کنترل پیشرفته

صفحه 1:
ADVANCED CONTROL Ali Karimpour Associate Professor Ferdowsi University of Mashhad Reference: Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999. I thank my students , Saina Ramyar and Parisa Tavakkoli, for their help in making slides of this lecture. 

صفحه 2:
e5 Stability Topics to be covered include: * Introduction. * Input-Output Stability of LTI systems. + Internal Stability. * Lyapunov Theorem. * Stability of Linear Time-Varying(LTV) Systems Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 3:
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید * مفهوم پایداری ورودی-خروجی (180ظ1) ‎Input-output stability (BIBO)‏ * )1130( ‏شرط وجود پایداری ورودی-خروجی‎ * * Input-output stable systems + Internal stability(in the sense d£dyapyaioyaing)!.l ‏مفهوم‎ * asymptotic) ‏شرط وجود پایداری لبانوفی و مجانبی‎ * * Marginal and asymptotic stability conditions ‏بررسی پایداری مجانبی توسط معاله لیایانوف‎ * + Internal stability by Lyapunov equation 1:1۷ ‏بررسی پایداری در سیستمهای‎ * + Stability analysis for LTV state equation 3 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 4:
lecture 5 Introduction shes Linear System property ‏خاصیت سیستم خطی‎ ۱ پاسخ ورودی صفر + پاسخ حالت صفر - پاسخ کامل پاسخ سیستمهای خطی را می توان بصورت جمع پاسخ حالت صفر و پاسخ ورودی صفر بیان نمود. ۱- پایداری ورودی خروجی سیستمهای خطی پایداری 1311960 (ورودی کراندار خروجی کراندار) نامیده می شود. (پاسخ حالت صفر ) ۲- پایداری داخلی سیستمهای خطی پایداری مجانبی نامیده می شود. (پاسخ ورودی صفر ) Dr: Ali Karimpour Oct 3 

صفحه 5:
lecture 5 پایداری ورودی خروجی سیستمهای 1:11 در سیستم تک ورودی تک خروجی خطی غیر متغير با زمان (1:11) خروجی را میتوان بصورت () ۰۵ 2960 9-۷۵ )زر نمایش داد که ()) پاسخ ضربه بوده و سیستم در 0ب آرام است. تعریف ۱-۵: یک سیستم را پایدار 1311360 گویند اگر هر ورودی محدود خروجی محدود را تولید کند. اين پایداری برای پاسخ حالت صفر تعریف شده و سیستم در ابتدا آرام است. قضیه ۱-۵: یک سیستم 939/0 توصیف شده با معادلات (1) را يايدار 8211800 گویند اگر و فقط اگر قدر مطلق ()0 در بازه [00,۰) انتگرال پذیر باشد یا م >> |9۵ ‎Mf‏ بیان 

صفحه 6:
system ‏ثبات قضیه ۱-۵: باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم:‎ ‏پایدار (0)0 = 8180 مطلقا انتكرال يذيراً‎ pian | BIBO Rss es a ‏مطلقالنتگرا لیذیر‎ g(t) ابتدا قسمت اول را ثابت می کنیم. فرض کنید (06 بطور مطلق انتگرال پذیر است باید نشان دهیم هر ورودی کراندار منجر به خروجی کراندار می شود. ورودی کراندار دلخواه با شرط ‎Up‏ > |(])11 < © را در نظر بگیرید: |)۵[ < (۵۶ ۰ >] ‏عن مو‎ (0 <u, |9۴ <u,M لذا خروجى محدود است. يس سيستم يايدار ‎ial BIBO‏ 6 ‎Dr: lt Karimpour Qt 201:‏ 

صفحه 7:
اثبات قضیه ۱-۵(ادامه): باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: سیستم پایدار ()9 > 0 مطلتا انتگرال پذیر ((إ)0_مطلةالنتكرا | يذير سیستم ياينار 8180 حال به اثبات قسمت دوم قضيه مى بردازيم. فرض کنید سیستم پایدار 91100 است باید نشان دهیم ( 0 بطور مطلق انتگرال پذیر است. نشان مى دهیم اگر ()0 مطلق انتگرال پذیر نباشد, به تناقض می رسیم. اگر ‎yay guise Gls g(t)‏ ماش آنگاه یک وجود دارو ب وري ىن ‎SO‏ وا ‎ifg@)=0 ig /‏ 1 فرض کنید ورودی کراندار زیر را انتخاب کنیم: ‎u(t- 7) =| 1 cee‏ ‏عض ه- 2ك و |]- ۱-۵( ]< ()ز ‎ ‎ 

صفحه 8:
‎oo a‏ مالي ‎al Pape‏ رز کی ات ون از ‎ ‎system ‎1 [ ‏پایداری ورودی خروجی سیستمهای‎ ‏محدود بودن انتكرال قدرمطلق باسخ ضربه به معنى محدو‎ LI ‎for n/m <t<n for n<t<n- ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎£(t- n) 9 ‎ ‏- ستال: مقايل دا موده ابت ‏۰ مساحت زير هر مثلث: 212/1 ‎m= ‏انتگرال قدر مطلق تابع :"هه »0 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: ‎ 

صفحه 9:
lecture 5 Input output stability of LTI system 1:11 ‏پایداری ورودی خروجی سبستمهای‎ قضیه ۰۲-۵ اگر سیستمی با پاسخ ضربه ‎G(t)‏ بايدار 31130 باشدبرای 9-96 داريم: ۱) خروجی تحریک شده به وسیله )0.11 < با به سمت 0(<*2۵)) میل می کند. ۲ خروجی تحریک شده به وسیله 0 ‎[GUmo)l sinQwot + 29040) ot = Ot ult)=sin‏ ميل مى کند که (0)5 تبدیل لاپلاس (0[6 است یعنی: 8 <]0(9 4 (ID) اثبات (۱) ‎ats aly‏ 0000۳ ابش تیم ۵]0604- ۵( - هر بیع ری ‎sk ee‏ ‎Ho 90 - 0 a Wee ‏بش اول قضيه 5-8 اثبات‎ ‎9 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 10:
lecture 5 Input output stability of LTI system 1:11 ‏پایداری ورودی خروجی سبستمهای‎ )۲( ‏اثبات‎ ‏اگر برای 0 < تا ورودی برابر و 513<()نا با باشد. خروجی عبارتست از:‎ Mb) < 0 ‏مطذه‌سومه - «موومم,مصنع]( 96| < ۵۲( ۶),مصنو(‎ ۲ =sinw,t{ g(r) cosnrdr - cogv,t{o(r)sine,rdr ‏داریم:‎ OE col ‏لذا‎ ‎Y(t sinwtl g@cosytdt cosutf g@sinw td ‏جون سيستم يايدار 811800 است دو انتكرال فوق كرائدار است و از طرفى‎ Rel jo) =f g(x) cosurdr Im jo)]=- f glc)simordr ‏با جایگزینی بخشهای حقیقی و موهومی در رابطه‎ ‏(سملق بمصذه حابر‎ + costint G( jax) =| Gf jay)|sirl ayt+ 2G( jaa)) 10 ‎Karimpour 4‏ نم بچخش دوم قضیه ۲-۵ اثبات شد. 07[ >رصنوز - ‎gt) [coger‏ 1 < (هل) 

صفحه 11:
lecture 5 Input output stability of LTI system 1:11 ‏پایداری ورودی خروجی سبستمهای‎ ‏قضیه ۳-۵: یک سیستم 9190 با تابع انتقال گویا و مناسب (5)ل پایدار 131۳0 است اگر‎ ‏فقط اگر هر قطب (5) دارای بخش حقیقی منفی باشد یله به طور متعادل. در نیمه چپ صفحه‎ ‏واقع شود.‎ 5 ‏اگر (5) دارای قطب 10 با درجه تکرار ,110 باشد. بسط به صورت کسرهای جزئی آن شامل‎ عوامل زیر است: 1 1 1 s BS py) (Ss py” ‏معکوس (0)8 با پاسخ ضربه آن دارای عوامل زیر باشد.‎ LY ‏لذا تبدیل‎ او ...او ی می توان نشان داد که هر یک از این جمله ها مطلقا انتگرال پذیر است اگر و فقط اگر ,0 دارای و Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 12:
lecture 5 Input output stability of LTI system 1:11 ‏پایداری ورودی خروجی سبستمهای‎ مقال ۲۰۵ ‎a, eo BI BO Ic‏ را ررس كتين )ل ‎ae‏ , 70 پاسخ ضربه سیستم عبارتست از: Gb) =ad(t- 1) + ad(t- 2(+ 2۵) 3)+..... =S aot 2 1-4 ۳ si ‏)ماه - (0)وا‎ 0 ae ‏حال‎ fae 6 1۶۱0۱ < ۱1 [ lenidte 2 = tet - ‏مه > راما‎ ifjaj <1 ‏بايدارى 8180 را تشخيص داد جرا‎ tol BIRO Jou ash) ‏تاک‎ ee ۳ ae~* ‏لك درق‎ 12 1-66 Dr: Ali Karimpour Oct 201: 

صفحه 13:
lecture 5 Input output stability of LTI system 1:11 ‏تمهای‎ پایداری ورودی خر انتقال عبارتست از . 68-06 ۸( + as 5-0 ‏يم لك‎ D 

صفحه 14:
lecture 5 Input output stability of LTI system 1:11 ‏پایداری ورودی خروجی سبستمهای‎ مثال ۳-۵ + شبکه نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. معادله حالت این شبکه به زیر است. پایداری 1318300 آن را بررسی کنید. رت (0) =x(0 + 03۵ Hb) =0.5x( + 0.510) ماتریس ۸ و مقدار ویژه آن برابر ۱ است. مقدار ویژه یک بخش حقیقی مثبت دارد تابع انتقال عبارتست از: &s) =0.5(s- 1)? x0+0.5=0.5 تابع انتقال فاقد قطب است يس يايدار 811800 است. 14 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 15:
lecture 5 Internal stability et تعریف ۲-۵ پاسخ ورودی صفر سیستم ۸۴ < 36 را به مفهوم لیاپانوف پایداررپایدار حاشیه ای) گویند اگر هر حالت اولیه محدود ,6 پاسخ محدودی را بوجود آورد. علاوه بر این اگر پاسخ به صفر میل کند پایداری مجانبی حاصل می شود. قضیه ۶-۵: ۱) معادله ۸۲ ‎ <‏ پایدار حاشیه ای (پایدار لیاپانوفی) است اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه ۸ دارای بخشهای حقیقی صفر و منفی باشند و آنهایی که دارای بخش های حقیقی صفر هستند ريشه های ساده چند جمله ای مینیمال ۸ باشند. ۲ معادله ۸۲ < 6 پایدار مجانبی است اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه ۸ دارای بخشهای 15 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 16:
lecture 5 Internal stability et اثبات قضیه ۶-۵ - بخش اول: ‎g‏ ‏تبدیل همانندی پایداری یک معادله حالت را تغییر نخواهد داد. ‎A ye ma‏ تیم لا واگ #امجلوه باشب > هو محتود خاهدرب ود ‎OE lex SI‏ به سمت صقر مپل کندء 5 هم به همین به سمت صفر میل می کند. می توان پایداری ۸ را با استفاده از 2 مورد مطالعه قرار داد. ( مقادیر ویژه ۸ و ۸ یکسان هستند) این پاسخ محدود است اگر و فقط اگر هر درایه هر درايه “© ۰ (5)0م- 20 مسق ‎tE0 pls oly‏ محدود باشد. ‎té 88۲2 3‏ "و إو ۵ ۵ 0 ‎ae té“‏ 0 رن ‎é‏ 0 0 0 ‎A: JordanForm- “2 ¢ =| ‎18 ‎Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 17:
lecture 5 Internal stability et *اگر یک مقدار وبقه دارای بخش حقیقی منفی باشد. هر درلیه ماتریس 60 محدود است و برای نا به سنت صغر ميل عق ‎GS‏ ‏*اگر یک مقدار ویژه دارای بخش حقیقی صفر بوده و فاقد بلوک جردنی از مرتبه ۲ یا بالاتر باشد؛ درایه مربوطه در ماتریس 62 برای تمام اها یک ثابت با سیتوسی است که محدود است. -> اثبات کفایت بخش اولیه قضیه ۶-۵ * اكر ل دارای مقدار ویژه ای با بخش حقیقی مثبت ‎OM aslo yw abl‏ طور نامحدود افزایش می باید. * گر ‎A‏ دارای یک مقدار ویژه ای با بخش حقیقی صفر و بلوک جردن آن از مرنبه ۲ با بلاترباشد. *67 دارای حداقل یک درایه خواهد بود که به طور نامحدود افزایش می یابد. اثبات قضیه ۶-۵ - بخش دوم: براى بايدار مجانبى ‎digas‏ هر آيه ‎OM‏ بابک براى 6-91 به سمت فر ميل كند ‎A‏ هيج مقدار ویژه ای یا بخش حقیقی صفر مجاز نیست. ‎17 ‎‘Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 18:
lecture 5 Internal stability et مثال ۴-۵ : سیستم مقابل داده شده است. پایداری 0 00 ‎eee ata tls‏ رسک 01۶ 0 ‎x=|0‏ ‏1- 0 0 چندجمله ای مشخصه : . (72)2+1- (۵0 لسم> مقادیر ویژه: ۰, ۰, -۱ چندجمله ای مینیمال : ۰ (1+ 22.0 (2) ۸ ‎a‏ * : ريشه ساده چندجمله ای مینیمال پاندار لیاپانوفی (حاشیه‌لی ) است. مثال را برای سیستم مقابل تکرار کنید : 0 0 جتدجمله ای مینیمال : 040 #= ‎SS yp‏ ۰ ریشه ساده چندجمله ای مینیمال = پایدار حاشیه ای نیست. 

صفحه 19:
lecture 5 Internal stability and input-output stabilityss,,, 5 Je! <,lub ‎ile‏ ده د مقاب كاك شد اسك بطلوست بررمي ‏يايدارى مجانبى و يايدارى 28180 ‏فاقد قطب سمت راست ‎Saale Gay‏ ‎AS ‎a ‎a ‎Q ‎3 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎g ‎a ‎ ‎ ‎1-15 69 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎‘Dr Ali Karimpour Oct 201: ‎ ‎ ‎G9) = — ‎+2 ‎1 ‏09 حر ‎2 ‎AS ‎= ‎5+ ‎| ‎1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎BIBO stability: As) _ RS Internal stability: For internal stability we need ‎ ‎ ‎nodel so we %(5) = 109 ‏رح یز وس‎ + ‎56 ‏ول‎ — Pes (i: 7 ‎? ‎29 =H ixto+ As) es =x+ 5 +7 ‎-3 ‏ورگ )ید‎ —> x =-2x-3r ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 20:
lecture 5 Internal stability and input-output stabili 97 7 we ae ‏پایداری داخلی و‎ ب ل 09 رس عجر فم ال ۵ ار ا ل ا تا بررشی | 1 ‎sez,‏ ‏يايدارى مجانبى و يايدارى 28180 فاقد قطب ‎Ca, a‏ پس پایدار ‎BIBO stability:‏ Internal stability: For internal stability we need 1. ۶ 09 ‏زک‎ =-2x- 3r? mode} 33 0 2+و 1 2-2 شاه یز مت 1 20م |sI-A] =| | =(s- 1)(s+ 2) The system is not internally stable (neither asymptotic nor at TEN Foie * Very important note: If RHP poles and zeros between different part of system omitted then the system is internally wnetahia aibhaich it ee hea 291 1929 ‏ل بال صمي‎ ۲ 

صفحه 21:
lecture 5 Internal stability et ۷-۵ ‏قضیه‎ تمام مقادیر ویقه ماتریس ‎A‏ دارای بخش حقیقی منفی هستند. اگر و فقط اگر برای هر ماتریس متقارن معین مثبت ‎N‏ معادله لیاپانوف ‎N‏ ->۷/۸/ +1۳6 دارای جواب متقارنء معین مثبت ویکنای 14 باشد. تمربن ۱۲-۵: قضیه فوق را اثبات کنید. قضیه ۸-۵ اگر تمام مقادیر ویژه لگ دارای بخش حقیقی منفی باشند. معادله لیاپانوف 2 114 +11 es M=;eA4tNneAtat 0 ‏به ازاء هر ماتریس 2۷ دارای جواب یکتایی به صورت زير است. ارتم‎ تمرین ۱۳-۵ قضیه فوق را اثبات کنید. 21 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 22:
BIBO stability of LTV systems 50 1:1۷ ‏پایداری 311300 در سیستمهای‎ رابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی. تک ورودی-تک خروجی: ع0 ۵( { = ‎WD‏ ‏یک سیستم دارلی پایداری ورودی خروجی پا 9180 است در صورتی که هر ورودی محدود منجر به رو اج شرط پایداری 31۳800 این است که: 28061 با ,۷۵ هم >> 6۲ ((91۳ |[ رابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی. چندمتغیره: WO = ( Gr) ue) ar ‏شرط پایداری 181190 سیستم فوق اینست که هر درایه ۶ بطور مطلق انتگرال پذیر باشد و یا‎ هه 6 ۷۵ >> 0(|۵|ز 

صفحه 23:
lecture 5 BIBO stability of LTV systems 1:1۷ ‏پایداری 311300 در سیستمهای‎ در عر ام فلت سا میم دا له باشد: 30۵ + 2۸۵۵ كذ ‎DOU)‏ + 2000 ابل پاسخ ضربه سیستم: (2 -1) )12 +( (12) 0 < (67 پاسخ حالت صفر سيستم: )1 ۲۵۵۲6 + 010۳)0(1(۵(۵۲ ] < فا پاسخ حللت صفر سیستم دارای پایداری ورودی-خروجی(1311300) است اگر و فقط اگر ,1۷1 و ,1۷1 موجود باشند به قسمی که ‎Se ۷ 2006 < 1‏ 0( ‎[Do] <M<x‏ Dr: Ali Karimpour Oct 2013 

صفحه 24:
‎lecture 5‏ :7< ‎Internal stability of LTV systems 10‏ پایداری داخلی سیستمهای ‎LTV‏ ‏در پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم: ‎x=A(Dx‏ ‏جواب معادله تعالت فوق عبارقست از ‎xX(f) =0(¢,6) x(t)‏ پاسخ ورودی صفر سیستم بعنی پاسخ معادله ‎XH ADH‏ پایدار حاشیه ای است اگر هر شرط اوليه محدود منجر يه الط ود شود پاسخ ورودی صفر سیستم 24 (24 6 پایدار حاشیه ای است اگر وفقط اگر عدد ثابت و محدود. 11 وجود داشتة باشد به قسمى که ‎Vt andt=t‏ ,ره >> |( )۳ ‎24 ‎Dr. Ali Karimpour Qet 201: 

صفحه 25:
Internal stability of LTV systems oe 1:1۷ ‏پایداری داخلی سیستمهای‎ ‏در پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم:‎ x=A(Dx جواب معادله حالت فوق عبارتست از: xX) =0(6 (2( ياسخ ورودى صفر سيستم يعتى ياسخ معادله اه ديز پایدار مجانبی است اگر هر شرط اوليه محدود ياسخ محدودی بوجود آورد که در * «] به صفر میل کند. پاسخ ورودی صفر سیستم 4)(26/ 2 پایدار مجانبی است اگر عدد ثابت و محدود. ۱۶ وجود داشته باشد به قسمی که 2206 ۷ رم >> |( )ط| و 1 مساعه ۱06۵۰0 Dr: AliKarimpour Qet 201: 

صفحه 26:
lecture 5 Internal stability of LTV systems LTV ‏پایداری داخلی سیستمهای‎ ‏مثال ۶-۵: سیستم مقابل داده شده است. پایداری‎ ‏حاشیه ای و مجانبی این سیستم را بررسی کنید.‎ Ble. 0 x=AD)xX= چندجمله ای مشخصه : ‎A(A) =( +1)?‏ لذا برای تخا دوه عقدار ویزه در ۱ دازيم. می توان نشان داد کم ماترس كزان حالس حبار كسد ارد ‎(t0) = ‏و‎ 26 - 0 ‎ ‏واضح است كه سيستم نه بإيدارى حاشيه اى دارد و نه مجانبى. ‎26 ‎impour Qet 201: ‎ 

صفحه 27:
57 Consherasysom with uansferfonctoa f(s) = (—2)/(s+1). Whatae the steady-state responses excited by u(t) = 3, for ¢ > 0, and by u(t) = sin 2r, for ¢ 2 0? 5.4 Consider 3 Is it BIBO stable? 5.5 Consider 27 

صفحه 28:
pure 5 Exercise s(I0100000000000000000000000000000n00N0N000000000 QODNQ00000000000000000000000000000 5.6. Is the homogeneous state equation -101 k= oo ols 0۰ marginally stable? Asymptotically stable? 5.7 Is the homogeneous state equation -1 01 as boils 900 marginally stable? Asymptotically stable? 5.8. Is a system with impulse response g(t, t) = e 7"), for r 2 7, BIBO stable? How about g(t, 2( = sin t(e""") cos 1? 5.9 Consider the time-varying equation ‎y x‏ مج ع2 دغ ‎ ‎ ‎Is the equation BIBO stable? Marginally stable? Asymptotically stable? ‎28 ‎Dr: Ali Karimpour Oct 2013 

صفحه 29:
lecture 5 Exercise s(00000000000000000000000000000000000000000000000 ODOQNQ00000000000000000000000000000 5.10 Show that the equation in Problem 5.21 can be transformed by using ¥ = P(t)x, with P(t) =e, into ‏لم ببدم‎ yak Is the equation BIBO stable? Marginally stable? Asymptotically stable? Is the transfor- mation a Lyapunov transformation? 5.11 Is the homogeneous equation -1 0 xs ۳۳ als ‏تمرین ۱۲-۵ قضیه ۷-۵را اثبات کنید.‎ ‏تمرین ۳-۵ قضیه ۸-۵ را اثبات کنید.‎ 

صفحه 30:
Answers to selected problems ۱-۵ ‏جواب‎ ‎ItisnotBIBOstableince Wf) =sint > é =O.5tsint جواب ۲-۵: خیر . بلی :۳-۵ ‏جواب‎ ‎y(t)> 1.26sin(2t+1.25) ,y(t)>-6 جواب 6-ء: مجانبى نيدرت ولى خاشية اى است. جواب ۸-۵: هر دو پایدار 11۳0 هستند. جواب ۱۰-۵: پایدار 0 و حاشیه ای است ولی مجانبی نیست. (1) ۳ تبدیل