مدل انتخاب LOGIT

بسم اهلل الرحمن الرحیم دانشگاه صنعتی اميرکبير (پلي تکنيک تهران) دانشکده مهندسي صنايع مدل انتخاب Logit استاد :دکتر جمال شهرابی ارائه دهنده :اسماعیل مرادی زمستان 1386 فهرست مطالب ‏ مقدمه ‏ کاربرد مدل ‏ مدل Logitصفر و یک ‏ مدل Logitچند گزینه ای ‏ مدل Nested Logit مقدمه مقدمه ‏ برخالف سایر روش‌های ارائه شده تاکنون برای تحلیل همبستگی ،روشی که در این فصل معرفی می‌شود غیرخطی است. احتمال انتخاب به خروجی‌های انتخابی گسسته که متغیر (یا متغیرهای) وابسته را تشکیل می‌دهند ،نسبت داده می‌شوند. از آنجا که احتمال بین صفر و یک قرار دارد ،نیاز به یک شکل تابع غیرخطی است تا بتوان اطالعات متغیرهای مستقل پیوسته را به بازه صفر و یک تبدیل کرد. ‏ شکل تابع مورد استفاده برای مدل احتمالی تا حد زیادی بستگی به توزیع مفروض ‏ ‏ برای خطای شناسایی ناشی از مدل دارد. ‏ مدل logitدارای تابعی با فرم بسته و سرراست می‌باشد که به سادگی با استفاده از روش‌های حداکثر مشابهت تخمین زده می‌شود. کاربرد های مدل کاربردهای مدل انتخاب Logit مدل‌های انتخاب گسسته چون مدل Logitبرای مطالعVه انواع مختلف رفتارهای انتخابی به کار رفته اند: ‏ انتخاب محل خرید انتخاب محل سکونت انتخاب شغل انتخاب مسیر بین دو مقصد ‏ انتخاب مارک جنس ‏ ‏ ‏ در دو زمینه انتخاب مسیر بین دو مقصد و مارک جVنس ،مقدار قابل توجVهی تحقیق و مدل‌سازی انجام شده است که در اسالیدهای بعد به آنها می پردازیم. مواردکاربرد – انتخاب مسیر گذر ‏ ‏VدلسVازVیاVنVتخابگVVسسته در ارVتباط ) :Ben-Akiva and Lerman (1985م ‌ ‌سVVازVی بVVا تVVحلیلسVVیستم‌هایحVملو نVVقل؛ تVVوسVعه فVVرآVیندهاییبVVراVیمVدل ‏VتخابVVکفVVرد ،خVانوادVه VیVVا ی شVVکسته نVVیاز سVVفر ،در سVVطح تVVحلیلرVفVتار اVن ‏Vت شVVرک . :Warner (1962) انتخاب گسسته متمرکز بر انتخاب صفر و یک چگونگی سفر ‏ ) :Ben-Akiva (1976مVطاVلعVاتی در زVمVینه اVنVتخابچVگونVگیمVسیر رVفVتنبVVه ‏Vنگتن نVVمونVه کVار بVVا اVسVتفادVه Vاز اVطVالعاتگVردآورVیشVده Vدر سVVاVل 1968واVش ، شVامVل 1136کVارVگر بVVود کVVه اVمVکاناVنVتخابدو یVVا تVVعVداد بVVیشتریاز سVVه روVش جVابVجایی را داVشVتند مواردکاربرد – انتخاب مارک کاال ‏ ‏VالعاتسVکن اV ) : Guadagni and Little (1983اوVلVیناVفرادVیبVVودنVد کVVه از اVط ‏VتخابVارVککVاVال م شVVده VمVوردVیبVVراVیکVاVلیبراVسVیونیVVکمVدل logitچVندگزین ‌هاVیاVن اVسVتفادVه VکVردنVد ؛ مVدلدر اVنVتخابگVروVه ،VشVرطVیبVVود یVVعنیآVنVها تVVنها بVVر ‌بVVینیاVینکه کVداVم مVارVکدر یVVکخVرید صVورVتگVرفVته از اVینگVروVه VاVنVتخاب پVVیش خVواVهد شVVد ،تVVاکVید کVردVند .آVنVها تVVواVنVستنداVثراVتقVیمتو تVVبلیغ را در اVنVتخاب قVیمت و تVVخمینزنVند و قVادر بVVه اVسVتفادVه Vاز مVدلبVVراVیتVVخمیناVالسVتیسیته ‌ها ب مارVک اVالسVتیسته cross priceبVVراVیهردو حVاVلتقVیمتتVVبلیغیو غVیرتبلیغیشVدند. مدل انتخاب Logitصفر و يک مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ یک فردخاص را در نظر بگیرید که از یک سوپرمارکت که دو مارک متفاوت از یک گروه محصول (مارک‌های Aو )Bرا ارائه می‌کند ،خرید می‌کند .قیت معمول این دو مارک Vیکسان است اما مارک Aتخفیف‌های متناوبی را ارائه می‌دهد و اغلب 20 ،15 ،10 و یا حتی 30سنت ارزانتر از محصول B است (که قیمتش ثابت باقی می‌ماند). ‏ هدف ما ساخت مدلی در سطح فرد برای تعیین احتمال خرید مارک Aبه صورت تابعی از تخفیف ارائه شده توسط مارک A می باشد تخفیف مارک A انتخاب مارک A انتخاب مارک B 00/0 1 7 10/0 1 6 15/0 3 3 20/0 4 1 30/0 4 0 مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ ‏ فرض های مدل: مطلوبیتانتخاب تابع در زمان مطلوبیت را هر گزینه انتخاب پیشنهادی به فرد بخشی از بخش قطعی ‌کند.مطلوبیت غیرقطیعVی بخش نمایش تابع زمان tبا از iدر گزینه مطلوبیت تامین شده توسط فراهم م مطلوبیتuitکه ما (بخشی ‌شود.مطلوبیت تجمعی (اثرات داده می به عنوان مدل‌کننده قادر به فاکتورهای ناشی از بیشترینآن با گزینه‌ها ،فرد گزینه با تعیین اطالعاتی‌کند. توجه رابه انتخاب م مطلوبیت انتخاب بین در متعدد موجود هستیم)می‌کند در خودانتخاب یک را غیرمشاهده‌دوای)گزینه وجود دارد ،فرد گزینه زمانی که تنها صورتیکه ،u1t> u2tدر غیر این صورت فرد گزینه دوم را انتخاب خواهد کرد. به دلیل غیرمنطقی بودن فرض دسترسی ما به عنوان مدل‌کننده به تمام ‏it تعیین تابعit اطالعات مورد نیاز برای it مطلوبیت هر فرد ،ما تابع مطلوبیت uitرا به دو جز می‌شکنیم : ‏U =v +  مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ بخش قطعی vitرا به صورت ترکیب خطی از متغیرهای مستقل مدل می‌کنیم. ‏ ‏vit  xit  ‏ ‏ از انجا که ما مقدار itرا مشاهده نمی‌کنیم uit ،را نمی‌شناسیم و نمی‌توانیم با قطعیت بگوییم که فرد کدام گزینه را انتخاب خواهد کرد. برداری از مشخصات اندازه گیری شده آیتمیi ‌که:در زمان می‌دانیم که فرد گزینه 1را در برابر گزینه 2است که انتخابزمان مستقیما کرد تا انتخاب خواهد .tرا تحت تاثیر قرار می دهد ‏ ‏ ‏x ‏ ‏ ‏ ‏ ‏x ‏u u 1t 1t 2t    2t 2t 1t ‏ ‏ ( 2 t   1t )  (x1t  x2 t ) ‏ تاما چهمقدارحد است( 2t   1t ) . را نمی‌دانیم با این وجود اگر تابع توزیع مربوط به متغیر تصادفی را بدانیم حداقل می‌توانیم بگوییم که احتمال برقراری نامساوی مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ فرض کنید ) f ( 2t   1tنشان دهنده تابع چگالی احتمال باشد در این صورت خواهیم داشت: ) f ( 2t   1t )( 2t   1t ) F((x1t  x2t ) ‏ ( x1t  x2 t ) ‏P1t  ‏ مقدار این احتمال به صورت گرافیکی عبارت است از: ) f ( 2 t   1t ‏p ) ( 2t   1t )  (x1  x2 مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ ‏ ‏ اگر فرض کنیم که ) ( 2t   1tدارای تابع چگالی توزیع نرمال باشد ،مدل احتمالی حاصل به عنوان مدل probitشناخته می‌شود. از آنجا که توزیع نرمال تجمعی دارای شکل بسته نمی‌باشد ،شکل تابع بسته‌ای برای احتمال انتخاب وجود ندارد .با این که این مساله غیر قابل حل نیست، مواقعی وجود دارد که بهتر است احVتمال انتخاب را به صورت تابعی از متغیرهای مستقل نمایش داد. به عنوان یک گزینه دیگر ،اگر ) ( 2 t   1t دارای تابع توزیع زیر باشد ،مدل حاصل Logitمیباشد. ]) exp[ ( 2t   1t ‏f ( 2t   1t )  2 )]) (1  exp[ ( 2t   1t مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ فایده حقیقی استفاده از توزیع Logitاین است که منجر به شکل بسته‌ای برای توصیف احتمال می‌گردد .زیرا: ]) exp[ ( 2t   1t 1 ‏( 2t   1t )  2 ) 1  exp( (x1t  x2t ) )]) (1  exp[ ( 2t   1t ( x1t  x2 t ) ‏P1t  ‏ ‏ ) exp(x1t  ‏P1t  ‏ ‏ ) exp(x1t  )  exp(x2 t  ‏ اگر عبارت ( expبه عنوان جذابیت گزینه iدر نظر بگیریم ،احتمال انتخاب گزینه ) xitرا 1با درصد مشارکت گزینه یک در مجموع جذابیت گزینه یک و دو تعیین می‌گردد. مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ مقادیر پارامترهای تابع مطلوبیت مدل Logitبه سادگی با استفاده از حداکثر مشابهت تخمین زده می‌شوند .در حداکثر مشابهت هدف ما این است که پارامترهای مدل (بردار ضرایب )را به نحوی انتخاب کنیم که احتمال اشتراک یا شباهت مشاهده خروجی‌های مدل را حداکثر کنیم .اگر فرض کنیم که مشاهدات از یکدیگر مستقل هستند ،این شباهت با ضرب احتماالت کلیه فرصت‌های انتخاب به دست می‌آید .راه ساده‌ایی برای نوشتن این رابطه به صورت زیر می باشد. ) (1 Yt ‏ ‏Yt 1t ) L t P (1  P1t از روش‌های عددی بهینه‌سازی ،برای انتخاب مقادیری از بتا که عبارت باال را حداکثر می‌کنند ،استفاده می‌شود. مدل انتخاب Logitصفر و يک ‏ روش حداکثرمشابهت برای مثال قبل ‏vAt aA   DAt ‏vBt aB ‏β 24/0 22/0 20/0 18/0 16/0 -6349/13 -5981/13 -9577/13 -7675/14 -0854/16 --4/3 -7875/13 -5266/13 -6341/13 -1924/14 -2349/15 -2/3 -1005/14 -6625/13 -5011/13 -7926/13 -5592/14 -0/3 -5734/14 -8871/13 -5350/13 -5736/13 -0661/14 -8/2 -2051/15 -3209/14 -7471/13 -5397/13 -7626/13 -6/2 ‏aA مدل انتخاب Logitصفر و يک خصوصیات مدل Logit معنی‌داری مدل :مقادیر حداکثر مشابهت برای دو مدل کامل و محدود شده ‏LLR LL (برخی پارامترها برابر صفر قرار داده شده اند) را بدست آورده و با Fو )  2(LLR  LLF که یک آماره نمایش میدهیم .آماره آزمون برابر است با کای با درجVه آزادی برابر با تعداد پارامترهایی که در مدل محدود شده برابر با صفر قرار داده شده‌اند؛ می باشد. ‏2 نیکویی برازش اشاره کنیم می توانیم به معیارهای AICو SCو شاخص مدل انتخاب Logitصفر و يک – مثال کتاب با پست ‏ ‏ ‏ کتاب با پست برای معرفی کتابی ،به 1000مشتری که به طور تصادفی انتخاب شده‌اند ،یک نامه آزمایشی را می فرستد. با استفاده از رفتار خرید گذشته مشتریان ( تعداد ماه‌های تا آخرین خرید و تعداد کتاب‌های خریداری شده) برای تخمین مدل انتخاب صفر و یک (که دو گزینه انتخاب ،خریدن و نخریدن هستند) استفاده می‌کنیم . برای تعیین مدل ،جزء قطعی تابع مطلوبیت خرید نکردن را برابر صفر قرار می‌دهیم (یعVنی .)v2 c 0جزء قطعی تابع مطلوبیت خرید کتاب عبارت است ازv1c a   1 x1c   2 x2 c : که x1cتعداد ماه‌های تا آخرین خرید مشتری c از موسسه کتاب با پست و x2cتعداد کتاب‌های خریداری شده از موسسه توسط مشتری cاست. مدل انتخاب Logitصفر و يک – مثال کتاب با پست ‏ 2 با توجه به  0 / 12مدل تنها 12درصد از عدم قطعیت را پوشش داده است که مقدار بسیار کمی می باشد فلذا با استفاده از استراتژی زیر معنی داری کاربردی مدل را مورد بررسی قرار میدهیم. 1 ‏pc  7 (6$)pc  ( 1$)(1  pc )  0 or نفرستادن نامه فرستادن نامه نخریدن 829 90 خریدن 43 38 مدل انتخاب Logitچند گزينه ای مدل انتخاب Logitچند گزينه ای فرض های مدل فرد از میان تمام گزینه‌های موجود ،گزینه‌ای را که دارای بیشترین مطلوبیت است ،انتخاب می‌کند که این یعنی: ‏Choose ‏i  C suchthat } ui maxjC {uj مطلوبیت هر گزینه ،که برای هر فرد مشخص است ،معVلوم نبوده و نمی‌تواند دقیق ًا توسط مدل‌ساز تعیین گردد. مانند مدل صفر و یک مطلوبیت را به دوجزء قطعی و غیر قطعی تقسیم می کنیم. احتمال اینکه یک فرد گزینه iرا از بین تمام گزینه‌های موجود انتخاب کند برابر است با: )} Pr(ui maxjC {uj ) ui  uj ‏and...and ‏ui  u2 ‏and ‏Pr(ui  u1 مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏ ‏ برای درک لزوم مدل Logitدر ابتدا به مدل probitچند گزینه ای می پردازیم. در ابتدا وضعیت انتخاب با سه گزینه را در نظر می‌گیریم .اگر ما قیدی به مدل اعمال نکنیم ،آنگاه توزیع اجزا خطا با یک توزیع نرمال سه متغیره با یک ساختار کوواریانس کلی مشخص می‌گردد ،مانند زیر: که ‏ ‏  12 ‏12 1 2 13 1 3  ‏ ‏ ‏ 12 1 2  22 ‏ 23 2 3  ‏ 13 1 3  23 2 3  32  ‏ ‏ ‏ i2 واریانس و ‏ همبستگی بین ‏ ij  ‏i )  ~N(0,  و ‏i است. ‏j و از آنجا که احتمال انتخاب با دو مقایسه نسبی به دست می‌آید (یعنی قرار ) ما می با2   ‌توانیم متغیرها را تغییر داده و ابعاد مساله را کاهش دهیم1 . دادن  3  1 در اسالید بعد آورده ماتریس کوواریانس و ‏ 31  3   1 ‏ شده است 21  2   1 . مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏  12   22  2 12  12   12   13   23  ‏ 2 ‏ 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 2 ‏ ‏ 1 12 13 23 1 3 13  که . ij  pij i jاحتمال اشتراک p1به صورت زیر نوشته می‌شود: ‏f ( 21 , 31 ) 21 31 ‏ ‏ ‏v1  v3 ‏ ‏ ‏v1  v2 ‏p1  ‏ همانند مدل probitصفر و یک شکل بسته‌ای برای انتگرال باال وجود ندارد .به عالوه با افزودن گزینه دیگری به مجموعه انتخاب ،یک مرتبه دیگر انتگرال‌گیری نیز افزوده خواهد شد .این مساله باعث افزایش قابل توجه پیچیدگی محاسباتی مساله می‌شود. برای انتگرال‌گیری به صورت عددی ،می‌توان سطح زیر منحنی را با تقسیم خط مستقیم به تعدادی زیادی بازه کوچک ،و تخمین سطح هر بازه به صورت مستطیل ،محاسبه نمود. مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏ ‏ هرچه تعداد مرتبه‌های انتگرال‌گیری افزایش می‌یابد ،بار محاسبات برای تخمین افزایش می‌یابد. اگر برای رسیدن به یک تخمین دقیق در یک مرحله انتگرال‌گیری نیاز به 100 بازه باشد ،ما برای انتگرال دو مرحله‌ای به 100×100=10000بازه نیاز داریم. مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏ ‏ هرچه تعداد گزینه‌های انتخابی بیشتر می‌شود ،این رویکرد حتی برای کامپیوترهای پیشرفته از نظر محاسباتی غیرممکن می‌شود. اخیراً روش‌های متفاوتی برای تخمینی از پارامترهای مدل probitبه صورت آسان‌تری توسعه یافته‌اند .این روش‌ها شامل ممان‌های شبیه‌سازی شده ،حداکثر مشابهت شبیه‌سازی شده و روش‌های مارکوف چین -مونت‌کارلو می‌باشند. متاسفانه بیشتر این روش‌ها تقریب ًا جدید بوده و کمتر به عنوان روشی استاندارد در پکیج‌های آماری موجود هستند .در نتیجه اغلب مدل‌سازان انتخاب به دنبال تغییر فرضیات مدل probitبرای ساده‌سازی مدل و کاهش محاسبات آن هستند. مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏ ‏ .1 مدل logitچندگزینه‌ای گزینه متداول‌تری نسبت به مدل probitاست چون از نظر محاسباتی قابل قبول‌تر بوده و فرم بسته‌ای برای احتمال انتخاب ارائه می‌دهد. در مورد مدل Logitچند گزینه ای دو مورد زیر باید مد نظر قرار بگیرد. توزیع جزء خطای  iبه صورت زیر می باشد: ]) f ( i ) exp(  i ) exp[ exp(  i .2 جزء‌های خطا مستقل بوده و دارای توزیع یکسان هستند. ‏ مورد 2منجر به انحراف مهمی از ساختار کوواریانس کلی مدل probitکه در بخش قبلی نمایش داده شد ،می‌گردد .ما این فرض را می‌کنیم چون منجر به ساده‌سازی قابل توجهی می‌گردد :این فرض باعث می‌شود که حداکثر مقدار متغیرهای تصادفی با توزیع دو نمایی ،خود دارای توزیع دونمایی باشد. مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏ شکل بسته زیر برای مدل یدست خواهد آمد که بسیار مشابه ساختار logitصفر و یک است .تنها تفاوت این است که مخرج اکنون شامل جمع اجزای نمایی تمام گزینه‌های انتخابی موجود است (نه فقط دوتا). ) exp(vi ‏pi  )  k exp(vk ‏ ‏ ‏ خصوصیات مدل Logitچند گزینه ای : استقالل گزینه‌های مختلف ()IIA احتماالً مختصرترین عبارت در مورد کاربرد بسیار مهم IIAاین است که در یک مجموعه انتخاب دارای دو گزینه iو ، jوارد کردن گزینه kتاثیری بر روی نسبت ندارد .به عبارت دیگر ،گزینه جدید با کاستن از نسبت مشارکت انتخاب گزینه‌های موجود در  i /  j مجموعه ،در انتخاب مشارکت می‌کند. مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏ ‏ ‏ اطالعات مربوط به چهار مارک Tide ، Wisk ،Era ،Surfاز طریق کارت های شناسایی بدست می آیند. در هر بار مراجعه به فروشگاه که خریدی از این گروه صورت گرفته است ،ما اطالعاتی در مورد قیمت طبقه هر محصول (قیمت هر اونس) ،چه محصولی به طور خاص ارائه شده است و اینکه هر محصول در کجای تبلیغات فروشگاه ارائه شده است ،در اختیار داریم .این متغیرها به ترتیب PRICE، DISP و FEATنامگذاری‌شده‌اند. ازاطالعات 52خانوار برای مدل استفاده می‌کنیم .ما دو مدل را تعیین می‌کنیم: مدلی که تنها دارای جزء جداکننده می باشند (که مدل صفر است و مبنای ارزیابی‌های ما را برای برازش تشکیل می‌دهد) و دیگری مدل دارای جزء جVداکننده براساس محصول و سه متغیر بازاریابی PRICE، DISP :و FEATمی باشند. مدل انتخاب Logitچند گزينه ای ‏ نتایج مدل Logitبرای داده های انتخاب مایع لباسشویی مدل تفکیکی با متغیرهای بازاریابی مدل تفکیکی ضریب خطای استاندارد ضریب خطای استاندارد 635/0 186/0 875/0 208/0 403/1 168/0 107/1 180/0 -047/0 216/0 372/0 234/0 ‏ PRICE -508/0 111/0 ‏ FEAT 639/0 273/0 ‏ DIPS 681/0 229/0 ‏aTIDE ‏aWISk ‏aERA ‏LL -8/417 -8/380 در نظر گرفتن ناهمگونی ‏ اگر خانوارهای موجود در لیست ،مقادیر پارامترهای مختلفی در تابع مطلوبیت‌شان داشته باشند ،چه اتفاقی می‌افتد؟ پیامدهای این تفاوت‌ها را به سادگی می‌توان با درک اینکه تفاوت‌ها در ترجیح مارک‌های مختلف می‌توانند در جزء جداکننده تابع مطلوبیت نمایش داده شوند، آشکار کرد .بنابراین یک خانواده با وفاداری به یک مارک خاص ،مقدار بزرگی برای جزء جداکننده دارد ‏ اگر خانواده‌ها در اجزای جداکننده تابع مطلوبیت‌شان ناهمگن باشند ،آنگاه تخمین پارامترهای مدل زمانی‌که به طور متوسط تخمین زده می‌شوند ،نسبت به ‏ مقدار واقعی انحراف خواهند داشت. ‏ برای مقابله با ناهمگونی ها سه رویکرد اندازه‌گیری مستقیم تفاوت‌های فردی، مدل‌های گروه latentو مدل‌های ضرایب تصادفی را در نظر می گیریم. اندازه گیری مستقیم تفاوت های فردی ‏ در این رویکرد تابع مطلوبیت را به صورت زیر تعریف می کنیم. ‏h ‏y ‏it it ‏nh ‏LOYi h  ‏uith ai   LOYLOYi h  xit    ith ‏ نتایج حاصل از در نظر گرفتن این رویکرد برای مثال قبل در جدول زیر آورده شده است. مدل تفکیکی مدل تفکیکی با متغیرهای بازاریابی مدل تفکیکی با متغی/رهای بازاریابی و متغیر LOY ضریب خطای استاندارد ضریب خطای استاندارد ضریب خطای استاندا رد ‏aTIDE 635/0 186/0 875/0 208/0 394/1 308/0 ‏aWISk 403/1 168/0 107/1 180/0 254/0 266/0 ‏aERA -047/0 216/0 372/0 234/0 363/0 319/0 ‏ PRICE -508/0 111/0 -640/0 -165/0 ‏ FEAT 639/0 273/0 990/0 360/0 ‏ DIPS 681/0 229/0 143/1 321/0 ‏ LOY 681/0 229/0 009/4 293/0 ‏LL -8/417 -8/380 -2/186 مدل های گروه Latent ‏ تفاوت‌ها بین تعداد کمی از گروه‌ها ،که در داخل خود همگن هستند ،وجود دارد. ‏uit|s ai|s  xit  s   it|s ) exp(ai|s  xit  s ‏Pit|s  ) k exp(ak|s  xkt s ‏ از آنجا که ما نمی‌توانیم عضویت در گروه Latentرا مشاهده کنیم ،ما احتمال انتخاب هر فرد را به صورت ترکیب وزنی از احتمال انتخاب میان گروه‌های مختلف تعریف می‌کنیم ‏pith   s pit|s ‏s مدل های ضرایب تصادفی ‏ در این مدل فرض می‌شود که تفاوت میان افراد مختلف را می‌توان با برخی توزیع‌های پارامتریک (نرمال چندمتغیره) توصیف نمود. ‏uith  xit  h   ith ) exp(xit  h ‏P  ) k exp(xkt h ‏h ‏it ‏ ) h ~N( , D اخیراً تعداد قابل توجهی از تحقیقات به یافتن روش‌هایی برای تخمین پارامترهای مدل اختصاص داده شده‌اند .برخی از موفق‌ترین این روش‌ها از عبارتی به نام نمونه‌گیر Gibbsاستفاده می‌کنند .مراحل این الگوریتم در فصل کتاب آورده شده است Nested Logit مدل انتخاب مدل انتخاب Nested Logit ‏ در مدل logitچندگزینه‌ای ،ما فرض کردیم که اجزی خطا در تابع مطلوبیت مستقل بوده و دارای توزیع یکسان هستند .اما مواقعی وجود دارند که این فرض بیش از حد موجب ساده‌سازی می‌گردد ،به عنوان مثال ،زمانی‌که ما با گزینه‌های انتخابی سروکار داریم که دارای مشابهت در تفاوت‌هایشان هستند. ‏ ‏ ‏ رها کردن کامل فرض استقالل منجر به عدم وجود حل بسته‌ای برای احتمال انتخاب شده و ما را با یک مشکل تخمین از نظر محاسباتی وحشتناک مواجه می‌کند. به جای رها کردن فرض استقالل ما می‌توانیم ساختاری را به مدل تحمیل کنیم که متناظر با الگوی شباهت‌های میان گزینه‌های انتخابی است .یک راه انجام این کار استفاده از مدل‌های Nested Logitاست . مدل Nested Logitیک ساختار سلسله مراتبی را تحمیل می‌کند .این روش گروه‌هایی از آیتم‌ها را ایجاد می‌کند که نسبت ًا از مشابهت بیشتری نسبت به سایر آیتم‌های موجود در گروه‌های دیگر برخوردار هستند. مدل انتخاب Nested Logit ‏ ‏ ‏ جزء خطای تابع مطلوبیت را (یعنی مشخصات غیرقابل اندازه‌گیری موثر بر انتخاب) به صورت مجموع دو جزء مدل می‌کنیم :یکی که مربوط به هر آیتم است (با عنوان  icبرای آیتم iدر گروه )cو دیگری که مربوط به گروه است فرض می‌کنیم که و  icبه  c (با عنوان ) c . طور مستقل با واریانس‌های متفاوت توزیع شده‌‌اند. تفاوت واریانس‌ها را با تفاوت در مقیاس‌بندی پارامترها در نظر می‌گیریم؛ به عنوان مثال  ic ،را برای نمایش پارامتر مقیاس برای خطای مربوط به هر آیتم کار می‌بریم. به ic مطلوبیت آیتم iدر گروه cبه صورت زیر تعریف می شود: ‏   ic   c ‏uic  zc  xic ‏ که zcبرداری از متغیرهای مربوط به گروه بوده و به هر آیتم است. ‏ ‏xicبردار متغیرهای مربوط مدل انتخاب Nested Logit ‏ احتمال انتخاب آیتم iدر گروه ،c، picبه صورت زیر می‌تواند نوشته شود: ‏pic  pi|c pc pi|cاحتمال انتخاب آیتم iاز گروه cتوسط فرد ،به شرط انتخاب این گروه است .این احتمال برابر است با: ) ‏exp(xic ‏Pi|c  )  k exp(xkc ‏ احتمال انتخاب گروه cبه صورت احتمال اینکه آیتم با بیشترین مطلوبیت در گروه cاز بیشترین مقدار مطلوبیت آیتم‌ها در هریک از گروه‌های دیگر بزرگتر باشد ،می‌باشد .این به صورت زیر می‌تواند نوشته شود: ‏pc Pr{zc  max[xic    ic ]   c  zd  ‏    id ]   d } forallcate ‏max[xid ‏gories ‏d مدل انتخاب Nested Logit ‏ از انجا که حداکثر متغیر مستقل دارای توزیع دونمایی نیز دارای توزیع دونمایی ،یک  c متغیر با توزیع [maxبه صورت ] ic    icمxی‌تواند است ،عبارت مقیاس1 ، ] xjc ) icو دونمایی با پارامتر موقعیت پارامتر[ln (exp ‏ ‏j ‏ ic ‏ ic نوشت. قرار دادن به جVای در معادله ،نتیجه می‌دهد: ‏ حال اگر ما اکنون فرض کنیم که جVز ترکیبی خطای مستقل بوده و دارای توزیع مشابه با مبنای توزیع دو نمایی (با پارامتر مقیاس ) هستند معادله باال می‌تواند به شکل مدل logitچندگزینه‌ای کاهش پیدا کند: ‏ ‏pc Pr{zc   c   c  zd   c   d }forallcate ‏gories ‏d ‏ ‏ ) exp( c zc   c /  ic ln jc exp(xjc ) ic )d exp( c zd   c / ic ln j d exp(xjd )ic  ‏ ‏pc  مدل انتخاب Nested Logit ‏ با ترکیب اجزا pi|cو pcدر معادالت ،می‌توان احتمال غیرشرطی انتخاب آیتم i از گروه cرا به دست آورد: ) exp( c zc   c /  ic ln  jc exp(xjc ) ic ‏ ‏ ) exp(xic  ‏pic  ) k exp(xkc ) d exp( c zd   c / ic ln jd exp(xjd )ic ‏ ‏ ‏ هر چه نسبت  c /  icکوچکتر شود نشان دهنده افزایش همبستگی میان گزینه‌های انتخاب در یک گروه است .در حالت حVدی ،که  c /  icبه صفر نزدیک می‌شود ،نشان دهنده این است که هیچ ارتباطی میان گزینه‌ها در گروه‌های مختلف وجود ندارد .به عبارت دیگر ،افزایش جذابیت یک گزینه در یک گروه هیچ تاثیری بر احتمال انتخاب یک آیتم از یک گروه دیگر ندارد. مدل انتخاب Nested Logit ‏ اگر  c /  ic 1باشد نشان دهنده این است که عدم قطعیتی درارتباط با طبیعت انتخاب گروه وجود ندارد و یک مدل logitچندگزینه‌ای ، non-nestedبرای تمام گزینه‌های انتخاب موجود ،خواهیم داشت. ‏ ‏ مدل Nested Logitرا می‌توان با استفاده از حداکثر مشابهت کام ً ال مشابه مدل logitچندگزینه‌ای معمولی ،تخمین زد. متاسفانه روند Nested Logitدر بسیاری از بسته‌های نرم‌افزاری آماری موجود نمی‌باشد .با این وجود راهی برای استفاده از بسته‌های logitچندگزینه‌ای برای تخمین پارامترهای مدل Nested Logitوجود دارد .گام‌های این روش در فصل مدل Logitدر کتاب درسی موجود می باشد. مدل انتخاب – Nested Logitمثال رستوران ‏ ‏ اطالعات انتخاب 200دانش آموز در طول یک ترم را در اختیار داریم اطالعات ارائه کوپن‌های تخفیف توسط هر رستوران در زمان انتخاب موجود است ‏ ‏ فرض می‌کنیم که )1کوپن تنها در روزی که توزیع می‌شود معتبر است )2اگر کوپنی موجود باشد ،دانش‌آموز از آن مطلع است و بنابراین امکان دارد بر روی انتخاب آن تاثیرگذار باشد جدول توزیع اطالعات انتخاب دانش‌آموزان میان سه گزینه رستوران فضای باز (تحت سناریوهای مختلف تبلیغاتی) در اسالید بعد آورده شده است مدل انتخاب – Nested Logitمثال رستوران سناریوی تبلیغاتی سهم بازار تعداد دفعات وقوع ‏Deli ‏QS ‏PC × × × 57 39 28 33 ‏ × × 31 48 19 32 × ‏ × 36 25 56 19 ‏ ‏ × 16 38 31 31 × × ‏ 30 43 33 23 ‏ × ‏ 13 46 23 31 × ‏ ‏ 11 0 64 36 ‏ ‏ ‏ 6 33 17 50 ‏Deli ‏QS ‏PC مدل انتخاب – Nested Logitمثال رستوران نتایج مدل Logitساده چندگزینه‌ای در زیر آورده شده است مدل دارای تنها جز جداکننده جز جداکننده و کوپن تخفیف ضریب خطای استاندارد ضریب خطای استاندارد ‏a1 213/0 175/0 203/0 177/0 ‏a2 142/0 178/0 122/0 180/0 479/0 180/0 ‏β ‏LL -0/219 -4/215 مدل انتخاب – Nested Logitمثال رستوران ‏ با در نظر گرفتن ساختار مدل nested logitبه صورت زیر نتایج تعدیل شده مدل logitساده چند گزینه ای در اسالید بعد آورده خواهد شد. ‏Asian ‏Pacific Corner ‏Domestic ‏Quik Stop ‏Deli مدل انتخاب – Nested Logitمثال رستوران خطای استاندارد ضریب در یک گروه ‏a1 122/0 178/0 ‏β 995/0 278/0 ‏LL -4/90 بین گروه‌ها ‏γ1 881/0 268/0 ‏φ -012/0 257/0 ‏LL -3/121 LLک//ل -7/211 ؟ با تشکر از توجه شما