تئوری احتمال و كاربرد آن

صفحه 1:
مور ‎Sei‏ وکار ردان http://www.Beiki.info 

صفحه 2:
Andie” " توزیع یکنواخت گسسته ‎٩‏ خواص توزیع یکنواخت گسسته ۲ توزیع برنولي ‎٩‏ خواص توزیع برنولي توزیع دوجمله اي ‎٩‏ خواص توزیع دوجمله اي ۲ توزیع چند جمله اي ‎٩‏ خواص توزیع چند جمله اي ۱ e 

صفحه 3:
مقدمه © رفتار يك متغير تصادفي با تابع توزیع احتمال آن توضیح داده مي شود. 0 تابع توزیع احتمال را مي توان در قالب شکل, هیسنوگرام. جدول یا يك فرمول رياضي بیان نمود. ۱ 0 گاهي نتایج حاصل از آزمايشهاي آماري که داراي فضاي نمونه گسسته هستند داراي رفتار عمومي از نوع خاصي هستند * مثل: رفتار عمومي تمامي آزمايشهايي که تنها يك نتیجه موفقیت یا شکست دارند. © در نتيجه اين متغيرها داراي توزيع جرمي احتمال يكساني هستند که با آن مي توان رفتار متفیر تصادفي را توضيح ذاد. ۵ با در دست داشتن توزیع هاي جرمي احتمال مهم که مدلهاي احتمال كسسته ناميده مي شوند مي توان رفتار بسياري ار متفيرهاي تصادفي گسسته را توضیح داد. ۱ 0 در این فصل در مورد مدلهاي احتمالي که بیشترین کاربرد را در علوم مهندسي. مدیریت و تحقیق در عملیات دارند بحث مي گردد هتسخ 

صفحه 4:
fiw ‎Aa get‏ رن رنه توزیع یکنواخت گسسته ‏© تعریف: اگر متغیر تصادفی 26 مقادیر ولا »,26 .. و با را با احتمال یکسان اختیار کند. آنگاه تنم یکنواخت گسسته به صورت زیر خواهد بود. ‏.۰ رو ری دورد 2 72 ‏۵ به 0] پارامتر توزیع گویند. ‏0 مثال 1: اگر تاس سالمی یکبار پرتاب شود هر يك از عناصر فضاي نمونه [5<21,2,3,4,5,6 با احتمال یکسان 6/1 می تواند " نتیجه شود.در این صورت اگر متغیر تصادفی گسسته را به تا تاس عریف کلیم آنگاه از توزيع ‏ت زیر برخوردار است ‎£(x6) aie 123456 ‏واكاك 13). دمر ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 5:
fiw توزیع یکتواخت گنسته 0خوامن توزیم یکتواعیت کته #قضیه: میانگین و واریانس توزیع یکنواخت گسسته با پارامتر ۲ عبارت است از ‎aX, 2 _‏ عن کی شیر کت ua ‏#اثبات:‎ w =AUX) =3%, x fly) ‏تشه زور‎ o? =A(X- w)*]=E%(%- w)? fx) ‏اسف ۳( -ود) یاو‎ ۱ 

صفحه 6:
ed 7 ‏عام م سج‎ wo ‏توزیع یکنواخت گسسته‎ ‏خواص توزیع یکنواخت گسسته‎ 0 *اگر برد مقادیر متغیر تصادفی ‏ که دا داي توزیع یکنواخت گسسته است شامل مقادیر صحیح ,...,2,۵+1 باشد آنگاه داريم 1-“للجوج) ب 2ى, وب ‎w= 259585‏ :ار 2 اثبات: ‎ip 1 pbarvady—ab‏ = بات: ‎a‏ تا اب ‎u =) ra‏ ‎a=?‏ ؟قضیه: تابع مولد گشتاور توزیع یکنواخت گسسته به صورت زیر است: ‎Mt) = Bad ga‏ nw. Deiki.icPo 

صفحه 7:
» aunt ‏توزیع برنولي‎ 0 گاهی يك آزمایش آماري از دنباله اي از آزميشهاي کوچکتر تشکیل مي شود که هر يك می تواند فقط دو نتیجه به دو صورت موفقیت(5) و شکست(۳) تلقي شود 0 مثلا در يك نمونه 10 تایی از قطعات هر يك از آنها یا سالم است یا خراب اگر سالم بودن را موفقیت و خراب بودن را شکست تلقي کنیم آنگاه آزمایش ما به 10آزمایش کوچکتر تقسیم مي شود که ققط مي تواند دو نتیجه داشته باشد. ‎٩‏ اگر متفیر تصادفي ۸6 را براي يك برنولي طوري تعریف کنیم که به ازاي نتیجه موفقیت مقدار يك و به ازاي نتیجه شکست مقدار صفر بگیرد توزیع احتمال جرمي 6 عبارت است از ‎£(0)=P(X=0)=P(F)=1-p ‎f(1)=P(X=1)=P(S)=p ‎f(x) =p'\(l- p"*;x=01,0< p< ‏هتسخ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 8:
ct ‏توزیع برنولي‎ ‎٩‏ خواص توزیع برنولي *قضیه 1: میانگین و واریانس توزیع برنولي با پارامتر ۵ به ترتیب 0 و 0)1-01 است. #اثبات: 2 1۵+( -201 2۳20 ۸ 5 همع گر )0۴+ 210۳0 ‎o* =E{X’)- (AYP‏ *قضیه 2: تابع مولد گشتاور يك توزیع برنولي با پارامتر ۵ ‎M(t)=pet+(1-p) 3) Cul ole‏ *اثبات: ‎Mi) =H) =X f(y = p+ e p= pé+(1- p) ‎ ‎ ‏مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما ‎ 

صفحه 9:
توزیع برنولي ‎٩‏ خواص توزیع برنولي توزيع برنولي در حیطه وسيعي مانند کنترل کیفیت. پزشکي. پايايي قطعات و و .. به کار مي رود. * مثلا يك تلکوپ فضایی یا يك نیروگاه اتمي را در نظر بگیرید که از ۲ قطعه تشکیل شده است که مي تون سالم با خراب با . حالت قطعه آام مي تواند به وسيله يك متفیر تصادفي برنولي ,لا نمایش داده شود که 16-1 نشاندهنده سالم بودن قطعه أام يي قطعه ام ((۴ به صورت ۴۱ تعریف مي شود. حالت کل سیستم نیز مي تواند به وسیله متغیر تصادفي برنولي 6 که 21 در حال کار بودن سیستم و 420 کار نکردن سیستم را نشان می دهد نمایش داده شود. در اين حالت پايايي سیستم به صورت ‎8-١ =P(X=1)=E(X)‏ تعریف مي گردد. * حالت کل سيستم 00 تابع سيستم نام دارد و خود تابعي از حالتهاي قطعات سیستم * سیستم هاي متشکل از 9 قطعه سه نوعند: - سيستمهاي سري: موقعي کار مي کنند که تمام قطعات آن کار کند - سيستمهاي موازي: موقعي کار مي کنند که حداقل يكي از قطعات آن کار ‎AS‏ ‏- سيستمهاي - از ‎oN‏ موقمي کار مي کند که حداقل >! قطعه از ‎١‏ قطعه کار کند. هتسخ 

صفحه 10:
توزیع برنولي ‎٩‏ خواص توزیع برنولي * تابع سیستم سيستمهاي سري عبارت است از (,6ا)...(۱62)(یلا)( ؟ تابع سیستم سيستمهاي موازي عبارت است از ‎X=1-(1-X,)(1-X,)...(1-X,)‏ ‏* تابع سيستمهاي ‎ike‏ - مانند هواپيمايي که اگر دست کم دو موتور از سه موتورش سالم باشد کار مي کند عبارت است از (و(1۳) یلار( + (ی1-6) کی( + (یل-1) رل 6(+ )ارا * سیستمها باید طوري طراحي شوند که خراب شدن يكي از قطعات مستقل از خرابي دیگر قطعات باشد يعني خرابي قطعات باید مستقل از هم لحاظ شود. * با فرض مستقل بودن متفيرهاي تصادفي پايايي به شکل زیر خواهد بود: ايي سیستم سري عبارت است از 8:85 :۳< (,5)۱6...(,() 2( )۰۰,1 (,6)( ]820-2 - پايابي سیستم موازي عبارت است از ‎R=E(X)=E[1-(1-X,)(1-X,)...(1-X,)]=1-E(1-X,)E(1-X,)...E(1-X,)‏ ‎l=‏ اح ره)نيم )سدم 1 - بايابي براي يك سيستم -2 از -3 به صورت زير است: ليم ١-1)دمرم+‏ ليم |-1)وميم + لوم ‎R=E(X): 1P2Pat PiP2(1-‏ تاه( سس 

صفحه 11:
2 ا ‎a‏ ۳ توزیع برنولي ‎٩‏ خواص توزیع برنولي *مثال 7: با فرض اینکه هر يك از قطعات متشکله يك سیستم موازي از يك توزیع برنولي با پارامتر 0 برخوردارند این سیستم چند قطعه داشته باشد تاپايايي آن دست كم برابر 0.99 باشد؟ 1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‏- ب: اكر اين سيستم 3 قطعه داشته باشد پارامتر توزیع برنولي را ‏طوري به دست آورید تا پايايي سیستم 0.99 گردد. 1 01 0005 ‎p* =0.99> p=1- (0.09'" =0.7846‏ -0 -1 ‎a‏ مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما ‎Le ‏پاسخ: ‎n= =15372 n=2‏ >0.01= 0.03 =0.99= ”0.95 -1( -1 ‎ ‎ 

صفحه 12:
برنولي(دوجمله اي) به + داز ۲( يك عدد صحیح و مثبت) باید داراي ويژگي هاي زیر باشد: * آزمايش آماري از آزمايش تکرار شونده کوچلد تشکیل شود. * نتیجه هر يك از آزمايشهاي کوچك بتوند به صورت شکست یا موفقیت تعریف شود. * احتمال موفقیت (0) در ازمايشهاي کوچك ثابت بماند. * آزمايشهاي کوچك مستقل از هم باشند. ۵ اگر متفیر تصادفي ا به عنوان تعداد موفقيتهاي يك فرآیند برنولي به اندازه 8 در نظر گرفته شود. گفته مي شود 6( توزيع دوجمله اي با بارامترهاي 5 و 8 يعني (,:)0 دارد و توزیع برنيلي با پرامتر ۵ حالت خاصي از مدل احتمال دوجمله اي با پرامترهاي 0 و 921 است وكام جات سس 

صفحه 13:
5 2 ا 7 ۲ توزیع دوجمله اي تابع توزیع جرمی احتمال يك متغیر تصادفی دوجمله اي با پارامترهاي ۲ و 0 عبارت است از: ۱ ۱ ۱ ‎f(xy =Cep'(l- pi" x=01,2,...0‏ © نام توزيع از قضيه بسط دوجمله اي آمده است:رر 0 ‎x’, flen p=" Cp p** =[pee P=‏ ‎(a+b <<‏ 3 مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما 

صفحه 14:
5 2 ا 3 توزيع دوجمله اي © قضيه 1: اكر متغير تصادفي 26 توزيع دوجمله اي با پارامترهاي 0 و 0 داشته باشد آنگاه خواهیم داشت: AX =k) =e AX =H PX =k+)=Ch pd p* ‏اثبات:‎ ۵ ‏“م -0* ”م -0) م‎ =a D 0 (1- p** 

صفحه 15:
5 طم ا ۰ ۲ توزیع دوجمله اي 0 مثال 9: احتمال بهبود یافتن هر فرد مبتلا به نوعي بيماري خوني نادر 0.4 است. اگر بدانیم 15 نفر مبتلا به این بيماري اند. آحتمال پيشامدهاي زیر را محاسبه کنید. # الف) دست کم 10 نفر بهبود یابند * ب) از 3 تا 8 نفر بهبود یابند. * ج) دقیقا 5 نفر بهبود یابند. 0 پاسخ: 9 ‎Hx1504) =1- 28‏ ۶۳ -1< ۳26>10 -1< 10< ۳6 1504" -5040 دی 2 < 1504و" < (۵> ۲ > ۳3 79 209050 1 204032 (304 1 بر - (1504بدا "کر (5- 276 6 هتسخ 

