تربیع دایره و تثلیث زاویه

صفحه 1:


صفحه 2:
fer Peer POW en Bara AP in En ey 

صفحه 3:


صفحه 4:
*#پیش از آنکه اصول کامل شده باشدیونانیان بامسائل درجه بالاترهندسه دست وينجه نرم ميكردند؛سه تا ازاين گونه مسائل,تربیع دایره,تثلیت هرزاویه, وتضعیف مکعب ,لزنکته ‎sl‏ نیروبخش ریاضی دالنان لااقل در مدت سه قرن بود. وتمامی جریان هندسه یونانی سخت تحت تاثير اين واقعيت قرارگرفته بود, که هندسه دانان در تلاشهای خود برای به دست آوردن داه حل مسائل به صورت مقاومت ناپذیر ناگزیر متوجه منحنیها و ساختهایی شده بودند که بتوانند ب آنان مدد برسانند.مثلا تحقیقات در قطعهای مخروطی چنان می نمود که آغازی برای به کار بردن دو تا از آنها برای حل مسائل مربوط به دو واسطه ي هندسی بوده است. 

صفحه 5:
**یونانیان مسائل و مکانهای هندسی (خطوط راست و _ منحنیها)را که برای حل آنها بر طبق آنچه که می توانیم آن را «درجه» بخوانیم رده بندی می کردند.مسائل واقعی درصفحه آنهایی بودند که حل آنها به کمک خط مستقیم ودایره امکان داشت (و تنها مکانهای واقع در صفحه اینها بودند ) و مسائل فضایی آنهایی بودند که برای حل آنها لازم بود از یک یه چند قطع مخروطی (که آنها را مکانهای قضایی من نامیدند) استفاده شود وبالاخره مسائل خطی آنهایی بودند که حل آنها به گفته پاپوس به مکانهای «خطی» نیاز داشتند که همه ی انها منحنی ‎SL‏ مرتبه ی بالاتر از قطعهای مخروطی 

صفحه 6:
نظير مارپیج ها ,مربع سازها, حلزونیها (صدفیها) وپیچکیها را شامل می شد. يا باز منحنیهای مختلف مندرج در رده ی «مکانهای رویه ها» بوده است كه فتظور پاپوس ظاهزا مکانهای ترسیم ‎Frond‏ ‏سطوح همچون مارپیج استوانه ای بوده است. 

صفحه 7:
اين مسئله شايد بيش از هر مسئله ی دیگر قرن ها برای جویندگان, خواه برای ریاضی دانان خواه غیر ریاضی دانان جذابیت داشته است. در مصر چتان که دیدیم دست کم در جدود سال 1800 ق .م مساخت ذایرجر۱ 064/81 میگرفتتد که در ان انمایتده ی قظر دایره است اس و ی انار و ادا مک ی و قاى يبانى به ان دست بافته يورنذ و ثقريب أن (نا در نظر كزفتن اين كه 3.16 به اندازه ى[] بسيار نزديك است) به هيج وجه تقريب بدى و چنانچه گفته اند نخستین کسانی که در یونان با این مسئله سر و کار داشته اند انا کساگوراس است. گفته اند زمانی که در زندان به سر ار ار كار سك أت خر ار ماک ها را تزبيع ميكزده است بان اميد كه (لا اقل در تخستين نمونة)لين تحقيقات بتواند راهگشای حل مسئله ی اصلی باشد. 

صفحه 8:
** از مساحت های دیگر در حل مسئله از آنتیفون سوفسطایی | عكاه ران ستراط بودواست كة ررس حاط كردن ع وال جند ضلعى هاى منتظم را در دايره براى اين منظور يايه گذاری کرده است . به گفته ی بغضی از نویسندگان وی کار خودرابا یک مریم و به گفته ی بعضی دیگر با یک مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره آغاز کرده است.وی سپس بر هر ضلع شکل محاط شده مثلثی متساوی الاساقین می ساخته که راس آن بر کوچکترین قطعه ی دایره حاصل از همان ضع فرارداشته است . 

صفحه 9:
* بدین ترتیب یک چند ضلعی محاط در دایره به دست می آمده که شماره ی ضلع ها ی آن دو برابر چند ضلعی پیش از آن(مریع یا مثلث)بوده است .با پیوسته دو برابر کردن شماره ی اضلاع چند ضلعی محاط در دایره عمل خود را ادامه می داده و(گفته اند)که«از ‎oly cyl‏ سطح دایره رفته رفته هر چه بیشتر با سطح چند ضلعی پوشیده می شده تا موقعی که چند ضلعی محاط در دایره به علت کوچک شدن تدریجی اضلاعش تقریبا بر محیط دایره منطبق ومساحت آن برابربا مساحت دایره می شده است پس می توانیم مربعی مساوی با یک دایره به دست آوریم. 

صفحه 10:
اندیشه ی آنیفون در آغاز مورد استهرا قرار گرفته بود. . ارسطو می گفت که خطاي آن به گونه اي بود که حتی از آنان خواسته نمی شد که به رد د کردن برهان آنتیفون بپردازند بدان جهت که بر اصول پذیرفته شده ي هندسه قرار نداشت. 9 به كفتهى اتودموس اصلى را كه برهان آنتيفون نقص مى كرد اين بود كه كميتها به طور نامحدود تقسیم پذیر ند اگر چه آن درست باشد. روند ده برابر کردن اضلاع چند ضلعی آنتیفون هرگزتمامی مساحت دایره را نمی پوشاند ومحیط چند ضلعی با محیط دایره بر هم قرار نمی گيرند. 

صفحه 11:
#ولی بیان جسورانه آنتیفون از اهمیت ومعنای بزرگی " برخوردار بود بدان جهت که نطفه یروش افناء وسرانجام حساب انتگرال در آن نهفته بود نقص بیان وی بیش از آن بود که تنها لفظی باشد چه می بایست آن را به شکلی محتاطانه تر عرضه کند و به همان عملی بپردازد که اقلیدس در بیان قضیه ‎plal2XIls‏ ‏داده وگفته بود که :اگر این روند به اندازه ی کافی ادامه یابد وسعت قطعه های دایره پر جای مانده روی هم رفته کمتر از هر مقدار در نظر گرفته شده خواهدشد. . سودمندی عمل نتیفون توسط ارشمیدس در اندازه گیری یک دایره نشان داده شده است که وی آن را با ساختن یک 6ضلعی محاطی بنابر روش انتیفون اندازه گرفته واز این راه توانسته است 

صفحه 12:
*#برای پایین ترین حد [] عدد(15/71*3) استفاده کند واز راه محاط کردن چند ضلعی مشابهی ثابت کند که []کوچکتر از (1/7<*3)است همین ساختمان که از اين مریع آغاز شده بود پایه ی تقریب ویتا برای[]///2/بوده است. =... Seemann 

صفحه 13:
#بروسون یکی از شاگردان سقراط يا از شاگردان اقلیدس مگارایی تلاشی برای انجام یک تربیع کرده که ارسطو آن را«سفسطه آمیز» *#* و«جدلی»خوانده است بدان جهت که بر مبنای مقدمات بیش از اندازه کلی قرار داشته است.شارحان نیز از برهان بروسون با همین الفاظ سخن گفته اند ولی روایت صحیحی از اينکه آن برهان چگونه بوده است در دست نیست .همه در اين باره یک سخن گفته اند که وی چند ضلعیها (یا مربع هايى) رادر دايره محاط وبر آن محيط مى کرده ویک جند ضلعى (يا مريع ) را ميان جند ضلعى های محاطی ومحیطی در نظر می گرفته است . 

