تاریخچه اعداد

تـاریـخـچـه اعـداد اعضا گروه: خانم ها مینا طالب بیدختـی طاهـر ه محمـدی نژاد مـریـم اقـا جـانـی شادی حسینی فاطمه صالحی نژاد زهرا شاهمرادی فهرست: مقدمه منشاء پیدایش عدد اعداد صحیح اعداد حقیقی اعداد اول اعداد گویا اعداد مختلط قضیه ی اویلر همنهشتی مقدمه یکی از کهن ترین و در ضمن اساسی ترین مفهومها در ریاضیات ،مفهوم عدد مثبت و درست ،یعنی مفهوم عدد طبیعی است و تا زمانی که انسان وجود دارد از اهمیت این مفهوم چیزی کم نمی شود .مفهوم عدد هم ،همچون همه مفهوم های دیگر ریاضیات ، در جریان برخورد انسان با طبیعت و در جریان کار و فعالیت انسان برای زندگی اقوام گرفته است .از زمانهای کهن تا سده نوزدهم میالدی ،بسیاری از نویسندگان ،اختراع عدد را به یک نابغه و فیلسوف بزرگ قلمرو انسان نسبت می دادند .این جمله کرونیکر ،دانشمند بزرگ جبر مشهور است که به جز عددهای طبیعی که ساخته ذهن بشر نیست ،بقیه عددها را انسان آفریده است .بر خالف نظر کرونیکر عددهای طبیعی هم ،نتیجه ای از کار عملی و ذهنی انسان است. منشاء پیدایش عدد نوشته های قدیمی ریاضی ،کم و بیش تا سده هجدهم ،اختراع عدد را به عقل یک فیلسوف قدیمی یا فیثاغورس حکیم ،نابغه یونان باستان و غیره نس بت م ی دادن د .از جمل ه ماگنیتس کی نویس نده نخستین کتابهای درسی در روسیه ،در کتاب خود به نام حساب از فیثاغورس به عنوان مخترع و پایه گذار این دانش نام می برد .در افسانه های زیبای یونانی باستان ،اختراع عدد درست به پرومته نسبت داده شده است . مجموع ه ه ا در ریاضیات از مهمتری ن و اس اسی تری ن مفاهیم در ریاضیات جدید است .نخستین تعریف علمی مجموعه در پایان قرن 19میالدی سال 1895توسط گئورک کانتور بیان شده است ما نیز از تعری ف کانتور اس تفاده م ی کنی م .کانتور مجموع ه را بص ورت زیر تعریف می کند « :یک مجموعه گردایه ای از اشیای متمایز در فکر یا شعور ماست که به عنوان یک کل در نظر گرفته می شود .هر ی ک از اشیای متمای ز درمجموع ه را ی ک عض و ی ا ی ک عنصر از مجموعه گوییم . در ریاضیات مجموعه ها را با ثبت عناصر شان بین دو ابرو و بیشتر با حروف بزرگ التین مانند Aو Bو .....و عناصر مجموعه را با حروف کوچک التین مانند aو bو ...نشان می دهند .عناصر مجموعه Aدلخواه است و می تواند اعداد ،حروف ،اشیاء ،حیوانات و ...را در بر گیرد .اگر عنصر ، x عضوی از عنصر داده شده Aباشد گوئیم. اگر عنصر ، xعضوی از عنصر داده شده Aباشد گوئیم : « xعضوی از مجموعه Aاست» یا « xمتعلق به مجموعه Aاست » و با نماد « » که به معنای متعلق بودن بکار می رود نشان می دهیم . مجموعه هایی که با آنها سر و کار داریم : 1مجموعه تهی impety set-2مجموعه اعداد طبیعی number set of ‏natural : -3مجموعه اعداد حسابی :که آن را با نماد wنشان می دهند {= w } …,0,1,2,3 4مجموعه اعداد صحیح :این مجموعه را با Zنشان می دهند .={…Z }…,1,0,1,2-,2 -, -5مجموعه اعداد صحیح زوج :این مجموعه را با Εنشان می دهند . 6مجموعه اعداد صحیح فرد :این مجموعه را با Oنشان می دهند .7-مجموعه اعداد گویا :این مجموعه را با Qنشان می دهند .  8مجموعه اعداد حقیقی :این مجموعه را با Rنشان میدهند که شامل تمام اعداد اصم و گویا می باشد . عددی را که بتوان بصورت یک عدد گویا نوشت یک عدد گنگ یا اصم گویند . اعداد صحیح ‏ مجموعه اعداد صحیح به اجتماع مجموعه اعداد طبیعی ،قرینه اعداد طبیعی و { } (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است ) گفته می شود .در ریاضیات معموال این مجموعه را با ( Zابتدای کلمه آلمانی Zahlenبه معنی اعداد ) نشان می دهند .همانند مجموعه اعداد طبیعی مجموعه اعداد صحیح نیز یک مجموعه شمارای نامتناهی است .اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است .شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه اعداد می پردازند «نظریه اعداد » نام دارد . خواص جبری همانند اعداد طبیعی Z ،نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح ،خود یک عدد صحیح است .برخالف مجموعه اعداد طبیعی از آنجا که اعداد صحیح منفی به ویژه عدد صفر هم به تعلق دارند (این مجموعه نسبت به عمل تفریق نیز بسته است اما Z تحت عمل تقسیم بسته نیست زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح لزوما عددی صحیح نخواهد بود .برخی از خواص اساسی مربوط ب ه عملیات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانده شده است (در اینجا aو bو cاعداد صحیح دلخواه هستند ) جمع ضرب a*bnbspیـــک عدد صــحیح a+b&nbspیـک عدد صحیح بسته بودن است اـسـت ‏a+(b+c)=(a+b)+c ‏a*(b*c)=(a*b)*c شرکـت پذیری ‏a*b=b*a ‏a+b=b+a ‏a*1=a ‏a+0=a وجود یک عنصر واحد ‏a+(-a)=0 وجود یک عنصر عکس )a*(b+c)=(a*b)+(a*c اگرab=0 ‏b=0 تعویض پذیری آنگاهa=0 یا توزیع پذیری نداشتــن مقســوم علیه های صفر تعریف اعداد حقیقی اعداد حقیقی که با نماد Rنشان داده می شوند مجموعه ای کامل از اعداد هستند که دارای خواص مطلوب می باشند در مجموعه Rدو عمل دوتایی جمع و ضرب با خواص حسابی مناسب و کافی برای امکان تعریف تفریق و تقسیم باید وجود داشته باشند عالوه بر این رابطه ترتیبی نیز که بطور مناسبی به ضرب و جمع مربوط می شود و طرحش طوری باشد که حضور اعضای منفی را نیز لحاظ کند باید وجود داشته باشد . اگر بتوان بین اعضای یک مجموعه و زیر مجموعه ای از اعداد طبیعی تناظر یک به یک برقرار کرد می گوئیم آن مجموعه شمارا است . مجموع ه های متناه ی ،مجموع ه اعداد طبیع ی ،مجموعه اعداد صحیح ،مجموعه اعداد گویا ،مجموعه اعداد جبری نمونه هایی از مجموعه های شمارا است . مجموعه ای که شمارا نباشند ناشمارا می نامند به عنوان نمونه ای از مجموعه ناشمارا می توان مجموعه اعداد گنگ ،مجموعه اعداد حقیقی ،مجموعه اعداد مختلط را در نظر گرفت . 2,3,5,7,11,13,17,19 تعریف اعداد اول اعداد اول اعداد طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد یک بخش پذیر نباشد تنها استثناء عدد یک است که جزء این اعداد قرار نمی گیرد اگر عددی طبیعی و بزرگتر از یک اول نباشد مرکب است . عدد یکان اعداد اول بزرگتر از 10فقط ممکن است اعداد 1,3,7,9باشد . سری اعداد اول به اینصورت شروع می شود . 2,3,5,7,11,13,17,19 قضایای مربوط به اعداد اول قضیه :)1تعداد اعداد اول بی نهایت است . برهان :حکم را به روشی منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم . فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها nتا باشد حال عدد mرا که برابر حاصلضرب این اعداد بعالوه یک است را در نظر بگیرید این عدد مقسوم علیهی غیر از آن nعدد دارد که با فرض در تناقض است . قضیه( )2قضیه اساسی حساب ) :هر عدد طبیعی بزرگتر از 1را می توان به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت. این قضیه از قضایای مهم نظریه اعداد است که نشان می دهد اعداد اول چگونه همانند بلوک های ساختمانی در ساختن سایر اعداد نقض دارد . این قضیه بطور ساده بیان می کند ،هر عدد صحیح به جز 1و 1- بصورت حاصلضرب هایی از عوامل اول قابل نمایش هستند .همچنین این نمایش اعداد را بصورت حاصلضرب عوامل اول ،صرف نظر از ترتیب عوامل یکتاست . ب ه عنوان مثال عدد 60را م ی توان ب ه ص ورت 60=2*2*3*5به حاصلضرب عوامل اول نوشت .پس قضیه حساب بیان میکند هر عدد صحیح 1و n-1عدد قابل تجزیه به عوامل اولند و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل اول یکتاست .اصطالح تجزیه به عوامل اول می تواند اطالعات زیادی را در مورد مقسوم علیه های آن عدد و بطور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد .باید توجه داشت که از نظر تاریخی این قضیه اساسا توسط اقلیدس به اثبات رسیده است اما اولین اثبات کامل این قضیه توسط گاوس درکتاب تحقیقات حساب منتشر شده است. قضیه ( )3قضیه چشیف) :اگر nعددی طبیعی و بزرگتر از 2باشد حتما بین nو 2nعدد اولی وجود دارد . قضیه :) 4هر عدد زوج را می توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت . قضیه :) 5هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت . قضیه :) 6هر عدد فرد را می توان بصورت دو برابر یک عدد اول بعالوه یک عدد اول دیگر نوشت . خواص اعداد اول -1هر عدد اول برابر است با n+16یا n-16که nیک عدد صحیح است . -2مجذور هر عدد اول برابر است با .n+124 -3تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از 24است . -4حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و 3مضربی از 6بعالوه یا منهای یک است . اعداد تاکسی زمانی که ریاضیدان انگلیسی هاردی برای عیادت ریاضیدان شهیر هند رامانوجان به بیمارستان رفته بود به این موضوع اشاره کرد که شماره تاکسی که بوسیله آن به بیمارستان آمده ،عدد بی ربط و بی خاصیت بوده است .رامانوجان بالفاصله ضمن رد ادعای هاردی به او یادآور شد که اتفاقا بسیار جالب توجه است .خود عدد اول است .دو عدد و هر کدام عدد اول هستند .جمع چهار رقم تشکیل دهنده آن میشود که اول است . جمع دو عدد اولیه و دو عدد آخری میشود که باز هم عدد اول است .دو عدد ابتدایی (سمت چپ) اگر جمع شوند ،عدد میشود که باز هم اول است .دو عدد اولیه اگر از هم کسر شوند عدد ساخته میشود که باز هم عدد اول است .سه عدد سازنده آن عدد اول است .جمع عددی اعداد تشکیل دهنده یا است .عکس عدد است اگر شود نتیجه برابر میشود .این هم یکی دیگر از اختصاصات است که در هر عددی دیده نمی شود  .عدد اولین عددی است که میتوان آنرا به دو طریق بصورت حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت نوشت : به توان بعالوه به توان و به توان بعالوه به توان هر دو برابر می باشند .امروزه ریاضیدانان عددی را که به طریق مختلف بصورت حاصل جمع مکعبهای دو عدد مثبت باشد امین عدد تاکسی می نامند و آنرا با نمایش می دهند .جالبتر از همه اینکه ،هاردی و رایت ثابت کردند برای هر عدد طبیعی کوچکتر از ،امین عدد تاکسی وجود دارد مجموعه اعداد گویا مجموعه اعداد گویا عضو ابتدا و انتها ندارد .مجموعه اعداد گویا نسبت به عمل تقسیم بسته نیست زیرا صفر عضوی از مجموعه اعداد گویا است ولی تقسیم بر صفر معنی ندارد . دو عدد گویای مساوی : هرگاه صورت و مخرج عدد گویایی را در عددی (مخالف صفر) ضرب یا به عددی (مخالف صفر ) تقسیم کنیم عدد گویا تغییر نمی کند و عدد گویایی مساوی عدد گویای اول بدست می آید . اعداد گویا بین دو عدد گویا : بین دو عدد طبیعی متوالی با دو عدد صحیح متوالی ،عدد طبیعی یا صحیح وجود ندارد اما در مورد اعداد گویا ،این مطلب درست نیست بین هر دو عدد گویای متمایز بی شمار عدد گویا وجود دارد . اعداد اعشاری مختوم : اگر هنگام تقسیم صورت بر مخرج به باقیمانده صفر برسیم عدد اعشاری ایجاد شده مختوم است .عدد اعشاری مختوم بصورت دهم ،صدم ،هزارم و ...بیان می شوند و خیلی ساده می توان آنها را بصورت کسر تبدیل کرد. اعداد اعشاری متناوب : اگر در تقسیم صورت بر مخرج کسری به باقیمانده صفر نرسیم و مرتبا عددی در خارج قس مت تکرار شود این عدد ،عدد اعشاری متناوب نام دارد .عدد اعشاری متناوب به صورت …a/bcنوشته می شود و بدین معناست که رقم های زیر خط تیره در اعشار تکرار می شوند . اعداد مختلط تعریف :یک عدد مختلط بصورت a+biتعریف می شود که در آن aوb دو عدد حقیقی اند و iرا واحد موهومی گویند که دارای خاصیت =1-است . اگر ، z=a+biآنگاه aرا قسمت حقیقی عدد zو bرا قسمت موهومی آن گویند و به ترتیب و نشان می دهند .هر عدد مختلط را که می توان با ‏zنشان داد متغیر مختلط گویند . عملیات اساسی با اعداد مختلط جمع (a  bi)  (c  di) a  bi  c  di (a  c)  (b  d)i تفریق (a  bi)  (c  di) a  bi  c  di (a  c)  (b  d)i ضرب (a  bi)(c  di) ac adi bci bci2 (ac bd)  (ad  bc)i تقسیم a  bi a  bi c  di ac adi bci bdi2 ac bd (bc ad)i ac bd bc ad      2  i c  di c  di c  di c2  d 2i 2 c2  d 2 c  d 2 c2  d 2 قضیه ی اویلر قضيه اويلر یا قضيه اولر :فرض کنيد mعددی طبيعی و aعددی صحيح باشد و داشته باشیم .)a,m(=1در اين صورت: )mod m( 1 که ∅(𝑚)برابر تعداد اعداد کوچکتر از mاست که نسبت به آن اول هستند (همان تعداد اعضاء دستگاه مخفف مانده ها) همنهشتی مثلث ها شکلهای هم سطح را هم نهشت می گویند اگر یک شکل و هم اندازه باشند شکلهای همنهشت را می توان با تبدیلی از نقاط را حرکت می دهد .اما رابطه های برخوردی ( incidenceبین خطوط و نقاط) زوایای بین خطوط و طولهای پاره خط ها را تغییر نمی دهد بر هم منطبق کرد چنین تبدیلی سطحی را حفظ نمی کند و خطوط موازی را موازی جابجا نمی کند . چهار قضیه در مورد همنهشتی مثلث ها : در تعریف همنهشتی نیاز است که شکلها در جمیع جنبه ها سازگار باشند بخصوص طولهای اضالع متناظر و زوایای بین آنها برابر باشند . قضایای زیر بیان می کند که در مورد حاالت خاصی از مثلث ها کافی است که برای امتحان هم نهشتی سه جزء آنها را مورد بررسی قرار دهیم اگر این سه جز در دو مثلث برابر باشد مثلثها همنهشت هستند چهار قضیه همنهشتی -1دو مثلث همنهشتند اگر طول ضلع یکی از آنها برابر طول ضلع نظیرش از دیگری و دو زاویه آنها برابر دو زاویه نظیرشان از دیگران باشد . -2دو مثل ث همنهشتن د اگ ر طولهای دو ضلع برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری و زاویه های بین این ضلعها برابر باشند . -3دو مثلث همنهشتند اگر طولهای دو ضلع یکی برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری و زاویه های مقابل ضلعهای بزرگتر آنها برابر نباشند . -4دو مثل ث همنهشتن د اگ ر طولهای س ه ضل ع از یکی برابر طولهای ضلعهای نظیرشان از دیگری باشند. تقسیم پذیری: نظریه بخش پذیری (یا همان تقسیم پذیری) از بخش های اصلی و آغازین نظریه اعداد است که بسیاری از قضایای نظریه اعداد در اثبات های خود از آ ن بهره می‌گیرند .معمو ًال در نظری ه مقدمات ی اعداد ،بخ ش پذیری را ب ا الگوریت م تقس یم و رابط ه عاد کردن شروع می‌کنند .الگوریت م تقس یم قضی ه ای اس ت ک ه می‌گوی د :ب ه ازای ه ر دو عدد ص حیح aو bک ه b≠0اعداد صحیح و منحصر به فردی مانند qو rوجود دارند به طوری که: ‏a=b.q + r کوچکترین کران باال یا سوپریموم یک مجموعه ی مفروض ،در صورت وجود ،کوچکترین عدد حقیقی است که بزرگتر یا مساوی تمام اعضای آن مجموعه باشد. بزرگترین کران پایین یا اینفیموم یک مجموعه ی مفروض ،در صورت وجود ،بزرگترین عدد حقیقی است که کوچکتر یا مساوی تمام اعضای آن مجموعه باشد. مثال: مجموع ه اعداد طبیع ی و رابط ه ی عاد کردن را در نظ ر بگیری د اگ ر { A={۲,۳,۴,۵, ۶آنگاه مطلوب اس ت تعیی ن س وپرسمم و اینفیم م مجموعه ی .A جواب :عدد 1بزرگتری ن عضوی در اعداد طبیع ی اس ت ک ه تمام اعضای مجموعه ی Aرا عاد میکند ‏Inf(A)=1 از طرفی 60کوچکترین عدد طبیعی است که تمام اعضای Aرا عاد میکند پس.=sup(A) 60 ( در واق ع بای د کوچکتری ن مضرب مشترک اعضای Aرا ب ه عنوان س وپریمم Aدر نظر گرفت). الف) ۲کوچکترین عضو Aاست. ب) 6بزرگترین عضو Aاست ج) ۱۲یک کران باالی Aاست. د) ۱یک کران پایین Aاست. منابع: