ریاضی عمومی 2 (رویه ها)

صفحه 1:
!إمادسيج یعنی دهکده علم و دانش ایران مادسیج: شبکه آموزشی پژوهشی دانشجویان ایران ‎Madsg.com‏ 

صفحه 2:
ا 2 = = ‎a>‏ ‏هه 2 >== د 5 5 هه 5 ‎Ze‏ ‏=[ ‏2 ‎a =‏ =_ = << 5 هه 2 5 =[ 3 هه - 7 ك2 << 2 

صفحه 3:


صفحه 4:


صفحه 5:
7 تعريف: هر كاه © يك منحنی(منحنی هادى استوانه) در يك صفحه و .آ خطي ناواقع بر اين صفحه باشد. خطي كه متكي بر ‎9c‏ موازي با ‎a Sek‏ استواند) رويه اي نام دارد 0000 *مثال: 1- 7 +عر :» ۶-1 +تر »= ‎L:Z=0‏ *استوانه لوو ووو 

صفحه 6:
ی 3 

صفحه 7:
2 =() راه حل كلي حل مسایل:فرض 0= ‎cee)‏ s e ex ‏هادي و 1 يك مولد استونه اي بروز‎ ۴ را به شکلفصل .مه +مروط بیج * مشترك دو صفحه در نظر میگیریم و دستگاه معادلات حاصل را با حذف 26,1,2, حل میکنیم و سپس بجاي :2 مقدار میگذاریم. معادله استوانه بدست میآید. ااا او 

صفحه 8:
36 مثال:معادله استوانه ‎cl‏ را بنويسيد كه خم هادی و امتداد مولد ‎pl‏ داده شده است: ۱ ج < 27 + مر + ر ee 7 2 1 3 = = = 2 = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 9:
x ‏واه‎ ~ بم 1 ‎IN‏ ft 1 ‏إعى | ا‎ ۳ 

صفحه 10:
‎[ae X,Y,Z: > alo!‏ قرار ميد ‎ene + (+ + )tr+‏ ‏اد ‏ار ‎Se‏ ‏1 ‏ما ‎oS ‏سر‎ ‎0 ‏سس‎ ( ae ‎2 ‎a +394 “a ‏بس ار ساده كردن و جايگذاري را بر حسب‎ ‏داريم:‎ X,Y,Z ‎+ ‎— ‎1 ‎4 36 1 16 ‎ ‎ 

صفحه 11:
3 :ادامه حل هاگ کت ‎x_ yy‏ +( 29 اا 9 2525+ 7 ۳ x 2 ‏سس‎ ‎+1072 - (2- 30-3-52 :پس از ساده کردن نتیجه نهايي چنین میشود 402 6 - ت28 + 7617 +22 ‎16ay 7ax+1(a- 1éxy=65g°‏ - وو ووو 

صفحه 12:
3 

صفحه 13:
‎Sg‏ ادر ی ؛ (مولد رویه) حول با (محور دوران) دوران کند. رویه ای ایجاد میشود که رویه دوار نام دارد. ‏روش حل:در صورتي که منحني در يكي از صفحات مختصات و محور دوران يكي از محور هاي مختصات باشد کافی است؛ در معادله منحنی فقط بخاي نام متغبري که محور دوران نیست جذر مجموع مربعات دو محور غیر دوران را .جايگذاري کنیم ‎NY ‎ae ‎ 

صفحه 14:
3 معادله رويه دوار محور دوران معادله منحني 1)3,77( | 26 ‏|خرک) ۳ |محور‎ ۶+ (0 =0 Y 59% Fla] X+ Z,y) =0 ‎Z=0 Fly+| ¥+ 7) =0‏ 0- ور +غر م2 |محور | (۲)7,2 0= 2 و حدم محور 2 5 حو شو ملو اصع ‎Red‏ ‎F(z,X) | 2 ‏محور‎ ‎ ‎۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۷۱ ۷ ۷ ۸ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 15:
۴ مثال: رویه حاصل از دوران خم 1< 67 حول محور غدرا بيدا کنید. 1- تم +17 ند 7 i 

صفحه 16:
ساير رميه هاودرجه cn 3 

صفحه 17:
3 اصول كلي رسم نمودار رویه ها: © 1- محل برخورد با محور هاي مختصات ‎I)‏ ‏بدست اورید مایا فرار دادن << ۲۷ ۴- محل برخورد با صفحات مختصات را بدست آوريد.مثلا:با قرار دادن 2-0 3°- مول يراشورة يا صفحلة. موازي صفحات ‎‘z= ۳‏ w ا الك 

صفحه 18:
WY 7 ۳2 صورت كلي رویه هاي درجه دوم: چررزیز جن‌ررز + تن + #وز + رم 2 + Fzx Gx+ Hy Iz+ J =0 ‏كر ضراب جملات حاصلخرت‎ ee ie alae lene Ax + BY + CZ + Gx+ Hy+ © + [z+ J =0 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 19:
روش حل مسایل حالت خاص: *عبارتهاي درجه دوم در معادله را به مربع کامل تبدیل کرده ومعادله را به يكي از صورتهاي استانده(استاندارد) در میاوریم. ؟معادلات استانده در ادامه توضیح داده خواهد‌شد. 11171115533115: 

صفحه 20:
۴ ۰ 7 rah =| Cc ۱2۱ DIZ ‏رکه‎ روش شناخت: سه جمله مربع هم علامت سمت چپ وعدد يك سمت راست تساوي 

صفحه 21:
ای 3 

صفحه 22:
Zs 3-2- هذلوليوار يك يارجه: به حملد برع كه قلط بك له ی ره ان دهد محور شکل است) سمت چپ وعدد يك سمت راست تساوي. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 23:
ی 3 

صفحه 24:
Zs 3-3- هذلوليوار دو پارچه: = = = = = = = = = = = = = = = نشان دهنده محور است) وعدد يك سمت راست تساوي ۱۲۱ ۸ 

صفحه 25:
Sj Ciutat 

صفحه 26:
3 + حدم روش شناخت: دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله درجه يك در سمت دیگر تساو: .همه جملات هم علامت (جمله درجه يك نشان دهنده محور است) = = = = = = => = = = = = = = mS > = = = = = = 

صفحه 27:
3 ۱ 

صفحه 28:
3 3-4- سهمیوار ‎ogee,‏ اسبي): x. b روش شناخت: دو جمله مربع مختلف العلامه در يك سمت ويك جمله درجه يك د سمت ديكر تساوى (جمله درجه يك نشان دهنده محور است) 4 ااال ووو 

صفحه 29:
i 

صفحه 30:
دو جمله مربع در يك سمت ويك جمله مربع در سمت دیگر تساوي (جمله تکي نشان دهنده محور است) 

صفحه 31:


صفحه 32:
3 مثال:رويه زير را شناسايى كنيد: 6 ‏نكم‎ ‎+ ‎NO ‎S. ‎Ww ‎N ‎+ ‎1 ‎o 3 حل: = 1, 1 2 — مت تا م 2 = Oa) eA 1 2_1 <- ث2 3 -2(2 جبر)2 + 2و 6 ‎t=‏ | ‏ل ل‎ a, > هذلولیوار يك پارچه = 2 

صفحه 33:
روش حل مسایل رویه ها در حالت كلي: 1 ماتریس صورت درجه دوم را مینویسیم. 2مقادیر ویژه را بدست میآوریم(ضرایب جملات درجه دوم جدید) 3-بردارهاي ویژه را بدست ميآوريم. 4ماتریس تبدیل مختصات را مینویسیم(با قرار دادن بردارهاي ویژه یکه در ستونها). 5-معادلات تبدیل مختصات را بدست میآوريم و در عبارت درجه يك قرار میدهیم. 6- ۱( در يك عبارت ساده ميکنيم. مب 

صفحه 34:
مثال‌نرویه درجه دوم زیر را ‎a eo‏ 3+ 417+5 2+ Axy 4 72+ 2+ 37+ 427-0 + -2-2 ‏حل:‎ 3 2-0] Ba 2 O 24 -25/2 4a -2\=0 0-2 5 0 -2 5-a 2 )3- 2()4- 2()6- A)+0+0- [0+ 4(3- 2) +4(5- A) = (3- 2()22- 92+20+821- 32-0 2 ‏روز‎ 2032-2726078 32-02 = = = = 2 = = => = = = = = = 

صفحه 35:
WY Zig ‏:ادامه حل‎ 28202 +39 - 122 + رز -2 0-7 -0-1(0- 05 28 - 11+ 1 20 7 م4 م2 رد 2x+2y=0 x= =0= j 2x+3y- 2z =0> oe - 2y+4z=0 

صفحه 36:
- x+2y=0 =2 =0> 4 2x-2z =0> _ 9 ۸ on peeve + 4x+2y=0 - 3 22-02 2 + 2y- 2z=0 

صفحه 37:
ادامه حا :مات ‎wo‏ تبددا , مختصات: ر | 1 2 2- 1 22 2۳ 1 2 3 2 1 2 خاش - ض ۳ 2 | 2 - 2 1 معادلات تبدیل مختصات که باید در عبارت درجه يك جايگذاري کرد: ‎oye)‏ مد = 3 Y=3 OX + ¥+ 22), 225 (8+ 29- 22) WY as 

صفحه 38:
دامه حل:حال ر را بترتیب ضریب ‏ 2 2 و معادلات تبدیل مختصات را در عبارت درجه يك قرار میدهیم: 22, y2. Pood OdOOD ۱ ™ N + oo Sg + 5 N ob wld 1 ‏دم‎ ‎24 ‎+ ‎N ‎5-5 ‎+ ‎a ‎+ 2 + (2x4 y+ 22) 45 (a+ 2y- 22) =20 0 - 5 + ر2 + 72 + رز + تبر 2 

صفحه 39:
9 :ادامه حل ‎4(y+= 2. +72 -0‏ 14 -?)1+¥( , , 25 1)? ‏د‎ ‎۳ Zz 26 بیضوی است. = = = = = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 40:
ره الل 

صفحه 41:
۸-0 ( ‏قاری‎ ‎X,Y x an ‏يردم‎ + 7 وترم- م ‎yoni‏ :قرارداد ‏ 77ک > ۲ - 11171115533115: 

صفحه 42:
3 مختصات استوانه ای 2-203 ‎y=rsind‏ ‏2-2 / ۰۱۵, ۷,2(<)/8 12) 2 2 T=X+yV é=tan®): x> ab, [@=tan@): x2 - ‏جر‎ >80 >17 2-7 = = = = = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 43:
معرفي بعضي شکلها در مختصات استوانه اي: ‎R=0‏ محور لست ‎xX+ y -‏ معادله استوانه در مختصات دكارتي ‎R=c‏ معاهله هما رلستولنه در مختصانتلستولنه لي ‎۳۳0 ‏0< 0 مجموعه نیم صفحه شامل محور 2 و نیم خط ‎r=0 ‏220 معادله پك‌صفحه که محور 7 ‎Declan‏ ‎ ‎ ‏رس ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 44:
:مختصات كروي 9 م22 Y=psinpsiw Z=pCosp iy: 3 7 tan} x20 0 :قرار داد ‎tan: x<0‏ >> مك0 ,جك 06> ع - ,0< م ‎٠-003 ‏م‎ ‎ ‎110101000000000 

صفحه 45:
عرف ‎Ser‏ ‏: ي شکلها در مختصات کر معرقى بعصي وي دم > = + ‎gt‏ ‏27 ; 2 كره اي به شعاع ۲ در مختصات دکار ته ات د ذارة رني ‎٩ 2-0‏ نمودار ذ نمودار نيم صفحه اى شامل محور 2 ۱ ‎ ‎ ‏2 ‏نمودار نیم مخروط ‏اد ‏۳ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 46:
توابع برداري a. ۳ >> 5 = 5 <> ۰ د 5 5 جه د © - == - >= - - = - 9 <2 ۰ > = 5 > 5 ۶ ts >= 

صفحه 47:
تعريف تابع بردارى يك متغيره: * تابع كه در أن و1-2يا 223 را يك تابع برداری يك متغیره. مجموعه ۸ را دامنه و مجموعه ‏ را برد این تابع مینامند. ۶ به ازاي ‎n=2‏ و ‎f(t).‏ را میتوانیم به صورت ۱ بنویسیم- که در آن توابعی حقيقي روي ۸ هستند. از طرف دیگر ‎f(t)‏ معرف نقطه اي چون است. بنابراین داریم: ۵ == == = ‎a=‏ ‏= ‏5 ‏ده 5 لد هه 5 = = = هه ۵ = = - == =_ = = = = ك5 1 = 

صفحه 48:
ادامه تابع برداري: ‎a5 1), > fo‏ *معادلات فوق ‎lL‏ معادلات بار أم تري نگاره ۶ وتوابع را 8 هاي؛ و متغیر !را يك پارامتر مینامند. ae ‎f:A> R vi=123 ۶۵ <) ۵, 0, ۴ (۵‏ وحم ۳ 6۵ 022 )۴ 2 1 ‏معادلات پارامتري ‎ ‎ ‏۵ ‏== ‏== ‏= ‎a=‏ ‏= ‏5 ‏5 ‎a‏ ‏هه 5 = = = هه ۵ = = - == = = = = ”7 ك5 1 = ‎ ‎ ‎ 

صفحه 49:
مثال:معادلات پارامتري نگاره؟ رابنویسید.این نگاره چه شکلی دارد؟ 8ع 0)< ۶۵ ,9 مج .۶ معادلات پارامتري 2 "۰7۰7*۱۷۱۷ ۱,۱,۱ 

صفحه 50:


صفحه 51:
تعریف حد:تابع برداري ‎Ro‏ ب ع4:با ( (۵),ظ ,۵۵-۵ رز بط هن ‎Lo, Lo‏ ,۵ ) 4)9)در نقطه 5ت تداراى حد ...لیا طاجطاكر 2 و< )ون ود ) سنا 2 () سنا ‏۴به عبارت دیگر تابع] در نقطه ‎dob‏ ‏درد اگر و تنها اكر هر يك از مؤلفه هاي ‎abs gpl jo yl‏ حد داشته باشد ‏۵ ‏== ‏== ‏= ‎a=‏ ‏هه ‏= ‎a‏ ‏هه 5 = = = هه ۵ = = ” == == ‎a2‏ ‏= ‏> ‏”7 ‏ك5 ‏2 ‏= ‎ 

صفحه 52:
منال:حد تابع زیر را ‎t=0,0‏ بيدا کنید: ‎f(t) =(sint ۶ + 1(‏ ‎lim 6ing 2 + =D =‏ مع یف پيوستگي: تابع ‎R‏ 0۲ 42 که در 1 11-2 جد ش 0 ممت وا ‎tba S(t‏ 1۳ را رمي۸ پبوسته نامندلگر در هر یك‌از ‎A bes‏ إبيوسته باشد. يعني وقتي كه هر يك از مؤلفه هاي آن 2000001 

صفحه 53:
متال: ‎ul‏ تابع زیر در نقطه داده شده پیوسته ‎sint 1‏ است؟ ‎f(t) =(— << _tiné,t=0‏ حل: جون مؤلفه اول پیوسته نیست بنابراین تابع پیوسته یست. ‎a<b flab R‏ ‎is‏ 3 2 تابعي ‎pgs, “eos‏ [طي8]ا ‎Go ge eo, f ou) aL‏ ‎fad =| rotretage fon ‎۲ ‎ 

صفحه 54:
روش يافتن اثر خم:با نقطه يابي يا بيدا كردن محل برخورد دو روبه که از كت بارامتر بين هر دو موّلفه تابع بدست میاید. * مثال:قسمتي از خم زيركه در يك هشتم اول دستگاهمختصات است را بدست =4 xr =4 iz V =42,x =4y ‏آورید:‎ ۱ 1 تح 

صفحه 55:
© 9 © 3 = 3 2 6 به 6 01 1.61.20.0.40 ۱ = = = = = = = = = >= = = كك = = = = = = = = = = = 

صفحه 56:
؟ تمرین:قرصی به شعاع 4 در صفحه 2607 پارامتري ‎٩‏ را پیدا کنید. *حل: "۰7۰*۱۱۷ ۱ ۱۸ 

صفحه 57:
ABY= oD+DE) ‏سا ه بوسیله‎ 12 0 ‏فت طي شده بوسیلوخ -پ ج دي‎ a = ‏داریم:‎ CF qasly! ‏در مثلث قایم‎ | AB=CF,DE=Fq ۰ = CF=a,cost- > =a,sint Fq=a, sint- =) =- acost X=at asint y=a- acost = هه = هه 2 = = = = 

صفحه 58:
تعریف مشتة :تابع برداری ۴ در نقطه << مشتق پذیر است اگرحد زیر وجود داشته باشد: [,2<22018(,۲<]۵) ۳ ح [نطره]:1 ee! lim; f(x)- £8) * بديهي است در نقاط نار 0 منظور از وجود حد فوق. وجود حدهاي ‎LS,‏ 43 ات در این صورت حد فوق را مشتق 1 در نقطه ] مینامندوبا نمادهای زیر نشان میدهند: ‎df‏ dt 140 7 ۸ = = = = = = 5 = هه 5 هه 5 = = ‎a=‏ ‏هه ۵ = >= = = =_ ‎a2‏ ‏هه ‏> ‏”7 ‏2 ‏= ‏= 

صفحه 59:
توضیح‌نبه ازاي 2 : ()5 ,)۶ )- () 2 8 به ازلي 12-3: (۶)۵ ,۵ ,20۵)- ۶)۵ ‎ <‏ ‏*بنابر اين ۶ در نقطهاً مشتق پذیر است اگر وتنها اگر ملفه هاي آن در اين نقطه ne ‏مثال:مشتة ابع رادر نقطه‎ * كنيد 17 ‎inal:‏ و ۳ 2 م2 )- (ول۶ م2 سل 22۵ -)- و۶ ( 

صفحه 60:
‎R‏ داطيق]: 0ج" ‎s2n=208: g f:lab|> ۳,۵,۵ 6۲‏ ‎£2 (al + 6g) (0 =aF (0+ BID ‎1 2 ) ۶9۵ < ۶۵90 «* ۵ ‎۲ 2) 29۵ - ۲)۵<9۵+ 8 ۱ 200 )۵ 2۸۵ ۵۰۵ ۵ ‎ 

صفحه 61:
AO =WELF- 129,00 = 20 ‏منال:‎ ‎o() =In@t+1),( £.g) (0) =2,( fxg) =?,(¢f) (0) =? £(0) =(L- 10), (0) =(- 10),¢(0)=0 + vy Ab +1)- 4€ 2 +1)- 24 - 1( FON Ea 7 60 5 F(x) So (©) ‏ود‎ x 9 | ‏بالل‎ ‎| ‎=) ‎8 ‎Q ‎= ‎9 ‎۳۹ ‏كد‎ ‎Oo ‎8 ‎= ‎= ‎9 ‎N ار أنه رلا ره (£.9)(0 = f(0).9(0)+ £(0).g(0) (ص را HOODOO DODO OOD OOODON0O Nie 

صفحه 62:
-1 2 0 ل 1 ‎idl‏ ‏-0 1- 2+1 0 ح-2»9()0) =(203) #229) 0 2.5) (£0) =9(0) 0) +9(0) F(0) = 211 10) =(2- 10) 

صفحه 63:
قضیه:(قاعده زنجیره اي) ‎n=208‏ 27ح قح 7 بلح [ ‎[a‏ ‎of 112, 0 >‏ [ط,4]ع] = = = = a= = = = = توابع فوق را با 1 که بازه ای در 15 است ‎٩2 bs jo‏ گید فرش کید در نله ۱ ۰ :2 | ‎es STL)‏ با دا ..- <۲ تب برداري 90۴ در نقطله »مشق پدیرا. |12 5 Sd(gof _dg ds_dgdf ‏داريم‎ 20-1018 0067)- سح سس 1 < dt dsdt ۶ 

صفحه 64:
منال:مشتق تابع زیر را در نقطه 1 <ناً بیابید (*قص +2) نصا +2 فص +طدمم)ع 119 حل (#قصا 2) 4, :,قصا+مصنةة -)- ق)2 ‎AW =C¢ sin2,132‏ "۰"«۰"77 ۱ ۱۷۱۱۱۱ 

صفحه 65:
f:[abl> R’ n=202 ‏تعریف خم هموار:‎ *تابع فوق را روي دامنه اش هموار گویند اگر به ازای هر 17 وطوداشته و بیه‌سته باشد و ‎Vt‏ :40 ۳۹ است اگر وتنها اگر در هر نقطه القلع؛ يكي از مولفه هاي آن غیر صفر باشد. هه |" == = ‎a=‏ ‏= ‏5 ‏ا ‎a>‏ ‏هه 5 = = = هه ۵ = = هه == =_ ‎eo‏ ‏= ‏هه 2 = ك5 2 = 

صفحه 66:
مثال: آیا خم زیر در بازه[ [و1-] هموار است. ‎=(\4,1nd+ 81+ C2)‏ ۶۵ خل: تابع فوق روي بازه داده شده هموار نيست زيرا در در نقطه صفر مؤلفه اول آن ‎pet‏ 00 ۵ هه == = ‎a=‏ ‏= ‏5 ‏ده 5 لد هه 5 = = = هه ۵ = = - = = = = = = ك5 2 = 

صفحه 67:
تعریف خم پاره هموار: ‎f:[abl> R’ n=202‏ *؟ خم فوق را ياره هموار نامند اگر در تعداد متناهی نقطه از دامنه هموار نباشد. ‎Dn irae tea‏ وت ]5 ]> ... وطووا داشته باشند بطوری که ۶ در این نقطه ها پا مشتق نداشته باشد یا در شرط صدق لام در بقیه نقاط [ظ,8] درشرط صدق 0 |۶)0 | ‏ااا ‎ 

صفحه 68:
مثال: خم (# ,۸ ,)2 ۶0 در نقطه اب وا ‎=O)‏ ند * تعريف طول خم:ف f: 4 Do R n= =208 s= ۳7 ۱ 

صفحه 69:
تعمیم تعریف طول ‎Zig te‏ تقاط زیر پاره هموار باشد ‎ae > cla‏ وا و طك رآ >...> > 1ك طول؟ را با رابطه زبر تعريف ميكنند: s= {| flats [| FOldte..+ [| Folate ‏با قراردادن دبا ,ما این فرمول‎ بصورت زیر در n 1 rds eo ‏<و‎ ۶ ۵۶ 1-0 ۱777777۸ 

صفحه 70:
مثال:اكر خم ذيل در بازه داده شده هموار ۰ 2 9 است طول غم را پد کنید. 8 ‎=(,?),te[13]‏ 2 ۶ BE £0 =GE,29 20) ‏مور است‎ 2 | Fo] =Voe ak ge s= [Wor +4 2 gore | = (85° 13?) (۹ 

صفحه 71:
PR? mi 00000011606 

صفحه 72:
3 تعریف توابع اسكالر: ‎INS‏ = = F:A> E BER : ACR 

صفحه 73:
NG = ZAKS ‏مثال تابع دومتغیره اسکالر:‎ ۴ 2 +1 + ( ب113 2-3 +0 +1= ۱1,0 اعمال جبری مانند توابع حقیقی است = = = = = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 74:
یف توابع برداری BE بنابراين تابع اسکالس حالت خاص تابع ‎orn‏ است = = = = = = = 2 = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 75:
م۵ < مثالی از تابع برداری : ‎KS‏ 2 1:18 ۱00۹:511۷ ۹ t= £(0) = (1,0) 0 0 1 1/2 202+ 2 HOOODODDCO DODO DODOODe 

صفحه 76:
a6 اد ۱۰۰۱۰۷۱۱۱۱۱۱۱ ۷ //۳۴/7/ /‌ تعریف: درتابع برداری زیر ۳ 2X (fico,.. foo), Xe Ac RY f:A> R= i=1,2,3,...,m توابع اسکالر گرا توابع مولفه ای ویا مولفه های تابع برداری ‎oof‏ نامیم . 

صفحه 77:
2 ‏مد‎ ‎۹ Jee: f (x,y,z) (x+y +Z,Xy+ yy+ yx+ xya 17:33: 3(-+ X+ yrz hAX YW XY Va ZA BX YY XY: = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 78:
تعریف : در تابع برداری ۴۲ ۱2۸ نار . .۰ رد ‎3X7‏ ee, a با انتخاب متغیرهای وابسته ,11 .11,۰۰ معادلات(ع), یلا ر...ر(اس گ ‎u,,=‏ را معادلات تابع بم‌داری ‎oe‏ ‏اعمال جبری مانند بردارهاست 0000999000 و 

صفحه 79:
2 < تعریف : در تابع چند متغیره = بر (۶10,..10) با:؟ 2 = =X ‏ر...ر ولا ریت سس‎ BAC RU 2 nie TB ={ye R | f(O=y, Xe BEBCA)) 51 ) تصویر مجموعه 13 حت‌می نامند : 2 مجطوعه زيررا نمودار نایم نامند : 013 -غ1 12110 , 1100 وتر... ,51 ) -(1)200 ,3 )-- 2 | 2 vw 3 

صفحه 80:
3نقطه (/؟ ۱۷06 در نظر می گیریم ءمجموعه ‎F(X) =}‏ ۸ 2۲)< ]۱ مجموعه ترازتابع 1 به ازاء رت نامند . که اگر تابع ۶ اسکالر دو متغیره باشد مجموعه های تراز را منحنى هاى تريلى تابع و اگر آعلر سفیر اند مب رح های نازرا طونم ران = = = = = = = = = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 81:
a = f:t> Qt+1-t) teR 1 ‏:مثال‎ 20 دم تحتل1/2 ,0 ] سس ‎tte|- 3.0]‏ ور دوریم ۸-1] 0 ={(x9 ly=- ‏درب‎ ۱۲۱۷۰۷۰ ۷۰/۱ 

صفحه 82:
ae 26۲2) 1:2 |): 2,2 < fb), te R 2 ‏رل )| 2: جك‎ -) 24+ 1,- 3,۸ 9 < +(x, y4|x=6 y=2t+1,z=- tte R که معادلات پارامتری خطی است که از نقطه (0و1و0 ) مى گذرد و با بردار (1-,1,2)- 1 موازی است . = = = = = = = هه = = = و = = 

صفحه 83:
a : مثال2 تابع برداری سه متغیره زیر و نقطه 2 0 نظر می گیریم » محموعه تراز تابع ‏ به ازاء نقطه (2و1) را بدست آورید . 2 و | م رید ۸۳ = = = 2 = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 84:
4-4) 3:2 | 4) 3:2 12} =((x yal ‏مح‎ 24 =a2] او & + 2 %(|= 78 1 > بیضی واقع در صفحه < .2 00009609996600 2 

صفحه 85:
ri : ‏تعریف همسایگی‎ ap =| xe R ||x- act] شعاع : ۲ مرکز : 2 2 واااو ووو ) اکر 4 6 باشد همسايكى را قرص به مركز « كويند . 2 كر 6644 باشد همسليكى را يك كوى كويند . 3)همسایگی در 460 تعبير هندسی ندارد . 

صفحه 86:
: تعربف فاصله 

صفحه 87:
a مثال : 002 ={(x We R |e 0? +(y- 2 =| (xyek |x +y¥ <4l "۰7۰۰ 

صفحه 88:
3 مثال : ‎iS‏ ‏نشان می دهیم که درهرهمسایگی میتوان : یک همسایگی کوچکتر محاط کرد . یعنی ‎Nx6)o Nx,D‏ 356>0: (2 رت ۷ ۷ > 2 - = (1ر1[2 26 فرض :حل > لع -1< 08 فرض حال برای اثبات ودلخواه را در نظر می گیریم: YENxo,rn) = ly- x<6d HOOOOODDCO DODD ODODOODO 

صفحه 89:
3 براساس نامساويمثلث ۱ ۷ - 0 | < (y- X+(K- Xo |< | Y- X |+| X- Xo |<d +| X- ‏لاح | من‎ => yEeNx,n => Nx,d)oNx,r) ۱۱۱۱۱0۷۱۸۱۱۷۷۷ ۷ ۸ ۱ 

صفحه 90:
a : تعریف مجموعه باز فرض کنیم 01 72]آنگاه لآرا یک مجموعه باز در "3 می نامیم هرگاه : VxeU : 31<0: Nxn CU = = = = = = >= = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 91:
مثال : 0 <1 > (9:3) 2 ۸ یک زیرمجموعه باز از 2است: زیرا ‎VxyeA ar>O0: N(xyncA ?‏ = = = = = = = = = = = = ‎(%WeA> X>02> r=x‏ فرض ‎wlokiigh (x,y) € N(x,y),n 3 m>0 ‎ ‎i 

صفحه 92:
7 ۰ ۱ X= /K- X > ۲ 22 +) ‏لاحر > زو‎ => -X<Xi- > . وحكم ثابتاست 26 > >(0 و0990 0 ۱۱۱۱۰۷ 1 

صفحه 93:
a = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 94:
3 ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۱۰۱۸۱۸۸۸۸ 0< 07كه ا ‎V=(xy)‏ 8۶ است .زيرا 0 كبر | :2 ۲۷۴ 

صفحه 95:
a : تعریف مجموعه کراندار 2 ر لو کویند اکر زیرمجلاعه ای از یک : قرص باشد . بعبارت دیگر 0 - 0 <1۷1 3 اگر:9 کراندار است ee 8 > را کراندر گویند اک لیرمجموعه ای از یک گوی باشد . بعبارت دیگر : 1000 -5: 0 <111 3 اكر:5 كرانداراست ۱۱۱ ۷ 

صفحه 96:
a .در غيراينصورت 5 را بى كران كويند یعنی خارج هر فرص به مرکز مبدا نقطه ای .از ۵ واقع است = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 97:
a : مثال ‎{xy | (x- 1۳2+) I<‏ کراندار است زیرا مجموعه همه نقاط داخل دایره به شعاع 9 و مرکز(1و1) است . بنابراین کافی است قرصی انتخاب شود كه همه دايره را در تركيرة . يعلى . کافی اسله +5 <1/ا1 باشد = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 98:
a : تعریف مجموعه همبند را همبند گویند هر هر دونقطه ۷, از آن را توسط یک خط = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = واقع در آن بهم وصل کرد . 

صفحه 99:
a : تعریف همسایگی محذوف یا بدون مرکز RY, 2۷۵ ‏روش‎ 2 0 ۱۱۱۱۸۱۱۷۱۸۱۸۱۱۱۱ ۱ ۸ an=Nap-|a -| xe 7۳۳ | 06 asi} 0 

صفحه 100:
36 مثال : [1,0,1[,2لا1در "80 بازاست . زيرا : ‎X,cN(LQD,2‏ فرض ‎6>0:NX,,6) - 2‏ 3 = ars 6=2-(10D- X, =2 ۲ x + 12+ a = 0<6 <2 ۱۱۱۰۱۰۱۷۱۱۱۱۱۱۱۷ 0 ۱ 

صفحه 101:
a لخدن ۱۱۰۸۱۸۱۸ ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ برای اثبات در نظر می گیریم : (۵ر کل 2 بنابر نا مساوی مثلث X- (10,0|=X- X,+X,- (101) <X- X|+|X,- (100|<6+/X,- (101) =2 => XEN(100,2 = NX,,d)SNILQI,Q> cou! 5b 

صفحه 102:
a تعریف حد : در نظر می گیریم ‎F:A> B,BCR' ,ACR ,xeR‏ 0« ooo فرض کنید ۸ شامل یک همسایگی محذوف نقطه ,5 است . ۱۳2 یبال( عطوای زاو جل>۳: 0 رف 0 < ۷۰ 1 ۶0 -1 is x- X, ‏نویسیم‎ : 0000000000990٠ 

صفحه 103:
:و یا :0 < 36 0 < ع9 0> 3> = 600 - L<e = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 104:
مثال : Bx,y) > x (aye REG o> ‏نشان مى دهيم‎ . در نقطه ام مرکا م. 2۶ برابر ركست “ل لبوا + ةلد عا دع ددر و ‎=e‏ 6 دع > 30 -2۷ 0 ,م) - 9 ب) 2 ‎X|<e‏ - ۱۳۵ ده > 26-6 

صفحه 105:
3 = lin#lx,y) =y, (xy) (x. y,) و بطور کلی همان فرمول حد برای تابع ظ link) =RX) 0 O° ‎X,‏ بر ‎ ‎۴ 

صفحه 106:
مثال: نشان می دهیم که تابع زیردرنقطه 400 ‎X,‏ حد . ندارد ZS Ax y- x ‘(x4 pe R- (00) 2 21 ۲ + مر +2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 107:
3 بنابراین برای ی << گاید عددی مانند 0<و وجود : داشته باشد بطوریکه > لآ -130 ج ۵ > 26 066 xX? 0> 28 > ‏و‎ => ae Lee, VHOONOOD ODED ODEO ODO L DET 

صفحه 108:
WY as ‏را در نظر می گیریم چون‎ [05 Jas Ye a3|=3<0, ¥(05}-0 ‏داريم‎ (lise, G) حال اگر ‎Olu‏ | را در نظر بگیریم چون 8 - (0 ۵ 5,0|<6 | ,1= 5.9( ری وع > -1 داریم 000000000000990 

صفحه 109:
3 1-1 + > .1 -1+1 -1 د ‎<e, +6, =2e,‏ : حال اگر ‎ae‏ co : > 1>1 که تناقض است بنابراین تابع حد ندار = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 110:
5 . حد در صورت وجود منحصر به فرد است كليه فرمولهاى حد توابع حقيقى در مورد توابع ‎ae‏ . متغیره نیز صادق است بنابراین اگر هر مولفه حد داشته باشدتابع حد دارد = = = = = 2 = = = = = = = = = 2 = = = = = = 

صفحه 111:
Bai ررب ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ ۳ رب هجوي ee linfx,y,z 210 درلا 

صفحه 112:
پیوستگی مثل توابع حقیقی ء اگر حد با مقدارتابع برابم‌باشد پیوسته است و بطور کلی وفتی همه مولفه . هاپیوسته باشند تابع پیوسته است ۱۱۱۱۰۱۱۷۱۱۱۱۱۱ ۸۱۷/۱۷( ۱/9/0۸ 0/0 

صفحه 113:
a ae ag sls ‏متغیره‎ a بيش دهيم: ‎YO) =‏ روة) كدح (م[ روة)1 - (ز۸ + وز وقد +13 ‎=D, f(%, %)Ax+ D, F(%, VAV+ €,AX+ €,A.‏ Fle, =e,(Ax 1 =e,(Ax ‏ریکه:‎ WY =i. 

صفحه 114:
گر در تعریف قبل داشته باشیم 0 رع,0 درء >)0,0( ‎(Ax Ay)‏ pio Yo) ‏اینصورت #در‎ ) WY =i. 

صفحه 115:
: هر گاه تابع دو متغیره در نقطه اي متغیره بر فرص باز موجود و در نقطه 8بیوسته باشد آنگاه ؟ در آن نقطه مشتقیذیر است. اد 9( 

صفحه 116:
WY :مثال یو ‎“A Ax y)‏ ‎D,=2xy‏ , فر 3د رج (ز روا - ۵ + ور مدش + وت = ‎ZAF(%,%)‏ ‏2 م2 ع رز مرح ۵۴ - *(ز۵) 0 = 2 ‏استفاده از تعریف محاسبه‎ ane Jo) DL, ‏داور‎ Dz F(x, es eee =e, AX+ €5,V ۳ 

صفحه 117:
:طرف جب 1 سن ار خائصه كردن ‎%(Ay)’- 2yAxy- Ax(Ay)’‏ -= كه بايد به يكي از چهار طریق زیر :معادل طرف راست [ باشد. . يعنى ]0001 0ض ۱۱۱۸۱۱۷ 2 ]- 2 )۵(( ‏رد ) بح‎ 2) 2YAWAX+ (- AxAy- XAVAV = (- (Ay) xs (- yAx- xAYAY = OAx+[- 2yAx- AxAy- KAYAy 

صفحه 118:
1122 : 1 چون توابع وجود دارند كافي است در يك مورد نشان داده شود كه ‎(Ax Ay)—> (0,0)= ¢,- Oe, 0‏ Ey =- 2yAy- (AV lim «=9 . lim #= (Ax,Ay)> (0,0) (Ax,Ay)> (0,0) ۰ ۰ — = = = = = = 2 = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 119:
نتيحه تابع مشتقیذیر بوده 9 در( ققطوة) الا 

صفحه 120:
منال:در مورد پیوستگي تابع زیر «تحقیق کنید 35 ضر ۶ = x-iny > 2xy ‏ور‎ se 4 ‏"و + عر)‎ lim ‏ع ل‎ 11112 +s YP (nt +1)? .بنابر اين حد ندارد.و در نتيحة بيوسته نيست ۱۱۱۱۸۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ ۷/۷۴/۱0 

صفحه 121:
اد تمرین: نشان دهید تابع زیر پیوسته است مطوزی + ۳۱ کی + رم + قزر + ‎f(xy, =cosh‏ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 122:
ری ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۸۸ ۱۱۱۱۸۵ : تعریف موه حزئی ‎alae, {AERO BAS B yc as‏ نتن ‎a XAXy ++ TEA‏ شده باشد در اینصورت رابطه زیر را در ‏1 درنقطهک نسبت به متغیر ذام نامند و با ‎DX ORK Go ‏رد .. رود از * ‎Xp)‏ جيل رط + و م1 ‎mf Boe‏ ‎bh‏ ‎n> 0 ‎ ‎ 

صفحه 123:
: مثال تب ‎Fixy‏ الك 233 يرون ري h-0 28 ۷ 0000000 iy) ay xh yry® ۳+ et بط مشتقات جزتى مراتب بالا ثر ‎xy =x24 By?‏ 

صفحه 124:
Sk ۳ ‎I~‏ موی مر وز |1 قرع مود سید مرو د ‎xe?‏ ج 0 ‎Ot‏ 22 _ 22 - A ae #۲ =1+ Gxy تساوی وقتی برقرار است که پیوسته باشد . اگر مشتقات جزئی موجود وپیوسته باشند تا هر مرتبه ای گوبند تابع از رده 6 («همان مرتبه ) است. ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۱۱۷ 00۷ + 

صفحه 125:
ye 7 : مثال ۶و ‎filx y | e+ xyxy+‏ ‎(x yeR‏ Ox, W(x ‏درز‎ ‎+2y|‏ دید ادا بدا و ‎ 

صفحه 126:
بن: مشتقات جزئي تابع زیر را پیدا 1۳ 7 ‏تر‎ a we , pel.) ef _ucosu(l+ 7? + u7)- 2asiniu 602 )1+ ‏ثم‎ + wu)? f(A, u) = = cos” x(2+ x of(p) _ 3° 3 9 i 2 ل 3 اد 9[ 

صفحه 127:
Of _Acostu(1+/? +u*)- 2usiniu Ou (1+ A? + ‏“دي‎ TT x? 7 37 2۶0 _0083 X(24"9)- 2—sin— 3 3 oA a ‏پر‎ ۶ 2 OHOODOO HOOK O ODDO OD OOOON 

صفحه 128:
اد بنناكر تابع اداراي مشتقات جزئي ‎VEX gab dig,‏ 17ح 9,۷۷ ابیت هلاه حل )@ ‎Ox oy oy‏ 0۲۷2۶ _ 2۶ 210 ۵۴ 0۷ _ ‏عق‎ ۶ Ox 2۶ ۱۵0 0x’ dv ox) ۳۴ ۱۱۷۱۷۱۱۱۱۱۱۱۷ ۷/۷/۱۸ 

صفحه 129:
Ow OW _ of ‘Ox’ ey” Ou فد 17 0 

صفحه 130:
تمرین:مشتة ‎SF‏ تایع داده شده را در نقطه داده شده يبدا كنيد ‎pix, Vy‏ ار ‎Ow a‏ ‎Ox 2‏ ‎cosy ‎=n cost”?‏ ساك ‎OX‏ ‎eleele =< ‎ 

صفحه 131:


صفحه 132:
a : تعر یف مشتق جهت دار با فرض: : ابردارواحد و ۸4 > ,6و ‎R‏ ما —_ |e ۱۱۱۱۱۱۱00000۸ im %t hv fx) ‏سا فص‎ =D fix) ‏بر]‎ 0 در صورت وجود مشتق حهت دار ؟ در نقطه رل و در جهت ۷ است . 

صفحه 133:
:مثال زو + و3 - و2 -( بر): ‎bv=1a+( 4‏ + :داريم ‎(a4 2 2 4 ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎ 

صفحه 134:
a tly + hy- Als) =414 42 4} ۳ h - 11+ ‏م2 1 + و7‎ 15= _h 9, 11, 2 2 V2 ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۸۱۱۱۱۸۱ ۱۷ ۱/۸ 

صفحه 135:
۶. = = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 136:
ع : تعريف مماس و قائم صفحه 7 در نقطه «آبر رويه 5 مماس است ‎A‏ برمنحنی های واقع بر 5 ومار برط مباس باشد بعبارت گر صفحه در نقطه ۴ بر رویه ‎٩‏ مماس است اگر شامل تمام ‎bobs‏ باشد که در نقطه ‏ به منحنی های ۲مماس باشد. . = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 137:
خطی که از ۴ گذشته و بر صفحه مماس بر 5 در ۳ عمودباشد» خط عمود بر 5 درنقطه آنامیده می شود . = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 138:
فرمول امتداد قائم بر صفحه مماس بر رویه 18 ک م تناه N= 1/30 301- ‏مارگ‎ 10+ 1 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 139:
معادله صفحه مماس بر رویه ‎٩‏ در نقطه : ۳ + £(%, WX X) + Ly, WY Yo) +2 2( <0 ۱ 

صفحه 140:
معادله خط قائم بر رویه ‎٩‏ در نقطه : ۳ Xx 0 ~~ VN -7Z Ex, ¥) E(x, ¥) -1 ةن وو 

صفحه 141:
: مثال 2100 يومد : 2=0( -00 +1۳ ار = معادله صفحه مماس = معادله خط قائم 2 ۱۱۱۱۱۱0۷۱۱۱۱۱000 

صفحه 142:
: شرط وجود صفحه مماس اگر تابع ]8:3 | روی مستطیل باز زیر پیوسته باشد >ور عن , ظ>ود ‎R(x xe‏ 2 => ومشتقات حرق أن روى *1 وجود داشته ودر بقطه 2۳ پیوسته باشد(شرایط قضیه نمو)‌آنگاه تابع خطی 1 که نمودار ۳ صفحه مماس بررویه 2 رنقطه 6 لب | برچ دارد . که نمودار آن صفحه مماس رویه است . > > RHA It HIE AI III 

صفحه 143:
: قاعده زنجیره ای ‎yo‏ رم اكر ع دارای مشتقات جزئی روی همسایگی از نقطه (م۷,مع2) بوده و در اين ‎٠. ANOS‏ .. سبو سوج وت. ؛ ‏فرض 4 ‎ ‏اؤةؤة 60000000500090 

صفحه 144:
i 28 ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۸۱۷ ۱۷:/۳/ ۸/۷ / (۸ ‎yt)‏ اکن رجا ‎+ ‏و‎ 0 =gX+ gy ‎ 

صفحه 145:
WY اد ۳ ۳ ot T=Lnxy2t, x=sim, y-cosi, Z-e', u 17-27 257 2۲ +6۵1 2+1 6 0 1 1 14ج خ[ -ه م1 كما عسنع! عومعا - =Y- ¥_ cosu “3Y "Ista O" = = = = = = = => = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 146:
Kis Fix ya=0 ‏وج‎ XYZ oz F, ‎cos:‏ ری فد ‎ax 70712 ۰ ۵۲ F ‎3 ‎EA ‎3 ‎ ‎۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۸۱00۸ 

صفحه 147:
: فرمول نقربب بشرط ۵و ۵7 بحد کافی کوچک ‎yA‏ دید ‎fx, Yt LX, WAX £1, YAY ‏ا ۱۳۱۰ ‎ 

صفحه 148:
ais 9 (AW VA ZO ‏مثال : معادله صفحه مماس پر‎ OZ, VEZ 3 027- x4 7— 3 ax WX 4 oy WX 4 2 Ax x+y 0 سدسرم = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 149:
ye 7 تعریف گرادیان : فرض کنیم تابع اسکالر « متغیره ۲ روی مجموعه ۳ داراى نام مشتقات حرنى مرت ول باشد در اینصورت : ‎Vf=gradf‏ Of ‏ی‎ afi. nex , XEA 

صفحه 150:
ع :مثال 7 جو 2۴ ‎f(x, ya‏ VE =| Axy2x' +z 0 Vf1,1,2 14,41 ةا ؤةؤ 6000000500090 

صفحه 151:
ae ری ۸۸۷ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۱۱۱۱۸۱ قاعده زنجيره ای : (برداری و اسکالر» ‎g:.B> R, f:A> 6‏ ‎Ac R" ,Bc R”‏ ۴ روی قلمروشان دارای مشتقات جزئی پیوسته اند . در اینصورت داریم : 0 a ‏قا دوع‎ 

صفحه 152:
5 ی f(x Yr (xt y xp ‏مثال‎ : 2 ‏رجتم مدا‎ 2 Vax y =(2x2y) در( + 2- ((3 ۷۵1۲۷ >= 2 (ر ور 94 000000000000 = AGO, 9) =Ax+ yt 2x5 

صفحه 153:
ع : حل مثال فوق از روش معمولى ‎gotx, y=g fx, y)=G x+ y,xy‏ =(X+ y+ xy AGOH y, yy =Ax+ y+ 2xy7 که همان است : ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۸۱۱۱۱ ۱۱ ۱ ۱ 

صفحه 154:
ZS ۱ ۲ : قضيه : رابطه بین مشتق جهت دار و گرادیان م 2۷/۱۷۸- من 

صفحه 155:
ae ری ۸۸۷ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۱۱۱۱۸۱ : مثال مشتق جهت درم آ زک ‎V 236‏ :و در جهت بردار اد 7 ۲ بدست آوربد f:(% ya 2x y+ yi Vf =|- 1216-1) 14 1۳-۰ 1216 ۲ ور اله 

صفحه 156:
اد تمرین:مشتق سوئی تابع داده شده را در - ۸۶ . سل , + متیر زر ‎Ax‏ ل لس | ]+1 +1 ‎x‏ ft ۷۶ 2-2 ار 

صفحه 157:
1 =— (2-1 01 73 0 ) D, f() =VFA) u= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 158:
تمرین:مشتق سوثي تابع داده شده 3 در نقطه وسوى تعيين شده بيدا xy ‏:كنيد‎ ‎f(xy oe p66) , ۷۵+ 4 < (ره «نق) دن 2-00 ۲۷7۶ 5 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 159:
بر رويه داده شده 1 در نقطه داده شده :بيدا كنيد ‎p=(0-23)‏ , 8- ير - تور مر ‎V=(Qxz y,-2xy~ Z,x'- 2y2‏ = 4-912 - ۷۵ 2 0= )3 -1227+ (2 +9 -(0 4 - با ما( ‎X‏ ‏2 4- ۱۲۱۰۷ ۳۷ ۰ ۷/۱/۱۱ 

صفحه 160:
Se یادآوری بسط تیلور توابع یک متغیره : اگر مشتقات مراب مختلف تابم یک متفیره خقبانی ‏ ۶ در همسایگی ( 8+18 , 8-1 ) موجود باشند xe(a- hat dh = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 161:
aE es 8 ‏.وم‎ (x- a” خابيام يما = = = = = = = = = = = = = ‎acy &‏ و 26 وجود دارد که باقیمانده مرتبه «ام ]در ‎Fle) ra abi‏ * ‏: : خواهیم داشت در فرمول فوق اگر باقیمانده نوشته نشود آن را چند جمله ای تیلور گویند ‎210۴9 ‎ 

صفحه 162:
Se : قضيه فرض كنيم ؟درهمسايكى 7 ازنقطه (1ره4 داراى مشتقات جزئی مرتبه سوم پیوسته باشد . دراینصورت : 1 ب#رعم4م بع ‎Wx, Ye MAE DEX, WA sy‏ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 163:
+ هه )+ ره - ( ب ۶ رع وليه رق ‎BE (all+ Rix‏ بسط تيلورمرتبه اول تابع #حول نقطه (,0)اباقیمانده *لست = = = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 164:
Sas : 1 Y= flab x adi alt» bo ab 2 2 1, 330 f ye ne fg +-[(x- a (aD+A4x- al y- es 2 Ox af (y- B22 31+ By(x yabsn) ay .که بسط تیلور مرتبه دوم تابع ۶ حول نقطه (0,) با باقیمانده]است ۱۱۱۱۱۱۷۱۷۱۱۱۱۱۱۱ ۸ 

صفحه 165:
Se : مثال بسط تیلور مرتبه دوم تابع 9 2 کش مرا در نقطه (ظ,0(<)8 ,40 محاسبه کنید . of. ‏أ‎ of. لدو عر حاو 0 و 2231 Of tio oe ۰26۲ ۰ AY, W=06 06065] H+ 4+ De 1+ 2+ = = = = = = = = = = = = = = = = = = => = = = = 

صفحه 166:
تمرین: بسط تیلور مرتبه دوم تابع زیر را در نقطه داده شده پیدا کنید 1) Y) =2xX - xy BY - 3x+7 (ab =(25) a of of SAX ۷ ‏و‎ = (25) —0 OX ae 2 ) of of Sex 6yt = (2p) =-2 ay X- Oy+7/7=> ay ) ۱ ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۸۱۱۱۱ ۱۱ ۷/۴/۱0 

صفحه 167:
اد - 51 هد aaa Ox (2,5) =- 76 £( (XY) =- 76+ O(x- 2)- 2H y- 5) + +=(4(x- 2)?- 2 2)(y- 5)- Oy- 5)? eee 

صفحه 168:
تمرین: بسط تیلور مرتبه دوم تابع زير را در نقطه داده شده پیدا کنید =X’ + xyt+2y- 3x+2 3(a.B =(2- 1) povoddir 0 حر کل = 

صفحه 169:
اد 0( و ۳ جو مره بر ‎oy‏ a 2 2 اس 0201۳ 1 2) 2( + 2) 2(x- 2)(y+1)+ 4(y+1)? = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 170:
: تعریف مینیمم و ماکسیمم ‎B : ۸۸‏ بهر: 1 . را یک نقطه مینیمم نسبی ۶ می نامیم ‎SAN XS‏ بطوريكه : ل 2 3 دراين صورت (1)30 يك مينيمم نسبى ؟ است . 2 ‏رد2‎ 4 xed : EN ‏رایک نقطه ماکزیمم نامیم‎ a eas ey اینصورت (م66] را یک ماکزيمم ذ 

صفحه 171:
ais 3 22 رایک نقطه ماکزیمم مطلق ۶ نامند مرع4 ۷ fxsfx) در ایتصورت ب ,۶606 را ماکزيمم مطلق ۶ نامند . VIE Ag poi ‏ریت نقطله مينيمم مطلق‎ AG aah در اینصورت 4 ,625 را مینیمم مطلق ۶ نامند . ار 

صفحه 172:
ع ب ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱00۸ : مثال ‎Pus:‏ سر ‎Y=‏ دا در نظر می گیریم ال2 ۳ )0,0( نقطه ماکزیمم مطلق است . ‎Vix yeR=‏ (0,0) ۳ ماکزیمم مطلقو ن‌سبی‌ٍست 

صفحه 173:
: مثال ‎BAH YT ee:‏ نظر عى كيرية VxyeR fixye0= چون مقدار تابع در هر نقطه خط ۳124 ذبرابر صفر است نقاط روی خط فوق مینیمم مطلق ۶ است . ۱۱۱۱۱۱۱۷۱۷۱۱۱۱۱۱: ۷۱۹ ۸/۷/۱۱ 

صفحه 174:
ع ا زعم , بر ‎Sut st‏ 4 [المشتق يذير باشد و ‎XEN‏ یک نقطه مار امرس ناشد . أنكاه 00 ورن 0 : بعبارت ديكر مدرد لود. ‎xis‏ ار 

صفحه 175:
ع : تعريف نقطه بحرانى ‎xedom‏ را یک نقطه بحرانی ۶ گویند اگر در یکی از دو شرط زیر صدق کند : ‎of (all‏ نقطه م6 مشتق پذیر نباشد ( لاقل یکی از مشتقات جزئی موجود نباشد .) ‏ب) !در مک مشتقپذیر و ‎ ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎> ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= 

صفحه 176:
در نتیجه نقاط ماکزیمم و مینیمم یکی از نقاط بحرانی است یعنی جواب دستگاه زیر یک نقطه بحرانی یا . ماکزیمم و مینیمم است ‎ee‏ مود یو در صورتیکه نقاط بحرانی ء ماکزیمم یا مینیمم نباشد آنرا .نقطه زین اسبی گویند = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 177:
: مثال نقاط بحرانی تابع زیر کدامند ؟ 321 2+( +خرح رز ور ] 3-0 عر یرو ‎y= 1x2‏ = ‎of _‏ ‎soo‏ نقاط بحرانی : (1- و2) = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 178:
Se قضیه : (آزمون مشتق دوم ) جع ر مهم مفروض : 44( )[, همسایگی فرض می کنیم ۶ روی (۶) لالز رده ناو مک یک نقطه رات ۲۰ اد در اسعون : رود . ودایچه ‎CAG B‏ و ده ‎ ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= 

صفحه 179:
: آنگاه الف : اگر 1(>0 نقطه را نقطه زین اسبی است . ب: اگر1(<0 و ۸<0 نقطه ,6 مینیمم نسبی است . ‎ose xa A<0,D>0 9.‏ ات a ‏ال نمی توان‎ sin = = = = = = = > = = = = > 5 = = = = = = = = = = 

صفحه 180:
: مثال . نوع نقاط بحرانى تابع زير را تعيين كنيد 1 ۶ +قيا- زو ب1/3 x=0=> y-0 x=I= y=1 2 2 ‘Ox axby af 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 181:
ی (0: A-O B=3 C-0 a, oe ‏زین اسبی‎ W:A-0 B>3 C=6 1-۸ ۶-36 90 ‏یم‎ نسبی = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 182:
ب ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱00۸ : محاسبه ماکزیمم ومینیمم تحت شرایط خاص برای پیدا کردن نقطه ماکزیمم و مینیمم تابع ]نسبت به شرط 0)3,۷,2(<0) باید دستگاه ۵1-0۲ ۵۴-0 ax ax ay ay ‎of _, 0‏ ل در 93 ] 5-9 ‏را نسبت به ۶ ول و2 و حل نمود وجواب نقطه (36,5/,2) ‏اس ‎ 

صفحه 183:
ع : مثال . ماکزیمم و میتیمم فاصله مبدا را تا منحنی زیر پیدا کنید 4و ۶و جوم بر فرمول فاصله : ‎f=d=xr+y‏ (زیرا نقاط واقع بر این دایره بیشترین فاصله را دارند ) ای بسر مع قر -ترإيه د . جی6زتسر2 ‎5x24 Oxy 5y?- 8-0‏ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 184:
۳ ۱۱۱۱۱۱0۱0۱۱۱۱۸۱0 سم ‎Bo BeBe‏ وید مد 22 ,2 م2لاد عفر . ماكزيمم 

صفحه 185:
تمرین: نشان دهید که ماکزیمم تابع ‎oo 69) (XY Z)=xX+y+Z‏ زیر عبارت است او 2 2ج - 27 + مر + برد = ۳ج - مر + 7 + هر .و 2 a 5 = = = = = = = = = = = = = ۳ = = = = 

صفحه 186:
WZ, ZSVF=OL) , Vg=Qx2yi22) ۱ = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 187:
= = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 188:
= = = = = = = > = = = 1 = = : و = = = ۳ = = = = = 

صفحه 189:


صفحه 190:
a برای محاسبه ناحیه را به مستطیل های کوچک‌ تقسيم میکنیم ومشابه عملیات انتگرال معمولی مجموع مساحات و حد آنها را حساب می نمائیم که به این ترتیب اگر ناحیه 1 به مستطیلی فرض شود که توسط خطوط ۷2و ۷2 و 2 و 222 محدود = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = شده خواهيم داشت : 

صفحه 191:
وا کب + ١ ‏مه‎ ‎0 a Ax I اول محاسیه. محاسيه مور سر ووو لول مجاسيه عي شود رو بعد بعد 

صفحه 192:
7 در حالت کلی*1 مستطیل نبوده و ناحیه ای باشد که با منحنی "6 محدود ده بانشد . فرض كنيد كه ,28 و .28 به ترتيب مينيمم و ماكزيمم منحنى را تشكيل داد و بر و هی ۱ اد را تین كلد POOOKOODO DODO DOD ODO VO0D 

صفحه 193:
ب ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱00۸ \, x=ply , BAB dL |, So ‏بگیرید . در اینصورت به جای‎ BAB ‏معادله‎ ‏ار وبجای و‎ PM ‏2و‎ ل مقادير ,8 و ,8 قرار مى كيرند . در نتيجه خواهيم qo 

صفحه 194:
ZS ۱ MUR pinydpps fxydxd :و بهمین ترتیب می توان نوشت ۱ ‏و ار‎ ۱ ayes 

صفحه 195:
Jie: ‏روي ناحيه محدود شده 1 كه ربع‎ BORO بیضی ای به معادله رت زاس ید ae = = = = = = = > = 4 4 4 4 

صفحه 196:
ZS ۱ ۲ -9 ] ‏خر‎ 220 =- Gib a ‎—ab :‏ که با توجه به مطالب ریاضی 1 همان مختص ‎ee‏ ‏مرکز ثقل ربع بیضی است و بهمین ‎Fas as‏ وج = ‏که مختص ‎X‏ مركز ‎ 

صفحه 197:
01001000000505١ 

صفحه 198:
Tw pit lo : ممان اینرسی یک ذره حول یک محور مساویست با . حاصلضرب جرم آن در مربع فاصله آن از محور ياف محا از 3 محوری‌عمود بر آن از اتتکرال دول استفاده مي كنيم = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 199:
۳ : مثال ممان ابنرسی سطحی را که در ربع اول دستگاه مختصات قرار گرفته و اتوسط منحنی 1-6 < 1 محدود شده حول محوری عمود بر سطح 6 در (1,0برا پیدا می نمائیم . فاصله هر نقطه دلخواه ‎p(x,y)‏ از نقطه 41.6۱ دان است نا fx y=I= ‏عد‎ 1+ genes eens ۱ 

صفحه 200:
صقر +3۳ عد[ 0 ‎a‏ او ‎ ‎ ‎=j- Per we ddy ‎fl tig dye ‏عر‎ dy yd be yi ‎(۱۸ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 201:
ae : محاسبه حجم-2 اگر (2<])26,1۲ معادله یک سطح (رویه) باشد که توسط منحنی 6 بوجود آمده آنگاه حجم حادث از آن رویه و دو ناحیه محدود شده پوسیله دو مقطع آن رویه توسط منحنی © بوسيله انتكرال دوبل محاسبه می شود . Vay, fisyde = = = = = = 2 = = = = = = = = = 2 = = = = = = 

صفحه 202:
تذكر : (هركاه 1 > (1)36,87 باشد انتگرال دوبل مساحت ناحيه 15 را بدست مى دهد) Yep fees. POOOKOODO DODO DOD ODO VO0D 

صفحه 203:
Jie: ‎x. Ze 1‏ حجم یک چهار وجهی که توسط ‎PR el‏ وسطوح : مختصات محدود شده را پیدا کنند ‎9 ‎a ‏0 ۵ واه هه هد هد ده فده ههدددد و و ‎ ‏در صفحه ۷7 منحنی ‎Aflac‏ است لذا خواهیم داشت : 

صفحه 204:
اد تمرین: اگر «مثلثي به رئوس (0و0)و (7,7(,)۲,۵) باشد انتگرال زیر را روي ‎١‏ محانية كنيد لعترجا ا ؤؤةؤةؤ 6000000500090 

صفحه 205:
اد ری بت ۱3 سبه 1 ] ‏حدق نز مر جع مزهر‎ f xsin2xd3 0 ol u=x=> du=dx dv=sin2xds v=- 5002 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 206:
a i=. 5 X00Ox+ 5 00320 1 1 - — xCOS2x+ —sin2 ‏دع‎ ‎2 4 1 a7 ۲ 

صفحه 207:
به كمك انتگرال دوگانه محاسبه یی ار 0 0 f f dyjdx= [yijdx= f xdx= 0 0 0 ۰ ٠ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 208:
تمرین: اگر 1 ذوزنقه اي به رتوس ‎A=(1,0),B=(1,9 -0(0,0)‏ ‎2),c=(0,1)‏ انتكرال زير را روي ‎D‏ محاسبه باه ۱۱۱۱۸۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ ۱۱ ۷/۷۴/۱۷ ۳/۱ -- II ‏له‎ ‏ی‎ + رکشل ‎a‏ ‏۳ ‏5 ‏ب 

صفحه 209:
ی 2 

صفحه 210:
اد 1 +1 Ba (1+ x)sinydyd= if ۳0۳ +1 (1+ 0057 | = ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۸۱۱۱۱ ۱ ۱ ۱ ۱ (6090 3 +1) + ور +0051( +1 ) (- cos{+ x)- xcos{+ x)+1+ 200 ! ۱ 

صفحه 211:
56 u=x=> du=dx - sint+ x)- (xsinl+»)' 1 4 0 م صر 34 1 9 92 تس = + ‎aS‏ = i x - fsint+ ‏و‎ 03 X+ 0 0 <- 5122- 5122- ©2052+ 1+1 + +sinl+0+cod- 0- 0 Ue 

صفحه 212:
سر ی ام و اد به کمك انتگرال دوگانه محاسبه ند eo) A= iP aya ] ‏]بز‎ | foe = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 213:
اد تمرین: ‎sl‏ داده شده روي ناحیه لآ محاسبه کنید: 1> إرا+لد|: (ربم) -طمه :م | ‎I=‏ ۱۱۱۱۱۷ ۷/۷۸۱ ۱ > ۷ S > ۷ ‏هه‎ ‎1 ‎i ب ‎A‏ ‎Has‏ 2> 0 > 02 - > 2x>0,y<0> x- ysl-3 2x<0 y>0= - x+ ysl S 

صفحه 214:
te if ‏تم 1 .[ رن‎ a of aye f en” w= af 2) vey ‏و‎ Ydyt + (HY. BF) dy= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 215:
واه -8۳) ] جو۵( ع) د" قرام “نت )جر (ق 2 عرم)-2 a aie re ‏او‎ - 6 ‏م‎ 0 200 : I ۳ ظهظغظظ 

صفحه 216:
a تمرین: مساحت ناحیه تمرین قبل را 2 به کمك انتگرال دوگانه محاسبه Ly yr : A={ fdxdy { [ dxdy2 yl -yl : ٠0000000000090 0000+ 

صفحه 217:
تمرین: انتگرال داده شده را روي ناحيه (1[ محصور بين دو هذلولي ‎xy=1 7 xy=2‏ و خطوط ‎V=X, Y=4X‏ واقع در ربع اول ‏محاسبه كنيد: وير ديتع م -1 1 ‎۰ ‎۰ ‎— ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎ 

صفحه 218:
1=y v2=y 4 م 3 تكد ‎x=‏ => A ee FS 1 1 11 

صفحه 219:
is ls x’y*dxdy x’y*dxdy- eet 7 + 1 J x°y*dxdy= f ey 00 ee ۰ ۰ — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 220:
اد = = = = ot = = = = ot = = 2 = 2 = = = = = = 

صفحه 221:
اد لق انب ye Tae |, +—Lny- 1 8 ی ,| 19%6° 3 96 47 35 =Ln2+ AT». ane 3 ‏مر‎ 2 ae - gins ee 47 47 44 ‏و‎ oe ‏و3‎ 3 3 _ 755 144 "۵ open et ‏م‎ Il win 0 112+ x 

صفحه 222:
17 مسج 1 ۷-4 5 ۹۳ =o} x 2 dy 2 Bape So eae 

صفحه 223:
نكته كاربردى 1: ار ناحیه انتگرال كيري کلنسبت به محور ‏ ها متقارن و *روي 5 فرد باشد. چون (1),۷-<(۷,-)] آنگاه: [ ۲ (۵۳00 R ۰ ۰ — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 224:
NGS Li Hey) (1-2-14): Jie 2R: ‏تدصر قير دير‎ 2 ۱9۳ R ناحیه کبین دو منحني محصور Teal Uo) 

صفحه 225:
نکته كاربردي2: اگر ناحیه انتگرال كيري كانسبت به محور ‎lay‏ متقارن و 1 ردي ۶ زوج باشد. چون 12.1 Ff >< aa Sf | ) ] ‏هر‎ 027 R ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۷۱۱۱۱۱۱ ۱ ۱ =2 J ] ۶ (۵۵ rightsidéR 

صفحه 226:
(172-36): 1c. ‏مساحت دایره به شعاع روي ناحیه‎ ‏ات از تابع‎ ae :D ‎f(xy=1‏ روي ناحیه و با توجه ‎ee‏ ل لله ‎jee ie ‎2 f : f ldxdy=? a 0 ‎۱۱۱۱۸۱۱۷۱۱۱۱۱۱۱۱ ۱ ۷/۷۴/۱0 ‎ 

صفحه 227:
اد ee oa J ldxdy=2/ ‏لد‎ * = عون قر - 2 لد 2 X=rsind = dx=rcogvdb, j=r 7 ‏و‎ 2 f 0 = 72 ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۷۱۱۱۱۱۷ ۱:۵۷۱۹ ۸/۷/۱۱ 7 i f G+cos29)db =ar 

صفحه 228:
نكته كاربردى 3: ار ناحیه انتگرال گيري ‎ook‏ به محور ‎le x‏ متقارن و 1 روي لا فرد باشدء چون (1)0,37-- (/8- ,)1 آنگاه: [ ۲ (۵۳00 R ۰ ۰ — = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 229:
تکته کاربردی 4 اگر تاحیه انتگرال گيري ‎cok‏ به مجور ‎le x‏ متقارن و 1 روي لا زوج باشدء جون ‎Ffxr ۷ it (X,Y)‏ 12-1 [۲ ( 00 R -2 | ] 2 (۵ upsideofR اؤؤةؤ 600000000095 

صفحه 230:
انتگرال تریپل (سه گانه ) = = = = = = = > = = = = = = = = = ۳ = = = = = 

صفحه 231:
ع و : انتگرال سه گانه مشابه انتگرال یک گانه و دو گانه تقسیمات جزئی حجمی را در نظر می گیریم و حجم ناحیه را محاسبه می کنیم (برای توابع سه متغیره ) 1/201۷ :11 ,] 2( با 

صفحه 232:
که‌با جایگذاری مناسب مشابه اننگرال ده‌گانه : می توان بشکل زير فرمول را تبدیل کرد ], 11 201 CES £5 ‏هر‎ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 233:
:مثال ممان ايترسى .1 جسم حاقدى را كه نا استوانه 2 2 1 2 7 لا هر )هد حول محور ‏ (مطابق شکا. ) تعنب: م كنم ( نا فرض, جكالى ثابت 9 د الل ةو ووو ةو ؤؤؤوؤووو و 

صفحه 234:
۱ able 2 2 2 ‏نر‎ - 1)3 3:2 - 3: + 2 بنابراين خواهيم : داشت ۸ ۱ ۱ _ ۷ ‎dv‏ وه + و م ‏سا + ثو) م 2۲ ‎by+2‏ 2 ‎3 dydx ‎ ‎OOOH OKO OOOO DOD 

صفحه 235:
2 ae at+b-xha-x di اف >= : اگر در نظر بگیریم ‎dx=aco9a‏ ۲-80 X=a> 0 =" x=0> 6=0 

صفحه 236:
i ی و - و + ‎abel‏ = = = = = = = = = = = = = = = = = ا = = = = = 

صفحه 237:
: تعریف ژاکوبین ‎V=v(x,y) 5 u=u(x,y) ws 45‏ دو تابع دومتغیره پیوسته باشند بطوریکه مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته داشته باشند لذا در 7 2 010۲۷ 01/0۷ ۳ fit =i = _Auv “Ax y ae ری ۸۸۷ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۱۱۱۱۸۱ 

صفحه 238:
7 در مورد تابع سه متغیره ژاکوبین بطور مشابه جنين : تعریف می شود ‎u=dx,y,2 3‏ 2 م رجاس ae XYZ) 2 = >= > > >= : : > > : > : z : > > = J : = = = 

صفحه 239:
تعریف قبل بهمین ترتیب برای توابعی با بیش از سه منغیر نیز - تعمیم می یابد از ژاکوبین برای تغییر متغیر انتگرالهای چندگانه استفاده می شود. بدین ترتیب که y= Lee xn xu, تغییر داده شود عبارت 0 برحسب جملات ا و ۲ بدین a a uv, oe 4 

صفحه 240:
ae ری ۸۸۷ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۱۱۱۱۸۱ : به عنوان مثال در تغییر متعیر به مختصات قطبی ۲-۵009 , 7- 80 ‏تس‎ _ 6۵9 sid 98 5119م - ( 0,م ‎=pcosé + psing =p‏ ‎dA=p 06 89‏ = 

صفحه 241:
Kis fix ydAq 1۳ | au : بنابراین بطور کلی داریم ِ fF u,Vdudv و بطور مشابه نیز برای توابع سه متغیره محاسبه می شود ۱۱۱ ۸ 

صفحه 242:
۸ ۱۸4۷۰۰۵۰۵۰۲ 

صفحه 243:
ZS ۱ MUR : مثال انتكرال دوكانه زير كه در دستكاه دكارتى است را به دستكاه : قطبى تبديل و سيس محاسبه مى كنيم 7 ۲-009 00 > ۲ - 1511۳9 0 ۵ 

صفحه 244:
3 2 x 2 2 ‏ره‎ ‎“4a Fh f ao | 3 i a 71 - 1 \Z ‏اد‎ 

صفحه 245:
Se بهمین ترئیب تخیر متغیر (برای توابع سه متغیره ) به دستگاه مختصات استوانه ای بطور : خلاصه چنین می شود :- 1,6,2 وتغییرمتغیر به دستگاه مختصات کروی برابر است Kp,0,9) =p sixo 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 246:
ZS ۱ ۲ : مثال اكر جسمى باشد كه در ناحيه اول مختصات قرار داشته باشد و توسياا ار 2 + 37 + 2 و صفحات مختصات محصور شده باشد . 76 اجأ أإا الف) با استفاده از مختصات كروى . ب) با استفاده از مختصات استوانه اى ييدا كنيد 

صفحه 247:
ل مس دل = f f fecos sim) psixsiny) 0009.0 51۷ dod) dp و0 مضه 09 ورزوه ل ‎f‏ ‏لا ۱ ۱ Pit tane|9 0 ۱۱۱۸۱۱۱۷۱۱۱۱۱۷ (۱/۸ ۱/۱ او 

صفحه 248:
۳ :ادامه قسمت الف sing com ۱ = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 249:
a :f | ayzdve ‏:دنباله حل مثال(قسمت ب)‎ سس سس 1 ‎f‏ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 3 ننه وى عر * 2-7116 0 

صفحه 250:
Se : ادامه قسمت ب =; f f le ely cog simdrd = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 251:
ye 7 4 - | Pco@sired@ . بنابراین از هر طریق جواب یکی است 

صفحه 252:
ع : انتكرال خطى مقدمه: مى دانيم حاصلضرب تغيير مكان و مولفه نيروى وارده در جبهت تغيير مكان را كار انجام شده توسط اين . نيرو كويند بعبارت ديكر اكر "4 نیرو واگ تغییر مکان باشد : ۲.۵۵ مولفه ۲ در امتداد تغییر مکان = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 253:
a فرض كنيم كه () منحنی نمایش یک تابع بردارع در فاصله (,48 باه و یک نیروی برداری باشد که در روی 6 تعریف شده ید در فاصله ‎[a,b]‏ قابل انتگرال گیری باشد . در اینصورت کار انجام شده توسط نیروی 7 برای بحرکت در آوردن یک ذره در اسداد ‎Bef 1c‏ ایا وه = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 254:
ع ب ۱۱۱۱۱۱0۷۱۱۱۱۱۱0۸ : مثال ار نيروى أ 3 )+ ف مو /.- 9ج )12 را داشته باشيم مقدار كار انجام شده توسط اين نيرو را براى بحركت درآوردن ذره اى در امتداد 87-2 از (4)0,0 تا (13)1,1 را بدست آورید . 

صفحه 255:
ZS ۱ ۱ پاسخ i= 149 - 4 ۵1+ ¥0j x= < + )[ 0۶1 ۱ 0 > ۲ ‏ج1>‎ O<t<1 = Rb=i+j . )1 

صفحه 256:
: ادامه مثال Fé) =/ti+(t- 6 j=Vti = 2 eo ‏رن‎ 2_2 w=f V 3° 5 ye 7 ۷-۱ ۳ (6 

صفحه 257:
ع : انتكرال روى خم ‎tec‏ + (8)نور8 )ب) :طظ > >ه انتگرال روی خم (۷,ت62] در مسیر 6 : 0 ۵5 ]۵ (0 )0.۵ )0,۵ )1 | < ار 

صفحه 258:
: مثال انتگرال روی خم روبرو را محاسبه ‎Eye ds,‏ که :)© عبارت است از خم زیر : 1 ‎y=2tan f- 1+ 3‏ +1 ات ۶1 0), = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 259:
sive ds [fant ]- +3 1+ 3 a / ۶ 2 | 1 z| + z-1 ۱1+ 1+ 0 = = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 260:
محم وت ۳ 1 ‎2tan‏ 1+ =2 ‏عمال‎ fan at oe 1+ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 261:
ع : ادامه يا 2 3 ie + = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 262:
000 wy a مثال : مطلوبست محاسبه انتكراز[© د -:[ ) 30/036 .] در مسير خطهاى زير كه دو نقطه (40,0 و (41,1 را بيكديكر وصل مى کنند : الف) خط 5-2 : = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 263:
ع ۲ : ىمهس)ب‎ T= ‏کل + کر‎ xx dy - ‏مدا‎ - axle 32: ‏ود2‎ 3 21 ks "4 3 0 4 3 2 ا ؤةؤةؤ 0000000500095 

صفحه 264:
NY a 2 21 17 5 52 35 ۲ 

صفحه 265:
دیفرانسیل کامل با واقعی. = = = = = = = > = = = = = = = = = ۳ = = = = = 

صفحه 266:
یادآوری :با فرض اینکه ‎FCM‏ = 20 آگباشد داریم ۲) < ۲ ()] دیفیلنسیل (5) "1 ملست sea nae ase cee 20 

صفحه 267:
بطور مشابه اگر (/۳)6,1 و (17رتتد ۵ دو تابع دو متغیره2 باشند آنگاه در صور تیکه برای (@y)dx+ Q (x y)dy (1) ‏داشته باشد که‎ ogog F(X,y) ‏تابعی مثل‎ Ox y= i Ray "7 0 00111 بر ؟- و۳ ‎Ox‏ 

صفحه 268:
ع دراينصورت رابطه (1) را ديفرانسيل واقعى يا كامل (1”)3:,87 كويند و يا بعبارت ديكر براى تابع (1”)3,87 ديفرانسيل واقعى يا كامل جنين تعريف فى شود > dF= < Faw < fa = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 269:
Ax, y=xy dk x, y = ydx xd = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 270:
= = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 271:
ye 7 : قضیه شرط لازم و كافى برای آنکه ‎P(x, y)dx+ QO‏ 007 یک دیفرانسیل کامل باشد این 0 _ ورن ‎oy Ox :‏ 

صفحه 272:
ع مثال 3: اگر ‎Q-=(y) 5 P(x, y)=y‏ غ3 باشد oP jo a ydx-xdy ‏بنابراین‎ Oy Ox عفر انس ل تاملى کت = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 273:
ع مثال4 : آیا عبارت روبرو دیفرانسیل کاملی است ؟ (x+ y+ De*- ede |e - ‏بعر)‎ y+ De | dy isa © كم 0 - و + ‎Slat‏ ا ؤؤؤةؤ 000000050090 ‎(xt (0 ee 0‏ ا ‎Ox a a‏ 

صفحه 274:
ye 7 میدانهای برداری کنسروانیو : يا میدانهای برداری نگهدارنده اگر تابع اسکالر ۳ بنحوی وجود داشته باشد که برای /دار ‎VE eM atl‏ در اینصورت ‎F‏ را پتانسیل با (نگهدارنده ) نامند . دراینصورت / را یک میدان برداری کنسرواتیو 5 نامند و داریم ‎VxV=0‏ 

صفحه 275:
ع ری ۸۸۸ ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۸۸۱۸ Jiao: ثابت کنید که عبارت زیر کنسرواتیو است و تابع . پنانسیل آن را بدست آورید ۷ ‏-ر2) + رم 2 بر‎ yer )- + + 

صفحه 276:
ع 1 <q ye — Il 0 0 0 -0 Ox oy 62 0 ‎yr 2 xt ye‏ 25 انوت يي ‏ثلا یک میدان برداری کنسرواتیو ‏. است ‎& ‎5 ‎1 ‎: 3۳ VF=V> ۷ ‏و و‎ 0X. Oy. 02 < 1 + ۲۱+ ‎ ‏ار 

صفحه 277:
4 -)۷< 3 و = Axya= ] 2 ‏حده‎ xX +2yx: zx+ Hyd )1( oF 0 ۳) ۲2 -- ۷+ =2x+ El y,2 =V, =2x- y+z a 3 > = 

صفحه 278:
oR ل 2 < f- y+ 2dy = BY + ‏جر‎ 2 (2) 1,)2 + Ax y,2 ‏مور + و‎ + Vz ay tHe (3) => a =-xt+ y+h(2= 

صفحه 279:
ادامه جواب : 2- 2 او ج22 +۲ بو -- و # x 4 112 - Pzde-z + (4) 34> Fxya =}x +2xy 2 12 ی بر - ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۱0۷0۸ 

صفحه 280:
کرل (چرخه ) چرخش = = = = = = = > = = = = = = = = = ۳ = = = = = 

صفحه 281:
ع ار ل a n= = os cu Vxu= at + we = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 282:
ع Slee: : ‏کرل »را در نقطه (1,1,1) محاسبه کنید‎ u=xyi+ ‏ور رد‎ + 2yzk we) i J k curle| © a ۵ | oy 221 2 2 272 - 2۷ 32 2 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 283:
ادامه جواب : loz +2x y+ xyj- 437 2 faenet xu) =4i+ j- 5k : : : : 3 > > = : > : : : : 

صفحه 284:
ع 2 اگر 12-0 ۷دراینصورت ‎all) u‏ هارمونیک گویند . = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 285:
le Bn ey ene : مثال لاپلاسین « را در نقطه )£1,0,1 محاسبه كنيد. 2202 3 u=6x yz+x ۳ Ou du Ou SS 9 ay az =12yz +6x+12vz+12Xxy 2 ۷ 1,01 -0+ 6+12 0-8 

صفحه 286:
انتگرال رویه ای برای تعریف و محاسبه مساحت و سطح رویه از انتگرالهای چندگانه استفاده می کنیم : 5 قسمتی از سطح رویه که بوسیله منحنی بسته "1 محدود شده و (6,1)؟<معادله سطح )45 ‎S‏ زا شرط اینکه هر خظ مهاری با محر 2 فقط در یک نقظه سطح ‎٩‏ را قطع کند محاسبات قابل انجام شدن است . = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 287:
as ۱۰44۰۰۰۵۰۵۱۵۵۱۰۰ د 

صفحه 288:
۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۸۱0۷0۸ © تصویر 1 ریس طح و 3 زاویه هادی‌خط عمود بر 5 يا قائم بر 5 است و پس از تفسیمات جزئی روی مساحت ومجموع و حد گیری بطور خلاصه و در نتیجه: 5 ‏با‎ segdA= De 22) 1 lax, ]22 42 + +| --| +1 ۵0 ey, 

صفحه 289:
WY ۳ بطور مشابه اگر بر سطوح دیگر مختصات نیز تصویر کنیم با توجه به زوایای هادی فرمولهای مشابهی حاصل می شود و بطور کلی انتگرال تابع ‎UCLY,Z)‏ روی سطح (7 ,21026 را میتوان چنین تعریف نمود : S= [ux yads- د )4 اه ]اند ‎J flay‏ ب ۱۱۱۱۱۱0۷۱۱۱۱۱۱0۸ 

صفحه 290:
1 272 3 lee 58 ‏مساحت قسمتی از استوانه 2< ۲ + درا که در‎ Z=MX 5 Z=O0 ‏اول دستگاه مختصات بین سطوح‎ حار ‎as‏ ساب کنید . = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 291:
بدیهی است که فقط آين سطح روی صفحات ايا ل6لقابل تصویر نمودن است چون قائم بر سطح 2617 روی سطح قرار دارد لذا روی 7 قابل تصویر نمودن نیست . : ‏با تصویر روی 162 داریم‎ Je ۵ ۱۰۱۱۷ ۱۷۰۴/۱۸ 

صفحه 292:
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 293:
= = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 294:
: منال انتگرال رویه ای 4ص در صورتیکه رویه 2 2 cw! USL yong =2- [ x +y] ‏سهمیگون‎ ‎S= ffi ‏محاسبه كنيد . ( توضیح اینکه چون عات‎ یعنی مقدار انتگرال روبه ای همان سطح رویه 5 است .( = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 295:
is J flsyed= | ‏مه دا تا‎ =|. +4x +4y dxdy = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 296:
ادامه جواب : .5 تصویر را روی صفحه 6۷ می نماييم : ‎[x+y] =0=> x+y =2‏ -2 <0< 2 :ع] ‎s=4f fear rare ‏3 7 1 م 2150/2 1 ثم ی ‎ ‏ان ؤة 0 6000000000090 ‎ ‎ 

صفحه 297:
ye 7 : تعریف دیورژانس واگرائی ‎Leases ux, y,2 =uit+ wj+uk‏ tb ‏ریت فده مه‎ Ei ls ee ‏اگر‎ دیورژانس تابع لا عبارت است از : ‎a; 0 0‏ ‎—k‏ داع = ‎div‏ ‎iu‏ دز ‎iw =V.u= ae‏ - 6+ ou, + ox” oy” Oz 

صفحه 298:
مال دیورژانس نا رادر نقطه (41,1,1 حساب كنيد : 5 3 ‎u=xyit ۲ 27+ 216‏ divu- yz+ By zt Sxyz =1+ 3+5=9 = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 299:
WY ۳ ‏قضیه گرین در صفحه‎ : Fx yp=Ax pit 0x 9 اگر 1 یک میدان درصفحه 1 باشد که توسط منحنی © AV محدود شده ( منحنی بطوری است که هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع نکند ) اگر ۳ و 0 توابعی پیوسته با مشتقات جزئی مرتبه اول پیوسته باشند در اینصورت ان ؤةؤ 6000000500095 

صفحه 300:
ع : مثال . با استفاده از قضيه كرين انتكرال خطى زير را محاسبه نمائيد I=(¥+y) dx 2xyd x+y =1 I=jsf- 2y- 2ydxdy =- 4j fydxdy ا ؤةؤةؤ 0000000500095 

صفحه 301:
ee 7۲08 =- af r sind lob ne - 2 ( 0 whi gl =+5c09* =". *=0 3 

صفحه 302:
: تبصره قضیه در حالتیکه منحنی بسته ) طوری باشد که هر خط موازی محورهای مختصات آنرا در بیش از دو نقطه قطع کند نیز صادق است . = = = = = = = > = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 303:
: مثال انتگرال خطی زير را روی مسیر داده شده حساب کرده و سپس با 2 : استفاده از قضيه كرين مقدارانتكرال را بدست آوريد و مقايسه كز [7 < ] 0 07 R=((x plo<x<10<y<l 0000000000009 

صفحه 304:
le © ال تعره ‎y=0=> dy=0‏ 0<x<1=> dx=d) ب ج< روی سیر ر6 x=1> dx=1 0<y<1=> dy=dj = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = > روی سیریر6 

صفحه 305:
- y=1=> dy=0 Gm \Qex<l= dx=d x=1> dx=0 Gr cn > : : los y<1=> dy=dy = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 306:
le ادامه جواب : +20 + 5)0 ] + 20 ج00] -< ۲ + ۱0 ] + 2260 +69 ] = f2dy (dx و و 0 .1 ‎i=]‏ 2 ب و2 7 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 307:
ye 7 حال با استفاده از قضبه گرین ۲( -۸2/ ] < 7 02-1 يكل ز عزلم دز ] < 

صفحه 308:
ننیجه : 5 مساحت میدان * را می وان از یکی از فرمولهای ee S={xdy=|fdxdy S={ydx-- | {dxd S =5 ydx™ xdy = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 309:
ale OOOO d DOK OO OOOO: : مثال با استفاده از قضیه گرین سطح بیضی 1 - : را بدست آورید كا أنى لق + ‎oS.‏ ‎Ge)‏ : می دانیم معادلات پارامتری مسیر بدینگونه است ‎Rbd=xXdi+ Koj 0 =aco¢= dx=- asintd yd =bsint=> dy=bcoddi ‎ ‏9 0هظهظ, 

صفحه 310:
لد 56 ادامه جواب : < 0۶ ۳) 0 2020 ها - ‏اه 050 اه‎ ne Sony a ‏لور‎ 27 _ 20 1 -2 t+ ‏او‎ 07 21 2n| =zal = = = = = = = => = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 311:
: تبصره در مختصات قطبی مساحت از فرمول زیر به روش قبل : محاسبه می شود 8 بر -كى ا لضن( ووو 

صفحه 312:
ع : اولين فرم بردارى قضيه كرين ‎=Pi+QG‏ ‏مرس 8و +92 )<- 208 7 اؤؤة 6000000000090 ‎S=> Ox = Td:‏ الك ‎JF-Tds=qF.dk =q Pax Qdy= J (VF) kdxdy= f (VxF).dA‏ ‎c 6 ۱ R‏ ‎]4/ -0:0( لوط ‏برداری است عمود بر میدان آقوبه‎ dus ‎ 

صفحه 313:
a ‎olay cee SEY 5‏ شار ‎FIO‏ ‏سیال در نقطه 7( کر صفحه باشد انتگرال فوق عبارت از انتكرال مولقه اى ار شاراست که در جهت تعاس بر منحنى © است و بنام گردش ‏ در اطراف نقاط مرزی ‏1 موسوم است ‎ ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= ‎= 

صفحه 314:
7 قضيه د بور زانس (قضيه كرين در فضا) : مقدمه بردار نرمال خارجى يك روبه : برداربست كه بر رویه عمود بوده و جهت ان به طرف خارج روبه اد POOOKDODODODODODODOOOO0) 

صفحه 315:
ae مثلا : اگرییک کره بمرکز مبدا مختصات و شعاع 1۴ ( 2182 22 + ۷2 + *26) داشته باشیم .این کره محور 2 ها را در نقطه ۸و 8 قطع می کند آنگاه بردار نرمال خارجی این کره در دو نقطه ۸و ظ به ترتيب >1 و-كك1 یعنی در جهت مثبت ومنفی محور .7 ها خواهد بود ,18 00 ۸ ر 10 00 | = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 316:
ع ب ۱۱۱۱۱۱0۷۱۱۱۱۱۱0۸ : قضیه دیورژانس . عملا تبديل انتكرال سه كانه زه دوكانة و بالعكس ات فرض کنید 5 یک رویه و ۷ فضای داخلی آن 11 بردار يکه نرمال خارجی بطوریکه تابع برداری 5 عارگرد+ ريل + ,4 -4 كه كرو كرو كوتوابع بيوسته با مشتقات جزئى مرتبه اول بيوسته باشند در 

صفحه 317:
ع ری ۸۸۸ ۱۱۱۱۱۱۷۱۱۱۱۱۸۸۱۸ سم | ۵ ۵ 04+ 0 1 f ee A,dxd# A,dxdy= f fA cosu+ A,cocw A,coswds 

صفحه 318:
ع ب ۱۱۱۱۱۱0۷۱۱۱۱۱۱0۸ سم زر دیورژانس که او ۲و ۷ زوابای بردار نرمال خارجی رویه 5 در جهت مثبت مثلثاتی با محورهای مختصات است . 

صفحه 319:
| Axy d= i+y¥ jt 2k ۱۱۱۱۱۰۱00۱۱0۱۱۱۷ wy 1 Wy ۳ 

صفحه 320:
== | fax 277+ 1101 عم ثر جرلا د] 2 == fax Qdx=x + ‏و- رد‎ 

صفحه 321:
2 د 

صفحه 322:
a ما ۸۸ ۱۱۱۷۱۱۱۱۱۱۱۷۱۸۸۷ ادامه حل : روبه ‎٩‏ چنین است که از شش سطح تشکیل شده بنابراین داریم : [eet atl 5 - 2۸86, 21-7 1-1 لاه مزغر ‎[fis‏ حومط ‎f‏ ‏دمم [ ‎[fae‏ : 

صفحه 323:
< ۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱۱ ۸۸ wy ZAIN : ادامه جواب =GOEEFn=- i,x=0 > | fads [fas S, =~ AGFDn= k, z=1> [fine f fas 

صفحه 324:
ae ری ۸۸۷ ۱۱۱۱۱۱۸۸۱۸۱۱۱۱۸۱ : ادامه جواب 5 = BOECGn=- k, z=0> { f-nds-- Jfas-0 s = DFEGn= j, y=1= [fade [fact 

صفحه 325:
as : § =AGOBn= j, y=0= i f fFnds=- Lee 3. OOOH KHOD DOOD ODDO OOD 

صفحه 326:
z ۹ Q 2 0 0 5. 1 J flivFdxa divFaV.F ae ‏باتوج‌بی‎ ‎ox oy 0000000000000 00000000 wy 

صفحه 327:
اگر تاهج اسكالري با مشتقات جزتي پیوسته مرتبه اول در میدان باز در8صفحه بالق و ‎jo Blau‏ باشد که نقاط مرزی آن يك منحنی بسته ساده ‏ باشد ثاببک كنيد © ۱ a | ‏سول‎ ۳9 = = = = 2 = = >= = = = = = = = = هه = = = و = = 

صفحه 328:
Je: “مي دانیم مشتق جهت دار ‎g‏ امتداد ‎ob‏ است از 011 نبا جایگزاری داریم ۲ ۱۳۷/۵۵ ل[ ‎qa ds=qVg.nds=‏ ‎R‏ ۳ و ‎ ‎OOOOKOODOO DOOD DOOD OOOON 

صفحه 329:
حالت كلي قضیه گرین : ۱ فرض کنید که رویه طوري باشد که تصاویر آن در صفحات مختصات بوسیله يك منحنی بسته منود شلد باشد اكر ددر روحم (ربدر <ر معادلات رویه باگند ‎ohh» ehh aly‏ مشتقات ‎eed‏ لكاي A=A it A J+ +4, k= fAdr= f WVxA.nds 2 5 با توجه به اک و رو بإ بيوسته و داراى مشتقات جزئى مرتبه اول ببوسته و علو +زبز + لتدك - -ق. ry OOOOKOODOO HOODOO OD OOOON 

صفحه 330:
| . »> { ۳ 4 1 مسئله زم_تحقيق A=Zi+xj s:0<x<1,0<y<1z=14~ ‏بحل‎ ‏:مي خواهيم تساوي زير (فرمول استوكس) را نشان دهيم‎ ‏تصویر گروي ۳ از چهارمسیر > 4 و تشكيل شده‎ fA dr= f vx]. nas Cc = = = = = = = = => = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 331:
1 ca 6 ve 2<21:0:۳<002 > 0-0 G:x=10<y<l=> dx=0 G:y=11<x<0,dy=0 020 ,0> ۶ > 01< : ب6 = pa || = = = = = = => = = = = = = = = = = = = = = = 

صفحه 332:
VxA= =j=k 2۳ ‏موازی صفظ چون رویه‎ Sa, cul ۱۷۵) ‏<1<ع 10 +ز‎ JWxAnds= f fas= f ‏حرف ] -ع0‎ = = | = = = = = = = = = = = = = = = هه = = = = = = 

صفحه 333:
در شبكه دانشجويان ايران عدد ‎١‏ را به شماره زير ييامك كنيد 00111 ene MAD .COM