معادلات دیفرانسیل

صفحه 1:
بنام حضرت دوست که هرچه داریم از اوست معادلات دیفر انسیل تهیه وتنظیم: جمال صفار اردبیلی عضو هییت علمی دانشگاه پیام نور اردبیل 

صفحه 2:
سرفصل معادلات دیفر انسیل عنوان فصل اول: معادله دیفرانسیل مرتبه اول ): ماهیت معادلات دیفرانسیل و طبقه بندی آنها 0 معادله دیفرانسیل جدا شدنی و تبدیل به آن 0 معادله دیفرانسیل همگن و تبدیل به آن دسته منحنی ها و دسته منحنی های متعامد ©: معادله دیفرانسیل کامل ‎ale‏ انتگرال ساز ‏2: معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی و تبدیل به آن 

صفحه 3:
فصل دوم: معادله دیفرانسیل مرتبه دوم 6 معادله دیفرانسیل مرتبه دوم حالت ‎Ve XB vals‏ 1 معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن 2 معادله دیفرانسیل کشی-اویلر | 6 معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطى غير همكن ( تغيير ‎Ge‏ ‎1G‏ روش ضرایب ثابت( ضرایب نامعین) 

صفحه 4:
فصل سوم: حل معادله دیفرانسیل به روش سری ها 0 سری توانی 2 نقاط معمولی ومنفرد وجواب های سری معادلات دیفرانسیل 0 نقاط منفرد منظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم :<حالتی که معادله شاخص دارای ريشه های برابر است 

صفحه 5:
فصل چهارم: ‎“(os‏ ‏0 دستگاه معادلات دیفرانسیل 

صفحه 6:
فصل پنجم: تبدیلات لاپلاس 6: تبديل لايلاس ©: خواص تبديل لايلاس 9: معكوس تبديل لايلاس حل معادله ديفرانسيل به روش لاپلاس ©: تبديل لايلاس برخى توابع 

صفحه 7:
ماهیت معادله دیفرانسیل وطبقه بندی آن مقدمه: با مفهوم معادله یعنی رابطه ای که درآن تساوی باشد» آشنا هستیم. ساده ترین معادله یک مجهولی می باشد؛ که بانماد 0- 7620 نشانمی دهیم. مثلا ‎ax+ D=0‏ معادله یک مجهولی درجه اول و0<ی روز + ‎ax‏ ‏معادله یک مجهولی درجه دوم و ax + bX +cx+ d=0 ‏معادله یک مجهولی درجه سوم والی آخر‎ 

صفحه 8:
معادله دو مجهولی که بانماد 0= 7 بر 7 نشان مي دهيم مثله0) - 60 ‎ax+ byt‏ معادله دو مجهولی درجه اول ‎ax + bxy cy + dx+ eye f =0‏ معادله دو مجهولی درجه دوم والى اخ درمورد معادله دونوع سوال قابل طرح می باشد: تس 9 جواب معادله 0= ‎fxd‏ می باشد؟ ‎X,‏ ‎Yo! cae Ui‏ جواب معادله ‎fly =O‏ مي باشد؟ ب) جواب معادله راپیدا کنید؟ 

صفحه 9:
جواب دادن به سوال الف) ساده می باشد زیرا با جایگذاری می توان مشخص کرد. ولی جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد. ابتدا باید معادلات را دسته بندی کرده وبرای هر نوع روش خاصی راارائه داده بعبارت دیگر برای حل معادله باید دو مرحله را مشخص کنیم: 0) مرحله شناخت ) مرحله حل(روش حل) 

صفحه 10:
‎X pau fAxy =O stn Side‏ رابعنوان متفیس مستقل و 7 رابعنوان متفیر وابسته درنظر بگيرريم آن گاه ‎Vy gs xX‏ می باشد و می توان درمورد مشتق تابع صحبت کرد یعنی : ‎uy FY ya yal _a'y‏ ‎dx? dx’‏ ‎0 ‎Y= 

صفحه 11:
تعریف: معادله ای که شامل ترکیباتی از 2 (متفیر مستقل ) و ‎DV‏ ‏و مشتقاتآن‌باشد را محادله دیف رانسیل‌ناميم وبا نماد (متغیر ولبسته) ‎WV, )=0‏ 7 رآ نشان می دهیم درمورد معادله دیفرانسیل نیز می توان دو سوال طرح کرد: الف) آیاتایع 0 ‎Ax‏ جواب معادله دیذرانسیل می باشد؟ ب) جواب های معادله دیفرانسیل را پیدا کنید؟ ad 

صفحه 12:
جواب دادن به سوال الف ) ساده است (با جایگذاری ) مثلا آیاتابع ‎y=e*‏ جواب معادله 67-0 + 5 - ل ميباشد؟ جواب دادن به سوال ب) مشکل می باشد وبستگی به نوع معادله وطبقه بندی آن دارد. باتعریف مرتبه ودرجه معادله .دیفرانسیل به سراغ سوال ب) مى رويم تعريف: بيشترين تكرار مشتق در هر معادله را مرتبه آن وتوان بيشترين تكرار مشتق را درجه معادله ديفرانسيل ناميم. 

صفحه 13:
(Woe ~ax? asc ‏مرتبه اول » درجه سوم می باشد.‎ ‏“مرعه ] عرق‎ ‏معادله رح اج |+ جحت‎ )© 02 | 2 ‏مرتبه سوم » درجه اول مى باشد.‎ yo + y? ‏معادلگ ح‎ (9 مرتبه سوم » درجه اول می باشد. aa 

صفحه 14:
معادله دیفرانسیل جدا شدنی مشابه معادله معمولی باتوجه به تعریف مرتبه ودرجه معادله دیفرانسیل می توان آنها راطبقه بندی کرد. بنابراین ساده ترین معادله دیفبانسیل مرتبه اول بصورت 20 ‎YY)‏ 1)3 می باشد که اگر توان کر برابربایک باشد آنگاه معادله مرتبه اول درجه اول مى باشد که مرتبه اول درجه اول بصورت کلی ‎=Fixy)‏ الك نر a می باشد ae 

صفحه 15:
تعریف: معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول به صورت _, ببح إل را معادله جدا شدنی نامیم (مرحله شناخت). هر معادله مرتبه اول درجه اول جداشدنی را اختصارا معادله جداشدنی (جدایی پذیر)نامیم. هر معادله جدا شدنی را می توان بصورت کلی 07-0 ( ۷[ جحل د )ناز #تبديل كرد 

صفحه 16:
حل معادله دیفرانسیل جداشدنی: با انتگرالگیری از معادله جداشدنی 0۶-0 2 +0 ۱۸ می توان جواب آذرا محاسبه گرد تذکر: هدف از حل معادله دیفرانسیل محاسبه جواب عمومی معادله دیفرانسیل می باشد. جوابی را جواب عمومی نامیم هرگاه تعداد پارامترها به تعداد مرتبه معادله دیفرانسیل باشد که ,بعدا آنرا دقيقا تعریف خواهیم کرد 

صفحه 17:
, X +X ‏مثال : معادله روت 7 را حل می کنیم.‎ 0 22+ ‏حل :داريم‎ dx y-y (x2 +d dx+(y- y)dy=0 olf ‏آن‎ درنتیج ] <2(۵ حرا ] هلا + دا [ ويا 1 1 1 1 ‏و‎ ‎26 +216 +217 - ar =C جواب (عمومی)معادله است. a 

صفحه 18:
معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول ممکن است به ظاهر جداشدنی نباشد ولی با تقسیم بر عباراتی می توان آن را تبدیل به جدا شدنی نمود. مثال: ‎(y+ Dlx? +1) dx+(x+ Dy +1 dy=O ates‏ به ظاهر جدا شدنی نیست. ولی با تقسیم برحاصلضرب عبارات اضافى 1 جمر )1 +2) داريم: مسن 1+ ل بين 1+ +1 yt aoe ‏که جدا شدنی است پس با انتگرالگیری داریم ؛‎ ‏و +( جر و2 بر رد‎ y+ ln y+) =c «جو اب معادله است. 

