فیبوناچی

صفحه 1:


صفحه 2:


صفحه 3:


صفحه 4:
دنباله فييوناچي و دنباله لوکاس نوع ديگري از رشد و تصاعد را نشان مي دهند. بیادآورید که در تصاعد حسابي » جمله بعدي از جمع يك مقدار ثابت به جمله» كنوني بدست مي آيد و در تصاعد هندسي جمله بعدي از ضرب يك مقدار ثابت در جمله كنوني بدست مي آید 3 اما در دنباله فييوناچي و دنباله لوکاس و امثال اينهاء جمله بعدي از ضرب مقدار ثابت 00 در جمله کنوني بدست مي آید که عددي اسرارآمیز است. بررسي این عدد شگفت انگیز صدهاسال قبل از میلاد در هند و 160660 سال بعد از میلاد توسط فييوناچي» شیربچه ي پیز! در ایلیا وارد ریاضیات شد و نسبت مقدس و نسبت طلائي نام گرفت 

صفحه 5:
1 ‎x‏ ‏که به اين معادله درجه دوم منجر میشود 2 x —x—1-0 و با حل آن دو مقدار برای بخش بزرگتر به دست می آید X= ‏كيخا‎ = 1,618033988 X= ‏اس‎ =~.6180339880 1 2 2 ولى جون بخش بزركتر نمى تواند منفى باشد©را كنار مى كذاريم 

صفحه 6:
فرض كنيد فروشكاهي تاسيس مي كنيد كه در روز اول ) تومان و در روز دوم © تومان مي فروشد ولي از آنيس؛ مقدار فروش هر روز باندازه مجموع فروش دو روز قبل از آن است. با جنين فرضياتي فروش ما چگونه رشد مي كند؟ ۰ ©©, 00,06 ,مك :0,9,6 اين دنباله در ستون 5),] نشان داده شده و دنباله لوكاس ناميده مي شود. در جدول مقابل» اولین ستون از سمت چپ روز را نشان مي دهد و ستون 9),میزان فروش روزها و ستون 4 نسبت فروش روز به فروش روز قبل و ستون 0 نسبت فروش روز به فروش روزبعد است. جنانكه ديده مي شود © و 0 بسوي مقدار ثابت 0006099660 و 0 میل مي کنند. اين دو مقدار را نسبت فيبوناچي یا نسبت طلائي یا نسبت مقدس . نامیده اند 

صفحه 7:
روش بدست آوردن دنباله فيبوناچي نیز مانند دنباله لوکاس است با اين تفاوت که مقدار فروش روز اول و دوم بترتيب 0 و ) مي باشد. في الواقع دو مقدار اولیه مي توانندهر عددي باشند بشرطي که مجموعشان صفر نباشد. بين ۵ و ه اين رابطه بر قرار است: 0 - ب- © كل هر جيزي رلء ومثلا باره خط بالا را جكونه به دو بخش كوجك (() و بزرك (0) تقسيم مي کنید که نسبت بخش کوچك ب بزرك برابر باشد با نسبت بخش بزرك به كل هر دو بخش؟ اين مساله را مي تولنيد به بیان رياضي برگردانید: بخش کوچکتر را برابر با 6 و بخش بزرگتر را برابر با مد مي گيریم. در اینصورت : نسبت مقدس از فرمولي با كسرهاي متداوم و راديكالهاي تودرتو و توابع مثلثاتي هم بدست مي آيد 

صفحه 8:
.۱۸۱۱۲۷۲ ارجا وه pel ۱+: 18 Q)= ‎zee‏ 1/ 2 دم ‎p= 0 2030‏ 

صفحه 9:
١ | ۲ تا i 

صفحه 10:


صفحه 11:
‎Liss 7‏ به ی مس توا شاوی ویر را تحقیی کر ‎))--۵-1۵-۱(-)۵-۱/۵-۵ ‏و با توجه به نایرایری مثلثی خواهيم داشت ‎ ‎ ‏۱-۳۱۸۰ ‏اکنون به بررسی حالتی می‌پردازيم که اين نابرابری ‏برایری بدل شود در حالت تابر بری مکی ‏اج | ک 2 ‎lat‏ 

صفحه 12:
( به شرط 0 كد 212 باشد.) يس به جستجوى شرطى مى بردازيم كه ضامن مثبت و حقيقى بودن عدد (ة- ارقم (a=opay) PR ‏عدد منبت‎ 

صفحه 13:
همدایره هستند .و 6 ,[" در دو طرف وتر واصل بين دو نقطه 85 قرار ‎igh‏ كه نتيجه آن به ترتيب الفبايى قرار كرفتن اين (ساعتسو یا پادساعتسو ) است. پس قضیه زیر را ثابت کردیم. 

صفحه 14:
به ازاى هر چهار نقطه ‎yA‏ ۸0۰۲ 30۰0۸4 +۸۰00 تساوی هنگامی و فقط هنگامی برقرار می‌شود که اين چهار نقطه همدایره ( یا همخط ) باشند و به ترتیب الفبایی ( ساعتسو یا پاد ساعتسو ) قرار گرفته باشند. حالت تساوی توسط ک. بطلیموس ( حدود 600 - 10 ب.م ) کشف گردید. در صورتی که حالت کلی متجاوز از هزار سال بعد توسط ل. اویلر 2000 - ‎wat lay (IPOD‏ ولی با استفاده از اعداد مختلط نتایج آن را می‌توان فقط در یک سطر به دست آورد. 8 ,(] در صفحه داریم عبارت 0 )=( را نسبت ناهمساز چهار نقطه ۵ ,۵,7۱3 گویند (0, 8,7,6) = 

صفحه 15:
" گویند. اين نسبت نقش مهمی در بخشهای مختلف ریاضیات, به حح خصوص در هندسه تصویری, که یکی از زیباترین شاخه کت ‎sla‏ باضات است انفا مم, کند. he چهار نقطه همدایره ( همخط ) اند, اگر و فقط اگر ‎€R‏ )09,96( 70 +08 AB’ قرو یورین ) در مثلت قائم الزاویه )۸8 , قائمه در راس 6۵ داريم 

صفحه 16:
محاط در دایره ای به شعاع ۳,۲ وسط 0 ,4 طول یک قطر آن باشد. با استفاده از قضیه بطلیموس برای چهار ضلعیهای ‎ACPD, ACDE‏ خواهیم داشت: ل د در 9 - 20 که درآن‌طول ضلع ده ضلعی منتظم محاط در دایره ای به شعاع 7۳ است. از اینجا نتیجه می‌شود که ‎٩‏ - * :يي در تساوی 1 + م - تم iE 2 ‏صدق می‌کند.‎ 

صفحه 17:
‎se =‏ بنابراین نسبت شعاع 7به طول ضلع ده ضلعی منتظم محاطی, ‎TL‏ نسبت زرین معروف را می‌دهد: ‎+8 ‎9 ‎۷ (p>0) 

صفحه 18:
زا ارتباط مثلث خيام /ياسكال و دنباله فيوناچي مثلث خيام را در سمت جب مي بينيد كه هر عدد آن از جمع دو عدد بالایش بدست آمده است هرگاه آنرا به شکل يك مثلث قائم الزاویه بچینیم چنانکه در تصوير سمت راست ديده مي شودء آنگاه ارتباطش با دنبالهفييوناچي دیده خواهد شد این ارتباط در ردیف زیر با رنگ نشان داده شده لست 

صفحه 19:


صفحه 20:
مي تولنیم بج نیم» بطور قظري بنگریم و آين نكرش بآ داده شده است حاصل جمع هر قطر را در ستون سمت چپ با همان رنگ قطر مي نویسیم اگر به اعداد این ستون دقت کنیم مي بینیم که همان اعداد دنباله فيبوناچي است ۳ 1 1 5 10 1 6 15 20 15 1 2 .21 وق 2139 7 ترتيبي دیگر از مثلث خیام پاسکال 

صفحه 21:
بم ‎soa‏ ‏™ 4 ۰ ‎a4 ۰‏ ه ‎aa 5‏ م ب و اب ها ‎ata =‏ © مت م ‎N won‏ ‎Hoy aS‏ سه صمب ‌ ‎a MY‏ جح ‎aaoam‏ 5 9 مامه ها ها اعد سب 5ب 

صفحه 22:
است ولي ا ٩ 9 حال اگر اعداد دنباله فييوناچي را بنحوي که در شکل روبرو دیده مي شود بجينيم و از ت راست» ستون به ستون جمع کنیم دیده مي شود که همان عدد اعشاري بدست مي آید يك نکته اضافي که از مطلب این ردیف و دو ردیف بالا مي توانیم نتیجه بگيریم اینست که ترتیب مي تواند بسیار پرمعنا و نتیجه بخش باشد آنچه که در يك چیدمان خاص پنهان است؛ در چیدمان ديگري مي تواند عیان و آشکار شود بنا بر اين ما حق داریم ترتیبات موجود را قابل تغییر بشماریم 

صفحه 23:
0 - 023235955056379 - - براي يادآوري ذكر مي شود كه رابطه يا معادله خطي آن است كه متغيرهايش از درجه يك باشند يعني توان دوم و سوم و...راديكالك و غيره نداشته باشند و همجنين متغيرها در يكديكر ضرب نشده باشند. مثلا ©-بر,د يا ,,-0+:©-©,, 

صفحه 24:
0 - همچنین (0)) نشانه عدد امه ی و ‎P(E)‏ نشانه دومین عدد سمت راست آن و ‎(GO)‏ نشانه دومین عدد سمت چپ آن است با اين ترتيب فرمول نخستين را براي ©-0 از دنباله فيبوناجي و دو عدد سمت چپ و راستش را مي آزمانيم 1 52 4 5 7 8 9 1 1 2 3 5 13 21 ۱ 34 كه درست است زيرا 8+ 6+ 00 - © 6ع ‎=9e‏ 98 

صفحه 25:
~ و i ۱۳۸۳ 

صفحه 26:
Fibonacci ; Lucas — F(a) +L@)=2F@+1) L@)+5 F@)=2L@+1) 3 50 + 1( 2 56+ 2( 31۵+ 5 ۲-2 10+ 2( نسبت طلانی مناهة «۵6اه6 ای + ای = ای ‎hi! + phis?‏ ‎Ph + Par‏ = 

صفحه 27:
(نطج) - تترؤط فرمول بينه ها رمع L(@) = Phit + (phi) croma (BY ip sere V5 ): 220 L@) = round(Phi*).if n=2 hi) F(a) = round C= a ) fn20 La) = round( (phi) ), 223 FGa) = C1)" 'round ( =) ‏وک‎ F(a + 1( =round(@Phi F(n)).if 2>2 L(a + 1) = round@hi L(n)).if n>4 

صفحه 28:
fract( F(2n+1) Phi) = phi ia _L@)+ Favs 2 Phi? = Phi F(a) + F(a-1) Phit = F(n+1) + F(n) phi _L@)-F@s 2 (phi* = ‏(1-ظ + (م۲ نام‎ (phi)? = F(@a+1) — Phi F(a) 1/5 Phi* = Phi L(n) +L(@-1) V5 (phi = phi L(a) — L@-1) oi 

صفحه 29:
۳ ‎F@+ 1? + F@p?=F@n+1)‏ ‎F@+ 1? -F(a- 1? = F@n)‏ ‎F@+ 1? -F@y=Fet+2)Fe-D‏ تبص + تلوس د تووم + زجوم ‎DF@n +1)‏ + ممه - موز موس + 2و1 + مز + مي هت عاتم ح تريوه - (1 سووظ (1 ‎Fat‏ F@y —F@ +)F@—9= CDF) Catalan ۶ ‏دا + متام - (1 + متام‎ = CIEE mp F@+ DFG + 1) —F(@— FGa— 1) = Fa +m) F(@) = Fm) F@ + 1 —m) + FG@a— 1 ‏رت ها‎ F+ m)= Fon) Fat 1)+Fon- 1) Fa@) F@) F@ + 1) =F@— 1) F@+2)+ CD" (a+) F(a +k) — F(a) Fin bi +1 0 F(a)Fb) — ۳6۳) =C1)( F@ — DF — 1) — Fee - ‏تزع‎ )8- (( atb=ctd for any integers a, ] 3 Y + 2 F@)F@rth) ¥ = F@+1)F(n+2) — F(n-1)F en)? =F@ntl? 

صفحه 30:
-22 يي د -- 0-1 سمه عر - 2۲۵ 5 جمدو 5 2160 -16+ 2-1 5 Sro=Fa+2-Fard ‏دجم جمد - مك‎ Srey =Fen+ 1) 1,020 5 رت بمب 5 DLGi-1)=Len)—2 = ‎rary‏ و ماو و 2 ‎ 

صفحه 31:
— 2L@=2"' Fat 1) ۳ - (1 - فق 5 0 FGn+1)+1 2 3 =: FGa+2) ۳ ‏سس‎ ‎Sree Feed DFa)=Fen+ 17-1 5 DFai+)=F@n+ DF@a+2) a DFui+2)-F@a+ DF@a+3-1 5 (2 + م50( + مم5 - رز +1 2204 = و مود ود مرن و = 

صفحه 32:
1 ib ۳ 

صفحه 33:
با تفر (ز ترجم شا