درس ریاضی فیریک ۱

درس ریاضی فیریک ۱

اسلاید 1: درس ریاضی فیزیک1Mathematical methods for physicistsرشته فيزيک3 واحد درسیمنبع : ریاضی فیزیک 1چاپ پیام نورتاليف : دکتررحیم کوهی فایق ،مهندس علیرضا بینشتدوین پاورپوینت : بهزاد شوکت، فاطمه عباسیBehzad.shokat@yahoo.comMohandes.bakelas@yahoo.com

اسلاید 2: فصل اول بردارها

اسلاید 3: فصل1 بردارهافصل اول :در اين فصل از جبر وآنالیز برداری وقضیه های مربوط به آنهاکه در شاخه های مختلف فیزیک چون مکانیک کوانتومی،الکترومغناطیس،مکانیک کلاسیک و اپتیک،وغیره کاربردهای اساسی دارند.1- جمع و ضرب (برداری ونرده ای)وضربهای سه گانه2- فرمول عملگر دیفرانسیل برداری رادرمختصات دکارتی3- تعريف شيب يک تابع عددي4- تعريف واگرايي يا ديورژانس يک ميدان برداري5- تعريف تاو يک ميدان برداري6- بررسي قضيه استوکس و قضيه واگرايي1

اسلاید 4: 2تعاریف : کمیت های فیزیک به دو دسته اسکالر و بردارهاتقسیم می شوند. اسکالرها فقط بامقدارشان مشخص می شوندو بردارها بامقداروجهت شان مشخص می شوند.نمایش بردارها در فضا : بردار را با پیکانی درفضا نمایش می دهیم که طول آن معرف اندازه بردار وراستای پیکان جهت بردار می باشد.جمع بردارها به روش هندسی: جمع دو بردار و رابه صور ت نشان می دهیم وبه دو روش متوازی الضلاع وچند ضلعی قابل حوصول است.روش چند ضلعی: ابتدای بردار را در انتهای قرار می دهیم ، بردار حاصل جمع( )برداری است که ابتدایش ابتدای وانتهایش انتهای است.تفاضل دوبردار به روش هندسی:تفاضل دوبردار و راکه به صورت نمایش داده می شودرا می توان با قرار دادن ابتدای دو بردار و بر هم به دست آورد به طوری که ابتدای انتهای وانتهای انتهای آن باشد.فصل1 بردارها

اسلاید 5: 3نمایش مولفه ای بردارها:نقطه انتهای بردار با مختصات مشخص می شود. اگر اندازه بردار وزوایای آن با محورهای X وYو Z به ترتیب باشند: که در آنها را کسینوس های هادی می نامند ، به گونه ای که :درنتیجه:فصل1 بردارها

اسلاید 6: 4مثال1-2:اگر و باشند، بردارهای و رابر حسب مولفه های آنها تعیین کنید.حل:فصل1 بردارهااگر بردارهای یکه در امتداد محورهایX وY وZ را با نشان دهیم ومی توان بردار را با استفاده از بردارهای یکه به صورت نشان داد و اندازه بردار به صورت می باشد.جمع وتفریق بردارها به روش مولفه ای:اگر و باشد،آن گاه:

اسلاید 7: 5مثال1-3: بردار ازمبدا مختصات به نقطه به مختصات (4و3و2) درفضارسم شده است زوایای این بردار بامحورهای مختصات راتعیین کنید.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 8: 6تمرین1-5صفحه8کتاب درسی: برداری به طول10بامحورهای x,y,z زاویه های مساوی می سازد ، مولفه های آنرابدست آورید.حل:11فصل1 بردارها

اسلاید 9: 7تمرین1-6صفحه8کتاب درسی: برداری که در صفحه xy قرارداردوباجهت مثبت محور xوy زاویه مساوی می سازد ، مولفه های آن رابه دست آورید.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 10: 8تست 1 - بردار واحد قطرمکعب است . مولفه های بردار کدام است؟الف: ب:ج: د:حل:فصل1 بردارها

اسلاید 11: 9تست 2- چه رابطه ای بین کسینوس های هادی برقرار است؟الف: ب:ج: د:حل:فصل1 بردارها

اسلاید 12: 10ضرب نرده ای یا داخلیحاصل ضرب نرده ای یا داخلی دو بردار و رابه صورت نمایش می دهیم که زاویه کوچک تر میان دو بردار و است.از آنجا که اندازه تصویر بردار در راستای باشدآن گاه داریم:حاصل ضرب نرده ای دو بردار به روش مولفه ای: اگر و در آنصورت ضرب داخلی این دو بردار برابر است با :فصل1 بردارها

اسلاید 13: 11به دست آوردن زاویه بین دو بردار:خواص ضرب داخلی (نرده ای) بردارها:اگر بردار و نرده ای باشند ، خواهیم داشت :خاصیت خطی:که ازآن خاصیت توزیع پذیری به دست می آید:خاصیت تقارن:فصل1 بردارها

اسلاید 14: 12باتوجه به این نکته که است،می توان از ضرب داخلی نامساوی شوارتز را اثبات نمود:کاربردهای ضرب نرده ایکار انجام یافته نیرو: کاری که نیروی درجابه جایی انجام می دهد برابر است با:مولفه نیرو در راستای مشخص: در این حالت از مفهوم مولفه یا تصویر یک بردار در راستای بردار غیر صفر دیگر استفاده می شود.فصل1 بردارها

اسلاید 15: 13مثال1-10صفحه12کتاب درسی : اگر A=[4,1,0]و B=[-2,0,1] باشدبردارC به طول واحد را طوری بیابیدکه عمود بر دو بردارA و Bباشد.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 16: 14تمرین1-2-6صفحه16کتاب درسی: مقدارمولفه a رادرراستایbبه دست آورید؟الف)a=[1,1,2],b=[0,0,6]حل:فصل1 بردارها

اسلاید 17: 15تمرین1-2-8صفحه16کتاب درسی:اگر Aبردارثابت وr برداری ازمبدا مختصات تا نقطه (x,y,z) باشد(بردارمکان)،نشان دهید که رابطه زیرمعادله یک صفحه است. حل:فصل1 بردارها

اسلاید 18: 16تمرین1-2-10صفحه16کتاب درسی : زاویه بین دوبردار A=3i+4j+k و B=i-j+k راپیداکنید.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 19: 17تست 3- اگرaوbو cبرداریکه باشند و حاصل چقدر می شود؟الف: ب:ج: د:حل:فصل1 بردارها

اسلاید 20: 18تست 4- دوبردار به صورت مفروضند.مقدار مولفه رادرراستای به دست آورید.الف: ب:ج: د:حل:فصل1 بردارها

اسلاید 21: 19ضرب برداریحاصل ضرب خارجی دو بردار به صورت نوشته می شود،اندازه آن (که زاویه کوچکتر میان است). برصفحه عمود است وجهت آن با استفاده از قاعده دست راست تعیین می شود،به گونه ای که اگر چهار انگشت دست راست در راستای بردار وچرخش آن ها در جهت بردار باشد، آن گاه انگشت شست جهت بردار رانشان می دهد.با استفاده از اندازه حاصل ضرب خارجی دو بردار وقاعده دست راست داریم:فصل1 بردارها

اسلاید 22: 20ضرب برداری به روش مولفه ای:اگر و باشدآن گاه:حاصل ضرب خارجی دوبردار به روش دترمینان:مساحت متوازی الاضلاعی که دوبردار اضلاع آن هستند برابر است با:فصل1 بردارها

اسلاید 23: 21تمرین1-3-4صفحه23کتاب درسی :بااستفاده ازسه بردار ثابت کنید :حل:XYفصل1 بردارها

اسلاید 24: 22تمرین1-3-5صفحه23کتاب درسی :بااستفاده ازشکل زیر،قانون سینوس ها راثابت کنید.حل:XYBACفصل1 بردارها

اسلاید 25: 23تمرین1-3-8صفحه24کتاب درسی : نشان دهیدالف:ب:حل: الف:ب:فصل1 بردارها

اسلاید 26: 24تست 5 – بردارعمودبر کدام است؟الف: ب:ج: د:حل:فصل1 بردارها

اسلاید 27: 52َتست 6- اگردوبردار مفروض باشند، بردار راکه طول آن واحد است طوری بیابیدکه بر دو بردار عمودباشند.الف: ب:ج: د:حل:فصل1 بردارها

اسلاید 28: 26تست 7- مساحت مثلثی که دوبردار و تشکیل می دهند،چقدر است؟الف: ب:ج: د:حل: مساحت متوازی الاضلاع مساحت مثلثفصل1 بردارها

اسلاید 29: 27ضرب سه گانه بردارها1- ضرب سه گانه نرده ایاگر سه بردار ، ، را داشته باشیم، حاصل ضرب نرده ای راضرب سه گانه نرده ای می نامیم وبه صورت زیر نشان می دهیم:قدر مطلق ضرب سه گانه نرده ای برابربا حجم متوازی السطوحی است که سه ضلع آن برداراهای هستند.فصل1 بردارها

اسلاید 30: 28شرط هم صفحه بودن سه بردار بدین صورت است:2- ضرب سه گانه برداریعبارت های و را ضرب سه گانه برداری می گویند.دستور بک- کب برای محاسبه حاصل ضرب سه گانه برداری:فصل1 بردارها

اسلاید 31: 29تمرین1-4-1صفحه28کتاب درسی :حجم متوازی السطوح متشکل از3 بردار زیر رابه دست آورید.الف:ب:حل: الف:ب:فصل1 بردارها

اسلاید 32: 30تمرین1-4-2صفحه28کتاب درسی :آیاسه بردارزیر دریک صفحه اند؟الف:]1و0و1[و]1و1و0[و]0و1و1[ب: ]3و7- و2[و]8و9و5[و]2- و3و7[C b a حل:شرط هم صفحه بودن پس درقسمت الف باتوجه به رابطه فوق داریم:یعنی بردارها هم صفحه نیستند.ودرقسمت ب نیز به همین ترتیب.فصل1 بردارها

اسلاید 33: 31تمرین1-4-3صفحه28کتاب درسی :نشان دهیدحل:فصل1 بردارها

اسلاید 34: 32تمرین1-4-6صفحه28کتاب درسی :اگر Dترکیب خطی ازسه بردار ناهم صفحه(ونامتعامد)زیر باشد D=aA+bB+cCنشان دهید که ضرایبaوbوcازنسبت ضربهای سه گانه نرده ای به شکل زیر دست می آیند وغیرهحل:فصل1 بردارها

اسلاید 35: میدان های نرده ای وبرداریاگر تابع نرده ای در نقطه ازفضا مقداری معین داشته باشد، گوییم میدان نرده ای درآن نقطه تعریف شده است. در هر نقطه مقدار مستقل از انتخاب دستگاه مختصات است.میدان برداری:وقتی تابع برداری درهرنقطه یک ناحیه تعریف شده باشد،می توان گفت که آن ناحیه یک میدان برداری است.نمایش میدان برداری در دستگاه مختصات دکارتی:خطوط میدان برداری:هرمنحنی که بردار مماس درهر نقطه آن،درجهت باشدراخط میدان گویند.33فصل1 بردارها

اسلاید 36: 34شیب(گرادیان) میدان نرده ایمشتق جهتی:نسبت تغییرات میدان نرده ای رادر یک جهت معین،مشتق جهتی آن میدان می گویند.اگر تغییرمکان بی نهایت کوچک درجهت مورد نیازباشد آن گاه مشتق جهتی است.مشتق جهتی درمختصات دکارتی: اگر دارای مولفه های باشد داریم:شیب(گرادیان)میدان نرده ای:برداری است که اندازه آن بیشینه مشتق جهتی درنقطه مورد نظر وجهت آن، جهتی است که مشتق جهتی درآن راستا بیشینه باشد.فصل1 بردارها

اسلاید 37: 35شیب نرده ای یا گرادیان رابا (عملگر دل) یا نشان می دهیم وجهتی دارد عمود برسطح تراز که از نقطه مورد نظر می گذرد.عملگر دل (گرادیان)درمختصات دکارتی:برداریکه عمود برسطح تراز رویه ای درجهت افزایش :فصل1 بردارها

اسلاید 38: 36مثال1-25صفحه34کتاب درسی :برداریکه ای رابیابید که برسطح تراز درنقطه ای به مختصات عمود ودر جهت افزایش باشد.حل:می دانیم برداری که عمود بر سطح تراز درنقطه باشد برابر است بابنابراین برداری یکه مورد سوال در این نقطه به قرار زیر خواهد بود :فصل1 بردارها

اسلاید 39: 37مثال1-26صفحه35کتاب درسی :دمای نقطه (x,y,z) یک محیط درزمانt به صورتفرض شده است.آهنگ تغییر دما نسبت به زمان ذره ای را که با سرعتدرزمان t=0 ازنقطه می گذرد،محاسبه کنید.حل: متغییرهای فضا را درطول مسیر ذره می توان توابعی از زمان در نظر گرفت و بنابراین تابع مرکبی از زمان است. با مشتق گیری نسبت به زمان خواهیم داشتکه درآن (بردار سرعت) است . پس با مشتق گیری ودر نظر گرفتن ،چنین نتیجه می شود :فصل1 بردارها

اسلاید 40: 38ادامه مثال1-26:اکنون آهنگ تغیردما را ازرابطه(1-33)به دست می آوریمفصل1 بردارها

اسلاید 41: 39مثال1-27صفحه35کتاب درسی :اگر باشدمطلوب استالف) درنقطهب)اندازه گرادیان sیعنی در نقطهج)کسینوس های هادی در نقطهحل: الف)ب)فصل1 بردارها

اسلاید 42: 40ادامه مثال1-27:ج)فصل1 بردارها

اسلاید 43: 41مثال1-28صفحه36کتاب درسی :اگر باشد رامحاسبه کنید.حل: داریماکنون از دستور زنجیری مشتق گیری استفاده می کنیمفصل1 بردارها

اسلاید 44: 42تمرین1-6-1صفحه36کتاب درسی :شیب میدان های زیر رابه دست آورید:الف:ب:ج:حل: الف:ب:ج:فصل1 بردارها

اسلاید 45: 43تمرین1-6-2صفحه36کتاب درسی :درصورتی کهg وf دوتابع مشتق پذیر برحسب xوyوz باشد،ثابت کنید:الف:ب:حل: الف:ب:فصل1 بردارها

اسلاید 46: 44تمرین1-6-3صفحه37کتاب درسی :دریک میدان دمایی به صورت گرمادر جهت بیشینه کاهش دمای Tجریان می یابد.این جهت را درنقطه به دست آورید .حل:فصل1 بردارها

اسلاید 47: 45تمرین1-6-4صفحه37کتاب درسی :اگرپتانسیل بین دواستوانه هم محور برحسب ولت به صورت باشد،جهت میدان الکتریکی رادرنقطه به دست آورید.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 48: 46تمرین1-6-6صفحه37کتاب درسی :اگرتابع برداریFبستگی به فضای وزمانtداشته باشد نشان دهیداشاره:ر ک مثال1-26.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 49: 47تمرین1-6-7صفحه37کتاب درسی :بردار یکه عمود برمنحنی مفروض در نقطهP رابدست آوریدالف)ب)حل:الف:ب:فصل1 بردارها

اسلاید 50: 48تمرین1-6-8صفحه37کتاب درسی :اگر باشد،ثابت کنیدحل:فصل1 بردارها

اسلاید 51: انتگرال برداری1- انتگرال خطی یک بردار: اگر یک بردار باشد ، عبارتست از انتگرال خطی آن روی منحنی از نقطه تا که در آن بردار کوچکی مماس برمنحنی می باشد.ازآنجا که ضربی نرده ای است،حاصل انتگرال نیز نرده ای خواهد بود.انتگرال خطی یک بردار نه تنها به نقاط و بستگی دارد،بلکه به مسیر انتگرال گیری(منحنی )نیز وابسته است.درصورتی که حاصل انتگرال به شکل مسیر بستگی نداشته باشد . دراین صورت میدان برداری مورد نظر را پایستار می گویند وانتگرال آن روی هر پربند بسته صفر می شود.اگر در نتیجه پایستار است.2-انتگرال سطحی یک بردار روی سطح : انتگرال سطحی بردار رو سطح را اینگونه تعریف می کنیم که عنصر سطح از سطح بوده، بردار یکه عمود برسطح وجهت آن به سمت خارج سطح بسته می باشد.49فصل1 بردارها

اسلاید 52: 50حاصل انتگرال سطحی به شکل صفحه قبل یک کمیت نرده ای می باشد.3- انتگرال حجمی بردار : یک بردار است و المان(عنصر) حجم از حجم می باشد.فصل1 بردارهاحاصل انتگرال حجمی یک بردار کمیتی برداری است .

