معادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل

اسلاید 1: 1معادلات دیفرانسیل تهیه وتنظیم: جمال صفار اردبیلی عضو هییت علمی دانشگاه پیام نور اردبیل بنام حضرت دوست که هرچه داریم از اوست

اسلاید 2: 2سرفصل معادلات دیفرانسیلعنوان فصل اول: معادله دیفرانسیل مرتبه اول1: ماهیت معادلات دیفرانسیل و طبقه بندی آنها2: معادله دیفرانسیل جدا شدنی و تبدیل به آن 3: معادله دیفرانسیل همگن و تبدیل به آن4: دسته منحنی ها و دسته منحنی های متعامد 5: معادله دیفرانسیل كامل6:عامل انتگرال ساز7: معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی و تبدیل به آن

اسلاید 3: 3فصل دوم: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم 1: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم حالت خاص فاقد یا 2: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن 3: معادله دیفرانسیل کشی-اویلر4: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن ( تغییر متغیر)5: روش ضرایب ثابت( ضرایب نامعین)

اسلاید 4: 4فصل سوم: حل معادله دیفرانسیل به روش سری ها1: سری توانی2: نقاط معمولی ومنفرد وجواب های سری معادلات دیفرانسیل3: نقاط منفرد منظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم:4حالتی كه معادله شاخص دارای ریشه های برابر است

اسلاید 5: 5 فصل چهارم: 1: دستگاه معادلات دیفرانسیل

اسلاید 6: 6فصل پنجم: تبدیلات لاپلاس1: تبدیل لاپلاس 2: خواص تبدیل لاپلاس3: معکوس تبدیل لاپلاس4: حل معادله دیفرانسیل به روش لاپلاس5: تبدیل لاپلاس برخی توابع

اسلاید 7: 7ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن مقدمه: با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن تساوی باشد، آشنا هستیم. ساده ترین معادله یک مجهولی می باشد،که بانماد نشانمی دهیم. مثلا معادله یک مجهولی درجه اول و معادله یک مجهولی درجه دوم و معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر

اسلاید 8: 8معادله دو مجهولی که بانماد نشان می دهیممثلا معادله دو مجهولی درجه اول معادله دو مجهولی درجه دوم والی اخر درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد:الف) آیا جواب معادله می باشد؟ ب) جواب معادله راپیدا کنید؟آیا جفت جواب معادله می باشد؟

اسلاید 9: 9جواب دادن به سوال الف) ساده می باشد زیرا با جایگذاری می توان مشخص کرد. ولی جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد. ابتدا باید معادلات را دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو مرحله را مشخص کنیم:1) مرحله شناخت2) مرحله حل(روش حل)

اسلاید 10: 10حال اگر درمعادله متغیر رابعنوان متغیررا بعنوان متغیر وابسته درنظر بگیریم آن گاه تابعی از می باشد و می توان درمورد مشتق تابع مستقل وصحبت کرد یعنی :

اسلاید 11: 11معادله ای که شامل ترکیباتی از (متغیر مستقل) و (متغیر وابسته) و مشتقات آن باشد را معادله دیفرانسیل نامیم وبا نماد نشان می دهیمتعریف: درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد:الف) آیا تابع جواب معادله دیفرانسیل می باشد؟ب) جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟

اسلاید 12: 12جواب دادن به سوال الف) ساده است (با جایگذاری) مثلا آیا تابع جواب معادله میباشد؟جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد وبستگی به نوع معادله وطبقه بندی آن دارد. باتعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل به سراغ سوال ب) می رویم.تعریف: بیشترین تکرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن وتوان بیشترین تکرار مشتق را درجه معادله دیفرانسیل نامیم.

اسلاید 13: 13مثلا :معادله مرتبه اول ، درجه سوم می باشد.2) معادله مرتبه سوم ، درجه اول می باشد.3) معادلهمرتبه سوم ، درجه اول می باشد.

اسلاید 14: 14معادله دیفرانسیل جدا شدنی مشابه معادله معمولی باتوجه به تعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل می توان آنها راطبقه بندی کرد. بنابراین ساده ترین معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت می باشد که اگر توان برابربایک باشد آنگاه معادله مرتبه اول درجه اول می باشدبصورت کلیکه مرتبه اول درجه اول می باشد

اسلاید 15: 15تعریف: معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول به صورت را معادله جدا شدنی نامیم (مرحله شناخت). هر معادله مرتبه اول درجه اول جداشدنی را اختصارا معادله جداشدنی (جدایی پذیر)نامیم. هر معادله جدا شدنی را می توان بصورت کلی تبدیل کرد.

اسلاید 16: 16حل معادله دیفرانسیل جداشدنی: با انتگرالگیری از معادله جداشدنی می توان جواب آنرا محاسبه کرد.تذکر: هدف از حل معادله دیفرانسیل محاسبه جواب عمومی معادله دیفرانسیل می باشد. جوابی را جواب عمومی نامیم هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل باشد که بعدا آنرا دقیقا تعریف خواهیم کرد.

اسلاید 17: 17مثال : معادله را حل می کنیم. حل :داریمآن گاه درنتیجه ویاجواب (عمومی)معادله است.

اسلاید 18: 18معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول ممکن است به ظاهر جداشدنی نباشد ولی با تقسیم برعباراتی می توان آن را تبدیل به جدا شدنی نمود. مثال: معادله به ظاهر جدا شدنی نیست، ولی با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی داریم: که جدا شدنی است پس با انتگرالگیری داریم : جواب معادله است.

اسلاید 19: 19 معادله دیفرانسیل همگن ملاحظه شد معادله مرتبه اول درجه اول بصورت ویا به صورتمی باشد

اسلاید 20: 20مثلا معادلات معادلات مرتبه اول درجه اول می باشند که هیچکدام جدا شدنی نیستند ولی معادله اولی دارای خاصیتی می باشد که معادله دومی نیست. درمعادله دیفرانسیل اول تمام جملات توابع از توان یکسان دو می باشد ولی معادله دومی چنین نیست. این مفهوم رابانماد ریاضی تعریف می کنیم.

اسلاید 21: 21تعریف : تابع دو متغیره را تابع همگن از درجه نامیم هرگاه درشرط زیر صدق کند: تابع تابع همگن ازدرجه دو می باشد تابع تابع همگن از درجه یک می باشد.

اسلاید 22: 22تعریف: معادله دیفرانسیل را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره توابع همگن از درجه یکسان باشند. بعبارت دیگر معادله دیفرانسیل را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره توابع همگن از درجه یکسان باشند.

اسلاید 23: 23حل معادله دیفرانسیل همگن: فرض کنیم معادله همگن باشد. بافرض تغییر متغیر داریم پس آن گاه با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود که که معادله اخیر جدا شدنی است می توان آنرا به روش جدا شدنی حل کرد وبا جایگذاری جواب معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آید.

اسلاید 24: 24مثال: معادله دیفرانسیل همگن را حل می کنیم باجایگذاری وداریم: با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافی داریم:

اسلاید 25: 25تذکر: برای ساده کردن به جای معمولا را بعنوان پارامتر ثابت اختیار می کنیم.جواب معادله دیفرانسیل می باشد.

اسلاید 26: 26 دسته منحنی ها ودسته منحنی های متعامدملاحظه شد که جواب عمومی هر معادله دیفرانسیل مرتبه اول معمولا شامل یک ثابت اختیاری موسوم به پارامتر است. وقتی مقادیر مختلفی به این پارامتر نسبت داده می شود، یک دسته منحنی به دست می آید هر یک از این منحنی ها یک جواب خصوصی معادله دیفرانسیل مفروض است وهمه آنها با هم جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابراین معادله جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابراین معادله یک دسته منحنی می باشد.

اسلاید 27: 27حال می خواهیم دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی مفروض رابااستفاده از معادله دیفرانسیل بدست آوریم که کاربردی از معادله دیفرانسیل می باشد. بعنوان مثال تعدادی دسته منحنی رادر زیر رسم می کنیم :

اسلاید 28: 28

اسلاید 29: 29حال با توجه به مطالب بالا وبا استفاده از روند زیر می توان دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی ها را پیدا کرد : معادله دسته منحنی ها معادله دیفرانسیل دسته منحنی ها معادله دیفرانسیل دسته منحنی های متعامد دسته منحنی های متعامد

اسلاید 30: 30مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های دوایر به مرکز مبدا وشعاع دلخواه رابدست می آوریم: مشتق دسته منحنی های متعامد

اسلاید 31: 31

اسلاید 32: 32اغلب مناسب است که دسته منحنی های داده شده را برحسب مختصات قطبی بیان کنیم دراین حالت از این موضوع استفاده می کنیم که اگر زاویه بین شعاع حامل وخط مماس باشد آن گاه (ریاضی عمومی). با استفاده بحث بالا برای یافتن دسته منحنی های متعامد درمعادله دیفرانسیل دسته منحنی داده شده به جای عبارت منفی عکس آن یعنی را جایگذاری می کنیم.

اسلاید 33: 33مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های را درمختصات قطبی بدست می آوریم. معادله دسته منحنی ها در مختصات قطبی عبارت است از : بنابراین : که با حذف داریم: ویا

اسلاید 34: 34که با جایگذاری به داریم: معادله دسته منحنی های متعامد می باشد.

اسلاید 35: 35

اسلاید 36: 36 معادله دیفرانسیل کامل درریاضیات عمومی با دیفرانسیل توابع دو متغیره آشنا شدیم وملاحظه کردیم که دیفرانسیل کامل تابع را که با نماد نشان می دهیم عبارت است ا ز وهمچنین معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول بصورت کلی می باشد.

اسلاید 37: 37تعریف :معادله دیفرانسیل را معادله کامل نامیم هر گاه تابع دو متغیره موجود باشد بطوری که و . با توجه به تعریف بالا تعیین اینکه معادله دیفرانسیل داده شده کامل می باشد، مشکل است زیرا باید تمام توابع دو متغیره راجستجو کنیم وملاحظه کنیم که بترتیب کدام تابع دارای مشتقات جزیی نسبت به برابر با توابع و می باشد

اسلاید 38: 38اگر این کار امکان پذیر باشد، مشکل است به همین دلیل شرایطی روی بدست می آوریم که وجود چنین تابعی را تضمین کند. با مشتق گیری جزیی از طرفین رابطه های به ترتیب نسبت به داریم: با توجه به اینکه برای توابع پیوسته داریم: بنابراین:

اسلاید 39: 39بنابراین شرط کامل بودن معادله دیفرانسیل عبارت است از : (مرحله شناخت).

اسلاید 40: 40مثال :معادلات دیفرانسیل زیر کامل می باشد.الف) زیرا ب) زیرا

اسلاید 41: 41حل معادله دیفرانسیل کامل:فرض کنیم که معادله دیفرانسیل کامل باشد بنابر تعریف معادله دیفرانسیل کامل، تابعی مانند موجود است که: پس بنابر تساوی های بالا نتیجه می شود ویا جواب معادله دیفرانسیل می باشد.

اسلاید 42: 42تنها معلومات، مشتقات جزیی می باشد که با استفاده از روند زیر می توان آنرا محاسبه کرد. آن گاه با استفاده از رابطه دوم مقدار بدست می آید که با انتگرال گیری از آن مجهول که همان می باشد محاسبه می شود در نتیجه بدست می آید که جواب معادله دیفرانسیل است.

اسلاید 43: 43مثال: ملاحظه شد که معادله کامل می باشد پس: جواب معادله دیفرانسیل است.

اسلاید 44: 44عامل انتگرال ساز معادله دیفرانسیل کامل نمی باشد زیرا ولی اگر طرفین معادله بالا را در ضرب کنیم داریم : واین معادله دیفرانسیل جدید کامل می باشد زیراو می توان به روش کامل معادله دیفرانسیل جدید را حل کرد.

اسلاید 45: 45بنابراین ممکن است معادله دیفرانسیل کامل نباشد ولی باضرب کردن درتابع که آنرا عامل انتگرال سازگوییم تبدیل به کامل کرد. اکنون شرط وجود عامل انتگرال ساز وچگونگی محاسبه آن را بیان می کنیم. فرض کنیم که معادله کامل نباشد یعنی ودارای عامل انتگرال ساز باشد، آنگاه طبق تعریف عامل انتگرال ساز معادله جدید کامل می باشد

اسلاید 46: 46که محاسبه از این معادله ممکن نیست به همین دلیل تحت شرایط خاصی عامل انتگرال ساز را بررسی می کنیم.الف) فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از باشد یعنی ، آن گاه

اسلاید 47: 47که با جایگذاری داریم:عامل انتگرال ساز می باشد.ب) فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی از باشد یعنی ، آ ن گاه

اسلاید 48: 48که با جایگذاری داریم:عامل انتگرال ساز می باشد .

اسلاید 49: 49مثال :عامل انتگرال سازی برای معادله را پیدا می کنیم.حل:ابتدا مقدار مشترک را محاسبه می کنیم که با تقسیم بر داریم: پس عامل انتگرال ساز می باشد.

اسلاید 50: 50تذکر: گاهی معادله دیفرانسیل غیر کامل دارای عامل انتگرال سازی بصورت است، که درآن ثابت های مناسبی هستند. برای یافتن عامل انتگرال سازی به صورت طرفین معادله را درآن ضرب می کنیم واز شرط کاملاستفاده می کنیم.

اسلاید 51: 51تذکر: روش دسته بندی یا کوتاه، گاهی با جستجو کردن می توان معادله دیفرانسیل را به یکی از حالات زیر دسته بندی کرد:الف) (جداشدنی)ب) ج) د) که به سادگی می توان با انتگرال گیری از طرفین معادلات جواب آنها را بدست آورد.

اسلاید 52: 52یادآوری:الف)ب)ج)د)

اسلاید 53: 53ه)و)ز)

اسلاید 54: 54مثال :معادله دیفرانسیل را باروش دسته بندی حل می کنیم.حل: معادله دیفرانسیل را به صورت می نویسیم که واز فرمول )ب( داریم: که با انتگرال گیری نتیجه می شود جواب معادله دیفرانسیل می باشد.

اسلاید 55: 55 معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی ملاحظه شد که معادله مرتبه اول بصورت می باشد که اگر توان های برابر با یک باشد آنرا معادله مرتبه اول خطی نامیم (معادله خط ملاحظه شد که توان برابر با یک می باشد که اگر توان یکی از یا به غیر یک باشد آن گاه معادله منحنی می باشد) بنابراین معادله مرتبه اول خطی به صورت می باشد.

اسلاید 56: 56با تقسیم طرفین بر معادله مرتبه اول خطی بصورت کلی است (مرحله شناخت) مثلا معادلات زیر مرتبه اول خطی هستند:الف) ب) ج)

اسلاید 57: 57برای حل معادله دیفرانسیل ابتدا ملاحظه می کنیم که آیا کامل است یا نه؟ عامل انتگرال ساز معادله مرتبه اول خطی است و جواب عمومی معادله مرتبه اول خطی می باشد

اسلاید 58: 58مثال : معادله مرتبه اول خطی را حل می کنیم. چون و پس:جواب معادله دیفرانسیل است.

اسلاید 59: 59حالت خاصی از معادلات مرتبه اول خطی به صورت می باشد که توان های برابر با یک می باشد. با توجه به روش حل معادله مرتبه اول خطی با تعویض نقش با وبالعکس نتیجه می شود که

اسلاید 60: 60 حالت خاصی از معادلات مرتبه اول که تبدیل به خطی می شود به صورت می باشد که به ازای معادله مرتبه اول خطی است وبه ازای معادله جدا شدنی است وبه ازای ، معادله برنولی نامیده می شود. معادله دیفرانسیل برنولی را می توان با تغییر متغیر حل کرد و دارای جواب است.

اسلاید 61: 61مثال: معادله را حل می کنیم.حل:داریم و و و پس: جواب عمومی معادله است.

اسلاید 62: 62بعنوان معادله دیفرانسیل مرتبه اول می توان معادله دیفرانسیلرا مطرح کرد به نام کلرو(Clairaut) معروف است. بسادگی ملاحظه می شود که جوابی از معادله بالامی باشد زیرا با مشتق گیری داریم با جایگذاری درجواب نتیجه می شود که معادله کلرو است. بنابراین جواب معادله کلرو با جایگذاری بدست می آید.

اسلاید 63: 63مثال : معادله را حل کنید.حل: با جایگذاری معادله دارای جواب است.

اسلاید 64: 64 بعنوان آخرین معادله دیفرانسیل مرتبه اول ریکاتی (Riccati)رابیان می کنیم که به صورتبا شرط می باشد برای پیدا کردن جواب عمومی معادله بالا باید جوابی خاص از آن معلوم باشد. اگر یک جواب خاص از معادله بالا باشد. جایگذاری و معادله را به معادله دیفرانسیل که مرتبه اول خطی است، تبدیل می کند.

اسلاید 65: 65مثال: معادله (با ) را حل می کنیم:حل: چون و و پس: بنابراین و پس:

اسلاید 66: 66

اسلاید 67: 67معادله دیفرانسیل مرتبه دوم دراین فصل معادله مرتبه دوم را درحالات خاص بررسی می کنیم.معادله مرتبه دوم حالت خاص فاقد y یا xممکن است درمعادله ضریب یا برابر صفر باشد.

اسلاید 68: 68- معادله به صورت را مرتبه دوم فاقد نامیم. مثلا و معادلات مرتبه دوم فاقد می باشند. معادله به صورت را مرتبه دوم فاقد نامیم. مثلا و معادلات مرتبه دوم فاقد می باشند.

اسلاید 69: 69الف) حل معادله با تغییر متغیر می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد زیرا بافرض داریم که با جایگذاری درمعادله نتیجه می شودکه معادله مرتبه اول می باشد.

اسلاید 70: 70ب) حل معادله با تغییر متغیر می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد زیرا بافرض داریم که با جایگذاری درمعادله نتیجه می شودکه معادله مرتبه اول با فرض متغیر مستقل و متغیر وابسته می باشد.

اسلاید 71: 71مثال : معادله فاقد ، را باتغییر متغیر حل می کنیم.که با جایگذاری داریم: جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.

اسلاید 72: 72مثال : معادله مرتبه دوم فاقد ، را باتغییر متغیر حل می کنیم که با جایگذاری داریم: جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.

اسلاید 73: 73تذکر: درحل این نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم، درواقع هر معادله مرتبه دوم را به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنها را حل می کنیم.

اسلاید 74: 74معادله مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن دراین بخش حالت خاصی از مرتبه دوم رابررسی می کنیم. ملاحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی بصورت کلی می باشد که اگر آنرا مرتبه دوم خطی همگن نامیم

اسلاید 75: 75اگر توابع ثابت باشند بعبارت دیگر مقادیر آنها اعداد ثابت باشند آن گاه معادله بصورت می باشد که می توان آنرا بصورت ساده ملاحظه کرد که آنرا مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت ، یا اختصارا با ضرایب ثابت نامیم . (مرحله شناخت)

اسلاید 76: 76حل معادله :با تعریف نماد داریم و که با جایگذاری درمعادلهنتیجه می شود که :

اسلاید 77: 77معادله را معادله کمکی (یا مفسر)نامیم معادله کمکی، یک معادله درجه دو می باشد که ممکن است سه حالت زیر رخ دهد:الف) دارای دو ریشه متمایز باشد یعنی ب) دارای ریشه مضاعف (تکراری)باشد یعنی ج) دارای ریشه مختلط باشد یعنی

اسلاید 78: 78بنابراین معادله دیفرانسیل را با توجه به معادله کمکی به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنرا حل می کنیم. بنابراین :الف) که بافرض داریم وبا حل معادله مرتبه اول نتیجه می شود.با جایگذاری درمعادله که وحل معادله خطی بالا داریم

اسلاید 79: 79ب) اگر آن گاه مشابه قسمت الف) نتیجه می شود که جواب معادله دیفرانسیل می باشد. ج) اگر معادله کمکی دارای دو ریشه مختلط باشد بنابر الف) داریم :ویا جواب معادله دیفرانسیل می باشد

اسلاید 80: 80مثال :معادلاتالف) ب) ج) معادلات مرتبه دوم با ضرایب ثابت می باشند.

اسلاید 81: 81حل: الف) معادله کمکی عبارت است از که بنابراین: جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.ب) معادله کمکی عبارت است از که بنابراین : جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.ج) معادله کمکی عبارت است از که بنابراین: و پس جواب عمومی معادله دیفرانسیل است.

اسلاید 82: 82تذکر: معادله مرتبه دوم را به روش دیگرنیز می توان حل کرد که اگر و توابعی باشند که جوابی از معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن، آن گاه جوابی از معادله دیفرانسیل می باشد واگر توابعی مستقل خطی باشند آنگاه این جواب ، جواب عمومی معادله دیفرانسیل است ومی توان معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را از این دیدگاه بررسی کرد.

اسلاید 83: 83معمولا شرایط وجود جواب معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن دردرس نظریه معادلات دیفرانسیل بحث می شود وشرایطی را روی توابع بیان می کنند که وجود جواب معادله دیفرانسیل را تضمین کند که ما اینجا وارد این بحث نمی شویم.

اسلاید 84: 84تعریف: برای هر دو تابع و دترمینان را رونسکینی (Wronskian) توابع می نامیم وبا نماد نشان می دهیم.

اسلاید 85: 85- ثابت می شود که رونسکینی متحد با صفر است اگر وفقط اگر دوتابع وابسته خطی اند. بعبارت ساده تر دو تابع، وابسته خطی اند هر گاه یکی مضرب دیگری باشد، درغیر این صورت آنها را مستقل خطی می نامیم.

اسلاید 86: 86توجه: بسادگی ملا حظه میشود که توابع با شرط مستقل خطی اند مشا بها مستقل خطی اند و همچنین و با شرط مستقل خطی اند.

اسلاید 87: 87تذکر: نتایج بالا را برای معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت مرتبه بالانیزمی توان تعمیم کرد . یعنی اگر معادله کمکی معادله دیفرانسیل دارای ریشه های حقیقی متمایز ومضاعف ومختلط داشته باشد. آن گاه جواب معادله دیفرانسیل ترکیبی از جواب های بیان شده است.

اسلاید 88: 88مثال معادله دیفرانسیل دارای معادله کمکی می باشد که ریشه های آن عبارت است از:بنابراین جواب معادله دیفرانسیل است .

اسلاید 89: 89معادله کشی-اویلرمعادله مرتبه دوم خطی همگن راکه درآن اعداد ثا بت اند معادله کشی-اویلر(Cauchy-Euler)می نامیم.مثال معادلات دیفرانسیل زیر معادله های کشی – اویلر می باشند.الف) ب)

اسلاید 90: 90حل معادله کشی – اویلر این معادله را با تغییر متغیر می توان به معادله مرتبه دوم با ضریب ثابت تبدیل کرد زیرا: واگر مشتق های نسبت به را با نشان دهیم، معادله تبدیل به می شود که معادله با ضرایب ثابت است .

اسلاید 91: 91مثال: معادله کشی – اویلر زیر را حل می کنیم: حل: با فرض داریم: پس معادله کمکی دارای ریشه های است بنابراین: با جایگذاری (یا ) نتیجه می شود:جواب معادله کشی – اویلر است.

اسلاید 92: 92تذکر: نتایج بالا را برای معادلات دیفرانسیل کشی – اویلر مرتبه بالا نیز می توان تعمیم داد. مثلا معادله کشی – اویلر مرتبه سوم را می توان با تغییر متغیر تبدیل به معادله : نمود وآنرا با روش ضرایب ثابت حل کرد.

اسلاید 93: 93مثال : معادله دیفرانسیل کشی – اویلر زیر را حل می کنیم:حل :با فرض داریم : بنابراین :

اسلاید 94: 94 معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی غیر همگن ملاحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت غیر همگن بصورت می باشد که اگر آنرا معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت همگن نامیم یعنی : ودارای جوابی بصورت می باشد.

اسلاید 95: 95حال اگر جواب عمومی معادله همگن و جوابی خاص از معادله غیر همگن باشد آن گاه جواب عمومی معادله غیر همگن می باشد.

اسلاید 96: 96تعریف: معادله دیفرانسیل را معادله دیفرانسیل با ضرایب ثابت وابسته معادله دیفرانسیل نامیم.هدف از این قسمت درس پیدا کردن جواب خاص معادله غیر همگن می باشد که دو روش برای پیدا کردن ارائه می دهیم.

اسلاید 97: 97الف)روش تغییر پارامتر :دراین روش فرض می کنیم که جواب خاص بصورت با شد که چون جواب همگن می باشد وبا تغییر پارامترهای به توابع و بدست آمده است، به همین دلیل این روش را تغییر پارامتر نامیم.

اسلاید 98: 98حال با توجه به معلوم بودن ظاهر جواب خاص کافی است روابطی که توابع درآن صدق می کنند را پیدا کنیم . بنابراین داریم: چون باید درمعادله همگن صدق کند، بنابراین

اسلاید 99: 99که دستگاه دو معادله دو مجهولی می باشد ومی توان از آن مقادیر را محاسبه کرده و با انتگرال گیری محاسبه می شود واز آن جا بدست می آید. با یک مثال توضیح می دهیم

اسلاید 100: 100مثال : معادله غیر همگن را حل می کنیم: حل : معادله وابسته دارای جواب است بنابراین و پس: با ضرب معادله اول در و جمع طرفین دومعادله بالا داریم: با جایگذاری درمعادله اول داریم:

اسلاید 101: 101درنتیجه:پس جواب عمومی معادله غیر همگن است.

اسلاید 102: 102مثال : معادله غیر همگن را حل می کنیم.حل: معادله وابسته دارای جواب است بنابراین و پس : با ضرب معادله اول در 2- و جمع طرفین دو معادله بالا داریم: با جایگذاری در معادله اول داریم:

اسلاید 103: 103 درنتیجه :پس جواب عمومی معادله غیر همگن است.

اسلاید 104: 104تذكر: روش تغییرپارامتررا می توان برای معادلات مرتبه ، خطی غیر همگن تعمیم داد، یعنی اگر: جواب عمومی معادله همگن وابسته باشد آن گاه با فرض وحل دستگاه معادله و مجهولی زیر می توان جواب خاص معادله غیر همگن را بدست آورد:

اسلاید 105: 105

اسلاید 106: 106تذكر: معادله كشی – اویلر غیر همگن را نیز می توان با تغییر متغیر مناسب تبدیل به معادله با ضرایب غیر همگن نمود وآنرا به روش تغییرپارامتر حل كرد.مثلا با تغییر متغیر تبدیل به معادله می شود.

اسلاید 107: 107 روش ضرایب ثابت (ضرایب نامعین)درمعادله غیر همگن ملاحظه شد كه اگر تابعی نمایی باشد آن گاه نیز نمایی می باشد. قبلا دیدیم كه اگر آن گاه است. از این مطلب استفاده كرده وروشی را به نام روش ضرایب ثابت درحالات خاص بیان می كنیم.

اسلاید 108: 108الف) اگر تابع نمایی باشد درصورتی كه ریشه معادله كمكی نباشد آنگاه نیز بصورت تابع نمایی است كه با مشتق گیری وجایگذاری درمعادله مقدار بدست می آید.مثلا

اسلاید 109: 109حال اگر و یكبار ریشه معادله كمكی باشد آن گاه چون جواب معادله همگن است بنابراین جواب خاص را بصورت درنظر می گیریم با یك مثال توضیح می دهیم.

اسلاید 110: 110حال اگر و دو بار ریشه معادله كمكی باشد آن گاه جواب هایی از معادله همگن می باشد پس جواب خاص را بصورت درنظر می گیریم. بنابر این اگر و ریشه معادله كمكی از مرتبه تكرار باشد آن گاه: جواب خاص معادله غیر همگن است.

اسلاید 111: 111مثال : معادله را حل می كنیم.حل: چون دو بار ریشه معادله كمكی است پس بنابراین در نتیجه درنتیجه با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم: پس و جواب است. عمومی معادله

اسلاید 112: 112ب) اگر تابع چند جمله ای باشد آن گاه جواب خاص نیز تابعی چند جمله ای می باشد. ولی اگر جواب خاص، جواب معادله همگن باشد آن گاه باید جواب خاص را در ضرب كنیم. درصورتی جواب همگن به صورت چند جمله ای است كه صفر ریشه معادله كمكی باشد.قبلا ملاحظه شد كه چند جمله ای درجه یك می باشد آن گاه نیز تابعی چند جمله ای است.

اسلاید 113: 113تذكر: اگر و ریشه معادله كمكی از مرتبه تكرار باشد آن گاه جواب خاص معادله غیر همگن است.

اسلاید 114: 114مثال : معادله را حل می كنیم.حل : چون یكبار ریشه معادله كمكی است پس بنابراین درنتیجه با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم: پس جواب خاص غیر همگن است و جواب عمومی معادله غیر همگن است.

اسلاید 115: 115ج) اگر باشد نیز جواب خاص بصورت مثلثاتی سینوس وكسینوس می باشد ودرصورتی كه ریشه مختلط محض معادله كمكی باشد یعنی اگر آنگاه جواب معادله همگن بصورت مثلثاتی است كه دراین حالت باید به ضرب شود .

اسلاید 116: 116تذكر:اگر و ریشه مختلط محض معادله كمكی ازمرتبه تكرار باشد آنگاه جواب خاص معادله غیر همگن است.

اسلاید 117: 117مثال : معادله را حل می كنیم.حل: چون ریشه مختلط محض معادله كمكی نیست پس بنابراینو با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم: پس جواب خاص معادله غیر همگن و جواب عمومی معادله غیر همگن است.

اسلاید 118: 118تذكر: هر گاه درمعادله غیر همگن اگر به ازای هر ، یك جواب معادله غیر همگنباشد، آنگاه معادله غیر همگن، جوابی بصورت دارد.

اسلاید 119: 119تذكر : روش ضرایب ثابت را می توان برای معادلات مرتبه ، خطی غیر همگن استفاده كرد كه دراین حالت در برابربا است كه مرتبه تكرار ریشه معادله كمكی بودن ، است.

اسلاید 120: 120مثلا معادله چون و ریشه معادله كمكی نیستند پس:با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم:

اسلاید 121: 121حل معادله دیفرانسیل به روش های سریها درفصل قبل با حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت، درچند حالت خاص با ضرایب متغیر آشنا شدیم. دراین فصل با یكی از موثرترین روش حل برای معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم (وبالاتر)، یعنی، از سریهای توانی استفاده می كنیم. دردرس ریاضیات عمومی با مفهوم سری آشنا شده ایم . برای اینكه مطالب این فصل رابهتر درك كنیم، بحث را با مرور مختصری برسریهای توانی شروع می كنیم.

اسلاید 122: 122سری توانیسری به صورت یا كه درآن اعداد ثابتی بوده و متغیر است را سری توانی به مركز نامیم.

اسلاید 123: 123سری توانی ممكن است كه دریكی از سه حالت زیر صدق كند:1- تنها به ازای همگرا باشد.2- به ازای هر دریك همسایگی مطلقا همگرا باشد، یعنی برای همگرا وبرای واگر باشد عدد را شعاع همگرایی سری نامیم.3- به ازای هر مطلقا همگرا باشد.مجموعه مقادیر را كه سری توانی همگرا است، بازه (فاصله)همگرایی سری می نامیم.

اسلاید 124: 124تذكر: اگر سری به ازای همگرا باشد آنگاه بازه همگرایی برابر است با دردرس ریاضی عمومی با پیدا كردن بازه همگرایی سری توانی آشنا شده ایم كه شعاع همگرایی عبارت است از ممكن است آنگاه حد بالا نامتناهی باشد.

اسلاید 125: 125مثال:بازه همگرایی سری توانی را پیدا كنید . چون بنابراین ، سری تنها به ازای همگرا است.

اسلاید 126: 126مثال :بازه همگرایی سری توانی را پیدا كنید.چون پس سری روی مجموعه اعداد حقیقی، یعنی در همه جا همگرا است.

اسلاید 127: 127مثال :بازه همگرایی سری توانی را پیدا كنید. چون پس، سری روی مجموعه هایی كه همگرا است .

اسلاید 128: 128قضیه: اگر سری توانی بربازه كه درآن یك عدد ثابت مثبت است همگرا باشد، آنگاه سری توانی تابعی مانند را تعریف می كند كه به ازای هر دربازه پیوسته است.تذكر:به طور طبیعی این سوال مطرح می شود كه به كدام تابع پیوسته همگرا است.پاسخ دادن به این سوال درحالت كلی آسان نیست.

اسلاید 129: 129قضیه: اگر به صورت زیر توسط یك سری توانی تعریف شده باشد، آنگاه می توان از سری بالا جمله به جمله مشتق گیری كرد وهمین طور انتگرال گرفت یعنی: كه

اسلاید 130: 130قضیه : فرض كنیم : آن گاه الف) به ازای هر عدد حقیقی داریم:ب)ج) كه درآن:

اسلاید 131: 131تذكر: با انتقال اندیس می توان نشان داد كه : بعبارت دیگر، با كم كردن واحد از اندیس جمع سری واضافه كردن واحد به همه های داخل علامت سری، دو سری مساوی به دست می آید.تذكر: 12.1.3- دركار كردن با سریهای توانی با مركزبسط مخالف با صفر، غالبا به كار بردن تغییر متغیر مفید است. یعنی :

اسلاید 132: 132قضیه: فرض كنیم سری برای با همگرا به تابع باشد، بسادگی نشان داده می شود كه ودرحالت خاص اگر آنگاه

اسلاید 133: 133تعریف: سری را بسط سری تیلر ، حول نقطه وسری را بسط ماك لورن حول نقطه صفر می نامیم.

اسلاید 134: 134تعریف: اگر سری به ازای هر دربازه به همگرا باشد می گوییم درنقطه تحلیلی است.

اسلاید 135: 135مثال : بسط سری ماك لورن برخی توابع عبارت است از: الف) كه ب) كه ج) كه

اسلاید 136: 136د) كه ه) كه و) كه

اسلاید 137: 137نقاط معمولی ومنفردتعریف: نقطه را یك نقطه معمولی (عادی) برای معادله دیفرانسیل خطی مرتبه ام می گویم هرگاه ضرایب و در تحلیلی باشند. نقطه ای را كه معمولی نباشد نقطه منفرد (غیر عادی)معادله می نامیم.

اسلاید 138: 138مثال : نقاط منفرد معادله دیفرانسیل را پیدا كنید.حل: معادله را با تقسیم بر بصورت ضریب مشتق بالا ترین برابر یك می كنیم یعنی: بدیهی است كه همه ضرایب این معادله درهمه نقاط به جز نقاط و و تحلیلی می باشند. پس آنها نقاط منفرد وهمه نقاط دیگر نقاط معمولی معادله هستند.

اسلاید 139: 139قضیه: اگر هریك از توابع درنقطه تحلیلی باشند، آن گاه یك جواب منحصر به فرد مانند وجود دارد كه در تحلیلی است ودر شرط اولیه صدق می كند. یعنی هر جواب معادله دیفرانسیل توسط سری تیلر خود درنقطه دربازه بیان می شود.

اسلاید 140: 140جواب های سری معادلات دیفرانسیل) دریك نقطه معمولی (مثال : معادله دیفرانسیل مرتبه اول را با پیدا كردن جواب بصورت سری مك لورن حل می كنیم.حل: فرض كه چون پس باید :

اسلاید 141: 141 وبا حل كردن دستگاه از بالا به پایین نتیجه می شود كه:ویارابطه بازگشتی كه به دست می آوریم،

اسلاید 142: 142حال با جایگذاری ضرایب بالا در داریم : كه پارامتر می باشد دقت كنیم كه جواب بالا همان جوابی است كه از روش های قبلی بدست می آید یعنی جواب معادله جداشدنی بالا است.

اسلاید 143: 143مثال : بسط تیلر جواب های معادله را درنقطه معمولی پیدا كنید.حل: برای سادگی از تغییر متغیر استفاده می كنیم دراین صورت متناظر با می باشد وداریم: بنابراین با جایگذاری ، معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله می شود چون همه ضرایب چند جمله ای هستند

اسلاید 144: 144، پس بازه همگرایی سریهای جواب معادله برابر با است، بازه همگرایی سریهای جواب معادله اصلی نیز برابر با است . سری توانی جواب را بصورت سری ماك لورن درنظر می گیریم . پس: با قرار دادن سریهای بالا درمعادله دیفرانسیل ثانویه داریم:

اسلاید 145: 145

اسلاید 146: 146درنتیجه: چنانکه ملاحظه می شود همه ستون های سوم وستون دوم بغیر اولین جمله بقیه صفراند تنها ستون اول ناصفرمی باشدوبرحسب است بنابراین:

اسلاید 147: 147

اسلاید 148: 148

اسلاید 149: 149ویا با قرار دادن داریم : جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده به ازای هر می باشد.

اسلاید 150: 150تذکر: ممکن است رابطه بازگشتی بر حسب جمله عمومی امکان پذیر نباشد یا بسادگی نتوان پیدا کرد در چنین حالتی جمله عمومی را معمولاپیدا نمی کنیم.معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم که در آن عدد ثابتی است به معادله دیفرانسیل لژاندر موسوم است.ملاحظه می شود که نقطه یک نقطه معمولی معادله است بنابراین دارای جوابی بصورت: است که حداقل برای همگراست.

اسلاید 151: 151که با جایگذاری در معادله داریم: با تغییر اندیس داریم:

اسلاید 152: 152ورابطه بازگشتی:نتیجه می شود که:

اسلاید 153: 153که با جایگذاری در معادله داریم:

اسلاید 154: 154با قرار دادن این ضرایب در سری داریم: كه برای همگراست واگر عدد صحیح نباشد شعاع همگرایی هر دو سری داخل پرانتز برابر با یک است.توابع تعریف شده در جواب سری مشهور به توابع لژاندر می باشد که توابع متعالی هستند.در حالت خاص جواب سری ها ممکن است متناهی باشد.

اسلاید 155: 155نقاط منفردمنظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دومفرض کنیم كه نقطه یك نقطه منفرد معادله دیفرانسیل خطی همگن باشد درصورتی كه اگر معادله را بصورت بنویسیم و در تحلیلی باشند، نقطه را نقطه منفرد منظم نامیم واگر تحلیلی نباشند را نقطه منفرد غیر منظم می گوییم.

اسلاید 156: 156مثال :نوع نقاط منفرد معادله دیفرانسیل را پیدا كنید.حل: با تقسیم دو طرف معادله در ، معادله بالا به صورت در می آید مشاهده می كنیم كه نقاط منفرد عبارت است از : با ضرب معادله بالا در داریم : پس

اسلاید 157: 157كه هر دو در تحلیلی اند. پس یك نقطه منفرد منظم است. حال اگر طرفین معادله را در ضرب كنیم داریم : كه ، هردو در تحلیلی اندپس یك نقطه منفرد منظم است.

اسلاید 158: 158مثال : معادله لژاندر را به صورت زیر می نویسیم . روشن است كه و نقاط منفرد معادله اند كه اگر طرفین معادله را در ضرب می كنیم داریم :

اسلاید 159: 159 آنگاه: و هردو در تحلیلی اند پس یك نقطه منفرد منظم معادله است. حال اگر طرفین معادله را در ضرب كنیم داریم : كه و هردو در تحلیلی اند پس یك نقطه منفرد منظم معادله است.

اسلاید 160: 160 مثال: معادله دیفرانسیل خطی را که به معادله بسل(Bessel) از مرتبه معروف است در نظر می گیریم در این معادله که عدد ثابت نا صفر می باشد با نوشتن معادله بصورت ملاحظه می شود که نقطه منفرد معادله می باشد وبا توجه به توابع که درنقطه تحلیلی اند پس نقطه منفرد ومنظم معادله است.

اسلاید 161: 161تعریف: سری بصورت که در آن عددی حقیقی ویا مختلط است به سری فروبنیوس (frobenius) مشهور است.

اسلاید 162: 162تذکر: اگر یک نقطه منفرد منظم معادله مرتبه دوم خطی باشد ثابت می شود که معادله دارای یک وگاهی دو جواب بصورت سری فروبنیوس با است. در اینجا عددی حقیقی است این روش را با ارائه چند مثال توضیح می دهیم.

اسلاید 163: 163مثال: معادله دیفرانسیل را در نظر می گیریم واضح است که نقطه منفرد منظم معادله است جواب سری فروبنیوس را در نظر می گیریم بنابراین :با جایگذاری در معادله دیفرانسیل نتیجه می شود:

اسلاید 164: 164 و یا: با تغییر اندیس داریم :

اسلاید 165: 165و یا : چون فرض بر آن است که پس : این معادله را معادله شاخص و ریشه های آن را توان شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیم . پس توان های شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم هستند

اسلاید 166: 166حال به ازای هر کدام از مقادیر ضرایب ها در رابطه بازگشتی : و یا :صدق می کند .

اسلاید 167: 167الف) اگر رابطه بالا نتیجه می دهد که :

اسلاید 168: 168ب) اگر آنگاه : باپس :

اسلاید 169: 169در نتیجه دو جواب سری فروبینوس عبارت است از :و دو تابع بدلیل در بازه مستقل خطی وهمگرا هستند پس : جواب عمومی معادله دیفرانسیل است .

اسلاید 170: 170حالتی كه معادله شاخص دارای ریشه های برابر است.تذکر: درادامه بحث خود معادلاتی را مورد بررسی قرار می دهیم که دارای یک نقطه منفرد در است.در این حالت معادله به صورتدر می آید،که در آن در تحلیلی هستند.همچنانکه قبلا مشاهده کردیم،این محدودیت از کلیت بحث نمی کاهد، زیرابا تغییر متغیر نقطه منفردمنظم را به صفر تبدیل می کند.

اسلاید 171: 171- بررسی حالت کلیمعادله دیفرانسیل مرتبه دوم را در نظرمی گیریم . فرض نقطه منفردمنظم باشد در این صورت در تحلیلی هستند،در نتیجه به ازای ، داریم: و تابعی بصورت:

اسلاید 172: 172باشد، آنگاه: با قرار دادن مقادیر بالا در معادله دیفرانسیل داریم:

اسلاید 173: 173در نتیجه که با فرض ضریب کوچکترین توان داریم: چون پسویامعادله شاخص می باشد و ریشه های آن را توان های شاخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم نامیده می شود.

اسلاید 174: 174ملاحظه می شودکه سه حالت زیر می تواند در مورد معادله شاخص رخ دهد:الف) اگر عدد غیر صحیح وغیرصفر باشد.ب) اگر عدد صحیح ومثبت باشد.ج) اگر صفر باشد.در حالت الف) معادله دیفرانسیل دارای دو جواب مستقل به صورت و دارد. قبلا مثالهایی در این مورد ملاحظه شد.

اسلاید 175: 175در حالت ب) و ج) فقط یک جواب به صورت دارد. برای پیدا کردن جواب مستقل دیگر نشان داده می شود که جواب به صورتاست که می توان با مشتق گیری وجایگذاری در معادله دیفرانسیل ضرایب ها و را پیدا کردکه ممکن است مقدار برابرصفر باشد که در این صورت به شکل یک سری فروبینوس می با شد.

اسلاید 176: 176تذکر: در فیزیک و ریاضیات محض،اغلب بررسی جواب معادله دیفرانسیل وقتی متغیر مستقل بینهایت باشد،مورد نظر است. با به کار بردن تغییر متغیر مقادیر بزرگ با مقادیرکوچک متناظر خواهند بود.

اسلاید 177: 177با جایگذاری به جای جوابهایی از معادله دیفرانسیل جدید را بدست می آوریم که اگر معادله جدید دارای یک نقطه معمولی در باشد، گوییم معادله دیفرانسیل دارای یک نقطه معمولی دربینهایت است. به همین نحو، اگر معادله جدید دارای یک نقطه منفرد منظم در باشد، گوییم معادله دیفرانسیل دارای یک نقطه منفرد منظم دربینهایت است.

اسلاید 178: 178 دستگاه معادلات دیفرانسیلدر این فصل با توجه به كاربردهای دستگاه معادلات دیفرانسیل در فیزیك و مكانیك و دیگر كاربردهای آن به بررسی و مطالعه این دستگاه ها می پردازیم.

اسلاید 179: 179تعریف: مجموعه ای بیش از یك معادله دیفرانسیل همزمان را دستگاه معادلات دیفرانسیل نامیم.ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل دستگاه دو معادله دیفرانسیل می باشد كه عبارت است از:

اسلاید 180: 180برای اینكه ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل را بررسی كنیم این نوع دستگاهها را با بیان شرایطی به ساده ترین صورت در نظر می گیریم. ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل، دستگاه دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول می باشد كه عبارت است از:

اسلاید 181: 181كه ممكن است مضربی از اولی در دومی ظاهر شود و بالعكس، بنابراین صورت دیگری از دستگاه دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول بصورت زیر است:

اسلاید 182: 182حال اگر توانهای برابر با یك باشد آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی نامیم یعنی:

اسلاید 183: 183كه اگر آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی همگن نامیم و در صورتی كه ، اعداد ثابت باشند آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی همگن با ضرایب ثابت نامیم. اكنون با تعدادی از دستگاه معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. روشهایی را برای حل برخی از آنها بیان می كنیم. لازم به تذكر می باشد كه جواب دستگاه دو معادله دیفرانسیل بصورت می باشد. قضیه ای، وجود دارد كه شرط وجود جواب و منحصر بفرد بودن را بررسی می كند كه از ذكر آن صرفنظر می كنیم و فرض می كنیم كه وجود دارد و منحصر بفرد است.

اسلاید 184: 184برای حل برخی از دستگاه دو معادلات دیفرانسیل روشهایی را بیان می كنیم.روش اول: یكی از معادلات دستگاه مستقلاً قابل حل می باشد. با یك مثال توضیح می دهیم.مثال :دستگاه زیر را حل می كنیم:

اسلاید 185: 185چنانكه ملاحظه می شود معادله اول معادله جداشدنی است پسكه با انتخاب برابر با داریم: كه با جایگذاری در معادله دوم دستگاه نتیجه می شود:

اسلاید 186: 186و این معادله نیز معادله مرتبه اول خطی است پس: پس جواب دستگاه می باشد.

اسلاید 187: 187روش بالا را می توان برای دستگاه سه معادله نیز بكار برد.مثلا دستگاه سه معادله زیر را می توان حل كرد.

اسلاید 188: 188روش دوم: حل دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت:با مشتق گیری از معادلات دستگاه و استفاده از معادله دوم دستگاه آنرا به معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت تبدیل می كنیم كه با حل آن قبلاً آشنا شده ایم. با یك مثال توضیح می دهیم.

اسلاید 189: 189مثال : دستگاه زیر را حل می كنیم:‌با مشتق گیری از معادله اول داریم: و با جایگذاری از معادله دومی نتیجه می شود:

اسلاید 190: 190با جایگذاری از معادله اول داریم:

اسلاید 191: 191كه دارای معادله كمكی است كه و ریشه های متمایز هستند. پس: حال با جایگذاری در معادله اول داریم:بنابراین جواب دستگاه است.

اسلاید 192: 192روش سوم: این روش مشهور به روش عملگر یا اپراتور می باشد. در این روش فرض می كنیم كه ، آنگاه با جایگذاری عملگر دستگاه را به روش حذفی گوس حل می كنیم. با یك مثال این روش را توضیح می دهیم.

اسلاید 193: 193مثال : دستگاه زیر را به روش حل می كنیم: با استفاده از نماد داریم:

اسلاید 194: 194 با ضرب معادله اول در ومعادله دوم در و جمع طرفین دستگاه داریم:این معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت غیرهمگن می باشد پس:

اسلاید 195: 195بنابراین و برای پیدا كردن جواب خاص غیرهمگن آنرا به روش ضرایب ثابت حل می كنیم. چون صفر ریشه معادله كمكی است پس:

اسلاید 196: 196با جایگذاری در معادله نتیجه می شود: پس ، بنابراین بنابراین با جایگذاری معادله داریم:

اسلاید 197: 197 پس جواب دستگاه می باشد.

اسلاید 198: 198تذكر : روشهای اول و سوم چنانكه ملاحظه می شود از حل دستگاه معمولی نتیجه گیری شده است. مثلاً دستگاه معمولی را می توان بسادگی حل كرد كه یكی از معادلات دستگاه مستقلاً قابل حل می باشد و روش سوم نیز همان روش حذفی گاوس می باشد كه درحل دستگاه استفاده می شود.

اسلاید 199: 199تذكر: روشهای بالا را برای حل دستگاه دو معادلات خطی استفاده كردیم می توان آنرا برای حل دستگاه سه معادلات خطی نیز استفاده كرد و همچنین می توان آن را تعمیم داد و برای دستگاههایی با معادلات دیفرانسیل خطی بیشتر نیز استفاده كرد.

اسلاید 200: 200تذكر: همانطوری كه در دستگاه معمولی ممكن است دستگاه دارای جواب منحصر بفرد و یا بی نهایت جواب و یا جواب نداشته باشند در دستگاه معادلات دیفرانسیل نیز چنین می باشد. مثلاً دستگاه دارای بی نهایت جواب می باشد.

اسلاید 201: 201 مثلاً و جوابهایی از دستگاه است.در هر كدام از جوابها را به دلخواه انتخاب كرده و دستگاه را بر حسب حل می كنیم. ولی دستگاه دارای جواب نیست.

اسلاید 202: 202تذكر: ملاحظه شد كه دستگاه معادلا ت دیفرانسیل در روش سوم بصورت كلی: می باشد كه دترمینال ضرایب یعنی:را دترمینان دستگاه معادلات دیفرانسیل نامیم.

اسلاید 203: 203قضیه زیر را بدون اثبات می پذیریم.قضیه :تعداد پارامتر در جواب عمومی و دستگاه بالا برابر با توان است مشروط بر اینكه باشد.بنابراین در جوابهایی از دستگاههایی كه تعداد پارامتر بیشتر از توان است ، می توان پارامترهای اضافی را با جایگذاری در دستگاه معادلات حذف كرد.

اسلاید 204: 204در این فصل ملاحظه خواهیم كرد چگونه با به كار بردن تبدیل لاپلاس در مورد یك معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه ، می توان آن را به مسئله ساده تری تبدیل كرده بطوری كه با وارون تبدیل لاپلاس جواب مسئله ابتدائی بدست می آید و همچنین ملاحظه خواهد شد كه روش های تغییر پارامتر و ضرایب ثابت را در مورد حل معادلات دیفرانسیل غیر همگن كه تابع طرف دوم ناپیوسته باشد نمی توان بكار برد كه در این حالت می توان از تبدیل لاپلاس استفاده كرد.

اسلاید 205: 205تبدیل لاپلاستبدیل مفهوم تعمیم یافته تابع می باشد ، یعنی رابطه ای كه به هر تابع ، تابع دیگری را نسبت دهد، یك تبدیل نامیم. از جمله تبدیلات مشهور تبدیل مشتق و انتگرال و مضرب در عبارتی می باشد كه معمولاً با نماد زیر بترتیب نشان می دهیم.1) 2) 3) ضرب در

اسلاید 206: 206تعریف: فرض كنیم تابع بربازه تعریف شده باشد ، انتگرال ناسرهرا كه عدد حقیقی است به ازای مقادیر ا ز همگرا باشد آنرا تبدیل لاپلاس تابع نامیم و با نماد نشان می دهیم یعنی : برای بیان رابطه بین تابع و تبدیل لاپلاس تابع می نویسیم:

اسلاید 207: 207شرایط وجود تبدیل لاپلاس را بعداً مطالعه خواهیم كرد. اینك تبدیل لاپلاس چند تابع خاص را پیدا می كنیم .تبدیل لاپلاس تابع را پیدا می كنیم. یعنی:به ازای انتگرال همگراست پس:

اسلاید 208: 208تبدیل لاپلاس تابع را پیدا می كنیم :به ازای انتگرال همگراست پس

اسلاید 209: 209تبدیل لاپلاس تابع را پیدا می كنیمبه ازای انتگرال همگراست پس :

اسلاید 210: 210درتمرینات نشان داده می شود:اگر ، آنگاه

اسلاید 211: 211خواص تبدیل لاپلاسبا توجه به اینكه تبدیل لاپلاس توسط انتگرال تعریف شده است لااقل دارای خواص خطی انتگرال را می باشد.

اسلاید 212: 212قضیه: نشان دهید كه :اثبات : چون عدد ثابت می باشد پسگرچه این خاصیت اثبات كوتاهی دارد ولی خواص خیلی قوی می باشد و می توان بسیاری از تبدیل لاپلاس توابع را پیدا كرد.

اسلاید 213: 213مثال:

اسلاید 214: 214حال تبدیل لاپلاس تابع عبارت است ازو از طرفی بنابر تساوی دو طرف اول تساویها داریم:

اسلاید 215: 215مثال: با شرط

اسلاید 216: 216به عنوان دومین خاصیت ا ز تبدیل لاپلاس خاصیت انتقال می باشد.قضیه: فرض كنید آنگاه اثبات: چون

اسلاید 217: 217مثلا: الف) ب) ج)

اسلاید 218: 218به عنوان سومین خاصیت از تبدیل لاپلاس خاصیت مضرب می باشد .قضیه: فرض كنید آنگاه اثبات:

اسلاید 219: 219نتیجه :اثبات: به استقراء نتیجه می شود كه

اسلاید 220: 220مثال: (الف (ب (ج

اسلاید 221: 221از آنجائیكه معادله دیفرانسیل ازتركیباتی از یعنی ومشتق یعنی و مشتقات مراتب بالا تشكیل شده است بنابراین در این قسمت تبدیل لاپلاس مشتق را بررسی می كنیم .

اسلاید 222: 222قضیه: نشان دهید اثبات: چون با استفاده از روشی جز به جز داریم: و و پس اگر آنگاه :

اسلاید 223: 223نتیجه: نشان دهید. اثبات: به استقراء نتیجه می شود كه:

اسلاید 224: 224 معكوس تبدیل لاپلاسفرض كنیم تبدیل لاپلاس تابع وجود داشته باشد. در این صورت واضح است كه تابع منحصر بفردی مانند وجود دارد كه اینك عكس این حالت را در نظر می گیریم. فرض كنید تابعی مانند داده شده باشد. آیا تابع منحصر بفردی مانند وجود دارد به گونه ای كه داشته باشیم :اگر پاسخ سؤال مثبت باشد می نویسیم: را وارون یا معكوس تبدیل لاپلاس تابع نامیم.

اسلاید 225: 225اینك برخی خواص معكوس تبدیل لاپلاس را بررسی می كنیم.قضیه :نشان دهید: اثبات: قضیه قبلی ملاحظه شود.

اسلاید 226: 226مثال:الف) ب) ج)

اسلاید 227: 227 د) هـ)

اسلاید 228: 228خواص معكوس تبدیل لاپلاس قضیه: نشان دهید: اثبات قضیه قبلی ملاحظه شود.

اسلاید 229: 229مثال: الف) ب)

اسلاید 230: 230بقیه مثال:ج) د)

اسلاید 231: 231حل معادله دیفرانسیل بروش لاپلاساینك آماده هستیم نشان دهیم كه چگونه می توان جواب یك مسئله با مقدار اولیه دشوار را به كمك تبدیلات لاپلاس ، به مسئله دیگری با شرایط ساده تر تبدیل كرده و سپس با استفاده از وارون تبدیل لاپلاس جواب معادله دیفرانسیل را بدست آورد. با یك مثال ساده در مورد معادله دیفرانسیل مرتبه اول توضیح می دهیم.

اسلاید 232: 232مثال : معادله را با شرط حل می كنیم :حل: ابتدا تبدیل لاپلاس را روی معادله اثر می دهیم :

اسلاید 233: 233حال وارون تبدیل لاپلاس را محاسبه می كنیم:

اسلاید 234: 234مثال : معادله را با شرط حل می كنیم.حل : ابتدا تبدیل لاپلاس را روی معادله اثر می دهیم:

اسلاید 235: 235حال وارون تبدیل لاپلاس را محاسبه می كنیم:

اسلاید 236: 236مثال : مطلوب است جواب معادله با شرایط و حل:

اسلاید 237: 237

اسلاید 238: 238تبدیل لاپلاس برخی توابعقبل از آنکه به تبدیل لاپلاس برخی توابع دیگر بپردازیم خوب است شرایطی را که تابع باید دارا باشد تا تبدیل لاپلاس داشته باشد، دقیفتر مورد توجه قرار دهیم. برای تضمین وجود تبدیل لاپلاس، کافی است فرض کنیم که پیوسته و یا لااقل قطعه به قطعه پیوسته است. مقصود از عبارت اخیر آن است که تابع در هر فاصله متناهی پیوسته است، مگر احتمالآ در تعدادی متناهی نقطه که دارای نا پیوستگی جهشی است،

اسلاید 239: 239یعنی تابع در آن نقاط حد های چپ و راست متفاوتی دارد. این شرط لازم نیست مثلآ تابع در دارای یک نا پیوستگی از نوع بینهایت است وبنابر این قطعه به قطعه پیوسته نیست، با این وجود انتگرالش از تا وجود دارد و از آنجا که برای های بزرگ کراندار نیز هست، تبدیل لاپلاس آن وجود دارد. در واقع، برای، داریم:

اسلاید 240: 240و تغییر متغیر نتیجه می دهد یک تغییر متغیر بدست می دهد در درس حساب دیفرانسیل و انتگرال نشان داده می شود که انتگرال اخیر برابر با است، لذا داریم:

اسلاید 241: 241تعریف: تابع که می باشد را تابع پله ای واحد نامیم و تبدیل لاپلاس آن را پیدا می کنیم: با شرط

اسلاید 242: 242مثال: تابع زیر را برحسب توابع پله ای واحد می نویسیم؟ حل:

اسلاید 243: 243مثال: تابع را بصورت تابع پله ای واحد می نویسیم؟

اسلاید 244: 244تذکر:از تابع پله ای واحد می توان برای انتقال تابع داده شده ، که دامنه تعریف آن به اندازه واحد در جهت راست استفاده کرد. برای مثال تابع تعریف شده توسط نمایش انتقالی از تابع به اندازه واحد در جهت مثبت می باشد .

اسلاید 245: 245قضیه: نشان دهید: اثبات: با تغییر متغیر داریم:

اسلاید 246: 246مثال:تبدیل لاپلاس تابع را پیدا می کنیم.حل: با استفاده از مثال قبل تابع را می توان بر حسب تابع پله ای به صورت نوشت. چون پس بنابر خواص و فرمول های تبدیل لاپلاس

اسلاید 247: 247قضیه:اگر و هر دو به ازای موجود باشد آنگاه که در آن تابع به کنولوسیون و معروف است وآن را با نشان می دهیم.

اسلاید 248: 248نشان می دهیم که زیرا با بکار بردن تغییر متغیر انتگرال بالا را می توان به صورت زیر نوشت:

اسلاید 249: 249مثال:با بکار بردن کنولوسیون تبدیل معکوس تابع را پیدا می کنیم؟حل:با فرض و تبدیل لاپلاس و داریم: با بکار بردن روش جزبه جز داریم:

اسلاید 250: 250تذکر:مثال بالا را می توان با بکار بردن کسرهای جزیی بصورت زیر محاسبه کرد : بنابر این

اسلاید 251: 251قضیه: نشان دهید که اگر یک عدد مثبت باشد آنگاه اثبات: با به کار بردن تغییر متغیر انتگرال بالا به صورت

اسلاید 252: 252پایانموفق باشید