفي 0 فرض کنید متغیر تصادفي ۷ تابعي از متفيرهاي تصادفي و26 »و6 ... و ما باشد در اين صورت با معلوم بودن تابع توزيع توام (مكا, وم توان تابع توزیع ۷ را یه دست آورد. مثلا اكر 1 -9 وول توزیع رای میانگین "و انحراف استاندارد و 7 توزیع نرمال استاندارد خواهد داشت. یا اگر متفيرهاي تصادفي ‎Bi‏ ‏,26 يك نمونه تصادفي از توزیع برنولي با پارامتر 0 باشد ‎a)‏ ‏دوجمله اي با پارامتر 0] و ۵ خواهد داشت. از یدیا چند متغير تضادفي که به هیچ .بات از,پارامتر اي ارد يك آماره نامیده می شود. ۸ == ‎Y=ux)‏ ‏: - آماره نیست. آماره است. یط کمک نالا ۷ 0 آماره نباید به پارامترهاي ناشناخته بستگي داشته باشد ولي تابع توزیع احتمال آن مي تواند به پارامترهاي ناشناخته بستگي داشته باشد. وخام. عاك ).مسمس |/ :جا 

صفحه 6:
لب دم = ۲ یافتن توزیع احتمال توابع متفيرهاي تصادفي ‎٩‏ روش توابع توزیع تجمعي ناحیه لاع< لا را در فضاي (م,۰.۰,و6:,(6) مشخص کنید. ‎ ‎ ‎ ‎ ‏* ناحيه لات > لا را به دست أوريد. ‎Xap eX Vb Sash iL Se yb jl 1, Fy(u)=P(U<=u) &‏ ؟ بسر روي ناحیه لا< >لا يينا كنيد ‏* تابع جكالي احتمال لا را از طريق يافتن مشتق تابع توزيع تجمعي لأ به دست أوريد. ‏9 مثال 2: متغير تصادفي 6 با تابع توزيع تجمعي و تابع جكالي (<)بر! و ‎NPR GW SP Vis YS Wg in F(X)‏ 0 ض ای ید > - 00 1 ‎SPI SX SY) =F ECVV I=GI daa 0‏ ‏مسبر رفول ب +507 و( ‎Fe‏ رهگ ‏9 هتسخ ‎ ‎ 

صفحه 7:
صلل مادم يافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفي ‎٩‏ روش توابع توزیع تجمعي *مثال 6: اگر تابع چگالي توام متفيرهاي تصادفي و26 .و6( به صورت زیر باشد تابع چگالی احتمال متغیر تصادفي «26-,6< را به دست آزرنته > پاک واگ 23,0 (ود رد1 |2 پاست: 1= ‎K()=G|¥>12 RW)‏ 0 > ‎X <3)‏ > ۳0 جر)ج صل ل 0[ at ff ‏هر ده سب‎ 3 Fy -BYo<yas 5 Poca 4 مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما 

صفحه 8:
2 دم يافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفي © روش توابع توزيع تجمعي * مثال 8: فرض كنيد 26 :161 و وا يك نمونه تصادفي از توزيع نرمال استاندارد باشد. اگر متفیر تصادفي ۷ آماره اي بش که وزج مجووع مرب مقایو مشامده شده این نمونه تعریف شده است. چگاا ی احتمال ۷ رابه دس آو برید. *باسخ: ‎Rul vanes PU? + X42 <y)‏ ۶<0/| ام ما( منهذ ال 3-۳-۳ - پر پر پرم[(قر + هر مد ما ‎=f tee‏ = i ‏م 44 ف 4 َم‎ ‏هيلي ] '[ ”عمسم‎ 2p? Sit) dpdbeo =2)" forest Db اس 2 ۳ ‎fFe"Paw‏ ”2 و سقص ‎a) yaign‏ دو یس ور تریح ‎SGP =e Ye" y20‏ ‏(3) تبر 0<برر 8 دیاس( :نها ‎ 

صفحه 9:
2 دم # ال عه 5 : عد 5 3 يافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفي © روش تبديل * روش تبديل براي توابعي از متغيرهاي تصادفي يك بعدي كسسته - قضيه: اكر 26 يك متغير تصادفي كسسته با برد برآ و تابع توزيع جرمي احتمال ()۴ باشد. و (۱()2< ۷ تبدیلی يك به يك از برة! به په] باشد. آنگاه ((لا)لالا)»ر؟ > (لا),] به نحوي ‎=U(x) at X=W(y) oS‏ ۲۷ <(۷),] به نحوي ور ‎sash XS)‏ تاو ۷ cal ‏لاا - رض لاد مطح جرد مط - ضرا‎ - مثال 11: متفیر تصادفي 26 توزیجر ‎Luck ahaa‏ 4 023 دارد توزیع جرمي ا بكم و جح مس أوريد. - پاسخ: ‎y=0149}‏ برا> بر ماگ - 0123 بدا بو 3 -S545 £(y=———_( an VuG- Jy)! 8 هتسخ 

صفحه 10:
2 دم یافتن توزیع احتمال توابع متغيرهاي تصادفي 0 تون تبدیل *روش تبدیل براي توابعي از متفيرهاي تصادفي دو بعدي گسسته - قضيه: فرض كنيد ( و3 )روگ تبع توزیع جرمي احتمال تام متذيرهاي تصادفي و26 و یل با برد } ‎Ry, xd GM): KE Re Ry‏ علاوه توابع ‎Xp)‏ لاعرلاو (ما,ی)رلاع و تبديلي يك ار وت ور ورن )بر ره این صورت تابع توزیع جرمي احتمال توام متفيرهاي تصادفي جدید يعني (ولا,و6) ولا و لاو (وکاری6ا) ولا ع ولا عبارت است از ‎fie (Ke a) = fy, x, M(H, Yo), WH, BIH, WIE Ry,‏ كه ‎ogee ele X= Wa(YrrYa) 9% =WalYaYo) ols‏ (و6ا,,6)رلا لاو (ملاریل)رلاصولا هستند. يمني ولا و ولا جوايهاي یگانه دستگاه دو معادله دو مجهولي (و۱6,و0ا) ولا لاو (وا,,6) لاک لا هستند هتسخ 

صفحه 11:
0 روش تبدیل * روش تبديل براي توابعي از متغيرهاي تصادفي دو بعدي گسسته - مثال 15: متغيرهاي تصادفي مستقل 61( و 262 توزیع پواسون با پرامتر هایرز و و دارند در این صورت تابع توزیع جرمي احتمال متفیر تصادفيي 6+ ,۷2۱6 را به دست آورید. 02 و راز تدك ‎Sieh |‏ ~= ود دی ی ‎Y¥=X+X,%=X, > ¥=WHW=K- w= HWAR ١ 2“‏ ‎y- 20> y2y;x, 20> y, 20-4 0<y, <y‏ 0< بد 2 رده بر لاس ات اي عجر ال ۱ ‎a‏ وكام جات سس ‎