صفحه 19:
معادله دیفرانسیل همگن ملاحظه شد معادله مرتبه اول درجه اول بصوریت ‎x‏ arr Mx, yidx+ Nx yi dy=0 ویا به صورت می باشد 

صفحه 20:
مثلا معادلانت ‎x+y‏ 37+ م Pax’ xy ‏معادلات مرتبه اول درجه اول می باشند که هیچکدام جدا شدنی‎ ‏نیستند ولی معادله اولی دارای خاصیتی می باشد که معادله‎ ‏دومی نیست. درمعادله دیفرانسیل اول تمام جملات توابع‎ ( 162 <2 , ( 0906 <2 از توان یکسان دو می باشد ولی معادله دومی چنین نیست. این .مفهوم رابانماد ریاضی تعریف می کنیم هه 

صفحه 21:
Z= f(xy) ‏واتابع جو متغيره‎ pl را تابع همگن از در جهل ناميم هركاه درشرط زير صدق كند: ‎y)‏ بر ۳ - ۲ 7 تابع #[ جتوهر + 2ح ( ‎fx‏ y y 5 fx ع ‏هیر‎ + ysin= 8 x .تابع همگن از درجه یک مي باشد تابع همگن ازدرجه دو می باشد 

صفحه 22:
تعريف: معادله ديفرانسيل ‎fAxy‏ 0 رك را معادله همكن ناميم هر كاه توابع دو متغيره 4 9 توابع همكن از درجه يكسان باشند. بعبارت ديكر معادله ديفرانسيل ‎M-x yidxt Mx yidy=0‏ را معادله همگن نامیم هر گاه توابع دو متغیره ‎M,N‏ ‎al si,‏ همگن از درجه یکسان باشند 

صفحه 23:
حل معادله دیفرانسیل همگن: فرض کنیم معادله 7[ ‎Ux,‏ سا ‎Gx) .‏ همکن باشد. پر وی هر ۳ داریق۷ < 7[ يس [۶ <۷ 1+ ۲ آن گاه با جایگذاری درمعادله نتيجه می شود که ., _f (Lv) adv. _f(iv) dv _ak x= ‏بل دب (۶)۷- ۷ - دعر كدر‎ 1# ‏(1,۲)و‎ 6 g(1v) f(v) x که معادله اخیر جدا شدنی است می توان آنرا به روش جدا شدنی حل کرد وبا جایگذاری ‎viv‏ ۲ Xx ‏.جواب معادله دیفرانسیل اولیه بدست می آید‎ eo 

صفحه 24:
مثال: معادله دیفرانسیل همگن 0حر برد جتدك (مرز + ‎(x2‏ ‏را حل می کنیم باجایگذاری ]260 0-۲2 و۲۷2 < 7 زداریم ‎(x2 + 2x2) dxt xvkvde xdv=0‏ 0 بتر برل ‎(247x242)‏ ‏۷۵۲-0 ثر بيرق [212 +2)1ر ‎dx+ xvd%0‏ )142( با تقسیم برحاصلضرب عباریات اضافی ‎av)‏ +1ر :داريم 4 ‎xX‏ ‎dv= J 0‏ | or 

صفحه 25:
Inx+ + 2’) =Inc تذکر: برای ساده کردن به جای 6 معمولا 11 را بعنوان پارامتر ثابت اختیار می کنیم. 1 Inx(1+ 2v’)4 =Inc x4/(1+ 2v) =c ‎x) =e‏ 2 تت + ]) فير ‏جواب معادله دیفربانسیل می باشد. 

صفحه 26:
دسته منحنی ها ودسته منحنی های متعامد ملاحظه شد که جواب عمومی هر معادله دیفرانسیل مرتبه اول معمولا شامل یک ثابت اختیاری موسوم به پارامتر است. وقتی مقادیر مختلفی به این پارامتر نسبت داده می شود» یک دسته منحنی به دست مى آيد هر يك از اين منحنی ها یک جواب خصوصى معادله ديفرانسيل مفروض است وهمه آنها با هم جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابرباین معادله 0= 0,¥ ود جواب عمومی آن را تشکیل می دهند. بنابراین معادله 0= 0 ,7 1624 یک دسته منحنی می باشد. و 

صفحه 27:
حال می خواهیم دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی مفروض رابااستفاده از معادله دیفرانسیل بدست آوریم که کاربردی از معادله دیفرانسیل می باشد. بعنوان مثال تعدادی دسته منحنی رادر زیر رسم می کنیم : ‎cess‏ Q 0 + 7 ۲ < ۲ (ب 2 - ۳۵ + لیر (اف 

صفحه 28:
همه ca ‏و وه در ۸ متعامدتد‎ 6 و یه در ۸ متعامد نیستند 

صفحه 29:
حال با توجه به مطالب بالا وبا استفاده از روند زیر می توان : دسته منحنی های متعامد بریک دسته منحنی ها را پیدا کرد ب 20 (0 ,7 1024 معادله دسته منحنی ها at Ax yy) =0-—45 ‏سردا‎ =0- ox yd =0 ‏معادله ديفرانسيز‎ 1 ‏ها‎ oS . ‏دس ۱ معادله دیفر انسیل دسته‎ ow ‏منحنی های خی هاعع فتعاند‎ ‏متعامد‎ 

صفحه 30:
مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های دوایر به مرکز مبدا وشعاع دلخواه رابدست می آوریم: x+y =C ‏جب‎ 2x+2yy =0= x+y =0 yo ‏شتق‎ 7 s ‏برد ثور د لدع د 0[ ارب سک‎ 0 7 0 ۸ 1 I _ pax. = Xe? Gy =" Iny=Inx+Inc = Iny=Incx= y=cx ‏دسته منحنی های متعامد‎ 9۵ 

صفحه 31:
60 

صفحه 32:
اغلب مناسب است که دسته منحنی های داده شده را برحسب مختصات قطبی بیان کنیم دراین حالت از این موضوع استفاده مى كنيم كه اكر 7© زاویه بین شعاع حامل وخط مماس باشد آن امد = ‎ely) tanp‏ عمومى). با استفاده بحث بالا برای يافتن دسته منحنى هاى متعامد درمعادله ديفرانسيل دسته منحنى رتیه بای عبازیت ‎rd)‏ منفى عكس آن يعنى dr aS on 

صفحه 33:
مثال : دسته منحنی های متعامد بردسته منحنی های x+y¥ =2cx ‏را درمختصات قطبی بدست می آوریم. معادله دسته منحنی ها‎ 10-2000590 : ‏در مختصات قطبی عبارت است از‎ - ‏بنابراين : مورزوی2‎ ۳ ‏میرن[‎ RH CR LAS ويا 70 _ . 89 dr sind 

صفحه 34:
00 dr ‎re 5‏ که با جایگذا عت -به -- داریم: با جايخارى وير 5 ‎dr‏ داریم: ‎ ‎ ‎dr 609 dr 09 - =- ‏بسانت‎ (“~~ da rd sing 3 r lee Inr=Insind + In2c=> Inr=|n2csin = ‎r=2csind ‏معادله دسته منحنی های متعامد می باشد. ‎or 

صفحه 35:
© 

صفحه 36:
معادله دیفر انسیل کامل درریاضیات عمومی با دیفرانسیل توابع دو متغیره ‎z=f(xy)‏ آشنا شدیم وملاحظه کردیم که دیفرانسیل کامل تابع ریا که با نماد نشان می دهیم عبارت است ا ز of of df =— dx+ — dy 2 dx+ ay dy وهمچنین معادله دیفرانسیل مرتبه اول درجه اول بصورت ‎Mx ydx+ Nx ydy=0 cs‏ می باشد. 988 

صفحه 37:
تعریف :معادله دیفرانسیل 07-0 ( ‎Mx yp dxt Mx‏ را معادله كامل ناميم هر كاه تابع دو متغيره ‎BOLO)‏ ‎of Of _ ۱‏ موجود باشد بطوری که 74ج و لایر با توجه به تعریف بالا تعیین اينکه معادله دیف انسیل داده شده کامل می باشد» مشکل است زیرا باید تمام توابع دو متغیره راجستجو کنیم وملاحظه کنیم که بترتیب کدام تابع داربای مشتقات جزيى نسبت ب ‎Ye‏ برابر با توابع ‎M=Mxy‏ , 2۷-2۷2 مى باشد 

صفحه 38:
اگر این کار امکان پذیر باشد» مشکل است به همین دلیل شرایطی روی 7۷ ,]7۷ بدست می آوریم که وجود چنین تابعی را تضمین کند. ی كيرى جزيى از طرفين ریابطه های 91-2 ‎“=Nx‏ ‎y) x xy‏ = به ترتيب نسبت به "لل بي داريم: ‎of _ON 0 of 6‏ 2 ‎axdy Ox’ dyox oy‏ 4 1 7 ۶ _ 22۶ 06 0207 با توجه به اينکه برای توابع پیوسته داریم: ‎aM SN‏ ay ox ‏بینابراین:‎ 

صفحه 39:
بنابراین شرط کامل بودن معادله دیفرانسیل Mx yidx+ Nx 07-0 : عبارت است از 07 ۷ ۲ Ox ‏((مرحله شناخت4‎ 

صفحه 40:
متال :معادلات دیفرانسیل زیر کامل می باشد. لف) ‎(2x+ yp dx+(x+3y7) dy=0‏ زیرا ۷ 2۳ ‎oy Ox‏ ب) ۶-0 ور + شرج + عر 32 ا حرو أبر + 2# ) زيرا 1+ ۶ور6- 1-1۷ + ‎OM _6xy‏ oy Ox 

صفحه 41:
حل معادله دیفرانسیل کامل: فرض كنيم كه فراذ كنيم > معادله دیفر انسیل ‎N dy=0‏ کامل باشد بنابر عله ریت ۹00 ۷ ‎Mayas‏ ‏موجود است که: ‎z= xy)‏ ‎Fax‏ «ریرل- 2 oy Ox 8۶-0 ‏پس بنابر تساوی های بالا نتیجه می شود‎ ويا ‎F=C‏ جواب معادله دیفرانسیل می باشد eq 

صفحه 42:
تنها معلومات مشتقات جزيى 1 می باشد که با استفاده از روند زیر می توان آنرا محاسبه کرد. ‎af‏ ‎=Nxy‏ ‎ay‏ ‎F=Mx yo £= (Mx ypaxeg p25‏ Ox of _o zy — [atx ‏(ز‎ 0+ oy ay آن گاه با استفاده از رابطه دوم برید/- 2 مقدارايز ) م بدست مى آيد كه با انتگرال گیری از آن مجهول ‎F‏ که همان (ام می باشد محاسبه می شود در نتیجه ‎f‏ بدست می آید که 2-6 جواب معادله دیفرانسیل است. 

صفحه 43:
مثال: ملاحظه شد که معادله ‎(2x+ ydx+lx+ 3y¥)dy=0‏ کامل می باشد پس: ‎of fe 2 af ۳‏ ( -2 بل (ر) ‎—=2x+ y-+ fax‏ ‎yxt gly) 72 x+o(y)‏ + + 22 ane By = xtg(yaxr3y = ply =3y = (pays faxr+ yx ~- x+y ye جواب معادله دیفرانسیل است. 6م 

صفحه 44:
عامل انتگرال ساز معادله ديفرانسيل عرفل + ‎ydx (x2‏ کامل نمی باشد زیرا ‎ON‏ ‎2x- ot 21‏ - ox oy an 1 ‏ولی ار طرفین معادله بالا را در‎ u=— 4 = dx: |1+—|dy=0 : ‏ضرب کنیم داریم‎ 62۷ _ 1 1 2 xe” ay => ‏واین معادله دیفرانسیل جدید کامل می باشد زیرا‎ و می توان به روش کامل معادله دیفرانسیل جدید را حل کرد. ee 

صفحه 45:
بنابراین ممکن است معادله دیفرانسیل کامل نباشد ولی باضرب کردن درتابع که آنرا عامل انتگرال سازگوییم تبدیل به کامل کرد. اکنون شرط وجود عامل انتگرال ساز وچگونگی محاسبه آن را بیان می کنیم. فرض کنیم که معادله Mx, yidxt Nx 0۶-0 ae ‏کامل نباشد یعنی‎ 114 x ودارای عامل انتگرال ساز (7 ‎u=uk‏ باشد» آنگاه طبق تعریف عامل انتگرال ساز معادله جدید كامل مى باشد 2۷۶-0 127۷0 eo 

صفحه 46:
2M, 424 YON, OU "oy Oy Ox Ox ‏كه محاسبه مآ از اين معادله ممکن نیست به همین دلیل‎ ‏تحت شرایط خاصی عامل انتگرال ساز را بررسی می‎ ‏الف) فرض می کنیم که عامل انتگرال ساز فقط تابعی‎ ‏ار باشد یعنی 1-12 » آن گاه‎ 01 0 du _ ax dx’ oy 

صفحه 47:
که با جایگذاری داریم: i= ‏هي‎ ‎aN)‏ اد و ‎Nl Oy Ox‏ عامل انتگرال ساز می باشد. ب) فررض می کنیم که عامل انتگریال ساز فقط ‎YI) Att‏ باشد یعنی (ر[ )12 < 12 ۰آن گاه ‎010 _ 67 du _ ‎dy dy’ ox 

صفحه 48:
که با جایگذاری داریم: 0ل ون ‎a aN‏ | 1 -بري ‎- M\ ay Ox ‏عامل انتگرال ساز می باشد . ‎eo 

صفحه 49:
مثال +عامل انتگرال سازی برای معادله ‎xydx (1+ ¥)dy=0‏ را بيدا مى كنيم. 5 حل:ابتدا مقدار مشتركى ‎2y=- x‏ بر _ 2/7 ‎OM‏ ‎Oy Ox‏ را محاسبه می کنیم که با تقسیم بر ۷ -داریم: ‎ot‏ رد لق ی اه ~-M\ dy éx ود سر 5 ‎poe” =P = yous‏ عامل انتگرال ساز می باشد. eo 

صفحه 50:
تذکر: گاهی معادله دیفرانسیل غیر کامل دارای عامل انتگرال سازی بصورت . یر (مز رنه است» که درآن ‎DM‏ ثابت های مناسبی هستند. برای یافتن عامل انتگرال سازی به صورت ‎u(x, y) =x"y™‏ طرفین معادله را درآان ضرب می کنیم واز شرط کامل استفاده می کنیم. هه 

صفحه 51:
تذکر: روش دسته بندی یا کوتاه. گاهی با جستجو کردن می توان معادله دیفرانسیل را به یکی از. حالات زیر دسته بندی ‎Ga‏ هام0 (جشتی) ‎My» dx=d kx, y)) (a‏ ‎dixy=Nidy |‏ م ‎duxy)=dixy)‏ که به سادگی می توان با انتگرال گیری از طرفین معادلات جواب آنها را بدست آورد. ‎oa‏ 

صفحه 52:
d(xy) = yok + xdy aX) = Ye xh 12 ‏كل‎ ‎ey‏ كه ‏ره بر > 12 - رد ‎١‏ جهن ‎x+y’ 

صفحه 53:
d(n= a - (۳۲ - 307 > xy yak + xdy ‏و‎ +1 - ((مود) !همأ 0 ‎+X°V‏ d(n(x?+y')) =22X* YW 5 x+y’ 

صفحه 54:
مثال :معادله دیفرانسیل ‎Bsbly (P+ pdx xdy=O‏ دسته بندی حل می کنیم. حل: معادله دیفرانسیل را به صورت 2۳0-0 02 +003 تل مى نويسيم كه »۶0 --0 ع0 واز فرمول 2 ب و دایبول‌یر ‎ax. ydx xd3‏ := 4 ی ری مش 7 ‎xX x‏ ‎y= , = xX+C‏ ‎c- x’ y‏ جواب معادله دیفرانسیل می باشد. 

صفحه 55:
معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی ملاحظه شد که معادله مرتبه اول بصورت0 (۶[ 7[ بر آ می باشد که اگر توان های 17 ‎VW,‏ برابر با یک باشد آنرا معادله مرتبه اول خطی نامیم (معادله خطی 77( +2 ملاحظه شد که توان:[ بجر برابر با یک می باشد که اگر توان یکی ازير يال به غير یک باشد آن گاه معادله منحنی می باشد) بنابراين معادله مرتبه اول خطی به صورت ۶) 7 + 5) ۳ L(x می باشد. هه 

صفحه 56:
با تقسیم طرفین بر 4 معادله مرتبه اول خطی بصورت كلك ري حجر دار دير است (مرحله شناخت) مثلا معادلات زير مرتبه اول خطى 55 

صفحه 57:
برای حل معادله دیفرانسیل ۰ 20 6 7 20 لز + رز ابتدا ملاحظه می کنیم که آیا کامل است یا نه؟ ‎‘dA xdx‏ ِ ‎YS‏ عامل انتگرال ساز معادله مرتبه اول خطی ‎| ‏جواب عمومى معادله مرتبه اول خطى لدي حجر فد لز + يز ‏مى باشد 

صفحه 58:
مثال : معادله مرتبه اول خطی_شبرحرو 2 بو را حل می کنيم. ‎x‏ ‏1 ‏چون = ‎y=e Ft pe Bax cid =x 5 bx‏ ‎y=e™ fe xdxt d= y= e'[ fxxtdat 0‏ 02 1_- 1د + 6ج رز >= ‎[ete‏ < 7 .جواب معادله دیفرانسیل است 

صفحه 59:
عالت ماضيي ازوسعةلانت سياه يل سحي بذ معوريث د حارم ب می باشد که توان هایس کپ ‎kip wey,‏ با توجه به روش حل معادله مرتبه اول خطی با تعویض نقش 1 الإربالعكس نتيجه مى شود که 0 رن را لور ]۳۹ ی ور 

صفحه 60:
- حالت خاصی از معادلات مرتبه اول که تبدیل به خطی می شود به صورت ‏ 207 < 020 + ۶ می باشد که به ازای 2220 معادله مرتبه اول خطی است وبه از ای[ 1 معادله جدا شدنی است وبه ازای 0,1عو ور ۰ معادله برنولی نامیده م شود. معادله دیفرانسیل برنولی را می توان با تغییر متغیر < 2 حل کرد و دارای جواب gay" = ‏ا‎ ۳۱۳۹ te a )1- (00102 ۵ است. هه 

صفحه 61:
مثال: معادله اریز بير را حل می کنیم. حل:داريم 4-بر و3 --2 -1 و هدر و ‎AX =x‏ : رو - لو - دوعوم ]۳ او دير 0 +0 (32 > قد م 0 3022 ] ]<< ۶ 0 +3 )قرع دمر ترم + فرق -- تعر eq Mul ales wea ‏عه أنه‎ 

صفحه 62:
بعنوان معادله دیفرانسیل مرتبه اول می توان معادله دیفرانسیل (/۶01 + ود < 7[ را مطرح کرد به نام کلرو(ی-!0) معروف است. بسادگی ملاحظه می شود که ۶0 +7<02 جوابی از معادله بالامی باشد زیرا با مشتق گیربی داریم 6 < 7[ با جایگذاری درجواب نتیجه می شود ‎y= XV + f(y)‏ که معادله کلریو است. بنابراین جواب معادله کلرو با جایگذاری 7 ‎C=‏ ‏بدست می آید. 

صفحه 63:
مثال : معادله 2 7 ۶ _ ‎Y= +(y)‏ را حل کنید. حل: با جایگذاری .. 0 < 2 معادله دارای جواب y=cx+ C است. 

صفحه 64:
- بعنوان آخرین معادله دیفرانسیل مرتبه اول ریکاتی (لمسسی:3)) رابیان می کنیم که به صورت ۶۲و +۶ ۵و + ۶ < ۶ با شرط 00ع< 1)0/ مى باشد براى بيدا كردن جواب عمومى معادله بالا بايد جوابى خاص از آن معلوم باشد. اگر20)/< 7 یک جواب خاص از معادله بالا باشد. جایگذاری 4+ برديرو رح زر معادله را به معادله دیفرانسیل ‎u‏ u +[g(x) + 21۵ ‏اط -- 22 [ بر‎ که مرتبه اول خطی است. تبدیل می کند. 

صفحه 65:
مثال: معادله وده قد (با ان ( ربا حل مى كنيم: ”3 حل: چون قرع )1 و == <- و و( ‎al‏ لدبت 3 بط 2+“ ا ‏د بود 2) + ا لا ‎AX == -‏ ‎1 cnaea?)y ‏بنابراين 1 بورشم‎ yee OPP) je" + dd x 

صفحه 66:
3 +0 1 ی ]او ‎u=‏ ‏0 نشج كي ۳ تماد ‎u=‏ ‎e 0‏ عم ]و ‎u=x‏ 17 <- ‏ما ی ]نيد‎ ‏ثر‎ 1 2 _ 6 + 6 2 er ~ 2x6" ys axe" é& +26 1 u=—x*+cx’é 2 

صفحه 67:
معادله دیفر انسیل مرتبه دوم دراين فصل معادله مرتبه دوم 0ح وك ,ك[ )1 را درحالات خاص بررسى مى كنيم. معادله مرتبه دوم حالت خاص فاقد رريا بر ممكن است درمعادله ضریب 24 يا 7 برابر صفر باشد. 

صفحه 68:
- معادله به صورت0- (,/ 01 را مرتبه دوم فاقد + ‎a 2 5‏ 0 ناميم. مثلا “(72)- 177 و0حتر جل معادلات مرتبه دوم فاقد 2 می باشند. ‏- معادله به صورت 0- (/ ,20:17 را مرتبه دوم فاقد ل ‎HY‏ ۵ر3< 7 ور ‏نامیم. مثلا ‎VY‏ و معادلات مرتبه دوم فاقد می باشند. 

صفحه 69:
الف) حل معادله 0= ( 7,7۶ 16 با تغيير متغير 7 - /ل می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد ‎__d 1 ۱‏ ۳ زيرا بافرضم7 ح ثرو داريم گت کرو که با جایگذاری درمعادله نتیجه می شود ‎dx‏ ‎d‏ ‎f(x p) =0‏ ‎dx‏ ‏که معادله مرتبه اول می باشد. 

صفحه 70:
ب) حل معادله .۰ 20 ( زر ‎L(Y‏ با تغيير متغير ‎DP‏ < 7 می توان معادله را به معادله مرتبه اول تبدیل کرد که اگر معادله بدست آمده یکی از معادلات مرتبه اول باشد که قبلا بحث شده است می توان آنرا حل کرد ,_dp_dpdy__dp Poo Hae SY =a ‏د‎ ayax Payne’ = P ‏زیرا بافرض‎ با جايكذارى درمعادله نتيجه مى شود ‎d‏ ‎fly pp =0‏ ‎dy‏ که معادله مرتبه اول با فروض 7 متغیر مستقل و مر متغیر واپسته می باشد. 

صفحه 71:
مثال : معادله ‎xy=y « Vali‏ زا اجنین متیر ‎Y=P‏ که با جایگذاری612 +‘ ‎dp‏ =a Fe “je tape InxtIng = Inp=Ingx> p=Gx> dy 1 6 + ده دحلل ‎fav= faxdx>‏ من a هد أنه ‎ocr‏ سا فا وق أنموا اك 

صفحه 72:
مثال : معادله مرتبه دوم فاقد 2 ۰ ()< 17 را باتغییر متغیر د] ‎Y=‏ حل می کنیم که با جایگذاری | ‏داريم:‎ y¥ =p? bv J Sa 2 pone Iny+Ing= p=Gy = ey f= fact Iny=Gx+c => y=d* - EF = ‏“ون درو‎ جواب عمومى معادله ديفرانسيل است. 

صفحه 73:
تذکر: درحل این نوع معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم درواقع هر معادله مرتبه دوم را به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنها را .حل مى كنيم 

صفحه 74:
معادله مرتبه دوم با ضرایب ثابت همگن دراين بخش حالت خاصی از. مرتبه دوم رابررسی می کنیم. ملاحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی بصورت کلی )یا < 0(د)و + ‎LOY + LOY‏ می باشد که اگر 0= ‎f(x)‏ آنرا مرتبه دوم خطی همگن نامیم 

صفحه 75:
‎L,L,8 A‏ توایع ثابت باشتة بعبازت دیگر مقادیر آنها اعداد ثابت باشند آن گاه معادله بصورت 27-0 + ره + ۵ می باشد که می توان آنرا بصورت ساده ‎ay+ by=0‏ + 7[ ‏ملاحظه کرد که آنرا مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت » یا اختصارا با ضرایب ثابت نامیم . (مرحله شناخت) 

صفحه 76:
حل معادله : ۰ 77-0 + 0۳ + 7 ولت ی برع - وک - ۶ر که با جایگذاری درمعادله y +ay+ by=0 نتیجه می شود که : (D? +aD+b)y =0 

صفحه 77:
معادل0< و +(27 + ]را معادله کمکی (يا مفسر)نامیم معادله کمکی» یک معادله درجه دو می باشد که ممکن است سه حالت زیر رخ دهد: الف) دارای دو ريشه متمایز باشد یعنی [۳ + ‏+رآج‎ <)(- m)(D- m)=0 ‏ب) دارای ريشه مضاعف (تکراری)باشد یعنی‎ D’ +aD+b=(D- m(D- m=0 ‏ج) دارای ريشه مختلط باشد یعنی‎ D+ aD+ b=(D- (a+ i8)(D- (a- ig) =0 

صفحه 78:
بنابراین معادله دیفرانسیل 70( 21 + )را با توجه به معادله کمکی به دو معادله مرتبه اول تبدیل کرده وآنرا حل : می کنیم. بنابراین ah (D- m)y=u Ya fly a(D- m)(D- m) y= 4B m)u=0 Js) 452 Alslee Jabs (D- m)u=0 اا “ون دل با جايكذارى درمعادله كه 1 - م[ (22 -(1) وحل معادله خطی ‎ayo Vu‏ 9۳ ی + *۵ 6 < ۳ 6 

صفحه 79:
ب) اكر ‎(D- m(D- My=0‏ آن گاه مشابه قسمت الف) نتيجه می شود که ‎y=agen+ exe‏ جواب معادله دیفرانسیل می باشد. ج) اگر معادله کمکی دارای دو ريشه مختلط باشد بنابر الف) y= ceux + od * ‏داریم‎ ‎y=é"(GCossx+ ©, sinBx) ‏ويا‎ جواب معادله ديفرانسيل مى باشد © 

صفحه 80:
مثال :معادلات ۲ ‎6y=0 call)‏ + و ك3 (ب ‎V-4y+4y=0‏ ‎Ls “de y~ y* y=0 -‏ ‎ae,‏ مرتبه دوم با ضرايب ثابت مى باشند ‎eo 

صفحه 81:
حل: الف) معادله کمکی عبارت است از0- 6 +(5 - ۶[ که 22,3 بنابراین: 8 + 7-66 جواب عمومی .معادله دیفرانسیل است ب) معادله کمکی عبارت است از 4-0 +4۳ - 722 که 2- هناب راین : ‎OXE*‏ + * -7چواب عمومی .معادله دیفرانسیل است ‎Ak‏ بل ح 1 +ر] - ۶[ که - 3 ‎puree a=‏ 1 ‎y= # (coos! x+ sin’? 9‏ _جواب عمومی معادله دیف انسیل است ‎ea 

صفحه 82:
تذکر: معادله مرتبه دوم را به روش دیگرنیز. می توان حل کرد که اگر 21628 1 و («)7ز< رز توابعی باشند که جوابی از معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن, آن گاه 39) يي + 030[ حير جوابى از معادله ديفرانسيل مى باشد واكر 4[ ري[ توابعى مستقل خطى باشند آنكاه اين جواب » جواب عمومى معادله ديفرانسيل است ومى توان معادله ديفرانسيل مرتبه دوم را از اين ديدكاه برريسى كرد. 

صفحه 83:
معمو لا شر ایط وجود جواب معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن دردرس نظریه معادلات دیفرانسیل بحث می شود وشرایطی را روی توابع بیان می کنند که وجود جواب معادله دیفرانسیل را تضمین کند که ما اینجا وارد این بحث نمی شویم. 

صفحه 84:
تعریف: برای هر دو تابع )ل و 0628 دترمینان ۶)( 000 ley. 7 (x) g(x) =f(x)g(x)- g(x) f(x) انأ ‎ng, £ CIF (Drewes) Fs‏ ناميم وبا ۲1, 9 = ۵90۵ - ۶۵909 نشان می دهیم. 

صفحه 85:
- ثابت می شود که رونسکینی متحد با صفر است اگر وفقط اگر دوتابع وابسته خطی اند. بعبارت ساده تر دو تابع؛ وابسته خطى اند هر كاه يكى مضرب ديكرى باشدء درغير اين ‎[yl epg‏ مستتق خی می کلبوم. 

صفحه 86:
توجه: بسادگی ملا حظه میشود که توابع ‎Kn, =“ Y=‏ با شرط 2229 311 مستقل خطی اند مشا بها ‎x = 3‏ ع ‎Y, =xé", y =e”‏ مستقل خطی اند و همچنین ‎J =E* cospx‏ و 5110/06 ی < و با شرط ۶0 8 مستقل خطی اند. وه 

صفحه 87:
تذکر: نتایج بالا را برای معادلات دیفرانسیل با ضرایب ثابت مرتبه بالانیزمی توان تعمیم کرد . یعنی اگر معادله کمکی معادله دیفرانسیل دارای ریشه های حقیقی متمایز ومضاعف ومختلط داشته باشد. آن گاه جواب معادله دیفرانسیل ترکیبی از جواب های بیان شده است. 

صفحه 88:
مثال معادله دیفرانسیل ‎DD- WD- 2’ y=0‏ دارای معادله کمکی می باشد که ريشه های آن عبارت است از ‎D=0,1,2,2‏ بنابر این ۳۶-۵8۳ + ‏ون‎ + Ge* + xe جواب معادله دیفرانسیل است . وه 

صفحه 89:
معادله کشی-اویلر معادله مرتبه دوم خطی همگن xy + axy+ by=0 ‏راكه درآن 2882 اعداد ثا بت اند معادله كشى-‎ ‏اويلر مسال 7)-رواسه0)مى ناميم.‎ مثال معادلات ديفرانسيل زير معادله هاى كشى - اويلر مى باشند ‎Axy+6y=0 (ul‏ - مزر ‎XY +x- y=0‏ ‏وه 

صفحه 90:
حل معادله کشی - اویلر 70و + وزج + ‎XY‏ ‏این معادله را با تغییر متیر ‎KEE‏ می توان به معادله مرت دوم با ضريب ثابت تبدیل کرد زیرا: 0 _dy_ dy ‏7غ و‎ dt dt dt ‏نشان دهیم‎ YY Ul Loews VY ‏اگر مشتق های‎ (Y- Y)+aY+by=0 “8 . ‏می شود که معادله با ضرایب ثابت است‎ هه 

صفحه 91:
مثال: معادله کشی - اویلر زیر را حل می کنیم: ‎xy - 40 + 6-0‏ حل: با فرض © 2 داریم: 6۲-0 +401 -07 - پس معادله کمکی دارای ريشه های 2,3< 7 است بنابراین: ‎Y=ce'+oe‏ ‏با جلیگذاری ‏ <6 (یا 86[ ) نتیجه می شود: ترج + ترم دمر جواب معادله کشی - اویلر است. 

صفحه 92:
تذکر: نتایج بالا را برای معادلات دیفرانسیل کشی - اویلر مرتبه بالا نیز می توان تعمیم داد. مثلا معادله کشی - اویلر مرتبه سوم 67-0 + رو + ‎xy’ +axy‏ را می توان با تغییر متغیر ‎X=E‏ تبدیل به معادله : 017-0 بر + (1 ‎(D(D- 1)(D- 2)+ aD(.D-‏ نمود وآنرا با روش ضرایب تابت حل کرد. 

صفحه 93:
مثال : معادله دیفرانسیل کشی - اویلر زیر را حل می کنیم: ‎8y=0‏ + رودق - 47 + ۶ عر حل :با فرض ‎X=6‏ داريم : ‎D(D- 1)(D- 2)Y+ 4D(D- 1) y+ 8DY+8Y=0‏ ‎(D(D- 1)(D- 2)+4D(D- 1)- 8D+8)Y=0‏ ‎(D- 1)(D- 2)(D+4) =0=> D=1,2,-4‏ ‎Y=cd+ce"+ce"‏ بنابراين : ‎a‏ ده + رن جر < ۲ 

صفحه 94:
معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطى غير همگن ملاحظه شد که معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت غير همگن بصورت ۶020 <1 + 2۳ + 7 می باشد که اكر 0- 7620 آنرا معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت هسكن ناميم يعنى : 0حبزوط + بزع + ثبل ودارای جوابی بصورت وا 17-011 مى باشد. or 

صفحه 95:
حال اگر ‎Se‏ جواب عمومی معادله همگن ۳-0 + 27 + ۳ و ‎Vp‏ جوابی خاص از معادله غیر همگن ‎VY tay + by= f(x)‏ باشد آن گاه وال * حل جواب عمومی معادله غیر همگن می باشد. 

صفحه 96:
تعریف: معادله دیفرانسیل ‎Vr ay + by=0‏ را معادله دیفرانسیل با ضرایب تابت وابسته معادله دیفرانسیل ‎VY +ay+by= f(x‏ نامیم. هدف از اين قسمت درس پیدا کردن جواب خاص معادله غیر VY +ay+ by= fx ‏همگن‎ می باشد که دو روش ‎GUS lay cle‏ م/ل ارائه می دهیم. 

صفحه 97:
الف)روش تغییر پارامت : دراین روش فرض می کنیم که جواب خاص و[ بصورت يناوا + ‎Vp =YU‏ باشد که چون تایه + 011 - جز جواب همكن می باشد وبا تغییر پارامترهای ‎Y= V(X) alsa G,G‏ و ©)21- = 1 بدست آمدة أست؛ به همين دليل اين ريو را تغییر پارامتر نامیم. 

صفحه 98:
حال با توجه به معلوم بودن ظاهر جواب خاص کافی است روابطی که توابع ۲ ,۲2 درآن صدق می کنند را پیدا کنیم . بنابراين داریم: ام + ۲2 + ۲۱۸ + ۲۱۵ - ول پا + پیز + وا جرا ‎Vl, + val + vial + yal‏ = با چون باید درمعادله همگن ۶60 = ‎AS Guey, + ay, + DY,‏ بنابراین ۰ 2-0 لا و۷ + ۲۷ ‎V,u, + Vu, =f (x)‏ همه 

صفحه 99:
که دستگاه دو معادله دو مجهولی می باشد ومی توان از آن مقادیر 1 ‎V;,‏ را محاسبه کرده و با انتگرال گیری ۱ 2,۸ ‏قوذ وال ات‎ pe ulin p YU, +V2U, بدست می آید. با یک مثال توضیح می دهیم 

صفحه 100:
مثال : معادله غیر همگن 636+ مر را حل مى كنيم: حل : معادله وابسته 6-0 +5 - 7 دارای جواب 0,6 + “266 مللاست بنابراين * پلاو "تن < ‎uy,‏ ‏پس: 0= ‎ye*‏ + زو 3 («م2) ۷ + (2) 1 با ضرب معادله اول در 2 - و جمع طرفین دومعادله بالا داریم: ‎ve* =3e"‏ ۲ ۱ - 3 ۷ 236 22 => 4 =—e* 2 با جایگذاری "2367 ۲ درمعادله اول داریم: * 000 

صفحه 101:
7 + ‏*ت(*362)‎ -0 ۷6 <- 3 ‏ج * 3 -< ۲ جه‎ y =3e* ‏رز‎ =u, + vu, =36*%.8*- See" 2 ‏درنتیجه:‎ ‎3 3 =3e'- Sef =e" Xx 1X 3 y=Ge"+ ae" +e جواب عمومی معادله غیر همگن است. aoa 

صفحه 102:
مثال : معادله غير همگن ۶ +6۳1 +5 ‎ -‏ را حل: معادله وابسته ‎BV +6y=O‏ ترا جوا “توي + تو ىد ‎Ne‏ است بنابراین ‎u, =e" 5h =E*‏ يس : 0- عتم يرب عل ب عد +1 ‎v,(3e")‏ بها باضرب معادله اول در ©- و جمع طرفين دو معادله بالا داریم: ‎ver =1+x‏ و توور بل 3 -< و۷ >= ‎Ye*‏ +1(= %¥ با جایگذاری ** 276 +1)- 1 در معادله اول داريم: oe 

صفحه 103:
ye* +(1+ xe *e* =0> y =-(1+ we” 1 ‏دی رب ون مار‎ y=-C 5+ de? Ge > Ee fee +e م30 1+ ود +0 لبت رناوة+ + ها - ب درنتيجه : 1 .1 1 .1 1 1.1 .1 ‎xX+‏ ==[ بيرح دح لخ بير دو حد 6 6 9 433 22 ‏پس 1 11 + وی + سل ‎=G +G *36° 6"‏ ‏جواب عمومی معادله غیر همگن است. ‎109 

صفحه 104:
تذکر: روش تغییرپارامتررا می توان برای معادلات مرتبلل » خطی غیر همگن تعمیم داد» یعنی اگر: ‎Ve =GU, + CU, Ft CU,‏ جواب عمومی معادله همگن وابسته باشد آن گاه با فرض ‎Vp =V{U, +V2U, +...+V,U,‏ وحل دستگاه 71 معادله و 7 مجهولی زیر می توان جواب خاص معادله غیر همگن را بدست آورد: oe 

صفحه 105:
YU, + Vu, +...+ Vu, =0 YU + Vu, +...+ Vu, =0 yur? + yu? ++ Yu? =0 Yur? + yur +, + vue ‏جر‎ 1( = f(x ۵9 

صفحه 106:
تذکر: معادله کشی - اویلر غیر همگن را نیز می توان با تغيير متغیر مناسب تبدیل به معادله با ضرایب غیر همگن نمود وآنرا به روش تغییرپارامتر حل کرد. مثلا تع تبر رز - زر + ‎XV‏ ‏با تغيير متغير ©6- 6< تبديل به معادله -- ۲ ۲ +1(۲ -۳] می شود. oo 

صفحه 107:
روش ضرايب ثابت (ضرايب نامعين) درمعادله غیر همگن ۶620 7 + 27 + 7 ملاحظه شد که اگر ‎f(x)‏ تابعی نمایی باشد آن گاه ‎Vp‏ نيز نمایی می باشد. قبلا دیدیم که اگر 3۳ ۶2 آن كاه 3 ۱ ‎Jf) 5158‏ مطلب استفاده کرده وروشی را به نام روش ضرایب ثابت درحالات خاص ‎F(X)‏ بیان .مى كنيم wor 

صفحه 108:
الف) اگر "2۸4 62 تابع نمایی باشد درصورتی که 6 ريشه معادله کمکی نباشد آنگاه و[ نیز بصورت تابع نمایی ‎Vp - 86“‏ ‎B‏ است كه با مشتق كيرى وجايكذارى درمعادله ‏مقدار بدست می آید. ‎¥-Sy+6y=3e ‏ند‎ ‎oo 

صفحه 109:
‎f(x) = AGES Se‏ و /)یکبار ريشه معادله کمکی باشد آن گاه چون حون جواب معادله همگن است بنابراین جواب خاص را بصورت . "928 < ول درنظر می گیریم ‏با يك مثال توضیح می دهیم. ‎y - Sy +6y=e* ‎oo 

صفحه 110:
حال اگر*۸4 < (۶02 و 0 دو بار ريشه معادله کمکی باشد آن گاه ‎o,xé",qé*‏ جواب هایی از معادله همگن می باشد پس جواب خاص را بصورت Vp = BK E* ‏,درنظر می گیریم‎ ‏بنابر این اگر "224 7620 و 0 ريشه معادله کمکی از‎ J, =x BE* ‏:مرتبه تکرار ر باشد آن گاه‎ .جواب خاص معادله غیر همگن است 1 

صفحه 111:
مثال : معادله “42-367 + /[4 - نز را حل می کنیم. حل: جون 2- ب دو بار ريشه معادله كمكى است يس22- أل بنابراين “86 - ,نر در نتيجه ‎Y =2Bxe™ + 2Bx’e*‏ ‎=2Be** + 4Bxe** + 4Bxe™ + 4Bx’e*‏ ۸ درنتیجه با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم: ‎2Be™* + 8Bxe™ + 4Bx*e* - 4(2Bxe™ + 2Bx*e*) + 4Bx’e* =3e*‏ ‎2Be* =3e* = B=3‏ = ‎Vp=‏ 3 3 ولا “ترج و ما جواب عمومى معادله است. aaa 3 29x 26“ ON 

صفحه 112:
ب) اگر رش +... جعرم + ‎f(x) =A‏ تابع چند جمله ای باشد آن گاه جواب خاص نیز, تابعی چند جمله ای می باشد. ولی اگر جواب خاص, جواب معادله همگن باشد آن گاه باید جواب خاص را در د ضريب كنيم. درصورتى جواب همكن به صورت جند جمله اى است كه صفر ريشه معادله كمكى باشد.قبلا ملاحظه شد ‎F(R) H=14 X‏ كه جند جمله اى درجه يك مى باشد آن كاه 1 11 66« 38 قایسی چند جمله ان امنکر age 

صفحه 113:
تذکر: اگر "عم +... +۸6 + بش (۶2 و0< » ريشه معادله کمکی از مرتبه تکرار ‏ باشد آن گاه ‎Bx’)‏ +... +عدظ + ل) ۳< و جواب خاص معادله غیر همگن است. ao 

صفحه 114:
مثال : معادله ‎~=l+x‏ -~ راحل مى كنيم. حل : جون 0- بن يكبار ريشه معادله كمكى است ‎(D=01)‏ ‏يس 1ح ثر بنابراین ‎Vp = =a + Bx+ Bx)‏ درنتیجه با جايكذارى درمعادله غير همكن داريم: 1 58 - 28 ‎6B, - 8 =02 B=-3.8=-1R=—‏ ‎3B =1‏ - پس کرک ‎Bx‏ رل جواب خاص غیر همگن است 1 3 و او و چوک تج موب 3 *5 ب * 0- 7 ,چواب عمومی معادله غیر همگن است. 

