معادلات دیفرانسیل – تبدیلات لاپلاس

معادلات دیفرانسیل – تبدیلات لاپلاس

اسلاید 1: به نام خدامعادلات دیفرانسیل – تبدیلات لاپلاسLaplace Transformationsبهار 991

اسلاید 2: تعریف : توابع 𝑓 و 𝐹 را در نظر می گیریم ، آنگاه 𝐹 را لاپلاس 𝑓 می گوییم و آن را با نماد ℒ 𝑓 =𝐹 نمایش می دهیم.2𝑓𝐹ℒ 𝑓 =𝐹

اسلاید 3: 𝑓 𝑡 =13𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 𝑒 −𝑠𝑏 −𝑠 − 1 −𝑠 = 1 𝑠 ℒ 1 = 1 𝑠 (𝒔>𝟎) لاپلاس تابع 𝒇 را بیابید.

اسلاید 4: 𝑓 𝑡 =𝑘4𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑘 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒 −𝑠𝑡 𝑘 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 =𝑘( lim 𝑏→∞ 𝑒 −𝑠𝑏 −𝑠 − 1 −𝑠 )= 𝑘 𝑠 ℒ 𝑘 = 𝑘 𝑠 (𝒔>𝟎) لاپلاس تابع 𝒇 را بیابید.

اسلاید 5: 𝑓 𝑡 = 𝑒 𝛼𝑡 5𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 𝛼𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒 (−𝑠+𝛼)𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 𝑒 (−𝑠+𝛼)𝑏 (−𝑠+𝛼) − 1 (−𝑠+𝛼) = 1 𝑠−𝛼 ℒ 𝑒 𝛼𝑡 = 1 𝑠−𝛼 (𝒔>𝜶) لاپلاس تابع 𝒇 را بیابید.

اسلاید 6: 𝑓 𝑡 = 𝑒 5𝑡 6𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑒 5𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒 (−𝑠+5)𝑡 𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 𝑒 (−𝑠+5)𝑏 (−𝑠+5) − 1 (−𝑠+5) = 1 𝑠−5 𝐹 𝑠 = 1 𝑠−5 (𝒔>𝟓) لاپلاس تابع 𝒇 را بیابید.

اسلاید 7: 𝑓 𝑡 =𝑡7𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 (𝑒 −𝑠𝑡 𝑡)𝑑𝑡= lim 𝑏→∞ t 𝑒 −𝑠𝑡 −𝑠 0 𝑏 − lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒 −𝑠𝑡 −𝑠 𝑑𝑡 (𝒔>𝟎)𝐹 𝑠 = 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = lim 𝑏→∞ 0 𝑏 𝑒 −𝑠𝑡 𝑡𝑑𝑡 lim 𝑏→∞ t 𝑒 −𝑠𝑡 −𝑠 −( ( 1 −𝑠 ) lim 𝑏→∞ 𝑒 −𝑠𝑡 −𝑠 0 𝑏 )= 1 𝑠 2 ℒ 𝑡 =𝐹 𝑠 = 1 𝑠 2 لاپلاس تابع 𝒇 را بیابید.

اسلاید 8: قضیه 1 : تبدیل لاپلاس یک عملگر خطی است ، یعنی هرگاه 𝑓 و 𝑔 دو تابع ، 𝛼 یک عدد دلخواه باشند ، آنگاه : 81) ℒ 𝑓+𝑔 =ℒ 𝑓 +ℒ(𝑔) 2) ℒ 𝛼𝑓 =𝛼ℒ 𝑓

اسلاید 9: اثبات بخش 1 :91) ℒ 𝑓+𝑔 (𝑠)= 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 (𝑓(𝑡)+𝑔(𝑡))𝑑𝑡 ℒ 𝑓+𝑔 =ℒ 𝑓 (𝑠)+ℒ(𝑔)(𝑠) 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 0 ∞ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡

اسلاید 10: 10