ریاضی عمومی (۲)

ریاضی عمومی (۲)

اسلاید 1: لازم به تذکـــــر است به جهت این که Font بکاربرده شده در اسلاید ها B Nnazanin می باشد خواهشمندیم قبل از نمایش اسلایـــدها به نصب Font مذکور که در CD موجود می باشد اقدام نمایید.

اسلاید 2: نــام درس: رياضی عمومی (2) تعداد واحد: 4 واحدمؤلـف: محمد جلوداری ممقانی تهيه کننده: محسن ساعدیمنبع درس: کتاب رياضی عمومی (2)ناشــــر: دانشگاه پيـــــام نورنوع درس: پــــــــايه

اسلاید 3: کتاب حاضرشامل 5 فصل با عنا وين زيراست:فصل اول: دنباله وسریکه شامل 86 اسلاید می باشد.فصل دوم: هندسه تحلیلیکه شامل 100 اسلاید می باشد.فصل سوم: جبر خطیکه شامل147 اسلاید می باشد.فصل چهارم: رویه ها و دیگر دستگاههای مختصاتکه شامل 42 اسلاید می باشد.فصل پنجم: توابع برداری یک متغیرهکه شامل 104 اسلاید می باشد.فهرست مطالب

اسلاید 4: دنباله و سری از مفاهیم بنیادی حسـاب دیفرانسیل و انتگرال هستند. دانشجو در این درس با این مفاهیـــم ، مفاهیم وابسته و کاربردهای ساده آنها ، نظیر پیدا کردن حد برخی دنباله ها ، به دست آوردن مقدار تقریبی برخی اعداد و ... آشنا می شود.هدف کلی از ارائه این فصـل آشنا کردن دانشجو به طوری که مطالعه درسهای آنـالیز 1 و معــــادلات دیفرانســـیل برای آنان آسانتر و لذت بخشتـــر باشد.فصل اولدنباله ها و سری هاهدفهای کلی

اسلاید 5: دانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند :1- دنباله، دنبـــاله های صعودی،نزولـــی، و یکنــوا را تعــــريف و برای هرکـدام مثالــی ذکر کنــد.2- دنباله های همگـــــرا و واگــــرا را از هم باز بشنــاسد ، و در هـر مورد مثــال ارائــــه کنـــد.3- ثـــابت کند که هر دنبــــاله یکنــــوا و کرانـــــدار همگــــراســــت.4- ثــــابت کند که مجموع ، تفاضـل ، حاصلضرب ، و خـــــارج قسمت دو دنبـــــاله (بـــا مخرج غیر صفر) همگــــرا، دنبـــــاله ای همگـــــراست.هدفهای رفتاری:

اسلاید 6: 5- سری، جمــــله عمومی ســــری، مجمــــوع جزئیn ام سری،همگرایی و واگرایـــی ســـری را تعريـــف کنــــد.6- آزمــون کوشـــی برای همگرایی را را بیان کند و با استفاده از آن آزمون واگـــرایی را نتيجـه بگیرد. 7- آزمون همگـــرایی سریـــهای با جملـــه های نامنفــی و مجمـــــوع جــزئــی کرانـــــدار را بیـــان کنـــد. 8- انــــواع آزمونهای همگــــرایی ، آزمون مقایســــه ، آزمون نسبـــت ، آزمون ریشـــــه را بیان کنــــدو از آنها استفــــاده کنــــد.9- ثابت کند که سری واگرا و سری همگـراست.

اسلاید 7: 10- سریـــهای متناوب را شناسایی و آزمون همــــگرایی آنها را بیان کند و به کار برد11- همگرایــــی مطلق و مشروط را تعريف کند و نشان دهد که همگــــرایی مطلق همگرایی معمولی را ایجاب می کند .12- سریــــهای توان را تعريف کند . شعاع همگــرایی و بازه همگرایی را برای هـــر ســـری تــــوان را به دســت آورد.13- با سریـــــهای توان روی بازه همگــــرایی به عنوان یک تابع رفتار کند و تشخیـــص دهد که تحت چه شرایطی می توان حد ســـری تـوان را محاسبهکرد ، از آن مشتــــق یا انتـــگرال گرفت.

اسلاید 8: در ایــن بخش پس از معـــرفی دنبـــاله ، مفاهیم بنیادی وابستـــه به آن را بیــــان مـــی کنیم . در میان این مفاهیم ، همگـــرایی دنبــاله اهمیت ویـــژه ای دارد. در واقـــع، سعی خواهیـــم کرد که به هر دنباله ای عددی نسبــت دهیم ، اگر ایـــن کار امکان پذیر باشد می گوییم دنباله همگراست وگرنه دنبــــاله واگرا نامیده خـــواهد شد. به ایــــن ترتیب ،دنبــــاله ها را بــه دو دستــــه همـــگرا و واگــــرا تقسیــــم مـــی کنیــم. 1 . 1 دنباله

اسلاید 9: 1 . 1 . 1 تعريف فرض کنید A مجمــــوعه ای دلخواه باشد. تابـــع f با قلمرو N و برد A را یک دنباله در A می گوییم.مقـــدار f به ازای n را جمله عمومی دنبـــــاله f می نامیم و معمولا به صورت و.... نشـــان می دهیم.در تعريــف 1 . 1 . 1 اگر A=R یا ¢ A= آنــگاه دنباله را حقیقــی یا مختلط می نامیم.2 . 1 . 1 مثال :الف) دنباله یک دنباله از اعداد حقيقی و لذا یک دنباله حقیقی است . جمله عمومی این دنباله عبارت است از:

اسلاید 10: 4 . 1 . 1 تعريف :می گوییم دنباله حقیقی به عدد l همگراست اگر به ازای هر ، یک عدد طبیعی وجــود داشته باشــد که از نتيـجه می شــود:اگر دنباله به عددی همــگرا نباشـــد واگـــرا نامیـــده مـی شـود.5 . 1 . 1 گزارهاگر دنبـــاله به اعـــداد حقيقـــی l و همگـــرا باشد آنگاه .به عبارت دیگر ، هر دنباله می تواند حداکثر به یک عدد حقیقی همگرا باشد.

اسلاید 11: اثبات:فرض کنید و در تعريف همگرایی را مساوی با انتخاب کنید. در ایــن صـــــــورت وجـــود دارد کـــه از نتيـــجه مــی شود:حال با استفاده از نــامساوی مثلث و نامساوی های فـــوق به ازای داریمواگرا از این رو این یک تناقض است ، ولذا .با استفاده از این گزاره تعريف زیر را داریم.

اسلاید 12: 6 . 1 . 1 تعريف :اگر دنبـــاله به عدد l همگـــرا باشد مــی نویسیــــم:و مـــی گوییم l حد دنبـــاله است . همچنین این نمــاد را وقتــی به واگــــرا باشد نیز به کار می بریم . یعنی اگر به واگــرا باشــد آنگاه :

اسلاید 13: 7 . 1 . 1 مثال :الف) دنباله با به 0 همگراست.حل:برای مشاهده این امر ، را در نظر بگیرید و قرار دهید . که در آن [ ] نماد جزء صحیح است . در ایـــن صورت از و تعـــريف جزء صحیـــح نتيجه مــی شود که و لذا در نتيجه

اسلاید 14: 9 . 1 . 1 تعريف :الف) دنباله حقیقی را صعـــودی (نــزولی) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی n داشته باشیم :ب) دنباله را نا صعـــودی (نا نــــزولی ) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی n داشته باشیم:پ) دنباله را که دست کــم در یکـی از ویژگیهای (الف) یا (ب ) صدق کند، یکنوا می نامیم.

اسلاید 15: ت) دنباله را از بالا (پایین) کراندار مــی نامیم اگر عدد نامنفی M وجـــود داشته باشد که به ازای هــــر عدد طبیـعی n داشتـــه باشیم:ث) دنبالــه را کراندار می نامیـم اگر از بالا و از پایین کراندار باشد. دنبـــاله کـــه کرانـــدار نباشــــد ، بیـــکران نامیـــده می شــــود.

اسلاید 16: 10 . 1. 1 مثال :الف) دنباله صعودی است . زیرا به ازای هر عدد طبیعی n نامساوی n< n+1 برقرار است . این دنباله بی کران است .زیــرا به ازای هر عدد مثبت M ، و به ازای n=[M] داریم n+1>M .ب) دنباله صعـــودی است ، زیـــرا به ازای n=1 داریـــم:حـــال اگـــر n>1 آنــــگاه با توجـــه به نامســـاوی

اسلاید 17: به ازای هر عدد طبیعی n داریمیعنی صعـــودی است.پ) دنباله نزولی و کراندار است . در واقع به ازای هر عدد طبیعی n داریم نامساوی وسط حاکی از نــــزولی بودن دنبالـه و نامساوی کناری حاکی از کرانــــدار بودن آن هستنــــد.یا

اسلاید 18: 15 . 1 . 1 مثال :از مثال 7 . 1 . 1 می دانیم که دنباله با جمله عمومی واگراست. از طرف دیگر به ازای هر n داریم:و لذا این دنباله کراندار است .

اسلاید 19: 19 . 1 . 1 تعريف :دنباله را کوشی می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی وجـــود داشته باشـــد که از نتيجـــه مـــی شود20 . 1 . 1 مثال :دنباله کوشی است .حل: را در نظر می گیریم . به ازای هر دو عدد طبیعی n , m داریم

اسلاید 20: و از این رو با انتخاب و با استفاده از نامساوی طرف چپ داریم21. 1 . 1 قضيه :اگر یک دنبـــاله همــگرا و بر عکـــس اگر کوشــی باشـــد همـــگرا است . یا به اختـــصار: همــــگراست اگر وتنـــها اگر کـــوشـــی باشـــد.

اسلاید 21: 22 . 1 . 1 مثال :الف) دنباله با کوشی است ، زیرا همگراست.ب) چون به ازای 0<a<1 ، دنباله همگراست ، پس کوشی است .پ) دنباله بی کران ولذا واگراست و بنابراين کوشی نیست .

اسلاید 22: 2 . 1 قواعد محاسبه 1 . 2 . 1 قضيه :فرض کنید دنباله های به ترتیب به b , a همگرا باشند و c عددی دلخواه باشد . در این صورتالف) دنباله به a+b همگراست ، یعنیب) دنباله به ab همگراست ، یعنی:به ویژه

اسلاید 23: پ)اگر و به ازای هر n ، آنگاه به همگرا ست ، یعنی2 . 2 . 1 مثال :الف) را محاسبه کنید.حل:فرض کنید . چون پس

اسلاید 24: ب)را محاسبه کنید. حل:می نویسیم:حدهای صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم.بنابراين

اسلاید 25: 6 . 2 . 1 قضيه ساندویچیاگر دنباله هر دو به عـــدد a همـــــگرا باشند ، و دنباله چون به ازای هر n در صدق کند ، آنگاه نیز به همگراست.اثبات: را در نظر بگیرید. بنا به تعريف همگرایی ی وجود دارد که بنابراين اگر آنگاه بنابراين به a همگراست.

اسلاید 26: 7 . 2 . 1 مثال :الف) راپیدا کنید.حل:به ازای هر n داریمو لذا به ازای هر n داریمچون پس

اسلاید 27: ب) ثابت کنید . حل:دنباله را به صورت تعريف می کنیم . روشن است که به ازای هر n ، . داریم:بنابراين به ازای داریمیا

اسلاید 28: چون پس . بنابراين 8 . 2 . 1 قضيه :فرض کنید تابع رویD پیوسته و دنباله ای از اعضای D باشد که به همگراست . در این صورت دنباله بهf(a) همگراست.

اسلاید 29: 9 . 2 . 1 مثال :الف) تابــــع (رادیـــکال)روی پیــــوسته است . بنابراين داریمب) می دانیــــم که تابــــع f(x)=ln(1+x) روی x >-1 پیوستــــه است . همچنین می دانیم که . بنابراين همگراست و داریم:

اسلاید 30: 1 . 3 سریشرکتپذیری عمل جمع روی مجموعـــــه اعداد حقيقی (مختلط) موجب می شود که مجمــــوع هر تعداد متنــــاهی از اعـــداد معنـــی دار باشد و به روش یکتایــی به صورت نشان داده شــود. با وجود این، مجمـــوع بینهایت عــدد دارای معنای روشنـی نیست. در این قسمت مفهوم مجمــــوع بینهایت عدد را با معرفی سـری ارائـــه مــی دهیم.

اسلاید 31: 1 . 3 . 1 تعريف :به دنباله دنباله جدید را با تعريف نسبت می دهیم. این دنباله جدید را یک سری می نامیم، و آن را با نشان مــی دهیم و می خوانیم « سیـــگمای » . را جمله عمـــومی ســــری و را مجموع جزئی nام آن می نامیم. گاه دنباله را دنباله مجموعهای جزئی ســـری می نامیم. توجه کنید که اگر تعريف کنیم آنگاه

اسلاید 32: 2 . 3 . 1 مثال :فرض کنید داریمتوجه کنید که برای محاسبه از فرمول تصاعد هندسی استفاده کرده ایم.

اسلاید 33: 4 . 3 . 1 تعريف :سری را همـــگرا می نامیم اگر دنبالـــــه مجموعهای جزئی آن همـــگرا باشد.درغیر این صورت سری را واگــرا می نامیم. اگر یعنی دنبالـــــه مجموعهای جزئی سری به S همگرا باشد ، S را مجموع ســـری مــــی نامیم و می نویسیـــــم.

اسلاید 34: 5 .3 . 1 مثال :الف) دنبالــــه مجموعهای جزئی سری را می نامیـــم. در مثال 2 . 3 . 1 دیدیم که و یاچون پس و لذا سری همگـراست و داریم

اسلاید 35: 6 . 3 . 1 شرط کوشی برای همگرایی سری همگراست اگر و تنها اگر به ازای هر ، عدد طبیعی یـــافت شـــود که به ازای هر و هر داشتــه باشیــــماین شرط را شرط کوشـــی برای همگـــرایی سـری مـــی نامیم .یکی از نتایج بسیار مهم شرط کوشـــی را که نوعی آزمون واگـــرایی است در زیر می آوریم.

اسلاید 36: 7 . 3 . 1 نتيجه اگر سری همگرا باشد ، آنگاه . به بیــان دیـــگر اگر آنگاه ســـری واگـــراست .توجه کنید که عکــس نتيجـــه فوق نادرست است . بدین معنـــی کهســـری واگــــــرایی چون با شـــرط وجـــــود دارد .متذکر مـی شویـــم که نتيجـــه و نکته فوق حاکــی از آن اند که برای پیدا کردن ســــریهای همگرا باید در میـان سریهایـــی بگردیـــم که حد جملـــه عمــومی آنها صفـــر است .

اسلاید 37: 8 . 3 . 1 مثال :الف)می دانیـــم که ســـری موزون واگــــراست . روشــــن است کـــه . ب) سری واگراست ، زیرا . پ) ســـری واگــراست زیرا وجــود ندارد.ت) بنابر مثـال 5 . 3 . 1 (پ) ســـری همــــگراست و بنابــــراين در شـــرط کوشـــی صدق مـــی کند.

اسلاید 38: در زیر دستـــه ای از سریها را که کاربردهای فراوان دارند معرفی می کنیم.ت) بنابر مثال 5 . 3 . 1 (الف) سـری همــــگراست و بنابراين در شرط کوشی صدق می کند.9 . 3 . 1 تعريف :ســـری هنـــدسی. فرض کنید a عـــددی ثابت باشد . ســـــری را یک ســــری هندســـی با قدر نسبت a می نامیم. چـون به ازای هر a ، با حد وجـــود ندارد یا نامتناهـــی است ، پس ســری هندسی به ازای هر a با شرط واگراست .

اسلاید 39: 4 . 1 جبر سریهابا استفــاده از عمــــلهای جمع ، ضرب ، تفریق ، تقسیم و ... اعـــداد حقيقی می توان از سریـــهای داده شده ، سریــــهای جدیدی به دست آورد . در این قسمت همگـــرایی یا واگـــرایی برخی از این سریـهای جدید را مورد بحث وبررســـی قرار می دهیــــم .

اسلاید 40: 1 . 4 . 1 تعريف :فرض کنید دو سری حقــیقــی و c عددی حقــیقـی باشد.الف) سری را مجموع سریــــهای مـــی نامیم.ب) سری را حاصلضرب عدد c در سری مـــی نامیم.

اسلاید 41: 2 . 4 . 1 قضيه :اگر سریــــهای همـــگرا و c عـــددی دلخواه باشد ، آنگاه سریهای همـــگرا هستنــد و داریـــم

اسلاید 42: 3 . 4 . 1 مثال :می دانیم که سریــــهای همـــگرا هستنـــد،بنابراين سریهای همــگرا هستند.و داریم

اسلاید 43: 4 . 4 . 1 قضيه :دنباله ، جمله های از آن و اعداد را که در آنها k , m اعداد ثابت هستند در نظر می گیریم .الف ) اگر همگرا (واگرا ) باشد آنگاه همگرا (واگرا) است . یعنی حذف تعداد متناهی جمله از اول سری در همگــــرایی (واگـرایی) آن تاثیری ندارد.ب) سری را به صورت زیر تعريف می کنیم:

اسلاید 44: در این صورت ، همگراست (واگراست ) اگـــر و تنها اگر همگرا (واگرا ) باشد . یعنی اضافه کردن تعداد متناهی جمله به اول سری همگرایی آن را تغییر نمی دهد.5 . 4 . 1 مثال :الف) سری همگـــراست . بنابر قضيه فوق ســری همگراست و داریم:ب) سری واگراست و لذا سری واگراست .

اسلاید 45: 5 . 1 همگرایی مطلق ، همگرایی مشروطدر این قسمت سری های با جمله های نامنفی و سریهای متناوب را که جمله های آنها به طور متوالی مثبت و منفی هستند ، معرفی می کنیم . سریهای با جمله های نامنفی (مثبت) نقش بسیار مهمی در نظریه سریها دارند.1 . 5 . 1 تعريف :سری را که در آن تمام ها نامنفی هستند ، یک سری متناوب می نامیم.

اسلاید 46: 2 . 5 . 1 مثال :الف) سری یک سری متناوب است . در اینجا به ازای هر n ، این سری واگراست .ب) سری متناوب است . نشان می دهیم که این سری همگراست .برای این منظور فرض می کنیم که مجموع جزئی nام سری باشد ثابت می شود که همگراست .

اسلاید 47: 4 . 5 . 1 تعريف :اگر تمام جمله سری نامنفی باشند ، ســـری را با جمله های نامنفی می نامیم.5 . 5 . 1 قضيه :سری با جمله های نامنفی همگراست اگر دنباله مجموعهای جزئی آن کراندار باشند.اثبات:قرار می دهیم:چون به ازای هر n ، ، پس صعودی است و لذا همگراست . در نتيجه سری همگراست .

اسلاید 48: 6 . 5 . 1 مثال :الف) فرض کنیددر این صورت سری یک سری با جمله های نامنفی است . چند مجموع جزئی این سری عبارت اند از به راحتی می توان دید که و لذا بی کران و بنابراين واگراست .زوجفرد

اسلاید 49: ب) یک ســـری با جملـــــه های مثبت است . داریــــممشاهده می کنیم که به ازای هر n ، ، و لذا سری مذکور همگراست .7 . 5 . 1 تعريف :سری را همگرای مطلق می نامیم اگر سری همگرا باشد. سری را همگرای مشروط می نامیم اگر همگرا و سری واگرا باشد .

اسلاید 50: 9 . 5 . 1 مثال :الف) در مثال 2 . 5 . 1 دیدیم که سری همگراست . همچنین در مثال 5 . 3 . 1 دیدیم که سری واگراست . بنابراين سری همگرای مشروط است .ب) سری همگرای مطلق است . زیرا بنابر مثال 5 . 3 . 1 (پ) سری همگراست .

اسلاید 51: 6 . 1 آزمونهای همگراییتا کنون چند قضيه برای تعیین همگرایی یا واگرایی سریها ارائه داده ایم. این قضيه ها عبارت اند از :الف) اگر یا اگر وجود نداشته باشند آنگاه سری واگراست (نتيجه 7 . 3 . 1 )ب) شرط کوشی برای همگرایی (قضيه 6 . 3 . 1)پ) اگر دنباله مجموعهای جزئی سری با جمله های نامنفی کراندار باشد آنگاه سری همگراست (قضيه 5 . 5 . 1)ت) اگر همگرا باشد آنگاه همگراست (قضيه 10 . 5 . 1).در این قسمت ابزارهایی برای تعیین همگرایی سریهای ارائه می دهیم که متکی بر جمله های عمومی سریها هستند.

اسلاید 52: 1 . 6 . 1 قضيه (آزمون مقایسه)سریهای با جمله های نا منفی را در نظر بگیریدو فرض کنید به ازای هر n ، الف) اگر همگرا باشد، آنگاه همگراست .ب) اگر واگرا باشد ، آنگاه واگراست .

اسلاید 53: 2 . 6 . 1 مثال :اگر آنگاه سری واگراست .حل:به ازای داریم:و لذا بنابر نتيجه 7 . 3 . 1 سری واگراست .به ازای p=1 ســـری موزون به دست مـــی آید که واگــــراست .حال فـــرض مـــی کنیم 0<p<1 . در ایــــن صورت داریــــم :و از این رو چون واگراست ، پس بنابر آزمون مقایسه نیز واگراست .

اسلاید 54: 4 . 6 . 1 قضيه (صورت حدی آزمون مقایسه)فرض کنید در مورد سریهای با جمله های نامنفی داشته باشیم:الف)ب)در این صورت اگر الف) آنگاه سریهای از یک نوع هستند.ب) یا آنگاه نوع یک سری تعیین کننده نوع سری دیگر نیست.

اسلاید 55: 5 . 6 . 1 مثال :الف) سری واگراست . در واقع داریم:چون واگراست پس سری نیز واگـــراست .ب) سری همگراست ، زیرا همگراست و داریم

اسلاید 56: 7 . 6 . 1 قضيه (آزمون نسبت یا آزمون دالامبر)فرض کنید به ازای هر n، و اگرالف) a <1 آنگاه همگراست .ب) a >1 آنگاه واگراست .پ) a =1 سری در مواردی همگرا و در مواردی واگراست .

اسلاید 57: 8 . 6 . 1 مثال :الف) به ازای چه مقادیری از x ، سری همگراست . حل:روشن است که ســـری به ازای x =0 همگراست . زیـــرا در این حالت سری به صورت زیر در می آید.1+0+0+0+…لذا فرض مـــی کنیم و به جای سـری داده شده ، سری را در نظر می گیریم. داریم:بنابراين ســـری به ازای هر x همگـــراست ، و لذا ســــری به ازای هر x همگرای مطلق است .

اسلاید 58: 13 . 6 . 1 قضيه (آزمون انتگرال )سری با جمله های نامنفی و تابع با شرایط زیر را در نظر بگیرید .الف) f روی پیوسته و نامنفی است .ب) به ازای هر پ)f روی نزولی است و دراین صورت انتگرال ناسره همگراست اگر و تنها اگر سری همگرا باشد .

اسلاید 59: 14 . 6 . 1 مثال :به ازای p >0 دنباله با و تابع با دامنه نزولی هستند و داریم:بنابراين انتگرال به ازای p>1 همگرا و به ازای واگراست . در نتيجه سری به ازای p>1 همگـــرا و به ازای واگـــراست .

اسلاید 60: 7 . 1 سری توان1 . 7 . 1 تعريف دنباله توابعرا که در آن یک دنباله و c عددی ثابت است ، در نظر می گیریم. سری را یک سری توان و دنباله را دنبالــه ضرایب آن می نامیم.

اسلاید 61: توجه کنید که سری توان به ازای هر عدد x = r به یک سری عددی تبدیل می شود.توجه تعیین مقادیری از x که به ازای آن همگــراست حائز اهمیت است .2 . 7 . 1 مثال :سری یک سری توان است . در این سری c =0 ، و این سری به ازای x=2 , , x=1 , x=0 به ترتیب به سریـــهای عددیتبدیل می شود.

اسلاید 62: اگر آنگاه سری همگراست و داریم:لذا سری مذکور روی بازه (-1 , 1) یک تابع تعريف می کند. این تابع عبارت است از f(x) را مجموع سری توان می نامیم و می نویسیم:

اسلاید 63: 6 . 7 . 1 قضيه :فرض کنید سری توان به ازای همگرا و به ازای x=s واگرا باشد . دنباله این صورتالف) سری به ازای هر x با شرط همگرای مطلق است .ب) ســـــری به ازای هر x با شـــــرط واگـــراست .

اسلاید 64: 9 . 7 . 1 قضيه :به ازای هر سری توان تنها یکـــــی از موارد زیـــر درست است :الف) این ســـری فقط به ازای x=0 همـــــگراست .ب) این سری به ازای هر همگرای مطلق است .پ) عدد مثبت r وجود دارد که به ازای هر همگرای مطلق است ، و بــــه ازای هر x با شـــرط واگـــراست .متذکر می شویم که رفتار سری در نقاط باید جــــداگانه بررسی شــــود . با توجه به این قضيـــه تعريف زیــــر را می آوریم:

اسلاید 65: 10 . 7 . 1 تعريف :عدد r در قسمت (پ) قضيــــه فــوق را شعاع همگـــرایی ســــری می نامیم.اگر فقط به ازای x=0 همگــرا باشد ، شعاع همگـــرایی آن را x=0 تعريف می کنیم اگر به ازای تمام xها همگــرا باشد ، شعاع همـگرایی آن را تعريف می کنیم.توجه می کنیم که اگـــر شعاع همگــرایی سری باشد آنگاه مجموعه همگـــرایی این ســـــری توان به صورت یــــکی از بازه های, (-r , r],[-r , r] , (-r , r) , [-r , r) است.

اسلاید 66: و اگـر آنگاه مجموعه همگـــــرایی سری برابر است با بازه .در r=0 مجموعه همگـــــرایی عبارت است از {0} که بازه ای به طــــول صفر است . ملاحظه مـــی کنیم که در هر مورد مجمــوعه همگرایی یک بازه است . این بازه را بازه همگرایی سری می نامیم.توجه :آزمون نسبت برای به دست آوردن شعاع همگرایی روش بسیار نیرومند است .

اسلاید 67: در سری هر گاه آنگاه آنگاهr شعاع همگرایی سری توان داده شده است .

اسلاید 68: 11 . 7 . 1 مثال :شعاع و بازه همگرایی سری را پیدا کنید.و لذا شعاع همگرایی سری است.سری به ازای x=-1 , x=1 و به ترتیب عبارت است ازحل:داریم

اسلاید 69: آزمون مقایسه نشان می دهد که این سریها همگرا هستند . یعنی بازه همگرایی سری توان داده شده [-1 , 1] است . این بدان معناست که سری توان داده شده روی بازه[-1 , 1 ] یک تابع تعریف می کند یعنی به ازای هر عددی چون f(x) وجود دارد که

اسلاید 70: 8 . 1 پیوستگی ، مشتق و انتگرال سری توانبه طوری که در قسمت قبل دیدیم هر سری توان روی بازه همگرایی خود یک تابع معرفی می کند . به عبارت دقیقتــــر ، اگرI بازه همگرایی سری توان باشد ، آنگاه به ازای هر عددی چون f(t) وجود دارد که مجموع سری برابر با f(t) است .هدف این قسمت مطالعه ویژگیهای تابـــع f(t) با توجه به ویژگیهای دنباله توابع «بسیار ساده» است .

اسلاید 71: 2 . 8 . 1 قضيه :اگرr شعاع همگرایی سری باشد ، آنگاه تابع روی بازه (-r , r) پیوسته است . به عبارت دیگر ، به ازای هر داریم

اسلاید 72: 3 . 8 . 1 مثال :الف) بازه همگرایی سری ، بـــرابـــر است با [-1 , 1) بنابراین تابع روی بازه (-1 , 1) پیوسته است . ب) بازه همگرایی سری بـــرابــر است با بنابراين تابع روی R پیوسته است .

اسلاید 73: 4 . 8 . 1 قضيه :اگر r شعاع همگرایی سری توان باشد ، آنگاه به ازای هر داریم:به علاوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست این برابری مساوی است با r .

اسلاید 74: 6 . 8 . 1 نتيجه :اگر r شعاع همگرایی سری توان ، و k عددی طبیعی باشد ، آنگاه مشتق k ام تابع f در هر نقطه در رابطه زیر صدق می کندبه علاوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست برابر است با r .

اسلاید 75: 7 . 8 . 1 مثال :می دانیم کهبنابراين به ازای هر-1< x <1 داریم

اسلاید 76: 9 . 8 . 1 قضيه :اگر r شعاع همگرایی سری توان باشد و با a<b . آنگاه :به ویژه اگر b=t , a=0 آنگاه :به علاوه شعاع همگــــرایی ســـری توان طــــرف چپ مساوی است با r . به بیان دیگر از سری توان در بازه همگرایی می توان جمله به جمله انتگرال گــــرفت و انتگــــرال ســـری توان را بـــه دست آورد .

اسلاید 77: 10 . 8 . 1 مثال :میدانیم کهو لذا بنابر قضيه فوق داریمبرای مثال داریم

اسلاید 78: 12 . 8 . 1 سری دو جمله ایمی دانیم که به ازای هر عدد صحیح و مثبت n سوال این است که اگر به جایn در طرف چپ عــــدد غیر صحیح مثبتی قرار دهیم در طرف راست چه تغییراتی باید اعمال کنیم ؟ برای این منظور نشان می دهیمکه اگر m عـــددی حقیقی و مثبت باشد، آنگاه سری توان که به سری دو جمله ای موسوم است ، روی (-1 , 1) به تابعــی چون f(x) همگراست .یعنی:

اسلاید 79: 13 . 8 . 1 مثال :سری دو جمله ای معرف تابع را به دست می آوریم.حل:در اینجا ، ولذا حال اگر در این برابری قرار دهیم سریرا که به همگراست به دست می آوریم.

اسلاید 80: 14 . 8 . 1 مثال :با استفاده از دستور دو جمله ای معرف سری توان تابع را به دست می آوریم.حل:می دانیم کهاکنون تابع زیر علامت انتگــــرال ، یعنی را به صورت سـری توان می نویسیم برای این منظور می نویسیم:

اسلاید 81: این برابری پس از ساده کردن طرف دوم به برابری زیر تبدیل می شود .حال اگر در دو طرف این برابری x را به تبدیل کنیم به دست می آوریم:از دو طرف این برابری انتگرال می گیریم و به دست می آوریم:حال با قرار دادن داریم:

اسلاید 82: 9 . 1 بسط تیلور ، سری تیلوردر قسمت قبل دیدیم که هر ســـری تــــوان در بازه بازی معرف یــک تابع بـــی نهــایت بار مشتــــق پذیر است . همچنین دیدیم که به تابع می توان یک سری توان ، که در بازه (-1 , 1) همگـراست ، نسبت داد. در این قسمت بحث اخیر را ادامه می دهیم، یعنی سعی می کنیم به هر تابع مناسب یک ســــری تــــوان نسبت بدهیم.

اسلاید 83: 1 . 9 . 1 قضيه :اگر سری توان معرف تابع f(x) در فاصله (a-r , a+r) باشد و r>0 ، آنگاه با فرض داریم:2 . 9 . 1 قضيه (تیلور)فرض کنید مشتق های مرتبه اول ، دوم ، ...، (n+1)ام تابعf روی بازه باز I پیوسته باشند. اگر آنگاه tی بین x , a وجود دارد به طوری که :

اسلاید 84: با توجه به این قضيه تعریف زیر را می آوریم:3 . 9 . 1 تعريف :عبارت طــــرف راست برابری موجــود در قضيه 2 . 9 . 1 را بسط تیلــــور f در نقطــــه a می نامیم . چنـــد جمله ای را چنـد جمله ای مرتبه nام تیلور f و عبارت را باقــــی مانده مرتبه nام تیلور f در a می نامیم. صورت لاگرانژی یا صورت مشتقـــی باقی مانده نیز نامیده مــــی شود .

اسلاید 85: 6 . 9 . 1 تعريف :اگر تمام مشتقهای تابع f در نقطه x =a وجود داشته باشند آنگاه ســری تــوان را سری تیلور f در نقطه x =a می نامیم. سـری تیلور f در نقطه a=0 را ســری مک لورن f می نامیم.در مثال 4 . 9 . 1 سریهای مک لورن توابعرا پیدا و مشاهده کردیم که این سریها در هـــر نقطه به خود این توابع همگرا هستند ، یعنی:توجه :مثال زیر نشان مــی دهد که این حکم در مورد تمام ســـریهای تیلور درست نیست.

اسلاید 86: 7 . 9 . 1 مثال :سری مک لورن تابعرا به دست می آوریم.حل:به ازای داریم:که در آن یک چند جملـــه ای از درجه 3n است .

اسلاید 87: به ازای x=0 با استفاده از دستــــور هوپیتال داریــــم:و به طور کلی با توجه به داریمدر نتيجه سری مک لورن تابع f عبارت است از :

اسلاید 88: 10 . 1 کاربردهای بسط تیلور و سری تیلور در این قسمت چند کاربرد ساده از بسط و سری تیلور را بیان می کنیم. این کاربردها عبارت اند از :رابطه قضيه تیلور با قضيه میانگین ، تعیین نوع نقاط بحرانی توابع ،همچنین تقریب برخی اعداد و محاسبه حد برخی توابع.

اسلاید 89: 4. 10 . 1مثال را محاسبه کنید.حل:سری مک لورن تابع ln(x+1) عبارتست ازبنابراینچون تابعروی بازه (-1, 1] پیوسته است، داریمو ازاین رو

اسلاید 90: فصل دومهندسه تحلیلیهدفهای کلیرنه دکارت ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی در سال 1637با انتشار کتابGeometric مبانی هندسه تحلیلی را معرفی کرد. هـــدف وی ازاین کار حل مسائل هندسی با استفاده از روش های جــــبری بود وبی تردید نوآوری دکارت گام بلندی در تغییر شیوه نگرش به موجودات ریاضی ، تجدید حیات هندسه، وبه وجود آمدن هندسه های جدید بود.بااین نو آوری نقطه جای خود را به دوتایی ،سه تایی یاچندتایی مرتباز اعداد داد و بر عکس . مفهوم فاصله بین دو نقطه و حاسبات هندسیناشی از آن با دقت بسیاری بیان شد.

اسلاید 91: خط و صفحه و.... با زیر مجموعه های خاصی از مجموعه های شناخته شدهمتناطر و به یک معنا با آنهایکی شدندو...هدف های کلی از ارائه این فصل عبارت اند از:آشنا کردن دانشجویان با این قسمت از ریاضیات.استفاده از روش های جبری برای برخی از مسائل هندسی.آماده کردن دانشجویان برای دروس ریاضی آینده از جمله ریاضی عمومی 3هدفهای رفتاریدانشجو پس از مطالعه این فصل بایدبتواندتعریف بردار و مفاهیم وابسته به آن در صفحه و فضا را بداند.اعمال روی بردارها را بداند وآنها را به کار ببرد.بردارهای یکه فضایی و مسطح را بشناسد، دستگاههای مختصات راستگرد وچچپگرد را بشناسد ودر مواقع لزوم به کار ببرد.

اسلاید 92: فاصله دو نقطه ، کره و معادله کره را بداند و بنویسد.حاصلضرب داخلی دو بردار و تمام مفاهیم وابسته به آن را بداندو به کار ببرد.معادله های دکارتی و پارامتری خطها را بداند ووضع نسبی دو خط را بشناسد.حاصلضرب خارجی و تمام ویژگی های آن رادرموارد مختلف از جمله محاسبهمساحت مثلث ، تشکیل کنج توسط سه بردار ، فاصله خطهای متنافر و ... به کار ببرد.زاویه بین دو خط و یک خط ویک صفحه را محاسبه کند.شرط متنافر بودن دو خط ، شرط واقع نشدن سه خط بردار یک صفــحه رابداند و از آنها استفاده کند.

اسلاید 93: 2. 1. 2 تعریف فاصله دو نقطه A و B به ترتیب با مختصات (a,b) و (x,y) را با نمادنشان می دهم و به صورتتعریف می کنیم.به این ترتیب اگر طول بردار B A باشد، داریم1. 2 بردار در صفحه

اسلاید 94: 3. 1. 2 مثالاگر A(2, 3) ، B(5, 0) آنگاه اندازه بردار های که در آن O مبدا مختصات است، عبارت است از:

اسلاید 95: 4. 1. 2 تعریف دو بردار و را همسنگ می گوئيم ومی نويسيم ~ اگر اندازه وجهت آنها يکی باشدچها ربردار هم سنگ

اسلاید 96: 7. 1. 2 تعریف (جمع دو بردار )منظور از مجموع دو بردار برداری چون است به طوری که قطر متوازی الاضلاعی است که اضلاع مجاور آن هستند. مجموع دو بردار را بانشان می دهیم .aba+bمجموع دو بردار

اسلاید 97: 8. 1. 2 قضیه فرض کنید سه بردار با مبدا O باشند. در این صورت الف) یعنی عمل جمع برداری جا بجایی است. بنابراینمجموع دو بردار مستقل از ترتیب آنها ست. ب) ، یعنی عمل جمع برداری شرکتپذیر است . بنابراین مجموع سه بردار مستقل از پرانتزگذاری است و لذا مجموع سهبردار مذکور رابا نشان می دهیم.

اسلاید 98: پ) ، یعنی بردار وجود دارد که با هر برداری جمعشود ، حاصل خود آن بردار می شود. را بردار صفر می نامیم و با نشان می دهیم. ت) بردار وجودداردکه را قرینه می نامیم و با نشان می دهیم.

اسلاید 99: 9. 1. 2 تعریف (ضرب عدد در بردار)به ازای عدد و بردار منظور از حاصلضرب در برداری چوناست به طوری است که الف) . یعنی اندازه برابر اندازه است. ب) هم جهت اند اگر و در خلاف جهت هم هستند اگر حاصلضرب در را با نشان می دهیم. به این ترتیب داریم

اسلاید 100: 11. 1. 2 قضیه (ویژگی های ضرب عدد در بردار)اگر و دو عدد و و دو بردار باشند آنگاه الف) ب) ،یعنی ضرب عدد در بردار نسبت به جمعبرداری پخش پذیر است. پ) ت)

اسلاید 101: اثبات الف) بنا به تعریف روشن است. ب) فرض می کنیم . شکل زیر درستی رابطهرا نشان می دهد. در این شکل مثلث های OAC و متشابه اند وoxyACBa

اسلاید 102: 13. 1. 2 تعریف هر بردار به طول واحد را یک بردار یکه می نامیم . خطی که بردار جزئیاز آن است خط حامل این بردار نامیده می شود. oxyjiAyjxiبردارهای یکه متعارفیj , i

اسلاید 103: 14. 1. 2 تعریفاعداد x و y در بردار را به ترتیب مولفه های افقی وقائم بردار و بردارهایxi و yj را به ترتیب تصویر های افقی وقائم بردار می نامیم.15. 1. 2 مثالبردارهای و و عدد را در نظر بگیرید.می خواهیم مولفه های افقی و قائم بردارهای را تعیین کنیم.

اسلاید 104: حل:داریم16. 1. 2 تعریف (تفریق دو بردار)بردار را تفریق از می نامیم و آن را به صورت نشان می دهیم.

اسلاید 105: EoxyAB

اسلاید 106: سه محور ox, oy , oz را که در نقطه o دو به دو بر هم عمودند، در نظرمی گیریم. این محورها نسبت به هم به نحوه های مختلفی قرار می گیرند.در شکل زیر روش قرار گرفتن آنها را مشاهده می کنیم.xyzxyozzxyooاین روشهای قرار گرفتن را اصلاً می توان به دو دسته افراز کرد: راستگرد و چپگرد2. 2 مختصات فضایی

اسلاید 107: 1. 2. 2 تعریف سه تایی مرتب(ox,oy,oz) را یک دستگاه راستگرد می نامیم اگر ناظری که درنقطه O ایستاده است و سرش در جهت z قرار دارد و به y نگاه می کند ، x رادر طرف راست خود ببیند. دستگاهی را که راستگرد نباشد، چپگرد می نامیم. yzoxxzyoدستگاه چپگرددستگاه راستگرد

اسلاید 108: از این به بعد با دستگاههای راستگرد سرو کار خواهیم داشت.دستگاه راستگرد را با oxyz یا به ختصارxyz نشان خواهیم داد و آن رادستگاهxyz خواهیم خواند.در نتیجه با استفاده از دستگاه راستگرد xyz به هر نقطه A از فضا یک سه تاییمرتب (a,b,c) از اعداد حقیقی نظیر می شود. c , b, a را به ترتیب –x مختــص،-y مختص و –zمختص نقطه A می نامیم.به دلیل این تناظراست که گاه نقطهA را با سه تایی مرتب (a,b,c) یکی می گیریم و می نویسیم A=(a,b,c) ، ونیــزگاه می نویسیم A(a,b,c) ، بدین معنی که نقطه A به ترتیب دارای-x مختص،-y مختص و –z مختص c, b, a است.

اسلاید 109: xzoyدستگاه مختصات xyz bBacvA(a,b,c)

اسلاید 110: 2. 2. 2 تعریف دستگاه xyz را یک دستگاه مختصات دکارتی برای فضا وعددهای a, b, c رامختصات نقطه A می نامیم .4. 2. 2 مثالصفحه xoy در فضا متناطر است با مجموعه نقاطبنابراین ، معادله z = 0 را معادله صفحه xoy می نامیم. بدین معنی که هر نقطه واقع بر صفحه xoy دارای مختصات x وy و z = 0 است.به همین ترتیب x = 0 معادله صفحه yoz است. یعنی هر نقطه واقع بر صفحه yozدارای مختصات x = 0 و y و z است . و نیز y = 0 معادله صفحه xoz است.

اسلاید 111: 5. 2. 2 تعریف صفحه هایzox , yoz , xoy را که معادله های آنها به ترتیب 0y = 0 z = 0, x = است ، صفحه مختصات می نامیم.توجه کنید که منظور از اصطلاح صفحه z = 0 ، صفحه xoy است.در شکل اسلاید بعدی صفحه های مختصات را نشان داده ایم.

اسلاید 112: x=0z=0y=0صفحه های مختصات

اسلاید 113: A(2, 2, 4)B(1, -1, 5)C(-2, 4, -4)

اسلاید 114: 9. 2. 2 تعریف اگر B(x,y,z) , A(a,b,c) دو نقطه در فضا باشند، فاصله آنها را با نشان می دهیم و تعریف می کنیم *توجه کنید که بنا بر این تعریف داریمو لذا فاصله B از A مساوی است با فاصله A از B ، یعنی

اسلاید 115: 10. 2. 2 قضیه به ازای سه نقطه A(a,b,c) و C(x,y,z) رابطه زیر برقرار است.یعنی اگر ABC یک مثاث در فضا باشد، آنگاه طول هر ضلع آن از مجموع دوضلع دیگرش بیشتر نیست، و لذا نابرابری * را نابرابری مثلث می نامیم.11. 2. 2 مثالفاصله نقطه های B(1, 2, 3) , A(1,-1, 1) برابراست با

اسلاید 116: 13. 2. 2 تعریف (کره)کره ای به مرکز C(a,b,c) و شعاع r ، مجموعه نقاطی چون X(x,y,z) در فضااست به طوریکهبه عبارت دیگر مجموعه را کره به مرکز(a,b,c) و شعاع r می نامیم.معادله یارا معادله کره می نامیم.

اسلاید 117: معمولاً کره را با معادله اش می خوانیم و مثلاً می گو ئیم کرهمی گوئیم نقطه X(x,y,z) در داخل کره واقع است اگر در نابرابریصدق کند. به همین ترتیب X(x,y,z) در خارج کره است اگرمجموعه نقاط واقع در داخل (خارج) کره را داخل کره ( خارج کره) می نامیم.

اسلاید 118: 14. 2. 2 مثال الف) معادله کره ای به مرکز (0,0,0) و شعاع 2 عبارت است ازداخل این کره ، مجموعه نقاط X(x,y,z) است به طوری که در شکل زیر کره را نمایش داده ایم.xzyro

اسلاید 119: 3. 2 بردارهای فضایی1. 3. 2 تعریف ( بردارهای یکه متعارفی)با فرض اندازه هر یک از این بردارها برابر 1 می باشد.این بردارها بردارهای یکه متعارف نامیده می شوند .اگر بردارهای فضایی داده شده باشد، و نقطه A انتهای این بردار، دارایمختصات A(a,b,c) باشد، آنگاهدر نتیجه به هر نقطه فضا یک بردار فضایی به مبداO وبه هر بردار فضایی با مبدا O فقط یک نقطه در فضا می توان نسبت داد.

اسلاید 120: 3. 3. 2 تعریف الف) به ازای بردار فضاییعددهای c, b, a را به ترتیب –k , -j , -i مولفه های می نامیم. ب) می گو ئیم دو بردار فضایی برابرند و می نویسیم اگر مولفه های همنام آنها برابر باشند ، یعنی ، دو برداربرابرند اگر واتنها اگر z = c , y = b , x = a .به عبارت دیگر دو بردار برابرند اگر قابل تشخیص نباشند.

اسلاید 121: 5. 3. 2 تعریف فرض می کنیم دو بردار فضایی و عددی حقیقی باشد. الف) منظور از مجموع دو بردار برداری است چون به طوری که ب) منظور از حاصلضرب در بردار ، برداری است چون که به صورت زیر تعریف می شود:

اسلاید 122: 6. 3. 2 مثال به ازای بردارهای و عدد ، بردارهای را به دست آورید.

اسلاید 123: 9. 3. 2 مثالفرض می کنیم الف) معادله را حل کنید.حل:ویا

اسلاید 124: ب) از معادله مقادیر x و y را پیدا کنید.حل:بنابر قضیه فوق باید داشته باشیم ب) معادله را حل کنید . حل:بنابر قضیه فوق داریمویا x = -1 و x = 1 و از اینرو 1 = -1 . در نتیجه معادله جواب ندارد.

اسلاید 125: 14. 3. 2 تعریف به ازای دو نقطه A(a,b,c) و B(x, y,z) اندازه بردار را با نشان میدهیمو آن را برابر با فاصله دو نقطه A و B تعریف می کنیم. یعنی15. 3. 2 مثالطول بردار مساوی است با

اسلاید 126: 4. 2 زاویه بین دو بردار ، ضرب داخلی1. 4. 2 تعریف (حاصلضرب داخلی)منظور از حاصلضرب داخلی دو بردار عددax +by+cz است . این عدد را با نشان می دهیم ، یعنیتوجه کنید که اگر c = z = 0 آنگاه بردارهای به بردارهایی در صفحه xoy تبدیل می شوند و حاصلضرب داخلی آنها از فرمولبه دست می آید.

اسلاید 127: 3. 4. 2 مثال الف) حاصلضرب داخلی بردارهایراپیدا کنید.حل:داریمب) طول بردار مساوی است باپ) به ازای بردارهای (الف) و بردار داریمولذا

اسلاید 128: 5. 4. 2 قضیه ( نابرابری کوشی- شوارتس)به ازای دو بردار داریم * و برابری برقرار است اگر و تنها اگر عددی چون وجود داشته باشد کهرا بطه * را نابرابری کوشی شوراتس می نامیم.

اسلاید 129: 6. 4. 2 تعریف زاویه را که در رابطه * صدق می کند، زاویه بین بردارهای می نامیم.نتیجه7. 4. 2 مثال الف) زاویه بین بردارهای را پیداکنید.حل:داریمبنابراین

اسلاید 130: 9. 4. 2 تعریف اگر P پای عمود از A بر خط باشد، بردار را تصویر روی واندازه را مولفه روی می نامیم.PP A در نتیجه تصویر بر عبارت است از

اسلاید 131: 10. 4. 2 مثالتصویر بردار راروی بردار و اندازه این تصویر راپیدا کنید.حل:با توجه به تعاریف باید و را پیدا کنیم. داریمو لذا اگر تصویر بر باشد، داریمو نیز داریم

اسلاید 132: 5. 2 خط در صفحه و در فضا1. 5. 2 تعریف خط جهت دار L با مبدا و نقطه P را در جهت مثبت آن درنظرمی گیریم .فرض کنید همسنگ بردار با مبداO باشد. الف) بردار یکه را سو یا جهت بردار ، سو یا جهت بردار ، و سو یا جهت خط L می نامیم. ب) زاویه های بردار Uبا جهت های مثبت محور های مختصات را زاویه های هادی U، یا خط L می نامیم.

اسلاید 133: پ) اگر زاویه های هادی U به ترتیب با محور های z, y, x باشند، را کسینوسهای هادی U یا خط L می نامیم.xyzAUP در صفحه UyP در فضا

اسلاید 134: 2. 5. 2 مثالخط L از دو نقطه وP(4,4,6) می گذرد . می خواهیم مفاهیم موجوددر تعریف فوق را با محاسبه تحقیق کنیم . حل:بردار عبارت است ازاگر این بردار با مبدا O در نظر گرفته شود ، بردار در تعریف 1. 5. 2 حاصل می شود. لذا سوی این بردار عبارت است از بردار یکه U:

اسلاید 135: زا ویه های این بردار با بردار های یکه k , j, i زاویه های هادی هستند. داریمتوجه کنید که مجذور طول U است ولذا

اسلاید 136: 5. 5. 2 بردارهای موازیاگر بردارهای به ترتیب با مبدا های A و C موازی و بردارهای به ترتیب با این بردارها همسنگ باشند ، آنگاه زاویه بین مساوی است با 0 یا ، برحسب اینکه هم جهت باشند یا غیر هم جهت.6. 5. 2 مثالبه ازای بردار و نقطه مجموعه تمام نقاطP(x,y,z) را پیدا می کنیم که موازی با باشد.

اسلاید 137: حل:داریمبنابر شرط توازی موازی است اگر وتنها اگربنابراین به ازای هر عدد حقیقی t باید داشته باشیمویا

اسلاید 138: 10. 5. 2 تعریف الف) معادله های پارامتری خط L که از نقطه می گذرند وبا بردار a i+b j+c k موازی اند عبارت اند از ب) معادله های دکارتی خطی که از نقطه می گذرد و با بردار موازی است عبارت است ازa i+b j+c k

اسلاید 139: پ) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز و بگذرد عبارت اند از:توجه کنید که این مطالب در مورد صفحه y xoو خط های واقع بر آن نیز درست اند. فقط در این حالت ، یعنی وقتی که صفحه xoy و خطهای آن مطرح هستند معادله ها به صورت زیر در می آیند. الف) معادله های پارامتری خط L واقع در صفحه xoyکه از نقطه می گذرد و با بردار ai+bj موازی است

اسلاید 140: ب) معادله های دکارتی خط L واقع در صفحه xoyکه از نقطه می گذرد و با بردار ai+bj موازی استپ) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز وبگذرد عبارت اند از:توجه :اگر در معادله های فوق مخرج کسری مساوی با صفر باشد، صورت آن را نــــیزبرابربا صفر قرار می دهیم . لذا معادله های خطی چون L که از نقطه می گذرد و با بردار a i+ b j موازی است( در اینجا c = 0) عبارت اند از:

اسلاید 141: الف) معادله های پارامتریب) معادله های دکارتیتوجه:شرط a = b= c =0 نتیجه می دهد که بردار ai +bj+ ck در تعریف10. 5. 2 مساوس است با بردار صفرو لذا این شرط جهتی را مشخص نمی کند . این بدان معناست که فقط با استفاده از نقطه نمی توان معادله های خطی را به دست آورد.

اسلاید 142: 11. 5. 2 مثال الف) معادله های دکارتی و پارامتری خطی که از نقطه می گذردوبا بردار موازی است را پیدا کنید.حل:معادله های پارامتری این خط عبارت اند ازمعادله های دکارتی این خط عبارت اند از

اسلاید 143: ب) معادله های دکارتی و پارامتری خطی را بنویسید که از نقطه می گذرد وبا بردار موازی است. حل:در اینجا c = 0 , b = 3 , a = 2 . بنابراین معادله های دکارتی خط مورد نظر برابر است بامعادله های پارامتری این خط عبارت اند از

اسلاید 144: 13. 5. 2 تعریف دو خط L و را متنافر می نامیم اگر منطبق ، موازی و متقاطع نباشند.14. 5. 2 مثالدر یک مکعب مستطیل یالهایی وجود دارند که خطها ی شامل آنها متنافرند.در شکل زیر خط هایی که شامل پاره خطهایAB و CD هستند، متنافرند.ABDC خطهای متنافر

اسلاید 145: 15. 5. 2 قضیه خطهای l و با اتدادهای به ترتیب موازی اند یا منطبق اند اگر وتنها اگر شرط زیر برقرار باشد.از قضیه فوق نتیجه می شود که یک شرط لازم برای تقاطع یا تنافر دو خط l و مذکور در قضیه فوق این است که یکی از شرایط الف) ب) ج)برقرار باشد.

اسلاید 146: در برخی از مثالهای زیر هیچ یک از این شرایط برای تقاطع یا متنافر دو خط کا فی نیست16. 5. 2 مثال الف) به ازای خط های بنابراین l و موازی یا منطبق اند نقطه (1, 2, 3) از l در معادله های صدقنمی کند. پس l و موازی اند و منطبق نیستند.

اسلاید 147: ب) امتداد خطهایدر شرطصدق می کند. بنابراین این خطها موازی یا منطبق نیستند و نشان می دهیم که متقاطع اند.برای این منظور معادله های پارامتری خطها را در نظر می گیریم.

اسلاید 148: اگر lو متقاطع باشند ، عددهای t وs وجود دارند به طوری کهاز این معادله ها به دست می اوریم t = -3 , s = -2 . بنابراین P(-3, -6,-9) نقطه تقاطع است. پ) به ازای خطهای شرط بر قرار است. اگر این خطها متقاطع باشند باید دستگاه

اسلاید 149: جوابی منحصر به فرد داشته باشد. از دو معادله اول نتیجه می شود که s = t =0 ولذا از معادله سوم نتیجه می شود t = 1/3 که تناقض است لذا خطهای فوق متنافرند.ت) ملاحظه می کنیم که خطهای در نقطه O(0, 0, 0) متقاطع اند. در مورد این دو خط داریم

اسلاید 150: 6. 2 معادله صفحه هدف این قسمت جبری کردن مفهوم تعریف نشده صفحه است . بدینمعنی که به هر صفحه یک معادله جبری نسبت می دهیم ولذا ویژگی- های آن را از این معادله جبری طلب می کنیم. در مورد صفحه ، اصول اقلیدسی زیر را در نظر خواهیم داشت:دست کم یک صفحه و نقطه ای خارج آن وجود دارد ، دست کم در یک صفحه دو خط متقاطع وجود دارند، دو صفحه متقاطع یک خط مشترکدارند.می دانیم که اگر خطی بر یکی از خطهای صفحه ای عمود باشد ، بر تمام خطهای این صفحه عمود است. بااستفاده از این ویژگی معادله صفحه داده شده ای را به دست می آوریم.

اسلاید 151: POA1. 6. 2 ( معادله صفحه ای که از یک نقطه می گذرد و بر یک بردار عمود است).فرض می کنیم صفحه از نقطه می گذرد و بر بردار عمود است.نقطه دلخواه P(x,y,z) را در صفحه انتخاب می کنیم .بردار بر بردار عموداست ولذا

اسلاید 152: این معادله را بر حسب مختصات A و P و به صورت زیر می نویسیماین معادله را معادله دکارتی صفحه که از نقطه می گذرد و امتداد قائم بر آن است، می نامیم.3. 6. 2 مثالمعادله برداری و دکارتی صفحه را بنویسید که از نقطه می گذردو بر بردار عمود است، بنویسید.حل: فرض می کنیم P(x,y,z) نقطه دلخواهی بر این صفحه باشد.معادله برداری صفحه عبارت است از

اسلاید 153: ولذا معادله دکارتی آن به صورت زیر است .و یابه طور کلی هر معادله به صورت ax + by + cz + d =0 و با مجهول های z, y, x معرف یک صفحه است.

اسلاید 154: 7. 6. 2 تعریف فرض کنیم و دو صفحـــه با بردارهای قائم باشند، زاویه بین بردارهای را زاویه دو صفحه و می نامیم.اگراین زاویه باشد، بنا به تعریف داریم

اسلاید 155: زاویه بین دو صفحه 8. 6. 2 مثالمی خواهیم زاویه بین دو صفحه و را پیدا کنیم:

اسلاید 156: حل:امتدادهای قائم بر این دو صفحه عبارت اند ازبنابراینو لذا داریم

اسلاید 157: 10. 6. 2 فاصله یک نقطه از یک صفحه نقطه و صفحه به معادله ax+by+cz+d=0 داده شده است. منظوراز فاصله نقطه از صفحه طول قسمتی از خط عمود بر صفحه است که بین و صفحه واقع است.ABPHطول بردار را فاصله از می نامیم

اسلاید 158: اگر امتداد قائم بر صفحه باشد ، آنگاه با توجه به شکل در مستطیل داریماز اینرو ، در فاصله از اندازه تصویر بر است. در نتیجه داریمو لذا فاصله از مساوی است با *

اسلاید 159: 11. 6. 2 فرمول فاصله بر حسب مختصات در فرمول * فرض می کنیم نقطه P واقع بر دارای مختصات (x,y,z) بیاشد.داریمو از این رو*

اسلاید 160: 12. 6. 2 مثالفاصله نقطه (1, 3, 2) را از صفحه x+y+z+2=0 پیدا کنید. همچنین معادلاتخطی را بنویسید که از این نقطه می گذرد و بر این صفحه عمود است.حل:بنا بر فرمول * این فاصله مساوی است باخط عمود بر صفحه با امتداد قائم بر صفحه موازی است و لذا اگر P(x,y,z) نقطه دلخواهی بر خط باشد، عدد حقیقی t وجود دارد که بنابراین معادله های دکارتی خط قائم عبارت است از x -1 = y – 3 = z - 2

اسلاید 161: 15. 6. 2 نتیجه دو صفحه منطبق اند اگر وتنها اگربنابراین صفحه های و با معادله های فوق موازی و نامنطبق اند اگر تنها اگر 16. 6. 2 مثال الف) صفحه هایموازی اند ولی منطبق نیستند. در واقع در اینجا

اسلاید 162: 7. 2 حاصلضرب خارجی و کاربردهای آن 1. 7. 2 تعریف ( حاصلضرب خارجی)منظور از حاصلضرب خارجی بردار در بردار برداری است چون به طوری که الف) سه تایی مرتب یک دستگاه راستگرد باشد. ب) بر صفحه ای که از سه نقطه O و B و A می گذرد عمود باشد. پ) اندازه مساوی باشد باکه در آن زاویه بین و است.

اسلاید 163: حاصلضرب خارجی در را با نشان می دهیم. این حاصلضرب گاه ، حاصلضرب برداری نیز نامیده می شود.2. 7. 2 مثال الف) حاصلضرب خارجی بردار یکه در بردار یکه را پیدامی کنیم.حل: ب) حاصلضرب خارجی تمام زوجهای حاصل از مجموعه {i,j,k} راپیدا کنید.ijki j k 0-kjk0-i-ji0

اسلاید 164: 5. 7. 2 حاصلضرب برداری دو بردار برحسب مولفه های آنهامی خواهیم به ازای بردارهایبردار را بر حسب z, y, x, c, b, a محاسبه کنیم.این بردار را به صورت دترمینانی زیر نمایش می دهیم.

اسلاید 165: 5. 7. 2 مثال الف) می خواهیم معادله صفحه ای که از سه نقطه C(3, 2, 1) , B(2, 3, 1) ,َA(1, 2, 3) می گذرد پیدا کنیم. َ حل:این صفحه شامل بردارهای است . بنابراین امتداد قائم بر این صفحه عبارت است از بردار داریمبنابراین معادله صفحه مورد نظر برابراست با

اسلاید 166: چون این صفحه از نقطه A(1, 2, 3) می گذرد، داریم -2-4-6+d=0و لذا معادله صفحه عبارت است از x+y+z+6=0

اسلاید 167: 6. 7. 2 یک تعبیر هندسی ضرب خارجی در مثلث OAB که در آن اندازه زاویه AOB است، اضلاع OA وOB را بهصورت بردارهای در نظر می گیریم. مساحت این مثلث را S می نامیم.oBAHیک تعبیر هندسی ضرب خارجی *

اسلاید 168: اکنون را برحسب و محاسبه می کنیم . در مثلث قائم الزاویهOBH داریمبنابراین * به صورت زیر در می آیدبا توجه به تعریف حاصلضرب خارجی دو بردار ملاحظه می کنیم کهبنابراین می توان گفت کهاندازه حاصلضرب خارجی دو بردار برابراست با مساحت مثلثی که آن دوبردار اضلاع آن هستند.

اسلاید 169: 7. 7. 2 مثال الف) می خواهیم نشان دهیم که سه نقطه بریک خط نیستند و مساحت مثلثABC را پیدا کنیم.C(3, 1, 2) , B(2, 1, 3) ,A(1, 2, 3)حل:می دانیم که دو بردار موازی اند اگر وتنها اگر حاصلضرب خارجی آنها مساویبا صفر باشد. بنابراین نقطه های C, B , A بر یک خط قرار ندارند اگر داریم

اسلاید 170: و لذا C, B, A رئوس یک مثلث اند. مساحت این مثلث مساوی است با ب) مساحت مثلث با راسهایرا پیدا می کنیم.C(-1, -1, 0) , B(3, 4, 5) ,A(0, 1, 2)حل:بنابر 6. 7. 2 می دانیم که این مساحت برابراست با داریم:

اسلاید 171: و از این رو ، مساحت مثلث ABC برابراست با9. 7. 2 تعریف حاصلضرب را حاصلضـــــرب سه گانه مختلط سه بردار (با همین ترتیب) می نامیم.ملاحظه می کنیم که اگر وتنها اگر برعمود باشد. چون بر صفحه که توسط بردارهای تشکیل می شود عمود است پس بر عمود است اگر وتنهااگر در صفحه واقع باشد. بنابراین ثابت کرده ایم که

اسلاید 172: شکل زیر متوازی السطوحی را نشان می دهد که توسط بردارهایساخته می شود . اگر زاویه بین و باشد، آنگاه(تصویر بر )چون مساحت متوازی الاضلاع OBEC قاعده متوازی السطوح مذکورو (تصویر بر ) ارتفاع این متوازی السطوح است، پس حجم متوازی السطوحی است که توسط سه بردار ساخته می شود.

اسلاید 173: ارتفاع متوازی السطوحoBECAD

اسلاید 174: فرض می کنیمداریم

اسلاید 175: 11. 7. 2 قضیه سه بردار مذکور در بالا را در نظر می گیریم. الف) این سه بردار در یک صفحه هستند اگر وتنها اگر ب) این سه بردار یک کنج درست می کنند (مستقل خطی هستند) اگر وتنها اگر

اسلاید 176: پ) حجم متوازی السطوح تشکیل شده توسط این سه بردار مساوی است با12. 7. 2 مثال الف) آیا چهار نقطه در یک صفحه هستند یا نه؟ در صورت منفی بودن جواب حجم متوازی السطوح تشکیل یافته توسط را تعیین کنید.C(3, 2, 1) , B(2, 3, 1) ,A(1, 2, 3) , O( 0, 0, 0)حل:داریم

اسلاید 177: و لذابنابراین چهار نقطه بر یک صفحه نیستند ، وحم متازی السطوح به یالهای برابر است با واحد حجم.

اسلاید 178: 14. 7. 2 فاصله یک نقطه از یک خطخط l با امتداد و نقطه در خارج آن داده شده است. منظور از فاصله از l طول کوتاهترین پاره خطی است که را به یک نقطه l وصل می کند.برای محاسبه فاصله از خط l، نقطه دلخواه P را بر l انتخاب می کنیم.با توجه به شکل زیر ملاحظه می کنیم که فاصله از خط l، یعنی طول پاره خط مساوی است با تصویر بردار روی خطی که از می گذرد وبر l عمو د است.

اسلاید 179: PHlاگر زاویه بین و خط l باشد، آنگاهو از این رو

اسلاید 180: 2. 7. 15 مثالفاصله نقطه از خط l با معادله های دکارتی زیر را پیدا می کنیم.حل:نقطه P(3, 1, -2) را بر این خط انتخاب می کنیم. داریم چون امتداد خط l بردار است، پس فاصله P از l عبارت است از

اسلاید 181: 17. 7. 2 شرط متنافر بودن دو خط خطهای l و با امتدادهای OA و متنافرند اگر نقطه های P و به ترتیببر l و وجود داشته باشند به طوری که بردارهای یک کنج تشکیل دهند، یعنی18. 7. 2 عمود مشترک دو خط متنافرخطی که دو خط متنافر را قطع کند و بر هر دو عمود باشد، عمود مشترکآنها نامیده می شود. اگر عمود مشترک خطهای l و این خطها را به ترتیبدر نقطه های P و قطع کند ، طول پاره خط و یا طول بردار را طولعمود مشترک خطهای l و می نامیم. گاهی این طول را فاصله دو خط l ونیز می نامیم. در واقع P و نزدیکترین نقاط روی l و هستند.

اسلاید 182: PlH

اسلاید 183: 20. 7. 2 مثالطول عمود مشترک خط های l و با معادله های دکارتی زیر را پیدا می کنیم.حل:امتداد های این خطها عبارت اند ازحال نقطه های P(-4, 4,-1) و را به ترتیب بر l و انتخاب می کنیمداریمدر نتیجه طول عمو مشترک برابر است با

اسلاید 184: 14. 7. 2 تعریف دو صفحه که منطبق یا موازی نباشند متقاطع نامیده می شوند. محل تقاطع دوصفحه متقاطع یک خط است، این دو خط را فصل مشترک دو صفحه می نامیم.می خواهیم معادله های فصل مشترک صفحه های و را به دست آوریم .این خط را lو امتداد آنرا OB می نامیم و فرض می کنیم بردارهایقائم بر صفحه های و باشند . چون l روی قرار دارد پس برOB عمود است. در نتیجه OB با بردار موازی است .

اسلاید 185: یعنی امتداد l عبارت است از بردار:اگر نقطه ای بر l و P(x,y,z) نقطه دلخواهی از l باشد موازی است و لذا عدد حقیقی t وجود دارد که : *در واقع * معادله برداری l است.فرض می کنیم و * را به صورت زیر می نویسیم

اسلاید 186: بنابراین معادله های پارامتری l به صورتبه دست می آیند . با حذف t بین معادله های معادله دکارتی l عبارت می شونداز: راه دیگری برای توصیف l برحسب معادله های و وجود دارد.برای این منظور فرض می کنیممعادله های و باشند در این صورت l از مجموعه جواب های دستگاه درمعادله سه مجهولی زیر تشکیل شده است.

اسلاید 187: *بنابراین دستگاه * روش دیگری برای معرفی خط l است.25. 7. 2 مثالآیا صفحه های متقاطع هستند؟ در صورتیکه جواب مثبت باشد معادله برداری ، معادله های پارامتری و دکارتی آن را پیدا کنید.

اسلاید 188: حل:امتدادهای قائم بر و به ترتیب عبارت اند ازچون OA و موازی نیستند ، پس و متقاطع اند .امتداد فصل مشترک عبارت است از اکنون نقطه واقع بر هر دو صفحه را انتخاب می کنیم . برای این منظور در معادله های و قرار می دهیم وبه دست می آوریم

اسلاید 189: از این دستگاه y = 5 و x = -22 به دست می آید. بنابراین . در نتیجهمعادله برداری فصل مشترک عبارت است ازاین معادله را به صورت مولفه ای می نویسیم و معادله های پارامتری l را به دستمی آوریم با حذف t از این معادله ها ، معادله های دکارتی l به دست می آیند.

اسلاید 190: برای درک مفاهیم علمی در بسیاری از شاخه های علوم و تکنولوژی دانستنمفهوم ماتریس و ویژگیهای ابتدایی آن اجتناب ناپذیر است . خاستگاه ماتریسچیزی به نام تابع خطی است و تابع خطی تابع طبیعی بین فضاهای برداری است ، واین همه جزئی ازجبر خطی هستند . فصل سومجبر خطیهدفهای کلی

اسلاید 191: بنابراین هدف از ارائه این فصل برآورده کردن اهداف کلی زیر است : الف) آشنا کردن دانشجو با کلیات و روشهای جبر خطی ب) ارتقاء درک علمی عمومی دانشجو پ) آماده کردن دانشجو برای کاربرد روشهای جبر خطی در ادامه ریاضی عمومی2 و درس بلافصل آن ریاضی عمومی 3 .هدفهای رفتاریدانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند :1- ماتریس و مفاهیم وابسته به آن را بداند . از جمله این مفاهیم عبارتند از:درایه های ماتریس ، سطرها و ستونهای ماتریس

اسلاید 192: 2- انواع ماتریس ها را بشناسد . ماتریس مربع ، ماتریس واحد ، ماتریس صفر ،ماتریس قطری ، ماتریس بالا مثلثی، ماتریس پایین مثلثی از جمله این ماتریسهاهستند .3- عملهای جمع ماتریسی و ضرب عدد در ماتریس و ویژگیهای آنها را بداند و به کار ببرد .4- عمل ضرب ماتریسی را بشناسد ، ویژگیهای آن را بداند و رابطه آن را با عملجمع ماتریسی و ضرب عدد در ماتریس بشناسد و به کار ببرد .5- دترمینان ماتریس داده شدهای را محاسبه کند .6- ویژگیهای دترمینان را بشناسد و آنها را در محاسبه دترمینان به کار برد .

اسلاید 193: 9- ماتریس متعامد و ماتریس متقارن را بشناسد و ویژگیهای مقدماتی آنها را تشخیص دهد .10- ویژه مقدارها و ویژه بردارهای وابسته به آنها را برای یک ماتریس مربع محاسبه کند و بداند که ماتریس متقارن با درایه های حقیقی دارای ویژه مقدارهای حقیقی است .11- ماتریس تغییر مختصات و معادلات تغییر مختصات را برای بدست آوردن صورت متعارفی صورتهای درجه دوم دو و سه متغیره بکار ببرد7- مفاهیم ماتریس الحاقی ، ماتریس منفرد و ماتریس نامنفرد و رابطه آنها را با دترمینان بداند .8- وارون ماتریس را با استفاده از ماتریس الحاقی محاسبه کند .

اسلاید 194: 1 .3 ماتریس1. 1. 3 تعریفدرایه ای ازmn عدد را را که در m سطر وn ستون مرتب شده اند یک ماتریس (بخوانید m در n ) می نامیم .ماتریس ها را با حرفهای بزرگ لاتین A،B ،... نشان می دهیم . هر یک از mn عدد مذکور را یک درایه ماتریس می نامیم.

اسلاید 195: ویا اگر امکان ابهامی در میان نباشد به صورت نشان داد .نکته آخر این که اگر A ماتریسی باشد ، m وn را ابعاد و گاه را اندازه A می نامیم .

اسلاید 196: 4. 1. 3 برابری ماتریس هافرض می کنیم و دو ماتریس باشند.می گوییم A برابر است با B و می نویسیم A=B اگربه عبارت دیگر A برابر است با اگر درایه های متناظر در آنهابرابر باشند.6. 1. 3 تعریففرض می کنیم و دو ماتریس باشند . منظور از مجموع این دوماتریس ، ماتریس ای چون است به طوری که

اسلاید 197: مجموع AوB ، یعنیC رابا A+B نشان می دهیم .7. 1. 3 مثالمجموع ماتریس هایA وB را بدست می آوریم .حلداریم

اسلاید 198: 12. 1. 3 تعریف (ضرب عدد در ماتریس )فرض کنید ماتریسی و عددی دلخواه باشد . منظور از حاصلضرب درAماتریسی ای چون است بطوری که ماتریس B را حاصلضرب درA می نامیم و می نویسیم 13. 1. 3 مثالبه ازای وداریم

اسلاید 199: 16 . 1. 3 تعریف (ضرب ماتریسی )فرض می کنیم و به ترتیب ماتریسهای و باشند . منظوراز حاصلضرب Aدر B ماتریسی چون است بطوری که *به ازای هر و .ملاحظه می کنیم که در رابطه *، عددهای درایه های سطر i ام A و عددهای

اسلاید 200: درایه های ستون k ام B هستند . بنابراین می توان گفت که از ضرب اعضای متناظرسطر i ام A در ستونk ام B و جمع آنها به دست آمده است .17. 1. 3 مثالالف ) حاصلضرب A را در ماتریسهای AوB را پیدا می کنیم .

اسلاید 201: حلداریمب ) در معادله فرض می کنیم :و آن را به صورت دستگاه معادله های عددی می نویسیم

اسلاید 202: بنابه تعریف برابری ماتریس ها آخرین برابری معادل است با دستگاه معادله های زیر:می دانیم که هر یک از این معادله ها معرف یک صفحه در فضاست .حلداریم

اسلاید 203: 19. 1. 3 قضیههر دستگاه m معادله n مجهولی خطی را می توان توسط یک معادله ماتریسییک مجهولی نشان داد . یعنی دستگاه m معادله n مجهولی(1)را که در آن مجهول اند می توان به صورت AX=B (2) نوشت ، که در آن A ماتریسی وX وB به ترتیب ماتریس های و هستند .

اسلاید 204: 20. 1. 3 تعریفماتریس های A،XوB را به ترتیب ماتریس ضرایب ، ماتریس طرهای دوم وماتریس مجهولهای دستگاه (1) می نامیم . ماتریس C را که از افزودن ستونB به انتهای سمت راست ماتریس A حاصل می شود ، ماتریس افزوده دستگاه(1) می نامیم . بنابراین ماتریس افزوده (1) عبارت است از در نماد فوق خط قائم نشان می دهد که ماتریس مورد بررسی ، ماتریس افزوده یک دستگاه معادله ها است .

اسلاید 205: 21. 1. 3 مثالالف ) ماتریس ضرایب ، ماتریس طرفهای دوم ، ماتریس مجهولها و ماتریسافزوده دستگاهعبارتند ازماتریس ضرایبماتریس طرفهای دوم

اسلاید 206: ماتریس مجهولها ماتریس افزوده23. 1. 3 تعریف (انواع ماتریس )الف ) اگر m=n یعنی اگر تعداد سطرهای A برابر تعداد ستونهای آن باشد A رایک ماتریس مربع می نامیم . در ماتریس مربع A ، قطری را که شامل درایه های است ، قطر اصلی می نامیم .

اسلاید 207: ب ) ماتریس واحد را با نشان می دهیم . داریم پ ) این ماتریس قطری را با نماد زیر نشان می دهیم .

اسلاید 208: ت ) اگر درایه های پایین (بالای) قطر اصلی ماتریس مربع A صفر باشند ،A را بالا (پایین) مثلثی می نامیم . چند ماتریس بالا مثلثی به قرار زیرند:معمولاً ماتریس بالا مثلثی را به صورت زیر نشان می دهیم .

اسلاید 209: 24. 1. 3 تعریف (ترانهاده یک ماتریس )اگر ماتریس باشد ، ماتریس ای چون را ترانهاده A می نامیم اگر ترانهاده ماتریس A را با نشان می دهیم . 25. 1. 3 مثالترانهاده هر یک از ماتریس های زیر را پیدا می کنیم .الف ) ب )

اسلاید 210: حلالف )ب ) داریم30. 1. 3 تعریففرض کنید ماتریسی باشد . الف ) A را متقارن می نامیم اگر به عبارت دیگر A متقارن است اگر ب ) A را پاد متقارن می نامیم اگر به عبارت دیگر A پاد متقارن است اگر

اسلاید 211: 1. ماتریس های متقارن اند ولی ماتریس متقارن نیست . 2. ماتریس هایپاد متقارن اند . توجه کنید که اعضای روی قطر اصلی هر ماتریس پاد متقارن صفر اند .

اسلاید 212: 34. 1. 3 مثالالف ) به ازای ماتریسهایمشاهده می کنیم که AB تعریف نشده است . بنابراین صحبت از برابری(AB)C=A(BC) در مورد این ماتریسها بی مورد است.ب ) به ازای ماتریسهای مشاهده می کنیم که (AB)C تعریف شده است بنابراین A(BC) نیز تعریف شده است و داریم

اسلاید 213: پ ) به ازای ماتریس های واحد و و ماتریسمشاهده می کنیم که ماتریس های و تعریف شده اند بنابراین ولی ماتریس های و تعریف نشده اند و لذا صحبت از برابری آنباA بی مورد است .

اسلاید 214: 36. 1. 3 تعریففرض کنید A ماتریسی باشد ، توانهای صحیح نامنفی A را به صورت زیر تعریف می کنیم .الف ) ماتریس واحد ب )پ )

اسلاید 215: 37. 1. 3 مثالبه ازایداریم39. 1. 3 تعریف منظور از یک جواب دستگاه معادله های *

اسلاید 216: n عدد چون است ، که در تمام معادله های این دستگاهصدق می کنند . به عبارت دیگر یک جواب دستگاه (*)است اگر داشته باشیمحال اگرآنگاه ملاحظه می کنیم که دستگاه معادلات بالا معادل است با

اسلاید 217: 40. 1. 3مثالصورت ماتریسی دستگاهعبارت است ازکه در آن A ماتریس ضرایب (*) و B ماتریس طرفهای دوم (*) است.بنابراین اگر دستگاه معادله های داده شده ای جواب داشته باشد ، آنگاه معادله ماتریسی متناظر با آن نیز جواب دارد و بر عکس.

اسلاید 218: ملاحظه می کنیم که یک جواب دستگاه وبنابراینیک جواب معادله ماتریسی متناظر با آن است .

اسلاید 219: 41. 1. 3 تعریفماتریس مربع A را وارون پذیر می نامیم اگر ماتریس مربع B وجود داشته باشد کهAB=BA=I در این صورتB را یک وارونA می نامیم .یعنی وارون هر ماتریس در صورت وجود یکتاست .وارون A را در صورت وجود با نماد زیر نشان می دهیم .

اسلاید 220: 42. 1. 3 مثال الف ) وارون ماتریس را پیدا می کنیم .حلفرض می کنیم کهوارون Aباشد .داریم

اسلاید 221: بنابراین طبق تعریف تساوی ماتریسها داریماز دو معادله طرف چپx،yو از دو معادله طرف راست z،t بدست می آیند،مشروط بر این که در واقع داریمدر نتیجه اگر آنگاهبا یک امتحان ساده ملاحظه می کنیم که AB=I=BA در نتیجه

اسلاید 222: 43. 1. 3 قضیه اگر ماتریس مربع A وارون داشته باشد ، آنگاه معادله ماتریسیAX=B فقطیک جواب دارد . این جواب عبارت است 44. 1. 3 مثال دستگاه را حل می کنیم .

اسلاید 223: حلماتریس ضرایب این دستگاه عبارت است ازملاحظه می کنیم که بنابراین وجود دارد و داریمولذا یعنی جواب دستگاه عبارت است از

اسلاید 224: 1. 2. 3 تعریف (دترمینان )به ازای ماتریسعدد ad-bc را دترمینان A می نامیم و آن را با نمادdetA یا نشان می دهیم .بنابراین برای تعریف مفهوم دترمینان در مورد ماتریس های ، و...ابتدا مفهوم همسازه را تعریف می کنیم . 2. 3 دترمینان

اسلاید 225: 2. 2. 3 تعریف به ازای ماتریس ای چون ودرایه از آن ، دترمینان ماتریس حاصل از حذف سطر و ستونی کهدر آن قرار دارد را کهاد می نامیم و آن را با نشان می دهیم . منظور از همسازه درایه عبارت است از عدد 3. 2. 3 تعریف فرض کنید Aماتریس مذکور در بالا باشد دترمینان A را بایا

اسلاید 226: نشان می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم :توجه کنید کهبنابراین دترمینان Aرا می توانیم بر حسب درایه های آن به صورت زیر بنویسیم

اسلاید 227: 4. 2. 3 مثالالف ) در مورد ماتریس زیر تمام همسازه های درایه ها را محاسبه و آنگاهدترمینان آن را محاسبه می کنیم . حلهمسازه های درایه های A از این قرارند .

اسلاید 228: بنابراین داریم

اسلاید 229: 6. 2. 3 قضیهماتریس های ای چون A را در نظر می گیریم .الف ) فرض کنید ماتریس B از ضرب یکی از سطرها (یا ستونهای )A در عددی چون k بدست آمده باشد .در این صورت detB=kdetA ب ) اگر ماتریس B از تعویض جای دو سطر (ستون ) A بدست آمده باشدآنگاه detB=-detA ت ) اگر دو سطر (ستون ) ماتریس A مساوی باشند ، آنگاه detA=0

اسلاید 230: 8. 2. 3 مثال دترمینانهای زیر را بدست می آوریم الف )پ )ب )ت )حلالف )

اسلاید 231: ب ) سطر سوم این دترمینان 2 برابر سطر اول آن است . لذا داریمپ ) در سطر اول از عدد 2 می توان فاکتور گرفت و دترمینان را با استفاده از تعریف محاسبه کرد .ت ) ستون سوم این دترمینان 3 برابر ستون اول آن است از این رو

اسلاید 232: 9. 2. 3 تعریف (دترمینان)ماتریس ای چون را در نظر می گیریم .دترمینان ماتریس ای که از حذف سطر i ام و ستون j امA حاصل می شود را با نشان می دهیم و آن را کهاد و عدد را همسازه می نامیم .بسط دترمینان نسبت به سطر iام

اسلاید 233: 13. 2. 3 مثال دترمینان ماتریس مثلثیمی خواهیم دترمینان ماتریس زیر را محاسبه کنیم .حلدترمینان را نسبت به ستون اول بسط می دهیم ملاحظه می کنیم که دترمینانی و از نوع دترمینان A است واز این رو به استقرا داریم یعنی دترمینان یک ماتریس بالا (پایین ) مثلثی یا قطری مساوی است باحاصلضرب درایه های روی قطر اصلی آن .

اسلاید 234: 15. 2. 3 قضیه ( ویژگیهای دترمینان ) ماتریس ای چون A را در نظر می گیریم . الف ) اگر ترانهاده A باشد . آنگاه ب ) اگر تمام درایه های یک سطر (ستون ) A مساوی با صفر باشند . آنگاه پ ) اگر یکی از سطر (ستون) های A مضربی از سطری ( ستون ) دیگر باشد ، آنگاه ت ) اگر ماتریس B از ضرب یکی از سطرها (ستونها )ی A در عددی ناصفر چونc بدست آمده باشد ، آنگاه

اسلاید 235: ث ) اگرB وC دو ماتریس باشند . بطوری که درایه های سطر (ستون)kام BوC مساوی باشند و اگر سایر درایه های A وB وC یکسان باشند .آنگاهج ) اگر ماتریس B از تعویضهای دو سطر (ستون ) A بدست آمده باشد .آنگاهچ ) اگر ماتریس B از تعویضهای دو سطر ( ستون ) r امA با مجموع مضربی از سطر(ستون ) s ام و سطر r ام A بدست آمده باشد . آنگاه det B=det A ح ) اگر Bماتریسی باشد آنگاه det AB = detA detB

اسلاید 236: 16. 2. 3 مثالالف )ب ) چون سطر دوم دترمینان زیر مضربی از سطر اول است پسپ ) داریم

اسلاید 237: بنا به الف :بنا به ت :

اسلاید 238: 18. 2. 3 تعريف ماتريس مربع A را نا منفرد مي ناميم اگر وارون پذير باشد . ماتريسي كه نامنفرد نباشد ، منفرد ناميده مي شود . 19 .2. 3 مثالالف ) ماتريس هاي وارون پذيرند . در واقع داريم

اسلاید 239: بنا براين اين ماتريس ها نا منفردند ب )ماتريسمنفرد است براي مشاهده اين امر از برهان خلف استفاده كنيد .

اسلاید 240: 21. 2. 3 قضيه اگر A وارون پذير باشد آنگاه 22. 3. 2 قضيه اگر A ماتريسي مربع باشد و آنگاه A نامنفرداست .23. 2. 3 تعريف (ماتريس الحاقي )فرض كنيد ماتريسي و همسازه درايه آن باشد . ماتريس را ماتريس الحاقي A مي ناميم .

اسلاید 241: 24. 2. 3 قضيه اگرA ماتريسي باشد ، آنگاه A(adjA)=(adjA)A=(detA)I كه در آن I ماتريس واحد است .بنابراين قضيه ، اگر آنگاه A وارون پذير است و داريم25. 2. 3 مثالوارون ماتریس زیر را پیدا می کنیم .

اسلاید 242: حلابتدا همسازه های درایه ها را پیدا می کنیم .بنابراین ماتریس همسازه ها و ماتریس الحاقی Aعبارت اند از

اسلاید 243: اکنون دترمینان A را محاسبه می کنیم .بنابراین وجود دارد و داریم بهتر است نتیجه را آزمایش کنیم .

اسلاید 244: و از این رو ، نتیجه بدست آمده درست است .

اسلاید 245: 3. 3 فضای برداری و تابع خطیتاکنون ساختارهای ریاضی بسیاری را دیده ایم که ازویژگیهای یکســـانیبرخوردارند . مثلاً در ریاضی عمومی 1 دیدیم که اگرF مجموعه تمام توابع پیوسته با دامنه[0, 1] باشد ، آنگاه به ازای هر سه تابع f،g وh متعلــق بهFو هر دو عدد حقیقی و داریم 1-2-3- تابع صفر ، با تعریف 0(x)=0 پیوسته است ، یعنی وداریم

اسلاید 246: 4- تابعf دارای قرینه (-f) است ، یعنی وداریم 5- تابع ثابت یک را به صورت ، در نظر می گیریم . نخست توجه می کنیم که سپس 1f=f یعنی عدد1 ضربدر f مساوی است با f6- یعنی توابع هر دو طرف بهF تعلق دارند و تساوی برقراراست .7- 8-

اسلاید 247: هر مجموعه ای که روی آن عمل جمع اعضا و عمل ضرب اعداد در اعضا تعریف شده باشد ودر شرایط 1-8مذکورصدق کند یک فضایی برداری حقیقی نامیده می شود .در این درس فقط با فضاهای برداری حقیقی که در مثال زیر معرفی می کنیم سر وکار داریم .

اسلاید 248: توجه كنيد كه بردارهاي كه در آن ها فقط مؤلفهi‌ ام برابر با 1 و بقيه صفرند اعضايي از هستند .تذكر اين نكته نيز اهميت دارد كه اعضاي را مي توان ماتريس هاي تلقي كرد .در اين صورت هر عضو را يك بردار سطري مي ناميم .ترانهاده هر بردار سطري را يك بردار ستوني مي ناميم . چون يك تناظر يك به يك بين بدارهاي سطري n- بعدي و ترانهاده آنها وجود دارد ، هر عضو را مي توان به صورت برداري ستوني نيز در نظر گرفت .

اسلاید 249: 2. 3. 3 تعريف اگر بردارهايي در و اعدادي حقيقي باشند، بردار را يك تركيب خطي مي ناميم .3. 3. 3 مثالالف ) بردارهای متعلق به را در نظرمی گیریم . اگر بردار دلخواهی از باشد آنگاه بنابه تعریف جمع برداری و ضرب عدد در بردار ، داریم .یعنیw یک ترکیب خطی از و و است .

اسلاید 250: ب ) بردارهای در را در نظر میگیریم . چند ترکیب خطی از این بردارها به قرار زیرند :

اسلاید 251: 7. 3 .3 تعریف می گوییم فضای برداری توسط زیر مجموعه تولیدشده است ، اگر هر عضو یک ترکیب خطی از بردارهای باشد . در این صورت را یک مجموعه مولد می نامیم.8. 3. 3 مثال الف ) مجموعه مذکور یک مولد است . ب ) مجموعه مذکور یک مولد است . پ ) مجموعه مذکور یک مولد نیست .

اسلاید 252: ت ) مجموعه با مستقل خطی است ولی مولد نیست . برای مشاهده این مطلب فرض کنید .داریم x=0و y=0. بنابراین مستقل خطی است . حال اگر ترکیبی خطی از و باشد ، آنگاه باید xوy وجود داشته باشد بطوری کهو یا بنابراین باید داشته باشیمو لذا یا . بنابراین بردار یک ترکیب خطی از و نیست .

اسلاید 253: 12. 3. 3 قضیهاگر و دو پایه باشند آنگاه تعداد اعضای B مساوی است با تعداداعضای و این عدد برابر است با n . عدد اصلی تمام پایه های را بعد می نامیم و می نویسیم 13. 3 . 3 مثالالف ) با توجه به و قضیه فوق می ببینیم که به همین ترتیب نشان می دهد که

اسلاید 254: ب ) فرض کنید و در مجموعه بردارهای را در نظر می گیریم . می بینیم که اگر آنگاه و لذا B مستقل خطی است . حال اگر بردار دلخواهی باشد آنگاه بنابر ویژگیهای جمع برداری و ضرب عدد در بردار داریمو از این رو ، B یک مولد است . در نتیجهB پایه ای برای است و بنابراین

اسلاید 255: برخی زیر مجموعه های خود در اصول فضای برداری صدق می کنند . این زیر مجموعه ها را زیر فضاهای می نامیم . در زیر به تعریف این مفهوم می پردازیم .15. 3. 3 تعریف زیر مجموعه ناتهی را یک زیر فضای می نامیم اگر در شرایط زیر صدق کند .الف ) به ازای هر و هر .ب ) به ازای هر و هر .با توجه به شرط (ب) روشن است که اگر و دلخواه باشد ، آنگاه از این رو ، اگر S زیر فضایی از باشد آنگاه لزوماً بنابراین یک شرط کافی برای اینکه S زیر فضا نباشد آن است که .

اسلاید 256: 16. 3. 3 مثال الف ) مجموعه تمام ترکیبهای خطی بردار (1و1و1) راS می نامیم . داریمروشن است که اگر و دو عضو S باشند ، آنگاهوبنابراین مجموعه تمامی ترکیبهای خطی بردار (1و1و1) یک زیر فضای است . چون این مجموعه فقط توسط یک بردار غیر صفر (1و1و1) تولیدشده است .داریم dimS=1

اسلاید 257: ب ) مجموعه تمام ترکیبهای خطی بردار صفر (0و0و0) مســـــاوی است با{(0و0و0)} روشن است که{(0و0و0)}=S یک زیر فضای است .بنابه تعریفdimS=0 پ ) فرض کنیم به راحتی دیده می شود که S یک زیرفضای است . در واقع اگرو دو عضو S و عددی دلخواه باشد آنگاهروشن است که {(0و1و0) و (0و0و1)} مستقل خطی و یک مولد S است ،بنابراین dimS=2

اسلاید 258: 18. 3. 3 تعریففرض می کنیم و دو عدد طبیعی باشند . تابع رایکتابع خطی می گوییم اگر شرایط زیر برقرار باشدالف ) ب ) اگر در شرط (ب) قرار دهیم بدست می آوریمبنابراین یک شرط لازم برای خطی بودن f برقرار بودن تساوی است . اکنون فرض می کنیم یک تابع خطی است و می نویسیم

اسلاید 259: بدست می آوریممی بینیم که مقدار هریک از توابع در نقطه X ، عددی حقیقی است .بنابراین تابعی از به R است . به علاوه ها تابعی خطی هستند . در نتیجه تابع خطی f را ی توان توسط m تابع خطی حقیقی معین کرد . این توابع حقیقی را موءلفه های تابع f می نامیم .

اسلاید 260: 19. 3. 3 مثال الف ) تابع با تعریف f(x,y)=(2x+3y,x+2y)خطی است . در واقع به ازای u=(x,y) و و داریم :

اسلاید 261: موءلفه های این تابع عبارتند از :به آسانی دیده می شود که این موءلفه ها توابع خطی هستند .ب ) تابع با تعریف که در آن خطی نیست . اگر f خطی باشد باید داشته باشیم f(0, 0)=(0, 0, 0) چون داریم پس f خطی نیست .توجه کنید که علت خطی نبودن f وجود جمله ثابت 1در موءلفه اول fاست .

اسلاید 262: ث ) دوران به اندازه زاویه ثابت حول مبدأ مختصات ، یک تابع خطی ا زبه تعریف می کند .حل فرض می کنیم که با دوران مذکور نقطه به نقطه تبدیل شود . با توجه به شکل 1O B A xy

اسلاید 263: داریم چون و یعنی مختصات نقطه Y به ترتیب عبارتند از OBوBY و به دلیلدوران ،OY=OX پس برابریهای فوق به برابریهای زیر تبدیل می شوند.اکنون تابع را توسط و تعریف می کنیم . روشن است که f تابعی خطی است .

اسلاید 264: 21 .3. 3 تعریف (ماتریس تابع خطی )تابع خطی را در نظر می گیریم .فرض می کنیمو مقدار f در نقطه برابر با باشد . در اینصورت توابع به صورت زیر هستند .

اسلاید 265: ماتریس ضرایب دستگاه معادله های فوق را ماتریس f (نسبت به پایه های متعارفی ) می نامیم . بنابراین ماتریس f عبارت است ازمشاهده می کنیم که ماتریسی تابع ماتریسی است .22 .3 .3 مثال الف ) در مورد تابع خطی ، f(x,y)=(2x+3y,x+2y)داریم

اسلاید 266: ب ) در مورد تابع خطی ، f(x)=(2x,3x,0) داریم بنابراین ماتریس f ماتریسی و عبارت است از بنابراین ماتریس f، ماتریس و عبارت است از

اسلاید 267: 24. 3. 3 تعریف تابع خطی را در نظر می گیریم مجموعهرا هسته f می نامیم . به عبارت دیگر هسته f مجموعه تمام جوابهایمعادله زیر است .هسته f را بانمادK یا kerf نشان می دهیم .اگر ماتریس f و آنگاه می توان معادله فوق را به صورت معادله ماتریسییا دستگاه معادله های زیر نوشت

اسلاید 268: بنابراینker f مجموعه جوابهای دستگاه معادله های فوق است . دستگاهمعادله هایی را که طرف دوم آنها صفر است همگون می نامند .

اسلاید 269: 25. 3. 3 تعریف اگر یک تابع خطی باشد ، مجموعهرا تصویر f می نامیم .به عبارت دیگر تصویر f مجموعه تمام مقادیرf است .می بینیم که اگر آنگاه f پوشا است . در قضیه زیر ویژگیهای اصلی هسته و تصویر f را بیان می کنیم .26 .3. 3 قضیه فرض می کنیم تابعی خطی باشد . الف ) K هسته f یک زیر فضای است .ب ) R(f) تصویرf یک زیر فضای است .ت ) dim K+dim R(f)=n

اسلاید 270: 27. 3. 3 تعریفبعد هسته و بعد تصویر تابع خطی را به ترتیب پوچی و رتبهf می نامیم و آنها رابه ترتیب n(f) وr(f) نشان می دهیم .n(f)=dim K , r(f)=dim R(f)

اسلاید 271: 28. 3 .3 مثالب ) ماتریس ، هسته ، تصویر ،رتبه تابع خطی با تعریف f(x,y)=(2x,-x+y,x+4y) را پیدا می کنیم . حلبنا به تعریف ماتریس f عبارت است ازبنا به تعریف ، هسته f مجموعه جوابهای دستگاه زیر است .

اسلاید 272: و لذا{(0و0)}=K یعنی هسته f صفر بعدی است و .dim R(f)=2 اکنون پایه ای برای R(f) پیدا می کنیم .بنا به تعریف داریمچون f(1,0)=(2,-1,1) و f(0,1)=(0,1,4)پس بردارهای به R(f) تعلق دارند ، مجموعه مستقل خطی و مولد R(f) است . بنابراین dim R(f)=2 و یک پایه برای آن است .

اسلاید 273: توجه کنید که تعداد سطرهای مستقل خطی ماتریس A نیز 2 است.(امتحان کنید) . یعنی r(A)=r(f)=dimR(f)=230 .3. 3 تعریف تابع خطی را وارون پذیر می نامیم اگر تابع خطی وجود داشته باشد به طوری که =fog تابع همانی و=gof تابع همانی بنابراین تعریف ، ماتریس های fog و gof به ترتیب برابرند با ماتریس همانی و .اگر تابع g با شرایط فوق یافت شود ، آن را یک وارون f می نامیم و می نویسیم .

اسلاید 274: وارون هر تابع در صورت وجود یکتا است .می دانیم که یک شرط کلی وارون پذیری تابع یک به یک و پوشا بودن آن است . قبل از بیان معادل جبر خطی این شرط کلی مثال زیر را می آوریم .31. 3 . 3 مثال الف ) تابع f در ، f(x,y,z)=(x+2y-z,0,0) وارونپذیر نیست .زیرا یک به یک نیست . ب ) تابع f در ، f(x,y)=(2x,-x+y,x+4y) وارون پذیر نیست زیرا پوشا نیست ، البته این تابع یک به یک است .

اسلاید 275: پ) تابع خطی با تعریف f(x,y,z)=(2x+3y+z,x+y+3z) یک به یک نیست . در واقع دو صفحه 2x+3y+z=0 x+y+3z=0 دست کم دو نقطه تقاطع دارند و لذا هسته f بیش از یک نقطه دارد . یعنی fیک به یک نیست و در نتیجه وارون پذیر نیست .32. 3. 3 قضیه فرض کنید تابع خطی باشد . الف ) f یک به یک است اگر وتنها اگر ker f={0} . به عبارت دیگر f یک به یک است اگر و تنها اگر n(f)=0.

اسلاید 276: ب ) اگر m=n وf یک به یک باشد ، آنگاه f پوشاست . به عبارت دیگر تحت این فرضها وجود دارد .پ ) اگر m=n وf پوشا باشد ، آنگاه f یک به یک است . به عبارت دیگر تحت این فرضها وجود دارد .ت ) یک شرط لازم برای پوشا بودن f این است که . بنابراین اگر n<m آنگاه f وارون پذیر نیست . از (ت) نتیجه می شود که اگر وجود داشته باشد ، باید داشته باشیم و لذا m=n بنابراین ث ) تابع یک به یک ( یا پوشای ) f وارون پذیر است اگر وتنها اگرn=m .ج ) اگر A ماتریس f باشد آنگاه f وارون پذیر است اگر وتنها اگر A وارون پذیر باشد . به عبارت دیگر وجود دارد اگر وتنها اگر

اسلاید 277: 34 .3. 3 نتیجهتابع خطی وارون پذیر است اگر وتنها اگر r(f)=n این نتیجه را رتبه ماتریس به ماتریس ها نیز می توان تعمیم داد .فرض کنید ماتریسی باشد . هر یک از سطرهای A را عضوی از می گیریم . مثلاً سطرi ام را با نشان می دهیم . داریم مجموعه یک زیر فضا از تولید می کند . این زیر فضا را با S نشان می دهیم .

اسلاید 278: 35. 3. 3 تعریف بعد زیر فضای S را رتبه A می نامیم و آن را باr(A) نشان می دهیم . بنا به تعریف بُعد ،r(A) بیشترین تعداد بردارهای مستقل خطی مجموعه است . بنابراین .36 .3 .3 مثال الف ) سطرهای ماتریس مربععبارتند از به راحتی دیده می شود که مستقل خطی است .بنابراین r(A)=2 توجه می کنیم که

اسلاید 279: ت ) رتبه ماتریس برابر است با 3. توجه می کنیم که بزرگترین دترمینان غیر صفر حاصل از آن نیز است . در قضیه زیر ویژگیهایی از ماتریس و رتبه تابع خطی را بیان می کنیم .37 .3. 3 قضیه فرض می کنیم تابعی خطی با ماتریس A باشد.ویژگیهای زیر برقرارند.الف ) r(A)=r(f) ب ) r(A) تعداد سطرهای بزرگترین دترمینان غیر صفر حاصل از A است .پ ) اگرm=n آنگاه وجود دارد اگر وتنها اگر r(A)=n و لذا r(A)=n معادل است با

اسلاید 280: هدف این قسمت بررسی حلپذیری و حل دستگاههای m معادلهn مجهولی است . برای این منظور روشی به نام روش حذفی گاوس -جردن معرفی می کنیم . معرفی این روش نیازمند ابزارهای خاصی به نام عملهای سطری مقدماتی است . به هر عمل سطری مقدماتی یک ماتریس مربع نامنفرد به نام ماتریس مقدماتی این عمل وابسته است . از این رو ، ضمن معرفی روش گاوس _جردن این ماتریسها را نیز معرفی می کنیم .از جمله دستاوردهای جنبی روش گاوس – جردن روشی جهت محاسبه وارون و رتبه ماتریس است .4. 3 حل دستگاههای معادله های خطی

اسلاید 281: علاوه بر روش گاوس- جردن می توان دستگاههای n معادله n مجهولی را به استفاده از دترمینان ماتریس ضرایب مورد بررسی قرار داد .این روش برای دستگاهی که دترمینان مذکور صفر نباشد ، به فرمول کرامر برای جواب دستگاه منجر می شود .اگر دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه n معادله n مجهولی (1)یعنی

اسلاید 282: غیر صفر باشد ، آنگاه دستگاه (1) فقط یک جواب به صورت دارد ، که در آن 1. 4. 3 قضیه (دستور کرامر)با نمادهای فوق داریم(2)که در آن از قرار دادن B به جای ستون j ام A به دست می آید ، یعنی

اسلاید 283: 2. 4. 3 مثالالف ) در مورد دستگاه معادله های داریم چون (محاسبه کنید) ، پس دستورهای کرامر را می توان به کار برد .

اسلاید 284: داریمالبته با استفاده از وارون ماتریس نیز می توان X را محاسبه کرد .دستگاه معادله های

اسلاید 285: معادل است با معادله ماتریسیAX=B که در آنچون det A=0(چرا؟) پس دستگاه جواب ندارد یا بیشتر از یک جواب دارد . البته با اندکی محاسبه در می یابیم که این دستگاه جواب ندارد . برای راحت تر شدن کار می توان u=-y+z انتخاب کرد . دستگاهی از معادله های خطی را که دست کم یک جواب داشته باشد سازگار و در غیراین صورت ناسازگار می نامیم .تعیین سازگاری یا ناسازگاری یک دستگاه از معادله های خطی با استفاده از عملهای سطری مقدماتی به راحتی صورت می گیرد .

اسلاید 286: 4. 4. 3 تعریف یک دستگاه m معادله n مجهولی داده شده است الف ) هر یک از عملهای 1 ) دو معادله را جا به جا کنیم . 2 ) معادله k ام را با معادله l ام جمع و نتیجه را به جای معادله l ام قرار دهیم (معادله k ام در جای خود می ماند ) . 3 ) معادله ای را در عدد غیر صفری چون c ضرب کنیم .ب ) ماتریس ضرایب وماتریس افزوده دستگاه حاصل ازاعمال یک یا چند عمل سطری مقدماتی بر این دستگاه را به ترتیب هم ارز سطری ماتریس ضرایب و ماتریس افزوده دستگاه اصلی می نامیم .

اسلاید 287: پ )با هرعمل سطری مقدماتی روی یک دستگاه یک ماتریس مربع متناظر است ، بطوری که وقتی از طرف چپ در ماتریس افزوده دستگاه ضرب شود ، ماتریس افزوده دستگاه حاصل از اعمال این عمل سطری مقدماتی در دستگاه اصلی بدست می آید .این ماتریس را ماتریس مقدماتی می نامند .5. 4. 3 مثالدستگاه سه معادله سه مجهولی را در نظر می گیریم .

اسلاید 288: صورت ماتریسی این دستگاه عبارت است از با تعویض جای معادله های اول ودوم ، این دستگاه به( *)تبدیل می شود . مشاهده می کنیم که صورت ماتریسی این دستگاه جدید عبارت است از

اسلاید 289: حال در ماتریس واحد عمل فوق را اعمال می کنیم و بدست می آوریم. این ماتریس را از طرف چپ در ماتریس افزوده دستگاه اصلی ضرب می کنیممشاهده می کنیم که ماتریس حاصل ماتریس افزوده دستگاه ( *) است بنابراین، ماتریسی است مقدماتی که با ضرب آن در هر ماتریس سطرهای اول و دوم این ماتریس جا به جا می شوند.

اسلاید 290: 7. 4. 3 تعریفماتریس چونB را در نظر می گیریم . 1- B را تحویل شده سطری می نامیم اگر الف ) اولین درایه غیر صفر (در صورت وجود ) هر سطرB برابر با 1باشد. ب ) همه درایه های ستونی ازB که شامل اولین درایه غیر صفر سطری از B برابر با صفرباشند . 2- B را تحویل شده سطری پلکانی می نامیم اگر تحویل شده سطری باشد و در شرایط زیر هم صدق کند .پ ) اولین درایه غیر صفر هر سطر از اولین درایه غیر صفر سطری بعدی به ستون اول (دست چپ ) نزدیکتر باشد .ت ) بعد از سطری که همه درایه های آن صفرند ، سطر غیر صفری وجود نداشته باشد .

اسلاید 291: 10. 4. 3 مثالالف ) با انجام عملهای سطری مقدماتی ماتریس زیر را به یک ماتریس تحویل شده سطری پلکانی تبدیل می کنیم .حل

اسلاید 292: رابطه فوق نکته های بسیاری را بیان می کند . اول این که این رابطه نشان می دهد که وجود دارد و برابر است باکه در آن I ماتریس واحد است .

اسلاید 293: بنابراین اگر هنگام انجام عملهای سطری مقدماتی روی A جهت پیدا کردن هم ارز تحویل شده سطری پلکانیA ، این عملها را روی ماتریس واحد هم اندازه باA نیز انجام دهیم به محض تبدیل شدن A به ماتریس واحد ، ماتریس واحد نیز به وارون A تبدیل می شود .دوم اینکه از این رابطه نتیجه می شود که A حاصلضربی از ماتریس های مقدماتی است ، البته این تجزیه یکتا نیست و به ترتیب انجام عملهای سطری مقدماتی بستگی دارد .متذکر می شویم که اگر بعداً نیازی به ذکر عملهای سطری مقدماتی نباشد ، می توان از درج آنها خودداری کرد .

اسلاید 294: 13. 4. 3 مثال کاربرد عملهای سطری مقدماتی در حل دستگاههای معادله های خطیمی خواهیم سازگاری یا عدم سازگاری دستگاه چهار معادله سه مجهولی زیر را تعیین می کنیم .حل با استفاده از هم ارز سطری ، ماتریس افزوده دستگاه را به صورت ساده تری می نویسیم . ماتریس افزوده دستگاه عبارت است

اسلاید 295: با ضرب سطر اول به ترتیب در 2-،1، 3- و جمع حاصل به ترتیب با سطرهای دوم ، سوم و چهارم A تبدیل می شود به ماتریسبا ادامه این روش صورت تحویل شده سطری A به صورت زیر به دست می آید .

اسلاید 296: بنابراین دستگاه اصلی هم ارز معادله ماتریسی ویا هم ارز دستگاه معادله های زیر است .آخرین معادله که یک تناقض است ، نشان می دهد که دستگاه ناسازگار است .

اسلاید 297: وجود پایه های متعدد برای فضای برداری این امکان را فراهم می آورد کهبرای مقاصد مختلف از پایه های متفاوت و مناسب استفاده کنیم .از آنجا که هر پایه (مرتب) یک دستگاه مختصات برای فراهم می کند ، این بدانمعناست که مثلاً اگر در دستگاه مختصات xoy معادله خم c به صورتباشد ، ممکن است در دستگاه مختصاتی چون uov این معادله را به صورت ساده تری بنویسیم و به این ترتیب امکان شناسایی کامل خم را مهیا کنیم . 5. 3 تبدیل مختصات

اسلاید 298: برای رسیدن به این هدف لازم است قبلاً مفاهیمی چون ویژه بردار و ویژه مقدار یک ماتریس مربع و نیز مفهوم ماتریس های متشابه را بدانیم . خواهیم دید که ویژه بردارهای یک ماتریس یک پایه برای است . این پایه در بسیاری موارد برای مقاصد این درس کفایت خواهد کرد . 1. 5. 3 تعریففرض می کنیم تابعی خطی باشد .بردار متعلق به را یک ویژه بردار f می نامیم اگر عددی چون وجود داشته باشد که (1)در این صورت را یک ویژه مقدار f می نامیم .

اسلاید 299: فرض کنید تابع همانی باشد ، در این صورت به ازای هر ، I(V)=V و بنابراین معادله (1) را می توان به صورت (2) نوشت ، و لذا ویژه بردارهای f عضوهای غیر صفر هسته تابع خطی هستند . به عبارت دیگر هر ویژه بردار f ریشه غیر صفری از معادله (2) است .2. 5. 3 مثالویژه بردارها و ویژه مقدارهای تابع خطی را پیدا می کنیم .

اسلاید 300: حل برای این منظور معادله یا دستگاه معادله های را نسبت به x،y حل می کنیم .

اسلاید 301: می دانیم که این دستگاه جواب غیر صفر دارد اگر وتنها اگر دترمینان ضرایب آن صفر باشد ، یعنی یا (3) بنابراین ویژه مقدارهای f عبارت اند از حال هر یک از این مقدارها را در دستگاه معادله های ( *) قرار می دهیم ودستگاه را حل می کنیم تا ویژه بردارهای وابسته به این ویژه مقدار بدست آیند .

اسلاید 302: الف ) به ازای دستگاه به صورت در می آید ، مشاهده که هر بردار V به صورتو با شرط y=x یک جواب این دستگاه است . بنابراین بردارهای ویژه بردارهای متعلق به ویژه مقدار هستند . یکی از این ویژه بردارها با

اسلاید 303: انتخاب به صورت زیر بدست می آید .طول این ویژه بردارمساوی است با 1 و لذا برداری یکه ؛ ویژه بردار یکه است . ب ) به ازای ، دستگاه ( *) به صورت در می آید . هر جواب غیر صفر این دستگاه به صورت است . بنابراین هر یک از بردارهای

اسلاید 304: یک ویژه بردار متعلق به است . ویژه بردارکه به ازای به دست می آید ، دارای طول واحد و لذا ویژه برداری یکه است .برای کاربردهای بعدی خلاصه حل مثال فوق را بیان می کنیم .الف ) ماتریس تابع خطی را تشکیل دادیم .ب ) دترمینان این ماتریس را مساوی با صفر قرار دادیم و با حل معادله حاصل مقدارهای را بدست آوردیم . این مقدارها همان ویژه مقدارهایf هستند .

اسلاید 305: پ ) هر یک از ویژه مقدارهایf را در معادله ماتریسیقرار دادیم و ویژه بردارهای وابسته به آن را پیدا کردیم .ت ) به ازای هر ویژه مقدار یک ویژه بردار با طول واحد انتخاب کردیم .مشاهده می کنیم که در این روش معادله نقش ویژه ای ایفا می کند و لذا نام ویژه ای هم دارد .3 .5 .3 تعریف فرض می کنیم تابع خطی و ماتریس آن باشد . در این صورت ماتریس تابع خطی به صورت زیر است.

اسلاید 306: این ماتریس را ویژه ماتریس f ، معادله را معادله مشخصه f و چند جمله ای درجه n ام طرف چپ معادله را چند جمله ای مشخصه f می نامیم . روشن است که ریشه های معادله مشخصه f ویژه مقدارهای f هستند .4. 5. 3 مثالالف ) ماتریس تابع خطی عبارت است از

اسلاید 307: ویژه ماتریس ، معادله مشخصه ، ویژه بردارها ویژه مقدارهای f را پیدامی کنیم حل ویژه ماتریس f عبارت است از و لذا معادله مشخصه f را به صورت زیر به دست می آوریم .برای پیدا کردن ویژه بردارهای f فرض می کنیم یک ویژه بردار f باشد ، باید داشته باشیم :

اسلاید 308: و یا از حل این معادله ماتریسی نسبت به xوy ملاحظه می کنیم که بنابراین یک ویژه بردار وابسته به ویژه مقدار است .

اسلاید 309: 5 .5 .3 تعریف فرض می کنیم ماتریس باشد . منظور از یک ویژه مقدار A عددی چون است به طوری که بردار غیر صفر را یک ویژه بردار A می نامیم اگر یااکنون که با مفاهیم ویژه مقدار و ویژه بردار برای یک تابع خطی یا برای یک ماتریس آشنا شدیم ، چند نکته ضروری است .

اسلاید 310: الف ) برخی ویژه مقدارهای برخی ماتریسها ممکن است اعداد حقیقی نباشد بنابراین سوءال این است که ویژه مقدارهای کدام ماتریسها همگی حقیقی اند؟ ب ) مجموعه ویژه بردارهای تابع خطی مستقل خطی است .در مورد بند (الف) مثالی می آوریم و ثابت می کنیم که هر ماتریس متقارن حقیقی دارای ویژه مقدارهای حقیقی است . در مورد بند (ب) قضیه ای را بدون اثبات بیان می کنیم .

اسلاید 311: 7. 5. 3 مثالویژه مقدارهای ماتریس ریشه های معادله هستند.داریم مشاهده می کنیم که ریشه های معادله عبارت اند از اعداد مختلط .

اسلاید 312: 8. 5. 3 لماگر ماتریس تابع خطی متقارن باشد ، آنگاه به ازای هر و داریمf(X),Y=X,f(Y) که در آن «0» نشانگر ضرب داخلی در است . 10 .5. 3 قضیهاگر ماتریس تابع خطی متقارن باشد ، آنگاه تمام ویژه مقدارهای آن حقیقی هستند ، به علاوه ویژه بردارهای وابسته به ویژه مقدارهای متفاوت متعامدند و لذا مجموعه این بردارها مستقل خطی است.

اسلاید 313: 11. 5. 3 مثال درستی حکمهای قضیه قبل را در مورد ماتریس بررسی می کنیم .حل ویژ معادله مشخصه ماتریس A عبارت است از یا

اسلاید 314: ویا بالاخرهیکی از ریشه های این معادله است و دو ریشه دیگر از حل معادلهبدست می آیند . این ریشه ها عبارتند ازبنابراین ویژه مقدارهای A حقیقی هستند . اکنون ویژه بردارهای وابسته به این ویژه مقدارها را بدست می آوریم الف ) فرض می کنیم ویژه برداری وابسته به ویژه مقدار باشد . در این صورت باید داشته باشیم یا

اسلاید 315: و از این رو این معادله ماتریسی معادل است با دستگاه معادله های خطی از حل این دستگاه بدست می آوریم که در آن y عدد حقیقی غیر صفر دلخواهی است .

اسلاید 316: ب ) یک ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار را می نامیم،داریمیا مانند (الف ) این معدله را نسبت به x،y،z حل می کنیم و بدست می آوریمکه در آن y عدد حقیقی غیر صفر دلخواهی است .

اسلاید 317: پ ) و بالاخره با اندکی محاسبه ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار را به صورت زیر بدست می آوریم .که در آن دلخواه است . مشاهده می کنیم که و و دو به دو متعامدند .در مثال فوق اگر ویژه بردارهای یکه متناظر با ویژه مقدارهای و و را به ترتیب بنامیم ، داریم توجه کنید که مستقل خطی و از این رو پایه ای برای است.

اسلاید 318: 14 .5 . 3 (ماتریس های متشابه )فرض کنید A،B دو ماتریس مربع باشند . می گوییم A باB متشابه است اگر ماتریس نامنفرد C وجود داشته باشد بطوری که 15 . 5. 3 تعریف ماتریس مربع A را قطری شدنی می نامیم اگر با یک ماتریس قطری متشابه باشد . در این صورت ، D را مشابه قطری A می نامیم .اکنون سوءال این است که چگونه مشابه قطری یک ماتریس را پیدا کنیم . برای این منظور قضیه زیر را بدون اثبات می آوریم .

اسلاید 319: 16 . 5. 3 قضیه فرض می کنیم A ماتریسی باشد . Aبا ماتریس قطریD متشابه است، اگر و فقط اگر مجموعه ویژه بردارهای آن مستقل خطی و شامل n بردار باشد . در این صورت اعضای روی قطر D ، ویژه مقدارهای A هستند .17 . 5. 3 مثال الف ) نشان می دهیم که ماتریس قطری شدنی است .حلبه آسانی دیده می شود که ویژه معادله ماتریس A است .

اسلاید 320: بنابراین ویژه مقدارهای A هستند . به ویژه مقدار مضاعف دو ویژه برداروابسته است . به همین ترتیب ویژه بردار به ویژه مقدار وابسته است .چون مجموعه مستقل خطی است ، پس A قطری شدنی است .حال با استفاده از این ویژه بردارها ماتریس C را به صورت تشکیل می دهیم . به آسانی دیده می شود

اسلاید 321: بنابراین یعنی Aقطری شدنی است .

اسلاید 322: 19. 5. 3 تعریفماتریس مربع C را متعامد می نامیم اگر بنابراین اگر ماتریسی و متعامد باشد وآنگاه بنابه تعریف حاصلضرب دو ماتریس و با توجه به تعریف ترانهاده ماتریس داریم بنابراین ، طول هر سطر یا ستون یک ماتریس متعامد به عنوان برداری متعلق به مساوی است با 1 و به علاوه دو سطریا ستون ناهمنام اینگونه ماتریسها بر هم عمودند .

اسلاید 323: 20 .5 .3 مثالماتریسمتعامد است ، زیرا طول هر سطر یا ستون آن 1 است و هر دو سطر یا ستون نا همنام آن متعامدند ، البته با پیدا کردن حاصلضرب نیز می توان به متعامد بودن C پی برد .

اسلاید 324: 22. 5. 3 قضیه اگر ویژه مقدارهای ماتریس متقارن A باشد آنگاه ماتریس متعامد C وجود دارد که سوال این است که C را چگونه تعیین کنیم . به مثال زیر توجه کنید .23. 5. 3 مثال می دانیم که ویژه مقدارهای ماتریسعبارتند از

اسلاید 325: ویژه بردارهای یکه متناظر با این مقدارها عبارت اند ازروشن است که ماتریس متعامد است وداریم

اسلاید 326: این بدان معناست که اگر A ماتریس تابع خطی نسبت به پایه متعارفی باشد ، آنگاه این ماتریس نسبت به پایه مرتب به صورت قطری فوق است . بنابراین به ازای ماتریس متقارن ای چون A با ویژه مقدارهای اگر ویژه بردارهای یکه متناظر با آنها را به ترتیب بنامیم آنگاه ماتریس مورد نظر خواهد بود .

اسلاید 327: 25. 5. 3 تعریف هر عبارت به صورت و یا را یک صورت درجه دوم دو یا سه متغیره می نامیم .مشاهده می کنیم که اگر یا آنگاه صورتهای درجه دوم دو یا سه متغیره را می توان به ترتیب به صورت

اسلاید 328: یا نوشت . ماتریس متقارن موجود در هریک از این صورتها را ماتریس آن صورت درجه دوم می نامیم .26. 5. 3 مثال الف ) عبارت یک صورت درجه دوم دو متغیره است . ماتریس این صورت درجه دوم عبارت است از ب ) عبارت یک صورت درجه دوم دو متغیره است ، ماتریس این صورت درجه دوم عبارت است از

اسلاید 329: پ ) عبارت یک صورت درجه دوم سه متغیره است . ماتریس این صورت درجه دوم عبارت است ازروش نوشتن ماتریس صورت درجه دوم را در شکل زیر شان داده ایم .

اسلاید 330: اکنون فرض می کنیم A ماتریس یک صورت درجه دوم سه متغیره و ویژه مقدارهای آن باشند . می دانیم که اگر ویژه بردارهای یکه متناظر با ویژه مقدارهای باشند آنگاه که در آن بنابراین اگر آنگاه ( *)

اسلاید 331: مشاهده می کنیم که در دستگاه مختصاتی که محورهای آن در امتداد باشند ، صورت درجه دوم داده شده حالت ساده را به خود می گیرد، این حالت را صورت متعارفی صورت درجه دوم وC را ماتریس تغییر مختصات می نامیم . معادله ماتریسی ( *) یا دستگاه معادله های را که در آن دستگاه معادلات تغییر مختصات می نامیم .

اسلاید 332: 28. 5. 3 مثال الف ) فرض می کنیم ماتریس یک صورت درجه دوم باشد . دستگاه مختصاتی پیدا می کنیم که این صورت درجه دوم در آن دستگاه دارای جمله مخلوطی به صورت xy،yzیاzx نباشد . سپس این صورت را به صورت متعارفی در می آوریم .حلابتدا ویژه مقدارهای A و سپس ویژه بردارهای متناظر با این مقدارها را بدست می آوریم . داریم

اسلاید 333: اکنون ویژه بردارهای متناظر با این ویژه مقدارها را پیدا می کنیم . فرض کنید یک بردار دلخواه غیر صفر باشد .x یک ویژه بردار متناظر با است . اگر جواب دستگاهیا جواب معادلهx-2y+z=0 باشد چون هر یک از بردارهای

اسلاید 334: جوابهای دستگاه مذکورند، پس به ترتیب می توانند ویژه بردارهای متناظر با محسوب شوند . یک ویژه بردار متناظر با جواب غیر صفری از دستگاه یا دستگاه است .با حذف y از دو معادله اول ، این دستگاه معادل می شود با دستگاه

اسلاید 335: از این رو ، به ازای هر برداریک بردار ویژه متناظر با است .حال ماتریس C را با قرار دادن ویژه بردار یکه متناظر با درستون iام آن تشکیل می دهیم.به راحتی دیده می شود که این ماتریس متعامد است .

اسلاید 336: حال دستگاه مختصاتی را در نظر می گیریم که امتدادهای محورهای آن به ترتیب ستونهای اول ، دوم و سومC هستند . اگر به ترتیب ستونهای اول، دوم سوم Cباشند ، اعداد وجود دارند بطوری کهسه معادله حاصل از این دستگاه معادلات ، معادلات تغییر مختصات هستند . در نتیجه صورت درجه دوم مورد نظر ، یعنی به صورت زیر در می آید

اسلاید 337: هدف کلی از ارائه این فصل آشناکردن دانشجو با مفهوم رویه ،رویه های درجه دوم ورده بندی آنها ودستگاههای مختصات معروف در فضای سه بعدی است.فصل چهارمرویه هاودیگر دستگاههای مختصاتهدفهای کلی

اسلاید 338: دانشجو پس از مطالعه این فصل باید مفاهیم مربوط به رویه های استوانه ای ودوار را بداندو به کار ببرد.رویه های درجه دوم رابا استفاده از روش های جبرخطی فصل 3 شناسایی کند.از روی معادله متعارفی درجه دوم، شکل رویه معرف آن را تشخیص دهد.دستگاههای مختصات استوانه ای و کروی را بشناسد واز آنها استفاده کند.هدفهای رفتاری

اسلاید 339: 1. 4 رویه های استوانه رویه های دوار1. 1. 4 تعریف فرض کنید C خمی واقع بر صفحه ای چون P و L خطی ناواقع براین صفحهاست که باآن موازی نیست. خطی که متکی بر C و موازی با L حرکت کند رویه ای تولید می کند. این رویه را استوانه یا رویه استوانه ای می نامیم.خم C را هادی استوانه وهر یک از خطهای موازی با L و متکی بر خم C را یک مولد استوانه می نامیم.PLC

اسلاید 340: 2. 1. 4 مثال:می دانیم که معادله هایمعادله های دایره به مرکز (0, 0, 0) و شعاع r =1 در صفحه xoy هستند. حال اگر خطی بر این دایره تکیه و موازی با محور z حرکت کند ، یک استوانه قائم پدید می آورد. معادله های پارامتری خطی ازاین نوع که از نقطه واقع بردایره میگذردعباتست ازبا توجه به این معادله ها می بینیم که z دلخواه است و از تا می تواند تغییرکند . ازاین معادله ها و را حذف می کنیم و معادله زیر را بدســـت می آوریم.

اسلاید 341: عدم وجود z در این معادله نشانه دلخواه بودن z است . بنابراین(1) معادله موردبحث است . در شکل زیر قسمتی از این استوانه نشان داده شده است.

اسلاید 342: 4. 1. 4 معادله استوانه بطور کلی هر خم C در فضای سه بعدی مجموعه جواب های یک دستگاهدو معادله سه مجهولی است. حال اگر این معادله هارا f(x,y,z) =0 g(x,y,z) بنامیم آمگاه خم C را به صورت نشان می دهیم. و

اسلاید 343: حال فرض کنید هادی استوانه ای توسط دستگاه معادله هایداده شده باشد. اگر خط D یکی از مولدهای این استوانه ای باشد، D را می توان فصل مشترک دو صفحه در نظر گرفت، یعنیتوجه کنید که وقتی در این دستکاه و تغییر کنند خطوط موازی D حاصل می شوند.

اسلاید 344: حال فرض کنید A(x,y,z) نقطه ای روی استوانه ای باشد. دراین صورت و باید چنان اختیار شوند که نقطه A(x,y,z) در معادله های (3) صدق کند.از طرف دیگر به ازای این مقادیر و خط D باید خم C قطع کند ،بنابراینD وز باید در نقطه ای چونB(s,t,u) مشترک باشند. یعنی این نقطه باید در معادله های (2) و(3) به طور همزمان صدق کند ، یعنیاکنون بین این معادله ها u , t , s را حذف می کنیم و در معــــادله حاصلقرار می دهیمومعادله استوانه را در نظر می گیریم.

اسلاید 345: 5. 1. 4 مثال:می خواهیم معادله استوانه ای را بنویسیم که C هادی آن دارای معادله هایومولد آن موازی خط y = z x =باشد.حل:معادله های مولد را به صورتدر نظر می گیریم. حال از دستگاه معادله های

اسلاید 346: z,y, x را حذف می کنیم ، نتیجه می شود .در نتیجه معادله استوانه مورد نظر عبارتست از یا7. 1. 4 تعریف خم C و خط l را که هردو روی یک صفحه هستند ، در نظر می گیریم. اگرC حول l دوران کند ، رویه ای به نام رویه دوار حاصل می شود . خم C رایک مولد و خط l را محور دوران این رویه می نامیم.

اسلاید 347: می خواهیم معادله رویه دوار ی را که از دوران خم C حول محور l پدید می آیدبدست آوریم.خم C خم l

اسلاید 348: 8. 1. 4 مثالخم حول محور y دوران می کند، معادله رویه دوار حاصل را پیدا کنید.حل:وقتی حول محور y دوران می کند هر نقطه اش دایره ای پدید می آورد که مرکز آن روی محور y است.KoxyAByzjD

اسلاید 349: فرض کنید نقطه دلخواهی روی این رویه باشد. از B صفحه عمودبر محور دوران ، محورOy را رسم می کنیم تا رویه را در دایره ای به مــرکز A و خم C را در نقطه D قطع کند. مختصات A عبارتست از(0,y ,0) اگر D دارایمختصات باشد، باید داشته باشیم.چون فاصله D و B از نقطه A باهم برابر است ، داریم:واز این رو، با توجه به این رابطه و روابط(4)معادله رویه دوار به صورت زیر حاصل می شوداین رویه را سهمیوار دوار می نامیم.

اسلاید 350: 10. 1. 4 مثالفرض کنید خط D واقع بر صفحه xoy و موازی با محور y، حول این محور دوران کند. در این صورت یک استوانه پدید می آید. می خواهیم معادله این استوانه را بهدو طریق بدست آوریم.حل:راه حل اول. به شکل زیر توجه کنید.DCBAoxzy

اسلاید 351: فرض کنید B(x,y,z) نقطه دلخواهی واقع بر استوانه باشد. این نقطه بر دایره به مرکز A(0,y,0) واقع است. این دایره خط D را که دارای معادله x =c است درنقطه C(c,y,0) قطع می کند. از تساوی AC=BC نتیجه می شود:واز این رو، معادله استوانه عبارتست از

اسلاید 352: راه حل دوم . خطD محل تلاقی دو صفحه x - c=0 و z = 0 است. بنابراین، هریک از مولدهای استوانه به صورتاست. معادله خمی که این خط ها متـکی بر آن به موازات D قرار دارند و استوانه را می سازند عبارتست ازدر نتیجه معادله استوانه عبارتست از

اسلاید 353: 2. 4 رویه های در جه دوماکنون که با رویه های استوانه ای و رویه های دوار آشنا شدیم، رویه هاییرا معرفی می کنیم که تعمیم طبیعی خمهای درجه دوم ، یعنی مقاطـــعمخروطی هستند.این رویه ها،رویه های درجه دوم نامیده می شونــد. کره یک مثالی از یک رویه در جه دوم است.

اسلاید 354: 1. 2. 4 تعریف نمودار معادله در جه دوم سه مجهولیرا که درآن J, I, H, G, F, E, D, C, B, A اعداد ثابت و F, E, D, C, B, A همه صفر نیستند، یک رویه درجه دوم می نامیم. به عبارت دیگر یک رویه درجه دوم مجموعه نقاطی چون (x,y,z) متعلق به فضای سه بعدی است که در معادله * صدق می کنند. *

اسلاید 355: 2. 2. 4 مثالدر معادله * قرار می دهیم الف)A = B = C =1 = -J و D = E = F = G = H = I =0 و به دست می آوریم:مشاهده می کنیم که این معادله ، معادله کره به مرکز (0و 0و 0) و شعاع 1 است، بنابراین می توان ادعا کرد که برخی از رویه های دوار رویه در جــه دوم نیز هستند. ب) با قرار دادن A = B = 1 و I = -1 و C = D = E = F = G = H = J = 0 وبه دست می آوریم.دیدیم ، این معادله معرف سهمیوار دوار است . بنابراین سهمیوار دوار نمونه دیگری ازیک رویه درجه دوم است.

اسلاید 356: سهمیوار بیضوی

اسلاید 357:

اسلاید 358:

اسلاید 359: 14. 2. 4 مثالرویه معرفی شده توسط معادله درجه دوم زیر را شناسایی کنید.حل:برای این منظور نخست قسمت درجه دوم طرف چپ معادله فوق یعنیرا درجه دوم نظر می گیریم.P(x,y,z) یک صوررت درجه دوم سه متغیره است. صورت ماتریسیP(x,y,z) عبارتست از

اسلاید 360: ویژه مقدارهای ماتریس ضرایب صورت درجه دوم مذکور عبارت اند ازویژه بردارهای یکه متناظر با این ویژه مقدارها عبارت اند ازاکنون تغییر مختصات *P(x,y,z) را به صورت زیر در می آورد

اسلاید 361: قسمت درجه اول معادله داده شده را نیز با استفاده * برحسب می نویسیم و بدست می آوریمدر نتیجه معادله داده شده برحسب به صورت زیر در می آید.مشاهده می کنیم که این معادله ، معرف یک هذلیوار یک پارچه است.

اسلاید 362: 3. 4 مختصات استوانه ای وکرویهدف این قسمت تعمیم مختصات قطبی به فضای سه بعدی است.بنابراین دستگاههای مختصات استوانه ای و کروی را معرفی وبرخی ویژگیهایآنها را بررسی می کنیم.xzByxCOrAy**

اسلاید 363: 1. 3 .4 تعریف اگر A(x,y,z) نقطه ای در دستگاه دکارتی xyz و B تصویر قائم آن بر صفحهxyباشد فرض کنید و اگر یک دسته مختصات قطبی B ، با محور قطبیOx وقطب o باشد، آن گاه رایک دسته مختصات اســتوانه ای نقطه A می نامیم.دامنه تغییرات r و را به ترتیب به بازه های و محدود می کنیم وr =0 را معرف محور z می گیریم. مشاهده می کنیم که با این محدودیت ها به هر نقطه در فضا فقط یک دستهمختصات استوانه ای نسبت داده می شود.

اسلاید 364: 2. 3. 4 رابطه مختصات دکارتی و استوانه ایفرض می کنیم (x,y,z) و به ترتیب مختصات دکارتی و استوانه ای نقطه A باشند.در مثلث قائم الزاویه OCB (قائمه در C) شکل ** داریم(1)به علاوه بنا به تعریف داریم z =z (2) در نتیجه اگر مختصات استوانه ای نقطه A داده شده باشنداز روابط (1) و(2) مختصات دکارتی A به دست می آیند.

اسلاید 365: برعکس، باتوجه به شرایط و از روابط (1) نتیجه می شودکهبنا براین اگر مختصات دکارتی (x,y,z) نقطه A داده شده باشد آن گاه مختصات استوانه ای آن عبارت خواهد بود ازz = z

اسلاید 366: 3. 3. 4 مثالنقطه در دستگاه مختصات دکارتی داده شده است ، مختصات استوانه ای آن را تعیین می کنیم.حل:فرض می کنیم که مختصات استوانه ای A باشد ، داریم

اسلاید 367: 6. 3. 4 استوانهفرض کنید c عددی ثابت ونامنفی باشد. در دستگاه مختصات استوانه ای مجموعه استوانه ای است که خم هادی آن و مولد آن موازی با محور z است. معادله این استوانه در دستگاه مختصات استوانه ای ودر دستگاه مختصات دکارتی است. r = c

اسلاید 368: استوانه r = cxyz

اسلاید 369: 7. 3. 4 نیم صفحه فرض می کنیم عددی ثابت باشد . در دستگاه مختصات استوانه ایمجموعه یک نیم صفحه است. بسته به ازای این نیم صفحه عبارت است از تمام نقاط صفحه xoy که شامل نیمه نامنفی محور x است.

اسلاید 370: 8. 3. 4 مثالنمودار معادله را در دستگاه مختصات استوانه ای رسم کنید.حل:این نمودار عبارت است از مجموعه نقا طبنابراین مختص zعددی است اختیاری .به ازای z = 0 ، یک دلنما در صفحه xoy است. بنابراین، مجموعه َA یا به بیان دیگر معادله یک استوانه است که هادی آن دلنمایمذکور و مولد آن موازی با محور z است .

اسلاید 371: xyzقسمتی از نمودار معادله

اسلاید 372: 10. 3. 4 تعریف سه تایی مرتب را مختصات کروی نقطه A می نامیم.توجه کنید که چون معرف یک نیم صفحه ومحور oz واقع در آن محورقطبی است، دامنه تغییرات ، عبارت است از یعنی 11. 3. 4اگر (x,y,z) مختصات دکارتی نقطه A باشد. آن گاه مختصات کروی آن از روابط زیر به دست می آیند.رابطه مختصات دکارتی و کروی

اسلاید 373: برعکس اگر مختصات کروی نقطه A با مختصات دکارتی (x,y,z) باشد آن گاه با توجه به شکل اسلاید بعدی وروابط فوق داریم

اسلاید 374: xzyrمختصات کروی

اسلاید 375: 12. 3. 4 مثالنقطه A(-2, 1, -3) در دستگاه مختصات دکارتی داده شده است. مختصات کروی این نقطه را پیدا می کنیم. حل:داریمدر مورد داریمولذا داریم

اسلاید 376: 15. 3. 4 الف) معادله کره : می دانیم کهمعادله کره به مرکز O و شعاع r است این معادله در دستگاه مختصات کرویبه صورتنوشته می شود. ب) معادله نیم صفحه : همانند دستگاه مختصات استوانه ای اگر عددی ثابت باشد ، معرف یک نیم صفحه است. پ) معادله مخروط : اگر عددی ثابت باشد، می خواهیــم نمودارمعادله راپیدا کنیم.

اسلاید 377:

اسلاید 378: 16. 3. 4 مثالصورت دکارتی معادله کروی را بنویسید.حل:برای این کار دو طرف معادله داده شده را در ضرب می کنیم تا به دست آوریم.اکنون با توجه به روابط تعریف شده داریم:ویابنابراین معادله داده شده ، معادله کره به مرکز و شعاع است.

اسلاید 379: فصل پنجمتوابع برداری یک متغیرههدفهای کلیهدفهای کلی این فصل را می توان به صورت زیر خلاصه کرد.آشناکردن دانشجو با توابع برداری یک متغیره ، حساب دیفرانسیل و انتگرالوکاربردهای این توابعمطالعه حرکت در صفحه و فضا با استفاده از ویژگی های توابع برداریبه کاربستن مطالبی از فصل های گذشته در این فصل .

اسلاید 380: هدفهای رفتاریدانشجو پس از مطالعه این فصل بایدبتواندحد، مشتق وانتگرال توابع برداری یک متغیره را محاسبه کند.خم و مسیر را تعریف ومعادله های پارامتری برخی از مسیر ها را پیدا کندخم هموار را بشناسد، طول خم داده شده را محاسبه و در صورت امکان خمرا توسط طول خم پارامتری کند.ت- برخی خم ها ی معروف از جمله سیکلوئید (چرخزاد)و... رابشناسد وطول وانحنای آنها را محاسبه کند.ث- مفاهیم مربوط به حرکت در یک صفحه ،ازجمله سرعت ، شتاب، تندی، مولفه های قائم و مماسی شتاب را محاسبه کند.

اسلاید 381: ج- دستگاه مختصات متحرک TN را به ازای هر مسیر داده شده به دست آورد و از آن برای محاسبه انحنای مسیر، و معادله دایره انحنا استفاده کند.چ- فرمول های مربوط به انحنای مسیر را بداند.ح-دستگاه مختصات فضایی TNB را در هر نقطه از مسیر داده شده به دستآوردو با استفاده از آن انحنا وتاب مسیر های فضایی را پیدا کند.خ) فرمول های مربوط به تاب را به دست آورد ومسطح یا نا مسطح بودن خم را تشخیص دهد.د) صفحه قائم و صفحه بوسان و صفحه رکتیفایر را در مورد هر خم داده شده به دست آورد.

اسلاید 382: 1. 5 توابع برداری یک متغیره 1. 1. 4 تعریف تابع که در آن و n = 2 و n = 3 را یک تابع برداری یک متغیرهمجموعه A را دامنه و مجموعه را برد این تابع می نامیم. به ازای n = 2 و ، f(t) را می توانیم به صورت زیر بنویسیم: که در آن و توابعی حقیقی روی A هستند. از طرفدیگر f(t) معرف نقطه ای چون است. بنابراین داریم:

اسلاید 383: معادله های (1) را معادله پارامتری نگاره fیعنی مجموعه f(A) ،وتوابع ورا مولفه های f و متغیر t را یک پارامتر می نامیم.به همین ترتیب به ازای n =3 ، اگر توابع حقیقی وi = 1 , 2 چنانباشند کهآنگاه این توابع را مولفه های f و معادله هایرا معادله های پارامتریf(A) و متغیر t را یک پارامتر می نامیم

اسلاید 384: 2. 1. 5 مثالبه ازای A = [0,1) تابع با تعریف دارای مولفه هایو مجموعه f(A) دارای معادله های پارامتریاست.توجه کنید که f(A) دایره به مرکز O(0,0) و شعاع r =1 ،یعنی دایره واحد است.در واقع اگر نقطه دلخواهی متعلق به f(A) باشد ،آنگاه*

اسلاید 385: یعنی (x,y) متعلق به دایره واحد است، برعکس هر نقطه دلخواه روی دایره واحدرا فقط به یک صورت می توان توسط معادله های * با نشان داد. توجه کنید که نمودار f ، یعنی مجموعه با نگاره f متفاوت است. در شکل اسلاید بعدی مجموعه های f(A) و G را در دستگاه مختصات txy نشان داده ایم. توجه کنید که G روی استـــــــوانه قرار دارد.

اسلاید 386: (1,0,0)(0,0,1)f(A)oxty

اسلاید 387: 3. 1. 5 مثالتابع با تعریف دارای مولفه های است. معادله های پارامتری f(R) عبارت اند از:توجه کنید که در این حالت نمودار f یک زیر مجموعه از است ولذ ا قابلترسیم نیست. ولی f(R) زیر مجموعه ای از است . داریم

اسلاید 388: مشاهده می کنیم که به ازای هر ، بنابراین هر نقطه روی استوانه قائم واقع است. مجموعه f(R) ،یعنی نگارهf را یک پیچوار(هلیس) مدور می نامیم.x

اسلاید 389: 6. 1. 5 تعریف می گوئیم تابع برداری با و با در نقطه دارای حد است اگربه عبارت دیگر تابع f در نقطه حد دارد اگر و تنــــها اگر هر یک از مولفه های آن در این نقطه حد داشته باشد.

اسلاید 390: 9. 1. 5 تعریف می گوئیم تابع که در آن n = 2 یا n = 3 در نقــــطه پیوسته است اگر داشته باشیم:f را روی A پیوسته می نامیم اگر در هر یک از نقاط A پیوسته باشد .با توجه به تعریف مشاهده می کنیم که تابع f در نقطه t = a پیوسته است اگرو تنها اگر هر یک از مولفه های f در a پیوسته باشد. به عبارت دیگر اگرآنگاه f در a پیوسته است اگر وتنها اگر توابع د رaپیوسته باشند.یا

اسلاید 391: 10. 1. 5 مثال الف) تابع در نقطه t = 0 پیوسته است .حل: زیرا همه مولفه های f در این نقطه پیوسته هستند.در واقع داریم: ب) تابع درنقطه0=t پیوسته نیست. حل:زیرا تابع در نقطهt = 0 تعریف نشده است. با وجود این داریم:

اسلاید 392: 12. 1. 5 تعریف اگر با a<b وn = 2 یا n =3 تابعی پیوسته روی[a,b]باشد ، آنگاه f را یک خم در یا می نامیم. نگاره f یعنی مجموعه را اثر یا مسیر خم (و گاه خود خم)و معادلات پارامتریf [a,b] را معادلات پارامتری خم می نامیم.13. 1. 5 مثالتابع با تعریف :روی [-1, 1] پیوسته و لذا یک خم در است. معادلات پارامتری این خم عبارت اند از :

اسلاید 393: اثر این خم یا نگا ره f عبارت است از:در شکل زیر f [-1,1] را رسم کرده ایم.(1,1)(0,0)شکل (الف)

اسلاید 394: توجه کنید که وقتی t از 1- تا 0 افزایش می یابد ، نقطه (x,y) اثر خم f را از(1, 1) تا (0و0) یک بار می پیماید.همچنین وقتی t از 0 تا 1 افزایش یابد نقطه (x,y) اثر خم f را از (0,0) تا (1,1) مجدداً طی می کنند. بنابراین هریک از دستهمعادله های معادلات پارامتری خم واحدی هستند. در شکل (ب) خم مذکور با معـادلاتپارامتری * ودر شکل (پ) خم مذکور با معادلات پارامتری ** نشــان داده شده اند.در این شکل ها پیکانها جهت حرکت نقطه (x,y) روی خم را نشــان می دهند.***

اسلاید 395: (1,1)(0,0)شکل (ب)(1,1)(0,0)شکل (پ)

اسلاید 396: 14. 1. 5 مثالاثر خمرا مشخص می کنیم.حل:بنا بر تعریف ، اثر f عبارتست از:چونپس f(A) روی استوانه قرار دارد. چون به ازای هرt ،x=cosh2t >0پس برای ترسیم استوانه مذکور تنها شاخه ای از هذلولیرا در نظر می گیریم که مختص اول هر نقطه آن مثبت است.

اسلاید 397: در شکل زیر قسمتی از f(R) ، اثر f را روی قسمتی استوانه رارسمکرده ایم.استوانهxzy(1, 0, 0)oیکی از مجانب های هذلولیهذلولیf(R)

اسلاید 398: 15. 1. 5 مثالقسمتی از خم فصل مشترک رویه های الف) ب)را که در یک هشتم اول دستگاه مختصات xyz است رسم می کنیم.حل:بنابر تعریف یک هشتم اول دستگاه مختصات xyz مجموعه نقاط (x,y,z) است که .خم مورد نظر از تلاقی استوانهبا کره زیر به دست می آید.

اسلاید 399: در شکل زیر این خم را با تعویض نقش محور های x و y رسم کرده ایم.خم مورد نظرyzxo

اسلاید 400: 17. 1. 5 مثالدایره ای به شعاع a در صفحه xoy روی محور x بدون اینکه بلغزد می غلتد.نقطه ای از این دایره را P می نامیم. این نقطه یک خم روی صفحه xoy پدیدمی آورد.این خم را چرخزاد یا سیکلوئید می نامیم .می خواهیم معادله های پارامتری چرخزاد را به دست آوریم.برای این منظور فرض می کنیم مکان اولیه P ، نقطه O مبدا مختصات باشد. حال دایره را در جهت مثبت محور x می غلتانیم که P در وضعیت شکل زیر قرار گیرد.

اسلاید 401: oEDPFABCxyX

اسلاید 402: توجه کنید که طول های کمانهای OP و PB و پاره خط OB مساوی اند. بنا براینشکل ، مختصات نقطه P به زاویه بستگی دارد. اگر(x,y) مختصات نقطه P باشد آنگاهx=OB-AB , y=OD-DE=a+DE از مثلث PFC داریمدر دایره به مرکز C و شعاع a داریمOB = PB = a در نتیجه

اسلاید 403: oyxچرخزاد، طول خم برابراست با

اسلاید 404: 19. 1. 5 تعریف می گوئیم تابع برداریدر نقطه مشتقپذیر است اگروجود داشته باشد. بدیهی است در نقاط t =a و t =b منظور از وجود حد فوق،وجود حد های یکطرفه به ترتیب راست وچپ است.یا

اسلاید 405: درصورتی که f در نقطه t مشتقپذیر باشد،حد فوق را مشتق f در نقطه t می نامیموآن را با یا نشان می دهیم. بنابراینمشتق f در نقطه t =a و t=b را به ترتیب با یا نشان می دهیم. بنابراین

اسلاید 406: * به ازای n = 2 ،** به ازای n = 3 ،بنابراین f در نقطه t مشتقپذیر است اگر وتنها اگر مولفه های آن در این نقطه مشتقپذیر باشند.20. 1. 5 مثالمشتق تابعرا در نقطه پیدا می کنیم.

اسلاید 407: حل:بنابر رابطه ** به ازای هر x >0 داریم :در نتیجه23. 1. 5 مثالمی خواهیم را به ازایمحاسبه کنیم.

اسلاید 408: حل:داریم

اسلاید 409: 26. 1. 5 قضیه:زنجیر توابعرا که در آن و I یک بازه در R است در نظر بگیرید. فرض کنید f در نقطه وgدر نقطه s=f(t) مشتقپذیر باشند. در این صورت تابع برداری در نقطه t مشتقپذیر است و داریمیا به عبارت دیگرتوجه کنید که در این قضیه تابع f یک تابع اسکالر است.یاgof

اسلاید 410: ب) اگر h(t) و به ویژه را محاسبه می کنیم.حل:قرار می دهیم و به دست می آوریم h(t)=(gof)(t) چون f(2) =1 و و 27. 1. 5 مثال

اسلاید 411: 29. 1. 5 تعریف را روی [a,b] هموار می نامیم اگر به ازای هر ، وجود داشته،روی [a,b] پیوسته باشد.و به ازای هر t توجه کنید که اگر به ازای n = 2 قرار دهیمآنگاه نابرابری * به صورت زیر در می آید.یا

اسلاید 412: و بنا براین خم f همواره روی (a,b) هموار است اگر وتنها اگر در هر نقــطه مشتق یکی از مولفه های f غیر صفر باشد. توجه کنید که این مطلب در حالت n = 3 نیز برقرار است.30. 1. 5 مثال الف) خمروی [-1, 1] هموار نیست ، زیرا در نقطه t = 0 مولفه اول آن مشتقپذیر نیست. ب) خم زیر روی [0,1] هموار است.

اسلاید 413: 33. 1. 5 مثال الف) خم روی [-1,1] پاره هموار است ، زیرا این خم در نقطه t = 0 مشتق ندارد. ب) چرخزاد به عنوان یک خم در نقطه های0 هموار نیستودر بقیه نقاط هر بازه متناهی هموار است. پ) خمدر نقطه t = 0 هموار نیست، زیرا

اسلاید 414: 34. 1. 5 تعریف الف) فرض می کنیمخمی هموار باشد. طول این خم را با s نشان می دهیم وبا رابطه زیر تعریف می کنیم:یا ب) اگر f در نقاط متعلق به [a,b] پاره هـــــموار باشد و طول f را با رابطه زیر تعریف می کنیم

اسلاید 415: با قرار دادن و این فرمول به صورت زیر در می آید.oyxطول خم پاره هموار

اسلاید 416: توجه کنید که اگر به ازای n =2 آنگاههمچنین به ازای n = 3 و بنابراین داریم

اسلاید 417: 35. 1. 5 مثال الف) طول خممساوی است با ب) خمهموار است و طول آن مساوی است با

اسلاید 418: در نتیجهبا توجه به این پدیده تعریف زیر را داریم.مشاهده می کنیم که طول خم تابعی از پارامتر تعریف کننده خم نیز هست، یعنی اگر آنگا هچون تابعی پیوسته روی[a,b] است، پس s تابعی مشتقپذیر از t استو داریم

اسلاید 419: 37. 1. 5 تعریف می گوئیم خمیاتوسط طول خم پارامتری شده است اگرالبته با توجه به قاعده زنجیری، اگر t پارامتر دی گری برای خم باشد، داریمیایا

اسلاید 420: 38. 1. 5 مثال ب)پیچواررانسبت به طول خم پارامتری می کنیم.حل:طول خم در بازه [0,t] عبارت است از واز این رو ، در هر دو مورد داریمحال این مقدار t را در تعریف f قرار می دهیم و به دست می آوریم.

اسلاید 421: اکنون توجه کنید که با این نمایش طول خم f در بازه [0,s] مساوی است باs و به علاوه داریم پ) آیا خمرا می توان با طول خم پارامتری کرد؟حل:نقطه را در نظر می گیریم. طول خم از نقطه تا f(t) عبارتست از

اسلاید 422: بنابراین t تابعی از s است و داریمدر نتیجه خم را می توان توسط s پارامتری کرد و مولفه های آن را به صورت زیر به دست آورد.یاتوجه کنید که با انتخاب این مولفه ها صورت ساده تری به خود می گیرند.

اسلاید 423: 40 .1. 5 تعریف انتگرال تابع پیوسته را به صورت نشان می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم.به همین ترتیب انتگرال تابع پیوسته زیر تعریف می شود.توجه کنید که انتگرال هر تابع برداری ، برداری از جنس مقادیر همان تابع است. مفهوم انتگرال تابع برداری بسیاری از ویژگی های انتگرال توابع حقیقیرا دارااست. باوجوداین،این مفهوم درقضیه میانگین برای انتگرال صدق نمی کند.

اسلاید 424: 2. 5 حرکت در صفحه 1. 2. 5 تعریف بردار OA را شعاع حامل متحرک در لحظه t می نامیم ، در شکل زیر مسیرمتحرکی را در لحظه های و a وb مشاهده می کنید.oyxf(a)f(b)

اسلاید 425: 2. 2. 5 تعبیر های مشتقفرض کنیدمکان متحرکی در لحظه t باشد، در این صورت رابطهمکان این متحرک در لحظه خواهد بود. بنابرایننماینده بردار سرعت متوسط در بازه زمانی از t تا است. در نتیجه در صورتی که حدوجود داشته باشد، برابربا بردار سرعت در لحظه t خواهد بود.

اسلاید 426: با توجه به این مطلب اگر سرعت متحرک در لحظه t را باv(t) نشان دهیم، بنا به تعریف مشتق داریمیعنی مشتق f در لحظه t، مساوی است با سرعت متحرک در این لحظه، اکنونبا توجه به شکل اسلاید بعدی مشاهده می کنیم کهبنابراین داریم

اسلاید 427: f(t)vvPQsxoyاگر v از f(t) رسم شود ، بر مسیر متحرک مماس است.

اسلاید 428: در نتیجه اگر آنگاه نقطه Q روی مسیر متحرک به نقطه P میل می کند ولذا خط PQ به خط مماس بر خم تبدیل می شود. این بدان معناست که اگر مبدابردار v را به نقطه P منتقل کنیم آنگاه v(t) بر مسیر متحرک یا بر خم داده شده مماس می شود.بنابراین مشتق به عنوان یک بردار بر مسیر متحرک مماس است.

اسلاید 429: 3. 2. 5 تعریف اگر v(t) سرعت متحرک در لحظه t باشد، را اندازه بردار سرعت متحرکمی نامیم.بنابراین خم مشتقپذیر مسیر متحرک باشد آنگاه اندازه بردار سرعت این متحرک عبارت است ازتوجه کنید که سرعت متحرک یک بردار و اندازه بردار سرعت یک عدد است.

اسلاید 430: 4. 2. 5 مثال الف) مکان متحرکی در لحظه t عبارت است ازمسیر، سرعت و اندازه بردارسرعت این متحرک رامعین می کنیم.حل:مختصات متحرک در لحظه t عبارت اند ازمشاهده می کنیم که در هر لحظه t ، x >0 و y >0 وبنابراین مکان متحرک شاخه ای از هذلولی است که در ربع اول واقع است.

اسلاید 431: oyxv(t)سرعت و اندازه بردار سرعت این متحرک در لحظه t عبارت اند از

اسلاید 432: مشاهده می کنیم کهبنابراین زاویه بردار سرعت با جهت مثبت محورx، باز (منفرجه) است لذا بردار سرعت به صورتی است که در شکل اسلاید پیش نشان داده شده است. ب) یک ذره طبق رابطه زیر حرکت می کندکه در آن r و اعداد مثبت وثابت اند. مسیر، سرعت واندازه بردار سرعت اینمتحرک را شناسایی می کنیم.

اسلاید 433: حل:مختصات این متحرک در لحظه t عبارت اند از چونپس مسیر متحرک دایره ای به مرکز مبدا مختصات و شعاع r است.سرعت و اندازه بردار سرعت متحرک در لحظه t عبارت اند از

اسلاید 434: چونبنابراین در لحظه t، زاویه بردار سرعت v(t) با جهت مثبت محور x مساویاست بابا توجه به اینکه در لحظه t ،شعاع حامل f(t) با جهت مثبت محور x مساوی است با ، نتیجه می گیریم که بردارهای f(t) و v(t) در هر لحظه بر هم عمودند وجهت v(t) در جهت افزایش t است.

اسلاید 435: v(t)yxشعاع حامل و سرعت متعامدند

اسلاید 436: 5. 2. 5 تعریف فرض کنید خممسیر متحرکی است و دست کم دو بار مشتقپذیر باشد. در این صورت برداررا شتاب متحرک می نامیم ومعمولاً آن را با a(t) نشان می دهیم. بنابراین بردار a(t) شتاب متحرک ، مشتق سرعت متحرک است.

اسلاید 437: 7. 2. 5 بردار یکه مماسفرض کنید مسیر متحرک ، خمتوسط پارامتر طول خم s، پارامتری شود. به ویژه داریمبنابراین داریم الف) ب)ولذا

اسلاید 438: یعنی اگر خم ، مسیر متحرک ، نسبت به پارامتر طول خم پارامتری شود، بردارسرعت نسبت به این پارامتر ، برداری واحد است و جهت آن با جهت بردارسرعت نسبت به هر پارامـــتر دیگر یکی است. این بردار را بردار یکه مماس می نامیم و با T نشان می دهیم.در شکل اسلاید بعدی بردار یکه مماس T را در لحظه t رسم کرده ایم.

اسلاید 439: yxTv(t)f(t)بردار یکه مماس

اسلاید 440: 10. 2. 5 بردار یکه قائمفرض کنید خم هموارمسیر حرکت یک متحرک باشد. بنابراین درهر لحظه t ، بردار یکه مماس T براین خم یا مسیرتعریف شده است. زاویه T با جهت مثبت محور x را می نامیم.چون T برداری یکه است، پس جهت آن تابعی از اندازه زاویه است.با توجه به شکل اسلاید بعدی می نویسیمداریم

اسلاید 441: Tyxبنابراین برداری یکه وعمود بر T است و با جهت مثبت محور x زاویه ای بهاندازه می سازد. بنابراین دو بردار یکه قائم بر T با جهت های مخالف هم هستند.یکی از این دو بردار را که جهت آن به طرف تعقر خم است بردار یکه قائم می نامیم وبا N نشان می دهیم.

اسلاید 442: yxTبردار های یکه قائم مماسN

اسلاید 443: 11. 2. 5 مولفه های مماسی و قائم سرعت وشتابفرض کنید مسیر متحرک ، خم هموار و دو بار مشتقپذیر باشد. سرعت این متحرک در لحظه t مساوی است با *بنابراین در دستگاه مختصات TN داریمیعنی مولفه های v(t) در دستگاه TN عبارت است از و 0 این عددها را به ترتیب مولفه های مماسی و قائم سرعت می نامیم.

اسلاید 444: حال از رابطه * نسبت به t مشتق می گیریم تا شتاب متحرک را به دست آوریم. داریمحال را با استفاده از پارامتر محاسبه می کنیم.داریم **با قرار دادن از این رابطه در رابطه فوق به دست می آوریم ***می دانیم که نامزد خوبی برای بردار یکه قائم است فقط جهت آن است که اجازه نمی دهد در این رابطه به جای آن N قرار دهیم. برای تشخیص جهت به صورت زیر عمل می کنیم.

اسلاید 445: الف) اگر آنگاه نسبت به t صعودی است وبنابراین با افزایش t،T در جهت مثلثاتی تابیده می شود و لذا زاویه بین T و که برابر است در جهت مثلثاتی تغییر می کند. این بدان معناست که ب) اگر آنگاه نسبت به t نزولی است و لذا بر حسب افزایش t ،T در حهت عقربه های ساعت تابیده می شود. و دراین حالت داریمدر نتیجه فرمول **را می توان به صورت زیر نوشت

اسلاید 446: با استفاده از این فرمول ، رابطه *** به صورت زیر در می آید.عددهای و را به ترتیب مولفه های مماسی وقائم شتاب می نامیم. وآنها را به ترتیب با و نشان می دهیم. بنابراین داریماز این رابطه نتیجه می شود کهبنابراین برای پیدا کردن لازم است کهرا محاسبه کنیم.

اسلاید 447: 12. 2. 5مثال الف) بردار یکه قائم ، مولفه های مماسی و قائم شتاب متحرکی با معادله مسیرحرکت زیر را پیدا کنید.حل:در لحظه t داریمبنابراینولذا بردار یکه مماس در لحظه t عبارت است از

اسلاید 448: این فرمول نشان می دهد که زاویه T با جهت مثبت محور x برابراست با t،یعنی . بنابراین در نتیجه بردار یکه قائم بر مسیر عبارت است ازچون پسو بنابراین مولفه های مماسی و قائم شتاب عبارت اند ازدر نتیجه شتاب متحرک به صورت زیر به دست می آید.

اسلاید 449: 14. 2. 5 تعریف عدد را که سرعت خمیده شدن مسیر متحرک نسبت به پارامتر طول خم است، انحنای مسیر یا خم می نامیم و آن را با حرف یونانی (بخوانیدکاپا)نشان می دهیم.می توان ثابت کردکه انحنای ذاتی خود مسیر است و به انتخاب دستگاه مختصات بستگی ندارد. با وجود این پیدا کردن فرمولی برای محاسبه برحسب مختصات مورد استفاده بسیار مناسب است.

اسلاید 450: با توجه به تعریف مشاهده می کنیم که هر چه بیشتر ( کمتر) باشد خمیدگی خم بیشتر ( کمتر ) است و لذا انتظار می رود که خمیدگی یک دایره کوچک عددی بسیار بزرگ و بر عکس خمیدگی خط راست صفر باشد.15. 2. 5 مثال الف) انحنای خط راست زیر را پیدا کنید. y=ax+bحل:با قرار دادن x = t این خط را می توان به عنوان نگاره خم زیر در نظر گرفت.f (t) = t i+ (a t + b) j

اسلاید 451: داریم a (t) = 0و از این روچونپسبنابراین انحنای خط راست صفر است. چیزی که انتظارش را داشتیم.

اسلاید 452: 18. 2. 5 مثال الف) مسیر متحرکی خمی با معادلات پارامتری زیر استx(t) = 3cos t , y(t)=4sint انحنای این مسیر را در لحظه t و سپس در لحظه های t = 0 و پیدا کنید.حل:داریمبنابراین17. 2. 5 محاسبه انحنا بر حسب مختصات

اسلاید 453: به ازای t = 0 و داریم ب) انحنای خم را پیدا کنید .حل:از فر مول ** داریممثلاً در نقطه (0و0) انحنای این خم عبارت است از

اسلاید 454: حال آخرین مفهوم این قسمت ، یعنی دایره ا نحنا را معرفی می کنیم .20 . 2. 5 تعریف خم هموار و دو بار مشتقپذیر زیر و نقطه P واقع بر آن را در نظر می گیریم.بر این خم در نقطه P دایره ای مماس می کنیم که الف) انحنای دایره مساوی با شد با انحنای خم ب) مرکز دایره در طرف تقعرخم و روی خط قائم بر خم در P باشد . ایندایره را دایره انحنا ، مرکز و شعاع آن را به ترتیب مرکز و شعاع انحنای خم در نقطه P می نامیم .

اسلاید 455: oyxCPمرکز انحناشعاع انحنادایره انحنا

اسلاید 456: 21. 2 . 5 مثالمعادله دایره انحنای خم را در نقطه (1و0) پید ا می کنیم .حل:نخست شعاع انحنای مسیر را پیدا می کنیم. برای این منظور انحنای مسیر را به دست می آوریم.داریمبنابراین در نقطه (0,1) انحنا مساوی است بادر نتیجه شعاع انحنا برابر است با

اسلاید 457: اکنون روی خط عمود بر خم در نقطه (0, 1) مرکز دایره انحنا را پیدا می کنیم.معادله این خط عبارت است ازy = 1-x بنابراین اگر A(a,b) مرکز انحنا باشد ، باید داشته باشیمبا حل این دستگاه نسبت به a و b بدست می آوریم b = 3 و b = -1 ، بنابرایننقاط ممکن برای مرکز دایره انحنا عبارت اند ازA(-2, 3) و A(2, -1) در طرفمقعر خم واقع است در نتیجه معادله دایره انحنا عبارت اند از

اسلاید 458: 3. 5 حرکت در فضا 1. 3. 5 تعریف مفاهیم اولیهفرض کنید خم مشتقپذیر مسیر یک متحرک باشد . برداررا سرعت متحرک در لحظه t می نامیم و آن را با v(t) نشان می دهیم .

اسلاید 459: f(t)v(t)بردار سرعت بر مسیر مماس است.چون به ازای هر ، ، پس بردار یکهبدون ابهام تعریف می شود.

اسلاید 460: این بردار را بردار یکه مماس بر خم ( یا مسیر متحرک) در نقطه t می نامیم.فرض می کنیم *طول خم از نقطه f(a) تا نقطه f(t) باشد. در این صورتs(t) تابعی صعودی و مشتقپذیر از s(t) است و داریم **با استفاده از روابط * و ** داریم

اسلاید 461: یعنی مشتق بردار موضع نسبت به طول خم مساوی است با بردار یکه مماسطول بردار سرعت ، یعنی در لحظه t را مقدار بردار سرعت متحرک می نامیم.اگر علاوه بر هموار بودن ، تابع f دو بار مشتقپذیر باشد، آنگاه بردارراشتاب متحرک در لحظه t می نامیم.

اسلاید 462: 2. 3. 5 مثالدر مثال 35. 1. 5 (پ) طول پیچواررا که بین نقطه های f(0 ) و f(t) و (t > 0) واقع است به صورتمحاسبه کردیم. چونپس بردار یکه مماس مساوی است باهمچنین داریم

اسلاید 463: 4. 3. 5 صفحه قائم و مولفه های شتابمی خواهیم بردار شتاب a(t) را که از نقطه f(t) رسم می شود به مجموع دو بردارتجزیه کنیم ، یکی در امتدادبردار یکه مماس T و دیگری برداری واقع در صفحه عمود بر T در نقطه f(t) . این صفحه را صفحه قائم بر خم ( یا مسیر) در لحظه t می نامیم.

اسلاید 464: f(t)صفحه قائم وتجزیه بردار شتابCABPaxzy

اسلاید 465: مشاهده می کنیم که بردار شتاب به مجموع دو بردار تجزیه شدهاست.می خواهیم این بردار ها را برحسب تابع f شناسایی کنیم. با استفاده از قاعده زنجیری می نویسیم

اسلاید 466: اکنون از دو طرف رابطه زیر نسبت به s مشتق می گیریم.در نتیجهبنابراین بردار بر بردار مماس T عمود است. بنابراین اگر از نقطه A رسم شود روی صفحه قائم خواهد بود. بردار یکه N را به صورت *

اسلاید 467: تعریف می کنیم وآن را بردار قائم اصلی بر خم در نقطه A= f(t) می نامیم.با استفاده از * بر دار a(t) را به صورت زیرمی نویسیم.بنابراین بردار a(t) به مجموع دو بردار تجزیه می شود.

اسلاید 468: 5. 3. 5 تعریف الف) عددهای را به ترتیب مولفه های مماسی و قائم شتاب در لحظه t می نامیم وآنها را به صورت زیر نشان می دهیمب) بردار و اندازه آن عددرا به ترتیب بردار انحنا و انحنای مسیر در لحظه t می نامیم.

اسلاید 469: 6. 3. 5 مثال الف) بردار قائم اصلی ، معادله صفحه قائم و انحنای خمرادر نقطه که به ازای به دست می آید، پیدا می کنیم.حل:بنا بر مثال 2. 3. 5 بردار یکه مماس در لحظه t عبارت است ازو لذا در نقطه A داریم

اسلاید 470: همچنین در لحظه t داریمبنابراین با توجه به رابطهدر نقطه A یعنی در لحظه داریمبنابراین انحنای مسیر در نقطه داده شده ، مساوی است با

اسلاید 471: و از این رو بردار قائم اصلی عبارت است از چون صفحه قائم از A می گذرد و بر T عمود است پس معادله آن عبارت است از یا

اسلاید 472: در شکل زیر مبدا N را در A قرار داده و آن را رسم کر ده ایم. توجه کنید که جهت N و محور x یکی است.NTAبردارهای قائم اصلی و یکه مماس در A

اسلاید 473: 8. 3. 5 قائم مضاعف وتابدیدیم که اگر خم همواردو بار مشتقپذیر باشد، آنگاه به ازای هر t ، صفحه قائم بر خم و مولفه های مماسیو قائم شتاب بدون هیچ ابهامی تعریف می شوند. می دانیم که بردار قائم اصلیN درصفحه قائم قرار داردو بردار یکه مماس T براین صفحه عمود است . اکنون در صفحه قائم بردار یکه B را چنان در نظر می گیریم که دستگاه TNB یک دستگاه راستگردباشد.بردارB را قائم مضاعف بر خم ، صفحه تشکیل شده توسط بردارهای N وT را صفحه بوسان و صفحه تشکیل شده توسط بردار های B وT را صفحه رکتیفایر (یکسوساز)در لحظه t می نامیم.

اسلاید 474: TNBTNB یک دستگاه راستگرد است.

اسلاید 475: بر T نیزعمود است .در نتیجه مضربی از بردار N است. یعنی عددی چون وجود دارد که * را تاب خم در نقطه مورد محاسبه می نامیم.فرمول * نشان می دهد کهو از این رو ، تاب آهنگ چرخش بردار B است. توجه کنید که انحنای هرگز منفی نیست ولی تاب می تواند مثبت ، صفر یامنفی باشد.

اسلاید 476: 9. 3. 5 مثال الف) معادله صفحه بوسان و تاب خمرا پیدا کنید.حل:این خم محل تلاقی صفحه z = 1 و استوانه است . و بنابراینخمی مسطح است. پس صفحه بوســان آن عبارت است از z = 1 .چون خم مسطح است پس تابی ندارد یعنی

اسلاید 477: 12. 3. 5 محاسبه انحنا13. 3. 5 مثالمسیر متحرکی عبارت است ازمی خواهیم انحنای مسیر را پیدا کنیم و معادله صفحه قائم بر مسیر را در نقطه ای که انحنا بیشنه است به دست آوریم.

اسلاید 478: حل:داریمبنابرایناز این روبیشینه انحنا وقتی به دست می آید که t = 0 به ازای این مقدار چون صفحه قائم از نقطه (0, 0, 0) می گذرد و بر بردار یکه مماسیعمود است، پس معادله آن به صورت زیر استx + y = 0

اسلاید 479: 15. 3. 5 محاسبه تاببنا به تعریف عدد را که در فرمولصدق می گکند تاب خم یا مسیر متحرک می نامیم.با استفاده ازاین فرمول یکی از مهمترین خصوصیات خمها مسطح به دست می آید.می دانیم که اگر آنگاه خم مسطح است. به عبارت دیگر اگر **آنگاه خم داده شده f(t) مسطح است.

اسلاید 480: برعکس اگر خم f(t) مسطح باشد، روشن است که بردارهای نمی توانند کنجی نابدیهی بسازند واز این رو ، ** مجدداً برقرار است.بنابراین خم f(t) در یک صفحه قرار دارد اگر وتنها اگر تاب آن صفر باشد. به عبارت دیگر خم مسطح است اگر و تنها اگر رابطه ** بر قرار باشد.16. 3. 5 مثال الف) خممسطح است( در یک صفحه قرار دارد)بنابراین تاب آن در هر نقطه صفر است.

اسلاید 481: ب) تاب خمرا در نقطه دلخواه f(t) محاسبه می کنیم و نشان می دهیم که این خم مسطح نیست.حل:داریمبنابراین داریم

اسلاید 482: در نتیجه داریمچون پس خم داده شده مسطح نیست.