ترسیم های هندسی در عالم اسلامی

ترسیم های هندسی در عالم اسلامی

اسلاید 1: ترسیمهای هندسی در عالم اسلامیاستاد راهنما:دکتر مجتبی آقاییگردآورندگان:طاهره رفیعیزهرا منتظریمژگان خاتمی

اسلاید 2: آپولونیوس آپولونيوسِ پِرگايي (262ـ190ق‌م،( ریاضیدان و ستاره شناس یونانی که مقاطع مخروطی و حرکات سیاره‌ای از زمینه‌های موردتوجه او بودند. نام وي در منابع اسلامي بيشتر به صورت بَلينوس يا بَليناس و نيز به صورتهاي اَبُولُونْيوس، اَفُولُونيوس، اَبْلينَس، اَبُولوس، اَبُلُّونيوس آمده است . معاصرانش او را (مهندس بزرگ) مي‌ناميدند. برخي از دانشمندان اسلامي لقب نجّار به وي داده‌اند. او به تکمیل نوعی ساعت آفتابی که خطوط ساعتی آن روی یک سطح مخروطی کشیده شده بودند هم پرداخت.

اسلاید 3: وی در زمینه هندسه مقاطع مخروطی کار کرد و این هندسه کمک زیادی به اختر شناسان نمود . اواز همان برهانهای یونانی استفاده نمود اما به نتایج تازه و جالبی درمورد هندسه مقاطع مخروطی دست یافت. مشهورترين اثر وي كتاب مخروطات است كه در نوع خود مهم‌ترين اثر علمي زمان وي به شمار مي‌رفته و تا قرنها مورد استفاده بوده است. وي مبحث مقاطع مخروطي را كه در پژوهشهاي هندسه‌دانان گذشته ناقص مانده بود، تكميل كرد و اصطلاحات Parabola) ) شلجمي يا سهمی ،( Hyperbola)هُذلولي و Ellips ))بيضي را وارد دانش مخروطات ساخت.

اسلاید 4: بخش مهمي از اثار آپولونيوس در سده‌هاي نخستينِ هجري به زبان عربي ترجمه شده است، ولي اكنون نه از اين ترجمه‌ها چيزي به جاي مانده است نه از اصل يوناني آنها. عنوان عربي قسمتي از اين آثار چنين است: رساله في قطع السّطوح علي النّسبه، رساله في النّسبه المحدوده، رساله في الدّوائر المماسّه.

اسلاید 5: آپولونیوس اغلب ازخطوط مرجع برای مطالعه راجع به مقاطع مخروطی استفاده می کرد. برای مثال اوبیضی را به وسیله اندازه گیری فاصله درطول قطرویک خط مماس دربیضی که عمود برقطررسم می شود مطالعه می کرد.

اسلاید 6: سیستم اندازه گیری آپولونیوس بسیار شبیه ؟کار می کند.اما چندین تفاوت مهم با آن وجوددارد: اول: خطوط مرجع آپولونیوس همیشه زاویه ندارد گاهی مایلند.

اسلاید 7: دوم: آپولونیوس از اعداد منفی استفاده نمی کرد .او تنها از یک راه می توانست در طول خطوط مرجع حرکت کند . تفاوت عمده: آپولونیوس ابتدا همیشه منحنی را رسم می کرد وسپس خطوط را به آن اضافه می کرد اما امروزه ما ممکن است محورهای ؟ را کشیده و سپس سهمی یا هذلولی را رسم کنیم اما برای این کار نیاز به معادله ی سهمی یا هذلولی داریم. آپولونیوس از جبر استفاده نمی کرد بنابراین می بایست در مورد هندسه بدون رسم مطالعه می کرد.

اسلاید 8: نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوسقاعده یک سطح مخروطی دو پارچه از خطوط مستقیمی که بر نقاط محیط یک دایره، به نام قاعده، و نقطۀ ثابتی غیر واقع بر صفحۀ قاعده می گذرند، تشکیل می شود. هر یک از خطوط مستقیم را، یک مولد سطح، نقطۀ ثابت را رأس آن، و خط مستقیمی مار بر رأس و مرکز قاعده را محور می نامند. یک مخروط جسمی است که توسط بخشی از سطح مخروطی دو پارچه که بین رأس و قاعده قرار دارد، محصور می شود.مولّدرأسمحور

اسلاید 9: اقلیدس و ارشمیدس هر دو پیش از آپولونیوس دربارۀ مقاطع مخروطی چیز نوشتند، اما در بحثهای آنان از مقاطع مخروطی، مخروط همان به اصطلاح مخروط قائم بود که در آن، محور بر دایره قاعده عمود است. سپس این مخروط قائم به وسیلۀ صفحه ای عمود بر یک مولد قطع داده می شد، و به این ترتیب یک مقطع مستوی به دست می آمد، و نوع مقطع به زاویۀ رأس مخروط بستگی داشت. بنابراین در دنیای باستان، مقاطع مخروطی اشکال مسطحه بودند، در حالی که ما به مرزهای این اشکال مسطحه نظر داریم و مقاطع مخروطی را منحنی تلقی می کنیم.

اسلاید 10: آپولونیوس این روش تولید مقاطع مخروطی را با در نظر گرفتن مقاطع مسطحه ای از یک مخروط دو پارچۀ دلخواه که محور آن ممکن است نسبت به قاعده مایل باشد، تعمیم داد و نشان داد که به این ترتیب صرف نظر از دایره، تنها سه سطح مخروطی شناخته شده می توانند به وجود آیند.آپولونیوس در شروع کتاب مقطع مخروطی اش، از این حقیقت استفاده کرد که این شکلها مقطعهای یک مخروطند و منظور او تنها آن بود که خواص مقدماتی این مقاطع را، که آنها را «علائم» نامیده، اثبات کند. قاعدهمولّدرأسمحورنظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس

اسلاید 11: بنابر گفتۀ آپولونیوس، یک سهمی مقطع مشترک یک مخروط و یک صفحه است وقتی که صفحه با یکی از مولدهای مخروط موازی باشد. و هذلولی هر یک از دو مقطع مشترکی است که وقتی صفحه با هر دو قسمت مخروط دو پارچه تلاقی می کند، تشکیل می شود. در هر یک از دو مقطع مخروطی، خطی که دو نقطه بر مرز را به هم وصل می کند، وتر نامیده می شود.

اسلاید 12: AUVYFZEBآپولونیوس نشان داد که اواسط همۀ وترهای موازی با وتری ثابت، بر خط مستقیمی واقعند و اگر این خط مستقیم مرز را در A قطع کند، مماس در A با همۀ وترها موازی است.این خط مستقیم، قطر مقطع و محل تلاقی یک قطر با مرز، رأس مقطع مخروطی نامیده می شود.نیم وترهایی که در یک طرف قطر قرار دارند، عرضهای این قطر نامیده می شوند. وقتی عرضها بر این قطر عمود باشند، چنین قطری منحصر به فرد است و محور نامیده می شود.

اسلاید 13: AUVYFZEBxدر شکل روبرو، EF یکی از قطرهاست، YZ و UV با EF موازی اند.AB قطر مار بر اواسط این قطرهاست. XY یکی از این عرضها برای قطر AB ، و خط CD محور است.CD

اسلاید 14: AUVYFZEBDxدر مورد سهمی قطرها همه با محور CD موازی اند. فرض کنید AB قطری مفروض، Xنقطه ای دلخواه بر AB و XY عرض در X باشند.آپولونیوس نشان داد که با قطر AB پاره خط ثابتی مانند p متناظر است به طوری که ضلع دیگر مستطیلی که با مربعی به ضلع XY مساوی و یکی از اضلاع آن با AX برابر است، دقیقاً با p یکی است پاره خط p پارامتر(ضلع قائم) متعلق به قطر AB نام دارد. اگر قرار دهیم AX=x و XY= y ، آنگاه علامت آپولونیوس به صورت معادلۀ نوین p.x=y2 در می آید.Cxyعلائم سهمی

اسلاید 15: در اینجا منحنی دارای یک مرکز است که همان نقطه واقع بر محور است که در وسط خط واصل بین رأسهای دو مقطع قرار دارد. هر خط مار بر این مرکز، یک قطر است و مرکز آن، بخشی از یک قطر را که بین دو شاخۀ مقطع قرار دارد، نصف می کند.فرض کنید c و c’ دو سر بخشی از یک قطر بین دو شاخه منحنی باشند، و a=CC’ که ضلع مایل نامیده می شود. C’Caعلائم هذلولی

اسلاید 16: C’PECxYapآپولونیوس ثابت کردکه ، متناظر با a پاره خطی مانند p با خصوصیّت زیر موجود است:مستطیلی به ضلع CX که با مربعی به ضلع XY، یکی از عرضها برابر باشد، ضلع دیگرش از p بیشتر خواهد بود.بعلاوه، مستطیلی که اضلاع آن زیادتی این ضلع از p و CX است(مستطیل آبی رنگ) با مستطیلی که اضلاع آنa و p هستند، متشابه است. بنابر این s ، ضلع دیگر ، در تناسب a : CX=p :s ، یعنی s=(p/a).CX صدق می کند.

اسلاید 17: C’PECxY برای اینکه بفهمیم معنی هندسی علامت هذلولی چیست، فرض کنید که C’ سر قطر و CP پارامتر باشد.همچنین فرض کنید که عمود بر CX در X خط C’P را در E قطع کند.در اینصورت، علامت آپولونیوس ایجاب می کند که مستطیل به اضلاع CX و XE برابر (xy)2 باشد.باز، اگر قرار دهیم CX=x و XY=y، علامت به صورتY2=(p+s)x=px+(p/a)x2در می آید، که معادلۀ نوینی برای هذلولی است.x

اسلاید 18: موارد عمدۀ کاربرد مقاطع مخروطی (به جز دایره) هم در دنیای یونان و هم در دنیای اسلام در ترسیمهای هندسی، نظریۀ ساعتهای آفتابی، و آینه هایی بود که نور را برای سوزانیدن در نقطه ای متمرکز می کردند. استفاده از بیضی در نجوم برای طرحریزی مسیرهای سیارات در اوایل سدۀ هفدهم میلادی به وسیلۀ کپلر معمول شد. کاربردهای مقاطع مخروطی

اسلاید 19: ارشمیدس کار را با مربع ABDG و قطر BG آن شروع می کند. BADGرسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

اسلاید 20: و سپس ستاره ای را حولD می چرخاند.به طوری که ستاره قطر BG ، ضلع AG و امتدادضلع BA را به ترتیب در نقاط T ، E ، و z قطع کند. و به طوری که مساحت (AEZ) ∆ برابر مساحت (DTG) ∆ باشد. BADGZETرسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

اسلاید 21: سرانجام، KTL را به موازات AG رسم می کند. سپس ثابت می کند که K و A پاره خط BZ را طوری تقسیم می کنند که سه پاره خط BK ،KA و AZ بتوانند مثلثی تشکیل دهند. و به طوری که BA .BK =ZA2 و KZ .KA = KB2 . BDTLGKAZEرسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

اسلاید 22: بنابر این، (KHA) ∆ را طوری تشکیل دهیدکه: KH=KB و AH=AZ و دایرۀ BHZ را بر B ، H ، Z رسم کنید. ارشمیدس ثابت می کند که BH یک هفتم محیط دایره است.BDTLGKAZEHرسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس

اسلاید 23: این ترسیم همان قدر که مسئله حل می کند، همان قدر هم مسئله ایجاد می کند. البته اگر ستاره ای را حول D در حال چرخش تصور کنیم به طوری که از نقاط بین A و G عبور می کند، وقتی به طرف A حرکت می کند، (AEZ) ∆ می تواند به اندازۀ دلخواهی کوچک شود. در حالی که (DTG) ∆ به یک چهارم مربع میل می کند. BDTLGKAZEH

اسلاید 24: از سوی دیگر، وقتی ستاره به G نزدیکتر می شودٍ، (AEZ) ∆ به اندازۀ دلخواهی بزرگ و (DTG) ∆ به اندازۀ دلخواهی کوچک می شود. BDTLGKAZEH

اسلاید 25: بنابراین، در یک وضعیت بینابینی، دو مثلث برابر خواهند بود و لذا روش ارشمیدس، بیشتر یک برهان وجودی است، تا یک ترسیم. بنابراین، مسئله به عنوان مسئله ای که در حدود 1200 سال بصورت ترسیمی حل نشده، باقی ماند.

