آنالیز واریانس

صفحه 1:
آنالیز واریانس ANalysis Of VAriance (ANOVA) 

صفحه 2:
Definition “Analysis of Variance (ANOVA) a method of testing the equality of three or more population means by analyzing sample variations 

صفحه 3:
ANalysis of VAriance ,.2t,\, -st1 (ANOVA) ‏مثال : جهت مقایسه اثرسه روش‎ ao) gly ey) UL ILL ‏کات‎ ‎Lt (Clotting time js: 12 ‏ای انجام شده است. تعداد‎ eel ‏بيمار انتخاب و بطور كاملا تصادفي به‎ ‏كروه جهار نفره تقسيم شده و هر‎ 3 ‏كروه تحت يكي از روشهاي درماني‎ ‏فوق قرار كرفته است . نتايج (بر حسب‎ ‏ورت رير ثبت شده استخ:‎ ) روش درمانی 7 03115 4 Et! 1 2 3 2 تن ۵6۵ تن © 5 3 4 

صفحه 4:
۰۲۸۵۲ ۷۱۱۱ ۵006۱ 11 7۲۵ ۵6 multiple t test instead of ANOVA? ° The rate of error increases exponentially by the number of tests conducted 

صفحه 5:
The calculation of the rate of type I errors is :determined by 1-(1-a)° c = number of t-tests 

صفحه 6:
ANalysis of VAriance ,.31,,\, 301 (ANOVA) مثال : جهت مقايسه اثرسه روش درمانى 111,11,1 روي ‎(Clotting time 342 2) ob;‏ پلاسما مطالعه اي انجام شده است. تعداد 12 بیمار انتخاب و بطور کاملا تصادفي به 3 گروه 4 نفره تقسیم شده و هر گروه تحت يکي از روشهاي درماني فوق قرار گرفته است . نتایج (بر حسب دقیقه ) روش درمانی ۴ 1۳ ۲ . 1 4 2 3 2 تن 6۵ تن 6 5 3 4 بصورت زير ثبت شده است. سس . له روش دای یکان حداقل دوتا از مبانگینها متفاوت از یکدیگر هستند : كر e 

صفحه 7:
Assumptions 1. The populations have normal distributions. 2. The populations have the same variance o * (or standard deviation o). 3 The samples are independent of each other. 4 The different samples are from populations that are categorized in only one way. 

صفحه 8:
Source of variance - Within group variance - Between group variance _ Total variance 

صفحه 9:
Total sum of squares Raw scores _ Deviation from grand mean Squared ‏سس تمه‎ 1 1-4=-3 9 2 2-4=-2 4 3 3-4=-1 1 2 2-4=-2 4 4 4-4=0 90 5 5-4 =1 1 ‏هه‎ ‎3 3-4=-1 1 Grand mean = 4 Sum=0 42 = Total Ss 4 4-4=0 5 5-4=1 

صفحه 10:
Between sum of squares Deviations of group means Squared deviation Number in group Smomegrancd Means, ۱ TIa Group 1: 2-4=-2 4 4 -Group- ‏سس‎ ‎4 Group 3: 6-4=2 4 Between sum of squares = ‏ره رمك رن ری جرج‎ - 32 10 

صفحه 11:
— Between group variation —— Within group variation 

صفحه 12:


صفحه 13:
‎false‏ را ‎ 

صفحه 14:


صفحه 15:
AN FIGURE 6-4. Effect of within-group variation on null hypothesis 

صفحه 16:


صفحه 17:
جدول ۸۳۲0۷۸ نتيجه | ۲ محاسیهشرر | میانگینمریعات | درچه آزادی | مجموح مربعات بر ‎df ss‏ 55 یت ۳ ‎WS oe Spann =32 4B, =16 6‏ [44- جر ‎K-1=2‏ ‎P<0.00‏ 11 ‎Betwee 2‏ ‎n‏ ‎groups %=5..,- S, 6, 2-1‏ 10= داخل ایا گروهیا ‎Within =‏ ‎groups Sivas =42‏ کل 

صفحه 18:
9 SPSS output 6000© ع" مات ‎Guo of‏ 2« موه ‎Gqvaes Dew‏ ۵ ۱ 06.0000 0 تما سبط ‎ODikia Groups 000 0‏ 9000 لش 

صفحه 19:
مقایسات چند گانه Multiple Comparisons 

صفحه 20:
مقایسات چند گانه آزمون حداقل احتلاف معنی دار Least Significant Difference (LSD) ار ال N- K=9 Koo05) =2.26 (11 اس 168= تس م22 ‎LISD=‏ eo 

صفحه 21:
+——— Mean Enor Bar SE{ GroupI_ GroupIl GroupIil Treatment Groups 2 © Mean +- 0 GB Clotting Neve 

صفحه 22:
ee Ory. es O00 oes 08s 0۳00 009 0 ع 6 0 76 ۵ 7 Dultple Oowpatsrar ews ‏و‎ للحم "6.00 "#00 500 200 00°.€ "8.00 Dependent Ourtable: Olvttery Mere Loo (1) Prentorrt Craps )( ‏و( مس‎ Crap 1 Gray Vl Gray WH Crap 1 Grow 1 Orap WH Crap WH Grow 1 ‏مس‎ ‎OS level.‏ سا ۵ موه هسلج با ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 23:
هه Orn O89 ood 069 ose ood ose Grd. 0 26 6 26 8 26 SPSS output Outils Cowpateow Depress Our: Clay Pre ‏سا‎ 0 Oren 0 ‏سس(‎ Crows _() Preart Grape | (tH) Grav 1 Grae M1 200 Ory #00" Orne 1 Grong 1 200 Cray 2.00 Crap MH Craw 1 00" Ory 1 28.00 *. Dke weun ‏موم ولا‎ of the (DS level. 

صفحه 24:
Homogeneous Subsets 0۳ Dubey WED Guboet Por alpha = OS a Crow 1 8.00 Crow Nl €.00 Crap M On: 099 ‎ure ophayed.‏ له ص ما ما موی و عم ‎۱ Size = 4: 00000. ‎ee ‎ ‎ ‎ 

صفحه 25:
* طرح کاملا تصادفی * طرح بلوکهای کامل تصادفی * طرح فاکتوریل * سایر طرحهای آزمایشی es طرحبهای آزمایشی ‎Experimental‏ Completely Randomized design Complete Randomized Block Design Factorial Design Nested Design, Latin Square Design, 

صفحه 26:
مقایسه های چند کانه ‎Multiple Comparisons‏ * اگر در تحلیل واریشس فرضیه صفر رد شود بليد بين همه زوج های میانگین ها آزمون هایی انجام شود تا معلوم گردد کدام یک با هم اختلاف معنا دار دارند. * با توجه به فرضیات تحلیل واریلنس یک طرفه اگر فرضیه «[ رد شود. حداقل دو میانگین با هم اختلاف معنا دار خواهند داشت. 

صفحه 27:
«aq مقایسه های چند گانه ‎Multiple Comparisons‏ رایج ترین روش های مقایسه های چند گانه عبارتند از: Bonferroni Procedure ‏روش بونفرونی‎ Tukey’s Procedure ‏روش توکی‎ Scheffe’s Procedure ‏روش شفه‎ Newman-Keuls Procedure yet ‏زوش‎ ‎Dunnett’s Procedure ‏روش دانت‎ نکته ۱ : روش دلنت هنگامی استفاده می شود که یکی از گروه هاء گروه شاهد ‎(Control)‏ بسک نكته ؟ : به كار كيرى اين روش هاء غالبا به نتلیج مشابهی ختم می شود. 

صفحه 28:
تحلیل واریانس دو طرفه ‎Two-Way ANOVA‏ * تحليل واريانس دو طرفه هم مانند تحلیل واریلنس یک طرفه است. با این تفاوت که به جای میانگین های یک عامل. میانگین های دو عامل با هم مقایسه می شود. * اگر با جای یک تحلیل واریانس دو طرفه از تحلیل واریانس یک طرفه استفاده شود. دو اشکال مطرح می شود: * ۱- خطای آزمون افزایش می یابد. * ؟- امكان آزمون اثر متقابل دو عامل ‎Interaction)‏ ‎(effect‏ وجود نخواهد داشت. 

صفحه 29:
تحلیل واریانس دو طرفه ‎Two-Way ANOVA‏ هثْال‌تبه منظور بررسی تاثیر عوامل پرکاری تیروئید و چاقی بر فعالیت انسولین» ۱۴ نفر از زنان با پرکاری تیروتید انتخاب شدند که ۶ نفر از آنان داراى اضافه وزن بوده اند. همجنين ‎١9‏ نفر أو زنأن #أوطلب با تيروئيد نرمال بعد از جور شدن (02120101126 از نظر سن و وزن به عنوان گروه شاهد در نظر گرفته شدند. پرسش های پژوهش عبارتند از: ۱- آیا پرکاری تیروئید تاثیری در فعالیت انسولین دارد؟ (ثر عامل اول) ۲- آیا چاقی تاثیری در فعالیت انسولین دارد؟ (اثر عامل دوم) ۱- آیا پرکاری تیروئید و چاقی تواما تاثيرى در فعالیت انسولین دارد؟ (ثر متقابل هردو عامل) 

صفحه 30:
* تعداد نمونه. میانگین و انحراف معیار حساسیت انسولین در ز مورد مطالعه All N=19 Mean=0.63 SD=0.25 N=14 Mean=0.34 SD=0.29 N=33 Mean=0.50 BALA OR تحلیل واریانس دو طرفه Two-Wa Hyperthyroid N=8 Mean=0.55 SD=0.26 N=6 Mean=0.16 SD=0.10 N=14 Mean=0.38 ‘de i ‏ای‎ Normal Thyroid N=11 Mean=0.68 SD=0.25 N=8 Mean=0.47 SD=0.32 N=19 Mean=0.59 on—Hn he 21 14+ Normal Weight Overweigh t All 

صفحه 31:
تحلیل واریانس دو طرفه ‎Two-Way ANOVA‏ ۳ 5 ۰ ‏جدول تحلیل واریانس دوطرفه‎ _- af ane F Ratio | P-value dfa=1 |MSA= F=5.88 |P=0.022 dfp=1 | 0.374 3 P=0.002 dfap= | MSB= F=11.1 | p=0.336 1 0.711 80 dfe=3 |MSAB=0.0 | F=0.95 2 61 8 MSE= 0.064 Sum of Squares SSA=0.37 4 SSB=0.71 1 SSAB=0. 06 SSE=1.84 5 Source of Variation A: Hyperthyroid B: Overweight A*B Ee Error Total 

صفحه 32:
Interaction Effect pls 51 Hyperthyr id Normal T Normal Weight - Normal 0 10 T Normal Weigh¢@ T Over Weight T Over Weight Insulin Sensitivi Insulin Sensitivity Hyperthyro| ifformal 1 T Over Weight Normal Weight ~» Hyperthyr id ~* Normal T Normal Weight| T Over Weight Insulin Sensitivi Insulin Sensitivity 

صفحه 33:
تحلیل واریانس « طرفه ‎N-Way ANOVA‏ * در حللت کلی که مقایسه میانگین های ‏ عامل در نظر باشد. تحلیل واربانس ‏ طرفه (۸۳۲0۵۲۷۸۵ ۵7 ۷۷-)خواهیم داشت. * حالت هایی که میانگین های دو یا چند عامل بررسی می شوند. طرح ‎(Factorial Design) lle‏ نامیده مى شود. 

صفحه 34:
تحلیل واریانس با اندازه گیری های مکرر ‎Repeated Measurements‏ ‎ANOVA‏ ‏اگر گروه های مورد بررسی مستقل از هم نباشند. از تحلیل واریلنس با اندازه گیری های مکرر استفاده می شود. این روش تعمیم آزمون ) زوجی است. دو نوع اندازه گیری های مکرر عبارتند از: ۱- هنگامی که روش درمان یا موضوع مورد پژوهش (یا به طور کلی ‎cub (Treatment‏ بوده اما هر فرد به طور مکرر چند بار مورد مشاهده قرار می گیرد. ۲- هنگامی که روش درمان یا موضوع مورد پژوهش متغیر است. یعنی هر فرد نمونه به چند 1۳681106101 پاسخ می دهد. 

صفحه 35:
تحلیل واربانس با اندازه گیری های مکرر ‎Repeated Measurements‏ * در اين نوع تحليل واريانس؛ دو نوع مقايسه يا آزمون انجام مى شود: ‎-١ *‏ مقايسه روند زمان: آيا تاثير درمان در طول زمان ثابت است؟ ‏* ۲- مقایسه بین گروه ها: آیا تاثیر زمان در گروه های مختلف یکسان است؟ ‏* در لین روش علاوه بر فرض نرمال بودن و یکسان بودن واریانس» فرض دیگری بايد برقرار باشد كه به لن فرض كرويت ‎Sphericity)‏ ‏* كنترل فرضيات لازم لين روش و محاسبه آماره هاى آزمون 1 و مقادير ‏م به وسيله نرم افزار انجام مى شود. ‎ 

صفحه 36:
تحلیل واربانس ناپارامتری ‎Nonparametric ANOVA‏ * در تحلیل واریانس اگر توزیع متغیر پاسخ نرمال نباشد. از تحلیل واریانس ناپارامتری استفاده می شود. * این نوع تحلیل واریائس آزمون کروسکال- والیس ‎Kruskal-)‏ ‎(Wallis‏ نام دارد. * تحلیل واریانس ناپارامتری در این حللت تعمیم آزمون ناپارامتری من ویتنی است. 

صفحه 37:
تحلیل واربانس نابارامتری ‎Nonparametric ANOVA‏ تحلیل واریانس ناپارامتری برای اندازه گیری های مکرر. آزمون فریدمن (۳۲1601۳0870) نام دارد. * در روش ها ی ناپارامتری به جای مقادیر. از رتبه های آنها استفاده شده و به جای میانگین هاء میانه ها مقایسه می شوند. تنظیم جدول تحلیل واریلئس ناپارامتری. محاسبه آماره های آزمون 7 و مقادیر و به کمک نم افزار انجام می شود. 

آناليز واريانس ANalysis Of VAriance (ANOVA) 1 Definition Analysis of Variance (ANOVA) a method of testing the equality of three or more population means by analyzing sample variations 2 آناليز واريانس ANalysis of VAriance )(ANOVA روش درماني مثال :جهت مقايسه اثرسه روش درماني III,II,Iروي زمان لخته شدن ))Clotting timeپالسما مطالعه اي انجام شده است .تعداد 12 بيمار انتخاب و بطور كامال تصادفي به 3گروه چهار نفره تقسيم شده و هر گروه تحت يكي از روشهاي درماني فوق قرار گرفته است .نتايج (بر حسب دقيقه ) بصورت زير ثبت شده است. 3 ‏III ‏II ‏I 5 8 5 6 4 5 3 4 1 2 3 2 •What will happen if we use multiple t test instead of ANOVA? • The rate of error increases exponentially by the number of tests conducted 4 The calculation of the rate of type I errors is :determined by 1-(1-α) c c = number of t-tests 5 آناليز واريانس ANalysis of VAriance )(ANOVA روش درماني مثال :جهت مقايسه اثرسه روش درماني III,II,I روي زمان لخته شدن ))Clotting time پالسما مطالعه اي انجام شده است .تعداد 12بيمار انتخاب و بطور كامال تصادفي به 3گروه 4نفره تقسيم شده و هر گروه تحت يكي از روشهاي درماني فوق قرار گرفته است .نتايج (بر حسب دقيقه ) بصورت زير ثبت شده است. ميانگين هر سه روش درماني يكسان است حداقل دوتا از ميانگينها متفاوت از يكديگر هستند 6 ‏III ‏II ‏I 5 8 5 6 4 5 3 4 1 2 3 2 Assumptions 1. The populations have normal distributions. 2. The populations have the same variance 2 (or standard deviation  ). 3. The samples are independent of each other. 4. The different samples are from populations that are categorized in only one way. 7 Source of variance Within group variance Between group variance Total variance 8 Total sum of squares Raw scores Deviation from grand mean Squared deviation 1 1-4=-3 9 2 2-4=-2 4 3 3-4=-1 2 2-4=-2 4 4-4=0 1 4 0 5 5-4 =1 3 3-4=-1 1 1 Total SS Grand mean = 4 4 Sum=0 4-4=0 42 = 0 5 1 5-4=1 9 Between sum of squares Deviations of group means Number in group From grand means Group 4 Group 4 Group 4 Squared deviation 1: 2-4=-2 4 2: 4-4=0 0 3: 6-4=2 4 Between sum of squares = (4)(4)+(4)(0)+(4)(4)=32 10 11 12 13 14 15 16 جدول ANOVA نتيجه ‏P<0.00 2 Fم0حاس0به ش00ده0 ‏MSB ‏F ‏MSw ميانگين مربعات درجه آزادي ‏SS ‏MS  ‏df ‏df ‏K-1=2 مجموع مربعات ‏SS منبع تغييراتS. ‏O.V بين گروهها ‏Betwee ‏n ‏groups ‏N-K=9 داخل گروهها ‏Within ‏groups 17 ‏N-1=11 كل SPSS output ANOVA Clotting Time Between Groups Within Groups Total Sum of Squares 32.000 10.000 42.000 df 2 9 11 Mean Square 16.000 1.111 F 14.400 Sig. .002 18 مقايسات چند گانه Multiple Comparisons 19 مقايسات چند گانه آزمون حداقل اختالف معني دار )Least Significant Difference (LSD 20 Error Bar Mean +- 1 SE Cl ot t i ng Time 8 7 SE 6 Mean 5 4 3 2 1 Group I Group II Group III Treatment Groups 21 Multiple Comparisons Dependent Variable: Clotting Time LSD (I) Treatment Groups Group I Group II Group III (J) Treatment Groups Group II Group III Group I Group III Group I Group II Mean Difference Std. (I-J) Error -2.00* .75 -4.00* .75 2.00* .75 -2.00* .75 4.00* .75 2.00* .75 Sig. .025 .000 .025 .025 .000 .025 *. The mean difference is significant at the .05 level. 22 SPSS output Multiple Comparisons Dependent Variable: Clotting Time Tukey HSD (I) Treatment Groups Group I Group II Group III (J) Treatment Groups Group II Group III Group I Group III Group I Group II Mean Difference (I-J) -2.00 -4.00* 2.00 -2.00 4.00* 2.00 Std. Error .75 .75 .75 .75 .75 .75 Sig. .059 .001 .059 .059 .001 .059 *. The mean difference is significant at the .05 level. 23 Homogeneous Subsets Clotting Time a Tukey HSD Treatment Groups Group I Group II Group III Sig. N 4 4 4 Subset for alpha = .05 1 2 2.00 4.00 4.00 6.00 .059 .059 Means for groups in homogeneous subsets are displayed. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 4.000. 24 Experimental طرحهای آزمايشی Designs • طرح کامال تصادفی • Completely Randomized design • طرح بلوکهای کامل تصادفی • Complete Randomized Block Design • طرح فاکتوريل • Factorial Design • ساير طرحهای آزمايشی • Nested Design, Latin Square Design, …… 25 مقایسه های چند گانه ‏Multiple Comparisons • اگر در تحلیل واریانس فرضیه صفر رد شود ،باید بین همه زوج های میانگین ها آزمون هایی انجام شود تا معلوم گردد کدام یک با هم اختالف معنا دار دارند. • با توجه به فرضیات تحلیل واریانس یک طرفه اگر فرضیه H0 رد شود ،حداق ل دو میانگین با هم اختالف معن ا دار خواهند داشت. 26 10 مقایسه های چند گانه ‏Multiple Comparisons • • • • • • • • 27 11 رایج ترین روش های مقایسه های چند گانه عبارتند از: ‏Bonferroni Procedure روش بونفرونی روش توکی Tukey’s Procedure روش شفه Scheffe’s Procedure ‏Newman-Keuls Procedure روش نیومن-کلز روش دانت Dunnett’s Procedure نکته : 1روش دانت هنگامی استفاده می شود که یکی از گروه ها ،گروه شاهد ( )Controlباشد. نکته : 2به کار گیری این روش ها ،غالبا به نتایج مشابهی ختم می شود. تحلیل واریانس دو طرفه ‏Two-Way ANOVA • تحلیل واریانس دو طرفه هم مانند تحلیل واریانس یک طرفه اس ت ،ب ا ای ن تفاوت ک ه ب ه جای میانگی ن های ی ک عامل، میانگین های دو عامل با هم مقایسه می شود. • اگر با جای یک تحلیل واریانس دو طرفه از تحلیل واریانس یک طرفه استفاده شود ،دو اشکال مطرح می شود: • -1خطای آزمون افزایش می یابد. • -2امکان آزمون اث ر متقاب ل دو عامل (Interaction )effectوجود نخواهد داشت. 28 12 تحلیل واریانس دو طرفه ‏Two-Way ANOVA • • • • 29 13 مثال:به منظور بررسی تاثیر عوامل پرکاری تیروئید و چاقی بر فعالیت انسولین 14 ،نفر از زنان با پرکاری تیروئید انتخاب شدند که 6نفر از آنان دارای اضاف ه وزن بوده اند .همچنی ن 19نف ر از زنان داوطل ب با تیروئید نرمال بعد از جور شدن ( )matchingاز نظر سن و وزن به عنوان گروه شاهد در نظر گرفته شدند .پرسش های پژوهش عبارتند از: -1آیا پرکاری تیروئید تاثیری در فعالیت انسولین دارد؟ (اثر عامل اول) -2آیا چاقی تاثیری در فعالیت انسولین دارد؟ (اثر عامل دوم) -1آیا پرکاری تیروئید و چاقی تواما تاثیری در فعالیت انسولین دارد؟ (اثر متقابل هردو عامل) تحلیل واریانس دو طرفه Two-Way ANOVA میانگی ن و انحراف معیار حس اسیت انسولین در زنان،• تعداد نمون ه مورد مطالعه 2↓ 1→ Normal Thyroid Hyperthyroid All Normal Weight N=11 Mean=0.68 SD=0.25 N=8 Mean=0.55 SD=0.26 N=19 Mean=0.63 SD=0.25 Overweigh t N=8 Mean=0.47 SD=0.32 N=6 Mean=0.16 SD=0.10 N=14 Mean=0.34 SD=0.29 N=19 Mean=0.59 N=14 Mean=0.38 N=33 Mean=0.50 All 30 14 تحلیل واریانس دو طرفه Two-Way ANOVA • جدول تحلیل واریانس دوطرفه Source of Variation Sum of Squares A: Hyperthyroid B: Overweight A*B E: Error Total SSA=0.37 4 SSB=0.71 1 SSAB=0. 06 SSE=1.84 5 df dfA=1 dfB=1 dfAB= 1 dfE=3 2 Mean Squares MSA= 0.374 MSB= 0.711 MSAB=0.0 61 MSE= 0.064 F Ratio P-value F=5.88 3 F=11.1 80 F=0.95 8 P=0.022 P=0.002 P=0.336 31 15 Insulin Sensitivity Over Weight Normal Weight Hyperthyro id Normal Over Weight Insulin Sensitivity Hyperthyro id Normal Normal Weight Hyperthyro id Normal Over Weight Insulin Sensitivity Insulin Sensitivity Interaction Effectاثر متقابل Normal Weight Normal Hyperthyro id Over Weight Normal Weight 32 16 تحلیل واریانس nطرفه ‏N-Way ANOVA • در حالت کلی که مقایسه میانگین های nعامل در نظر باشد، تحلی ل واریان س nطرف ه ()N-Way ANOVAخواهیم داشت. • حال ت هایی ک ه میانگی ن های دو یا چن د عام ل بررسی می شون د ،طرح عامل ی ( )Factorial Designنامیده می شود. 33 17 • • • • • تحلیل واریانس با اندازه گیری های مکرر ‏Repeated Measurements ‏ANOVA اگر گروه های مورد بررسی مستقل از هم نباشند ،از تحلیل واریانس با اندازه گیری های مکرر استفاده می شود. این روش تعمیم آزمون tزوجی است. دو نوع اندازه گیری های مکرر عبارتند از: -1هنگام ی ک ه روش درمان ی ا موضوع مورد پژوه ش (ی ا ب ه طور کلی )Treatmentثابت بوده اما هر فرد به طور مکرر چند بار مورد مشاهده قرار می گیرد. -2هنگامی که روش درمان یا موضوع مورد پژوهش متغیر است ،یعنی هر فرد نمونه به چند Treatmentپاسخ می دهد. 34 18 تحلیل واریانس با اندازه گیری های مکرر ‏Repeated Measurements ‏ANOVA • در این نوع تحلیل واریانس ،دو نوع مقایسه یا آزمون انجام می شود: • -1مقایسه روند زمان :آیا تاثیر درمان در طول زمان ثابت است؟ • -2مقایسه بین گروه ها :آیا تاثیر زمان در گروه های مختلف یکسان است؟ • در این روش عالوه بر فرض نرمال بودن و یکسان بودن واریانس ،فرض دیگری باید برقرار باشد که به آن فرض کرویت ()Sphericity گفته می شود. • کنترل فرضیات الزم این روش و محاسبه آماره های آزمون Fو مقادیر pبه وسیله نرم افزار انجام می شود. 35 19 تحلیل واریانس ناپارامتری ‏Nonparametric ANOVA • در تحلیل واریانس اگر توزیع متغیر پاسخ نرمال نباشد ،از تحلیل واریانس ناپارامتری استفاده می شود. • این نوع تحلیل واریانس آزمون کروسکال -والیس (Kruskal- )Wallisنام دارد. • تحلیل واریانس ناپارامتری در این حالت تعمیم آزمون ناپارامتری من ویتنی است. 36 20 تحلیل واریانس ناپارامتری ‏Nonparametric ANOVA • تحلی ل واریانس ناپارامتری برای اندازه گیری های مکرر ،آزمون فریدمن ( )Friedmanنام دارد. • در روش ها ی ناپارامتری به جای مقادیر ،از رتبه های آنها استفاده شده و به جای میانگین ها ،میانه ها مقایسه می شوند. • تنظیم جدول تحلیل واریانس ناپارامتری ،محاسبه آماره های آزمون Fو مقادیر pبه کمک نرم افزار انجام می شود. 37 21