رياضی عمومی (2)

الزم به تذکـــــر است به جهت این که Fontبکاربرده شده در اسالید ها B Nnazaninمی باشد خواهشمندیم قبل از نمایش اسالیـــدها به نصب Fontمذکور که در CDموجود می باشد اقدام نمایید. نــام درس :رياضی عمومی ()2 تعداد واحد 4 :واحد منبع درس :کتاب رياضی عمومی ()2 مؤلـف: محمد جلوداری ممقانی تهيه کننده :محسن ساعدی نوع درس :پــــــــايه ناشــــر :دانشگاه پيـــــام نور فهرست مطالب کتاب حاضرشامل 5فصل با عنا وين زيراست: فصل اول :دنباله وسری که شامل 86اسالید می باشد. فصل دوم :هندسه تحلیلی که شامل 100اسالید می باشد. فصل سوم :جبر خطی که شامل 147اسالید می باشد. فصل چهارم :رویه ها و دیگر دستگاههای مختصات که شامل 42اسالید می باشد. فصل پنجم :توابع برداری یک متغیره که شامل 104اسالید می باشد. هدفهای کلی دنباله و سری از مفاهیم بنیادی حسـاب دیفرانسیل و انتگرال هستند .دانشجو در این درس با این مفاهیـــم ،مفاهیم وابسته و کاربردهای ساده آنها ،نظیر پیدا کردن حد برخی دنباله ها ،به دست آوردن مقدار تقریبی برخی اعداد و ... آشنا می شود. هدف کلی از ارائه این فصـل آشنا کردن دانشجو به طوری که مطالعه درسهای آنـالیز 1و معــــادالت دیفرانســـیل برای آنان آسانتر و لذت بخشتـــر باشد. هدفهای رفتاری: دانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند : -1دنباله ،دنبـــاله های صعودی،نزولـــی ،و یکنــوا را تعــــريف و برای هر کـدام مثالــی ذکر کنــد. -2دنباله های همگـــــرا و واگــــرا را از هم باز بشنــاسد ،و در هـر مورد مثــال ارائــــه کنـــد. -3ثـــابت کند که هر دنبــــاله یکنــــوا و کرانـــــدار همگــــراســــت. -4ثــــابت کند که مجموع ،تفاضـل ،حاصلضرب ،و خـــــارج قسمت دو دنبـــــاله (بـــا مخرج غیر صفر) همگــــرا ،دنبـــــاله ای همگـــــراست.  -5سری ،جمــــله عمومی ســــری ،مجمــــوع جزئی nام سری،همگـرایی و واگرایـــی ســـری را تعريـــف کنــــد. -6آزمــون کوشـــی برای همگرایی را را بیان کند و با استفاده از آن آزمون واگـــرایی ‏an 0 ‏limرا نتيجـه بگیرد. ‏n  -7آزمون همگـــرایی سریـــهای با جملـــه های نامنفــی و مجمـــــوع جــزئــی کرانـــــدار را بیـــان کنـــد. -8انــــواع آزمونهای همگــــرایی ،آزمون مقایســــه ،آزمون نسبـــت ، آزمون ریشـــــه را بیان کنــــدو از آنها استفــــاده کنــــد. 1 ‏n1 n ‏ -9ثابت کند که سری ‏واگرا و سری ‏n ‏ ( 1 r  1) r همگـراست. ‏n1  -10سریـــهای متناوب را شناسایی و آزمون همــــگرایی آنها را بیان کند و به کار برد -11همگرایــــی مطلق و مشروط را تعريف کند و نشان دهد که همگــــرایی مطلق همگرایی معمولی را ایجاب می کند . -12سریــــهای توان را تعريف کند .شعاع همگــرایی و بازه همگرایی را برای هـــر ســـری تــــوان را به دســت آورد. -13با سریـــــهای توان روی بازه همگــــرایی به عنوان یک تابع رفتار کند و تشخیـــص دهد که تحت چه شرایطی می توان حد ســـری تـوان را محاسبه کرد ،از آن مشتــــق یا انتـــگرال گرفت. دـنـباــله 1 . 1 در ایــن بخش پس از معـــرفی دنبـــاله ،مفاهیم بنیادی وابستـــه به آن را بیــــان مـــی کنیم .در میان این مفاهیم ،همگـــرایی دنبــاله اهمیت ویـــژه ای دارد .در واقـــع ،سعی خواهیـــم کرد که به هر دنباله ای عددی نسبــت دهیم ،اگر ایـــن کار امکان پذیر باشد می گوییم دنباله همگراست وگرنه دنبــــاله واگرا نامیده خـــواهد شد .به ایــــن ترتیب ،دنبــــاله ها را بــه دو دستــــه همـــگرا و واگــــرا تقسیــــم مـــی کنیــم.  1 . 1 . 1تعريف فرض کنید Aمجمــــوعه ای دلخواه باشد .تابـــع fبا قلمرو Nو برد Aرا یک دنباله در Aمی گوییم.مقـــدار fبه ازای nرا جمله عمومی دنبـــــاله fمـینــامـیم و مـعموال بــه صــورـت f (n) an و ....نــشـــانمـیدـهیم.در تــعريــف 1 . 1 . 1اگر A=Rیا =A ¢آنــگاه دنباله را حقیقــی یا مختلط می نامیم. 1 . 1 . 2مثال : الف) دنباله {n} n1یک دنباله از اعداد حقيقی و لذا یک دنباله حقیقی ‏ است .جمله عمومی این دنباله عبارت است از: ‏an n  1 . 1 . 4تعريف : می گوییم دنباله حقیقی }anبه{ عدد lهمگراست اگر به ازای هر یک عدد طبیعی n0وجــود داشته باشــد که از ‏ 0 ، ‏n  n0 نتيـجه می شــود: ‏an  l   اگر دنباله }{anبه عددی همــگرا نباشـــد واگـــرا نامیـــده مـی شـود. 1 . 1 . 5گزاره ‏l همگـــرا باشد آنگاه اگر دنبـــاله }{anبه اعـــداد حقيقـــی lو . به عبارت دیگـر ،هر دنباله می تواند حداکثر به یک عدد حقیقی همگرا باشد. ‏l l اثبات: فرض کنید l lو در تعريف همگرایی را  مساوی با در ایــن صـــــــورت ‏n0 وجـــود دارد کـــه از ‏l  l 3 , an  l  ‏l  l انتخاب کنید. 3 ‏n  n0 نتيـــجه مــی شود: ‏l  l 3 ‏an  l  حال با استفاده از نــامساوی مثلث و نامساوی های فـــوق به ازای ‏l  l 3 واگرا از این رو 2 3 ‏ ‏l  l 3 داریمn  ‏n0 ‏l  l  an  l  an  l  1 این یک تناقض است ،ولذا . lبا lاستفاده از این گزاره تعريف زیر را داریم.  1 . 1 . 6تعريف : اگر دنبـــاله }{anبه عدد lهمگـــرا باشد مــی نویسیــــم: ‏l liman ‏n  و مـــی گوییم lحد دنبـــاله }{an است .همچنین این نمــاد را وقتــی به واگــــرا باشد نیز به کار می بریم .یعنی اگر باشــد }به {anواگــرا آنگاه : ‏ liman ‏n  }{an  1 . 1 . 7مثال : الف) دنباله }{an با حل: برای مشاهده این امر ، 1 ‏n ‏an به 0همگراست. ‏ 1 ‏n0   ‏ . که در ‏0رادر نظر بگیرید و قرار دهید آن [ ] نماد جزء صحیح است .در ایـــن صورت از صحیـــح نتيجه مــی شود که 1 ‏ 0وn  n تعـــريف جزء ‏وnلذا 1 1 1 ‏ 0 ‏  ‏n ‏n ‏n در نتيجه 1 ‏lim 0 ‏n  n  1 . 1 . 9تعريف : الف) دنباله حقیقی }anرا{صعـــودی (نــزولی) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی nداشته باشیم : ) (an1  an ‏an  an1 ب) دنباله }{anرا نا صعـــودی (نا نــــزولی ) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی nداشته باشیم: )(an an1 ‏an1 an پ) دنباله }{anرا که دست کــم در یکـی از ویژگیهای (الف) یا (ب ) صدق کند ،یکنوا می نامیم. ت) دنباله }{anرا از باال (پایین) کراندار مــی نامیم اگر عدد نامنفی M وجـــود داشته باشد که به ازای هــــر عدد طبیـعی nداشتـــه باشیم: ) (M an ‏an M ث) دنبالــه }{anرا کراندار می نامیـم اگر از باال و از پایین کراندار باشد. دنبـــاله کـــه کرانـــدار نباشــــد ،بیـــکران نامیـــده می شــــود.  1 .1 . 10مثال : الف) دنباله {n} n1 صعودی است .زیرا به ازای هر عدد طبیعی nنامساوی ـتزـیـــرا بــه ازاـیهر عـدد مـثبت ـت اـیـندـنـباــله بــیکــراـناـس . n< n+1بــرقرار اـس . ، Mو به ازای ] n=[Mداریم . n+1>M ‏ ب) دنباله ‏n1 ‏ n  1 ‏ n صعـــودی است ،زیـــرا به ازای n=1 ‏ ‏ 1 ‏a1 0 a2 2 حـــال اگـــر n>1آنــــگاه با توجـــه به نامســـاوی ‏n2  1 n2 داریـــم: به ازای هر عدد طبیعی nداریم ‏n 1 ‏n ‏ ‏n ‏n 1 یاan 1  an یعنی } {anصعـــودی است. پ) دنباله ‏ 1 ‏ nنزولی و کراندار است .در واقع به ازای هر عدد طبیعی n داریم 1 1 ‏ 1 ‏n 1 n 0 نامساوی وسط حاکی از نــــزولی بودن دنبالـه و نامساوی کناری حاکی از کرانــــدار بودن آن هستنــــد.  1 . 1 . 15مثال : از مثال 1 . 1 . 7می دانیم که دنباله }nبا{a جمله عمومی ‏an ( 1)n1 واگراست .از طرف دیگر به ازای هر nداریم: ‏an  ( 1)n1 1 و لذا این دنباله کراندار است .  1 . 1 . 19تعريف : دنباله }{anرا کوشی می نامیم اگر به ازای هر وجـــود داشته باشـــد که از ‏0 عدد طبیعی ‏n  n0 , m  n0 نتيجـــه مـــی شود ‏an  am   1 . 1 . 20مثال : دنباله ‏ 1 ‏  ‏ nکوشی است . حل:  0را در نظر می گیریم .به ازای هر دو عدد طبیعی n , mداریم ‏n m  m , 1 1 ‏m n 1 ‏ ‏ ‏ ‏m n ‏mn ‏n ‏n0 و از این رو با انتخاب ‏ 1 ‏n ‏ 0    1و با استفاده از نامساوی طرف چپ داریم 1 1 ‏n  n0 , m  n0  ‏ ‏ ‏n m 1 . 1 .21قضيه : اگر } {anیک دنبـــاله همــگرا و بر عکـــس اگر }{an کوشــی باشـــد همـــگرا است . یا به اختـــصار{an} :همــــگراست اگر وتنـــها اگر کـــوشـــی باشـــد.  1 . 1 . 22مثال : الف) دنباله }{anبا 2n 1 ‏an  2n  1کوشی ب) چون به ازای ، a<1<0دنباله پ) دنباله ‏n { 2 } بی است ،زیرا همگراست. ‏n { ‏a } همگراست ،پس کوشی است . کران ولذا واگراست و بنابراين کوشی نیست .  1 . 2قواعد محاسبه 1 . 2 . 1قضيه : فرض کنید دنباله های }bn} , {an به{ترتیب به b , aهمگرا باشند و cعددی دلخواه باشد .در این صورت الف) دنباله }{an  bnبه a+bهمگراست ،یعنی ‏lim an  bn  liman  limbn ‏n  ‏n  ‏n  ب) دنباله} {anbnبه abهمگراست ،یعنی: ‏lim anbn  liman limbn ‏n  ‏n  ‏n  به ویژه ‏limcan c liman ‏n  ‏n  ، ست a a { n} ـراb همگbnبه bn 0 آنگاه ، n و به ازای هرb0 پ)اگر liman an lim  n  n  b limbn n یعنی n  : مثال1 . 2 . 2   1 1  )الف .را محاسبه کنیدnlim  n limbn پس 0 , liman 1 n  n  1 b  چون. n n , an 1  :حل فرض کنید 1  lim1  lim an  bn  liman  limbn 101 n  n  n  n  n   .کنید 1  n2 1   limرا محاسبه n  2n2  n 1   1 n2 n2 1  2n2  n 1 2 1  1 n n2 )ب :حل :می نویسیم .حدهای صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم 1 1  lim1 2  lim1 lim 2 101 n  n  n  n  n  1 1  lim 2  2  2002 n  n n    n2 1  1  lim 2 n  2n  n 1   2 بنابراين  1 . 2 . 6قضيه ساندویچی اگر دنباله }{cn} , {anهر دو به عـــدد aهمـــــگرا باشند ،و دنباله چون } {bnبه ازای هر nدر صدق an ‏bn cn کند ،آنگاه }{bn همگراست. نیز به اثبات: ‏ 0 را در نظر بگیرید .بنا به تعريف همگرایی ی n0 وجود دارد که ‏n  n0     an  a , cn  a   بنابراين اگر n  n0آنگاه ‏   an  a bn  a cn  a   بنابراين }{bnبه aهمگراست.  1 . 2 . 7مثال : 1 الف) 1 1 ‏n ‏lim ‏n راپیدا کنید. حل: به ازای هر nداریم و لذا به ازای هر nداریم چون ‏n ‏lim 11 ‏n  n 1 limپس ‏n  1 1 1 ‏ 1 ‏n 1 1 ‏n ‏1 1 1 ‏n 1 ‏1 ‏n ‏ ‏n 1 1 1 ‏n 1 ‏lim ‏n  ب) ثابت کنید ‏n ‏n 1 . nlim ‏ حل: دنباله } {anرا به صورت ‏n 1,2,... ‏an n n  1 تعريف می کنیم .روشن است که به ازای هر ، n ‏n(n  1) 2 ‏n(n  1) 2 ‏n ‏an  ... an  ‏an 2 2 بنابراين به ازای ‏an 0 .داریم: ‏n (an 1)n 1 an  ‏n 2داریم 2 ‏n 1 2 ‏an  یا 2 ‏n 1 0an  چون 2 ‏0 ‏n 1 ‏lim پس ‏n  ‏limبنابراين . an 0 ‏n  ‏limn n 1 liman 101 ‏n  ‏n  1 . 2 . 8قضيه : فرض کنید تابع ‏f : D  R  Rروی Dپیوسته و اعضای Dباشد که به به) f(aهمگراست. }an دنباله{ ای از ‏a D همگراست .در این صورت دنباله }) {f (an  1 . 2 . 9مثال : الف) تابــــع (رادیـــکال)روی )[0,  پیــــوسته است .بنابراين داریم 1 1 ‏ lim  0 0 ‏n  n ‏n ‏lim ‏n  ب) می دانیــــم که تابــــع ) f(x)=ln(1+xروی x >-1پیوستــــه است . همچنین می دانیم که ‏n 1 ‏ ‏n ‏limبنابراين . ‏n  ‏ ‏f n n همگراست و داریم: (limln (1 n n) ln1 limn n ln 11) ln2 ‏n  ‏n   3 . 1سری شرکتپذیری عمل جمع روی مجموعـــــه اعداد حقيقی (مختلط) موجب می شود که مجمــــوع هر تعداد متنــــاهی معنـــی دار باشد و به روش یکتایــی به صورت ‏a2 ,....anازa1 , اعـــداد ‏a1  a2  .... an نشان داده شــود .با وجود این ،مجمـــوع بینهایت عــدد دارای معنای روشنـی نیست .در این قسمت مفهوم مجمــــوع بینهایت عدد را با معرفی سـری ارائـــه مــی دهیم.  1 . 3 . 1تعريف : به دنباله }nرا{Sبا تعريف {an} n1دنباله جدید ‏ ‏S1 a1 ,S2 a1  a2 ,....,Sn a1  a2  .... an ‏ ‏a نسبت می دهیم .این دنباله جدید را یک سری می نامیم ،و آن را با نشان مــی دهیم و می خوانیم « سیـــگمای » ‏an . را an جمله عمـــومی ســــری و Snرا مجموع جزئی nام آن می نامیم .گاه دنباله ‏ مجموعهای جزئی ســـری ‏S0 0آنگاه ‏n ‏n1 را }{Sn دنباله ‏a ‏ می نامیم .توجه کنید که اگر تعريف کنیم ‏n ‏n1 ‏n 1,2,... ‏an Sn  Sn1  1 . 3 . 2مثال : فرض کنید 1n ‏a ‏ ( n 2) , n 1,2,...داریم 1 1 ‏S1 a1 ( )1  2 2 1 1 1 1 3 ‏S2 a1  a2 ( )1  ( )2    2 2 2 4 4 1 ‏n 11 12 1n 1 1 2 ‏Sn a1  a2  .... an ( )  ( )  ... ( )   ‏1 n 2 2 2 2 1 1 2 2 1 توجه کنید که برای محاسبه ازSnفرمول تصاعد هندسی استفاده کرده ایم.  1 . 3 . 4تعريف : ‏ سری  anرا همـــگرا می نامیم اگر دنبالـــــه مجموعهای جزئی آن ‏n 1 همـــگرا باشد.درغیر این صورت سری را واگــرا می نامیم .اگر ‏ دنبالـــــه مجموعهای جزئی سری }{Sn یعنی ‏aبه Sهمگرا باشد S ،را مجموع ‏n ‏n1 ســـری مــــی نامیم و می نویسیـــــم. ‏ ‏S  an ‏n1  1 . 3. 5مثال : 1 ‏n در مثال 1 . 3 . 2دیدیم که و یا ‏n0 ‏Sn1 2 1 2n 1 ‏n 1,2,.... ‏n  می نامیـــم. 1 2n ‏n 0,1,2,.... 1 ‏lim چون n  2n 1پس }{Sn 2را الف) دنبالــــه مجموعهای جزئی سری limلذا Sn 2و ‏ ‏Sn 2 1 ‏ ‏n همگـراست ‏n0 2 ‏ سری 1 ‏2 ‏ ‏n ‏n0 2 ‏ و داریم  1 . 3 . 6شرط کوشی برای همگرایی ‏0، عدد طبیعی سری  anهمگراست اگر و تنها اگر به ازای هر یـــافت شـــود که به ازای هر ‏mهر n0و ‏p N داشتــه باشیــــم ‏am1  am2  ... am p   این شرط را شرط کوشـــی برای همگـــرایی سـری ‏ an مـــی نامیم . یکی از نتایج بسیار مهم شرط کوشـــی را که نوعی آزمون واگـــرایی است در زیر می آوریم. ‏n0  1 . 3 . 7نتيجه اگر سری ‏ anهمگرا باشد ،آنگاه ‏liman 0 ‏n  آنگاه ســـری ‏limبیــان دیـــگر اگر ‏a. n 0به ‏n  ‏ an واگـــراست . ‏توجه کنید که عکــس نتيجـــه فوق نادرست است .بدین معنـــی که ‏ ســـری واگــــــرایی چون ‏anباشـــرط ‏n1 ‏liman 0 وجـــــود دارد . ‏n  ‏متذکر مـی شویـــم که نتيجـــه و نکته فوق حاکــی از آن اند که برای پیدا کردن ســــریهای همگرا باید در میـان سریهایـــی بگردیـــم که حد جملـــه عمــومی آنها صفـــر است .  1 . 3 . 8مثال : الف)می دانیـــم که ســـری موزون 1 ‏n ‏ ‏ واگــــراست . ‏n 1 1 ‏lim ‏0 . ‏n  n روشــــن است کـــه ‏ ب) سری n2 واگراست ،زیرا ‏n1 پ) ســـری ‏ ‏lim . n  0  ( 1)n 1واگــراست زیرا ‏n1 2 ‏n  ‏lim( 1)n 1 وجــود ندارد. ‏n  1 ‏ همــــگراست ) ‏n1 n(n 1 ‏ ت) بنابر مثـال ( 1 . 3 . 5پ) ســـری بنابــــراين در شـــرط کوشـــی صدق مـــی کند. و ت) بنابر مثال ( 1 . 3 . 5الف) سـری 1 ‏ 2n همــــگراست و بنابراين در شرط کوشی صدق می کند. در زیر دستـــه ای از سریها را که کاربردهای فراوان دارند معرفی می کنیم. 1 . 3 . 9تعريف : ســـری هنـــدسی .فرض کنید aعـــددی ثابت باشد .ســـــری را یک ســــری هندســـی با قدر نسبت aمی نامیم .چـون به ازای هر ، a با ‏a 1 حد ‏n ‏lim ‏a وجـــود ‏n  ندارد یا نامتناهـــی است ،پس ســری هندسی به ازای هر aبا شرط ‏a 1واگراست . ‏ ‏a ‏n ‏n0  1 . 4جبر سریها با استفــاده از عمــــلهای جمع ،ضرب ،تفریق ،تقسیم و ...اعـــداد حقيقی می توان از سریـــهای داده شده ،سریــــهای جدیدی به دست آورد .در این قسمت همگـــرایی یا واگـــرایی برخی از این سریـهای جدید را مورد بحث و بررســـی قرار می دهیــــم .  1 . 4 . 1تعريف : ‏ فرض کنید  a ‏n ‏n0 , ‏ ‏bn سری حقــیقــی و cعددی حقــیقـی باشد. دو ‏n0 ‏ (an  الف) سری ) bn سریــــهای مجموع را ‏n0 ‏ ب) سری ‏can ‏ حاصلضرب عدد cدر سری را ‏n0 ‏ ‏ مـــی b , a نامیم. ‏n ‏n ‏n0 ‏n0 ‏ مـــی an ‏ نامیم. ‏n0  1 . 4 . 2قضيه : ‏ اگر  a ‏n , ‏n0 آنگاه سریهای ‏ ‏bn ‏سریــــهای همـــگرا و cعـــددی دلخواه باشد ، ‏n0 )  bn ‏ ‏ (a ‏n ‏n0 , ‏ ‏can ‏ همـــگرا هستنــد و داریـــم ‏n0 ‏ ‏ ‏n 0 ‏n 0 ‏ bn )  an   bn ‏ ‏c an ‏n 0 ‏ ‏ (a ‏n ‏n 0 ‏ ‏ ca ‏n ‏n 0 n  1   , ، هستنـــد همـــگرا n0  2  n  1 5   ,  همــگرا n0  2  3 ,  n1 n(n 1)  1  n1 n(n 1)  : مثال1 . 4 . 3 می دانیم که سریــــهای   1 n 1 1       2 n ( n  1 ) n1      بنابراين سریهای و داریم.هستند n 1     1 n 1 1  1  1    213          n(n 1)  ) n1  n1  2 n1 n(n 1   2   3 1  3 313   ) ) n1 n(n 1 n1 n(n 1  n n   1  1 5  5     5210   2  n0  n0  2   1 . 4 . 4قضيه : دنباله } ،{anجمله های ‏a , a1 ,...am 0از آن و اعداد هستند در نظر می گیریم . اعداد ثابت ‏ ‏a ‏n الف ) اگر ‏b , b ,...bk 0 که در آنها k , m 1را همگرا (واگرا ) باشد آنگاه ‏n0 ‏ ‏ an همگرا( nواگرا) است .یعنی حذف ‏m1 تعداد متناهی جمله از اول سری در همگــــرایی (واگـرایی) آن تاثیری ندارد. را به صورت زیر تعريف می کنیم: ب) سری ‏c ‏n ‏n0 ‏n 0,1,2,...,k ‏n k 1, k  2,... ‏bn ‏cn  )an (k1  در این صورت ، ‏ ‏c ‏ همگراست (واگراست ) اگـــر و تنها اگر ‏a همگرا(واگرا ) ‏n ‏n ‏n0 ‏n0 باشد .یعنی اضافه کردن تعداد متناهی جمله به اول سری همگرایی آن را تغییر نمی دهد. 1 . 4 . 5مثال : 1 ‏همگـــراست )n1 n(n 1 الف) سری ‏ 1 ‏ )n2 n(n 1 ‏ .بنابر قضيه فوق ســری همگراست و داریم: ‏ 1 1 1 1 1 ‏ ‏ ‏ 1 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏n ( ‏n ‏ 1 ) ‏n ( ‏n ‏ 1 ) 1 ‏ 2 2 2 ‏n2 ‏n1 ‏ ‏n ‏ ب) سری  2واگراست و لذا سری ‏n0 ‏n ‏ 2 ‏ واگراست . ‏n100  1 . 5همگرایی مطلق ،همگرایی مشروط در این قسمت سری های با جمله های نامنفی و سریهای متناوب را که جمله های آنها به طور متوالی مثبت و منفی هستند ،معرفی می کنیم .سریهای با جمله های نامنفی (مثبت) نقش بسیار مهمی در نظریه سریها دارند. 1 . 5 . 1تعريف : ‏ سری نامیم. ‏n 1 ( ‏ 1 ) ‏an ‏ n1را که در آن تمام ‏an ها نامنفی هستند ،یک سری متناوب می  1 . 5 . 2مثال : ‏ ‏n 1 )( 1 ‏ یک سری متناوب است .در اینجا به ازای هر ، n الف) سری ‏n1 ‏an 1 این سری واگراست . ( 1)n 1 ‏متناوب ‏n ‏n1 ‏ ب) سری این منظور فرض می کنیم که همگراست . }{Sn است .نشان می دهیم که این سری همگراست .برای ‏Sn مجموع جزئی nام سری باشد ثابت می شود که  1 . 5 . 4تعريف : اگر تمام جمله سری ‏a ‏ نامنفی باشند ،ســـری را با جمله های نامنفی ‏n می نامیم. 1 . 5 . 5قضيه : سری با جمله های نامنفی ‏a ‏ همگراست اگر دنباله مجموعهای جزئی آن کراندار ‏n باشند. اثبات: قرار می دهیم: ‏Sn a1  a2  ... an چون به ازای هر a،n 0 ، nپس سری ‏a همگراست . ‏n }{Sn صعودی است و لذا همگراست .در نتيجه  1 . 5 . 6مثال : الف) فرض کنید nزوج nفرد در این صورت سری ‏1 ‏an  ‏0 ‏a ‏ یک سری با جمله های نامنفی است .چند مجموع جزئی این ‏n سری عبارت اند از ‏S2 a1  a2 011 ‏S1 a1 0 ‏S4 01012 ‏S3 0101 به راحتی می توان دید که ‏S2n n و لذا } {Snبی کران و بنابراين ‏a واگراست . ‏n 1 ‏ یک ســـری با جملـــــه های مثبت است .داریــــم ب) )n1 (n  2)(n  3 ‏ ‏n 1 1  1 1 ‏ 1 ‏Sn  ‏  ‏ ‏ ‏ ‏k  3 3 n  3 )k1 (k  2)(k  3 ‏k1  k  2 ‏n مشاهده می کنیم که به ازای هر ، n 1 3 ،وSnلذا سری مذکور همگراست . 1 . 5 . 7تعريف : ‏a ‏a همگرا باشد .سری را همگرای مطلق می نامیم اگر سری سری ‏a ‏a ‏ ‏ واگرا باشد . را همگرای مشروط می نامیم اگر همگرا و سری ‏n ‏n ‏n ‏n  1 . 5 . 9مثال : ( 1)n 1 ‏ ـراست . nهمگ ‏n1 ‏ الف) در مثال 1 . 5 . 2دیدیم که سری ‏ ( 1)n 1 1 ‏ ‏ ‏ واگراست ‏n ‏n1 ‏n1 n همچنین در ‏ مثال 1 . 3 . 5دیدیم که سری ( 1)n 1 همگرای ‏n ‏n1 .بنابراين ‏ سری مشروط است . ( 1)n 1 ) n(n  1همگرای ‏n1 ‏ ب) سری مطلق است .زیرا بنابر مثال ( 1 . 3 . 5پ) ‏ 1 ( 1)n 1 ‏ همگراست ‏ )n1 n(n  1 )n1 n(n  1 ‏ سری .  1 . 6آزمونهای همگرایی تا کنون چند قضيه برای تعیین همگرایی یا واگرایی سریها ارائه داده ایم .این قضيه ها عبارت اند از : الف) اگر ‏liman 0 یا اگر ‏n  ‏liman وجود نداشته باشند آنگاه سری ‏n  ‏a ‏n واگراست (نتيجه ) 1 . 3 . 7 ب) شرط کوشی برای همگرایی (قضيه )1 . 3 . 6 پ) اگر دنباله مجموعهای جزئی سری با جمله های نامنفی سری همگراست (قضيه )1 . 5 . 5 ‏a ‏همگرا باشد آنگاه ت) اگر ‏n ‏a کراندارباشد آنگاه ‏n ‏a همگراست (قضيه .)1 . 5 . 10 ‏n در این قسمت ابزارهایی برای تعیین همگرایی سریهای ارائه می دهیم که متکی بر جمله های عمومی سریها هستند.  1 . 6 . 1قضيه (آزمون مقایسه) ‏ سریهای با جمله های نا منفی ‏ ‏bn ,  an ‏ در نظر بگیریدو فرض کنید به ازای هر را ‏n1 ‏n1 ‏an bn ،n ‏ ‏a همگراست . الف) اگر  bهمگرا باشد ،آنگاه ‏n ‏n ‏n1 ب) اگر  aواگرا باشد ،آنگاه ‏n ‏b واگراست . ‏n  1 . 6 . 2مثال : اگر ‏p1 آنگاه سری 1 ‏np ‏واگراست . حل: به ازای p0داریم: 1 1 ‏lim p  ‏n  n ‏ ‏p 0 ‏p 0 و لذا بنابر نتيجه 1 . 3 . 7سری واگراست . به ازای p=1ســـری موزون به دست مـــی آید که واگــــراست . حال فـــرض مـــی کنیم . p<1<0در ایــــن صورت داریــــم : ‏n 1,2,... و از این رو ‏n 1,2,... چون  n1واگراست ،پس بنابر آزمون مقایسه ‏np  n 1 1 ‏ ‏np n 1 نیز واگراست ‏np .  1 . 6 . 4قضيه (صورت حدی آزمون مقایسه) فرض کنید در مورد سریهای با جمله های نامنفی الف) ‏bn 0 ب) ‏b , a داشتهباشیم: ‏n ‏n ‏a ‏lim n  ‏n  b ‏n در این صورت اگر الف) 0   آنگاه سریهای ‏ ‏ یک نوع هستند. b ,  aاز ‏n ‏n ‏n1 ‏n1 ب)  0یا  آنگاه نوع یک سری تعیین کننده نوع سری دیگر نیست.  1 . 6 . 5مثال : 1 )n(n  1 الف) سری چون 1 ‏n ب) سری ‏واگراست .در واقع داریم: 1 )n(n  1 ‏n ‏lim ‏lim ‏1 ‏n  ‏n  1 )n(n  1 ‏n واگراست پس سری 1 2 ‏1 ‏ nهمگراست ،زیرا 1 )n(n  1 ‏واگـــراست . نیز 1 ‏ n2 همگراست و داریم 1 2 ‏n ‏lim ‏1 ‏n  1 ‏n2 1  1 . 6 . 7قضيه (آزمون نسبت یا آزمون داالمبر) فرض کنید an 0به ازای هر ،nو ‏a ‏lim n1 a اگرn ‏ a ‏n ‏ ‏an همگراست . الف) a <1آنگاه ‏n1 ‏ ب) a >1 ‏a ‏ واگراست . آنگاه ‏n ‏n1 ‏ ‏a پ) a =1سری در مواردی همگرا و در مواردی واگراست . ‏n ‏n1  1 . 6 . 8مثال : ‏n الف) به ازای چه مقادیری از ، xسری ‏x ‏ همگراست !n0 n ‏ . حل: روشن است که ســـری به ازای x =0همگراست .زیـــرا در این حالت سری به صورت زیر در می آید. …+1+0+0+0 ‏x 0و به جای سـری داده شده ،سری لذا فرض مـــی کنیم ‏n ‏x ‏ !را nدر ‏n0 ‏n1 نظر می گیریم .داریم: ‏0 1 ‏n بنابراين ســـری ‏x !n ‏ ‏x ‏n 1 ‏lim ‏n  ‏x !)(n 1 ‏n ‏x !n ‏lim ‏به ازای هر xهمگـــراست ،و لذا ســــری ‏n0 به ازای هر xهمگرای مطلق است . ‏n  ‏xn ‏ !n0 n ‏  1 . 6 . 13قضيه (آزمون انتگرال ) ‏ سری با جمله های نامنفی الف) fروی ‏f :[1, )  R تابع aو با شرایط زیر را در نظر بگیرید . ‏n ‏n1 پیوسته و نامنفی است . )[1,  ب) به ازای هر ‏f (n) an , n 1 پ) fروی نزولی است و )[1,  دراین صورت انتگرال ناسره ‏limf (x) 0 ‏x  همگراست اگر و تنها اگر سری ‏ باشد . ‏ f (x)dx 1 همگرا ‏ ‏a ‏n ‏n1  1 . 6 . 14مثال : به ازای p >0دنباله } {aبا ‏n 1 ‏np 1 ‏f ( ‏x ) ‏ با دامنه ‏xp ‏an  و تابع 1 ‏an ‏np داریم: ‏f (x)  ‏ 1 ‏dx lim x  pdx ‏p ‏b  1 ‏x ‏p 1 0 p 1 , p 1  1 ‏ ‏1 p , p 1  ‏ ‏dx 1 xp ‏به )[1,  نزولی هستند و ‏ ‏ ‏ f (x)dx lim ‏b  1 1 ‏ 1 ‏ p1 ‏b ‏1 ‏1 p ‏ ‏lim ‏b  ‏ 1  lnb  0 ‏ ‏1 p ‏ ‏ ‏ بنابراين انتگـرال سری 1 ‏p>1 بهnpازای ازای p>1همگرا و به ازای همگـــرا و به ازای 0 p 1 واگراست .در نتيجه 0 p 1 واگـــراست .  1 . 7سری توان 1 . 7 . 1تعريف دنباله توابع ..., f n (x) an (x  c)n ,..., f1(x) a1(x  c) , f0(x) a0 را که در آن ‏ { ‏a } ‏n n0یک ‏ ‏n دنباله و cعددی ثابت است ،در نظر می گیریم. سری ) a (x  cرا یک سری توان و دنباله ‏n ‏n0 می نامیم. }{an را دنبالــه ضرایب آن (x  c)n ‏توجه کنید که سری توان سری عددی ‏n ( ‏r ‏ ‏c ) ‏n ‏ ‏aبه ازای هر عدد x = rبه یک ‏n ‏n0 ‏ ‏ aتبدیل می شود. ‏n0 ‏توجه تعیین مقادیری از xکه به ازای آن همگــراست حائز اهمیت است . 1 . 7 . 2مثال : ‏n سری ‏ ‏x ‏یک سری توان است .در این سری ، c =0و ‏n0 ‏an 1 n 0,1,2,... این سری به ازای , x=0 ‏ 1 ‏x  , x=1 2 ‏11 ... , 1 0n 1 تبدیل می شود. ‏n0 x=2 ,به ترتیب به سریـــهای عددی ‏n ‏ ‏1 ‏n0 ‏n , ‏ 1 ,   ‏n0  2 ‏ ‏n ‏ ) (2 ‏n0 x 1 اگر ‏n ‏ آنگاه سری  xهمگـراست و داریم: ‏n0 , ‏x 1 1 ‏n ‏x ‏ ‏ 1 x ‏n0 ‏ لذا سری مذکور روی بازه ( )1 , 1-یک تابع تعريف می کند .این تابع عبارت است از ) f(xرا مـجموع ســریتــواـن ), x  (  1,1 ‏n 1 ‏f (x)  1 x ‏ مـیــامـیم و مـینــویـسی :م xن ‏n0 ‏x 1 , ‏ ‏f (x)  xn ‏n0  1 . 7 . 6قضيه : فرض کنید سری توان ‏n ‏ ‏anx ازای به ‏n0 ‏r 0 xو به ازای x=s همگرا واگرا باشد .دنباله این صورت ‏r ‏x همگرای مطلق است . ب) ســـــری به ازای هر xبا شـــــرط ‏x s واگـــراست . الف) سری به ازای هر xبا شرط  1 . 7 . 9قضيه : به ازای هر سری توان ‏n ‏ ‏a x تنها یکـــــی از موارد زیـــر درست است : ‏n ‏n0 الف) این ســـری فقط به ازای x=0همـــــگراست . ب) این سری به ازای هر ‏x R همگرای مطلق است . پ) عدد مثبت rوجود دارد که به ازای هر و بــــه ازای هر xبا شـــرط )x  ( r, r همگرای مطلق است ، ‏x r واگـــراست . متذکر می شویم که رفتار سری در نقاط ‏r باید xجــــداگانه بررسی شــــود . با توجه به این قضيـــه تعريف زیــــر را می آوریم:  1 . 7 . 10تعريف : عدد rدر قسمت (پ) قضيــــه فــوق را شعاع همگـــرایی ســــری می نامیم. ‏n ‏ ‏a x ‏n ‏n0 ‏ ‏n ‏ax ‏ فقط به ازای x=0همگــرا باشد ،شعاع همگـــرایی آن را x=0تعريف اگر ‏n ‏n0 می کنیم ‏ ‏n ‏a ‏x ‏ n اگر ‏n0 به ازای تمام xها همگــرا باشد ،شعاع همـگرایی آن راr  تعريف می کنیم. ‏ ‏n 0 r   شعاع همگــرایی سری  a xباشد آنگاه توجه می کنیم که اگـــر ‏n ‏n0 مجموعه همگـــرایی این ســـــری توان به صورت یــــکی از بازه هایr , r],[-r ,-( , [-r , r )r] , (-r , r) ,است. r  و اگـر آنگاه مجموعه همگـــــرایی سری برابر است با بازه )( ,  . در r=0مجموعه همگـــــرایی عبارت است از { }0که بازه ای به طــــول صفر است .مالحظه مـــی کنیم که در هر مورد مجمــوعه همگرایی یک بازه است . این بازه را بازه همگرایی سری می نامیم. ‏توجه : آزمون نسبت برای به دست آوردن شعاع همگرایی روش بسیار نیرومند است .  در سری هر گاه ‏n ‏a ‏x ‏ n ‏n0 ‏ ‏an1 ‏an ‏lim ‏n  آنگاه ‏  ‏ 0 0    ‏ ‏0 ‏ ‏r  ‏1 ‏ ‏ آنگاه rشعاع همگرایی سری توان داده شده است . n ( 1) x  پیداnرا0 1 n2  .کنید n : مثال1 . 7 . 11 شعاع و بازه همگرایی سری :حل n ( 1) an  1 n2  lim n  an1 an داریم lim n  1 ,  2 n0 1 n  ( 1)n 1 n2 ( 1)n xn  2 n0 1 n  .است ( 1)n1 1 (n 1)2 ( 1)n xn  2 n0 1 n 1 n2 lim 1 2 n  1 (n 1 ) 1 r  1 و لذا شعاع همگرایی سری   و به ترتیب عبارت است ازx=-1 , x=1 سری به ازای آزمون مقایسه نشان می دهد که این سریها همگرا هستند .یعنی بازه همگرایی سری توان داده شده [ ]1 , 1-است .این بدان معناست که سری توان داده شده روی بازه[ ] 1 , 1-یک عددی تابع تعریف می کند یعنی به ازای هر چون ) f(xوجود دارد که ( 1)n xn ‏f (x)  2 ‏n0 1 n ‏ ]x  [ 1,1  1 . 8پیوستگی ،مشتق و انتگرال سری توان به طوری که در قسمت قبل دیدیم هر سری توان روی بازه همگرایی خود یک تابع معرفی می کند .به عبارت دقیقتــــر ،اگر Iبازه همگرایی سری توان ‏ ‏n ‏t I ‏ax ‏ باشد ،آنگاه به ازای هر ‏n عددی چون ) f(tوجود دارد که مجموع سری ‏n0 ‏n برابر با ) f(tاست  a t . ‏n ‏t I ‏ ‏f (t)  antn ‏n0 هدف این قسمت مطالعه ویژگیهای تابـــع ) f(tبا توجه به ویژگیهای دنباله توابع «بسیار ساده» {antn} n0 است .  1 . 8 . 2قضيه : ‏n اگر rشعاع همگرایی سری ‏ ‏ax ‏ باشد ،آنگاه تابع ‏n ‏n0 ‏ ‏f (x)  anxn )x  ( r, r ‏n0 )t  ( r, r داریم روی بازه ( )r , r-پیوسته است .به عبارت دیگر ،به ازای هر ‏ ‏limf (x) lim anx f (t)  antn ‏n0 ‏n ‏ ‏n0 ‏x t ‏x t  1 . 8 . 3مثال : الف) بازه همگرایی سری ‏n ‏x ‏ ‏n،1 nبـــرابـــر ‏ ), x  [ 1,1 است با [ )1 , 1-بنابراین تابع ‏xn ‏f (x)  ‏n1 n ‏ روی بازه ( )1 , 1-پیوسته است . (x  1)n بـــرابــر است با ‏ !n ‏n0 ‏ ب) بازه همگرایی سری تابع روی Rپیوسته است . ‏R )( ,  بنابراين  1 . 8 . 4قضيه : ‏n ‏ ‏ax ‏ باشد ،آنگاه به ازای هر ‏n اگر rشعاع همگرایی سری توان )x  ( r, r ‏n0 داریم: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏n ‏n  ‏f (x)   anx   anx  nanxn 1 ‏n0 ‏n1 ‏ n0 ‏ ‏ ‏ ‏ به عالوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست این برابری مساوی است با . r  1 . 8 . 6نتيجه : ‏ اگر rشعاع همگرایی سری توان آنگاه مشتق kام تابع fدر هر نقطه ‏n ‏f ( ‏x ) ‏ ‏a ‏x ‏ ‏n ،و kعددی طبیعی باشد ، ‏n0 ) ( 1,1درxرابطه زیر صدق می کند ‏ (x)  n(n  1)...(n  k 1)anxn k ‏nk به عالوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست برابر است با . r )(k ‏f : مثال1 . 8 . 7 1 1 x  x2  x3  ... 1 x  1 x  1  1 n n 1  n (  1 ) x  2 (1 x) n1 داریمx <1 <1-بنابراين به ازای هر  2 n n 2  n ( n  1 )(  1 ) x  3 (1 x) n2  3! n n 3   n ( n  1 )( n  2 )(  1 ) x  4 (1 x) n3  1 n(n  1)(n  2)(n  3) n n 4  (  1 ) x  5 (1 x) 5! n4 (n  4)(n  3)(n  2)(n 1)  ( 1)n xn 5! n0  می دانیم که  1 . 8 . 9قضيه : اگر rشعاع همگرایی سری توان ‏ ‏f (x)  anxn ‏n0 ‏an )(bn1  an1 ‏n0 n 1 b=t , a=0آنگاه : ‏ به ویژه اگر باشد و ‏n ‏b ‏ )b ( 1,1 با . a<bآنگاه : ‏b ‏f (x)dx  an  x dx  ‏a ‏a ‏n0 ‏an n1 ‏t ‏n0 n 1 ‏ ‏t ‏f (x)dx  0 ‏به عالوه شعاع همگــــرایی ســـری توان طــــرف چپ مساوی است با . r به بیان دیگر از سری توان در بازه همگرایی می توان جمله به جمله انتگرال گــــرفت و انتگــــرال ســـری توان را بـــه دست آورد . : مثال1 . 8 . 10  1  ( 1)n xn 1 x n0 میدانیم که  1 x  1 و لذا بنابر قضيه فوق داریم n    t dx ( 1)n n1 n n n 1 t ln(1 t)   ( 1) x dx  t  ( 1) 0 1 x 0 n n0 n0 n 1 n1 t برای مثال داریم n 2 3  1 ( 1)n 1  1 1 1 1 1  1  3  ln  ln1             ... 2 n1 n  2 2 2 2 3  2  2   1 . 8 . 12سری دو جمله ای می دانیم که به ازای هر عدد صحیح و مثبت n ‏n ‏n(n  1) 2 ‏x ‏x  ... xn !1 !2 (1 x)n 1 سوال این است که اگر به جای nدر طرف چپ عــــدد غیر صحیح مثبتی قرار دهیم در طرف راست چه تغییراتی باید اعمال کنیم ؟ برای این منظور نشان می دهیمکه اگر mعـــددی حقیقی و مثبت باشد ،آنگاه سری توان ‏m(m 1)...(m n 1) n ‏x !n ‏n1 ‏ 1  که به سری دو جمله ای موسوم است ،روی ( )1 , 1-به تابعــی چون )f(x همگراست .یعنی: ‏x 1 ‏m(m 1)...(m n 1) n ‏x !n ‏n1 ‏ ‏f (x) (1 x)m 1   1 . 8 . 13مثال : سری دو جمله ای معرف تابع حل: در اینجا 1 ‏m ، 2 ولذا ‏x 1 1 2 )) (1 xرا(xبه fدست می آوریم. 1 1 1 ( ‏ 1 ()... ) n 1 1 ‏ 2 ‏f (x) (1 x)2 1  2 2 ‏xn !n ‏n1 1 1 1 3 1 35 1 4 ‏1 x  2  x2  3  x3  ‏ x  ... 4 2 !2 2 !2 3 2 !4 ‏x 1 حال اگر در این برابری قرار دهیم 4 1 ‏x ‏ 2سری 3 2 1 1 1 1  1 3 1  1 35 1  1 1   2     3     ‏    ... 2 2 2 2! 2 2 3! 2 24 4! 2 را که به 3 2 همگراست به دست می آوریم.  1 . 8 . 14مثال : با استفاده از دستور دو جمله ای معرف سری توان تابع ‏1 ‏sin xرا به دست می آوریم. حل: می دانیم که ‏dt 1 t2 ‏x ‏1 ‏sin x  0 1 اکنون تابع زیر عالمت انتگــــرال ،یعنی ‏ t2را1به صورت سـری توان می نویسیم برای این منظور می نویسیم: ‏ 1 ‏ 1  3  ‏  ‏     2 ‏ ( x)   2  2 ( x)2  ... ‏1  !1 !2 1 ‏ 1 ‏(1 x) 2 1 x این برابری پس از ساده کردن طرف دوم به برابری زیر تبدیل می شود . ‏ 1 135...(2n  1) n ‏1  ‏x )24...(2n 1 x ‏n1 ‏x 1 ‏x2 حال اگر در دو طرف این برابری xرا به دست می آوریم: تبدیل کنیم به ‏ 135...(2n  1) 2n ‏x )24...(2n ‏n1 ‏x 1 ‏1  1 2 1 x آوریم: از دو طرف این برابری انتگرال می گیریم و به دست می ‏ )135...(2n  1 ‏x2n1 1 ‏x 2 حال با قرار دادن داریم: )24...(2n)(2n 1 2n1 ‏sin 1 x x   ‏n1 ‏ 1  135...(2n  1)  1 ‏  ‏  6 2 n1 24...(2n)(2n 1)  2  1 . 9بسط تیلور ،سری تیلور در قسمت قبل دیدیم که هر ســـری تــــوان در بازه بازی معرف یــک تابع بـــی نهــایت بار مشتــــق پذیر است .همچنین دیدیم که به تابع می توان یک سری توان ،که در بازه ( )1 , 1-همگـراست ،نسبت داد .در این قسمت بحث اخیر را ادامه می دهیم ،یعنی سعی می کنیم به هر تابع مناسب یک ســــری تــــوان نسبت بدهیم. (1 x)m  1 . 9 . 1قضيه : اگر سری توان (x  a)n ، r>0آنگاه با فرض ‏ ‏a ‏n ‏n0 معرف تابع ) f(xدر فاصله ( )a-r , a+rباشد و )f (a) f (0) (a داریم: ‏n 0, 1,2 ,... )f (n) (a ‏an  !n 1 . 9 . 2قضيه (تیلور) فرض کنید مشتق های مرتبه اول ،دوم )n+1( ،... ،ام تابع fروی بازه باز Iپیوسته باشند .اگر ‏I آنگاه,txیaبین x , aوجود دارد به طوری که : )f (a )f n (a )f n1(t ‏n ‏f (x) f (a)  (x  a)  ... (x  a)  (x  a)n1 !1 !n !)(n 1 با توجه به این قضيه تعریف زیر را می آوریم: 1 . 9 . 3تعريف : عبارت طــــرف راست برابری موجــود در قضيه 1 . 9 . 2را بسط تیلــــور fدر نقطــــه aمی نامیم .چنـــد جمله ای )f (a )f n (a ‏pn (x) f (a)  (x  a)  ... (x  a)n !1 !n را چنـد جمله ای مرتبه nام تیلور fو عبارت )f n1(t ‏f (x)  pn (x) Rn (x)  (x  a)n1 !)(n 1 را باقــــی مانده مرتبه nام تیلور fدر aمی نامیم. مشتقـــی باقی مانده نیز نامیده مــــی شود . )Rn (x صورت الگرانژی یا صورت  1 . 9 . 6تعريف : اگر تمام مشتقهای تابع fدر نقطه x =aوجود داشته باشند آنگاه ســری تــوان )f (n) (a ‏n ( ‏x ‏ ‏a ) ‏ !n ‏n0 ‏ را سری تیلور fدر نقطه x =aمی نامیم .سـری تیلور fدر نقطه a=0را ســری مک لورن fمی نامیم. ‏f (x) sinx , f (x) ex در مثال 1 . 9 . 4سریهای مک لورن توابع را پیدا و مشاهده کردیم که این سریها در هـــر نقطه هستند ،یعنی: ‏x2n 1 !)(2n  1 ‏n 1 ‏ )sinx  ( 1 ‏n1 ‏x R خود این توابع همگرا به , ‏xn ‏e  !n0 n ‏ ‏t ‏توجه :مثال زیر نشان مــی دهد که این حکم در مورد تمام ســـریهای تیلور درست نیست.  1 . 9 . 7مثال : سری مک لورن تابع ‏x 0 ‏x 0 را به دست می آوریم. 1 ‏ 2 ‏x ‏ ‏ ‏f (x) e ‏ ‏0 حل: به ازای x 0داریم: 1 1 4 6   x2 ‏ , f (x)  6  4  e ,... ‏x  ‏x 2 ‏ 2e x ‏f (x)  3 ‏x 1 ‏ 1   x2 (x) p3n   e ‏ x که در آن ‏p3n )( n یک چند جملـــه ای از درجه 3nاست . ‏f :با استفاده از دستــــور هوپیتال داریــــم x=0به ازای 1 ‏x2 ‏ )f (x)  f (0 ‏e 0 ‏f (0) lim ‏lim ‏0 ‏x 0 ‏x ‏ 0 ‏x ‏x ‏0 1 ‏x2 ‏ 2e ‏ ‏ ‏f (0) lim 4 ‏x 0 x و به طور کلی با توجه به 1 ‏x2 داریم ‏ ‏e ‏e t ‏lim n lim ‏n ‏x 0 x ‏t  ‏ 1 2 ‏  ‏ t ‏f (n) (0) 0 در نتيجه سری مک لورن تابع fعبارت است از : ‏ )t(n ‏n (x  0) 0xn 0 ‏ !n0 n ‏n0 ‏  1 . 10کاربردهای بسط تیلور و سری تیلور در این قسمت چند کاربرد ساده از بسط و سری تیلور را بیان می کنیم .این کاربردها عبارت اند از : رابطه قضيه تیلور با قضيه میانگین ،تعیین نوع نقاط بحرانی توابع ،همچنین تقریب برخی اعداد و محاسبه حد برخی توابع. مثال1 . 10 .4 .را محاسبه کنید x  ln( 1 x) lim x 0 x2 :حل عبارتست ازln(x+1) سری مک لورن تابع x2 x2 ln(1 x) x    ... 2 3 1 x  x  ln( 1 x) x    ...  2 3  2  1 x x2  f (x)     ...  4 2 3  1 limf (x) f (0)  x 0 2 x  ln(1 x) 1 lim  2 x 0 x 2  1x 1  1x 1 بنابراین چون تابع داریم،] پیوسته است1 ,1-( روی بازه و ازاین رو هدفهای کلی رنه دکارت ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی در سال 1637با انتشار کتاب Geometricمـبانـیهـندسـه تــحلیلیرا مـعرفـیکــرد .هــــدفوـیازاـیـنکــار حل مسائل هندسی با استفاده از روش های جــــبری بود وبی تردید نوآوری دکارت گام بلندی در تغییر شیوه نگـرش به موجودات ریاضی ، تجدید حیات هندسه ،وبه وجود آمدن هندسه های جدید بود. بااین نو آوری نقطه جای خود را به دوتایی ،سه تایی یاچندتایی مرتب از اعداد داد و بر عکس .مفهوم فاصله بین دو نقطه و حاسبات هندسی ناشی از آن با دقت بسیاری بیان شد. خط و صفحه و ....با زیر مجموعه های خاصی از مجموعه های شناخته شده متناطر و به یک معنا با آنهایکی شدندو... هدف های کلی از ارائه این فصل عبارت اند از: .1آشنا کردن دانشجویان با این قسمت از ریاضیات. .2استفاده از روش های جبری برای برخی از مسائل هندسی. .3آماده کردن دانشجویان برای دروس ریاضی آینده از جمله ریاضی عمومی 3 هدفهای رفتاری دانشجو پس از مطالعه این فصل بایدبتواند .1تعریف بردار و مفاهیم وابسته به آن در صفحه و فضا را بداند. .2اعمال روی بردارها را بداند وآنها را به کار ببرد. .3بردارهای یکه فضایی و مسطح را بشناسد ،دستگاههای مختصات راستگرد و چچپگرد را بشناسد ودر مواقع لزوم به کار ببرد.  .4فاصله دو نقطه ،کره و معادله کره را بداند و بنویسد. .5حاصلضرب داخلی دو بردار و تمام مفاهیم وابسته به آن را بداندو به کار ببرد. .6معادله های دکارتی و پارامتری خطها را بداند ووضع نسبی دو خط را بشناسد. .7حاصلضرب خارجی و تمام ویژگی های آن رادرموارد مختلف از جمله محاسبه مساحت مثلث ،تشکیل کنج توسط سه بردار ،فاصله خطهای متنافر و ...به کار ببرد. .9زاویه بین دو خط و یک خط ویک صفحه را محاسبه کند. .10شرط متنافر بودن دو خط ،شرط واقع نشدن سه خط بردار یک صفــحه را بداند و از آنها استفاده کند.  2 .1بردار در صفحه 2 .1 .2تعریف ‏ فاصله دو نقطه Aو Bبه ترتیب با مختصات ( )a,bو ( )x,yرا با نماد نشان می دهم و به صورت ‏ ‏AB  (x  a)2  (y  b)2 تعریف می کنیم. به این ترتیب اگر ‏AB طول بردار B Aباشد ،داریم ‏ ‏AB  (x  a)2  (y  b)2 ‏AB   که در, OB , OA  مثال2 .1 .3  , BA , AB آنگاه اندازه بردار هایA(2, 3) ، B(5, 0) اگر : عبارت است از، مبدا مختصات استO آن  AB  (5 2)2  (0 3)2  32  32 3 2  2 2  BA  (2 5)  (3  0) 3 2  AB  OA  (2 0)2  (3  0)2  22  32  13  OB  (5 0)2  (0 0)2 5  2 .1 .4تعریف ‏ ‏AB دو بردار ‏ ‏CD و ‏ ‏ ‏AB CD گر اندازه و ~ ا را همسنگ می گوئيم ومی نويسيم جهت آنها يکی باشد چها ربردار هم سنگ  2 .1 .7تعریف (جمع دو بردار ) ‏ ‏ ‏OB , OA منظور از مجموع دو بردار برداری چون OCاست به طوری که ‏ ‏ قطر متوازی االضالعی است ‏ ‏OC ‏ مجموع دو ‏ ‏OB , OA که اضالع مجاور آن هستند. ‏ بردارOB , OA را با ‏ ‏ ‏ ‏OC OA OB نشان می دهیم . ‏a+ ‏b ‏a مجموع دو بردار ‏b ‏ ‏OC  2 .1 .8قضیه ‏ ‏ ‏ ‏OC , OB , OA فرض کنید ‏ ‏ ‏ سه بردار با مبدا Oباشند .در این صورت ‏ ‏OA OB OB OA یعنی عمل جمع برداری جا بجایی است .بنابراین الف) مجموع دو بردار مستقل از ترتیب آنها ست. ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ )(OA OB)  OCOA (OB OC ب) ،یعنی عمل جمع برداری شرکتپذیر است .بنابراین مجموع سه بردار مستقل از پرانتزگذاری است و لذا مجموع سه ‏ ‏ ‏ بردار مذکور رابا OA OB OCنشان می دهیم.  ‏ ‏ ‏OA OO OA پ) ‏ ‏OO وجود دارد که با هر برداری جمع ،یعنی بردار شود ،حاصل خود آن بردار می شود. ‏ ‏O ‏ ‏ ‏OO نشان می دهیم. را بردار صفر می نامیم و با ‏ ت) بردار ODوجودداردکه ‏ ‏ ‏ ‏OA OD O ‏ ODرا قرینه ‏ ‏OAمی نامیم و با ‏ ) (OA نشان می دهیم.  2 .1 .9تعریف (ضرب عدد در بردار) ‏ ‏ به ازای عدد ‏ ‏OA و بردار ‏ در منظور از حاصلضرب ‏ ‏OA برداری چون است به طوری است که ‏ ‏ ‏OB   OA الف) ‏ ‏ .یعنی اندازه ‏ ‏OB , OA هم جهت اند اگر ب) ‏ ‏ حاصلضرب ‏OA در ‏ 0 ‏ , OB برابر اندازه ‏ ‏OA است. و در خالف جهت هم هستند اگر ‏ را با ‏ OA نشان می دهیم .به این ترتیب داریم ‏ ‏ ‏OB  OA ‏OB  2 .1 .11قضیه (ویژگی های ضرب عدد در بردار) ‏ ‏ ‏ ‏ اگر ‏OA و دو عدد و ‏ و ‏OB دو بردار باشند آنگاه ‏ 1OA OA الف) ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ (OA OB)  OA  OB ب) برداری پخش پذیر است. ‏ ‏ ‏ (  ) OA  OA  OA پ) ‏ ‏ )() OA ( OA ت) ،یعنی ضرب عدد در بردار نسبت به جمع اثبات الف) بنا به تعریف روشن است. ‏ 0 ب) فرض می کنیم ‏ .شکل زیر درستی رابطه ‏ ‏ ‏ ‏(OA OB)  OA  OB را نشان می دهد .در این شکل مثلث های OACو OACمتشابه اند و ‏C ‏ ‏ OC ‏y ‏A ‏ ‏ OA ‏C ‏ ‏ OB ‏B ‏x ‏a ‏ ‏ ‏ ‏A ‏B ‏ ‏ (OA OB)  OA  OB ‏o  2 .1 .13تعریف ‏ ‏OA جزئی هر بردار به طول واحد را یک بردار یکه می نامیم .خطی که بردار از آن است خط حامل این بردار نامیده می شود. ‏y ‏A ‏yj ‏ ‏a ‏j ‏x ‏xi ‏i بردارهای یکه متعارفیj , i ‏o  2 .1 .14تعریف ‏ ‏OA xi  yj اعداد xو yدر بردار را به ترتیب مولفه های افقی وقائم بردار ‏ و بردارهای xiو yjرا به ترتیب تصویر های افقی وقائم بردار OA می نامیم. 2 .1 .15مثال ‏ ‏ ‏bj بردارهای OA aiو OB xi  yjو عدد ‏ را در نظر بگیرید. ‏ می خواهیم مولفه های افقی و قائم را تعیین کنیم. ‏ ‏ ‏ ‏ بردارهای OA ( (OB)) ,  OA , OA OB :حل  داریم  OA OB(ai bj)  (xi  yj) (a  x)i  (b y) j  OA (ai bj) (ai)  (bj) (ai)  (bj)   OA ( (OB)) (ai bj)  (xi  yj) (a  x)i  (b  y) j ) تعریف (تفریقـ دو بردار2 .1 .16  می نامیم و آن را به صورت OA   از OB را تفریق   OA ( (OB)) بردار  OA OB .نشان می دهیم y A B E x o    OEOA OB  2 .2مختصات فضایی سه محور ox, oy , ozرا که در نقطه oدو به دو بر هم عمودند ،در نظرمی گیریم. این محورها نسبت به هم به نحوه های مختلفی قرار می گیرند. در شکل زیر روش قرار گرفتن آنها را مشاهده می کنیم. ‏y ‏x ‏y ‏z ‏o ‏y ‏z ‏o ‏z ‏o ‏x این روشهای قرار گرفتن را اص ً ال می توان به دو دسته افراز کرد: راستگرد و چپگرد ‏x  2 .2 .1تعریف سه تایی مرتب( )ox,oy,ozرا یک دستگاه راستگرد می نامیم اگر ناظری که در نقطه Oایستاده است و سرش در جهت zقرار دارد و به yنگـاه می کند x ،را در طرف راست خود ببیند .دستگاهی را که راستگرد نباشد ،چپگرد می نامیم. ‏z ‏z ‏y ‏x ‏o دستگاه راستگرد ‏x ‏o دستگاه چپگرد ‏y از این به بعد با دستگاههای راستگرد سرو کار خواهیم داشت. ‏دستگاه راستگرد را با oxyzیا به ختصار xyzنشان خواهیم داد و آن رادستگاه xyzخـواـهیم خـواـند. در نتیجه با استفاده از دستگاه راستگرد xyzبه هر نقطه Aاز فضا یک سه تایی مرتب ( )a,b,cاز اعداد حقیقی نظیر می شود c , b, a .را به ترتیب – xمختــص، yمختص و – zمختص نقطه Aمی نامیم.به دلیل این تناظراست که گاه نقطهـب )a,b,cیــکیمـیگــیریـم و مـینــویـسیم ) ، A=(a,b,cوـنـیــز Aرا بــا ســه تــایـیمـرت ( گاه می نویسیم ) ، A(a,b,cبدین معنی که نقطه Aبه ترتیب دارای x-مختص، y -مختص و – zمختص c, b, aاست. z A(a,b,c) v c y o a b x xyz دستگاه مختصات B  2 .2 .2تعریف دستگاه xyzرا یک دستگاه مختصات دکارتی برای فضا وعددهای a, b, cرا مختصات نقطه Aمی نامیم . 2 .2 .4مثال صفحه xoyدر فضا متناطر است با مجموعه نقاط (x, y, z) x  R , y  R , z 0 ‏ بنابراین ،معادله z = 0را معادله صفحه xoyمی نامیم .بدین معنی که هر نقطه واقع بر صفحه xoyدارای مختصات xو yو z = 0است. به همین ترتیب x = 0معادله صفحه yozاست .یعنی هر نقطه واقع بر صفحه ـت ـت و نــیز y = 0مـعـادـلـه صـفحه xozاـس . ‏yozداراـیمـختصات x = 0و yو zاـس .  2 .2 .5تعریف صفحه های zox , yoz , xoyرا که معادله های آنها به ترتیب = 0y = 0 z = 0, x است ،صفحه مختصات می نامیم. ‏توجه کنید که منظور از اصطالح صفحه ، z = 0صفحه xoyاست. در شکل اسالید بعدی صفحه های مختصات را نشان داده ایم. x=0 ‏y=0 0 =z صفحه های مختصات B(1, -1, 5) A(2, 2, 4) C(-2, 4, -4)  2 .2 .9تعریف اگر ) B(x,y,z) , A(a,b,cدو نقطه در فضا باشند ،فاصله آنها را با نشان می دهیم و تعریف می کنیم * ‏AB  (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 توجه کنید که بنا بر این تعریف داریم ‏BA  (a  x)2  (b  y)2  (c  z)2 و لذا فاصله Bاز Aمساوی است با فاصله Aاز ، Bیعنی ‏AB  BA ‏AB  2 .2 .10قضیه )B(,,  به ازای سه نقطه ) A(a,b,cو ) C(x,y,zرابطه زیر برقرار است. ‏AB  AC  CB یعنی اگر ABCیک مثاث در فضا باشد ،آنگاه طول هر ضلع آن از مجموع دو ضلع دیگرش بیشتر نیست ،و لذا نابرابری * را نابرابری مثلث می نامیم. 2 .2 .11مثال فاصله نقطه های ) B(1, 2, 3) , A(1,-1, 1برابراست با ‏AB  (1 1)2  (21)2  (3  1)2  32  22  13  2 .2 .13تعریف (کره) کره ای به مرکز ) C(a,b,cو شعاع ، rمجموعه نقاطی چون ) X(x,y,zدر فضا است به طوریکه ‏CX r به عبارت دیگر مجموعه ‏ (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 r را کره به مرکز( )a,b,cو شعاع rمی نامیم. معادله (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 r یا (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 r2 را معادله کره می نامیم. ‏ ‏S  X (x, y, z)  R3 معموالً کره را با معادله اش می خوانیم و مث ً ال می گو ئیم کره (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 r2 می گوئیم نقطه ) X(x,y,zدر داخل کره واقع است اگر در نابرابری (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  r2 صدق کند .به همین ترتیب ) X(x,y,zدر خارج کره است اگر (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  r2 مجموعه نقاط واقع در داخل (خارج) کره را داخل کره ( خارج کره) می نامیم.  2 .2 .14مثال الف) معادله کره ای به مرکز ( )0,0,0و شعاع 2عبارت است از (x  0)2  (y  0)2  (z  0)2 x2  y2  z2 4 داخل این کره ،مجموعه نقاط ) X(x,y,zاست به طوری که در شکل زیر کره ‏x2  y2  z2 4 را نمایش داده ایم. ‏z ‏y ‏r ‏o ‏x  2 .3بردـارهای فضایی 2 .3 .1تعریف ( بردارهای یکه متعارفی) با فرض ‏ ‏ ‏ )i (1,0,0) , j (0,1,0) , k (0,0,1 اندازه هر یک از این بردارها برابر 1می باشد. این بردارها بردارهای یکه متعارف نامیده می شوند . ‏ اگر بردارهای فضاییOA داده شده باشد ،و نقطه Aانتهای این بردار ،دارای مختصات ) A(a,b,cباشد ،آنگاه ‏ ‏OA ai bj ck در نتیجه به هر نقطه فضا یک بردار فضایی به مبدا Oوبه هر بردار فضایی با مبدا Oفقط یک نقطه در فضا می توان نسبت داد.  2 .3 .3تعریف الف) به ازای بردار فضایی ‏ ‏OA ai bj ck ‏ عددهای c, b, aرا به ترتیب – k , -j , -iمولفه های OAمی نامیم. ‏ ب) می گو ئیم دو بردار فضایی ‏OA ‏ ‏OB ,برابرند و می نویسیم اگر مولفه های همنام آنها برابر باشند ،یعنی ،دو بردار ‏ ‏OA ai bj ck ‏ ‏OB xi  yj zk برابرند اگر واتنها اگر . z = c , y = b , x = a ‏به عبارت دیگر دو بردار برابرند اگر قابل تشخیص نباشند. ‏ ‏ ‏OA OB  2 .3 .5تعریف ‏ ‏ ‏OB xi  yj zk , OA ai bj ck فرض می کنیم ‏ دو بردار فضایی و عددی حقیقی باشد. ‏ الف) منظور از مجموع دو ‏OA بردار ‏ ‏ OB ,برداری است چون OCبه طوری که ‏ ‏OC (a  x)i  (b  y) j  (c  z)k ‏ ‏ ‏ ‏OC OA OB ‏ ب) منظور از حاصلضرب صورت زیر تعریف می شود: در بردار ، OAبرداری است چون ‏ ‏OD (a)i  (b) j  (c)k ‏ ‏ ‏OD  OA ‏ ODبه که  2 بردارهای، مثال2 .3 .6  عدد  k وOB i  j, OA 2i  3j  4بردارهای  .به دست آورید   را(OA OB)  OA OB (21)i  (3 1) j  4k 3i  4j  4k   OA 2OA 4i  6j  8k    OB 2OB 2i  2j       ,  OB ,  OA , OA OB    به ازای (OA OB) 2(OA OB) 6i  8j  8k  مثال2 .3 .9  OB  i  j  k ,  OA i  j  k   فرض می کنیم  .را حل کنیدOA OX 2OBالف) معادله :حل      (OA OX)  ( OA) 2OB ( OA) ویا  OX  3i  j  k  ‏x OA OB 0 ‏ ب) معادله ‏ را حل کنید . حل: ‏ بنابر قضیه فوق داریم ‏ ‏x OA  OB ‏xi  xj xk  i  j  k ویا x = -1و x = 1و از اینرو . 1- = 1در نتیجه معادله جواب ندارد. ‏ ‏ ب) از معادله x OA 2y OB iمقادیر xو yرا پیدا کنید. حل: بنابر قضیه فوق باید داشته باشیم ‏x  2y 1 , x  2y 0 1 1 ‏x  , y  2 4  2 .3 .14تعریف ‏ ‏ به ازای دو نقطه ) A(a,b,cو ) B(x, y,zاندازه ‏AB بردار را با ‏AB و آن را برابر با فاصله دو نقطه Aو Bتعریف می کنیم .یعنی ‏ ‏ ‏AB  AB  (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 2 .3 .15مثال 5j  4k طول بردار ‏ AB 2i مساوی است با ‏ ‏AB  22  ( 5)2  42  4 5165 نشان میدهیم  2 .4زاویه بین دو بردار ،ضرب داخلی 2 .4 .1تعریف (حاصلضرب داخلی) ‏ منظور از حاصلضرب داخلی دو بردار ‏OA ai bj ck ‏ ‏OB xi  yj zk ‏ عدد ax +by+czاست .این عدد ‏ ‏OA.OB را با ‏ نشان می دهیم ،یعنی ‏ ‏OA.OB ax by cz ‏ توجه کنید که اگر c = z = 0آنگاه ‏ بردارهایOA, OB به بردارهایی در صفحه xoyتبدیل می شوند و حاصلضرب داخلی آنها از فرمول ‏ ‏ ‏ax by OA.OB به دست می آید.  2 .4 .3مثال ‏ الف) حاصلضرب داخلی بردارهای ‏ ‏OB 3i  2j  4k , OA 4i  3j  2k راپیدا کنید. حل: داریم ‏ ‏ ‏OA.OB 12 6 8 10 ‏ ب) طول بردار OA 4i  3j  2k مساوی است با ‏ ‏ ‏ ‏OA  OA.OA  42  32  22  29 پ) به ازای بردارهای (الف) و بردار 2j  3k ‏ ‏OCi داریم ‏ ‏ ‏ ‏ ‏OA  OC 5i  j  k ولذا ‏ ‏OB.(OA  OC) 15 2 4 21  2 .4 .5قضیه ( نابرابری کوشی -شوارتس) ‏ , OA ai bj ck به ازای دو بردار ‏ * ‏ ‏ ‏OB xi  yj zk داریم ‏ ‏ ‏OA.OB  OAOB و برابری برقرار است اگر و تنها اگر عددی چون وجود داشته باشد که ‏ ‏ ‏OA  OB را بطه * را نابرابری کوشی شوراتس می نامیم.  2 .4 .6تعریف 0  ,  زاویه ‏ را که در رابطه * صدق می کند ،زاویه بین بردارهای ‏ ‏OA, OB نتیجه می نامیم. ‏ ‏ ‏OA  OB ‏ ‏ ‏ , ‏OA.OB 0 2 .4 .7مثال ‏ الف) زاویه بین حل: داریم بنابراین , OA i  j  k بردارهای ‏ ‏ )(OA, OB 0 ‏ ‏OBپیداکنید. i  jرا ‏ ‏OA.OB 2 2 ‏cos   ‏ ‏ ‏ 3 2 3 ‏OA OB 2 ‏ Arccos 3 ‏  2 .4 .9تعریف ‏ ‏ ‏OP ‏OB اگر Pپای عمود از Aبر خط ‏ ‏ ‏OP ‏OA را مولفه اندازه باشد ،بردار ‏ را تصویر ‏ ‏OB روی ‏A می نامیم. ‏ ‏P ‏P ‏ ‏ در نتیجه تصویر OAبر OBعبارت است از ‏ ‏ ‏OB ‏ ‏OA.OB 2 ‏ ‏OB ‏ ‏OP  ‏OA روی ‏ ‏OB و  2 .4 .10مثال ‏ ‏k بردار OA 2i  3j  4راروی بردار تصویر ‏ ‏OB i  j  kو اندازه این تصویر راپیدا کنید. حل: ‏ با توجه به تعاریف بایدOB ‏ ‏ ‏ و OA.OBرا پیدا کنیم .داریم ‏ 2 ‏OA.OB 2 3  4 9 ‏ و لذا ‏OP اگر ‏ 2 ‏OB  1 1 1  3 , ‏ تصویر OAبرOB باشد ،داریم 9  ‏OB  OB 3(i  j  k) 3i  3j  3k 3 ‏ و نیز داریم 2 ‏ 9 ‏3 3 3 ‏ ‏ ‏ ‏OA.OB 2 ‏ ‏OB ‏ ‏OB ‏ ‏OA.OB ‏ ‏ ‏OP  ‏ ‏OP   2 .5خط در صفحهـ و در فضا 2 .5 .1تعریف ‏P0 خط جهتدار Lبا مبدا ‏OA فرض کنید و نقطه Pرا در جهت مثبت آن درنظرمی گیریم . ‏ همسنگ بردار P0Pبا مبدا Oباشد. ‏ ‏OA الف) بردار یکه ‏ ‏OA ‏U ‏ را سو یا جهت بردار ‏OAسو یا جهت بردار ، ‏ ‏P0P ،و سو یا جهت خط Lمی نامیم. ب) زاویه های بردار Uبا جهت های مثبت محور های مختصات را زاویه های ‏ هادی ‏ ‏P0P , OA ،U یا خط Lمی نامیم.  , ,  پ) اگر زاویه های هادی Uبه ترتیب با محور های z, y, xباشند، ‏ ‏ Pخط Lمی نامیم. cos , cos , cosرا کسینوسهای هادی 0P ,OA , Uیا ‏y ‏z ‏P ‏P ‏ ‏A ‏ ‏ ‏U ‏P0 ‏y ‏P0 ‏ ‏U ‏ در فضا در صفحه ‏x  2 .5 .2مثال )P0(1,0,1 خط Lاز دو نقطه و) P(4,4,6می گذرد .می خواهیم مفاهیم موجود در تعریف فوق را با محاسبه تحقیق کنیم . حل: ‏ ‏P 0P بردار عبارت است از ‏ ‏P0P (4 1)i  (4 0) j  (6 1)k 3i  4j  5k ‏ اگر این بردار با مبدا Oدر نظر گرفته شود ،بردار OAدر تعریف 2 .5 .1حاصل می شود .لذا ‏ ‏OA 3i  4j  5k سوی این بردار عبارت است از بردار یکه :U 1 )(3i  4j  5k 5 2 (3i  4j  5k)  1 32  42  52 ‏ ‏ ‏OA ‏ ‏OA ‏U زا ویه های این بردار با بردار های یکه k , j, iزاویه های هادی هستند .داریم ‏ ‏U.i 3 ‏cos  ‏  5 2 ‏Ui ‏ ‏U. j 4 ‏cos  ‏  5 2 ‏U j ‏ ‏U.k 5 1 ‏cos  ‏ ‏ ‏ 2 ‏Uk 5 2 2 2 2 ‏cos ‏ ‏ ‏cos ‏ ‏ ‏cos توجه کنید که مجذور طول Uاست ولذا ‏cos2   cos2   cos2  1  2 .5 .5بردارهای موازی ‏ ‏ ‏AB , CD اگر بردارهای ‏ ‏ ‏OP , OQ به ترتیب با مبدا های Aو Cموازی و بردارهای به ترتیب با این بردارها همسنگ باشند ،آنگاه ‏ مساوی است با 0یا ‏ ‏ ‏AB , CD ،برحسب اینکه ‏ زاویه بین هم جهت باشند یا غیر هم جهت. 2 .5 .6مثال ‏ ‏OA i  j  k به ازای بردار و نقطه ) P0(1,2,3مجموعه تمام نقاط ‏ ) P(x,y,zرا پــیدا مـیکــنیمP0P کــه ‏ ‏OA بــا مـوازـی بــاشد. حل: داریم ‏ ‏P0P (x  1)i  (y  2) j  (z  3)k ‏ بنابر شرط توازیP0P ‏ موازی OAاست اگر وتنها اگر ‏x  1 y 2 z 3 ‏ ‏ 1 1 1 بنابراین به ازای هر عدد حقیقی tباید داشته باشیم ویا ‏x 1 ‏y 2 ‏z 3 ‏t , ‏t , ‏t 1 1 1 ‏x 1 t , y 2 t , z 3  t  2 .5 .10تعریف الف) معادله های پارامتری خط Lکه از نقطه )P0(x0, y0, z0می گذرند و با بردار a i+b j+c kموازی اند عبارت اند از ‏x x0  ta ‏y  y0  tb ‏z z0  tc ب) معادله های دکارتی خطی که از نقطه )P0(x0, y0, z0می گذرد و با بردار ‏a i+b j+c k موازی است عبارت است از ‏x  x0 y  y0 z  z0 ‏ ‏ ‏a ‏b ‏c پ) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز )P1(x1, y1, z1 )x0, y0, z0و(P0 بگذرد عبارت اند از: ‏x  x0 y  y0 z  z0 ‏ ‏ ‏x1  x0 y1  y0 z1  z0 ‏توجه کنید که این مطالب در مورد صفحه y xoو خط های واقع بر آن نیز درست اند .فقط در این حالت ،یعنی وقتی که صفحه xoyو خطهای آن مطرح هستند معادله ها به صورت زیر در می آیند. الف) معادله های پارامتری خط Lواقع در صفحه xoyکه از نقطه می گذرد و با بردار ai+bjموازی است ‏x x0  ta ‏y  y0  tb )P0(x0, y0 )0(x0, y0 می Pگذرد ب) معادله های دکارتی خط Lواقع در صفحه xoyکه از نقطه و با بردار ai+bjموازی است ‏x  x0 y  y0 ‏ ‏a ‏b پ) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز بگذرد عبارت اند از: )P1(x1, y1, z1) P0(x0, y0, z0 و ‏x  x0 y  y0 ‏ ‏x1  x0 y1  y0 توجه : اگر در معادله های فوق مخرج کسری مساوی با صفر باشد ،صورت آن را نــــیز برابربا صفر قرار می دهیم .لذا معادله های خطی چون Lکه از نقطه )P0(x0, y0, z0 می گذرد و با بردار a i+ b jموازی است( در اینجا )c = 0عبارت اند از: الف) معادله های پارامتری ‏ x x0  ta ‏ ‏ y y0  tb ‏z 0 ‏ ب) معادله های دکارتی ‏x  x0 y  y0 ‏ ‏a ‏b ‏z  z0 0 توجه: شرط a = b= c =0نتیجه می دهد که بردار ai +bj+ ckدر تعریف2 .5 .10 مساوس است با بردار صفرو لذا این شرط جهتی را مشخص نمی کند . این بدان معناست که فقط با استفاده از نقطه خطی را به دست آورد. نمیP0توان معادله های  2 .5 .11مثال الف) معادله های دکارتی و پارامتری خطی که از نقطه ‏ وبا بردارAB 2i  3j  ‏k موازی است را پیدا کنید. حل: معادله های پارامتری این خط عبارت اند از ‏x 1 2t ‏y 1 3t ‏z  1 t معادله های دکارتی این خط عبارت اند از ‏x  1 y  1 z 1 ‏ ‏ 2 3 1 )P0(1,1, 1 می گذرد ب) معادله های دکارتی و پارامتری خطی را بنویسید که از نقطه )P0(1,1,2 ‏ ‏OA 2i  3j می گذرد وبا بردار موازی است. حل: در اینجا . c = 0 , b = 3 , a = 2بنابراین معادله های دکارتی خط مورد نظر برابر است با ‏x  1 y 1 ‏ 2 3 ‏z  20 معادله های پارامتری این خط عبارت اند از ‏x 1 2t ‏y 1 3t ‏z 20t 2  2 .5 .13تعریف ‏L دو خط Lو را متنافر می نامیم اگر منطبق ،موازی و متقاطع نباشند. 2 .5 .14مثال در یک مکعب مستطیل یالهایی وجود دارند که خطها ی شامل آنها متنافرند. در شکل زیر خط هایی که شامل پاره خطهای ABو CDهستند ،متنافرند. ‏B ‏C ‏A ‏D خطهای متنافر  2 .5 .15قضیه ‏l ‏ ‏OB ai  bj  ck , OA ai bj ck خطهای lو با اتدادهای به ترتیب موازی اند یا منطبق اند اگر وتنها اگر شرط زیر برقرار باشد. ‏a ‏b ‏c ‏  ‏a b c از قضیه فوق نتیجه می شود که یک شرط الزم برای تقاطع یا تنافر دو خط ‏l ـنـسـتکــه یــکیاز ش ـراـیـط lو مـذکور در قــضیه فــوقاـی ا ‏a ‏b ‏c الف)   ‏a b c ‏a ‏b ‏c ‏  ب)a b c برقرار باشد. ‏ ج) ‏a ‏b ‏c ‏  ‏a b c در برخی از مثالهای زیر هیچ یک از این شرایط برای تقاطع یا متنافر دو خط کا فی نیست 2 .5 .16مثال الف) به ازای خط های ‏x  1 y z 3 ‏  2 4 6 ‏l : , ‏x ‏y z ‏l: ‏  1 2 3 ‏a ‏b ‏c 1 ‏   ‏a b c 2 ‏l ‏l صدق بنابراین lو موازی یا منطبق اند نقطه ( )3 ,2 ,1از lدر معادله های ‏ ‏l نمی کند .پس lو موازی اند و منطبق نیستند. ب) امتداد خطهای ‏x  1 y 2z ‏  2 3 9 در شرط ‏l : , ‏x ‏y z ‏  1 2 3 ‏l: 1 2 3 ‏  2 3 9/ 2 صدق می کند .بنابراین این خطها موازی یا منطبق نیستند و نشان می دهیم که متقاطع اند.برای این منظور معادله های پارامتری خطها را در نظر می گیریم. ‏x 1 2s ‏y 3s 9 ‏z s 2 ‏l : ‏x t ‏y 2t ‏z 3t ‏l: اگر lو lمتقاطع باشند ،عددهای tو sوجود دارند به طوری که ‏t 1 2s 2t 3s از این معادله ها به دست می اوریم تقاطع است. 9 3t  s 2 ‏t = -3 , s = -2 پ) به ازای خطهای ‏x ‏y z ‏  2 3 4 ‏a ‏b ‏c ‏  شرط a b c ‏l : , .بنابراین ) P(-3, -6,-9نقطه ‏x ‏y z ‏  1 2 3 ‏l: بر قرار است .اگر این خطها متقاطع باشند باید دستگاه ‏t s 2t 3s 3t 1 3s جوابی منحصر به فرد داشته باشد .از دو معادله اول نتیجه می شود که s = t =0 ولذا از معادله سوم نتیجه می شود t = 1/3که تناقض است لذا خطهای فوق متنافرند. ت) مالحظه می کنیم که خطهای ‏x ‏y z ‏  2 3 4 ‏l : , ‏x ‏y z ‏  1 2 3 در نقطه ) O(0, 0, 0متقاطع اند .در مورد این دو خط داریم ‏a ‏b ‏c ‏  ‏a b c ‏l:  2 .6معادله صفحه هدف این قسمت جبری کردن مفهوم تعریف نشده صفحه است .بدین معنی که به هر صفحه یک معادله جبری نسبت می دهیم ولذا ویژگی- های آن را از این معادله جبری طلب می کنیم .در مورد صفحه ،اصول اقلیدسی زیر را در نظر خواهیم داشت: دست کم یک صفحه و نقطه ای خارج آن وجود دارد ،دست کم در یک صفحه دو خط متقاطع وجود دارند ،دو صفحه متقاطع یک خط مشترک دارند. می دانیم که اگر خطی بر یکی از خطهای صفحه ای عمود باشد ،بر تمام خطهای این صفحه عمود است .بااستفاده از این ویژگی معادله صفحه داده شده ای را به دست می آوریم. A ‏O ‏P ‏P0 ( 2 .6 .1معادله صفحه ای که از یک نقطه می گذرد و بر یک بردار عمود است). ‏ فرض می کنیم صفحه از نقطه) P0(x0, y0, z0می گذرد و بر بردار ‏ ‏OA ai bj ck عمود است. ‏ ‏ نقطه دلخواه ) P(x,y,zرا در صفحه انتخاب می کنیم .بردار P0Pبر بردارOAعمود است ولذا ‏ ‏ ‏P0P.OA 0 این معادله را بر حسب مختصات Aو Pو P0به صورت زیر می نویسیم ‏a(x  x0)  b(y  y0)  c(z  z0) 0 این معادله را معادله دکارتی صفحه ‏ که از نقطه )P0(x0, y0, z0می گذرد و ‏ OA ai bj ckامتداد قائم بر آن است ،می نامیم. 2 .6 .3مثال معادله برداری و دکارتی صفحه ‏ را بنویسید که از نقطه )P0(1,2,3 می گذرد ‏ و بر k بردار OA 2i  3j  5عمود است ،بنویسید. حل: فرض می کنیم ) P(x,y,zنقطه دلخواهی بر این صفحه باشد.معادله برداری صفحه ‏ عبارت است از ‏ ‏ ‏P0P.OA 0 ولذا معادله دکارتی آن به صورت زیر است . و یا 2(x  1)  3(y  2)  5(z  3) 0 2x  3y  5z  230 ‏به طور کلی هر معادله به صورت ‏ax + by + cz + d =0 و با مجهول های z, y, xمعرف یک صفحه است.  2 .6 .7تعریف ‏ فرض کنیم ‏ ‏ و ‏ ‏OB ai  bj  ck ‏ ‏ ‏ دو صفحـــه با بردارهای قائم ‏ باشند ،زاویه بین بردارهای ‏OA ai bj ck ‏ ‏OB,OA را زاویه دو صفحه ‏ و می نامیم. ‏ اگراین زاویه باشد ،بنا به تعریف داریم , 0  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏OA.OB ‏OA OB ‏cos   ‏ ‏ ‏ زاویه بین دو صفحه 2 .6 .8مثال می خواهیم زاویه بین دو صفحه و :2x  4y  z  2 ‏ ‏ ‏ ‏را , پیدا کنیم: : x  y  z 1 ‏ حل: امتدادهای قائم بر این دو صفحه عبارت اند از ‏ , ‏OB 2i  4j  k ‏ ‏OA i  j  k بنابراین 2 41 7 7 ‏ ‏ 3 3 4161 3 7 ‏cos  و لذا داریم ,0  7 3 ‏ cos 1  2 .6 .10فاصله یک نقطه از یک صفحه )P0(x0, y0, z0 نقطه و صفحه به معادله ax+by+cz+d=0داده شده است .منظور از فاصله نقطه P0از صفحه طول قسمتی از خط عمود بر صفحه است که بین ‏ ‏P0 ‏A و صفحه واقع است. ‏B ‏P0 ‏ ‏P ‏ ‏H ‏ طول بردار HP0را فاصله P0از می نامیم  ‏PA اگر امتداد قائم بر صفحه باشد ،آنگاه با توجه به شکل در مستطیل داریم ‏PB  HP 0 ‏P0 از اینرو ،در فاصله ‏ ‏ از اندازه تصویر P0Pبر PAاست .در نتیجه داریم ‏ ‏ ‏PA .PP 0 ‏ ‏PA ‏P0 فاصله و لذا ‏ ‏ ‏PB PP ‏ 0 cos از مساوی است با ‏ ‏ ‏PA .PP 0 * ‏ ‏ ‏PA ‏ ‏ ‏HP ‏ 0  PB cos ‏PBP0H  فرمول فاصله بر حسب مختصات2 .6 .11 .) بیاشدx,y,z( دارای مختصات واقع برP در فرمول * فرض می کنیم نقطه داریم  PP0 (x0  x)i  (y0  y) j  (z0  z)k  PA ai bj ck d  (ax by cz) و از این رو  HP 0  a(x0  x)  b(y0  y)  c(z0  z) a2  b2  c2  ax0  by0  cz0  d a2  b2  c2 *  2 .6 .12مثال فاصله نقطه ( )2 ,3 ,1را از صفحه x+y+z+2=0پیدا کنید .همچنین معادالت خطی را بنویسید که از این نقطه می گذرد و بر این صفحه عمود است. حل: بنا بر فرمول * این فاصله مساوی است با 1 3  2 2 8 ‏ 111 3 خط عمود بر صفحه با امتداد قائم بر صفحه موازی است و لذا اگر ) P(x,y,zنقطه دلخواهی بر خط باشد ،عدد حقیقی tوجود دارد که ‏ )PP0 t(i  j  k بنابراین معادله های دکارتی خط قائم عبارت است از ‏x -1 = y – 3 = z - 2  2 .6 .15نتیجه دو صفحه : ax  by  cz  d 0 ‏ , ‏ : ax by cz d 0 ‏ منطبق اند اگر وتنها اگر ‏ بنابراین صفحه های ‏ و با معادله های فوق موازی و نامنطبق اند اگر تنها اگر ‏a ‏b ‏c ‏d ‏   ‏a b c d 2 .6 .16مثال الف) صفحه های : z 1 ‏ ‏ , :z 0 ‏ موازی اند ولی منطبق نیستند .در واقع در اینجا ‏a a 0 , b b 0 , c c 1 , d d  1  2 .7حاصلضرب خارجی و کاربردهای آن 2 .7 .1تعریف ( حاصلضرب خارجی) ‏ ‏ منظور از حاصلضرب خارجی بردار OAدر بردار OB برداری است چون ‏OC به طوری که ‏ ‏ ‏ ) مرتب(OA, OB, OCیک دستگاه راستگرد باشد. الف) سه تایی ‏ ‏OC ب) ‏بر صفحه ای که از سه نقطه Oو Bو Aمی گذرد عمود باشد. ‏OC پ) اندازه مساوی باشد با ‏ ‏ ‏ ‏OC OA OB sin ‏ ‏ OAو OBاست. زاویه بین که در آن ‏  ‏ ‏ ‏OBبا OAرا حاصلضرب خارجی در ‏ ‏ ‏OC OAOB نشان می دهیم .این حاصلضرب گاه ،حاصلضرب برداری نیز نامیده می شود. 2 .7 .2مثال ‏ ‏ ‏j ‏OBپیدا را الف) حاصلضرب خارجی بردار یکه OA iدر بردار یکه می کنیم. ‏ ‏ ‏OC i j sin 1 2 ‏   ‏OC  i  j k ‏ ‏ حل: ب) حاصلضرب خارجی تمام زوجهای حاصل از مجموعه { }i,j,kرا پیدا کنید. ‏k ‏i ‏j ‏ ‏j- ‏k 0 ‏i ‏i 0 ‏k- ‏j 0 ‏i ‏j ‏k  2 .7 .5حاصلضرب برداری دو بردار برحسب مولفه های آنها ‏ ‏ می خواهیم به ازای بردارهایOB xi  yj zk, OA ai bj ck ‏ ‏ ‏OAOB بردار را بر حسب z, y, x, c, b, aمحاسبه کنیم. ‏ ‏ ‏OAOB( bx)k  (cx) j  (ay)k  (cy)i  (az) j  (bz)i ‏(bz cy)i  (az cx) j  (ay bx)k این بردار را به صورت دترمینانی زیر نمایش می دهیم. ‏ ‏k ‏ ‏j ‏ ‏i ‏c ‏b ‏OAOB  a ‏z ‏y ‏x ‏ ‏  2 .7 .5مثال الف) می خواهیم معادله صفحه ای که از سه نقطه ), C(3, 2, 1) , B(2, 3, 1 َ) A(1, 2, 3می گذرد پیدا کنیمَ . حل: ‏ ‏ AC, ABاست .بنابراین امتداد قائم بر این صفحه این صفحه شامل بردارهای ‏ ‏ عبارت است از بردار ABACداریم ‏ ‏AC 2i  2k , ‏ ‏AB i  j  2k ‏ ‏ )ABAC  2i  2j  2k  2(i  j  k بنابراین معادله صفحه مورد نظر برابراست با ‏ 2x  2y  2z  d 0 چون این صفحه از نقطه ) A(1, 2, 3می گذرد ،داریم ‏d=0+2-4-6- و لذا معادله صفحه عبارت است از ‏x+y+z+6=0  2 .7 .6یک تعبیر هندسی ضرب خارجی در مثلث OABکه در آن اندازه زاویه AOBاست ،اضالع OAو OBرا به ‏ ‏ صورت بردارهای OA, OBدر نظر می گیریم .مساحت این مثلث را S می نامیم. 1 ‏S  OA BH 2 ‏ ‏B ‏ ‏A ‏H یک تعبیر هندسی ضرب خارجـی ‏o ‏ *  ‏BH اکنون ‏ OBو محاسبه می کنیم .در مثلث قائم الزاویه را برحسب OBHدارـیـم ‏ ‏ ‏BH  OB sin بنابراین * به صورت زیر در می آید ‏ 1  ‏S  OA OB sin 2 با توجه به تعریف حاصلضرب خارجی دو بردار مالحظه می کنیم که ‏ ‏ 2S  OAOB بنابراین می توان گفت که ‏اندازه حاصلضرب خارجی دو بردار برابراست با مساحت مثلثی که آن دوبردار اضالع آن هستند.  2 .7 .7مثال الف) می خواهیم نشان دهیم که سه نقطه ), C(3, 1, 2) , B(2, 1, 3 )A(1, 2, 3 بریک خط نیستند و مساحت مثلث ABCرا پیدا کنیم. حل: می دانیم که دو بردار موازی اند اگر وتنها اگر حاصلضرب خارجی آنها مساوی با صفر باشد .بنابراین نقطه های C, B , Aبر یک خط قرار ندارند اگر ‏ ‏ ‏ABAC 0 داریم ‏ , ‏AC 2i  j  k ‏ ‏k ‏ ‏ ‏j ‏ 1 0 i  j  k 0 ‏1 1 ‏AB i  j ‏ ‏i ‏ ‏ ‏ABAC  1 2 و لذا C, B, Aرئوس یک مثلث اند .مساحت این مثلث مساوی است با ‏ 1  1 3 ‏S  ABAC  111  2 2 2 ), C(-1, -1, 0) , B(3, 4, 5 ب) مساحت مثلث با راسهای )A(0, 1, 2 را پیدا می کنیم. حل: بنابر 2 .7 .6می دانیم که این مساحت برابراست با ‏ , ‏ 1  ‏ABAC داریم: 2 ‏ ‏AB 3i  3j  3k ‏AC  i  2j  2k ‏ ‏ ‏ ‏i ‏j ‏k ‏ ‏ ‏ABAC  3 3 3 3j  3k ‏1  2  2 و از این رو ،مساحت مثلث ABCبرابراست با ‏ 1  1 3 ‏S  ABAC  32  32  2 2 2 2 .7 .9تعریف ‏ ‏ ‏ ) OA.(OBOCرا حاصلضـــــرب سه گانه مختلط سه بردار حاصلضرب ‏ ‏ ‏ ‏OC, OB, OA (با همین ترتیب) می نامیم. ‏ ‏ ‏ ‏ مالحظه می کنیم که OC, OB, OAاگر وتنها اگر OAبر ‏ عمود باشد. ‏ ‏OBOC چون بر صفحه ‏ ‏ ‏ ‏OBOC ‏ که توسط بردارهای ‏ ‏ ‏ اگر در صفحه ‏ ‏OC, OB تشکیل می شود عمود است پسـ OAبرOBOCعمود است اگر وتنها واقع باشد .بنابراین ثابت کرده ایم که ‏  شکل زیر متوازی السطوحی را نشان می دهد که توسط بردارهای ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏OC, OB, OA ‏ ساخته می شود .اگر زاویه بینOAو OD OBOC باشد ،آنگاه ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏OA.(OBOC)  OA OBOC cos  OBOC  ‏ ‏OA (تصویر ‏ ‏OD بر ‏ ) ‏ OBOCمساحت متوازی االضالع OBECقاعده متوازی السطوح مذکور چون ‏ ‏ ‏ ) ODارتفاع این متوازی السطوح است ،پس OAبر و (تصویر ‏ ‏ ‏ ‏ )OA.(OBOC ‏ ‏OC, OB, OA ساخته می شود. حجم متوازی السطوحی است که توسط سه بردار D ‏A ‏E ‏o ‏B ارتفاع متوازی السطوح ‏C ‏ فرض می کنیم  OA a1i  b1j  c1k ,  OB a2i  b2 j  c2k ,  OCa3i  b3 j  c3k     داریم OBOC(b2c3  b3c2)i  (a3c2  a2c3 ) j  (a2b3  b2a3 )k  OA.(OBOC) (b2c3  b3c2)a1  (a3c2  a2c3 )b1  (a2b3  b2a3 )c1 a1 b1 c1  a2 b2 c2 a3 b3 c3  2 .7 .11قضیه ‏ ‏ ‏ OC, OB, OAمذکور در باال را در نظر می گیریم. سه بردار الف) این سه بردار در یک صفحه هستند اگر وتنها اگر ‏c1 ‏c2 0 ‏b1 ‏b2 ‏a1 ‏a2 ‏c3 ‏b3 ‏a3 ب) این سه بردار یک کنج درست می کنند (مستقل خطی هستند) اگر وتنها اگر ‏c1 ‏b1 ‏a1 ‏c2 0 ‏b2 ‏a2 ‏c3 ‏b3 ‏a3 پ) حجم متوازی السطوح تشکیل شده توسط این سه بردار مساوی است با ‏c1 ‏c2 ‏b1 ‏b2 ‏a1 ‏a2 ‏c3 ‏b3 ‏a3 2 .7 .12مثال , C(3, 2, 1) , B(2, 3,A(1, )1) 2, 3) , O( 0, 0, 0 الف) آیا چهار نقطه در یک صفحه هستند یا نه؟ در صورت منفی بودن جواب حجم متوازی السطوح ‏ ‏ ‏ تشکیل یافته توسط OC, OB, OAرا تعیین کنید. حل: داریم ‏ ‏OB 2i  3j  k ‏ ‏OA i  2j  3k , ‏ ‏OC 3i  2j  k و لذا 2 3 1 1 2 5  120 1 ‏ 1 ‏ ‏ ‏ ‏OA.(OBOC)  2 3 2 3 بنابراین چهار نقطه بر یک صفحه نیستند ،وحم متازی السطوح به یالهای ‏ ‏ ‏OC, OB, OA ‏ 1212 برابر است با واحد حجم.  2 .7 .14فاصله یک نقطه از یک خط ‏ OA ai bj ckو نقطه )P0(x0, y0, z0در خارج آن داده شده خط lبا امتداد است. منظور از فاصلهP0 از lطول کوتاهترین پاره خطی است که ‏P 0را به یک نقطه lوصل می کند. ‏P0 برای محاسبه فاصله از خط ،lنقطه دلخواه Pرا بر lانتخاب می کنیم. ‏P با توجه به شکل زیر مالحظه می کنیم که فاصله 0از خط ،lیعنی طول پاره ‏P0H خط ‏ مساوی است با تصویر بردار P0Pروی خطی که از lعمو د است. ‏P0 می گذرد وبر l P0 H   آنگاه، باشدl و خطP0P زاویه بین اگر P  P0H  P0P sin     OAP0P  OA P0P sin   P0H  P0P .   OAP0P   OA P0P  OAP0P   OA و از این رو  15 .7 .2مثال )P0(1,3,2 فاصله نقطه از خط lبا معادله های دکارتی زیر را پیدا می کنیم. ‏x  3 y  1 z 2 ‏ ‏ ‏2 2 1 ‏l: حل: نقطه ) P(3, 1, -2را بر این خط انتخاب می کنیم .داریم ‏ ‏P0P 2i  2j  4k ‏ چون امتداد خط k l بردار OA  2i  2j است ،پس فاصله Pاز lعبارت است از ‏ ‏ 6 2 ‏ ‏2 2 3 ‏ 6i  6j 9 ‏OAP0P ‏ ‏ ‏OA ‏P0H   2 .7 .17شرط متنافر بودن دو خط ‏l خطهای lو با امتدادهای ‏OA OAو ‏P به ترتیب های  Pو نقطه متنافرند اگر ‏ ‏ ‏PP, OA, OA بر llو وجود داشته باشند به طوری که بردارهای تشکیل دهند ،یعنی ‏ ‏ یک کنج ‏ ‏PP.(OAOA) 0 2 .7 .18عمود مشترک دو خط متنافر خطی که دو خط متنافر را قطع کند و بر هر دو عمود باشد ،عمود مشترک ‏l آنها نامیده می شود .اگر عمود مشترک خطهای lو این خطها را به ترتیب ‏ در نقطه های PPو قطع کند ،طول پاره خط PPو یا طول بردار PراPطول ‏ عمود مشترک خطهای  lو lمی نامیم .گاهی این طول را فاصله دو خط lو ‏P نیز می نامیم .در واقع Pو ‏l نزدیکترین نقاط روی lو هستند. ‏l l  P  OAOA H  l P   PP.OAOA d PH   OAOA  2 .7 .20مثال ‏l طول عمود مشترک خط های lو با معادله های دکارتی زیر را پیدا می کنیم. ‏x  1 y 2 z  4 ‏ ‏ 4 ‏ 3 5 ‏l : , حل: ‏x  4 y  4 z 1 ‏l: ‏ ‏ 2 ‏1 2 امتداد های این خطها عبارت اند از ‏ ‏OA 4i  3j  5k ‏ ‏OA 2i  j  2k , حال نقطه های ))P(-4, 4,-1و P0(1, 2,4را به ترتیب بر lو انتخاب می کنیم ‏ داریم ‏ ‏ ‏OAOA i  2j  2k ‏ ‏PP 5i  6j  5k , ‏ ‏ ‏ ‏ ‏PP.(OAOA) 512 107 , OAOA  1 4 4 3 ‏ در نتیجه طول عمو مشترک برابر است با 7 3 ‏ ‏PP.OAOA ‏ ‏ ‏ ‏OAOA ‏d  2 .7 .14تعریف دو صفحه که منطبق یا موازی نباشند متقاطع نامیده می شوند .محل تقاطع دو صفحه متقاطع یک خط است ،این دو خط را فصل مشترک دو صفحه می نامیم. ‏می خواهیم معادله های فصل مشترک صفحه های و ‏ ‏ را به دست آوریم . ‏ ‏ ‏OA, OA بردارهای این خط را lو امتداد آنرا OBمی نامیم و فرض می کنیم ‏ قائم بر صفحه های ‏ ‏ و ‏ باشند .چون lروی قرار دارد پس ‏ ‏ عمود است .در نتیجه OBبا  بردار OAOAموازی است . ‏ ‏OBOA بر یعنی امتداد lعبارت است از بردار: ‏ ‏ ‏OAOA )P0(x0, y0, z0 اگر ‏ نقطه ای بر lو ) P(x,y,zنقطه دلخواهی از lباشد ‏PP ‏ ‏OAOA است و لذا عدد حقیقی tوجود دارد که : ‏ ‏ ‏P0P t.OAOA * در واقع * معادله برداری lاست. فرض می کنیم ‏ ‏ ‏OAOA ai bj ck و * را به صورت زیر می نویسیم )(x  x0)i  (y  y0) j  (z  z0)k t(ai bj ck 0موازی بنابراین معادله های پارامتری lبه صورت ‏z z0  tc , y  y0  tb , ‏x x0  ta به دست می آیند .با حذف tبین معادله های معادله دکارتی lعبارت می شوند از: ‏x  x0 y  y0 z  z0 ‏ ‏ ‏a ‏b ‏c راه دیگری برای توصیف lبرحسب معادله های و برای این منظور فرض می کنیم ‏ ‏وجود دارد. : ax by cz d 0 : ax  by  cz  d 0 ‏ ‏  ‏ ‏ ‏ معادله های و باشند در این صورت lاز مجموعه جواب های دستگاه در معادله سه مجهولی زیر تشکیل شده است. ax by cz d 0 ‏ ‏ax  by  cz  d 0 * بنابراین دستگاه * روش دیگری برای معرفی خط lاست. 2 .7 .25مثال آیا صفحه های :2x  3y  4z  7 0 : x  4y  5z  20 ‏ ‏ ‏ متقاطع هستند؟ در صورتیکه جواب مثبت باشد معادله برداری ،معادله های پارامتری و دکارتی آن را پیدا کنید. حل: ‏ امتدادهای قائم بر و به ترتیب عبارت اند از ‏ ‏OA i  4j  5k ‏ چون ‏AOAوO ‏ , ‏ ‏ ‏OA 2i  3j  4k ‏ موازی نیستند ،پس و متقاطع اند .امتداد فصل مشترک عبارت است از ‏ ‏ ‏OAOA  i  6j  5k )0 نقطه P0(x0, y0, zواقع بر هر دو صفحه را انتخاب می کنیم .برای این اکنون ‏ منظور در معادله های می آوریم ‏ ‏ و قرار می دهیم z z0 0وبه دست ‏x  3y  7 0 ‏ ‏x  4y  20 از این دستگاه y = 5و x = -22به دست می آید .بنابراین) . P0( 22,5,0در نتیجه معادله برداری فصل مشترک عبارت است از )P0P t( i  6j  5k این معادله را به صورت مولفه ای می نویسیم و معادله های پارامتری lرا به دست می آوریم ‏z 5t , , y 5 6t ‏x  22 t با حذف tاز این معادله ها ،معادله های دکارتی lبه دست می آیند. ‏x  22 y  5 z ‏ ‏ ‏1 ‏6 5 هدفهای کلی برای درک مفاهیم علمی در بسیاری از شاخه های علوم و تکنولوژی دانستن مفهوم ماتریس و ویژگیهای ابتدایی آن اجتناب ناپذیر است .خاستگاه ماتریس چیزی به نام تابع خطی است و تابع خطی تابع طبیعی بین فضاهای برداری است ،واین همه جزئی ازجبر خطی هستند . بنابراین هدف از ارائه این فصل برآورده کردن اهداف کلی زیر است : الف) آشنا کردن دانشجو با کلیات و روشهای جبر خطی ب) ارتقاء درک علمی عمومی دانشجو پ) آماده کردن دانشجو برای کاربرد روشهای جبر خطی در ادامه ریاضی عمومی 2و درس بالفصل آن ریاضی عمومی . 3 هدفهای رفتاری :دانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند :مـاتریـسو مـفاهیم واـبـسته بــه آـنرا بــداـند .از جـمله اـیـنمـفاهیم عـبارـتـند از 1- درایه های ماتریس ،سطرها و ستونهای ماتریس  ،اـنواـع مـاتریـسها را بــشناسد .مـاتریـسمـربـع ،مـاتریـسواـحد ،مـاتریـسصــفر 2- ماتریس قطری ،ماتریس باال مثلثی ،ماتریس پایین مثلثی از جمله این ماتریسها .هستند عـملهـایجـمع مـاتریـسیو ضــربعـدد در مـاتریـسو وـیژگـیهایآـنـهـا را بــداـند و 3- .به کار ببرد -4عمل ضرب ماتریسی را بشناسد ،ویژگیهای آن را بداند و رابطه آن را با عمل جمع ماتریسی و ضرب عدد در ماتریس بشناسد و به کار ببرد . -5دترمینان ماتریس داده شدهای را محاسبه کند . -6ویژگیهای دترمینان را بشناسد و آنها را در محاسبه دترمینان به کار برد .  -7مفاهیم ماتریس الحاقی ،ماتریس منفرد و ماتریس نامنفرد و رابطه آنها را با دترمینان بداند . -8وارون ماتریس را با استفاده از ماتریس الحاقی محاسبه کند . -9ماتریس متعامد و ماتریس متقارن را بشناسد و ویژگیهای مقدماتی آنها را تشخیص دهد . -10ویژه مقدارها و ویژه بردارهای وابسته به آنها را برای یک ماتریس مربع محاسبه کند و بداند که ماتریس متقارن با درایه های حقیقی دارای ویژه مقدارهای حقیقی است . -11ماتریس تغییر مختصات و معادالت تغییر مختصات را برای بدست آوردن صورت متعارفی صورتهای درجه دوم دو و سه متغیره بکار ببرد مـاتریـس1 .3 تــعریـف1. 1. 3 درایه ای از mnعدد را را که در mسطر و nستون مرتب شده اند یک ماتریس ( mnبخوانید mدر ) nمی نامیم . ماتریس ها را با حرفهای بزرگ التین ...، A ،Bنشان می دهیم .هر یک از mn عدد مذکور را یک درایه ماتریس می نامیم. ‏a1n  ‏ ‏a2n  ‏ ‏ain  ‏ ‏amn ‏a1j ‏ ‏a12 ‏a2j ‏ ‏a22 ‏aij ‏ ‏ai2 ‏amj ‏ ‏am2 ‏ a11 ‏ ‏ a21 ‏A  ‏ ai1 ‏ ‏ am1 ‏ i 1,2,...,m ) A (aij ‏j 1,2,...,n .ویا اگر امکان ابهامی در میان نباشد به ) A (aijصورت نشان داد نکته آخر این که اگر Aماتریسی mnباشد m ،و nرا ابعاد و گاه اندازه Aمی نامیم . ‏m nرا بــراـبریمـاتریـسها 4. 1. 3 ) ij کنیم A (aو) B (bijدو ماتریس mnباشند.می گوییم Aبرابر فرض می است با Bو می نویسیم A=Bاگر j 1,2,...,nو i 1,2,...,m ‏aij bij به عبارت دیگر Aبرابر است با اگر درایه های متناظر در آنهابرابر باشند. تــعریـف6. 1. 3 فرض می کنیم A (aو) B (bij ) ij این دوماتریس ، ‏m ‏n ماتریس دو ماتریس mnباشند .منظور از مجموع ای چون) C (cijاست به طوری که j 1,2,...,nو i 1,2,...,m ‏cij aij  bij . نشان می دهیمA+B راباC یعنی، B وA مجموع 7. 1. 3مـثاـل . را بدست می آوریمB وAمجموع ماتریس های 1  A  4   7 2 5 8 3  1   6 , B  3    4 9 0 5 0 4   2   8 حل  1 1  A  B  4  3   7 4 20 5 5 8 0 3  4  0 2   6 2  7 0   9 8 11 8 7  4  1 داریم تــعریـف(ضــربعـدد در مـاتریـس) 12. 1. 3 ) A (aij فرض کنید ‏ ‏mn در Aماتریسی ‏n ماتریسی mو عددی دلخواه باشد .منظور از حاصلضرب ) B (bij ای چون است بطوری که j 1,2,...,nو i 1,2,...,m ‏bij aij ‏ ماتریس Bرا حاصلضرب در Aمی نامیم و می نویسیم ‏B A مـثاـل13. 1. 3 به ازای داریم 0 ‏ 2 ‏ 2 ‏ 3 و 0 ‏ 6 ‏ 6 6 3 0 30  3 ‏  32  0 ‏  32  3 2 1 0 ‏1 ‏ ‏A 0 ‏ ‏1 32 31 30 ‏ 31 ‏ ‏A 3A  30 ‏ ‏ 31  3 .1 . 16تعریف (ضرب ماتریسی ) فرض می ) کنیم) A (aijو B (bjkبه ترتیب ماتریسهای ‏m nو ‏np باشند . منظوراز حاصلضرب Aدر Bماتریسی mpچون ) C (cikاست بطوری که * Cik ai1b1k  ai2b2k    aimbmk به هر1i  ازای m و1k p . مالحظه می کنیم که در رابطه * ،عددهای ‏ai1ai2 aim درایه های سطر iام Aو عددهای ‏b1k ‏b2k ‏ ‏bmk درایه های ستون kام Bهستند .بنابراین می توان گفت که ikاز cضرب اعضای متناظرسطر iام Aدر ستون kام Bو جمع آنها به دست آمده است . مـثاـل17. 1. 3 ‏ b1k  ‏  ‏ b2k  ‏ain     cik  ‏  ‏  ‏ bnk ‏ ‏ai2 ‏ ai1 الف ) حاصلضرب Aرا در ماتریسهای Aو Bرا پیدا می کنیم . 1 ‏ 1 ‏ ‏  0 , B  2 ‏ ‏  ‏ 3 2 0 1 1 ‏1 ‏ ‏A  2 ‏ ‏0  1 0 1  1 0 1  1 1 3 AA  2 1 0  2 1 0  4 1 2 0 1 2 0 1 2  2 3 4 حل داریم  1 0 1  1  4 AB  2 1 0  2  4 0 1 2  3  6 ب ) در معادله Ax B فرض می کنیم:  x  1 2 3  2   A  , X  y , B     2  1 4  3  z و آن را به صورت دستگاه معادله های عددی می نویسیم حل داریم ‏ x ‏ y  x  2y  3z  2 ‏   2x  y  4z  3 ‏   ‏ z  ‏ 1 2 3 ‏AX  ‏ 2 ‏ 1 4 ‏ ‏ بنابه تعریف برابری ماتریس ها آخرین برابری معادل است با دستگاه :معادله های زیر ‏x  2y  3z 2 ‏ ‏ ‏2x  y  4z 3 می دانیم که هر یک از این معادله ها معرف یک صفحه در فضاست . قــضیه 19. 1. 3 هر دستگـاه mمعادله nمجهولی خطی را می توان توسط یک معادله ماتریسی یک مجهولی نشان داد .یعنی دستگاه mمعادله nمجهولی ‏a11x1  a12x2    a1nxn b1 ‏ ‏ ‏a21x1  a22x2    a2nxn b2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏am1x1  am2x2    amnxn bm ()1 را که در آن ‏xn، ،x2،x1 مجهول اند می توان به صورت )(2 نوشت ،که در آن Aماتریسی هستند . ‏AX=B ‏mو Bبه ترتیب ماتریس های ‏nو X و ‏m1 n1 تــعریـف20. 1. 3 ماتریس های A ،Xو Bرا به ترتیب ماتریس ضرایب ،ماتریس طرهای دوم و ماتریس مجهولهای دستگاه ( )1می نامیم .ماتریس Cرا که از افزودن ستون ـسـفزودـهـ دـسـتگاهـ Bبــه اـنـتهایســمتراـسـتمـاتریـس Aحـاصـلمـیشــود ،مـاتری ا ( )1می نامیم .بنابراین ماتریس افزوده ( )1عبارت است از ‏b1  ‏b2  ‏ A B ‏ ‏ ‏bn  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ a11 a12  a1n ‏a ‏a ‏ a2n ‏C  21 22 ‏  ‏ ‏ ‏ ‏ am1 am2  amn در نماد فوق خط قائم نشان می دهد که ماتریس مورد بررسی ،ماتریس افزوده .یک دستگاه معادله ها است مـثاـل21. 1. 3 الف ) ماتریس ضرایب ،ماتریس طرفهای دوم ،ماتریس مجهولها و ماتریس افزوده دستگاه ‏2x  3y  4z 1 ‏ ‏ ‏2x  y  z 5 ‏ ‏ x  y  z  1 ‏ عبارتند از ماتریس ضرایب ماتریس طرفهای دوم ‏ 2 3 4 ‏A  2 1  1 ‏  1 1  1 ‏ 1 ‏B  5  ‏  1 ماتریس مجهولها ‏ x ‏X  y ‏ z ‏ 2 3 4 1 ‏ ‏ ‏C  A B  2 1  1 5  ‏  1 1  1 1 ماتریس افزوده تــعریـف(اـنواـع مـاتریـس) 23. 1. 3 الف ) اگر m=nیعنی اگر تعداد سطرهای Aبرابر تعداد ستونهای آن باشد Aرا یک ماتریس .درایه ‏nn مربع می نامیم .در ماتریس مربع ، Aقطری را که شامل 22و...وann های وa ‏a 11 است ،قطر اصلی می نامیم ب ) ماتریس واحدn ‏n را با ‏In نشان می دهیم .داریم ‏1 0 0 ‏1 0 ‏0 1 0 ‏I1 1 , I2  , ‏I ‏ 3 ‏ ‏ ‏ ‏0 1 ‏0 0 0 )پ ‏ a11 0  0  ‏0 a  0 22 ‏ ‏A  ‏   ‏ ‏ ‏ 0 0 ‏ ‏a ‏mn ‏ .این ماتریس قطری را با نماد زیر نشان می دهیم 22وA diag(a11 nnو وa )a ت ) اگر درایه های پایین (باالی) قطر اصلی ماتریس مربع Aصفر باشند ، ـین مـثلثیمـینــامـیم .چـند مـاتریـسبــاـالمـثلثیبــه قـرار زـیرند: Aرا بــاـال(پــای ) ‏ a11 a12 a13 ‏a21  ,  0 a22 a23 ‏ ‏a22 ‏ 0 0 a33 ‏ a11 ‏ a ,  ‏0 معموالً ماتریس باال مثلثی nnرا به صورت زیر نشان می دهیم . ‏ a11 a12 a1n  ‏ ‏ ‏a ‏ 22 ‏ ‏ ‏  ‏ann تــعریـف(تــراـنـهـادـهـ یــکمـاتریـس) 24. 1. 3 اگرA  ) (aij ‏nm ‏n ای چون )(bklراBترانهاده A ماتریس mباشد ،ماتریس می نامیم اگر nو و2وk 1 ‏bkl alk mو و2وl 1 ترانهاده ماتریس Aرا با Aنشان می دهیم . مـثاـل25. 1. 3 .ترانهاده هر یک از ماتریس های زیر را پیدا می کنیم ) الف ) ‏ 1 2 3 ‏A   1 0 4 ‏ 5 6 7 ب ‏B 1 2 3 4  1  1 5 ‏A  2 0 6 ‏ 3 4 7 حل ) الف ب ) داریم تــعریـف30. 1. 3 ) A (aij .فرض کنید ‏ 1 ‏ 2 ‏B   C ‏ 3 ‏  ‏ 4 ماتریسیn ‏n باشد ‏ اگر A Aبه عبارت دیگر Aمتقارن است اگر الف ) Aرا متقارن می نامیم j 1,2,...,nو i 1,2,...,n ‏aij aji ب ) Aرا پاد متقارن می نامیم اگر A  Aبه عبارت دیگر Aپاد متقارن ‏ است اگر j 1,2,...,nو i 1,2,...,n ‏aij  aji مـاتریـسهای1. 4 6 8 ‏ 9 متقارن اند ولی ماتریس 3 5 7 8 ‏1 2 1 2 3 ‏ ‏ ‏2 0 1 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏A  , B  2 7 4 , C  ‏ ‏3 5 ‏ 2 0 ‏ 3 4 5 ‏ ‏4 6 ‏ 1 2 3 ‏ 4 5 6 ‏D ‏ متقارن نیست . ‏ ‏ ‏ 3 6 7 .2ماتریس های ‏ 0  2 3  4 ‏ 0  2  3 ‏ 2 0 5  6 ‏0  2 ‏ 2 0 4  , C  ‏ ‏A  , ‏B ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 3  5 0 7  ‏2 0  ‏ 3  4 0  ‏ ‏ 4 6 ‏ 7 0 ‏ ‏ پاد متقارن اند .توجه کنید که اعضای روی قطر اصلی هر ماتریس پاد متقارن صفر اند . مـثاـل34. 1. 3 الف ) به ازای ماتریسهای ‏ 1 ‏ 2 ‏A   , B   , C  4 5 ‏ 2 ‏ 3 مشاهده می کنیم که ABتعریف نشده است .بنابراین صحبت از برابری ( C=A(BC))ABدر مورد این ماتریسها بی مورد است . ب ) به ازای ماتریسهای ‏  1 ‏ 1 2 0 ‏ 2 , B  , ‏C ‏ ‏ ‏  ‏ 1 3 4 ‏ ‏ ‏ 4  ‏ 1 2 ‏A  ‏ 3 3 ‏ ‏ مشاهده می کنیم که ( C )ABتعریف شده است بنابراین ) A(BCنیز تعریف ‏  1 شده است و داریم   2 8 8     50 ‏A (BC) (AB)C  ‏  2  101 ‏ ‏ 1 18 16 ‏ ‏ 4  ‏ ‏  پ ) به ازای ماتریس های واحد و I2و I3 ماتریس ‏1 2 3  ‏A  ‏ ‏0  1  4 مشاهده می کنیم که ماتریس های ‏I3A I2A تعریف شده اند بنابراین و 3AAووI2A A ولی ماتریس هایAI2 با Aبی مورد است . وAI3 تعریف نشده اند و لذا صحبت از برابری آن تــعریـف36. 1. 3 ‏nn فرض کنید Aماتریسی باشد ،توانهای صحیح نامنفی Aرا به صورت زیر تعریف می کنیم . ‏nn الف ) ماتریس واحد ب) ‏A  I ‏A1 A ‏ پ) ‏A n A n 1A 37. 1. 3مـثاـل 1 1  داریمA   1 2  به ازای 1 0 1  1 1  1  0  3 2 A   , A  A  A         0 1 1 2 1 2 3 3         0  3 1  1   3  6 A A A   1 2   6  3 3 3     3 2 a11x1  a12x2    a1nxn b1   a21x1  a22x2    a2nxn b2      am1x1  am2x2    amnxn bm 39. 1. 3تــعریـف منظور از یک جواب دستگاه معادله های * xn  n ,...x2 2 , x1 1 nعـدد چـون هایـیـندـسـتگاهـ ـت کــه در تــمام مـعادـلـه ا اـس ، صدق می کنند .به عبارت دیگر xn  n ,...x2 2 , x1 1یک جواب دستگاه (*) است اگر داشته باشیم ‏a111  a12x2    a1n n b1 ‏a   a     a  b ‏ 21 1 22 2 2n n 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏am11  am22    amn n bm حال اگر ‏ x1   1  ‏x    ‏X  2   2  ‏     ‏    ‏ xn    m  آنگاه مالحظه می کنیم که دستگاه معادالت باال معادل است با  1  ‏  ‏A  2  B ‏  ‏  ‏  m که در آن Aماتریس ضرایب (*) و Bماتریس طرفهای دوم (*) است. بنابراین اگر دستگاه معادله های داده شده ای جواب داشته باشد ،آنگاه معادله ماتریسی متناظر با آن نیز جواب دارد و بر عکس. 3 .1 .40مثال صورت ماتریسی دستگاه ‏2x  3y  4z 5 ‏ ‏ x  y  z 2 ‏ ‏5x  y  3z 4 عبارت است از  x  5 ‏ y  2 ‏    ‏ z  4 مالحظه می کنیم که ‏ 2 3 4 ‏ 1 1 1  ‏ ‏ ‏ 5 1  3 1 33 8 ‏x  ، y  ، z  13 13 13 یک جواب دستگاه وبنابراین ‏  1 1 ‏X   33 3 ‏  8 .یک جواب معادله ماتریسی متناظر با آن است  3 .1 .41تعریف ماتریس مربع Aرا وارون پذیر می نامیم اگر ماتریس مربع Bوجود داشته باشد که ‏AB=BA=I در این صورت Bرا یک وارون Aمی نامیم . یعنی وارون هر ماتریس در صورت وجود یکتاست . ‏B A  1 وارون Aرا در صورت وجود با نماد زیر نشان می دهیم .  مثال3 .1 .42  a b A    c d الف ) وارون ماتریس . را پیدا می کنیم حل فرض می کنیم که  x y B    z t داریم. باشدA وارون  x y  a b  ax cy bx dy 1 BA         z t   c d  az ct bz dt 0 0 1 بنابراین طبق تعریف تساوی ماتریسها داریم ‏az ct0 ‏ax cy 1 ‏bz dt1 ‏bx dy0 از دو معادله طرف چپ x ،yو از دو معادله طرف راست z ،tبدست می آیند، مشروط بر این که ad bc0در واقع داریم ‏d ‏b ‏c ‏a ‏x , y , z , t ‏ad bc ‏ad bc ‏ad bc ‏ad bc در نتیجه اگرad bc0آنگاه ‏b  ‏ d ‏ ‏ 1  d  b ‏B  ad bc ad bc  ‏ c a  ‏c ‏a ‏ad ‏ ‏bc ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ad bc ad bc با یک امتحان ساده مالحظه می کنیم که ‏AB=I=BA در نتیجه ‏B A  1 قــضیه 43. 1. 3 اگر ماتریس مربع Aوارون داشته باشد ،آنگاه معادله ماتریسی AX=Bفقط یک جواب دارد .این جواب عبارت است ‏X A  1B مـثاـل44. 1. 3 دستگاه 2x  3y 5 4x 17y 6 .را حل می کنیم حل ماتریس ضرایب این دستگاه عبارت است از ‏2 3 ‏A  ‏ ‏ 4 17 0 که ad bc34 1222بنابراین وجود دارد و داریم مالحظه می کنیم ‏A 1 ولذا ‏ x 1  17  3  5 1  63 ‏X   A  1B   ‏   ‏ ‏ ‏ 22  4 2   6 22  8 ‏ y یعنی جواب دستگاه عبارت است از 63 ‏8 4 yو x ‏ 22 22 11 دـترمـینان2. 3 تــعریـف(دـترمـینان) 1. 2. 3 به ازای ماتریس ‏ a b ‏A  ‏ ‏ c d ‏A عدد ad-bcرا دترمینان Aمی نامیم و آن را با نماد detAیا نشان می دهیم . بنابراین ‏A detA ad bc برای تعریف مفهوم دترمینان در مورد ماتریس های همسازه را تعریف می کنیم . 33 ، 44 و...ابتدا مفهوم تــعریـف2. 2. 3 به ازای ‏a ‏ij ودرایه 3 3 ماتریس ای چون ‏ a11 a12 a13 ‏A  a21 a22 a23 ‏ a31 a32 a33 از آن ،دترمینان ماتریس22حاصل از حذف سطر و ستونی که ‏a ‏ij کهاد می نامیم و آن را با Mijنشان می دهیم .منظور از در آن قرار دارد را ‏aij ‏aij همسازه درایه عبارت است از عدد ‏i j ‏A ij ( 1) Mij تــعریـف3. 2. 3 فرض کنید ‏Aماتریس33 مذکور در باال باشد دترمینان Aرا با ‏detA یا ‏a11 a12 a13 ‏a21 a22 a23 ‏a31 a32 a33  :نشان می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم ‏detA a11A11  a12A12  a13A13 توجه کنید که ‏a22a33  a23a32 ‏  a21a33  a31a23 ‏ a21a33  a31a23 ‏a22 a23 ‏a32 a33 ‏a21 a23 ‏a31 a33 ‏a21 a23 ‏a31 a33 11 )A11 ( 1 ‏A12 ( 1)12 13 )A13 ( 1 بنابراین دترمینان Aرا می توانیم بر حسب درایه های آن به صورت زیر بنویسیم ‏detA a11 a22a33  a23a32  a12 a21a33  a31a23  a13 a21a32  a31a22 مـثاـل4. 2. 3 الف ) در مورد ماتریس زیر تمام همسازه های درایه ها را محاسبه و آنگاه دترمینان آن را محاسبه می کنیم . ‏ 1 2 3 ‏A  0 1 2 ‏  1 2 1 حل همسازه های درایه های Aاز این قرارند . 0 2 )A12 ( 1 ‏ 2 ‏1 1 12 و 1 2 )A11 ( 1 ‏ 3 2 1 11 13 A13 ( 1) 0 1 1 2 22 A22 ( 1) 1 ، 2 3 A 31 ( 1) 1 1 2 A 33 ( 1) A21 ( 1) 2 3 2 1 6 1 3 2 23 1 5 ، A23 ( 1)  4 1 1 1 2 31 33 21 ، 32 A 32 ( 1) 1 3  5 1 1 1 2 1 0 1 بنابراین داریم detA 1A11  2A22  3A13  3  4 3  4 قــضیه 6. 2. 3 ماتریس 3 3 های ای چون Aرا در نظر می گیریم . الف ) فرض کنید ماتریس Bاز ضرب یکی از سطرها (یا ستونهای ) Aدر عددی چون kبدست آمده باشد .در این صورت ‏detB=kdetA ب ) اگر ماتریس Bاز تعویض جای دو سطر (ستون ) Aبدست آمده باشد آنگاه ‏detB=-detA ت ) اگر دو سطر (ستون ) ماتریس Aمساوی باشند ،آنگاه ‏detA=0 مـثاـل8. 2. 3 دترمینانهای زیر را بدست می آوریم ) الف 0 0 8 0 6 0 5 0 0 )پ 0 6 8 0 5 7 2 4 3 )ب )ت 1 2 3 6 7 8 2 4 6 9 3 3 7 1 4 7 24 8 حل ) الف 1 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0 0 0 6 0 50 6 0 560 1 0 5680 1 0 240 0 0 8 0 0 8 0 0 8 0 0 1 ب ) سطر سوم این دترمینان 2برابر سطر اول آن است .لذا داریم 1 2 3 1 2 3 6 7 8 26 7 8 200 2 4 6 1 2 3 پ ) در سطر اول از عدد 2می توان فاکتور گرفت و دترمینان را با استفاده از تعریف محاسبه کرد . 2 0 0 1 0 0 5 6 4 5 6 24 5 6 2 ‏4 7 8 3 7 8 3 7 8 ت ) ستون سوم این دترمینان 3برابر ستون اول آن است از این رو 3 7 9 3 7 3 1 4 3 31 4 1 0 8 7 24 8 7 8 ان 9. 2. 3 تــعریـف(دـترمـین ) ‏nn ای چون ماتریس ‏a1n  ‏a2n  ‏ ‏ ‏ann ‏ ‏ ‏a12 ‏a22 ‏ ‏ ‏ ‏an2 ‏ a11 ‏a ‏A  21 ‏  ‏ ‏ an1 .را در نظر می گیریم ) ماتریس (n  1) (n  1ای که از حذف سطر iام و ستون jام Aحاصل دترمینان ‏Mij می شود را با ‏aij نشان می دهیم و آن را کهاد و عدد ‏A ij ( 1)i j Mij ‏ij همسازه aمی نامیم . را ‏بسط دترمینان نسبت به سطر iام ‏n ‏detA  aijA ij ‏j1 مـثاـلدـترمـینانمـاتریـسمـثلثی13. 2. 3 .می خواهیم دترمینان ماتریس زیر را محاسبه کنیم ‏a1n  ‏a2n  ‏a3n  ‏ ‏ann حل ‏ a11 a12  ‏0 a ‏ 22 ‏ ‏A ‏ 0 0 a33 ‏ ‏0 0 0 دترمینان را نسبت به ستون اول بسط می دهیم ‏detA a11A11 0A21  ...0A n1 a11A11 مالحظه می کنیم که دترمینانی )(n  1) (n  1و از نوع دترمینان Aاست واز این رو به استقرا داریم ‏detA a11a22  ann یعنی دترمینان یک ماتریس باال (پایین ) مثلثی یا قطری مساوی است با حاصلضرب درایه های روی قطر اصلی آن . قــضیه ( وـیژگـیهـایدـترمـینان) 15. 2. 3 ‏nn ماتریس ای چون Aرا در نظر می گیریم . الف ) اگر Aترانهاده Aباشد .آنگاه ‏detA detA ب ) اگر تمام درایه های یک سطر (ستون ) Aمساوی با صفر باشند . ‏detA 0 آنگاه پ ) اگر یکی از سطر (ستون) های Aمضربی از سطری ( ستون ) دیگر باشد ،آنگاه ‏detA 0 ت ) اگر ماتریس Bاز ضرب یکی از سطرها (ستونها )ی Aدر عددی ناصفر چون cبدست آمده باشد ،آنگاه ‏detB cdetA nn ث ) اگر Bو Cدو ماتریس باشند .بطوری که درایه های سطر (ستون) ‏kاـم Bو Cمـساوـیبــاشـند و اـگر ســایر دراـیـه های Aو Bو Cیــکسانبــاشـند .آـنـگاهـ ‏detA detB  detC ج ) اگر ماتریس Bاز تعویضهای دو سطر (ستون ) Aبدست آمده باشد .آنگاه ‏detB  detA چ ) اگر ماتریس Bاز تعویضهای دو سطر ( ستون ) rام Aبا مجموع مضربی از سطر(ستون ) sام و سطر rام Aبدست آمده باشد .آنگاه ‏det B=det A ‏n ماتریسی nباشد آنگاه ح ) اگر B ‏det AB = detA detB مـثاـل16. 2. 3 ) الف 0 0 ‏0 0 0 1 2 4 7 8 75 45 62 16 77 86 53 ب ) چون سطر دوم دترمینان زیر مضربی از سطر اول است پس 4 3 2 1 2 4 6 8 ‏0 100 0 9 1000 82 1010 85 1 پ ) داریم 3 6 3 9 2 5 8 1 4 7 بنا به الف : 1 4 7 2 5 8 3 3 6 9 بنا به ت : 1 2 1 3 2 5 8 1 4 7 تــعريف18. 2. 3 ماتريس مربع Aرا نا منفرد مي ناميم اگر وارون پذير باشد .ماتريسي كه نامنفرد نباشد ،منفرد ناميده مي شود . مـثاـل19 .2. 3 الف ) ماتريس هاي ‏1 1 0 , B 1 0 1 ‏0 1 1 وارون پذيرند .در واقع داريم ‏ 1 2 ‏A  ‏ ‏ 3 3 1 1 ‏ 1 ‏ ‏ 2 2 2 ‏ 1 1 1 ‏1 ‏ , B  ‏ 2 2 ‏ 2 1 ‏ 1 1 ‏ 2 2 2  1 4  2 ‏A   2  3 1  ‏1 بنا براين اين ماتريس ها نا منفردند ب )ماتريس ‏ 1 2 3 ‏C  2 4 6 ‏ 5 7 8 منفرد است براي مشاهده اين امر از برهان خلف استفاده كنيد . قــضيه 21. 2. 3 ‏detA 0 اگر Aوارون پذير باشد آنگـاه قــضيه 22. 3. 2 اگر Aماتريسي مربع باشد و ‏detA 0 آنگاه Aنامنفرداست . تــعريف(مـاتريساــلحاقـي) 23. 2. 3 فرض كنيدA (a ) ij ماتريسيnn و ‏A ij همسازه درايه ماتريس ‏ ‏adjA A ij  را ماتريس الحاقي Aمي ناميم . ) (aij آن باشد . ـضيه 24. 2. 3 Aماتريسي باشد nn، آنگاه ‏A(adjA)=(adjA)A=(detA ‏nn در آن Iماتريس واحد است . راين قضيه ،اگر ‏detA 0 وارون پذير است و داريم آنگاه A 1 ‏A  ‏adjA ‏detA ‏1 مـثاـل25. 2. 3 وارون ماتریس زیر را پیدا می کنیم . ‏ 1 2 3 ‏A  0 1 2 ‏  1 2 1 حل ابتدا همسازه های درایه ها را پیدا می کنیم . 1 2 0 2 0 1 ‏A11  ‏ 3 , A12  ‏ 2 , A13  ‏1 2 1 ‏1 1 ‏1 2 2 3 1 3 1 2 ‏A21  ‏4 , A22  ‏4 , A23  ‏ 4 2 1 ‏1 1 ‏1 2 1 3 1 2 , A 32  ‏ 2 , A 33  ‏1 0 2 0 1 2 3 ‏A 31  ‏1 1 2 بنابراین ماتریس همسازه ها و ماتریس الحاقی Aعبارت اند از ‏ 3  2 1  ‏Aij   4 4  4 ‏ 1  2 1   3 4 1   adjA A ij    2 4  2  1  4 1  . را محاسبه می کنیمA اکنون دترمینان detA a11A11  a12A12  a13A13  3  4 3  4 0 1 وجود دارد و داریمA بنابراین 1  3 4 adjA    A1    2 4  2  detA  4   1  4 1  بهتر است نتیجه را آزمایش کنیم.  1 2 3   3 4 1    4 0 0  A(adjA)  0 1 2   2 4  2  0  4 0   4I   1 2 1  1  4 1   0 0  4 (detA)I نتیجه بدست آمده درست است، و از این رو. فــضایبــردارـیو تــابـع خـطی3. 3 تاکنون ساختارهای ریاضی بسیاری را دیده ایم که ازویژگیهای یکســـانی برخوردارند .مث ً ال در ریاضی عمومی 1دیدیم که اگر Fمجموعه تمام توابع پیوسته با دامنه[ ]1 ,0باشد ،آنگاه به ازای هر سه تابع f ،gو hمتعلــق بهF و هر دو عدد حقیقی و داریم f  g Fو f  g g  f -1 -2 ‏f  (g  f ) (f  g)  f -3تابع صفر 1  Rو0:،0با تعریف 0 =)x(0پیوسته است ،یعنی وداریم ‏f 00 f f 0 F  -4تابع fدارای قرینه ( )f-است ،یعنی وداریم ‏ f F ‏f  ( f ) 0 -5تابع ثابت یک را به صورت نخست توجه می کنیم که 1f=f 1  Rو0: ،0 نظر می گیریم . در1(x ) 1 سپس 1 F ـیـسـتبــا f یــعنیعـدد 1ضــربدر fمـساو ا ‏(f  g) f  g -6 یعنی توابع هر دو طرف به Fتعلق دارند و تساوی برقرار است . -7 -8 ‏(f  g) f  g ()f ()f هر مجموعه ای که روی آن عمل جمع اعضا و عمل ضرب اعداد در اعضا تعریف شده باشد ودر شرایط 8-1مذکورصدق کند یک فضایی برداری حقیقی نامیده .می شود در این درس فقط با فضاهای برداری حقیقی .می کنیم سر وکار داریم (n 1)Rn که در مثال زیر معرفی توجه كنيد كه بردارهاي )I1 (1,0,...,0) , I2 (0,1,...,0) ,...,In (0,0,...,0,1 كه در آن ها فقط مؤلفه ‌iام برابر با 1و بقيه صفرند اعضايي از تذكر اين نكته نيز اهميت دارد كه اعضاي كرد .در اين صورت هر عضو را يك ‏n ‏R را مي ‏n ‏R بردار سطري ‏n ‏R هستند . توان ماتريس هاي 1n تلقي مي ناميم . ترانهاده هر بردار سطري را يك بردار ستوني مي ناميم .چون يك تناظر يك به يك بين بدارهاي سطري -nبعدي و ترانهاده آنها وجود دارد ،هر عضو ‏Rn صورت برداري ستوني نيز در نظر گرفت . را مي توان به  3 .3 .2تعريف اگر ‏vn ,...v2, v1 بردارهايي در ‏Rn و ‏ ,...,1 ‏n اعدادي حقيقي باشند ،بردار ‏w 1v1  2v2  ...  nvn ‏vn ,...v2, v1 را يك تركيب خطي مـثاـل3. 3. 3 مي ناميم . ) 3I (1,0,0و) 2I (0,1,0و)0,0,1 (3  متعلق Iبه را در نظرمی الف ) بردارهای ‏R3 گیریم .اگر )w (,,  دلخواهی از بردار ‏R3 باشد آنگاه بنابه تعریف جمع برداری و ضرب عدد در بردار ،داریم . ‏w (,0,0)  (0,,0)  (0,0, ) I1   I2  I3 یعنی wیک ترکیب خطی از و I1و I3 I2 است . ب ) بردارهای ) v1 (1,1, 2,1و )v2 (2,3, 4,3 ‏v3 را در نظر و )( 5,4,10, 5در ‏R4 میگیریم .چند ترکیب خطی از این بردارها به قرار زیرند : )v1  v2 0v3 (3,4, 6,4 )( 2)v1  v2 (0,1,0,1 )5v1  v2 (0,9,0,0) 9(0,1,0,0 3v1  4v2  5v3 ( 17,35,38, 10 ) 18v1  9v2  v3 (0,0,0,0)   3. 3 .7تعریف (n 1)Rn می گوییم فضای برداری شده است ،اگر هر عضو توسط زیر مجموعه ‏n ‏w ‏R یک ترکیب خطی از بردارهای باشد .در این صورت 1, v2,...,vk را vیک مجموعه مولد می تولید v1, ‏v2,...,vk  1vو 2vو...وvk ‏n ‏R نامیم. مـثاـل8. 3. 3 2 مجموعه  v1, vمذکور) v1 (1,3و ) v2 (2, 1یک مولد است . الف ) ‏R2 مجموعه v1, v2, v 3 ب) مذکور) v1 (1,1,,1و ) v2 ( 2,1,1و )v3 (0,1, 1 ‏R3 یک مولد است . 3 مجموعه  v1, v2, vمذکور یک مولد پ) ) v3 ( 5, 10,5نیست . ) v1 (1,2,, 1و ) v2 (2,3, 4و ت ) مجموعه  v1, v2با ) v1 (1,1,1و )v2 (1,2,0 مستقل خطی است ولی مولد ‏R3 نیست .برای مشاهده این مطلب فرض کنید . )xv1  yv2 (x, x, x)  (y,2y,0) (x  y, x  2y, x) (0,0,0 داریم x=0و .y=0بنابراین v1, v2مستقل خطی است .حال اگر (a, b, c)  R3 ‏v2 v باشد ،آنگاه باید xو yوجود داشته باشد بطوری که ترکیبی خطی از 1و )(x  y, x  2y, x) (a, b, c و یا ‏x  y a, x  2y b, x c بنابراین باید داشته باشیم ‏y a  c , y b  a و لذا b a a  cیا نیست v2 . ‏v1 ‏b. c 2a بنابراین بردار (1,2,3)  R3 یک ترکیب خطی از و  3 .3 .12قضیه ‏B  Rn اگر ‏B  Rn و ‏Rn دو پایه باشند آنگاه تعداد اعضای Bمساوی است با ‏B تعداداعضای و این عدد برابر است با . nعدد اصلی تمام پایه های ‏n ‏R بعد می نامیم و می نویسیم ‏n dimRn 3 . 3 .13مثال الف ) با توجه به ) v1 (1,0و )(0,1وv2قضیه فوق می ببینیم که ‏dimR2 2 به همین ترتیب ) v1 (1,1,0و )v3 (0,1,1)v2 (1,0,1 نشان می دهد که ‏dimR3 3 ‏Rn را ب ) فرض کنید n 3و در ‏Rn مجموعه بردارهای ‏B  l1 (1,0,...,0) , l2 (0,1,...,0) ,...,ln (0,0,...,0,1) را در نظر می گیریم . می بینیم که اگر )x1l1  x2l2  xnln (x1x2,...,xn ) (0,0,...,0 آنگاه ‏x1 x2 ...xn 0 و لذا Bمستقل خطی است .حال اگر ‏n ( ‏a , ‏a ,..., ‏a ) ‏ ‏R 1 2 ‏n بردار دلخواهی باشد آنگاه بنابر ویژگیهای جمع برداری و ضرب عدد در بردار داریم (a1, a2,...,an ) a1l1  a2l2  ... anln ‏Rn و از این رو B ،یک مولد است .در نتیجه Bپایه ای برای ‏n dimRn ‏Rn است و بنابراین n ‏R خود در اصول فضای برداری صدق می کنند .این زیر برخی زیر مجموعه های مجموعه ها را زیر فضاهای می نامیم R.در زیر به تعریف این مفهوم می پردازیم . ‏n 3 .3 .15تعریف زیر مجموعه ناتهی الف ) ‏S Rn به ازای هر را یک زیر فضای و هر ب ) u  v  Sبه ازای هر u Sو هر ‏u S ‏Rn ‏R با توجه به شرط (ب) روشن است که اگر می نامیم اگر در شرایط زیر صدق کند . . ‏v.S ‏u S ‏ 0 و ‏u S دلخواه باشد ،آنگاه 0u   Sاز این رو ،اگر Sزیر فضایی از باشد آنگاه لزوماً ‏Rn یک شرط کافی برای اینکه Sزیر فضا نباشد آن است که ‏S بنابراین ‏  S.  3 .3 .16مثال الف ) مجموعه تمام ترکیبهای خطی بردار (1و1و )1را Sمی نامیم .داریم ‏S  t(1,1,1) t  R  (t, t, t) t  R ‏R روشن است که اگر و) v1 t1(1,1,1و )v2 t2(1,1,1دو عضو Sباشند ،آنگاه ‏v1  v2 t1(1,1,1)  t2(1,1,1) (t1  t2)(1,1,1)  S و ‏v1 (t1)(1,1,1)  S بنابراین مجموعه تمامی ترکیبهای خطی بردار (1و1و )1یک زیر فضای است .چون این مجموعه فقط توسط یک بردار غیر صفر (1و1و )1تولید شده است .داریم ‏dimS=1 ‏R3 ب ) مجموعه تمام ترکیبهای خطی بردار صفر (0و0و )0مســـــاوی است با ‏R3 {(0و0و })0روشن است که{(0و0و S=})0یک زیر فضای است .بنابه تعریف ‏dimS=0 پ ) فرض کنیم ‏S {(x, y,0) x  R, y  R} R3 ‏R3 به راحتی دیده می شود که Sیک زیرفضای است .در واقع اگر )y,0وv (x, دو عضو ‏R ‏Sو )u (x, y,0 عددی دلخواه باشد آنگاه ‏u (x, y,0)  (x, y,0) (x  x, y  y,0)  S ‏u (x, y,0) (x, y,0)  S روشن است که {(0و1و )0و (0و0و })1مستقل خطی و یک مولد Sاست ، بنابراین ‏dimS=2  3 .3 .18تعریف فرض می ‏n 1 1 mو کنیم دو عدد طبیعی باشند .تابع ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R رایک تابع خطی می گوییم اگر شرایط زیر برقرار باشد الفf (u  v) f (u)  f (v) , u , v  R) n ‏f (u) f (u) ,   R , u Rn ب) اگر در شرط (ب) قرار دهیم  0بدست می آوریم ‏f () f (0.u) 0f (u)  بنابراین یک شرط الزم برای خطی بودن fبرقرار بودن تساوی ()  است. f ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R یک تابع خطی است و اکنون فرض می کنیم ‏m ‏n ‏Y ‏ ‏f ( ‏x ) و ‏Y ‏ ( ‏y , ‏y ,..., ‏y ) ‏ ‏R ، ‏X ‏ ( ‏x , ‏x ,..., ‏x ) ‏ ‏R 1 2 ‏m 1 2 ‏n می نویسیم ))Y (y1, y2,...,ym) (f1(x),f2(x),...,fm(x )y1 f1(x بدست می آوریم )y2 f2(x ‏ )ym fm(x می بینیم که مقدار هریک از توابع fiدر نقطه ، Xعددی حقیقی است . ‏fi بنابراین تابعی از به Rاست .به عالوه ‏Rn ‏fi ها تابعی خطی هستند . در نتیجه تابع خطی fرا ی توان توسط mتابع خطی حقیقی معین کرد .این توابع حقیقی را موءلفه های تابع fمی نامیم . 2f،f1و...وfm 19. 3. 3مـثاـل با تعریف f : R2  R2 الف ) تابع f(x,y)=(2x+3y,x+2y) : داریم  R وv (x , y ) وu=(x,y) در واقع به ازای. خطی است   u  v (x  x, y  y) , u (x, y) f (u  v) (2(x  x)  3(y  y),x  x  2(y  y)) (2x  3y  2x  3y, x  2y  x  2y) (2x  3y, x  2y)  (2x  3y, x  2y) f (u)  f (v) f ( u) f (x, y) (2(x)  3(y),x  2(y)) (2x  3y, x  2y) f (u) موءلفه های این تابع عبارتند از : ‏y1 f1(x, y) 2x  3y, y f2(x, y) x  2y به آسانی دیده می شود که این موءلفه ها توابع خطی هستند . ب ) تابع 2 3 ‏f : ‏R ‏ ‏R با که در آن تعریف ))Y f (x) (f1(x),f2(x),f3 (x ‏y1 f1(x, y) x  y 1 ‏y2 f2(x, y) x  2y ‏y3 f3 (x, y) 3x  4y خطی نیست .اگر fخطی باشد باید داشته باشیم ) f(0, 0)=(0, 0, 0چون داریم )f (0,0) (f1(0,0),f2(0,0),f3 (0,0)) (1,0,0) (0,0,0 پس fخطی نیست . توجه کنید که علت خطی نبودن fوجود جمله ثابت 1در موءلفه اول fاست . ث ) دوران به اندازه زاویه ثابت حول مبدأ مختصات ،یک تابع خطی ا ز ‏R2 ‏R2 به تعریف می کند . حل فرض می کنیم که با دوران مذکور نقطه تبدیل شود .با توجه به شکل 1 )Y (x2, y2 )X (x1, y1 به نقطه ‏x2 ‏y ‏Y ‏y2 ‏x1 ‏y1 ‏X ‏ ‏x ‏A ‏B ‏ ‏O داریم OB OY cos(  ) BY OY sin(  ) x2 و به دلیلBYوOB به ترتیب عبارتند ازY و یعنی مختصات نقطهy2 چون . پس برابریهای فوق به برابریهای زیر تبدیل می شوندOY=OX، دوران x2 OY cos cos  OY sin sin x1 cos  y1 sin y2 OY sin cos  OY cos sin y1 cos  x1 sin وf (f1, f2) 2 2 f : R  R را توسط اکنون تابع x2 f1(x1, y1) x1 cos  y1 sin y2 f2(x1, y1) x1 sin  y1 cos . تابعی خطی استf روشن است که. تعریف می کنیم تــعریـف(مـاتریـستــابـع خـطی) 21 .3. 3 ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R را در نظر می گیریم .فرض می کنیم تابع خطی )f (f1, f2,...,fm )n نقطه X (x1, x2,...,xبرابر با )Y (y1, y2,...,ymباشد .در و مقدار fدر ‏fm,...,f2, f1 اینصورت توابع به صورت زیر هستند . ‏y1 f1(x) a11x1  a12x2  ... a1nxn ‏y2 f2(x) a21x1  a22x2  ... a2nxn ‏ ‏ym fm(x) am1x1  am2x2  ... amnxn ماتریس ضرایب دستگاه معادله های فوق را ماتریس ( fنسبت به پایه های متعارفی ) می نامیم .بنابراین ماتریس fعبارت است از ‏ a11 a12  a1n  ‏a ‏ ‏a ‏ ‏a 21 22 2 ‏n ‏ ‏M  ‏  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏a ‏a ‏ ‏a ‏mn ‏ m1 m2 مشاهده می کنیم که ماتریسی تابع ‏f : Rn  Rm ماتریسی ‏mn است . مـثاـل22 .3 .3 الف ) در مورد تابع خطی 2 2 ‏f : ‏R ‏ ‏R ‏f(x,y)=(2x+3y,x+2y) ،داریم ‏y1 f1(x, y) 2x  3y , y2 x  2y بنابراین ماتریس fماتریسی 2عبارت است از 2و ‏ 2 3 ‏M  ‏ ‏ 1 2 ب ) در مورد تابع خطی f(x)=(2x,3x,0)f :،R  R3داریم ‏y1 f1(x) 2x , y2 f2(x) 3x , y3 f3 (x) 0 بنابراین ماتریس ،fماتریس 31و عبارت است از ‏ 2 ‏M  3 ‏ 0  3 .3 .24تعریف ‏f : Rn  Rm تابع خطی را در نظر می گیریم مجموعه ‏ ‏ ‏K  X  Rn f (x)  را هسته fمی نامیم .به عبارت دیگر هسته fمجموعه تمام جوابهای ‏f (x)  معادله زیر است . هسته fرا بانماد Kیا kerfنشان می دهیم . ) A (aij اگر ) X (x1, x2,...,xn ماتریس fو صورت معادله ماتریسی ‏AX  یا دستگـاه معادله های زیر نوشت آنگاه می توان معادله فوق را به y1 f1(x) a11x1  a12x2  ... a1nxn 0 ‏y2 f2(x) a21x1  a22x2  ... a2nxn 0 ‏ ‏ym f m(x) am1x1  am2x2  ... amnxn 0 بنابراین ker fمجموعه جوابهای دستگاه معادله های فوق است .دستگاه معادله هایی را که طرف دوم آنها صفر است همگون می نامند . تــعریـف25. 3. 3 اگر f : Rn  ‏Rm یک تابع خطی باشد ،مجموعه ‏ ‏ ‏R(f )  f (x) X  Rn را تصویر fمی نامیم .به عبارت دیگر تصویر fمجموعه تمام مقادیر fاست . ‏m ‏R ( ‏f ) ‏ ‏R آنگاه fپوشا است . می بینیم که اگر در قضیه زیر ویژگیهای اصلی هسته و تصویر fرا بیان می کنیم . 3 .3. 26قضیه فرض می کنیم ‏f : Rn  Rm تابعی خطی باشد . ‏Rn الف ) Kهسته fیک زیر فضای است . ب ) ) R(fتصویر fیک زیر فضای ‏m ‏R است ت ) dim K+dim R(f)=n .  3 .3 .27تعریف بعد هسته و بعد تصویر تابع خطی ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R را به ترتیب پوچی و رتبه fمی نامیم و آنها رابه ترتیب ) n(fو) r(fنشان می دهیم . )n(f)=dim K , r(f)=dim R(f  3. 3 .28مثال ب ) ماتریس ،هسته ،تصویر ،رتبه تابع خطی 2 3 ‏f : ‏R ‏ ‏R با تعریف )f(x,y)=(2x,-x+y,x+4y را پیدا می کنیم . حل بنا به تعریف ماتریس fعبارت است از ‏ 2 0 ‏A   1 1 ‏ 1 4 بنا به تعریف ،هسته fمجموعه جوابهای دستگاه زیر است . ‏2x 0 ‏ ‏ ‏ x  y 0 ‏ ‏x  4y 0 ‏ و لذا{(0و K=})0یعنی هسته fصفر بعدی است و dim R(f)=2.اکنون پایه ای برای ) R(fپیدا می کنیم . ‏ ‏ ‏R(f )  f (x, y) (x, y)  R2 بنا به تعریف داریم ‏ (2x, x  y, x  4y) x  R, y  R ‏ x(2, 1,1)  y(0,1,4) x  R, y  R ) 1v(2, 1,1و)v2 (0,1,4 چون ) f(1,0)=(2,-1,1و )f(0,1)=(0,1,4پس بردارهای به ) R(fتعلق دارند ،مجموعه ‏ v1, v2 مستقل خطی و مولد ) R(fاست . بنابراین dim R(f)=2و v1, v2 یک پایه برای آن است . توجه کنید که تعداد سطرهای مستقل خطی ماتریس Aنیز 2است(.امتحان کنید) . یعنی ‏r(A)=r(f)=dimR(f)=2 3 .3. 30تعریف تابع خطی ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R را وارون پذیر می نامیم اگر تابع خطی وجود داشته باشد به طوری که ‏m ‏R تابع همانی =fog ‏n ‏R و= gofتابع همانی بنابراین تعریف ،ماتریس های fogو gofبه ترتیب برابرند با ماتریس همانی و ‏mm . ‏nn اگر تابع gبا شرایط فوق یافت شود ،آن را یک وارون fمی نامیم و می نویسیم . ‏g f  1 وارون هر تابع در صورت وجود یکتا است . می دانیم که یک شرط کلی وارون پذیری تابع ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R یک به یک و پوشا بودن آن است .قبل از بیان معادل جبر خطی این شرط کلی مثال زیر را می آوریم . 3 . 3 .31مثال الف ) تابع fدر ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R ‏f(x,y,z)=(x+2y-z,0,0) ، وارونپذیر نیست .زیرا یک به یک نیست . ب ) تابع fدر 2 3 ‏f : ‏R ‏ ‏R ‏f(x,y)=(2x,-x+y,x+4y) ، ،البته این تابع یک به یک است . وارون پذیر نیست زیرا پوشا نیست 1 3 2 ‏f : ‏R ‏ ‏R با تعریف پ) تابع خطی )f(x,y,z)=(2x+3y+z,x+y+3z یک به یک نیست .در واقع دو صفحه 2x+3y+z=0 ‏x+y+3z=0 دست کم دو نقطه تقاطع دارند و لذا هسته fبیش از یک نقطه دارد .یعنی نــیست . ‏fیــکبــه یــکنــیستو در نــتیجه واروـنپــذیر 3 .3 .32قضیه ‏n ‏m ‏f : ‏R ‏ ‏R تابع خطی باشد . فرض کنید الف ) fیک به یک است اگر وتنها اگر } . ker f={0به عبارت دیگر fیک به یک است اگر و تنها اگر .n(f)=0 ب ) اگر m=nو fیک به یک باشد ،آنگاه fپوشاست .به عبارت دیگر تحت این فرضها ‏f1 وجود دارد . پ ) اگر m=nو fپوشا باشد ،آنگاه fیک به یک است .به عبارت دیگر تحت این فرضها ‏f1 وجود دارد . ت ) یک شرط الزم برای پوشا بودن fاین است که ‏n . ‏mاگر n<mآنگاه بنابراین fوارون پذیر نیست . ‏f 1 از (ت) نتیجه می شود که اگر وجود داشته باشد ،باید داشته باشیم و لذا m=nبنابراین ث ) تابع یک به یک ( یا پوشای ) fوارون پذیر است اگر وتنها اگر. n=m ج ) اگر Aماتریس fباشد آنگاه fوارون پذیر است اگر وتنها اگر Aوارون پذیر ‏f1 باشد .به عبارت دیگر وجود دارد اگر وتنها اگر ‏detA 0 ‏n m  3 .3. 34نتیجه تابع خطی ‏n ‏n ‏f : ‏R ‏ ‏R وارون پذیر است اگر وتنها اگر ‏r(f)=n این نتیجه را رتبه ماتریس به ماتریس ها نیز می توان تعمیم داد . فرض کنید ) A (aij ماتریسی گیریم .مث ً ال سطر iام را با ‏mn باشد .هر یک از سطرهای Aرا عضوی از می ‏v ‏i نشان می دهیم .داریم )vi (ai1, ai2,...,ain ‏Rn مجموعه  v1, v2,...,vm یک زیر فضا از تولید می کند .این زیر فضا را با Sنشان می دهیم .  3 .3 .35تعریف بعد زیر فضای Sرا رتبه Aمی نامیم و آن را با) r(Aنشان می دهیم . بنا به تعریف بُعد r(A)،بیشترین تعداد بردارهای مستقل خطی مجموعه ‏ v1, v2,...,vm است .بنابراین ‏r(A) m . 3. 3. 36مثال الف ) سطرهای ماتریس مربع ‏1 1  ‏A  ‏ 1 ‏ 2 ‏ ‏ عبارتند از )2 (1,2) , v2 (1,1به vراحتی دیده می شود که خطی است . بنابراین r(A)=2توجه می کنیم که ‏detA  3 0 ‏ v ,v  1 2 مستقل 0 0 1 0 0 1 ‏ 1 0 ت ) رتبه ماتریس ‏1 ‏0 ‏A  ‏0 ‏ ‏1 برابر است با .3توجه می کنیم که بزرگترین دترمینان غیر صفر حاصل از آن نیز 33 است .در قضیه زیر ویژگیهایی از ماتریس و رتبه تابع خطی را بیان می کنیم . 3 .3. 37قضیه ‏n ‏n ‏f : ‏R ‏ ‏R تابعی خطی با ماتریس Aباشد.ویژگیهای زیر برقرارند. فرض می کنیم الف ) )r(A)=r(f ب ) ) r(Aتعداد سطرهای بزرگترین دترمینان غیر صفر حاصل از Aاست . ‏f1 پ ) اگر m=nآنگاه وجود دارد اگر وتنها اگر r(A)=nو لذا r(A)=nمعادل است با ‏detA 0 حـلدـسـتگاههـایمـعادـلـه هایخـطی4. 3 هدف این قسمت بررسی حلپذیری و حل دستگاههای mمعادله nمجهولی است . برای این منظور روشی به نام روش حذفی گاوس -جردن معرفی می کنیم . معرفی این روش نیازمند ابزارهای خاصی به نام عملهای سطری مقدماتی است .به هر عمل سطری مقدماتی یک ماتریس مربع نامنفرد به نام ماتریس مقدماتی این عمل وابسته است .از این رو ،ضمن معرفی روش گاوس _جردن این ماتریسها را نیز معرفی می کنیم .از جمله دستاوردهای جنبی روش گاوس – جردن روشی جهت محاسبه وارون و رتبه ماتریس است . عالوه بر روش گاوس -جردن می توان دستگاههای nمعادله nمجهولی را به استفاده از دترمینان ماتریس ضرایب مورد بررسی قرار داد .این روش برای دستگاهی که دترمینان مذکور صفر نباشد ،به فرمول کرامر برای جواب دستگاه منجر می شود . اگر دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه nمعادله nمجهولی ()1 یعنی ‏a11x1  a12x2  ... a1nxn b1 ‏ ‏a21x1  a22x2  ... a2nxn b2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏am1x1  am2x2  ... amnxn bm ‏a11 a12  a1n ‏a21 a22  a2n ‏ ‏   ‏an1 an2  ann غیر صفر باشد ،آنگاه دستگاه ( )1فقط یک جواب به صورت ‏X A  1B دارد ،که در آن ‏ x1  ‏ b1  ‏x  ‏b  ‏X  2  , B  2  ‏  ‏  ‏  ‏  ‏x ‏ n ‏ bn  3 .4 .1قضیه (دستور کرامر) با نمادهای فوق داریم ()2 ‏j 1,2,...,n ‏detA j ‏detA ‏xj  که در آن از قرار دادن Bبه جای ستون jام Aبه دست می آید ،یعنی  a11  a1j 1 b1 a1j1  a1n  a  a  a  a b2 2j1 21 2j 1 2n  A j          a a a  a 2 b  n1 nj1 nn n n مثال3 .4 .2 الف ) در مورد دستگاه معادله های x  y  z 2  2x  y  z 0  x  2y  z 4 داریم 1 1 1   x  2 A  2  1 1  , X  y , B  0  1 2  1  z  4 detA 7 0 . پس دستورهای کرامر را می توان به کار برد، )(محاسبه کنید چون 2 1 1 2 1 1 2 1 1 داریم 0 1 1 0 1 1 0 1 1 4 2 1 6 4 2  1 10 4 2 1 2 x  , y  , z  detA 7 7 7 v 7 . را محاسبه کردX البته با استفاده از وارون ماتریس نیز می توان   1 3 2   2  6 1 1 X A  1B   3  2 1   0   10 7 7  5  1  3  4   2 2x  y  z 2  3x  y  z  t 1  x  2y  2z  t 4  x  y  z  t 5 دستگاه معادله های معادل است با معادله ماتریسی ‏AX=B که در آن 0 ‏ x ‏ 2 ‏ y ‏ 1 1  , X   , B   ‏ z ‏ 4 ‏ 1 ‏ ‏  ‏  1 ‏t ‏  ‏ 5 1 ‏1 ‏2 ‏1 ‏2  1 ‏3 1 ‏A  ‏1 2 ‏ ‏1 1 چون (det A=0چرا؟) پـس دسـتگاه جواب ندارد یـا بیشتـر از یـک جواب دارد .البتـه بـا اندکی محاسـبه در مـی یابیـم کـه ایـن دسـتگاه جواب ندارد .برای راحـت تـر شدن کار مـی توان u=- y+zانتخاب کرد .دسـتگاهی از معادلـه های خطـی را کـه دسـت کـم یـک جواب داشتـه باشد سازگار و در غیراین صورت ناسازگار می نامیم . تعییـن سـازگاری یـا ناسـازگاری یـک دسـتگاه از معادلـه های خطـی بـا اسـتفاده از عملهای سطری مقدماتی به راحتی صورت می گیرد .  3 .4 .4تعریف یک دستگاه mمعادله nمجهولی داده شده است الف ) هر یک از عملهای ) 1دو معادله را جا به جا کنیم . ) 2معادله kام را با معادله lام )(l k جمع و نتیجه را به جای معادله lام قرار دهیم (معادله kام در جای خود می ماند ) . ) 3معادله ای را در عدد غیر صفری چون cضرب کنیم . ب ) ماتریس ضرایب وماتریس افزوده دستگاه حاصل ازاعمال یک یا چند عمل سطری مقدماتی بر این دستگاه را به ترتیب هم ارز سطری ماتریس ضرایب و ماتریس افزوده دستگاه اصلی می نامیم . پ )با هرعمل سطری مقدماتی روی یک دستگاه یک ماتریس مربع متناظرm ‏m است ، بطوری که وقتی از طرف چپ در ماتریس افزوده دستگاه ضرب شود ،ماتریس افزوده دستگاه حاصل از اعمال این عمل سطری مقدماتی در دستگاه اصلی بدست می آید . این ماتریس را ماتریس مقدماتی می نامند . 3 .4 .5مثال دستگاه سه معادله سه مجهولی 2x  y  z 1 ‏z 1 ‏ 2 2 ‏ x  5y  ‏ 6x  33y  3z 7 را در نظر می گیریم . صورت ماتریسی این دستگاه عبارت است از ‏ 1  x  1 1     1 ‏y   ‏ ‏ 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏z 3     7 ‏ 2 1 ‏ ‏1 5 ‏  6 33 ‏ با تعویض جای معادله های اول ودوم ،این دستگاه به ( *) ‏z 1 ‏ ‏ ‏x ‏ 5 ‏y ‏ ‏ ‏ 2 2 ‏ ‏ 2x  y  z 1 ‏ ‏ 6x  33y  3z 7 ‏ تبدیل می شود .مشاهده می کنیم که صورت ماتریسی این دستگاه جدید عبارت است از 1 ‏ ‏ 1 ‏ 1 5 ‏ x ‏ 2     2 ‏ 2 1  1  y  1 ‏ ‏ ‏  ‏  6 33 3   z  7 ‏ ‏ ‏  حال در ماتریس واحد 33 عمل فوق را اعمال می کنیم و بدست می آوریم. ‏0 1 0 ‏E12 1 0 0 ‏0 0 1 این ماتریس را از طرف چپ در ماتریس افزوده دستگاه اصلی ضرب می کنیم 1 2 1 ‏ 7 ‏ 1 2 ‏1 3 ‏ ‏1 5 ‏ 2 1 ‏ ‏  6 33 ‏ 1 1 2 7 ‏1 1 2 3 ‏ 2 1 ‏ ‏E12   1 5 ‏  6 33 ‏ مشاهده می کنیم که ماتریس حاصل ماتریس افزوده دستگـاه ( *) است بنابراین، ‏E12 است مقدماتی که با ضرب آن در هر ماتریس سطرهای اول و دوم این ماتریس ماتریسی جا به جا می شوند.  3 .4 .7تعریف ماتریس mnچون Bرا در نظر می گیریم . B -1را تحویل شده سطری می نامیم اگر الف ) اولین درایه غیر صفر (در صورت وجود ) هر سطر Bبرابر با 1باشد. ب ) همه درایه های ستونی از Bکه شامل اولین درایه غیر صفر سطری از Bبرابر با صفرباشند . B -2را تحویل شده سطری پلکانی می نامیم اگر تحویل شده سطری باشد و در شرایط زیر هم صدق کند . پ ) اولین درایه غیر صفر هر سطر از اولین درایه غیر صفر سطری بعدی به ستون اول (دست چپ ) نزدیکتر باشد . ت ) بعد از سطری که همه درایه های آن صفرند ،سطر غیر صفری وجود نداشته باشد .  3 .4 .10مثال الف ) با انجام عملهای سطری مقدماتی ماتریس زیر را به یک ماتریس تحویل شده سطری پلکانی تبدیل می کنیم . حل 1 0 0 0 0 1 ‏ 2 7  3  ‏ 4 5 7 ‏A   1 0 2 ‏ 2 2 3 ‏1 0 0 ‏0 ‏P2 1 0  1 0 , E12 1 ‏0 0 1 ‏0 ‏1 0 ‏E12P2 1A  4 5 ‏ 2 2 ‏1 0  2 ‏S3,( 2)1S2,( 4)1E12P2 1A 0 5 15 ‏0 2 7  1 0  2 ‏P S3,( 2)1S2,( 4)1E12P2 1A 0 1 3  ‏0 2 7  ‏1 0  2 1 ‏S3,( 2)2P25S3,( 2)1S2,( 4)1E12P2 1A 0 1 3  ‏0 0 1  1 5 2 ‏1 0 0 ‏E P A 0 1 0 ‏0 0 1 1 ‏1 5 1,(2)3 2,(  3)3 3,( 2)2 2 3,( 2)1 2,( 4)1 12 2 ‏S ‏S ‏PS ‏S ‏S رابطه فوق نکته های بسیاری را بیان می کند .اول این که این رابطه نشان می دهد که وجود دارد ‏1 ‏A و برابر است با 1 5 1,(2)3 2,( 3)3 3,( 2)2 2 ‏P S3,( 2)1S2,( 4)1E12P2 1I که در آن Iماتریس واحد 33 است . ‏S ‏S ‏S ‏1 ‏A بنابراین اگر هنگام انجام عملهای سطری مقدماتی روی Aجهت پیدا کردن هم ارز تحویل شده سطری پلکانی ، Aاین عملها را روی ماتریس واحد هم اندازه با Aنیز انجام دهیم به محض تبدیل شدن Aبه ماتریس واحد ،ماتریس واحد نیز به وارون Aتبدیل می شود . دوم اینکه از این رابطه نتیجه می شود که Aحاصلضربی از ماتریس های مقدماتی است ،البته این تجزیه یکتا نیست و به ترتیب انجام عملهای سطری مقدماتی بستگی دارد . متذکر می شویم که اگر بعدا ً نیازی به ذکر عملهای سطری مقدماتی نباشد ،می توان از درج آنها خودداری کرد .  3 .4 .13مثال کاربرد عملهای سطری مقدماتی در حل دستگاههای معادله های خطی می خواهیم سازگاری یا عدم سازگاری دستگاه چهار معادله سه مجهولی زیر را تعیین ‏ x  y  z 3 ‏ ‏ 2x  y  z 6 ‏ ‏ ‏ ‏ x  2y  2z 1 ‏ ‏ ‏ ‏3x  2y  2z  1 می کنیم . حل با استفاده از هم ارز سطری ،ماتریس افزوده دستگاه را به صورت ساده تری می نویسیم .ماتریس افزوده دستگاه عبارت است 3 6  1 ‏ ‏ 1 ‏1 1 1 1 2 2 ‏2 2 ‏1 ‏2 ‏A  ‏ 1 ‏ ‏3 با ضرب سطر اول به ترتیب در -3 ،1،-2و جمع حاصل به ترتیب با سطرهای دوم ،سوم و چهارم Aتبدیل می شود به ماتریس 1 3 ‏ 3 0  3 4 ‏ ‏ 5  10 ‏1 3 1 2 ‏1 ‏0 ‏A  ‏0 ‏ ‏0 با ادامه این روش صورت تحویل شده سطری Aبه صورت زیر به دست می آید . 0 0 3 1 0 1 0 1 1 ‏ 0 0 1 ‏1 ‏0 ‏A  ‏0 ‏ ‏0 بنابراین دستگاه اصلی هم ارز معادله ماتریسی ‏ x  3 ‏ y  1 ‏    ‏ z  1 ‏    ‏ t   1 ویا هم ارز دستگاه معادله های زیر 0 0 1 ‏ 0 0 1 0 0 ‏1 ‏0 ‏ ‏0 ‏ ‏0 ‏x 3 ‏ y 1 ‏ ‏ ‏z 1 ‏01 است .آخرین معادله که یک تناقض است ،نشان می دهد که دستگاه ناسازگار است . تــبدیـلمـختصات5. 3 وجود پایه های متعدد برای فضای برداریRnاین امکان را فراهم می آورد که برای مقاصد مختلف از پایه های متفاوت و مناسب استفاده کنیم .از آنجا که هر پایه (مرتب) یک دستگاه مختصات برای ‏n ‏R فراهم می کند ،این بدان معناست که مث ً ال اگر در دستگاه مختصات xoyمعادله خم cبه صورت ‏x2  2xy  y2 1 باشد ،ممکن است در دستگاه مختصاتی چون uovاین معادله را به صورت ساده تری بنویسیم و به این ترتیب امکان شناسایی کامل خم را مهیا کنیم . برای رسیدن به این هدف الزم است قب ً ال مفاهیمی چون ویژه بردار و ویژه مقدار یک ماتریس مربع و نیز مفهوم ماتریس های متشابه را بدانیم .خواهیم دید که ویژه بردارهای یک ماتریس یک پایه برای ‏Rn ‏nn پایه در بسیاری موارد برای مقاصد این درس کفایت خواهد است .این کرد . 3 .5 .1تعریف ‏n ‏n ‏f : ‏R ‏ ‏R تابعی خطی باشد . فرض می کنیم بردار V 0متعلق به ‏n ‏R را یک ویژه بردار f می نامیم اگر عددی چون وجود داشته باشد که ()1 ‏f (V) V در این صورت را یک ویژه مقدار fمی نامیم . ‏R فرض کنید ‏n ‏n ‏I : ‏R ‏ ‏R تابع همانی باشد ،در این صورت به ازای هر ، ‏VR ‏I(V)=V و بنابراین معادله ( )1را می توان به صورت ‏f (V)  I(V ) (f  I)(V) 0 ()2 نوشت ،و لذا ویژه بردارهای fعضوهای غیر صفر هسته تابع خطی دیگر هر ویژه بردار fریشه غیر صفری از معادله ( )2است . مـثاـل2. 5. 3 ویژه بردارها و ویژه مقدارهای تابع خطی ) f (x, y) (x  2y,4x  yو f : R2  R2 را پیدا می کنیم . ‏I هستند . به fعبارت حل برای این منظور معادله (f  I)(x, y) (x  2y,4x  y)  (x, y) (x  x  2y,4x  y  y) (0,0) یا دستگاه معادله های x(1 )  2y 0  4x  (1 )y 0 . حل می کنیمx ،y را نسبت به 2     0 1   4  (1  )  y 0      می دانیم که این دستگاه جواب غیر صفر دارد اگر وتنها اگر دترمینان ضرایب آن صفر باشد ،یعنی یا ()3 ‏ (1 )(1 )  8 0 ‏2  9 0 بنابراین ویژه مقدارهای fعبارت اند از ‏ 3 حال هر یک از این مقدارها را در دستگاه معادله های ( *) قرار می دهیم ودستگاه را حل می کنیم تا ویژه بردارهای وابسته به این ویژه مقدار بدست آیند . الف ) به ازای  3دستگاه به صورت ‏ 2x  2y 0 ‏ ‏4x  4y 0 در می آید ،مشاهده که هر بردار Vبه صورت ‏ x ‏   ‏ y و با شرط y=xیک جواب این دستگاه است . بنابراین بردارهای ویژه بردارهای متعلق به ویژه مقدار ‏x 0 ‏ 3 ‏1 ‏V x   ‏1 هستند .یکی از این ویژه بردارها با انتخاب 1 2 ‏x به صورت زیر بدست می آید . 1 1 ‏ 2 1 ‏V1  ‏V1 برداری یکه ؛ ویژه بردار یکه است . طول این ویژه بردارمساوی است با 1و لذا ب ) به ازای ‏  3 ،دستگاه ( *) به صورت ‏4x  2y 0 ‏ ‏4x  2y 0 در می آید .هر جواب غیر صفر این دستگاه به صورت ‏ x U  با x 0 , y  2x ‏ y است .بنابراین هر یک از بردارهای ‏x 0 ‏ 1 ‏U x   ‏  2 یک ویژه بردار متعلق به ‏  3 است .ویژه بردار 1  1 ‏  5   2 که به ازای 1 5 ‏U1  ‏x به دست می آید ،دارای طول واحد و لذا ویژه برداری یکه است . برای کاربردهای بعدی خالصه حل مثال فوق را بیان می کنیم . الف ) ماتریس تابع خطی )(f  I تشکیل دادیم . را ب ) دترمینان این ماتریس را مساوی با صفر قرار دادیم و با حل معادله حاصل مقدارهای را ‏ آوردیم .این مقدارها همان ویژه مقدارهای fهستند . بدست پ ) هر یک از ویژه مقدارهای fرا در معادله ماتریسی ‏0 (f  I)   ‏0 قرار دادیم و ویژه بردارهای وابسته به آن را پیدا کردیم . ت ) به ازای هر ویژه مقدار یک ویژه بردار با طول واحد انتخاب کردیم . مشاهده می کنیم که در این روش معادله ‏det(f  I) 0 نقش ویژه ای ایفا می کند و لذا نام ویژه ای هم دارد . 3. 5. 3تعریف فرض می کنیم تابع خطی ‏n ‏n ‏f : ‏R ‏ ‏R تابع خطی و ) I صورت(fزیر است. به ) A (aij ماتریس آن باشد .در این صورت ماتریس a1n  ‏a2n  ‏ ‏  ‏ ‏ ann    ‏ ‏ ‏a12 0 0 0  a11   ‏a22   ‏ 0 0  a21 ‏ ‏ 0  0   ‏  ‏an2 0 0    an1 ‏ ‏0 ‏A  I A   ‏0 ‏ ‏0 این ماتریس را ویژه ماتریس ، fمعادله ‏det(A  I) 0 را معادله مشخصه fو چند جمله ای درجه nام طرف چپ معادله را چند جمله ای مشخصه fمی نامیم .روشن است که ریشه های معادله مشخصه fویژه مقدارهای f هستند . 3 .5 .4مثال ‏n ‏n ‏f : ‏R ‏ ‏R عبارت است از الف ) ماتریس تابع خطی ‏1  1 ‏A  ‏ 0 1 ‏ ‏ ویژه ماتریس ،معادله مشخصه ،ویژه بردارها ویژه مقدارهای fرا پیدامی کنیم حل ویژه ماتریس fعبارت است از 0  ‏  0 1  ‏ 0    0 1   ‏ ‏  ‏ ‏1  1 ‏A   I  ‏ ‏ ‏0 1  و لذا معادله مشخصه fرا به صورت زیر به دست می آوریم . 1   1 ‏det(A  I)  ‏(1 )2 0 0 1  برای پیدا کردن ویژه بردارهای fفرض می کنیم باشیم : ‏ x ‏V ‏ ‏ yیک ویژه ‏  ‏f (V) V 1V بردار fباشد ،باید داشته 1  1  x  x ‏0 1   y  y ‏ ‏     و یا از حل این معادله ماتریسی نسبت به xو yمالحظه می کنیم که بنابراین ‏1 ‏V x   یک ویژه ‏0 ‏1 ‏V x  ‏0 بردار وابسته به ویژه مقدار ‏ 1 است .  3. 5. 5تعریف ماتریس فرض می کنیم ) A (aij باشد .منظور از یک ویژه مقدار Aعددی چون است ‏nn ‏ طوری که به ‏det(A  I) 0 بردار غیر صفر ‏ x1  ‏V    را یک ویژه ‏ xn  بردار Aمی نامیم اگر ‏AV  یا ‏V(A  I)V 0 اکنون که با مفاهیم ویژه مقدار و ویژه بردار برای یک تابع خطی یا برای یک ماتریس آشنا شدیم ،چند نکته ضروری است . الف ) برخی ویژه مقدارهای برخی ماتریسها ممکن است اعداد حقیقی نباشد بنابراین سوءال این است که ویژه مقدارهای کدام ماتریسها همگی حقیقی اند؟ ب ) مجموعه ویژه بردارهای تابع خطی ‏f : Rn  R n مستقل خطی است . در مورد بند (الف) مثالی می آوریم و ثابت می کنیم که هر ماتریس متقارن حقیقی دارای ویژه مقدارهای حقیقی است .در مورد بند (ب) قضیه ای را بدون اثبات بیان می کنیم .  3 .5 .7مثال ویژه مقدارهای ماتریس ‏1  2 ‏A  ‏ 1 ‏ 1 ‏ ‏ ریشه های معادله ‏A  I 0 هستند. 1  ‏2 ‏A  I  ‏2 1 1  1  داریم مشاهده می کنیم که ریشه های معادله . ‏ i ‏2 10 عبارت اند از اعداد مختلط  3 .5 .8لم اگر ماتریس تابع خطی ‏f : R2  R2 متقارن باشد ،آنگاه به ازای هر و 2 XR ‏Y R داریم )f(X),Y=X,f(Y که در آن « »0نشانگر ضرب داخلی در ‏R2 است . 3 .5. 10قضیه ‏n ‏n ‏f : ‏R ‏ ‏R متقارن باشد ،آنگاه تمام ویژه مقدارهای آن حقیقی اگر ماتریس تابع خطی هستند ،به عالوه ویژه بردارهای وابسته به ویژه مقدارهای متفاوت متعامدند و لذا مجموعه این بردارها مستقل خطی است. مـثاـل11. 5. 3 درستی حکمهای قضیه قبل را در مورد ماتریس .بررسی می کنیم ‏ 2  2 0 ‏A   2 1  2 ‏ 0  2 0  حل ویژ معادله مشخصه ماتریس Aعبارت است از 0 ‏ 2 0 یا ‏ 2   2 ‏det(A  I)   2 1  ‏2 0 1   2  2  2 )(2  ‏ ‏2  0  3  32  6  8 0 ویا باالخره یکی از ریشه های این معادله 1 0 است و دو ریشه دیگر از حل معادله ‏2  2  8 1 بدست می آیند .این ریشه ها عبارتند از 2  2و  3 4 بنابراین ویژه مقدارهای Aحقیقی هستند . اکنون ویژه بردارهای وابسته به این ویژه مقدارها را بدست می آوریم الف ) فرض می کنیم  xویژه برداری وابسته به ویژه مقدار ‏V1  y ‏ z باشد .در این صورت باید داشته باشیم ‏1 1 یا ‏AV1 V1 (A  I)V1 0 و از این رو ‏ 1  2 0   x 0 ‏  2 0  2  y 0 ‏ 0  2  1  z 0 این معادله ماتریسی معادل است با دستگاه معادله های خطی ‏x  2y 0 ‏ ‏ 2x  2z 0 ‏ 2y  z 0 ‏ از حل این دستگاه بدست می آوریم ‏ 2 ‏V1 y 1  ‏  2 که در آن yعدد حقیقی غیر صفر دلخواهی است . ب ) یک ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار ‏ 2را2  ‏ x می V2 ‏ y نامیم،داریم ‏ z ‏  ‏AV2  2V2 یا ‏ 4  2 0   x 0 ‏  2 3  2  y 0 ‏ ‏    ‏ 0  2 2   z 0 مانند (الف ) این معدله را نسبت به x ،y ،zحل می کنیم و بدست می آوریم ‏ y ‏ 2  1 ‏y ‏V2  y   2 ‏  2  2 ‏ y   ‏  که در آن yعدد حقیقی غیر صفر دلخواهی است . پ ) و باالخره با اندکی محاسبه ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار ‏ 3 4 صورت زیر را به ‏y   2 ‏V3   2  2  1  بدست می آوریم . که در آن y  R  0دلخواه است .مشاهده می کنیم که ‏V1 V2 V2 V3 V3 V1 0 ‏V1و V2و V3دو به دو متعامدند . در مثال فوق اگر ویژه بردارهای یکه متناظر با ویژه مقدارهای ‏ 3 4 ترتیب به و 1 1و2  2را U1و U2وU3 داریم بنامیم ، ‏ 2 ‏ 1 ‏  2 1 1 1 ‏U1   1  , U2   2 , U3   2  3 3 3 ‏  2 ‏ 2 ‏  1 توجه کنید که U1و U2و U3 مستقل خطی و از این رو پایه ای برای استR3. ( 3 . 5. 14ماتریس های متشابه ) فرض کنید A ،Bدو ماتریس مربع ‏nn باشند .می گوییم Aبا Bمتشابه است اگر ماتریس نامنفرد Cوجود داشته باشد بطوری که ‏B C 1AC 3 .5 . 15تعریف ماتریس مربع Aرا قطری شدنی می نامیم اگر با یک ماتریس قطری ) D diag(d1,...,dn متشابه باشد .در این صورت D ،را مشابه قطری Aمی نامیم . اکنون سوءال این است که چگونه مشابه قطری یک ماتریس را پیدا کنیم .برای این منظور قضیه زیر را بدون اثبات می آوریم .  3 .5 . 16قضیه فرض می کنیم Aماتریسی ‏nn باشد A .با ماتریس قطری Dمتشابه است ،اگر و فقط اگر مجموعه ویژه بردارهای آن مستقل خطی و شامل nبردار باشد .در این صورت اعضای روی قطر ، Dویژه مقدارهای Aهستند . 3 .5 . 17مثال الف ) نشان می دهیم که ماتریس ‏ 1  3 3 ‏A  3  5 3 ‏ 6  6 4 قطری شدنی است . حل به آسانی دیده می شود که 2 ‏   2    4 0 2 بنابراین 1 و 2 4ویژه مقدارهای Aهستند .به ویژه مقدار ‏1  2 مضاعف دو ویژه بردار ‏ 1 ‏1 ‏V1  0  , V2 1 ‏  1 ‏0 وابسته است .به همین ترتیب ویژه بردار چون مجموعه ‏ 1 ویژه ‏ 1بهV3 ‏ 2 مقدار وابسته2است . ‏4 ‏ v ,v ,v  1 2 3مستقل خطی است ،پس Aقطری شدنی است .حال با استفاده از این ویژه بردارها ماتریس Cرا به صورت ‏ 1 1 1 ‏V3   0 1 1 ‏  1 0 2 تشکیل می دهیم .به آسانی دیده می شود ‏C  V1 V2 AC  AV1 AV2 AV3    2V1  2V2 4V3  C  V1 V2 V3    2 0 0   2 0 0  0  2 0 C 0  2 0      0 0 4  0 0 4   2 0 0 C 1AC  0  2 0  0 0 4 بنابراین . قطری شدنی استA یعنی  3 .5 .19تعریف ماتریس مربع Cرا متعامد می نامیم اگر بنابراین اگر ) C (cij ماتریسی ‏CC I ‏nمتعامد باشد و ‏nو ) CC (ij آنگاه بنابه تعریف حاصلضرب دو ماتریس و با توجه به تعریف ترانهاده ماتریس داریم ‏i j ‏i j ‏0 ‏ij  cikcjk  ‏k1 ‏1 ‏n بنابراین ،طول هر سطر یا ستون یک ماتریس متعامد به عنوان برداری متعلق به مساوی است با 1و به عالوه دو سطریا ستون ناهمنام اینگونه ماتریسها بر ‏Rn هم عمودند .  3. 5. 20مثال ماتریس ‏ 2 1 2 1 ‏C    1  2 2 3 ‏  2 2 1 متعامد است ،زیرا طول هر سطر یا ستون آن 1است و هر دو سطر یا ستون نا همنام آن متعامدند ،البته با پیدا کردن حاصلضرب بودن Cپی برد . نیز ‏CC متعامد می توان به  3 .5 .22قضیه اگر n،....، 2، 1ویژه مقدارهای ماتریس متقارن Aباشد آنگاه ماتریس متعامد Cوجود دارد ‏ ‏ 1 ‏ ‏C 1AC  ‏2 ‏ ‏  ‏ n  که سوال این است که Cرا چگونه تعیین کنیم .به مثال زیر توجه کنید . 3 .5 .23مثال می دانیم که ویژه مقدارهای ماتریس عبارتند از  3 4و 2  2و 1 1 ‏ 2  2 0 ‏A   2 1  2 ‏ 0  2 0  ویژه بردارهای یکه متناظر با این مقدارها عبارت اند از  2  1 1 1 U1   1  , U2   2 , 3 3   2  3 C 1  U1 U2 3   2 1 U3   2  3  1   2 1  2 1 U3    1 2 2  3   2 2  1 روشن است که ماتریس متعامد است وداریم  2 1  2  2  2 0   2 1  2 1 1  C AC C AC   1 2 2    2 1  2  1 2 2  9   2 2  1  0  2 0    2 2  1 0  1 0 0 9 0 1  0  18 0  0  2 0 9 0 0 36 0 0 4 3 3 ‏f : ‏R ‏ ‏R نسبت به پایه این بدان معناست که اگر Aماتریس تابع خطی ‏R3 متعارفی باشد ،آنگاه این ماتریس نسبت به پایه مرتب ‏ U1و U2وU3 به صورت قطری فوق است . بنابراین به ازای ماتریس متقارن ‏nایnچون Aبا ویژه مقدارهای اگر ویژه بردارهای یکه متناظر با آنها را به ترتیب ماتریس مورد نظر خواهد بود . ‏U2  Un  ‏ U1 U1و U2و...و بنامیمUnآنگاه  3 .5 .25تعریف هر عبارت به صورت و یا 2 2 ‏ax  cxy by ‏ax2  2dxy by2  2cyz 2fzx cz2 را یک صورت درجه دوم دو یا سه متغیره می نامیم . مشاهده می کنیم که اگر ‏ x ‏X    yیا ‏ x ‏X  y ‏ zآنگاه صورتهای ‏  می توان به ترتیب به صورت ‏ a c ‏X ‏X ‏ ‏ c b درجه دوم دو یا سه متغیره را a d f ‏X d b e X ‏ f c c یا نوشت .ماتریس متقارن موجود در هریک از این صورتها را ماتریس آن صورت درجه دوم می نامیم . 3 .5 .26مثال ‏x2  y2 الف ) عبارت دوم عبارت است از ب ) عبارت یک صورت درجه دوم دو متغیره است .ماتریس این صورت درجه 0 1 ‏1 ‏0 ‏ 2 2 2 ‏x ‏ 3 ‏xy ‏ ‏y یک صورت درجه دوم دو متغیره درجه دوم عبارت است از 3 ‏ 2 ‏ 2 ‏3 ‏ ‏ 1 ‏2 ‏ است ،ماتریس این صورت 2 2 2 2 ‏x ‏ 3 ‏xy ‏ ‏y ‏ 2 ‏z پ ) عبارت  2xz یک صورت درجه دوم سه متغیره است .ماتریس این صورت درجه دوم عبارت است از 3  1 2 ‏ 1 0 ‏ 0 2 ‏ ‏ ‏1 ‏3 ‏ ‏2 ‏1 ‏ روش نوشتن ماتریس صورت درجه دوم ‏ax2  by2  2z2  2dxy 2eyz 2fzx را در شکل زیر شان داده ایم . ‏z ‏y ‏x ‏f ‏d ‏a ‏x ‏e ‏b ‏d ‏y ‏c ‏e ‏f ‏z اکنون فرض می کنیم Aماتریس یک صورت درجه دوم سه متغیره و آن باشند .می دانیم که اگر ‏1و2و 3 باشند آنگاه ‏1و2و 3 مقدارهای ویژه U1و U2وU3 ویژه بردارهای یکه متناظر با ویژه مقدارهای ‏ ‏ 1 ‏ ‏C 1AC  ‏2 ‏ ‏  ‏ 3  که در آن ‏C  U1 U2 U3  بنابراین اگر ‏  ‏ x ‏Y   , X  y CY ‏   ‏ z ( *) آنگاه 2 2 2 ‏Y 1  2  2 ‏ 1 ‏ ‏ ‏XAX YCACY Y  ‏2 ‏ ‏ ‏ 3  مشاهده می کنیم که در دستگاه مختصاتی که محورهای آن در امتداد U1و U2وU3 باشند ،صورت درجه دوم داده شده حالت ساده 2 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 3 3 1را به خود می گیرد ،این حالت را صورت متعارفی صورت درجه دوم و Cرا ماتریس تغییر مختصات می نامیم .معادله ماتریسی ( *) یا دستگاه معادله های ‏x c11  c12  c13 ‏ ‏ y c21  c22  c23 ‏ ‏z c31  c32  c33 ) C (cij دستگاه معادالت تغییر مختصات می نامیم . را که در آن  3 .5 .28مثال الف ) فرض می کنیم ‏ 7  2 1 ‏A   2 10  2 ‏ 1  2 7  ماتریس یک صورت درجه دوم باشد .دستگاه مختصاتی پیدا می کنیم که این صورت درجه دوم در آن دستگاه دارای جمله مخلوطی به صورت xy،yzیا zxنباشد .سپس این صورت را به صورت متعارفی در می آوریم . حل ابتدا ویژه مقدارهای Aو سپس ویژه بردارهای متناظر با این مقدارها را بدست می آوریم . داریم 1 ‏ 2  3  242  180 ‏  4320 7   3 12و 1 2 6 ‏2 7  10  ‏2 ‏2 1 اکنون ویژه بردارهای متناظر با این ویژه مقدارها را پیدا می کنیم .فرض کنید ‏ x ‏X  y ‏ z یک بردار دلخواه غیر صفر باشد x .یک ویژه بردار متناظر با دستگاه ‏2 6 است. 1اگر جواب ‏ 1  2 1   x 0 (A  6I)X   2 4  2  y 0 ‏ 1  2 1   z 0 یا جواب معادله ‏x-2y+z=0 باشد چون هر یک از بردارهای ‏ 1 ‏X 2  0  ‏  1 , ‏1 ‏X1 1 ‏1 جوابهای دستگاه مذکورند ،پس به ترتیب می توانند ویژه بردارهای متناظر با محسوب شوند . یک ویژه بردار متناظر با ‏ 12 3 جواب غیر صفری از دستگاه ‏  5  2 1   x (A  12I)X   2  2  2  y 0 ‏ 1  2  5  z یا دستگاه است . ‏5x  2y  z 0 ‏ ‏2x  2y  2z  0 ‏ ‏x  2y  5z 0 با حذف yاز دو معادله اول ،این دستگاه معادل می شود با دستگاه ‏x  z 0 ‏ ‏x  2y  5z 0 ‏1و2 از این رو ،به ازای هر x 0 بردار یک بردار ویژه متناظر با ‏ x  ‏ 1 ‏X   2x x  2 ‏ x  ‏ 1  ‏ 3 12 است . ‏i درستون iام آن تشکیل می دهیم. حال ماتریس Cرا با قرار دادن ویژه بردار یکه متناظر با 1 2 1 6  ‏ 2 0 6 ‏1 1 ‏ 2 6 1 3 1 3 1 3 ‏ ‏ ‏ ‏C  ‏ ‏ ‏ ‏ .به راحتی دیده می شود که این ماتریس متعامد است حال دستگاه مختصاتی را در نظر می گیریم که امتدادهای محورهای آن به ترتیب ستونهای اول ،دوم و سوم Cهستند .اگر ‏Cباشند ،اعداد ستونهایV3اول ،دوم سوم به ترتیب Vو V2و 1 وجود دارند که 2و 3 بطوری و 1 ‏ x ‏ 1  ‏X  y U11  U22  U33 C 2  ‏ z ‏ 3  سه معادله حاصل از این دستگاه معادالت ،معادالت تغییر مختصات هستند .در نتیجه زیرXدر می آید به صورت صورت درجه دوم مورد نظر ،یعنی ‏AX ‏ 1  ‏3  CAC 2  ‏ 3  ‏XAX  1 2 ‏612  622 1223 هدفهای کلی هدف کلی از ارائه این فصل آشناکردن دانشجو با مفهوم رویه ،رویه های درجه دوم ورده بندی آنها ودستگاههای مختصات معروف در فضای سه بعدی است. هدفهای رفتاری دانشجو پس از مطالعه این فصل باید .1مفاهیم مربوط به رویه های استوانه ای ودوار را بداندو به کار ببرد. .2رویه های درجه دوم رابا استفاده از روش های جبرخطی فصل 3شناسایی کند. .3از روی معادله متعارفی درجه دوم ،شکل رویه معرف آن را تشخیص دهد. .4دستگاههای مختصات استوانه ای و کروی را بشناسد واز آنها استفاده کند.  4 .1رویه های استوانه رویه های دوار 4 .1 .1تعریف فرض کنید Cخمی واقع بر صفحه ای چون Pو Lخطی ناواقع براین صفحه است که باآن موازی نیست .خطی که متکی بر Cو موازی با Lحرکت کند رویه ای تولید می کند .این رویه را استوانه یا رویه استوانه ای می نامیم. خم Cرا هادی استوانه وهر یک از خطهای موازی با Lو متکی بر خم Cرا یک مولد استوانه می نامیم. ‏ ‏L ‏C ‏P  4 .1 .2مثال: می دانیم که معادله های ‏x2  y2 1 , z 0 معادله های دایره به مرکز ( )0 ,0 ,0و شعاع r =1در صفحه xoyهستند .حال اگر خطی بر این دایره تکیه و موازی با محور zحرکت کند ،یک استوانه قائم پدید می آورد. معادله های پارامتری خطی ازاین نوع که از نقطه عباتست از )(x0, y0,0 واقع بردایره میگذرد ‏x x0 , y y0 , z t با توجه به این معادله ها می بینیم که zدلخواه است و از تا تغییرکند .ازاین معادله می آوریم. هاx0 ‏ می تواند و y0را حذف می کنیم و معادله زیر را بدســـت ‏x2  y2 1 )(1 عدم وجود zدر این معادله نشانه دلخواه بودن zاست .بنابراین( )1معادله مورد بحث است .در شکل زیر قسمتی از این استوانه نشان داده شده است.  4 .1 .4معادله استوانه ‏R3 بطور کلی هر خم Cدر فضای سه بعدی مجموعه جواب های یک دستگاه دو معادله سه مجهولی است .حال اگر این معادله هارا )g(x,y,z ‏f(x,y,z) =0و بنامیم آمگاه خم Cرا به صورت ‏f (x, y, z) 0 ‏C:  ‏g(x, y, z) 0 نشان می دهیم. حال فرض کنید هادی استوانه ای توسط دستگاه معادله های ‏f (x, y, z) 0 ‏C:  ‏g(x, y, z) 0 )(2 داده شده باشد .اگر خط Dیکی از مولدهای این استوانه ای باشد D ،را می توان فصل مشترک دو صفحه در نظر گرفت ،یعنی ‏a1x  b1 y  c1z  ‏D:  ‏a2x  b2y  c2z  توجه کنید که وقتی در این دستکاه و حاصل می شوند. ‏ )(3 تغییر کنند خطوط موازی D حال فرض کنید ) A(x,y,zنقطه ای روی استوانه ای باشد .دراین صورت ‏ ‏ و باید چنان اختیار شوند که نقطه ) A(x,y,zدر معادله های ( )3صدق کند. از طرف دیگر به ازای این مقادیر و ‏ خط Dباید خم Cقطع کند ،بنابراین یــعنیـیـننــقطه بــاید در ا Dوز بــاید در نــقطه اـیچـون) B(s,t,uمـشترکبــاشـند. معادله های ( )2و( )3به طور همزمان صدق کند ،یعنی ‏f (s, t, u) 0 ‏ ‏g(s, t, u) 0 ‏a1s  b1 t  c1u  ‏ ‏a2s  b2t  c2u  اکنون بین این معادله ها u , t , sرا حذف می کنیم و در معــــادله حاصل قرار می دهیم ‏a2x  b2y  c2z  ومعادله استوانه را در نظر می گیریم. , ‏ a1x  b1 y  c1z  4 .1 .5مثال: می خواهیم معادله استوانه ای را بنویسیم که Cهادی آن دارای معادله های ‏ y 4x2 ‏ ‏z 0 ومولد آن موازی خط = y = z xباشد. حل: معادله های مولد را به صورت در نظر می گیریم .حال از دستگاه معادله های ‏ x  y  ‏D:  ‏ x  z  ‏ y 4x2 ‏ ‏z 0 ‏ ‏ x  y  ‏ ‏ x  z   z,y, xرا حـذفمـیکــنیم ،نــتیجه مـیشــود . , y    , (   ) 42 ‏x  در نتیجه معادله استوانه مورد نظر عبارتست از (x  z  x  y) 4(x  z)2 یا 4x2  4z2  8xz  y  z 0 4 .1 .7تعریف خم Cو خط lرا که هردو روی یک صفحه هستند ،در نظر می گیریم .اگر Cحـول lدوراـنکــند ،روـیـه اـیبــه نــام روـیـه دوار حـاصـلمـیشــود .خـم Cرا یک مولد و خط lرا محور دوران این رویه می نامیم. خم C خم l می خواهیم معادله رویه دوار ی را که از دوران خم Cحول محور lپدید می آید بدست آوریم.  4 .1 .8مثال ‏y x2 خم حول محور yدوران می کند ،معادله رویه دوار حاصل را پیدا کنید. حل: ‏y x2 وقتی حول محور yدوران می کند هر نقطه اش دایره ای پدید می آورد که مرکز آن روی محور yاست. ‏y ‏z ‏K ‏B ‏j ‏A ‏o ‏y ‏D ‏x )B(x1, y1, z فرض کنید نقطه دلخواهی روی این رویه باشد .از Bصفحه عمود بر محور دوران ،محور Oyرا رسم می کنیم تا رویه را در دایره ای به مــرکز A و خم Cرا در نقطه Dقطع کند .مختصات Aعبارتست از( )y ,0,0اگر Dدارای )(x, y,0 مختصات باشد ،باید داشته باشیم. ‏y x2 ‏y y , چون فاصله Dو Bاز نقطه Aباهم برابر است ،داریم: (x  0)2  (y  y)2  (0,0)2  (x  0)2  (y  y)2  (z  0)2 واز این رو ،با توجه به این رابطه و روابط()4معادله رویه دوار به صورت زیر حاصل می شود ‏y x2  z2 این رویه را سهمیوار دوار می نامیم.  4 .1 .10مثال فرض کنید خط Dواقع بر صفحه xoyو موازی با محور ،yحول این محور دوران کند .در این صورت یک استوانه پدید می آید .می خواهیم معادله این استوانه را به دو طریق بدست آوریم. ‏z حل: راه حل اول .به شکل زیر توجه کنید. ‏B ‏y ‏A ‏D ‏o ‏C ‏x فرض کنید ) B(x,y,zنقطه دلخواهی واقع بر استوانه باشد .این نقطه بر دایره به مرکز ) A(0,y,0واقع است .این دایره خط Dرا که دارای معادله x =cاست در نقطه ) C(c,y,0قطع می کند .از تساوی AC=BCنتیجه می شود: (c  0)2  (y  y)2  (0 0)2 (x  0)2  (y  y)2  (z  0)2 واز این رو ،معادله استوانه عبارتست از ‏x2  z2 c2 راه حل دوم .خط Dمحل تالقی دو صفحه x - c=0و z = 0است .بنابراین ،هر یک از مولدهای استوانه به صورت ‏x  ‏ ‏z  است .معادله خمی که این خط ها متـکی بر آن به موازات Dقرار دارند و استوانه را می سازند عبارتست از 2 2 2 ‏x  z c ‏ ‏ y 0 در نتیجه معادله استوانه عبارتست از ‏x2  z2 c2  4 .2رویه های در جه دوم اکنون که با رویه های استوانه ای و رویه های دوار آشنا شدیم ،رویه هایی را معرفی می کنیم که تعمیم طبیعی خمهای درجه دوم ،یعنی مقاطـــع مخروطی هستند.این رویه ها،رویه های درجه دوم نامیده می شونــد. کره یک مثالی از یک رویه در جه دوم است.  4 .2 .1تعریف نمودار معادله در جه دوم سه مجهولی * Ax2  By2  Cz2  Dxy Eyz Fzx Gx  Hy Iz J 0 را که درآن J, I, H, G, F, E, D, C, B, Aاعداد ثابت و F, E, D, C, B, Aهمه صفر نیستند ،یک رویه درجه دوم می نامیم. ‏به عبارت دیگر یک رویه درجه دوم مجموعه نقاطی چون ( )x,y,zمتعلق به فضای سه بعدی 3 ‏R است که در معادله * صدق می کنند.  4 .2 .2مثال در معادله * قرار می دهیم الف) A = B = C =1 = -Jو D = E = F = G = H = I =0و به دست می آوریم: ‏x2  y2  z2 1 مشاهده می کنیم که این معادله ،معادله کره به مرکز (0و 0و )0و شعاع 1 است ،بنابراین می توان ادعا کرد که برخی از رویه های دوار رویه در جــه دوم نیز هستند. ب) با قرار دادن A = B = 1و I = -1و C = D = E = F = G = H = J = 0و به دست می آوریم. ‏z2 x2  y2 ‏دیدیم ،این معادله معرف سهمیوار دوار است .بنابراین سهمیوار دوار نمونه دیگری ازیک رویه درجه دوم است. سهمیوار بیضوی ‏x2 y2 z2 ‏ 2 2 2 ‏a b c x2 y2 z2  2  2 0 2 a b c x2 y2 z2  2  2 1 2 a b c z  x2  y2  1 z  x2  y2  1  4 .2 .14مثال رویه معرفی شده توسط معادله درجه دوم زیر را شناسایی کنید. 7 8 2x2  y2  4xy  4yz 3x  6y 12z 24 حل: برای این منظور نخست قسمت درجه دوم طرف چپ معادله فوق یعنی ‏P(x, y, z) 2x2  y2  4xy  4yz را درجه دوم نظر می گیریم P(x,y,z).یک صوررت درجه دوم سه متغیره است. صورت ماتریسی) P(x,y,zعبارتست از ‏ 2  2 0   x ‏P(x, y, z) [x y z]   2 1  2  y ‏ 0  2 0   z ویژه مقدارهای ماتریس ضرایب صورت درجه دوم مذکور عبارت اند از ‏1 1 , 2  2 ,  3 4 ویژه بردارهای یکه متناظر با این ویژه مقدارها عبارت اند از ‏  2 1 ‏ 3   2  3 ‏  1 اکنون تغییر مختصات * , ‏ 1 1 ‏2   2 3 ‏ 2 ‏ 2  x 2   y ‏ 1  z , ‏ 2 1 ‏1   1  3 ‏  2 ‏ x ‏ 2 1 ‏ y  1  1 2 ‏  3 ‏ z ‏  2 2 ) P(x,y,zرا بــه صــورـتزـیر در مـیآورد ‏P(x, y, z) x2  2y2  4z2 قسمت درجه اول معادله داده شده را نیز با استفاده * برحسب ‏x , y , z می نویسیم و بدست می آوریم 3x  6y 12z  4x 13y  2z در نتیجه معادله داده شده برحسب x , y , zبه صورت زیر در می آید. 13 2 1 )  4(z  )2 8 4 4 (x  2)2  2(y  ‏مشاهده می کنیم که این معادله ،معرف یک هذلیوار یک پارچه است.  4 .3مختصات استوانه ای وکروی ‏هدف این قسمت تعمیم مختصات قطبی به فضای سه بعدی است. بنابراین دستگاههای مختصات استوانه ای و کروی را معرفی وبرخی ویژگیهای آنها را بررسی می کنیم. ** ‏z ‏A ‏O ‏y ‏r ‏B ‏x ‏ ‏y ‏C ‏x  4. 3 .1تعریف اگر ) A(x,y,zنقطه ای در دستگاه دکارتی xyzو Bتصویر قائم آن بر صفحهxy باشد فرض کنید و اگر )(r, یک دسته مختصات قطبی ، Bبا محور قطبی ـختصاتـســـتواـنـهاـی ا Oxوـقـطب oباشد ،آـنگــاهـ )(r, , zراـیـکدـسـته م نقطه Aمی نامیم. دامنه تغییرات rو را به ترتیب به بازه های 0, و   , محدود می کنیم و r =0را معرف محور zمی گیریم. مشاهده می کنیم که با این محدودیت ها به هر نقطه در فضا فقط یک دسته مختصات استوانه ای نسبت داده می شود.  4 .3 .2رابطه مختصات دکارتی و استوانه ای فرض می کنیم ( )x,y,zو) (r, , zبه ترتیب مختصات دکارتی و استوانه ای نقطه Aباشند. در مثلث قائم الزاویه ( OCBقائمه در )Cشکل ** داریم ()1 ‏y rsin , ‏x rcos به عالوه بنا به تعریف داریم )(2 در نتیجه اگر مختصات استوانه ای ‏z =z )(r, , z نقطه Aداده شده باشند از روابط ( )1و( )2مختصات دکارتی Aبه دست می آیند. برعکس ،باتوجه به شرایطr0 که ‏y ‏x ‏tan  ‏x 0 , ‏ 3 ‏x 0 ‏y 0 و    از روابط ( )1نتیجه می شود ‏r  x2  y2 , ‏ بنا براین اگر مختصات دکارتی ( )x,y,zنقطه Aداده شده باشد آن گاه مختصات استوانه ای آن عبارت خواهد بود از ‏z=z ‏ ‏ 1 y  ‏tan ‏x 0 ‏  ‏ ‏ x ‏ ‏ ‏  ‏x 0 , y 0 ‏2 ‏ ‏ 1 y  ‏ ‏ ‏tan ‏x 0 ‏  ‏ ‏ x ‏ ‏r  x2  y2  4 .3 .3مثال )A(1, 1, 2 نقطه در دستگـاه مختصات دکارتی داده شده است ،مختصات استوانه ای آن را تعیین می کنیم. حل: فرض می کنیم که)(r, , z , مختصات استوانه ای Aباشد ،داریم ‏z 2 , r  11  2 ‏ ‏  1 ‏ tan  ‏  4 ‏ 1 ‏1  4 .3 .6استوانه فرض کنید cعددی ثابت ونامنفی باشد .در دستگاه مختصات استوانه ای مجموعه ‏A  (r, , z) r c استوانه ای است که خم هادی آن ‏z 0 ‏ 2 2 2 ‏x ‏ ‏y ‏ ‏c ‏ و مولد آن موازی با محور zاست .معادله این استوانه در دستگاه مختصات استوانه ای ‏r=c ودر دستگـاه مختصات دکارتی ‏x2  y2 c2 است. z ‏y ‏x استوانه r = c  4 .3 .7نیم صفحه فرض می  0    , عددی ثابت باشد .در دستگاه مختصات استوانه ای کنیم مجموعه ‏B  (r, , z)  0 یک نیم صفحه است .بسته به ازای  0این نیم صفحه عبارت است از تمام نقاط صفحه xoyکه شامل نیمه نامنفی محور xاست. ‏0  4 .3 .8مثال )r 2(1 cos نمودار معادله را در دستگاه مختصات استوانه ای رسم کنید. حل: این نمودار عبارت است از مجموعه نقا ط ‏A  (r, , z) r 2(1 cos) بنابراین مختص zعددی است اختیاری . به ازای r 2(1 cos،z) = 0 َ Aیا به بیان دیگر معادله یک دلنما در صفحه xoyاست .بنابراین ،مجموعه )r 2(1 cos یک استوانه است که هادی آن دلنمای مذکور و مولد آن موازی با محور zاست . z ‏y ‏x قسمتی از نمودار معادله )r 2(1 cos  4 .3 .10تعریف ) مرتب (, , را مختصات کروی نقطه Aمی نامیم. سه تایی 0 چون  معرف یک نیم صفحه ومحور ozواقع در آن محور توجه کنید که قطبی است ،دامنه تغییرات ‏ ،عبارت است از ] [0, یعنی 0  4 .3 .11رابطه مختصات دکارتی و کروی اگر ( )x,y,zمختصات دکارتی نقطه Aباشد .آن گاه مختصات کروی آن)(, ,  از روابط زیر به دست می آیند. ‏x 0 ‏x 0 ‏x 0 ‏ ‏ 1 y  ‏tan ‏  ‏ ‏ x ‏ ‏ ‏  ‏2 ‏  1 y  ‏tan  x  ‏  ‏ ‏  x2  y2  z2 اگر(, ,  برعکس ) مختصات کروی نقطه Aبا مختصات دکارتی ()x,y,z باشد آن گاه با توجه به شکل اسالید بعدی وروابط فوق داریم ‏z  cos ‏x OBcos  sin cos ‏y OBsin  sin sin z A(, , )    y x  r B مختصات کروی  4 .3 .12مثال نقطه ) A(-2, 1, -3در دستگاه مختصات دکارتی داده شده است .مختصات کروی این نقطه را پیدا می کنیم. حل: داریم ‏  x2  y2  z2  41 9  14 ‏z 3 ‏cos 1 ‏cos 1(0/ 80002 ) 3657 ‏ 14 در مورد داریم ‏ 2 2 ‏cos  ‏ ‏0/ 8944 2 5 ( 2) 1 ‏ cos 1 ولذا داریم ‏ ‏ ‏ 180 ‏ 2636 153 24 4 .3 .15 الف) معادله کره :می دانیم که ‏x2  y2  z2 r2 معادله کره به مرکز Oو شعاع rاست این معادله در دستگاه مختصات کروی ‏ r به صورت نوشته می شود. ب) معادله نیم صفحه :همانند دستگاه مختصات استوانه ای اگر ‏  0  عددی ثابت باشد  0 ،معرف یک نیم صفحه است. پ) معادله مخروط :اگر)0  (0, عددی ثابت باشد ،می خواهیــم نمودارمعادله  0 راپیدا کنیم. ‏0    / 20  00  / 2  4 .3 .16مثال صورت دکارتی معادله کروی 6sin sin  3cosرا  بنویسید. حل: برای این کار دو طرف معادله داده شده را در ضرب می کنیم تا به دست آوریم. ‏2 6 sin sin  3 cos اکنون با توجه به روابط تعریف شده داریم: ‏x2  y2  z2 6y  3z ویا 3 2 45 )  2 4 بنابراین معادله داده شده ،معادله کره به ‏x2  (y  1)2  (z  3 ) (0,1, مرکز 2و شعاع 3 5 2است. هدفهای کلی هدفهای کلی این فصل را می توان به صورت زیر خالصه کرد. .1آشناکردن دانشجو با توابع برداری یک متغیره ،حساب دیفرانسیل و انتگرال وکاربردهای این توابع .2مطالعه حرکت در صفحه و فضا با استفاده از ویژگی های توابع برداری .3به کاربستن مطالبی از فصل های گذشته در این فصل . هدفهای رفتاری دانشجو پس از مطالعه این فصل بایدبتواند .aحد ،مشتق وانتگرال توابع برداری یک متغیره را محاسبه کند. .bخم و مسیر را تعریف ومعادله های پارامتری برخی از مسیر ها را پیدا کند .cخم هموار را بشناسد ،طول خم داده شده را محاسبه و در صورت امکان خم را توسط طول خم پارامتری کند. ت -برخی خم ها ی معروف از جمله سیکلوئید (چرخزاد)و ...رابشناسد وطول و انحنای آنها را محاسبه کند. ث -مفاهیم مربوط به حرکت در یک صفحه ،ازجمله سرعت ،شتاب ،تندی، مولفه های قائم و مماسی شتاب را محاسبه کند. ج -دستگاه مختصات متحرک TNرا به ازای هر مسیر داده شده به دست آورد و از آن برای محاسبه انحنای مسیر ،و معادله دایره انحنا استفاده کند. چ -فرمول های مربوط به انحنای مسیر را بداند. ح-دستگاه مختصات فضایی TNBرا در هر نقطه از مسیر داده شده به دست آوردو با استفاده از آن انحنا وتاب مسیر های فضایی را پیدا کند. خ) فرمول های مربوط به تاب را به دست آورد ومسطح یا نا مسطح بودن خم را تشخیص دهد. د) صفحه قائم و صفحه بوسان و صفحه رکتیفایر را در مورد هر خم داده شده به دست آورد.  5 .1توابع برداری یک متغیره 4 .1 .1تعریف ‏f : A  Rn تابع که در آن ‏A  Rو n = 2و n = 3را یک ‏Rn مجموعه Aرا دامنه و مجموعه ‏Rn به ازای n = 2و تابع برداری یک متغیره را برد این تابع می نامیم. f(t) ،را می توانیم به صورت زیر بنویسیم: ‏f (t)  f1(t) , f2(t)  ‏f1 : A  R که در آن ‏f2 : A  R و توابعی حقیقی روی Aهستند .از طرف 2 چونX (x, y)  R دیگر ) f(tمعرف نقطه ای )(1 )x f1(t است .بنابراین داریم: , )y f2(t معادله های ( )1را معادله پارامتری نگاره fیعنی مجموعه )، f(Aوتوابع و را مولفه های fو متغیر tرا یک پارامتر می نامیم. به همین ترتیب به ازای ، n =3اگر توابع حقیقی باشند که ‏t A ‏f1 : A  R وi = 1 , 2 چنان ‏f (t)  f1(t) , f2(t) , f3 (t) آنگاه این توابع را مولفه های fو معادله های )x f1(t , )y f2(t , را معادله های پارامتری) f(Aو متغیر tرا یک پارامتر می نامیم )z f3 (t  5 .1 .2مثال 2 تابعf : A  R به ازای )A = [0,1 با تعریف ‏f (t)  sin2t, cos2t  دارای مولفه های ‏t A ‏f2(t) cos2t ‏f1(t) sin2t , و مجموعه ) f(Aدارای معادله های پارامتری * ‏y cos2t , ‏x sin2t است. توجه کنید که ) f(Aدایره به مرکز ) O(0,0و شعاع ، r =1یعنی دایره واحد است.در واقع اگر )(x, y)  f (A نقطه دلخواهی متعلق به ) f(Aباشد ،آنگاه ‏ ‏ ‏x2  y2  sin2 2t  cos2 2t 1 یعنی ( )x,yمتعلق به دایره واحد است ،برعکس هر نقطه دلخواه روی دایره واحد را فقط به یک صورت می توان توسط معادله های * با ‏t Aنشان داد. توجه کنید که نمودار ، fیعنی مجموعه ‏t  A ‏G  (t, f (t)) t  A   t, sin2t, cos2t  با نگاره fمتفاوت است .در شکل اسالید بعدی مجموعه های ) f(Aو Gرا در دستگاه مختصات txyنشان داده ایم .توجه کنید که Gروی استـــــــوانه ‏x2  y2 1 قرار دارد. y )0,0,1( f(A) )1,0,0( o t x  5 .1 .3مثال ‏f : R  R3 با تعریف تابع ‏f (t) 2cost,2sint,3t  دارای مولفه های ‏f3 (t) 3t ‏f2(t) 2sint , ‏f1(t) 2cost , است .معادله های پارامتری ) f(Rعبارت اند از: ‏z 3t , ‏y 2sint , ‏x 2cost توجه کنید که در این حالت نمودار fیک زیر مجموعه از ترسیم نیست. ولی ) f(Rزیر مجموعه ای ازR3 ‏R4 است ولذ ا قابل است .داریم ‏f (R)  (x, y, z) x 2cost , y 2sint , z 3t t R مشاهده می کنیم که به ازای هر ) (x, y, z)  f (Rروی استوانه قائم ، ‏x2  y2 4 ‏x2  y2 4 بنابراین هر نقطه واقع است .مجموعه )، f(R یعنی نگاره fرا یک پیچوار(هلیس) مدور می نامیم. ‏x2  y2 4 ‏x  5 .1 .6تعریف می گوئیم تابع ‏f : A  R  R3 برداریf : A  R  R2 با با ‏f (t)  f1(t) , f2(t)  و ‏f (t)  f1(t) , f2(t) , f3 (t) در نقطه ‏t t0 ‏ ‏ ) حد L (l1, l2, l3 ) , L (l1, l2است اگر دارای ‏ limf (t) l , limf (t) l , limf (t) l  1 2 2 3 3 ‏t t0 ‏t t0 ‏ t t0 1 ‏ ‏limf1(t) l1 , limf2(t) l2 ‏t t0 ‏به عبارت دیگر تابع fدر نقطه ‏t t0 ‏t0 حد دارد اگر و تنــــها اگر هر یک از مولفه های آن در این نقطه حد داشته باشد.  5 .1 .9تعریف ‏n ‏f : ‏A ‏ ‏R ‏ ‏R که در آن n = 2یا n = 3در نقــــطه می گوئیم تابع پیوسته است اگر داشته باشیم: ‏t a A )limf (t) f (a ‏t a مـیــامـیماـگر در هر یــکاز نــقاط Aپــیوسـته بــاشد . fرا روـی Aپـیوسـته ن با توجه به تعریف مشاهده می کنیم که تابع fدر نقطه t = aپیوسته است اگر و تنها اگر هر یک از مولفه های fدر aپیوسته باشد .به عبارت دیگر اگر ‏f (t)  f1(t) , f2(t)  یا ‏f (t)  f1(t) , f2(t) , f3 (t) آنگاه fدر aپیوسته است اگر وتنها اگر توابع 3 , f2 , f1 f2 , f1دfرa پیوسته باشند.  5 .1 .10مثال الف) تابع , t R ‏t2 1, sint, et ‏ ‏f (t)  در نقطه t = 0پیوسته است . حل: زیرا همه مولفه های fدر این نقطه پیوسته هستند.در واقع داریم: ‏lim t2 1  1 1 , limsint 0sin0 , limet 1 ‏t 0 ب) ‏t 0 ‏t 0 ‏ sint ‏ ‏f ( ‏t ) ‏ , (ln 2 ‏ ‏t ) 0 ‏ ‏ , t   2 , t درنقطهt=0 تابع ‏ t ‏ حل: پیوسته نیست. ‏ sint  ‏f ( ‏t ) ‏ ‏ زیرا  1در نقطه t = 0تعریف نشده است .با وجود این داریم: تابع ‏t ‏ ‏ ‏lmf (t)  1, ln2 ‏t 0  5 .1 .12تعریف اگر ‏f :[a, b]  Rn با a<bو n = 2یا n =3تابعی پیوسته روی[]a,bباشد ،آنگاه f را یک خم در 2 ‏R یا 3 ‏R می نامیم. نگاره fیعنی مجموعه را اثر یا مسیر خم (و گاه خود خم)و معادالت پارامتری] f [a,bرا معادالت پارامتری خم می نامیم. 5 .1 .13مثال ‏f :[ 1,1]  R2 تابع با تعریف : ‏ روی [ ]1 ,1-پیوسته و لذا یک خم در عبارت اند از : ‏ ‏f (t)  t , t2 ‏R2 است .معادالت پارامتری این خم ]y t2 , t  [ 1,1 ‏x t , اثر این خم یا نگا ره fعبارت است از: ‏ ‏t  [ 1,1] ‏ ]f [ 1,1]  f (t) t  [ 1,1]   ( t , t2) t  [ 1,1 ‏y t2 , ‏ ‏ (x, y) x  t , ‏ (x, x) 0x 1 در شکل زیر ] f [-1,1را رسم کرده ایم. ()1,1 ()0,0 شکل (الف) توجه کنید که وقتی tاز -1تا 0افزایش می یابد ،نقطه ( )x,yاثر خم fرا از ( )1 ,1تا (0و )0یک بار می پیماید.همچنین وقتی tاز 0تا 1افزایش یابد نقطه ( )x,yاثر خم fرا از ( )0,0تا ( )1,1مجددا ً طی می کنند .بنابراین هریک از دسته معادله های * ** ]t  [ 1,0 ‏x  t , y t2 ]t  [0,1 ‏x t , y t2 معادالت پارامتری خم واحدی هستند .در شکل (ب) خم مذکور با معـادالت پارامتری * ودر شکل (پ) خم مذکور با معادالت پارامتری ** نشــان داده شده اند.در این شکل ها پیکانها جهت حرکت نقطه ( )x,yروی خم را نشــان می دهند. ()1,1 ()1,1 ()0,0 شکل (پ) ()0,0 شکل (ب)  5 .1 .14مثال اثر خم ‏f (t) (cosh 2t , sinh2t , t) t  R را مشخص می کنیم. حل: بنا بر تعریف ،اثر fعبارتست از: چون ‏t  R ‏f (R)  (cosh )2t , sinh2t , t 2 ‏x2  y2 cosh 2t  sinh2 2t 1 2 2 ‏x ‏ ‏y ‏1 قرار دارد. چون به ازای هرt ،x=cosh2t >0 پس ) f(Aروی استوانه پس برای ترسیم استوانه مذکور تنها شاخه ای از هذلولی ‏x2  y2 1 ‏ ‏z 0 را در نظر می گیریم که مختص اول هر نقطه آن مثبت است. در شکل زیر قسمتی از ) ، f(Rاثر fرا روی قسمتی استوانه x2  y2 1 رارسم کرده ایم. ‏z استوانه ‏x2  y2 1 ‏o ‏y هذلولی x2  y2 1 )f(R ()0 ,0 ,1 یکی از مجانب های هذلولی ‏x  5 .1 .15مثال قسمتی از خم فصل مشترک رویه های الف) ب) ‏x2  y2 2x ‏x2  y2  z2 4 را که در یک هشتم اول دستگـاه مختصات xyzاست رسم می کنیم. حل: بنابر تعریف یک هشتم اول دستگاه مختصات xyzمجموعه نقاط ( )x,y,zاست . z 0 , y 0 , x خم مورد نظر از تالقی استوانه 0که (x  1)2  y2 1 با کره زیر به دست می آید. 2 2 2 ‏x  y  z 4 در شکل زیر این خم را با تعویض نقش محور های xو yرسم کرده ایم. ‏z خم مورد نظر ‏x ‏o ‏y  5 .1 .17مثال دایره ای به شعاع aدر صفحه xoyروی محور xبدون اینکه بلغزد می غلتد. نقطه ای از این دایره را Pمی نامیم .این نقطه یک خم روی صفحه xoyپدید می آورد.این خم را چرخزاد یا سیکلوئید می نامیم .می خواهیم معادله های پارامتری چرخزاد را به دست آوریم. برای این منظور فرض می کنیم مکان اولیه ، Pنقطه Oمبدا مختصات باشد. حال دایره را در جهت مثبت محور xمی غلتانیم که Pدر وضعیت شکل زیر قرار گیرد. y P E  F  D  o X A  2 C  2 x B توجه کنید که طول های کمانهای OPو PBو پاره خط OBمساوی اند .بنا براین شکل ،مختصات نقطه Pبه زاویه ‏ بستگی دارد .اگر( )x,yمختصات نقطه Pباشد آنگاه ‏y=OD-DE=a+DE از مثلث PFCداریم ‏x=OB-AB , ‏ ‏ ‏AB FCacos    asin ‏2 ‏ ‏ ‏ ‏ED PFasin     acos 2 ‏ در دایره به مرکز Cو شعاع aداریم ‏OB = PB = a در نتیجه ‏ ‏x a  asin , y a  acos y ‏x ‏A2 ‏A1 چرخزاد ،طول خم OA1برابراست با 2a ‏o  5 .1 .19تعریف می گوئیم تابع برداری ) n 3یا f :[a, b]  Rn , (n 2 ] نقطه x t  [a, bمشتقپذیر است اگر در 1 ‏ f (x)  f (t) ‏lim ‏x t x  t وجود داشته باشد .بدیهی است در نقاط t =aو t =bمنظور از وجود حد فوق، وجود حد های یکطرفه به ترتیب راست وچپ است. درصورتی که fدر نقطه tمشتقپذیر باشد،حد فوق را مشتق fدر نقطه tمی نامیم )f (t وآن را با ‏df )(t یا ‏dt نشان می دهیم .بنابراین )f (x)  f (t ‏f (t) lim ‏x t ‏x t ) f (a مشتق fدر نقطه t =aو t=bرا به ترتیب با بنابراین )f (x)  f (a ‏x a ) f (b یا ‏f (a )  lim ‏ )f (x)  f (b ‏x b ‏x a ‏f (b )  lim ‏ ‏x b نشان می دهیم. * به ازای ‏f (t)  f1(t) , f2(t، ) n = 2 ** به ازای ‏f (t)  f1(t) , f2(t) , f3(t) ،n=3 ‏بنابراین fدر نقطه tمشتقپذیر است اگر وتنها اگر مولفه های آن در این نقطه مشتقپذیر باشند. 5 .1 .20مثال مشتق تابع ‏ 2 ‏ ‏f (x)  e1 x , lnx , 1 x2 1 را در نقطه x 2پیدا می کنیم. :حل : داریمx >0 بنابر رابطه ** به ازای هر 1   1 x2  f (x)   2xe , ,  2x  x    1 f     e3/4 ,2 ,  1  2 در نتیجه مثال5 .1 .23 (را به ازایf )(0) , (f g)(0) , (f .g)(0)می خواهیم  f (t)   t 1, t2  1,2t  2t  t2  1 g(t)  2 , 2 ,2t  t 1 t 1  (t) ln(2t 1) .محاسبه کنیم f (0) 1, 1,0 , 1 f (0) ( ,0,2) 2 g(0) 0, 1,0 , g(0) (2,0,2) (0) 0 , :حل داریم (0) ln2 (f .g)(0) f (0).g(0)  f (0).g(0) 0 22 i 1 (f g)(0)  2 0 j k i 0 21 1 0 2 (2,0, j k 1 0 0 2 1 3 )  ( 2, 2,2) (0, 2, ) 2 2 1 1 (f )(0) (0)f (0)  (0)f (0) ln2( ,0,2) ( ln2,0,2ln2) 2 2  5 .1 .26قضیه: 3یا n 2 زنجیر توابع [a, b]  ‏f  I g Rn ‏gof ‏I آن f [a, b] و Iیک بازه در Rاست در نظر بگـیرید .فرض کنید fدر را که در ]t [a, b نقطه ‏gof:[a, b]  Rn و gدر نقطه ) s=f(tمشتقپذیر باشند .در این صورت تابع برداری در نقطه tمشتقپذیر است و داریم ) gof(t) g(f (t))f (t یا به عبارت دیگر ‏d(gof) dg ds dg df ‏ . ‏ ‏dt ‏ds dt ds dt توجه کنید که در این قضیه تابع fیک تابع اسکالر است.  مثال5 .1 .27  h(t)   1  , sin t  1 , lnt t 1  ب) اگر م. را مـحاسـبه مـیکــنیh(1 و بــه وـیژ)هـh(t) :حل 1  g(t)  , sint , ln(1 t)  t  , f (t)  1 t 1 قرار می دهیم h(t)=(gof)(t) و به دست می آوریم 1 1  3/2  f ( 2 )   f (t)  (t  1) و 2 وf(2) =1 چون 2 1   1 g(t)   2 , cost ,  1 t   t 1   g (1)   1, cos1,  2  1 1  ‏ 1 (t  1) 3/2  2 , cost, ‏ 2 ‏t 1 ‏ ‏t ‏ ‏ 1 1 ‏  1, cos1,  2 2 ‏h(t)  ‏h(2) g(1)f (2)  5 .1 .29تعریف 3یا n 2 ‏f :[a, b]  Rn را روی [ ]a,bهموار می نامیم اگر به ازای هر ]f (t) ، t [a, bوجود داشته، روی [ ]a,bپیوسته باشد. و به ازای هر t ‏f (t) 0 توجه کنید که اگر به ازای n = 2قرار دهیم ‏f (t)  f1(t) , f2(t)  آنگاه نابرابری * به صورت زیر در می آید. ‏ f1(t)2   f2(t)2 0 و بنا براین خم fهمواره روی ( )a,bهموار است اگر وتنها اگر در هر نقــطه مشتق یکی از مولفه های fغیر صفر باشد .توجه کنید که این مطلب در حالت n = 3نیز برقرار است. 5 .1 .30مثال الف) خم ‏ )t , ln(1 t) , (1 t2 ‏ ‏f (t)  روی [ ]1 ,1-هموار نیست ،زیرا در نقطه t = 0مولفه اول آن مشتقپذیر نیست. ب) خم زیر روی [ ]0,1هموار است. ‏f (t)  sint, sint , t2 1 ‏f1(t)  t  5 .1 .33مثال الف) خم ]t  [ 1,1 ‏ 2 (t , ln ) 1 t) , (1 t ‏ ‏f (t)  روی [ ]1,1-پاره هموار است ،زیرا این خم در نقطه t = 0مشتق ندارد. ب) چرخزاد به عنوان یک خم در نقطه های0 ... , 4a ,2a , ودر بقیه نقاط هر بازه متناهی هموار است. پ) خم ) f (t) (t2, t2, t4 در نقطه t = 0هموار نیست ،زیرا ‏f (0) 0 هموار نیست  5 .1 .34تعریف الف) فرض می کنیم 3یا n 2 ‏f :[a, b]  Rn خمی هموار باشد .طول این خم را با sنشان می دهیم وبا رابطه زیر تعریف می کنیم: ‏b ‏s  f (t) dt ‏a ب) اگر fدر نقاط tn , ... , t1متعلق به [ ]a,bپاره هـــــموار باشد و a t1  t2  ...  tn bطول fرا با رابطه زیر تعریف می کنیم ‏b ‏t2 ‏f (t) dt  f (t)dt ...  f (t)dt ‏tn ‏t1 ‏t1 ‏s  ‏a . این فرمول به صورت زیر در می آیدb tn1و n a دادن t0 با قرار ti1 s   f (t) dt i 0 ti y t1  f (t) t0 t3 t2 dt   f (t)dt t2 t1 f (t)dt x o a t0 t1 t2 طول خم پاره هموار b t3 n =2 توجه کنید که اگر به ازای f (t)  f1(t) , f2(t)  آنگاه b b s  f (t) dt f12(t)  f22(t)dt a a داریمf (t)  f1(t) , f2(t) , f3 (t) و بنابراینn = 3 همچنین به ازای b b s  f (t) dt f12(t)  f22(t)  f32(t)dt a a  مثال5 .1 .35  f (t)  t, t2  الف) طول خم t  [0,1] مساوی است با 1  0 1 2 1 (2t )dt 1 4t2dt 0 5 1  ln2 2 4   5 ب) خم f (t)  cost, sint t  [0, ] هموار است و طول آن مساوی است با   0 2 2  sin t  cos t dt dt 0  مشاهده می کنیم که طول خم تابعی از پارامتر تعریف کننده خم نیز هست، ‏a t b یعنی اگر آنگا ه ‏t ‏s(t)  f () d ‏a )f ( چون تابعی پیوسته روی[ ]a,bاست ،پس sتابعی مشتقپذیر از tاست و داریم )ds(t ‏df ‏ f (t)  ‏dt ‏dt در نتیجه ‏dt ‏1 ‏ds ‏با توجه به این پدیده تعریف زیر را داریم.  5 .1 .37تعریف می گوئیم خم یا ‏f :[a, b]  Rn 3یا n 2 ‏f (s)  f1(s) , f2(s) , f3 (s) یا ‏f (s)  f1(s) , f2(s)  توسط طول خم پارامتری شده است اگر ‏df ‏1 ‏ds البته با توجه به قاعده زنجیری ،اگر tپارامتر دی گری برای خم باشد ،داریم ‏df ‏df dt )dt f (t ‏ . )f (t ‏ ‏ds ‏ds ‏dt ds ‏ds ‏dt ‏df )f (t ‏ ‏ds )f (t  5 .1 .38مثال ب)پیچوار ‏f (t)  acost, asint, bt ‏t R رانسبت به طول خم پارامتری می کنیم. حل: طول خم در بازه [ ]t,0عبارت است از ‏t ‏s(t)  a2  b2d  a2  b2 t 0 0 ‏s(t)  a2  b2d  a2  b2 t ‏t واز این رو ،در هر دو مورد داریم ‏s ‏a2  b2 ‏t حال این مقدار tرا در تعریف fقرار می دهیم و به دست می آوریم.  ‏s ‏s ‏bs  ‏ ‏ , s 0 ‏f (s)  acos , asin , 2 2 2 2 2 2  ‏a b ‏a b ‏a b  ‏ اکنون توجه کنید که با این نمایش طول خم fدر بازه [ ]s,0مساوی است با sو به عالوه داریم ‏df ‏1 ‏ds پ) آیا خم ‏t R ‏ ‏ ‏f (t)  et sint , et cost, et را می توان با طول خم پارامتری کرد؟ حل: نقطهt0  ‏R را در نظر می گیریم .طول خم از نقطه )(t0تا f(t)fعبارتست از ) 3d  3(et  et0 ‏t ‏t ‏t0 ‏t0 ‏s(t)  f () d e بنابراین tتابعی از sاست و داریم ‏s ‏ et0 3 ‏et  یا ‏ s ‏ ‏t ln ‏ et0  ‏ 3 ‏ در نتیجه خم را می توان توسط sپارامتری کرد و مولفه های آن را به صورت زیر به دست آورد. , s 0 ‏ s ‏ ‏ s ‏ ‏f1(s)  ‏ et0  sinln ‏ et0  ‏ 3 ‏ ‏ 3 ‏ , s 0 ‏ s ‏ ‏ s ‏ ‏f2(s)  ‏ et0  cosln ‏ et0  ‏ 3 ‏ ‏ 3 ‏ , s 0 ‏s ‏ et0 3 ‏f3 (s)  0 انتخاب t0 این مولفه ها صورت ساده تری به خود می گیرند. توجه کنید که با  5 .1. 40تعریف انتگرال تابع پیوسته ‏f (t)  f1(t) , f2(t) , f3 (t) ‏b را به صورت ‏f (t)dt ‏a , ‏f :[a, b]  Rn نشان می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم. ‏b ‏b ‏b ‏b ‏ ‏ ‏f ( ‏t ) ‏dt ‏ ‏f ( ‏t ) ‏dt , ‏f ( ‏t ) ‏dt , ‏f ( ‏t ) ‏dt ‏ 1 2 3 ‏ ‏ ‏ ‏a ‏a ‏a ‏a ‏ ‏ به همین ترتیب انتگرال تابع پیوسته زیر تعریف می شود. ]t  [a, b ‏f (t)  f1(t) , f2(t)  ‏توجه کنید که انتگرال هر تابع برداری ،برداری از جنس مقادیر همان تابع است .مفهوم انتگرال تابع برداری بسیاری از ویژگی های انتگرال توابع حقیقی را دارااست .باوجوداین،این مفهوم درقضیه میانگین برای انتگرال صدق نمی کند.  5 .2حرکت در صفحه 5 .2 .1تعریف بردار OAرا شعاع حامل متحرک در لحظه tمی نامیم ،در شکل زیر مسیر متحرکی را در لحظه های t0  t , t0و aو bمشاهده می کنید. ‏y )f (t0  t )f(b )f ( t0 )f(a ‏x ‏o  5 .2 .2تعبیر های مشتق فرض کنید ‏f (t) x(t)i  y(t) j مکان متحرکی در لحظه tباشد ،در این صورت رابطه ‏f (t  t) x(t  t)i  y(t  t) j مکان این متحرک در لحظه t  tخواهد بود .بنابراین )f (t  t)  f (t ‏t نماینده بردار سرعت متوسط در بازه زمانی از tتا t  tاست .در نتیجه در صورتی که حد )f (t  t)  f (t ‏lim ‏t 0 ‏t وجود داشته باشد ،برابربا بردار سرعت در لحظه tخواهد بود. با توجه به این مطلب اگر سرعت متحرک در لحظه tرا با) v(tنشان دهیم ،بنا به تعریف مشتق داریم )f (t) x(t)i  y(t) j v(t یعنی مشتق fدر لحظه ،tمساوی است با سرعت متحرک در این لحظه ،اکنون با توجه به شکل اسالید بعدی مشاهده می کنیم که ‏ ‏f (t  t) f (t)i  PQ بنابراین داریم ‏ )f (t  t)  f (t ‏PQ ‏ ‏t ‏t y )f (t  t ‏Q ‏v ‏n  ‏ ‏P ‏s ‏v )f(t ‏x ‏o اگر vاز ) f(tرسم شود ،بر مسیر متحرک مماس است. در نتیجه 0 اگر tآنگاه نقطه Qروی مسیر متحرک به نقطه Pمیل می کند و لذا خط PQبه خط مماس بر خم تبدیل می شود .این بدان معناست که اگر مبدا بردار vرا به نقطه Pمنتقل کنیم آنگاه ) v(tبر مسیر متحرک یا بر خم داده شده مماس می شود. ‏بنابراین مشتق به عنوان یک بردار بر مسیر متحرک مماس است.  5 .2 .3تعریف اگر ) v(tسرعت متحرک در لحظه tباشد، )v(t را اندازه بردار سرعت متحرک می نامیم. بنابراین خم مشتقپذیر ‏f (t) x(t)i  y(t) j مسیر متحرک باشد آنگاه اندازه بردار سرعت این متحرک عبارت است از 2 2 ‏ d ‏ dy ‏v(t)  x (t)  y (t)   ‏  ‏ ‏dt ‏dt ‏ ‏ ‏ ‏ 2 2 ‏توجه کنید که سرعت متحرک یک بردار و اندازه بردار سرعت یک عدد است.  5 .2 .4مثال الف) مکان متحرکی در لحظه tعبارت است از ‏f (t) eti  e t j مسیر ،سرعت و اندازه بردارسرعت این متحرک رامعین می کنیم. حل: مختصات متحرک در لحظه tعبارت اند از , ‏y e t ‏x et مشاهده می کنیم که در هر لحظه t ، x >0و y >0و 1 ‏x بنابراین مکان متحرک شاخه ای از هذلولی ‏y 1 ‏x ‏y است که در ربع اول واقع است. y )v(t ‏x ‏o سرعت و اندازه بردار سرعت این متحرک در لحظه tعبارت اند از , v(t)  e2t  e 2t  2cosh 2t ‏v(t) eti  e t j مشاهده می کنیم که ‏dy )y(t ‏ e t ‏ ‏ ‏0 ‏t ‏ ‏dx )x (t ‏e بنابراین زاویه بردار سرعت با جهت مثبت محور ،xباز (منفرجه) است لذا بردار سرعت به صورتی است که در شکل اسالید پیش نشان داده شده است. ب) یک ذره طبق رابطه زیر حرکت می کند ‏f (t) (rcost)i  (rsint) j که در آن ‏ ‏rو اعداد مثبت وثابت اند .مسیر ،سرعت واندازه بردار سرعت این متحرک را شناسایی می کنیم. حل: مختصات این متحرک در لحظه tعبارت اند از ‏y(t) rsint چون ‏x(t) rcost , ‏x2(t)  y2(t) r2 ‏پس مسیر متحرک دایره ای به مرکز مبدا مختصات و شعاع rاست. سرعت و اندازه بردار سرعت متحرک در لحظه tعبارت اند از ‏v(t) ( r sint)i  (r cost) j ‏v(t)  r22(sin2 t  cos2 t) r چون ‏dy ‏rcost ‏ ‏ ‏ ‏ r cotant tan ‏  t  ‏dx  r sint ‏2 ‏ بنابراین در لحظه ،tزاویه بردار سرعت ) v(tبا جهت مثبت محور xمساوی است با ‏ ‏ ‏ ‏ ‏t ‏ ‏ 2 ‏ ‏ با توجه به اینکه در لحظه ، tشعاع حامل ) f(tبا جهت مثبت محور xمساوی ‏t است با ،نتیجه می گیریم که بردارهای ) f(tو ) v(tدر هر لحظه بر هم عمودند وجهت ) v(tدر جهت افزایش tاست. y )v(t ‏ ‏ ‏   t ‏2 ‏ ‏x ‏t شعاع حامل و سرعت متعامدند  5 .2 .5تعریف فرض کنید خم ‏f (t) x(t)i  y(t) j , ‏f :[a, b]  R2 مسیر متحرکی است و دست کم دو بار مشتقپذیر باشد .در این صورت بردار ‏f (t) x(t)i  y(t) j را شتاب متحرک می نامیم ومعموالً آن را با ) a(tنشان می دهیم. بنابراین بردار ) a(tشتاب متحرک ،مشتق سرعت متحرک است. ‏a(t) v(t) x(t)i  y(t) j  5 .2 .7بردار یکه مماس فرض کنید مسیر متحرک ،خم ‏f (t) x(t)i  y(t) j , ‏f :[a, b]  R2 توسط پارامتر طول خم ،sپارامتری شود .به ویژه داریم ‏t ‏s(t)  v() d ‏t0 بنابراین داریم الف) ب) ولذا ‏ds ) v(t ‏dt ‏df ‏df ds df ‏ . ‏ )v(t ‏dt ‏ds dt ‏ds ‏df )v(t ‏ ‏ds )v(t ‏V (t)  یعنی اگر خم ،مسیر متحرک ،نسبت به پارامتر طول خم پارامتری شود، بردارسرعت نسبت به این پارامتر ،برداری واحد است و جهت آن با جهت بردارسرعت نسبت به هر پارامـــتر دیگر یکی است .این بردار را بردار یکه مماس می نامیم و با Tنشان می دهیم. ‏df )v(t ‏ ‏ds )v(t ‏T در شکل اسالید بعدی بردار یکه مماس Tرا در لحظه tرسم کرده ایم. )v(t ‏y ‏T )f(t )f (t0 ‏x بردار یکه مماس  5 .2 .10بردار یکه قائم فرض کنید خم هموار ‏f (t) x(t)i  y(t) j , ‏f :[a, b]  R2 مسیر حرکت یک متحرک باشد .بنابراین درهر لحظه ، tبردار یکه مماس Tبر ‏ می نامیم. این خم یا مسیرتعریف شده است .زاویه Tبا جهت مثبت محور xرا ‏چون Tبرداری یکه است ،پس جهت آن تابعی از اندازه زاویه است. با توجه به شکل اسالید بعدی می نویسیم ‏T T() (cos)i  (sin) j داریم ‏dT ‏ ‏ ‏ ‏ ‏( sin)i  (cos) j cos    i  sin    j ‏d 2 2 ‏ ‏ y ‏T ‏sin ‏ ‏cos ‏x ‏dT بنابراینd ‏ ‏ اندازه  2 برداری یکه وعمود بر Tاست و با جهت مثبت محور xزاویه ای به ‏dT می سازد .بنابراین d ‏ دو بردار یکه قائم بر Tبا جهت های مخالف هم هستند.یکی از این دو بردار را که جهت آن به طرف تعقر خم است بردار یکه قائم می نامیم وبا Nنشان می دهیم. T ‏y ‏N ‏x بردار های یکه قائم مماس  5 .2 .11مولفه های مماسی و قائم سرعت وشتاب فرض کنید مسیر متحرک ،خم هموار و دو بار مشتقپذیر ‏f (t) x(t)i  y(t) j , ‏f :[a, b]  R2 باشد .سرعت این متحرک در لحظه tمساوی است با * ‏df ‏df ds  ds ‏V (t)  ‏ . ‏ ‏T ‏dt ‏ds dt  dt بنابراین در دستگاه مختصات TNداریم ‏ ds ‏V (t)  ‏ T 0N ‏ dt یعنی مولفه های ) v(tدر دستگاه TNعبارت است از ترتیب مولفه های مماسی و قائم سرعت می نامیم. ‏ds ‏dt و 0این عددها را به حال از رابطه * نسبت به tمشتق می گیریم تا شتاب متحرک را به دست آوریم. ‏d  ds  ‏d2s ‏ds d  ‏a(t)  ‏T ‏ ‏T . ‏ ‏ ‏ ‏T 2 ‏dt dt  ‏dt ‏dt dt داریم ‏ d ‏T ‏ حال ‏ dt ** ‏dT با قرار دادن ‏dt *** ‏dT می دانیم که ‏d ‏dT ‏d را با استفاده از پارامتر ‏ محاسبه می کنیم.داریم ‏dT ‏dT d ‏dT d ds ‏ . ‏ . . ‏dt ‏d dt ‏d ds dt از این رابطه در رابطه فوق به دست می آوریم 2 ‏d2s ‏ ds d  dT ‏a(t)  2 T   ‏ ‏ ‏ ‏dt ‏ dt ds d  نامزد خوبی برای بردار یکه قائم است فقط جهت آن است که اجازه نمی دهد در این رابطه به جای آن Nقرار دهیم .برای تشخیص جهت به صورت زیر عمل می کنیم. d الف) اگر dt  0آنگاه ‏نسبت به tصعودی است وبنابراین با افزایش ،t ‏dT Tدر جـهتمـثلثاتـیتــابـیدهـ مـیشــود و ل ـذا زاوـیـه بــین Tو dکــه بــراـبر ‏ 2اـسـت در جهت مثلثاتی تغییر می کند .این بدان معناست که ‏dT ‏N ‏d ‏d ‏ ب)0 اگر ‏dt ‏ آنگاه نسبت به tنزولی است و لذا بر حسب افزایش ، t Tدر حـهتعـقربـه هایســاعتتــابـیدهـ مـیشــود .و دراـیـنحـاــلتدارـیـم ‏dT ‏ N ‏d در نتیجه فرمول **را می توان به صورت زیر نوشت ‏dT  ds  d  ‏ds d ‏ ‏N ‏  ‏N ‏dt ‏ds ‏dt ds ‏ dt  با استفاده از این فرمول ،رابطه *** به صورت زیر در می آید. 2 ‏d2s ‏ ds d ‏a(t)  2 T   ‏N ‏ ‏dt ‏ dt ds ‏d2s 2 عددهای ‏dt 2 ‏ ds d ‏ ‏ و ‏dt ‏ds ‏ ‏ را به ترتیب مولفه های مماسی وقائم شتاب ‏aN aT و می نامیم .وآنها را به ترتیب با نشان می دهیم .بنابراین داریم ‏a(t) aT T  aNN از این رابطه نتیجه می شود که ‏a2T  a2N 2 )a(t بنابراین برای پیدا کردن  aT  aNالزم است که را محاسبه کنیم. 2 ‏a(t)  a2T ‏ 2 ‏a(t)  a2N ‏ 5 .2 .12مثال الف) بردار یکه قائم ،مولفه های مماسی و قائم شتاب متحرکی با معادله مسیر حرکت زیر را پیدا کنید. ‏f (t) 3(cost  tsint)i  3(sint  t cost) j حل: در لحظه tداریم ‏v(t) (3t cost)i  (3tsint) j بنابراین ‏ds ‏ v(t) 3t ‏dt ولذا بردار یکه مماس در لحظه tعبارت است از )v(t ‏(cost)i  (sint) j ‏ds ‏dt ‏T این فرمول نشان می دهد که زاویه Tبا جهت مثبت محور xبرابراست با ،tیعنی ‏d dtنتیجه بردار یکه قائم بر مسیر عبارت است از .  tبنابراین 1 0در چون پس ‏dT dT ‏ ‏( sint)i  (cost) j ‏d ‏dt ‏N ‏ds ds ‏t عبارت اند بنابراین مولفه های مماسی و قائم شتاب 3t از و ‏d dt ‏d2s ‏d  ds ‏aT  2  ‏ ‏ 3 ‏dt ‏dt dt 2 (3t)2 ‏ ds d ‏ ‏ ‏3t ‏ در نتیجه شتاب متحرک به صورت3t ‏dsمی آید. زیر به دست ‏ dt ‏a(t) 3T  3tN ‏aN  5 .2 .14تعریف ‏d عدد ‏ds را که سرعت خمیده شدن مسیر متحرک نسبت به پارامتر طول ‏ خم است ،انحنای مسیر یا خم می نامیم و آن را با حرف یونانی (بخوانید کاپا)نشان می دهیم. ‏d ‏ds ‏ ‏می توان ثابت کردکه انحنای ذاتی خود مسیر است و به انتخاب دستگاه مختصات بستگی ندارد .با وجود این پیدا کردن فرمولی برای محاسبه حسب مختصات مورد استفاده بسیار مناسب است. ‏ بر  با توجه به تعریف مشاهده می کنیم که هر چه ‏d dsبیشتر ( کمتر) باشد خمیدگی خم بیشتر ( کمتر ) است و لذا انتظار می رود که خمیدگی یک دایره کوچک عددی بسیار بزرگ و بر عکس خمیدگی خط راست صفر باشد. 5 .2 .15مثال الف) انحنای خط راست زیر را پیدا کنید. ‏y=ax+b حل: با قرار دادن x = tاین خط را می توان به عنوان نگاره خم زیر در نظر گرفت. ‏f (t) = t i+ (a t + b) j داریم ‏a (t) = 0 و از این رو ‏d ‏aN 0 ‏ds 2 ‏ ds ‏ ‏ ‏ dt چون ‏ds ‏ v(t)  1 a2 0 ‏dt پس ‏d ‏0 ‏ds ‏بنابراین انحنای خط راست صفر است .چیزی که انتظارش را داشتیم.  5 .2 .17محاسبه انحنا بر حسب مختصات 5 .2 .18مثال الف) مسیر متحرکی خمی با معادالت پارامتری زیر است ‏y(t)=4sint ‏x(t) = 3cos t , انحنای این مسیر را در لحظه tو سپس در لحظه های t = 0و ‏ 2 ‏t پیدا کنید. حل: داریم ‏y  4sint , ‏y 4cost , ‏x  3cost ‏x  3sint , بنابراین 12 2 (9sin2 t 16cos ‏t)3/2 ‏ 12sin2 t 12cos2 t (9sin2 t 16cos2 t)3/2 ‏ به ازای t = 0و ‏ 2 ‏t داریم ‏ 12 4 ) ‏ 2 27 9 ب) ( 12 3 ‏(0)  ‏ 36 16 , 2 4 ‏y ‏ ‏x را پیدا کنید . انحنای خم حل: از فر مول ** داریم 1 2 ‏ 2 3/2 (1 ( x ) ) 2 مث ً ال در نقطه (0و )0انحنای این خم عبارت است از 1 ‏(0)  2 حال آخرین مفهوم این قسمت ،یعنی دایره ا نحنا را معرفی می کنیم . 5 .2 . 20تعریف خم هموار و دو بار مشتقپذیر زیر و نقطه Pواقع بر آن را در نظر می گیریم. بر این خم در نقطه Pدایره ای مماس می کنیم که الف) انحنای دایره مساوی با شد با انحنای خم ب) مرکز دایره در طرف تقعرخم و روی خط قائم بر خم در Pباشد .این دایره را دایره انحنا ،مرکز و شعاع آن را به ترتیب مرکز و شعاع انحنای خم در نقطه Pمی نامیم . y ‏P شعاع انحنا ‏C مرکز انحنا ‏x ‏o دایره انحنا  5 . 2 .21مثال ‏x معادله دایره انحنای خم y eرا در نقطه (1و )0پید ا می کنیم . حل: نخست شعاع انحنای مسیر را پیدا می کنیم .برای این منظور انحنای مسیر را به دست ‏y می آوریم.داریم ex ‏ ‏ 2 3/2 ‏ ) (1 y (1 e2x )3/2 بنابراین در نقطه ( )0,1انحنا مساوی است با 3 در نتیجه شعاع انحنا برابر است با 3 ‏ 2 ‏ 1  ‏  ‏ ‏ 2 1 ‏ ‏ ‏ ‏a اکنون روی خط عمود بر خم در نقطه ( )1 ,0مرکز دایره انحنا را پیدا می کنیم. معادله این خط عبارت است از ‏y = 1-x بنابراین اگر ) A(a,bمرکز انحنا باشد ،باید داشته باشیم ‏b 1 a , a2  (b  1)2 23 با حل این دستگاه نسبت به aو bبدست می آوریم b = 3و ، b = -1بنابراین نقاط ممکن برای مرکز دایره انحنا عبارت اند از) A(-2, 3و ) A(2, -1در طرف مقعر خم واقع است در نتیجه معادله دایره انحنا عبارت اند از (x  2)2  (y  3)2 23  5 .3حرکت در فضا 5 .3 .1تعریف مفاهیم اولیه فرض کنید خم مشتقپذیر ‏f (t) x(t)i  y(t) j  z(t)k , ‏f :[a, b]  R3 مسیر یک متحرک باشد .بردار ‏f (t) x(t)i  y(t) j  z(t)k را سرعت متحرک در لحظه tمی نامیم و آن را با ) v(tنشان می دهیم . )v(t )f(t بردار سرعت بر مسیر مماس است. vپس بردار یکه ، (t) f (t) 0، t  [a, b چون به ازای ]هر )f (t 1 ‏T ‏ )v(t )f (t )v(t بدون ابهام تعریف می شود. این بردار را بردار یکه مماس بر خم ( یا مسیر متحرک) در نقطه tمی نامیم. فرض می کنیم ‏t ‏s(t)  f () d ‏a * طول خم از نقطه ) f(aتا نقطه ) f(tباشد .در این صورت) s(tتابعی صعودی و مشتقپذیر از ) s(tاست و داریم ** ‏ ds ‏ )(t)  v(t ‏ dt ‏ ‏ dt 1 ‏ ‏ ‏ ds )v(t ‏ با استفاده از روابط * و ** داریم ‏df ‏df dt )v(t ‏ ‏ ‏ ‏T ‏ds ‏dt ds )v(t یعنی مشتق بردار موضع نسبت به طول خم مساوی است با بردار یکه مماس ‏طول بردار سرعت ،یعنی) v(tدر لحظه tرا مقدار بردار سرعت متحرک می نامیم. ‏اگر عالوه بر هموار بودن ،تابعـ fدو بار مشتقپذیر باشد ،آنگاه بردار ‏a(t)f (t) x(t)i  y(t) j  z(t)k راشتاب متحرک در لحظه tمی نامیم.  مثال5 .3 .2 (پ) طول پیچوار5 .1 .35 در مثال f (t) (acost)i  ( asint) j  (bt)k t R ) واقع است به صورتt > 0( وf(t) وf(0 ) را که بین نقطه های t s(t)  a2  b2 d  a2  b2 t 0 چون.محاسبه کردیم v(t) ( asint)i  ( acost) j  bk پس بردار یکه مماس مساوی است با T v(t) 1  ( asinti acostj bk) 2 2 ds a b dt همچنین داریم a(t)  a(costi sintj)  5 .3 .4صفحه قائم و مولفه های شتاب می خواهیم بردار شتاب ) a(tرا که از نقطه ) f(tرسم می شود به مجموع دو بردار تجزیه کنیم ،یکی در امتدادبردار یکه مماس Tو دیگری برداری واقع در صفحه عمود بر Tدر نقطه ) . f(tاین صفحه را صفحه قائم بر خم ( یا مسیر) در لحظه t می نامیم. C ‏a ‏z ‏B ‏A ‏P )f(t ‏y ‏x صفحه قائم وتجزیه بردار شتاب مشاهده ‏ می کنیم که بردار شتاب a به مجموع دو بردار ‏ ‏ ‏AB , AC تجزیه شده ‏ ‏ ‏ ‏a(t) AB  AC است. می خواهیم این بردار ها را برحسب تابع fشناسایی کنیم .با استفاده از قاعده زنجیری می نویسیم 2 ‏d  df  ‏d  df ds ds d2f  ds ‏dt d2s ‏a(t)   ‏  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏  ‏dt dt  ‏ds ds dt dt ds2  dt ‏ds dt2 2 2 ‏d2s ‏ ds  d f  ‏ ‏ 2 T ‏  2  ‏dt ‏ dt  ds  اکنون از دو طرف رابطه زیر نسبت به sمشتق می گیریم. ‏ df df  ‏T.T  . ‏ 1 ‏ ds ds در نتیجه ‏d2f df ‏d2f ‏ 2 .T 0 2 ‏ds ds ds بنابراین ‏d2f بردار ds2 بر بردار مماس Tعمود است .بنابراین اگر از نقطه A رسم شود روی صفحه قائم خواهد بود .بردار یکه Nرا به صورت * ‏d2f 2 ‏ds ‏N 2 ‏df ‏ds2 تعریف می کنیم وآن را بردار قائم اصلی بر خم در نقطه ) A= f(tمی نامیم. با استفاده از * بر دار ) a(tرا به صورت زیرمی نویسیم. 2 2 ‏d2s ‏ ds d f ‏a(t)  2 T   ‏N ‏ 2 ‏dt ‏dt ‏ds ‏ ‏ بنابراین بردار ) a(tبه مجموع دو بردار تجزیه می شود.  5 .3 .5تعریف الف) 2 2 ‏ ds d f ‏d2s , ‏ ‏ 2 ‏ dt ds عددهایdt2 را به ترتیب مولفه های مماسی و قائم شتاب در لحظه tمی نامیم وآنها را به صورت زیر نشان می دهیم 2 2 ‏ ds d f ‏ ‏ 2 ‏dt ‏ ‏ ds ب) ‏dT بردار ‏ds ‏aN ‏d2s ‏ 2 ‏dt و اندازه آن عدد ‏d2f ‏dT ‏ ‏ ‏ds2 ‏ds را به ترتیب بردار انحنا و انحنای مسیر در لحظه tمی نامیم. ‏aT  5 .3 .6مثال الف) بردار قائم اصلی ،معادله صفحه قائم و انحنای خم ‏t R ‏f (t) (acost)i  ( asint) j  (bt)k رادر ) A( a,0, bکه به ازای t به دست می آید ،پیدا می کنیم. نقطه حل: بنا بر مثال 5 .3 .2بردار یکه مماس در لحظه tعبارت است از )( asinti acostj bk 1 2 2 ‏a b و لذا در نقطه Aداریم )( aj bk 1 2 2 ‏a b ‏T ‏T همچنین در لحظه tداریم )(( acost)i  ( asint) j 1 2 2 ‏a b ‏dT dT dt ‏dt ‏ . . . ‏ds ‏dt ds ‏ds بنابراین با توجه به رابطه ‏dt 1 1 ‏ ‏ ‏ds ds ‏a2  b2 ‏dt در نقطه Aیعنی در لحظه t داریم ‏dT ‏ai ‏ ‏ds ‏a2  b2 بنابراین انحنای مسیر در نقطه داده شده ،مساوی است با ‏a ‏a2  b2 ‏ و از این رو بردار قائم اصلی عبارت است از ‏dt ‏N  ds i ‏ چون صفحه قائم از Aمی گذرد و بر Tعمود است پس معادله آن عبارت است از (x  a, y, z  b).T 0 یا ‏ay b(z  b) 0 در شکل زیر مبدا Nرا در Aقرار داده و آن را رسم کر ده ایم .توجه کنید که جهت Nو محور xیکی است. ‏T ‏A ‏N بردارهای قائم اصلی و یکه مماس در A  5 .3 .8قائم مضـاعف وتاب دیدیم که اگر خم هموار ]t  [a, b ‏f (t) x(t)i  y(t) j  z(t)k دو بار مشتقپذیر باشد ،آنگاه به ازای هر ، tصفحه قائم بر خم و مولفه های مماسی و قائم شتاب بدون هیچ ابهامی تعریف می شوند .می دانیم که بردار قائم اصلی Nدر صفحه قائم قرار داردو بردار یکه مماس Tبراین صفحه عمود است .اکنون در صفحه قائم بردار یکه Bرا چنان در نظر می گیریم که دستگـاه TNBیک دستگاه راستگرد باشد. بردار Bرا قائم مضاعف بر خم ،صفحه تشکیل شده توسط بردارهای Nو Tرا صفحه بوسان و صفحه تشکیل شده توسط بردار های Bو Tرا صفحه رکتیفایر (یکسوساز) در لحظه tمی نامیم. T ‏B ‏N ـت TNBیــکدـسـتگاهـ راـسـتگرد اـس . dB ‏ ‏ds در ‏dB نتیجه ‏ds بر Tنیزعمود است . مضربی از بردار Nاست .یعنی عددی چون وجود دارد که * ‏ ‏dB ‏ N ‏ds را تاب خم در نقطه مورد محاسبه می نامیم. فرمول * نشان می دهد که ‏dB ‏  ‏ds ‏و از این رو ،تاب آهنگ چرخش بردار Bاست. ‏ انحنای هرگز منفی نیست ولی تاب می تواند مثبت ، توجه کنید که صفر یامنفی باشد.  5 .3 .9مثال الف) معادله صفحه بوسان و تاب خم ‏t R ‏f (t) ( 3 cost)i  ( 3 sint) j  k را پیدا کنید. حل: این خم محل تالقی صفحه z = 1و استوانه ‏x2  y2 3 است .و بنابراین خمی مسطح است .پس صفحه بوســان آن عبارت است از . z = 1چون خم مسطح است پس تابی ندارد یعنی .  0  5 .3 .12محاسبه انحنا )f (t)f (t 3 )f (t ‏ )v(t) a(t 3 ‏ ds ‏ ‏ ‏dt ‏ ‏ ‏ 5 .3 .13مثال مسیر متحرکی عبارت است از ‏t R ‏f (t) ti tj t2k می خواهیم انحنای مسیر را پیدا کنیم و معادله صفحه قائم بر مسیر را در نقطه ای که انحنا بیشنه است به دست آوریم. حل: ‏f (t) 2k داریم ‏f (t) i  j  2tk , بنابراین ‏f (t)f (t) 2 2 , ‏f (t)f (t)  2j  2i ‏f (t)  2 4t2 از این رو 1 3 2 2 ) (1 2t ‏ 2 2 3 2 2 ‏ 3 ) ( 2) (1 2t ‏ 1 چون بیشینه انحنا وقتی به دست می آید که t = 0به ازای این مقدار صفحه قائم از نقطه ( )0 ,0 ,0می گذرد و بر بردار یکه مماسی 1 )(i  j 2 عمود است ،پس معادله آن به صورت زیر است ‏x+y=0 ‏T(0)   5 .3 .15محاسبه تاب ‏ بنا به تعریف عدد را که در فرمول ‏dB ‏ N ‏ds صدق می گکند تاب خم یا مسیر متحرک می نامیم. ‏ ‏f (t) f (t).f (t) ‏ 2 )f (t) f (t با استفاده ازاین فرمول یکی از مهمترین خصوصیات خمها مسطح به دست می آید. ‏ 0 ‏می دانیم که اگر ** آنگاه خم مسطح است .به عبارت دیگر اگر ‏ f (t) f (t).f (t) 0 آنگاه خم داده شده ) f(tمسطح است. برعکس اگر خم ) f(tمسطح باشد ،روشن است که بردارهای ‏ f (t),f (t),f (t) نمی توانند کنجی نابدیهی بسازند واز این رو ** ،مجددا ً برقرار است. ‏بنابراین خم ) f(tدر یک صفحه قرار دارد اگر وتنها اگر تاب آن صفر باشد .به عبارت دیگر خم مسطح است اگر و تنها اگر رابطه ** بر قرار باشد. 5 .3 .16مثال الف) خم ‏t R ‏f (t)  t2 1i  t3 j  2k مسطح است( در یک صفحه قرار دارد)بنابراین تاب آن در هر نقطه صفر است. ب) تاب خم f (t) (e t cost)i  (e t sint) j  e tk t R محاسبه می کنیم و نشان می دهیم که این خم مسطحf(t) را در نقطه دلخواه .نیست :حل داریم f (t)  e t (cost  sint)i  e t (cost  sint) j  e tk f (t) (2e t sint)i  2(e t cost) j  e tk f (t) 2e t (cost  sint)i  2e t (cost  sint) j  e tk بنابراین داریم f (t)f (t)  e 2t (cost  sint)i  e 2t (cost  sint) j  2e 2tk f (t)f (t) e 2t 6  f (t) f (t).f (t)  2e 3t در نتیجه داریم  (f f ).f   f f  2  2e 3t 1 t   e  4t 6e 3 0 . پس خم داده شده مسطح نیست چون