تکانه زاویه‌ای (فصل هفتم)

بسم هللا الرحمن الرحیم بسم هللا الرحمن ا لرحیم :ارائه دهندگان مهدیه صادقی لیال کسائی شیوا کبیری فصل هفتم تکانه زاویه ای فهرست مطالب ویژه ,مقادیر و عناصر ماتریسی1.7 2.7شکل صریح عملگر های تکانه زاویه ای ا,ندازه ,ح,رک,تزاویه ,ا,ی 3.7 ا,سپین 4.7 5.7چرخش های محدود 6.7چرخش به اندازه 2 7.7جمع تکانه زاویه ای 8.7حرکت چرخشی یک جسم صلب 1.7ر ماتریسی,ادیروعناص, مق,ویژه J J   iJ x , J y iJ z  7.1a y ,J z  7.1b x  J z , J x  iJ y  7.1c این سه عملگر خود الحاقی (هرمیتی) هستند.   2 2 2 2 J  J .J  J x  J y  J z   J 2 , J 0  J 2  , m  2  , m J z  , m m , m  7.3a  7.3b این ها معادالت ویژه مقداری اند  m2  7.4 J   J x  iJ y  7.5a J   J x  iJ y  7.5b  j m j وجود داردm تا2 j  1 تعداد،j براي هر مقدار از میدانیم که: j j, m  j j  1  m m 1  ( j  m 1)( j  m) 1 2 1 2 j, m 1 j, m 1  . J  j, m j( j  1)  m(m 1  ( j  m 1)( j  m) 12 1 2 j, m 1  j, m 1  . 1/ 2   j , m j j, m  j j  1  m m 1  j , j m,m1 ش,,کلص,,ریح عملگر هایت,,,کانه ,زاویه ,ا,ی 2.7 ‏  ‏ ‏Rn ( ) ei n.J /  عملگر یکانی دوران تابع حالت یک مولفه ای ‏R ( X )  (R 1x), وارون ماتریس دوران Rفقطمحدود به دوران حول محور Zبه اندازه زاویه  باشد  cos  Rz     sin  0   sin cos 0 0  0 1  x  xcos  ysin      1 R  y   xsin  ycos   z   z     1 iJ z /     x   x, y, z  y     x   ... x JZ = i (x / y  y / x). y تابع حالت چند مولفه ای ‏ 1(R 1 X )  ‏ 1( X )  ‏ ‏ ‏  ( X ) ‏1 ‏  D 2 (R X ) ‏R 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏  ‏in.s /  .که ) S (Sx , Sy , Sz ‏Dn ( ) e ماتریس هرمیتی است قسمت مداری هر کدام از مولفه ها را دوران می دهد و قسمت اسپینی ‏  :ترکیب خطی ایجاد می کند ‏i n.L /  . ‏Dn   ازمقایسه با تعریف Rداریم: ‏Rn ( ) e ‏   ‏J L  S 3.7ی, ا,تزاویه,رک, ح,ندازه,ا    L Q P L , L  i  L , LZ QX Py  Qy Px q1  Qx  Py q2  2 Qx  Py 2 p1  P1  px  Qy 2 Px  Qy 2 1 2 1 2 2 LZ  (P1  q1 )  ( p2  q22 ) 2 2 P12 1 H1   m112q12 2m1 2 P22 1 H2   m2 22q22 2m2 2 Lz  H1  H2  H1, H2  0 1  H1 n1, n2  n1   n1, n2 2  1  H2 n1, n2  n2   n1, n2 2  Lz n1, n2  n1  n2  n1, n2 4.7سپین,ا 1 S   2 12 S=حالت . ماتریس های پائولی هستند ( x, y , z )  n (sin cos ,sin sin , cos )  cos n.   i  e sin e i sin    cos   Sn   n 2 ویژه مقادیر   n n  1 ویژه بردار  n ها ی  e i / 2 cos( ) 2  i / 2 sin( )  e 2  و  e i / 2 sin( )  2  i / 2  ) cos(  e 2 3 1    1  ak k  2  k1  Tr  =1      ak ak  0 1    1 a12  a22  a32 2   0  a 1  داریم  ماتریس ازباز کردن:  i Tr  i  aرا بردار قطبش می نامیم ‏ i ai ‏a=1متناظربا حالت های خالص وحالت های امیخته متناظر با a=0است. ‏a3 حال,ت ناخالص ‏a2 حالت خالص ‏a1 S=1 حالت  0 1 0 0  i 0  1 0 0  1 1 Sx   1 0 1 , Sy   i 0  i , SZ   0 0 0  2 2  0 1 0  0 i  0 0  1 0    i  cos sine     1 n.s   sinei 0 2   1  0 sinei 2   0, 1 2 0 sine i  cos    1  , 2    1  i  sin  e  2      0 cos  مثال    1 sinei   2   چرخشهای محدود5.7  دوران کلی  iJ z  iJ y  iJ z R ,  ,  Rz   Ry    Rz   e e e 1  A UAU استRZ   همانu تبدیل یافته دوران اول است پس. J y J y  Rz   J y Rz 1   Rj     Rz   Ry    Rz     J z  Ry    Rz    J z  Ry    Rz     Rz     Ry    Rz   Rz    Rz     Ry     1 R ,  ,   Rz   Ry    Rz    ماتریس های چرخش j, m R ,  ,  j, m  j, j Dm j,m ,  ,  Dm j,m ,  ,   j, m e iJ z e iJy e iJz j, m  1   1  i J y  im  im  j  2    j   Dm  ,  ,   e e j , m e j, m e i mm dm m m    2 Jy =  iJ y e 1  y 2 1  i y   exp( ) 1cos( )  i y sin( ) = d 2    2 2 2  cos  2,  d1 2       sin  2,  j=1  sin  2    cos  2   exp  iSy  1   Sy  1 cos   iSy sin 2 1 1   1  cos  ,  ( ) sin ,  2 2   1 1 d     ( ) sin , cos , 2  1 1  1 cos ,  ( ) sin , 2  2  1 1 cos   2   1  ( ) sin  2   1 1 cos   2  R ,  ,  j, m  j , m j , m R ,  ,  j, m  j, m Dm jm j ,m m ماتریس چرخش هنگامی ظاهر میشود که یک عملگر چرخش روی یک ویژه بردار اندازه حرکت اعمال میشود رابطه برای هماهنگ های کروی در نمایش مختصات  x    x m m  , l, m Yl  ,  l, m ها در نمایش مختصاتYl n̂ nˆ  R  ,   , 0 zˆ Y nˆ  R , ,0 l , m l , m zˆ l,m Yl m  ,   Dml ,m  , ,0Ylm  0,  m,0 m Yl m  ,   2l  1 l Dm,0  , ,0 4 m l 7.6دوران به اندازه 2 ‏z ‏n̂  ‏ ‏y ‏x ‏ ˆ. j ‏ in دوران حول محور̂ nبه اندازه  ‏j, m ‏ R1(2 ), A 0 ‏ i 2jn ‏Rnˆ   e ‏Rn  2  j, m e ‏1 ‏R(2 ) AR (2 )  A پس همه مشاهده پذیرها با دوران به اندازه 2 جابه جامیشوند H  H  H صحیحj زیر فضای مناسب با غیر صحیحjزیر فضای مناسب با   2in.J /  Rn (2 ) e   H R(2 )      H R(2 )    و H_ Hفضای در دو زیر عناصرماتریسی محاسبه A   R 2 , A  0  A   A  R(2 ) A    AR(2 )   A  A ,   A 0 صفراست و بنا بر این عناصر ماتریسی در پایه های ابرانتخاب نام دارد که قاعده. i   e   R(2 ) A    AR(2 )    A   A   A 7.7جمع اندازه حرکت زاویه ای دستگاهی شامل دو ذره 1و2را با تکانه زاویه ای J 1و J 2درنظر می گیریم. ‏ 2 ‏j2,m2 ‏1 ‏j1, j2,m1,m2  j1,m1 2 2 چهار عملگر J 2z , J 1z , J 2 , J 1با یکدیگر جابه جا شده ومجموعه کامل تکانه زاویه ای عملگر های جابه جا شونده را تشکیل میدهندکه ویژه بردارهای کل .مشترک انها j1, j2 , m1, m2است ‏ 2 عملگرJ 12, J 22, J 2, J چهار ‏z ‏J ‏1 ‏J J نیزبا یکدیگر جابه جا شده ومجموعه کامل عملگر های جا به جا شونده را تشکیل می دهند که ویژه بردار ‏j1, j2, J , M است .مشترک انها به ازای Mهای مختلف چه تعداد بردار  , J , Mوجوددارد؟ میخ,وا,هیم ,درجه ,ت,,,بهگنی ‏M ‏g Mرا ب,,,را,یب,,,ه ,ازا,یمقادیر J .z .مختلف ب,,,دستاوریم, ‏J M ‏g 1 ‏M J 1  J 2 ‏M  J 1  J 2  1 g  2 ‏ ‏M  J 1  J 2  g 1 اگر M  J 1  J 2انگاه gبه بیشترین مقدار میرسد ‏g 2J 2  1 اگر ضرایب Clebsch -Gordan :بسط بردارهای پایه جدید بر حسب پایه های قبل * ‏j1, j2 , J , M   j1, j2 , m1, m2  j1, j2 , m1, m2 j1, j2 , J , M. ‏m1,m2 ض,,را,یبب,,,سطClebsch –Gordan .ماتریس مربوط به ضرایب باال یونیتاری است :شرایط غیر صفر بودن ضرایب ‏m1  m2 M يك عدد صحيح j1  j2  J  ‏j1  j2  J  j1  j2  j , j ,m,m J , M  j , j ,m,m 1 2 1 2 1 2 1 j , j2, J , M. 2 1 می خواهیم ضرایب را بدست اوریم: : 1( لت,,ا,رینح,,, ت,اده,, سj1  j2  12 m1 m2  12 op state:J=M=1 1  2 J  J   J  * از 1 1 1 1 1 1 1 1 (1) 1 1 (2), , ,1,1 ( , , , 1,1) ,  ,  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ویژه بردارها باید نرماالیز باشند در نتیجه ضریب بسط که حقیقی ومثبت .است باید یک باشد بنابراین 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ,1,1  , , ,  ,  , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ‏J راروی اثر می دهیم 1 , 1 ,1,1 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏ 2 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 ‏1 ‏ ‏ 12, 12 1 1 ‏ , 2 2 ‏ ‏ 2 1 1 , ,1,1  J 1  J  2 2 2 1 1 , 2 2 ‏ ‏1 .دوباره J را روی حالت بدست امده در باال اثر میدهیم ‏J 1 1 1 1 2 , ,1,0  , 2 2 2 2 ‏ 2 1 1 , 2 2 ‏1 1 1 1, 1  , 2 2 سه حالت بدست امده نسبت به جابه جایی دو ذره m1, m2متقارن اندکه به انها .حالت های سه تایی ( ) tripletمی گویند J  M 0 1 1 1 1 1  1 1 1 1  1  1 1  1 1 1 1  1 1 ‏ , ,0,0  , , , 0,0  , , ,  , , , 0,0 ‏ , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ‏ 2 2 2 2 2 2 2 2 ‏ ‏ ‏J=1 است که باید بر زیر فضای ‏J=0 این زیر فضای مربوط به عمود باشد (شرط تعامد ویژه بردارها) 1 ‏1 ‏  ,  2 2 حالت یکتایی از شرط تعامد 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1 1  , ,0,0  , , ‏ , ,  ‏ 2 2 2 2 2 2  2 2 2 2 2 .این حالت نسبت به جابجایی دو ذره متقارن نیست J,M 1,1 1,0 1,-1 0,0 1 1 , 2 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 -1 1 1  , 2 2 1 1  , 2 2  1 1 , 2 2 0 0 1 2 2 1 0 1 j-3 j  1   m1  j2 m2 j3  ( 1) j1 j2  m3 ( j1, j2 , m1, m2 j3  m3 ).  1/ 2 m3  (2J 3  1) 2 2 0 نماد عملگرهای تانسورهای کاهش نا پذیر مولفه های یک عملگر تانسوری کاهش نا پذیر ‏j, m Dm j,m ,  ,  . ‏j, m  ‏ ‏m ‏ )(1 ‏ :  K q K ‏j, m   j , m j , m R ,  ,  )(k ‏q ‏T ‏R ,  ,  ‏j,m ‏ R, S 0 )R( ,  ,)Tq(k) R 1( ,  ,)  Tq(k) Dq(k,q) ( ,  , ‏q :برای مثال ‏ R, S 0 ‏S 0 0 ‏T ‏K=0 ‏1 ‏R( ,  ,)SR ( ,  ,) S اسکالر های فیزیکی تحت دوران ناوردا باقی میمانندوجابجایی انها بادوران صفر است T V )(1 ‏q ‏K=1 ‏q .