فرایند تحلیل سلسله مراتبی AHP

‏AHP فرایند تحلیل سلسله مراتبی پیشگفتار یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی ( )Analytical Hierarchy process-AHPکه اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980مطرح شد .که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد . انواع حالت های تصمیم گیری تصمیم گیری فضای گسسته چند معیاره فضای پیوسته تک معیاره تک معیاره چند معیاره معیار کمی معیار کمی معیار کمی معیار کمی معیار کیفی معیار کیفی معیار کیفی معیار کیفی معیار کمی-کیفی معیار کمی-کیفی اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی اصل .1شرط معکوسی ()Reciprocal Condition اصل .2همگنی اصل .3وابستگی اصل .4انتظارات ()Homogeneity ()Dependency ()Expectation شرط معکوسی اگرترجیح عنصر Aبر عنصر Bبرابر nباشد ترجیح عنصر Bبر عنصر Aبرابر n /1خواهد بود . همگنی عنصر Aبا عنصر Bباید همگن و قابل قیاس باشند .به بیان دیگر برتری عنصر Aبر عنصر Bنمی تواند بی نهایت یا صفر باشد. وابستگی هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح باالتر خHود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا باالترین سطح می تواند ادامه داشته باشد. انتظارات هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد. فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه ► ساخت سلسله مراتبی ► مقایسه های زوجی ► ترکیب وزنها ► تحلیل حساسیت ► روش رتبه بندی مثال تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,Cیکی را انتخاب کHنیم چهار معیار:راحتی ،قیمت ،مصرف سوخت ،مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم: ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزن سازگاری سیستم ساختن سلسله مراتبی انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل محاسبه وزن تر=جیحات (قضاوت شفاهی) کامال مرجح یا کامال مهم تر یا کامال مطلوب تر ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت خیلی قوی ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قوی کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مطلوب تر ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسان ترجیحات بین فواصل قوی مقدار عددی ‏Extremely preferred 9 ‏Very strongly ‏preferred 7 ‏Strongly preferred 5 ‏Moderately preferred 3 ‏Equally preferred 1 8،6،4،2 محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ‏A ا=توم=بیل 8 2 1 ا=توم=بیلA 6 1 1/2 ا=توم=بیل B 1 1/6 1/8 ا=توم=بیلC  .قدم اول :مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B 8 2 ‏A ا=توم=بیل 1 ا=توم=بیلA 6 1 1/2 ا=توم=بیل B 1 1/6 1/8 ا=توم=بیلC 15 19/6 13/8 جمع هر ستون قدم دوم :تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر ( نرماالیزکردن) ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ‏A ا=توم=بیل 8/15 12/19 8/13 ا=توم=بیلA 6/15 6/19 4/13 ا=توم=بیل B 1/15 1/19 1/13 ا=توم=بیلC قدم سوم :محاسبه متوسط عناصر در هر سطر ا=توم=بیل B ا=توم=بیلA متوسط سطر ا=توم=بیل C 0.593 0.533 0.631 0.615 ا=توم=بیلA 0.341 0.400 0.316 0.308 ا=توم=بیلB 0.066 0.067 0.053 0.077 ا=توم=بیلC 1 1 1 1 جمع کل ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به قیمت ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ا=توم=بیل A 1/4 1/3 1 ا=توم=بیلA 1/2 1 3 ا=توم=بیل B 1 2 4 ا=توم=بیل C مصرف ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ا=توم=بیل A 1/6 1/4 1 ا=توم=بیلA 1/3 1 4 ا=توم=بیل B 1 3 6 ا=توم=بیل C مدلبه ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت ا=توم=بیل C ا=توم=بیل B ا=توم=بیل A 4 4 1 ا=توم=بیل A 7 1 3 ا=توم=بیل B 1 1/7 1/4 ا=توم=بیلC مصرف و قیمت ، وزن اتومبیل ها برای معیار های مدل مدل مصرف قیمت 0.265 0.087 0.123 ا=توم=بیل A 0.655 0.274 0.320 ا=توم=بیل B 0.080 0.639 0.557 ا=توم=بیلC ماتریس مقایسه زوجی معیارها مدل راحتی مصرف قیمت 2 2 3 1 قیمت 1/4 1/4 1 1/3 مصرف 1/2 1 4 1/2 1 2 4 1/2 راحتی مدل وزن هر یک از معیارها قHHیمت مHصرف راHحHتی مHدل 0.398 0.085 0.218 0.299 وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها مدل راحتی مصرف قیمت 0.265 0.593 0.087 0.123 ا=توم=بیل A 0.655 0.341 0.274 0.320 ا=توم=بیل B 0.080 0.066 0.639 0.557 ا=توم=بیلC محاسبه وزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل A 0.265=0.265*0.593+0.299*0.087+0.218*0.123+0.085*0.398 وزن نهائی اتومبیل B 0.421=0.655*0.341+0.299*0.274+0.218*0.320+0.085*0.398 وزن نهائی اتومبیل C 0.314=0.080*0.066+0.299*0.639+0.218*0.557+0.085*0.398 اولویت نهائی اتومبیل ها وزن اولویت اتومبیل 1 ‏B 0.431 2 ‏C 0.314 3 ‏A 0.265 ساختن سلسله مراتبی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ،هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد .سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی تصمیم کلی مساله (هدف) معیار n ... معیار2 معیار1 زیر معیارn ... زیر معیار2 زیر معیار 1 گ...زینهn . ... گ...زینه2 . گ...زینه1 . سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه :Sکیفیت آموزشی :Fاستاندارد کلی دانش آموزان :Vنظم :Kآمادگی برای دانشگاه : Lآموزشهای جانبی انتخاب بهترین مدرسه اجتماعی آموزشی فرهنگی ‏L ‏C ‏B ‏A ‏K ‏V ‏F ‏S محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد: وزن Hنسبی ( ( local priority وزن Hنهایی ( )overall priority روشهای محاسبه وزن نسبی .1 .2 .3 .4 روش حداقل مربعات روش حHداقل مربعات لگاریتمی روش بردار ویژه روشهای تقریبی ( least squares method )رو=شح=دا=ق=ل م=رب=ع=ات Wi  aijWj aij Wi W ها Wi  aijWj ) ک..یی.را...ب aij Wi W n MINZ  aijWj - Wi i 1 j 1 St: Wi 1  i 1 ا.. یi وj قل.دا.اسازگاری(ح..لتن..ا.در ح j n n ) یاi وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه j  2  معادله الگرانژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شود، برای حل مساله فوق. n n  n  L   aijWj - Wi   2   Wi  1  i1 j 1  i1  مشتق بگیریم خواهیم داشت: wl اگر از معادله فوق نسبت به 2 n n   a W  W  a    a W  W    0 il l i il lj i 1 a 2 11 j l j 1 داریم، باشد:n=2 اگر  2 21  2a11  a  2 .W1   a12  a21.W2   0  2 2    a21  a12.W1  a12  2a12  a22  2 .W2   0 W1  W2 1 l 1,2,...,n مثال :ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر بگیرید ‏ 1 1/ 3 1/ 2 ‏3 1 ‏ 3 ‏A=  ‏ ‏ 2 1/ 3 1  )نشان Hمی دهیم ماتریس مقایسه ،ناسازگار است 1 . .وزHنهر مHعیار را بHHا روHشحHداHقHلمHربHعHاتبHHه HدHسHتمHیآورHیHم )2 اگر رابطه a . a  aبرای یکی از i,j,kها برقرار نباشد ماتریس ناسازگار خواهد ‏ik kj ‏ij بود. ‏a12 1/ 3, a23 3  a13 a12 a23 1/ 33 1 15W1  10/ 3W2  5/ 2W3   0 ‏ 10/ 3W1  20/ 9W2  10/ 3W3   0 ‏ 5/ 2W1  10/ 3W2  45/ 4W3   0 ‏W1  W2  W3 1 :از حل دستگاه فوق خواهیم داشت ‏W1 0.1735 ‏W2 0.6059 ‏W3 0.2206 روش حداقل مربعات لگاریتمی )(logarithmic least squares method در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه jو )iیا در ح.ا..لتن..اسازگاری(ح.دا.قلب...را.ی jو iی..ا ‏Wj 1 ‏1 ‏Wj ‏Wj ‏Wj ‏aij ‏aij ها ) ‏aij Wi W ‏j ‏aij Wi W ی..ک ‏j :میانگین هندسی این اختالفات برابر است با 1 1 ‏ n2 ‏  Z n2 ‏ ‏ ‏Wj ‏ n n ‏  aij ‏ ‏Wi ‏ i1 j 1 n n 1 1  Lnaij  LnWi /Wj     i j 0 1 n n  Lnaij  LnWi /Wj  2  n i1 j 1  1  2 LnZ n در حالت سازگاری در حالت ناسازگاری )Eigenvector Method =( رو=شب==ردار و=یژه a11 W1  a12 W2    a1n Wn  .W1 a21 W1  a22 W2    a2n Wn  .W2  an1 W1  an2 W2    ann Wn  .Wn یک عدد ثابت است  ام وi وزن عنصرWi ام است و j ام برiترجیح عنصر. aij وزن عنصر :iام طبق تعریف قبل برابر است با ‏i 1,2, , n 1 n ‏Wi   aij Wj ‏ i1 دستگاه معادالت فوق را به صورت زیر می توان نوشت: ‏AW  .W که Aهمان ماتریس مقایسه زوجی{ یعنی ] } A [aijو Wبردار وزن و یک اسکالر است. مثال . بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم،برای ماتریس زیر  2 4  3 3   :حل 2W1  4W2   .W1 0  2 4  W1   2W1  4W2   .W1  3 3  W   3W  3W   W   3W  3W   .W 0    2  1 2 2 2  2  1 :برای حل این دستگاه می توان نوشت (2  ) W1  4W2 0    (2  )  3W1  (3  ) W2 0 3 3 (2  ) W1  12W2 0    3 (2  ) W1  (2  )(3  ) W2 0 که خواهیم داشت: 12W2  (2  )(3  ) W2 0 2 ‏ 12 ‏ ( 2 ‏ ‏ () 3 ‏ ‏ ) ‏ 0 ‏ ‏ ‏ 5  6 0 ‏ ‏W2 0 ‏ ‏ 6 ,  1 ‏ با قرار دادن مقادیر در دستگاه فوق و با استفاده از رابطه ،W1  W2 1بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود. ‏ 6   4W1  4W2 0  W1 W2 0.5 ‏  1 3W1  4W2 0  W1 4 , W2  3 رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است: ‏ 2 4  4  ‏ 4 ‏ 3 3   3 ( 1)  3 ‏ ‏   ‏  ‏ 2 4  0.5 ‏ 0.5 ‏ 3 3  0.5 6 0.5 ‏ ‏   ‏  در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ،طبق مراحل زیر عمل می کنیم: .1 .2 .3 .4 ماتریس Aرا تشکیل می دهیم. ماتریس ) ( A  .Iرا مشخص کنید. دترمینان ماتریس ) ( A  .Iرا محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار داده و مقادیر را محاسبه کنید. بزرگترین را  maxنامیده و آن را در رابطه ( A   maxI ) W 0 قرار داده ‏  maxI ) W 0 ( Aها iراWمحاسبه نمایید. مقادیر و با استفاده ازرابطه مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه بدست می آوریم . 1 1 ‏ :حل 3 2 1 3 ‏ 1 1 3 ‏ ‏1 ‏A  3 ‏ ‏2 ‏ 1 1  1 3 2 5 3 ‏det(A I )  3 1  3 (1  )  3(1  )  0 2 1 2 1  3 بعد از حل معادله قبل max 3.0536،محاسبه می گردد .معادله ماتریسی ( A  maxI ) W 0را تشکیل داده و Wiها را محاسبه می کنیم. 1  W  ‏  2.0536 1 1 3 2  ‏ ‏W  0 3 ‏ 2 . 0536 3 ‏ ‏ ‏  2 ‏ 2 1 ‏ 2.0536  W3  3 ‏ ‏ معادله W1  W2  W3 1را به دستگاه فوق اضافه می کنیم .نتیجه زیر حاصل می شود. ‏WT  (0.1571, 0.5936, 0.2493 ) قضیه: برای یک ماتریس مثبت و معکوس ،همچون ماتریس مقایسه زوجی ،بردار ویژه را می توان از رابطه زیر بدست آورد. ‏Ak. e ‏W  lim k  T k ‏e . A .e ‏T ‏e که در آن )(1,1, ,1 می باشد. k A .e ابتدا : داریمk =1 بطور مثال برای.را محاسبه می کنیم  a11 a Ak. e  21     an1 a12 a22     an2   n  a   1j  a1n  1    jn1  1   a2n  a 2j       j  1           n  ann 1 a   j 1 nj  T k e . A .e حال حاصل عبارت :را محاسبه می نماییم  n  a   1j   jn1  n n  a  T k T k  2 j    aij e .A .e e .(A .e) 1 1  1  j 1   i1 j 1   n  a   j 1 nj  مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد: ‏1 1 1 1  9 3 4 ‏ ‏9 1 3 2  ‏A  3 1 1 1  3 2 ‏ ‏4 1 2 1 2 ‏ ‏ محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است: :حل 1 A .e 1 W  T 1 e . A .e :در تکرار اول داریم  1.694  0.05837   15   0.51675  1    normalize      W  A = بردار حاصل از جمع سطری ماتریس 4.833   0.16651       7.50  0.25837  2 ‏A .e 2 ‏W  T 2 ‏e .A .e در تکرار دوم داریم: 0.8889 ‏ 4 0.4583 1.5 ‏ ‏ 35 ‏ 4 13 7 . 75 ‏ ‏A2   ‏ 11 1.25 ‏ 4 2.4167 ‏ ‏ ‏18.5 2.1111 6.8333 4  بنابر این خواهیم داشت: ‏ ‏W2  0.05867 0.51196 0.15994 0.26943 مقدار نهایی Wدر تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است: ‏ ‏W3  0.05882 0.51259 0.15958 0.26943 ‏ ‏W4  0.05882 0.51261 0.15971 0.26886 ‏ ‏W5  0.05882 0.51261 0.15971 0.26886 رو=ش=هایت==قریبی()Approximation Method .1 .2 .3 .4 مجموع سطری مجموع ستونی میانگین حسابی میانگین هندسی مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است .با چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم. ‏A4 7 ‏ 6 4 ‏ 1 ‏A3 ‏A1 A2 5 6 ‏ 1 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 ‏A1 ‏A2 ‏A3 ‏A4 :مجموع سطری ‏ 0.51 ‏ 0.30 ‏ ‏ ‏ 0.15 ‏ ‏ ‏ 0.04 بردار نرمالیزه ‏ 19  ‏11.20 ‏ ‏ ‏ 5.42 ‏ ‏ ‏ 1.56 مجموع عناصر هر سطر 7 6 4 ‏ 1 ‏ 1 5 6 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 :مجموع ستونی 6.43 11.25 18 0.16 0.09 0.06 ‏1.51 ‏ 0.68 مجموع عناصر هر ستون بردار نرمالیزه 7 ‏ 6 4 ‏ 1 ‏ 1 5 6 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 0.16 0.09 0.06 ‏ 0.66 بردار معکوس میانگین حسابی: 0.78 0.53 0.39 ‏ 0.16 0.36 0.33 0.04 0.09 0.22 ‏ 0.03 0.02 0.06 ‏ 0.66 ‏ 0.13 ‏ ‏ 0.11 ‏ ‏ 0.09 نرمالیزه ی ستونها ‏ 0.590 ‏ 0.245 ‏ ‏ ‏ 0.115 ‏ ‏ ‏ 0.050 7 ‏ 6 4 ‏ 1 ‏ 1 5 6 ‏ 1/ 5 1 4 ‏ ‏1/ 6 1/ 4 1 ‏ ‏1/ 7 1/ 6 1/ 4 میانگین سطری میانگین هندسی:  1 5 6  1/ 5 1 4  1/ 6 1/ 4 1  1/ 7 1/ 6 1/ 4 7  6 4  1 نرمالیزه ی ستونها میانگین هندسی  0.61  0.24    0.10   0 . 04    4 1567 3.807   4   1/ 5146 1.480   4 1/ 61/ 414 0.639  4   1/ 71/ 61/ 41 0.278 محاسبه وزن نهایی وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن Hگزینه ها بدست می آید. مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. معیارها ‏A 1 4 2 ‏ 1 ‏ ‏L P 1 ‏ ‏L 1 3 ‏ ‏P 3 1 ‏ 1 ‏A 4 2 ‏ (ت==وا=ناییهایادار=ی(A ‏X Y ‏X  1 2 ‏1  1 ‏Y ‏2  ت==وا=ناییهای (P (ش==خصی ‏X Y ‏X  1 1 ‏ 3 ‏Y  3 1 ‏ ‏ ( ق=اب=لیتر=ه=بری)L ‏X Y ‏X  1 4 ‏1  1 ‏Y ‏4  حل: ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم. هدف ‏A ‏L ‏P ‏Y ‏X محاسبه وزن  1 D1  3  4  1 3 1 1 2 1 6 1 1  8 33 13  0.128 4 normalize  3 6 8  rowmeans      W1   0.512 2          8 11 13  0.360 1  4 6 4   8 22 13 :یعنی داریم WA 0.360, WP 0.512 ,WL 0.128  1 4 D2   1   4 1  4  5 4 1 normalize     W2     WLX  ,WLY  1 5 5    5 1  1 D3   3  3 1    1  4 1 3 normalize     W3     WPX  ,WPY  3 4 4    4  1 2 D4   1   2 1  2  3 2 1 normalize     W4     WAX  ,WAY  1 3 3    3 محاسبه وزن نهایی: 4 1 2 ‏WX ( 0.128)  ( 0.512)  ( 0.360) 0.4704 5 4 3 1 3 1 ‏WY ( 0.128)  ( 0.512)  ( 0.360) 0.5296 5 4 3 ‏Wاین گزینه یا شخص Yانتخاب می گردد. توجه داشته باشید که X  WY 1بنابر :محاسبه نرخ ناسازگاری ► ماتریس سازگار و خصوصیات آن ► ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی ماتریس سازگار و خصوصیات آن اگر nمعیار به شرح C1 , C2 , ,Cnداشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : ‏i , j 1,2, , n که در آن aijترجیح عنصر این ماتریس داشته باشیم : ‏A  aij  را ciبر cj نشان می دهد .چنانچه در ‏i , j , k 1,2, , n آنگاه می گوییم ماتریس Aسازگار است . ‏aik akj aij A B مثال C A 1 2 6 p1  B 1/ 2 1 3 C  1/ 6 1/ 3 1 C HهHHسبتبHHناصر نHسبیعHHهمیتنHا A  6  B  3 C  1  0.6 W  0.3  0.1 B HهHHسبتبHHناصر نHسبیعHHهمیتنHا A B C  0.6 W  0.3  0.1  2  1   1/ 3 :طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس( )ازرابطه زیر به دست می آید ‏P1  W  . W که حاصلضربP1  W برابر است با : 2 6  0.6  1.8 ‏ 1 ‏ 0.6 ‏P1  W 1/ 2 1 3   0.3   0.9 3 0.3 3W ‏1/ 6 1/ 3 1  0.1  0.3 ‏ 0.1 بنابراین خواهیم داشت: 3. W ‏P1  W   :هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است .1 .2 .3 مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد. مقدار ویژه برابر طول ماتریس است (. ) AW nW مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است . ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن قضیه یک – اگر 1,  2 , ,  n مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی Aباشد مجموع مقادیر آنها برابر nاست : ‏n ‏i  n ‏ ‏i ‏1 همواره بزرگتر یا مساوی n قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه  max است (در این صورت برخی از ها  منفی خواهند بود ). ‏ max  n قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ،مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت . ‏A ‏ ‏W ‏ ‏ . ‏W به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس Aمی باشد .یک که در آن Wو ‏بوده (بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر برابر n مقدار ویژه هستند .بنابراین در این حالت می توان نوشت : ‏AW ‏nW قضیه ، 3 در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی Aناسازگار باشد طبق ‏max کمی از nفاصله می گیرد که می توان نو شت : ‏A W  max . W شاخص ناسازگاری ‏ max  n ‏ max  n ‏I.I  ‏n 1 الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس .1ماتریس مقایسه زوجی Aرا تشکیل دهید. .2بردار وزن Wرا مشخص نمایید . مشخصاست ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم .3آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس ( Aیعنی ‏max چهارم بروید .در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید : ازبه دست آورید -1-3با ضرب بردار Wدر ماتریس Aتخمین مناسبی مربوطه max بر.W W را تخمین هایی از -2-3با تقسیم مقادیر به دست آمده برای محاسبه نمایید . ‏max .W  maxبه دست آمده را پیدا کنید . -3-3متوسط . 4مقدار شاخص  max ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم: ‏max  n ‏I.I  ‏n 1 .5نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : ‏I.I. ‏I.R.  ‏I.I.R مثال برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید . 2 8 ‏ 1 ‏A  1/ 2 1 6 ‏ 1/ 8 1/ 6 1 حل قدم 1و :2با استفاده از روش میانگین حسابی داریم : ‏ 0.593 ‏W   0.341 ‏ 0.066 قدم :3از آنجا که مقدار  maxمشخص نمی باشد ،باید آن را طبق قدم های زیر تخمین بزنیم . قدم -1-3تخمین max .W 2 8  0.593 ‏ 1 ‏ 1.803 ‏A . W  1/ 2 1 6  0.341   1.034 ‏ 1/ 8 1/ 6 1  0.066 ‏ 0.197 قدم -2-3محاسبه maxها قدم -3-3محاسبه میانگین max ‏max1 1.08030.5933.040 ‏max2 1.0340.3413.032 ‏max3 0.1970.0662.985 ها ‏max1  max2  max3 ‏max  ‏3.019 3 قدم :4محاسبه شاخص ناسازگاری ‏max  n 3.019 3 ‏I.I  ‏ ‏0.010 ‏n 1 3 1 قدم :5محاسبه نرخ ناسازگاری ‏I.I. ‏I.R.  ‏0.017 ‏I.I.R 33 نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017است که کمتر از 0.1بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد . الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن .I. عنصرIمربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم .این حاصل جمع را می نامیم .همچنین وزن عناصر را در I.I.ماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را I.I.R.نامگذاری می کنیم .حاصل تقسیم ‏I.I.R I.Iنرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد . ‏I.I.R مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی Xو Yیکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از :قابلیت رهبری و هدایت( )Lتواناییهای شخصی( )Pوتواناییهای اداری( )Aماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. معیارها ‏A 1 4 2 ‏ 1 ‏ ‏L P 1 ‏ ‏L 1 3 ‏ ‏P 3 1 ‏ 1 ‏A 4 2 ‏ (ت==وا=ناییهایادار=ی(A ‏X Y ‏X  1 2 ‏1  1 ‏Y ‏2  ت==وا=ناییهای (P (ش==خصی ‏X Y ‏X  1 1 ‏ 3 ‏Y  3 1 ‏ ‏ ( ق=اب=لیتر=ه=بری)L ‏X Y ‏X  1 4 ‏1  1 ‏Y ‏4  در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم : هدف ‏A ‏Y ‏L ‏P ‏X ‏Y ‏X ‏Y ‏X :با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز  1 1/ 3 1/ 4 D1   3 1 2   normalize     4 1/ 2 1   1/ 8 6/ 33 1/13  0.128  3/ 8 6/11 8/13  normalize  0.512     W  1      4/ 8 6/ 22 4/13  0.360 WA 0.360 , Wp 0.512 , WL 0.128 : یعنی داریم  1 4 normalize  4/ 5 D2        W   WLX 4/ 5 , WLY 1/ 5 2    1/ 4 1  1/ 5  1 3 normalize  1/ 4 D3      W3    WPX 1/ 4 , WPY 3/ 4   1/ 3 1  3/ 4  1 2 normalize  2/ 3 D2       W2    WAX 2/ 3 , WAY 1/ 3   1/ 2 1  1/ 3 : وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با WX  4/ 5 0.128  1/ 40.512   2/ 30.360  0.4704 WY 1/ 50.128   3/ 4 0.512  1/ 30.360  0.5296 : داریمD1 برای ماتریس D1 W1  max . W1  1 1/ 3 1/ 4  0.128  0.389 D1 W1   3 1 2    0.512   1.616  4 1/ 2 1   0.360  1.128  0.389  max . W1   1.616   1.128  3.039  max   3.156  3.133 max1  max2  max3  max  3.019 3  max  n 3.019 3 I.I   0.054 n 1 3 1 توان نوشتDمی 2 , D3 , D4 I.I.2  I.I.3  I.I.4 0 I.I.R.2  I.I.R.3  I.I.R.4 0 I.I.R.33 0.58 به همین ترتیب برای ماتریس های:  0 ‏I.I. 10.054   0.128 0.512 0.360  0 0.054 ‏ 0 ‏ 0 ‏I.I.R. 10.580   0.128 0.512 0.360 ‏  0 0.580 ‏ 0 ‏I.I. 0.054 ‏I.R.  ‏ ‏0.093 ‏I.I.R. 0.580 ‏ در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از 0.1بوده و قابل قبول است و نیازی به .تجدید نظر در قضاوت ها نیست THE END