صفحه 16:
"تو بع 3 ‎a‏ ‏توریع دو © خواص. توزيع دوجمله اي “قضيه 2: اكر متغير تصادفى ‎X‏ توزيع دوجمله اي با پارامترهاي 1 و 0 و متغير تصادفي لا توزيع دوجمله اي با پارامترهاي 1-1 و 0 داشته باشد. داریم ‎E(X*)=npE[(Y+1)«*]‏ پم _اثبات: مگ ور ری هر يلخد لز - قاط ‎pre-e,‏ )وا طبر بر - 0 ‎AUX!) =npS) (yt Cy' pd pP'Y =npRY+1)""]‏ مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما 

صفحه 17:
fiw ‎٩‏ خواص توزیع دوجمله اي ‎E(X*) =npKY+1)*"]= EX’) =npEY+1)]=np‏ ‎ECX’) =npRY +1) =npE(Y) +1] =njh(n- 1) p+1]‏ م ‎Vai X) =njh(n- 1) p+1]- (np? =njfl-‏ ‏17 ‏توزيع دوجمله اي ‎ ‎ ‏و مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما ‎ 

صفحه 18:
۲ توزیع دوجمله اي © خواص. توزیع دوجمله اي ۴قضیه 3: مجموع دو متغیر تصادفی مستقل و ۷ که هريك توزیع دوجمله اي با پارامترهاي به ترتیب (0,0) و (0,0) دارد خود متغيري است تصادفی که توزیع دوجمله اي با پارامترهاي (0,0+) دارد. *اثبات: < ۲ +۳۲ - ۳2-7 - ۶2 ‎=F" Cv Dy pr‏ هد لالد ل لز - ** “ور )تم ”د ()] ‎BAe,‏ ۳۳۴0( -۳0- 6 مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما 

صفحه 19:
fiw ‎٩‏ خواص توزیع دوجمله اي *قضیه 4: تابع مولد گشتاور توزیع دوجمله اي با پارامترهاي 7 ‏و م عبارت است از (7]۵:)0-۱ #اثبات: ‏17 ‏توزيع دوجمله اي ‎ ‎ ‎ ‎ ‏* “7 صمو رق - 45د قايكة ‎=", C(péy"- p”* =[d- p+ pel? ‎FLX) =4,My(O]o =npd- p)+ pél”' 4 =np AUX’) =£ pé! =npd- p+ pél”' + r(n- 1)(péy{d- p+ pél”*]n ‎=np+ rn- 1) pf = VartX) =npt n(n- 1) p- (np? =nyfl- p) ‏3 هتسخ ‎ 

صفحه 20:
fiw © خواص. توزیع دوجمله اي *مثال 14: نشان دهید مجموع دو متفیر تصادفي مستقل ‏ و ۷ که هريك توزیع دوجمله اي با پارامترهاي به ترتیب (0,0) و (0,8) دارد خود متفيري است تصادفي که توزیع دوجمله اي با پارامترهاي ‎mtn,py‏ دارد. *پاسخ: ‎p)"(pé+1- py" =(pé+1- py”‏ -1+فص)ع ۵4۵ ۵ *به این خاصیت. خاصیت تولید مثل گویند. 17 توزيع دوجمله اي مه مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما 

صفحه 21:
fx ‏توزیع چند جمله اي‎ ....۳.. ‏تعریف: اگر يك آزمایش بتواند » نتیجه ناسازگار و۲‎ 0 ‏و,] با احتمالات به ترتیب و0 ,۰0.. و,0 داشته باشد و‎ ‏این آزمايش 0 دفعه به صورت مستقل تکرار شود به‎ _ ‏طوري که احتمالات فوق از آزمايشي به آزمایش دیگر‎ ‏تغییر نکند آنگاه يك فرآیند چندجمله اي خواهیم داشت‎ © با استفاده از توزیع چندجمله اي مي توان احتمال اينکه بار نتيجه | حاصل شود را به دست آورد. این احتمال به شکل زیر خواهد بود. 2 مره دک را پل (« ۱ a L(X, X05 By Puree 

صفحه 22:
fiw ‎٩‏ خواص توزیع چند جمله اي * توزيع هاي كناري هر يكاز ,ها دوجمله ایست. ‏” توزيع جند جمله اي ‎ ‎ ‎ ‎ ‏*حالت خاص توزيع جند جمله اي كه در آن 2>)) است يك توزيع ‏دوجمله ايست. ا ل ‎rn‏ ‏”* “زيم ‎M(t, 6) =H’) =" cate (BE (DE) a‏ ‎=(pé + pe + p)”‏ ‎Pp)” =(né +1- p)"> f() =Hsn p)‏ + يم + ‎M(t,0) =(né'‏ ‎=(a+ pe +p)” =(pé1- p)"> fy =Hyn p)‏ )0,6 ‎ee‏ هتسخ ‎ 

صفحه 23:
چند جمله اي 0 خواص توزیع چند جمله اي * كواريانس بين دو متغیر تصادفي موجود در يك توزیع چندجمله اي - 21لا لگر آیمایش‌آلم نتیجه لی‌مربوطبسه ول دلشته باشد لگر آزمایشآلم نستیجه لي‌مربوط به یلا ندلشته بساشد گر ‎ans sll sales]‏ لی‌مربوط بسه با دلشته باشد. - ۷/1 گر آزمایشالمن تیجه لیپربوط به ,ندچ اش ور ‎X= SUX SW‏ Co€X,, X,) =¥),3, COW, W) =" ,Coel,, W)+ SS Cow, W) — HCA, CoeX,, X,) =3)), COW, W) ComU,, W) = BU,W)- EWU; EW) =0- EU,) EW) — BY mt =p, 00۷,۲۷ ‏درم‎ CotX,,X,)=3)).- PB = MRP ‎ee‏ هتسخ ‎ 

صفحه 24:
۲ توزیع چند جمله اي ‎٩‏ خواص توزیع چند جمله اي "در توزيع سه جمله اي توزیع احتمال ۷ به شرط )2 عبارت است از رد لد مسر لبر ري - اددع زا ‎AY|X =x) =(n- 94)‏ *تابع مولد گشتاور توزیع چندجمله اي عبارت است از ‎Dé + pl”‏ 4..+ روز + ‎Mt, t-te) =Lod'‏ ‎ ‎ ‎ ‎oe‏ مثلم كاج 0ا). سسدمس]/ :ما ‎ 

صفحه 25:
fiw 0 خواص توزیع چند جمله اي * مثال 18: 9:10 قطعات يك محموله بزرگ از قطعات تولید شده داراي يك نقص. 9:5 داراي بیش از يك نقص و بقیه فاقد هرگونه نقص هستند. فرض كنيد 10 عدد از اين قطعات به صورت تصادفي انتخاب شده اند. اگر و26 تعداد قطعات دلراي يك نقص و و6( تعداد قطعات داراي بیش از يك نقص باشند و بدانیم هزینه دوباره كاري عبارت است از م326 + ,26 میانگین و واریانس هزیه دوباره كاري را محاسبه کنید. 4° 205 20100003 (و75 نا )100.1= ‎A(X,)‏ Var X,) =(10(0.1)(0.9) =0.9; Vart.X,) =(10(0.09(0.99 =0.47£ CotX,, X,) =- (10(0.1)(0.09 =- 0.05 E{X, + 3X,) =E(X,) + 3E(X,) =1+ (3)(0.5) =2.5 Vai X, + 3X,) =Vait.X,) + Vai X,) + 6COKX,, X,) =0.9+ (9)(0.475+ (6)(- 0.05 =4.875 6ه هتسخ ” توزيع جند جمله اي