اسلاید 53: 51مثال1-32صفحه41کتاب درسی :اگر و Vیک هشتم حجم کره درناحیه باشد،مطلوب است محاسبهحل: فصل1 بردارها

اسلاید 54: 52مثال1-33صفحه42کتاب درسی :بارالکتریکی نقطه ای q درمبداء مختصات فرض می شود. میانگین حجمی میدان الکتریکی آن را در حجم کره ای به شعاعR که مرکز آن روی بار فوق قرار دارد حساب کنید.حل: بنا به تعریف که درآن V حجم کره است.مولفه های عبارتنداز :فصل1 بردارها

اسلاید 55: 53ادامه مثال1-33:به همین ترتیبفصل1 بردارها

اسلاید 56: 54تمرین1-7-1صفحه43کتاب درسی :مقدار رابه دست آورید .حل:فصل1 بردارها

اسلاید 57: 55تمرین1-7-2صفحه43کتاب درسی :کار انجام یافته از نقطه تانقطه حاصل نیروی رابه دست آورید.مسیر انتخابی خود را دقیقا مشخص کنید وتوجه داشته باشید این نیرو پایستار نیست.حل:acdbفصل1 بردارها

اسلاید 58: 56ادامه تمرین1-7-2صفحه43کتاب درسی :فصل1 بردارها

اسلاید 59: 57تمرین1-7-3صفحه43کتاب درسی :مقدار راروی سطح مکعبی به ضلع واحد که یک راس آن در نقطه قرار داشته و درناحیه یک هشتم اول دستگاه مختصات باشد به دست آورید.حل:ابتدا مقدار انتگرال را برای سطوح مجاور نقطه (0.0.5) محاسبه می کنیم . با این فرض که راس اصلی مکعب روی این نقطه و بقیه آن بالای این نقطه قرار دارد :فصل1 بردارها

اسلاید 60: فصل1 بردارهابرای سه وجه دیگر مکعب خواهیم داشت :58

اسلاید 61: 59تمرین1-7-4صفحه43کتاب درسی : رادر حالت های زیر محاسبه کنیدالف:ب: ازنقطه تانقطهحل:الففصل1 بردارها

اسلاید 62: 60ادامه تمرین1-7-4صفحه43کتاب درسی : یافصل1 بردارها

اسلاید 63: 61ادامه تمرین1-7-4صفحه43کتاب درسی : ب:فصل1 بردارها

اسلاید 64: 62تمرین1-7-5صفحه43کتاب درسی :مقدار را محاسبه کنید،درصورتیکهV یک هشتم مثبت کره توپر باشد.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 65: فصل1 بردارهاواگرایی(دیورژانس)دیوژانس یک اپراتور برداری است که بزرگی میدان برداری چاه یا چشمه را در یک جهت معین اندازه گیری می کند.حاصل عمل اپراتور دیورژانس در یک کمیت برداری اسکالر خواهد بود.خود دیورژانس برداری است که در جهات مختلف مشتق می گیرد و ضرب داخلی این اپراتور در یک بردار مطابق انتظار ، به ما یک کمیت اسکالر خواهد داد.این کمیت در الکترو مغناطیس و بقای جرم استفاده می شود.همچنین در الکترومغناطیس ، دیورژانس بردار میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی 0 است. دلیل آن خیلی ساده است ، تعداد خطوط میدانی که به یک جسم وارد می شوند ، برابرند با تعداد خطوطی که خارج می شوند. دیورژانس نشان دهنده چگالی حجمی شار خروجی از (یا ورودی به) یک حجم بسیار کوچک در می باشد. 63

اسلاید 66: واگرایی(دیورژانس)یک تابع برداریواگرایی بردار راکه یک مشتق برداری است، بانماد یا نمایش می دهیم.تعریف واگرایی: یعنی واگرایی بردار عبارت است از حد انتگرال سطحی به ازای واحد حجم بردار وقتی حجم درون سطح به صفر میل کند.در صورتی که داشته باشیم: ،میدان برداری رامیدان سیملوله ای می گویند.واگرایی در مختصات دکارتی:64فصل1 بردارها

اسلاید 67: 65تمرین1-8-1صفحه46کتاب درسی :واگرایی توابع برداری زیر را به دست آوریدالف:ب:ج:حل:توابع فوق دارای مشتق های ساده ای هستند وهمانطور که می دانیم واگرایی با رابطه بدست می آید. پس داریم:الف:ب:ج:فصل1 بردارها

اسلاید 68: 66تمرین1-8-2صفحه46کتاب درسی :اتحاد بردای زیر راثابت کنیدکه درآن مشتق پذیر ند.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 69: 67تمرین1-8-3صفحه46کتاب درسی :با استفاده ازاتحاد بردایتمرین قبلی،واگرایی تابع برداری زیر رامحاسبه کنیدحل:ازتمرین 2داریم پس تابع فوق را به شکل مذکور تبدیل می کنیمفصل1 بردارها

اسلاید 70: 68فصل1 بردارهاتمرین 1-8-7 - میدان الکترواستاتیک بار نقطه ایی برابر است با واگرایی 𝐸 را بدست آورید .حل:

اسلاید 71: فصل1 بردارهانکته : می توان نشان داد ( ؟ ) که اگر باشد در آنصورت :مثال 1-36- نشان دهید سیملوله ایی است .69

اسلاید 72: 70تمرین1-8-8صفحه47کتاب درسی :ثابت کنیدحل:فصل1 بردارها

اسلاید 73: قضیه واگرایی(گاوس)انتگرال واگرایی یک بردار روی حجم برابر انتگرال سطحی مولفه عمود برسطح آن بردار روی سطح بسته مرزی حجم است:71فصل1 بردارها

اسلاید 74: 72مثال1-37صفحه48کتاب درسی :میدان بار الکتریکی نقطه ایq که درمبدا مختصات قرار دارد با عبارت مشخص می شود.ثابت کنید که درآنV هر حجم دلخواه است که بارq را دربر می گیرد.حل: بنا برقضیه واگرایی،داریم حال اگرE را جایگزین کنیم، می رسیم بهکه درآن ، مطابق شکل صفحه بعد ، تصویر عنصر سطح daروی صفحه عمود برr و برابر زاویه فضایی است. فصل1 بردارها

اسلاید 75: 73شکل1-21مثال 1-37xyznrفصل1 بردارها

اسلاید 76: زاویه فضاییدر هندسه، زاویه فضایی، که معمولاً با Ωنشان داده می‌شود، زاویه‌ای در فضای سه‌بعدی است که یک جسم روی یک نقطه را می‌پوشاند. این زاویه نشان می‌دهد که آن جسم از دید بیننده‌ای که از آن نقطه به جسم می‌نگرد چه‌قدر بزرگ می‌آید. برای نمونه، جسم کوچکی در فاصله نزدیک می‌تواند همان زاویه فضایی‌ای را بپوشاند که جسم بزرگی در دوردست می‌تواند. اگر جسم را روی سطح کره‌ای به مرکز آن نقطه تصویر کنیم، زاویه فضایی جسم متناسب است با مساحت بخشی از کره که جسم پوشانده است، تقسیم بر شعاع کره به توان دو:که در این رابطه kضریب تناسب است.یکای سنجش زاویه فضایی در سیستم استاندارد بین‌المللی واحدها استرادیان است. در یکای استرادیان، ضریب تناسب برابر با یک است.در مختصات کروی، جزء زاویه فضایی برابر با 𝑑𝛺=sin𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑است.فصل1 بردارها74

اسلاید 77: 75مثال1-39صفحه49کتاب درسی :باتوجه به اتحاد برداری تمرین1-8-2بخش قبل اگرE میدان الکتریکی و پتانسیل الکترواستاتیکی نظیر آن باشد نشان دهیدحل: می دانیماما از اتحاد مزبور داریماولین انتگرال سمت راست برابرصفر است. حال اگر را در انتگرال دوم بنشانیم فصل1 بردارها

اسلاید 78: 76تمرین1-9-1صفحه49کتاب درسی :مقدار را بااستفاده ازقضیه واگرایی برای حالتهای زیر محاسبه کنیدالف: وsسطح ب: وsسطحج: وsسطححل:الف:فصل1 بردارها

اسلاید 79: 77ادامه تمرین1-9-1صفحه49کتاب درسی :ب:ج:فصل1 بردارها

اسلاید 80: 78تمرین1-9-2صفحه50کتاب درسی :نشان دهید که درآنV حجمی است که با سطح بستهS محصور شده است.حل:فصل1 بردارها

اسلاید 81: فصل1 بردارها را روی سطح خمیده نیمکره و در صورتی کهحل:79تمرین1-9-4صفحه50کتاب درسی :

اسلاید 82: فصل1 بردارهاکرل یا تاو در ریاضیات برداری ، کرل عملگری برداری است که چرخش بی نهایت کوچک یک میدان برداری سه بعدی را در هر نقطه از فضا مشخص می کند . در هر نقطه از میدان کرل توسط یک بردار مشخص می شود که جهت کرل در راستای محور دوران است و بر اساس قاعده دست راست بدست می آید و اندازه کرل شدت چرخش را مشخص می کند . در بیان فیزیکی تاو بیانگر چرخش یک شاره یا سیال در فضا یا سطح است. یعنی اگر یک چرخ پره دار را در منطقه ی با تاو مثبت بگذاریم شروع به چرخش پادساعتگرد می کند.میدان برداری را که کرل آن صفر باشد را غیر چرخشی یا نا تاوی می نامیم .می توان نشان داد که اگر میدان غیر چرخشی باشد ، می توان آنرا بصورت ( منفی ) گرادیان یک پتانسیل اسکالر نوشت ( همانند میدان الکتریکی ) .80

اسلاید 83: فصل1 بردارها81

اسلاید 84: 82تاو(کرل)یک میدان برداریتاو یک بردار را به صورت یا نمایش می دهیم.تعریف تاو: ، یعنی تاو یک بردار عبارت است از حد نسبت انتگرال سطحی حاصل ضرب برداری بردار یکه عمود برسطح ( )دربردار ، روی سطح بسته ، به حجم وقتی که به سمت صفر میل می کند.در حالتی که شود، میدان برداری را ناتاوی(غیر چرخشی) گویند.فصل1 بردارها

اسلاید 85: تاو درمختصات دکارتی:83فصل1 بردارها

اسلاید 86: 84مثال1-40صفحه52کتاب درسی :بردار مفروض است.تاوآن را محاسبه کنید.حل: فصل1 بردارها

اسلاید 87: 85مثال1-41صفحه52کتاب درسی :ثابت کنیدحل: فصل1 بردارها

اسلاید 88: 86مثال1-42صفحه52کتاب درسی :الف:اتحاد برداری زیرراثابت کنیدب:باتوجه به اتحاد برداری بالا نشان دهید که درآن تابعf دوبار مشتق پذیراست.حل:الف: فرض می کنیمبنابراین داریم فصل1 بردارها

اسلاید 89: 87ب:می دانیم پس با استفاده از اتحاد بند الف داریماما ازمثال1-41می دانیم . پس به آسانی می رسیم بهزیرا استفصل1 بردارها

اسلاید 90: 88مثال1-44صفحه54کتاب درسی :اگرV,U ناتاوی باشند نشان دهید سیم لوله ای است.حل: می دانیملذاولی می دانیم Vو U ناتاوی اند یعنی پس نتیجه می گیریم که فصل1 بردارها

اسلاید 91: 89مثال1-45صفحه54کتاب درسی :گشتاودوقطبی الکتریکیPدرمبدا مختصات واقع است. این دوقطبی پتانسیل الکتریکی زیررا درمحلr به وجود می آوردمیدان الکتریکی را درr به دست آورید.حل: بافرض داریم فصل1 بردارها

اسلاید 92: 90تمرین1-10-1صفحه54کتاب درسی : تاو توابع برداری زیر را بدست آوریدالف:ب:ج:حل:الف:فصل1 بردارها

اسلاید 93: 91ادامه تمرین1-10-1صفحه54کتاب درسی :ب:فصل1 بردارها

اسلاید 94: 92ادامه تمرین1-10-1صفحه54کتاب درسی :ج:فصل1 بردارها

اسلاید 95: 93تمرین1-10-2صفحه55کتاب درسی : اگر باشدمطلوبست محاسبهالف:ب:ج:حل:الف:با استفاده از قاعده بک-کب می توان ثابت کرد :فصل1 بردارها

اسلاید 96: 94ادامه تمرین1-10-2صفحه55کتاب درسی :ب:فصل1 بردارها

اسلاید 97: 95تمرین1-10-4صفحه55کتاب درسی : اگرA ناتاوی باشد نشان دهید سیم لوله ای است.حل:چونA ناتاو است پس کرل آن صفر است. می دانیم کرل بردارr هم صفر است. اگر کرل عبارت فوق صفر باشد،سیم لوله ای خواهد بود:فصل1 بردارها

اسلاید 98: 96تمرین1-10-5صفحه55کتاب درسی : درمکانیک کوانتومی می دانیم عملگرهای تکانه زاویه ای به صورتهستند.نشان دهیدیعنیحل:فصل1 بردارها

اسلاید 99: 97تمرین1-10-8صفحه55کتاب درسی(سوال1تشریحی نیمسال اول88-89) :سرعت شارش دوبعدی شاره ای به صورت زیر استاگرشارش تراکم ناپذیر وشارش ناتاوی باشد نشان دهیددورابطه بالا را شرایط کوشی – ریمان می نامند.حل:با توجه به شرط تراکم ناپذیری a وشرط ناتاویbداریم:فصل1 بردارها

اسلاید 100: قضیه استوکسانتگرال خطی بردار روی پر بند بسته برابر است با انتگرال مولفه قائم تاو آن بردار روی هر سطحی که آن رادر بر می گیرد:که منحنی بسته ای است که را در بر می گیرد.98فصل1 بردارها

اسلاید 101: 99مثال1-46صفحه57کتاب درسی :اگر باشد مطلوبست محاسبهکهs بخشی از سطح در است.حل:با استفاده از قضیه استوکس داریممحل تقاطع سهمیگون و صفحه یک دایره است که معادله آن می باشد . پس برای مسیر به روش پارامتری خواهیم داشت :فصل1 بردارها

اسلاید 102: فصل1 بردارها100ادامه حل مثال صفحه 57

اسلاید 103: 101مثال1-48صفحه57کتاب درسی : بااستفاده ازقضیه استوکس مقدار رامحاسبه کنید.حل:از قضیه استوکس داریموبا درنظر گرفتن ازمثال1-41نتیجه زیر به دست می آید.فصل1 بردارها

اسلاید 104: 102تمرین1-11-3صفحه59کتاب درسی :اگر باشد مطلوبست محاسبه کهs بخشی از سطح در باشدحل:پسs همواره بخشی از سطح یک دایره است.فصل1 بردارها

اسلاید 105: 103تمرین1-11-5صفحه59کتاب درسی :الف: نشان دهید مقدار دوبرابر مساحت سطح تخت محصور در پربند انتگرال گیری است.ب: پیرامون بیضی با توصیف می شود.با استفاده از بند الف نشان دهید مساحت بیضی برابر با است.حل:الف:فصل1 بردارها

اسلاید 106: 104ادامه تمرین1-11-5صفحه59کتاب درسی :ب: راه حل 1فصل1 بردارها

اسلاید 107: 105تمرین1-11-6صفحه59کتاب درسی :با استفاده ازقضیه استوکس یاقضیه واگرایی هریک ازانتگرال های رابه آسان ترین راه ممکن حساب کنید.ب: راروی سطح بسته مکعب مستطیلی محدود به و و است را به ازای حل:فصل1 بردارها

اسلاید 108: 106فصل1 بردارهاالف: که بخشی از سطح است که بالای صفحه قرار دارد. در صورتی که حل :

اسلاید 109: 107سایر عبارتهای شامل عملگر لاپلاسین(لاپلاسی)،واگرایی شیب یک تابع اسکالر است،یعنی:عملگر لاپلاسی در مختصات دکارتی:به کمک تعریف ضرب برداری می توان ثابت کرد که تاوشیب یک تابع نرده ای دلخواه( ) همواره برابر صفر است،یعنی:درنتیجه شیب یک تابع ،ناتاوی (غیر چرخشی) است.فصل1 بردارها

اسلاید 110: برخی از کاربرد های لاپلاسی در فیزیک معادله لاپلاسمعادله موجمعادله پخش یا معادله رسانش گرماییمی توان نشان داد که: ،یعنی تاو یک تابع برداری همواره سیملوله ای است.با استفاده از دستور بک- کب می توان نشان داد که:108فصل1 بردارها

اسلاید 111: 109چند رابطه مهم در کاربرد های متوالی:فصل1 بردارها

اسلاید 112: 110مثال1-50صفحه62کتاب درسی : اگر باشد رابدست آورید .حل:فصل1 بردارها

اسلاید 113: 111مثال1-52صفحه63کتاب درسی :نشان دهید پاسخ معادله که درآن K مقدارثابتی است،درمعادله هلمهولتز، ،ودرشرط سیم لوله ای صدق می کند.حل:از رابطه(1-55)داریموبرای معادله مفروض می توان نوشتدرنتیجه داریمبرای این که رابطه بالا همواره برقرار باشد بایدبنابراین ملاحظه می کنیم کهA هم در شرط سیم لوله ای وهم در معادله هلمهولتز صدق می کند.فصل1 بردارها

اسلاید 114: 112مثال1-53صفحه63کتاب درسی :یکی از کاربردهای معادله(1-55)استفاده ازآن برای به دست آوردن معادله موج الکترومغناطیسی است. اگرمعادلات ماکسول در خلا به صورت زیر باشند: (1-57الف)(1-57ب)(1-57ج)(1-57د)که درآنE میدان الکتریکی و Bمیدان مغناطیسی و به ترتیب عبارتند ازگذر دهی الکتریکی وتراوایی مغناطیسی فضای آزاد(برحسب یکاهایSI).معادله موج الکترومغناطیس رادر خلا به دست آورید.فصل1 بردارها

اسلاید 115: 113ادامه مثال1-53صفحه63کتاب درسی :حل:نخست از رابطه (1-57ج)نسبت به زمان مشتق می گیریموسپس تاو دو سمت رابطه (1-57د)را به دست می آوریماما سمت چپ معادله بالا را می توان با کمک رابطه (1-55)ساده کردفصل1 بردارها

اسلاید 116: 114ادامه مثال1-53صفحه63کتاب درسی :ولی اولین جمله سمت راست رابطه بالا برابر صفر( ) است،در نتیجهیا(1-58)ومعادله(1-58)همان معادله موج الکترومغناطیسی درخلا است.فصل1 بردارها

اسلاید 117: 115تمرین1-12-1صفحه64کتاب درسی :لاپلاسی هریک ازمیدان های نرده ای را حساب کنیدب:حل:فصل1 بردارها

اسلاید 118: 116تمرین1-12-2صفحه65کتاب درسی :برای مطلوب استب:ج:حل:ب:ج:فصل1 بردارها

اسلاید 119: 117تمرین1-12-3صفحه65کتاب درسی :اگر باشد، نشان دهید برای هر سطح بستهS داریمحل:چون کرل یک بردار سیملوله ایی است که دیورژانس آن برابر صفر می باشد .فصل1 بردارها

اسلاید 120: 118تمرین1-12-7صفحه65کتاب درسی :ثابت کنیدحل:فصل1 بردارها

اسلاید 121: 119تمرین1-12-8صفحه65کتاب درسی :ثابت کنیدحل:فصل1 بردارها

اسلاید 122: فصل دوم دستگاه های مختصات

اسلاید 123: فصل دوم:در اين فصل در مورد جبر ودیفرانسیل و انتگرال بردارها در دستگاه مختصات خمیده که بسیار به کار می روند، می پردازیم.1- مقدمه2- مختصات خمیده خط3- عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیده4- دستگاه مختصات خاص:الف:دستگاه مختصات کرویب:دستگاه مختصات استوانه ای دوار( )5- جداسازی متغییر ها:120فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 124: 5- جداسازی متغییر ها:الف:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات دکارتیب:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات استوانه ای دوارج:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات قطبی کروی121فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 125: مقدمهدستگاه مختصات دکارتی از فصل مشترک سه سطح تخت عمود برهم ( )تشکیل می شودوبه هر محور یک بردار یکه با طول ثابت وجهت ثابت مربوط می شود که عبارتند از: .مختصات خمیده خطسه دسته سطح ثابت که الزاما عمود برهم یا مسطح نباشند را در نظر می گیریم.چون فصل مشترک سه دسته سطح ( ثابت وثابت وثابت )به صورت خط های خمیده شکل اند،مختصات( )را مختصات خمیده خط می نامند.122فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 126: 123هر نقطه دلخواه چون را در فضای می توان بایک سه تایی در مختصات دکارتی ( )یایک سه تایی در مختصات خمیده خط( )مشخص نمود.روابط تبدیل(رابطه های بین( )و( ))عبارتند از:روابط معکوس(روابط بین( )و( ))عبارتند از:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 127: 124برای هر سطح ثابت می توان یک بردار یکه چون عمود برسطح و درجهت افزایش تعریف کرد.بردار دلخواه در مختصات خمیده خط: ، ها بردارهای یکه هستند وجهت آن ها ثابت نیست.در صورتی که دستگاه راست گرد باشد:درمختصات خمیده خط،مربع طول عبارت است از: که را ضرایب متریک می نامند.می توان نشان دادکه:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 128: 125اگر دستگاه مختصات خمیده متعامد باشد:می توان نشان داد ( تمرین 2-2-5) به ازای داریم وتنها حالت های باقی می ماندکه آن هارا به صورت نشان می دهند. که راعامل مقیاس می نامند.به دست آوردن عامل مقیاس( ) :مجذور عنصر فاصله درمختصات خمیده خط :مماس ها به نقطه P در مختصات خمیده ، خط موازی با جهت های بابزرگی خواهند بود.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 129: 126بردار دیفرانسیلی فاصله( ) که بیانگر بردار دیفرانسیلی فاصله P تا Q است :شرایط متعامد بودن یک دستگاه مختصات:عنصرسطح درمختصات خمیده خط( ) :عنصر حجم درمختصات خمیده خط( ) :فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 130: 127مثال2-3صفحه77کتاب درسی:اگر رابطه های تبدیل بین مختصات خمیده ومختصات دکارتی به صورت زیر باشند :نشان دهید دستگاه مختصات متعامد است ومقدار رابدون استفاده ازرابطه(2-13) به دست آورید.حل:رابطه های تبدیل بالا را می توان به صورت زیر نوشتحال اگرr بردار مکان نقطه ای در فضا باشد:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 131: 128ادامه مثال2-3صفحه77کتاب درسی:آنگاه داریمبنابراین از رابطه بالا می توان را به دست آورد :از رابطه(2-18)شرط تعامد را می نویسیماکنون ببینیم که آیا در این حالت سه شرط بالا برقرار هستند یا نه.برای اولین رابطه داریمزیرا میدانیم i و j و k سه بردار متعامد درمختصات دکارتی اند.برای دومین رابطه داریم :فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 132: 129ادامه مثال2-3صفحه77کتاب درسی:وهمین طور برای سومین رابطه نتیجه می گیریمپس با قاطعیت می توان گفت دستگاه مختصات متعامد است .اما می دانیمبنابراین برای محاسبه باید dx و dyو dzرابه دست آوریم.می دانیمولی از رابطه های تبدیل داریمپسفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 133: 130ادامه مثال2-3صفحه77کتاب درسی:این عمل را برایdy وdzهم به صورت زیر انجام می دهیمولیپسوسرانجامپسدرنتیجه داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 134: 131ادامه مثال2-3صفحه77کتاب درسی:اکنون برای به دست آوردن از تعریف در مختصات خمیده استفاده می کنیم. یعنی داریمازمقایسه دو رابطه اخیر داریم:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 135: 132مثال2-4صفحه79کتاب درسی:برای دستگاه مختصات استوانه سهموی که به صورت زیر تعریف میشوند بردارهای یکه و ضرایب مقیاس را به دست آورید ونشان دهید این دستگاه متعامد است.همچنین عنصر حجم رابرای این دستگاه به دست آورید.حل:نخست بردارrرا دراین دستگاه به دست می آوریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 136: 133ادامه مثال2-4صفحه79کتاب درسی: اکنون مشتقات جزییr را نسبت بهu وv و zتعیین می کنیمازتقسیم بربزرگی بردارها داریمبنابراین از تساوی این رابطه با رابطه های قبلی داریماکنون با استفاده از ضرب نرده ای هرجفت بردار یکه می توان نشان داد که این دستگاه مختصات یک دستگاه مختصات متعامد استفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 137: 134ادامه مثال2-4صفحه79کتاب درسی:اما می دانیم پساما پسفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 138: 135ادامه مثال2-4صفحه79کتاب درسی:بنابراین یعنی دستگاه مختصات مزبور متعامد است.برای پیدا کردن عنصر حجم دراین دستگاه ازرابطه (2-21)داریم :فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 139: 136فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 1:برای دستگاه مختصات استوانه سهموی که به صورت زیر تعریف میشود،مقدار کدام است؟٭الف: ب:ج: د:حل: به مثال قبل ر.ک

اسلاید 140: 137مثال2-5صفحه80کتاب درسی:دردستگاه مختصات کروی وروابط تبدیل این دستگاه به دستگاه مختصات دکارتی به قرار زیر اندمطلوب است الف:تعیینب:تعیینج:نشان دهید این دستگاه مختصات متعامد استد: رابرای این دستگاه به دست آورید.حل:الف:از رابطه (2-13)داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 141: 138ادامه مثال2-5صفحه80کتاب درسی:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 142: 139ادامه مثال2-5صفحه80کتاب درسی:ب:می دانیم .بنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان نوشتوازآن به دست میآیدونیز برای داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 143: 140ادامه مثال2-5صفحه80کتاب درسی:ج:برای این که دستگاه مزبور متعامد باشد باید دوبه دوبرهم عمودباشند،یعنیدربررسی ضرب نرده ای اولین رابطه داریمقبل از ساده کردن رابطه بالا توجه داریم کهفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 144: 141ادامه مثال2-5صفحه80کتاب درسی:ازضرب جملات در یکدیگر داریمدردوجمله اول از فاکتور می گیریمبرای دومین رابطه داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 145: 142ادامه مثال2-5صفحه80کتاب درسی:با انجام عمل ضرب خواهیم داشتهمچنین برای سومین رابطه می نویسیمبنابراین نتیجه می گیریم دستگاه مختصات کروی،یک دستگاه متعامد است.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 146: 143ادامه مثال2-5صفحه80کتاب درسی:د:اکنون از رابطه (2-14)داریماز بند(الف)این مثال داریم بنابراین نتیجه می گیریماما از رابطه (2-21) برای dvداریمدرنتیجه برای این دستگاه مختصات به نتیجه زیر می رسیمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 147: 144فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 2:در دستگاه مختصات کروی می باشد با نوشتن روابط تبدیل این دستگاه به دستگاه دکارتی حاصل عبارت برابر است با:الف: ب:صفرج: 1 د:حل:روابط تبدیل دستگاه مختصات کروی به دکارتی به صورت زیر می باشندمی دانیم .بنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان نوشتواز آن به دست می آید

اسلاید 148: 145فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 2:اکنون به محاسبه می پردازیم:قبل از ساده کردن رابطه بالا توجه داریم کهاز ضرب جملات در یکدیگر داریم

اسلاید 149: 146مثال2-6صفحه83کتاب درسی:به طور تحلیلی نشان دهید اگر مختصات خمیده خط متعامدی باشند که با رابطه های تبدیل زیر تعریف شوندو ژاکوبیJ به صورت زیر تعریف شودآنگاه داریم فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 150: 147ادامه مثال2-6صفحه83کتاب درسی:حل:با اندکی دقت در دترمینان بالا متوجه می شویم که هرستون به ترتیب مولفه های دکارتی هستند.بنابراین، نتیجه می گیریم که این دترمینان برابر با ضرب سه گانه نرده ای این سه بردار است.یعنی داریم :زیرا بردارهای یکه متعامد اند. اگر این دستگاه راستگرد باشد در رابطه بالا علامت مثبت واگر دستگاه چپ گرد باشد علامت منفی به کار خواهد رفت. در هر حالت داریم:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 151: 148تمرین2-2-1صفحه84کتاب درسی :دردستگاه مختصات استوانه ای دوار ورابطه های تبدیل این دستگاه با دستگاه مختصات دکارتی به قرار زیر اندمطلوب است تعیین الف:عامل های مقیاسب:ج:نشان دهید این دستگاه مختصات متعامد استد: رابرای این دستگاه به دست آورید.حل:الف:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 152: 149ادامه تمرین2-2-1صفحه84کتاب درسی :ب:ج:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 153: 150ادامه تمرین2-2-1صفحه84کتاب درسی :د:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 154: 151عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیدهشیب یاگرادیان یک تابع:واگرایی یادیورژانس تابع برداری :فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 155: 152عملگر یالاپلاسی:عملگر تاو(کرل)یک تابع برداری :فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 156: 153مثال2-7صفحه86کتاب درسی:باتوجه به مثال2-5 بخش قبلی رابطه شیب تابع را در مختصات کروی به دست آورید.حل:طبق بحث مثال 2-5داریمبنابراین با جایگزینی در رابطه (2-25)داریم:(2-26)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 157: 154مثال2-8صفحه86کتاب درسی:باتوجه به مثال2-4 بخش2-2 رابطه شیب تابع را در مختصات استوانه سهموی به دست آورید.حل:با توجه به مثال مزبور داریم:بنابراین فوری از رابطه (2-25) داریم:(2-27)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 158: 155مثال2-9صفحه86کتاب درسی:از معادله(2-17)بردارهای یکه متعامد را می توان به کمک رابطه زیر تعریف کرد:(2-28)وچون است،نشان دهید ازآن رابطه ای برای به دست می آیدکه با معادله (2-13)سازگار است.حل:ازجایگزینی در رابطه داریم:(2-29)اما می دانیم پس نتیجه می گیریم :فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 159: 156ادامه مثال2-9صفحه86کتاب درسی:ازجایگزینی این رابطه درمعادله (2-29)فوری نتیجه می شود:که همان معادله (2-13)می باشدفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 160: 157مثال2-10صفحه88کتاب درسی:واگرایی نیروی مرکزی کولنی رامحاسبه کنیدحل:چنانکه درآغاز این فصل بیا ن شد، بسته به نوع مسئله وتقارن مربوط، دستگاه مختصات راطوری انتخاب می کنیم که حل مسئله آسان باشد.بادرنظر گرفتن این مطلب، واضح است که برای حل این مسئله، به دلیل تقارن کروی ،دستگاه مختصات کروی بهترین انتخاب است.دراین دستگاه مختصات داریم(مثال2-5همین فصل)درنتیجه داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 161: 158مثال2-11صفحه89کتاب درسی:می دانیم عملگر یا لاپلاسی به معنی واگرایی شیب است، یعنی .باتوجه به این تعریف رابطه عملگر را درمختصات خمیده به دست آورید.حل:بنابه رابطه(2-25)داریماکنون با نشاندن آن درمعادله(2-32)داریمویا(2-33)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 162: 159مثال2-12صفحه89کتاب درسی:معادله لاپلاس رادر مختصات استوانه سهموی بیان کنید وتمام جوابهای آن را که به صورت است،به دست آورید.حل:باتوجه به مثال 2-4 داریمبا نشاندن آن در رابطه (2-33)معادله لاپلاس به صورت زیر به دست می آیدفرض می کنیم وبا جایگزینی درمعادله بالا داریمانتگرال آن به نتیجه زیر می رسد یافصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 163: 160ادامه مثال2-12صفحه89کتاب درسی:که درآن AوB مقدارهای ثابت اختیاری هستند.سرانجام داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 164: 161مثال2-13صفحه91کتاب درسی:ثابت کنید:که درآن تابع دلخواه خوشرفتار و بردار یکه درامتداد r است.حل:اگرفرض کنیم ،درمختصات کروی داریم،ونیز می دانیمبنابراین طبق رابطه (2-34)به نتیجه زیر می رسیمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 165: 162تمرین2-3-1صفحه91کتاب درسی :بردار یکه رادرجهت افزایش فرض کنید ونشان دهیدالف:حل:ازمعادله(2-32)داریم:دراینجا داریم:بنابراینفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 166: 163تمرین2-3-2صفحه91کتاب درسی :با استفاده از رابطه (2-33)، را در مختصات کروی به دست آورید.حل:درمختصات کروی داریم:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 167: 164ادامه تمرین2-3-2صفحه91کتاب درسی :بنابراین:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 168: 165فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 3:در دستگاه مختصات قطبی برابر است با:الف: ب:ج: د:حل:رابطه زیر در دستگاه مختصات قطبی کروی برقرار است،برای یافتن پاسخ باید از نسبت به yمشتق بگیریممی دانیم مشتق عبارت است از بنابراین:

اسلاید 169: 166فصل 2 دستگاه های مختصاتروابط تبدیل بین دستگاه مختصات کروی ودکارتی به صورت زیر می باشد:با استفاده از روابط تبدیل، برای خواهیم داشتادامه تست 3:

اسلاید 170: 167فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 3:

اسلاید 171: 168فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 4:حاصل عبارت برابر است با:الف: ب:صفرج: د:حل:دیورژانس درمختصات کروی به صورت زیر می باشد:حال برای یافتن ابتدا را حساب می کنیم ودرآخر رابه جای قرار می دهیم

اسلاید 172: تست 5:اگر باشدآنگاه برابر است با:٭الف: ب:ج: د:حل:دیورژانس را درمختصات کروی حل می کنیم:169فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 173: 170دستگاه های مختصات خاصدستگاه مختصات کرویدراین دستگاه ( )به صورت ( )بیان می شوند.دسته سطوحی که این سه مختصه روی آن ها ثابتند. عبارتند از: کره های هم مرکز حول مبدا: ثابت مخروط های دوار قائم،حول محور بارأسی واقع درمبدا: ثابتنیم صفحاتی که ازمحور (قطبی)می گذرند: ثابتفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 174: 171روابط تبدیل بین دستگاه های مختصات کروی ودکارتی:به گونه ای که، ازمحور مثبت و درصفحه واز محور مثبت اندازه گیری می شوندودامنه آن هاعبارت است از:عامل های مقیاس درمختصات کروی عبارتند از:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 175: 172عنصر حجم درمختصات کروی:عنصرسطحی درمختصات کروی:عنصر زاویه حجمی(فضایی):بردارهای یکه برحسب بردارهای یکه مختصات دکارتی یعنی :فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 176: 173مثال2-14صفحه92کتاب درسی:رابطه های تبدیل دستگاه مختصات کروی ودکارتی را به دست آورید.حل:ازمعادله های (2-35)تا(2-37)داریم(2-35الف)(2-36الف)(2-37الف)ازدومین معادله بالا فوری به دست می آیدباجایگزینی آن درمعادله(2-35الف) داریم:(2-38)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 177: 174ادامه مثال2-14صفحه92کتاب درسی:اما ازمعادله (2-37الف)می توان نتیجه گرفت(2-39)با نشاندن(2-39)در(2-38) واستفاده از اتحاد مثلثاتیرابطه زیر به دست می آیدوسرانجام با نشاندن آن در(2-39)نتیجه می شودبنابراین به طور کامل رابطه های تبدیل بین دستگاه مختصات کروی ودکارتی به دست می آیند(2-40)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 178: 175ادامه مثال2-14صفحه92کتاب درسی:توجه داریم را ازمحورz مثبت و رادر صفحهxy ازمحورx مثبت اندازه می گیریم.دامنه آنها به قرار زیر استاگربه مثال2-5 بخش(2-3) برگردیم،ملاحظه می کنیم که عامل های مقیاس این دستگاه به قرار زیرند(2-41)وهمین طور برای عنصر حجمی داریم(2-42)اگر(ثابتr=)باشد،عنصر سطح در این مختصات به صورت زیر خواهد بود(2-43)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 179: 176ادامه مثال2-14صفحه92کتاب درسی:بنابراین عنصر زاویه حجمی(فضایی)دراین حالت برابر است با(2-44)وتوجه داریم که است.حال اگر از رابطه(2-43) روی زاویه سمتی انتگرال بگیریم،عنصر سطح به صورت حلقه ای به عرض در میآید(2-45)همچنین عنصر حجم را می توان به صورت زیر نوشت(2-46)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 180: 177مثال2-15صفحه95کتاب درسی:مساحت بخشی از کره ای به شعاع واحد را که مرکز آن در مبدا مختصات قرار دارد وبین است به دست آورید.حل:از رابطه(2-43)به ازایr=1 داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 181: 178مثال2-16صفحه96کتاب درسی(سوال 2تشریحی نیمسال اول85-86):باتوجه به معادله(2-28) رابطه بین بردار های یکه را درمختصات قطبی با دکارتی به دست آورید.حل:ازمعادله(2-28)داریم(2-47)اما می دانیموبا توجه به رابطه(2-41)داریمبنابراین به آسانی به نتیجه های زیر می رسیمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 182: 179ادامه مثال2-16صفحه96کتاب درسی:(2-48)چنانکه پیش از این گفتیم،ملاحظه می شود جهت بردارهای یکه با تغییرمکان(یعنی باتغییر )تغییرمی کند.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 183: 180مثال2-17صفحه96کتاب درسی:بردارنیرو F درمختصات دکارتی به صورت زیر استاین بردار رابرحسب مختصات قطبی کروی وبردار های یکه آن بیان کنید.حل:باتوجه به تمرین(2-4-2)،داریم(2-49)بنابراین با نشاندن آنها ورابطه های تبدیل(2-40)درFنتیجه می شودرابطه های تبدیل(2-40)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 184: 181مثال2-18صفحه97کتاب درسی:در فیزیک نوین با خاصیت پاریته(یعنی کمیتی تحت وارونی دستگاه مختصات ناوردا بماند یا تغییر علامت بدهد)سروکار داریم که بسیار مهم است. می دانیموارونی در دستگاه مختصات دکارتی به صورت:است.الف:نشان دهیدوارونی(یعنی انعکاس ازمبدا) نقطه نسبت به محورهای ثابت،شامل تبدیل های زیر استب:نشان دهید پاریته فرد دارند(یعنی تغییر علامت می دهند)و پاریته زوج دارد(یعنی تغییر علامت نمی دهد).حل:الف:اگر ازرابطه های تبدیل داریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 185: 182ادامه مثال2-18صفحه97کتاب درسی:ب:اکنون از رابطه های(2-48) استفاده می کنیم وتوجه داریم جهت بردارهای یکه iوjوkثابت اند.پاریته فردپاریته زوجپاریته فردفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 186: 183فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 6:کدام یک از بردارهای یکه پاریته زوج دارد؟الف: ب:٭ج: د:حل:ر.ک مثال2-18صفحه97

اسلاید 187: 184فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 7:دردستگاه مختصات کروی عنصر زاویه حجمی (فضایی)برابر است با:الف: ب:ج: ٭د:حل:ر.ک مثال2-14صفحه92

اسلاید 188: 185فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 8:حاصل عبارت برابر است با:الف: ب:٭ج: صفر د:حل:

اسلاید 189: 186گرادیان(شیب تابع)درمختصات کروی:واگرایی(دیوژرانس)درمختصات کروی:لاپلاسی درمختصات کروی:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 190: 187تاو(کرل)برداردرمختصات کروی:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 191: 188مثال2-24صفحه101کتاب درسی(سوال1 تشریحی نیمسال دوم89-90):اگر پتانسیل برداری مغناطیسی Aبرقرار باشدنشان دهید این پتانسیل برداری به القای مغناطیسیB ناشی ازیک دو قطبی مغناطیسی نقطه ای با گشتاور دو قطبیm منجر می شود.فرض کنید است.حل:فرض می کنیم باشد ومی دانیم و است بنابراین داریماز(2-53)به نتیجه زیر می رسیمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 192: 189ادامه مثال2-24صفحه101کتاب درسی:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 193: 190فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 9:کدام یک از سطوح زیر مربوط به سطوح مختصات دستگاه کروی نمی باشد؟الف: کره های هم مرکز ب:مخروط های دوار قائم حول محورZ٭ج: صفحه های موازی با صفحه XY د:نیم صفحه های گذرنده ازمحورZحل:دردستگاه کروی مختصات ،دسته سطوحی که این سه مختصه روی آن ها ثابت اند به صورت زیر می باشد:1.کره های هم مرکز حول مبدا ثابت2.مخروط های قائم حول محورzبا راسی واقع درمبدا ثابت3.نیم صفحاتی که از محور zمی گذرند ثابت

اسلاید 194: 191فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 9:دردستگاه مختصات استوانه ای ،دسته سطوحی که این سه مختصه در روی آن ها ثابت ان به قرار زیر است:1.استوانه های مستیر قائمی که محورz،محور مشترک آن ها است: ثابت2.نیم صفحه های که از محورz می گذرند: ثابت3.صفحه هایی موازی باصفحه xy(ماننددستگاه دکارتی): ثابت=Z

اسلاید 195: 192دستگاه مختصات استوانه دوار( )در این دستگاه ( )به صورت( )بیان شده ودسته سطوحی که این سه مختصه روی آن هاثابت اند،عبارت انداز:استوانه های دایروی قائمی که محور ،محور مشترک آن ها است: ثابتنیم صفحه هایی که ازمحور می گذرند: ثابتصفحه هایی موازی باصفحه : ثابتفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 196: 193روابط تبدیل بین دستگاه مختصات استوانه ای ودکارتی:که زاویه ازمحور مثبت اندازه گیری می شود ودامنه های مختصات عبارتند از:عامل های مقیاس در مختصات استوانه ای:عنصر حجم درمختصات استوانه ای:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 197: 194مثال2-25صفحه103کتاب درسی:رابطه های تبدیل بین دستگاه مختصات استوانه ای دواررابا دستگاه مختصات دکارتی به دست آورید.حل:ازمعادله(2-57)داریمازمعادله(2-56)به نتیجه زیر می رسیم یابنابراین بانشاندن آن درمعادله(2-55)داریموچون میدانیم است بنابراینفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 198: 195ادامه مثال2-25صفحه103کتاب درسی:وبه آسانی نتیجه می شودبنابراین رابطه های تبدیل به قرار زیراند(2-60)همچنین عنصر حجم دراین دستگاه برابر است با(2-61)مانندستگاه مختصات قطبی کروی،جهت بردارهای یکه این دستگاه نیز نسبت به مکان های مختلف تغییر میکنندوثابت نیستند.بنابراین به هنگام مشتق گیری از بردارها باید به این نکته توجه داشت.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 199: 196بردارهای یکه مختصات استوانه ای برحسب بردارهای یکه مختصات دکارتی:شیب(گرادیان)در مختصات استوانه ای:واگرایی(دیوژرانس)درمختصات استوانه ای:لاپلاسی درمختصات استوانه ای:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 200: 197تاو(کرل) بردار درمختصات استوانه ای:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 201: 198مثال2-26صفحه104کتاب درسی:باتوجه به معادله(2-28)رابطه بین بردارهای یکه را درمختصات استوانه ای دوار با مختصات دکارتی به دست آورید.حل:اما میدانیمبنابراین(2-62)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 202: 199ادامه مثال2-26صفحه104کتاب درسی:درنتیجه با توجه به شکل(2-8)،بردار یکه به سطح استوانه عمود ودرجهت افزایش شعاع است، برداریکه برسطح استوانه مماس وبه نیم صفحه ثابت عمود ودرجهت افزایش زاویه سمتی است،وبردار یکه همان بردار یکه درمختصات دکارتی است.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 203: تست 10:دردستگاه مختصات استوانه ای برابر است با:الف: ٭ب:ج: د:صفرحل: ؟200فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 204: تست 11:اگر باشد،حاصل عبارت چقدر است؟الف: ٭ب:ج: د:حل: ؟201فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 205: 202فصل 2 دستگاه های مختصاتتست12:حجم پوسته استوانه ای که است برابر است با:الف: ب:ج: د:حل:برای یافتن حجم این پوسته استوانه ای باید از المان حجم در مختصات استوانه ای انتگرال گرفت

اسلاید 206: 203فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 13:بردار مکان برحسب بردارهای یکه در دستگاه استوانه ای دوار برابر است با:الف: ب:ج: د:حل:در دستگاه مختصات استوانه ای روابط زیر برقرار است :حال این روابط را در بردار مکان جایگزین می کنیم.

اسلاید 207: 204فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 13:

اسلاید 208: 205مثال2-27صفحه105کتاب درسی:بردار رادر مختصات استوانه ای دوار وبرحسب بردارهای یکه بیان کنید.حل:بنابراین با نشاندن آنها ومعادله های(2-60): درFداریمفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 209: 206تمرین2-4-1صفحه107کتاب درسی :اگر باشد، را درمختصات کروی به دست آورید.حل:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 210: 207تمرین2-4-9صفحه109کتاب درسی :یک پوسته کروی چرخان، که به طور یکنواخت باردار شده است،یک پتانسیل برداری مغناطیسی به قرار زیر در فضا ایجاد می کندکه درآن aشعاع پوسته کروی، چگالی سطحی بار و سرعت زاویه ای آن است. القای مغناطیسی رابه دست آورید.حل:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 211: 208ادامه تمرین2-4-9 الف:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 212: 209ادامه تمرین2-4-9 ب:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 213: 210تمرین2-4-12صفحه109کتاب درسی(سوال 2تشریحی نیمسال دوم86-87) :اگر از سیم رسانایی که در امتداد محورz قرار دارد ،جریان الکتریکی Iعبور کند، پتانسیل برداری مغناطیسی حاصل به صورت زیر استنشان دهیدB القای مغناطیسی آن از رابطه زیر به دست می آید حل:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 214: تست 14: از سیم هادی در امتداد محورzجریانI عبور می کند، اگر پتانسیل برداری مغناطیسی حاصل برابرباشد،میدان مغناطیسی دراطراف این سیم برابر است با:الف: ٭ ب:ج: د:حل:باتوجه به رابطه جواب این سوال به راحتی باگرفتن کرل از تابع به دست می آید.فقط باید دقت کنیم که کرل را درچه دستگاهی بنویسیم،بادقت درگزینه ها می بینیم که ازمختصات استوانه ای استفاده شده پس کرل را دردستگاه استوانه ای می نویسیم.211فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 215: 212فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 14:باتوجه به گزینه ها

اسلاید 216: 213جداسازی متغیرهامعادله در حل مسائل فیزیک کاربرد زیادی دارداگر1) : معادله لاپلاس،2) : معادله هلمهولتز 3) : معادله پخش 4) ثابت : معادله شرودینگرجداسازی متغیرهادر دستگاه مختصات دکارتیمسأله راباحل معادله هلمهولتز شروع می کنیم که دارای جوابی به صورت زیر می باشدفصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 217: 194باقراردادن درمعادله هلمهولتزوتقسیم بر به دست خواهیم آورد.که . که ثابت هایی اندکه درمعادله صدق می کنند.درنتیجه پاسخ به صورت زیرخواهد بود:که بایدهم در شرایط مساله وهم درشرط صدق کنند.214فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 218: 215اگرعملگر یک عملگر خطی باشد،آن گاه تابع که در معادله هلمهولتز صدق می کند،برابرحاصل ضرب سه تابع مستقل ازهم خواهد بودوهمچنین برابرباترکیب خطی هاخواهد بود:شرط خطی بودن عملگر :که درآن یک ثابت اختیاری است.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 219: 216فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال 2-32 صفحه113کتاب: کدامیک از عملگرهای زیر خطی هستند؟)الف()ب()ج( حل:الف)اگر بخواهد یک عملگر خطی باشد باید در دو شرط (2-83) و (2-84) صدق کند یعنی بایدوباشد. نخست اولین شرط را بررسی می کنیمکه برقرار است اما برای دومین شرط داریمو دومین شرط نیز برقرار است. لذا می گوییم یک عملگر خطی است.

اسلاید 220: 217فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال 2-32 صفحه113کتاب: ب)از اولین شرط داریمکه برقرار است. اما برای دومین شرط داریمدر نتیجه نیز یک عملگر خطی است.ج)از اولین شرط داریماما در حالت کلی در صورتی خواهد بود که یک ثابت حقیقی باشد. چون چنین شرطی را برای نداری پس می توان نتیجه گرفت:بنابراین می گوییم یک عملگر خطی نیست.

اسلاید 221: 218فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال 2-33 صفحه114کتاب: نشان دهید عملگر یک عملگر خطی است.حل)عملگر در صورتی خطی است که در دو شرط (2-83) و (2-84) صدق کند. نخست اولین شرط را بررسی می کنیمدر نتیجه اولین شرط برقرار است. برای دومین شرط داریم

اسلاید 222: 219فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال 2-34 صفحه 115 کتاب: یک ذره اتمی در جعبه ای به یالهایaوbوcمحبوس است. در مکانیک کوانتومی این ذره ریز با تابع موج توصیف می شود که در معادله شرودینگر زیر صدق می کند که در آنE انرژی وmجرم ذره و ثابت پلانک است. چون ذره در جعبه محبوس است بنابراین باید روی شش وجه جعبه مزبور برابر صفر باشد. این شرط محدودیت هایی بر ثابت های جداسازی و در نتیجه بر انرژیEاعمال می کند. کمترین مقدارE را به دست آورید.حل) دو طرف معادله بالا را بر تقسیم می کنیمفرض می کنیم باشد.بنابراین داریم

اسلاید 223: 220فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال 2-34 صفحه 115 کتاب:روش جداسازی را در معادله بالا به کار می بریم تا نتیجه های زیر به دست آیند.نخست اولین معادله را حل می کنیمYXZabc

اسلاید 224: 221فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال 2-34 صفحه 115 کتاب:اگرX(x) بخواهد در معادله بالا صدق کند باید به صورت یا باشد.با توجه به بازهxکه بین0 تاa تغییر می کند انتخاب مناسب تر است. از معادلات دیفرانسیل می دانیم اگر یک معادله دیفرانسیل چند پاسخ داشته باشد، ترکیب خطی آنها نیز پاسخ معادله خواهد بود. بنابراین(2-85)که در آن AوB ثابت کاملاً اختیاری دلخواه هستند. اما می دانیم روی شش وجه جعبه مزبور تابع موج باید برابر صفر باشد. با توجه به شکل (2-9) فرض می کنیم مبدأ مختصات در یک کنج جعبه مکعب مستطیل قرار داشته باشد. در نتیجه شرایط مرزی زیر را برایX(x)به دست می آوریم(2-86)از اولین شرط مرزی داریمیعنی ثابت دلخواهB باید برابر صفر باشد. چون این ثابت به تابع مربوط می شود و تابع کسینوس یک تابع زوج است، بنابراین می گوییم شرایط مرزی مسئله تابع زوج را حذف کرده است. از دومین شرط مرزی داریم

اسلاید 225: 222فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال 2-34 صفحه 115 کتاب: بنابراین باید باشد. نتیجه اینکه(2-87الف)پرسش: چراp=0نمی تواند باشد؟همین روش را برای دو معادله دیفرانسیل معمولی دیگر اعمال می کنیم و به نتیجه های زیر می رسیم.(2-87ب)(2-87ج)اما از رابطه (2-79) داریمبا نشاندن سه رابطه (2-87) در رابطه بالا می رسیم بهو یا(2-88)اما کمترین مقدارEوقتی است کهp=q=r=1 باشد. بنابراین نتیجه می شود:(2-89)

اسلاید 226: 223جداسازی متغییرها دردستگاه مختصات استوانه ای دوارباقرار دادن درمعادله هلمهولتزخواهیم داشت: که با قرار دادن درمعادله هلمهولتزوتقسیم آن بر به دست می آوریم: (2) (1)معادله بسل: (3)فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 227: 224درحالت کلی پاسخ های معادلات صفحه قبل عبارتنداز: یا : برای معادله(1) یا : برای معادله(2)وبرای معادله(3) : توابع بسل که به صورت بیان می شوند.درنتیجه جواب عبارت است : وجواب کل که ترکیب خطی است:که ثابت اختیاری است وبا شرایط مرزی مسئله تعیین می شود.ثابت های جداسازی از شرایط مرزی مسئله ورابطه تعیین می شوند.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 228: 225فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال (2-35)صفحه 119کتاب: کاواک دواری به شعاع قاعده a در نظر بگیرید که دیواره آن کاملاً رسانا باشد. امواج الکترومغناطیس در چنین کاواکی منتشر می شوند. اگر فرض کنیم وابستگی زمانی میدان مغناطیسی به صورت باشد، آنگاه از معادلات ماکسول نتیجه می شود(2-104)با شرط نشان دهید که مؤلفهzمیدان الکتریکی، در معادلهصدق می کند، که در آن است. با شرایط مرزی آن را حل کنید.حل: با توجه به اتحاد زیرمعادله (2-104) را ساده می کنیماما می دانیم است، در نتیجهو سر انجام

اسلاید 229: 226فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-35)صفحه 119کتاب:اما می دانیم پس داریم(2-105)البته با شرط مرزی و با استفاده از معادله (2-90)، معادله (2-105) به صورت زیر در می آید(2-106)اکنون فرض می کنیم(2-107)با نشاندن (2-107) در (2-106) و تقسیم آن بر داریماکنون عبارت وابسته به مختصه z را برابر با می گیریم

اسلاید 230: 227فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-35)صفحه 119کتاب:توجه داریم پاسخ های معادله بالا برای حالت موبر به صورت و برای مسئله هایی باzمحدود مانند کاواک به صورت خواهد بود.فرض می کنیم باشد و جمله مربوط به را جدا و برابر با می گیریم(2-109)که پاسخ هایی نیز به صورت یا است. سرانجام معادله وابسته به به صورت زیر در می آیدمعادله بالا، معادله بسل است و در مورد پاسخ های این معادله و ادامه این مثال در فصل مربوط به توابع بسل به تفصیل بحث خواهد شد.

اسلاید 231: 228فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال (2-36)صفحه 121کتاب: معادله لاپلاس را در مختصات استوانه ای وقتیکه است حل کنید.حل) می دانیم اما چون است، بنابراین جمله اول معادله باقی می ماند. یعنی داریم  دو سمت معادله بالا را در ضرب می کنیم و می رسیم به نتیجه زیربنابراین عبارت داخل پرانتز باید برابر با مقدار ثابتی باشد، این مقدار ثابت راk می گیریمدر نتیجه پاسخ معادله دیفرانسیل مرتبه اول بالا را می توان به صورت زیر نوشت(2-111)

اسلاید 232: 229فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-36)صفحه 121کتاب:که aیک ثابت اختیاری دیگر است. اما با توجه به شرط مرزی داریم بنابراین را در معادله (2-111) می نشانیم و حاصل را برابر صفر می گیریم و می رسیم بهدر نتیجه داریمبا نشاندن مقدارa در رابطه (2-111) پاسخ به دست می آید

اسلاید 233: 230فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال (2-37)صفحه 122کتاب: نشان دهید اگر در معادله هلمهولتز ثابت نباشد بلکه برابر با تابعی از چون باشد، هنوز این معادله را می توان در دستگاه مختصات استوانه ای دوار جداسازی کرد.حل) معادله هلمهولتز را در مختصات استوانه ای دوار می نویسیماکنون مانند متن درس فرض می کنیمو با نشاندن آن در معادله هلمهولتز داریمدو سمت معادله را بر تقسیم می کنیمو عبارت را برابر با می گیریم

اسلاید 234: 231فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-37)صفحه 122کتاب:و به نتیجه زیر می رسیماکنون معادله بالا را در ضرب می کنیم و نتیجه را به صورت دو جمله در می آوریم که یکی تابع و دیگری تابع باشد سومین جمله را که فقط تابعی از است برابر با می گیریمسرانجام داریمبنابراین معادله اصلی به سه معادله دیفرانسیل معمولی جداسازی شده است.

اسلاید 235: 232جداسازی متغیرها در دستگاه مختصات قطبی کرویباقراردادن در معادله هلمهولتز به دست می آوریم : باقرار دادن درمعادله هلمهولتز وتقسیم طرفین معادله بر خواهیم داشت :معادله دیفرانسیل که جواب های را به دست می دهد.معادله همبسته لژاندربرای یافتن جواب های :که درآن که یک عددصحیح است وتوابع راتوابع لژاندر وابسته می گویند.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 236: 233معادله شعاعی(معادله کروی بسل) برای یافتن جواب های :که به ازای،ثابت مثبت ،جواب های آن توابع بسل کروی خواهند بود.پاسخ کلی معادله هملهولتز درمختصات کروی :در صورتی که باشد،معادله هلمهولتز را م توان باروش جداسازی حل نمود وبه جای معادله کروی بسل به معادله همبسته لاگر می رسیم.ممکن است تابع صادق درمعادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی،تابع صریحی از زمان باشد،بنابراین لازم است درمورد حل این نوع معادلات بحث شود.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 237: 234فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال (2-38)صفحه 125کتاب:نشان دهید اگر در معادله هلمهولتز باشد باز هم آن معادله را می توان در دستگاه مختصات قطبی کروی جداسازی کرد.حل) معادله هلمهولتز را به صورت زیر می نویسیمو فرض می کنیمو با نشاندن آن در معادله دیفرانسیل بالا و تقسیم هر عبارت بر داریماز ضرب معادله بالا در به نتیجه زیر می رسیم

اسلاید 238: ادامه مثال (2-38)صفحه 125کتاب:اکنون عبارت را به سمت دیگر معادله می بریمملاحظه می شود که سمت چپ معادله بالا تابعی از و سمت راست آن تابعی از و است. چون این معادله باید به ازای همه مقادیر و و برقرار باشد، بنابراین هر سمت آن باید برابر با مقدار ثابتی چون باشد. از جملهبنابرایناکنون این معادله دیفرانسیل جزئی را به صورت دو معادله دیفرانسیل معمولی می نویسیم. برای این عمل معادله بالا را بر تقسیم می کنیم235فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 239: 236فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-38)صفحه 125کتاب:دو عبارت مربوط به را به سمت دیگر معادله می بریم بار دیگر بنابر همان استدلال قبلی هر سمت معادله بالا را برابر با مقدار ثابتی چون می گیریمو نیزکه این معادله را می توان به صورت زیر درآورد(2-126)

اسلاید 240: 237فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-38)صفحه 125کتاب:چنانکه ملاحظه می شود معادله هلمهولتز را می توان حتی برای جداسازی کرد، اما تفاوت این جداسازی با حالت ثابت ، تنها در شکل دو معادله (124-2) و (126-2) است. معادله (126-2) را معادله همبسته لاگر می نامند (در فصل توابع خاص در مورد این معادله مفصل بحث خواهد شد) و در مسئله اتم هیدروژن از حل معادله موج شرودینگر ظاهر می شود. توجه داریم شرط به طور گسترده در مسایل فیزیک به کار می رود و روش جداسازی متغییرها در مختصات قطبی کروی در آن بسیار کارساز است، زیرا شرط درنظریه های گرانش، الکترواستاتیک، فیزیک هسته ای، و غیره برقرار است.

اسلاید 241: 238فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال (2-39)صفحه 126کتاب:معادله لاپلاس را برای حالتی که باشد در مختصات قطبی کروی حل کنید.حل) با نشاندن در معادله لاپلاس داریم:دو سمت معادله بالا را در ضرب می کنیم(2-127)بنابراین باید عبارت داخل پرانتز را در معادله (2-127) برابر با مقدار ثابتی چونa باشدو یا(2-128)که پاسخ معادله (2-128) به صورت زیر خواهد بود(2-129)

اسلاید 242: 239فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-39)صفحه 126کتاب:که در آنa وb دو مقدار ثابتی هستند و از شرط مرزی می توان یکی از آن دو را بر حسب دیگری به دست آوردیعنی(2-130)با نشاندن (2-130) در (2-129) سرانجام می رسیم به (2-131)که مقدارa را می توان از شرایط اولین مسئله تعیین کرد.

اسلاید 243: 240الف)معادله رسانش گرما یا پخش نوتروناین معادله به صورت زیر است ممکن است دمای ماده همگن باشد دراین صورت راثابت گرمایی می نامندکه برابر است با که درآن رسانای گرمایی و گرمای ویژه و چگالی جسم است. ممکن است شار ذرات در درون یک ماده همگن باشد که در این صورت را ثابت پخش می نامند. باقرار دادن درمعادله اصلی وتقسیم طرفین معادله بر خواهیم داشت:فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 244: 241معادله هلمهولتز : که می توان به آسانی با انتگرال گیری تابع رایافت.ب) معادله موجاین معادله به صورت زیر است ممکن است بیانگر جابه جایی از تعادل سیم یا غشا یا ماده ارتعاشی باشد در این صورت خواهد بود که درآن کشش و چگالی ماده است. درالکتریسیته ومغناطیس ممکن است جریان یا پتانسیل درامتداد خط تراگسیل ویامولفه یا در امواج الکترومغناطیسی باشد.فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 245: 242 باقراردادن درمعادله اصلی و تقسیم طرفین معادله بر خواهیم داشت:معادله هلمهولتز: که پاسخ آن به صورت زیر است: یافصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 246: 243فصل 2 دستگاه های مختصاتمثال (2-40)صفحه 130کتاب(سوال4تشریحی نیمسال84-85): اگر سیم کشسانی به طولLکه دو سر آن ثابت است، به ارتعاش درآید به طوری که u(x,t)انحراف سیم از وضع تعادل در معادله دیفرانسیل (معادله موج یک بعدی) زیر صدق کند، با روش جداسازی u(x,t)را به دست آورید(2-150)حل) چون دو سر این سیم ثابت است بنابراین دو شرط مرزی زیر با آن سازگار است(2-151) به ازای جمیع مقادیرtبا استفاده از روش جداسازی، و با فرضو نشاندن آن در معادله موج یک بعدی، به معادله زیر می رسیمدو سمت معادله بالا را بر تقسیم می کنیم.در نتیجه

اسلاید 247: 244فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-40)صفحه 130کتاب:به این ترتیب متغیرها جدا شده اند و می توان هر سمت را برابر با مقدار ثابتی گرفت. فرض می کنیم(2-152)و در نتیجه داریم(2-153)پاسخ های معادله (2-152) را می توان به صورت زیر نوشت(2-154) یابا توجه به این که دامنه xبین0 تا L تغییر می کند، استفاده از صورت اول برای پاسخ های u(x)مناسب تر است. بنابراین:(2-155)اکنون شرایط مرزی (2-151) را اعمال می کنیم و می دانیم u(0)=0 است. با نشاندن آن در معادله (2-155) داریم

اسلاید 248: 245فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-40)صفحه 130کتاب:یعنی به طور کلی پاسخ cos kx حذف می شود.چون کسینوس تابع زوج است می گوییم پاسخ زوج معادله مزبور حذف شده است. سپس شرط مرزی بعدی u(L)=0 را اعمال می کنیم(2-156)چون است (چرا؟)، بنابراینیعنی kL باید برابر مضرب درستی از باشد. پس نتیجه می گیریم(2-157)لذا پاسخ u(x) را به صورت زیر می نویسیم(2-158)اکنون در مورد حل معادله (2-153) بحث می کنیم. در این معادله مقدار K را ازرابطه (2-157) می نشانیم تا نتیجه زیر به دست آید

اسلاید 249: 246فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه مثال (2-40)صفحه 130کتاب:که در آن، فرض این است که(2-160)پاسخ های معادله (2-159) مانند (2-154) یا به صورت توابع نمایی و یا به صورت توابع سینوسی و کسینوسی خواهد بود. در اینجا توابع نمایی آنها را انتخاب می کنیم(2-161)سرانجام چون u(x,t)=u(x)T(t) است، بنابراین نتیجه می شودکه در آن است. این مقدارهای ثابت را می توان از شرایط اولیه هر مسئله تعیین کرد. توجه داریم که در معادله دیفرانسیل (2-150) صدق می کند. بنابراین این توابع را ویژه تابع ها و مقدارهای را ویژه مقدارهای سیم ارتعاشی و نیز مجموعه را طیف این سیم می نامند.

اسلاید 250: 247فصل 2 دستگاه های مختصاتشکل2-10مدهای بهنجار سیم ارتعاشی وگره های آنn=1n=2n=3ادامه مثال (2-40)صفحه 130کتاب:

اسلاید 251: ادامه مثال (2-40)صفحه 130کتاب:ملاحظه می شود که هر بیانگر یک حرکت هماهنگ با بسامد است. این حرکت را مد بهنجارn ام سیم می نامند. و اولین مد بهنجار(n=1) را مد پایه و مدهای بعدی را تن های فرعی می گویند. چون به ازای عبارت می شود، بنابراین نتیجه می گیریم که مد بهنجارn ام به غیر از دو سر سیم تعداد (n-1)گره دارد. گره نقطه ای در روی سیم است که هیچ حرکتی نداشته باشد(رک شکل2-10).سرانجام چون ها در معادله (2-150) صدق می کنند بنابراین ترکیب خطی آنها نیز در معادله مزبور صادق است. پس248فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 252: تمرین2-5-1صفحه134کتاب درسی: کدام یک از عملگرهای زیر خطی هستند؟الف:ب:ج:حل:الف:خطی نیست زیراب:خطی نیست زیرا249فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 253: ادامه تمرین2-5-1صفحه134کتاب درسی:ج:خطی است زیرا250فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 254: تمرین2-5-2صفحه 134 کتاب درسی: نشان دهیدکه در آن مقدار ثابتی است در مختصات قطبی کروی جداسازی می شود.حل: وجاگذاری درمعادله وتقسیم برطرفین معادله را در ضرب می کنیم تا مستقل شود، پس داریم:251فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 255: ادامه تمرین2-5-2صفحه 134 کتاب درسی:تابعی از :وسپس معادله رابر تقسیم می کنیم تا عبارت مربوط به جداسازی شودتابعی از :وبا جایگذاری درمعادله قبل تابعی از داریم:فصل 2 دستگاه های مختصات252

اسلاید 256: 253فصل 2 دستگاه های مختصاتتمرین2-5-5صفحه 135 کتاب درسی: نشان دهید معادله هلمهولتز در دستگاه مختصات استوانه سهموی (u,v,z)جداسازی می شود و سه معادله دیفرانسیل معمولی را به دست آورید. حل:درسیستم استوانه ای سهموی داریم:وطرفین رابر تقسیم می کنیم مستقل

اسلاید 257: 254فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تمرین2-5-5صفحه 135 کتاب درسی:با جاگذاری طرفین را در ضرب می کنیم:

اسلاید 258: 255فصل 2 دستگاه های مختصاتتمرین2-5-6صفحه 135 کتاب درسی: کدام یک از معادلات دیفرانسیل جزئی زیر را می توان با روش جداسازی به دو یا چند معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل کرد؟ب:د:حل:ب:د:

اسلاید 259: 256فصل 2 دستگاه های مختصاتتمرین2-5-8صفحه 135 کتاب درسی:نخست معادله موج را در مختصات دکارتی دو بعدی xو y جداسازی کنید. سپس غشایی مستطیل شکل به اضلاع a و bمطابق شکل زیر در نظر بگیرید که لبه های آن محکم نگه داشته شده باشند و نشان دهید که بسامدهای این غشا از رابطه زیر به دست می آید که در آن n و m اعداد صحیح مثبت اند. حل:baxy

اسلاید 260: 257فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تمرین2-5-8صفحه 135 کتاب درسی:با تقسیم بر داریم:

اسلاید 261: تست 15:کدام یک از عملگرهای زیر خطی اند؟الف: ب:ج: د:حل:عملگرLخطی است اگردرشرایط زیر صدق کندحال به بررسی تک تک گزینه ها می پردازیمگزینه الف:گزینه ب:258فصل 2 دستگاه های مختصات

اسلاید 262: 259فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 15:گزینه ج:گزینه د:

اسلاید 263: 260فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 16:جواب معادله لاپلاس برای حالت دردستگاه استوانه ای عبارت است از:٭الف: ب:ج: د:حل:شکل کلی عملگر لاپلاسی به صورت :برای دستگاه استوانه ای:

اسلاید 264: 261فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 16:درمعادله لاپلاس قرار می دهیم: : تغییر متغیر : انتگرال از دوطرف

اسلاید 265: 262فصل 2 دستگاه های مختصاتتست 17:کدام یک ازعبارات زیر نمی تواند پاسخ صحیحی برای معادله دیفرانسیل باشد.٭الف: ب:ج: د:حل:معادله دیفرانسیل مشابه معادله برای سیستم جرم وفنر می باشد که جواب آن تابعی نوسانی است یعنی به صورت به طور مشابه برای معادله این مساله داریم:

اسلاید 266: 263فصل 2 دستگاه های مختصاتادامه تست 17:از رابطه استفاده کرده وجواب رابه صورت دیگری می نویسیم.همچنین بادرنظر گرفتن که مقداری ثابت است می توان شکل دیگری ازجواب را به دست آورد.هرسه شکل (1)و(2)و(3)می تواند جواب معادله دیفرانسیل باشند وتنها گزینه الف نمی تواند پاسخ صحیحی باشد چون تابع نوسانی نیست،گزینه الف پاسخ معادله دیفرانسیل زیر است:

اسلاید 267: فصل سوم تانسورها

اسلاید 268: فصل سوم :در اين فصل درمورد تانسورها وکاربرد های آن که در شاخه های مختلف فیزیک چون مکانیک کلاسیک،الکترومغناطیس،نسبیت خاص و غیره به کار می روند .1- بردارهای پادوردا وهموردا راتعریف کنید.2- رتبه تانسور رامشخص وبه خصوص مولفه های تانسور پادوردای رتبه دوم وهموردای رتبه دوم تعریف کنید.3- تانسورهای مرتبه صفر،یکم ودوم راتعریف کنید.4- برابری،جمع وتفریق وضرب داخلی وخارجی تانسورها رابنویسید.5- ویژگی تانسورهای متقارن و پادمتقارن را تعریف کنید.6- تانسورهای دکارتی ودیادیک ها راتعریف کنید.264فصل3 تانسورها

اسلاید 269: 265فصل3 تانسورهاتانسورهامقدمه و تعریف*در فیزیک گاه با کمیت هایی سروکار داریم که نه اسکالرند و نه بردار، به آنها تانسور می گوییم که در واقع اسکالر و بردار را نیز شامل می شوند. مثلاً در رابطه تانسور جرم و ها مؤلفه های آن هستند. در رابطه تانسور رسانندگی محیط و ها مؤلفه های آن می باشند.نماد نویسی و قراردادها*در فضای N بعدی، مجموعه مؤلفه های مختصات در این فضا می باشند. که در شاخص است نه توان و در صورتی که هم شاخص و هم توان را لازم است به کار ببریم، عدد توان را بیرون پرانتز قرار می دهیم:

اسلاید 270: فصل3 تانسورها266*اگر مختصات تابعی از مختصات دیگر باشد و بالعکس داریم:*و مشتق این دو رابطه عبارت است از:*قرارداد جمع اینشتین: اگر شاخصی (به استثنای N) در جمله ای تکرار شود، عمل جمع روی آن شاخص از 1 تا N انجام می شود.

اسلاید 271: 267فصل3 تانسورها*روابط قبلی با استفاده از قرارداد جمع اینشتین:*شاخص آزاد: در صورتی که در جمله ای شاخصی فقط یک بار ظاهر شود، آن شاخص مقدار معین صحیحی بین 1 تا N دارد و به آن شاخص آزاد گوییم.*از آن جا که مؤلفه های مختصات از یکدیگر مستقل اند، در نتیجه: که دلتای کرونکر می باشد و

اسلاید 272: 268فصل3 تانسورهابردارهای پادوردا و هموردا*اگر N کمیت توابعی از N مختصه باشند، در صورتی آنها را مؤلفه های یک بردار پادوردا می گویند که اگر در دستگاه مختصات دیگری چون اندازه گیری و دارای مؤلفه های باشند در رابطه زیر صدق کنند:*اگر N کمیت توابعی از N مختصه باشند، در صورتی آنها را مؤلفه های یک بردار هموردا می نامند که با استفاده از تبدیل مختصات به در رابطه مقابل صدق کند:

اسلاید 273: 269فصل3 تانسورها*مؤلفه های بردار پادوردا با شاخص بالا و مؤلفه های بردار هموردا را با شاخص پایین نشان می دهیم.*سرعت و شتاب بردارهای پادوردا و گرادیان (شیب) میدان نرده ای یک بردار همورداست.تانسورهای رتبه دوم*مجموعه توابع را مؤلفه های تانسور پادوردای رتبه دوم می گویند اگر داشته باشیم:که مؤلفه های تانسور در دستگاه پریم دار هستند.*مجموعه توابع را مؤلفه های تانسور هموردای رتبه دوم گوییم اگر داشته باشیم:

اسلاید 274: 270فصل3 تانسورها*مجموعه توابع را مؤلفه های مرکب رتبه دوم (تانسور پادوردای رتبه یکم و تانسور هموردای رتبه یکم) گوییم اگر در رابطه زیر صدق کند:*تانسور رتبه یکم، همان بردار است که در حالت کلی، N مؤلفه دارد.*تانسور رتبه صفرم، تنها یک مؤلفه دارد که به آن تانسور ناوردا، یا نردار می گوییم.تعریف کلی*مجموعه تابع را مؤلفه های یک تانسور پادوردای رتبه p و هموردای رتبه q می گویند، در صورتی که بنابر تمایلات مختصات به صورت زیر تعریف می شوند:

اسلاید 275: 271فصل3 تانسورهاادامه:که در آن و شاخص های آزاد هستند و مقادیری بین 1 تا N را می گیرند چون هر شاخص و می تواند N مقدار داشته باشد بنابراین تانسور مؤلفه خواهد داشت.

اسلاید 276: 272فصل3 تانسورهاجبر تانسوریبرابری تانسور و تانسور صفر*دو تانسور و در صورتی برابرند اگر و فقط اگر رتبه های پادوردا و هموردایشان یکسان باشند و هر مؤلفه یکی برابر با مؤلفه متناظر دیگری باشد، یعنی:*اگر تمامی مؤلفه های تانسوری با رتبه کل r متحد با صفر باشد، آن تانسور را تانسور صفر می نامند.*دو تانسور هم نوع: اگر دو تانسور رتبه یکسان پادوردا و رتبه همانند هموردا داشته باشند، هم نوعند.

اسلاید 277: 273فصل3 تانسورهاجمع و تفریق تانسورها:*دو تانسور را در صورتی می توان جمع یا تفریق کرد که هم نوع باشند حاصل، تانسوری با رتبه های یکسان با تانسورهای اصلی است و مؤلفه های آن برابر حاصل جمع و یا حاصل تفریق مؤلفه های متناظر دو تانسور است:*جمع تانسورها:*تفاضل تانسورها:

اسلاید 278: 274فصل3 تانسورهاضرب برداری تانسورها*اگر هر مؤلفه تانسور اول را در هر مؤلفه تانسور دیگری ضرب کنیم، حاصل تانسوری است که رتبه آن برابر با جمع رتبه های دو تانسور اصلی می باشد. این عمل را ضرب برداری دو تانسور می گویند. مثال:ضرب نرده ای تانسورها*تانسور را ضرب نرده ای دو تانسور گویند هر گاه:*در ضرب نرده ای مهم این است که، یک شاخص پادوردای یک تانسور برابر با یک شاخص هموردای تانسور دیگر باشد، و هیچ شاخصی نباید بیش از دو بار تکرار شود.

اسلاید 279: 275فصل3 تانسورهاتانسورهای متقارن و پادمتقارن*تانسور متقارن پادوردای رتبه دوم:تانسور متقارن هموردای رتبه دوم:*تانسور پادمتقارن پادوردای رتبه دوم:تانسور پادمتقارن هموردای رتبه دوم:*تقارن یک تانسور، ویژگی ذاتی آن است و مستقل از گزینش دستگاه مختصات است.

اسلاید 280: 276فصل3 تانسورهاتانسورهای دکارتی و کاربردها*اگر دستگاه مختصات دکارتی راستگردی را حول نقطه O و محوری دلخواه بچرخانیم رابطه تبدیل به صورت زیر است:* ها، کسینوس های هادی می باشند و به صورت زیر با هم ارتباط دارند*دو رابطه مهم:

اسلاید 281: 277فصل3 تانسورهاتانسورهای دکارتی*تانسورهای دکارتی رتبه r در فضای اقلیدسی سه بعدی مجموعه ای از مؤلفه است که این مؤلفه ها طبق تمایلات مختصات دکارتی، تبدیل می یابند:*تانسور همسانگرد: در صورتی که تانسور دکارتی، مؤلفه هایش تحت چرخش محورها بدون تغییر بماند، تانسورها همسانگرد است. هر نردار (اسکالر) یک تانسور همسانگرد رتبه صفرم است. زیرا مقدارش در تمام دستگاه های مختلف یکسان است، اما هیچ تانسور همسانگرد رتبه یک وجود ندارد مگر بردار صفر.

اسلاید 282: 278فصل3 تانسورهاکاربردهاالف:تنش، کرنش و قانون هوک*در تنش ها و کرنش های کوچک، بنابر قانون هوک، تنش با کرنش متناسب است. اگر مؤلفه های تانسور دکارتی تنش و مؤلفه های تانسور دکارتی کرنش باشند داریم:که ضرایب ( مؤلفه اند) را مدول های کشسانی می نامند.*وارون رابطه بالا، که رابطه ای خطی بین مؤلفه های کرنش ( ) و مؤلفه های تنش ( ) می باشد: را ثابت های کشسانی می نامند.

اسلاید 283: 279فصل3 تانسورها*تانسورهای و ، وارون یک دیگرند:*تانسورهای کرنش ( ) و تنش ( ) متقارن اند:ب: پیزوالکتریک و پذیررفتاری دی الکتریک*رابطه پذیررفتاری دی الکتریک:که میدان الکتریکی و قطبش الکتریکی و تانسور پذیررفتاری دی الکتریک محیط می باشد.*در بعضی بلورها به علت تنش مکانیکی خارجی نیز قطبش الکتریکی وجود دارد. که به این بلورها، بلورهای پیزوالکتریک می گویند.*رابطه تنش های کوچک و مؤلفه های قطبش الکتریکی:

اسلاید 284: 280فصل3 تانسورهاکه را تانسور ضرایب کرنش پیزوالکتریک می نامند.*قطبش کل یک بلور پیزوالکتریک:ج: تانسورهای گشتاور لختی*در حرکت دورانی، لختی دورانی یک تانسور رتبه 2 است. برای نمونه که تانسور گشتاور لختی جسم است.

اسلاید 285: 281فصل3 تانسورهادیادیک ها*اگر بین دو بردار هیچ عملگری نباشد، یعنی ، نتیجه را دیادیک می گویند.*ترتیب کمیت مرکب در دیادیک ها مهم است، به طوری که:*اگر ضرب دیادیکی در هر بردار دلخواهی تعویض پذیر باشد، آن دیادیک باید متقارن باشد.*دیادیک یکه:*اگر U یک دیادیک پادمتقارن باشد آن گاه:

اسلاید 286: 282فصل3 تانسورها*اگر U یک دیادیک پادمتقارن و V یک بردار باشد آن گاه:

اسلاید 287: 283فصل3 تانسورهاتانسورها در نسبیت خاص*تبدیلات لورنتس مکان-زمان:*ناوردایی طول بردار:*تبدیل لورنتس یک تبدیل متعامد در فضای مینکوفسکی است:*بردار A (دلخواه) در فضای مینکوفسکی دارای چهار مؤلفه است و این بردار چهار بعدی را چاربردار می نامند.

اسلاید 288: 284فصل3 تانسورها*تبدیل لورنتس برای مؤلفه های بردار :*تبدیل وارون برای چاربردار :*عملگر شیب (گرادیان) در فضای چهار بعدی: □(مانند در فضای سه بعدی) □

اسلاید 289: 285فصل3 تانسورها*واگرایی چهار بعدی چاربردار:□ *واگرایی چهاربعدی یک چاربردار، کمیتی نرده ای در فضای مینکوفسکی است. که به آن نردار لورنتسی می گویند.*عملگر دالامبری: مانسته لاپلاسی در فضای سه بعدی ، در فضای مینکوفسکی عملگر لاپلاسی چهار بعدی را عملگر دالامبری می نامند.□ □ □ هموردایی در الکترودینامیک*چاربردار چگالی جریان: که چگالی بار الکتریکی است.

اسلاید 290: 286فصل3 تانسورها*چاربردار پتانسیل: که در آن پتانسیل برداری و پتانسیل نرده ای است.*شرط پیمانه ای لورنتس در فضای چهاربعدی:□ *تانسور شدت میدان( ) :

اسلاید 291: 287*شکل هموردای معادلات ماکسول:فصل3 تانسورها

اسلاید 292: فصل چهارم دترمینان هاوماتریس ها

اسلاید 293: فصل چهارم :در اين فصل راجع به دترمینان ها ،ماتریس ها،وکاربردهای آنها درفیزیک می پردازیم.1- دترمینان راتعریف کنیدوبسط آن رابر حسب نماد لوی –چی ویتا ولاپلاس بنویسید.2- ویژگی های عمومی ومشتق دترمینان رابنویسید.3- دستگاه معادلات خطی باضرایب ثابت رابه روش کرامروحذف گاوس وحذف گاوس-جوردن حل کنید.4- ماتریس راتعریف کنید وجبرماتریسی وماتریس های خاص را دانسته وحل کنید.5- ماتریس را بتوانید وارون،قطری،یاترانهاد سازیدوردیک ماتریس رامحاسبه کنید.6- ماتریس های متعامد،هرمیتی،یکانی وبهنجاروزاویه های اویلر راتعریف کنید.7-ویژه بردارها وویژه مقدارهای یک ماتریس را به دست آورید وبه کمک آن یک ماتریسراقطری کنید.288فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 294: 289فصل4 دترمینان ها وماتریس هادترمینان و ماتریس هادترمینان ها*دترمینان آرایه ای مربعی از اعداد یا توابع است به صورت:*مرتبه دترمینان: تعداد سطر یا ستون های یک دترمینان را مرتبه آن دترمینان گویند.*مقدار دترمینان D بر حسب عناصر تشکیل دهنده آن:

اسلاید 295: 290فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*مقدار دترمینان مرتبه سوم که در آن نماد لوی – چی ویتا می باشد به این صورت که برای جایگشت های زوج برابر1+ و برای جایگشت های فرد برابر 1- و اگر یکی از شاخص ها تکرار شود، برابر صفر می باشد.*در نهایت D به صورت زیر خواهد بود:

اسلاید 296: 291فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-1 صفحه 199کتاب درسی: مقدار دترمینان مرتبه سوم زیر را به دست آورید.  حل) با استفاده از تعریف (4-1) داریم از بسط اولین جمع داریم 

اسلاید 297: 292فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال 4-1 صفحه 199کتاب درسی:همین طور اگر دومین جمع را بسط دهیم به نتیجه زیر می رسیماما پیش از بسط آخرین جمع، عبارت های داخل کروشه رابطه بالا را با استفاده از رابطه های (4-3) ساده می کنیم. می دانیمزیرا یک شاخص تکرار شده است. پس نتیجه می گیریم

اسلاید 298: 293فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال 4-1 صفحه 199کتاب درسی:اکنون آخرین جمع را بسط می دهیمبار دیگر از رابطه (4-3) استفاده می کنیم تا به رابطه زیر برسیم(4-4)

اسلاید 299: 294فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-2 صفحه 200کتاب درسی: مقدار دترمینان زیر را محاسبه کنید. حل) از مقایسه آن با (4-1) داریم   اکنون با استفاده از رابطه (4-4) می توان نوشت

اسلاید 300: 295فصل4 دترمینان ها وماتریس هابسط لاپلاس دترمینان*کهاد: دترمینانی را که از حذف هر سطر و یا هر ستون یک دترمینان به دست می آید را کهاد می نامند و با نشان می دهند شاخص های i و j مربوط به عنصر حذف شده واقع در سطر iام و ستون jام است.*همسازه: برای حذف عنصر ijام از یک دترمینان برای تشکیل کهاد، همسازه متناظر با آن عبارت است از :*بسط لاپلاس: روشی برای محاسبه مقدار دترمینان است که نمونه آن را برای یک دترمینان مرتبه 3 خواهیم دید. داریم: ، هنگامی که دترمینان را حول ستون اول بسط لاپلاس دهیم،داریم:

اسلاید 301: 296فصل4 دترمینان ها وماتریس هاکه بسط حول هر سطر و یا ستون دلخواهی می تواند صورت پذیرد و این معادلات برای هر دترمینان مرتبه n ام نیز قابل طرح می باشد.

اسلاید 302: 297فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-3 صفحه 201کتاب درسی: اگر باشد، بسط لاپلاس این دترمینان را نسبت به سطر اول و بار دیگر نسبت به ستون دوم به دست آورید و نشان دهید حاصل هر دو یکی است که برابر با بسط لوی – چی ویتا است.حل) نخست این دترمینان را نسبت به سطر اول آن بسط می دهیم اما از بسط آن نسبت به ستون دوم داریمملاحظه می کنیم که حاصل هر دو بسط یکی است. اما برای بسط لوی – چی ویتای این دترمینان از رابطه (4-2) استفاده می کنیمولی می دانیم است، پس نتیجه می گیریم بنابراین ملاحظه می شود که مقدار دترمینان A در هر صورت یکی است.

اسلاید 303: 298فصل4 دترمینان ها وماتریس هاویژگی های عمومی دترمینان*ویژگی پادمتقارن: اگر جای هر دو سطر و یا هر دو ستون دترمینانی را با هم عوض کنیم، مقدار دترمینان در 1- ضرب می شود.*ویژگی ترانهش: اگر جای عناصر یک سطر را با عناصر هم مرتبه یک ستون دترمینان عوض کنیم مقدار دترمینان تغییری نخواهد کرد.*اگر دترمینانی دو سطر یا دو ستون مساوی داشته باشد، مقدارش برابر صفر است.*اگر تمام عناصر یک سطر یا یک ستون دترمینان را در عددی (مقدار ثابت) ضرب کنیم، دترمینان در آن مقدار ضرب می شود.*اگر مضربی از یک ستون (یا سطر) را با ستون دیگر (یا سطری دیگر) دترمینانی جمع کنیم،مقدار دترمینان تغییر نمی کند. *اگر دو سطر یا دو ستون دترمینانی با هم متناسب باشند، مقدار آن برابر صفر است.

اسلاید 304: 299فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-6 صفحه 204کتاب درسی: ثابت کنید حل) می دانیم مقدار دترمینان بالا یک چند جمله ای مرتبه سوم بر حسبaوbوc است، که اگرb=c ،a=b ، و یاc=a باشد، برابر صفر خواهد بود. بنابراین از قضیه ای در جبر استفاده می کنیم و نتیجه می گیریم مقدار این دترمینان برابر است با که در آن یک عدد است. با استفاده از تعریف (4-2) می توان نتیجه گرفت که ضریب جمله برابر یک است، پس خواهد بود و مسئله ثابت می شود. 

اسلاید 305: 300فصل4 دترمینان ها وماتریس هامشتق دترمینان*اگر دترمینان D از مرتبه n ام و عناصر آن توابع مشتق پذیری نسبت به x باشند، داریم:که منظور از این است که از تمامی عناصر سطر jام دترمینان نسبت به x مشتق بگیریم.*مشتق یک دترمینان مرتبه سوم نوعی:

اسلاید 306: 301فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-7 صفحه 205کتاب درسی:از دترمینان زیر نسبت به مشتق بگیرید و آن را ساده کنید. حل) از رابطه (4-10) داریم  

اسلاید 307: 302فصل4 دترمینان ها وماتریس هاکاربرد دترمینان: حل دستگاه معادلات خطی با ضرایب ثابت*معادلات خطی غیرهمگن مقابل را در نظر بگیرید:که ها و ها ضرایب ثابتند.*دترمینان ضرایب دستگاه بالا عبارت است از:

اسلاید 308: 303فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*دستور گرامر برای یافتن پاسخ دستگاه معادلات:که در آن دترمینانی است که از تعویض ستون Kام دترمینان با ستون شامل به دست می آید.*برای دستگاه معادلات همگن (که در آن ها صفرند.) بایستی دترمینان ضرایب صفر باشد: D=0 *دستور کرامر تنها برای دترمینان های کوچک مفید است و برای حل دستگاه های معادلات با ضرایب ثابت با دترمینان ضرایب مرتبه بالا از روش حذف گاوس و روش گاوس – جردن استفاده می کنیم.

اسلاید 309: 304فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-9 صفحه 207کتاب درسی: دستگاه معادلات زیر را حل کنید.  حل) نخست با استفاده از (4-12) مقدارD را حساب می کنیم.  و همین طور

اسلاید 310: ادامه مثال 4-9 صفحه 207کتاب درسی:اکنون با استفاده از (4-13) خواهیم داشت305فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 311: 306فصل4 دترمینان ها وماتریس هاروش حذف گاوس *دستورالعمل روش حذف گاوس در حل دستگاه معادلات:*گام اول: ضریب اولین مجهول باید در تمام معادلات به یک تبدیل شود.*گام دوم: اولین معادله را به کلیه معادلاتی که شامل این مجهول است کم یا اضافه می کنیم. (تا این مجهول در تمامی معادلات دیگر حذف شود.)*گام سوم: تکرار گام اول برای دومین مجهول در معادله دوم و سپس انجام گام دوم (همانند مجهول اول)*گام چهارم: گام سوم را تا آخرین مجهول تکرار کرده و پس از به دست آوردن آخرین مجهول، گام به گام به عقب برگشته، مجهول های دیگر را به دست می آوریم.

اسلاید 312: 307فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-10 صفحه 209کتاب درسی: در شبکه الکتریکی زیر جریانهای را پیدا کنید.حل) از قانون کیر شهوف و قانون اهم استفاده می کنیم و معادله های زیر را برای گره p(یاq) و حلقه های چپ و راست مدار می نویسیم.qp

اسلاید 313: 308فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال 4-10 صفحه 209کتاب درسی:گره pیا (q)حلقه راستحلقه چپفرض می کنیم و و این مقدارها را در معادله های قبلی می نشانیم تا نتایج زیر به دست آیند.گام اول را برمی داریم

اسلاید 314: 309فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال 4-10 صفحه 209کتاب درسی: اکنون نوبت گام دوم است   معادله اول را حفظ و ضریب دومین مجهول را در معادله دوم به بعد تبدیل به یک می کنیم و گام سوم را برمی داریماز حذف در دو معادله آخر داریم   

اسلاید 315: 310فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال 4-10 صفحه 209کتاب درسی:بنابراین از معادله آخر به دست می آید با نشاندن مقدار در دومین معادله محاسبه می شود سرانجام با نشاندن مقدار و در اولین معادله مقدار به دست می آید پس نتیجه اینکه توجه داریم که این پاسخها یگانه هستند.

اسلاید 316: 311فصل4 دترمینان ها وماتریس هاروش حذف گاوس - جردن*گام اول و دوم، مانند روش حذف گاوس است. در گام های بعدی، هر معادله جدید در حذف یک متغیر از تمام معادله ها به کار می رود نه فقط در معادله بعدی.

اسلاید 317: 312فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-11 صفحه 211کتاب درسی(سوال2تشریحی نیمسال 84-85): مثال4-10را به روش گاؤس – جردن حل کنید.حل) معادلات قبلی را می نویسیم   گام اول و دوم این روش مانند روش حذف گاؤس است، پس داریم   اکنون ضریب را در معادله های دوم و سوم به یک تبدیل می کنیم

اسلاید 318: 313فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال 4-11 صفحه 211کتاب درسی: پس از حذف ، معادله های اول و سوم به قرار زیراند   در این مرحله ضریب را در معادله سوم تبدیل به یک می کنیم   و از حذف در دو معادله دیگر داریم

اسلاید 319: 314فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-1 صفحه 212کتاب درسی:نشان دهید اگر دترمینانی دو سطر یا دو ستون مساوی داشته باشد مقدارش برابر صفر است.حل:

اسلاید 320: 315فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-2 صفحه 212کتاب درسی: مقدار دترمینان های زیر را به روش بسط لوی – چی ویتا محاسبه کنید.الف:حل:دربسط لوی-چی ویتا داریم:بنابراین:

اسلاید 321: 316فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-3 صفحه 213کتاب درسی: مقدار دترمینان های زیر را به روش بسط لاپلاس محاسبه کنید.الف: ج:حل:الف:بسط براساس سطر اول

اسلاید 322: ادامه تمرین4-2-3 صفحه 213کتاب درسی:ج:بسط براساس ستون سوم317فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 323: 318فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-4 صفحه 213کتاب درسی: بدون بسط دترمینان، مقدار دترمینان های زیر را به دست آورید.ب:حل:

اسلاید 324: 319فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-5 صفحه 213کتاب درسی: نشان دهید همسازه هر عنصر دترمینان زیر، خود عنصری از همین دترمینان است.حل:

اسلاید 325: ادامه تمرین4-2-5 صفحه 213کتاب درسی:حل:320فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 326: 321فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-2-5 صفحه 213کتاب درسی:حل:

اسلاید 327: 322فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-6 صفحه 214کتاب درسی: ثابت کنیدکه در آن است.حل:سمت چپ: باتوجه به تعریف داده شده عبارت زیر نتیجه می شود:

اسلاید 328: 323فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-2-6 صفحه 214کتاب درسی:سمت راست:

اسلاید 329: 324فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-8 صفحه 214کتاب درسی: مشتق دترمینان های زیر را نسبت بهX به دست آورده و ساده کنید. ب:حل:

اسلاید 330: 325فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-2-9 صفحه 214کتاب درسی: دستگاه معادله های زیر را حل کنید.الف:حل:

اسلاید 331: 326فصل4 دترمینان ها وماتریس هاماتریس ها*ماتریس آرایه ای مربعی یا مستطیلی از اعداد یا توابع است:*در حالت کلی ماتریس A (با m سطر و n ستون) به صورت زیر نوشت که را عنصر سطر jام و ستون kام می نامند.*اگر m=n باشد A را ماتریس مربعی می نامند و قطر آن که شامل عناصر است قطر اصلی خوانده می شود.

اسلاید 332: 327فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*زیر ماتریس: ماتریسی که از حذف چند سطر یا ستون ( یا هر دو) ماتریسی مشخص ایجاد می شود را زیر ماتریس گویند.*برابری ماتریس ها: اگر دو ماتریس هم مرتبه باشند و تمامی عناصر متناظر آنها برابر باشند، آن دو ماتریس برابرند:

اسلاید 333: 328فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-12 صفحه 218کتاب درسی: : اگر و و چنانچه A=B باشد، مطلوب است محاسبهd,c,b,a.حل) از تعریف (4-14) داریم

اسلاید 334: 329فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*جمع ماتریس ها: دو ماتریس را تنها در صورتی می توان با هم جمع کرد که هم مرتبه باشند. ماتریس حاصل جمع، ماتریسی است با همان مرتبه که عناصر آن از جمع عناصر متناظر دو ماتریس A و B حاصل شده اند: *ضرب نرده ای: حاصل ضرب هر ماتریس n×m در عددی مانند c، ماتریسی است که عناصر آن از ضرب c در تک تک آنها حاصل شده است:*ماتریس صفر:اگر c=0 باشد، cA=0 که آن را ماتریس صفر می گویند و تمام عناصر آن صفر است. *قرینه ماتریس: A (1-) یعنی –A را قرینه A می نامند.

اسلاید 335: 330فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-14 صفحه 220کتاب درسی: اگر مطلوب است محاسبهحل) از تعریف (4-16) داریم

اسلاید 336: 331فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*رابطه های زیر برای ماتریس های هم مرتبه صادق اند:*جا به جایی:A + B = B + A *انجمنی: (U + V) + W = U + (V + W) *عضو خنثی: A + O = A *عضو قرینه:A + (-A) = O**ضرب ماتریسی: ماتریس C = AB حاصل ضرب A در B است اگر تعداد ستون های ماتریس A برابر تعداد سطرهای ماتریس B باشد.عنصر ijام ماتریس C (حاصل ضرب) برابر حاصل ضرب سطر iام A در ستون jام B است:*اگر A از مرتبه n×m و B از مرتبه p×n باشد، مرتبه AB (همان C) برابر p×m است.

اسلاید 337: مثال 4-16 صفحه 221کتاب درسی: اگر و مطلوب است محاسبهABوBA.حل) از تعریف (4-18) داریم اما بنابر این ملاحظه می شود که332فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 338: 333فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*خواص ماتریس ها برای عمل ضرب:*ضرب ماتریس ها در حالت کلی جا به جاپذیر نیست: اگر دو ماتریس جا به جاپذیر باشند می توان از نماد کروشه پواسون استفاده کرد:*انجمنی:AB (C) = A (BC) *توزیع پذیری:A (B + C) = AB + AC *AO = OA = O *A (-B) = - (AB) = (-A) B *اگر AB = 0 باشد ضرورتی ندارد که A = 0 یا B = 0 و یا BA = 0 باشد. *ضرب تانسوری یا مستقیم: اگر A ماتریس مربعی مرتبه mام و B ماتریس مربعی مرتبه nام باشد، ضرب تانسوری آنها به صورت نشان داده می شود،C یک ماتریسnm) ×mn) است که عناصر آن از رابطه زیر به دست می آیند.*ضرب تانسوری برای دو ماتریس مرتبه دوم:

اسلاید 339: 334فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*ضرب تانسوری برای دو ماتریس مرتبه دوم:*ضرب تانسوری جا به جاپذیر نیست ولی ویژگی انجمنی دارد.

اسلاید 340: 335فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال 4-18 صفحه 223کتاب درسی: اگر و ، و را محاسبه کنید.حل) نخست را با توجه به رابطه (4-24ج) محاسبه می کنیم همین طور برای داریم

اسلاید 341: 336فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-3-5 صفحه 224کتاب درسی: اگرA ماتریس مرتبه باشد،نشان دهیدحل:

اسلاید 342: 337فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-3-6 صفحه 224کتاب درسی: اگرC=AB باشد، نشان دهیدحل:فرض کنیم تجزیه ماتریسA با ماتریس های مقدماتی به صورت زیر باشد.

اسلاید 343: 338فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-3-9 صفحه 225کتاب درسی: اگر و مطلوب است محاسبه و .حل:

اسلاید 344: 339فصل4 دترمینان ها وماتریس هاماتریس خاص*ماتریس ترانهاد: ماتریسی که عناصر آن از تبدیل هر سطر به ستون متناظر ماتریس اولیه به دست می آیند. *اگر ماتریس n×m باشد، ماتریس ترانهاد آن از مرتبه m×n است و عناصر آن عبارتند از: *ماتریس متقارن: اگر ماتریس مربعی A با ترانهاده اش برابر باشد، آن گاه A را ماتریس متقارن گویند و عناصر آن عبارتند از :*ماتریس پادمتقارن: اگر ماتریس مربعی A با منفی ترانهاده اش برابر باشد، آن را ماتریس پادمتقارن گویند وعناصر آن عبارتند از: وعناصر قطر اصلی ماتریس پادمتقارن صفرند.

اسلاید 345: 340فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*هر ماتریس مربعی دلخواه را می توان به صورت مجموع یک ماتریس متقارن و یک ماتریس پادمتقارن در آورد:مثال4-19 صفحه 226 کتاب درسی: : اگر و باشد، درستی رابطه (4-26) را تحقیق کنید.(4-26)حل) نخست AB را محاسبه می کنیمبنابراین

اسلاید 346: 341فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-19 صفحه 226 کتاب درسی:امادر این صورت برابر خواهد بود باو در نتیجه

اسلاید 347: 342فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*ماتریس سطری: ماتریسی که تنها یک سطر و n ستون دارد. ماتریس یا بردار سطری می نامند:*ماتریس ستونی: اگر ماتریسی فقط یک ستون وn سطر داشته باشد، ماتریس یا بردار ستونی نامیده می شود:

اسلاید 348: 343فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*ضرب داخلی: اگر ماتریس سطری a در ماتریس ستونی b ضرب شود حاصل یک ماتریس 1×1 است که یک عدد می باشد و به آن ضرب نقطه ای (داخلی)a و b می گویند.*ماتریس قطری: ماتریس مربعی را در صورتی قطری می گویند که تمام عناصر بالا و پایین قطراصلی برابر صفر باشد یعنی به ازای جمع مقادیر باشد.اگر Aو B قطری باشند درضرب آن ها A و B جا به جا می شوند.

اسلاید 349: 344فصل4 دترمینان ها وماتریس ها*ماتریس یکه: ماتریسی مربعی که تمام عناصر آن برابر (دلتای کرونکر) باشند:برای یک ماتریس دلخواه Aداریم:

اسلاید 350: 345فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-21 صفحه 229 کتاب درسی: پاؤلی ماتریس های زیر را در نظریه نانسبیتی اسپین الکترون به کار برده است نشان دهیدالف:ب: که درآنج:حل:الف:نخست فرض می کنیم i=1 باشد، در این صورت داریم:

اسلاید 351: 346فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-21 صفحه 229 کتاب درسی: همین طور برایi=2  و سرانجام برای i=3خواهیم داشتب:فرض میکنیم(3و2و1)=(i,j,k)همینطوربرای (1و3و2)=(i,j,k)

اسلاید 352: 347فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-21 صفحه 229 کتاب درسی:وسرانجام برای (1و2و3)=(i,j,k)ج:اگر باشد از بند (ب) داریم  بنابراین از جمع دو رابطه بالا داریم اما اگرi=jباشد از بند (الف) داریم یا می توان نوشت پس در حالت کلی می توان نتیجه گرفت

اسلاید 353: 348فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-22 صفحه 230 کتاب درسی: با استفاده از های پاؤلی در مثال (4-21) نشان دهید که در آن وa وb دو بردار معمولی هستند.حل:اما چون ها و ها عدد هستند، پس می توان آنها را با ها جابجا کرد. لذا با این دستور جمله های دو پرانتز را در هم ضرب می کنیماما از مثال قبلی داریم بنابراین می توان نوشت:

اسلاید 354: 349فصل4 دترمینان ها وماتریس هاردماتریس: مجموعه عناصر قطری هر ماتریس مربعی را ردماتریس می نامند. برای مثال برای یک ماتریس مربعی Aازمرتبه n×n داریم: ردردحاصل ضرب دوماتریس A و B مستقل از ضرب ترتیب آنهااست:رد(BA) = رد(AB)ماترییس مثلثی: ماتریس مربعی که عناصر بالا یا پایین قطر اصلی آن برابر با صفر باشد، اگرعناصر بالای قطراصلی ماتریس برابر باصفر باشد، ماتریسپایین مثلثی و اگرعناصر پایین قطراصلی برابر صفرباشد، ماتریس بالا مثلثی است.ماتریس وارون: ماتریس را وارون ماتریس A می گویند اگر و فقط اگر:عناصر ماتریس وارون A از رابطه زیر به دست می آید: که درآن همسازه سطرiام وستون jام در دترمینانA است.

اسلاید 355: 350فصل4 دترمینان ها وماتریس هااگر دترمینانA مساوی صفر باشد، آن ماتریس را تکین می گویند، چنین ماتریسی وارون ندارد. شرط دارا بودن وارون برای ماتریسA: اگردوماتریسAوBوارون داشته باشند:مثال4-24صفحه 233 کتاب درسی : نشان دهید که ماتریس مربعیAحداکثر دارای یک وارون است.حل:فرض کنیدC وB هر دو وارون Aباشند. بنابراین داریم و در نتیجه ماتریسAحداکثر یک وارون دارد.

اسلاید 356: مثال4-25صفحه 233 کتاب درسی : اگر باشد، ماتریس وارون آن را به دست آورید.حل: از تمرین (4-3-9) استفاده می کنیم. نخست را محاسبه می کنیم و به آسانی به این نتیجه می رسیم که351فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 357: 352فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-26صفحه 233 کتاب درسی :اگر دو ماتریسA و Bوارون داشته باشند، نشان دهیدکه حل: نخست فرض می کنیم C=AB ، در این صورت بنا به تعریف (4-36) داریم: و یا اکنون دو سمت رابطه بالا را در ضرب می کنیم.  چون می توان نوشت و یا بار دیگر دو طرف رابطه بالا را در ضرب می کنیم و با توجه به داریم

اسلاید 358: ادامه مثال4-26صفحه 233 کتاب درسی :  در نتیجه می رسیم به (4-38)353فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 359: 354فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-27صفحه 234 کتاب درسی :اگرAبه قرار زیر ماتریس مربعی باشد،  با استفاده از روش افرازی را محاسبه کنید.حل: فرض کنید باشد، که در آن و واست. اکنون را محاسبه می کنیم. 

اسلاید 360: 355فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-30صفحه 236 کتاب درسی : به روش گاؤس – جردن وارون ماتریس زیر را به دست آورید.  حل:در این روش ماتریس یکه 1 را هم بعد ماتریس مفروض در نظر می گیریم و آن را به شکل زیر کنار آن قرار می دهیم. در شکل زیر این دو ماتریس با خط چین از هم جدا شده اند.A1

اسلاید 361: 356فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-30صفحه 236 کتاب درسی :اکنون عملیات یکسانی روی دو ماتریس انجام می دهیم تا ماتریسA به ماتریس یکه و ماتریس1به ماتریس جدیدی تبدیل شود. ماتریس جدید همان خواهد بود. نخست هر یک از سطرها را در عددی ضرب می کنیم تا شوند. با تفریق سطر اول از سطر دوم و سوم به نتیجه زیر می رسیمحال عنصر را به قرار زیر به واحد تبدیل می کنیم.

اسلاید 362: 357فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-30صفحه 236 کتاب درسی : سپس عنصر را به صفر می رسانیم. برای این کار را در0.5ضرب و از کم می کنیم. همین عمل را برای نیز انجام می دهیم. در نتیجه سرانجام را به واحد تبدیل می کنیم. و مانند گام قبلی و را به صفر می رسانیم.

اسلاید 363: 358فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-30صفحه 236 کتاب درسی :نتیجه اینکه برای اطمینان از درست بودن نتیجه آن را به شکل زیر امتحان می کنیم.ملاحظه می شود که با خطای قابل قبولی برابر ماتریس یکه است.

اسلاید 364: 359فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-4-1صفحه239 کتاب درسی : اگر باشد، نشان دهیدحل:اثابت با استقراء روی nیادآوری:

اسلاید 365: 360فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-4-1صفحه239 کتاب درسی :

اسلاید 366: 361فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-4-6صفحه239 کتاب درسی : نشان دهید یک ماتریس متقارن است.حل:

اسلاید 367: 362فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-4-8صفحه239 کتاب درسی : اگر سه ماتریسA ، B و C دو به دو جابجا شوند، نشان دهید رابطه زیر بین آنان برقرار است.حل:

اسلاید 368: 363فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-4-9صفحه240 کتاب درسی : اگر و باشد، نشان دهید و وارون ماتریس زیر را به دست آورید.حل:

اسلاید 369: فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-4-9صفحه240 کتاب درسی :364

اسلاید 370: 365فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-4-17صفحه241 کتاب درسی : در توصیف ذراتی با اسپین یک، ماتریس های زیر بکار می روند نشان دهید:د: که درآن(دوماتریس و راعملگرهای نردبانی می گویند که در مکانیک کوانتومی کاربرد دارند).حل:

اسلاید 371: 366فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-4-17صفحه241 کتاب درسی :

اسلاید 372: 367فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-4-17صفحه241 کتاب درسی :

اسلاید 373: 368فصل4 دترمینان ها وماتریس هاماتریس های متعامدماتریس Aمتعامداست اگر:دترمینان هرماتریس متعامدبرابر است.ماتریس تبدیل دستگاه چرخیده به دستگاه ثابت (وقتی که دستگاه چرخیده حول محور به صورت پادساعتگرد به اندازه زاویه چرخیده باشد.)

اسلاید 374: 369فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-32صفحه 245 کتاب درسی :  می دانیم طول بردارr ثابت و مستقل از دستگاه مختصات ثابت (x,y,z)یا دستگاه چرخیده است. با توجه به این اصل شرط تعامد (4-54) را به دست آورید.حل) اگر مؤلفه های r را در دستگاه ثابت و همین مؤلفه ها را در دستگاه چرخیده با ، و نشان دهیم، بین این مؤلفه ها رابطه (4-47) برقرار است، یعنی(4-55) معادله ماتریسی بالا را می توان به صورت زیر نوشت(4-56)اما طول بردار مستقل از دستگاه مختصات است، بنابراین(4-57)

اسلاید 375: 370فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-32صفحه 245 کتاب درسی : با نشاندن رابطه (4-56) درمعادله بالا،نتیجه زیر به دست می آیددرنتیجه ،رابطه(4-57)در صورتی برقرار است که فقط رابطه زیر برقرار باشد.(4-57)و این همان شرط تعامد است که روی سطر جمع بسته می شد.اما اگر از رابطه (4-47) برای تبدیل دو دستگاه استفاده کنیم، داریم(4-59)

اسلاید 376: 371فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-32صفحه 245 کتاب درسی : معادله ماتریسی بالا معادل رابطه زیر است.(4-60) و با نشاندن در رابطه (4-57) به نتیجه زیر می رسیم  رابطه (4-57) در صورتی برقرار است که فقط داشته باشیم و این همان شرط تعامد است که روی ستون جمع بسته شده است.

اسلاید 377: 372فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-33صفحه 247 کتاب درسی : فرض کنید یک دستگاه مختصات سه بعدی دکارتی حول محور پادساعتگرد به اندازه زاویه چرخیده باشد. ماتریس تبدیل دستگاه چرخیده به دستگاه ثابت را به دست آورید.حل) با توجه به شکل (4-3) می توان نوشتشکل4-3چرخش دستگاه مختصات دکارتی حول

اسلاید 378: 373فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-33صفحه 247 کتاب درسی : (4-62)و غیرهبه این ترتیب عناصر ماتریس یعنی کسینوس های هادی به دست می آیند. نتیجه اینکه   (4-63) رابطه های تبدیل بالا را می توان به صورت ماتریسی زیر بیان کرد.(4-64)که درآن(4-65)

اسلاید 379: 374فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-33صفحه 247 کتاب درسی : که ماتریس تبدیل دو دستگاه مختصات بی پریم و پریمدار است. به آسانی می توان شرط تعامد (4-58) یا (4-61) را بررسی کرد  از این واقعیت نتیجه می شود که است، زیرا بنا به فرض چرخش حول محور بوده است. همچنین از صفر بودن بعضی از عناصر ماتریسAچنین استنتاج می شود که و به وابسته نیستند. همین مطالب را می توان برای وابسته نبودن به و بیان کرد.

اسلاید 380: 375فصل4 دترمینان ها وماتریس هازاویه های اولردستیابی به ماتیس تبدیل Aوقتی که ازمجموع زوایای مستقلی برای دوران استفاده می شود(زوایای اولر):درستگاه مختصات راسه بار دوران داده تابه دست یابیم:مرحله 1:دستگاه حول محور به اندازه پادساعتگردمیچرخدتابه تبدیل شود.ماتریس تبدیل این چرخش:مرحله2:دستگاه حول محور به اندازه می چرخدودستگاه به دست می آید.ماتریس تبدیل این چرخش: پادساعتگرد

اسلاید 381: 376فصل4 دترمینان ها وماتریس هامرحله3:دستگاه حول محور به اندازه می چرخندوبه دستگاه تبدیل میشوند.ماتریس تبدیل این چرخش:ماتریس دوران درتبدیل دستگاه به :

اسلاید 382: 377فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-34صفحه 250 کتاب درسی : چرخش حول محورZ با دو چرخش متوالی و حول همان محور صورت گرفته است. با استفاده از نمایش ماتریسی چرخش،اتحادهای مثلثاتی زیر را به دست آورید.  حل) از رابطه (4-66) برای دو چرخش متوالی و داریم      همین رابطه را به قرار زیر برای چرخش می نویسیم 

اسلاید 383: 378فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه مثال4-34صفحه 250 کتاب درسی :اما می دانیم نخست سمت چپ رابطه بالا را به دست می آوریم   از تساوی ماتریس به دست آمده با حکم مسئله ثابت می شود.

اسلاید 384: 379فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتبدیل تشابه ماتریس Aبردار به بردار تبدیل میکند وحالادستگاه به دستگاه توسط ماتریس تبدیل می شود،داریم:دراین فضا: که آن راتبدیل تشابه می نامند.(گویادردستگاه جدیدماتریسB،دستگاه راچرخانده وAرابه صورت درآورده است.)تبدیل تشابهی به صورت مولفه ای:اگرماتریس Bماتریس متعامدباشد(یعنی )تبدیل زیرراتبدیل تشابه متعامدمی نامند:ویژگی تقارن یک ماتریس تحت تبدیل تشابه متعامدناوردااست. ردیک ماتریس تحت تبدیل تشابه ناوردا است.

اسلاید 385: 380فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-5-1صفحه255 کتاب درسی : نشان دهید وارون ماتریس متعامد نیز متعامد است.حل:

اسلاید 386: 381فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-5-2صفحه255 کتاب درسی : نشان دهید حاصل ضرب دو ماتریس متعامد ، متعامد است.حل:

اسلاید 387: 382فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-5-4صفحه255 کتاب درسی : یک ماتریس به دست آورید که متعامد و پادمتقارن باشد.حل:

اسلاید 388: 383فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-5-5صفحه255 کتاب درسی : فرض کنید زمین طوری چرخیده است که قطب شمال به طول شمالی و عرض غربی منتقل شده است، و نصف النهار در جنوب غربی قرار گرفته است (عرض و طول جغرافیایی در دستگاه اصلی بیان شده اند). الف) زاویه های اولر توصیف کننده این چرخش را به دست آورید.ب) کسینوس های هادی متناظر را حساب کنید.حل:

اسلاید 389: 384فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-5-5صفحه255 کتاب درسی : تحقیق کنید که ماتریس چرخش زاویه های اولر (معادله4-70) تحت تبدیل زیر ناورداست.حل:

اسلاید 390: 385ماتریس های هرمیتی،یکانی وبهنجارمزدوج مختلط ماتریس:اگردتمام عناصرماتریسی،عدد موهمیiرابه-iتبدیل کنیم.ماتریس حاصل رامزدوج مختلط آن می گویند.مزدوج مختلطAرابا نشان می دهند.ماتریس الحاقی:ازترانهاده ماتریس الحاقی بدست می آیدکه آن رابا نشان می دهند:ماتریس هرمیتی:ماتریسAدرصو رتی هرمیتی(یاخودالحاقی) است که الحاقی آن باخودش برابرباشد:ماتریس پادهرمیتی:Aپادهرمیتی است اگر:درموردماتریس های الحاقی داریم:ماتریس یکانی:اگروارون یک ماتریس باالحاقی آن برابرباشد آن را یکانی می نامند:فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 391: 386فصل4 دترمینان ها وماتریس هاماتریس بهنجار:اگرماتریس Aباالحاقی خود جابجاپذیرباشدAراماتریس بهنجارمی گویند:اگرماتریسی که درتبدیل تشابه شرکت دارد یکانی باشد،آن را تبدیل یکانی می نامند:حاصل ضرب دوماتریس یکانی،ماتریس یکانی است.ماتریس هرمیتی تحت تبدیل ماتریس تشابه یکانی ،هرمیتی می ماند.

اسلاید 392: 387فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-39صفحه 258 کتاب درسی : نشان دهید ماتریس هرمیتی تحت تبدیل تشابه یکانی، هرمیتی می ماند.حل) اگرA ماتریس هرمیتی باشد، می دانیم . تبدیل تشابه یکانی این ماتریس از رابطه (4-84) به دست می آید. از دو طرف رابطه بالا الحاقی می گیریم یعنی نیز هرمیتی است.

اسلاید 393: 388فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-6-1صفحه264 کتاب درسی : نشان دهیدحل:

اسلاید 394: 389فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-6-2صفحه264 کتاب درسی : نشان دهید حاصل ضرب دو ماتریس یکانی ، یکانی است.حل:روش اول:روش دوم:

اسلاید 395: 390فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-6-3صفحه264 کتاب درسی : نشان دهید وارون ماتریس یکانی هم ماتریس یکانی است.حل:

اسلاید 396: 391فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-6-4صفحه264 کتاب درسی : نشان دهید حاصل ضرب مستقیم دو ماتریس یکانی هم یکانی است.حل:

اسلاید 397: 392فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-6-7صفحه264 کتاب درسی : دو ماتریس H و Uبا رابطه زیر به هم مربوط می شوند که در آن aحقیقی است.(الف) اگر Hهرمیتی باشد، نشان دهید Uیکانی است.(ب) اگرU یکانی باشد، نشان دهیدHهرمیتی است ( Hمستقل ازa است).حل:الف:ب:

اسلاید 398: قطری سازی ماتریس دراغلب مسائل فیزیکی میتوان ماتریسی راتحت تبدیل تشابه متعامد یاتبدیل یکانی به ماتریس قطری که تمامی عناصر غیرقطری آن صفراست ،تبدیل کنیم.ویژه بردارهاوویژه مقدارها:اگر ماتریس Aروی بردار اثرکندوحاصل عددی چون ضرب درهمان بردارشود،یعنی: دراین حالت راویژه بردارو را ویژه مقدارماتریسA می نامیم.اگرماتریسA،یک ماتریس هرمیتی باشد،ویژه مقدارهای آن حقیقی و ویژه بردارهای آن متعامدند.393فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 399: 394فصل4 دترمینان ها وماتریس هامجموعهnویژه برداریک ماتریس هرمیتی ،یک مجموعه کامل راتشکیل می دهند.تعیین ویژه مقدارها ویژه بردارهای ماتریس دلخواهA:در رابطه را درماتریس یکه1ضرب می کنیم وخواهیم داشت: که بیانگر دستگاه معادلات خطی وهمگن است وتنها درصورتی پاسخ دارد که دترمینان ضرایب آن صفر باشد، این معادله را معادله سرشتی می نامنداگرهرپاسخ ویژه مقدار رادرمعادله قرار دهیم،ویژه بردار متناظربا آن ویژه مقدار رابه دست می آوریم.

اسلاید 400: 395فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-44صفحه268 کتاب درسی : ویژه مقدارها و ویژه بردارهای ماتریس زیر را به دست آورید.  حل) معادله سرشتی را برای این ماتریس تشکیل می دهیم و یا  یا

اسلاید 401: 396فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-44صفحه268 کتاب درسی : بنابراین پاسخها عبارتند از حال می توان ویژه بردارها را به دست آورد به ازای داریماز این معادله ماتریسی نتیجه می شود و . اکنون فرض می کنیم طول بردار برابر واحد باشد، یعنی  یا

اسلاید 402: 397فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-44صفحه268 کتاب درسی :در نتیجه داریم یابه ازای می توان نوشت و از این معادله ماتریسی نتیجه می گیریم که وبار دیگر طول ویژه بردار برابر واحد فرض می کنیم، یعنی

اسلاید 403: 398فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-44صفحه268 کتاب درسی :در نتیجه یابه ازای داریم و از این معادله ماتریسی به نتیجه زیر می رسیم

اسلاید 404: 399فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-44صفحه268 کتاب درسی : باز هم طول ویژه بردار را برابر واحد فرض می کنیم. در این صورت داریم پس یاالبته می توانستیم از شرط عمود بودن آن بر و نیز به دست آوریم، یعنی(4-111)

اسلاید 405: 400فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-45صفحه270 کتاب درسی : جسم صلبی را می توان با سه جرم نقطه ای به صورت زیر نمایش داد.جرم در نقطه (2-و1و1)جرم در نقطه (0و1-و1-)جرم در نقطه (2و1و1)الف) ماتریس گشتاور لختی را به دست آورید.ب) ویژه مقدارها و ویژه بردارهای متعامد بهنجار (محورهای اصلی) را تعیین کنید.حل) نخست طول و و را به دست می آوریم. حال عناصر ماتریس گشتاور لختی را حساب می کنیم.

اسلاید 406: 401فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-45صفحه270 کتاب درسی :

اسلاید 407: 402فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-45صفحه270 کتاب درسی :بنابراین ماتریس گشتاور لختی برابر است با اکنون ویژه مقدارها را از معادله سرشتی (4-110) محاسبه می کنیم. و یا بنابراین  حال ویژه بردارها را به ترتیب از معادله (4-109) محاسبه می کنیم. به ازای داریم

اسلاید 408: 403فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-45صفحه270 کتاب درسی : و یا و . اگر طول بردار را برابر واحد بگیریم داریم بنابراین یا

اسلاید 409: 404فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-45صفحه270 کتاب درسی :همین طور برای  و یا اگر و باشند، در نتیجه  بنابراین یا

اسلاید 410: 405فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-45صفحه270 کتاب درسی :اما به ازای اگر بخواهیم از معادله (4-109) استفاده کنیم به همان نتیجه قبلی مربوط به می رسیم. این حالت را واگنی می گویند. در این حالت از رابطه (4-111) استفاده می شود تا بردار سوم نیزبر دو بردار قبلی عمود باشد. یا

اسلاید 411: 406فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-49صفحه274 کتاب درسی : ارتعاشات یک بعدی مدل کلاسیکی ملکول (شکل4-5) را بررسی می کنیم. با استفاده از فن ماتریسی ویژه مقدارها، در مورد حرکت این دستگاه بحث کنید.MmMkkشکل4-5 مدل کلاسیکی حرکت ملکول

اسلاید 412: 407فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-49صفحه274 کتاب درسی :حل) مطابق شکل فرض می کنیم سه جرم روی محور افقی به فنرهایی با ثابتK متصل اند. همچنین می دانیم که بنا به فرض نیروهای فنر خطی هستند (جابجایی کوچک، قانون هوک) و سه جرم مجبورند که روی محورx باقی بمانند. با استفاده از قانون دوم نیوتن داریم  (4-112) فرض کنید بسامد مشترک این دستگاه باشد به طوری که تمام جرم ها با این بسامد ارتعاش کنند (مدل بهنجار)، در این صورت داریم (4-113)

اسلاید 413: 408فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-49صفحه274 کتاب درسی :با نشاندن رابطه (4-113) در رابطه (4-112) به دستگاه معادلات ماتریسی زیر می رسیم(4-114)که معادله سرشتی زیر از آن نتیجه می شود.

اسلاید 414: 409فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-49صفحه274 کتاب درسی :سرانجام اینکه  که از آن ویژه مقدارهای زیر به دست می آیند. با نشاندن این ویژه مقدارها در معادله (4-114) به ویژه بردارهای متناظر می رسیم. نخست به ازای داریم  پس یعنی حرکت یک حرکت انتقالی محض است، سرعت نسبی جرم ها صفر است، و هیچ نوع حرکت ارتعاشی وجود ندارد.به ازای داریم

اسلاید 415: 410فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-49صفحه274 کتاب درسی : یعنی جرم میانی ساکن و دو جرم دیگر در خلاف جهت هم حرکت می کنند (مرکز جرم ساکن است).سرانجام به ازای نتیجه می گیریم که یعنی جرم میانی در خلاف جهت دو جرم دیگر حرکت می کند، در صورتی که دو جرم دیگر با هم حرکت می کنند (تکانه خطی کل برابر صفر است). جابجایی این سه جرم در امتداد محورXرا می توان با ترکیب خطی این سه نوع حرکت (انتقالی، و دو نوع ارتعاشی) بیان کرد.

اسلاید 416: 411فصل4 دترمینان ها وماتریس هاروش قطری سازی ماتریسماتریس هرمیتیAرامی توان قطری کرد،ابتداازویژه بردارهایی که بدست امدند،ماتریس جدیدی مانندRمیسازیم که هرستون آن مربوط به یک ویژه بردار می باشد . از آنجا که ویژه بردارهای ماتریس هرمیتی ،متعامدبهنجارند: و این که Rیکانی است،داریم:(4-116)

اسلاید 417: 412عناصرقطری،ویژه مقادیر مرتبط به ماتریسAمی باشند وترتیب آن ها متناظر با ترتیب ویژه بردارهای درماتریسRاست.آزمون درستی عمل محاسبه ویژه مقادیر :حاصل جمع هابایستی برابر رد ماتریس اصلی باشد.درصورتی که Aهرمیتی نباشد،بایستی ازرابطه استفاده نمود که ماتریس ، ماتریس قطری است وعناصرقطرآن ویژه مقدارهای ماتریسAهستند.برای قطری سازی ماتریس ها کافیست ویژه مقدارهای آن هارابدست آوریم وبه ترتیب درجای عناصر قطری قراردهیم وعناصر دیگر راتبدیل به صفر کنیم.فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 418: 413فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-51صفحه278 کتاب درسی :ماتریس های پاؤلی را قطری کنید.حل) با توجه به مثال (4-21) داریم چون این ماتریس ها هرمیتی هستند یعنی ، بنابراین در قطری سازی آنها از رابطه (4-116) استفاده می کنیم. نخست را قطری می کنیم. معادله مشخصه این ماتریس به صورت زیر استدر نتیجه به ازای ، ویژه بردار را به دست می آوریم

اسلاید 419: 414فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-51صفحه278 کتاب درسی :که در نتیجه . اما به کمک رابطه بهنجاری بردار نتیجه می شود که بنابراین یاهمچنین به ازای نتیجه می شود . بنابراین اکنون به آسانی می توان ماتریس R را با و تشکیل داده و را به دست آورد

اسلاید 420: 415فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-51صفحه278 کتاب درسی : با نشاندن آن در رابطه (4-116) نتیجه می شود اگر از دسته دوم پاسخها در ساختنRاستفاده شود، چه خواهد شد؟ پاسخ دهید.سپس را قطری می کنیم. معادله مشخصه این ماتریس به صورت زیر است یا به ازای ، ویژه بردار را به دست می آوریم

اسلاید 421: 416فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-51صفحه278 کتاب درسی : یا . اما به کمک رابطه بهنجاری نتیجه می شود بنابراین یاهمچنین به ازای نتیجه زیر به دست می آید

اسلاید 422: 417فصل4 دترمینان ها وماتریس هادنباله مثال4-51صفحه278 کتاب درسی : در نتیجه . اما به کمک رابطه بهنجاری نتیجه می شود بنابراین یااکنون می توان ماتریس و را به دست آورد وو با نشاندن آنها در رابطه (4-116) داریم سرانجام، چون قطری سازی ماتریس آسان و مانند دو ماتریس قبلی است آن را به عهده خواننده می گذاریم.

اسلاید 423: 418فصل4 دترمینان ها وماتریس هامثال4-53صفحه281 کتاب درسی : ماتریس زیر را قطری کنید. حل) از معادله سرشتی (4-110) داریم  بنابراین ویژه مقدارها برابرند با و در نتیجه ماتریس قطری جدید برابراست با اما می توانستیم با تعیین ویژه بردارها، را از رابطه (4-117) به دست می آوریم که این کار را به عهده خواننده می گذاریم.(4-117)

اسلاید 424: 419فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-7-1صفحه282 کتاب درسی : ماتریس های نمایشگر مؤلفه های تکانه زاویه ای هرمیتی اند. نشان دهید ویژه مقدارهای مربوط به حقیقی نامنفی هستند.حل:و حقیقی ونامنفی است.

اسلاید 425: 420فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-7-7صفحه283 کتاب درسی : ویژه بردارها و ویژه مقدارهای ماتریس زیر را به دست آورید.ب:حل:

اسلاید 426: 421فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-7-7صفحه283 کتاب درسی :

اسلاید 427: 422فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-7-8صفحه284 کتاب درسی : (الف) ویژه مقدارها و ویژه بردارهای ماتریس زیر را حساب کنید. توجه کنید که ویژه مقدارها به ازای واگن هستند.(ب) ویژه بردارها و ویژه مقدارهای ماتریس زیر را حساب کنید.توجه کنید که ویژه مقدارها به ازای واگن هستندوبرای این ماتریس نامتقارن،ویژه بردارها( )فضا رادر بر نمی گیرند.حل:الف:

اسلاید 428: 423فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-7-8صفحه284 کتاب درسی :

اسلاید 429: 424فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-7-8صفحه284 کتاب درسی :همان طور که می بینید به ازای است ولی با توجه به و به ازای و ، و برهم عمودند.ب:

اسلاید 430: 425فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-7-8صفحه284 کتاب درسی :به ازای است وواگنی داریم.ولی به ازایاست.درنتیجه این دو ویژه بردار فضای کامل را تشکیل نمی دهند.

اسلاید 431: 426فصل4 دترمینان ها وماتریس هاتمرین4-7-11صفحه284 کتاب درسی : مطابق شکل زیر دو جرم Mبا سه فنر به هم متصل و به دیوار بسته شده اند. فرض کنید این دو جرم در امتداد خط افقی باقی بمانند.الف:قانون دوم نیوتن را برای هرجرم بنویسید.ب:ویژه مقدارها ومدهای بهنجار حرکت را تعیین کنید.حل:الف:MMkkk

اسلاید 432: ادامه تمرین4-7-11صفحه284 کتاب درسی :ب:فرض می کنیم بسامد مشترک این دستگاه باشد به طوری که تمام جرمها با این بسامد ارتعاش کنند.در این حالت داریم:با قرار دادن و در روابط قسمت الف داریم:427فصل4 دترمینان ها وماتریس ها

اسلاید 433: 428فصل4 دترمینان ها وماتریس هاادامه تمرین4-7-11صفحه284 کتاب درسی :

اسلاید 434: 429موفق وپیروز باشید