بردار Vسه مولفه کروی دارد ‏q 1 2 )V 1 (Vx  iVy ‏VO Vz 1 2 )V1  (VX  iVy ‏R e iJ .n /  , 1 در رابطه ( )1به جای Rچرخش های بی نهایت کوچک را در نظر میگیریم :با جایگذاری به رابطه زیر میرسیم ‏ ˆ.J k, q  ‏ k, q n k, qکت J Zبا ویژه مقدار qاست )( k ‏nˆ.J ,T   T ) (K ‏q ‏q ‏q  مختلف در نظر می گیریمn سه:  nˆ  xˆ  J x,Tq k  Tqk k, q J x k, q q   nˆ  yˆ  J y ,Tq k   Tqk k, q J y k, q q   nˆ  zˆ  J z ,Tqk  qTg k از طرفی داریم: J   J n  iJy, J   J x  iJy J J J (k) , T  q ]  k  q)(k  q  1)  (k) , T qTq z q (k) (k) , T  q ]  k  q)(k  q  1) 1 2  1 2 Tg(K1) فرض کنید: k, q j, m  k, j, q, m = بسط میدهیمCGبر حسب ضرایب. k, j, J , M  k, j, q, mJ , M  J M , . را روی دو طرف معادله اثر میدهیمR R k, q  J , m Rk, j, J , M  (k, j, q, mJ , M). J M (k) ( j)  k , q  j , m  D ( R ) D  q,q m,m (R) q m (J )    k, j, J , M  DM ,M (R)(K, j, q, mJ , M). M J M A A= k, j, J , M   k, q  j, m  (k, j, q, m J , M) q m Clebsch-Gordan Series” Dq(kq) (R) Dm( jm) (R) (J )    (k, j, q, m J , M)DM ,M (R)(K , j, q, mJ , M). M J M حاصل ضرب ماتریس های چرخش به حاصل جمع ماتریس های چرخش تبدیل میشود.  j  j 1 :امد,ع,,, ت,ضیه,,{ قD ,v  R} D ,v  R dR 2 j  1  j, j   ,  v,v dR   D  R (J) M,M    Dq(k,q) (R)Dm( j,)m(R)dR (k, j, q, m J , M)(k, j, q, mJ , M)(2J  1) 1 dR * عناصرماتریس عملگرهای تانسوری (k) T انسوری,,,ت : مایشماتریسیعملگر,,ن q  , J , MTq k  , J , M   , J , M R RTq k R R  , J , M      D J   ,M   R  D kq  R D JM  R  , J ,  T k  , J ,  T  (k) q با استفاده ازرابطه* داریم:   , J , MTq(k)  , J , M   (2J   1) 1(J , K,  , J , M      , J ,  T(K ) t, J ,   (J , K, M, q J , M).   , J , MTq(k)  , J , M  , J  T ( K )  , J  (J , K, M, q J , M), ضرایب CG عنصر ماتریسی کاهش یافته به رابطه اخیر Wigner-Eckartمیگویند ساده ترین مثال قضیه :WE ‏S )(0 0 ‏T ‏K 0  ‏q 0 ‏  , J , M S , J , M)  , J S  , J   J ,J  M,M نمایش ماتریسی عملگر اسکالر قطری است رب تانسورها,ض (mL) ,  (qK ) دو عملگر تانسوری کاهش ناپذیر ( L) M :,Lاپذیرمرتبه,,انسورکاهشن,,, تT K q  (k,l, q, mL, M) X Z q m T   j, j, m, m0,0 X  mZm  j   m C G ضرایب T     j, j, m, m0,0 X  mj  Zm j  m (l ) m  j :بااستفاده از روابط قبل داریم ‏j 0 ‏ j ‏ ‏  j, j, m, m0,0 ‏ m  m 0 ‏jm ‏ j 0 j    1 ‏ ‏  1 ‏ m 0  m  2 j  1 2 ‏  ‏X.Z  3T   این رابطه نشان میدهد که حاصل ضرب دو عملگر برداری اسکالر خواهد بود