اسلاید 26: ابوسهل به مسئلۀ ترسیم هفت ضلعی منتظمی که با علاقه و تجربۀ او در مقاطع مخروطی سازگاری داشت، توجه کرد و ملاحظه نمود که جوابی در مقاطع مخروطی برای آن وجود دارد. روش او ملهم از برهان ارشمیدس بود، و وقتی از ترسیم هفت ضلعی به عنوان مسئله ای یاد می کند که هیچ هندسه دانی پیش از او، «حتی ارشمیدس» قادر به حل آن نبوده، بدون تردید اشارۀ او عملاً به مسئله ترسیمی است که روش ارشمیدس آن را ایجاب می کند.تحلیل ابوسهل

اسلاید 27: روش ابوسهل آن است که ابتدا مسئله را تحلیل کند، یعنی فرض کند که هفت ضلعی ترسیم شده و در جهت عکس، با استفاده از سلسله استنتاجهایی که با حفظ درستی قابل معکوس شدن هستند، استدلال نماید. او نشان می دهد که چگونه هر ترسیم خاصی را که در محدودۀ هیچ نظریه ای نمی گنجد، می توان در نظریۀ مقاطع مخروطی داخل کرد. چنین عملی در یک کاسه کردن روشهای ریاضی متفاوت، جوهرۀ اصلی پیشرفتهای ریاضی است.تحلیل ابوسهل

اسلاید 28: فرض کنید که در دایرۀ ABG قادر به ترسیم ضلع BG یک هفت ضلعی منتظم شده باشیم. وAB=2BG.پس کمان 3BG=ABG ، و چون BG یک هفتم کل محیط است، ADG=4BG .GBADاولین تحویل: از هفت ضلعی به مثلث

اسلاید 29: بنابر قضیه 33 مقالۀ Ⅳ اصول اقلیدس، زوایای (ABG) ∆ روی محیط متناسب با کمانهای متقابل به آنهاست، و بنابراین B=4A در حالی که G=2A . در نتیجه، ترسیم اصلی به مسئلۀ ترسیم مثلثی که زوایایش به نسبت 4:2:1 باشد تحویل می شود.GBADاولین تحویل: از هفت ضلعی به مثلث

اسلاید 30: فرض کنید ABG مثلثی باشد بطوری که B=2G=4A. ودایره ای به مرکز B و شعاع AB ودایره ای به مرکز G و شعاع AG رسم میکنیم. BGرا از دو طرف امتداد دهید به طوری که دایره ها را از دو طرف قطع کند.مثلث AED را کامل کنید.ٍEBGDAدومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اسلاید 31: هدف اساسی برهان این است که نشان دهیم A2 =D تا اینکه دو مثلث ABG و DBA متشابه باشند. ٍEGDBA2دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اسلاید 32: سپس باید نشان دهیم که 1A1 =G تا اینکه مثلثهای AEB و GEA متشابه باشند. بعد از انجام این کار، با توجه به تشابه اول، DB/BA=AB/BG و، باتوجه به تشابه دوم، GE/AE=AE/BE ٍEGDBA211دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اسلاید 33: بنابراین نتیجه می شود که EA2=GE.EB و BA2=DB.BG ولی چون AB=BE ، E=BAE=G و اولی به صورت BE2=DB.BG در می آید زیرا BA=BE .ٍEGDBA211دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اسلاید 34: بنابراین به محض اینکه نشان دهیم A=D و BAE=G ، نشان داده ایم که ترسیم هفت ضلعی منتظم، مستلزم پاره خطی مانند EB در دو نقطۀ B ،G است به طوری که(1) GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2ٍEGDBA1122دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اسلاید 35: اما در مورد زوایا، توجه کنید که AGB زایۀ خارجی مثلث متساوی الساقین AGD است، که در آن AG=GD ، به طوری که BGA=DAG+D=2DٍEGDBA*دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اسلاید 36: اما می دانیم که BGA=2A ، بنابراین A=D . در مورد زاویۀ دیگر، ملاحظه کنید که B زاویۀ خارجی مثلث متساوی الساقین ABE است، بنابراین B=2BAE درحالی که در همان حال، B=2G ، بنابراین BAE=G .ٍEGDBA11*22دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط

اسلاید 37: فرض کنید ED پاره خطی باشد که در B ، G تقسیم شده است. به طوری که(1) GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2 (1) و (2) بالا صادق باشند. EBGDسومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

