جبر و مقابله خیام

صفحه 1:


صفحه 2:
© اول بارجبر خيام»در سال 7282 توسط رياضيداني به نام ژراژمران .مورد توجه قرار گرفت. © آثار او تا حدي ارزشمند بوده است که رياضي داني به نام دکتر گارتز توجه محفقین را به آن جلب نموده است. 

صفحه 3:
:5 اجیر و مقابله چیست؟ © قديمي ترین کتاب جبر و مقابله در دوره اسلامي به خوارزمي مقسوب میشوذ.از نیدگاه او © جبر: عملي است که طي آن مفروق را از طرفي در معادله حذف و به طرف دیکر بیافزاییم. ‎٩‏ مقابله: عملي که طي آن شيء‌ها را از دو طرف معادله اسقاط مینموده است. ‏* وي عمل حل معادله درجه یک را جبر و مقابله نامیده است. 

صفحه 4:
خیام علاوه بر پذیرش تعریف خوارزمي » جبر و مقابله را علم استخراج مجهولات عددي و هندسي مي داند. وي معادله را از دو جهت حل میکند: () زمانیکه مجهول یک عدد باشد. ) در صورتیکه مجهول یک مقدار هندسي ( طول-سطح- حجم) باشد. از نظر وي حل معادله شامل دو قسمت است: حل معادله به معنايي که ما از اين لفظ استفاده میکنیم. ‎(G‏ تعیین شرايطي که باید ضرایب معادله درآن صدق کند.تاجواب معادله صحیح باشد. 

صفحه 5:
طبقه بندي معادلات: 0 خیام آواین كسي است که معادلات درجه لول و دوم و سوم را بر اساس تعداد جملاتشان به صورت زيرا طبقه بندي كرده است: 0) مفردات ( نوجمله اي ها) مدوم ند كر ‎Deux‏ ©) مقترنات سه جمله اي ها: ررك ‎Sta‏ اس + بر یعس +9 جرا + ير +6 بیع ‎aE axth‏ 9+0۵ )+ )+6 )2 نجع رود هدر 

صفحه 6:
:چهارجمله اي ها 0+ )- 6ق + 6 3,0 + )+۸9 )+ +3)- 0+ © )+ 00 . )+ )9+02 و عنبن بو AD=OMO+B xO تعدادي لز معادلات قبل از خیام توسط سقراط واقلیدس وخوارزمي حل شده ودر اين مورد 3 آن خود چيزي اضافه نکرده ولي روش او کاملتر است وبه طریق هندسي ثابت /بين+ © با بإتءرن+ ©6/,ر معادل است. 

صفحه 7:
در ‎Ja‏ معادلات نیاز داریم بدانیم که: مقصود از عدد در معادلات درجه دو سطحي است که یک ضلع آن یک و ضلع دیگر عدد مفروض باشد. هرگاه گفته شود عدد مساوي مجسمي است مراد از عدد مکعب مستطيلي است که قاعده اش مربعي به ضلع ) و ارتفاعش برابر عدد مفروض باشد. مجهول در یک معادله شيء ؛ حاصلضرب آن در خود مال ؛ حاصلضرب مال در شيء کعب و حاصلضرب مال در مال مال مال نامند. 

صفحه 8:
از دیدگاه خيام مراتب زیر معادلند: 

صفحه 9:
۲ داري حل عددي و هندسي یکسان و مشخص است. محر حل عددي: به کمک جدول مربعات حل هندسي: معادل كردن مريعي به ضلع بر با مستطيلي به اضلاع و و 4, ۲ Ls] 1 |} 

صفحه 10:
ادر شكل زير دو مثلث قايم الزاويه ©6069 و 811/0 در يك زاويه © أمشترك بودهءدر نتيجه داريم: AH CH men ()) FCB 0 Oe = OW WB 

صفحه 11:
براي حل هندسي معادله 2 ابتدا پاره خط را( را به طول » رسم کرده و سپس 1/60 را به اندازه یک رسم کرده وبه مرکز ‏ بلاوشعاع 2۷,60 یک کمان مي زنیم تا امتداد ,هرا در 0)قطع کند نیمدایره اي به قطر 909مي زنیم تا امتداد ,0) را در ()قطع کند بنابراین: ۱۹ = WOE = WO.0W = Caza 

صفحه 12:
ب۸۵2)( © حل عددي: ۰ لگر در خودش‌شرببشسود ©« حاصلميشود و نيز حاصلضرب» در ه برلبر ۸6 مطرح شد بنابرلين»-» میباشد. »حل هندسي : © مربي به ضلع »را » برابر ضلعش مطرح ميكنيم ومعادل با مربعي به سطح ۸0« قرار مي دهيم. ‎vee‏ مت |[ 

صفحه 13:
“YAO =ax عددي : 1 ‎x‏ ‎٩‏ همانطور که قبلا" بیان شد -ت- يعني با تبدیل ۵ ‎sD‏ ‎x3 x2 ۰‏ © ) جم حلمعادله با حل و-©"/,, معادللستٍ © حل هندسي : ۶ ”مرت معادل‌استبا لینکه حجم مكعبه ب را “6برلبر ضلعش(لد) مطرح كنيمءاز طرفيحجم لينمكعبب رلبر لستبا حاصلضربسطح مربع دج در ارتفاع لب بنابرلينبايد مساحتمربع دج برلبر *6 باشد (معادلبودزبا 62-©6). 

صفحه 14:
۸۵2 ۲ 8s © حل عددي : ‎VX Xe guage‏ اين معادله باوتمر معادل مي باشد. ‎xX‏ ‏»حل هندسي : © مكعب ه ب را معادل ©"(اب).» طرح ميكنيم » يس حجم ه ب از طرفي معادل خاصلضرب مربع اج در ب د و از طرف دیگر معادل سطح همین مربع درم است» پس ب د () برابرن میباشد. 

صفحه 15:
حل مقترنات معادلات سه جمله ای درجه دوم ومعادلات قابل تحویل به آنها روشی که خیام برای حل معادلات درجه دوم مانند رحو يوط مه وحبررا+ كر به کار میبرد همانند روشی است که خوارزمی ذکر کرده ولی خیام علاوه بر حل این معادلات به طریق هندسی ثابت کرده است محمررا+ كير معلل است پا عت + بر ‎toch Oo <—===pP Otu=bx‏ بردو جيرا + 

صفحه 16:
اثبات هندسی معادلات درجه سه قابل تحویل به درجه دو خیام ابتدا سه معادله را متجانس می کند یعنی ب را بوسیله سطحی و رارا به مدد طولی نمایش داده ومکعبها ی مورد نیاز را به ارتفاع >« رسم می کند. | ۰ 

صفحه 17:
حالت اول: 9+ ‏مجح‎ =. OtbxZa (0) ‏حجم مکعب )8( = حجم مکعب (9) + حجم مکعب‎ ‏وم‎ + bt = « ارتفاع هرسه مکعب >« است بنابراین تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : !+۸۵ 

صفحه 18:
عائل أسث ساحن + بر ‎a...‏ “رادي + ير + 4 ‎b 5‏ 5 3 ‎(e) (9)‏ )10 حجم مكعب (©) 2 حجممکب (0) ...+ حجم مکعب (0) ‎ox = bMS‏ + ۳9 ‎9g GaSe dary GLI‏ است بنابراین تساوي فوق زماني برقرار است که سطح قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : راب +۸۵ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 19:
سعائل لست وب عل لمكيل رحبي + كرو 0 ©) (9) (0) ‏حجممكعب (©) + حجم مکعب‎ = (OD) hee ‏مس‎ + ux = AD ‏ارتفاع هرسه مکعب ء« است بنابراین تساوي فوق زماني برقرار است که سطح‎ ‏قاعده ها برابر باشد یعنی داشته باشیم : وبا‎ 

صفحه 20:
اروش خیام برای حل معادلات درجه سوم: برای حل معادلات درجه سوم ابتدا خیام معادله را متجانس می کند به این صورت که 4 ضریب جمله درجه دوم (0) را بومیله طولي تیش مي دهد. 0 ضریب جمله درجه اول (0)) را بوسیله مربعی (۹6,) نمایش مي دهد. 0- جمله معلوم را در معادله ه56 بوسيله مكعب مستطيلى به قاعده مربع واحد وارتفاع مو در معادلات 0۵20+ و0۸ »026+ به مكعبي به ضلع ی ودرمعادله + )9-2 به وسيله مكعبمستطيلىكه ارتفاعش»ه وقاعده لش‌مریم باشدهمم<)) و بالاخره در باقی معادلات به مکعب مستطیلی که قاعده اش ‎(ODO. BU AG Qe‏ نمایش می دهد. 

صفحه 21:
و پس از اینکه معادله متجانس شد قطوع لازم برای حل هر معادله را از روی ضریب معادله تعیین کرده و از تقاطع آنها جواب مثبت معادله را بدست می آورد. ل خیام قطوع را کامل رسم نمی کرد وشاید همین یکی از عوامل پی نبردن او به اعداد منفى باشد. 

صفحه 22:
اصطلاحات: سهم : قسمتی از محور کانونی که در گودی منحنی قرار دارد. خط ترتیب : فاصله یک نقطه منحنی از محور کانونی. ضلع قائم : فاصله کانون سهمی از خط هادی که با 6 نشان داده مي شود. 

صفحه 23:
خیام قبل از شروع به حل معادلات درجه سه مقدمه ای شامل حل این سه مسئله ذکر می کند: ](- حل هندسي دستگاه ما 0 تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع مفروض 0۸6 ومعادل مکعب مستطیلی به قاعده ‎AO‏ وارتفاع با باشد. (0- تعیین هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع وارتفاعش | باشدوحجمش مساوی باشد با حجم مکعب مستطیل مفروضی که قاعده اش مربع ‎BAG‏ و ارتفاعش ۲ باشد. 

صفحه 24:
می کنیم 

صفحه 25:
© تعيين هندسى مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع مفروض ©"سومعادل مکعب مستطیلی به قاعده ©"/ط وارتفاع ! باشد. براي حل اين معادله بايد طولهاي ‎hyd‏ را چنان تعیین کنیم ‎TAS‏ ‎bthekk‏ , امحونط وسيس | را عمود برسطح ©5 قرارداده ومكعب را کامل میکنیم سا (وانه). (منط) ع 0 ‎DO‏ POG beth ‏ارح رمم جد‎ lee Casa gs 

صفحه 26:
© تعيين هندسی مکعب مستطیلی که قاعده آن مربع وارتفاعش | باشدوحجمش مساوی باشد با حجم مکعب مستطیل مفروضی که قاعده اش مربع ۸۵را و ارتفاعش " باشد, براي حل اين معادله بايد طولهاي ‎hyd‏ را چنان تعیین کنیم ‎TAS‏ ‎‘bw | btk=kk‏ وسپس | را بر »| عمود کرده ومکعب را کامل میکنیم () ۰ ()۳۵: ۸۵ ۳۵( ۳9 ۱ دومکعب معاذلند السام 77 ۱ ی 2 

صفحه 27:
راه حل خیام براي بعضي از معادلات درجه سه: 7 امعادله مدطالمر براي حل باید مقدار « ودر نتیجه مکعب (0) به ضلع »ر را چنان بيابیم که بامکعب (0) معادل شود: 

صفحه 28:
راه حل خیام براي بعضي از معادلات درجه سه: 7 معادله م۸9 قطوعی که خیام برای حل اين معادله به كار مى كيرد : ‎Oru.‏ ۲ — + \ 

صفحه 29:
© معادله ۵+0 یا ‎POCO‏ حل اين معادله برابر است با تعيين ‎٠‏ به ككونه اي كه: | + + q - ‏كه‎ 5 0 ) (9) جیم یکعب () ع حجممكعب (©) + حجم مکعب )0( كط = تست + 

صفحه 30:
تا چست رد6 

صفحه 31:
6 هه سر بنا براین دومکعب معادلند.به هر دو ۸6.»« را مي افزاییم : 0 مب(سی). ثرا ,+ 006 )ضوعت 'ر| ,+06 ‎wo‏ ,او نر + 0ل در واقع خيام دليره وسهمى با معادله زير را استفاده كرده است: (©:60("00)2:س) 0د بح 

صفحه 32:
‎oo‏ معادله ‎xQ=BxtO‏ يا ورا برو ردم ‏حل اين معادله برابر است با تعيين ‎٠‏ به ككونه اي كه: ‎ ‎ ‎ ‏۱ + | = 1 = 5 كه - )9( ) 0 حجم ‎es‏ )3( حجممكعب (©) = حجم مکعب )0( ‎ ‎ ‎ 

صفحه 33:
لازم برای حل: ‎Fete‏ ]4 راس ) وضلع قائم ما وسهم امتداد ما - هذلولي به راس ! وسهم امتداد ج ‏وضلع قائم و مایل 2 ‎ ‎On A= (p)(Viber)) =x: (er) 

صفحه 34:
تا (مسم سییر بنا براین دومکعب معادلند.به هر دو ©"اءى را مي افزاييم : ۳۸۵+ ‏سس هر‎ ۱ Oth SAO x 

صفحه 35:
که قبلا آذکر شد.ءخیام در حل معادلات از قطع مقاطع مخروطي استفاده مي کرده»ءوپکه اين قطوع را به این صورت دسته بندي کرده: OH MERE =O SOHO xHOZD xAO- JB? — توجه:در اين دسته بنديهاهر یک از ضرایب !1ج م > > مقادیر -) و ) را میپذیرد.البته | صفر هم میپذیرد. سهیسیلم د ۸+00 )۸۵ +) lables“ سهميو فلولي > موده 

صفحه 36:
دسته دوم تقسیم بندی ها: KADHOx4C+C=O ere ‏هلولی‌و‎ دو سهمی دو سهمى نيمدليره و ذلولى | ‏له‎ =O [VOHA A O=0 =p 00+ (5-0 => O+0=0x*OQ ==> نسح ۰-0 06+ ‏رج‎ GO 

صفحه 37:
دو هذلولی >— :3 ,)+۸۵ >= دو هذلولی ,)+ ,)+۸۵( 

صفحه 38: