صفحه 1:
درس معادلات دیفرانسیل
استاد درس : یزدان پناه
صفحه 2:
فصل سوم . بخش چهارم
روش حل معادله خطی مرتبه » با ضرایب ثابت
صفحه 3:
فرم کلی یک معادله خطی مرتبه 18 با ضرایب ثابت به صورت زیر است :
YO + ayy) +--+ ay'tagy =0
در این صورت بایستی 11 تا جواب مستقل خطی بیابیم اگر ريشه معادله مشخصه زير باشد » آنگاه ای < ب[
جوابی از معادله است.
0 < وه بای +۰ + 3 ری + OP
معادله مشخصه
صفحه 4:
زوش حل معادلة خای خطی .موتبه 92 با ضرآیب قلبت :
متناظر با هر ريشه معادله مشخصه یک جواب برای معادله می یابیم :
الف ) در صورتى كه ... ,63, 62, 81 ريشه های حقیقی دو به دو متمایز از معادله مشخصه باشند . آنگاه :
ا هه دول ره كه
جواب های مستقل خعلی متناظر برای معادله هستند.
ب ) هرگاه # ريشه ی از مرتبه 16 ۰ ؟ ريشه ی از مرتبه / و ... از معادله مشخصه باشند آنگاه :
te* ورن رتور وی راو ع رز
2 psx
«قى ابر = —— ge =
6 1 < رب رس 10 ع<وپیر ر" 16 <وبم( ,6 < وب
جواب های مستتل خعلی متناظر برای معادله هستند. بر
صفحه 5:
ج) هرگاه 10 + و 10 - 7 ريشه ی از مرتبه 16 از معادله مشخصه باشند . آنگاه :
cos(qx), y2=eP* sin(qx), y3=xe?* cos(qx), y4= xeP* sin(qx),... *2۲ < رب
جواب های مستقل خطی متناظر برای معادله هستند.
در نهایت :
C3¥3 +--+ Yn + ولاو» ۲ وله <
وال صو بقاذلة آلنیی:
صفحه 6:
زوش حل معادلة خای خطی .موتبه 92 با ضرآیب قلبت :
مثال : هرگاه :
BSS. 4S. BEE, FESR 9. Rd, SS, ES ی
ريشه های معادله مشخصه باشند آنگاه:
yy =e, yyae™, yee, yyme™, yoo xe, ygaxte?®, ور روز
ye = e3* cos(2x) , yo =e**sin(2x) , vio = xe** cos(2x) , yy = xe**sin(2x)
جواب های مستقل ی متناظر برای معادله هستند.
صفحه 7:
زوش حل معادلة خای خطی .موتبه 92 با ضرآیب قلبت :
در نتیجه :
y= cye* +c,e7* +c3e°*% + 2۲وی +xc5e2* +x?cge?* + مقر
+cge3* cos(2x) + coe3*sin(2x) + xcy)e°* cos(2x) + xc,e3*sin(2x)
جواب عمومی معادله است.