اسلاید 38: ABZ را بر ED عمود کنید با AB=BG و BZ=GD ، و سپس مستطیل BZTE را کامل کنید. در این صورت ZA.AB=DB.BG=BE2 ، و چون AB=BG و BE=TZ ، می توانیم بنویسیم ZA.BG=TZ2 که حاکی از این است که T بر یک سهمی به رأس A و پارامتر BG قرار دارد.TZEBGADسومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

اسلاید 39: از سوی دیگر، بنابر (1) GE.EB=GD2 ؛ اما GD=BZ=ET، لذا GE.EB=ET2 بنابر این T بر هذلولی ای واقع است که رأس آن B و ضلع مورب و پارامتر آن هر دو مساوی پاره خط BG اند.TZEBGADسومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

اسلاید 40: تحلیل ما، اینک ما را به دو مقطع مخروطی رهنمون شده است- یک سهمی و یک هذلولی- که هر دو با تقسیم ED در B ،G معین شده اند. T، نقطۀ تلاقی این دو مقطع مخروطی، طولهای ET و TZ را معین می کند، و این دو دوپاره خط باقیماندۀ GD=ET و EB=TZ را به وجود می آورند با این ویژگی که خط EBGD در B و G تقسیم شده است بطوریکه (1) و (2) صادق باشند. TZEBGADسومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

اسلاید 41: بنابراین با مفروض بودن BG ، ضلع هفت ضلعی که می خواهیم بسازیم، می توان پاره خط EBGD ، سپس (ABG) ∆، و سرانجام هفت ضلعی را بسازیم. البته به محض اینکه هفت ضلعی در یک دایره ترسیم شد، می توان بنابر تشابه آن را در هر دایرۀ دیگر ترسیم کرد.TZEBGADسومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی

اسلاید 42: ترسیم نه ضلعی منتظم حالت خاصی از تثلیث زاویه است، زیرا زاویۀ مرکزی یک نه ضلعی 3600 /9 =1200 /3 است. اما 1200 زاویۀ مرکزی مقابل به یک ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره است، لذا نه ضلعی منتظم را در یک دایره می توان با تثلیث این زاویه ترسیم کرد. این مطلب بر یونانیان باستان معلوم بود، و پاپوس اسکندرانی سه روش برای تثلیث زاویه می دهد که در همۀ آنها از مقاطع مخروطی استفاده می شود. ظاهراً تنها روش باستانی را که به دانشمندان مسلمان منتقل شده، می توان در آثار ثابت بن قره و حامی و همکار او احمدبن شاکر یافت.ترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم

اسلاید 43: در یک ترسیم گرایشی، دو منحنی، معمولاً خطوط راست یا کمانهایی از دایره، نقطۀ P غیر واقع بر این منحنیها و نیز پاره خط راست AB به ما داده می شود. ABCDpترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم

اسلاید 44: مسئله عبارت از ترسیم پاره خط راست CD=AB است. به طوری که مورب CD به سمت نقطۀ P گرایش داشته باشد، یعنی، وقتی امتداد دهیم از نقطۀ P بگذرد.ABCDpترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم

اسلاید 45: در این بخش توجه خود را به اثری از ابراهیم بن بستان، دربارۀ رسم مقاطع مخروطی معطوف خواهیم کرد. این اثر شامل بحث دقیقی از نحوۀ رسم سهمی و بیضی، و نیز سه روش دربارۀ رسم هذلولی، همراه با براهین آنهاست. شاید ارائۀ اینهمه روش برای هذلولی به آن سبب بوده که هذلولی مورد علاقۀ ابزارسازان بوده است. از این اثر دو نمونه انتخاب خواهیم کرد، یکی که به ترسیم سهمی می پردازد، که برای ترسیم آینه های محرق مورد نیاز است، و دیگری یکی از سه روش رسم هذلولی را می دهد.ترسیم مقاطع مخروطی

اسلاید 46: روش ابراهیم چنین است:روی خط AG پاره خط ثابت AB را جدا کنید.BE را عمود بر AB رسم کنید.اینک برBG نقاط H ،D ،Z ، و... را به تعداد دلخواه انتخاب کنید.با شروع از H ، نیمدایره به قطر AH را رسم ، و فرض کنید که عمود BE آن را در T قطع کند.ABHGETDZابراهیم بن بستان و سهمی

اسلاید 47: 5 .از T خطی به موازات AB رسم کنید.6 .از H خطی به موازات BE رسم کنید.فرض کنید این خطها یکدیگر را در K قطع کنند.7 .سپس نیمدایره ای به قطر AD رسم، و فرض کنید که این نیمدایره BE را در I قطع کند. ABHDZGEkTIابراهیم بن بستان و سهمی

اسلاید 48: 8 .خطوطی از I و D به ترتیب به موازات AG و BE رسم، و فرض کنید که این دو خط یکدیگر را در L قطع کنند.9 . همین عمل ترسیم را در مورد نقاط باقی ماندۀ Z ،... انجام دهید تا نقاط متناظر را بدست آورید. در این صورت نقاط B ، K،L،M،... روی سهمی به رأس B، محور BG، و پارامتر AB قرار دارند. اگر K’،L’،M’،... انتخاب شوند به طوری که KH=HK’، LD=DL’، MZ=ZM’ ،...، در اینصورت آنها هم روی سهمی قرار دارند.ABTIkLMHDZGEK’L’M’

اسلاید 49: نیمدایره ای که قطر آن پاره خط ثابت AB است رسم کنید.ABرا از سمت B امتداد دهید. بر نیمۀ این نیمدایره ابتدا از نقطۀ B،نقاط G،D،H،... را اختیار کنید.ABHDGابراهیم بن بستان و هذلولی

اسلاید 50: بر هر یک از این نقاط مماسهای GZ،DT،HI،... را بر نیمدایره رسم کنید.فرض کنید این مماسها امتداد قطر را به ترتیب در Z،T،I،... قطع کنند.خطهای راست متوازی ZK،TL،IM،... را به طوری که زاویۀ دلخواهی با خط AB تشکیل دهند، از این نقاط رسم کنید.ABTZHDGIMLKابراهیم بن بستان و هذلولی

اسلاید 51: بر روی این خطها و در یک طرف AB، پاره خطهای ZK=GZ، TL=DT، IM=HI،... را جدا کنید. در این صورت نقاط K،L،M، ... بر هذلولی واقعند.ABTZHDGIMLkابراهیم بن بستان و هذلولی

اسلاید 52: در واقع چون خطوط GZ،DT،HI،... مماسهایی بر یک دایره اند، از قضیۀ 36 مقالۀ سوم اصول اقلیدس نتیجه می شود که GZ2=ZB.ZA ، DT2=TB.TA، HI2=IB.IA،... و چون KZ=ZB، و غیره، نتیجه می شود که KZ2 =ZB.ZA، LT2=TB.TA وMI2=IB.IA .ABTZHDGIMLkابراهیم بن بستان و هذلولی

اسلاید 53: KZ2 =ZB.ZA ، LT2=TB.TA وMI2=IB.IA . بنابر علامت هذلولی که پیشتر داده شد، این رابطه ها حاکی از آن هستند که B،K،L،M، ... روی هذلولی ای قرار دارند که AB قطر آن است، کلیۀ عرضهای آن زاویه های مساوی با KZG با قطر می سازند و پارامتر و اضلاع مایل آن هر دو برابر AB هستند.ABTZHDGIMLkابراهیم بن بستان و هذلولی

اسلاید 54: در اینجا نیز، بقیۀ یک شاخۀ هذلولی را می توان صرفاً با امتداد دادن KZ، LT،MI،... به اندازه های برابر و در آن سوی ABG تا نقاط K’،L’،M’،... رسم کرد.ABTZHDGIMLkM’L’K’ابراهیم بن بستان و هذلولی

اسلاید 55: جنبه از تمدن اسلامی که همواره بیگانگان را تحت تأثیر قرار داده، طرحهای بدیعی است که روی چوب، کاشی، یا موزائیک ایجاد شده و به وفور در سرتاسر عالم اسلامی به چشم می خورد. مثلاً کاشیکاریهای منظم و استثنایی صفحه که در الحمرای گرانادا در اسپانیا دیده می شود. تحسین جهانیان را برانگیخته است.مثلاً در ترجمۀ عربی هشتمین مقالۀ مجموعۀ ریاضی پاپوس اسکندرانی بخش بسیار جالب توجهی دربارۀ ترسیمهای هندسی وجود دارد که تنها با استفاده ستاره و پرگاری با فرجۀ ثابت که گاهی « پرگار زنگ زده» نامیده می شود، امکان پذیرند.بعد اسلامی: هندسه با پرگار

اسلاید 56: ترسیم عمودی از انتهای Aی پاره خط AB بر این پاره خط، بدون آنکه این پاره خط فراتر از A امتداد داده شود.طرز عمل. روی AB پاره خط AC را بوسیلۀ پرگار جدا کنید، و با همان فرجه، دایره هایی به مرکزهای A وC رسم کنید تا یکدیگر را در D قطع کنند. CD را از طرف D تا E امتداد دهید به طوری که ED=DC. در این صورت CAE قائمه است.مسئلۀ 1ABCDE

اسلاید 57: برهان. مرکز دایره ای که از E،A،C می گذرد، نقطۀ D است زیرا DC=DA=DE. بنابراین EC قطری از این دایره است و در نتیجه EAC زاویه ای محاط در یک نیمدایره و بنابراین قائمه است.ABCDE

اسلاید 58: تقسیم پاره خطی به چند جزء برابر.طرز عمل. فرض کنید که مطلوب پاره خط AB به اجزای برابر AG=GD=DB باشند. در هر یک از دو سر پاره خط عمودهای AE و BZ را در دو جهت مخالف اخراج و بر روی آنها پاره خطهای برابر AH=HE=BT=TZ را جدا کنید. به وسیلۀ پاره خطهای راستی H را به Z و E را به T وصل کنید که AB را به ترتیب در G وD قطع کنند. در این صورت AG=GD=DB.مسئلۀ 2ABHEGDTZ

اسلاید 59: برهان. AHG و BTD دو مثلث قائم الزاویه اند و زاویه های G و D ( و بنابراین زوایای H وT ) آنها با هم برابرند. بعلاوه، HA=BT . بنابراین این مثلثها مساوی اند و در نتیجه AG=BD. همچنین توازی HG و ED ایجاب می کند که مثلثهای AHG و AED متشابه باشند، و بنابراین DG/GA=EH/HA. اما، EH=HA و در نتیجه DG=GA. ABHEGDTZ

اسلاید 60: نصف کردن زاویۀ مفروض ABG.طرز عمل. این روش اقلیدسی (اصول، مقالۀ اول، قضیۀ 9) متضمن جدا کردن پاره خطهای برابر AB، AG، بر دو ضلع زاویه،ترسیم متساوی الاضلاعی روی BG، و سپس وصل کردن A،D است تا زاویه را نصف کند. بنابر صورت دیگری از این مسئله، منسوب به ابوالوفا، مثلث BGD متساوی الساقین است با BD=DG=AB، و این طول مشترک برابر با گشادگی ثابت پرگار است.مسئلۀ 3AGBD

اسلاید 61: ترسیم مربعی در دایرۀ مفروض.طرز عمل. مرکز S دایره را پیدا و قطر ASG را رسم کنید. دهانۀ پرگار را به اندازۀ شعاع باز کنید و کمانهای AZ، AE، GT، و GH را جدا کنید و خطوط ZE و TH را که قطر را در I و K قطع می کنند، رسم کنید، و سپس قطر مار بر S و M را رسم نمایید. فرض کنید که این قطرها در نقاط D و B با دایره برخورد کند. در این صورت ADGB مربع خواهد بود.مسئلۀ 4GABHESIKTMZD

اسلاید 62: برهان. چون ZA=AE، قطر GA کمان ZE را نصف می کند و بنابراین GA بر ZE، وتر این کمان، عمود است. به همین نحو، GA بر TH عمود است، و لذا TKI و ZIK قائمه اند. چون TH و ZE وترهای کمانهای مساوی اند، لذا باهم برابرند و در نتیجه نصفهای آنها، یعنی TK و ZI با هم برابرند و چون موازی نیز هستند، شکل TKIZ مستطیل است. بنابراین قطرهای ZK و TI در آن برابرند و یکدیگر را نصف می کنند، و در نتیجه MI=MK، یعنی (MKI) ∆ متساوی الساقین است. GABHESIKTMZD

اسلاید 63: چون وترهای مساوی ZE و TH از مرکز دایره هم فاصله اند، KS=SI، و لذا مثلث متساوی الساقین MKI، خط MS ضلع KI را نصف می کند و لذا بر این ضلع عمود است. بنابراین قطر DB بر قطر GA عمود و ZDGB مربع است.GABHESIKTMZD

اسلاید 64: با تشکر از توجه استاد محترم و دانشجویان عزیز