صفحه 14:
55 سيس در ارتباط برقرار كردن ميان مساحت دايره با اين جندض يانجى مى انديشيده واين را در نظر داشته است كه مساحت دايره بزركتر از همه ى جند ضلعى هاى محاطى و كوجكتر از همه جند ضلعى هاى محيطى است وبه همين جهت مى توانيم جنين فرض كنيم كه او در صدد افزايش اضلاع جند ضلعى هاى محاطى ومحيطى بنابر روش آنتیفون در مورد جند ضلعى هاى محاطی بر می آمده وبه آن اندازه ازتقریب حقیقی می رسیده که می توانسته است بگوید :اگر یک چند ضلعی میانجی بتواند میان آخرین چند ضلعی های محاطی ومحیطی ترسیم شود می توانیم بگوییم که مساحت دایره برابر با اين چند ضلعی خواهد بود. 

صفحه 15:
#انديشة ی بروسون زمانی مفید واقعه مى شده است كه فشردكى جند ضلعى هاى درونى وبيرونى به هم به طورى كه سرانجام با دايره يكى شوند سبب رسيدن به نتيجه مى شده وهمين امراز خصوصيات روش افنا ء است كه ارشميدس بعدها مورد استفاده قرارداده است . *#*حال به دانشمندانی از هندسه میرسیم که از طریق منحنیهای درجه ی بالا تر به تربیع یا محاسبه ی طول قوس ‎ol‏ پرداخته بودند . 

صفحه 16:
**نخستین آنان هیپیاس است که مخترع یک منحنی بوده که بعدا بنابر خصوصیتش مربع ساز نامیده شده است. روايت ها در اين باره متفاوت است ؛پاپوس می گوید که دینوستراتوس(یکی از برادران = منایخموس ) ,نیکومدس ,وهندسه دانان دیگر بعدی این منحنی را برای تربیع دایره به کار می برده اند ‎a‏ ‏گفته ی پروکلوس ,دیگران مربع سازها ی هیپیاس ونیکومدس را برای ت ث زاویه مستقیم الخط مورد استفاده قرار می دادند. بنابراین, امکان آن هست که هیپیاس در ابتدا منحنی خود را برای تثلیث زاویه یا تقسیم أن به هر نسبت به کار می برده است. 

صفحه 17:
*#مریع ساز به صورت نظری چنین ساخته می شده ‎SBED 9 eyo S ABCD: cul‏ ربع دايره به مرکز۸است. فرض می کنیم که : (1) شعاع دایره گردشی یکنواخت برگرد مرکز هاز وضع ۸به وضع «آهداشته باشد و (2) خطی که همواره موازی با ۸۱ است حرکتی یکنواخت دارد وهمزمان با رسیدن شعاع دایره به وضع (۸1,آن نیز که از وضع نخستین 50 حرکت خود راآغاز کرده بر ۸منطبق شود. 

صفحه 18:


صفحه 19:
در اوضاع نهایی خود , خط راست متحرک و شعاع در حال دوران هر دو همراه با یکدیگر بر ۸۳ قرار خواهند گرفت؛ ودر هر زمان در ضمن حرکت ,از تقاطع خط وشعاع در حال دوران نقطه ای همچون ایا یدید می آید.مکان هندسی این نقاط همان چیزی است که مربع ساز خوانده می شود . #خوضوصیات این متحنی این است که : 

صفحه 20:
*#به عبارت دیگر ,اگر 9زاویه ‎wig FAD‏ زاویه بردار شعاعی ‎ADLAF‏ ومطول هو : ضلع مربع باشد. چنین داریم : Psin/a=@/(/2IT) *#اين منحنی , پس از ساخته شدن , آشکارا نه تنها اين امکان را به می دهد که هر زاویه را به سه قسمت مساوی تقسیم کنیم,بلکه مارا به تقسیم کردن آن به هر چند قسمت مساوی که بخواهیم نیز قادر می سازد. 

صفحه 21:
#چه فرض می کنیم که ۳۸۲زاویه داده شده باشد ,ود" تذبر نسبت داده شده تقسیم شده باشد . *“از ۳۴ خطن)۴را به موازات ۳0 رسم می کنیم تا منحنی را در نقطه باقطع کند . ۸رابه باوصل می کنیم و چندان امتداد ‎wo‏ دهیم تا در لابه ربع دايره برسد . NAD:<EAD=LM:FH> F’H:FH= نسبت داده =EAN:<NAD=FF’:F’H>oouis 

صفحه 22:
*#به کار بردن مریع ساز برای تعیین طول قوس دایره از آن جهت دشواری بیشتر دارد که می بایستی از وضع ت,یعنی نقطه ای که در آن منحنی پا خط (۸1 تلاقی می کند ,آگاه باشیم . یونانیان نیز از اين دشواری ها آگاهی داشتند ؛ این دشواریها نخست توسط اسپوروس وسپس پاپوس به صورتی تحسین آمیز بیان شده است . حتی اگر بتوانیم در عمل دو حرکت یکنواخت را چنان تنظیم کنیم كه هر دو در یک زمان انجام پذیر باشد , »را نمی توان عملا بيدا كرد . 

صفحه 23:
بدان گونه که اسپوروس گفته است ,اگر در شکل, خطهای راست 08و 3۸آچنان ساخته شده باشند که حرکت خود را با هم به پایان برسانند , در آن صورت با خود ۸7بر هم منطبق می شوند و یکدیگر را قطع نخواهند کرد ؛ولی تقاطع این منحنی با خطها متحرک بوده که به فرض همه ی نقاط منحنی را به وجود آورد. واقعیت این است که ما تنها این توانايي را داریم که ‎cael wes‏ ترا .هر جه نزديكتر به محل حقيقى أن به دست وريم . 

صفحه 24:
#اگر فرض کنیم که 6را به دست آوریم ,پس بایستی قضیه ی را به اثبات برسانیم که در ازای قوس ربع دایره خود دایره را ۸13-2-0۰(قوس ریع دایره ‎BED)‏ 

صفحه 25:
**و این تساوی را پاپوس از طریق برهان خلف به اثبات رسانیده است . صحت آن به اسانی از اين راه معلوم می شود که حد بگیریم و 0رادر معادله ی بالا (صفحه ی قبل ) مساوی صفر قرار دهیم .و بنا ودر نتيجه: 

صفحه 26:
* گفته اند که ارشمیدس مارپیچ خود را برای ترببع دایره به کار می برده است ؛و او واقعا این مطلب را ثابت کرده است که چگونه می توان طول قوس یک دایره رابه وسیله ی «زیر مماس قطبی » به ماربيج تبدیل کرد. *#مارپیج بدین گونه ساخته می شود : فرض می کنیم که خط راست در صفحه ای با سرعت یکنواخت برگردد نقطه ی 0حرکت کند ودر وضع نخستین آن (خط اولیه ) باشد؛و در عین حال نقطه ی «واقع بر ‎OB‏ باز با سرعت یکنواخت در امتداد3ا,از همان زمانی که ۵1ابتدا ‎OAjl‏ شروع به حرکت کرده , حرکت خود را آغاز کند . 

صفحه 27:
**معادله ی قطبی منحنی مکان نقطه ی ۳آشکارا خواهد بود : اگر خط مماس بر یک نقطه ی دلخواه "از مارپیج خط عمود بر شعاع حامل 00 درنقطه ی را در تقطع کند ,در این صورت «زیر مماس قطبی » خواهد بود. 

صفحه 28:
* ارشمیدس در کتاب خود, درباره ی مارپیچ ها , هم ارز اين واقعیت را به اثبات رسانیده است که , اگر ۳ نقطه ای به نخستین پیچ مارید باشد , و01 «زیر مماس قطبی » متناظر با آن ,و مو9مختصات قطبی م, آنگاه 0برابر با قوسی از دایره به مرکز هو شعاع-۵) 05 است که د, خور زاویه 0در هاست و به عبارتی د سس ‎(p=a8us2) 9°‏ جوم ‎ ‎ ‎ 

صفحه 29:
۳ (ale bstoy ron eS Re ope me wpereee locerd arr ‘SSRIS CRE tS eae cots) DES. mE espe 5) ‏(كمتر 9 2)است که به اندازه ی آن شعاع حامل در 11امین پیج ابتدا از‎ .)0 اال اباس '01)مساوى با 12-1آبرابر محيط دايره به شعاع ]0 به علاوه قوس 2 

صفحه 30:
#یا مبلیخوس , در شرح بر مقولات ارسطو . كفته است كه آپولوتیوس دایره را به گونه ای از منحتی تربیغ کرده انست كه وی خود آن را «خواهرحلزون وار » می خوانده ,ولی در واقع همان است که منحنی نیکومدس نامیده مى شود . منحنی نیکومدس که در اینجا ذکر آن آمده است محتملاً همان حلزون وار است که پس از آن به نام صدف وار نامیده شده است ویاپوس آن را توصیق کرده است - 

صفحه 31:
ولی ما هیچ اطلا عی از منحنی اختراعی اپولونیوس نداریم که حلزون وار شباهت داشته باشد .ولی آپولو نیوس رساله ای در مورد یک منحنی نوشته که خود آن را کوکلیاس نامیده است ؛ و این همان مارپیچ استوانه ای است ,وبه همان گونه که ممکن است این منحنی را برای تربیع دایره به کار برد ,آپولونیوس نیز ‎ul Meine‏ را برای تربیع دایره به کار برده است ۰ در همین فقره از یامبلیخوس آمده است که : کارپوس دایره را به وسیله ی منحنی «با حرکت مضاعف» تربیع کرده است . ولی هیچ اشاره ای به ماهیت منحنی نشده است. 

صفحه 32:
ارشمیدس , در کتاب خودش اندازه گیری یک دایره,در دایره ای یک 96 ضلعی منتظم در محاط و یک 96 منتظم بر آن محیط کرده است ؛ سپس با محاسبه ی مستقیم مجیطهای این چند ضلعی ها اين عطلب را به اثبات رسانیده است که اين تقریب 3 10/71 است,ولی هرون در کتابش متریکا آورده است که ارشمیدس در کتاب دیگری از خود به محاسبه ای پرداخته ااست که محتملاً دقیقتر بوده است. متاسفانه ارقامی که در متن یونانیان آمده نادرست است . 

صفحه 33:
للتتسي سس همةمة د .7 پايین ترین و بالاترین حد بي به صورت زیر است: 195888/6235<]]2 8 1 

صفحه 34:
#جالب توجه است که فتوسط این ارقام به 3/141596 بننتیار نزدیک است . بطلمیوس تقریبی برای []از طریق کسرهای شصتگانی (یعنی بر حسب واحدها ویک شصتم واحدها یا دقیقه ها و یک شصتم دوم يا ثانیه ها ابه صورت ("38 30) به دست داده که بین ( 1/7<*3)و ( (1/17<*3است. بطلمیوس بدون شك اين اندازه ها را از جدول نزدیک وتر ها ی خود به دست آورده است . در اين جدول طول وترها ی دایره مقابل به زاویه ها ی مرکزی ( ...۵,121 )با افزايش تیم درجه آمده انتت .اتدازه ی وتر 0 طول قطر دایره بیان شده است ‎asi.‏ ‏1یکی از اين اجزا باشد ,در آن جدول (1 2 )به عنوان وتر زاويه آآمده است.محیط 360ضلعی محاطی 360 برابر اين رقم است,وچون آن رابر 120 (یعتی تعداز اجزا ی قطر )نقسیم کنیم اندازه ی [اراخواهیم دانشت که مشاوی انسنت پا سه پرابر "12*50 بعنی *30 38 که همان رقم بطلیموس و معادل با 1416 3 است: 

صفحه 35:
آریبهطه ریاضی دان هندی برای به دست دادن اندازه ی [آمی گوید :«برٍ 100عدد 4را بيافزاييم ؛حاصل را در 8 ضرب کنیم ؛بر آن عدد 62000رااضافه کنیم و بدین ترتیب برای طول قطری برابربا 2 ایوتاس «میریاد» ‎Jeb‏ ‏تقریبی محیط دایره به دست می اید.» یعنی 3/1416یا 0 چنین استدلال شده است که استفاده از ميرياد حکایت از آن می کند که منبع اطلاع هندیان یونانی بوده است ؛ولی چنان می نماید که تاییدی بر این نظر وجود ندارد و دانشمندان و صاحب نظران هندی در آن اختلاف نظر دارند. * ائوتوکیوس در شرحش بر رساله ی اندازه گیری دایره ی ارشمیدس می گوید که :آپولونیوس در رساله اش بیان اعداد دیگری را به کار برده و به تقریبی نزدیکتر از تقریب ارشمیدس دست يافته است. 

صفحه 36:
در این شک نیست که در ضمن تلاش برای محاط کردن چند ضلعی های متطفى در دايره كد ستاره 5 اضلاء آنان 2 ا هر مضرى آر نه اشر وتان با مه سم رامد عر ار زاون د قانهة ره جزءمساوی روبه رو بوده اند. بنابه گفته ی پاپوس پیشینیان نخست روشهای «متداول در صفحه *(یعنی روشهای که تنها با خط مستقيم و دایره سزوکار دازندا ترا به کار می بردند: ولی از آن جهت بم نتیجه نمی رسیدند که این مسئله, مسئله ي «مربوط به صفحه »نبوده بلکه «فضایی» (وینابراین مستلزم به کار گرفتن قطوع مخروطی و بعضی از هم ارزهای آنان )بوده است . ولی چون در آن زمان با چنین مقاطعی آشتا ننوده اند,نعست مضائل رایه گونه ای از نوع شناحته شذه همچون تنوسئیس (گرایش ها یا ميلها )تبديل مى كردند .ويس از آن راه حل اين ‎ES gl aoa ae kei Sioa lols‏ 

صفحه 37:
#در این حالت تنها به آن نبازمنديم که حالت یک زاویه:حاذه غیر مشخص را مورد مطالعه قرار دهیم. ( زاویه قائمه را می توان با ترسیم یک مثلث متساوی الاضلاع به سه قسمت مساوی تقسیم کرد.) *#تحویل به یک گرایش از طریق تجزیه وتحلیل صورت می 2, اگر ‎al jABC‏ حاده داده شد باشد ,خط هرا عمود بر . ‏می کنیم‎ ew BC 

صفحه 38:
اگر متوازی الاضلاع ۸03۳را کامل می کنیم .آنگاه۳۸۵ چندان امتداد می دهیم که تا نقطه ی #واقع بر روی آن چنان باشد که , اگر 1:1 وصل شود , ومحل تقاطع آن با ۸6 نقطه ی «باشد ,قطعه ی تادآواقع میان ۸6و۸۳ برابر با ۸22 شود ؛ ولی به بیان گرایشی نقطه ی عوافع بر آن چنان باشد که یک خط راست ۳«آمیان هو ۸۶ به طولی مساوی ‎wAB2 L‏ ‎cow‏ #بگراید. :3 را در »نصف و خط ۸0 را رسم می کایم A 

صفحه 39:


صفحه 40:
بدین گونه مسئله تبدیل می شود به ترسیم خط ‎aS ByIBE‏ خطهای عشو ترا قطع کند به طوری که «آمساوی ۸۳2 باشد. پاپوس نشان داده است که چگونه این مسئله را می توان از راه قطوع مخروطی به صورتی کلی تر حل کرد. 

صفحه 41:
فرض می کنیم (۸3)1یک متوازی الاضلاع باشد (چنانکه پاپوس عمل کرده ضرورتی ندارد که مستطیل باشد ) مطلوب ترسیم خط ‎BColoiol » CD LA jl cwwlIAEF‏ را به ترتیب در نقاط 5و #قطع كند به طورى كه ۳۳ طولی 

صفحه 42:
فرض می کنیم که مسئله حل شده باشد و"تآطول مطلوب با شد. سپس چون طول ۴۳داده شده ,لازم است که 60همان طول معین را داشته باشد , بنابراین بر محیط ‎sl onl‏ به مرکز «وبه شعاعی برابر با طول داده شده قرار دارد.و نیز اگر متوازی الاضلاع ۸۵۴۳۲۷را کامل و خط 121 را به موازات 155 هرسم كنيد و خوا که متوازی الاضلاع های متمم برابر با یکدیگرند, 

صفحه 43:
بنابراین ۵بر یک هذلولی که از دمی گذرد قرار گرفته است که 81و84 مجانبهاى آن هستند. يس, برای حل گرایشی , تنها می بایستی (1)هذلولی یاد شده و (2)دایره به مرکز طو شعاع برابر با طول داده شده را رسم کنیم. محل تقاطع این دو منحنی نقطه ی ۵خواهد بود . سپس تاو را تعیین می کنیم و خط ۵۳ را به موازات 0دآمی کشیم تا امتداد 136 را در ۳قطع کند. و سپس تلقرا رسم می کنیم تا 7©را در #قطع كند. 

صفحه 44:
در اینجا باید بخصوص از نیکومدس یادکنیم,بدان جهت که وی یک منحنی را برای هدف خاص حل گرایشی بدان صورت که در بالا آمده ابداع کرده است.وی از لحاظ تاريخ زندگی در فاصله ی زمانی میانی اراتستن و آپولونیوس می زیسته ؛بنابراین باید در حدود 275ق.م تولد یافته باشد . **منحنی مورد بحث را پاپوس حلزون وار نامیده , ولی بعد ها ,مثلا در زمان ائوتوکیوس, از ان به نام صدف وار یاد شده است. 

صفحه 45:
"پاپوس به چهار منجنی صدف وار اشاره کرده است ؛ نخستین آن که ما در اینجا سروکار داریم ,برای تثلیث یک زاویه غیر مشخص و تضعیف مکعب به کار می رفته است.ان را به وسیله یک افزار مکانیکی بدین گونه می ساختند: ‎AB‏ خط کشی است با شکافی موازی با طول آن: و اخط کشی دیگر است که به صورت عمود بر ۸8۴نصب شده باشد ویک مه جوس ی آن قرار زارد خط کش سوم بابک تیز «نیز شکافي بر روی خود به موازات طول خود دارد که ميخ ) از میان آن بیرون آمده است .یک میخ چوبی ثابت شده بر روی 0آدر امتداد شکاف آن از طرف داخل قرار گرفته وان میخ «آزادانه در میان شکاف ۸1 جابه جا مى ‏شود. ‎ 

صفحه 46:
#"بنابراین اگر خط کش ۳0 چنان حرکت کند که میخ «تمام طول ثرا در دو طرف ۳ بپیماید ,نوک از اين خط کش یک منحنی ترسیم می کند که آن را حلزونی یا صدف وار می نامیده اند.نیکومدس خط راست ‎bs LAB‏ کش , نقطه ی ثابت »را قطب ,و طول ثابت را فاصله نامیده است. *#اگر شعاع حامل 6۴ باشدوح<۴ظ و <۳, معادله ی قطبی این منحنی چنین خواهد بود : وقیکی از مجانبهای آن است. 

صفحه 47:
*#*هنگام استفاده از یک حلزون وار مناسب برای حالت خاص فمی بایستی قطب رادر نقطه ای قرار دهیم که خط مندرج به طرف ان متمایل باشد, وخط کش می بایستی بر یکی از خطهايى منطبق باشد كه خط مندرج بايد بين انها قرار كيرد .مثلا براى حل كرايشى صفحه ى 1429141 مى بايستى حلزون واري داشته باشيم كه در أن فاصله ى ثابت 122 برابر با ۸۳2, قطب در ظ, وخط كش منطبق بر 40 باشد. 8 

صفحه 48:
*#از اين رو در حالت کلی باید برای هر حالت یک ابزار تازه ای ساخته شود. جا ‎cee quad 8 cond abies‏ رون وار هيج وقت عملا رسم نشده است, بلکه مقداری از آن رسم می شده است برای سهولت بیشتر خط کش را به گرد نقطه ای ثابت حرکت می دادند تا قطعه مجزا شده, با تجسس مساوی طول مفروض شود. 

صفحه 49:
*مجموعه لمهايي که از طریق ترجمه ی عربی آنها به نام ارشمیدس به ما رسیده است, مشتمل بر قضیه ی جالبی است که ما را به تحویل دیگری به یک گرایش از مسئله ی تثلیث زاویه هدایت می کند . 

صفحه 50:


صفحه 51:
*اگر تلهوتر یک دایره به مرکز ۵باشد وآن وتر را تا نقطه اي مانند »چنان امتداد دهیم که 30برابر با شعاع دایره شود واگر محيط (01 دايره را در دو نقطه ى 2و #قطع كند در اين صورت قوس 5ه سه برابر قوس (81خواهد شد.جه اكر وترترا به موازات ق۵ونیز خظهاى 015008را رسم كنيم.بة سبب تساوى 80و8)0جنين خواهي 

صفحه 52:
© (متبادله) بنابراین: © ودر نتيجه: 

صفحه 53:
از اینجا معلوم می شود که ‎Sly‏ یافتن قوسی به اندازه ی یک سوم ۸ تنها باید از ۸, خط راست )كرا جنان رسم کنیم که دایره را بار دیگر در 8وامتداد08 را در » قطع كند و جتان شود كه 8 مساوى شفاع دايره باشد. 

صفحه 54:
پاپوس دو راه حل مستقیم مسئله ‎Calis‏ زاویه را از طریق . قطوع مخروطی به ما می دهد بدون اين که به تحول گرایشی مقدماتی آن ضرورت پیدا کند:دومی مخصوصا بدان جهت جالب است که تنها یکی از ‎aw‏ فقره ی معلوم از آثار ریاضی پونانیان است که ویژگی هادی -کانون قطوع مخروطی را أشكار سازد. *“تحليل آن از اين قرار است : فرض می کنیم ۳5قوسی از دایره باشد که مقصود تثلیث آن است .فرض میکنیم که مسئله حل شده وکمان ‎SSP‏ سوم کمان 0 5بانشد. 

صفحه 55:
خطوط 5۳و3را وصل می کنیم. در اين زاویه 65دو برابر زاویه 9۳۳ خواهد بود. ‎SE bs‏ نیمساز زاویه 5۳رارسم می کنیم و خطهای172 ول راعمود بر 15آمی کشیم. 

صفحه 56:
| RESES > RX=XS RS:RX=SP:NX 

صفحه 57:


صفحه 58:
نتیجه آن مني شود که ۴بر یک هذلولی قراز گرفته است که كانون أن ذوخط ‎XE ul als‏ وخروح از مرکز برایر با 2دارد. بنابراین برای تثلیت کمان 8۴5 تنها لازم است که 85 را در ‎X‏ به دو نیمه تقسیم وآنرا بر 95اعمود کنیم. سپس یک هذلولی به کانون 5 وهادی ۱ وخروج از مرکزی برابر با 2ترسیم کنیم در اینجا باید یاداور شویم که پاپوس ویژگی هادی-کانون 3قطع مخروطی را در بخشی با عنوان «لمهایی درباره ی مکانهای هندسی رویه های اقلیدسی » آورده »و آن رایه اثبات رسانیده که طرر بیان او از این قرار است :اگر نسبت فاصله نقطه ای از یک نقطه ی ثابت به فاص ‎elem Los (ols‏ 

صفحه 59:
برابرمقدار ثابتی باشد مکان هندسی آن نقطه که یک قطع مخروطی است يا بیضی است يا سهمی يا هذلولی,بنابر انکه قسمت داده شده کمتر از واحد, برابر,یا بزرگتر از واحد باشد. چون این لم برای فهم رساله اقلیدس ضرورت داشته, این یک ننیجه گیری درستی است که اقلیدس در مکانهای هندسی رویه های خود اين قضيه را بدون اثبات به عنوان حکم کاملا معلومی پذیرفته است . بنابر اين محتملا اين اثبات در رساله ای که در زمان اقلیدس در اختیار ریاضی دانان بوده ,شاید در اثری از اریستایئوس درباره ی مکانهای هندسی در فضا بوده است. 

صفحه 60:
او توکیوس در شرح خود برکتاب کره واستوانه ی ارشمیدس.مجموعه بسیار ارزشمندی از راه حلهای اين مسئله معروف رابرای ما محفوظ دانسته است. **يكى از انان اراتستن است وبه صورتی معرفی شده که در واقعه نامه ای است از او برای بطلمیوس. این کاغذ فرضی روایت مربوط به پیدایش این مسئله وتاریخ حل آن تا زمان اراتستن را به دست می دهد. 

صفحه 61:
آرخوتاس از ميان همه راهِ حلها .راه حل آرخوتاس جالب توجه تر است.. مخصوصضاً از لحاظ تاريخ أن (نيمه اول قرن جهارم ق م) , پیدا کردن نقطه ای در فضای سه بعدی از تقاطع سه سطح(1) یک مخروط قائم ,(2)یک استوانه ,(3) یک چنبره یا لنگر با قطر دایره درونی صفر,عملی جسورانه بوده است. مقطع دو سطح اخیر (به گفته آرخوتاس)یک منحنی (در واقع یک منحنی با انحنای مضاعف) است. و تقطه مطلوب نقطه ای است كه در أن مخروط آين منحنی را قطع می کند. 

صفحه 62:
فرض کنید که مقصود یافتن دو واسطه هندسی میان ۸0,۸۵۴باشد که اولى به صورت قطر یک دایره داده شده است و دومی به صورت وترى از أن دايره. 

صفحه 63:
#نیم دایره ای به قطر »۸ ولی در صفحه عمود بر صفحه دایره ۸8بر آن عمود است به اندازه یک زاویه قائمه دوران می دهیم ,بنابراین نیمی از یک چنبره با قطر درونی صفر ساخته ایم.سپس یک نیم استوانه قائم به قائده نیم دایره ۸5 می سازیم .این نیم استوانه نیم چنبره را در یک منحنی قطع می کندو بالاخره ,1]0)مماس بر دایره 6 در نقطه را امتداد می دهیم تا در 0با امتداد 8تلاقی کند؛ و فرض می کنیم که مثلت ‎pADC‏ 248 محور-۸دوران کند. بدین گونه سطح یک مخروط قائم مستدیر به وجود می آید. 

صفحه 64:
#نقطه8در ضمن این دوران, نیم دایره 80۴را در صفحه ای عمود بر ۸۵و عمود بر صفحه ‎exw SABC‏ خواهیم کرد ؛و قطر 8۶ بر ۸6عمود خواهد بود. سطح مخروط در نقطه ای همچون منحنی فصل مشترک نیم استوانه ونیم چنبره را قطع می کند . فرض می کنیم که ۸۵6 وضع متناظر با نیم دایره در حال دوران باشد.و۸0 محیط دایره 6 اردرالاقطع کند, 

صفحه 65:
*ائو توکیوس در شرح خود برکتاب کره واستوانه ی ارشمیدس.مجموعه بسیار ارزشمندی از راه حلهای اين مسئه معروف رابرای ما محفوظ دانسته است: 3 4 یکی از انان آزانستن است وبه صورتی معرقى شده كه در واقعه نامة أي ار كاغذ فرضى روايت مربوط به بيدايش. اين مسئله وتاريخ حل آن تا زمان اراتستن به دست می دهد. 

صفحه 66:
‎ple‏ ۷ عمود بر صفحه دایره۸8رسم شده باشد.می بایست محیط آن دایره را قطع کند,بدان جهت که ۴بر نیم استوانه قائم به قائده۸8قرار دارد. فرض کنیم که نیم دایره ]80را در 0قطع کرده باشد,و۸ قطر را درلا. اما هر دو نیم دایره بر صفحه دایره 0 عمودند؛بنابراین فصل مشترک آنهاءیعنی لام)نیز بر صفحه دایره عمود خواهد شد. بنا براين 010 هم بر /عمود است. چون !0۱ بر 3اعمود است. ‏بنا براین زاویه ۸01قائمه ‏است. ‎ly‏ زاويه ۸۳6 ز 50 ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 67:
بنا بر تشابه مثلثها چنین داریم: ۵دو نسبتهاً بنا بر | ‎eae‏ ست. نسبت مکعبی به یال ۸۵۳به مکعبی به یال همچون نسبت )۸به۸8خواهد بود. در حالت خا 0-2۸0 حواهيم دا داشت 22 -ومسئله کل شده =. 

صفحه 68:
© راه حل آنوده کسوس متاسفانه مفتود شده انست درمضمونی از اراتستن آمده است که ائووکسوس گونه خاصی از منحنی را به کار بره است. ائوتوکیوس ‎[ple‏ ‏صورتی از اين راه حل را که نادرست بوده ,دیده بوده است.چه میگوید درعین آنکه ائودوکسوس در مقدمه گفتار خودمدعی کشف راه حلی از طریق (خطهای منحنی) شده بوده, 

صفحه 69:
*ولی نه تنها چنین خطهایی را دراثبات خود به کار خودنبرده,بلکه عملا از یک نسبت گسسته به صورتی که گویی پیوسته است استفاده کرده است قسمت اخیر این گفته مارا ناگزیر به اين فرض میکند که منبع اطلاعات ائوتوکیوس به نحوی ناقص بوده است,چه این مطلب قابل تصور نیست که ریاضیدانی با توانایی ائودوکسوس 

صفحه 70:
منایخموس یکی ازبرادران دینوستراتوس که مربع ساز را برای تربیع دایره به کار برده,یکی از شاگردان ائودکسوس بوده است.گفته اندکه اسکندر از او خواسته بوده که راه میانبری برای فراگرفتن هندسه به او بنماید واو در جواب وی گفته بود:اعلی حضرتا,برای عبور از اين سرزمین راههایی برای عبور شاه وجود دارد وراههای دیگر برای عموم شهروندان,ولی در هندسه تنها یک راه در اختیار همگان است. 

صفحه 71:
#به همین گونه ونه در روایات آمده است که اقلیدس نیزبه بطلمیوس گفته بود که برای فرا گرفتن هندسه راه شاهانه وجود ندارد.[ منایخموس از طریق پروکلوس با آموکلاس, هراکلیایی ودینستراتوس ارتباط پیدا میکند که(تمامی هندسه را تکمیل تر کنند). 

صفحه 72:
وی درباره فن آوری ریاضیات چیزهایی نوشته است: درباره معنی واژه اصل بحث كرده و از تمايز ميان قضيه ها ومسئله ها وانعكاس يذيرى قضيه ها ونظايز اينهاسخن كفته است. ولى اهميت او براى ما دراين واقعيت است كه نخستين بحث درباره قطوع مخروطى خواص انها درراه حلهاى وى از مسئله دو واسطه هندسى در نوشته هاى اوديده مى شود: بنابز اين تا انجا كه مى دانيم وى نخستين كسى بوده است كه أنها را كشف كرده است. 

صفحه 73:
<< مت خواصی که وی عملا به کار برده است,خصوصیت عرضی یکآسهمی وخصوصیت مجانبی نک هدلولی قائم الزاویه است.اگر»دو/ادو واسطه هندسی میان دو خط راست‌دوداباشند, يعنى: 7 عدط 2و , ‎x*2=ay‏ ‏اتوم 

صفحه 74:
#خواص سهمی و هذلولی که منایخموس به کار برده است,دقیقا همانهایی هستند که از اين روابط به دست می ایند وقتی که<و۷مختصات دکارتی مربوط به محورهای مختصات متعامد باشند.در نخستین راه حل مسئله منایخموس از دومین وسومین نسبت ازاین نسبتها استفاده کرده است,ودر دومین راه حل مسئله از اولین ودومین. 

صفحه 75:
فرض می کنیم دو خط 0۸و08 که با یکدیگر زاویه قائم میسازند.معرف دو خط که راست باشند 0۵۸۵بز رگ ار 08‌اختیاز نشده است. فرض مي کنیم مسئله حل شده واز دو واسطه هندسی یکی 0)باشد در امتداد اندازه گیری شده ودیگری 01 که در ۱-:۵۵۸۰۱ ۱: ‎ae als‏ شده است.مستطیل ۵۱۱را ‎y‏ 

صفحه 76:
AO:0M=0M:ON=ON:0B پس چنین خواهیم داشت: OB.O ON ۳۷ لذا بر یک سهمی به راس0۵)ومحور0 وضلع قائم08قرار دارد. ‎AO.OB=OM.ON=PN.PM‏ 

صفحه 77:
#لذامبر يى هذلولى به مركز 0ومجانبهاى 01و00 قرار گرفته وبه كونه اي اميت كه مستطیل جاصل از دو خط۲۲ول(۴ که از یک نقطه ۴ ازمنحنی به موازات یک مجانب اكشيده ميشود وبه ترتیب مجانب دیگر را قطع میکند,برابر با مستطیل داده شده ى80.08است. << بنا براين داده ها ترسيم ‎pct‏ نقطع از ‎GAG‏ آنها به دیست من آرد ‎ ‏۶ و داریم: 

صفحه 78:
دراین حالت دو سهمی رسم میکنیم یعنی (1)یک سهمی به راس ومحور لا)وضلع قائم .(2) 0۸سهمی دیگر به راس 0ومحورالا0وضلع قائم08. 

صفحه 79:
0 #چون ‎yaiz Uljl PM=ON gPN=OM‏ نتیجه میشودکه:0۱۷)ول۵ واسطه های هندسی مطلوب میان 0۸و08 خواهند بود. ‎OA:0M=OM:ON=ON:OB‏ 

صفحه 80:
#اين راه حل که تنها ائوتوکیوس أن را به دست آورده يا به آن اشاره کرده,مشکل بتواند منسوب به افلاطون باشداگر چه سبب این تصور ما تنها آن باشد که افلاطون اصولا با به کار بردن وسایل مکانیکی در حل مسائل هندسه مخالف بوده ومی گفته است که این کار بر حسن ونیکی هندسه لطمه میزند. ممکن است حل آن در آکادمی به دست یکی از معاصران منایخموس یا جوان تر از او صورت گرفته باشد. 

صفحه 81:
©تنظيم شكل با دو خط داده شده ودر واسطه ميان آنها درست همان است که در شکل منایخموس آمده است: آن دو خط به شکل خطهای راستی تنظیم شده اند که بر یکدیگر عمودند و چون در جهت حرکت عقربه ساعت اختیار شوند کمیت آنها جنبه نزولی دارد.اختلاف در آن است که آنچه منایخموس به وسیله قطوع مخروطی انجام داده,دراینجا به وسیله اسیایی مکانیکی صورت گرفته که شبيه به آبزاری است که کفاشان برای آندازه گرفتن طول پا به کار میبردند. 

صفحه 82:
© زاویه قائمه صلبامثلا) ساخته شده از چوباست ۲ (بستنماستکه موكواند در [متداد ع 6 جر كتكند. فلن هميش نالا 6 موادي وود بر 9۴ ای مادم بایستیدستگاه را چنان‌قرار دهیم که لبه درونی!6‌هميشه از ثبگنرد. ولبه دروتمل(شه) (متوجه به 6) هميشه از ۸ بگذرد.و سپس در لین رلیط )دستگاه و بشنهمراه آن‌را چنان‌حرکندهيم تا (1) زاویه درونیدرت بر امتداد 0۸قرار كيرد و(2) زامیه دروتی(یه طرفه) وابر لمتداد 08 (ملین کار بدون‌شکن یازمند مقداریدستکای>»لست) سس حماه خط 0۸ و//(0 و01 و03 همان‌وضعی شکلهاءمنایخموس‌وجود ‎pl subls‏ ‎‘2=MO.OB,0A.0ON-OM%2 ®&‏ هت ‏© بنابراين: ‎AO:MO=MO:ON=ON:NB® ‎ ‎ 

صفحه 83:
*اين نیز یک ساختمان مکانیکی است. وآن عبارت از یک چارچوب مستطیل شکلی است که بر آن سه متوازی الاضلاع (یا سه مثلث که نیمه ای از آنهاست) با ارتفاعی برابر با عرض چارچوب می لغزند. متوازی الاضلاعها با مثلثها هميشه چنان حرکت میکنند که قاعده های آنها یک بالایی, چارچوب)ومی توانند بر روی یکدیگر بلغزند. 

صفحه 84:
وضع اولیه متوازی الاضلاعها ومثلئها در شکل 1نشان داده شده است.(۸/و۴۷اضلاع چارچوب اند: ۳۲ و۱۱0۳ (نیمه های متوازی الاضلاعهای ۴ ولاوت00))مثلثهایی هستند که در امتداد چارچوب AM ۸ 9 ve (1) 

صفحه 85:
درشکل 2نتیجه لغزیدن همه مثلثها جز نخستین آنها (که ثابت بر جای خود قرار گرفته)از اوضاع اولیه تا اوضاعی که پس از لغزیدن بر روی یکدیگر اختیار کرده اند به صورت ۸۱60,۵۱۴انشان داده شده اند ۰فرض می کنیم که ۵۴ و0۲۷ [عمود بر ۴۷) در شکل 2 دو خط مستقیم داده شده اند . فرض می کنیم که !۱ ۵۲۱ وضع مثلث ۲۱ادرآن حالتی باشد که 0۲ازامی گذرد ,و ۱۱6۸۷" چنین وضعی از مثلث ۱۱6۲ ,به صورتی باشد که نقطه های قون)که در آنها ۷۱۴ و6101 و6/اولا” لابه ترتيب يكديكر را قطع مى كنند ,با دو نقطه 4ولاهمه بر يى خط راست قرار كرفته باشند. 0هرا امتداد مى دهيم تالاعارا در نقطه >اقطع كند © دراين صورت © ا ع1فتت18171- 18:81 20181 0 م ۷۷۲ A 

صفحه 86:
۴و به همین گونه 8۲:06:0۳ بنا براین (۸۵۴,)6,5۳,۲۲با یکدیگر نسبتهای متوالی دارند و5)),, همان واسطه های هندسی خواسته شده اند.طنز اراتستن از خواننده می خواهد که به کار دشوار استوانه های آرخوتاس يا بریدن مخروط به سه صورت منایخموس یا به ساختن اشکالی از خطوط منحنی از گونه ای که ائودوکسوس آنها را شرح کرده است نپردازد. اين را نیز می افزاید که همان چارچوبی که در بالا برای راه حل اراتستن به کار برده شده ,به ما امکان می دهد به همان گونه,هر عده ای از واسطه ها را در نسبت متوالی وارد عمل کنیم. 

صفحه 87:
#از ائو توكيوس اين كونه كسب اطلاع كرده ايم كه نیکومدس درست به همان اندازه از راه حل خود راضی بوده و به آن می بالیده وراه دیگران را تحقیر می کرده که ‎Vi!‏ پیش از وی چنین می کرده است. راه حل نیکو مدس بستگی به نوعی گرایش دارد که او در صدف وار خودش به کار برده است 

صفحه 88:
#اگر ۸8,8به وضع عمود بر یکدیگر گرفته شده باشند,متوازی الاضلاع ‎LABCL‏ کامل می کنیم. دو خط در دو نقطه ۶,دانصف می کنیم:خط واصل ‎ule‏ ابارا چندان امتداد می دهیم تا 8را در نقطه 6 قطع کند.خط ۴]راعمودیر 36اچنان رسم می کنیم که ۳<۸۵۷).خط ۲را می کشیم وا۲را به موازات آن رسم می کنیم . حال از نقطه ۲خط ۲۲۱ را رسم می کنیم تالارادرااوت8رادر)اچنان قطع کند که ‎HK=CF=AD‏ (واب ین کار توسط یک منحنی صدف ‎ie‏ پذیر می شود که در آن ۳قطب است ولام(اخط کت )1 ((فاصله)) برابر باللهیا),در این صورت بنا بر خاصیت صدف وار ‎(abLols)=KH.‏ 

صفحه 89:
©كارا به اوصلموكنيم و خط اكارا جندانامتداد مئدهيم تادر اللاخطقادرا قطع كند.در لمينحال01>,1/14) واسطه هاىهندسىمطلوب خواهند بود. زيرا جون80 در نقطه تانصفشهده وتا >اامتداديافته سرك خ باع - 2 + ع0 + 81.0 ©با افزودن 2->5ابه هر دو طرف اين معادله جنين خواهيم داشت ‎BK.KC+CF*2=KF*2‏ MA:AB=ML:LK=BC:CK,s jlgio bgla> a, az5i b Jb © MA:AD=CG:CK=FH:HK, ‏س‎ AB=2ADsBC=1/2CG uly © N 5 MD;DA=FK:HK ‏ودر نتيجه‎ 

صفحه 90:
#ولی بنا بر ساختمان ۲-۸۵0۰ : پس ۵۲۷و ۲۱۵22-۴۷2 ‎MD*2=BM.MA+DA%2 LI®‏ و با توجه به روابط بالا ۳۱222 بنابراین 816.1 <2 ۱۵۸ ۳8۰/۸۵۲ ۶2+ ‏#ولی ۸9-6۲ ‎BM.MA=BK.KC pw ® ‎CK:MA=BM:BK=LC:CK il psl® ‎BM:BK=MA‘AL ‏#درصورتی که داریم‎ LC:CK=CK:MA=MA:AL oul sli AB:CK=CK:MA=MA:BCL, ‎ 

صفحه 91:
اپولو نیوس؛هرون,فیلون بیزانسی دراین راه حلهایی را با هم می آوریم که واقعاً هم ارز یکدیگرند. فرض کنید که)۸8,۸عمود بر یکدیگردو خط راست داده شده باشند. مستطیل۸08را کامل مکی نقطهتامحل تقاطع دو قطر آن است.ذا دایره ای به مرکز ]و با شعاع 8 بر مربع مستطیل ۸8۲محیط خواهد بود . حال(آپولونیوس)فرض می کنیم که دایره ای ‎a‏ ‏مرکز چنان رسم شود که امتدادهای 8۸,۸رادر 6,أقطع کند,و نقاط ۴,0,6بر یک خط راست قرار گیرند. یا (هرون)خط کشی را چنان قرار مر وآن را چندان برگرد 0 می چرخاند ‏ ‎LJAB.AC‏ > دو نقطه 6 قطح كنت برابر از نقطه ۴قرار گیرند. 

صفحه 92:
#یا (فیلون)خط کش را برگرد داچندان می چرخاند که امتدادهای ۸58,۸۵ودایره محیط بر مستطیل ۸8۲را به ترتیب درا6,۲,چنان قطع کندکه ۲,۳۱۵با یکدیگر برابر شوند.(هر سه این ساختمان ها ,نقاط واحد ۳,6را به دست مى دهند.)حال بايد .نخست ,ثابت كنيم كه ‎AF.FB=AG.GC‏ *(1)با توجه به ساختمانهای آپولونیوس وهرون,اگر نقطه)اوسط ۸8باشد, چنین خواهیم داشت 82-۳72 +۴8 ۸۳۰ #که چون ۶2ارا به هر دو طرف معادله بیفزاییم,چنین به دست می ‎AF EB+BE*2=EF*2 sal‏ وبه همین ‎ AG.GC+CE*2=EG*2aigf‏ ولی ‎EF=EG‏ و ‎BE=CE‏ پس ‎AF.FB=AG.GC‏ 

صفحه 93:
#(ب)با توجه به ساختمان فیلون ,چون61۱-۴0 ۲۱۴۰۴2 ولی‌چون‌دایره 80۳۱6از#می‌گذرد. ‎DG.GH=AG.GC gHF.FD=AF.FB‏ بنابرلین‌همچون ‎FA:AG=CG:FB azuis 399 AF.FB=AG.GC isa‏ #ولی بنا »_ ‎FA:AG=DC:CG=FB:BD, lgilis aLins‏ AB:CG=CG:FB=FB:ACL® 

صفحه 94:
#دیوکلس و پیچک وار _ دیوکلس از لحاظ تاریخ بعد از اپولونیوس و قبل از گمینوس (شکوقایی70ق م) بوده است, چه گمینونس منحنی خود را پیچک وار(سیسوئید) ,((شبیه برگ پیچک)) توصیف کرده است. ائوتوکیوس دو فقره از کتاب دیوکلس,درباره آیینه های سوزان,را نقل کرده استیکی از آن دو مشتمل بر حل مسئله تقسیم کره به وسیله قطوع مخروطی با یک صفحه به صورتی که حجمهای دو قطعه به دست آمده از آن نسبت معینی با یکدیگر داشته باشندو دیگری راه حل مسئله دو واسطه هندسی از طریق یک منحنی ‎Sau‏ (یا پیچک وار)است. 

صفحه 95:
منحنی وار بدین گونه ساخته می شود,تا,۸8دو قطر پر یکدیگر از یک دایره هستند و۴,عبه ترتیب دو نقطه از محیط آن که در ربعهای 80,8از دایره به صورتی جای دارند که قوسهای 8,85 مساوى با يكديكّرند. دو خط ا ا 0 را مى كشيم تا 1اتارادر نقطه ‎Say ee ae‏ ن هندسی نقطه 0است وقتى كه عبر 

صفحه 96:
‎{SI‏ نقطه ای باشد که از طریق ساختمان بالا به دست آمده است,مطلوب اثبات این مطلب است که ‎92FH,HC‏ ‏واسطه هندسی میان ۲۱۳,]۱۲۱اهستند, یعنی ‎s9y jIDH:HF=HF:HC=HC:HP‏ این ساختمان به وضوح دیده می شود که ‎ox, EG=FH gDG=HC‏ 00:62 اما ۳۲۷ یک واسطه هندسی میان ,۲۳۱ 6است., بنا بر اين : :ع ۰ ۳۱:۳۳ آوبنا بر ‎CG:GE=CH:HP, lgilie alia‏ ‎DH:HF=HF:CH=CH:HPyw, ‏چون ۳۱۰۳۱۳۱۲۱۴۰۳۱ ,اگر شعاع دایره را باونشان دهیم ‎wale a LiOH=x, HP=y Sly‏ دیگر اگر 08,06را دو محور مختصات فرض کنیم ,چنین خواهیم داشت: ‎y?(a+x)=(a—x)? L a—x)).(x?—a?)y=V((a+x‏ ‏که معادله منحنی ‎Say‏ وار است. ‎ 

صفحه 97:
این منحني درح‌یک نقطه بازگشت دارد ,و خط مماس بر دایره در ایک خط مجانب آن است. فرض می کنیم که اين پیچک وار ذر شکل با یک منحنی نقطه چین نمایش داده شده باشد. دیوکلس بدین گونه نشان داد که چگونه دو واسظه هندسی میان دو راست رورا نی توانیم بیدا کنیم :ارابر08چنان اختیار می کنیم که 10:0۵:6 را رسم می کنیم وآن را امتداد می دهیم تا پیچک وار زا جزمقطع کند. از 0عزض 1 وعادو واسطه هندسیمیان۱۵,د]اخواهند )29 . ‎DM: MQ=DO:0K=aibg‏ برای یافتن دو واسطه هندسی میان 0,خطهای راست ۷,»«راکه به ترتیب همان نسبتى را با 6و الا = دارند كه وبا/حاوطبا۵ دارد ‎٠.‏ به دست مى آوريم ؛در اين صورت و/اواسطه هندسی مطلوب میان 0,خواهند بود. 

صفحه 98:
5 اين راه حلها كه جداگانه توسط ائوتوکپوس داده شده ,واقعاً یکی هستند , ونیز در واقع همان راه حل دیوکلس است. تفاوت در آن است که اسپوروس و پاپوس از پیچک وار استفاده نکرده اند,بلکه خط کشی را به کار برده اند که آن را بر گرد‌چندان می چرخانند تا امتداد خططارادر0و امتداد08 را در آو دایره را در ق قططع کند وقطعات ۵1,۲8برابر با یکدیگر شوند. پاپوس اسپروس را می شناخته ,و احتمال دارد که استاد یا شاگردان او بوده است . از گزارش خود پاپوس چنین استنباط می شود که امتیاز حل مسئله از آن خود او بوده است. 

صفحه 99: