درس ریاضی فیریک 1

بردارها فصل اول : در اين فصل از جبر وآنالیز برداری وقضیه های مربوط به آنهاکه در شاخه های مختلف فیزیک چون مکانی ک کوانتوم ی،الکترومغناطیس،مکانیک کالس یک و اپتیک،وغیره کاربردهای اساسی دارند. -1جمع و ضرب (برداری ونرده ای)وضربهای سه گانه -2فرمول عملگر دیفرانسیل برداری رادرمختصات دکارتی -3تعريف شيب يک تابع عددي -4تعريف واگرايي يا ديورژانس يک ميدان برداري -5تعريف تاو يک ميدان برداري -6بررسي قضيه استوکس و قضيه واگرايي 1 تعاریف : کمی ت های فیزیک ب ه دو دس ته اس کالر و بردارهاتقس یم م ی شوند .اس کالرها فقط بامقدارشان مشخص می شوندو بردارها بامقداروجهت شان مشخص می شوند. نمایش بردارها در فضا :بردار را با پیکانی درفضا نمایش می دهیم که طول آن معرف اندازه بردار وراستای پیکان جهت بردار می باشد. جمع بردارها به روش هندسی: ‏ ‏  ‏ جمع دو بردار Aو Bرابه صور ت C  A  Bنشان می دهیم وبه دو روش متوازی الضالع ‏ وچند ضلعی قابل حوصول است. ‏ روش چند ضلعی :ابتدای بردار Bرا در انتهای Aقرار می دهیم ،بردار حاصل جمع( ) Cبرداری است که ابتدایش ابتدای Aوانتهایش انتهای Bاست. تفاضل دوبردار بهروشهندسی: ‏  تفاضل دوبردار A ‏D Bراکه به صورت  A  B شودرا می توانبا قرار دادن می داده نمایش و ‏ ‏ ‏ ‏ ابتدای دو بردار Aو Bبر هم به دست آورد به طوری که ابتدای Dانتهای Aوانتهای B ‏ 2 انتهای آن باشد. نمایش مولفه ای بردارها: نقطه انتهای بردار با مختصات ) ( AX , AY , AZ آن با محورهای XوYو Zبه ترتیب,  , که در آنها ‏cos,cos  ,cos مشخص می شود .اگر اندازه بردار Aوزوایای ‏AX  Acos ‏AY  Acos ‏AZ  Acos باشند: را کسینوس های هادی می نامند ،به گونه ای که : 2 2 2 ‏cos   cos   cos  1 درنتیجه: 2 2 2 2 ‏A X  A Y  A Z A 3 اگر بردارهای یکه در امتداد محورهای Xو Yو Zرا باˆkˆ, ˆj,i استفاده از بردارهای یکه به صورت ‏ نشان دهیم ومی توان بردار Aرا با نشانˆj  بردارA اندازه AX دادYوiˆ A ˆAZk ‏ 2 2 2 1/2 ‏A ‏ ( ‏A ‏ ‏A ‏ ‏A می باشد. ‏X ‏Y به صورت ) Z مولفه ای: جمع وتفریق بردارها به روش  اگر ˆA  AX iˆ AY ˆj  AZk ‏ و ˆj  BZ k ˆ B BX iˆ BYباشد،آن گاه: ‏ ˆ A B iˆ( AX BX )  ) j( AY BY )  kˆ( AZ BZ ‏ ‏  ‏  ‏  ˆ ˆ A  B 2iˆ 3و A B 3iˆ 2 ˆj  6kباشند ،بردارهای Aو رابر حسب مثال:2-1اگ ر ˆj  k ‏B مولفه های آنها تعیین کنید. حل: 4 1     1 ‏A   ( A B)  ( A B)    (2 3)iˆ (3 2) ˆj  ( 1 6) kˆ 2 2 ‏ 1     1 ‏B   ( A B)  ( A B)   (3 2)iˆ (2 3) ˆj  (6 1) kˆ 2 2 ‏  ) درفضارسم شده است زوایای2و3و4( به مختصاتA ازمبدا مختصات به نقطهA بردار:3-1مثال .این بردار بامحورهای مختصات راتعیین کنید  2 x 2 y 1 2 2 z 2 2 A ( A  A  A ) (2  3 Ax Ax  Acos  cos   A   cos 1 0.37168.2 Ay Ay  Acos   cos    A   cos 1 0.557 56.18 Az Az  Acos  cos   A  cos 1 0.742 42.1 1 2 2 1 2 :حل  4 ) 29 5.39 2 2  0.371 29 5.39 3 3  0.557 29 5.39 4 4  0.742 29 5.39 5 :کتاب درسی8صفحه5-1تمرین . مولفه های آنرابدست آورید، زاویه های مساوی می سازدx,y,z بامحورهای10برداری به طول :حل A 10  A2 102 100,    Ax 10cos Ax2 100cos2  Ay 10cos  Ay2 100cos2  Az 10cos Az2 100cos2  100 300cos2  1 100 1 3   cos  1  cos   300 3 3 3 Ax  Ay  Az 10 ,   54.74 0.3 3 2 6 تمرین6-1صفحه8کتاب درسی: برداری که در صفحه xyقرارداردوباجهت مثبت محور xو yزاویه مساوی می سازد ،مولفه های آن رابه دست آورید. ‏y حل: 2 ‏A 2 2 ‏Ay  ‏A 2 ‏ ‏A ‏Ax  7 ‏ 45 ‏x ‏ 45   کدام است؟a مولفه های بردار. قطرمکعب استa بردار واحد- 1 تست 1 1 1 ( , , ) 3 3 3 x x x ( , , ) 3 3 3 (1,1,1) :ب :د ( :الف 1 1 1 , , ) :ج 3 3 3 :حل   a 1 a ax2  ay2  az2 1, ax ay az  a ax2  ax2  ax2 3ax2 1 ax2  1 3 1 1  ax   ax ay az  3 3 8  چه رابطه ای بین کسینوس های هادی برقرار است؟-2 تست cos  cos  cos 0 cos  cos  cos 1 :ب :د cos2   cos2   cos2  0 cos2   cos2   cos2  1 :الف :ج :حل x r cos , y r cos  , z r cos 2 x  y2  z2 r2 (cos2   cos2   cos2 ) 1      r2 cos2   cos2   cos2  1 9 ضرب نرده ای یا داخلی ‏  ‏  ‏  حاصل ضرب نرده ای یا داخلی دو بردار Aو Bرابه صورت.  A B cos ‏ABنمایش ‏ بردارA می دهیم که زاویه کوچک تر میان دو از آنجا که Acosاندازه تصویر بردار Aدر راستای B ‏ وB است. باشدآن گاه داریم: ‏ ‏ ‏AB . ‏P  A cos  P   ‏B روش مولفه ای: حاصل ضرب نرده ای دو بردار به  ˆj  AZ k ˆ B BX iˆ BY ˆ A  AX iˆ AYو ˆj  BZ k اگ ر داخلی این دو بردار برابر است با : 10 ‏ ‏AB .  AxBx  Ay By  Az Bz ‏ در آنصورت ضرب به دست آوردن زاویه بین دو بردار: ‏ . ‏ 1 AB ‏ 1 AX BX  AY BY  AZ BZ ‏ cos   cos ‏AB ‏AB ضرب داخلی (نرده ای) بردارها: ‏ خواص  ‏ ‏q , ‏q ‏c اگر , b, aبردار و 2 1نرده ای باشند ،خواهیم داشت : ‏  ‏ ‏ ‏ (qa خاصیت خطی: 1  q2b).c qa 1 .c  q2b.c ‏ ‏ ‏ ‏  ‏ پذیری به دست می آید(a  b).c a.c  b.c : که ازآن خاصیت توزیع ‏  ‏ab خاصیت تقارن. b.a : 11 باتوجه به این نکته که ‏cos 1 است،می توان از ضرب داخلی نامساوی شوارتز ‏ ‏a.b  a b را اثبات نمود: کاربردهای ضرب نرده ای کار انجام یافته نیرو :کاری که نیروی ‏ fدرجابه جایی ‏ dانجام می دهد برابر است با: ‏  ‏ ‏w f d cos  f .d مولفه نیرو در راستای مشخص :در این حالت از مفهوم مولفه یا تصویر یک بردار در راستای بردار غیر صفر دیگر استفاده می شود. 12 : کتاب درسی12صفحه10-1مثال به طول واحد را طوری بیابیدکه عمود برC باشدبردارB=[-2,0,1] وA=[4,1,0] اگر .باشدB وAدو بردار A (4,1,0), B ( 2,0,1),C (Cx ,Cy ,Cz ) :حل  C .A  0  4Cx  Cy 0  Cy  4Cx C.B 0   2Cx  Cz 0  Cz 2Cx   Cx2  16Cx2  4Cx2 1 Cx  1 21  21 21 1  C   , 21  2   21 Cx2 Cy2 Cz2 1 4 2   ,  ,  21 21  1 4 , , 21 21 13 تمرین6-2-1صفحه16کتاب درسی: مقدارمولفه aرادرراستایbبه دست آورید؟ الف)]a=[1,1,2],b=[0,0,6 حل: ‏ )a.b (01)  (01)  (26 ‏Pa  ‏ ‏2 2 2 2 ‏b 0 0 6 14 :کتاب درسی16صفحه8-2-1تمرین نشان،)) باشد(بردارمکانx,y,z( برداری ازمبدا مختصات تا نقطهrبردارثابت وA اگر .دهید که رابطه زیرمعادله یک صفحه است     r  A .r 0   r  xiˆ tjˆ zkˆ  A aiˆ bjˆ ckˆ     (r  A).A 0 :حل  ((x  a)iˆ ( y  b) ˆj  (z  c)kˆ).(aiˆ bjˆ ckˆ) 0 a(x  a)  b( y  b)  c(z  c) 0  ax  by  cz (a2  b2  c2 ) ax  by  cz  d 0 15 تمرین10-2-1صفحه16کتاب درسی : زاویه بین دوبردار A=3i+4j+kو B=i-j+kراپیداکنید. حل: ‏AB . 3 4 1 ‏AB .  A . B cos  cos  ‏ ‏0 ‏AB 14. 3 ‏ ‏ 2 16       ab .  bc .  c.a حاصلa  b  c 0برداریکه باشند وc وbوa اگر-3 تست چقدر می شود؟  3 2  1 2 :د :ب 3 :الف 2 1 2       (a  b  c).(a  b  c) 0             a.a  b.b  c.c  a.b  a.c  b.a  b.c  c.a  c.b 0    2 2 2 a  b  c  2(a.b  b.c  c.a) 0    1 1 1 2(a.b  b.c  c.a) 0       3 2(a.b  b.c  c.a)  3  a.b  b.c  c.a  2 :ج :حل 17  تست -4دوبردار b, a به صورت b  0,0,6 , a 1,1,2 مفروضند.مقدار مولفه ‏ ‏b aرادرراستای به دست آورید. ب1 : الف2 : 2 ج: 6 6 د: 6 حل: ‏ ‏ ‏a.b 12 ‏   ‏ ‏a.b  a . b cos  a cos    ‏2 36 ‏b 18 ضرب برداری ‏  ‏   حاصل ضرب خارجی دو بردار B, Aبه صورت C  ABنوشته می شود،اندازه ‏ ‏  آن (C  ABsinکه زاویه کوچکتر میان B, Aاست)C .برصفحه ‏  ‏B, Aعمود اس ت وجه ت آ ن ب ا اس تفاده از قاعده دس ت راس ت تعیی ن می شود،به گونه ای که اگر چهار انگشت دست راست در راستای بردار ‏ ‏A ‏ ‏ وچرخش آن ها در جهت بردار Bباشد ،آن گاه انگشت شست جهت بردار C رانشان می دهد. با استفاده از اندازه حاصل ضرب خارجی دو بردار وقاعده دست راست داریم: ˆk ˆ 0 ˆ ˆ iˆiˆ  ˆj  ‏j k ˆ ˆ، ˆˆ i ˆ ˆiˆ  ˆ iˆ ‏j k ‏j k ، k ‏j 1 9 ˆ، k ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ‏j iˆ  k ‏j  iˆ، iˆk ‏j ضرب برداری به روش مولفه ای : ˆ ˆ ˆ اگر ˆj  AZ k ˆ A  AX iˆ AYو B BX i  BY j  BZ kباشدآن گاه: ‏ ‏  حاصل ضرب خارجی دوبردار B, Aبه روش دترمینان: ˆk ˆAY AZ ( AY BZ  AZ BY )iˆ ( AZ BX  AX BZ ) ˆj  ( AX BY  AX BY )k ‏BY BZ ‏  مساحت متوازی االضالعی که دوبردار B, A اضالع آن هستند برابر است با: ˆj ‏  ‏S  AB  ABsin 20 ˆi ‏   ‏C  AB  AX ‏BX : کتاب درسی23صفحه4-3-1تمرین : ثابت کنید  P i cos  j sin بااستفاده ازسه بردار  Q i cos  j sin  R i cos  j sin  :حل sin(   ) sin cos  cos sin cos(   ) cos cos  sin sin  P Y        P R  P R sin(   ) sin cos  cos sin    P.R PRcos  P R cos(   ) cos cos  sin sin   P  R  cos2   sin2  1 X  R 21 : کتاب درسی23صفحه5-3-1تمرین راثابت sin sin  sin   قانون سینوس ها،بااستفاده ازشکل زیر A B C Y .کنید B  C  A :حل  X 1 1 1 AB  BC  AC 2 2 2 A B sin  B C sin  A C sin   sin sin  sin   A B C 22  نشان دهید: کتاب درسی24صفحه8-3-1تمرین ( A  B).( A  B)  A2  B2 :الف ( A B) ( A B) 2AB :ب :حل ( A B).( A B) ( Ax  Bx )( Ax  Bx )  ( Ay  By )( Ay  By )  ( Az  Bz )( Az  Bz ) :الف  Ax2  Bx2  Ay2  By2  Az2  Bz2  A2  B2     ( A B) ( A B) iˆ ( Ay  By )( Az  Bz )  ( Ay  By )( Az  Bz )  ... iˆ ( Ay Az  AyBz  By Az  By Bz )  Ay Az  Ay Bz  By Az  By Bz    ˆ ˆ ˆ 2( Ay Bz  By Az )i  2( AzBx  Bz Ax ) j  2( AxBy  Bx Ay )k 2AB :ب 23   کدام است؟B  4,  2,1 , A  2,3,2 – بردارعمودبر5 تست   C  7,  6,  16 :ب  C  7,6,  16 :د C  7,6,16 :الف  C  6,7,16 :ج :حل iˆ ˆj    C  AB  2 3 4 2  C  7,6,  16 kˆ 2 (3 4)iˆ (8 2) ˆj  ( 4 12)kˆ 1 24  ‏ ‏ تست -6اگردوبردار B   2,0,1 , A  3,1,0مفروض باشند ،بردار Cراکه طول آن ‏  واحد است طوری بیابیدکه بر دو بردار B, Aعمودباشند. ˆ 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏i الفj  k : 6 6 6 ˆ 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏i ‏j بk : 14 14 14 ˆ 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏i ‏j ‏k 14 14 14 ˆ 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏i دj  k : 6 6 6 ج: حل: ˆk ˆ2 iˆ 3 ˆj  2k ˆ ‏j 3 ˆi ‏   ‏C  AB  2 4 2 1 ˆ 3 ˆ 2 ‏j ‏k 14 14 َ52 ‏ ‏C ˆ 1 ˆ   , C  1 9 4  14  n ˆ ‏n ‏i 14 ‏C  تست -7مساحت مثلثی ک ه دوبردارˆA iˆ ˆj  k و ‏ ˆB iˆ k تشکیل می دهند،چقدر است؟ 2 الف2 : 1 ج: 2 حل: ب2 : 3 د2 : ˆ ˆi ˆj k ‏  ˆAB  1 1 1 iˆ k 1 0 1 ‏   AB  2مساحت متوازی االضالع 1   2 ‏ ‏A ‏ ‏B ‏ مساحت مثلث 2 2 26 ضرب سه گانه بردارها ‏ ‏ -1ضرب سه گانه نرده ای  اگر س ه بردار )) ، a :(a1, a2, a3 c :(c1, c2, c3)، b :(b1, b2, b3را داشته باشیم، ‏ ‏ ‏ حاصل ضرب نرده ای )a.(b c راضرب سه گانه نرده ای می نامیم وبه صورت زیر نشان می ‏    دهیم: )(abc) a.(b c ‏   نرده ای ) A.(BCبرابربا حجم متوازی السطوحی است که سه ضلع گانه  قدر مطلق ضرب  سه  آن برداراهایC,B, Aهستند. ‏A1 A2 A3 ‏   ‏ABC  B1 B2 B3 V ‏C1 C2 C3 27 شرط هم صفحه بودن سه بردار ‏   ‏c,b, a بدین صورت است: ‏   ‏a.(b c) 0 برداری -2ضرب سه گانه  عبارت های ‏ ‏ )a (b c و ‏   (a b) c را ضرب سه گانه برداری می گویند. دستور بک -کب برای محاسبه حاصل ضرب سه گانه برداری: ‏   ‏     ‏A(BC) B( AC ). )  C( AB 28 تمرین1-4-1صفحه28کتاب درسی :حجم متوازی السطوح متشکل از 3بردار زیر رابه دست آورید. الف: ‏ j  4k,i  k,2 j  k ب: ‏i  j, j  k,2i  6k حل: الف: ب: 29 ‏   ‏V  A.(BC) (iˆ kˆ).[(24 1)iˆ] 9 ‏   ˆ V  A.(BC) (2iˆ 6kˆ).(iˆ ‏j  kˆ)  4 تمرین2-4-1صفحه28کتاب درسی :آیاسه بردارزیر دریک صفحه اند؟ الف1]:و0و[1و]1و1و[0و]0و1و[1 ب3] :و -7و[2و]8و9و[5و] -2و3و[7 ‏a ‏b حل:شرط هم صفحه بودن ‏C ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏    ‏a.(b c) b.(a c) c.(a b) 0 پس درقسمت الف باتوجه به رابطه فوق داریم: یعنی بردارها هم صفحه نیستند.ودرقسمت ب نیز به همین ترتیب. ‏c.(ab) (i  j).( i  j  k)  2, a.(bc) (i  k).(i  j  k) 2 ‏b.(ac) (5i  9 j  8k).(5i  25 j  55k) 690 30 نشان دهید: کتاب درسی28صفحه3-4-1تمرین 2 2 ( AB).( AB)  A B  ( AB . )2 :حل     2 2 2 ( AB).( AB)  A B  ( AB . )  2 2 2 2 2 2 AB  A B sin   A B (1 cos2  ) 2 2 2  A B  ( AB . ) 31 تمرین6-4-1صفحه28کتاب درسی :اگر Dترکیب خطی ازسه بردار ناهم صفحه(ونامتعامد)زیر باشد ‏D=aA+bB+cCنشان دهید که ضرایبaوbوcازنسبت ضربهای سه گانه نرده )D.(BC ای به شکل زیر دست می آیند )A.(BC ‏a وغیره حل: ‏ ‏   ‏   ‏   ‏ )D.(BC) (aA  bB  cC).(BC) aA.(BC ‏    ‏   ‏    a )A.(BC )A.(BC )A.(BC ‏   ‏   )D.( AC )D.( AB ‏b     ,c     )B.( AC )C.( AB 32 میدان های نرده ای وبرداری اگر تابع نرده ای )  ( X ,Y, Zدر نقطه )( X ,Y, Z میدان نرده ای ‏ ازفضا مقداری معین داشته باشد ،گوییم درآن نقطه تعریف شده است .در هر نقطه مقدار ‏ مستقل از انتخاب دستگاه مختصات است. میدان برداری: ‏ وقتی تابع برداری ) F( X ,Y, Zدرهرنقطه ) ( X ,Y, Zیک ناحیه تعریف شده باشد،می توان گفت که آن ناحیه یک میدان برداری است. نمایش میدان برداری در دستگاه مختصات دکارتی: ‏ ˆF FX ( X ,Y, Z)iˆ FY ( X ,Y, Z) ˆj  FZ ( X ,Y, Z)k خطوط میدان برداری: ‏ هرمنحنی که بردار مماس درهر نقطه آن،درجهت Fباشدراخط میدان گویند. 33 شیب(گرادیان) میدان نرده ای مشتق جهتی: نسبت تغییرات میدان نرده ای ‏ds ‏ رادر یک جهت معین،مشتق جهتی آن میدان می گویند.اگر ‏d تغییرمکان بی نهایت کوچک درجهت مورد نیازباشد آن گاه ‏ ‏ds است. ‏ds مشتق جهتی ‏dZ, dY, dX دارای مولفه هایd  ‏ dX دکارتی :اگر  dY مشتق جهتی درمختصات dZ ‏ ‏ ‏ ‏ds X ds Y ds Z ds باشد داریم: شیب(گرادیان)میدان نرده ای: برداری است که اندازه آن بیشینه مشتق جهتی درنقطه مورد نظر وجهت آن ،جهتی است که 34 مشتق جهتی درآن راستا بیشینه باشد. شیب نرده ای یا گرادیان رابا( عملگر دل) یا gradنشان می دهیم وجهتی دارد عمود برسطح تراز ‏ که از نقطه مورد نظر می گذرد. عملگر دل (گرادیان)درمختصات دکارتی: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ˆ ˆ  ˆ ˆ ‏ i ‏ j ‏k ˆ  i ˆ  ‏j ‏k ‏X ‏Y ‏Z ‏X ‏Y ‏Z برداریکه عمود برسطح تراز رویه ای درجهت افزایش  ‏ ‏ ‏n̂   ‏ 35 : مثال25-1صفحه34کتاب درسی : 2 ‏ ‏ ‏x برداریکه ای رابیابید که برسطح تراز )  2yz  xcos( yzدرنقطه ای به مختصات عمود ودر جهت  افزایش )P(3,  2,0 باشد. حل: می دانیم برداری که عمود بر سطح تراز درنقطه ) (3,  2,0باشد برابر است با ‏ ‏ ˆ  ˆ  ˆ ‏ i ‏j ‏k ‏x ‏y ‏z ‏i[2x  cos( yz)]  j[2z  xzsin( yz)]  k[2y  xysin( yz)] 5i  4k بنابراین برداری یکه مورد سوال در این نقطه به قرار زیر خواهد بود : ‏ ‏ 5i  4k ˆ   ‏n 41 ‏ 36 مثال26-1صفحه35کتاب درسی : ‏ (x, y, z,t) xy2  2yzt  sin xt دمای نقطه ( )x,y,zیک محیط درزمان tبه صورت فرض شده است.آهنگ تغییر دما نسبت به زمان ذره ای را که با سرعت V i  j  2k درزمان t=0ازنقطه )(2,3,1 می گذرد،محاسبه کنید. حل: متغییرهای فضا را درطول مسیر ذره می توان توابعی از زمان در نظر گرفت و بنابراین ‏ تابع مرکبی از زمان است .با مشتق گیری نسبت به زمان خواهیم داشت ‏d   dx  dy  dz  ‏  ‏ ‏ ‏  V. ‏dt t x dt y dt z dt t ‏dx dy dz ‏ j k که درآن dt dt dt )، t 0,(x, y, z) (2,3,1چنین نتیجه می شود : ( V iبردار سرعت) است .پس با مشتق گیری ودر نظر گرفتن 37 :26-1ادامه مثال  2yz  xcos xt 8 t  i( y2  t cos xt)  2 j(xy  zt)  2kyt 9i  12 j )به دست می آوریم33-1(اکنون آهنگ تغیردما را ازرابطه  8 (i  j  2k).(9i  12 j) 29 t 38 مثال27-1صفحه35کتاب درسی : ‏3 2 2 2 2 ‏s ( ‏x , ‏y , ‏z ) ‏ ( ‏x ‏ ‏y ‏ ‏z ) باشدمطلوب است اگر )(1,2,3 الف) sدرنقطه ب)اندازه گرادیان sیعنی sدر نقطه )(1,2,3 )(1,2,3 ج)کسینوس های هادی sدر نقطه ‏ ‏ ‏ ‏ j k ‏x y ‏z حل: الف) ‏s i ‏5 ‏5 ‏5 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ‏ 2x[x  y  z ] i  2y[x  y  z ] j  2z[x  y  z ] 2 k 2 2 2 ‏5 ‏j  33[14] 2 k ب) 39 ‏5 2 ‏5 ] 3[14] 2 i  32[14 )(9 36 81 3 ‏s  ‏ 2 5 14 14 :27-1ادامه مثال cos  cos   (s)x  s 1 14 (s) y  2 14 (s)z  s 3 14 cos  s )ج 40 : کتاب درسی36صفحه28-1مثال 2 2 2 f ( r )  f ( x  y  z ) اگر  f ( r ) .رامحاسبه کنید باشد :حل f (r) df  x dr r x ff  f f (r) i  j  k x y z داریم اکنون از دستور زنجیری مشتق گیری استفاده می کنیم r  x2  y2  z2  r2 x2  y2  z2  2rr 2xx  f (r) x df  x r dr f (r) y df   y r dr f (r) z df   z r dr r x  x r   1 df r df  df  f (r) (ix  jy  kz)  r0 r dr r dr dr 41 : کتاب درسی36صفحه1-6-1تمرین : های زیر رابه دست آورید2میدان شیب 2 (y  z ) ( y2  z2 ) :الف sin xsinh y :ب 1 ln(x2  y2 ) 2 :ج :حل 2 2 2 2 2 2 2 2       2 x ( y  z ) 2 y ( x  z )  2 z (( y  z )  ( x  z )) ˆ ˆ ˆj   iˆ  ˆj  k  2 2 2 iˆ k x y z ( y  z ) ( y2  z2)2 ( y2  z2)2 :الف  cos(x)sinh( y)iˆ sin(x)cosh( y) ˆ j :ب   x y 2 2 x y i  j  i  j 2 2 2 2 2 2 2 2  x y )  x y ) 2( 2( (x  y ) (x  y ) :ج 42 : کتاب درسی36صفحه2-6-1تمرین :ثابت کنید، باشدzوyوx دوتابع مشتق پذیر برحسبf وgدرصورتی که ( fg)  f g  g f :الف ( f n ) nffn 1  :ب :حل :الف ( fg)  ( fg) ˆ ( fg) ˆ ( fg) ˆ f g i j k (g  fi )ˆ ...  f g  g f x y z x x  ( ffn ) ˆ ( n ) ˆ n ˆ ( ff )  ( )i  j k x y z ff n 1ˆ  f n 1 n 1 ˆ n . fi n f jn f nffn 1  x y z n :ب 43 تمرین3-6-1صفحه37کتاب درسی : دریک میدان دمایی به صورت T  x3  3xy2 ‏Tجریان می یابد.این جهت را درنقطه)(2,1 گرمادر جهت بیشینه کاهش دمای به دست آورید . حل: ‏T ˆ T ˆT i ‏j ˆ (3x2  3y2 )iˆ 6xy ‏j ˆ 9iˆ 12 ‏j )(2,1 ‏x ‏y ‏ ‏u ˆ 9iˆ 12 ‏j ‏   ‏u 81 144 44 تمرین4-6-1صفحه37کتاب درسی : اگرپتانسیل بین دواستوانه هم محور برحسب ولت به صورت )V (x, y) 110 30ln(x2  y2 باشد،جهت میدان الکتریکی رادرنقطه ) (2,5به دست آورید. حل: ‏ ‏ ‏V ˆ V ˆ 2x ˆ 2y ˆE  V  (i ‏j ) (2,0)  30( 2 ‏i ‏ ‏j)  ‏x ‏y ‏x  y2 ‏x2  y2 ‏ ‏ 120 ˆ  300 ˆ u ‏i ‏j  29 29 ‏u 45 تمرین6-6-1صفحه37کتاب درسی : اگرتابع برداریFبستگی به فضای )(x, y, z اشاره:ر ک مثال.26-1 وزمانtداشته باشد نشان دهید ‏F ‏dF (dr.)F  ‏dt ‏t حل: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ F ‏ ‏F ‏F ‏F ‏F ‏ ‏dF  ‏dx  ‏dy  ‏dz  ‏dt (dr.)F  ‏dt ‏x ‏y ‏z ‏t ‏t 46 تمرین7-6-1صفحه37کتاب درسی : بردار یکه عمود برمنحنی مفروض در نقطه Pرابدست آورید الف) P :(6,8) , x2  y2 100 ب) ‏P :(3,4,5) , z  x2  y2 حل: الف: ˆ ˆ 16 ‏ ‏ 12 ‏i ‏j ˆ  2xiˆ 2yjˆ 12iˆ 16 ‏j ‏ ˆ0.6iˆ 0.8 ‏j ‏ 144 256 ب: 47 ˆ 5 ‏k 26 2y ˆj  kˆ    3 iˆ 4 ˆj  ‏ 26 26 2 x2  y2 ‏iˆ 2x 2 x2  y2 ‏   d : کتاب درسی37صفحه8-6-1تمرین    Ar . اگر  ( )  A d ثابت کنید،باشد :حل   d   Ar .   ( )  A   A aiˆ bjˆ ckˆ , r  xiˆ yjˆ zkˆ d  ax  by  cz   ( )  (ax  by  cz)  ˆ  ˆ  ˆ   ˆ   i j k . i  ... x y z  x  ˆ  ˆ  ˆ  d a i b jc k A    d 48 انتگرال برداری انتگرال خطی یک  بردار : ‏ -1 ‏Adl اگر Aیک بردار باشد . ، عبارتست از انتگرال خطی آن روی منحنی cاز نقطه ‏a ‏ cمی باشد. dlبردار کوچکی مماس برمنحنی bکهدر آن aتا ازآنجا که . Adlضربی نرده ای است،حاصل انتگرال نیز نرده ای خواهد بود. ‏b انتگرال خطی یک بردار نه تنها به نقاط ‏aو b بستگی دارد،بلکه به مسیر انتگرال گیری(منحنی ) cنیز وابسته است.درصورتی که حاصل انتگرال به شکل مسیر بستگی نداشته باشد .دراین صورت میدان برداری مورد نظر را پایستار می گویند وانتگرال آن روی هر  پربند  بسته صفر می شود . در نتیجه Fپایستار است. اگر F.dl 0 بردار روی سطح : -2انتگرال سطحی یک ‏ ‏Anda انتگرال سطحی بردار Aرو سطح Sرا اینگونه ˆ . تعریف می کنیم که daعنصر ‏s سطح از سطح Sبوده n̂ ،بردار یکه عمود برسطح S 49 سطح بسته می باشد. وجهت آن به سمت خارج  حاصل انتگرال سطحی به شکل صفحه قبل یک کمیت نرده ای می باشد. ‏ -3انتگرال حجمی بردار A ‏ : ‏ J AdVیک بردار است و dVالمان(عنصر) حجم از حجم V ‏v حاصل انتگرال حجمی یک بردار کمیتی برداری است . 50 می باشد. : کتاب درسی41صفحه32-1مثال x2  y2  z2 4 یک هشتم حجم کرهV وF xyi  zxj  k اگر v FdV مطلوب است محاسبه، باشدx 0, y 0, z 0 درناحیه v FdV iFxdV  j FydV  kFzdV z y z F dV  xydxdydz  x v   z z y z 1 1   y x dydz    2 2 y z 1 1   (4 y  z ) dz   (4 y 8 8 32 v Fydv  zxdv  15 4 F dv  1 d v  V   v z v 3 32 4  Fdv  (i  j)  k v 15 3 2 2 0 4 2 0 2  2 0 0 0 2 4 2 0 2 4 2 0 2 0 2 2  4 0 2 2 4  4 0 2 0 2 2 :حل xydxdydz y(4 y2  z2)dydz z2)2dz  32 15 51 مثال33-1صفحه42کتاب درسی : بارالکتریک ی نقط ه ای qدرمبداء مختص ات فرض م ی شود .میانگی ن حجمی میدان الکتریکی آن را در حجم کره ای به شعاعR که مرکز آن روی بار فوق قرار دارد حساب کنید. حل :بنا به تعریف v Edv 1 E که درآن Vحجم کره است.مولفه های ‏V ‏E عبارتنداز : ‏v Exdv ‏v Eydv 52 ‏v Ezdv 1 ‏Ex  ‏V 1 ‏Ey  ‏V 1 ‏Ez  ‏V  q r E 4 0 r3 q x q r sin cos qsin cos Ex    3 3 4 0 r 4 0 r 4 0r2 q x q qcos Ez   cos   4 0 r3 4 0 4 0r2 Ey  q 4 0 :33-1ادامه مثال x q r sin sin qsin sin   r3 4 0 r3 4 0r2 qsin cos q sin cos d Ex  dv  r sin d d dr 2 2  4 0r 4 0 r R dr  2 q 2  sin  d  cos d 0   0 0 0 4 0 r Ey 0, Ez 0 به همین ترتیب 53 : کتاب درسی43صفحه1-7-1تمرین . رابه دست آورید r.dr مقدار :حل 2 x r.dr xdx  ydy  zdz  2  2 a 2 y 2  z 2 0 a 54 تمرین2-7-1صفحه43کتاب درسی : کار انجام یافته از نقطه)(1,1تانقطه) (3,3حاصل نیروی ) F i(x  y)  j(x  yرابه دست آورید.مسیر انتخابی خود را دقیقا مشخص کنید وتوجه داشته باشید این نیرو پایستار نیست. حل: )(3,3 ‏d ‏c ‏b ‏a 55 )(1,1 : کتاب درسی43صفحه2-7-1ادامه تمرین   W1  F.dr  Fx dx  Fy dy  Fx dx  Fy dy      a a b b (3,1) W1  (3,1) (x  y)dx  (1,1)   W1   (3,3) (x  y)dy  (x  (1,1) 2 x 2   y)dx  (3,1) (3,1)  xy  (3,3)   (1,1) (3,1) 2  0  0   xy  (x  y)dy y   2 (3,3) 12 j (3,1)   W2  F.dr  Fx dx  Fy dy  Fx dx  Fy dy      c c d d (1,3) W2  (1,3) (x  y)dx  (1,1) (3,3) (x  y)dy  (x  (1,1)   W2  0   xy  2 y (3,3)   2 (1,3) (1,3)    0  (1,1) y)dx  2 x 2 (x  y)dy (1,3)   (3,3)  xy   0 4 j (1,3) 56 تمرین3-7-1صفحه43کتاب درسی : 1 مقدار r.nda 3 sراروی سطح مکعبی به ضلع واحد که یک راس آن در نقطه) (0,0,5قرار داشته و درناحیه یک هشتم اول دستگاه مختصات باشد به دست آورید. ‏ حل: ابتدا مقدار انتگرال را برای سطوح مجاور نقطه ( )0.0.5محاسبه می کنیم .با این فرض که راس اصلی مکعب روی این نقطه و بقیه آن باالی این نقطه قرار دارد : 57 ‏ 1 0iˆ yjˆ zkˆ .dydz( iˆ) 0 ‏3  ‏1 1  ˆ ˆ ˆ ˆ ‏r . ‏nda ‏ ‏xi ‏ 0 ‏j ‏ ‏zk .dxdz( ˆj) 0 ‏3  3 ‏ ‏ 13  xiˆ yjˆ 5kˆ .dydz( kˆ)  35 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ : برای سه وجه دیگر مکعب خواهیم داشت  1 1iˆ yjˆ zkˆ .dydz(iˆ)  1 3 3  1 1  ˆ 1ˆj  zkˆ .dxdz( ˆj)  1 ˆ r . nda  xi  3 3 3   13  xiˆ yjˆ 6kˆ .dxdy(kˆ) 2  5 1 1 1  ˆ 0 0    2 1  3 r.nda 3 3 3       58 رادر حالت های زیر محاسبه کنید c : xy 1 (0,1) ( تانقطه0,0) ازنقطه c F(r).dr : کتاب درسی43صفحه4-7-1تمرین ,1 x 3, 3 2 2 F xyi  ( y  x ) j :الف 2 2 c : r ti  t j, F exp( y3 )i  exp(x3 ) j :ب :حل الف 1 1  xy 1 y   dy  2 dx x x    ˆ ˆ dr dxi  dyj   dx   dr dxiˆ 2 ˆj x   y x   3 F ( r ). dr  ( dx  ( )dx) 2  1 x 1  x 3 1 3 1 10 3 x  x1   ( 2 )dx 2 (ln x  2 ) 1 2 ln3  1ln3 1 x x 9 9 59  یا: کتاب درسی43صفحه4-7-1ادامه تمرین 1 ˆ 2 ˆ c : XY 1 dr xdy  ydx f (r) i  (x  2 2 ) j x 3 1 1 2 1 x 3  F(r).dr  ydx   x ( x  2  )dy 2 1 1 3 x 1 1 1 1 2  y 1  dx   ( 3   y)dy 1 3 3 x y y 60 : کتاب درسی43صفحه4-7-1ادامه تمرین :ب x t  dx dt 2 3 12 y t  dy  t dt,t  y3 0 t 1 2 1  1 1 23 3   F(r)dr Fxdx  Fydy etdt  et . t 2dt et  ... 0 0 2 3 2 61 را محاسبه 1 x2 1 x2  y2   0 0  2 0  2 مقدار: کتاب درس ی43ص فحه5-7-1تمرین x2  y2  z2 1 یک هشتم مثبت کره توپرVدرصورتیکه،کنید .باشد 1 v (x  y  z)dv (x  y  z)dxdydz  :حل 1 2 r    sin[r cos sin  r sin sin  r cos ]drd d  0 0 0 4 1 r 2 [sin [cos  sin ]  sin cos ]d d  0 0 4 0  2  2   1 2 2 2 2 {sin  [sin   cos  ]  (sin  cos  )  }d   0 0 0 4  1 2 2  2 1 1  3 2 sin  d   sin  cos  d   (   sin2  )     0 0 0 2 8 4 2 16 16 62 واگرایی(دیورژانس) دیوژانس یک اپراتور برداری است که بزرگی میدان برداری چاه یا چشمه را در یک جهت معین اندازه گیری می کند.حاصل عمل اپراتور دیورژانس در یک کمیت برداری اسکالر خواهد بود. خود دیورژانس برداری است که در جهات مختلف مشتق می گیرد و ضرب داخلی این اپراتور در یک بردار مطابق انتظار ،به ما یک کمیت اسکالر خواهد داد. این کمیت در الکترو مغناطیس و بقای جرم استفاده می شود. همچنین در الکترومغناطیس ،دیورژانس بردار میدان مغناطیسی و میدان الکتریکی 0است. دلیل آن خیلی ساده است ،تعداد خطوط میدانی که به یک جسم وارد می شوند ،برابرند با تعداد خطوطی که خارج می شوند. دیورژانس نشان دهنده چگالی حجمی شار خروجی از (یا ورودی به) یک حجم بسیار کوچک در می باشد. 63 واگرایی(دیورژانس)یک تابع برداری ‏ ‏ ‏  واگرایی بردار Aراکه یک مشتق برداری است ،بانماد .Aیا divAنمایش می دهیم. تعریف واگرایی: ‏ ‏  1  ‏A  lim  ‏Anda ˆ. یعنی واگرایی بردار Aعبارت است از حد انتگرال سطحی ‏v 0 v  ‏S ‏S ‏A ‏V به صفر میل کند. وقتی حجم درون سطح به ازای واحد حجم بردار ‏ ‏  در صورتی که داشته باشیم، .A 0 :میدان برداری Aرامیدان سیملوله ای می گویند. واگرایی در مختصات دکارتی: ‏  Ax Ay Az ‏A  ‏ ‏ ‏x ‏y ‏z 64 تمرین1-8-1صفحه46کتاب درسی : واگرایی توابع برداری زیر را به دست آورید الفixey  j sin xy  kz : بi cos xcosh y  j sin xsinh y : ج(i  j)sin xy  kzcos xy : حل: توابع فوق دارای مشتق های ساده ای هستند وهمانطور که می دانیم واگرایی با رابطه ‏  Ax Ay Az A  x  y  zبدست می آید .پس داریم: الف: ب: ج: 65 ‏ey  xcos xy  1 ‏ 2sin xcosh y ‏y cos xy  xcos xy  cos xy : کتاب درسی46صفحه2-8-1تمرین اتحاد بردای زیر راثابت کنید .( E) .E  ( ).E .مشتق پذیر ند E Exi  Ey j  Ezk  , E که درآن :حل     E  Exi   Ey j   Ezk     . E  ( Ex )  ( Ey )  ( Ez ) x y z Ex   .Ex    ... ( ).E   (.E) x x 66 تمرین3-8-1صفحه46کتاب درسی : با استفاده ازاتحاد بردایتمرین قبلی،واگرایی تابع برداری زیر رامحاسبه کنید ‏3 2 2 )(x2  y2  z ) (xi  yj  zk حل: ازتمرین 2داریم .( E) .E  ( ).Eپس تابع فوق را به شکل مذکور تبدیل می کنیم )E (xi  yj  zk )  (x2  y2  z 3 2 2 2 2 25 3 2 2 2 2 25 ) .( E) .E  ( ).E (x  y  z ) (3)  (2x )(x  y  z )  2y (x  y  z 2 2 ‏5 3 2 2 2 2 25 ‏ (2z )(x  y  z )  3(x2  y2  z2) 2 (x2  y2  z2)  3  3  3 0 2 ‏  67 ‏3 2 2 ‏3 2 2 2 2  برابر است باq میدان الکترواستاتیک بار نقطه ایی- 7-8-1 تمرین   q r E . 3 4 0 r . را بدست آورید واگرایی :حل    q r q 1 1 q 1 3 r         .E  . 3    3 .r   3 .r    3 (3)  5 .r  0 4 0  r  4 0  r r  4 0  r r   ˆ  ˆ ˆ ˆ ˆ    .r  iˆ j  k  . xi  yj  zk 1 1 13 z   x y   1   1 3  3r  3   3  rˆ  4 rˆ  5 r r  r  r r   68  r : باشد در آنصورت xiˆ yjˆ zkˆ می توان نشان داد ( ؟ ) که اگر: نکته df       . f (r)r  r  3 f dr r x2  y2  z2  3  F  r r نشان دهید-36-1 مثال . سیملوله ایی است    d 3  .F . r 3r r r  3r 3  3r 3  3r 3 0 dr     69 : کتاب درسی47صفحه8-8-1تمرین ثابت کنید  .r rn 1 (n 2)rn 1 :حل   n 1 n 1         . r r r (.r )  (r ).r n 1 n 2   3r  (n 1)r r.r .( E).E( ).E  n 1  3rn 1  (n 1)rn 2(r) (n 2)rn 1 70 قضیه واگرایی(گاوس) انتگرال واگرایی یک بردار روی حجم V بردار روی سطح بسته مرزی حجم Vاست: برابر انتگرال سطحی مولفه عمود برسطح آن ‏ ‏  ˆ. ‏.AdV Anda ‏v 71  مثال37-1صفحه48کتاب درسی : ‏qr ‏E میدان بار الکتریکی نقطه ای qکهqدرمبدا مختصات قرار دارد با عبارت 4 0r3 ‏.Edv که درآن Vهر حجم دلخواه است که بارq مشخص می شود.ثابت کنید ‏0 را دربر می گیرد. حل: بنا برقضیه واگرایی،داریمs E.nda .Edv حال اگر Eرا جایگزین کنیم ،می رسیم ‏ ‏q  ‏q rda cos بهq dan ˆ  ‏r.nda ‏ 3 ‏ ‏s ‏s 4 r3 4 0 ‏r 4 0  r2 0 ‏q ‏q ‏q ‏ ‏d ‏ ‏ 4 ‏ ‏ 4 0  4 0 ‏0 که درآن ،مطابق شکل صفحه بعد dan da cos ،تصویر عنصر سطح daروی صفحه ‏dan ‏d ‏ است. برابر زاویه فضایی عمود بر rو 2 ‏r ‏ ˆ  ‏E.nda 72 n ‏z ‏ ‏r ‏y ‏x شکل21-1مثال 37-1 73 زاویه فضایی در هندسه ،زاویه فضایی ،که معموالً با Ωنشان داده می‌شود ،زاویه‌ای در فضای س ه‌بعدی است که یک جسم روی یک نقطه را می‌پوشاند .این زاویه نشان می‌دهد که آن جسم از دید بیننده‌ای که از آ ن نقط ه ب ه جس م می‌نگرد چه‌قدر بزرگ می‌آید .برای نمون ه ،جس م کوچک ی در فاص له نزدیک می‌تواند همان زاویه فضایی‌ای را بپوشاند که جسم بزرگی در دوردست می‌تواند .اگر جسم را روی سطح کره‌ای به مرکز آن نقطه تصویر کنیم ،زاویه فضایی جسم متناسب است با مساحت بخشی از کره که جسم پوشانده است ،تقسیم بر شعاع کره به توان دو: ‏S ‏ k 2 ‏r که در این رابطه kضریب تناسب است. یکای س نجش زاویه فضایی در س یستم اس تاندارد بین‌الملل ی واحدها اس ترادیان است .در یکای استرادیان ،ضریب تناسب برابر با یک است. در مختصات کروی ،جزء زاویه فضایی برابر با است. ‏ 2 74 ‏d sin d d   sin d d 4 0 0 مثال39-1صفحه49کتاب درسی : باتوجه به اتحاد برداری تمرین2-8-1بخش قبل اگر Eمیدان الکتریکی و پتانسیل 2 ‏ ‏dv ‏ ‏ ‏E الکترواستاتیکی نظیر آن باشد نشان دهید 0  dv ‏ حل: ‏ ‏ می دانیم E   ‏  ‏.E  ‏0 اما از اتحاد مزبور داریم ‏.( E) ( ).E  .E  .E .( E)  ( ).E )  0.E  0 (.( E)  ( ).E ]  0 .Edv  0[.( E)dv   .Edv اولین انتگرال سمت راست برابرصفر است .حال اگر   E بنشانیم 75 2 ‏ dv  E dv 0 را در انتگرال دوم را بااستفاده ازقضیه واگرایی برای s F.nda مقدار: کتاب درسی49صفحه1-9-1تمرین حالتهای زیر محاسبه کنید 0 z  y, 0  y 1, 0  x 6 سطحs وF 10yi  z3k :الف z h, x2  y2 a2 سطحs وF exi  yex j  3zk :ب 2 2 1 2 2 F  sin xi  z (1  sin x)k :ج z  , x  y z سطحsو 2 :حل  :الف .F .(10yiˆ z3kˆ) 3z2  6 1 y 6 1 2 2 3 y F.nda .Fdv (3z )dxdydz  3z dzdydx z dydx s v 0 0 0 0 0 0 1 6  y dydx  dx  1.5 0 0 0 4 4 6 1 3 6 76 : کتاب درسی49صفحه1-9-1ادامه تمرین :ب . exiˆ yex ˆj  3zkˆ ex  ex  3 3  2 2 F . nda   . Fdv  3 dv  3 V  3(  a (2 h ))  6  a h      s :ج 1 2 F.nda  s  z y2 z 2 2sin x cos x  (1  sin x)dxdydz 2  z z y    77 تمرین2-9-1صفحه50کتاب درسی : نشان دهید 1 ‏r.da V ‏ ‏s 3 که درآن Vحجمی است که با سطح بسته Sمحصور شده است. حل: 1   1 ‏ 3 ‏r . ‏d ‏a ‏ ‏ . ‏rd ‏v ‏ ‏dv V ‏ ‏ ‏ 3s 3v 3v 78 : کتاب درسی50صفحه4-9-1تمرین  2 2 2 ˆ در صورتی کهz 0 وx  y  z 9 را روی سطح خمیده نیمکرهV.nda V  yiˆ xzjˆ  2z  1 kˆ     .V  ( y)  (xz)  (2z  1) 2 x y z :حل  3 2 2   4 3 2 ˆ V . nda   . V dV  2 dV  2 r sin  d  d  dr   3 36       3 0 0 0   z 0  0   2 r 3  0  r  3  0   2 79 کرل یا تاو ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 80 در ریاضیات برداری ،کرل عملگری برداری است که چرخش بی نهایت کوچک یک میدان برداری سه بعدی را در هر نقطه از فضا مشخص می کند . در هر نقطه از میدان کرل توسط یک بردار مشخص می شود که جهت کرل در راستای محور دوران اس ت و بر اس اس قاعده دس ت راس ت بدس ت م ی آید و اندازه کرل شدت چرخش را مشخص می کند . در بیان فیزیکی تاو بیانگر چرخش یک شاره یا سیال در فضا یا سطح است .یعنی اگر یک چرخ پره دار را در منطقه ی با تاو مثبت بگذاریم شروع به چرخش پادساعتگرد می کند. میدان برداری را که کرل آن صفر باشد را غیر چرخشی یا نا تاوی می نامیم . م ی توان نشان داد که اگر میدان غیر چرخشی باشد ،م ی توان آنرا بص ورت ( منفی ) گرادیان یک پتانسیل اسکالر نوشت ( همانند میدان الکتریکی ) . 81 تاو(کرل)یک میدان برداری ‏ ‏  تاو یک بردار Aرا به صورت Aیا curlAنمایش می دهیم. ‏ تاو: تعریف  ‏  1 ‏A  lim  ‏nˆAda ‏S ‏v ‏v 0 ،یعنی تاو یک بردار عبارت است از حد نسبت انتگرال سطحی حاصل ضرب برداری بردار یکه عمود برسطح ( ̂) nدربردار ‏A ‏V ،به V ،روی سطح S به سمت صفر میل می وقتی که حجم بسته ‏ ‏  ‏A 0 ‏A کند. در حالتی که گویند. 82 شود ،میدان برداری را ناتاوی(غیر چرخشی) :تاو درمختصات دکارتی   AZ AY A A A A (  )iˆ ( X  Z ) ˆj  ( Y  Y Z Z X X iˆ AX ˆ  )k  Y X AX ˆj  Y AY kˆ  Z AZ 83 مثال40-1صفحه52کتاب درسی : 2 2 2 2 ‏A ‏ 3 ‏x ‏i ‏ ‏y ‏j ‏ ( ‏x ‏ ‏y بردار )k مفروض است.تاوآن را محاسبه کنید. حل: ‏  ˆ )A (2y  0)iˆ (0 2x ˆj  (0 0)kˆ 2yiˆ 2xj 84 : کتاب درسی52صفحه41-1مثال  r 0 ثابت کنید :حل z y x z y x  r i(  )  j(  )  k(  ) 0 y z z x x y 85 مثال42-1صفحه52کتاب درسی : الف:اتحاد برداری زیرراثابت کنید ‏( F) F  ( ) F ب:باتوجه به اتحاد برداری باال نشان دهید [ f (r) rˆ] 0که درآن تابع fدوبار مشتق پذیراست. حل: ‏F i Fx  j Fy  k Fz ‏ ‏ ( Fz  ( Fy 0]  ... الف :فرض می کنیم ‏y ‏z بنابراین داریم ‏Fy ‏Fz  ‏ ‏i[ ‏ ‏Fz   ‏ ‏Fy ]  ... ‏y ‏y ‏z ‏z ‏Fz Fy ‏ ‏ ([i ‏ ()  ...]  [i ‏Fz  ]Fy )  ... ‏y ‏z ‏y ‏z ‏F  ( ) F [( F ) i 86 ب: ‏ ‏r ˆ می دانیم r پس با استفاده از اتحاد بند الف داریم ‏r ‏ ‏ ‏ ‏[r 1 f (r) r ] [r 1 f ]r  r 1 f (r)r ‏ ‏ ‏r اما ازمثال41-1می دانیم 0 .پس به آسانی می رسیم به ‏d 1 ‏  [r f (r)]r r 0 ‏dr ‏ ‏ زیرا r r 0است 87 ‏[ f (r) rˆ]  مثال44-1صفحه54کتاب درسی : اگر V,Uناتاوی باشند نشان دهید U Vسیم لوله ای است. حل: می دانیم ).( AB) B.(A)  A.(B لذا ) .(U V ) V.(U)  U.(V ولی می دانیم Vو Uناتاوی اند یعنی U V 0 گیریم که ‏.(U V ) 0 88 پس نتیجه می مثال45-1صفحه54کتاب درسی : گشتاودوقطبی الکتریکیPدرمبدا مختصات واقع است .این دوقطبی پتانسیل الکتریکی زیررا درمحل rبه وجود می آورد ‏P.r 4 0r3 ‏ (r)  ‏ میدان الکتریکی E  را در rبه دست آورید. حل: ‏ ‏f ‏ ‏pr بافرض . داریم ‏ ‏ 1 pr . ‏E     )( 3 4 0 r ‏3 1 1 ‏dr ‏E  [ f (r 3)  r 3ff]  [ r0 ]  r 3f 4 0 4 0 ‏dr 1 1 1 3 ‏4 ‏3 ‏ [( pr . )( 3r r0)  r ( pr . )]  [ ( pr . )r0  ( pr ]) . 3 4 0 4 0 r r 89 : کتاب درسی54صفحه1-10-1تمرین بدست آوریدرا3 تاو توابع برداری زیر (x2  y2  z2) 2 (xi  yj  zk) :الف exyz (i  j  k) :ب y ln(x2  y2 )i  arctan( ) j :ج x :حل    (F )  (F)  (Q) F  (x  y  z ) , F  xiˆ yjˆ zkˆ  2 2 2 23  (F ) (x  y  z ) (0)  ( 3) 2 2 2 :الف 3 2  r  xr 0 2 2 2 52 (x  y  z ) 90 : کتاب درسی54صفحه1-10-1ادامه تمرین :ب curl(exyz (iˆ ˆ j  kˆ)) exyz (0)  ( yzexyziˆ xzexyz ˆ j  xyexyzkˆ).x(iˆ ˆ j) ˆ)x(iˆ ˆ exyz ( yziˆ xyjˆ xyk j  kˆ) exyz ((xz  xy)iˆ (xy  yz) ˆ j  ( yz  xz)kˆ) 91 : کتاب درسی54صفحه1-10-1ادامه تمرین iˆ  x ˆ j  y ln(x2  y2 ) y arctan( ) x y ˆ ˆ curl (ln(x  y )i  arctan( ) j)  x 2 :ج 2 kˆ  z 0  y  arctan( )  ln(x2  y2 )) x x y  y 2 2y  3y x   2  y 2 x  y2 x2  y2 1 ( ) x ˆ( k 92 : کتاب درسی55صفحه2-10-1تمرین باشدمطلوبست محاسبه f xyz, v xyi  yzj  zxk ,u zi  xj  yk اگر vu :الف v.v , vv :ب ( fv) , ( fu) :ج :حل :الف  xyiˆ yzjˆ zxkˆ   ziˆ xjˆ ykˆ   xyiˆ yzjˆ zxkˆ  iˆ ˆj  kˆ  z( y  x)iˆ x( y  z) ˆj  y(x  z)kˆ : کب می توان ثابت کرد-با استفاده از قاعده بک       A B  AB .  A. B       93 : کتاب درسی55صفحه2-10-1ادامه تمرین :ب xy yz zx    v.v   x y z xy yz zx       xy( zx  yz)  yz( zx  xy)  zx( yz  xy)  y z x z x y  xy2  yz2  zx2 94 تمرین4-10-1صفحه55کتاب درسی : اگر Aناتاوی باشد نشان دهید Arسیم لوله ای است. حل: چون Aناتاو است پس کرل آن صفر است .می دانیم کرل بردار rهم صفر است .اگر کرل عبارت فوق صفر باشد،سیم لوله ای خواهد بود: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏.( Ar ) r.(A)  A.(r ) 0 95 : کتاب درسی55صفحه5-10-1تمرین درمکانیک کوانتومی می دانیم عملگرهای تکانه زاویه ای به صورت Lz  i(x        y ) , Ly  i(z  x ) , Lx  i( y  z ) y x z y x z LxLy  Ly Lx iLz نشان دهید.هستند   یعنی LL iL         :حل  z )(z  x )  (z  x )( y  z ) z y x z x z z y 2  2 x  2 2 2   y  yz  y  yx 2  z  zx x zx z z z yx yz LxLy  Ly Lx ( y 2 2 2 2       (zy  z2  xy 2  x  xz ) (x  y )  iLz xz xy z y zy y x 96 تمرین8-10-1صفحه55کتاب درسی(سوال1تشریحی نیمسال اول: )89-88 سرعت شارش دوبعدی شاره ای به صورت زیر است )V iu(x, y)  jv(x, y اگرشارش تراکم ناپذیر وشارش ناتاوی باشد نشان دهید ‏u v ‏u ‏v ‏ , ‏ ‏x y ‏y ‏x ‏ دورابطه باال را شرایط کوشی – ریمان می نامند. ‏a).V 0 حل:با توجه به شرط تراکم ناپذیری aوشرط ناتاوی b ‏b)V 0 داریم: 97 ‏u v ‏u v ‏  ‏.V 0  x  y 0  x  y ˆ  ˆjv   ‏V iu ‏ ‏V 0  kˆ( v  u) 0   v  u ‏ ‏x y ‏x y قضیه استوکس ‏ انتگرال خطی بردار Aروی پر بند بسته روی هر سطحی که ‏c ‏c برابر است با انتگرال مولفه قائم تاو آن بردار آن رادر بر می گیرد: ‏  ‏ ‏ ˆ ‏A.dl A.nda که cمنحنی بسته ای است که ‏S 98 ‏s را در بر می گیرد. ‏c  مثال46-1صفحه57کتاب درسی :اگر ˆ F  yiˆ xjˆ  yzkباشد مطلوبست محاسبه ‏F .ds ‏ ‏s 1 2 2 ‏z ‏ است. که sبخشی از سطح) z 2(x  yدر 2 حل: با استفاده از قضیه استوکس داریم ‏  ‏  ‏F.ds F.dl  ydx  xdy  ‏c ‏c ‏s 1 ‏z ‏ 2یک دایره است که معادله آن 2 2 محل تقاطع سهمیگون ) 2(x  yوzصفحه 1 2 2 ‏x ‏ ‏y ‏ می باشد .پس برای c به روش پارامتری خواهیم داشت : مسیر 4 99 1 1 ‏x  cost  dx  ( sint )dt 2 2 1 1 ‏y  sint  dy  costdt 2 2 57 ادامه حل مثال صفحه 1 2 F .ds   sint ( sintdt )  cost (costdt )  4 0 s 1 2 1 2  2 2  F . ds  (sin t  cos t ) dt  dt   0 0 4 4 2 s 10 0 مثال48-1صفحه57کتاب درسی : بااستفاده ازقضیه استوکس مقدار ‏r.dr رامحاسبه کنید. حل: از قضیه استوکس داریم ‏  ‏ ˆ ‏r.dr r.nda ‏s ‏c ‏  وبا درنظر گرفتن r 0ازمثال41-1نتیجه زیر به دست می آید. ‏c r.dr 0 10 1 : کتاب درسی59صفحه3-11-1تمرین 2 بخشی ازs کهF .ds باشد مطلوبست محاسبهF xyi  y j  zxk اگر s 1 1 2 z  z  (x  y 2) سطح باشد در 2 2 :حل    2  Fds  F . dl  xydx  y dy  zxdz    s c c . همواره بخشی از سطح یک دایره استsپس x 1cos  dx  sin d y 1sin  dy cos d  2 ,dz 0 , z  1 1 , z  (x 2  y 2 ) 2 2 2 2 2 (xydx  y )dy  ( cos sin   sin  cos )d  2 0 3 sin  3 2 0 0 10 2 تمرین5-11-1صفحه59کتاب درسی : ‏ ‏ ‏r ‏ ‏dr دوبرابر مساحت سطح تخت محصور در پربند الف :نشان دهید مقدار ‏ انتگرال گیری است. ˆ  ˆ ‏r ب :پیرامون بیضی با ia cos  jb sinتوصیف می شود.با استفاده از بند الف نشان دهید مساحت بیضی برابر با  abاست. حل: الف: ‏  ‏r cte ˆ 2 ˆ  ˆ ˆ ‏r ‏ ‏dr ‏ ‏rdr ‏sin ‏k ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏r 2 ‏ ‏r ‏k ‏ 2 ‏ ‏r ‏k ‏ 2 ‏Sk ‏ ‏ 2 ‏ ‏ 10 3 : کتاب درسی59صفحه5-11-1ادامه تمرین 1 راه حل:ب  ˆ ˆ sin r ia cos  jb x a cos  dx  a sin d y b sin  dy b cos d iˆ jˆ   r dr  a cos b sin  a sin b cos kˆ 0 ab cos2   ab sin2  ab 0 2 2S rdr   ab  d 2 ab     S  ab 0 10 4 تمرین6-11-1صفحه59کتاب درسی : با استفاده ازقضیه استوکس یاقضیه واگرایی هریک ازانتگرال های رابه آسان ترین راه ممکن حساب کنید. ‏ بˆ : ‏V .nds راروی سطح بسته مکعب مستطیلی محدود به z 5و z 0و x  y 9 2 2 است را به ازای ‏ ˆV 2xyiˆ y 2 jˆ   z  xy  k . ‏V .nds VdV حل: ‏ V . 2y  2y  11 3 0 0  9 x 0 2 ‏dydx ‏ 5 2 9 ‏ ‏x ‏dx ‏ 10 9 ‏ ‏x 2 ‏ ‏ 0 10 5 2 3 3  9 x 2 5 ‏dzdydx 5 3  9 x 2 ‏  ‏V .nds dV  0  9 x 2 ‏x 3cost  dx  3sintdt ‏ ‏ ‏ 90 sin2tdt 90( ) 45 0 2  ˆ :الف  x , y  است که باالی صفحهz 4 x  y بخشی از سطحS کهV .nds 2 2 s  V z 2iˆ x 2 jˆ  y 2kˆ در صورتی که.قرار دارد     2ˆ 2ˆ 2 ˆ ˆ V .dl  z i  x j  y k .dl V .nds s c c   : حل x 2cost  dx  2sintdt y 2sint  dy 2costdt z 0  dz 0 2 2ˆ 2 ˆ 2 2 z 0 2 ˆ ˆ ˆ   z i  x j  y k . dxi  dyj z dx  x dy     x dy   8cos2 tdt 8 c  2   c c 0 10 6  سایر عبارتهای شامل عملگر الپالسین(الپالسی)،واگرایی شیب یک تابع اسکالر است،یعنی: ‏  ‏ 2 عملگر الپالسی در مختصات دکارتی: 2 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏  ‏ ‏ 2 2 ‏X ‏Y ‏Z 2 2 ‏  به کمک تعریف ضرب برداری می توان ثابت کرد که تاوشیب یک تابع نرده ای دلخواه( )  همواره برابر صفر است،یعنی: درنتیجه شیب یک تابع ،ناتاوی (غیر چرخشی) است. 10 7 ‏  ‏ 0 برخی از کاربرد های الپالسی در فیزیک ‏2 0 معادله الپالس 1 2 ‏  2 2 ‏a t 1 2 2 ‏   2 2 ‏a t 2 معادله موج معادله پخش یا معادله رسانش گرمایی می توان نشان داد که: ‏ ‏ ‏ . V 0 ،یعنی تاو یک تابع برداری همواره سیملوله ای است. با استفاده از دستور بک -کب می توان نشان داد که: ‏ ‏ ‏  ‏   2 ‏A (.A )   A 10 8 :های متوالی چند رابطه مهم در کاربرد    ( ) ( )                (F.G ) (F.)G  F (G )  (G .)F  G (F )       .( F ) ( )F  .F         .(F G ) (F ).G  (G ).F       ( F ) ( ) F  F              (F G ) (.G )F  (.F )G  (G .)F  (F.)G 10 9 : کتاب درسی62صفحه50-1مثال 2 2   x y  z cos y . رابدست آورید  باشد 2 اگر :حل 2 2 2 2   2    2 y  z cos y  2cos y 2 2 x y z 2 11 0 مثال52-1صفحه63کتاب درسی : 2 ‏ ‏A ‏ ‏K نشان دهید پاسخ معادله A 0 که درآن Kمقدارثابتی است،درمعادله ‏ 2 2 هلمهولتز، A  K A 0 ،ودرشرط سیم لوله ای .A 0صدق می کند. حل: ‏(A) (.A)  2A  از رابطه()55-1داریم وبرای معادله مفروض می توان نوشت ‏A  k 2A (.A)  2A  k 2A 0 درنتیجه داریم ‏(.A)  (2A  k 2A) 0 برای این که رابطه باال همواره برقرار باشد باید بنابراین مالحظه می کنیم که Aهم در شرط سیم لوله ای وهم در معادله هلمهولتز صدق می کند. 11 1 , .A 0 2 2 ‏ A  K A 0 مثال53-1صفحه63کتاب درسی : یک ی از کاربردهای معادل ه()55-1اس تفاده ازآ ن برای ب ه دس ت آوردن معادله موج الکترومغناطیسی است .اگرمعادالت ماکسول در خال به صورت زیر باشند: ‏ (1-57الف) .B 0 ‏ (1-57ب) .E 0 ‏ ‏ ‏E ‏B  00 (1-57ج) ‏t (1-57د) ‏ ‏ ‏B ‏E  ‏t که درآن Eمیدان الکتریکی و Bمیدان مغناطیسی و 0, 0 به ترتیب عبارتند ازگذر دهی الکتریکی وتراوایی مغناطیسی فضای آزاد(برحسب یکاهای.)SIمعادله موج الکترومغناطیس رادر خال به دست آورید. 11 2 ادامه مثال53-1صفحه63کتاب درسی : حل: نخست از رابطه (57-1ج)نسبت به زمان مشتق می گیریم ‏ 2 ‏ ‏ ‏E ‏B  00 2 ‏t ‏t وسپس تاو دو سمت رابطه (57-1د)را به دست می آوریم ‏ ‏ ‏ ‏ 2E ‏B  00 2 ‏t ‏t ‏B ‏ ‏ 2E ‏E   ‏ ‏B       ‏   00 ‏t ‏t ‏t 2 اما سمت چپ معادله باال را می توان با کمک رابطه ()55-1ساده کرد 11 3 ‏E (.E )  2E ادامه مثال53-1صفحه63کتاب درسی : ولی اولین جمله سمت راست رابطه باال برابر صفر( ‏ ‏.E 0 ) است،در نتیجه ‏2E ‏  E   00 2 ‏t 2 یا ()1-58 ‏2E ‏ E  00 2 ‏t 2 ومعادله()58-1همان معادله موج الکترومغناطیسی درخال است. 11 4 : کتاب درسی64صفحه1-12-1تمرین الپالسی هریک ازمیدان های نرده ای را حساب کنید xyz (x 2  2y 2  z 2 ):ب :حل   ˆ  ˆ  ˆ   ˆ  ˆ  ˆ i j k ).( i  j k )(xyz (x 2  2y 2  z 2) x y z y z  x    ˆ  ˆ ( iˆ j k ).[(yz (x 2  2y 2  z 2)  2x 2yz )iˆ ... x y z ( 11 5 : کتاب درسی65صفحه2-12-1تمرین  r مطلوب استxi  yj  zk برای r .( ) :ب rr ( ) :ج r :حل    r 1   1  3 r  3 1 2 .   .r    .r   3 .r    r r r r r r r r :ب :ج      ˆ ˆ ˆ  r      r  r  r r  i  j  k  xiˆ yjˆ  zkˆ  r (0) (z  y )iˆ (x  z ) jˆ (y  x )kˆ r     11 6 تمرین3-12-1صفحه65کتاب درسی : ‏ ‏ ‏ اگر B Aباشد ،نشان دهید برای هر سطح بسته Sداریم ˆ 0 ‏B.nda ‏s حل: ‏  ‏ ‏  ‏B.da A.da . A dV 0 ‏ ‏ ‏s ‏s چون کرل یک بردار سیملوله ایی است که دیورژانس آن برابر صفر می باشد . 11 7 : کتاب درسی65صفحه7-12-1تمرین ثابت کنید 2(fg) g2ff  2 .g  f 2g :حل 2(fg) .(fg) .(gff  g)  g2f  g.ff  2g  f .g g2ff  2 .g  f 2g 11 8 : کتاب درسی65صفحه8-12-1تمرین ثابت کنید .(f g)  .(gff)  2g  g2f :حل .(f g )  .(gff)  .g  f 2g  g.f  g2f 11 9 دستگاه های مختصات فصل دوم: در اين فصل در مورد جبر ودیفرانسیل و انتگرال بردارها در دستگاه مختصات خمیده که بسیار به کار می روند ،می پردازیم. -1مقدمه -2مختصات خمیده خط -3عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیده -4دستگاه مختصات خاص: الف:دستگاه مختصات کروی ب:دستگاه مختصات استوانه ای دوار( )r, f , z -5جداسازی متغییر ها: 12 0  -5جداسازی متغییر ها: الف:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات دکارتی ب:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات استوانه ای دوار ج:جداسازی متغییرها در دستگاه مختصات قطبی کروی 12 1 مقدمه دستگاه مختصات دکارتی از فصل مشترک سه سطح تخت عمود برهم ‏z 0, y 0 ( , x 0 )تشکیل می شودوبه هر محور یک بردار ˆk یکه با طول ثابت وجهت ثابت مربوط می شود که ˆjˆ,i عبارتند,از: . مختصات خمیده خط سه دسته سطح ثابت q3,q2,q1 که الزاما عمود برهم یا مسطح نباشند را در نظر می گیریم.چون فصل مشترک سه دسته سطح ( ثابت q1وثابت q2 صورت خط های خمیده شکل اند،مختصات( q1,q2,q3 )را مختصات خمیده خط می نامند. 12 2 وثابت ) q3به هر نقطه دلخواه چونP را در فضای می توان بایک سه تایی در مختصات دکارتی ( ) X ,Y , Zیا یک سه تایی در مختصات خمیده خط( q1,q2,q3 ‏q ,q ,q ‏X ,Y , Z )و( )) 1 2 3عبارتند از: روابط تبدیل(رابطه های بین( )x x (q1,q2,q3 )y  y (q1,q2,q3 )z z (q1,q2,q3 )مشخص نمود. ‏q1,q2,q3 روابط معکوس(روابط بین( )و( ‏X ,Y , Z ))عبارتند از: ) q1 q1(X ,Y , Z ) q2 q2 (X ,Y , Z 12 3 ) q3 q3(X ,Y , Z برای هر سطح ثابتqi  افزایش qiتعریف کرد. می توان یک بردار یکه چون ˆi eعمود برسطح و درجهت ‏ بردار دلخواه Aدر مختصات خمیده خط: ‏ ˆ ˆ1  A2e ˆ2  A3e ˆ3 ei، A A1eها بردارهای یکه هستند وجهت آن ها ثابت نیست. در صورتی که دستگاه راست گرد باشد: ‏eˆ1 eˆ2 eˆ3,eˆ2 eˆ3 eˆ1,eˆ3 eˆ1 eˆ2 ˆ2.e ˆ3 e ˆ3.e ˆ1 e ˆ1.e ˆ2 0 ‏e درمختصات خمیده خط،مربع طول عبارت است از: 2 ‏ds ‏  gij dqi dq j ‏g که ijرا ضرایب متریک می نامند. ‏j ‏i می توان نشان دادکه: ‏x x ‏y y ‏z z 12 ‏gij  ‏ ‏ ‏qi qj ‏qi qj ‏qi qj 4 اگر دستگاه مختصات خمیده متعامد باشد: می توان نشان داد ( تمرین )5-2-2به ازای i  jداریم ‏i j 2 صورتg باقی می ماندکه آن هارا به ij hi ‏gij 0 وتنها حالت های نشان می hi دهند .که راعامل مقیاس می نامند. به دست آوردن عامل مقیاس( hi ): ‏x 2 ‏y 2 ‏z 2 ()  ()  ) ‏qi ‏qi ‏qi ‏x x ‏y y ‏z z ‏ ‏ ‏qi q j qi q j qi q j ‏gij  ‏ (    hi2  ‏i j مجذور عنصر فاصله درمختصات خمیده خط : ‏ds 2  ‏ gij dqi dq j 2 2 2 ‏i ‏j ‏ ‏ ‏   ds 2 (hdq 1 )1)  (h2dq2 )  (h3dq3 مماس ها به نقطه Pدر مختصات خمیده ،خط موازی با جهت های ˆ eˆ ,eˆ ,eبابزرگیh3, h2, h1 3 2 1 12 5 ‏ ‏  ‏ ‏ ‏ ‏r 1 r r خواهند بود1 r r. 1 r ˆ ˆ ˆ ˆ ‏he , ‏h2eˆ2  eˆ2  , ‏he 1 1  e1  3 3  e3  ‏q1 ‏h1 q1 q2 ‏h2 q2 q3 ‏h3 q3  بردار دیفرانسیلی فاصله( dr ) که بیانگر بردار دیفرانسیلی فاصله Pتا Qاست : ‏ ˆ ˆ ˆ ‏dr (hdq 1 1)e1  (h2dq2 )e2  (h3dq3 )e3 شرایط متعامد بودن یک دستگاه مختصات: ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏r ‏ ‏r ‏ ‏r ‏ ‏r ‏ ‏r ‏ ‏r ˆ2 .e ˆ3 e ‏eˆ1 eˆ1.eˆ2 0 ‏ e ‏ˆ3. ‏  . ‏ . ‏ . ‏0 ‏q1 q2 ‏q2 q3 q3 q1 عنصرسطح درمختصات خمیده خط(dsij ) : ‏dsij hi hj dqi dq j عنصر حجم درمختصات خمیده خط( : ) dv ‏dv h1h2h3dq1dq2dq3 12 6 مثال3-2صفحه77کتاب درسی: اگر رابطه های تبدیل بین مختصات خمیده ) (u,v ,wومختصات دکارتی به صورت زیر باشند : ‏u 2x  3 ,v  y  4, w z  2 2 ‏h , ‏h , ‏h , ‏ds 3 2 1 رابدون نشان دهید دستگاه مختصات) (u,v ,wمتعامد است ومقدار ‏x 2 y 2 z 2 2 ‏h ‏ ( ()  ()  ) iبه دست آورید. ‏qi ‏qi استفاده ازرابطه(qi )13-2 حل: رابطه های تبدیل باال را می توان به صورت زیر نوشت حال اگر rبردار مکان نقطه ای در فضا باشد: 12 7 ˆ  ˆ  kz ˆ ‏r ix ‏ jy ‏u 3 2 2 ‏y v  4 ‏z w 2 ‏ ‏x ادامه مثال3-2صفحه77کتاب درسی: ‏ u 3 ˆr (  )iˆ (v  4) jˆ  (w  2)k 2 2 آنگاه داریم ‏r ‏r r , , بنابراین از رابطه باال می توان ‏w v u ‏r 1 ˆ i ‏u 2 , ‏r ˆ ‏j ‏v را به دست آورد : , ‏r ˆ ‏k ‏w از رابطه()18-2شرط تعامد را می نویسیم ‏r r . ‏0 ‏w u , ‏r r . ‏0 ‏v w , ‏r r . ‏0 ‏u v هستندیا نه.برای اولین رابطه اکنون ببینیم که آیا در این حالت سه شرط باال برقرار  ‏r r 1 1 . ‏( iˆ).( jˆ)  (iˆ. jˆ) 0 داریم ‏u v 2 2 زیرا میدانیم iو jو kسه بردار متعامد درمختصات دکارتی اند. 12 8 برای دومین رابطه داریم : ‏  ‏r r . ‏( jˆ.kˆ) 0 ‏v w ادامه مثال3-2صفحه77کتاب درسی: وهمین طور برای سومین رابطه نتیجه می گیریم ‏ ‏ ‏r r 1 1 . ‏kˆ.( iˆ)  (kˆ.iˆ) 0 ‏w u 2 2 پس با قاطعیت می توان گفت دستگاه مختصات ) (u,v ,wمتعامد است .اما می دانیم ‏ds 2 dx 2  dy 2  dz 2 2 ‏ds باید dxو dyو dzرابه دست آوریم. بنابراین برای محاسبه ‏x ‏x ‏x می دانیم ‏dx  du  ‏dv  ‏dw ‏u ‏v ‏w ولی از رابطه های تبدیل داریم پس 12 9 ‏x 1 ‏x ‏x ‏ , ‏0 , ‏0 ‏u 2 ‏v ‏w 1 ‏dx  du 2 ‏u 3 ‏x  2 2 ‏   :کتاب درسی77صفحه3-2ادامه مثال هم به صورت زیر انجام می دهیمdz وdyاین عمل را برای dy  v  4  y  y y y du  dv  dw u v w y 0 u y 1 , v , y 0 w پس dy dv dz  w  2  z  z z z du  dv  dw u v w z 0 u , z 0 v ولی , dz dw 1 ds 2  du2  dv 2  dw 2 4 وسرانجام z 1 w پس درنتیجه داریم 13 0 ادامه مثال3-2صفحه77کتاب درسی: 2 ‏ds در مختصات خمیده استفاده می اکنون برای به دست آوردن h3, h2, h1از تعریف کنیم .یعنی داریم 1 ‏ds 2  du2 dv 2 dw 2 4 ‏ds 2 h12du2  h22dv 2  h32dw 2       ‏ ازمقایسه دو رابطه اخیر داریم: 1 ‏h1  , h2 1 , h3 1 2 13 1 مثال4-2صفحه79کتاب درسی: برای دستگاه مختصات استوانه سهموی ) (u,v , zکه به صورت زیر تعریف میشوند ‏z z ‏ z  ‏y uv 0 v   1 )x  (u2  v 2 2 ‏  u   بردارهای یکه eˆ3,eˆ2,eˆ1و ضرایب مقیاس h3, h2, h1 را به دست آورید ونشان دهید این دستگاه متعامد است.همچنین عنصر حجم رابرای این دستگاه به دست آورید. حل: نخست بردارrرا دراین دستگاه به دست می آوریم ˆ ˆ  1 2 2 ˆ ‏r ix  jy  kz  (u  v )i  uvj  zk 2 13 2 ادامه مثال4-2صفحه79کتاب درسی: اکنون مشتقات جزیی rرا نسبت به uو vو zتعیین می کنیم ‏r ˆ ‏uiˆvjˆ he 1 1 ‏u ‏r ˆ2 ‏ viˆ ujˆ h2e ‏v ازتقسیم بربزرگی بردارها داریم ˆeˆ3 k , ‏r ‏kˆ h3eˆ3 ‏z ˆ viˆ uj ) (u v 2 2 ‏eˆ2  , داریم بنابراین از تساوی این رابطه با رابطه های قبلی ‏ ‏ 1 r ‏eˆ3  ‏h3 q3 ,     h3 1 1 r ‏eˆ2  ‏h2 q2 ˆuiˆvj ) (u2 v 2 ‏eˆ1  ‏ 1 r ‏eˆ1 ‏h1 q1 ‏ ‏ h1  (u2 v 2) ,     )  h2  (u2 v 2 اکنون با استفاده از ضرب نرده ای هرجفت بردار یکه eˆ3,eˆ2,eˆ1می توان نشان داد که 13 3 این دستگاه مختصات یک دستگاه مختصات متعامد است eˆ1.eˆ2  uiˆvjˆ (u v ) 2 2 .  viˆ ujˆ (u v ) 2 پس 2 u 2 v 2 i .i  j . j 1 , i . j  j .i 0 eˆ1.eˆ2  eˆ1.eˆ3   :کتاب درسی79صفحه4-2ادامه مثال  uviˆ.iˆ uvjˆ. jˆ  u 2iˆ. jˆ  v 2 jˆ.iˆ اما می دانیم  uv  uv 0 2 2 u v uiˆvjˆ uiˆ.kˆ vjˆ.kˆ ˆ .k  2 2 (u v ) (u2 v 2 ) پسi .k  j .k 0 اما e1.e3 0 eˆ2.eˆ3   vi  uj (u v ) 2 2 .k   vi .k  uj .k (u v ) 2 2 0 13 4 ادامه مثال4-2صفحه79کتاب درسی: بنابراین e1.e2 e2.e3 e3.e1 0 یعنی دستگاه مختصات مزبور متعامد است.برای پیدا کردن عنصر حجم دراین دستگاه ازرابطه ()21-2داریم : ‏dv h1h2h3dudvdz (u 2 v 2 )dudvdz 13 5 تست :1برای دستگاه مختصات استوانه سهموی ) (u,v , zکه به صورت زیر تعریف میشود،مقدار ê2کدام است؟ ‏z z ‏ z  ٭الف: 0 v   ˆ viˆ u ‏j ˆuiˆ v ‏j ب: ‏u2  v2 ‏u2  v2 ˆuiˆ v جj : ‏u2  v2 حل :به مثال قبل ر.ک 13 6 ‏y uv 1 )x  (u2  v 2 2 ‏  u   د: ̂k مثال5-2صفحه80کتاب درسی: دردستگاه مختصات کروی q3  ,q2  ,q1 r وروابط تبدیل این دستگاه به دستگاه مختصات دکارتی به قرار زیر اند ‏z r cos ‏y r sin sin ‏x r sin cos مطلوب است الف:تعیین . h , h , hr ‏   ‏r r r . , , ب:تعیین ‏  r ج:نشان دهید این دستگاه مختصات متعامد است 2 ‏dv , ‏ds رابرای این دستگاه به دست آورید. د: حل: ‏q1 r الف:از رابطه ()13-2داریم 13 7 ‏x ‏y ‏z ‏h h ( )2  ( )2  ( )2 ‏r ‏r ‏r 2 ‏r 2 1 :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال hr2 (sin cos )2  (sin sin )2  (cos )2 sin2  (cos2   sin2  )  cos2  sin2   cos2  1 hr 1 q2  h2 (r cos cos )2  (r cos sin )2  ( r sin )2 r 2 cos2  (cos2   sin2  )  r 2 sin2 r 2(sin2   cos2  ) r 2  h2 h r q3  x 2 y z )  ( )2  ( )2    h2 ( r sin sin )2  (r sin cos )2  (0)2 r2 sin2  (sin2   cos2  ) r2 sin2  h32 h2 (  h r sin 13 8 :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال  ˆ ˆ ˆ r بنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان. ix  jy  kz می دانیم:ب  r (r sin cos )iˆ (r sin sin ) jˆ  (r cos )kˆ نوشت  r  به دست میآیدr وازآن r ˆ ˆ ˆ (sin cos )i  (sin sin ) j  (cos )k r   r r داریم ,  ونیز برای  r (r cos cos )iˆ (r cos sin ) jˆ  ( r sin )kˆ   r  (r sin sin )iˆ (r sin cos ) jˆ  (0)kˆ   (r sin sin )i  (r sin cos ) j 13 9 ادامه مثال5-2صفحه80کتاب درسی: ‏   ‏r r r ج:برای این که دستگاه مزبور متعامد باشد باید , , دوبه دوبرهم عمودباشند،یعنی ‏  r ‏  ‏  ‏  ‏r r r r r r .  .  . 0 ‏r     r دربررسی ضرب نرده ای اولین رابطه داریم ‏  ‏r r . ‏[(sin cos )i  (sin sin ) j  (cos )k ].[(r cos cos )i ‏r  ] (r cos sin ) j  (r sin )k قبل از ساده کردن رابطه باال توجه داریم که 14 0 ‏i .i  j . j k .k 1 ‏i . j  j .k k .i 0 :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال   ازضرب جمالت در یکدیگر داریم r r . (sin cos )(r cos cos )  (sin sin )(r cos sin )  (cos )(r sin ) r  r sin cos cos2   r sin cos sin2   r sin cos فاکتور می گیریم   r r . r sin cos (cos2   sin2  )  r sin )cos r  r sin cos  r sin cos 0   r r . [(r cos cos )i  (r cos sin ) j  (r sin )k ].   [ (r sin sin )i  (r sin sin ) j ] r sin cos دردوجمله اول از برای دومین رابطه داریم 14 1 :کتاب درسی80صفحه5-2ادامه مثال با انجام عمل ضرب خواهیم داشت   r r .  (r cos cos )(r sin sin )  (r cos sin )(r sin cos )    r 2 sin cos sin cos  r 2 sin cos cos sin 0 همچنین برای سومین رابطه می نویسیم   r r . [( r sin sin )i  (r sin cos ) j ].[(sin cos )i   r (sin sin ) j  (cos )k ]  (r sin sin )(sin cos )  (r sin cos )(sin sin )  r sin2  sin cos  r sin2  cos sin 0 .یک دستگاه متعامد است،بنابراین نتیجه می گیریم دستگاه مختصات کروی 14 2 ادامه مثال5-2صفحه80کتاب درسی: د:اکنون از رابطه ()14-2داریم 2 2 2 2 ‏ds (hdq 1 ) 1)  (h2dq2 )  (h3dq3 از بند(الف)این مثال داریم ) ,(h2 h r , dq2 d ) ,(h1 hr 1 , dq1 dr ) .(h3 h r sin , dq3 d بنابراین نتیجه می گیریم ‏ds 2 dr 2  r 2d 2  r 2 sin2  d 2 اما از رابطه ( )21-2برای dvداریم ‏dv h1h2h3dq1dq2dq3 درنتیجه برای این دستگاه مختصات به نتیجه زیر می رسیم 14 3 ‏dv r 2 sin drd d تست : 2در دستگاه مختصات کرویq3  , q2  , q1 r ‏ ‏r r .برابر است با: تبدیل این دستگاه به دستگاه دکارتی حاصل عبارت ‏r  می باشد با نوشتن روابط ‏ الفr sin cos2  : ج1 : ب:صفر دr cos  r sin : حل:روابط تبدیل دستگاه مختصات کروی به دکارتی به صورت زیر می باشند ‏y r sin sin ‏x r sin cos ‏z r cos ˆ ˆ  ˆ ‏r می دانیم. ix  jy  kzبنابراین با استفاده از رابطه های تبدیل می توان نوشت ‏ ˆr (r sin cos )iˆ (r sin sin ) ˆj  r cosk ‏  ‏r r واز آن . ‏ به دست می آید ‏r ‏r  ˆ(sin cos )iˆ (sin sin ) ˆj  cosk ‏r ‏ ‏r ˆ(r cos cos )iˆ (r cos sin ) ˆj  ( r sin )k 14 ‏ 4   r r .  r    r r . : می پردازیمr  اکنون به محاسبه:2 ادامه تست [(sin cos )iˆ (sin sin ) ˆj  coskˆ].[(r cos cos )iˆ (r cos sin ) ˆj  ( r sin )kˆ] i .i  j . j k .k 1 i . j  j .k k .i 0 قبل از ساده کردن رابطه باال توجه داریم که از ضرب جمالت در یکدیگر داریم   r r . (sin cos )(r cos cos )  (sin sin )(r cos sin )  (cos )(r sin ) r  r sin cos cos2   r sin cos sin2   r sin cos    1   r sin cos (cos2   sin2  )  r sin cos r sin cos  r sin cos 0 14 5 مثال6-2صفحه83کتاب درسی: به طور تحلیلی نشان دهید اگر q3,q2 ,q1مختصات خمیده خط متعامدی باشند که با رابطه های تبدیل زیر تعریف شوند )x x (q1,q2,q3) y  y (q1,q2,q3) z z (q1,q2,q3 و ژاکوبی Jبه صورت زیر تعریف شود آنگاه داریم 14 6 ‏x ‏q3 ‏x ‏q2 ‏x ‏q1 ‏y ‏q3 ‏y ‏q2 ‏y ‏q1 ‏z ‏q3 ‏z ‏q2 ‏z ‏q1 ‏J h1h2h3 ‏J  ادامه مثال6-2صفحه83کتاب درسی: دترمینان باال متوجه می شویم که هرستون به ترتیب مولفه های در ‏ حل:با اندکیدقت  ‏r r r دکارتی q , q , qهستند.بنابراین ،نتیجه می گیریم که این دترمینان برابر 3 2 1 با ضرب سه گانه نرده ای این سه بردار است.یعنی داریم : ‏r ‏r ‏r (. ‏ ) he 1 1.(h2e2 h3e3) h1h2h3 ‏q1 q2 q3 زیرا eˆ3,eˆ2,eˆ1 ‏J  بردارهای یکه متعامد اند .اگر این دستگاه راستگرد باشد در رابطه باال عالمت مثبت واگر دستگاه چپ گرد باشد عالمت منفی به کار خواهد رفت .در هر حالت داریم: ‏J h1h2h3 14 7 :دردستگاهq3  تمرین1-2-2صEفحه84کتاب درسEی z, q2  , q1  مختصEات استوانه ای دوار ‏z z ‏y  sin ‏x  cos ایEن. hz , تبدیEل h , h دسEتگاه بEا دستگاه های ورابطEه  ‏ ‏r r r مختصات . , , دکارتی به قرار زیر اند ‏z   2 ‏dv , ‏ds مطلوب است تعیین الف:عامل های مقیاس ب: ‏x 2 ‏y 2 ‏z 2 2 متعامد h ( مختصEات) ( دسEتگاه)  ( ایEن)  دهیEد cos2 ج:نشان  sin ‏ 1 ‏q1 ‏q1 ‏q1 14 2 8 است : کتاب درسی84صفحه1-2-2ادامه تمرین h2 (  sin )2  ( cos )2  2  h   r (xiˆ yˆj  zkˆ)  cosiˆ sinˆj eˆ    r (xiˆ yˆj  zkˆ)    siniˆ  cosˆj eˆ    r ˆ k eˆz z ˆ .e ˆ 0 , e ˆ .e ˆz 0 , e ˆ .e ˆz 0 e hz 1 :ب :ج 14 9 : کتاب درسی84صفحه1-2-2ادامه تمرین dv  d d dz ds  d d  2 2 ds hihj dqidqj  ds  d dz 2 :د ds2 d dz  15 0 عملگرهای مشتق برداری در دستگاه های خمیده شیب یاگرادیان یک تابع: ‏ ‏ ‏ ‏ ˆ1 ˆ2 ˆ3 ‏ (q1, q2, q3) e ‏e ‏e ‏h1q1 ‏h2q2 ‏h3 q3 ‏ ‏F : یادیورژانس تابع برداری واگرایی ‏  ‏.F (q1, q2, q3)  ‏ 15 1 1 ‏  ‏ ‏ ( ‏F ‏h ‏h ) ‏ ( ‏F ‏h ‏h ) ‏ ) (F3h1h2 ‏ 1 2 3 2 3 1 ‏h1h2h3  q1 ‏q2 ‏q3 1 2  :یاالپالسی 2  عملگر h1h2h3   h2h3   h3h1   h1h2   ( ) ( ) ( )  q2 h2 q2 q3 h3 q3   q1 h1 q1  F تاو(کرل)یک تابع برداری عملگر :   F  ˆ1h1 e ˆ2h2 e ˆ3h3 e  h1h2h3 q1  q2  q3 1 h1F1 h2F2 h3F3 15 2 مثال7-2صEEفحه86کتاب درسEEی:باتوجEEه به مثال, , )5-2 بخش(rقبلEی رابطه شیEب تابع را در مختصEات کروی دست آورید. به ‏1 ‏r داریم ‏ ‏r sin5 حل:طبق بحث مثال -2 ‏hr ‏ ‏h ‏h ‏  ‏q1 r ‏ ‏q2  ‏q  ‏ 3 ‏ 1  1  ‏ (r, , ) er ‏ e ‏ e ‏r ‏r  ‏r sin  بنابراین با جایگزینی در رابطه ()25-2داریم: 15 3 ()2-26 مثال8-2صEEفحه86کتاب درسEEی:باتوجEEه به مثال 4-2بخش 2-2رابطEه شیEب تابع را در سهموی به دست آورید. مختصات استوانه 2 2 ‏h  u  v 1 داریم : مزبور حل:با توجه به مثال ‏ 2 2 ‏h2  u  v ‏h 1 3 ‏ ‏ 1 ‏ 1 ‏ ‏ ‏ ev ‏k 2 2 v )u25داریم: ازu2رابطه(u بنابراین ‏z ‏ v-22 فوری v ()2-27 15 4 ‏q1 u ‏ ‏q2 v ‏q  z ‏ 3 ‏ (u, v, z) eu مثال9-2صEفحه86کتاب درسEی:از معادلEه(-2 )17بردارهای یکEه متعامEد را مEی توان به 1 r ‏e ‏ رابطه iزیر تعریف کرد: کمکhi q ‏i ‏hi ‏ei .ei)2-28 ( 1 اسEت،نشان دهید وچون ‏ei ‏ei .ei  برای رابطEه 1ای ازآEن آیدکه با معادله بEه دسEت می ‏r r . ) 1 ‏qi qi ( )2 1 ‏hi ( )سازگارr ix ( jy  kz2-13 است. حEل:ازجایگزینEی 15 5 داریم: ‏r ‏x ‏y ‏z ‏i رابطه  j در k ‏qi ‏qi ‏qi ‏qi ادامه مثال9-2صفحه86کتاب درسی: ازجایگزینEی ایEن رابطEه درمعادله ()29-2فوری ‏x 2 ‏y 2 ‏z 2 (hi  ()  ()  نتیجه می شود) : ‏qi ‏qi ‏qi 2 که همان معادله ()13-2می باشد 15 6  مثال10-2صEEفحه88کتاب ‏r ‏F ‏ درسEEی:واگرایی ‏r3 نیروی مرکزی کولنی رامحاسبه کنید حEل:چنانکEه درآغاز ایEن فصEل بیEا ن شEد ،بسته بEه نوع مسEئله وتقارن مربوط ،دستگاه hکنیEم rک ‏r 1 ‏Eه q1 حل ‏Eی مختصEات راطوری انتخاب م  ‏ ‏ ‏h r ‏q2  این باشد.بادرنظEرhگرفتEن مسEئله آسEان ‏q  ‏ ‏r ‏sin ‏ ‏ ‏  ‏ 3 مطلEب ،واضEح اسEت کEه برای حEل این 1 ‏ 1 2 ‏ ‏ ‏ . ‏F ( ‏r , ‏ , ‏ ) ‏ [ ( ‏r ‏sin ‏ ) ‏ ( 0 ) ‏ (0)] 0 کروی ،دستگاه تقارن 2 مسEئله ،بEه دلیEل2 ‏r sin r r ‏ ‏ 15 7 مختصEات کروی بهتریEن انتخاب است.دراین 2 مثال11-2صEفحه89کتاب درسEEی:مEEی دانیم ‏2  . ‏Eر عملگ 2 یEا الپالسEی بEهمعنEی واگرایی .باتوجه شیEب اسEت ،یعنی بEه ایEن تعریEف رابطEه عملگر ‏ ‏ ‏ ‏ e2 ‏ e3 دستhآورید. hبه خمیده درمختصات ‏h3q3 1q1 2q2 را ‏ (q1, q2, q3) e1 حل:بنابه رابطه()25-2داریم 1   ‏ ‏ ‏ ‏ ‏  2 ‏  .  )  (h3h1 )  (h1h2 ) ‏ (h2h3 ‏h1h2h3  q1 ‏h1q1 q2 ‏h2q2 q3 ‏h3q3  اکنون با نشاندن آن درمعادله()32-2داریم 1   h2h3   h3h1   h1h2   ‏ ( ) ( ) ) (  ‏h1h2h3  q1 h1 q1 q2 h2 q2 q3 h3 q3  2 15 8 ویا 2 ‏ مثال12-2صEEEفحه0 89 درسEEEی:معادله کتاب 2 2 ‏ ‏ ‏F ( ‏u ‏ ‏v ) رادر مختصات ) (u, v, zالپالس استوانه سEهموی بیان کنید وتمام 1 2 2 صورتh1 h2 (u2  v ) ‏Eنhرا که ,به 1آ جوابهای 3  دست آEورید. است،به 2 2 2 ‏ 1 ‏  ‏  داریم  .  2 ( 42- حل:باتوجه 2به )  ‏ 0 2 2 2 مثال ‏v ‏z  ‏ u  v u ‏wu2  v2 15 9 2 ) F(w ‏d2F dF الپالس )معادلهw 2  بEا نشاندن آEن در رابطEه (0 33-2 ‏dw dw به صورت زیر به دست می آید ‏dF ‏w ‏ A F  Aln w B ‏dw ادامه مثال12-2صفحه89کتاب درسی: کEEه درآEEن AوB مقدارهای ثابت اختیاری هستند.سرانجام داریم 16 0 ‏  Aln(u2  v2 )  B مثال13-2صفحه91کتاب درسی:ثابت کنید: ‏er f (r) 0 در(آf که )r ‏Eن تابع eدلخواه خوشرفتار و ‏r یکهF e استFr  f (r), F F . 0 )r f (r درامتداد r بردار حل:اگرفرض کنیEم کروی داریم ،ونیز می دانیمˆ ‏r sine ‏h2 1 ‏q1 r ‏ ‏ ‏ ‏ ،درمختصاتq ‏h r 2 ‏q  ‏h r sin ‏ 3 ‏  ˆ ‏re ˆr ‏e 1 ‏r2 sin ‏ ‏ ‏ ‏0 ‏r ‏ ‏ 16 ‏f ( ‏r ) 0 0 1بنابرایEن طبEق رابطEه ()34-2بEه نتیجEه زیEر می ‏F  تمرین1-3-2صفحهe1 91 1 درسی: qبردار یکه کتاب )1 (h2h3 ‏ . ‏e ‏ 1 فرض کنید ونشان افزایEش رادرجه ‏Eتh1 ‏h2h ‏q1 3 دهید الف: ‏  ‏.F (q1, q2, q3)  1 ‏  ‏ ‏ )داریم: 32 2 حل:ازمعادله( (F1h2h3)  (F2 h3h1 )  (F3h1h2 )  ‏ ‏h1h2h3  q1 ‏q2 ‏q3 دراینجا داریم: 16 2 )F(q1, q2, q3) e1(q1,0,0 ‏F1 1, F2 0 , F3 0 )1 (h2h3 ‏.e1  ‏h1h2h3 q1 2  با استفاده:درسی کتاب91صفحه2-3-2تمرین را در مختصات 2 .  ،)33-2( هEاز رابط 1 .کروی به دست آورید h1h2h3 :حل   h2h3   h3h1   h1h2   ( ) ( ) ( )  q2 h2 q2 q3 h3 q3   q1 h1 q1 h1 h2 1  h2 h r h h r sin   3 :داریم کروی درمختصات r q1   , q2  q   3 16 3 کتاب91صفحه2-3-2تمرین 1   .  2 r sin 2 هEEEEEEEادام :بنابراین: درسی   r2 sin  r sin  r  ( ) ( ) ( )  r       r 1 r2 sin   2  2    2  2   r sin 2  r cos  r sin 2  r 2   2r sin r r       2 .  16 4  تست :3در دستگاه مختصات قطبی yبرابر است با: ‏cos الف cos : جsin sin : ‏cos ‏ sin ب: د: ‏r ‏sin ‏r sin حل:رابطه زیر در دستگاه مختصات قطبی کروی برقرار است،برای یافتن پاسخ باید از  نسبت به yمشتق بگیریم ‏z ‏ arccos 1 2 2 2 2 ) (x  y  z ‏ u ‏arccos می دانیم مشتق u عبارت است از 1 u2بنابراین: 16 5 1 1  :3 ادامه تست 2 2 2 2  ( )( 2 y )( x  y  z ) ( z )    1 2   1 y (x2  y2  z2 ) 2  2 z  1  2 2 2  x  y  z    yz 1   3 1 y 2 2 2 2 2 2  2 x y (x  y  z )  2  2 2   x y z  :روابط تبدیل بین دستگاه مختصات کروی ودکارتی به صورت زیر می باشد x r sin cos y r sin sin z r cos r2  x2  y2  z2 , x2  y2 r2 sin2  خواهیم داشت برای،با استفاده از روابط تبدیل y 16 6 :3 ادامه تست  (r sin sin )(r cos ) 1   y r3  r2 sin2   r2     1 2  sin cos sin cos sin  r sin r 16 7  n ˆr حاصل عبارت:4 تست : برابر است با.r e صفر:ب (n  2)rn 1 :د   .F  (n  1)rn 1 :الف nrn 1 :ج :دیورژانس درمختصات کروی به صورت زیر می باشد:حل F 1  2  [sin (r Fr )  r (sinF )  r ] 2 r sin r    r را حساب می کنیم ودرآخر.eˆr f (r) رابه جای  n ابتدا.r e ˆr حال برای یافتن قرار می دهیمf (r)  1 d 2 1 2 f df 2 df ˆ .er f (r)  2 [sin (r f )]  2 [2rf  r ]  r sin dr r dr r dr  n 16 ˆr rn 2rn 1  nrn 1 (n 2)rn 1 f (r) r  .e n 8  1 ˆr f (r) باشدآنگاهf (r)  3 اگر:5 تست : برابر است با.e r 1 1  r4 :ب r4 :٭الف  1 r3 :د r3 :ج ˆr f (r) دیورژانس:حل : را درمختصات کروی حل می کنیمe  2  1   2 1   sin r  r Fr   r2 r  r r3   1   1 1  1  1       2 2 2 r r  r  r  r  r4  ˆr f (r)  .e 1 r2 sin 16 9 دستگاه های مختصات خاص دستگاه مختصات کروی ‏q1(, q ‏r, , 2, q ‏Eن د 3 ‏Eتگاه س درای ( )بEه صورت )بیان مEی شوند.دسته سEطوحی کEه ایEن سEه مختصEه روی آEن ها ثابتند. ‏r (x2  y2  z2 )1/ 2  عبارتند از: کره های هم مرکزZحول مبدا: ‏z ‏ arccos (x2  y2  z2 )1/ 2 ثابت ‏Z های دوار قائم،حول محور مخروط ‏y ‏ arctan  بارأسی واقع درمبدا: ‏x 17 0 ثابت روابEط تبدیEل بیEن دسEتگاه های مختصات کروی ‏x r sin cos ودکارتی: ‏y r sin cos ‏z r cos ‏ ‏Z بEه گونEه ای کEه، ‏ ‏xy ازمحور محور0  واز   ‏Eفحه, 0  2 درص  ‏x مثبت و اندازه مثبت0 r  ‏ , گیری می شوندودامنه آن هاعبارت است از: ‏hr 1 , h r , h r sin 17 1 عامل های مقیاس درمختصات کروی عبارتند از: :عنصر حجم درمختصات کروی dv r2 sindrdd :عنصرسطحی درمختصات کروی dA r2 sindd :)عنصر زاویه حجمی(فضایی dA sindd 2 r ˆ j, iˆ برحسبk, ˆ d  ˆهEیک ˆ ,بردارهای ˆr e e  ,e ˆیکه ˆr iˆsinیعنی e cosدکارتی ˆ j sinمختصات sin  k cosبردارهای  ˆsin : ˆ iˆcos cos  ˆ e j cos sin  k ˆ  iˆsin  ˆ e j cos 17 2 مثال14-2صEفحه92کتاب درسEی:رابطه های تبدیEل دسEتگاه مختصEات کروی ودکارتی را به دست آورید. )داریمr2  x2 ‏ y2 37 حل:ازمعادله های ()35-2تا(z2-2 ‏z ‏cos  2 (2-35الف) (x  y2  z2 )1/ 2 ‏y (2-36الف) ‏tan  ‏x (2-37الف) ‏z ‏r cos ازدومین معادله باال فوری به دست  آید می 17 3 2 2 2 2 داریمr2 : الف) x2  y2 ‏ z2  ‏x ‏ ‏y ‏ ‏r ‏sin باجایگزینیآن درمعادله(35-2 ادامEEه مثال14-2صEEفحه92کتاب درسEEی:اما گرفت y ‏ x tan ازمعادله (37-2الف)می توان نتیجه 1 2 1 tan   ()2-39 ‏cos2  بEا نشاندن()39-2در( )38-2واستفاده از اتحاد ‏x r sin  cos مثلثاتی رابطه زیر به دست می آید ‏y r sin  cos وسEرانجام بEا نشاندن آEن در()39-2نتیجEه می ‏z r cos ‏ شود 17 4 ‏y r sin  cos ‏x r sin  cos  درسEی:توجه ‏کتاب ادامEه مثال14-2صEفحه92 داریEم را ازمحور zمثبت و 0  2 , 0   رادر , 0 r   صEEفحه xyازمحور xمثبEEت اندازه می گیریم.دامنه آنها به قرار زیر است ‏h , h r )3 , -2h ‏r 1 ‏ r sin برگردیEم،مالحظه بخEش( 5- اگربEه مثال2 مEی کنیEم کEه عامEل های مقیاس ایEن دستگاه به قرار زیرند ‏dv r2 sindrdd ()2-41 17 5 ‏dA r2 sin ‏dd ‏ داریم حجمی وهمین طور برای عنصر ادامه مثال14-2صفحه92کتاب درسی: ‏d بنابرایEEEن عنصEEEر زاویه ‏dA ‏sindd 2 است با حجمی(فضایی)دراین حالت برابر ‏r ‏ (d 4 )2-44 ‏d  وتوجEه داریEم که ‏d رویdA 2 ‏r2 sin اسEت.حال اگEر از رابطEه(d-2 زاویه )43 سEمتی انتگرال بگیریEم،عنصEر سEطح به صورت حلقه ای به عرض میآید در ‏dv ‏r2drd ()2-45 17 6 همچنیEن عنصEر حجEم را مEی توان بEه صورت مثال15-2صEEفحه95کتاب درسEEی:مساحت ‏ 0 ‏ ‏ ‏ ‏ 0 ‏ ‏ ‏ بخشEی از کره ای بEه شعاع واحد را که مرکز 4 آEن در مبدا مختصEات قرار دارد وبین اسEت به 1 ‏A  sind  d   sind  (4  ) 2 0 8 آورید. دست ‏ 4 0 ‏ حل:از رابطه()43-2به ازای r=1داریم 17 7 2 0 مثال16-2صEEEفحه96کتاب درسEEEی(سوال 2تشریحEی نیمسEال اول:)86-85باتوجEه به معادله )1 r 1 (xi  yj  zk یکه راei  ( )2-28رابطEEه بیEEن بردار های  ‏hi qi hi ‏qi درمختصEات قطبEی بEا دکارتEی بEه دست آوریدz r cos. ‏y r sin cos حل:ازمعادله()28-2داریم ‏h r sin ()2-47 اما می دانیم 17 8 ‏x r sin cos ‏hr 1 , h r, ادامه مثال16-2صفحه96کتاب درسی: ˆcos ˆ ˆr iˆsin cos  ‏e ‏j sin sin  k ()2-48 ˆsin ˆ ˆ iˆcos cos  ‏e ‏j cos sin  k ˆ ˆ  iˆsin  ‏e ‏j cos میˆ , ˆ , e چنانکEه پیEش از ایEن گفتیEم،مالحظEهˆr ‏e ‏e شود , بردارهای یکEه جهEت تغییرمکان(یعنی باتغییر 17 9 )تغییرمی کند. با مثال17-2صEفحه96کتاب درسی:بردارنیرو F ‏F  yi  xj 2zk صورت زیر است دکارتیبه درمختصات ایEن بردار رابرحسEب مختصEات قطبی کروی ‏i cos siner  cos cose  sine وبردار های یکه آن بیان کنید. )،داریمj sin sine حل:باتوجه e ‏r  sin2cos به  cos تمرین(-4-2e ‏k coser  sine ()2-49 ‏y r sin  cos z r cos 18 0 ‏x r sin  cos ‏F 2r cos2 er  2r cos sine  r sine بنابرایEن بEا نشاندن آنهEا ورابطEه های تبدیEل(-2 مثال18-2صEEفحه97کتاب درسEEی:در فیزیک نویEن بEا خاصEیت پاریتEه(یعنEی کمیتEی تحت ‏z ناوردا z, y   وارونEی دسEتگاه مختصEاتy, x   x بمانEد یا ‏Eروکار (r, ) , بسیارz , y, x داریEم کEه تغییEر عالمEت بدهEد)س دانیموارونEی در مهEم اسEت .مEی دستگاهr ‏ r,   ,    مختصاتe , ‏er دکارتی به صورت: ‏e اسEت.الف:نشان دهیدوارونEی(یعنی انعکاس نقطEهr  r,    ازمبدا) ,   ‏ ‏x  r sin(   ) cos(  )  r sin cos  x محورهای ‏y  r sin(   ) sin(  )  r sin sin ‏  y 18 استz  r cos(   زیر)  r هایcos تبدیل  ‏z 1ثابت،شامل نسEبت به کتاب97صفحه18-2مثال هEEEEEEEEادام )48-2(اکنون از رابطه های:ب:یEEدرس eˆr  iˆsin(   ) cos(  )  ˆj sin(  ) sin(  )  kˆcos(   ) م جهتEه داریEم وتوجEی کنیEتفاده مEاس  iˆsin cos  ˆj sin sin  kˆcos  er .ثابت اندkوjوi بردارهای یکه eˆ  iˆcos(   ) cos(  )  ˆj cos(   ) sin(  )  kˆcos(   ) iˆcos cos  ˆj cos sin  kˆsin e پاریته فرد eˆ   iˆsin(   )  ˆj cos(  ) iˆsin  ˆj sin  e پاریته زوج پاریته فرد 18 2 تست :6کدام یک از بردارهای یکه پاریته زوج دارد؟ الفê : ٭جê : حل:ر.ک مثال18-2صفحه97 18 3 ب: ‏êr دê : تست :7دردستگاه مختصات کروی dعنصر زاویه حجمی (فضایی)برابر است با: الفr2 sindd : ‏rdrd ج : حل:ر.ک مثال14-2صفحه92 18 4 ‏r2 sindrd ب : ٭دsindd :  n ˆrحاصل عبارت:8 تست : برابر است باr e ˆ nsinrn1e  ˆ n(n  2)rn 1e :ب 1 ˆ :د rn 1e sin  ˆr  rne صفر:٭ج ˆr e ˆ re ˆ r sine rn   0   0 1  r2 sin r :الف :حل 0 18 5 :گرادیان(شیب تابع)درمختصات کروی   1  1  ˆr ˆ ˆ  e e e r r  r sin  :واگرایی(دیوژرانس)درمختصات کروی   F   1   2 .F  2 sin (r Fr )  r (sinF )  r  r sin  r    :الپالسی درمختصات کروی 2    1       1   2 2   .  2  sin (r )  (sin )  2 r sin  r r   sin   18 6 :تاو(کرل)برداردرمختصات کروی eˆr reˆ   1   F  2 r sin r  Fr rF r sineˆ   r sinF 18 7 مثال24-2صEEفحه101کتاب درسEEی(سوال1 ‏ ‏ 0 mr ‏AگEر پتانسیل :)ا دوم90-89 تشریحEی نیمسEال 3 4 ‏r برداری مغناطیسی Aبرقرار باشد ‏ نشان دهیEد ایEن پتانسEیل mmk برداری به القای ‏0 ‏ ‏a دو(mmk m ازیEEکer cos مغناطیسEEی BناشEEی)   e sin قطبی 4 ‏ ‏r ‏rerمغناطیسEEی نقطEEه ای با گشتاور دو ‏am کنید A  ‏sin ‏e 2 شود.فرض قطبی mمنجEر مEی ‏r استˆ. ‏r sine حEل:فرض مEی 18 8 ومی دانیم ‏ کنیEم  ‏amsin2  ‏r ˆ ‏re ˆr ‏e ‏ ‏ ‏B 2 باشد ‏r sin r ‏ 0 0 1 :کتاب درسی101صفحه24-2ادامه مثال 1  am 2  amsin2  B 2 [er ( sin  )  re ( )] r sin  r r r 2amcos amsin 0 2mcos 0 msin  er  e ( )[ ]er  ( )( 3 )e 3 3 3 r r 4 r 4 r 18 9 تست :9کدام یک از سطوح زیر مربوط به سطوح مختصات دستگاه کروی نمی باشد؟ الف :کره های هم مرکز ٭ج :صفحه های موازی با صفحه XY ب:مخروط های دوار قائم حول محورZ د:نیم صفحه های گذرنده ازمحورZ حل:دردستگاه کروی مختصات ) ، (r, ,دسته سطوحی که این سه مختصه روی آن ها ثابت اند به صورت زیر می باشد: .1کره های هم مرکز حول مبدا 1 2 2 ثابتr (x2  y2  z )  .2مخروط های قائم حول محورzبا راسی واقع درمبدا 19 0 ‏z ‏ arccos ثابت 1 (x2  y2  z2 ) 2 .3نیم صفحاتی که از محور zمی گذرند ‏y ثابت  arctan  ‏x ادامه تست :9دردستگاه مختصات استوانه ای)، ( , , zدسته سطوحی که این سه مختصه در روی آن ها ثابت ان به قرار زیر است: .1استوانه های مستیر قائمی که محور،zمحور مشترک آن ها است1 : 2 2 ثابت  (x2  y )  .2نیم صفحه های که از محور zمی گذرند: ‏y ثابت tan 1  ‏x .3صفحه هایی موازی باصفحه (xyماننددستگاه دکارتی): ثابت=Z 19 1 مختصات p, , ‏z استوانه دوار( دستگاه ‏ , , z ‏q1(, q ‏Eتگاه س 2, q در این د 3 ) )بEه صورت( )بیان شده ودسEته سEطوحی کEه این Zآن هاثابت اند،عبارت انداز: سه مختصه روی 2 2 1/ 2 ‏ ‏ ( ‏x ‏ ‏y که ) اسEتوانه های دایروی قائمEی  ،محور محور مشترک آنZها است: ‏xyثابت نیم صفحه هایی که ازمحور 19 2 ثابت ‏y ‏ tan 1( )  ‏x گذرندZ: ‏ می روابEط تبدیEل بیEن دسEتگاه مختصEات استوانه ای ‏x  cos ودکارتی: ‏y  sin ‏z z ‏ کEه زاویEه ‏x 0 گیری اندازه , 0   2 ‏z   می ‏Eت ‏ب ,  مث ازمحور شود ودامنه های مختصات عبارتند از: ‏h 1, h  , hz 1 عامل های مقیاس در مختصات استوانه ای: ‏dv dddz 19 3 عنصر حجم درمختصات استوانه ای: مثال25-2صEفحه103کتاب درسEی:رابطه های تبدیEل بیEن دسEتگاه مختصEات استوانه ای دست دواررابEا دسEتگاه مختصEات دکارتEی بEهz  z آورید. ‏y ‏y ‏x-ta ‏ )داریم tan 57 2n حل:ازمعادله( ‏x ازمعادله()56-2به نتیجه زیر می رسیم ‏x2  x2 tan2   2 1 یا ‏cos2  1 tan2   ‏x ‏ cos )داریم بنابراین بانشاندن آن درمعادله(55-2 19 4 درسEی:وبهy ‏  sin  ادامEه مثال25-2صEفحه103کتاب آسانی نتیجه می شود زیراند x  بنابراین رابطه های تبدیل به قرار cos ‏y   sin  ()2-60 ‏z z ‏dv  dddz همچنیEن عنصEر حجEم درایEن دسEتگاه برابر است با ()2-61 19 5 مانندسEEتگاه مختصEEات قطبEEی کروی،جهت مختصاتˆz , ˆ , e ˆ ‏e ‏e استوانه ای بردارهای یکه دکارتیˆ : ‏e مختصات iˆcos ˆ  برحسب بردارهای یکه j sin ˆ ˆ  iˆsin  ‏e ‏j cos ˆ ˆ k ‏e ‏z ‏ ‏ 1  ‏ ˆ ˆ ˆ ای ( , , z: ) e ‏ e ‏k ‏  استوانه مختصات شیب(گرادیان)در ‏ ‏  ‏z ‏  1  1 F Fz ‏.F  واگرایی(دیوژرانس)درمختصات) (F ‏ ‏ استوانه ای: ‏  ‏  ‏z 1  ای: استوانه  درمختصات1  2 ‏ 2 الپالسی ‏  ( ) 2 ‏ 2 2 19 ‏  ‏ ‏  ‏z 2 6 :تاو(کرل) بردار درمختصات استوانه ای eˆ   1  F    F peˆ   pF kˆ  z Fz 19 7 مثال26-2صEفحه104کتاب درسEی:باتوجEه به معادلEه()28-2رابطEه بیEن بردارهای یکه را 1 r 1 دوار( ایxi  yj  درمختصEات اسEتوانه )zk مختصات بEا ‏ez  ‏ ‏qi دکارتی به دست آورید. حل: اما میدانیم ‏z z ‏y   sin  , hz 1 ‏hi ‏hi qi ‏x  cos ‏h 1 , h  ˆ ˆ iˆcos  ‏e ‏j sin  بنابراین 19 8 ˆ ˆ  iˆsin   ‏e ‏j cos ˆ ˆz k ‏e ادامEEEEEEEه مثال26-2صفحه104کتاب e ‏ ‏e درسEی:درنتیجEه بEا توجEه بEه شکل(،)8-2بردار یکEه ‏ سEطح اسEتوانه عمود ودرجهت ez بEه افزایEش kشعاع اسEت ،برداریکه برسEطح اسEتوانه مماس وبEه نیEم صفحه ثابEت سEمتی یکه 19 9 عمود ودرجهEت افزایEش زاویه اسEت،وبردار یکه همان بردار درمختصات دکارتی است. تست :10دردستگاه مختصات استوانه ای الفê : جê : حل :؟ 20 0 ‏ê ‏ برابر است با: ٭ب: ‏ ê د:صفر   cotg   eˆ اگر:11 تست چقدر است؟A حاصل عبارت، باشدA  r  1 ˆr  2 e :٭ب r   sin  êr :د    cos ˆ :الف  e r   1   ˆ  2 e :ج  r sin  ؟:حل 20 1  0 ‏ ‏ ‏ تست: 12حجم پوسته استوانه ای که ,1   2,0  z  2 است برابر است با: 2 3 الف2 : ج4 : ب2 : ‏ د: 2 حل:برای یافتن حجم این پوسته استوانه ای باید از المان حجم در مختصات استوانه ای ‏dvdddz انتگرال گرفت 1 2 2   3 ‏ 4 1 ‏ ‏ ‏dv ‏ ‏ ‏d ‏ ‏d ‏ ‏dz ‏ ‏ 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏v 1  0 2 1 2 2 ‏ 2 2 2 20 2 ‏ 2 0 2  ‏r تست :13بردار مکان برحسب بردارهای یکه در دستگاه استوانه ای دوار برابر است با: الف: ‏ê جeˆ  zkˆ : ب: د: ˆeˆ  eˆ  zk ‏eˆ  eˆ حل:در دستگاه مختصات استوانه ای روابط زیر برقرار است : ‏iˆ eˆ cos  eˆ sin ‏ ˆ ‏ j eˆ sin  eˆ cos ˆ ‏ ‏k eˆz ‏ حال این روابط را در بردار مکان rجایگزین می کنیم. 20 3 ‏ x  cos ‏ ‏ y  sin ‏ z z ‏ :13 ادامه تست  ˆ ˆ ˆ r xi  yj  zk ( cos )(eˆ cos  eˆ sin )  ( sin )(eˆ sin  eˆ cos )  zeˆz  2 r  cos2 eˆ   sin coseˆ   sin2 eˆ   sin coseˆ  zeˆz  (sin   cos2  )eˆ  zeˆz       1  r eˆ  zeˆz 20 4 2 ‏F ‏ 3 ‏yi ‏ ‏j ‏ ‏z مثال27-2صEفحهk105کتاب درسی:بردار ˆ , e ˆ ‏k, e رادر مختصات اسEتوانه ای دوار وبرحسEب بردارهای یکه ‏k ez حل: کنیدi e cos  e. ‏j e sin  e cos بیان sin ‏y  sin ‏F 3sin (3 cos  1)e  (cos  3 sin2  )e  z2k بنابرایEن با نشاندن آنهEا ومعادله های(:)60-2 درFداریم 20 5 2 2 F reدرسی  r sin  e  r cos107 e صفحه1-4-2تمرین F,.F اگر: r کتاب  1  3  2 2  2 ،باشد .F  2 (sin . (r )  r (r sin  )  r (r cos )) را r sin .آورید r دست کروی بهدرمختصات     0 1 2 3 2 2 (3r sin  2r sin cos  0) 3 2r cos r sin eˆr reˆ r sineˆ  1    F  2 ... r sin r   r r3 sin r3 sin cos :حل 20 6 تمرین9-4-2صEEفحه109کتاب درسEEی :یک پوسEته کروی چرخان ،کEه بEه طور یکنواخت 4 ‏ باردار شده اسEEت،یEEک 0a  sin پتانسیلe برداری ‏ra ‏  3 ‏r ‏A ‏ ایجاد می مغناطیسEی بEه قرار زیEر در فضEا  ‏e 0a r cos ‏ra کند ‏  3 ‏ ‏ ‏B A کEه درآEن aشعاع پوسEته کروی، 20 7 سEطحی بار و چگالی سEرعت زاویEه ای آن : الف9-4-2ادامه تمرین eˆr reˆ  1   IF : r  a  A  2 r sin r  r sineˆ    0a4 sin 0 0 (r sin ) 3 r 0a4 sin 0a4 sin 1  1  eˆr ((r sin ) ) 2 reˆ ((r sin ) ) 2 r sin  3 r r sin r 3 r 0a4 1 2cos 0a4  2 ((2sin cos ) )eˆr (( 2 ) )eˆr r sin 3 r 3 20 8 : ب9-4-2ادامه تمرین eˆr  1  IF : r  a  A  2 r sin r reˆ r sineˆ      0a 0 r r cos 0 3 0a 0a  eˆr  2 1  2 ((r cos ) ) 2 r sineˆ ((r cos ) ) 2 r sin  3 r sin r 3 0a ((2cos ) )eˆ 3 20 9 تمرین12-4-2صEفحه109کتاب درسEی(سEوEال 2تشریحی نیمسEال دوم: )87-86اگEر از سEیم رسEانایی که در ‏I امتداد محور zقرار 1 الکتریکEی Iعبور کند، ،جریانA k دارد(ln ) ‏ 2 پتانسEیل برداری مغناطیسEی حاصEل بEه صEورت زیر است ‏I ‏B e 2 رابطEه I 1 نشان دهید Bالقای مغناطیسEی 1آEن I زیEر kبه ˆz ‏A ( lnاز ln( )  )e 2 ‏ 2 ‏ دست می آید ‏ ‏ ˆz ‏e ‏ ‏ ‏I ‏     I ln( 1 )e ˆ e ˆ ‏ ‏z ‏  2 2حل : ‏I 1  ‏ln( ) 210 2 ‏  ˆ ‏e ‏ ‏ 0 ‏ ‏e ˆ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏B A  ‏  ‏ ‏ 0 ‏ تست :14از سEیم هادی در امتداد محورzجریان Iعبور می ‏ برداری I کند ،اگر پتانسیلˆ 1 مغناطیسی حاصل برابر ‏A ‏ln( )k ‏ 2 ‏ ˆ  I ‏  I ‏  ˆ   ‏B 2سEیم برابر است ‏Eن ‏Eی س مغناطی ‏Eد،میدان دراطراف ای  2 ‏ ‏ باش    ‏ ‏B با I : ‏ ˆ   الف   : ˆI ‏  ٭ ب   : ‏ ‏ ‏B 2 ‏ ‏ ‏B 2 ‏   ‏B A ج: د: حل:باتوجه به رابطه 21 1 ‏ )( , , z جواب این سوال به راحتی باگرفتن کرل از تابع ‏A به دست می آید.فقط باید دقت کنیم که کرل را درچه دستگاهی بنویسیم،بادقت درگزینه ها می بینیم که ازمختصات استوانه ای استفاده شده پس کرل را دردستگاه استوانه ای می نویسیم. :14 ادامه تست ˆ e   1  A    A ˆ e   A ˆ kˆ e  1   z   Az 0 ˆ e   0 kˆ  z  I 1 ln( ) 2  1  I 1 ˆ )( ( e ln( ))   2  ˆ ˆ e    B A   2 باتوجه به گزینه ها  Iˆ    21 2 جداسازی متغیرها 2 2 2 ‏k ‏ 0 ‏ ‏ ‏ ‏k ‏Eه معاد0ل در حEل مسEائل فیزیک 2 2 2 ‏k ‏ ‏k ‏ 0 ‏k ‏0 :معادله کاربرد زیادی دارداگر)1 الپالس، 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏k ‏ 0 :معادلEEه هلمهولتز )2 )3 :معادله پخش )4ثابت :معادله شرودینگر ) (x, y, z)  X (x)Y( y)Z(z جداسازی متغیرهادر دستگاه مختصات دکارتی مسأله راباحل معادله هلمهولتز 21 3 شروع مEی کنیEم کEه دارای جوابEی به صورت زیر می باشد ) (x, y, z باقراردادن  )(x, y, z 2 درمعادله 2 2 1dY ‏Eیم 2بر 2 1 d Z هلمهولتزوتقس2 2 ‏ ‏ ‏l , ‏ ‏ ‏m , ‏ ‏ ‏k ‏ ‏l ‏ ‏m ‏X dx2 ‏Y dy2 ‏Z dz2 خواهیم آورد. ‏ n2  k2  l 2  m2 ‏n, m,l k2 l 2  m2  n2 که 2 بEه 1 d X دست . ثابت ‏ ‏Eه ک ‏ ‏X ( ‏x ) ‏Y ( ‏y ‏l ,m,n ‏l )m )Zn (z هایEی اندکEه درمعادلEه صEدق مEی کنند.درنتیجه 2 بودk2 : زیرخواهدl 2  m ‏ n2 ‏n, m,l پاسخ به صورت 21 19 4  اگرعملگرL 2 ‏ k2 باشEد،آEن گاه یک عملگر خطی ‏ تابEع کEه در معادلEه هلمهولتز ‏l ,m,n صEدق مEی کنEد،برابرحاصEل ضرب سEه تابع ‏   al ,m,n l ,m,n مسEEتقل ازهEEم خواهEEد بودوهمچنین ‏l ,m,n ‏L برابرباترکیب خطی هاخواهد بود: ‏L (a ) aL ‏L ( 1  2 ) L 1  L 2 شرط خطی بودن عملگر ‏a 21 5 : مثال 32-2صفحه113کتاب :کدامیک از عملگرهای زیر خطی هستند؟ )الف( )L1 (x)  x3 (x ‏ d  )ب( ‏L2 (x)  x  ) (x * dx )ج( )L3 (x)  (x :الف)اگر Lبخواهد یک عملگر خطی باشد باید در دو شرط ( )83-2و حل 1 ‏L (a ) aL ( )84-2صدق کند یعنی باید و ‏L ( 1  2 ) L 1  L 2 باشد .نخست اولین شرط را بررسی می کنیم ‏L1(a )  x (a (x)) ax3 (x) aL1 که برقرار است اما برای دومین شرط داریم ))L1( 1  2 )  x3( 1(x)  2 (x 3 21 6 ‏ x3 1(x)  x3 2 (x) L1 1  L1 2 و دومین شرط نیز برقرار است .لذا می گوییم Lیک عملگر خطی است. ادامه مثال 32-2صفحه113کتاب: ب)از اولین شرط داریم ‏d ‏d ‏L2 (a )  x (a (x)) ax ‏ (x) aL2 ‏dx ‏dx که برقرار است .اما برای دومین شرط داریم ‏d ‏L2 ( 1  2 )  x ))( 1(x)  2 (x ‏dx ‏d ‏d ‏x ‏ 1(x)  x ‏ 2 (x) L2 1  L2 2 ‏dx ‏dx در نتیجه L2نیز یک عملگر خطی است. ج)از اولین شرط داریم )L3(a )  (a* * (x)) a* * (x اما در حالت کلی در صورتی* a aخواهد بود کهa چنین شرطی را برای aنداری پس می توان نتیجه گرفت: 21بنابراین می گوییمL3 7 یک ثابت حقیقی باشد .چون ‏L3(a ) aL3 یک عملگر خطی نیست. 2 ‏2  k مثال 33-2صفحه114کتاب :نشان دهید عمل=گر یک عملگر خطی است. L 2  k2در صورتی خطی است که در دو شرط (-2 حل)عملگر )83و ( )84-2صدق کند .نخست اولین شرط را بررسی می کنیم ) L(a ) (2  k2 )(a ‏2 (a )  ak2 a(2  k2 ) aL در نتیجه اولین شرط برقرار است .برای دومین شرط داریم ) L( 1  2 ) (2  k2 )( 1  2 ‏(2  k2 ) 1  (2  k2 ) 2  L 1  L 2 21 8 مثال 34-2صفحه 115کتاب :یک ذره اتمی در جعبه ای به یالهایaوbوcمحبوس است .در مکانیک  کوانتومی این ذره ریز با توصیف می شود کKه در معK2ادله شرودینگر زیر صدق تابع موج ‏ می کند ‏ ‏2 E 2m ‏ که در آن E انرژی وmجرم ذره و ثابت پالنک است .چون ذره روی شش وجه جعبه در جعبه محبوس است بنابراین باید شرط محدودیت هایی بر ثابت های مزبور برابر صفر باشد .این 2 جداسازی و در نتیجه بر انرژیEاعمال می کند .کمترین مقدارE 2m را به دست آورید. 2mE حل) دو 2mE کنیم باال را معادله 2 ‏2  تقسیم 2می  ‏ بر  طرف   ‏ 0 2 ‏ ‏ 2mE ‏k  ‏2 2 21 9 فرض می کنیم 2 ‏ 2 ‏2 ‏ ‏ ‏ 2 باشد.بنابراین داریم ‏ ‏ ‏ ‏k ‏ 0 2 2 2 ‏x ‏y ‏z ادامه مثال 34-2صفحه 115کتاب: روش جداسازی را در معادله باال به کار می بریم تا نتیجه های زیر به دست آیند. ‏d2 X ‏d2Y ‏d2Z 2 ‏ k XYZ0 ‏ n2 1 d2Z ‏Z dz2 ‏dz 2 ‏ XY ‏ m 2 نخست Z اولین معادله را حل می کنیم ‏c ‏Y ‏b ‏a 22 0 ‏X ‏dy 2 1 d2Y ‏Y dy2 ‏ XZ 2 ‏ l ‏dx 2 ‏YZ 1 d2 X ‏X dx2 ‏d2 X 2 ‏ ‏l ‏X (x) 0 2 ‏dx ادامه مثال 34-2صفحه 115کتاب: ,sinlx ) (coslx صورت اگر) X(xبخواهد در معادله باال صدق کند باید )به باشد.با توجه به بازهxکه)lx (cosمی کند ‏lxتغییر ‏sinتاa, بین0 یا ‏ ilx ‏ilx (e , e مناسب تر است .از معادالت دیفرانسیل می انتخاب دانیم اگر یک معادله دیفرانسیل چند پاسخ داشته باشد ،ترکیب خطی آنها نیز پاسخ معادله خواهد بود .بنابراین X (x)  Asinlx  Bcoslx ()2-85 که در آن Aو Bثابت کامال ً اختیاری دلخواه هستند .اما می دانیم روی شش وجه جعبه مزبور تابع موج باید برابر صفر باشد .با توجه به شکل ( )9-2فرض می کنیم مبدأ مختصات در یک کنج جعبه مکعب مستطیل (0)  برایX (a قرار داشته باشد .در نتیجه شرایط مرزی زیر را) 0 Xمی دست )X(xبه آوریم ‏X (0) B 0 ()2-86 ‏coslx از اولین شرط مرزی داریم 22 1 یعنی ثابت دلخواه Bباید برابر صفر باشد .چون این ثابت به تابع مربوط می شود و تابع کسینوس یک تابع زوج است ،بنابراین می گوییم ‏X (a)  Asinla 0 شرایط مرزی مسئله تابع زوج را حذف کرده است .از دومین شرط مرزی داریم ادامه مثال 34-2صفحه 115کتاب: باید( p 1,2,3,...)la  p بنابراین  نتیجه اینکه باشدp . ‏l ‏p 1,2,3,... (2-87الف) ‏a پرسش :چراp=0نمی تواند باشد؟همین روش را برای دو معادله دیفرانسیل معمولی دیگر اعمال می کنیم و به نتیجه های زیر می ‏q ‏m رسیمq 1,2,3,... . ‏b (2-87ب) ‏r ‏n ‏r 1,2,3,... ‏c (2-87ج) اما از رابطه ( )79-2داریم 2 2 ‏k l  m  n 2 2 2 2 2 باالpمی رسیم به رابطه (87-2 2mE ‏q)دررابطه  سه r با نشاندن  ‏k2  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏2 ‏a ‏b ‏c ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 2 2 ‏2   2 ‏q ‏r ‏ ‏ ‏ 2 2 2m  ‏a ‏b ‏c2 ‏ 2 ‏ ‏E و یا ()2-88 2 p=q=r=1 بنابراین باشد. مقدارEوقتی 22اما کمترین 1است که 2  1 1  ‏E0  ‏ شود : ‏ ‏ 2 2 2m  a ‏b 2نتیجه میc2  جداسEازی متغییرهEا دردسEتگاه مختصEات استوانه دوار ( ای ), , z 2 2 1   2 باقرار دادن ( )  2 2  2  k  0 هلمهولتزخواهیم داشت     z: ) ( , , z) ( )( )(z 1   درمعادله ) ( , , z 1 d2 2 ‏ ‏ ‏m ‏ d 2 ‏d2Z ‏lZ که با 2 ‏dz قرار دادن درمعادلEه هلمهولتزوتقسEیم آن بر ‏d d 2 آوریم ( )  (n2 : می m2) به دست 0 ‏d d 22 3 ()2 ()1 درحالEت کلEی پاسEخ های معادالت صEفحه قبل (elz , e lz ) (sinh )lz, coshlz عبارتنداز: ) (eim , e im ) (cosm ,sin m ‏)m1 ) :برای معادله(( n یا ‏ l ,m,n یا ‏ l ,m,n mn ( ) )( ) (z )2m :برای lمعادله( ‏ l ,m,n وبرای معادلEه( : )3توابEع بسEل کEه بEه صورت شوند  almnmn ( ) m. می( )l بیان )(z ‏almn درنتیجه جواب 22 4 ‏n, m,l وجواب کEل کEه ترکیEب خطی ‏lmn عبارت است : ‏k2 n2  l 2 مثال ()35-2صفحه 119کKتاب :کاواک دواری به شعاع قاعده a در نظر بگیرید که دیواره آن کامال ً رسانا باشد .امواج ‏it الکترومغناطیس در چنین کاواکKی منتشر می شوند .اگر e فرض باشد، کنیم وابستگی زمانی میدان مغناطیسی به صورت شودE  2 0 0 آنگاه از معKادالت ماکسول نتیجه می E ‏.E  0 ‏Ez )2-104 ( مؤلفهzمیدان الکتریکی ،در دهید با شرط 2Eکه2Ez   0 نشانz  ‏Ez ( a) 0 معKادله ‏ 2  2 0 0 است .با شرایط صدق می کند ،که در آن آن را حل کنید(V ) .V  .V . مرزی حل :با توجه به اتحاد زیر 2 ‏.E  .E   0 0E معادله ( )104-2را ساده می کنیم ‏.E 0 22 5 اما می دانیم 2 2 ‏ E    0 0E است ،در نتیجه 2 2 ‏ E   E 0 ادامه مثال ()35-2صفحه 119کتاب: اما می دانیم2V z 2Vz ()2-105 پس داریم ‏2Ez   2Ez 0 مرزی )Ez ( a البته با شرط 0 و با استفاده از معKادله ( ،)90-2معادله ( )105-2به صورت زیر در می آید 1  ‏Ez 1  2Ez  2Ez 2 ( ) 2 ‏ ‏ ‏ (Ez 0)2-106 2 2 ‏  ‏ ‏   ‏z اکنون فرض می کنیم ()2-107 )Ez ( , , z) P( ) ( )Z(z با نشاندن ( )107-2در ( )106-2و Ez داریم تقسیم آن بر 1 d ‏dP 1 d2 1 d2Z ( ) 2 ‏ ‏  2 0 2 2 ‏P d ‏d ‏  d ‏Z dz 22 6 اکنون عبارت وابسته به مختصه zرا k2 برابر با می گیریم 1 d2Z ‏ k2 2 ‏Z dz ادامه مثال ()35-2صفحه 119کتاب: توجه داریم پاسخ های معKادله باال برای حالت موبر بهeصورت بهsin کاواکkz, ‏coskz صورت و برای مسئله هایی باzمحدود مانند 2 ‏ بود 2 . خواهد a2  ‏k2 ‏ m 2 را1 d مربوط به  2 باشد و جمله فرض می کنیم ‏ ‏ ‏m ‏ d 2 می گیریم جدا و برابر با ‏ im ‏ im ( ( ) )2-109 [e ,e ] ] [sinm , cosm یا نیزبه صورت که پاسخ هایی ‏d  dP وابسته است .سرانجام 2 2 صورت زیردر می  به  ( به  2 ‏ m معادله()P ‏ ) 0 ‏d  d  آید ‏ikz معKادله باال ،معادله بسل است و در مورد پاسخ های این معادله و ادامه این مثال در فصل مربوط به توابع بسل به تفصیل بحث خواهد شد. 22 7 2 را در الپالس ‏ مثال ()36-2صفحه 121کتاب :معادله 0 است حل کنید. وقتیکه مختصات استوانه(ای  ) حل) می دانیم 2 2 1  ‏ 1  ‏ ‏2  ( ) 2 ‏ ‏0 2 2 ‏  ‏ ‏  ‏z اما چون )  ( ‏است ،بنابراین جمله اول معادله باقی می ماند .یعنی داریم ‏d ) 0 ‏d ( 1 d ‏ d دو سمت معادله باال را در ضرب می کنیم و می رسیم به نتیجه زیر ‏d ‏d ( ) 0 ‏d ‏d بنابراین عبارت داخل پرانتز باید برابر با مقدار ثابتی باشد ،این مقدار ثابت را kمی گیریم ‏d ‏k ‏d ‏ در نتیجه پاسخ معادله دیفرانسیل مرتبه اول باال را می توان به صورت زیر نوشت 22 8 ()2-111 ‏ ( ) k ln  a ادامه مثال ()36-2صفحه 121کتاب: که aیک ثابت اختیاری دیگر است .اما با توجه به شرط مرزی داریم ‏ ( 0 ) 0 ‏  0 را در معادله ( )111-2می نشانیم و حاصل را بنابراین ‏k ln 0  a 0 برابر صفر می گیریم و می رسیم به در نتیجه داریم ‏a  k ln 0 نشاندن مقدار aدر رابطه ( )111-2پاسخ به دست می آید با   ‏ ‏ ‏ ‏ ( ) k ln  k ln 0 k(ln  ln 0 ) k ln ‏ 0  22 9 مثال ()37-2صفحه 122کتاب :نشان دهید اگر در معk2 ‏Kادله ثابت نباشدh( ) بلکه برابر با تابعی از چون هلمهولتز باشد ،هنوز این معادله را می توان در دستگاه مختصات استوانه ای دوار جداسازی کرد. استوانه 1 ‏   ‏  را 1 هلمهولتز 2 ‏ حل) معادله 2 می مختصات در 2 ای دوار 2 ‏ k  ‏  ‏  2 ‏ ‏ h( ) 0 2 2 ‏       ‏z نویسیم ) ( , , z) P( ) ( )Z(z اکنون مانند متن درس فرض می کنیم ‏Z d  dP PZ d2 ‏ 2Z ‏ ‏ 2 ‏ P ‏ h( )PZ 0 هلمهولتزdداریم معادله ‏ d  d   ‏2 و با نشاندن آن در z2 ‏ 1 d ‏dP 1 d2 1 d2Z ( ) 2 ‏ ‏ h( ) 0 2 2 ‏P d ‏d کنیم  میd ‏Z ‏dz ‏Kادله1را بر تقسیم دو سمت مع2 ‏d ‏Z 2 ‏  2 2 ‏Z ‏dz 1d Z 2 23 ‏ ‏ ‏ 2 0 و عبارت را برابر با می گیریم Z dz ادامه مثال ()37-2صفحه 122کتاب: و به نتیجه زیر می رسیم ‏d ‏dP 1 d2 ( ) 2 ‏  2  h( ) 0 2 ‏P d ‏d ‏  d 2 اکنون معادله باال را در ضرب می کنیم و نتیجه را به صورت دو جمله در می آوریم که یکی تابع و دیگری تابع باشد 1 ‏ 1  2  ‏ d ‏dP 2 2 ( )  [h( )   ]   ‏0 2  ‏P d ‏d ‏    سومین جمله را که فقط تابعی از است برابر با  m2می گیریم 1  2 2 ‏ ‏ ‏m ‏  2 سرانجام داریم 23 1 ‏ d ‏dP ( )  [h( )   2 ] 2  m2 0 ‏P d ‏d بنابراین معادله اصلی به سه معادله دیفرانسیل معمولی جداسازی شده است. جداسEازی متغیرهEا در دسEتگاه مختصEات قطبی کروی  (r, ) , معادله 1 1در   ‏ ‏ 1 باقراردادن 2 ‏ 2 ( ) ‏ (sin ‏ ) ‏ ‏ ‏k ‏ 0 2 2 2 2 2 ‏r r r ‏r sin  دست  بهr sin هلمهولتز  ‏ میآوریم : )  (r, , ) R(r)( )( ‏ ‏d2 2 ‏ ‏m ‏ 0 2 ‏d باقرار دادن ‏ )  ( ) ( درمعادلEه هلمهولتEز وتقسیم 2 1 d ‏d ‏m (sin )  (n2  ) 0 2 : داشت خواهیم ‏sin d ‏d طرفین معادله بر sin  23 2 ‏l ‏n2 l(l  1 معادل) دیفرانسیل ‏Eه کEه جواب های ) ( را بEه دسEت می کرویR(r ) بسEل) برای یافتن معادلEه شعاعEی(معادلEه جواب های ‏k2  ‏dR ‏n2 2 (r )  (k : 2 )R 0 ‏r2 dr ‏dr ‏r 2 کEه بEه ازای،ثابEت مثبEت 1 d ،جواب های آن )   anmRn (r) nm( ) m( توابع بسل کروی خواهند بود. ‏n,m کلیk2  f پاسخ )(r معادله هملهولتز درمختصات کروی : در صEورتی کEه 2 2 ‏Eد،معادله باش ‏d 2 dR )  ( f (r)r  n )R 0 (r drحل dr نمود هلمهولتEز را م توان باروش جداسEازی 23 3 وبEه جای معادلEه کروی بسEل بEه معادلEه همبسته الگر می رسیم. Kادله k2  f مثال ()38-2صفحه 125کتاب:نشان دهید اگر در مع)(r باشد باز هم آن معادله را می توان در هلمهولتز دستگاه مختصات قطبی کروی جداسازی کرد. حل) معادله هلمهولتز را به صورت زیر می نویسیم 1   1 ‏ ‏ 1 ‏ 2 ( ) 2 (sin ) 2 ‏ f (r) 0 2 2 2 ‏r r r ‏r sin  ‏ ‏r sin   و فرض می کنیم )  (r, , ) R(r)( ) ( ‏ هر عبارت بر و با نشاندن آن در معKادله دیفرانسیل باال و تقسیم 1 d 2 dR 1 ‏d ‏d 1 داریمd2 (r ) (sin ) ‏ f (r) 0 2 2 2 2 2 ‏r R dr ‏dr r sin d ‏d ‏r sin  d ‏r2 sin2  نتیجه از رسیم sin2  می d 2 ‏sinزیر dR به d ‏d باالd2در1 ضرب معادله  2 2 (r ) (sin ) ‏ f (r)r sin  0 2 ‏R dr ‏dr ‏ d ‏d ‏ d 23 4 ادامه مثال ()38-22صفحه 125کتاب: 1 d  را به سمت دیگر معادله می بریم ‏Kبارت اکنون ع 2 ‏ d 1 d2 sin2  d 2 dR sin d ‏d 2 2 ‏ ‏ ( ‏r ) ‏ (sin ‏ ) ‏ ‏f ( ‏r ) ‏r ‏sin ‏ 2 ‏ d ‏R dr ‏dr ‏ d ‏d مالحظه می شود که سمت چپ معKادله  باال تابعی از و سمت r راست آن تابعی از و است .چون این r ‏ باید به ازای معادله ‏m2 هر سمت آن باید همه مقادیر و و برقرار باشد ،بنابراین جمله برابر با مقدار ثابتی چون از1 d2 2باشد . ‏ m 2 ‏ d ‏sin2  d 2 dR sin d ‏d بنابراین (r ) (sin )  f (r)r2 sin2   m2 0 ‏R dr ‏dr ‏ d ‏d 2 23 5 اکنون این معادله دیفرانسیل  ‏sinرا به صورت دو معKادله جزئی معمولی 2می باال 2را بر1 d نویسیمd.برای اینdعمل1معادلهdR ‏ دیفرانسیل m2 (r ) (sin کنیم)  f (r)r تقسیم 2می  ‏0 ‏R dr ‏dr  sin d ‏d ‏sin  ادامه مثال ()38-2صفحه 125کتاب: دو عبارت مربوط به را به سمت دیگر معادله می بریم 1 ‏d ‏d ‏m2 1 d 2 dR 2 ‏ (sin ) ‏ ( ‏r ) ‏ ‏f ( ‏r ) ‏r ‏ sin d ‏d ‏sin2  R dr ‏dr بار دیگر بنابر همان استدالل قبلی هر سمت معادله باال را برابر مقدار ثابتی چون می گیریم با n2 1 d ‏d  2 ‏m2  ‏  0 (sin )   n  2 ‏sin d ‏d ‏sin   ‏ و نیز 1 d 2 dR (r )  f (r)r2  n2 0 ‏R dr ‏dr که این معادله را می توان به صورت زیر درآورد ()2-126 23 6 ‏d 2 dR (r )   f (r)r2  n2  R 0 ‏dr ‏dr ادامه مثال ()38-2صفحه 125کتاب: توان(  f چنانکه مالحظه می شود معادله هلمهولتز را می )r حتی kبرای 2 ‏k جداسازی کرد ،اما تفاوت این  جداسازی با حالت ثابت ،تنها در شکل دو معادله ( )2-124و ( )2-126است. معادله ( )2-126را معKادله همبسته الگر می نامند (در فصل توابع خاص در مورد این معادله مفصل بحث خواهد شد) و در مسئله از حل معادله موج شرودینگر ظاهر می شود .توجه هیدروژن k2 اتم ) f (r به طور گسترده در مسایل فیزیک به داریم شرط 2 می(  f کKار )r رود و kروش جداسازی متغKییرها در مختصات قطبی کروی در آن بسیار کارساز است ،زیرا شرط درنظریه های گرانش ،الکترواستاتیک ،فیزیک هسته ای ،و غیره برقرار است. 2 23 7 برای  را )(r کتاب:معادله2  0 الپالس مثال ()39-2صفحه 126 باشد در مختصات قطبی کروی حل کنید. حالتی که نشاندن(   )r در معادله الپالس داریم: حل) با 1 d 2 d (r ) 0 2 ‏r dr ‏dr 2 دو سمت معKادله باال rرا در ضرب می کنیم ‏d 2 d (r ) 0 ‏dr ‏dr ()2-127 بنابراین باید عبارت داخل پرانتز را در معادله ( )127-2برابر با ‏d مقدار ثابتی چون aباشد ‏r2 ‏a ‏dr و یا ‏d ‏a ‏ 2 ‏dr r ()2-128 که پاسخ معادله ( )128-2به صورت زیر خواهد بود )2-129( 23 8 ‏a ‏b ‏r ‏ (r)  ادامه مثال ()39-2صفحه 126کتاب:که در آن aو bدو مقدار می توان یکی از آن دو شرط مرزی ثابتی هستندو) r0از(  0 را بر حسب دیگری به دست آورد ‏a ‏ (r0 )   b 0 ‏r0 ‏a ‏r0 یعنی ()2-130 می رسیم به )1 129 سرانجام  با نشاندن ( )130-2در (-2 1 ()2-131 ‏ ‏r ‏ ‏ (r) a ‏ r0 که مقدار aرا می توان از شرایط اولین مسئله تعیین کرد. 23 9 ‏b الف)معادله رسانش گرما یا پخش نوترون این معادله به صورت زیر است ‏ ‏ )u(r , t )c22u(r , t ‏t ‏c2 دمای ماده همگEن باشد ممکEن اسEت ‏ 2 ‏ ‏c ‏ ‏u ( ‏r ), t ‏ ‏Eن صEورت درای ‏ مEی نامندکه راثابEت گرمایEی ‏ )u(r , t برابر اسEت بEا رسEانای گرمایEی و ‏ ‏ ‏u ( ‏r , ‏t ) ‏ ‏u ( ‏r ))T(t ‏u است. چگالی جسم کEه c2 درآن گرمای ویژه و ‏u ممکن اسEت شار ذرات در درون یک 24 0 ماده همگEن باشEد کEه در ایEن صورت ثابت پخش می نامند. را معادله هلمهولتز : ‏ ‏ ‏2u(r )  k2u(r ) 0 )d2T(t ) c2k2T(t 2 ‏dt 2 2 ‏c k )t توان به ک ‏Eی)T(t ‏Eه( مe آسانی با انتگرال گیری تابع رایافت. ‏ 2u 2 2 ‏ ‏c ‏ ‏u 2 ‏t ب) معادله موج ‏ )(r , t اینuمعادله به صورت زیر است ‏T ‏ ‏ )u(r , t ‏ 24 1 ‏ ‏c2  ‏T ‏ ممکEن اسEت بیانگEر جابEه جایی از ‏H E تعادل سEیم یEا غشEا یEا ماده ارتعاشEی باشد در ایEن صEورت خواهEد بود که  ‏ )u(r , t) u(r )T (t ‏u ‏u باقراردادن ‏ ‏ 2 2 درمعادلEه اصEلی و تقسEیم بر معادلهu ‏Eن(r )  k طرف(یu ‏r ) 0 )d2T(t 2 2 ‏ ‏c ‏k T(t) 0 داشت: خواهیم 2 ‏dt معادله هلمهولتز: ‏ eickt , e ickt  آن به صورت زیر است: یا 24 2 ‏T(t)  sinckt, cosckt  پاسخ کEه مثال ()40-2صفحه 130کKتاب(سوال4تشریحی نیمسال:)85-84 اگر سیم کشسانی به طولLکKه دو سر آن ثابت است ،به ارتعاش درآید به طوری که )u(x,tانحراف سیم از وضع تعKادل در معادله دیفرانسیل (معادله موج یک بعدی) زیر صدق کKند ،با روش 2 آورید ) 2u(x,t جداسازی )u(x,tرا به )(x, t دست2  u ‏ ‏c ‏t2 ‏x2 ()2-150 آن(u زیر )با0,t شرط مرزی0 دوu(L, بنابراین )t ‏0 حل) چون دو سر این سیم ثابت است سازگار است ()2-151 مقادیرt, به ‏u(x جمیع(t) u ازایx)T(t ) با استفاده از روش جداسازی ،و با فرض )d2T(t )d2u(x 2 معادله زیر)(x بعدیc ،به ‏T uرسیم می و نشاندن آن در معادله موج یک ‏dt2 ‏dx2 )u(x)T(t 24 3 )1 d2T(t )1 d2u(x 2 2 cتقسیم می کنیم.در نتیجه دو سمت معادله باال را بر ‏T(t) dt ‏u(x) dx2 ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: به این ترتیب متغیرها جدا شده اند و می توان هر سمت را برابر با مقدار ثابتی گرفت .فرض می کنیم )1 d2u(x 2 ‏ ‏ ‏k ‏u(x) dx2 ()2-152 و در نتیجه داریم )1 d2T(t 2 2 ‏ ‏ ‏c ‏k 2 ‏T(t) dt ()2-153 پاسخ های معادله ( )152-2را می توان به صورت زیر نوشت (, e ikx) 2-154 ‏e ‏ikx 24 4 یا u(x)  coskx, sinkx با توجه به این که دامنه xبین 0تا Lتغییر می کند ،استفاده از صورت اول برای پاسخ )u(xمناسب تر است .بنابراین: های ‏u(x)  Acoskx Bsinkx ()2-155 اکنون شرایط مرزی ( )151-2را اعمال می کنیم و می دانیم u(0)=0است .با نشاندن آن در معادله ( )155-2داریم ‏u(0)  A 0 ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: یعنی به طور کلی پاسخ cos kxحذف می شود.چون کسینوس تابع زوج است می گوییم پاسخ زوج معادله مزبور حذف شده است .سپس شرط مرزی بعدی u(L)=0را اعمال می کنیم ‏u(L) BsinkL0 ()2-156 چون B 0است (چرا؟) ،بنابراین ‏sinkL0 یعنی kLباید برابر مضرب درستی از باشد .پس نتیجه می گیریم (n 1,2,... )2-157 ‏n ‏L ‏kLn ‏k لذا پاسخ ) u(xرا به صورت زیر می نویسیم ‏n 1,2,3,... ()2-158 24 5 ‏ n ‏ ‏x ‏ L ‏ ‏un (x) Bsin اکنون در مورد حل معادله ( )153-2بحث می کنیم .در این معادله مقدار Kرا ازرابطه ( )157-2می نشانیم تا نتیجه زیر به دست آید )d2T (t 2 ‏ nT (t) 0 ‏dt 2 ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: که در آن ،فرض این است که cn ()2-160 ‏n  ‏L پاسخ های معادله ( )159-2مانند ( )154-2یا به صورت توابع نمایی و یا به صورت توابع سینوسی و کسینوسی خواهد بود .در اینجا توابع نمایی آنها را انتخاب می کنیم )(2-161 ‏Tn (t) Cneint  Dne int سرانجام چون ) u(x,t)=u(x)T(tاست ،بنابراین نتیجه می شود ‏n ‏un (x, t)  Eneint  Fne int  sin ‏x ‏L 24 6 که در آن Fn  AnDn , En  AnCn است .این مقدارهای ثابت را می توان از که(un  داریمx,t شرایط اولیه هر مسئله تعیین کرد .توجه ) ‏cnدر معادله دیفرانسیل مقدارهایn ‏ ( ) 150-2صدق می کند .بنابراین این توابع را ویژه تابع ها و L مجموعه را ویژه مقدارهای سیم ارتعاشی و  نیز1, 2,... را طیف این سیم می نامند. ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: =n =n 2 3 شکل10-2مدهای بهنجار سیم ارتعاشی وگره های آن 24 7 =n 1 ادامه مثال ()40-2صفحه 130کتاب: ‏n ‏cn ‏ مالحظه می شود n که uهر بیانگر یک حرکت هماهنگLبا2بسامد2 است .این حرکت را مد بهنجار nام سیم می نامند .و اولین مد بهنجار( )n=1را مد پایه و مدهای بعدی را تن های فرعی می ‏L L ‏L ‏n گویند. ‏x , ,..., ‏sin x 0 ‏n 2n (n  1)L ‏L عبارت چون به ازای می شود ،بنابراین نتیجه می گیریم که مد بهنجار nام به غیر از دو سر ‏un(n-1 سیم تعداد ()x,t )گره دارد .گره نقطه ای در روی سیم است که هیچ حرکتی نداشته باشد(رک شکل.)10-2 )150-2صدق میکنند بنابراین سرانجام چون ها در معادله ( ترکیبn ‏ ‏int ‏ int پس است. صادق مزبور معادله در نیز آنها خطی ‏u(x, t)  Un (x,t)  Ene  Fne ‏sin ‏x ‏L 24 8 ‏ ‏ ‏ ‏n ‏1 ‏ ‏n ‏1  کدام یک از عملگرهای زیر خطی هستند؟:کتاب درسی134صفحه1-5-2تمرین L1 (x) e ( x) :الف  d  L2 (x)   (x)  a :ب  dx  x L3 (x)  dx( (x)x) :ج  خطی نیست زیرا:الف:حل L1(a 1(x)  b 2 (x)) ea 1 ( x)b 2 ( x) ea 1( x)eb 2 ( x) ae 1( x)  be 2 ( x) aL1 1(x)  bL1 2 (x) L2 ( 1(x)   2 (x))   d ( 1(x)   2 (x))  a خطی نیست زیرا:ب dx d d  1(x)   2 (x)  a  dx dx 24 9 :کتاب درسی134صفحه1-5-2ادامه تمرین d d  1(x)  a   2 (x)  a L2 1(x)   L2 2 (x) dx dx x خطی است زیرا:ج L3( 1(x)   2 (x))  dx(a 1(x)   2 (x))x   x x   a dx(a 1(x)x)   dx( 2 (x)x) L3 1(x)   L3 2 (x) 25 0  نشان دهید: کتاب درسی134 صفحه2-5-2تمرین 1 1   2 (r, , )   k2  f (r)  2 g( )  2 h (  ) 2  (r, , ) 0 r r sin    2 k .مقدار ثابتی است در مختصات قطبی کروی جداسازی می شود که در آن  وجاگذاری درمعادله وتقسیم بر (r, , ) R :حل d  2 dR 1 d  d  r  sin      r2R dr dr  r2 sin d  d  1 d2 g( ) h( ) 2   k  f (r)   2 0 2 2 2 2 2 r sin  d r r sin  1 r2 sin2  طرفین معادله را در sin2  d  2 dR sin d  d  r   sin  R dr  dr   d  d  1 d2 2 2 2 2   r sin  ( k  f ( r ))  g (  ) sin   h( ) 0 2 25  d : پس داریم، مستقل شود ضرب می کنیم تا 1   1 d2  d 2 : ازتابعی: کتاب درسی134 صفحه2-5-2ادامه تمرین  h( ) L2 جداسازی تقسیم می کنیم تا عبارت مربوط به 1 d  2 dR 1 d  r    R dr  dr   sin d  L2 sin وسپس معادله رابر d  شود   sin  d     r2 (k2  f (r))  g( )  sin2  1 d  sin d d  L2   g( ) n2  sin  d  sin  :  تابعی از : داریمr وبا جایگذاری درمعادله قبل تابعی از  1 d  2 dR 2 2 2 r   r (k  f (r))  n 0 R dr dr  25 2 تمرین5-5-2صفحه 135کتاب درسی :نشان دهید معادله هلمهولتز در دستگاه مختصات استوانه سهموی ()u,v,zجداسازی می شود و سه معادله دیفرانسیل= معمولی را به دست آورید. حل: ‏2  k2 0 درسیستم استوانه ای سهموی داریم: ‏ UVZ ‏  2 2 ‏  ‏ ‏k ‏ 0 2 ‏z ‏ وطرفین رابر تقسیم می کنیم ‏  2 ‏ 2 ‏ ‏ 2 ‏v2 ‏ u 1 ‏u2  v2 ‏VZ  2U ‏UZ  2V UV 2Z 2 ‏ ‏ ‏ ‏k ‏UVZ0 2 2 2 2 2 2 2 ‏u  v u ‏u  v v ‏z 1 ‏ 2U 1 ‏ 2V 1  2Z 2 ‏ ‏ ‏ ‏k ‏0 2 2 2 2 2 2 2 ‏U(u  v ) u ‏V (u  v ) v ‏Z z 25 3 مستقل 1  2Z 2 ‏ ‏ ‏ ‏L ‏Z z2 u2  در v2طرفین را 2 2 جاگذاری L2 با: کتاب درسی135 صفحه5-5-2ادامه تمرین :ضرب می کنیم 1U 1V 2 2 2 2   ( L  k )( u  v ) 0 2 2 U u V v 1  2U 1  2V 2 2 2 2 2 2 2 2 2  u ( L  k )   m  V ( L  k )  m  n U u2 V v2 25 4  کدام یک از معادالت دیفرانسیل: کتاب درسی135 صفحه6-5-2تمرین جزئی زیر را می توان با روش جداسازی به دو یا چند معادله دیفرانسیل معمولی 2  2u تبدیل= کرد؟ 2  u x  y 2 0 :ب 2 x y 2 2  x  u a2 2  y 2 0 :د x t U  XY :ب:حل x2 2u  2u x2Y 2x yX 2 y y   0 x2 y2 x2 y2 x2  2x y  2 y x2  2x y 2 y 2 2 2   0   L  L  m X x2 Y y2 X x2 Y y2  2x  2T U  XT a T 2  X 2 0 x t a2  2x 1  2T 2 2 2   L  L  m X x2 T t2 2 a2  2x 1  2T  0 :د 2 2 X x T t 25 5 تمرین8-5-2صفحه 135کتاب درسی:نخست معادله موج را در مختصات دکارتی دو بعدی xو yجداسازی کنید .سپس غشایی مستطیل شکل به اضالع a و bمطابق شکل زیر در نظر بگیرید که لبه های آن محکم نگه داشته شده باشند و نشان دهید که بسامدهای این غشا ا=ز رابطه زیر به دست می آید ‏y ‏b ‏x ‏a 2 2 ‏c  n ‏ m ‏fnm  ‏ ‏  ‏ ‏ 2  a ‏ b که در آن nو mاعداد صحیح مثبت اند. حل: 25 6 : کتاب درسی135 صفحه8-5-2ادامه تمرین 2  2u  2u  2u  2u  2 2 2  u  c  u  c    2 2 2 2 2  t t y z   x XYZ 2T 2X XZT 2Y XYT 2Z  2  YZT  0 u  XYZT  c    2 2 2 2 t x y z   : داریمu با تقسیم بر  2T 1 2 X 1  2Y 1  2Z    0 2 2 2 2 2 C T t X x Y y Z z 1 1 2X 2   L X x2 , 1  2Y 2   m Y y2 , 1  2Z 2   n Z z2  2T 2 2 2  ( L  m  n ) 0 2 2 C T t 1 25 7 کدام یک از عملگرهای زیر خطی اند؟:15 تست x  d   dx (x)  a dx( (x)x)2 :ب   n d  (x) :د dxn :الف a sin :ج خطی است اگردرشرایط زیر صدق کندLعملگر:حل 1)L(a ) aL 2)L( 1  2 ) L 1  L 2 حال به بررسی تک تک گزینه ها می پردازیم  d    d  a  (x)  a a  (x)  a aL1  dx   dx  L1(a )  x 2 2 L2 (a )  dx(a (x)x) a  x 2  dx( (x)x)  :گزینه الف :گزینه ب aL2 25 8 :15 ادامه تست L3(a ) asina aL3 :گزینه ج :گزینه د dn dn L4 (a )  n (a (x)) a n  (x) aL4 (x) dx dx dn dn dn L4 ( 1  2 )  n ( 1(x)  2 (x))  n  1(x)  n  2 (x) L4 1  L4 2 dx dx dx 25 9   ( ) دردستگاه استوانه ای 2 برای حالت  0 جواب معادله الپالس:16 تست :عبارت است از c   1  c2 :ب   c1 2  c1 ln  c2 :٭الف  c1  c2 :ج :د : شکل کلی عملگر الپالسی به صورت:حل 1    h2h3     h1h3     h1h2                   h1h2h3  q1  h1 q1  q2  h2 q2  q3  h3 q3   2  1              2  1  2  2    2 2  2  z     :برای دستگاه استوانه ای 26 0 1     1   2 2        ( )      2         2   1  2 ( ) 0   0 2    :16 ادامه تست :درمعادله الپالس قرار می دهیم  M 1 M M M   M   M  0       تغییر متغیر:      M  c1 c1  ln( M )   ln   ln c  ln( )  M  1 انتگرال از دوطرف:     c1     c1   c1 ln  c2    26 1 1 d2 تست :17کدام یک ازعبارات زیر نمی تواند پاسخ صحیحی برای معادله دیفرانسیل2 ‏ ‏m ‏ d 2 باشد. ٭الف: ‏ ( )  Aem  Be m ج Bcosm : ب:  ( )  Asinmد: ‏ ( )  Aeim  Be im ) ( )  Asin(m   2 ‏d2 x 2 حل:معادله دیفرانسیل d   m2 0مشابه معادله 2   x 0برای سیستم ‏dt ‏d 2 جرم وفنر می باشد که جواب آن تابعی نوسانی است یعنی به صورت x(t)  Aeit  Be it 26 2 به طور مشابه برای معادله این مساله داریم: ‏d2 2 ‏im ‏ im ‏ ‏m ‏ ‏ 0 ‏ ‏ ( ‏ ) ‏ ‏Ae ‏ ‏Be )(1 2 ‏d ادامه تست :17از رابطه ‏ei cos  i sin استفاده کرده وجواب رابه صورت دیگری می نویسیم. ‏A ‏ ‏ ( )  A[cosm  i sinm ]  B[cosm  i sinm ] ( A B) cosm ‏ B ) i( A B) sinm  Acosm  Bsinm (2 همچنین بادرنظ ر گرفتن B  Acos , A  Asinکه مقداری ثابت است می توان شکل ‏ دیگری ازجواب را به دست آورد. ‏ ( )  Acosm  Bsinm  A[sin ‏  cos ‏m ‏ cos ‏ sin ‏m ] ) sin(m  ) ( )  Asin(m   ) (3 هرسه شکل ()1و()2و()3می تواند جواب معادله دیفرانسیل باشند وتنها گزینه الف نمی تواند پاسخ صحیحی باشد چون تابع نوسانی نیست،گزینه الف پاسخ معادله دیفرانسیل زیر است: 26 3 2 ‏d 2 ‏m ‏ m ‏ ‏m ‏ ‏ 0 ‏ ‏ ( ‏ ) ‏ ‏Ae ‏ ‏Be ‏d 2 فصل سوم : در اين فصل درمورد تانسورها وکاربرد های آن که در شاخه های مختلف فیزیک چون مکانیک کالسیک،الکترومغناطیس،نسبیت خاص و غیره به کار می روند . -1بردارهای پادوردا وهموردا راتعریف کنید. -2رتبه تانسور رامشخص وبه خصوص مولفه های تانسور پادوردای رتبه دوم وهموردای رتبه دوم تعریف کنید. -3تانسورهای مرتبه صفر،یکم ودوم راتعریف کنید. -4برابری،جمع وتفریق وضرب داخلی وخارجی تانسورها رابنویسید. -5ویژگی تانسورهای متقارن و پادمتقارن را تعریف کنید. -6تانسورهای دکارتی ودیادیک ها راتعریف کنید. 26 4 تانسورها مقدمه و تعریف *در فیزیک گاه با کمیت هایی سروکار داریم کهنه ‏ ‏m , ‏F ‏ ‏m ‏a اسکالرند و نه بردار ،به آنها تانسور می گوییم که در ‏ ‏ ً ‏mij ‏ ,J  ‏E شوند .مثال در می اسکالر و بردار را نیز شامل واقع رابطه ij ها مؤلفه تانسور جرم و تانسور های آن هستند .در رابطه ها مؤلفه های آن می رسانندگی محیط و باشند. ‏xN ,...., x2, x1 ‏i, xi 26 5 نماد نویسی و قراردادها مجموعه *در فضای Nبعدی، ‏i 2 ) (x مؤلفه های مختصات در این فضا می باشند .که در شاخص است نه توان و در صورتی که هم شاخص و هم توان را الزم است به کار ببریم ،عدد توان را xi xمختصات دیگر تابعیاز مختصات *اگر باشد و بالعکس داریم: ‏xi  xi (x1, x2,...., xN ) 1i  N ‏x  x (x1, x2,...., xN ) 1  N است از: *و مشتق این دو رابطه عبارت ‏i ‏x ‏ ‏ ‏dxi  ‏d ‏x ‏ 1i N ‏ 1 x ‏N ‏x ‏ ‏i 1 N ‏dx  ‏d ‏x ‏i ‏i 1 x ‏N 26 6 *قرارداد جمع اینشتین :اگر شاخصی (به استثنای )N در جمله ای تکرار شود ،عمل جمع روی آن شاخص از قرارداد جمع *روابط قبلی با استفاده از ‏i ‏x ‏i ‏ ‏ ‏dx  ‏d ‏x اینشتین: ‏ 1 ‏ ‏i ‏ ‏N ‏ 1 N 26 7 ‏x ‏x ‏i ‏ ‏d ‏x ‏xi ‏dx *شاخص آزاد :در صورتی که در جمله ای ‏i ‏x شاخصی iفقط یک بار ظاهر شود ،آن شاخص ‏i ‏dx ‏ ‏j ‏ ij صحیحی بین 1تا Nدارد و به آن معین مقدار ‏j  ‏dx ‏i ‏ij ‏ j 1 شاخص آزاد گوییم. هایi  ‏j ‏ مختصات 0از *از آن جا که مؤلفه یکدیگر مستقل اند ،در نتیجه: دلتای که کرونکر می باشد و بردارهای پادوردا و هموردا *اگر Ai N ‏xi توابعی از Nمختصه کمیت ‏ ‏ ‏x باشند ،در صورتی آنها را مؤلفه های یک بردار ‏ ‏ ‏A پادوردا می گویند که اگر در دستگاه مختصات گیری وxi مؤلفه دارای دیگری چون ‏i اندازه  ‏ ‏A  ‏A ‏x باشند در رابطه زیرصدق کنند: های ‏Ai ‏Ai 26 8 ‏xi ‏x ‏xi ‏A  ‏xi ‏x ‏ مختصه *اگر Nکمیت توابعی از x N ‏ ‏Ai  ‏A ‏i باشند ،در صورتی آنها را مؤلفه x های یک بردار ‏i ‏ ‏x استفاده از هموردا می نامند که با تبدیل  ‏A ‏ ‏Ai ‏x در رابطه مقابل صدق به مختصات *مؤلفه های بردار پادوردا با شاخص باال و مؤلفه های بردار هموردا را با شاخص پایین نشان می دهیم. *سرعت و شتاب بردارهای پادوردا و گرادیان (شیب) میدان نرده ای یک بردار همورداست. تانسورهای رتبه دوم ‏ ‏ تانسور های مؤلفه *مجموعه توابع را ‏ ‏ ‏ ‏x ‏ ‏x ‏ij داشته A اگر  ‏A گویند xi پادوردای رتبه دوم می x j ‏ ‏A باشیم: ‏Aij 26 9 دستگاه تانسورxiدر که مؤلفه هایx j ‏  ‏A پریم دار هستندAij . ‏ ‏ ‏x x را مؤلفه های تانسور *مجموعه توابع را مؤلفه های مرکب رتبه *مجموعهAiتوابع ‏j دوم (تانسور پادوردای رتبه یکم و تانسور ‏ ‏j ‏ ‏ ‏x ‏ ‏x زیر هموردای رتبه یکم) iگوییم اگر در رابطه  ‏ ‏A ‏ ‏Aj ‏ ‏i ‏ ‏x x صدق کند: *تانسور رتبه یکم ،همان بردار است که در حالت کلی N ،مؤلفه دارد. ‏i i .....i ‏p q ‏A ‏N صفرم ،تنها یک مؤلفه دارد که به رتبه *تانسور ‏j j .... j آن تانسور ناوردا ،یا نردار می گوییم. تعریف کلی را تابع *مجموعه مؤلفه های یک تانسور پادوردای رتبه pو ‏p ‏q 27 0 12 1 2 ادامه: ‏jq ‏j1 ‏p ‏x x x x i1i2....ip ‏ i1 ... ip 1 ...  q Aj1 j2.... jq ‏x x x x ‏1 ‏1 2..... p ‏1 2.... q ‏A که در) r (1s q) s (1r  p و آن شاخص های آزاد  r هستند sو مقادیری ‏p q میNگیرند چون هر شاخص بین 1تا Nرا می تواند Nمقدار داشته باشد بنابراین و مؤلفه خواهد داشت. تانسور 27 1 جبر تانسوری برابری تانسور و تانسور صفر ‏i i .....i ‏i i ..... i ‏B ‏A j j .... jو *دو تانسور j j .... j در صورتی برابرند اگر و فقط اگر رتبه های پادوردا و هموردایشان یکسان باشند و هر .....i مؤلفه i i ..... i متناظر مؤلفه یکی برابر با دیگریAij ij ‏ ‏B .... j ‏j j .... j باشد ،یعنی: ‏p ‏q 1 2 1 2 ‏p 12 ‏q 1 2 ‏p ‏q 1 2 1 2 ‏p ‏q 12 1 2 ‏Nr 27 2 تانسوری با رتبه *اگر تمامی مؤلفه های کل rمتحد با صفر باشد ،آن تانسور را تانسور صفر می نامند. *دو تانسور هم نوع :اگر دو تانسور رتبه جمع و تفریق تانسورها: *دو تانسور را در صورتی می توان جمع یا تفریق کرد که هم نوع باشند حاصل ،تانسوری با رتبه های یکسان با تانسورهای اصلی است و مؤلفه های آن برابر حاصل جمع و یا حاصل است: تانسور متناظرi iدو مؤلفه های ‏i .....i تفریق i i ..... i ‏Cij ij ..... ‏ ‏A ‏ ‏B .... j ‏j j .... j ‏j j .... j تانسورها: *جمع ‏p ‏q 1 2 1 2 ‏p ‏q 12 1 2 ‏p ‏q 12 1 2 ‏ip ‏i i .....i p ‏i i ..... i p ‏Dij ij ..... ‏ ‏A ‏ ‏B تانسورها: *تفاضل .... jq ‏j j .... jq ‏j j .... ‏jq 27 3 1 2 12 12 1 2 1 2 1 2 ضرب برداری تانسورها *اگر هر مؤلفه تانسور اول را در هر مؤلفه تانسور دیگری ضرب کنیم ،حاصل تانسوری است که رتبه آن برابر با جمع رتبه های دو ضرب تانسور اصلی می باشد .این pعمل ijرا ‏ijp ‏Ckq  A برداری دو تانسور می گویندk Bq . مثال: ‏Cqij ‏Bqk , Akij ضرب نرده ای تانسورها را ضرب نرده ای دو *تانسور گویند هر گاه: تانسور ‏Cqij  Akij Bqk 27 4 تانسورهای متقارن و پادمتقارن *تانسور متقارن پادوردای رتبه دوم: ‏ji ‏Aij  A تانسور متقارن هموردای رتبه دوم: ‏Aij  Aji *تانسور پادمتقارن پادوردای رتبه دوم: ‏Aij  Aji تانسور پادمتقارن هموردای رتبه دوم: ‏Aij  Aji *تقارن یک تانسور ،ویژگی ذاتی آن است و مستقل از گزینش دستگاه مختصات است. 27 5 تانسورهای دکارتی و کاربردها *اگر دستگاه مختصات دکارتی راستگردی را حول نقطه Oو محوری دلخواه بچرخانیم استxi aij x: ‏j رابطه تبدیل به صورت زیر ‏aij 2 2 می ai2 ‏a باشندaiو به هادی ها ،کسینوس های * ‏i 1 صورت زیر Kبا هم ارتباط دارند 3 *دو رابطه مهم: 27 6 2 1 ‏aij akj  ik ‏aij aik  jk تانسورهای دکارتی 3r اقلیدسی *تانسورهای دکارتی رتبه rدر فضای مؤلفه است که سه بعدی مجموعه ای از دکارتی، تمایالت طبق ها این مؤلفه مختصاتA1 2.... ‏ ‏a ‏a ... ‏a ‏A ‏r ‏1i1  2i2 ‏ rir i1i2 ...ir تبدیل می یابند: 27 7 *تانسور همسانگرد :در صورتی که تانسور دکارتی ،مؤلفه هایش تحت چرخش محورها بدون تغییر بماند ،تانسورها همسانگرد است. هر نردار (اسکالر) یک تانسور همسانگرد رتبه صفرم است .زیرا مقدارش در تمام دستگاه های مختلف یکسان است ،اما هیچ تانسور کاربردها الف:تنش ،کرنش و قانون هوک *در تنش ها و کرنش های کوچک ،بنابر قانون هوکXij ، تنش با کرنش متناسبeijاست .اگر مؤلفه های تانسور دکارتی تنش و ‏Xij  کرنشCijkl ‏ekl باشند مؤلفه های تانسور دکارتی داریم34 81 Cijkl : ‏eij 27 8 که Xij ضرایب مدول eij راSijkl اند)X ‏kl های مؤلفه ( ‏Sijkl کشسانی می نامند. *وارون رابطه باال ،که رابطه ای خطی بین ) و مؤلفه های مؤلفه های کرنش ( *تانسورهای Sijkl ‏Cijkl و دیگرند: ‏eij ،وارون یک ‏Cijkl Sijkl  im jn ‏Xij *تانسورهای کرنش ( متقارن اند: ‏eij) eji ,(X ‏X) ji تنش وij  ‏Pi  ب :پیزوالکتریک و پذیررفتاری دی  ij Ej الکتریک ‏ ‏ ‏X ‏ij ‏P ‏E الکتریک: پذیررفتاری دی *رابطه 27 9 قطبش میدان الکتریکی و که تانسور پذیررفتاری دی الکتریکی و الکتریک محیط می باشد. مکانیکیPi  *در بعضی بلورها به علت تنش dijk X jk dijk را تانسور ضرایب کرنش که پیزوالکتریک می نامند. *قطبش کل یک بلور پیزوالکتریکPi dijk X: ‏jk   ij Ej ج :تانسورهای گشتاور لختی ‏Iij ‏Iij L *i دورانی ،لختی دورانی حرکت درi  Iij تانسور رتبه 2است .برای نمونه که گشتاور لختی جسم است. 28 0 یک تانسور دیادیک ها ‏  ‏B, A بردار *اگر بین دو ‏ ‏B هیچAعملگری ،نتیجه را دیادیک می نباشد ،یعنی گویند. ˆ ˆˆi مهم j  *ترتیب کمیت مرکب در دیادیک ها ˆji است، به طوری که: *اگر ضرب دیادیکی در هر بردار دلخواهی ˆ ˆ دیادیک تعویض پذیر باشد ،آن متقارنlˆ  ˆ iˆiˆ ˆj بایدj ‏k ‏k باشد. ‏uxx uyy uzz 0 *دیادیک یکه: 28 1 ‏uxy  uyx , uxz  uzx , uyz uzy *اگر Uیک دیادیک پادمتقارن باشد آن گاه: *اگر Uیک دیادیک پادمتقارن و Vیک بردار ‏ ‏ باشد آن گاه: ‏V.U  U.V ‏ ‏ ‏V.U.V 0 28 2 تانسورها در نسبیت خاص *تبدیالت لورنتس مکان-زمان: ‏ 1,2,3,4 4 ‏x   v xv ‏v1 *ناوردایی طول بردار: 4 4 2 ‏ ‏x ‏ ‏x ‏   v 2 ‏v1 *تبدیل لورنتس یک تبدیل متعامد در فضای مینکوفسکی است: ‏ v ‏ 1 4 ‏ v  ‏ ‏ ‏1 28 3 *بردار ( Aدلخواه) در فضای مینکوفسکی دارای چهار مؤلفه است و این بردار چهار  : مؤلفه های بردار *تبدیل لورنتس برای A 4 ‏A   v Av ,  1,2,3,4 ‏v1 ‏ *تبدیل وارون A : برای چاربردار 4 ‏Av   v A , v 1,2,3,4 ‏ 1 ‏ ‏چهار فضای *عملگر شیب (گرادیان) در □(مانند در فضای سه بعدی) بعدی: 4 ‏ ‏ ‏  v )  grad   (,  ‏x ‏xv ‏x4 ‏v1 □ 28 4 *واگرایی چهار بعدی چاربردار: □ ‏  ‏A4 ‏divA  .A .A  ‏x4 ‏ ‏ *واگرایی چهاربعدی یک چاربردار ،کمیتی نرده ای در فضای مینکوفسکی است .که به آن ) ( نردار لورنتسی می گویند. *عملگر داالمبری :مانسته الپالسی در فضای مینکوفسکی ،در فضای سه بعدی 2 ‏  1  ‏ ‏ ( ‏ ‏ ) عملگر.   ‏را  داالمبری بعدی چهار الپالسی عملگر ‏x ‏c t ‏ می نامند. 2 2 2 28 5 □ □ ‏ 2 2 2 2 □ 4 ‏1 ‏ ] (J , ic ) [J 1, J 2, J 3, ic ‏J  ‏  پتانسیلA (: ) A, i که ‏A پتانسیل نرده ای *چاربردار پتانسیل برداری و آن است. *شرط پیمانه ای لورنتس در فضای ‏A ‏ ‏0 چهاربعدی: ‏x ‏c 4 ‏Fv 28 6 □ iE1  ‏ B2 ‏ ‏c  ‏ ‏iE 2 میدان( *تانسور ‏ شدت B1 ‏ ‏c  ‏iE3  0 ‏ ‏c  ‏ ‏iE3 0  ‏c ‏ ‏ 0 ‏ B1 ‏iE2 ‏c ) .A ‏ 1 ‏v ‏B3 ‏ در ‏ 0 ‏ ‏ ‏ ‏  B3: ‏ ‏ B 2 ‏ ‏ iE 1 ‏ ‏ c ‏Fv :*شکل هموردای معادالت ماکسول        1 E (.E  , B  2  0 J )  0 c t 4  v 1 Fv xv  0 J  ,  1,2,3,4      Fv F Fv B (.B 0, E     0 t x x xv ,  v  1,2,3,4 28 7 فصل چهارم : در اين فصل راجع به دترمینان ها ،ماتریس ها،وکاربردهای آنها درفیزیک می پردازیم. -1دترمینان راتعریف کنیدوبسط آن رابر حسب نماد لوی –چی ویتا والپالس بنویسید. -2ویژگی های عمومی ومشتق دترمینان رابنویسید. -3دستگاه معادالت خطی باضرایب ثابت رابه روش کرامروحذف گاوس وحذف گاوس-جوردن حل کنید. -4ماتریس راتعریف کنید وجبرماتریسی وماتریس های خاص را دانسته وحل کنید. -5ماتریس را بتوانید وارون،قطری،یاترانهاد سازیدوردیک ماتریس رامحاسبه کنید. -6ماتریس های متعامد،هرمیتی،یکانی وبهنجاروزاویه های اویلر راتعریف کنید. -7ویژه بردارها وویژه مقدارهای یک ماتریس را به دست آورید وبه کمک آن یک ماتریس 28 8 راقطری کنید. دترمینان و ماتریس ها دترمینان ها *دترمینان آرایه ای مربعی از اعداد یا توابع است به صورت: . . . ‏ . . . . . . ‏ . . . ‏b1 c1 ‏b2 c2 . . . ‏bn cn ‏ a1 ‏ ‏a2 ‏ ‏D ‏. . ‏ ‏ an *مرتبه دترمینان :تعداد سطر یا ستون های یک دترمینان را مرتبه آن دترمینان گویند. *مقدار دترمینان Dبر حسب عناصر تشکیل دهنده آن: 28 9 ‏D   ( ijk.... )aibj ck ‏i , j ,k c1  *مقدار دترمینان مرتبه سوم c2  ‏c3  ‏b1 ‏b2 ‏b3 ‏ a1 : D  a2 ‏ a3 3 3 3 ‏D     ijkaibj ck ‏i 1 j 1 k1 که در آن  ijkنماد لوی – چی ویتا می باشد به این صورت که برای جایگشت های زوج برابر +1و برای جایگشت های فرد برابر -1و اگر یکی از شاخص ها تکرار شود ،برابر صفر می باشد. *در نهایت Dبه صورت زیر خواهد بود: )D a1(b2c3  b3c2 )  a2 (b1c3  b3c1)  a3(b1c2  b2c1 29 0 مثال 1-4صفحه 199کتاب درسی :مقدار دترمینان مرتبه سوم زیر را به دست آورید. ‏b1 ‏b2 ‏b3 ‏c1  ‏c2  ‏c3  ‏ a1 ‏D  a2 ‏ a3 حل) با استفاده از تعریف ( )1-4داریم 3 3 3 ‏D     ijkaibj ck از بسط اولین جمع داریم ‏i 1 j 1 k1 3 3 )D   ( ij1aibj c1   ij 2aibj c2   ij3aibj c3 ‏i 1 j 1 29 1 ادامه مثال 1-4صفحه 199کتاب درسی: همPین طور اگر دومین جمع را بسط دهیم به نتیجه زیر می رسیم 3 )D  [( i11aib1c1   i12aib1c2   i13aib1c3 ‏i 1 ) ( i 21aib2c1   i 22aib2c2   i 23aib2c3 ]) ( i31aib3c1   i32aib3c2   i33aib3c3 اما پیش از بسط آخرین جمع ،عبارت های داPخل کروشه رابطه باال را با استفاده از رابطه ‏ i11  i 22  i33 0 های ( )3-4ساده می کنیم .می دانیم زیرا یک شاخص تکرار شده است .پس نتیجه می گیریم 3 )D  ( i12aib1c2   i13aib1c3 ‏i 1 )  ( i 21aib2c1   i 23aib2c3)  ( i31aib3c1   i32aib3c2 29 2 :کتاب درسی199 صفحه1-4 ادامه مثال اکنون آخرین جمع را بسط می دهیم D ( 112a1b1c2   113a1b1c3)  ( 121a1b2c1   123a1b2c3)  ( 131a1b3c1   132a1b3c2 )  ( 212a2b1c2   213a2b1c3)  ( 221a2b2c1   223a2b2c3)  ( 231a2b3c1   232a2b3c2 )  ( 312a3b1c2   313a3b1c3)  ( 321a3b2c1   323a3b2c3)  ( 331a3b3c1   332a3b3c2 ) D a1b2c3  ) استفاده می کنیم تا به رابطه زیر برسیم3-4( بار دیگر از رابطه a1b3c2  a2b3c1  a2b1c3  a3b1c2  a3b2c1 )4-4( 29 3 مثال 2-4صفحه 200کتاب درسی :مقدار دترمینان زیر را محاسبه کنید. 0 1 2 ‏B3  4 8 5 3 1 حل) از مقایسه آن با ( )1-4داریم ‏a1 0, a2 3 , a3 1 ‏b1 1, b2  4, b3 8 ‏c1 1, c2 3 , c3 5 اکنون با استفاده از رابطه ( )4-4می توان نوشت 29 4 ‏B a1b2c3  a1b3c2  a2b3c1  a2b1c3  a3b1c2  a3b2c1 )B 0 0 (3)(8)(1)  (3)(1)(5)  (1)(1)(3)  (1)( 4)(1 ‏0 24 15 3 4 16 بسط الپالس دترمینان *کهاد :دترمینانی را که از حذف هر سطر و یا هر ستون یک دترمینان به دست می آید را کهاد می نامند و با Mijنشان می دهند شاخص های i و jمربوط به عنصر حذف شده واقع در سطر iام و ستون jام است. *همسازه :برای حذف عنصر ijام از یک دترمینان برای تشکیل کهاد، همسازه متناظر با آن عبارت است از : ‏C ( 1)i j M ‏ij ‏ij *بسط الپالس :روشی برای محاسبه مقدار دترمینان است که نمونه آن را برای یک دترمینان مرتبه 3خواهیم دید .داریم: ‏ a1 b1 c1  ، D  a b c هنگامی که دترمینان را حول ستون اول بسط ‏ 2 2 2 ‏ a3 b3 c3  الپالس دهیم،داریم: 29 5 3 3 ‏i 1 ‏i 1 ‏D  (  1)i1ai Mi1  aiCi1 ‏c1 ‏c2 ‏c1 ‏b1 ‏ a3 ‏c3 ‏b2 ‏c2 ‏b1 ‏ a2 ‏c3 ‏b3 ‏b2 ‏a1 ‏b3 که بسط حول هر سطر و یا ستون دلخواهی می تواند صورت پذیرد و این معادالت برای هر دترمینان مرتبه nام نیز قابل طرح می باشد. 29 6 b1 مثال 3-4صفحه 201کتاب درسی :اگر b2 ‏a1 A  a2باشد ،بسط الپالس این دترمینان را نسبت به سطر اول و بار دیگر نسبت به ستون دوم به دست آورید و نشان دهید حاصل هر دو یکی است که برابر با بسط لوی – چPی ویتا است. حل) نخست اPین دترمینان را نسبت به سطر اول آن بسط می دهیم 11 ‏A ( 1) a1b2  ( 1)1 2b1a2 a1b2  b1a2 اما اPز بسط آن نسبت به ستون دوم داریم ‏A ( 1)21b1a2  ( 1)2 2b2a1 a1b2  b1a2 مالحظه می کنیم که حاصل هر دو بسط یکی است .اما برای بسط لوی – چی ویتای این دترمینان از رابطه ( )2-4استفاده می کنیم 2 2 2 ] A    ij aibj  [ i1aib1   i 2aib2 ‏i 1 ‏i 1 j 1 ] [ 11a1b1   12a1b2 ][ 21a2b1   22a2b2 ولی می دانیم  21  1, 12 1, 11  22 0است ،پس نتیجه می گیریم 29 7 ‏A a1b2  b1a2 بنابراین مالحظه می شود که مقدار دترمینان Aدر هر صورت یکی است. ویژگی های عمومی دترمینان *ویژگی پادمتقارن :اگر جای هر دو سطر و یا هر دو ستون دترمینانی را با هم عوض کنیم ،مقدار دترمینان در -1ضرب می شود. *ویژگی ترانهش :اگر جای عناصر یک سطر را با عناصر هم مرتبه یک ستون دترمینان عوض کنیم مقدار دترمینان تغییری نخواهد کرد. *اگر دترمینانی دو سطر یا دو ستون مساوی داشته باشد ،مقدارش برابر صفر است. *اگر تمام عناصر یک سطر یا یک ستون دترمینان را در عددی (مقدار ثابت) ضرب کنیم ،دترمینان در آن مقدار ضرب می شود. *اگر مضربی از یک ستون (یا سطر) را با ستون دیگر (یا سطری دیگر) دترمینانی جمع کنیم،مقدار دترمینان تغییر نمی کند. *اگر دو سطر یا دو ستون دترمینانی با هم متناسب باشند ،مقدار آن برابر صفر است. 29 8 مثال 6-4صفحه 204کتاب درسی :ثابت کنید 1 1 )b c (a  b)(b c)(c  a 1 ‏a ‏a2 b2 c2 حل) می دانیم مقدار دترمینان باال یک چند جمله ای مرتبه سوم بر حسبaوbوc است ،که اگر ، b=c ،a=bو یا c=aباشد ،برابر صفر خواهد بود .بنابراین از قضیه ای در جبر استفاده می کنیم و نتیجه می گیریم مقدار این دترمینان برابر است با ) (a  b)(b c)(c  a که در آن یک عدد است .با استفاده از تعریف ( )2-4می توان نتیجه گرفت که ضریب جمله bc2برابر یک است ،پس  1خPواهد بود و مسئله ثابت می شود. 29 9 مشتق دترمینان *اگر دترمینان Dاز مرتبه nام و عناصر آن توابع مشتق پذیری نسبت ‏d به xباشند ،داریم: ‏D D  D  ...  D )( n )( 2 )(1 ‏dx که منظور از ) D( jاین است که از تمامی عناصر سطر jام دترمینان نسبت به xمشتق بگیریم. *مشتق یک دترمینان مرتبه سوم نوعی: ‏f g h f  g h f g h f g h ‏d ‏p q r  p q r  p q r  p q r ‏dx ‏u v w u v w u v w u v w 30 0 مثال 7-4صفحه 205کتاب درسی:از دترمینان زیر نسبت به مشتق بگیرید و آن را ساده کنید. ‏x 1 3 2x  1 x3 ‏x ‏ 2 ‏x2 ‏D 1 0 حPل) از رابطه ( )10-4داریم 2x 1 0 x2 x  1 3 x2 x  1 3 ‏d ‏D  1 2x  1 x3  0 2 3x2  1 2x  1 x3  6x5  12x2  4x  5 ‏dx 0 ‏x 2 0 x 2 0 1 1 30 1 کاربرد دترمینان :حل دستگاه معادالت خطی با ضرایب ثابت *معادالت خطی غیرهمگن مقابل را در نظر بگیرید: ‏a11x1  a12x2  ...  a1nxn d1 ‏a21x1  a22x2  ...  a2nxn d2 ‏an1x1  an2x2  ...  annxn dn که diها و aijها ضرایب ثابتند. *دترمینان ضرایب دستگاه باال عبارت است از: 30 2 ‏a12 .... a1n  ‏ ‏a22 .... a2n  ‏ ‏  ‏ ‏an2 ‏ann  ‏ a11 ‏ ‏a21 ‏ ‏D ‏  ‏ ‏ an1 *دستور گرامر برای یافتن پاسخ دستگاه معادالت: ‏Dn ‏D1 ‏D2 ‏x1  , x2  ,..., xn  ‏D ‏D ‏D که در آن Dkدترمینانی است که از تعویض ستون Kام دترمینان با شاملdn,..., d به دست می آید. ستون2 , d1 *برای دستگاه معادالت همگPن (که در آن diها صفرند ).بایستی دترمینان ضرایب صفر باشدD=0 : *دستور کرامر تنها برای دترمینان های کوچک مفید است و برای حل دستگاه های معادالت با ضرایب ثابت با دترمینان ضرایب مرتبه باال از روش حذف گاوس و روش گاوس – جردن استفاده می کنیم. 30 3 مثال 9-4صفحه 207کتاب درسی :دستگاه معادالت زیر را حل کنید. 2x1  x2  5x3  x4 5 ‏x1  x2  3x3  4x4  1 3x1  6x2  2x3  x4 8 2x1  2x2  2x3  3x4 2 حل) نخست با استفاده از ( )12-4مقدار Dرا حساب می کنیم. ‏ 120 5 1 ‏ 3  4 1 3 6  2 ‏ 3 و همین طور ‏ 240 30 4 2 5 1 ‏ 3  4 1 ‏ 3 2 1 1 1 2 2 5 1 ‏1 1 6  2 8 2 2 2 ‏D ‏D1  ادامه مثال 9-4صفحه 207کتاب درسی: ‏ 96 2 1 5 5 1 1 3 1 8 3 6  2 2 2 2 2 ‏0 , D4  2 1 5 1 1 1 1  4 1 6 3 6 ‏3 2 2 2 اکنون با استفاده از ( )13-4خواهیم داشت 30 5 ‏ 24 , D3  2 5 5 1 1 1 3  4 1 ‏ 2 8 3 ‏3 2 2 2 ‏D1 ‏x1  2 ‏D ‏D2 1 ‏x2   ‏D 5 ‏D3 ‏x3  0 ‏D ‏D4 4 ‏x4   ‏D 5 ‏D2  روش حذف گاوس *دستورالعمل روش حذف گاوس در حل دستگاه معادالت: *گام اول :ضریب اولین مجهول باید در تمام معادالت به یک تبدیل شود. *گام دوم :اولین معادله را به کلیه معادالتی که شامل این مجهول است کم یا اضافه می کنیم( .تا این مجهول در تمامی معادالت دیگر حذف شود). *گام سوم :تکرار گام اول برای دومین مجهول در معادله دوم و سپس انجام گام دوم (همانند مجهول اول) *گام چهارم :گام سوم را تا آخرین مجهول تکرار کرده و پس از به دست آوردن آخرین مجهول ،گام به گام به عقب برگشته ،مجهول های دیگر را به دست می آوریم. 30 6 مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی :در شبکه الکتریکی زیر جریانهای i3,i2, i1را پیدا کنید. 10 20 ‏q 80 ‏V 90 ‏V 10 ‏i2 ‏i3 15 ‏p ‏i1 حل) از قانون کیر شهوف و قانون اهم استفاده می کنیم و معادله های زیر را برای گره (pیا )qو حلقه های چپ و راست مدار می نویسیم. 30 7 ادامه مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی: ‏i1  i2  i3 0 10i2  25i3 90 گره pیا ()q حلقه راست 20i1  10i2 80 حلقه چپ فرض می کنیم x1 i1و x2 i2و x3 i3این مقدارها را در معادله های قبلی می نشانیم تا نتایج زیر به دست آیند. ‏x1  x2  x3 0 10x2  25x3 90 20x1  10x2 80 گام اول را برمی داریم ‏x1  x2  x3 0 30 8 10x2  25x3 90 ‏x1  0.5x2 4 ادامه مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی :اکنون نوبت گام دوم است ‏x1  x2  x3 0 10x2  25x3 90 1.5x2  x3 4 معادله اول را حPفظ و ضریب دومین مجهول را در معادله دوم به بعد تبدیل به یک می کنیم و گام سوم را برمی داریم ‏x1  x2  x3 0 ‏x2  2.5x3 9 2 8 ‏x3  3 3 از حذف x2در دو معادله آخر داریم 30 9 ‏x2  ‏x1  x2  x3 0 ‏x2  2.5x3 9 9.5 19 ‏ ‏x3  3 3 ادامه مثال 10-4صفحه 209کتاب درسی: بنابراین از معادلهx3 به دست می آید آخر با نشاندن x3 مقدار 2 دومینxمعادله در سرانجام با نشاندنx3 x2 مقدار دست می آید و 19 ‏x3  ‏2 9.5 محاسبه می شود ‏x2 9 5 4 در اولینx1 معادله مقدار به ‏x1 4 2 2 ‏x1 i1 2A, x2 i2 4A, x3 i3 2A پس نتیجه اینکه توجه داریم که این پاسخها یگانه هستند. 31 0 روش حذف گاوس -جردن *گام اول و دوم ،مانند روش حذف گاوس است .در گام های بعدی ،هر معادله جدید در حذف یک متغیر از تمام معادله ها به کار می رود نه فقط در معادله بعدی. 31 1 مثال 11-4صفحه 211کتاب درسی(سوال2تشریحی نیمسال :)85-84 مثال10-4را به روش گاؤس – جردن حل کنید. ‏x1  x2  x3 0 حل) معادالت قبلی را می نویسیم 10x2  25x3 90 20x1  10x2 80 پسx1  استx2، گاؤس x3 گام اول و دوم این روش مانند روش حذف 0 داریم 10x2  25x3 90 ‏x2 اکنون ضریب می کنیم 31 2 1.5x2  x3 4 ‏x1  x2  x3 0 را در معادله های دوم و سوم به یک تبدیل ‏x2  2.5x3 9 2 8 ‏x3  3 3 ‏x2  ادامه مثال 11-4صفحه 211کتاب درسی: پس از x2 ،معادله های اول و سوم به قرار زیراند حذف ‏x1  3.5x3 9 ‏x2  2.5x3 9 در این مرحله x3 ضریب 9.5 19 ‏x3  3 3 را در معادله سوم تبدیل به یک می کنیم ‏ ‏x1  3.5x3 9 ‏x2  2.5x3 9 ‏x3 و از حذف در دو معادله دیگر داریم ‏x3 2 31 3 ‏x2 4 ‏x3 2 ‏x1 2 تمرین 1-2-4صفحه 212کتاب درسی:نشان دهید اگKر دترمینانی دو سطر یا دو ستون مساوی داشته باشد مقدارش برابر صفر است. حل: ‏f ‏g 0 ‏h 31 4 ‏a ‏b ‏c ‏f 0 ‏g 0 ‏h 0 ‏a ‏b ‏c ‏f ‏a a ‏h  b b ‏g ‏c c ‏a ‏b ‏c ‏a ‏b ‏c تمرین 2-2-4صفحه 212کتاب درسی :مقدار دترمینان های زیر را به روش بسط لوی – چی ویتا محاسبه کنید. 36 11 87 الف91  17: 0 45 0 0 حل:دربسط لوی-چی ویتا داریم: ‏c1 ‏c2 ‏c3 ‏b1 ‏b2 ‏b3 3 ‏a1 ‏a2 ‏a3 3 3 ‏D   ijkaibj ck a1b2c3  a1b3c2  a2b3c1  a2b1c3  a3b1c2  a3b2c1 ‏i 1 j 1 k1 بنابراین: 31 5 ‏D (119145)  0 0 0 0 0 45045 تمرین 3-2-4صفحه 213کتاب درسی :مقدار دترمینان های زیر را به روش بسط الپالس محاسبه کنید. الف: 0 0 1 0 0 ‏1 0 0 1 ‏1 0 0 0 0 ‏sin 0 0جcos : 0 1 0 0 حل:الف:بسط براساس سطر اول 4 ‏i 1 ‏ai Mi1  aiCi1 ‏i 1 ‏cos ‏ sin 0 4 )D  ( 1 ‏i 1 0 1 0 0 ‏1 0 0 0 ‏1 0 0 0 1 1 2 11 )( 1) (1) 0 0 1 ( 1)( 1) ( 1 ‏1 0 0 0 1 ‏1 0 0 1 0 31 0 0 1 0 6 :کتاب درسی213 صفحه3-2-4ادامه تمرین بسط براساس ستون سوم:ج 4 4 j 1 j 1 D  ( 1) j 1aj M3 j  a j C3 j cos sin 0 cos sin 33  sin cos 0 ( 1) (1) cos2   sin2  1  sin cos 0 0 1 31 7 تمرین 4-2-4صفحه 213کتاب درسی :بدون بسط دترمینان، مقدار دترمینان های زیر را به دست آورید. 1 a b c ب1 b c  a : 1 c a b حل: 1 a b c  a 1 a 1 1 b c  a  b (a  b c)1 b 1 0 1 a b c ‏j2  j3 1 b c a   ‏ 1 c a  b c 1 c a b 1 c 1 31 8 تمرین 5-2-4صفحه 213کتاب درسی :نشان دهید همسازه هر عنصر دترمینان زیر ،خود عنصری از همین دترمینان است. 2 3 2 ‏ 3 1 3 ‏ 2 3 1 3 2 ‏ 3 ‏ 1 3 2 3 2 3 ‏ 1 2 ‏ حل: 1 4 ‏ 3 ‏ 1 3      D Cij ( 1)i j M ‏ C11 ( 1)2 M11  3 ‏ij 2 1 9 9 9 3 ‏ 3 3 2 2 ‏ 3  ( 2  4)   6   2  D ‏ C12 ( 1)3 M12 ( 1) 3 2 1 31 9 9 9 3 9 3 3  C13 ( 1)4 M13  2 1 کتاب213 صفحه5-2-4ادامه تمرین :درسی :حل 2 4 6 2 3 3 2 2  3 3  (  )    D 9 9 9 3 2 2  3  (  2  4)  6  2  D  C21 ( 1)3 M21  3 2 1 9 9 9 3  3 3 1 2   3 (  1 4)  3 1  D  C22 ( 1)4 M22  3 2 1 9 9 9 3 3 3 1 2   3  ( 2  4)   6   2  D  C23 ( 1)5 M23  3 2 2 9 9 9 3  3 3  32 0 :کتاب درسی213 صفحه5-2-4ادامه تمرین 2 2 :حل   3 ( 4  2)  6  2  D  C31 ( 1)4 M31 ( 1)31 3 1 2 9 9 9 3  3 3  C32 ( 1)5 M32 ( 1)32  C33 ( 1)6 M33 ( 1)31  1 2  3 3 ( 1)(2  4)   6   2  D 2 2 9 9 9 3  3 3  1 2  3 3 (  1 4)  3 1  D 2 1 9 9 9 3 3 3 32 1  ثابت کنید:کتاب درسی214 صفحه6-2-4تمرین a b c c a b (a  b c)(a  wb w2c)(a  w2b wc) b c a .است i 23 we که در آن a b c c a b a3  b3  c3  3abc باتوجه :سمت چپ:حل :شود b می c نتیجه a به تعریف داده شده عبارت زیر 2 2 1 3 i 23 we cos  i sin  i 3 3 2 2 1 3 2 1 1 2 w (  i )  (1 2i 3  3)  (i 3  1) 2 2 4 2 32 2 :سمت راست:کتاب درسی214 صفحه6-2-4ادامه تمرین i 3 1 i 3 1 i 3 1 i 3 1 (a  b  c)(a  b c)(a  b c) 2 2 2 2  4a2  (i 3  1)2ab 2ac(i 3  1)    1 2  (a  b  c)  2ab(i 3  1)  4b  2bc(i 3  1)  4  2   2 ac ( i 3  1 )  2 bc ( i 3  1 )  4 c   1  (a  b  c)(4a2  4b2  4c2  2ab( i 3  1 i 3  1) 4  2ac(i 3  1 i 3  1)  2bc(i 3  1 i 3  1)) 1  (a  b c)(4a2  4b2  4c2  4ab 4ac 4bc) 4 (a  b c)(a2  b2  c2  ab ac bc) a3  b3  c3  3abc 32 3  مشتق دترمینان های زیر:کتاب درسی214 صفحه8-2-4تمرین x 1 2. به دست آورده و ساده کنیدXرا نسبت به :ب 2 3 x 2x  1 x 0 3x  2 x2  1 :حل x 1 2 1 0 0 x 1 2 x 1 2 d 2 x 2x  1 x3  x2 2x  1 x3  2x 2 3x2  x2 2x  1 x3  dx 0 3x  2 x2  1 0 3x  2 x2  1 0 3x  2 x2  1 0 3 2x (2x  1)(x2  1)  x3(3x  2)  x(2x2  2 (9x3  6x2 ))  2x(x2  1 (6x  4)  x(4x2  2x  3x3)  x2 (2x  6) 2x3  x2  2x  1 3x3  2x3  2x3  2x  9x4  6x3  2x3  2x  12x2  8x  4x3  2x2  3x4  2x3  6x2   12x4  9x3  21x2  6x  1 32 4 ادله های زیرK دستگاه مع:تاب درسیKک214 صفحه9-2-4تمرین  5را حل  x  y  2z.کنید    x  3z 0  2x  y 1 :الف  :حل 1 1 2 D  1 2 0 1 3  (3 2)  2( 3)  11 0  5 1 2 D  12 12 D1  0 0 3 3( 5 1)  12 x  1   D  11 11 1 1 0 1  5 2 D  35 35 D2   1 0 3  (3 2)  2( 15)  35 y  2   D  11 11 2 1 0 1 D3   1 2 1 0 1  5 D  4 4 32 0  ( 1 5))  4  z  3   D  11 11 5 1 ماتریس ها *ماتریس آرایه ای مربعی یا مستطیلی از اعداد یا توابع است: *در حالت کلی ماتریس ( Aبا mسطر و nستون) به ستون عنصر سطر که را صورت زیر نوشت ‏j aام11و a ‏ .... ‏a 12 1n ‏ ‏ ‏kام می نامند. ‏a ‏a .... a )  (a ‏jk ‏ ‏ ‏ ‏amn  2n 32 6 22 ‏ ‏am2 ‏A  21 ‏  ‏ ‏ am1 ‏ann,..., a22, a11 *اگر m=nباشد Aرا ماتریس مربعی می نامند و قطر آن که شامل عناصر *زیر ماتریس :ماتریسی که از حذف چند سطر یا ستون ( یا هر دو) ماتریسی مشخص ایجاد می شود را زیر ماتریس گویندB [bjk ], A [ajk ] . *برابری ماتریس ها :اگر دو ماتریس ‏A B عناصر ajk هم مرتبه باشند و تمامی bjk آنها متناظر برابر باشند ،آن دو ماتریس برابرند: 32 7 c  ‏4 0 ‏ a درسی : :اگر  A  ‏ وB مثال 12-4صفحه 218کتاب ‏ 3  1 ‏ b a d  c و چنانچه A=Bباشد ،مطلوب است محاسبه.d,c,b,a حل) از تعریف ( )14-4داریم ‏d  c 1 d  1 32 8 ‏b a 3 b 7 ‏a 4 c 0 B دو[bjk ], A  ها[ajk: *جمع ماتریس ] ماتریس را تنها در صورتی می توان با هم جمع کرد که هم مرتبه باشند .ماتریس حاصل جمع ،ماتریسی عناصرA  جمعB  C از  عناصرآنajk کهbjk  است با همان مرتبهcjk متناظر دو ماتریس Aو Bحاصل شده اند: در ‏n×m ماتریس *ضرب نرده ای :حاصل ‏A [a jk ]  هر[cA  ضربca ] jk عددی مانند ،cماتریسی است که عناصر آن از ضرب cدر تک تک آنها حاصل شده است: 32 9 *ماتریس صفر:اگر c=0باشد cA=0 ،که آن را ماتریس صفر می گویند و تمام عناصر آن صفر است. *قرینه ماتریس A (1-) :یعنی – Aرا قرینه Aمی نامند.  2.7  1.8   کتاب220 صفحه14-4 مثال A  0اگر0.:درسی 9 است محاسبه مطلوب  9  4.5 10   0A, A, A 9   2.7  1.8    A  0  0.9   9  4.5   ) داریم16-4( حل) از تعریف  3  2   10 A  0 1  9  10  5    0 0   0.A  0 0 0  0 0   33 0 *رابطه های زیر برای ماتریس های هم مرتبه صادق اند: *جا به جاییA + B = B + A: *انجمنیW = U + (V + W) + )U + V( : *عضو خنثیA + O = A : ‏A  ‏A قرینهA + (-A) = O: *عضو * *ضرب ماتریسی :ماتریس C = ABحاصل ضرب A در Bاست اگر تعداد ستون های ماتریس Aبرابر ‏n تعداد سطرهای ماتریس Bباشد. حاصلCij برابرaik ضرب)bkj  (حاصلai1b1j  ‏ai 2b2 j  عنصر ijام ainbnj ‏ ‏C... ماتریس ‏k1 ضرب سطر iام Aدر ستون jام Bاست: 33 1 4 وB  2 0  1  1 3  Aاگر  :درسی تابKک221 صفحه16-4 مثال  2 1 .BAوABمطلوب است محاسبه ) داریم18-4( حل) از تعریف  1 3  4 0  10 3      AB  2 1  2 1  10 1 اما  4 0  1 3  4 12      BA  2 1  2 1  4 7  ABکه BA بنابر این مالحظه می شود 33 2 *خواص ماتریس ها برای عمل ضرب: بهAB  *ضرب ماتریس ها در حالت کلی جاBA جاپذیر نیست: اگر دو ماتریس جا به جاپذیر باشند می توان از نماد کروشه پواسون استفاده کرد: [ A, B]  AB  BA 0 33 3 *انجمنیAB (C) = A (BC): *توزیع پذیریA (B + C) = AB + AC: *AO = OA = O *A (-B) = - (AB) = (-A) B *اگر AB = 0باشد ضرورتی ندارد که A = 0یا B = 0و ‏A B C یا BA = 0باشد. *ضرب تانسوری یا مستقیم :اگر Aماتریس مربعی مرتبه ‏mام و Bماتریس مربعی مرتبه nام باشد ،ضرب تانسوری ‏Cik,C می Aij نشان دادهBkl شودjl ، یک آنها به صورت ماتریس )nm) ×mnاست که عناصر آن از رابطه زیر به :*ضرب تانسوری برای دو ماتریس مرتبه دوم  a11 A   a21 a12   b11  , B  a22   b21  a11B a12B  A B   a21B a22B  a11b11 a11b12 a12b11   a11b21 a11b22 a12b21  a21b11 a21b12 a22b  a b  21 21 a21b22 a22b21 b12   b22  a12b12   a12b22  a22b12   a22b22  *ضرب تانسوری جا به جاپذیر نیست ولی ویژگی .انجمنی دارد 33 4  0  1  1 2  A اگر  :درسی  B  A A B وB  کتاب223 صفحه18-4 مثال 1 0  2 1   . کنیدمحاسبه  را و ، Aنخست B ج) محاسبه می24-4( را با توجه به رابطه )حل  10 1( 1)  10  11 A B   20  2( 1)    21  20  20 2( 1)  0   21 20   1   10 1( 1) 0   11 10    2  1 0 کنیم  2  0 2 0 2 0  1  0 1 0  B A  01   0 2 B  A  11   1( 2)   11 داریم  12  0برای0 طور  1 همین  2    01  1( 2)  11  0 0 2  1   12 01 02 1 2 0 0      11 0( 2) 01    2 1 0 0  02 33 5 nn ماتریس مرتبه A اگر:کتاب درسی224 صفحه5-3-4تمرین نشان دهید،باشد det( A) ( 1)n detA :حل det( A)   a11  a12 ....  a1n  a21  a22 ....  a2n   an1   an2 a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2n ( 1)      ann an1 an2 ann a11 a12 .... a1n a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2n 2 n a21 a22 .... a2n ( 1)  ...( 1)        an1  an2  ann an1 an2 ann ( 1)n det(A) 33 6  نشان، باشدC=AB اگر:کتاب درسی224 صفحه6-3-4تمرین دهید detC (detA)(detB) با ماتریس هایAفرض کنیم تجزیه ماتریس:حل A E1E2E3به...مقدماتی Er .صورت زیر باشد detABdet(E1E2E3...Er B) detE1 det(E2E3...Er B)  detE1 detE2 detE3...detEr detB det(E1E2...Er ) detB (detA)(detB) 33 7  2 1 1   B  1 و0  1  1 1 0     1 4 کتاب225 صفحه9-3-4تمرین  :درسی  A اگر B  A مطلوب است  . 1 3 وA B محاسبه  4 4 :حل   B 4B A B [aij B]    B 3 B   2 1   1 0 1 1   2 1  1 0  1 1   2A  A A  B  A [bij A]  A 0  A   A A 0   2   2  1   1  1  1  1 8 0  4 1 4 0  4 4 0 1 6  3 3  1 3 0  3 0 3 3 0  8 1  4 1 4   1 3 6 1 3  4 0 0  1  4 3 0 0 1  3  1 4 0 0 4  3  1 3 0 0  33 8 ماتریس خاص *ماتریس ترانهاد :ماتریسی که عناصر آن از تبدیل هر ~ به دست می سطر به ستون متناظر ماتریس اولیه ‏A آیندA [ajk. ] *اگر ماتریس n×mباشد~ a، ‏a ‏ij ‏ji و است مرتبه m×n ماتریس ترانهاد آن ~~ ~~ از ~ عناصر آن عبارتند از( AB) BA, det( A) det( A): ~ ‏A ‏aij aji *ماتریس متقارن :اگر ماتریس مربعی Aبا ترانهاده برابر باشد ،آن گاه Aرا ماتریس متقارن اش گویند و عناصر آن عبارتند از : ‏aij  aji 33 9 *ماتریس پادمتقارن :اگر ماتریس مربعی Aبا منفی ترانهاده اش برابر باشد ،آن را ماتریس پادمتقارن *هر ماتریس مربعی دلخواه را می توان به صورت پادمتقارن ماتریس 1 متقارن و یک ~ 1 مجموع یک ماتریس ~ ]A  [ A  A]  [ A  A در آورد: 2 2 4 9 ‏  ‏  ‏A  0 2 مثال 19-4صفحه 6 226 کتاب 1درسی : :اگر 7 ‏ 8 ‏3 ‏B  ‏2 باشد~~ ، ~~ درستی رابطه ( )26-4را تحقیق کنید. و ( AB) BA ()4-26 کنیم حل) نخست ABرا محاسبه 100می30 ‏ ‏ 6  55 34بنابراین 0 ‏ 4 9 ‏ ‏ ‏  3 7  ‏  4 ‏AB 0 2  ‏ 1 6  2 8  15 ‏ ‏ ‏ ~~  30 4 15 ‏ ( AB)  ‏ 100 16 55 ادامه مثال 19-4صفحه 226کتاب درسی:اما ~~ در این صورتBA ~  3 2 ‏ ‏B  ‏ 7 8 ~  4 0 1 ‏ ‏A  ‏ 9 2 6 برابر خواهد بود با ~~  3 2  4 0 1  30 4 15 ‏  ‏  ‏ ‏BA  ‏ 7 8  9 2 6  100 16 55 ~~ ~~ و در نتیجه( AB) BA 34 1 *ماتریس سطری :ماتریسی که تنها یک سطر و n نامند: می ستون دارد .ماتریس یا بردار سطری [xi ]  [x1, x ] 2 ,..., xn *ماتریس ستونی :اگر ماتریسی فقط یک ستون و nسطر ‏ x1  نامیده می شود: داشته باشد ،ماتریس یا بردار ستونی ‏ ‏ x2  ‏ .  [x ]   ‏ .  ‏ .  ‏x  ‏ n 34 2 *ضرب داخلی :اگر ماتریس سطری aدر ماتریس ستونی b ضرب شود حاصل یک ماتریس 1×1است که یک عدد می باشد abو bمی گویند. (داخلی) و به آن ضرب نقطه ای 1 ‏ ‏ ‏ b2  ‏n ‏ .  ‏a.b [a1, a2,..., an ]    aibi ‏i 1 ‏ .  ‏ .  ‏b  ‏ n ‏a1b1  a2b2  ..., anbn ] A [a jk 34 3 ‏0 k  jرا jkدرaصورتی *ماتریس قطری :ماتریس مربعی قطری می گویند که تمام عناصر باال و پایین قطراصلی برابر صفر باشد یعنی به ازای جمع مقادیر باشد. اگر Aو Bقطری باشند درضرب آن ها Aو Bجا به جا می *ماتریس یکه :ماتریسی مربعی که  ij تمام عناصر آن برابر (دلتای کرونکر) باشند: ‏1 ‏ ‏ 1 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 1 ‏ ‏ 1[ ij ]  0 ‏ ‏ ‏ 0 ‏ ‏ 0  ‏ ‏ ‏ 1 ‏ ‏ 34 4 برای یک ماتریس دلخواه Aداریم: 1A a1 A مثال 21-4صفحه 229کتاب درسی :پاؤلی ماتریس های زیر را در نظریه نانسبیتی اسپین الکترون به کار برده است ‏1 0  ‏ ‏ 3  ‏ 0  1 ‏ i ‏ 0 ‏ 0 ‏ 2  ‏ i ‏ 0 1 ‏ ‏ 1  ‏ 1 0 نشان دهید الف i2 1: ب i j i k : درآن(i, j, k) (1,2,3) (2,3,1) (3,2 که ),1 ج i j   j i 2 ij1 : حل:الف:نخست فرض می کنیم i=1باشد ،در این صورت داریم: 34 5 0 ‏ 1 1 1  1 ‏  0  0 1  0 ‏  0  1 ‏0 ‏ 1 1  ‏1 2 1 ‏ : کتاب درسی229 صفحه21-4ادامه مثال i=2برای  0  i   0  i   1 0      1  2 2  0  i 0   0 1 i همین طور  22  2 3  3 3 1  0 0 داشت 0 i=3 برای 0 و  1 خواهیم  1سرانجام      1  1  0  1  0 1 )i,j,k(=)1و2و3(فرض میکنیم:ب  i  i 0    i 3 0   0  i  1 2 0  1 1  0   0  i  2 3 0  i  i  1 i )i,j,k0 (=) 1( همینطوربرای  2 و3  و0      i 1 34 0   0  1  i 0 6 ادامه مثال 21-4صفحه 229کتاب درسی:وسرانجام 0   0 1 )i,j,k (=)30 برای (1و2و ‏1 ‏ 1 ‏  ‏  ‏ i 2 ‏ 3 1  0 ‏ 1 0 ‏0 ‏ 1  1 ‏ij ج:اگر (ب) داریم i k ‏ j ‏ i k ‏ازiبند باشد ‏j ‏ i ‏ i j   j i  باالi ‏دوi k بنابراین از 0 داریم جمع رابطهk  اما اگرi=jباشد از بند (الف) داریم  i i  i2 1 یا می توان نوشت 34 7 ‏ i i   i i 21 ‏ i j   j i 2 ij1 پس در حالت کلی می توان نتیجه گرفت مثال 22-4صفحه 230کتاب  درسی: دهید -4(b مثال ( .a).( .b) a.b1 نشان  ‏i .()21 ‏a پاؤلی در ) با استفاده از های ‏ i 1  j 2  k 3 که در آن و aو bدو بردار معمولی هستند. حل: )( .a).( .b) ( 1a1   2a2   3a3)( 1b1   2b2   3b3 ‏b ‏i چون aها iو اما ‏i توانآنها را با ها عدد هستند ،پس می ها جابجا کرد .لذا با این دستور جمله های دو پرانتز را در هم ضرب می کنیم( .a).( .b) a b   a b    a b   3 1 1 3 2 1 1 2 1 1 1 1 ‏ a2b1 2 1  a2b2 2 2  a2b3 2 3  ... ‏ a3b1 3 1  a3b2 3 2  a3b3 3 3  ... , i2 1, i j i k بنابراین اما از می(( .a). ‏ .b داریم) 1(a1b1  a2b2  a3b3)  i( 3 قبلیa1b2 مثال   ) 2a1b3 توان نوشت: ) i( i 1a2b3  i 1a2b3)  i( 2a3b1   1a3b2 ) (a.b)1 i .(a b 34 8 ردماتریس :مجموعه عناصر قطری هر ماتریس مربعی را ردماتریس می نامند .برای مثال برای یک ماتریس مربعی ‏n ‏Aازمرتبه n×nداریم: ‏A  aii ‏i 1 رد 34 9 ردحاصل ضرب دوماتریس Aو Bمستقل از ضرب ترتیب آنهااست: رد( = )BAرد()AB 1 مثلثیA: ماتریس مربعی که عناصر باال یا پایین ماترییس ‏1 1 قطراصلی ‏AA باالی  A قطر اصلی آن برابر با صفر باشد ،اگرعناصرA 1 ماتریس برابر باصفر باشد ،ماتریسپایین مثلثی و اگرعناصر پایین قطراصلی برابر صفرباشد ،ماتریس ‏Cij ‏1 مثلثیaاستCij . باال ij  ‏A را وارون ماتریس A ماتریس وارون :ماتریس اگر دترمینان Aمساوی صفر باشد ،آن ماتریس را شرط تکین می گویند ،چنین ماتریسی وارون نداردA 0. دارا بودن وارون برای ماتریس:A ‏1 ( AB) 1 B 1A اگردوماتریسAوBوارون داشته باشند: مثال24-4صفحه 233کتاب درسی : نشان دهید که ماتریس مربعیAحداکثر دارای یک وارون است. حل:فرض کنید Cو Bهر دو وارون Aباشند .بنابراین داریم ‏B 1B (CBA) (CAB) C1C و در نتیجه ماتریسAحداکثر یک وارون دارد. 35 0  3 1 مثال25-4صفحه  233 کتاب A  درسی :اگر باشد ،ماتریس وارون آن را به 4 دست  2 آورید. ‏Aنخست حل :از تمرین ( )9-3-4استفاده می کنیم. کنیم ‏12 2 10 و به آسانی به این نتیجه می رسیم که ‏ 0.1 ‏ 0.3  ‏ 35 1 ‏ 1 ‏ 0.4 ‏ ‏ ‏ ‏  0.2 3 ‏ را محاسبه می 1 3 4 2 ‏A 1 4 ‏ ‏ 10 ‏ 2 ‏A ‏1 :اگر دو ماتریس Aو مثال26-4صفحه 233کتاب درسی ‏Bوارون داشته باشند 1 ، نشان دهیدکه( AB) 1  ‏B 1A ‏1 تعریف (-4 ‏CC به حل :نخست فرض می کنیم ، C=ABدر این صورت بنا1 )36داریم: ‏AB( AB) 1 1 و یا ‏A 1 ‏1 ‏1 ‏1 کنیمA 1AB(. )AB ‏ ‏A 1 ‏ ‏A ضرب می اکنون دو سمت رابطه باال را در ‏A 1A 1 می توان نوشت 1B( AB) 1  A 1 چون 35 2 و یا ‏B( AB) 1  A 1 ‏B ‏1 ‏1 ‏B B 1 درسی:  کتاب ادامه مثال26-4صفحه 233 1 ‏1 ‏1 ‏B B( AB) B A ‏1 1( AB) 1 B 1A 1 در نتیجه می رسیم به ()4-38 35 3 ( AB) 1 B 1A 1 4 4 بهAاگر: کتاب درسی234 صفحه27-4مثال قرار زیر ماتریس مربعی  1 0 1 2،باشد     0 1 2 4 A  0 0 2 1    0 0 1 2   0 0 o  0  0 2 Y  1 و .محاسبه کنید را 2 1 1  X  2 2  4 که در آن،باشد A2 X  با استفاده از افرازی  1 .روش  A  . o  . .  .   فرض Yکنید  2 Aو :حل  0 0را .محاسبه می کنیم 5 اکنون 7  .است    1 X   1 X   1 X  XY  0 1 10 14 2       A  AA 2  0 Y 0 Y 0 Y 0 0 5 4        0 0 4 5   35 4 مثال30-4صفحه 236کتاب درسی : جردن وارون ماتریس زیر را به دست آورید. 1 ‏ 1 4 2 2 1 به روش گاؤس – ‏4 ‏ ‏A  2 ‏1 ‏ حل:در این روش ماتریس یکه 1را هم بعد ماتریس مفروض در نظر می گیریم و آن را به شکل زیر کنار آن قرار می دهیم .در شکل زیر این دو ماتریس با خط چین از هم جدا شده اند. ‏A 1 0 ‏ 0 0 1 ‏ 35 5 1  1 0 1  0 1 2 2 4 1 ‏ 0 ‏4 ‏ ‏A  2 ‏1 ‏ ادامه مثال30-4صفحه 236کتاب درسی :اکنون عملیات یکسانی روی دو ماتریس انجام می دهیم تا ماتریس Aبه ماتریس یکه و ‏1 ‏Aبه ماتریس جدیدی تبدیل شود .ماتریس جدید همان ماتریس1 ‏1 سطرها را 0یک از نخست هر می0. ضرب 5 عددی0. ‏در 25 0.25 خواهد بود0  . کنیم تا 1 ‏ شوند. 0 1 ‏ 0.5 ‏ 0 0.5 1 0 ‏ 0 4 1 ‏1 ‏1 ‏ نتیجه زیر می سوم به 0از سطر سطر اول 0.5 0.25 دوم و 0.25 تفریق 0 رسیم  1 با  ‏ ‏ ‏ 0 0.5 0.25   0.25 0.5 0 ‏ 0 0.5 3.75   0.25 0 1  ‏ ‏ ‏a22 حال عنصر 35 6 را به قرار زیر به واحد تبدیل می کنیم. 0.25  0.25 0 0  ‏ 0.5   0.5 1 0  3.75   0.25 0 1 0.5 1 0.5 ‏1 ‏ ‏0 ‏0 ‏ ‏ak1 a12 درسی :سپس عنصر ادامه مثال30-4صفحه 236کتاب صفر می رسانیمa12. ‏a22 ‏aو از ضرب برای این کار را به را در32 0.5 نیز انجام می دهیم .در نتیجه کم می کنیم .همین عمل را برای ‏ 0.5 0 ‏ 1 0  ‏ 0.5 1 ‏a33 سرانجام 0  0.5 0.5  0.5 0 1 3.5 0 0 را به واحد تبدیل می کنیم. 0.5   0.5 0 ‏ ‏ 1 0 ‏ 0.5 ‏ ‏ 1 0   0.143 0.286 قبلیa و مانند گام 23 35 7 ‏a13و 0 0.5 را به صفر می رسانیم. 0 0.5   0.5 0  ‏ 0  0.5 1.071  0.143 ‏ 1 0   0.143 0.286 ‏1 ‏ ‏0 ‏0 ‏ 0 1 0 0 1 0 ‏1 ‏ ‏0 ‏0 ‏ ‏1 ‏ ‏0 ‏0 ‏ ادامه مثال30-4صفحه 236کتاب درسی ‏ 0.5 1.071 0 ‏ ‏ ‏ 0.143 ‏ 0.143 0.286  :نتیجه اینکه ‏ 0.5 ‏ ‏  0.5 ‏ 0 ‏ ‏A 1 برای اطمینان از درست بودن نتیجه آن را به شکل زیر امتحان می کنیم. ‏ 0.5 0   1  0.001 0  ‏ 4 2 1  0.5 ‏ ‏ ‏  ‏ ‏1 ‏AA  2 2 1   0.5 1.071  0.143  0 0.999 0  ‏ 1 1 4  0 ‏ 0.143 0.286   0  0.001 1.001 ‏ ‏ ‏AA 1 35 8 مالحظه می شود که است. با خطای قابل قبولی برابر ماتریس یکه  cos  sin   239صفحه1-4-4تمرین Aاگر : کتاب درسی  sin cos  نشان دهید،باشد  cosn  sinn  n  A   sinn cosn  n روی sin(    ) sin cos  cos sin  اثابت با استقراء:حل :یادآوری cos(    ) cos cos  sin sin  cos  sin   cos 2   A   sin cos   sin  cos2  sin2     sin2 cos2   sin   cos2   sin2    cos   2sin cos  2sin cos   2 2  cos   sin   35 9 : کتاب درسی239صفحه1-4-4ادامه تمرین  cos2  sin2   cos  sin      A  A A   sin2 cos2   sin cos   cos2 cos  sin2 sin  sin cos2  sin2 cos   cos3     sin2 cos  sin cos2 cos2 cos  sin2 sin   sin3 ,  3 2  cosn A   sinn n  sin3   cos3   sinn   cosn  36 0 ~ ‏A ‏A تمرین6-4-4صفحه 239کتاب درسی :نشان دهید ماتریس متقارن است. حل: 36 1 ~ ~~ ~~ ~ ( AA )  AA  AA یک A ، اگر سه ماتریس: کتاب درسی239صفحه8-4-4تمرین نشان دهید رابطه زیر بین آنان برقرار، دو به دو جابجا شوندC وB .است trace ( ABC) trace (CBA) :حل  ABBA   AC CA  BC CB  aikbklcli trace ((AB)C) trace (CAB)    i k l trace (CBA)    cjmbmnanj m n j 36 2  a11 a12  A اگر 0 : درسی A  کتاب 240صفحه9-4-4تمرین  a21 a22 نشان دهید،باشد و 1  a22  a12  A   A   a21 a11  1 .و وارون ماتریس زیر را به دست آورید  cos    sin sin   cos   a11a22  a12a21  a11a12  a11a12     a12   a21a22  a22a21 a11a22  a12a21    a11  A 1  a11 a12   a22    A  a21 a22   a21  a11a22  a12a21  0   A    1 0 I  A 1A  a11a22  a12a21   0 1 0   A   AA 1  :حل 36 3  cos B    sin : کتاب درسی240صفحه9-4-4ادامه تمرین sin   cos   sin   sin cos   cos  sin   1   B    2 2 cos  cos  cos   sin   sin 36 4 در توصیف ذراتی  0 1 0  1 Mx   1 0 1 2  0 1 0   : کتاب درسی241صفحه17-4-4تمرین ماتریس های زیر بکار می روند،با اسپین یک 0  i 0  1 0 0    1 1 My   i 0  i  Mz   0 0 0  2 2   0 i 0 0 0  1     :نشان دهید L Mx  iM درآن که y L Mx  iMy  M , L  L  L , L  2M   z  :د  z راعملگرهای نردبانی می گویند که در مکانیک وL L(دوماتریس .)کوانتومی کاربرد دارند :حل    1 0 0  0 1 0  0 1 0 1 0 0    2   2    (Mz , L ) MzL  L Mz   0 0 0  0 0 1   0 0 1 0 0 0   2  0 0 0 2  0 0 0 0 0  1 36 0 0  1       5 : کتاب درسی241صفحه17-4-4ادامه تمرین  0 1 0 0 0 0   0 1 0  2    2  2    0 0 0   0 0  1   0 0 1 L 2 2 2     0 0 0 0 0 0   0 0 0  0 0 0  0 1 0 0   4 4        L , L  L L  L L  2 1 0 0 0 0 1  2 0  0 1 0  0 0 0 0      0 0 0  1 0 0   1 0 0       2 0 1 0  2 0 1 0 2 0 0 0  2Mz  0 0 1  0 0 0  0 0 1        0 1 0 0  i 0     1 i   L Mx  iMy   1 0 1   i 0  i  2 2  0 1 0 0    0 i 1 0  0 0 0   0 1  1 0 0  0 0  0 1 0  0 1 0  2   0 0 1 2   0 0 0 36 6 : کتاب درسی241صفحه17-4-4ادامه تمرین  0 1 0 0  i 0   0 0 0    1  i  2   L Mx  iMy   1 0 1   i 0  i   1 0 0 2 2 2    0 1 0 0 i 0 0 1 0       36 7 ماتریس های متعامد ~ 1 ‏A متعامداستAاگر: ماتریس A 1 است. متعامدبرابر هرماتریس دترمینان )( X1, X2, X3 دستگاه( X1, X2, )X3 چرخیده ماتریس تبدیل ‏ به دستگاه ثابت X3 به (وقتی که دستگاه چرخیده حول محور اندازه sin 0 زاویه  cosچرخیده صورت پادساعتگرد به ‏ x  A x  A   sin cos 0 باشد). ‏ 0 0 1 36 8 مثال32-4صفحه 245کتاب درسی :می دانیم طول بردار rثابت و مستقل از دستگاه)(x, y, z مختصات ثابت ()x,y,zیا دستگاه است .با توجه به این اصل شرط تعامد ( )54-4را چرخیده ‏x3, x2, x1 به دست آورید. و همین مؤلفه ها های rرا در دستگاه ثابت مؤلفه x3 حل) اگرx2 x1 دهیم ،بین این مؤلفه ها نشان x1 را در دستگاه چرخیده با  ،و  x1 یعنی    رابطه ( )47-4برقرار است ، ()4-55 ‏ x2   A x2  ‏ x   x  ‏ 3  3 3 نوشتxi  aij زیر xj صورت , ‏i 1 ,2 معادله ماتریسی باال را می,3 به توان ‏j 1 ()4-56 3 3 2 ‏ ‏x ‏ ‏x اما طول بردار مستقل از دستگاه مختصات بنابراین  i است ، ‏i ‏i 1 36 9 ()4-57 2 ‏i 1 ادامه مثال32-4صفحه 245کتاب درسی : 3می باال،نتیجه زیر به دست رابطه ( )56-4درمعادله 3 با نشاندن آید 3 )  ( aij xj )( aik xk ‏k1 ‏j 1 ‏i 1 3 3 3 ‏xi ‏ ‏i 2 ‏1 3 )   xj xk ( aij aik ‏i 1 ‏j 1 k1 درنتیجه ،رابطه()57-4در صورتی برقرار است که فقط رابطه زیر 3 برقرار باشد. ()4-57 ‏aij aik  jk ‏ ‏i ‏1 و این همان شرط تعامد است که روی سطر جمع بسته می شد. استفاده کنیم ،داریم اما اگر از رابطه ( )47-4برای تبدیل  دوxدستگاه x 37 0 ()4-59 ‏ 1 ‏ 1 ‏  ~  ‏ x2   A  x2  ‏x  ‏ x  ‏ 3 ‏ 3 ادامه مثال32-4صفحه 245کتاب درسی : ماتریسی باال معادل رابطه زیر است. ‏a ji xj , i 1,2,3 ()4-60 3 3 3 ‏k1 ‏j 1 ‏i 1 معادله 3 ‏xi  ‏j 1 و با نشاندن در رابطه ( )57-4به نتیجه زیر می رسیم ) ‏ ( a ji xj )( aki xk 3 3 ‏xi ‏ ‏i 2 3 ‏1 3 )  ( a ji aki ‏  xj xk ‏i 1 ‏j 1 k1 رابطه ( )57-4در صورتی برقرار است که فقط داشته باشیم 3 ‏a ji aki  jk ‏ ‏i ‏1 37 1 و این همان شرط تعامد است که روی ستون جمع بسته شده است. مثال33-4صفحه 247کتاب درسی :فرض کنید یک دستگاه سه بعدی دکارتی حول  مختصاتx3 پادساعتگرد به اندازه زاویه محور چرخیده باشد .ماتریس تبدیل دستگاه چرخیده به دستگاه ثابت را به دست آورید. حل) با توجه به شکل ( )3-4می توان نوشت ‏x 2 ‏r ‏ ‏x1 ‏x1 ‏ ‏x2 ‏x2 ‏ ‏x2 ‏ ‏x1 ‏ ‏x1 شکل3-4چرخش دستگاه مختصات دکارتی x3 حول 37 2 ادامه مثال33-4صفحه 247کتاب درسی : (a11 cos cos )x1, x1 ()4-62 ‏x (a12 sin cos (  ) cos ) x1, x2 و غیره ماتریس به این ترتیب عناصر aij می آیند .نتیجه اینکه ()4-63 2 یعنی کسینوس های هادی به دست ‏x1  x1 cos  x2 sin ‏  x1 sin  x2 cos ‏x2 ‏ ‏  x3 ‏x3 رابطه های تبدیل باال را می توان به صورت ماتریسی زیر بیان کرد. ‏ x  A x ()4-64 37 3 که درآن ()4-65 0 ‏ 0 1 ‏ ‏sin ‏cos ‏ 0 ‏ ‏ cos ‏ ‏A   sin ‏ 0 ‏ ادامه مثال33-4صفحه 247کتاب درسی :که ماتریس تبدیل دو دستگاه مختصات بی پریم و پریمدار است .به آسانی می توان شرط تعامد ( )58-4یا ( )61-4را بررسی کرد 2 2 ‏sin   cos  1 ‏sin cos ‏  sin cos ‏ 0 ‏a33 1 ‏  x3 ‏x3 3 اینxواقعیت نتیجه می شود که از چرخش  است ،زیرا بنا به فرض  ‏x2 ‏x1 ‏x بوده است .همچنین از محور حول 3 صفر بودن بعضی از ‏x3 عناصرx1 و ‏Axچنین استنتاج می شود که ماتریس 2 وابسته نیستند .همین مطالب را می توان برای وابسته به بیان کرد. و به نبودن 37 4 زاویه های اولر دستیابی به ماتیس تبدیل Aوقتی که ازمجموع زوایای مستقلی برای دوران استفاده می شود(زوایای اولر): )X1, X2, X3 مختصات( X راسه( بار درستگاه )1, X 2, X3 ‏ ‏X3 یابیم( X1, X2, X: ‏ دست تابه( X1, X دوران ) )3 داده2, X3 اندازه مرحله :1دستگاه به  محورsin 0 ‏ cos حول  پادساعتگردمیچرخدتابه تبدیل) Rz ( شود.ماتریس  sin تبدیل cos 0 این چرخش: ‏ 0 0 1 ‏X2 ‏ )( X1, X2, X3 )( X1, X2, X3 37 5 مرحله:2دستگاه می چرخدودستگاه این چرخش: محور0  sinبه cos حول   اندازه به دست  تبدیل Ry آید.ماتریس ( )  می 0 1 0 ‏ ‏ sin  0 cos  ( X1, X2, X3) به اندازه  حولX3 محور ( X1, X2دستگاه: , X3) 3مرحله می چرخندوبه دستگاه cos   sin  0   :چرخش ماتریس تبدیل این.تبدیل میشوند   Rz ()   sin cos 0  0 0 1 X3  X3 ( X1, X2, X3) ( X1, X2, X3) به ماتریس دوران درتبدیل دستگاه A( ,  ,) Rz ()Ry ( )Rz ( )  :  cos cos cos  sin sin cos cos sin  sin cos  cos sin       sin cos cos  cos sin  sin cos sin  cos cos sin sin     sin  cos  sin  sin  cos    37 6 1 کتاب1   2 حول درسی :چرخش مثال34-4صفحه 250 ‏2 محور Zبا دو چرخش متوالی و حول همان محور صورت گرفته است .با استفاده از نمایش ماتریسی چرخش،اتحادهای مثلثاتی زیر را به دست آورید. ‏cos(1  2 ) cos1 cos2  sin1 sin2 ‏sin(1  2 ) sin1 sin2  cos1 cos2 ‏2 1 داریم حل) از رابطه ( )66-4برای دو چرخش 0 متوالی sinو  cos1 ‏ 1 ‏ cos2 sin2 0 ‏ ‏ ‏Rz (1)   sin1 cos1 0 R ( )   sin cos 0 ‏z 2 2 2 ‏ 0 ‏ 0 ‏ 0 1 ‏ 0 1 ‏ ‏ ‏2  1 همین رابطه را به قرار زیر برای چرخش 37 7 می نویسیم ‏ cos(1  2 ) sin(1  2 ) 0 ‏ ‏ ‏Rz (1  2)   sin(1  2 ) cos(1  2 ) 0 ‏ ‏ 0 0 1 ‏ ‏ اما می دانیم: کتاب درسی250 صفحه34-4ادامه مثال Rz (1)Rz (2 ) Rz (1  2 ) نخست سمت چپ رابطه باال را به دست می آوریم cos2 sin1  sin2 sin1 0  cos1 cos2  sin1 sin2   Rz (1)Rz (2)   sin2 cos1  cos2 sin1  sin2 sin1  cos2 cos1 0   0 0 1   حکم Rz (1  باآمده 2 ) از تساوی ماتریس به دست .مسئله ثابت می شود 37 8 تبدیل  تشابه  ‏ ‏ )( X1, X2, X3 میکند(X1, X2, X تبدیل ماتریس rAبردار r1به بردار r1  Ar )3 ‏ ماتریس تبدیل ‏ به دستگاه توسط وحاالدستگاه ‏ ‏r1 Br1 BAr شود،داریم: می ‏1 ‏ ‏A BAB که آن راتبدیل A تشابه می نامند. دراین فضا: (گویادردستگاه جدیدماتریس،Bدستگاه راچرخانده وAرابه درآورده است). صورت ‏aij  bikakl blj 1 تبدیل تشابهی به صورت مولفه ای: ‏k ~ 1 ‏B B ‏aij   bikakl bjl   bikbjl akl )تبدیل متعامدباشد(یعنی اگرماتریس Bماتریس ‏k ‏l ‏k ‏l زیرراتبدیل تشابه متعامدمی نامند: 37 9 تمرین1-5-4صفحه 255کتاب درسی :نشان دهید وارون ماتریس متعامد نیز متعامد است. حل: 38 0 ~ ~ ~ ‏A  A 1  ( A 1 ) ( A) 1 ( A 1) 1 تمرین2-5-4صفحه 255کتاب درسی :نشان دهید حاصل nn ،متعامد است. ضرب دو ماتریس متعامد ~ حل: ‏1 ‏ ‏A ‏ ‏A ~~ ~ ‏ ‏1 1 ‏1 ‏ ( ‏AB ) ‏ ‏B ‏A ‏ ‏B ‏A ‏ ( ‏AB ) ~ ‏1 ‏ ‏ B B 38 1  به دست آورید که22 یک ماتریس: کتاب درسی255صفحه4-5-4تمرین .متعامد و پادمتقارن باشد :حل ~ 1  A  A  0 b  0  1 1  A  A, aii 0 A  , A  ~    c 0  c  A  A 0   1 0  0 b  0  b   bc 1 AA         bc  0 1  c 0   b 0   0  0 b bc 1 bc0  A   1 0  b   b 0  38 2 تمرین5-5-4صفحه 255کتاب درسی :فرض کنید زمین طوری چرخیده است ‏ ‏ که قطب شمال به 30طول شمالی و 20عرض غربی منتقل شده است ،و نصف ‏ النهار در10جنوب غربی قرار گرفته اPست (عرض و طول جغرافیایی در دستگاه اصلی بیان شده اند). الف) زاویه های اولر توصیف کننده این چرخش را به دست آورید. ب) کسینوس های هادی متناظر را حساب کنید. حل: ‏A( 20 ,  60 ,  10 ) Rz ( 10 )Ry (60 )Rz (20 )  ‏ cos10cos60cos20 sin10sin20 cos10cos60sin20 sin10cos20  cos10sin60 ‏ sin10cos60cos20 cos10sin20 sin10cos60sin20 cos10cos20  sin10sin60 ‏ ‏ ‏ ‏sin60cos20 ‏sin20sin20 ‏cos60  38 3  تحقیق کنید که ماتریس چرخش زاویه های: کتاب درسی255صفحه5-5-4تمرین .) تحت تبدیل زیر ناورداست70-4اولر (معادله     ,   ,    :حل sin(   )  sin , cos(    )  cos , sin(  )  sin cos(  ) cos , sin(   ) sin(   )  sin cos(    ) cos(    )  cos A(   ,  ,   ) Rz (   )Ry (  )Rz (   )  cos cos sin  sin cos  cos sin   cos cos cos  sin sin   sin cos cos  cos sin  sin cos sin  cos cos sin sin     sin cos sin sin cos   A( ,  ,) 38 4 ماتریس های هرمیتی،یکانی وبهنجار مزدوج مختلط ماتریس:اگردتمام عناصرماتریسی،عدد موهمیiرابهi-تبدیل کنیم.ماتریس حاصل رامزدوج مختلط آن می گویند.مزدوج مختلطAرابا * Aنشان می دهند. ماتریس الحاقی:ازترانهاده می دهند: ‏At ماتریس الحاقی بدست می آیدکه آن رابا ‏At نشان *~ *~ ‏A A A ‏t ماتریس هرمیتی:ماتریسAدرصو رتی هرمیتی(یاخودالحاقی) است که الحاقی آن باخودش برابرباشد: *A  At  a a ‏ij ‏ji ماتریس پادهرمیتیA:پادهرمیتی است اگر: ‏A  At ( AB)t Bt At درموردماتریس های الحاقی داریم: ماتریس یکانی:اگروارون یک ماتریس باالحاقی آن برابرباشد آن را Pیکانی می نامند: 38 5 * ‏aji ‏1 ‏ij ‏ a ‏1 ‏t ‏U U ماتریس بهنجار:اگرماتریس Aباالحاقی خودAt جابجاپذیرباشدAراماتریس بهنجارمی گویند: ‏ A, A  0 ‏t اگرماتریسی که درتبدیل تشابه شرکت دارد یکانی باشد،آن را تبدیل یکانی می نامند: ‏t ‏1 ‏A UAU UAU حاصل ضرب دوماتریس یکانی،ماتریس یکانی است. ماتریس هرمیتی تحت تبدیل ماتریس تشابه یکانی ،هرمیتی می ماند. 38 6 مثال39-4صفحه 258کتاب درسی :نشان دهید ماتریس هرمیتی تحت تبدیل تشابه یکانی ،هرمیتی می ماند. تبدیل تشابه یکانی این حل) اگر Aماتریس هرمیتی باشد ،می دانیم A  At . ماتریس از رابطه ( )84-4به دست می آید. ‏A UAU  1 از دو طرف رابطه باال الحاقی می گیریم ‏AtU t UAU  1  A یعنی Aنیز هرمیتی است. 38 7 ‏1 t ‏1 t ‏ U  ‏ ‏ UAU ‏t ‏ A تمرین1-6-4صفحه 264کتاب درسی :نشان دهید ( AB)t Bt At حل: 38 8 ~ ~~ ~ ~ ( AB)t ( AB) * (BA)* (B)* ( A)* Bt At  نشان دهید حاصل ضرب دو ماتریس: کتاب درسی264صفحه2-6-4تمرین . یکانی است، nnیکانی :روش اول:حل 1   A UAU 1 1 1    A B  UAU UBU  UABU  1   B  UBU  :روش دوم t 1  A A t t t 1 1 1  ( AB )  B A  B A  ( AB )  t 1   B B 38 9 تمرین3-6-4صفحه 264کتاب درسی :نشان دهید وارون ماتریس یکانی هم ماتریس یکانی است. حل: *~ * ~1 ~*  1 ‏A  A  ( A ) ((A ) ) ((A) ) ((A) ) ( At ) 1 ( A 1) 1 ‏1 39 0 ‏1 t ‏1 ‏t  نشان دهید حاصل ضرب مستقیم دو: کتاب درسی264صفحه4-6-4تمرین .ماتریس یکانی هم یکانی است :حل 1  At  A  t ~* 1 t  ( A B) ((A B ) )   B B  A B  a B ij  ~ ~ ~ (( aij B ) )* ( a ji B )*  a*ji (B)*  a*ji Bt  a*ji B 1              ( At  B 1) ( A 1  B 1) ( A B) 1 39 1 تمرین7-6-4صفحه 264کتاب درسی :دو ماتریس Hو Uبا رابطه زیر به هم مربوط می شوند ‏iaH ‏U e که در آن aحقیقی است. (الف) اگر Hهرمیتی باشد ،نشان دهید Uیکانی است. (ب) اگر Uیکانی باشد ،نشان دهیدHهرمیتی است ( Hمستقل از aاست). حPل:الف: ‏t ‏ ‏H ‏H ‏ ‏t ‏iaH t * ~ iaH ) )  U U (e ) ((e ‏ ‏iaH ‏ ‏U e ‏e iaH (e iaH ) 1 ‏ iaHt ‏e ب: ‏U  1 (eiaH ) 1 e iaH  Ht H 39 2 ~ *)  ia( H ‏e ‏ iaHt ‏t ‏U e قطری سازی ماتریس دراغلب مسائل فیزیکی میتوان ماتریسی راتحت تبدیل تشابه متعامد یاتبدیل یکانی به ماتریس قطری که تمامی عناصر غیرقطری آن صفراست ،تبدیل کنیم. مقدارها: ویژه بردارهاوویژه  اگر ماتریس Aروی بردار rاثرکندوحاصلعددی چون ضرب درهمان ‏  بردارشود،یعنی Ar r :دراین حالت rراویژه بردارو را ویژه مقدارماتریس Aمی نامیم. اگرماتریس،Aیک ماتریس هرمیتی باشد،ویژه مقدارهای آن حقیقی و ویژه بردارهای آن متعامدند. 39 3 مجموعهnویژه برداریک ماتریس هرمیتی ،یک مجموعه کامل راتشکیل می دهند. ‏  ‏ تعیین ویژه مقدارها ویژه بردارهای ماتریس دلخواه:Aدر رابطه r, Ar r ‏ وخواهیم( A را درماتریس یکه1ضرب می کنیم1)r 0 داشت: که بیانگر دستگاه معادالت خطی وهمگن است وتنها درصورتی ‏A 1 0 این معادله را پاسخ دارد که دترمینان ضرایب آن صفر باشد ، مقدار( A 1)r  نامنداگرهرپاسخ ویژه 0 ‏i رادرمعادله معادله سرشتی می قرار دهیم،ویژه بردار متناظربا آن ویژه مقدار رابه دست می آوریم. 39 4 مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :ویژه مقدارها و ویژه بردارهای ماتریس زیر را به دست آورید. ‏ 1 0 0 ‏ 1 1 1 1 ‏ ‏A  0 ‏0 ‏ حل) معادله سرشتی را برای این ماتریس تشکیل می دهیم 1  0 0 ‏A 1  0 1  1 0 0 1 1  و یا 39 5 یا (1  )[(1  )2  1] 0 ‏ (1  )(  2) 0 دنباله مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :بنابراین پاسخها عبارتند از ‏3 0 حال می توان ویژه بردارها را به دست آورد ‏2 2 , ‏1 1 , ‏ ( A  i1)ri 0 به ازای 1 1داریم 0  x1   0 ‏    1  y1   0 0  z1   0 ماتریسی نتیجه می شود z1 0و . y1 0اکنون فرض می از این معادله  کنیم طول بردار r1برابر واحد باشد ،یعنی 0 0 1 ‏0 ‏ ‏0 ‏0 ‏ ‏x2  y2  z2 1 39 6 یا ‏x12 1 x1 1 دنباله مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :در نتیجه داریم ‏  1 ‏ ‏ ‏ 0 ‏ 0 ‏ ‏ یا به ازاPی 2 2می توان نوشت ‏ 1 ‏  ‏r1  0 ‏ 0 ‏  0   x2   0 ‏ 1 0 ‏ ‏ ‏   ‏ 0  1 1   y2   0 ‏ 0 ‏  z   0 1 ‏ 1 ‏ ‏ 2    و از این معادله ماتریسی نتیجه می گیریم که و ‏y2  z2 بار دیگر طول ویژه بردار برابر واحد فرض می کنیم ،یعنی 2 2 39 7 ‏y2  z2  2y22 1  ‏x2 0 ‏x2  y2  z2 1   0       2 r2    2   2  2    1  0 0  0 1 1 در نتیجه: کتاب درسی268صفحه44-4دنباله مثال یا  0        2    2    2  2    0  x3   0     1  y3   0 1  z3   0 داریم3 0به ازای و از این معادله ماتریسی به نتیجه زیر می رسیم x3 0 y3  z3 39 8 دنباله مثال44-4صفحه 268کتاب درسی :باز هم طول ویژه بردار را برابر واحد فرض می کنیم .در اPین صورت داریم 2 2 ‏y3  z3  2y32 1  ‏x32  y32  z32 1  پس ‏ 0  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏  2 ‏ ‏ ‏ 2  ‏  2 ‏ 2  ‏ ‏ البته می توانستیم r3 39 9 ()4-111 ‏ 0  ‏ ‏ ‏ ‏ ‏  2 ‏r3  ‏ ‏ 2  یا   2  ‏ 2  ‏ ‏ از شرط عمود بودن آن بر r1و r2نیز به دست آوریم ،یعنی ‏   ‏r3 r1 r2 مثال45-4صفحه 270کتاب درسی :جسم صلبی را می توان با سه جرم نقطه اPی به صورت زیر نمایش داد. جرم m1در نقطه (-2و1و)1 جرم m2در نقطه (0و-1و)-1 جرم m3در نقطه (2و1و)1 الف) ماتریس گشتاور لختی را به دست آورید. بردارهای متعامد بهنجار (محورهای اصلی) را تعیین کنید. ب) ویژه مقدارها وویژه   حل) نخست طول r1و r2و r3را به دست می آوریم. ‏ ‏ ‏ ‏r1  1 1 4  6 , r2  1 1 0  2 , r3  1 1 4  6 .حال عناصر ماتریس گشتاور لختی را حساب می کنیم 3 ) I xx  mi (ri2  xi2 ) m1(r12  x12 )  m2 (r22  x22 )  m3(r32  x32 ‏i 0 ‏1(6 1)  2(2 1)  1(6 1) 12 3 ) I yy  mi (ri2  yi2 ) m1(r12  y12 )  m2 (r22  y22 )  m3(r32  y32 40 0 ‏i 0 ‏1(6 1)  2(2 1)  1(6  1) 12 : کتاب درسی270صفحه45-4دنباله مثال 3 I zz  mi (ri2  zi2 ) m1(r12  z12 )  m2 (r22  z22 )  m3(r32  z32 ) i 0 1(6 4)  2(2 0)  1(6 4) 8 3 I xy I xy   mi (xi yi )  (m1x1y1  m2x2 y2  m3x3 y3) i 0  (111 2( 1)( 1)  111)  4 3 I xz I xz   mi (xi zi )  (m1x1z1  m2x2z2  m3x3z3) i 0  (11( 2)  2( 1)(0)  112) 0 3 I yz I yz   mi ( yi zi )  (m1y1z1  m2 y2z2  m3 y3z3) i 0  (11( 2)  2( 1)(0)  112) 0 40 1 دنباله مثال45-4صفحه 270کتاب درسی :بنابراین ماتریس گشتاور لختی برابر است با 0 ‏ 0 8 ‏ ‏ 4 12 0 ‏ 12 ‏ ‏I   4 ‏ 0 ‏ اکنون ویژه مقدارها را از معادله سرشتی ( )110-4محاسبه می کنیم. ‏ 4 0  ‏ 12  ‏ ‏ 12  0  0 ‏  4 ‏ 0 0 8   ‏ ‏ و یا (8  )[(12  )2  16] 0 بنابراین 40 2 ‏1 8 ‏2 16 , ‏3 8 , ‏1  حال ویژه برداPرها را به ترتیب از معادله ( )109-4محاسبه می کنیم .به8 ازای داریم : کتاب درسی270صفحه45-4دنباله مثال 0  x1   0     0  y1   0 0  z1   0  را برابر واحد بگیریم داریمr1 اگر طول بردار. z1 0 وx1  y1 و یا 2 x12  y12  z12 1  x1  y1  2  4   4  0   4 4 0  2    2   2 r1   2      0    یا   2    2    2   2      0    بنابراین 40 3 : کتاب درسی270صفحه45-4دنباله مثال 2 16همین طور برای 0   x2   0     0   y2   0  8  z2   0 در نتیجه، باشندz2 0 وx2  y2و یا اگر 2 x22  y22  z22 1  x2  y2  2  4   4  0   4  4 0  2     2   2 r2    2      0    یا  2   2    2    2      0    بنابراین 40 4 دنباله مثال45-4صفحه 270کتاب درسی : اما به ازای 3 8اگر بخواPهیم از معادله ( )109-4استفاده کنیم به همان نتیجه قبلی مربوط به 1 8می رسیم .این حالت را واگنی می گویند .در این حالت از رابطه ( )111-4استفاده می شود تا بردار سوم نیزبر دو بردار قبلی عمود باشد. ‏ 0 ‏ ‏ ‏ 0 ‏  1 ‏ ‏ 40 5 یا ‏ 0 ‏     ‏r3 r1 r2  0 ‏ 1 ‏  مثال49-4صفحه 274کتاب درسی :ارتعاشات یک بعدی مدل کالسیکی ملکول CO2 (شکل )5-4را بررسی می کنیم .با اPستفاده از فن ماتریسی ویژه مقدارها ،در مورد حرکت این دستگاه بحث کنید. ‏k ‏k ‏M ‏x3 ‏m ‏x2 ‏M ‏x1 شکل 5-4مدل کالسیکی حرکت ملکول CO2 40 6 دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی : حل) مطابق شکل فرض می کنیم سه جرم روی محور افقی به فنرهایی با ثابت Kمتصل اند .همچنین می دانیم که بنا به فرض نیروهای فنر خطی هستند (جابجایی کوچک، قانون هوک) و سه جرم مجبورند که روی محور xباقی بمانند .با استفاده اPز قانون دوم نیوتن داریم ‏k ) (x1  x2 ‏M ‏k ‏k ‏x2  (x2  x1)  )(x2  x3 ‏m ‏m ‏k ‏x3  ) (x3  x2 ‏M ‏x1  ()4-112 فرض کنید بسامد مشترک این دستگاه باشد به طوری که تمام جرم ها با این بسامد ارتعاش کنند (مدل بهنجار) ،در اPین صورت داریم ‏it ‏xi  xi e ‏i 1,2,3 ()4-113 40 7 دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی : با نشاندن رابطه ( )113-4در رابطه ( )112-4به دستگاه معادالت ماتریسی زیر می رسیم ()4-114 ‏ 0 ‏ x1  ‏  x1  ‏  ‏k   2 ‏ x2    x2  ‏ ‏m   ‏x  ‏k   x3  ‏ 3 ‏ ‏M که معادله سرشتی زیر از آن نتیجه می شود. ‏ ‏ ‏ ‏k ‏ 0 ‏m  ‏ ‏k 2 ‏   ‏M ‏ 0 40 8 ‏k ‏M 2k ‏m ‏k ‏ ‏M ‏k ‏ ‏M 2k ‏ 2 ‏m ‏k ‏ ‏M ‏ ‏ k ‏ ‏ M ‏ k ‏ m ‏ ‏ 0 ‏ ‏ k ‏ 2 ‏ ‏M ‏  k ‏ ‏m ‏ 0 ‏ ‏ دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی :سرانجام اینکه 2k ‏k ‏ k 2  2 ‏  ‏     ‏ ‏ 0 ‏m M ‏M ‏ 2 که از آن ویژه مقدارهای زیر به دست می آیند. ‏k 2k ‏ ‏M m , ‏k ‏M 2 ‏ 0 , با نشاندن این ویژه مقدارها در معادله ( )114-4به ویژه بردارهای متناظر می رسیم. 2 نخست به ازای  0داریم پس ‏x1  x2 0 ‏ x1  2x2  x3 0 ‏ x1  x3 0 ‏x1  x2  x3 یعنی حرکت یک حرکت انتقالی محض است ،سرعت نسبی جرم ها صفر است ،و هیچ نوع حرکت ارتعاشی وجود ندارد. ‏k  2 داریم 40به ازاPی ‏M ‏x1  x3 , x2 0 9 دنباله مثال49-4صفحه 274کتاب درسی : یعنی جرم میانی ساکن و دو جرم دیگر در خالف جهت هم حPرکت می کنند (مرکز جرم ساکن است). ‏k 2 ‏k  2 نتیجه می گیریم که سرانجام به ازای ‏ ‏m ‏M ‏x1 2M ‏m ‏x2  , ‏x1  x3 یعنی جرم میانی در خالف جهت دو جرم دیگر حرکت می کند ،در صورتی که دو جرم دیگر با هم حرکت می کنند (تکانه خطی کل برابر صفر است) .جابجایی این سه جرم در امتداد محورXرا می توان با ترکیب خطی این سه نوع حرکت (انتقالی ،و دو نوع ارتعاشی) بیان کرد. 41 0 روش قطری سازی ماتریس ماتریس هرمیتیAرامی توان قطری کرد،ابتداازویژه بردارهایی که بدست امدند،ماتریس جدیدی مانندRمیسازیم که هرستون آن مربوط به یک ‏ ویژه بردار riمی باشد .از آنجا که ویژه بردارهای ماتریس ‏t  و این که Rیکانی است،داریم: هرمیتی ،متعامدبهنجارندri rj: ‏ ij ()4-116 41 1 ‏ ‏ r3  ‏ ‏ r2  * ‏r1 * ‏r2 * ‏r3 ‏    ‏   (A) r  ‏   1 ‏ 1 0 0  ‏ ‏  ‏ 3r3   0 2 0   A ‏0 0   3 ‏ ‏ ‏ 2r2 ‏ ‏ ‏t ‏R AR  ‏ ‏ * ‏r1 * ‏r2 * ‏r3 ‏    ‏    r  ‏ ‏  11 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ مرتبط به ماتریسAمی باشند وترتیب آن ها عناصرقطری،ویژه مقادیر  i متناظر با ترتیب ویژه بردارهای riدرماتریسRاست. آزمون درستی عمل محاسبه ویژه مقادیر : iحاصل جمع iهابایستی برابر رد ماتریس اصلی باشد. درصورتی که Aهرمیتی نباشد،بایستی ازرابطه A R 1AR استفاده نمود که ماتریس ، Aماتریس قطری است وعناصرقطرآن ویژه مقدارهای ماتریسAهستند. برای قطری سازی ماتریس ها کافیست ویژه مقدارهای آن هارابدست آوریم وبه ترتیب درجای عناصر قطری قراردهیم وعناصر دیگر راتبدیل به صفر کنیم. 41 2 مثال51-4صفحه 278کتاب درسی :ماتریس های پاؤلی را قطری کنید. حPل) با توجه به مثال ( )21-4داریم ‏ 0  i ‏1 0  ‏ ‏ ‏ 2  ‏ 3  ‏ i 0 ‏ 0  1 ‏t ‏ چون این ماتریس ها هرمیتی هستند یعنی i  i ،بنابراین در قطری سازی ‏ 0 1 ‏ ‏ 1  ‏ 1 0 آنها از رابطه ( )116-4استفاده می کنیم. نخست  1را قطری می کنیم .معادله مشخصه این ماتریس به صورت زیر است ‏0 در نتیجه 1 ‏ 1 ‏ 1 ‏ 1  11  1 ‏1 1 ‏ به ازای ، 1 1ویژه بردار r1را به دست می آوریم 41 3 ‏12 1  ‏  1 1   x1   0 ‏ 1  1  y   0 ‏ ‏  1   دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب درسی : ‏ 2 t  که در نتیجه . x1  y1اما به کمک رابطه بهنجاری بردارr1 r1 r1  x12  y12 1 نتیجه می شود که 2 2 ‏x1  y1  بنابراین 1 1 2 . x1  y1 بنابراین همچنین به ازای 1  1نتیجه می شود 2  2   یا 2 1 ‏r1  2 1 ‏ 2 2   1 2   1 2   1 2   1 ‏  اکنون به آسانی می توان ماتریس Rرا با r1و r1تشکیل داده و Rtرا به دست آورد 2 1 1  2 1  1 ‏t ‏R ‏ R  ‏ ‏ 2 1  1 2 1  1 ‏ ‏r1 41 4 دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب درسی :با نشاندن آن در رابطه ( )116-4نتیجه می شود ‏1 0  1 1 1   0 1 1 1  ‏t ‏ 1 R  1R   ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 0 ‏ 1 2 1  1  1 0 1  1 ‏ ‏ اگر از دسته دوم پاسخها در ساختنRاستفاده شود ،چه خواهد شد؟ پاسخ دهید. سپس  2را قطری می کنیم .معادله مشخصه این ماتریس به صورت زیر است ‏ i ‏0 ‏ 2 یا ‏ ‏ 2 ‏2 1 به ازای ، 2 1ویژه بردار r2را به دست می آوریم 41 5 ‏i ‏ 2  12  2 2 ‏ 1  ‏  1 i   x1   0 ‏  ‏ ‏ ‏ i ‏ ‏ 1  y1  0 ‏ دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب درسی :یا x2  iy2 ‏ ‏  بهنجاری r2 2 r2t r2 1نتیجه می شود 2 ‏x2  iy2 i 2 .اما به کمک رابطه بنابراین 2 i  2   1 یا 2   i 2  1  ‏ ‏r2  همچنین به ازاPی 2  1نتیجه زیر به دست می آید ‏ i  x2   0 ‏  ‏ ‏ ‏ 1   y2   0 41 6 ‏ 1 ‏ i ‏ دنباله مثال51-4صفحه 278کتاب درسی : در نتیجه . x2  iy2اما به کمک رابطه بهنجاریr2 r2t r2 1 ‏ 2 نتیجه می شود 2 x2  iy2 iبنابراین 2   i 2   1 ‏t  اکنون می توان ماتریس RوR یا 1 1 2 i 2   i ‏ ‏ ‏ 2 ‏ ‏Rt  و 2  i 2 1 ‏ ‏r2  را به دست آورد ‏i 1 و با نشاندن آنها در رابطه ( )116-4داریم 2  i 2  1 ‏ ‏R ‏1 0  ‏ 2  ‏ 0 ‏ 1 ‏ ‏ سرانجام ،چون قطری سازی ماتریس  3آسان و مانند دو ماتریس قبلی است آن را به 41عهده خواننده می گذاریم. 7 مثال53-4صفحه 281کتاب درسی :ماتریس 22زیر را قطری کنید. 4 ‏ 2 حل) از معادله سرشتی ( )110-4داریم ‏5 ‏A  ‏1 4 ‏ 5   (2  )  4 0 2  5  1 ‏2  7  6 (  1)(  6) 0 41 8 بنابراین ویژه مقدارها برابرند با 1 6و 2 1در نتیجه ماتریس قطری جدید برابراست با ‏ 6 0 ‏ ‏A  ‏ 0 1 اPما می توانستیم با تعیین ویژه بردارها A ،را از رابطه ( )117-4به دست می آوریم که این کار را به عهده خواننده می گذاریم. ‏1 ()4-117 ‏A R AR تمرین1-7-4صفحه 282کتاب درسی :ماتریس های نمایشگر مؤلفه های تکانه زاویه ای J z , J y , J xهرمیتی اند .نشان دهید ویژه مقدارهای مربوط به J  J , J y2, J z2 حقیقی نامنفی هستند. حل: 2 ‏x 2 ‏J xr xr  ‏ ‏J yr  yr J 2r (J x2  J y2  J z2 )r  J x2r  J y2r  J z2r (2x  2y  2z )r ‏J zr zr  ‏ 2 2 2 و ) ( x   y   zحقیقی ونامنفی است. 41 9  ویژه بردارها و ویژه مقدارهای ماتریس زیر را به: کتاب درسی283صفحه7-7-4تمرین .دست آورید  4  2   :ب  3 1  :حل 4   2 0  (4  )(1  )  6 0  2  5  4 6 0  2  5  2 0  3 1  5 25 8 5 33   1 5.37, 2  0.37 2 2   1.37  2   x1   0  5.37      1.37x1  2y1 0  y1  0.69x1      3  4.37  y1  0  2 1 2 1 x  y 1  0.83  x  ( 0.69x1) 1 x1 0.83 , r1    0 . 57   2 1 2 42 0 : کتاب درسی283صفحه7-7-4مه تمرینPادا  4.37  2   x2   0   0.37     4.37x2  2y2 0  y2 2.19x2      3 1.37  y2   0  0.42 2 2 2 2 x2  y2 1 x2  (2.19x2 ) 1 x2 0.42 , r2   0 . 91   42 1 تمرین8-7-4صفحه 284کتاب درسی ( :الف) ویژه مقدارها و ویژه بردارهای ماتریس زیر را حساب کنید. ‏1   ‏ ‏ ‏  1 توجه کنید که ویژه مقدارها به ازای  0واگن هستند. (ب) ویژه بردارها و ویژه مقدارهای ماتریس زیر را حساب کنید. ‏ 1 1 ‏ 2 ‏ 1 ‏ توجه کنید که ویژه مقدارها به ازای  0واگن هستندوبرای این ماتریس نامتقارن،ویژه بردارها() 0فضا رادر بر نمی گیرند. حPل:الف: 1  ‏ ‏1  2 2 ‏A  ‏ ‏ 0 ‏ ( 1 ‏ ‏ ) ‏ ‏ ‏0  (1  )  ‏ ‏ 1 ‏ 1 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ 1 1  , 2 1  42 2      : کتاب درسی284صفحه8-7-4مه تمرینPادا    x1   0    x1  y1 0  x1  y1          y1  0 x12  y12 1 1 1 r1    2 1    x12  x12 1 x1  or 1 2 1   1   2   1     x2   0    x2  y2 0  x2  y2    y2   0 x22  y22 1 1  1 r2    2   1 x22  x22 1 x2  or  1  1   2   1 1 2 42 3 1 2, 0یPهمان طور که می بینید به ازا: کتاب درسی284صفحه8-7-4مه تمرینPادا . برهم عمودندr2 وr1 ،   0 و 0 به ازایr2 وr1است ولی با توجه به :ب 1  1  1 1 B  2   0  (1  )2   2 0  (1  )  1  1    1 1  , 2 1  1   x1   0     x1  y1 0  y1 x1        y1  0 1 x12  (x1)2 1 x1 1  2 1 x1  1  2  1 1 r1  2   1       1    2  42 4 اداPمه تمرین8-7-4صفحه 284کتاب درسی : 1   x2   0 ‏   x2  y2 0  y2  x2 ‏ ‏ ‏ ‏    y2   0 1 ‏x22  ( x2 )2 1 x2  1  2 ‏ 1 1 ‏r2  ‏ ‏ 1  2     ‏ ‏ 1    2 ‏ ‏ 1 به ازای 1 2 1, 0است وواگنی داریم.ولی به ازای r1 r2   , 0 ‏ 0 است.درنتیجه این دو ویژه بردار فضای کامل را تشکیل نمی دهند. 42 5 تمرین11-7-4صفحه 284کتاب درسی :مطابق شکل زیر دو جرم Mبا سه فنر به هم متصل و به دیوار بسته شده اند .فرض کنید این دو جرم در امتداد خط افقی باقی بمانند. ‏k ‏k ‏M ‏x2 42 6 ‏k ‏M ‏x1 الف:قانون دوم نیوتن را Pبرای هرجرم بنویسید. ب:ویژه مقدارها ومدهای بهنجار حرکت را تعیین کنید. حل: الف: : کتاب درسی284صفحه11-7-4مه تمرینPادا  x1     m x   kx  k ( x  x )  1  1 1 2      m x   kx  k ( x  x ) 2 2 2 1   x  2   k x  m 1 k x2  m k (x  x2 ) m 1 k (x2  x1) m ام جرمها با اینP بسامد مشترک این دستگاه باشد به طوری که تم فرض می کنیم:ب :در این حالت داریم.بسامد ارتعاش کنند x1  x.1eit x2  x.2eit : در روابط قسمت الف داریمx1 وx2 با قرار دادن  2   x10       2x  20   k x10  m k x20  m k (x10  x20) m  k (x20  x10) m k  2k 2 (   ) x  x20 0 10   m m   k x  ( 2k   2 )x 0 10 20  m  m 42 7 2k k m m 0  k 2k   2 m m k 3k  12  ,  22  m m k  k   m m  x10  0   k k   x20  0   m  m         2 2 10  2 20 x x k m k m 1 2 10 : کتاب درسی284صفحه11-7-4مه تمرینPادا k2 2k k 2 (  )   0  (   )   m m2 m m 2k 2 2 k k x10  x20 0  x10  x20 m m 2 10 x x 1 1 x10  2 , 1 2 , 1 1 r1    2 1 k m  x10  0   k x  k x 0  x  x 10 20 10 20 k   x20  0 m m   m  2 2 x10  x20 1 2 2 x10  x10 1 x10  r1  1  1   2   1 42 8 موفق وپیروز باشید 42 9