تئوری احتمال و کاربرد آن

تئوری احتمال و کاربرد آن

اسلاید 1: تئوري احتمال و كاربردآنhttp://www.Beiki.info

اسلاید 2: 2جلسه يازدهممقدمهنظريه نمونه بردارييافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيروش توابع توزيع تجمعيروش تبديلروش تبديل براي توابعي از متغيرهاي تصادفي يك بعدي گسستهروش تبديل براي توابعي از متغيرهاي تصادفي دو بعدي گسسته

اسلاید 3: 3جلسه يازدهممقدمههدف از يك مطالعه آماري قضاوت يا تصميم گيري در مورد جمعيتها از روي نمونه هاي تصادفي گرفته شده از آن جمعيت هاست.همه كميتهايي كه براي برآورد پارامترهاي يك جمعيت از طريق نمونه گيري تصادفي ناشي مي شود توابعي از n متغير تصادفي موجود در نمونه هاي تصادفي است.مثال: براي برآورد ميانگين يك جمعيت يك نمونه تصادفي شامل n مشاهده x1، x2، ... و xn از جمعيت گرفته مي شود و از ميانگين نمونه به صورتبراي برآورد مقدار عددي ميانگين جمعيت استفاده مي شود.حال اين برآورد چقدر مناسب است بستگي به رفتار متغيرهاي تصادفي X1، X2، ... و Xn و اثر آن بر متغير تصادفي دارد.يكي از معيارهاي اندازه گيري ميزان مناسب بودن اين برآورد خطاي برآورد است. چون X1، X2، ... و Xn متغير تصادفي هستند مقاديرشان از نمونه اي به نمونه ديگر متفاوت است و يك متغير تصادفي است.حال اگر بتوان توزيع احتمال براورد كننده را به دست آورد مي توان احتمال اينكه خطاي برآورد از مقداري خاص كمتر باشد قابل محاسبه است.

اسلاید 4: 4جلسه يازدهمنظريه نمونه بردارييك آزمايش آماري شامل مشاهدات مربوط به نمونه هاي انتخاب شده از مجموعه اي بزرگتر به نام جمعيت يا جامعه است.به دو روش نمونه برداري بدون جايگذاري و با جايگذاري مي توان عمل كرد.به روشهاي نمونه برداري طراحي آزمايشها گويند كه هر يك ويژگي هاي خاص خود را دارند ولي ما فقط به نمونه برداري تصادفي ساده اكتفا مي كنيم.تعريف: اگر N و n به ترتيب تعداد عناصر جمعيت و نمونه را نشان دهند. اگر نمونه برداري به طريقي انجام پذيرد كه هر يك از نمونه ممكن بخت يكساني براي انتخاب شدن داشته باشيم آنگاه گفته مي شود كه نمونه برداري به صورت تصادفي انجام شده و در نتيجه يك نمونه تصادفي به اندازه n است.براي به دست آوردن نمونه تصادفي مطلوب از جداول اعداد تصادفي استفاده مي شود كه شامل ترتيبي از ارقام بين 0 تا 9 تكراري هستند به نحوي كه در درازمدت همه ارقام تقريبا به تعداد يكساني ديده مي شوند.اگر اندازه نمونه در مقايسه با جمعيت كوچك باشد آزمايشها تقريبا مستقل از هم خواهند بود.توزيع احتمال توام X1، X2، ... و Xn كه نمونه هايي از يك جمعيت است عبارت است از منظور از جمله ” X1، X2، ... و Xn يك نمونه تصادفي از f(x) است“ استقلال متغيرهاي تصادفي داراي توزيع f(x) است.

اسلاید 5: 5جلسه يازدهميافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيفرض كنيد متغير تصادفي Y تابعي از متغيرهاي تصادفي X1، X2، ... و Xn باشد در اين صورت با معلوم بودن تابع توزيع توام f(x1,x2,…,xn) مي توان تابع توزيع Y را به دست آورد. مثلا اگر n=1 و X1 توزيع نرمال با ميانگين و انحراف استاندارد داشته باشد آنگاه متغير تصادفي توزيع نرمال استاندارد خواهد داشت. يا اگر متغيرهاي تصادفي X1، X2، ... و Xn يك نمونه تصادفي از توزيع برنولي با پارامتر p باشد آنگاه توزيع دوجمله اي با پارامتر n و p خواهد داشت.تعريف: تابعي از يك يا چند متغير تصادفي كه به هيچ يك از پارامترهاي ناشناخته بستگي ندارد يك آماره ناميده مي شود.آماره نيست.آماره است.آماره نبايد به پارامترهاي ناشناخته بستگي داشته باشد ولي تابع توزيع احتمال آن مي تواند به پارامترهاي ناشناخته بستگي داشته باشد.

اسلاید 6: 6جلسه يازدهميافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيروش توابع توزيع تجمعيناحيه U=u را در فضاي (x1,x2,…,xn) مشخص كنيد.ناحيه U<=u را به دست آوريد.FU(u)=P(U<=u) را از طريق يافتن انتگرال (x1,x2,…,xn) f بر روي ناحيه U<=u پيدا كنيدتابع چگالي احتمال U را از طريق يافتن مشتق تابع توزيع تجمعي U به دست آوريد.مثال 2: متغير تصادفي X با تابع توزيع تجمعي و تابع چگالي FX(x) و fX(x) مفروض است چگالي متغير تصادفي Y=x2 را ارئه نماييد.پاسخ:

اسلاید 7: 7جلسه يازدهميافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيروش توابع توزيع تجمعيمثال 6: اگر تابع چگالي توام متغيرهاي تصادفي X1، X2 به صورت زير باشد تابع چگالي احتمال متغير تصادفي Y=X1-X2 را به دست آوريد.پاسخ:

اسلاید 8: 8جلسه يازدهميافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيروش توابع توزيع تجمعيمثال 8: فرض كنيد X1، X2 و X3 يك نمونه تصادفي از توزيع نرمال استاندارد باشد. اگر متغير تصادفي Y آماره اي باشد كه به صورت مجموع مربعهاي مقادير مشاهده شده اين نمونه تعريف شده است، چگالي احتمال Y را به دست آوريد.پاسخ:

اسلاید 9: 9جلسه يازدهميافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيروش تبديلروش تبديل براي توابعي از متغيرهاي تصادفي يك بعدي گسستهقضيه: اگر X يك متغير تصادفي گسسته با برد RX و تابع توزيع جرمي احتمال f(x) باشد. و y=U(x) تبديلي يك به يك از RX به RY باشد. آنگاه fY(y)=fX(W(y)) به نحوي كه X=W(y) معكوس تابع y=U(x) است.اثبات: مثال 11: متغير تصادفي X توزيع دو جمله اي با پارامترهاي n=2 و p=2/3 دارد توزيع جرمي احتمال متغير تصادفي Y=X2 را به دست اوريد.پاسخ:

اسلاید 10: 10جلسه يازدهميافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيروش تبديلروش تبديل براي توابعي از متغيرهاي تصادفي دو بعدي گسستهقضيه: فرض كنيد تابع توزيع جرمي احتمال توام متغيرهاي تصادفي X1 و X2 با برد باشد. به علاوه توابع y1=U1(x1,x2)و y2=U2(x1,x2) تبديلي يك به يك بين و است به طوري كه در اين صورت تابع توزيع جرمي احتمال توام متغيرهاي تصادفي جديد يعني y1=U1(x1,x2)و y2=U2(x1,x2) عبارت است ازكه در آن x1=W1(y1,y2) و x2=W2(y1,y2) توابع معكوس y1=U1(x1,x2) و y2=U2(x1,x2) هستند. يعني x1 و x2 جوابهاي يگانه دستگاه دو معادله دو مجهولي y1=U1(x1,x2) و y2=U2(x1,x2) هستند.

اسلاید 11: 11جلسه يازدهميافتن توزيع احتمال توابع متغيرهاي تصادفيروش تبديلروش تبديل براي توابعي از متغيرهاي تصادفي دو بعدي گسستهمثال 15: متغيرهاي تصادفي مستقل X1 و X2 توزيع پواسون با پارامتر هاي و دارند در اين صورت تابع توزيع جرمي احتمال متغير تصادفي Y1=X1+X2 را به دست آوريد.پاسخ: