صفحه 1:
سيكنال ها و سيستم ها
درس هفدهم
—
MV Lab
صفحه 2:
AY heuer
2 {i
جاذبه‌ها و تعریف تبدیل لاپلاس "7
)85060( مثالهايى از تبديل لايلاس و ناحيه همكرايى
ROC خصوصیات 7
a
H.R. POURREZA,
صفحه 3:
۰ “
UW Jet se
oe ,“ 4#
بتي-00003ي 0 ة0ة0ة0ة00060007000003_3_39397969690اااااا EE
© تبدیل فوریه پیوسته در زمان (2۲)) امکانات زیادی را به ما می‌داد
* آتالیز پاسخ فرکانسی سیستم‌های ۱۲۱
* نموته‌گیری
* مدولاسیون
7 اما با این وجود چرا ما باز هم به تبدیل اهتیاج داریم
7 نگاهی به تبدیل لاپلاس به عنوان نسخه توسعه یافته تبدیل فوریه نشان
می‌دهد که این تبدیل امکان آنالیز کلاس وسیع‌تری از سیکنالها و
سیستم‌ها را فراهم می‌کند
7 بصورت خاص, تبدیل فوریه قادر به کار بر روی کلاس‌های بزرگی از سیکنالها
و سیستم‌های ناپایدار نیست . وقتی ae
00 = ۵۵| /
00
H.R. POURREZA,
صفحه 4:
© 17155 el.
Ul be عاذ ای
—4 ۰ 0 9
7" در خیلی از کاربردها لازم است که با سیستم‌های ناپایدار سروکار داشته
باشیم:
© پایدارسازی پاندول معکوس
" پایدارسازی یک هواپیما و یا فضاپیما
* ناپایداری در برفی کاربرها مفید است. مثل اسیلاتورها و لیزر
۲.8۰ ۴۵۷8882۸
صفحه 5:
MV Lab
i Le tbe
" چگونه می‌توان چنین سیکنال/سیستمی را آنالیز کرد؟
با توجه به مطالب جلسه پنجم. خصوصیت توابع ویژه سیستم‌های LT]
H(s) = / A(Qen*de (assuming this converges)
H(s)e**
٠ “ع تابع,
* س)(+ 5-0 در حلتتكعام مرق ولند مختلط باشد
۲.8۰ ۴۵۷8882۸
صفحه 6:
apa be
a(tye “dt — L{a(t)}
8 = 0 } jw isa complen variable — Now we explore the full range of »
7 ایده های اصلی
absolute integrability ueeded
0 X@)= Xo +50) = f Ine Je dt = Fate *}
(2) A critical issue in dealing with Laplace transform is convergence:
X(s) generally exists only for some values of s.
located in what is called the region of convergence (ROC)
ROG = دی سب ju مه that / ke(Qe-*"| dt < oc}
۳ 1
Depends
(3) If.s=jevis in the ROC (i.e. ¢= 0), then only O82 واي
integrability
7۲ )۶(| سره = FA}. p. pourneza condition
صفحه 7:
#
(a an arbitrary real or complex number) مثال ا: "7
۱۷/۱ ۱۷ 52218
۳ + no Fourrer Transform
Refa}>0 Re{a}<0 سر + but Laplace Transform
“Ses sa exists
Sees IP
oo! أنه
Xi(s) = 1 e “ultye aes f p (stat ae
= 0
0
= مهم گت هام 4)
sta 0 sta
DURREZA,
This converges only if Re(s+a) > 0, ie, Re(s) > -Re(a)
صفحه 8:
apo Wi fe
bach اس
Key Point (and key difference fom FD): Need both X(s) and ROC to
uniquely determine x(7). No such an issue for 1
H.R. POURREZA
صفحه 9:
© 115 Ab, ٠١
Roc ES عمل
مثال ۲ مثال ۱
1
Refs} < Rela} = او ماع( سل
oty(t) - right-sided signal )يس
ba
‘atu (—t) - left-sided signal
re Sm
s-plane s-plane
H.R. POURREZA
صفحه 10:
رات لوا
تسس هه
jl Gd © تبدیلات لاپلاس (نه همه) مهم توابع گویایی از 5 هستند (مثال
های ۱ 9 ۰۲ پاسخ ضریه سیستم‌های ۲1 که با ۱00 بیان می‌شوند) که
در آن
و X(3) = 5+ N(s),D(s) ~ polynomials in
* به ريشه های (۱۱)5 صفرهای (2)5 می‌گوییم
* به X(S) Glens D(S) gle airy 9544
X(t) yo © شامل ترکیب خطی نمایی‌های مختلط برای 1<0] و 0>], تبدیل
لاپلاس گویا دارد
۲.8۰ ۴۵۷8882۸
صفحه 11:
Rofs} > 2
s-plane
Re
stat
2
لد
Reguires Re{s} > 1
a(t) = 3e% u(t) —26-*u(t)
X(s) = م تا tle
ا ]5
/
BOTH required = 0
ROC intersection 7
۵ - ووو - جر
Notation: as
x — pole
o— zero
60 2
7 A
H.R. POt
have FT? روط :و
صفحه 12:
roc ssh fa
7" برخی سدکنال‌ها تبدیل لاپلاس ندارند ۸۵ ندارند)
0 (۱0 = 90 for all o
we) - ند
() x(t) =e! for allt FL: XGiw
له ها مج ع و / )۳ /
(5)لا فقط برلى506 تعريفشدفى در ۱۲ ما لیمپلاسن‌دابيم
۲.8۰ ۴۵۷8882۸
صفحه 13:
ROC Ly”
SS
تنها مالاتممجدیرا شاملم‌ش ود 800 ۳
شامل مجموعه ای از خطوط موازی با محور داز در صفحه 5 است 0-۱
(یعنی 8۵ تنها وابسته به 6 است). چرا؟
1 ۳ [ jeer" ia. ee cape cape = EES
X(S) 51 -P كويا باشد. در اين صورت 0 شامل هیج قطبی نیست. هرا؟
قطب‌ها در جایی قرار می‌گیرند که 2)5(<0
N(s)
= XM OS = Not convergent.
H.R. POURREZA,
صفحه 14:
ROC Ly”
2: هه« «(د(د1د1د1ددد
۳- اکر (6) در بازه ای محدود مقدار داشته باشد و اکیدا انتگرال پذیر باشد.
آنگاه 06 شامل کل صفحه 5 است.
A finite integration interval
b
> مه it [ |x()|dt < 00
Jr,
H.R. POURREZA,
صفحه 15:
ROC Ly”
Sy X(t) 451 -1€ طرفه راست باشد (یعنی برای تمام زمان‌های قبل از یک
زمان خاص مقدار صفر داشته باشد)؛ و اگر
ys RE(S)=0, ۳۵6 باشد آنگاد همه مقادیر 5 که در آن
6< (۳6)5 لستفیز در ۵ قرار دابند
9 1
ROC نيم صفحه رلستفسطة),8/1)
صفحه 16:
۰
ROC Ler”
=a =
=
۵- اگر (۲)< یک طرفه چپ باشد (یعنی برای تمام زمان‌های بعد از یک زمان
خاص مقدار صفر داشته باشد)؛ و اگر
ys RE(S)=0, ۳۵6 باشد آنگاد همه مقادیر 5 که در آن
> (۳6)5 لستفیز در ۵ قرار دابند
Sm
۷/۷, چپاس۳ and_v ey ROO
صفحه 17:
ROC Ly”
adybo g X(t) 351-4 باشد و اگر خط و86)5(<6 در 80 باشد, آنگاه
silad Lois ROC دد صفحه eau! s كه cu! Re(S)=G, ba ; Lobb
xt)
Oyergp of
0 1 Ot i, 8 ٩۱۳۱0 -
۱ RHP 4 LHP
قم ROC is,
b+ 1
BU ors
ROC is
Te 9 Te 1
۲.8۰ ۴۵۷8862۸
صفحه 18:
۱
9<0 constant (e%) and
will be integrable
+ Looks bad: no اكع
will dampen both
b<0 sides
H.R. POURREZA,
صفحه 19:
۰
35
ROC Ler”
5 ا
c(t) = out) + 009 8
a(t) 565 8 i ) ۳
1
م < (ها»8 ويج
Overlap if b > 0+ X(s) = 2%, with ROC:
im
{s} <b
s-plane
4 pb | Re
7 اگر 0> باشد چه می‌شود؟ بفش همپوشانی وجود ندارد و لذا تبدیل لاپلاس نداریم
۲.8۰ ۴۵۷8882۸
صفحه 20:
<< 2
? . 17155 ©
ROC Ler”
۳
=e
۷- اگر (۱))5 گویا باشد. آنگاه 0 محدود به قطب ها است و یا بسط
داده شده به بی‌نهایت. علاوه بر اين. هیج قطبی از (26)5 در 20 نیست
۸- فرض کنید که (۱))5 گویا است. آنگاه
X(t) 551 (call يك طرفه راست باشد. 0 سمت راست. راست‌ترین قطب است
ب) اگر () یک طرفه چپ باشد. 0 سمت چپ. چپ‌ترین قطب است
bm Sm Sm
iil i ۱
0 0 0
۲.8۰ ۴۵۷8882۸
صفحه 21:
<< 4
0 175 ©
ROC Ler”
مي ا 939
-٩ اکر ۲۵ شامل محور ساز باشد. در این صورت (6)* تبدیل فوریه دارد.
متا )3+ (s ا
ل (9- مب - 8
Three possible ROCs
9 08
۱ 0 اا
هجهل x
3 1 Re
Fourier
Transform:
exists?
x(0) is right-sided. ROC: 11 No
x(/)is left-sided ROC: 1 No
extends for all time ROC: 1 Yes مد