درس کنترل دیجیتال

درس کنترل دیجیتال

اسلاید 1: درس کنترل ديجيتالمهر 1389بسم ا... الرحمن الرحيمدکتر حسين بلندي- دکتر سید مجید اسما عیل زاده

اسلاید 2: طراحي بر اساس مكان ريشهروش مكان ريشه توسعه يافته براي سيستم هاي زمان پيوسته را مي توان بدون تغييري به سيستم هاي زمان گسسته تعميم داد بجز اينكه مرز پايداري در محور در صفحه S به دايره واحد در صفحه Z تبديل مي شود.دليل اينكه روش مكان ريشه را مي توان براي سيستم هاي زمان-گسسته تعميم داد آن است كه معادله مشخصه سيستم هاي زمان-گسسته از همان نوع مانند مكان ريشه در صفحه S است. معادله مشخصه سيستم ذيل مطابق رابطه ارائه شده مي باشد كه مشابه معادله تحليل مكان ريشه در صفحه S است:

اسلاید 3: طراحي بر اساس مكان ريشهشرايط زاويه و اندازه: در بسياري از سيستم هاي كنترل زمان گسسته خطي تغييرناپذير با زمان، معادله مشخصه را مي توان به يكي از دو شكل ذيل بيان نمود: براي تركيب اين دو شكل به يك شكل، معادله مشخصه به صورت ذيل تعريف مي گردد: كه در آن:

اسلاید 4: طراحي بر اساس مكان ريشهشرايط زاويه و اندازه: در بسياري از سيستم هاي كنترل زمان گسسته خطي تغييرناپذير با زمان، معادله مشخصه را مي توان به يكي از دو شكل ذيل بيان نمود: براي تركيب اين دو شكل به يك شكل، معادله مشخصه به صورت ذيل تعريف مي گردد: كه در آن: تابع تبديل پالسي حلقه باز:

اسلاید 5: طراحي بر اساس مكان ريشهشرايط زاويه و اندازه: شرايط زاويه: شرايط اندازه: مقاديري از ‌Zكه هر دو شرط زاويه و فاز را برآورده نمايد ريشه هاي معادله مشخصه يا قطبهاي حلقه بسته هستند

اسلاید 6: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● شكلي از نقاط در صفحه مختلط كه تنها شرط زاويه را براورده مي كنند مكان ريشه است. ريشه هاي معادله مشخصه (قطبهاي حلقه بسته) متناظر با يك مقدار داده شده ضريب بهره را مي توان از شرط اندازه تعيين نمود● به علت اينكه قطبهاي مختلط مزدوج و صفرهاي مختلط مزدوج حلقه باز، در صورتي كه وجود داشته باشند نسبت به محور حقيقي هميشه بطور متقارن قرار مي گيرند، مكان ريشه ها نسبت به محور حقيقي همواره متقارن مي باشد، بنابراين لازم است كه تنها نيمه بالاي مكان ريشه را بسازيم و سپس تصوير آئينه اي نيمه بالا را در نيمه پائين صفحه رسم نمائيم

اسلاید 7: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: در ذيل قواعد كلي ساختن مكان ريشه عنوان مي گردد:مرحله 1: در اين مرحله بايد معادله مشخصه را بصورت ذيل بدست آورد: معادله فوق را بايد بصورت ذيل چنان اصلاح كرد كه پارامتر مورد نظر مانند ضريب بهره K بعنوان عامل ضرب شونده به شكل ذيل ظاهر شود:

اسلاید 8: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: مطابق معادله فوق مشخص است كه صفرهاي حلقه باز صفرهاي در حاليكه صفرهاي حلقه بسته شامل صفرهاي و قطبهاي مي باشد. مرحله دوم-پيدا كردن نقاط شروع، نقاط پايانه اي و تعداد شاخه هاي جدا از هم مكان ريشه: نقاط روي مكان ريشه متناظر با اين مقدار قطبهاي حلقه باز هستندنقاط روي مكان ريشه متناظر با اين مقدار صفرهاي حلقه باز هستند● وقتي از صفر تا بينهايت افزايش مي يابد يك مكان ريشه از يك قطب حلقه باز شروع شده و در يك صفر پاياندار حلقه باز يا يك صفر بي پايان حلقه باز پايان مي يابد.

اسلاید 9: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● پس منحني مكان ريشه به تعداد ريشه هاي معادله مشخصه شاخه خواهد داشت.● اگر تعداد قطبهاي حلقه بسته n برابر تعداد قطبهاي حلقه باز باشد، در آن صورت تعداد شاخه هاي جدا از هم مكان ريشه كه در يك صفر پاياندار حلقه باز پايان مي يابد برابر عدد m تعداد صفرهاي حلقه باز است. تعداد n-m شاخه باقيمانده در بينهايت (در n-m صفر ضمني در بينهايت ) در امتداد مجانبها پايان مي يابد

اسلاید 10: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: مرحله سوم-تعيين مكان ريشه روي محور حقيقي: مكان ريشه روي محور حقيقي از قطبها و صفرهاي حلقه باز قرار گرفته روي آن تعيين مي شود. قطبها و صفرهاي مختلط مزدوج تابع تبديل پالسي حلقه باز تاثيري بر روي محل مكان ريشه روي محور حقيقي ندارند. ● در ساختن مكان ريشه روي محور حقيقي يك نقطه آزمايشي بر روي آن انتخاب كرده و از معيار ذيل استفاده مي گردد: ● اگر تعداد كل قطب هاي حقيقي و صفرهاي حقيقي در سمت راست اين نقطه آزمايشي فرد باشد، در اين صورت اين نقطه بر روي مكان قرار دارد.

اسلاید 11: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: مرحله چهارم-تعيين مجانبهاي مكان ريشه : اگر نقطه آزمايشي دور از مبدأ قرار گرفته باشد، مي توان زواياي تمامي كميتهاي مختلط را يكسان در نظر گرفت.● براي مقادير بزرگ مكان ريشه بايد به خطوط مستقيمي كه زاويه آنها در زير داده مي شود مجانب گردد:● كه در آن:تعداد قطبهاي پايان دارتعداد صفرهاي پايان دار

اسلاید 12: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: در اينجا با مجانبي كه كوچكترين زاويه را با محور حقيقي مي سازد متناظر است. اگر چه تعداد بينهايت مقدار را به خود مي گيرد، با افزايش زاويه ها تكرار مي شوند و تعداد مجانبهاي متمايز است. ● تمام مجانبها همديگر را روي محور حقيقي قطع مي كنند. نقطه اي كه در آن همديگر را قطع مي كنند مطابق ذيل بدست آورده مي شود:

اسلاید 13: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● براي مقادير بزرگ معادله فوق را مي توان بصورت ذيل تقريب زد:

اسلاید 14: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● اگر طول نقطه تقاطع مجانبها و محور حقيقي را با نشان دهيم، خواهيم داشت:● با معلوم بودن تقاطع مجانبها و محور حقيقي، مجانبها را مي توان در صفحه مختلط رسم كرد.

اسلاید 15: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● مرحله پنجم- نقاط برشكست و نقاط درشكست: به علت تقارن مزدوجي مكان ريشه، نقاط برشكست و نقاط درشكست يا بر روي محور حقيقي هستند يا به صورت جفتهاي مختلط مزدوج ظاهر مي شوند. ● اگر مكان ريشه ميان دو قطب حلقه باز مجاور روي محور حقيقي قرار گرفته باشد در اين صورت ميان اين دو قطب حداقل يك نقطه شكست وجود دارد.● بطور مشابه اگر مكان ريشه ميان دو صفر مجاور (يك صفر ممكن است در قرار گيرد) روي محور حقيقي قرار بگيرد، در اين صورت هميشه حداقل يك نقطه در شكست ميان اين دو صفر وجود خواهد داشت.

اسلاید 16: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● براي پيدا كردن نقاط شكست، معادله مشخصه ذيل در نظر گرفته مي شود:

اسلاید 17: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● نقاط برشكست و درشكست را مي توان از ريشه هاي معادله زير تعيين كرد :● اگر مقدار متناظر با يك ريشه از معادله مثبت باشد، نقطه يك نقطه برشكست يا درشكست است، زيرا نامنفي فرض شده است. ● اگر مقدار بدست آمده منفي باشد، نقطه نه نقطه برشكست و نه نقطه درشكست است.

اسلاید 18: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● مرحله ششم- تعيين زاويه ورود يا زاويه خروج مكان ريشه از قطبها يا صفرهاي مختلط● زاويه خروج (يا زاويه ورود) مكان ريشه از يك قطب مختلط (يا در يك صفر مختلط) را مي توان با تفريق كردن مجموع تمام زواياي خطوط (كميتهاي مختلط) از همه قطبها و صفرهاي ديگر به قطب مختلط (يا صفر مختلط) مورد نظر از 180 درجه با منظور كردن علامتهاي مناسب پيدا كرد. زاويه خروج از قطب

اسلاید 19: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● مرحله هفتم- پيدا كردن نقاطي كه در آن مكان ريشه محور انگاري را قطع مي كند● نقاطي را كه در آن مكان ريشه محور انگاري را قطع مي كند با قرار دادن در معادله مشخصه (كه شامل ضريب بهره نامشخص نيز هست) و صفر قرار دادن هم جزء حقيقي و هم جزء موهومي و حل كردن آنها نسبت به و بدست آورد.● مقادير و فوق به ترتيب محل تلاقي مكان ريشه با محور انگاري و مقدار ضريب بهره متناظر را به دست مي دهند.

اسلاید 20: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● مرحله هشتم- يافتن قطبهاي حلقه بسته براي يك ضريب بهره ● يك نقطه خاص وقتي قطب حلقه بسته خواهد بود كه مقدار ضريب بهره شرط اندازه را برآورده نمايد. ● شرط اندازه مطابق ذيل مي باشد:

اسلاید 21: طراحي بر اساس مكان ريشهروش كلي ساختن مكان ريشه: ● اگر مقدار ضريب بهره تابع تبديل پالسي حلقه باز در مسئله داده شده باشد، در اين صورت با اعمال شرط اندازه فوق مي توان قطبهاي حلقه بسته را براي يك داده شده در روي هر شاخه از مكان ريشه با روش خطا و آزمون تعيين كرد.

اسلاید 22: طراحي بر اساس مكان ريشهدياگرامهاي مكان ريشه سيستم هاي كنترل ديجيتال● در اين بخش سيستم كنترل ديجيتال ذيل در نظر گرفته مي شود:● كنترل كننده ديجيتال از نوع انتگرالي مي باشد:

اسلاید 23: طراحي بر اساس مكان ريشهدياگرامهاي مكان ريشه سيستم هاي كنترل ديجيتال● هدف اين است كه دياگرام هاي مكان ريشه براي سه مقدار دوره تناوب نمونه برداري 5/ ثانيه، 1 ثانيه و 2 ثانيه رسم گردد. همچنين مقدار بحراني را براي هر يك از اين سه حالت تعيين كرده و در نهايت محل قطبهاي حلقه بسته متناظر با را براي هر يك از اين سه حالت بدست آوريم. ● حل: براي اين منظور ابتدا تبديل را بدست مي آوريم:

اسلاید 24: طراحي بر اساس مكان ريشهدياگرامهاي مكان ريشه سيستم هاي كنترل ديجيتال● در اين صورت تابع تبديل پالسي پيش خور چنين مي شود:

اسلاید 25: طراحي بر اساس مكان ريشهدياگرامهاي مكان ريشه سيستم هاي كنترل ديجيتال 1- در اين حالت داريم:در اين حالت داراي قطبهائي در و و يك صفر در مي باشدبراي رسم مكان هندسي ابتدا بايد قطبها و صفرها را در صفحه مشخص كرد و سپس نقاط برشكست و درشكست را تعيين نمود.

اسلاید 26: طراحي بر اساس مكان ريشهدياگرامهاي مكان ريشه سيستم هاي كنترل ديجيتالنحوه بدست آوردن نقاط شكست:نقطه برشكستنقطه درشكست

اسلاید 27: طراحي بر اساس مكان ريشهدياگرامهاي مكان ريشه سيستم هاي كنترل ديجيتالنمودار مكان ريشه

اسلاید 28: مقدار بحرانی ضریب را می توان با استفاده از شرط اندازه بدست آورد:چون مقدار بحرانی به ازای بدست آورده می شود، بنابراین بجای مقدار را قرار می دهیم:

اسلاید 29: قطبهای حلقه بسته متناظر با را می توان بصورت ذیل بدست آورد که در شکل ذیل با نقطه ها مشخص شده اند:

اسلاید 30: 2- دوره تناوبدر این حالت داریم:که دارای قطبی در و و صفری در می باشدمقادیر نقاط برشکست و درشکست مطابق ذیل می باشند:نقطه برشکستنقطه درشکست

اسلاید 31: در این حالت مکان هندسی ذیل را خواهیم داشت:در این حالت مقدار بحرانی ضریب بهره برابر می باشددر این حالت قطبهای حلقه بسته متناظر با بصورت ذیل می باشد :

اسلاید 32: 3- دوره تناوبدر این حالت داریم:که دارای قطبی در و و صفری در می باشدمقادیر نقاط برشکست و درشکست مطابق ذیل می باشند:نقطه برشکستنقطه درشکست

اسلاید 33: در این حالت مکان هندسی ذیل را خواهیم داشت:در این حالت مقدار بحرانی ضریب بهره برابر می باشددر این حالت قطبهای حلقه بسته متناظر با بصورت ذیل می باشد :

اسلاید 34: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا مشخصه های پاسخ گذرای سیستم کنترل زمان گسسته به دوره تناوب بستگی دارد ● ● اگر سیستم میرای ضعیف باشد، یک قاعده سرانگشتی آن است که در طول نوسانات سینوسی میرا شده 8 تا 10 بار باید از خروجی سیستم حلقه بسته نمونه برداری شود. برای سیستم های میرای شدید 8 تا 10 بار در طول زمان صعود پاسخ پله نمونه برداری گردد.● تحلیل قبل نشان داد که برای یک مقدار داده شده ضریب بهره افزایش دوره تناوب نمونه برداری پایداری سیستم کنترل زمان گسسته را کمتر کرده و سرانجام آن را ناپایدار می کند. برعکس کاهش دوره تناوب نمونه برداری موجب می شود مقدار بحرانی ضریب بهره برای پایداری زیادتر شود.

اسلاید 35: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● برای سیستم ذیل نسبت میرائی قطبهای حلقه بسته را برای برای هر یک از سه حالت پیشین می توان مطابق دیاگرامهای ارائه شده بدست آورداثر دوره تناوب بر نسبت میرائی

اسلاید 36: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● مطابق شکل نسبتهای میرائی برای قطبهای حلقه بسته متناظر با ، و به ترتیب برابر با ، و می باشند

اسلاید 37: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● نسبت میرائی یک قطب حلقه بسته را می توان از محل قطب حلقه بسته در صفحه بطور تحلیلی نیز تعیین کرد ● اگر نسبت میرائی قطب حلقه بسته برابر باشد، در این صورت محل قطب حلقه بسته در صفحه (در نیمه بالای صفحه) را می توان بصورت زیر بیان کرد:

اسلاید 38: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● نسبت میرائی را می توان از دو معادله فوق (اندازه و فاز) بدست آورد. ●بعنوان مثال برای دوره تناوب برابر 5/ ثانیه و برای قطب حلقه بسته را خواهیم داشت که از روی آن می توان نسبت میرائی را بصورت ذیل بدست آورد: ● که به مقدار که از روی گراف بدست آمد نزدیک می باشد.

اسلاید 39: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● مطابق شکل نسبتهای میرائی برای قطبهای حلقه بسته متناظر با ، و به ترتیب برابر با ، و می باشند

اسلاید 40: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● برای بررسی اثر در پاسخهای گذرا، دنباله های پاسخ پله واحد برای سه مقدار در نظر گرفته شده در تحلیل قبل مقایسه خواهیم کرد ● برای این منظور تابع تبدیل پالسی حلقه بسته را برای سیستم ذیل بدست می آوریماثر دوره تناوب بر پاسخ پله

اسلاید 41: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● در این صورت دنباله پاسخ پله واحد ذیل را خواهیم داشت:

اسلاید 42: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● زاویه خطی که مبدأ و قطب حلقه بسته غالب را در بهم وصل می کند مطابق شکل ذیل تقریبا 25/58 درجه می باشد. ● زاویه در واقع تعداد نمونه ها در هر سیکل نوسانات سینوسی را تعیین می کند.

اسلاید 43: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● باید توجه کرد که ● بنابراین برای زاویه همانطور که از شکل پاسخ پله مشهود است، تعداد نمونه در هر سیکل نوسانات میرا شده داریم

اسلاید 44: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● برای و داریم ● در این صورت پاسخ پله ذیل را خواهیم داشت:

اسلاید 45: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● زاویه خطی که مبدأ و قطب حلقه بسته غالب را در این حالت بهم وصل می کند مطابق شکل ذیل تقریبا 1/85 درجه می باشد و تقریبا نمونه در هر سیکل داریم که از مقدار توصیه شده به مراتب کمتر می باشد

اسلاید 46: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● برای و داریم ● در این صورت پاسخ پله ذیل را خواهیم داشت:

اسلاید 47: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● زاویه خطی که مبدأ و قطب حلقه بسته غالب را در این حالت بهم وصل می کند مطابق شکل ذیل تقریبا 87/143 درجه می باشد و در نتیجه نمونه در هر سیکل داریم

اسلاید 48: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● بنابراین مطابق شبیه سازیهای انجام داده اگر دوره تناوب نمونه برداری کوچک باشد در این صورت منحنی نسبت به تصویر روشن نسبتا دقیقی از پاسخ بدست می دهد. اما اگر دوره تناوب نمونه برداری کوچک نباشد در این صورت منحنی نسبت به نتایج دقیق را به روشنی تصویر نخواهد کرد.

اسلاید 49: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● اثر دوره تناوب بر دقت حالت دائمی ● برای این منظور برای هر یک از سه حالت قبل پاسخ شیب واحد را در نظر می گیریم ● برای حالتی که دوره تناوب برابر 5/ ثانیه و ضریب بهره برابر 2 باشد داریم: ● ثابت خطای سرعت استاتیکی

اسلاید 50: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● خطای دائمی در پاسخ به ورودی شیب مطابق ذیل خواهد گردید:

اسلاید 51: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● اثر دوره تناوب بر دقت حالت دائمی ● برای حالتی که دوره تناوب برابر 1 ثانیه و ضریب بهره برابر 2 باشد داریم: ● ثابت خطای سرعت استاتیکی

اسلاید 52: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● خطای دائمی در پاسخ به ورودی شیب مطابق ذیل خواهد گردید:

اسلاید 53: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● اثر دوره تناوب بر دقت حالت دائمی ● برای حالتی که دوره تناوب برابر 2 ثانیه و ضریب بهره برابر 2 باشد داریم: ● ثابت خطای سرعت استاتیکی

اسلاید 54: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● خطای دائمی در پاسخ به ورودی شیب مطابق ذیل خواهد گردید:

اسلاید 55: اثرات دوره تناوب نمونه برداری بر مشخصه های پاسخ گذرا ● باید توجه گردد که نسبت میرائی قطبهای حلقه بسته سیستم کنترل دیجیتال تنها وقتی نشانگر پایداری نسبی است که فرکانس نمونه برداری به قدر کافی بالا باشد(8 نمونه یا بیشتر برای هر سیکل نوسانی میرا شده). اگر دوره تناوب نمونه برداری پائین باشد (کمتر از 6 نمونه برای هر سیکل نوسان سینوسی میرا شده) در این صورت پیش بینی پایداری نسبی از نسبت میرائی نادرست است ● نتیجه گیری: ● سه حالت در نظر گرفته شده در فوق نشان می دهند که افزایش دوره تناوب نمونه برداری اثر معکوس بر پایداری نسبی سیستم می گذارد. حتی در برخی مواقع ممکن است موجب ناپایداری شود.

اسلاید 56: ● مثال: سیستم کنترل دیجیتال ذیل در نظر گرفته می شود، یک کنترل کننده دیجیتال در صفحه چنان طراحی کنید که قطبهای حلقه بسته غالب دارای نسبت میرائی 5/ بوده و زمان مستقر شدن آن 2 ثانیه باشد. دوره تناوب نمونه برداری برابر 2/ ثانیه فرض شده است. پاسخ سیستم کنترل دیجیتال طراحی شده را به ورودی پله واحد بدست آورید. همچنین ثابت خطای سرعت استاتیکی سیستم را بدست آورید.

اسلاید 57: ● برای سیستم مرتبه دوم استاندارد با یک جفت قطب حلقه بسته غالب، زمان مستقر شدن 2 ثانیه بدین معناست که: ● بنابراین فرکانس طبیعی میرا شده سیستم مطابق ذیل خواهد بود:

اسلاید 58: ● همچنین چون زمان نمونه برداری 2/ ثانیه است داریم: ● بنابراین در قیاس با فرکانس طبیعی میرا نشده تقریبا 9 نمونه در هر سیکل نوسان میرا شده داریم که رضایت بخش است

اسلاید 59: ● برای بدست آوردن قطبهای حلقه بسته غالب سیستم از روابط ذیل استفاده می کنیم:

اسلاید 60: ● بنابراین: ● معادل نقطه در شکل ذیل

اسلاید 61: ● با توجه به اينكه دوره تناوب نمونه برداري 2/ ثانيه است، تابع تبديل پالسي دستگاهي كه نگهدارنده مرتبه صفر پيش از آن قرار دارد را مي توان به صورت زير بدست آورد:

اسلاید 62: ● در اين صورت قطبها و صفر را مطابق شكل ذيل در صفحه معين مي كنيم. ● اگر نقطه بايد محل قطب حلقه بسته غالب مورد نظر در نيمه بالاي صفحه باشد در اين صورت مجموع زوايا در اين نقطه بايد باشد اين در حالي است كه مجموع زوايا مطابق شكل چنين است: ● نقص زاويه

اسلاید 63: ● در نتيجه: تابع تبديل پالسي كنترل كننده بايد 51/26+ را فراهم نمايد. براي اين منظور تابع تبديلي بصورت ذيل در نظر گرفته مي شود: ● نحوه تعيين قطب و صفر فوق: ● صفر كنترل كننده را طوري انتخاب مي كنيم كه با قطب در حذف شود ● قطب كنترل كننده را طوري انتخاب مي كنيم كه زاويه 51/26+ را فراهم نمايد

اسلاید 64: ● پس ساختار كنترل كننده ذيل را خواهيم داشت: تابع تبديل حلقه باز بدست آوردن ثابت از شرط اندازه

اسلاید 65: ● پس كنترل كننده ديجيتال طراحي شده ذيل را خواهيم داشت: ● تابع تبديل پالسي حلقه باز سيستم كنوني ● تابع تبديل پالسي حلقه بسته

اسلاید 66: ● پاسخ پله: ● مي توان نشان داد كه شكل پاسخ پله مطابق ذيل خواهد گرديد:

اسلاید 67: ● مطابق شكل حداكثر فراجهش تقريبا 16 درصد(به معناي نسبت ميرائي تقريبا 0/5) و زمان مستقر شدن تقريبا 2 ثانيه است. و بنابراين كنترل ديجيتال طراحي شده شرايط مورد نظر را براورده مي سازد. ● ثابت خطاي استاتيكي مطابق ذيل بدست آورده مي شود:

اسلاید 68: ● اگر لازم باشد كه مقدار بزرگي براي داشته باشيم، در اين صورت بايد جبران كننده پس افت در نظر بگيريم. مثلا اضافه كردن يك صفر در و يك قطب در مقدار را سه برابر افزايش مي دهد: ● تذكر: ● جبران كننده پس افت كه داراي يك قطب و صفر بسيار نزديك هم باشد، مكان ريشه را در نزديكي قطبهاي حلقه بسته غالب به مقدار قابل ملاحظه اي تغيير نمي دهد. اثر جبران كننده پس افت بر پاسخ گذرا، بوجود آمدن مؤلفه گذراي كوچك اما با كاهش آهسته است. اما چنين گذراي كوچك اما آهسته، از ديدگاه اغتشاش يا تضعيف نويزي مطلوب نيست، زيرا پاسخ ناشي از اغتشاشات سريعا تضعيف نخواهد شد.