تئوری آناليز مودال سيستم يک درجه آزادی

صفحه 1:
ننوري آنالیز مودال با یک درحه ‎EY By |‏ سعید ضیایی راد 

صفحه 2:
مقدذمه * يکي از کارآمدترین رويكردهاي آنالیز مودال, استعفاده از تانع:پاننتخ فرکانشي قي باشه. دز این بخش, تابع پاسخ فركانسي یک سیستم یک درجه آزادي تعریف شده و روش هاي مختلف ارائه اين تابع و خواص آن مورد بررسي قرار خواهد گرفت. اين خواص, اصول آنالیز مودال تجربي را تشکیل مي دهند. انالیز مودال را مي توان بر اساس پاسخ ضربه در حوزه زماني و يا پاسخ سیستم به ورودي هاي محيطي نیز انجام داد. 

صفحه 3:
دربحه ازادگ برخي سيستم هاي مكانيكي ويا سازه اي را مي توان بصورت یک سیستم یک درجه آزادي ايده آل سازي نمود. تئوري سیستم یک درجه آزادي مبناي آز لیز سیستم هايي با بیش از یک درجه آزادي مي باشد. , سیستم یک درجه آزادي شکل زير را که متشکل از یک جرم, فنر و میراگر ویسکوز یا سازه اي (پسماند) مي باشد, بررسي خواهیم کرد {ro ۱ k ۳ (or hy 77777 TTT 

صفحه 4:
تابع پاسخ فركانسي سیستم یک دربحه ازادگ * براي نيروي هماهنگ , پاسخ سیستم, تابع هماهنگ ديگري بصورت مي باشد که دامنه پاسخ و عددي ‎Xo) ee‏ ویسکوز ‎Flo) k- w?m+ joc‏ ‎Xo) 1 fae‏ ‎‘Fo) k- om+ jh‏ 

صفحه 5:
تابع پاسخ فركانسي سیستم یک درحه آزادي * اين نسبت, که اغلب بصورت/نمایش داده مي شود, به تابع پاسخ فرکانسي با ۳۳۳ سیستم موسوم است. با وجود آنکه ۴8۳ بصورت نسبت پاسخ به نیرو تعریف شده است, از هر دو مقدار نیرو و پاسخ مستقل مي باشد. اگر مقدار ميرايي ضفر بأشد: تابع مختلط ‎ay FRE‏ تابعي حقيقي تبدیل خواهد شد. ۰ ۴8۴ تابع اصلی‌مورد استفاده در آناز مودللمي باشد. با وجود لنکه ۲8۳ از نظر تئوریتنها سط سیستم تعیین‌ميشود., اما در عمل‌دقت توا اندازه گيري‌داده هاي۲۳۴, در صحنتایج ‎SLUT‏ ‏مودا لت اثیر اساسیدارد. 

صفحه 6:
تابع پاسخ فركانسي سیستم یک دربحه ازادگ * ۲۳ تعریفشده میت ولنند شکل‌هایدیگرین یز داشته باشند. بعنوان‌مثال‌در حا لتمیرلیی‌ویسکوز ‎Ym‏ دوه -- کی-2 (ماه 2 عر مدر + “نه - ونه ‎pe‏ امه وه و0 * در حالقن که:هدل میزاین سازه اي جاکمبانفند: ‎co) a alo) = Ym‏ 2.72472 171 + 00 - وله 

صفحه 7:
رسپتانس. موبیلیتی, اینرتانس * ۴8۴ -عریفشده. جابجاییرا ب عنوانپ اسخ در ن ظر می‌گیرد. لین۳٩۴‏ به رسپتانس‌موسوم است‌پ اسخ ایتعاشاترا میتولن سرعنبا شتابفیز در نظر گرفت * موبیلیتی ‎Yow) = Xo) Jo ‘o) = Xo) _ Jo‏ ‎Flo) kom joc Ho) k- om jh‏ * اینرتانس (اکسلرانس) ‎Aw) _ Xo) -_ wo Ao) _ Xo) ۳ o‏ Flow) k- w2m+ joc 5 Ho) k- "m+ ji 

صفحه 8:
رسپتانس. موبیلیتی. اینرتانس * روشن است که هر سه نوع ‎FRE‏ قابل تبدیل به یکدیگرند. رابطه بین دامنه ها به شکل زیر است: |Ao)| =o|Yo) =o" |alo)) 21 ولو و ماع )940 

صفحه 9:
سختی دینامیکی, امپدانس و بحرم ظاهری * معکوس این ۴8۳ ها در سیستم یک درجه آزادي از نظر فيزيكي سودمند بوده و گاهي اوقات در آنالیز مودال بکار گرفته مي شود. این معکوس ها عبارتند از: 1 ۳ force ala) displacemé ۳ ‎force‏ _ 1 امپدانس مكانيكي > ‎yar"‏ ‏جرم ظاهرى | velocit 1 force Aw) accelerath 

صفحه 10:
نمایش گرافيكي تابع پاسخ نماش گرافيكي ۴8۴ نقشي اساسي در آنالیز مودال دارد. نمایش هاي گرافيکي متفاوت بیانگر اطلاعات متفاوت موجود در یک ۴8۳ مي باشند. از انجا که آنالیز مودال تجربي بیشتر بر اساس برازش منحني روي داده ‎FRE sl‏ مي باشد. درک درست داده هاي ۴8۴ در قالب هاي گرافيکي ضروري مي باشد. در ادامه خواهیم دید که حتي براي ۴۴8۴ مربوط به یک سیستم یک درجه آزادي که از نظر تحليلي ساده و بديهي به نظر مي رسد بررسي نمودار هاي مختلف ۳ اطلاعات و دید بهتري از سیستم را در دسترس ما قرار مي دهد. 

صفحه 11:
نمایش گرافيكي تابع پاسخ * براي بررسي نمودارهاي گرافيكي ابتدا از ۲8۴ رسپتانس استفاده مي نماییم. با توجه به آنکه رسپتانس تابعي مختلط از فرکانس مي باشد, نمي توان آن را تنها با یک نمودار دو بعدي به تنهايي, بطور کامل نمایش داد. یک نمودار سه بعدي رسپتانس مربوط به یک سیستم نوعي یک درجه آزادي در شکل نشان داده شده است. imag Real 0 

صفحه 12:
۰ 3 aap 8 a نمایش گرافيكي تابع پاسخ فركانسي * چنین نموداري کامل است, زیرا تمام اطلاعات ۴8۴ را نمایش مي دهد. با این حال, بکاربردن اين نمودار بخصوص در آنالیز مودال مشکل است زیرا مشخصاتي مانند رزونانس باید بصورت چشمي قابل رویت ‎gill +‏ ۴ از روي نمودارهاي دوبعدي مختلف, نیاز به نمایش هاي گرافيکي متفاوتی از آن دارد. نمودارهايي كه معمولاً در آنالیز مودال مورد استفاده قرار مي كيرندء در ادامه بررسي خواهند شد. ‏* باشند. 

صفحه 13:
نمودار دامنه-فاز و نمودار لگاريتمي ۰ نمودار دامنه-فاز از دو بخش دامنه ۲۴۳ بر حسب فرکانس و همچنین فاز بر حسب فرکانس, تشکیل شده است. نمودار فاز نسبت به نمودار دامنه تنوع چنداني ندارد زیرا پردازش هاي عددي که روي دامنه انجام مي شود نمي تواند بطور كامل روي فاز نيز اعمال 22 بنابراین, تمرکز اصلي بر روي نمودار دامنه ۴8۴ خواهد بود. اين نمودار را مي توان با مقیاس خطي براي هر دو محور فرکانس و دامنه رسم کرد. 

صفحه 14:
نمودار دامنه-فاز و نمودار لگاریتمی * ۴8۴ رسپنانس‌یک‌سیستم یکدرجه آزادي ۰ ۴8۴ موببلیتیکسیستم یکدرجه آزادي ۰ ۴8۴ لکسلرا یستم ی کدرجه آزادي Receptance Frequency ‏اهر‎ پر 7و۳ ‎Accelerance‏ (۳۳۳ Amplitude منود ناعم 

صفحه 15:
نمودار دامنه-فاز و نمودار لگاريتمي * خصوصیت منحصر به فرد این نمودارها آن است که رزونانس را به خوبي نمایش مي دهند. * اما به همین دلیل, وضوح اطلاعات سایر بخش هاي نمودار کم مي شود زیرا قله بزرگ رزونانس باعث کوچک جلوه دادن سایر بخش هاي منحني مي شود. * براي رفع اين مشكل, معمولاً ‎adil at‏ مودال داده هاي 282 را در مقياس هاي لكاريتمي رسم مي كنند. اين كار به دو روش أنجام مي شود: *(1) تنها محور_دامنه داراي مقياس لكاريتمي باشد (نمودار نيمه لكاريتمي 2۴) هر دو محور فرکانس و دامنه داراي مقیاس لگاريتمي باشند(نمودار لگاريتمي). 

صفحه 16:
نمودار دامنه-فاز و نمودار لگاريتمي * در هر دو حالت دامنه ‎۲٩۳‏ به مقیاس دسي بل آن, که بصورت زیر تعریف مي شود, تبدیل مي گردد: ۱ ۱ _ elo FRE, =20og,eomagniinr alo) gg = 20090 Tater newto, Receptance, mobility and inertance FRF of an SDOF system 3 Frequency (10g Seale) 

صفحه 17:
نمودار هاي قسمت حقيقي و موهومي تابع پاسخ فركانسي ۶ سودانهاي حقیقی وموهومی ار دوبخش بشگیل ‎ead‏ آند: قسمت حقيقي ۴۳۴ بر حسب فرکانس و قسمت موهومي ۴۲۴ پرحسب فرکانس. با استفاده از مدل ميرايي سازه اي, بخش هاي حقيقي و موهومي ۴8۳ عبارتند از: - ۳۹ +P * بطور مشابه, قسمت هاي موهومي و حقيقي ‎FRE‏ در حالت ميرايي ویسکوز بصورت زیر بدست مي آیند: سكن مهل ke 2 2 +P Infalo)) = Rdalo)) = Rda(o)) =o 104) ‏عمد‎ ‎“(k- onl +(od?‏ )+ لورت عل ‎ 

صفحه 18:
نمودار هاي قسمت حقيقي و موهومي تابع پاسخ فركانسي 

صفحه 19:
نمودار نایکوئیست - استهلاک سازه اک * نمودار نایکوئیست قسمت حقيقي ۲۴۴ را بر حسب قسمت موهومي آن, با در نظر گرفتن فرکانس بعنوان یک متفیر غیرصریح, در صفحه مختلط نمایش مي دهد. مزیت استفاده از نمودار نایکوئیست, از خاصیت دایره اي بودن ۴8۴ در صفحه تلط فشي يمي لودب م ل تا 1 + ۳ * با وجود آنکه هر سه شکل اب دایره به نظر مي رسند, ۱ تنها ۴8۴ رسپتانس دایره اي مت تن جنر واقعي مي باشد. 

صفحه 20:
نمودار نایکوئیست - استهلاک ویسکوز * براي یک سیستم یک درجه آزادي با ميرايي ویسکوز نیز مي توانیم نمودار نایکوئیست را براي ۴8۴ هاي رسپتانس, موبيليتي و اکسلرانس, رسم نماییم. تمام اين نمودارها از مبداً شروع شده و به آن ختم مي شوند. ‎expan on SF en Ft ten‏ 3 i ‏با وجود آنکه تمام نمودارها‎ * 0 ۱ 5 ‏دایره به نظر مي رسند, تنها‎ ۲۳ ‏موييليتي دایره اي واقعي تم‎ ۴ ‏باشد.‎ ‎۱ ‏مي باشد.‎ ‏و‎ 

صفحه 21:
نمودار سختي ديناميکي * سختي ديناميکي, معکوس ۴۳ رسپتانس مي باشد. سختي ديناميكي از نظر تحليلي داراي سادگي هاي قابل توجهي در مقایسه با رسپتانس مي باشد. با استفاده از تعریف ۴8۴ معکوس ۴۳۴ بصورت زیر خواهد بود: 1 —— =k- w?m+ jh alo) 

صفحه 22:
خاصیت مجانبي نمودارهاي لکاريتمي * همانطور که قبلاً دیدیم, نمودار خطي ۴8۴ بیشتر روي رزونانس تکیه دارد و نمي تواند تصویر روشني از نقاط شروع و پایان نمودار ۳8۳, که تاثیر خواص سختي و جرم سیستم را نشان مي دهند, آرائه نماید. نمودار لگاريتمي ۳۹۴ قادر است اين نارسايي را جبران کند. بعنوان مثال, با استفاده از ۴۹۴ رسپتانس, مي توان نوشت: 1 5 ‏ريم‎ alo) <- 20091 dB Receplance FRF of an SDoF system alo) ودک > 1 8 2 Frequency (log) ‘Amplitude (<8) 

صفحه 23:
خاصیت مجانبي نمودارهاي * بطور مشابه, خط جرم را نیز مي توان از نمودار لگاريتمي ۴8۴ رسپتانس بدست آورد. در فرکانس هاي بالا مي توان نوشت: ‎Ao oo, St AO) ..5, ~- 20ogm 40ogo dB‏ * با توجه به خطوط سختي و جرم و همچنین نقطه تقاطع آنهاء مي توان مقادیر جرم و سختي سیستم یک درجه آزادي را تخمین زد. این نتیجه را از نمودار خطي ۳ نمي توان بدست آورد. همچنین مشاهده مي شود که مقدار ميرايي تاثیر زيادي روي خطوط جرم و سختي ندارد زیرا ميرايي در فواصل کم از نقطه رزونانس, سیستم را تحت تاثیر قرار مي دهد. 

صفحه 24:
خاصیت دایره اي نمودار نایگویست * از دیگر خواص مفید ۴۴ سیستم هاي یک درجه آزادي دایره اي بودن تمودار نایکوئیست آنها مي باشد. قبلاً دیدیم که تمودارهاي نایکوئیست هر سه فرم ۴۸۴ دایره اي به نظر مي رسند. در اينجاء از نظر تحليلي اين مساله بررسي مي شود. براي یک سیستم یک درجه آزادي با ميرايي ویسکوز, ۴8۳ موبيليتي بصورت زير مي 00 Yo) = باشد: - mo? + joc Rd io) ore ae mm?) =p ‏دم‎ Pe a سس 

صفحه 25:
خاصیت دایره اي نمودار نایکونیست ۶ براي‌نک سسعم نک درجه آزادی‌ننا مینایی:جناره ای خاصیت دایره اي در مورد نمودار نایکوئیست ۴5۴ رسپتانس برقرار است. قسمت هاي حقيقي و موهومي ۳8۳۴ رسپتانس بصورت زیر حا مي شوند: ‎(k- mv?)‏ ب ۰7 = ‎Rdalw))‏ ‎ml +P Infalo)) (em aR‏ سر 

صفحه 26:
خاصیت دایره اي نمودار نایکوئیست * دایره اي بودن ۲۴۳ رسپتانس به یک روش کلاسیک آنالیز مودال موسوم به روش برازش دایره, منتهي مي شود. این روش از نظر عددي روشي ساده مي باشد. همچنین امکان ميانيابي نقاط پس از برازش دایره به منظور افزایش دقت فرکانس طبيعي و ساير پارامترها وجود دارد.