تئوری احتمال و کاربرد آن

تئوری احتمال و کاربرد آن

اسلاید 1: تئوري احتمال و كاربردآنhttp://www.Beiki.info

اسلاید 2: 2جلسه هفتممقدمهتوزيع يكنواخت گسستهخواص توزيع يكنواخت گسستهتوزيع برنوليخواص توزيع برنوليتوزيع دوجمله ايخواص توزيع دوجمله ايتوزيع چند جمله ايخواص توزيع چند جمله اي

اسلاید 3: 3جلسه هفتممقدمهرفتار يك متغير تصادفي با تابع توزيع احتمال آن توضيح داده مي شود.تابع توزيع احتمال را مي توان در قالب شكل، هيسنوگرام، جدول يا يك فرمول رياضي بيان نمود.گاهي نتايج حاصل از آزمايشهاي آماري كه داراي فضاي نمونه گسسته هستند داراي رفتار عمومي از نوع خاصي هستند.مثل: رفتار عمومي تمامي ازمايشهايي كه تنها يك نتيجه موفقيت يا شكست دارند.در نتيجه اين متغيرها داراي توزيع جرمي احتمال يكساني هستند كه با آن مي توان رفتار متغير تصادفي را توضيح داد.با در دست داشتن توزيع هاي جرمي احتمال مهم كه مدلهاي احتمال گسسته ناميده مي شوند مي توان رفتار بسياري از متغيرهاي تصادفي گسسته را توضيح داد.در اين فصل در مورد مدلهاي احتمالي كه بيشترين كاربرد را در علوم مهندسي، مديريت و تحقيق در عمليات دارند بحث مي گردد.

اسلاید 4: 4جلسه هفتمتوزيع يكنواخت گسستهتعريف: اگر متغير تصادفي X مقادير x1، x2، ... و xn را با احتمال يكسان اختيار كند، آنگاه توزيع يكنواخت گسسته به صورت زير خواهد بود.به n پارامتر توزيع گويند.مثال 1: اگر تاس سالمي يكبار پرتاب شود هر يك از عناصر فضاي نمونه s={1,2,3,4,5,6} با احتمال يكسان 6/1 مي تواند نتيجه شود.در اين صورت اگر متغير تصادفي گسسته X را به عنوان نتيجه حاصل از پرتاب تاس تعريف كنيم آنگاه X از توزيع يكنواخت گسسته به صورت زير برخوردار است

اسلاید 5: 5جلسه هفتمتوزيع يكنواخت گسستهخواص توزيع يكنواخت گسستهقضيه: ميانگين و واريانس توزيع يكنواخت گسسته با پارامتر n عبارت است ازاثبات:

اسلاید 6: 6جلسه هفتمتوزيع يكنواخت گسستهخواص توزيع يكنواخت گسستهاگر برد مقادير متغير تصادفي X كه داراي توزيع يكنواخت گسسته است شامل مقادير صحيح a,a+1,…,b باشد آنگاه داريماثبات:قضيه: تابع مولد گشتاور توزيع يكنواخت گسسته به صورت زير است:

اسلاید 7: 7جلسه هفتمتوزيع برنوليگاهي يك آزمايش آماري از دنباله اي از آزمايشهاي كوچكتر تشكيل مي شود كه هر يك مي تواند فقط دو نتيجه به دو صورت موفقيت(S) و شكست(F) تلقي شود.مثلا در يك نمونه 10 تايي از قطعات هر يك از آنها يا سالم است يا خراب اگر سالم بودن را موفقيت و خراب بودن را شكست تلقي كنيم آنگاه آزمايش ما به 10آزمايش كوچكتر تقسيم مي شود كه فقط مي تواند دو نتيجه داشته باشد.اگر متغير تصادفي X را براي يك آزمايش برنولي طوري تعريف كنيم كه به ازاي نتيجه موفقيت مقدار يك و به ازاي نتيجه شكست مقدار صفر بگيرد توزيع احتمال جرمي X عبارت است ازf(0)=P(X=0)=P(F)=1-pf(1)=P(X=1)=P(S)=p

اسلاید 8: 8جلسه هفتمتوزيع برنوليخواص توزيع برنوليقضيه 1: ميانگين و واريانس توزيع برنولي با پارامتر p به ترتيب p و p(1-p) است.اثبات:قضيه 2: تابع مولد گشتاور يك توزيع برنولي با پارامتر p عبارت است از M(t)=pet+(1-p)اثبات:

اسلاید 9: 9جلسه هفتمتوزيع برنوليخواص توزيع برنوليتوزيع برنولي در حيطه وسيعي مانند كنترل كيفيت، پزشكي، پايايي قطعات و سيستمها و ... به كار مي رود. مثلا يك تلكوپ فضايي يا يك نيروگاه اتمي را در نظر بگيريد كه از n قطعه تشكيل شده است كه مي تواند سالم يا خراب باشد. حالت قطعه iام مي تواند به وسيله يك متغير تصادفي برنولي Xi نمايش داده شود كه Xi=1 نشاندهنده سالم بودن قطعه iام و Xi=0 مبين خراب بودن آن است در اين صورت پايايي قطعه iام ((Pi به صورت Pi =P(Xi=1)=E(Xi) تعريف مي شود. حالت كل سيستم نيز مي تواند به وسيله متغير تصادفي برنولي X كه X=1 در حال كار بودن سيستم و X=0 كار نكردن سيستم را نشان مي دهد نمايش داده شود. در اين حالت پايايي سيستم به صورت R=P(X=1)=E(X) تعريف مي گردد.حالت كل سيستم (X) تابع سيستم نام دارد و خود تابعي از حالتهاي قطعات سيستم است.سيستم هاي متشكل از n قطعه سه نوعند:سيستمهاي سري: موقعي كار مي كنند كه تمام قطعات آن كار كند.سيستمهاي موازي: موقعي كار مي كنند كه حداقل يكي از قطعات آن كار كند.سيستمهاي –k از n-: موقعي كار مي كند كه حداقل k قطعه از n قطعه كار كند.

اسلاید 10: 10جلسه هفتمتوزيع برنوليخواص توزيع برنوليتابع سيستم سيستمهاي سري عبارت است از X=(X1)(X2)…(Xn)تابع سيستم سيستمهاي موازي عبارت است از X=1-(1-X1)(1-X2)…(1-Xn)تابع سيستمهاي –kاز n- مانند هواپيمايي كه اگر دست كم دو موتور از سه موتورش سالم باشد كار مي كند عبارت است از X=X1X2X3+X1X2(1-X3)+X2X3(1-X1)+X1X3(1-X2)سيستمها بايد طوري طراحي شوند كه خراب شدن يكي از قطعات مستقل از خرابي ديگر قطعات باشد يعني خرابي قطعات بايد مستقل از هم لحاظ شود.با فرض مستقل بودن متغيرهاي تصادفي پايايي به شكل زير خواهد بود:پايايي سيستم سري عبارت است از R=E(X)=E[(X1)(X2)…(Xn)]=E(X1)E(X2)...E(Xn)=p1p2p3…pnپايايي سيستم موازي عبارت است از R=E(X)=E[1-(1-X1)(1-X2)…(1-Xn)]=1-E(1-X1)E(1-X2)…E(1-Xn)=1-(1-p1)(1-p2)…(1-pn)پايايي براي يك سيستم -2 از -3 به صورت زير است:R=E(X)=p1p2p3+p1p2(1-p3)+p2p3(1-p1)+p1p3(1-p2)

اسلاید 11: 11جلسه هفتمتوزيع برنوليخواص توزيع برنوليمثال 7: با فرض اينكه هر يك از قطعات متشكله يك سيستم موازي از يك توزيع برنولي با پارامتر p برخوردارندالف: اين سيستم چند قطعه داشته باشد تاپايايي آن دست كم برابر 0.99 باشد؟ب: اگر اين سيستم 3 قطعه داشته باشد پارامتر توزيع برنولي را طوري به دست آوريد تا پايايي سيستم 0.99 گردد.پاسخ:

اسلاید 12: 12جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايبرخي از آزمايشهاي آماري از تعدادي آزمايش مستقل برنولي تشكيل مي شود كه احتمال موفقيت در آنها دچار تغيير نمي گردد در اين صورت با يك فرآيند برنولي يا فرآيند دوجمله اي مواجهيم.تعريف: يك فرآيند برنولي(دوجمله اي) به اندازه n(n يك عدد صحيح و مثبت) بايد داراي ويژگي هاي زير باشد:آزمايش آماري از n آزمايش تكرار شونده كوچك تشكيل شود.نتيجه هر يك از آزمايشهاي كوچك بتواند به صورت شكست يا موفقيت تعريف شود.احتمال موفقيت (p) در ازمايشهاي كوچك ثابت بماند.آزمايشهاي كوچك مستقل از هم باشند.اگر متغير تصادفي X به عنوان تعداد موفقيتهاي يك فرآيند برنولي به اندازه n در نظر گرفته شود، گفته مي شود X توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p يعني b(x;n,p) دارد و توزيع برنولي با پارامتر p حالت خاصي از مدل احتمال دوجمله اي با پارامترهاي p و n=1 است

اسلاید 13: 13جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايتابع توزيع جرمي احتمال يك متغير تصادفي دوجمله اي با پارامترهاي n و p عبارت است از:نام توزيع از قضيه بسط دوجمله اي آمده است:

اسلاید 14: 14جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايقضيه 1: اگر متغير تصادفي X توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p داشته باشد آنگاه خواهيم داشت:اثبات:

اسلاید 15: 15جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايمثال 9: احتمال بهبود يافتن هر فرد مبتلا به نوعي بيماري خوني نادر 0.4 است. اگر بدانيم 15 نفر مبتلا به اين بيماري اند، احتمال پيشامدهاي زير را محاسبه كنيد.الف) دست كم 10 نفر بهبود يابند.ب) از 3 تا 8 نفر بهبود يابند.ج) دقيقا 5 نفر بهبود يابند.پاسخ:

اسلاید 16: 16جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايخواص توزيع دوجمله ايقضيه 2: اگر متغير تصادفي X توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p و متغير تصادفي Y توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n-1 و p داشته باشد، داريمE(Xk)=npE[(Y+1)k-1]اثبات:

اسلاید 17: 17جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايخواص توزيع دوجمله اينتيجه

اسلاید 18: 18جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايخواص توزيع دوجمله ايقضيه 3: مجموع دو متغير تصادفي مستقل X و Y كه هريك توزيع دوجمله اي با پارامترهاي به ترتيب (n,p) و (m,p) دارد خود متغيري است تصادفي كه توزيع دوجمله اي با پارامترهاي (m+n,p) دارد.اثبات:

اسلاید 19: 19جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايخواص توزيع دوجمله ايقضيه 4: تابع مولد گشتاور توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p عبارت است از [(1-p)+pet]nاثبات:

اسلاید 20: 20جلسه هفتمتوزيع دوجمله ايخواص توزيع دوجمله ايمثال 14: نشان دهيد مجموع دو متغير تصادفي مستقل X و Y كه هريك توزيع دوجمله اي با پارامترهاي به ترتيب (n,p) و (m,p) دارد خود متغيري است تصادفي كه توزيع دوجمله اي با پارامترهاي (m+n,p) دارد.پاسخ:به اين خاصيت، خاصيت توليد مثل گويند.

اسلاید 21: 21جلسه هفتمتوزيع چند جمله ايتعريف: اگر يك آزمايش بتواند k نتيجه ناسازگار E1، E2، ... و Ek با احتمالات به ترتيب p1، p2، ... و pk داشته باشد و اين آزمايش n دفعه به صورت مستقل تكرار شود به طوري كه احتمالات فوق از آزمايشي به آزمايش ديگر تغيير نكند آنگاه يك فرآيند چندجمله اي خواهيم داشت.با استفاده از توزيع چندجمله اي مي توان احتمال اينكه xi بار نتيجه Ei حاصل شود را به دست آورد. اين احتمال به شكل زير خواهد بود.

اسلاید 22: 22جلسه هفتمتوزيع چند جمله ايخواص توزيع چند جمله ايتوزيع هاي كناري هر يك از Xiها دوجمله ايست.حالت خاص توزيع چند جمله اي كه در آن k=2 است يك توزيع دوجمله ايست.اگر k=3 و X1=X، X2=Y و X3=n-X-Y آنگاه داريم:

اسلاید 23: 23جلسه هفتمتوزيع چند جمله ايخواص توزيع چند جمله ايكواريانس بين دو متغير تصادفي موجود در يك توزيع چندجمله ايUi=1 اگر آزمايش iام نتيجه اي مربوط به Xs داشته باشد.Ui=0 اگر آزمايش iام نتيجه اي مربوط به Xs نداشته باشد.Wi=1 اگر آزمايش iام نتيجه اي مربوط به Xt داشته باشد.Wi=1 اگر آزمايش iام نتيجه اي مربوط به Xt نداشته باشد.

اسلاید 24: 24جلسه هفتمتوزيع چند جمله ايخواص توزيع چند جمله ايدر توزيع سه جمله اي توزيع احتمال Y به شرط X=x عبارت است از تابع مولد گشتاور توزيع چندجمله اي عبارت است از

اسلاید 25: 25جلسه هفتمتوزيع چند جمله ايخواص توزيع چند جمله ايمثال 18: 10% قطعات يك محموله بزرگ از قطعات توليد شده داراي يك نقص، 5% داراي بيش از يك نقص و بقيه فاقد هرگونه نقص هستند. فرض كنيد 10 عدد از اين قطعات به صورت تصادفي انتخاب شده اند. اگر X1 تعداد قطعات داراي يك نقص و X2 تعداد قطعات داراي بيش از يك نقص باشند و بدانيم هزينه دوباره كاري عبارت است از X1+3X2 ميانگين و واريانس هزيه دوباره كاري را محاسبه كنيد.پاسخ: