ریاضی عمومی ۲ (رویه ها)

ریاضی عمومی ۲ (رویه ها)

اسلاید 1: مادسیج، شبکه آموزشی پژوهشی دانشجویان ایرانMadsg.comمادسیج یعنی دهکده علم و دانش ایران!!

اسلاید 2: بسم الله الرحمن الرحیم خسرو حجتي

اسلاید 3: رويه هاخسروحجتي

اسلاید 4: 41-استوانهخسروحجتي

اسلاید 5: 5تعريف: هر گاه c يك منحني(منحني هادي استوانه) در يك صفحه و L خطي ناواقع بر اين صفحه باشد، خطي كه متكي بر c و موازي با Lحركت كند(مولد استوانه) رويه اي توليد ميكند كه استوانه يا رويه استوانه اي نام داردمثال:استوانهخسروحجتي

اسلاید 6: 6خسروحجتي

اسلاید 7: 7راه حل كلي حل مسايل:فرضهادي وD يك مولد استوانه باشد:D را به شكل فصلمشترك دو صفحه در نظر ميگيريم و دستگاه معادلات حاصل را با حذف x,y,z, حل ميكنيم و سپس بجاي مقدار ميگذاريم. معادله استوانه بدست ميآيد.خسروحجتي

اسلاید 8: 8مثال:معادله استوانه اي را بنويسيد كه خم هادي و امتداد مولد آن داده شده است:حل:فرض كنيد:داريم:خسروحجتي

اسلاید 9: 9ادامه حل:خسروحجتي

اسلاید 10: ادامه حل:x,y,z را در معادله كره قرار ميدهيم:پس از ساده كردن و جايگذاريt,r بر حسب x,y,z داريم:خسروحجتي

اسلاید 11: 11ادامه حل:پس از ساده كردن نتيجه نهايي چنين ميشود:خسروحجتي

اسلاید 12: 2- رويه دوارخسروحجتي

اسلاید 13: تعريف: منحني c وخط L را كه هر دو روي يك صفحه واقع هستند را در نظر ميگيريم:اگر c (مولد رويه) حولL (محور دوران) دوران كند. رويه اي ايجاد ميشود كه رويه دوار نام دارد.روش حل:در صورتي كه منحني در يكي از صفحات مختصات و محور دوران يكي از محور هاي مختصات باشد كافي است در معادله منحني فقط بجاي نام متغيري كه محور دوران نيست جذر مجموع مربعات دو محور غير دوران را جايگذاري كنيم.خسروحجتي

اسلاید 14: 14معادله رويه دوار محور دوران معادله منحنيخسروحجتي

اسلاید 15: 15مثال: رويه حاصل از دوران خم xy=1 حول محور x را پيدا كنيد. حل:خسروحجتي

اسلاید 16: 3- ساير رويه هاي درجه دومخسروحجتي

اسلاید 17: 17اصول كلي رسم نمودار رويه ها:1- محل برخورد با محور هاي مختصات را بدست آوريد.مثلا:با قرار دادنy=z=02- محل برخورد با صفحات مختصات را بدست آوريد.مثلا:با قرار دادنz=03- محل برخورد با صفحات موازي صفحات مختصات را بدست آوريد.مثلا:با قرار دادنz=k خسروحجتي

اسلاید 18: صورت كلي رويه هاي درجه دوم:حالت خاص:اگر ضرايب جملات حاصلضرب صفر شودخسروحجتي

اسلاید 19: 19روش حل مسايل حالت خاص:عبارتهاي درجه دوم در معادله را به مربع كامل تبديل كرده ومعادله را به يكي از صورتهاي استانده(استاندارد) در ميآوريم.معادلات استانده در ادامه توضيح داده خواهدشد.خسروحجتي

اسلاید 20: 203-1-بيضوي:روش شناخت:سه جمله مربع هم علامت سمت چپ وعدد يك سمت راست تساويخسروحجتي

اسلاید 21: 21خسروحجتي

اسلاید 22: 3-2- هذلوليوار يك پارچه:روش شناخت:سه جمله مربع كه فقط يك جمله منفي (كه نشان دهنده محور شكل است) سمت چپ وعدد يك سمت راست تساوي.خسروحجتي

اسلاید 23: 23خسروحجتي

اسلاید 24: 3-3- هذلوليوار دو پارچه:روش شناخت:سه جمله مربع كه دو جمله منفي سمت چپ (جمله مثبت نشان دهنده محور است) وعدد يك سمت راست تساوي24خسروحجتي

اسلاید 25: 25خسروحجتي

اسلاید 26: 263-4- سهميوار:روش شناخت:دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله درجه يك در سمت ديگر تساوي .همه جملات هم علامت (جمله درجه يك نشان دهنده محور است)خسروحجتي

اسلاید 27: 27خسروحجتي

اسلاید 28: 283-4- سهميوار هذلولوي(زين اسبي):روش شناخت:دو جمله مربع مختلف العلامه در يك سمت ويك جمله درجه يك در سمت ديگر تساوي (جمله درجه يك نشان دهنده محور است)خسروحجتي

اسلاید 29: 29خسروحجتي

اسلاید 30: 303-4- مخروط:روش شناخت:دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله مربع در سمت ديگر تساوي (جمله تكي نشان دهنده محور است)خسروحجتي

اسلاید 31: 31خسروحجتي

اسلاید 32: 32مثال:رويه زير را شناسايي كنيد: حل:هذلوليوار يك پارچهخسروحجتي

اسلاید 33: روش حل مسايل رويه ها در حالت كلي:1-ماتريس صورت درجه دوم را مينويسيم.2-مقادير وي‍‍‍ژه را بدست ميآوريم(ضرايب جملات درجه دوم جديد)3-بردارهاي ويژه را بدست ميآوريم.4-ماتريس تبديل مختصات را مينويسيم(با قرار دادن بردارهاي ويژه يكه در ستونها).5-معادلات تبديل مختصات را بدست ميآوريم و در عبارت درجه يك قرار ميدهيم.6- نتيجه بند2و5 را در يك عبارت ساده ميكنيم.خسروحجتي

اسلاید 34: 34مثال:رويه درجه دوم زير را شناسايي كنيد:حل:خسروحجتي

اسلاید 35: 35ادامه حل:خسروحجتي

اسلاید 36: 36ادامه حل:خسروحجتي

اسلاید 37: 37ادامه حل:ماتريس تبديل مختصات:معادلات تبديل مختصات كه بايد در عبارت درجه يك جايگذاري كرد:خسروحجتي

اسلاید 38: 38ادامه حل:حال را بترتيب ضريب و معادلات تبديل مختصات را در عبارت درجه يك قرار ميدهيم: خسروحجتي

اسلاید 39: 39ادامه حل:بيضوي است.خسروحجتي

اسلاید 40: مختصات خسروحجتي

اسلاید 41: 41مختصات قطبي:xyA(x,y)=(r, )قرارداد:خسروحجتي

اسلاید 42: 42مختصات استوانه اي:xxyyzzrقرارداد:A(x,y,z)=(r, ,z)خسروحجتي

اسلاید 43: 43معرفي بعضي شكلها در مختصات استوانه اي:R=0 محور z است. معادله استوانه در مختصات دكارتيR=c معادله همان استوانه در مختصات استوانه اي مجموعه نيم صفحه شامل محور z و نيم خطZ=c معادله يك صفحه كه محور z بر آن عمود استخسروحجتي

اسلاید 44: 44مختصات كروي:xxyyzzrA(x,y,z)=قرار داد:خسروحجتي

اسلاید 45: 45معرفي بعضي شكلها در مختصات كروي:كره اي به شعاع r در مختصات دكارتيكروي نمودار نيم صفحه اي شامل محور z نمودار نيم مخروطخسروحجتي

اسلاید 46: توابع برداري

اسلاید 47: 47تعريف تابع برداري يك متغيره:تابع كه در آن وn=2 يا n=3 را يك تابع برداري يك متغيره، مجموعه A را دامنه و مجموعه را برد اين تابع مينامند.به ازاي n=2 و ،f(t) را ميتوانيم به صورت بنويسيم. كه در آن توابعي حقيقي روي A هستند. از طرف ديگر f(t) معرف نقطه اي چون است. بنابراين داريم:

اسلاید 48: 48ادامه تابع برداري:معادلات فوق را معادلات پارامتري نگاره f ، و توابع را مؤلفه هايf و متغيرt را يك پارامتر مينامند.به همين ترتيب:مؤلفه هامعادلات پارامتري

اسلاید 49: 49مثال:معادلات پارامتري نگارهf رابنويسيد.اين نگاره چه شكلي دارد؟حل:معادلات پارامتري

اسلاید 50: 50

اسلاید 51: 51تعريف حد:تابع برداري با ( )( با )در نقطه داراي حد است اگربه عبارت ديگر تابعf در نقطه حد دارد اگر و تنها اكر هر يك از مؤلفه هاي آن در اين نقطه حد داشته باشد

اسلاید 52: 52مثال:حد تابع زير را درt=0 پيدا كنيد:حل:تعريف پيوستگي: تابع كه در آن n=2 يا n=3 در نقطه پيوسته است اگر داشته باشيم:F را روي A پيوسته نامند اگر در هر يك از نقاط A پيوسته باشد. يعني وقتي كه هر يك از مؤلفه هاي آن پيوسته باشد.

اسلاید 53: 53مثال: آيا تابع زير در نقطه داده شده پيوسته است؟حل: چون مؤلفه اول پيوسته نيست بنابراين تابع پيوسته يست.تعريف اثر:اگر با وn=2ياn=3 تابعي پيوسته روي [a,b] باشد، آنگاه f را يك خم در يا مينامند.نگاره f يعني مجموعه را اثر يا مسير خم(و گاه خود خم)گويند.

اسلاید 54: 54روش يافتن اثر خم:با نقطه يابي يا پيدا كردن محل برخورد دو رويه كه از حذف پارامتر بين هر دو مؤلفه تابع بدست ميآيد.مثال:قسمتي از خم زيركه در يك هشتم اول دستگاهمختصات است را بدست آوريد:حل:

اسلاید 55: 55

اسلاید 56: 56تمرين:قرصي به شعاع a در صفحه xoy روي محور x بدون اينكه بلغزد ميغلتد. نقطهq بر اين قرص واقع است .معادلات پارامتري q را پيدا كنيد.حل:BACqEDOF

اسلاید 57: 57ادامه حل:q:(x=oB-AB,y=oD+DE) مسافت طي شده بوسيلهq :در مثلث قای‍م الزاويهCFq داريم:AB=CF,DE=Fq

اسلاید 58: 58تعريف مشتق:تابع برداريf در نقطه x=t مشتق پذير است اگرحد زير وجود داشته باشد:بديهي است در نقاطt=a ,t=b منظور از وجود حد فوق، وجود حدهاي يكطرفه است. در اين صورت حد فوق را مشتقf در نقطه t مينامندوبا نمادهاي زير نشان ميدهند:

اسلاید 59: 59توضيح:به ازاي n=2 : به ازاي n=3 :بنابر اينf در نقطهt مشتق پذير است اگر وتنها اگر مؤلفه هاي آن در اين نقطه مشتق پذير باشندمثال:مشتق تابع رادر نقطه داده شده پيدا كنيد.

اسلاید 60: 60قضيه:(قواعد مشتق گيري)

اسلاید 61: 61مثال: حل:

اسلاید 62: 62ادامه حل:

اسلاید 63: 63قضيه:(قاعده زنجيره اي)توابع فوق را با I كه بازه اي درR است در نظر بگيريد. فرض كنيد f در نقطه t وg درs=f(t) مشتق پذير است. در اين صورت تابع برداري gof در نقطه t مشتق پذير است و داريم gof

اسلاید 64: 64مثال:مشتق تابع زير را در نقطهt=1 بيابيدحل:

اسلاید 65: 65تعريف خم هموار:تابع فوق را روي دامنه اش هموار گويند اگر به ازاي هر ، وجود داشته و پيوسته باشد وبنابر اين خمf هميشه روي(a,b) هموار است اگر وتنها اگر در هر نقطه مشتق يكي از مؤلفه هاي آن غير صفر باشد.

اسلاید 66: 66مثال: آيا خم زير در بازه[1و1-] هموار است.حل: تابع فوق روي بازه داده شده هموار نيست زيرا در در نقطه صفر مؤلفه اول آن مشتق پذير نيست

اسلاید 67: 67تعريف خم پاره هموار:خم فوق را پاره هموار نامند اگر در تعداد متناهي نقطه از دامنه هموار نباشد.به عبارت ديگر خمf پاره هموار است اگر نقطه هاي وجود داشته باشند بطوري كه f در اين نقطه ها يا مشتق نداشته باشد يا در شرط صدق كند ولي در بقيه نقاط [a,b] درشرط صدق كند.

اسلاید 68: 68مثال: خم در نقطهt=0 هموار نيست، زيرا:تعريف طول خم:فرض كنيد: : خمي هموار باشد، طول اين خم را باs نشان ميدهند و با رابطه زير تعريف مكنند:

اسلاید 69: 69تعميم تعريف طول خم:اگرf در نقاط زير پاره هموار باشدو طولf را با رابطه زير تعريف ميكنند:با قراردادن اين فرمول بصورت زير در ميآيد:

اسلاید 70: 70مثال:اگر خم ذيل در بازه داده شده هموار است طول خم را پيدا كنيد.حل:هموار است

اسلاید 71: توابع چند متغیری خسرو حجتي

اسلاید 72: 72تعریف توابع اسکالر: خسرو حجتي

اسلاید 73: 73مثال تابع دومتغیره اسکالر:اعمال جبری مانند توابع حقیقی است خسرو حجتي

اسلاید 74: 74 تعریف توابع برداری: بنابراین تابع اسکالر حالت خاص تابع برداری است خسرو حجتي

اسلاید 75: 75مثالی از تابع برداری :t=0f(0) = (1,0)یاخسرو حجتي

اسلاید 76: 76تعریف: درتابع برداری زیر,i=1,2,3,…,mتوابع اسکالر fi را توابع مولفه ای ویا مولفه های تابع برداری fمی ناميم .خسرو حجتي

اسلاید 77: 77مثال :خسرو حجتي

اسلاید 78: 78تعريف : در تابع بردارى با انتخاب متغیرهای وابستهum,…, u1 معادلاتum= f m(x),…, u1=f 1(x) را معادلات تابع برداری f مى ناميم .اعمال جبری مانند بردارهاست خسرو حجتي

اسلاید 79: 79تعریف : در تابع چند متغیره را می نامند . 2) مجموعه زیررا می نامند : ,X ~ (x1, x2 ,…, x n )1) اگرتصویر مجموعهB تحت fنمودار تابع fخسرو حجتي

اسلاید 80: 803) نقطه را در نظر می گیریم ، مجموعه را به ازاء y0 نامند . كه اگر تابع f اسکالر دو متغیره باشد مجموعه های تراز را این تابع و اگرf اسکالرسه متغیره باشد مجموعه های ترازرا نامند .منحنی های تراز سطوح تراز مجموعه ترازتابع fخسرو حجتي

اسلاید 81: 81مثال 1:f تحت [-1/2 , 0 ] تصوير فاصله:خسرو حجتي

اسلاید 82: 82که معادلات پارامتری خطی است که از نقطه (0و1و0 ) می گذرد و با بردار u ~(1,2,-1) موازی است . خسرو حجتي

اسلاید 83: 83مثال2 :تابع بردارى سه متغيره زير و نقطه را درنظر می گیریم ، مجموعه تراز تابع f به ازاء نقطه (2و1)را بدست آورید .خسرو حجتي

اسلاید 84: 8422222222بيضى واقع در صفحه Z = 2خسرو حجتي

اسلاید 85: 85تعریف همسایگی :شعاع : r مركز : aاگر باشد همسایگی را قرص به مرکزa گویند .2)و اگر باشد همسایگی را یک گوی گویند .3)همسایگی در تعبیر هندسی ندارد . خسرو حجتي

اسلاید 86: 86تعريف فاصله :فاصله نقطه x از a عبارت است از :خسرو حجتي

اسلاید 87: 87مثال : قرص N((0,0),2)عبارت است از:خسرو حجتي

اسلاید 88: 88مثال : نشان می دهیم که درهرهمسایگی میتوان یک همسایگی کوچکتر محاط کرد . یعنی :فرض : حلفرضحال برای اثبات yدلخواه را در نظر می گیریم: خسرو حجتي

اسلاید 89: 89براساس نامساوىمثلثخسرو حجتي

اسلاید 90: 90تعريف مجموعه باز :فرض کنیم آنگاه Uرا یک مجموعه باز درRn می نامیم هرگاه :خسرو حجتي

اسلاید 91: 91مثال : یک زیرمجموعه باز از R2 است: زیرافرضفرضr=x: برای اثبات داریم ?خسرو حجتي

اسلاید 92: 92وحکم ثابت است .خسرو حجتي

اسلاید 93: تعریف مجموعه بسته : را بسته گوئیم هرگاه (متمم (F FCدر باز باشد .Rnخسرو حجتي

اسلاید 94: در بسته است .زیراRCخسرو حجتي

اسلاید 95: تعریف مجموعه کراندار : را کراندار گویند اگر زیرمجموعه ای از یک قرص باشد . بعبارت دیگر :اگر: کراندار است را کراندار گویند اگر زیرمجموعه ای از یک گوی باشد . بعبارت دیگر :SS2SSاگر: کراندار است3خسرو حجتي

اسلاید 96: در غیراینصورت را بی کران گویند .یعنی خارج هر قرص به مرکز مبدأ نقطه ای از واقع است .SSخسرو حجتي

اسلاید 97: مثال :کراندار استزیرا مجموعه همه نقاط داخل دایره به شعاع و مرکز(1و1) است . بنابراین کافی است قرصی انتخاب شود که همه دایره را در برگیرد . یعنی کافی است باشد . خسرو حجتي

اسلاید 98: تعریف مجموعه همبند :(n=2,3) را همبند گویند هر گاه بتوان هر دونقطه x ,y از آن را توسط یک خط شکسته واقع در آن بهم وصل کرد .مجموعه باز همبند را یک ناحیه گویند . خسرو حجتي

اسلاید 99: تعریف همسایگی محذوف یا بدون مرکز :مفروضخسرو حجتي

اسلاید 100: مثال : در R3 باز است . زیرا :فرضاگر: فرضخسرو حجتي

اسلاید 101: برای اثبات در نظر می گیریم :بنابر نا مساوی مثلثباز است خسرو حجتي

اسلاید 102: تعریف حد : در نظر می گیریم تابعفرض کنید A شامل یک همسایگی محذوف نقطه x0 است . گوئیم F در نقطهx0 دارای حد است اگر :در این صورت می نویسیم :خسرو حجتي

اسلاید 103: و یا : خسرو حجتي

اسلاید 104: مثال : نشان می دهیم حد تابع در نقطه برابر است .خسرو حجتي

اسلاید 105: و بطور کلی همان فرمول حد برای تابع n متغیره صحیح است . خسرو حجتي

اسلاید 106: مثال: نشان می دهیم که تابع زیردرنقطه حد ندارد . فرض خلف :خسرو حجتي

اسلاید 107: بنابراین برای باید عددی مانند وجود داشته باشد بطوریکه :خسرو حجتي

اسلاید 108: حالا نقطه را در نظر می گیریم چون 1داریم حال اگر نقطه را در نظر بگیریم چون داریم 2خسرو حجتي

اسلاید 109: حال اگر :که تناقض است بنابراین تابع حد ندارد .خسرو حجتي

اسلاید 110: حد در صورت وجود منحصر به فرد است .کلیه فرمولهای حد توابع حقیقی در مورد توابع چند متغیره نیز صادق است .بنابراین اگر هر مولفه حد داشته باشد تابع حد دارد . خسرو حجتي

اسلاید 111: مثال :خسرو حجتي

اسلاید 112: پیوستگی مثل توابع حقیقی ، اگر حد با مقدارتابع برابرباشد پیوسته است و بطور کلی وقتی همه مولفه هاپیوسته باشند تابع پیوسته است .خسرو حجتي

اسلاید 113: نكاتي درمورد پيوستگيتعريف: هر گاه f يك تابع دو متغيره بوده ونمو f در نقطه را چنين نمايش دهيم:بطوريكه:خسرو حجتي

اسلاید 114: تعريف مشتقپذيرياگر در تعريف قبل داشته باشيم:در اينصورت fدر مشتقپذير است.خسرو حجتي

اسلاید 115: قضيه: هر گاه تابع دو متغيره fدر نقطه اي مشتقپذير باشد در آن نقطه پيوسته است.قضيه: اگر مشتقات جزئي تابع دو متغيره بر قرص بازموجود و در نقطه aپيوسته باشد آنگاه f در آن نقطه مشتقپذير است.خسرو حجتي

اسلاید 116: مثال:با استفاده از تعريف محاسبه ميكنيم:1خسرو حجتي

اسلاید 117: طرف چپ 1 پس از خلاصه كردن:كه بايد به يكي از چهار طريق زير معادل طرف راست 1 باشد. يعني:خسرو حجتي

اسلاید 118: چون توابع وجود دارند كافي است در يك مورد نشان داده شود كهبنابراينخسرو حجتي

اسلاید 119: در نتيجه تابع مشتقپذير بوده و در نقطه پيوسته است.

اسلاید 120: مثال:در مورد پيوستگي تابع زير تحقيق كنيد:بنابر اين حد ندارد و در نتيجه پيوسته نيست.خسرو حجتي

اسلاید 121: تمرين: نشان دهيد تابع زير پيوسته استپيوستهپيوستهچون توابع هيپربوليك و نمائي پيوسته و تركيب توابع پيوسته، پيوسته است بنابراين تابع f پيوسته استپيوستهخسرو حجتي

اسلاید 122: تعریف مشتق جزئی :اگر تابع اسکالر روی یک همسایگی نقطه تعریف شده باشد در اینصورت رابطه زیر را در صورت وجود مشتق جزئیF درنقطهX نسبت به متغیر i ام نامند و با یا یا نشان می دهند . خسرو حجتي

اسلاید 123: مثال :مشتقات جزئی مراتب بالا تر خسرو حجتي

اسلاید 124: مثال :اگر مشتقات جزئی موجود وپیوسته باشند تا هر مرتبه ای گویند تابع از رده Cn (n همان مرتبه ) است .تساوی وقتی برقرار است که پیوسته باشد .خسرو حجتي

اسلاید 125: مثال :خسرو حجتي

اسلاید 126: تمرين: مشتقات جزئي تابع زير را پيدا كنيد:خسرو حجتي

اسلاید 127: 127خسرو حجتي

اسلاید 128: تمرين:اگر تابع fداراي مشتقات جزئي پيوسته باشدوv=x-y,u=x+y,w=f(u,v) ثابت كنيد:حل:خسرو حجتي

اسلاید 129: خسرو حجتي

اسلاید 130: تمرين:مشتق جزئي تابع داده شده را در نقطه داده شده پيدا كنيدخسرو حجتي

اسلاید 131: خسرو حجتي

اسلاید 132: تعریف مشتق جهت دار :با فرض:Vبردارواحد در صورت وجود مشتق جهت دار f در نقطه x0 و در جهت V است .خسرو حجتي

اسلاید 133: مثال :در نقطه و در جهت بردار واحد : داریم خسرو حجتي

اسلاید 134: خسرو حجتي

اسلاید 135: خسرو حجتي

اسلاید 136: تعریف مماس و قائم :صفحه در نقطه Pبر رویه S مماس است اگر برمنحنی های واقع برS ومار برP مماس باشد. بعبارت دیگر صفحه در نقطه P بر رویه S مماس است اگر شامل تمام خطوطی باشد که در نقطه P به منحنى هاى واقع برS و مار بر P مماس باشد .خسرو حجتي

اسلاید 137: خطی که از P گذشته و بر صفحه مماس برS در Pعمودباشد، خط عمود برS درنقطه Pنامیده می شود .خسرو حجتي

اسلاید 138: فرمول امتداد قائم بر صفحه مماس بر رویه در نقطه :خسرو حجتي

اسلاید 139: معادله صفحه مماس بر رویه S در نقطه : Pخسرو حجتيخسرو حجتي

اسلاید 140: معادله خط قائم بر رویه S در نقطه : P خسرو حجتي

اسلاید 141: مثال :معادله صفحه مماسمعادله خط قائم خسرو حجتي

اسلاید 142: شرط وجود صفحه مماس :اگر تابع روی مستطیل باز زیر پیوسته باشدومشتقات جزئی آن روی R وجود داشته ودرنقطه پیوسته باشد،(شرایط قضیه نمو)آنگاه تابع خطیL که نمودار آن صفحه مماس بررویه Z درنقطه است وجود دارد . که نمودار آن صفحه مماس رویه است .خسرو حجتي

اسلاید 143: قاعده زنجیره ای :اگر g دارای مشتقات جزئی روی همسایگی از نقطه (x0,y0) بوده و در این نقطه پیوسته باشند و توابعx وy در نقطه t=t0 مشتقپذیر آنگاه با فرض تابع مرکب درنقطه مشتقپذیر است و داریم : خسرو حجتي

اسلاید 144: خسرو حجتي

اسلاید 145: مثال:خسرو حجتي

اسلاید 146: مشتق گیری ضمنی :خسرو حجتي

اسلاید 147: فرمول تقریب :بشرط و بحد کافی کوچکخسرو حجتي

اسلاید 148: مثال : معادله صفحه مماس بر را در نقطه پیدا کنید .خسرو حجتي

اسلاید 149: تعريف گرادیان :فرض کنیم تابع اسکالر n متغیره F روی مجموعه دارای تمام مشتقات جزئی مرتبه اول باشد در اینصورت : خسرو حجتي

اسلاید 150: مثال:خسرو حجتي

اسلاید 151: قاعده زنجیره ای : (برداری و اسکالر) g,f روی قلمروشان دارای مشتقات جزئی پیوسته اند .در اینصورت داریم :خسرو حجتي

اسلاید 152: مثال :خسرو حجتي

اسلاید 153: حل مثال فوق از روش معمولی :که همان است .خسرو حجتي

اسلاید 154: قضیه :رابطه بین مشتق جهت دار و گرادیان :خسرو حجتي

اسلاید 155: مثال :مشتق جهت دارتابع روبرورا درنقطه و در جهت بردار بدست آورید :خسرو حجتي

اسلاید 156: تمرين:مشتق سوئي تابع داده شده را در نقطه وسوي تعيين شده پيدا كنيد:خسرو حجتي

اسلاید 157: خسرو حجتي

اسلاید 158: تمرين:مشتق سوئي تابع داده شده را در نقطه وسوي تعيين شده پيدا كنيد:حل:خسرو حجتي

اسلاید 159: تمرين: معادله صفحه مماس و خط قائم بر رويه داده شده را در نقطه داده شده پيدا كنيد:خسرو حجتي

اسلاید 160: يادآوری بسط تیلور توابع یک متغیره :اگر مشتقات مراتب مختلف تابع یک متغیره حقیقی f در همسایگی ( a-h , a+h ) موجود باشند آنگاه برای وداریم :خسرو حجتي

اسلاید 161: باقیمانده مرتبه n ام f در نقطه a : بینa و x وجود دارد کهخواهیم داشت :در فرمول فوق اگر باقیمانده نوشته نشود آن را چند جمله ای تیلور گویندخسرو حجتي

اسلاید 162: قضیه :فرض کنیم f درهمسایگی N از نقطه (a,b) دارای مشتقات جزئی مرتبه سوم پیوسته باشد . دراینصورت :خط واصل خسرو حجتي

اسلاید 163: بسط تیلورمرتبه اول تابع حول نقطه باباقیمانده است.f(a,b)Rخسرو حجتي

اسلاید 164: که بسط تیلور مرتبه دوم تابع حول نقطه با باقیمانده است.f(a,b)Rخسرو حجتي

اسلاید 165: مثال :بسط تیلور مرتبه دوم تابع را در نقطه (a,b)=(0,0) محاسبه کنید .خسرو حجتي

اسلاید 166: تمرين: بسط تيلور مرتبه دوم تابع زير را در نقطه داده شده پيدا كنيدحل:خسرو حجتي

اسلاید 167: خسرو حجتي

اسلاید 168: تمرين: بسط تيلور مرتبه دوم تابع زير را در نقطه داده شده پيدا كنيدخسرو حجتي

اسلاید 169: خسرو حجتي

اسلاید 170: تعریف مینیمم و ماکسیمم : را یک نقطه مینیمم نسبی f می نامیم هرگاه بطوریکه : در این صورت f(x0) یک مینیمم نسبی f است . رایک نقطه ماکزیمم نسبی f می نامیم هرگاه بطوریکه در اینصورت f(x0) را یک ماکزیمم نسبی f گویند .خسرو حجتي

اسلاید 171: را یک نقطه ماکزیمم مطلق f نامند هرگاه در اینصورت ) f(x0 را ماکزیمم مطلق f نامند . را یک نقطه مینیمم مطلق f نامند هرگاهدر اینصورت ) f(x0 را مینیمم مطلق f نامند .خسرو حجتي

اسلاید 172: مثال :تابع را در نظر می گیریم : (0,0) نقطه ماکزیمم مطلق است .F(0,0) ماکزیمم مطلق و نسبی است .خسرو حجتي

اسلاید 173: تابع را در نظر می گیریم :مثال :چون مقدار تابع در هر نقطه خط برابر صفر است نقاط روی خط فوق مینیمم مطلق f است .خسرو حجتي

اسلاید 174: قضیه :اگرf روی مشتق پذیر باشد و یک نقطه ماکزیمم یا مینیمم نسبی f باشد . آنگاه بعبارت دیگر :خسرو حجتي

اسلاید 175: تعریف نقطه بحرانی : را یک نقطه بحرانی f گویند اگر در یکی از دو شرط زیر صدق کند :الف) f در نقطه x0 مشتق پذیر نباشد .( لااقل یکی از مشتقات جزئی موجود نباشد .)ب) f در x0 مشتقپذیر و خسرو حجتي

اسلاید 176: در نتیجه نقاط ماکزیمم و مینیمم یکی از نقاط بحرانی است یعنی جواب دستگاه زیر یک نقطه بحرانی یا ماکزیمم و مینیمم است .در صورتیکه نقاط بحرانی ، ماکزیمم یا مینیمم نباشد آنرا نقطه زین اسبی گویند .خسرو حجتي

اسلاید 177: مثال :نقاط بحرانی تابع زیر کدامند ؟پاسخ:نقاط بحرانی : (1- و2)خسرو حجتي

اسلاید 178: قضیه : (آزمون مشتق دوم )فرض می کنیم f روی N(x 0 )از رده C2و x 0 یک نقطه بحرانی f باشد در اینصورت :مفروض : N(x 0 ), همسایگی خسرو حجتي

اسلاید 179: آنگاه :الف : اگر D<0 نقطه x0 نقطه زین اسبی است .ب: اگرD>0 و A>0 نقطه x0 مینیمم نسبی است .ج: اگر D>0 و A<0 نقطه x0 ماکزیمم نسبی است .د: اگر D=0 نمی توان اظهار نظر کرد .خسرو حجتي

اسلاید 180: مثال :نوع نقاط بحرانی تابع زیر را تعیین کنید . پاسخ:خسرو حجتي

اسلاید 181: : ادامه جوابزین اسبی مینیمم نسبی خسرو حجتي

اسلاید 182: محاسبه ماکزیمم ومینیمم تحت شرایط خاص :برای پیدا کردن نقطه ماکزیمم و مینیمم تابع f نسبت به شرط g(x,y,z)=0 باید دستگاه را نسبت به x وy وz و حل نمود وجواب نقطه (x,y,z)است .خسرو حجتي

اسلاید 183: مثال :ماکزیمم و مینیمم فاصله مبدا را تا منحنی زیر پیدا کنید .پاسخ:فرمول فاصله : ( زیرا نقاط واقع بر این دایره بیشترین فاصله را دارند )خسرو حجتي

اسلاید 184: نقاط ماکزیمم ومینیممماکزیمممینیممخسرو حجتي

اسلاید 185: تمرين: نشان دهيد كه ماكزيمم تابع f(x,y,z)=x+y+z روي كره زير عبارت است ازحل:خسرو حجتي

اسلاید 186: خسرو حجتي

اسلاید 187: خسرو حجتي

اسلاید 188: انتگرال دوبل :خسرو حجتي

اسلاید 189: انتگرال در ناحیه R که توسط منحنی C محدود شده: خسرو حجتي

اسلاید 190: برای محاسبه ناحیه را به مستطیل های کوچک تقسیم میکنیم ومشابه عملیات انتگرال معمولی مجموع مساحات و حد آنها را حساب می نمائیم که به این ترتیب اگر ناحیه f به مستطیلی فرض شود که توسط خطوط y=d و y=c و x=b و x=a محدود شده خواهیم داشت :خسرو حجتي

اسلاید 191: اول محاسبه می شود اول محاسبه می شود بعد بعد : حالت خاصabcdoخسرو حجتي

اسلاید 192: در حالت کلیR مستطیل نبوده و ناحیه ای باشد که با منحنی C محدود شده باشد .فرض کنید که B1 و B2 به ترتیب مینیمم و ماکزیمم منحنی را تشکیل داده و A1 و A2 کمترین وبیشترین مقادیر C روی محور افقی را تعیین می کنند .خسرو حجتي

اسلاید 193: را معادله و را معادله منحنی بگیرید . در اینصورت به جای a و b مقادیر و و بجای c و d مقادیر B1 و B2 قرار می گیرند . در نتیجه خواهیم داشت :خسرو حجتي

اسلاید 194: و بهمین ترتیب می توان نوشت :خسرو حجتي

اسلاید 195: مثال :مقدار را روی ناحیه محدود شده R که ربع بیضی ای به معادله است را محاسبه کنید . پاسخ:خسرو حجتي

اسلاید 196: که با توجه به مطالب ریاضی1 همان مختص y مرکز ثقل ربع بیضی است و بهمین ترتیب که مختص x مرکز ثقل است .خسرو حجتي

اسلاید 197: چند مورد کاربردیخسرو حجتي

اسلاید 198: 1- ممان اینرسی :ممان اینرسی یک ذره حول یک محور مساویست با حاصلضرب جرم آن در مربع فاصله آن از محور .برای محاسبه ممان اینرسی یک ناحیه مسطح حول محوری عمود بر آن از انتگرال دوبل استفاده می کنیم.خسرو حجتي

اسلاید 199: مثال :ممان اینرسی سطحی را که در ربع اول دستگاه مختصات قرار گرفته و توسط منحنی y2 =1-x محدود شده حول محوری عمود بر سطح xy در (1,0)را پیدا می نمائیم . حل :فاصله هر نقطه دلخواه p(x,y) از نقطه (1,0) برابر است با :خسرو حجتي

اسلاید 200: ادامه جواب :خسرو حجتي

اسلاید 201: 2- محاسبه حجم :اگر z=f(x,y) معادله یک سطح (رویه) باشد که توسط منحنی C بوجود آمده آنگاه حجم حادث از آن رویه و دو ناحیه محدود شده بوسیله دو مقطع آن رویه توسط منحنی C بوسیله انتگرال دوبل محاسبه می شود .خسرو حجتي

اسلاید 202: تذکر : (هرگاه f(x,y)=1 باشد انتگرال دوبل مساحت ناحیه R را بدست می دهد)خسرو حجتي

اسلاید 203: مثال :حجم یک چهار وجهی که توسط سطح و سطوح مختصات محدود شده را پیدا کنید :حل :در صفحه xy منحنی C خط است لذا خواهیم داشت :خسرو حجتي

اسلاید 204: تمرين: اگر D مثلثي به رئوس (0و0)و باشد انتگرال زير را روي D محاسبه كنيد:y=xخسرو حجتي

اسلاید 205: خسرو حجتي

اسلاید 206: خسرو حجتي

اسلاید 207: تمرين: مساحت ناحيه تمرين قبل را به كمك انتگرال دوگانه محاسبه كنيد:y=xخسرو حجتي

اسلاید 208: تمرين: اگر D ذوزنقه اي به رئوس (0و0)o=وA=(1,0),B=(1,2),c=(0,1) باشد انتگرال زير را روي D محاسبه كنيد:خسرو حجتي

اسلاید 209: حل:OCBAy=x+1خسرو حجتي

اسلاید 210: خسرو حجتي

اسلاید 211: خسرو حجتي

اسلاید 212: تمرين: مساحت ناحيه تمرين قبل را به كمك انتگرال دوگانه محاسبه كنيد:خسرو حجتي

اسلاید 213: تمرين: انتگرال داده شده را روي ناحيه D محاسبه كنيد:حل:x+y=1-x+y=1x-y=1-x-y=1خسرو حجتي

اسلاید 214: خسرو حجتي

اسلاید 215: خسرو حجتي

اسلاید 216: تمرين: مساحت ناحيه تمرين قبل را به كمك انتگرال دوگانه محاسبه كنيد:خسرو حجتي

اسلاید 217: تمرين: انتگرال داده شده را روي ناحيه D محصور بين دو هذلولي xy=1 , xy=2 و خطوط y=x, y=4x واقع در ربع اول محاسبه كنيد:خسرو حجتي

اسلاید 218: حل:y=xy=4xxy=1xy=2ََDََCََBََAخسرو حجتي

اسلاید 219: خسرو حجتي

اسلاید 220: خسرو حجتي

اسلاید 221: خسرو حجتي

اسلاید 222: ادامه جواب :خسرو حجتي

اسلاید 223: نكته كاربردي1: اگر ناحيه انتگرال گيري Rنسبت به محور y ها متقارن و f روي x فرد باشد، چون f(-x,y)=-f(x,y) آنگاه:خسرو حجتي

اسلاید 224: مثال:(14-2-1)ناحيه Rبين دو منحني محصور است.خسرو حجتي

اسلاید 225: نكته كاربردي2: اگر ناحيه انتگرال گيري Rنسبت به محور y ها متقارن و f روي x زوج باشد، چون f(-x,y)=f(x,y) آنگاه:خسرو حجتي

اسلاید 226: مثال:(36-2-1)مساحت دايره به شعاع r روي ناحيه D : كافي است از تابع f(x,y)=1 روي ناحيه و با توجه به نكته بيان شده انتگرال دو گانه بگيريم:خسرو حجتي

اسلاید 227: خسرو حجتي

اسلاید 228: نكته كاربردي3: اگر ناحيه انتگرال گيري Rنسبت به محور x ها متقارن و f روي y فرد باشد، چون f(x,-y)=-f(x,y) آنگاه:خسرو حجتي

اسلاید 229: نكته كاربردي4: اگر ناحيه انتگرال گيري Rنسبت به محور x ها متقارن و f روي y زوج باشد، چون f(x,-y)=f(x,y) آنگاه:خسرو حجتي

اسلاید 230: انتگرال تریپل (سه گانه )خسرو حجتي

اسلاید 231: انتگرال سه گانه :مشابه انتگرال یک گانه و دو گانه تقسیمات جزئی حجمی را در نظر می گیریم و حجم ناحیه را محاسبه می کنیم (برای توابع سه متغیره )خسرو حجتي

اسلاید 232: که با جایگذاری مناسب مشابه انتگرال دوگانه می توان بشکل زیر فرمول را تبدیل کرد :خسرو حجتي

اسلاید 233: مثال :ممان اینرسی Ix جسم جامدی را که با استوانه و سطوح z=b و z=0 محصور شده حول محور x (مطابق شکل ) تعیین می کنیم ( با فرض چگالی ثابت ( خسرو حجتي

اسلاید 234: پاسخ :چون فاصله هر نقطه از محور x با فرمول زیر بدست می آید .بنابراین خواهیم داشت :خسرو حجتي

اسلاید 235: اگر در نظر بگیریم :خسرو حجتي

اسلاید 236: خسرو حجتي

اسلاید 237: تعریف ژاکوبین :فرض کنید u=u(x,y) و v=v(x,y) دو تابع دومتغیره پیوسته باشند بطوریکه مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته داشته باشند لذا دترمینان تابعی u و v نسبت به x و y خسرو حجتي

اسلاید 238: در مورد تابع سه متغیره ژاکوبین بطور مشابه چنین تعریف می شود :فرض کنیم :خسرو حجتي

اسلاید 239: تعریف قبل بهمین ترتیب برای توابعی با بیش از سه متغیر نیز تعمیم می یابد .از ژاکوبین برای تغییر متغیر انتگرالهای چندگانه استفاده می شود. بدین ترتیب که اگر لازم شود در انتگرال متغیر با قرار دادن تغییر داده شود عبارت dA برحسب جملات u و v بدین صورت تغییر می کند :خسرو حجتي

اسلاید 240: به عنوان مثال در تغییر متعیر به مختصات قطبی :خسرو حجتي

اسلاید 241: بنابراین بطور کلی داریم :و بطور مشابه نیز برای توابع سه متغیره محاسبه می شود .خسرو حجتي

اسلاید 242: تغییر متغیر خسرو حجتي

اسلاید 243: مثال :انتگرال دوگانه زیر که در دستگاه دکارتی است را به دستگاه قطبی تبدیل و سپس محاسبه می کنیم :: تغییر متغیر به قطبیخسرو حجتي

اسلاید 244: خسرو حجتي

اسلاید 245: بهمین ترتیب تغییر متغیر (برای توابع سه متغیره ) به دستگاه مختصات استوانه ای بطور خلاصه چنین می شود :وتغییرمتغیر به دستگاه مختصات کروی برابر است با :خسرو حجتي

اسلاید 246: مثال :اگر جسمی باشد که در ناحیه اول مختصات قرار داشته باشد و توسط کره و صفحات مختصات محصور شده باشد . را الف) با استفاده از مختصات کروی ب) با استفاده از مختصات استوانه ای پیدا کنید .خسرو حجتي

اسلاید 247: حل قسمت الف :خسرو حجتي

اسلاید 248: ادامه قسمت الف :خسرو حجتي

اسلاید 249: دنباله حل مثال(قسمت ب):خسرو حجتي

اسلاید 250: ادامه قسمت ب :خسرو حجتي

اسلاید 251: بنابراین از هر طریق جواب یکی است .ادامه قسمت ب :خسرو حجتي

اسلاید 252: انتگرال خطی :مقدمه: می دانیم حاصلضرب تغییر مکان و مولفه نیروی وارده در جهت تغییر مکان را کار انجام شده توسط این نیرو گویند .بعبارت دیگر اگر نیرو و تغییر مکان باشد :مولفه F در امتداد تغییر مکانخسرو حجتي

اسلاید 253: فرض کنیم که C منحنی نمایش یک تابع برداری در فاصله (a,b) باشد و یک نیروی برداری باشد که در روی C تعریف شده باشد و در فاصله [a,b]قابل انتگرال گیری باشد . در اینصورت کار انجام شده توسط نیروی F برای بحرکت در آوردن یک ذره در امتداد C از r(a) تا r(b) عبارت است از :خسرو حجتي

اسلاید 254: اگر نیروی را داشته باشیم مقدار کار انجام شده توسط این نیرو را برای بحرکت درآوردن ذره ای در امتداد y=x از A(0,0) تا B(1,1) را بدست آورید .مثال :خسرو حجتي

اسلاید 255: پاسخ :خسرو حجتي

اسلاید 256: ادامه مثال :خسرو حجتي

اسلاید 257: انتگرال روی خم :C عبارت از خم انتگرال روی خم f(x,y) در مسیرC :خسرو حجتي

اسلاید 258: انتگرال روی خم روبرو را محاسبه کنید: که C عبارت است از خم زیر : مثال :خسرو حجتي

اسلاید 259: پاسخ :خسرو حجتي

اسلاید 260: ادامه پاسخ :خسرو حجتي

اسلاید 261: ادامه پاسخ :خسرو حجتي

اسلاید 262: مثال :مطلوبست محاسبه انتگرال در مسیر خطهای زیر که دو نقطه (0,0) و (1,1) را بیکدیگر وصل می کنند :الف) خط y=x :حل:خسرو حجتي

اسلاید 263: ب)سهمی : y=x2حل:خسرو حجتي

اسلاید 264: ج) سهمی : y2=x حل:خسرو حجتي

اسلاید 265: دیفرانسیل کامل یا واقعیخسرو حجتي

اسلاید 266: یادآوری :با فرض اینکه باشد داریم :f(x)dx دیفرانسیل F(x) استخسرو حجتي

اسلاید 267: بطور مشابه اگر P(x,y) و (x,y) Q دو تابع دو متغیره باشند آنگاه در صورتیکه برای(1) P(x,y)dx+ Q (x,y)dy تابعی مثل F(x,y) وجود داشته باشد کهخسرو حجتي

اسلاید 268: دراینصورت رابطه (1) را دیفرانسیل واقعی یا کاملF(x,y) گویند و یا بعبارت دیگر برای تابع F(x,y) دیفرانسیل واقعی یا کامل چنین تعریف می شود :خسرو حجتي

اسلاید 269: مثال1 :خسرو حجتي

اسلاید 270: مثال 2:با فرض خسرو حجتي

اسلاید 271: قضیه :شرط لازم و کافی برای آنکه P(x,y)dx+ Q (x,y)dy یک دیفرانسیل کامل باشد این است که خسرو حجتي

اسلاید 272: اگر P(x,y)=y و (x,y)=-x Q باشد آنوقت بنابراین ydx-xdy دیفرانسیل کاملی نیست .مثال 3:خسرو حجتي

اسلاید 273: آیا عبارت روبرو دیفرانسیل کاملی است ؟مثال4 :حل:بله زیرا :خسرو حجتي

اسلاید 274: میدانهای برداری کنسرواتیو یا میدانهای برداری نگهدارنده :اگر تابع اسکالر F بنحوی وجود داشته باشد که برای بردار داشته باشیم در اینصورت F را پتانسیل یا (نگهدارنده ) نامند .دراینصورت را یک میدان برداری کنسرواتیو نامند و داریم :خسرو حجتي

اسلاید 275: مثال :ثابت کنید که عبارت زیرکنسرواتیو است و تابع پتانسیل آن را بدست آورید .خسرو حجتي

اسلاید 276: یک میدان برداری کنسرواتیو است .: طبق تعریفحل :خسرو حجتي

اسلاید 277: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 278: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 279: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 280: کرل (چرخه ) چرخشخسرو حجتي

اسلاید 281: تعریف کرل :اگر تابع برداری u در همه نقاط تعریف شده مشتق پذیر باشد در اینصورت :خسرو حجتي

اسلاید 282: کرل u را در نقطه (1,1,1) محاسبه کنید :مثال :حل :خسرو حجتي

اسلاید 283: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 284: تعریف عملگر لاپلاسین:اگر دراینصورت u را تابع هارمونیک گویند .خسرو حجتي

اسلاید 285: مثال :لاپلاسین u را در نقطه (1,0,1) محاسبه کنید .خسرو حجتي

اسلاید 286: انتگرال رویه ای برای تعریف و محاسبه مساحت و سطح رویه از انتگرالهای چندگانه استفاده می کنیم : قسمتی از سطح رویه که بوسیله منحنی بسته محدود شده و Z=f(x,y)معادله سطح رویه S(با شرط اینکه هر خط موازی با محور z فقط در یک نقطه سطح را قطع کند محاسبات قابل انجام شدن است .خسرو حجتي

اسلاید 287: 287xyzsNRcخسرو حجتي

اسلاید 288: C تصویر روی سطح xy و زاویه هادی خط عمود برS یا قائم بر S است و پس از تقسیمات جزئی روی مساحت ومجموع و حدگیری بطور خلاصه و در نتیجه:خسرو حجتي

اسلاید 289: بطور مشابه اگر بر سطوح دیگر مختصات نیز تصویر کنیم با توجه به زوایای هادی فرمولهای مشابهی حاصل می شود و بطور کلی انتگرال تابع u(x,y,z) روی سطح z=f(x,y) را میتوان چنین تعریف نمود :خسرو حجتي

اسلاید 290: مثال :مساحت قسمتی از استوانه را که در اول دستگاه مختصات بین سطوح Z=0 و Z=mx قرار گرفته حساب کنید . خسرو حجتي

اسلاید 291: 291حل :بدیهی است که فقط این سطح روی صفحات xz یا xyقابل تصویر نمودن است چون قائم بر سطح xy روی سطح قرار دارد لذا روی xy قابل تصویر نمودن نیست .حال با تصویر روی xz داریم :خسرو حجتي

اسلاید 292: خسرو حجتي

اسلاید 293: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 294: انتگرال رویه ای را در صورتیکه رویه سهمیگون بوده و u=1 است محاسبه کنید . ( توضیح اینکه چون u=1 است بنابراین یعنی مقدار انتگرال رویه ای همان سطح رویه S است .(مثال :خسرو حجتي

اسلاید 295: حل :خسرو حجتي

اسلاید 296: تصویر را روی صفحه xy می نماییم : ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 297: تعریف دیورژانس واگرائی :اگر تابع برداری u در تمام نقاط تعریف شده مشتق پذیر باشد . دیورژانس تابع u عبارت است از : : تابع برداری مفروض خسرو حجتي

اسلاید 298: مثال :دیورژانس u را در نقطه (1,1,1) حساب کنید :خسرو حجتي

اسلاید 299: قضیه گرین در صفحه :اگر R یک میدان درصفحه xy باشد که توسط منحنی C محدود شده ( منحنی بطوری است که هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع نکند ) اگرP و Q توابعی پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته باشند در اینصورت خسرو حجتي

اسلاید 300: مثال :با استفاده از قضیه گرین انتگرال خطی زیر را محاسبه نمائید .حل :خسرو حجتي

اسلاید 301: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 302: تبصره :قضیه در حالتیکه منحنی بسته C طوری باشد که هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع کند نیز صادق است . خسرو حجتي

اسلاید 303: مثال :انتگرال خطی زیر را روی مسیر داده شده حساب کرده و سپس با استفاده از قضیه گرین مقدارانتگرال را بدست آورید و مقایسه کنید :خسرو حجتي

اسلاید 304: روی مسیرروی مسیرطبق قضیه گرین می توان چنین نوشت :حل :خسرو حجتي

اسلاید 305: روی مسیرروی مسیرادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 306: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 307: حال با استفاده از قضیه گرینخسرو حجتي

اسلاید 308: نتیجه : S مساحت میدان R را می توان از یکی از فرمولهای زیر بدست آورد :خسرو حجتي

اسلاید 309: مثال :با استفاده از قضیه گرین سطح بیضی را بدست آورید :حل :می دانیم معادلات پارامتری مسیر بدینگونه است :خسرو حجتي

اسلاید 310: ادامه جواب : خسرو حجتي

اسلاید 311: تبصره :در مختصات قطبی مساحت از فرمول زیر به روش قبل محاسبه می شود :خسرو حجتي

اسلاید 312: اولین فرم برداری قضیه گرین :پارامتر طول قوس منحنی بردار واحد مماس بر منحنیTکه برداری است عمود بر میدان و به طولخسرو حجتي

اسلاید 313: تعبير فيزیکی : اگر نمایانگر جهت ومیزان شار یک سیال در نقطه در صفحه باشد انتگرال فوق عبارت از انتگرال مولفه ای از شار است که در جهت مماس بر منحنی است و بنام گردش در اطراف نقاط مرزی موسوم است .F(x,y)Flow(x,y)CFRخسرو حجتي

اسلاید 314: قضیه دیورژانس (قضیه گرین در فضا) مقدمه : بردار نرمال خارجی یک رویه : برداریست که بر رویه عمود بوده و جهت ان به طرف خارج رویه باشد .خسرو حجتي

اسلاید 315: مثلا : اگر یک کره بمرکز مبدا مختصات و شعاع R ( X2 + Y2 + Z2 =R2 ) داشته باشیم ، این کره محور Z ها را در نقطه A و B قطع می کند آنگاه بردار نرمال خارجی این کره در دو نقطه A وB به ترتیب K و-K یعنی در جهت مثبت ومنفی محور Z ها خواهد بود یعنی خسرو حجتي

اسلاید 316: قضیه دیورژانس :عملا تبدیل انتگرال سه گانه به دوگانه و بالعکس است .فرض کنید S یک رویه و V فضای داخلی آن و بردار یکه نرمال خارجی بطوریکه تابع برداری S عبارت از که 1A و 2A و 3A توابع پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته باشند در اینصورت خواهیم داشت:خسرو حجتي

اسلاید 317: خسرو حجتي

اسلاید 318: و یا دیورژانسکه u و v و w زوایای بردار نرمال خارجی رویه S در جهت مثبت مثلثاتی با محورهای مختصات است . خسرو حجتي

اسلاید 319: 319 مثال : قضيه ديور ژانس را در مورد مساله زير تحقيق كنيد. خسرو حجتي

اسلاید 320: حل :: قضیه دیورژانس خسرو حجتي

اسلاید 321: 321xyzABCDEFGO111خسرو حجتي

اسلاید 322: ادامه حل : رویه S چنین است که از شش سطح تشکیل شده بنابراین داریم :خسرو حجتي

اسلاید 323: ادامه جواب :خسرو حجتي

اسلاید 324: ادامه جواب :خسرو حجتي

اسلاید 325: 3خسرو حجتي

اسلاید 326: 326 دومين فرم برداري قضيه گرين (حالت خاص) ( با توجه به اينكه )خسرو حجتي

اسلاید 327: 327 مثال: اگر تابع اسكالري با مشتقات جزئي پيوسته مرتبه اول در ميدان باز در صفحه باشد و ميداني در باشد كه نقاط مرزي آن يك منحني بسته ساده باشد ثابت كنيدgsxyRscخسرو حجتي

اسلاید 328: 328حل:مي دانيم مشتق جهت دار در امتداد عبارت است از: gnبا جایگزاری داریم:خسرو حجتي

اسلاید 329: 329 قضيه استوكس: حالت كلي قضيه گرين : فرض کنید كه رويه طوري باشد كه تصاوير آن در صفحات مختصات بوسيله يك منحني بسته مسدود شده باشد ، اگر s وx=g(y,z) وy=h(x,z) معادلات رويه باشند و توابع پيوسته و داراي مشتقات نسبي مرتبه اول باشند .آنگاه اگرsf,g,hبا توجه به اينكه پيوسته و داراي مشتقات جزئي مرتبه اول پيوسته و خسرو حجتي

اسلاید 330: 330مثال: قضيه استوكس را در مورد مسئله زير تحقيق كنيد.حل:مي خواهيم تساوي زير (فرمول استوكس) را نشان دهيم:oBDEsxyتصوير رويxyاز چهارمسير ، ، و تشكيل شدهخسرو حجتيخسرو حجتي

اسلاید 331: 331طرف اولoBDExy1خسرو حجتي

اسلاید 332: 332طرف دوماست پس موازي صفحه چون رويه sxyخسرو حجتي

اسلاید 333: TitleLorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et magna. Fusce sed sem sed magna suscipit egestas. Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit. Vivamus et magna. Fusce sed sem sed magna suscipit egestas. برای عضویت در شبکه دانشجویان ایران عدد 1 را به شماره زیر پیامک کنید100080809090برای ورود به شبکه آموزشی دانشجویان کلیک کنیدMadsg.comلطفا آدرس ما را به خاطر داشته باشید