نگاهی به مفتاح الحساب

صفحه 1:
عدد 9 مي باشد كاشاني مانند سایر ریاضیدانان پیش از خودمجموع ارقام هر عدد را عي كيرد و أن را 9 به 9 طزح مي كند وبقيه را ميران آن عدد مي نافد يعني در واقع ميزان هر عدد عبارت است از باقيمانده تقسيم هر عدد بر9 مثلا كاشاني ميزان عدد 64578 را مساوي با عدد 3 بدست مي آورد سيس طريقه امتحان صحت اعمال ضرب وتقسيم و استخراج جذروكعب و سايرريشه ها را مطابق با روش كنوني شرح مي دهد . موضوع جالب توجه در اين با ب اين است كه كاشاني در ابتداي آن مي نويسد : 3 "کرجساب درست باشد میران درست در مي آید وعکس اين فطلب صحيح نيست" در حالي که برخي از ریاضیدانان اسلامي قبل از کاشاني بهعدم صحت عکش این مطلب اشاره نکرده اند اما ریاضیدان دیگري از مردم مصر یا سوریه موسوم به تقي الدین بن عزالدین حنبلي در کتاب حاوي اللباب من علم الحساب به این مطلب اشاره کرده است 

صفحه 2:
‎clas pay alles‏ الحسان مربوط به حساب کسرها ست ومشتمل بر دوازده باب است در آغاز باب اول این مقاله كاشاني کسر را چنین تعریف مي کند ‏"کسركميتي است که نسبت داده شود به مقدار دیگر که به عنوان واحد فرض شده است ومخرج نامیده مي شود" ‏در واقع كاشاني کلمه کسر را در اینجا هم به صورت کسر و هم بجاي خود کسر به کار برده است وبعضي جاهاي دیگر صورت کسر را عددالکسر می نامد ‏سپس کاشاني کسر ها را به صورت زیر تقسیم بندي مي کند(درمثال هاي زیر 0,0,ظ,ع,...اعداد صحیح مثبت فرض شده ‎(ail‏ ‎ 

صفحه 3:
كسر مفرد بر دو نوع است : ‎oll‏ مجرد: ‎Y, Jin a=1‏ (نصف) CNC tal gC 

صفحه 4:
كاشاني در اینجا خاطر نشان مي کند که نسبت بين کسر(صورت) و مخرج آن در اعداد نامتناهي یافت مي شود (منظورش این است که مثلا کسرهاي 2 ,2/4 ,3/6 و... معادل هستند و میگوید بهتر است که کوچکترین اعداد صحیح ممکن را صورت و مخرج کسر اختیار کنیم و استعمال کسر را به شکلهاي دیگر قبیح قلمداد میکند مثلا از بین كسرهاي 1/2 ,2/4 ,3/6 و...فقط 1/2را به کار مي برد و غیره را زشت مي داند 

صفحه 5:
07 رت 8 57 a =a ۹ % '* يا تركيبي از اين جهار نوع 0 

صفحه 6:
pers veh oy dee fic 0۱ Jae شود مثال: 1/2 و1/3 يعني 1/2+ 1/3 2) كسر مستثني آن است كه كسري يا كسرهابي ازكسر ‎ene Th ere‏ 3) کسر مضاف به قول كاشاني آن است که مخرج جزء اول را واحد یا ببشتر انگاشته آن را به مخرج ديگري 1 ‎ry‏ ۳ مثال:نصف يك ششم يعني ل ات ‎ere‏ با کرار شود 

صفحه 7:
مثلا نصف سه ينجم از جهارنهم از يك دهم ‎ens)‏ ‎i‏ كاشاني پس از دکر مثال اخیر اضافه مي کند که بهتر است در کسر مضاف و معطوف كسرهاي بزركتر مقدم باشند و ‎ee‏ زر اقزر ۱ ي آنها صحیح نباشند مثل: = 1 2 نت 1 للق 9 

صفحه 8:
els Gal ole ob oil HUN ‏رياضيات مهم است ودليل بر ان اسث كه مخترع كسر‎ ‏اين است :«ومنجمان‎ wyls ‏هاي اعشاري است وان‎ ‏كسرهاي معطوفي به كار مي برند كه مخرج هاي‎ ۳۹۳ انها [ 52-7 وقواي متوالي شصت است تا هرجا ‎Pr Ene ee ee pre teoear en Pe et‏ 5110 ‎ero ee‏ منجمان كسرهايي اورديم كه مخرجهاي متوالي آنها ده وقواي متوالي ده 5-7 ‎ee‏ ۱۳۹ تاهيه والنها ر! بترتیب 9۳ 0 اعشار 00 اعشار " و ‎rere‏ اعشار " ۳ 

صفحه 9:
0 ST ae ‏جمع حرف و‎ براي علامت تفريق حرف الا براي علامت ضرب حرف ل وبراي علامت تقسيم حرف من را بكار مي برد 

صفحه 10:
|[ روش كنوني _ إروش كاشا | 3أكسر بالحدج صحيح: ‎fr‏ 2 

صفحه 11:


صفحه 12:
باب سوم مقاله دوم درباره تداخل و اشتراك و توافق وتماثل اعداد صحيح است و كاشاني شمارنده مشترك دو ا ل ا ‎BY) eC‏ وخارج قسمت هر يك از دو عدد متوافق را بروفق انها م ال ‎yl‏ ۱ مثلا دو عدد 10و15 متشارك هستند و وفق آنها 5است ‎Seiichi ise felipe 6 10) Pollen‏ براي تعيين بزركترين شمارنده مشترك دو عدد كاشاني همان الكوريتم مشهور اقليدس را شرح مي دهد 

صفحه 13:
در اخر باب ششم كاشاني مي كويد كه اكر كسري مركب از جند كسر مركب بود ابتدا هر يك از كسرهاي مركب را 20 ‏ا ا‎ VTC Me eNO ptt) ae ‏زیم مثلا:‎ 

صفحه 14:


صفحه 15:
باب دهم مربوط به استخراج ريشه 2 ام از ‎ore menus‏ ا ا ‎Pee eT‏ = na 2 ‏تا‎ WAR b COROT) Dee ROSES LSU ee Seemed eccy ‏ريشه مطلوب ) منطق نباشند صورت ومخرج کسر‎ ‏رادر مورد جذر يك بار در مخرج ضرب مي كنيم ودر‎ ‏مورد كعب دوبار ودر مورد ريشه جهارم سه بار وبه‎ ‏همین نجو ا ريشه ها عمل مي کنیم وريشه‎ ‏حاصل اخير را به تقريب مي كيريم واين ريشه را بر‎ 

صفحه 16:
6 ‎ai‏ ۱ ۳ 1 / كاشاني سيبس مي كويد كه اككر كسر عدد صحيح همراه داشته باشد ابتدا ريشه قسمت صحيح را ‎dbeme‏ ارده مان ره را كسري جمع مي كنيم وأن را به مخرج اصطلاحي نسبت | 6 ‎ea‏ در هد ها حر 

صفحه 17:
و مي گوید اگرٍ كسري را تجنیس کنیم جذر دقیق تر به دست مي ايد 7/71 - 45-158 627 9 nee وباز مطایق با دستور کلیتلبی ۲ ‎vVT+r=T+‏ کعت زیر را سا ۰ ۷ 301 2۷22+ 31 237 4 

صفحه 18:
باب یازدهم درباره تبدیل مخرج کسر به عدد دلخواهي ‎ove‏ را ار ایا ی ‎RY‏ ‏وبعد به عنوان مثال مي گوید مي خواهیم مخرج کسر 5/7 را به 9 تبدیل کنیم وتناسب 5-»را حل مي کند و جواب 63 ‎Teer me Oren pL > .c)‏ ۱2 7 را به شکل 637 مي نوبسد 9 Polen (rsd pnt (cA) Gal nee ‏در زمان وي بين مردم در باب معاملات متداول بوده است‎ ۳ y ‏شرح مي دهد‎ 

صفحه 19:


صفحه 20:
الحساب *مقاله سوم مفتاح الحساب درباره حساب منجمان يعني حساب در دستگاه شمار شصتگاني(ستيني) است #حساب جمل:در این حساب اعداد بوسیله حروف :ابجد وهشت حرف هستند نشان مي دهند به اين ترتیب که نه حرف از الف تا طا را براي یکان واز يا تا صاد را براي دهگان واز قاف تا ظا را براي صدگان و غین را به جاي هزار مي كيرند 

صفحه 21:
و اعداد دیگر را بوسیله ترکیب این حروف مي نویسند ودر موقع نوشتن اعداد مرکب عدد بزرگتررا بر کوچکتر به ترتيبي كه در فارسي تلفظ مي كنيم مقدم مي دارد 8 11 كد )7 ‎Reve‏ 1134 

صفحه 22:
| استفاده مي شود اما نوشتن اعداد در حساب جمل ودر ا ا لك Pon ae ‏ا‎ Cee We ECP ICB] ۱۳ ۳ Sell Alte) yas le 5 hoe seen ‏با تركيب حروف جمل مي نويسند به صورت:‎ 

صفحه 23:


صفحه 24:
ب نوشتن اعداد در دستگاه شصتگاني ‎al®‏ دستگاه شمار دهگاني ده است يعني واحد هر مرتبه (از راست به چپ) ده برابر واحد مرتبه قبل از آن ویکدهم واحد مرتبه بعد از آن است متلا عدد 14379.56 را مي توان به اين صورت نوشت: ‎ ‎4 3 2 1x(10)+4x(10)+3 x(10)+7x(10)+9 + 510+ 60 ‏اما پایه دستگاه شمار شصتگاني عدد 60 است يعني واحد هر ‏مرتبه 60برابر واحد مرتبه ملدون آن و 1واحد مرتبه مافوق آن مي باشد ‎ 

صفحه 25:
قدما مرتبه شمار شصتگاني را مرتبه درجات مي نامیدند و در جهت نزول هر درجه را به 60 دقيقه وهر دقيقه را به ‎OG RN‏ ار ا 0 به قسمي كه بعد از مرتبه درجات در جهت نزول مرتبه دقيقه ها و بعد ثانيه ها وبعد از ان به ترتيب مرتبه هاي و رز ار هه 0072 ‎Pen fa) caliety GN ots ern‏ ‎F‏ ا ا | جب مي نوشتند و اسامي مرتبه ها را يا در بالاي ارقام ‎eth Se Ibe)‏ ا ل ا ال 6 20 ا ا ا ا ‎Beer Deir‏ دست باشد ‎G oeyepa He‏ ا رز شكل هاي زير مي نوشتند 

صفحه 26:
2درجه و24دقيقه و11 ثانيه و45ثالثه: 

صفحه 27:
اين اعداد را با ارقام هندي مي توان به شكل زير نوشت : 45 eee 24 + (60) Gone (ead etl 51) همجنين در جهت صعود هر 60 درجه را يك واحد از مرتبه بالائتر محسوب مي داشتند و ان را واحد مرتبه يك بار مرفوع يا به طور خلاصه مرفوع مي ناميدند وهر 60 واحد مرفوع را يك واحد از مرتبه بالاتر قرار مي دادند وان را واحد مرتبه دوبار مرفوع يا مثاني ومرتبه بعد از آن را سه بار مرفوع يا مثالث ومرتبه بعدي را جهار مرفوع يا مرايع وغيره مي ناميدند 

صفحه 28:
بنابر اين از عددي به شکل زیر ويا به شكل : يد ب نو مب كا لح (ثالثه) مقصود عدد زیر مي باشد 2 ‎x(60)+2 x(60)+ 56 +42 +21 +8‏ 14 607 607 60 

صفحه 29:
‎lia 0‏ 000 را رت 0 اعداد 1تا 59 و1عددي است صحیح و مثبت یا منفي) عدد مثرد مي نامد مثلا 40درجه وهمچنین 23 رابعه اعدادي 1ه ‎ ‎ ‏عددمجرد عبارت است از هريك از قواي صحيح مثبت يا مثلا يك ثانیه وهمچنین يك درجه اعداد مجرد هستند 

صفحه 30:
2-1 23200 | ‏ا ل‎ 0 Eee) ‏ل ا ا 0 1ل‎ 2 0 0 207 ‏ل ال‎ 2 PasE mae mao 0 1 02000 ‏جنين دستكاه عدد نويسي را لوكي دستكاه ذوحياتين ناميذه‎ ‏در برخي از كتاب هاي رياضي اسلامي كه از زمان هاي‎ ‏پیش از عصر کاشاني به دست رسیده غالب محاسبات‎ ‏مخصوصا در مورد ضرب و تقسیم در دستگاه شصتگاني‎ ‏خالص دیده نمي شوند اما كاشاني در مفتاح الحساب و‎ ‏ساير اثار خود همه اعمال و حتي استخراج ريشه 2 ام رايا‎ 0 02 ‏ا ل‎ Bord Coren) انجام.داده است 

صفحه 31:
, به مقاله چهارم- 8موضوع این مقاله اندازه گيري ابعاد وسطح وحچم شکل هاي هندسي است وكاشاني سطح هر يك از چند ضلعيهاي منتظم مهم وچندوجهي هاي منتظم را هم در دستگاه شمارشصتگاني و هم در دستگاه دهگاني در این مقاله حساب کرده است #كاشاني جدول جیب را درجه به درجه (از يك درجه تا 90 درجه )وروش به کار بردن آن ونیز جدول هاي مفید ديگري را در اين مقاله آورده است وجدول مضرب هاي عدد 0 را حساب کرده ونتیجه را هم در دستگاه شصتگاني و هم در دستگاه دهگاني به اختصار ثبت کرده است 

صفحه 32:
are = مركز مثلث: نقطه اي از سطح مثلث كه از هر سه ضلع به ‎ve-C mony‏ ا ال ۳ ‎ee Sere‏ م ات ا ا ل م ۳ شبيه المعين: چهار ضلعي که اضلاع روبه روي آن دوبدو متساوي ومتوازي ولي با دو ضلع دیگر مساوي نباشند(متوازي الاضلاع) 

صفحه 33:
ذوزنقه واحده:ذوزنقه قائم الزاویه ذواليمينين:جهارضلعي محدبي است كه دو ضلع مجاور ان با هم مساوي ودو ضلع دیگر نیز با هم مساوي اما با دو ضلع اول مختلف باشند كه فقط زواياي روبه رو با هم مساوي اند وزواياي مجاور با هم مساوي نیستند ا ۱[ بنايان أن را لوزه واكر منفرجه باشند نجارها آن را جودانه ‎CI Perry SS‏ ا ‎per) Eevee en‏ را است كه جون برذواليمينين افزوده ‎ee Rose re mew lea So) L ey‏ آورد .يعني در واقع چهارضلعي مقعري ال 0 كك بر ضلع ديكر آن نيز با هم مساوي باشند 

صفحه 34:
آن چها/ 7 ‎Ge.‏ و ‎ie,‏ 

صفحه 35: