تاریخچه اعداد

تاریخچه اعداد

اسلاید 1: تـاریـخـچـه اعـداداعضا گروه: خانم ها مینا طالب بیدختـی طاهـر ه محمـدی نژاد مـریـم اقـا جـانی شادی حسینی فاطمه صالحی نژاد زهرا شاهمرادی

اسلاید 2: فهرست: مقدمهمنشاء پیدایش عدد اعداد صحیحاعداد حقیقی اعداد اول اعداد گویا اعداد مختلطقضیه ی اویلرهمنهشتی

اسلاید 3: یکی از کهن ترین و در ضمن اساسی ترین مفهومها در ریاضیات ، مفهوم عدد مثبت و درست ، یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی شود. مفهوم عدد هم ، همچون همه مفهوم های دیگر ریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام گرفته است . از زمانهای کهن تا سده نوزدهم میلادی ، بسیاری از نویسندگان ، اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ قلمرو انسان نسبت می دادند . این جمله کرونیکر ، دانشمند بزرگ جبر مشهور است که به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست ، بقیه عددها را انسان آفریده است . بر خلاف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ، نتیجه ای از کار عملی و ذهنی انسان است. مقدمه

اسلاید 4: نوشته های قدیمی ریاضی ، کم و بیش تا سده هجدهم ، اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم ، نابغه یونان باستان و غیره نسبت می دادند . از جمله ماگنیتسکی نویسنده نخستین کتابهای درسی در روسیه ، در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می برد . در افسانه های زیبای یونانی باستان ، اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است .منشاء پیدایش عدد

اسلاید 5: مجموعه ها در ریاضیات از مهمترین و اساسی ترین مفاهیم در ریاضیات جدید است . نخستین تعریف علمی مجموعه در پایان قرن 19 میلادی سال 1895 توسط گئورک کانتور بیان شده است ما نیز از تعریف کانتور استفاده می کنیم . کانتور مجموعه را بصورت زیر تعریف می کند : « یک مجموعه گردایه ای از اشیای متمایز در فکر یا شعور ماست که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود . هر یک از اشیای متمایز درمجموعه را یک عضو یا یک عنصر از مجموعه گوییم .

اسلاید 6: در ریاضیات مجموعه ها را با ثبت عناصر شان بین دو ابرو و بیشتر با حروف بزرگ لاتین مانند A و B و..... و عناصر مجموعه را با حروف کوچک لاتین مانند a و b و... نشان می دهند . عناصر مجموعه A دلخواه است و می تواند اعداد ، حروف ، اشیاء ، حیوانات و ... را در بر گیرد . اگر عنصر x ، عضوی از عنصر داده شده A باشد گوئیم. اگر عنصر x ،عضوی از عنصر داده شده A باشد گوئیم : « x عضوی از مجموعه A است» یا «x متعلق به مجموعه A است » و با نماد « » که به معنای متعلق بودن بکار می رود نشان می دهیم .

اسلاید 7: مجموعه هایی که با آنها سر و کار داریم : -1مجموعه تهی impety set -2مجموعه اعداد طبیعی number set of natural : -3مجموعه اعداد حسابی : که آن را با نمادw نشان می دهند {0,1,2,3,… } w =

اسلاید 8: -4مجموعه اعداد صحیح : این مجموعه را باZ نشان می دهند . ={…,- 2,-1,0,1,2,…} Z -5مجموعه اعداد صحیح زوج : این مجموعه را با Ε نشان می دهند . -6مجموعه اعداد صحیح فرد : این مجموعه را با Oنشان می دهند . -7مجموعه اعداد گویا : این مجموعه را با Q نشان می دهند .

اسلاید 9: -8 مجموعه اعداد حقیقی : این مجموعه را با Rنشان می دهند که شامل تمام اعداد اصم و گویا می باشد . عددی را که بتوان بصورت یک عدد گویا نوشت یک عدد گنگ یا اصم گویند .

اسلاید 10: اعداد صحیحمجموعه اعداد صحیح به اجتماع مجموعه اعداد طبیعی ، قرینه اعداد طبیعی و { } (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است ) گفته می شود . در ریاضیات معمولا این مجموعه را با Z ( ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد ) نشان می دهند . همانند مجموعه اعداد طبیعی مجموعه اعداد صحیح نیز یک مجموعه شمارای نامتناهی است . اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است . شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه اعداد می پردازند «نظریه اعداد » نام دارد .  

اسلاید 11: خواص جبریهمانند اعداد طبیعی ، Zنیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح ، خود یک عدد صحیح است . برخلاف مجموعه اعداد طبیعی از آنجا که اعداد صحیح منفی به ویژه عدد صفر هم به تعلق دارند (این مجموعه نسبت به عمل تفریق نیز بسته است اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح لزوما عددی صحیح نخواهد بود . برخی از خواص اساسی مربوط به عملیات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانده شده است (در اینجا aوb و c اعداد صحیح دلخواه هستند )

اسلاید 12: جمعضرببسته بودن a+b&nbspیک عدد صحیح استa*bnbsp یک عدد صحیح است شرکت پذیریa+(b+c)=(a+b)+ca*(b*c)=(a*b)*cتعویض پذیریa+b=b+aa*b=b*aوجود یک عنصر واحدa+0=aa*1=aوجود یک عنصر عکسa+(-a)=0توزیع پذیریa*(b+c)=(a*b)+(a*c)a*(b+c)=(a*b)+(a*c)نداشتن مقسوم علیه های صفراگرab=0 آنگاهa=0 یا b=0

اسلاید 13: تعریف اعداد حقیقیاعداد حقیقی که با نمادR نشان داده می شوند مجموعه ای کامل از اعداد هستند که دارای خواص مطلوب می باشند در مجموعه R دو عمل دوتایی جمع و ضرب با خواص حسابی مناسب و کافی برای امکان تعریف تفریق و تقسیم باید وجود داشته باشند علاوه بر این رابطه ترتیبی نیز که بطور مناسبی به ضرب و جمع مربوط می شود و طرحش طوری باشد که حضور اعضای منفی را نیز لحاظ کند باید وجود داشته باشد .

اسلاید 14: اگر بتوان بین اعضای یک مجموعه و زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی تناظر یک به یک برقرار کرد می گوئیم آن مجموعه شمارا است . مجموعه های متناهی ، مجموعه اعداد طبیعی ، مجموعه اعداد صحیح ، مجموعه اعداد گویا ، مجموعه اعداد جبری نمونه هایی از مجموعه های شمارا است . مجموعه ای که شمارا نباشند ناشمارا می نامند به عنوان نمونه ای از مجموعه ناشمارا می توان مجموعه اعداد گنگ ، مجموعه اعداد حقیقی ، مجموعه اعداد مختلط را در نظر گرفت .

اسلاید 15: تعریف اعداد اول اعداد اول اعداد طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد یک بخش پذیر نباشد تنها استثناء عدد یک است که جزء این اعداد قرار نمی گیرد اگر عددی طبیعی و بزرگتر از یک اول نباشد مرکب است . عدد یکان اعداد اول بزرگتر از 10 فقط ممکن است اعداد 1,3,7,9 باشد . سری اعداد اول به اینصورت شروع می شود . 2,3,5,7,11,13,17,19

اسلاید 16: قضایای مربوط به اعداد اول قضیه1): تعداد اعداد اول بی نهایت است .  برهان : حکم را به روشی منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم . فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد حال عدد m را که برابر حاصلضرب این اعداد بعلاوه یک است را در نظر بگیرید این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است .

اسلاید 17:  قضیه2) (قضیه اساسی حساب ): هر عدد طبیعی بزرگتر از 1را می توان به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت. این قضیه از قضایای مهم نظریه اعداد است که نشان می دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقض دارد . این قضیه بطور ساده بیان می کند ، هر عدد صحیح به جز 1 و -1 بصورت حاصلضرب هایی از عوامل اول قابل نمایش هستند . همچنین این نمایش اعداد را بصورت حاصلضرب عوامل اول ، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتاست .

اسلاید 18: به عنوان مثال عدد 60 را می توان به صورت 5*3*2*2=60 به حاصلضرب عوامل اول نوشت . پس قضیه حساب بیان میکند هر عدد صحیح 1 و n-1 عدد قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل اول یکتاست . اصطلاح تجزیه به عوامل اول می تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه های آن عدد و بطور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد . باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساسا توسط اقلیدس به اثبات رسیده است اما اولین اثبات کامل این قضیه توسط گاوس درکتاب تحقیقات حساب منتشر شده است. .

اسلاید 19: قضیه 3) (قضیه چشیف): اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد حتما بین n و 2n عدد اولی وجود دارد . قضیه 4): هر عدد زوج را می توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت .  قضیه 5): هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت . قضیه 6): هر عدد فرد را می توان بصورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت .

اسلاید 20: خواص اعداد اول1- هر عدد اول برابر است با n+16یا n-16 که n یک عدد صحیح است . 2- مجذور هر عدد اول برابر است با n+124.3- تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از 24 است . 4- حاصلضرب هر دو عدد اول بجز2 و3 مضربی از 6 بعلاوه یا منهای یک است .

اسلاید 21: اعداد تاکسی زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که بوسیله آن به بیمارستان آمده ، عدد بی ربط و بی خاصیت بوده است . رامانوجان بلافاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا بسیار جالب توجه است . خود عدد اول است . دو عدد و هر کدام عدد اول هستند . جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن میشود که اول است .

اسلاید 22: جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود که باز هم عدد اول است . دو عدد ابتدایی (سمت چپ) اگر جمع شوند ، عدد میشود که باز هم اول است . دو عدد اولیه اگر از هم کسر شوند عدد ساخته میشود که باز هم عدد اول است . سه عدد سازنده آن عدد اول است . جمع عددی اعداد تشکیل دهنده یا است . عکس عدد است اگر شود نتیجه برابر میشود . این هم یکی دیگر از اختصاصات است که در هر عددی دیده نمی شود

اسلاید 23: . عدد اولین عددی است که میتوان آنرا به دو طریق بصورت حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت : به توان بعلاوه به توان و به توان بعلاوه به توان هر دو برابر می باشند . امروزه ریاضیدانان عددی را که به طریق مختلف بصورت حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت باشد امین عدد تاکسی می نامند و آنرا با نمایش می دهند . جالبتر از همه اینکه ، هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی کوچکتر از ، امین عدد تاکسی وجود دارد

اسلاید 24: مجموعه اعداد گویا مجموعه اعداد گویا عضو ابتدا و انتها ندارد . مجموعه اعداد گویا نسبت به عمل تقسیم بسته نیست زیرا صفر عضوی از مجموعه اعداد گویا است ولی تقسیم بر صفر معنی ندارد .

اسلاید 25: دو عدد گویای مساوی : هرگاه صورت و مخرج عدد گویایی را در عددی (مخالف صفر) ضرب یا به عددی (مخالف صفر ) تقسیم کنیم عدد گویا تغییر نمی کند و عدد گویایی مساوی عدد گویای اول بدست می آید .  اعداد گویا بین دو عدد گویا :بین دو عدد طبیعی متوالی با دو عدد صحیح متوالی ، عدد طبیعی یا صحیح وجود ندارد اما در مورد اعداد گویا ، این مطلب درست نیست بین هر دو عدد گویای متمایز بی شمار عدد گویا وجود دارد .

اسلاید 26: اعداد اعشاری مختوم : اگر هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقیمانده صفر برسیم عدد اعشاری ایجاد شده مختوم است . عدد اعشاری مختوم بصورت دهم ، صدم ، هزارم و ... بیان می شوند و خیلی ساده می توان آنها را بصورت کسر تبدیل کرد.اعداد اعشاری متناوب : اگر در تقسیم صورت بر مخرج کسری به باقیمانده صفر نرسیم و مرتبا عددی در خارج قسمت تکرار شود این عدد ، عدد اعشاری متناوب نام دارد . عدد اعشاری متناوب به صورت a/bc… نوشته می شود و بدین معناست که رقم های زیر خط تیره در اعشار تکرار می شوند .

اسلاید 27: اعداد مختلطتعریف : یک عدد مختلط بصورت a+biتعریف می شود که در آن a وb دو عدد حقیقی اند و iرا واحد موهومی گویند که دارای خاصیت-1= 𝑖 2 است . اگر z=a+bi ، آنگاه aرا قسمت حقیقی عدد zو bرا قسمت موهومی آن گویند و به ترتیب 𝑅𝐸(𝑧) 1 و 𝐼𝑚(𝑧) 2 نشان می دهند . هر عدد مختلط را که می توان با zنشان داد متغیر مختلط گویند .

اسلاید 28: عملیات اساسی با اعداد مختلط جمعتفریقضربتقسیم

اسلاید 29: قضیه ی اویلرقضيه اويلر یا قضيه اولر: فرض کنيد mعددی طبيعی و a عددی صحيح باشد و داشته باشیم 1=(a,m). در اين صورت: 𝑎 ∅(𝑚) ≡1 (mod m) که ∅(𝑚)برابر تعداد اعداد کوچکتر از m است که نسبت به آن اول هستند (همان تعداد اعضاء دستگاه مخفف مانده ها)

اسلاید 30: همنهشتی مثلث ها شکلهای هم سطح را هم نهشت می گویند اگر یک شکل و هم اندازه باشند شکلهای همنهشت را می توان با تبدیلی از نقاط را حرکت می دهد . اما رابطه های برخوردی incidence (بین خطوط و نقاط) زوایای بین خطوط و طولهای پاره خط ها را تغییر نمی دهد بر هم منطبق کرد چنین تبدیلی سطحی را حفظ نمی کند و خطوط موازی را موازی جابجا نمی کند .

اسلاید 31: چهار قضیه در مورد همنهشتی مثلث ها : در تعریف همنهشتی نیاز است که شکلها در جمیع جنبه ها سازگار باشند بخصوص طولهای اضلاع متناظر و زوایای بین آنها برابر باشند . قضایای زیر بیان می کند که در مورد حالات خاصی از مثلث ها کافی است که برای امتحان هم نهشتی سه جزء آنها را مورد بررسی قرار دهیم اگر این سه جز در دو مثلث برابر باشد مثلثها همنهشت هستند

اسلاید 32: چهار قضیه همنهشتی 1- دو مثلث همنهشتند اگر طول ضلع یکی از آنها برابر طول ضلع نظیرش از دیگری و دو زاویه آنها برابر دو زاویه نظیرشان از دیگران باشد . 2- دو مثلث همنهشتند اگر طولهای دو ضلع برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری و زاویه های بین این ضلعها برابر باشند . 3- دو مثلث همنهشتند اگر طولهای دو ضلع یکی برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری و زاویه های مقابل ضلعهای بزرگتر آنها برابر نباشند . 4-دو مثلث همنهشتند اگر طولهای سه ضلع از یکی برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری باشند.

اسلاید 33: تقسیم پذیری:نظریه بخش پذیری (یا همان تقسیم پذیری) از بخش های اصلی و آغازین نظریه اعداد است که بسیاری از قضایای نظریه اعداد در اثبات های خود از آن بهره می‌گیرند. معمولاً در نظریه مقدماتی اعداد، بخش پذیری را با الگوریتم تقسیم و رابطه عاد کردن شروع می‌کنند. الگوریتم تقسیم قضیه ای است که می‌گوید: به ازای هر دو عدد صحیح a و b که b≠0 اعداد صحیح و منحصر به فردی مانند q و r وجود دارند به طوری که: a=b.q + r

اسلاید 34: کوچکترین کران بالا یا سوپریموم یک مجموعه ی مفروض، در صورت وجود، کوچکترین عدد حقیقی است که بزرگتر یا مساوی تمام اعضای آن مجموعه باشد.بزرگترین کران پایین یا اینفیموم یک مجموعه ی مفروض، در صورت وجود، بزرگترین عدد حقیقی است که کوچکتر یا مساوی تمام اعضای آن مجموعه باشد.

اسلاید 35: مثال: مجموعه اعداد طبیعی و رابطه ی عاد کردن را در نظر بگیرید اگر {A={۲,۳,۴,۵,۶  آنگاه مطلوب است تعیین سوپرسمم و اینفیمم مجموعه ی A. 

اسلاید 36: جواب: عدد 1 بزرگترین عضوی در اعداد طبیعی است که تمام اعضای  مجموعه ی A  را عاد میکند Inf(A)=1   از طرفی 60 کوچکترین عدد طبیعی است که تمام اعضای A  را عاد میکند پس60 sup(A)=.( در واقع باید کوچکترین مضرب مشترک اعضای  A را به عنوان سوپریمم A  در نظر گرفت.)الف) ۲ کوچکترین عضو A است.   ب)6 بزرگترین عضو A استج) ۱۲ یک کران بالای A است.   د) ۱ یک کران پایین A است.

اسلاید 37: منابع: