مجموعه ها (Sets)

صفحه 1:
فصل دوم: ساختارهای ابتدایی: مجموعه تابع» دنباله و تجميع ۳3۳ مجموعه ها (56©15) درس ساختمان های گسسته 

صفحه 2:
a ‏یک مجموعه (50۱) چیست؟‎ * یک مجموعه یک مجموعه نا مرتب از اشیا است. [] اسامی افراد کلاس: (علی, احمده زهراه ..) [] استان های ایران: (تهران» مازندران. گیلان» ...1 7" مجموعه می تواند شامل اجزای کاملا نا مرتبط نیز باشد: [تهران, ۳. قرمزب]] "" خصوصیات مجموعه |-أ ترتیب مهم نیست * ۰۱ ۴۰۳۰۲ ۵) برابر است با (۳, ۵ ۲ ۱,۴ 7] مجموعه عضو تکراری نمی تواند داشته باشد 

صفحه 3:
eee مشخص نمودن مجموعه * از حروف ‎A, S) yy‏ برای نام گذاری مجموعه * از حروف کوچک ایتالیک (7 رل ,4...)برای اعضای مجموعه * راه ساده نمایش: لیست نمودن همه اعضای مجموعه (5 ,4 ر3 ,2 ,1) < ۰۸۸ هميشه لمکان‌پ ذیر نیست "ا ممکن است از () نیز استفاده شود: (... ,7 ,5 ر3) = ‎B‏ ‏ل ممکن است ابهام ایجاد کند If the set is all odd integers greater than 2, it is 9 If ine set is all prime numbers greater than 2, it is 561( ‏معرفی یک مجموعه با بیان خصوصیت مشترک آنهاست‎ * “(builder notation D = {x| xis prime and x > 2} E = {x| xis odd and x > 2} 

صفحه 4:
SS a ‏مشخص نمودن مجموعه‎ ‏یک مجموعه شامل (601181115) تعدادی اعضای‎ * ‏يا المان های (616106105) متفاوت است‎ )261701615( ‏که آن مجموعه را می سازند‎ ‏عنصرعاز مجموعه ۸لست‎ 86۸ :۵ ۲ > ۰ 1 : 88۸ عنصرعاز مجموعه ۸ نیست ۴ (4 ,3 ,2 ,1) ۶ 

صفحه 5:
‎SS ۲ ۲ 3 3 ۰‏ مثال مجموعه های پرکاربرد * مجموعه حروف صدا دار: ‎U}‏ ,0 ,1 ر6 ‎V = {a,‏ "" مجموعه اعداد فرد زیر -\:}1,3,5,7,9{ = ‎O‏ ‎T ={ a,2,Fred,New Jersey} :scyare ""‏ * اعداد طبیعی : }...,3 ,2 ,0,1{ ‎N=‏ ‏* اعدادصحیح : (1,۵,1,2,۰۰۰-,2-ر...) < 7 * اعداد صحیح مثبت: (...,41,2,3 < + * اعداد گویا: ‎Q={ p/q | pEZ, GEZ, G#O}‏ * اعداد حقیقی ‎R‏ 

صفحه 6:
(Venn diagrams) gg jogs نمایش گرافیکی مجموعه ها مستطیل بیرونی مجموعه عالم را نشان می دهد دایره یک مجموعه را نمایش می دهد * 5 مجموعه حروقصنا در در وبارلتكليسورا نشازم مهد 8 معفولا اعضای مجنوفه در نمودار نوشته نمی شود 

صفحه 7:
مجموعه ای از مجموعه‌ها ‎mS ={ {1}, {2}, {3} }‏ ‎mT ={ {1}, {{2}}, {{{3}}} }‏ BV=f{ {{1}, {{2}}}, {{{3}}}, { {1}, {{2}}, {{{3}}} } } * تعداد اعضای مجموعه ۷ سه تا است (([(1))) عج ((1)) (1) ع 1" 

صفحه 8:
مجموعه تمی * اگر تعداد اعضای یک مجموعه صفر باشد به آن مجموعه مجموعه تهی (9107 یا [[01) می گوییم لاعلامت: ۵ 4 1-0 * تهی خود می تواند عضو یک مجموعه باشد 2(ع ,3 ,2 ,1 ,© ) ۵1 ع 0« }}{{#}{" ‎m{o}={{}}‏ 

صفحه 9:
هآ ۳۳۳۲۲۲۲۲۲۲۲۲ ۲ تساوی مجموعه ها ‎(Set Equality)‏ 9 915 مجموعه ‎(Subsets)‏ ‏* اگر دو مجموعه اعضای کاملا یکسان داشته باشند با هم مساوی هستند ل زا ‎{VY NFO} = fof roy‏ ‎o‏ عر رك 1 ع عر ا با را وى لع هن 6 إلى ارا ) "ظ.مجموعة- 8 زمرمجموعة: 1 أسة؟ اگزروفقط اگز:هر حضوی از "5 عضوی از ۲ نیز باشد. T= {1,2,3,4,5,6,7}€s § = {2,4, 6} 31 زیرمجموعه ۲ است صورت نمایش: ۲" > ‎٩‏ به بیان دیگر (1 6 + 5 ع ) 6 ۷ برای هر مجموعه 5 داریم: (8 ع 5 ۷5) ‎٩‏ ع 8 لأ براى هر مجموعه 58 داريم: (5 © ۵ ۷5) 5 > © 

صفحه 10:
با ‎SS‏ ‏زیر مجموعه محض (5۱۳5615 61 2107) * مجموعه 8 زیر مجموعه محض ‎T (proper subset)‏ است. اگر و فقط ‎٩‏ زیر مجموعه ۲ باشد و. 1 5 5۲7 4 ر3ر2 ر0,1) ‎T=‏ ‏5( ,2 ,1) - و ۳1 و و 1 > 5 لانمايش: '1' - 5 

صفحه 11:
a ‏منال‎ ‎Real Numbers R ره ‎Numbers Q‏ Integers Z BY Natural Numbers N Nc WeZcQc R 

صفحه 12:
۹۹۰۰۰۰ Set cardinality * اگر 5 یک مجموعه باشد و 2 تعداد عناصر متمایز مجموعه ‎٩‏ که 2 عدد صحیح نامنفی است. گوییم ‎٩‏ یک مجموعه محدود و .11 ‎Cardinality‏ مجموعه 5 است و با | 5] نشان می دهیم. 2 5 > 8 .(5 4 ,1,2,3 8 ۳ 9۱2 7 2 |8| .((ظ بع) ,(ظ) ,() ,0) < 5 لا مثال: اگر ۸ مجموعه اعداد صحیح مثبت فرد کمتر از ۱۰ باشد. مثال: اگر 5 مجموعه حروف الفبای انگلیسی باشد. * یک مجموعه نامحدود است اگر تعداد اعضای محدود نباشد.(16 101113 * مثال: مجموعه اعداد صحیح مثبت 

صفحه 13:
با ‎SS‏ ‏مجموعه قوافى ( 5615 2011761) تمام زير مجموعه های مجموعه 1 ,0) ,(1) ,(0) ره > (0,1) < 5 0 زیر مجموعه تمام مجموعه ها است * مجموعه توانی یک مجموعه ‎.٩‏ مجموعه تمام زیر مجموعه های آن مجموعه است که آن ‎P(S) UI,‏ نمایش می دهیم. ‎P(S)| = 4] 5 P(S) = { 2, {0}, {1}, {0,1} } - ‏|و|‎ 22 T= {0, 1,2} ‎PCT) = { 2, {0}, {1}, {2}, {0.1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2} } © P(T)| = 8] , T] = 3] © P(2)| = 1] , P(e) ={o} - ۱۵| 0 ‏مجموعه توانی یک مجموعه با م عضو *2 عضو دارد. 

صفحه 14:
eee ‏لا‎ ‎(Tuples) & jG ole cle ® VY) 93 | « dimensional 522 ‏در فضاى دو بعدى (؟-©6‎ * ‏مشخص نمودن یک نقطه استفاده می کنیم‎ ‏ما از سه تایی (2 ريل ,3) براى‎ dimensional space-y) sy a. ‏در فضاى‎ "" ‏برای مشخص نمودن یک نقطه استفاده می کنیم‎ )۲,۲,۱( 7 )۱,۲,۲( ca-tuple) bn Lb < ~-dimensional space) can slabs, * 5 ‏از اعضا است‎ Three-dimensional space uses © ee) triples, or 3-tuples "1 توجه كنيد كه در اين تايل ها برعكس مجموعه ها ترتيب مهم است لآ هميشه * اولين عنصر است 

صفحه 15:
۹۹۰۰۰۰ تابل & ‎(Tuples)‏ ‏8 تاپل ‎olin‏ مرتب (م3 , ..., و3 ,31) مجموعه مرتبى است كه ,32 اولين عنصرء. ,3 دومين عنصر ..... و 8 م3 امين عنصر است. "" كوييم دو تايل 0تایی مرتب مساوی هستند اگر همه اعضای نظير به نظير آن مساوى باشند. * به تاپل ۲تایی مرتب زوج مرتب مى كوييم. 

صفحه 16:
00 2 ضرب کارتزین ‎(Cartesian products)‏ * فرض ‎aus‏ 4 و 8 مجموعه باشند ضرب کارتزین ۸ و 8 كه با ‎AXB‏ نشان داده می شود (ظ ع 0 200 ۸ ع و | (طرج) 4 < ظ ‏ ۸ 8 "A={ab} ,B={0,1} ‏نلا‎ =AxB= { (a,0), (a,1), (b,0), (b,1) } 

صفحه 17:
a (Cartesian products) y p38 v ye S = { Alice, Bob, Chris} , G= {A,B,C } D = { (Alice, A), (Alice, B), (Alice, C), (Bob, A), (Bob, B), (Bob, C), (Chris, A), (Chris, B), (Chris, C) } * یک زیرمجموعه از مجموعه حاصل از ضرب کارتزین را رابطه (061311012 نيز مى نامند 

صفحه 18:
فصل دوم: ساختارهای ابتدایی: مجموعه تابع» دنباله و تجميع و عمليات مجموعه ( 072612110175 561) 

صفحه 19:
۹۹۰۰۰۰ عملیات بر روی مجموعه "" اجتماع ‎(Union)‏ ‏"! اشتراك ‎dntersection)‏ ‎(Difference) Jsw ®‏ 

صفحه 20:
Se (Union) glo! AUB={x|xeAorxeB}® Ju * {3, 4, 5} = {1, 2, 3,4, 5} frp U {3, 4} = {a, b, 3, 4} {a, b} Uo={1, 2} {yyy ‏خصوصیات اجتماع‎ "" Identity law AU®=A Domination law AU U= U" Idempotent law AUA=A Commutativelaw AUB=BUA"™ Associative law AU(BUC)=(AUB)UC®U 

صفحه 21:
SS ‏ها‎ ‎(Intersection) S1 yu! NAB={x|xeAandxeB}#® Ju * {ry} = {oF arta fry yy @={y,F} n fa, bp ۲1 0 < 00۲ ۱۲ ‏خصوصیات اشتراک‎ ۴ Identity law AN U=A Domination law AN ®=0 | Idempotent law ANA=A™ Commutativelaw ANB=BNA" Associative law AN(BNC)=(ANB)NCO 

صفحه 22:
a ‎(Disjoint sets) 15500 la 46 90200‏ ی دو مجموعه مجزا هستند وقتی اشتراک دو مجموعه تهی باشد. ‏* مثال: ‎are not disjoint‏ }5 ,4 ,3{ 280 (3 ر2 ,141 ‎'{a, b} and {3, 4} are disjoint‏ ‎and @ are disjoint‏ }2 ,1{1 ‎and @ are disjoint!‏ @' 

صفحه 23:
(Difference) Joli A-B={x|xeAandx¢B}¥#® ‏مثال:‎ * 1۲ vb = {oF ,۳( - 1۳ ۲ yf {a,b} = {r,t} - ‏زط بع)‎ ۵ < 1, 2(- 10۲ (۲ | ‏خصوصیات اشتراک‎ * A-U=00 A-@=A A-A=o00 A-B#B-AU A-(B-C) #(A-B)-Co 

صفحه 24:
a (Symmetric Difference) ‏قفاضل متقارن‎ 

صفحه 25:
SS ‏ها‎ ‎(Complement set) oSo 46 goo U-A={x|x¢A}=Ac=A® * مثال: (فرض می کنیم ‎(UFZ‏ c={...,-2,-1,0,4,5,6,... Fir yo ©= Zia, bp o ۴ خصوصیات مجموعه مکمل omplementation law ‏هدع‎ ‎Complementlaw ‏تاك‎ < 82 ۸ 0 ۸۶ 2 7 Complement law 

صفحه 26:
هآ ۲۲۲۲۲ ۲ خصوصیات مجموعه ها (ومذانا10 ‎(Set‏ ‎AU@=A‏ قوانین همانی ‎AUU =U‏ قوانین غلبه ‎Domination law Ane =e IdentityLaw | AnU=A‏ ‎AUA =‏ قوانین خودتوانی قانون مکمل (نفی دوگانه) ‎UA=A‏ ‎Complement © = A(A‘) Idemptent‏ ‎ANA =A‏ ‎Law Law‏ ‎AUB = BUA‏ | قوانين جابجابيى ي | ‎AsMB (AUB)‏ قوانين ۳ ‎e Morgan’s © = ACUB(ANB) ommutative ANB = BnA‏ ‎Law Law‏ ‎An(BUC) Au(BUC)‏ = قوانین ۵ رهم | ‎UANO)(ANB) | eo"?‏ | قوانين توزيع يذيرى ‎fe 3 _ Associative‏ ‎Distributive Law = AU(BNC) Taw An(BnC)‏ ‎M(AUC)(AUB) AC(ANB) =‏ ‎AU(AnB) =‏ ۱ ‎A‏ ا < ۸ با ۸ 1 6 ‎omplement ANAcS=0 sorption An(AUB):=‏ ‎Law Law eg‏ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 27:
a ‏چگونه مى توان خصوصیات مجموعه ها را اثبات نمود؟‎ ANB=B-(B-A) ‏براى مثال‎ " ۰ 5 چهار روش وجود دارد استفاده از خصوصیات پایه ای تر استفاده از جداول عضویت ثابت کنیم هر کدام از دو طرف تساوی زیر مجموعه دیگری است استفاده از 2201211010 211110161 :أ©5 وهم ارزى منطقى 

صفحه 28:
Sh ANB=B-(B-A) poi ‏می خواهیم ثابت‎ 

صفحه 29:
اثبات به کمک خصوصیات پایه ای مجموعه ها (ظ ۰ ۸) ۸ < ظ 6 ۸ * ۲0 ۱ ۸۵ ۸ < (ظ ۵۰ ۸ «اثبات ۴( ۱ ۸ ۲ ۸ < ‎=An (Ac UB)‏ ‎(An A‘) U (ANB)‏ = ‎=@U (ANB)‏ ‎=ANB‏ 

صفحه 30:
SS a ‏اثبات به کمک زیر مجموعه بودن و هم ارزی منطقی‎ # (ANB) = Ac U Be ‏براق اثبات باید در دو خالت زير را تشان دهیم که درست است‎ ‏با عقای (ظ 0 ه)‎ Beand )۵۸ 0 ‏با ع۸ ۵ ۰(ظ‎ ۶ ۴ ۸۵ ع 2 =x ¢(AnB) =.1(xeAnB) =>.a(xeA*xeB) (8 عع د" رهق ء ع داد 8»> ع "مع عاد © 6 ۲1 ۸۴ ع 6 د < 1 6 ۸ ۱ ۶ 82 ياعكة ع < ب ۶( 0 ۸) ع ) 1 ۷ ج< ‎(ANB) c Ac U Be‏ = 

صفحه 31:
« ‏اج تا‎ ‏استفاده از جداول عضویت‎ -B = A-B(AUB) olil® AVB| (AUB B| AB 0 0 اه <د ]ههد ای نج ۵ اسان بر 1 0 1 1 1 0 

صفحه 32:
۹۹۰۰۰۰ ‏چند منال‎ a) (AUB) ¢ b) (AN ‏يدت‎ 2 BNC) ¢ (AN c) (A-B)-C ¢ A-C 0 ad) (A-C) N (C-B) = @ 

صفحه 33:
SS (Generalized) 436 Cw gos Eloiol 5 St uu! ‏اجتماع دسته ای از مجموعه ها مجموعه ای است که شامل‎ * ‏عناصری است که حداقل عضو یکی از این مجموعه ها باشند.‎ uA =AUAUV...UA, * اشتراک دسته ای از مجموعه ها مجموعه ای است که شامل عناصری است که عضو همه این مجموعه ها باشند. ,4 4 24 24