فرآيند تحليل سلسله مراتبی (Analytical Hierarchy Process (AHP

فرآيند تحليل سلسله مراتبي Analytical Hierarchy Process (AHP) Amin Saremi Hamid Mohammadi انواع حالتهاي تصميم گيري • فضاي پيوسته يا گسسته • تك معياره يا چند معياره • معيارهاي كمي يا كيفي مشكالت تصميم گيري چندمعياره • فقدان استاندارد براي اندازه گيري معيارهاي كيفي • فقدان واحد براي تبديل معيارها به يكديگر اصول فرآيند تحليل سلسله مراتبي • شرط معكوسي ()Reciprocal Condition • اصل همگني ()Homogeneity • وابستگي ()Dependency • انتظارات ()Expectation مزاياي فرآيند تحليل سلسله مراتبي (Saaty 1990) )Unity( يگانگي )Complexity( پيچيدگي )Interdependency( همبستگي متقابل )Hierarchy Structure( ساختار سلسله مراتبي )Measurement( اندازه گيري )Consistency( سازگاري )Synthesis( تلفيق )Tradeoff( تعادل )Judgment & Consensus( قضاوت گروهي )Repetition( تكرار • • • • • • • • • • مقاالت و پژوهشهاي مربوطه • يك شماره از European Journal of Operational Research • دو شماره از Socio Economic Planning • دو شماره از Mathematical Modeling • هر شش ماه يك ژورنال اختصاصي در چين • حدود 20عنوان كتاب فرآيند تحليل سلسله مراتبي در يك نگاه • حل يك مثال طي قدمهاي: • ساختن سلسله مراتبي • محاسبه وزن • سازگاري سيستم • مثال :با توجه به چهار معيارقيمت ،مصرف سوخت ،راحتي و مدل از بين سه اتومبيل Aو Bو Cمي خواهيم يكي را انتخاب كنيم؟؟؟ ساختن سلسله مراتبي انتخاب بهترين اتومبيل مصرف سوخت راحتي مدل ‏C ‏B ‏A قيمت محاسبه وزن • وزن نسبي :عناصر هر سطح نسبت به عنصرمربوطه خود در سطح باالتر به صورت زوجي مقايسه شده و وزن آنها محاسبه مي گردد. • وزن مطلق :وزن نهايي هر گزينه با تلفيق وزنهاي نسبي • در مقايسه عنصر iبا عنصر jاهميت iبر jيكي از حاالت زير است:  قضاوت شفاهي،ترجيحات 9 Extremely preferred 7 5 Very strongly preferred Strongly preferred 3 Moderately preferred 1 Equally preferred 2,4,6,8 كامال مرجح ترجيح خيلي قوي ترجيح قوي كمي مرجح ترجيح يكسان ترجيحات بين فواصل • از نظر معيار راحتي • ترجيح Aبر B: 2 • ترجيح Aبر C: 8 • ترجيح Bبر C: 6 ‏C 8 6 1 ‏C 8 6 1 ‏B 2 1 ‏B 2 1 1/6 ‏A 1 ‏A 1 1/2 1/8 ‏A ‏B ‏C ‏A ‏B ‏C روشهاي محاسبه وزن نسبي • حداقل مربعات معمولي • حداقل مربعات لگاريتمي • بردار ويژه • روشهاي تقريبي(مثال ميانگين حسابي) روش ميانگين حسابي • قدم اول :مقادير هر يك از ستونها را با هم جمع مي كنيم • قدم دوم :هر عنصر در ماتريس مقايسه زوجي را به جمع ستون خودش تقسيم كرده تا ماتريس مقايسه زوجي نرماليزه شود • قدم سوم :ميانگين عناصر در هر سطر از ماتريس نرماليزه را محاسبه مي كنيم A A 1 B 1/2 C 1/8 sum 13/8 B 2 1 1/6 19/6 A B C C 8 6 1 15 A 0.61 5 0.30 8 0.07 7 A A B C 8/13 12/1 8/15 B C 4/13 6/19 6/15 1/13 1/19 1/15 B 0.63 1 0.31 6 0.05 3 C 0.53 3 0.40 0 0.06 7 9 متوسط سطر 0.593 0.341 0.066 1 مصرف قيمت ‏C 1/6 ‏B 1/4 ‏A 1 1/3 1 1 3 4 6 مدل مصرف قيمت 0.26 5 0.65 5 0.08 0 0.08 7 0.27 4 0.63 9 0.12 3 0.32 0 0.55 7 ‏A ‏B ‏C ‏A ‏B ‏C ‏C 1/4 ‏B 1/3 ‏A 1 1/2 1 1 2 3 4 ‏C ‏C 4 7 1 ‏B 4 1 1/7 ‏A 1 3 1/4 ‏A ‏B ‏C مدل ‏A ‏B محاسبه وزن معيارها نسبت به هم مدل راحتي مصرف قيمت 1 قيمت 1/4 1/4 1/3 1 مصرف 1/2 1 1/2 4 راحتي 1 2 1/2 4 مدل 2 2 3 • وزن نسبي معيارها(روش ميانگين): • قيمت398. 0 : • مصرف085. 0 : • راحتي218. 0 : • مدل299. 0 : – قيمت بيشترين وزن را داراست محاسبه وزن نهايي اتومبيل ها = A= 0.398*0.123+0.085*0.087+0.218*0.593+0.299*0.265 0.265 = B= 0.398*0.320+0.085*0.274+0.218*0.341+0.299*0.655 0.421 = C= 0.398*0.557+0.085*0.639+0.218*0.066+0.299*0.080 0.314 سازگاري سيستم • مفهوم سازگاري • ماتريس سازگار و ناسازگار • اگر رابطه ] a[i,k].a[k,j]=a[i,jبراي يكي از i، jو kها صادق نباشد ماتريس ناسازگار است. • اندازه گيري و كنترل ناسازگاري • اگر ناسازگاري بيش از 1. 0باشد بهتر است تصميم گيرنده در قضاوتهاي خود تجديدنظر كند محاسبه وزن به روش حداقل مربعات • اگر ماتریس Aسازگار باشد مقدار عددی ] a[i,jبرا&بر با Wi/Wjمی شود و در حالتی که ماتریس ناسازگار باشد وزنها بگونه ای محاسبه می شود که مجموع مربعات اختالفات نسبت وزنها و ] a[i,jحداقل گردد: ‏n n ‏min(z)    (ai , j wj  wi )2 ‏i 1j 1 ‏n ‏st:  Wi 1 ‏i 1 ‏ ‏ ‏n n ‏n ‏L   (ai , j wj  wi )2 2  wi  1 ‏i 1 j 1 ‏i 1 ‏n ‏n ‏ (ail wl  wi )ail   ( alj wj  wl )  0 l 1,2,...,n ‏i 1 ‏j 1 1  1 1 3 2  A  3 1 3 2 1 1 3   i, j, k | aik.ak, j ai, j a12  13, a23 3 a13( 12) a12.a23  13.3 1 15w1  10 w2  5 w3   0 3 2  10 w1  20 w2  10 w3   0 3 9 3  5 w1  10 w2  45 w3   0 2 3 4 w1  w2  w3 1 w1 0.1735 w2 0.6059 w3 0.2206 مثال محاسبه وزن به روش حداقل مربعات لگاریتمی • در این روش سعی می شود که حاصلضرب اختالفات حداقل گردد( :در حالت ناسازگاری) ai, j wj 1 : ‏w ‏i 2 )) ‏n ‏wj ‏n ‏w ‏min(z)  (lnai, j  ln( i ‏i 1 j 1 محاسبه وزن به روش بردار ویژه .1ماتریس Aرا تشکیل دهید .2ماتریس (Iג )-Aر&ا مشخص کنید .3دترمینان ماتریس فوق را محاسبه کرده و آنرا مساوی صفر& قر&ار دهید و مقادیر& ג ر&ا محاسبه کنید قرار&( A .4بزرگتر&ین ג ر&ا maxنامیده و آنر&ا در ر&ابطه maxI )W 0 داده و با استفاده از آن وزنها را محاسبه کنید 1  1 1 3 2  A  3 1 3  2 1 1 3   1  det(A I )  3 2 max 3.0536 مثال 1 1 3 2 1  3 (1  )3  3(1  )  5 0 2 1 1  3 ( A maxI )W 0 1 1   2.0536   w1  3 2   3  2.0536 3   w2  0   w 1 2  2.0536 3    3 w1  w2  w3 1 WT (0.1571 ,0.5936 ,0.2493 ) محاسبه وزن با روشهای تقریبی .1مجموع سطر&ی :ابتدا مجموع عناصر& هر& سطر محاسبه شده تا یک بردار ستونی حاصل گردد سپس این بردار ستونی نرمالیزه می شود .2مجموع ستونی :ابتدا مجموع عناصر& هر& ستون محاسبه شده تا یک بردار سطری حاصل گردد ،عناصر این بر&دار معکوس گشته سپس بردار حاصل نرمالیزه می شود محاسبه وزن با روشهای تقریبی .3میانگین حسابی :ابتدا هر& ستون نرمالیزه شده سپس میانگین سطر&ی عناصر محاسبه می شوند تا بردار وزن بدست آید .4میانگین هندسی :میانگین هندسی عناصر هر سطر محاسبه شده و سپس بردار حاصل نر&مالیزه می شود محاسبه نرخ ناسازگاری .1ماتریس مقایسه زوجی Aرا تشکیل دهید .2بردار وز&ن Wرا مشخص نمایید .3آیا بزرگتر&ین مقدار ویژ&ه ماتریس ( Aیعنی) max مشخص است؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید در& غیر این صور&ت مقدار آنرا تخمین بز&نید: .1با ضرب بردار Wدر ماتریس Aتخمین مناسبی از maxW بدست آوریدAW maxW :  .2با تقسیم مقادیر بدست آمده برای maxWبر Wمربوطه تخمینهایی از maxرا محاسبه نمایید .3متوسط maxهای بدست آمده را پیدا کنید .4مقدار شاخص ناسازگار&ی را از& ر&ابطه زیر محاسبه نمایید: ‏max  n ‏I.I.  ‏n 1 .5نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر بدست آور&ید: ‏I.I. ‏I.R.  ‏I.I.R. که در& آن 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ‏n 1.45 1.4 5 1.4 1 1.3 2 1.2 4 1.12 0. 9 0.5 8 0 0 ‏I.I.R.  1  A  12 1  8 8  6  1  2 1 1 6  1  AW  12 1  8 2 1 1 6  0.593   W  0.341   0.066  8  0.593   1.803     1.034 6 *  0.341        0.197 1  0.066  max1 1.8030.5933.040 max2 1.0340.3413.032 max3 0.1970.0662.985 max  max1  max2  max3 3 3.019 max  n 3.019 3  0.010 n 1 3 1 I.I. 0.01 I.R.   0.017 I.I.R.3*3 0.58 I.I.  مثال ن&&رم& ا&فزار Expert Choice • بررسی و حل یک مثال به کمک نرم افزار ‏Expert Choice