صفحه 115:
ج) اگر 00۹0/26 4 +51۳0 ۸ < 2620 باشد نیز جواب خاص بصورت مثلثاتی سینوس وکسینوس می باشد ودرصورتی که 0 ریشه مختلط محض معادله کمکی باشد یعنی اگر 270+ < (] آنگاه جواب معادله همگن بصورت مثلثاتی است که دراین حالت باید به . ‏ضرب شود‎ x! 16 

صفحه 116:
_ ‏یرومم ی +عرمطلو 2۸ و۶‎ S18 و 0 ريشه مختلط محض معادله کمکی ازمرتبه تکرار ل باشد آنگاه Vp =x/(B sinax + B, oosax) جواب خاص معادله غیر همگن است. ao 

صفحه 117:
مثال : معادله ‏ 35119< ۳ - ۶ را حل می کنیم. حل: چون 21 0 ريشه مختلط محض معادله کمکی نیست ‎J, =A sinx+ Bcosx Jj=0 D=71‏ پس بنابراین و با جایگزرو یدیم له ‎Bsinx- phat‏ - ‎2B =0> B =0‏ - 3-3 م3 2 - Vp =" sing يس عرد زجلا ‎Meas‏ بد ومكن و جواب عمومى معادله غير همكن است. 

صفحه 118:
تذکر: هر گاه درمعادله غیر همگن اگر 9 +... +ناظ + )1 < 1 به ازای هر 1,2,...2< ‎W(X)‏ يك جواب معادله غير همكن ‎by= f(x)‏ + 2۳ + ۶ باشد» آنگاه معادله غير همكن؛ جوابی بصورت )ور +...+ )ور + (#)ع ول دارد. ae 

صفحه 119:
ao تذکر : روش ضرایب ثابت را می توان برای معادلات مرتبه 72 ۰ خطی غیر همگن استفاده کرد که دراین ‎xf ale‏ در رم برایربالتر...,2یل أ است كه ر مرتبه تکرار ریشه معادله کمکی بودن » 6 است. 

صفحه 120:
مق معدله "وله + بر م2 + ۶و3 - عرق چون 3- © و 0- © ريشه معادله كمكى نيستند to = (D=1,2) 17 =Be*+B+Bx+Bx = 3 =3Re*+B+2Bx VY, =9Be* + 2B, با جایگذاری درمعادله غیر همگن داریم: ‎Vp =e" +5 + 3x x‏ 

صفحه 121:
حل معادله دیفرانسیل به روش های سریها درفصل قبل با حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت» درچند حالت خاص با ضرایب متغیر آشنا شدیم. دراین فصل با یکی از موثرترین روش حل برای معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم (وبالاتر)» یعنی» از سریهای توانی استفاده می کنیم. دردرس ریاضیات عمومی با مفهوم سری آشنا شده ایم . برای اينکه مطالب اين فصل رابهتر درك کنیم» بحث را با مرور مختصریی برسریهای توانی شروع می کنیم. 060 

صفحه 122:
سری توانی سری به صوريت ‎a + a(X- %)+a(x- %)? +...4.4,(x- %)? +...‏ Xp Ay, yy Oye Agree YS Sa, (xe ‏یا"(‎ ‎m0 اعداد ثابتی بوده و 26 متغير است را سری توانی به مرکز ‎oH‏ 26 نامیم. 

صفحه 123:
سری توانی ممکن است که دریکی از سه حالت زیر صدق کند: 0 تنها به ازاى 2-2 همكرا باشد. 2 به ازاى هزر دريك ‎ee Xydgus‏ باشد» یعنیقرای| 6 عد ‎HOR Las‏ واكر ‎RAL‏ را شعاع همگرایی سری نمی به ازای هر مطلقا همگرا باشد. مجموعه مقادیر 6 را که سری توانی همگرا است. بازه (فاصله)همگرایی سری می نامیم. وه 

صفحه 124:
تذکر: اگر سری به ازای ‎X= HER‏ همگرا باشد آنگاه بازه همگرایی برابر است با 1 +3 > > - 26 دردرس ریاضی عمومی با پیدا کردن بازه همگرایی سری توانی آشنا شده ایم که شعاع همگرایی عبارت است از ,4 وه ممکن است م<-( ‏ آنگاه حد بالا نامتناهی باشد. R=lim| جر aor 

صفحه 125:
متال:بازه همگرایی سری توانی ‎Sax‏ را بيدا كنيد . ‎Bo‏ سند اس بنابراین » سری تنها به ازاى 2-0 همگرا است. چون =0 

صفحه 126:
مثال :بازه همگرایی سری توانی ")1 ‎2"(x-‏ ,2 =i 1 2 ‏را بيدا كنيد.‎ 8 sl R=lim ‏رد‎ et =lin ‏مب لآ‎ (n+1)! پس سری روی مجموعه اعداد حقیقی» یعنی در همه جا همگرا است. وه 

صفحه 127:
متال :بازه همگرایی سری توانى 5 ‎ai 2)"‏ ™ D+ ‏را بيدا كنيد.‎ 711+ 2 ‏جره‎ ‎=lin nt Fa = پس» سری روی مجموعه 26 هایی که ‎\x-2<1‏ همگرا است . موه 

صفحه 128:
قضیه: اگر سری توانی بربازه *>] »| که درآن7۳ يك عدد ثابت مثبت است همگرا باشد» آنگاه سری توانی تابعی مانند 2620 را تعریف می کند که به ازای هر ۶ دربازه پیوسته است. تذكر:به طور طبیعی اين سوال مطرح مى شود كه به كدام تابع پیوسته همكرا است. ياسخ دادن به اين سوال درحالت كلى آسان نيست. وه 

صفحه 129:
قضیه: اگر 119 به صورت زیر توسط يك سری توانی تعریف شده باشد» ‎f(x) =y a,(x- x)"‏ ۳0 آنگاه می توان از سری بالا جمله به جمله مشتق گیری کرد ۶) =¥ na(x- x)?" ml ۲ >| هد عر وهمین طور انتگرال گرفت یعنی: b [ fide Seo 9)" abe(H- RHR 4s 066 

صفحه 130:
قضیه : فرض کنیم : . , کرد )بط 99 ‎fy =Sa(x x)"‏ آن گاه ع6 الف ) به ازای هركتو ‎cate:‏ رده ‎+D,)(x- 7‏ ره - - ‎fag‏ (a £9.19 =y G,(x- x)” 2-0 ۱ 9 CG, =ab, + a,b, .+...+.4,2, =S ah, x =a, ‏ددانيق‎ A هه 

صفحه 131:
تذکر: با انتقال انديس می توان نشان داد که : ‎a(x %)"‏ 2 ۳۲( -),۵ 2 ‎n=k n=O‏ بعباررت ديكرء با کم کردن 76 واحد از انديس جمع سری واضافه کردن ع واحد به همه 71 های داخل علامت 2 سری» دو سری مساوی به دست می اید. تذکر: 16.0.9 درکار کردن با سریهای توانی با مرکزبسط ‎XH‏ مخالف با صفرء غالبا به کار بردن تغییر متغیر 6 -2<6 مفید است. یعنی : ‎Sa, (x- x)” =Sa, zZ‏ 060 

صفحه 132:
قضیه: فرض کنیم سری ‎x)"‏ ره ۶ ۳۳ ‎R>0 ux % |< Robs‏ همگرا به تابع 7020 باشد» بسادگی نشان داده می شود که ‎n)‏ ‎aad.‏ | )£00 ,2 ودرحالت خاص اگر 20 لد آنگاه n) a - 70 , n=01,2.... 11 7 

صفحه 133:
تعریف: سری را ها بت ود لا و ‎£(x)‏ ‎n=O‏ بسط سری تیلر ۴620 حول نقطه م2 وسری را 20 n) ‏ورم‎ =$ O(a ‏0ح‎ بسط ماك لورین 168 حول نقطه صفر می نامیم. وه 

صفحه 134:
تعریف: اگر, سری ۳ ‎n=0‏ ‏به ازای هر 26 دربازه و + 203 - 30) به 1)39 همگرا باشد می گويیم کر درنقطه 2 تحلیلی است. 

صفحه 135:
مثال : بسط سری ماك لورن برخی توابع عبارت است از : الف) م كه م > | »| رد )-1(۳ ae ‏ب‎ ‎cosK=‏ كه 6 >ا|| ‎m0‏ ‏ره( ) ۲ (1+م2) ‎ ‎|» | > ‏که مه‎ sinx=J 

صفحه 136:
1 00 ۳ وت که 1>| ع ‎x » 5‏ -1 سیر 03 سم ‎assinhxy=‏ > 1 0( تس تک Bai (2 وه 

صفحه 137:
نقاط معمولی ومنفرد تعریف: نقطه 26 را يك نقطه معمولی (عادی) برای معادله دیفرانسیل خطی مرتبه 71 ام YP + LDV? +. HOV + LY V=GA% ith Gis ‏مى كويم هركاه ضررايب (30) ,4 و9230 دروكد‎ ‏نقطه اى ريا كه معمولى نباشد نقطه منفريد (غير عادى)معادله‎ مى ناميم. 

صفحه 138:
مثال : نقاط منفرد معادله دیفرانسیل ‎X(xX- DY +x x+Dy+(x 1(7-0‏ را بيدا كنيد. حل: معادله را با تقسيم بر(1 - )© بصورت ضريب مشتق بالا ترين برابر يك مى كنيم يعنى: ‏ا 0 بديهى است كه همه ضرايب اين معادله درهمه نقاط به جز نقاط 8-0 و 1-ج و1 --5 تحليلى مى باشند. يس آنها نقاط منفرد وهمه نقاط ديكر نقاط معمولى معادله هستند. ‎ ‏وه 

صفحه 139:
قضیه: اگر هريك از توابع بط روط :9 درنقطه 26 تحلیلی باشند» آن گاه يك جواب منحصر به فرد مانند (9)ز وجود دارد كه درم تحليلى است ودر 172 شرط اولیه , ‎K%) =a, VW(%H) =A," (%H) =a, 7‏ صدق می کند. یعنی هر جواب معادله دیفرانسیل توسط سری تیلر خود درنقطه 26 دربازه 7 بیان می شود. ‏ووه 

صفحه 140:
جواب های سری معادلات دیفرانسیل) دريك نقطه معمولی ( مثال : معادله دیفرانسیل مرتبه اول/< ۶زّرا با پیدا کردن جواب بصورت سری مك لورن حل می کنیم. حل: فرضبر + ترچ +... + يج + رع - = ‎y= =5 a,x"‏ ...+ 1 هلر جر +2 + و ‎y =F mx"‏ nal s na,x"! =y a,x” n=l n=O : ‏يس بايد‎ [7 = yos 1 

صفحه 141:
1 I & “BER pas 1 = dé (a4 DA ۳۵۰ نییاپ ‏وبا حل كردن دستكاه از بالا به‎ a =2.. ee ۳ =. dy =) = a a, bel 2 n+ 20 لد ‎a‏ ‏كه به دست مى آوريم» ‎nH‏ 7 aga Re ویارابطه بازگشتی 

صفحه 142:
حال با جایگذاری ضرایب بالا در ‎Y= a,x”‏ ‎n=O‏ داریم : ‎yx‏ مر ‎٩۰‏ ۲ - زر ۷ كه و3 پارامتر می باشد دقت کنیم که جواب بالا همان جوابی است که از روش های قبلی بدست می آید یعنی ‎y= He‏ جواب معادله جداشدنی بالا است. 19۵ 

صفحه 143:
مثال : بسط تیلر جواب های معادله ¥+(*% 1(۳ y- Ax Yy=0 ‏را درنقطه معمولی 1< پیدا کنید.‎ ‏حل: برای سادگی از تغییر متغیر 1 -<6 استفاده می کنیم‎ دراین صورت متناظر 5-1 با 0<] می باشد وداریم: ‎dy_dydt _dy‏ ‎dx dtdx dt‏ ‎dy_d (dy, _d dy dt_dy‏ dx dxdt dtdtdx dt ‏بنابراين با جایگذاری » معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله‎ dy wy. ae +P—- Aty=0 end ee taal aes 

صفحه 144:
» پس بازه همگرایی سریهای جواب معادله برابر با ۰0+ > < 00 - است. بازه همگرایی سریهای جواب معادله اصلی نیز برابر با 6+ >2 > © - است . سری توانی جواب را بصورت سری مك لورن ارت ار -... + تارق +... + ايج + رق ۱ ‎n=O‏ ‏درنظر می گیریم . پس: ‎A‏ ‏"رود + کوج +28 + هط ‎pe =S 1{n- Na, t”?‏ 1 -8)ر +... + يه2- 57 با قرار دادن سریهای بالا درمعادله دیفرانسیل تانویه داریم: ae 

صفحه 145:
X nn- Na,t?? + ¥ nat™- 4¥ ‏ره‎ 0 ۳ nel 0 2a, =0 3x2a,- 4a) =0 4x3a, + a,- 4a, =0 5x4a, + 2a, - 4a, =0 6x5a, + 3a,- 4a, =0 7x6a, + 4a, - 4a, =0 Mn- 1)a,+(n- 3)a,,- 4a, =0 19 

صفحه 146:
20 , ‏قدو‎ , a, = ane 43 3x2 a=0 , a=0, 5 ‏ص موت ره ,۵۶0 , 0ح ية‎ a,=0 , a,=0, ‏”ده‎ جنانكه ملاحظه مى شود همه ستون هاى سوم وستون دوم بغير اولين جمله بقيه صفراند تنها ستون اول ناصفرمى باشدوبرحسب 40 است بنابراين: aro, 

صفحه 147:
aes (3n- 3- 4), _> Gn- 7) saan) "3 373m 1 Bn 3 _ @Gn- 7)Gn- 10..x8x5x2x(- 104 ‎xBn- Dn 4.2‏ )3)...8 صقرو “سه ‎2x5x8x...x(3n- 10)(3n- 7) x(- 1)” x4‏ ۳ ‎~3"(n(a- 1(n- 2)....x(2xD)2x5x...x(3n- 4) x(3n- 1(‏ د ‎a, (- 1)’ x4‏ ‎“FakGn- JGn- 1) ‎oer ‎ 

صفحه 148:
» 4 3 8 = t+ Ot? +— at? +——at* + 0P Yr=artat+ tm *pe% +: ۲ 2x4 9x8x6x5x3x2 2x5x4 1 att 12x11x9x8x6x5x3x2 كه ‎6x5x3x2‏ ‎at? + t+ 0t" +‏ aft? + 0۶ + 0 + يم 4ك ‎6x5x3x2‏ ‎2x5x4 2‏ + هر ‎2x4‏ ‎9x8x6x5x3x2 12x11x9x8x6x5x3x2‏ 35 4 ) )1 -4)67 -37.21)37 y ‏ه-‎ 2 ( + + 19 

صفحه 149:
CDx4 ‏پا هه‎ 3" dn- 4(Bn- p! 7 با قرار دادن1 <] داریم : y= alte lay, a(l+ S 4لا ب نر جره +00 سن 1 -(1 سم ه- فار + Face 9675?” جواب عمومی معادله دیفرانسیل داده شده به ازای ‎X yp‏ می باشد. 19 

صفحه 150:
تذکر: ممکن است رابطه بازگشتی بر حسب جمله عمومی امکان پذیر نباشد يا بسادگی نتوان پیدا کرد در چنین حالتی جمله عمومی را معمولا"پیدا نمی کنیم. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ‎x*)y”- 2xy’+ p(p+1)y =0‏ -1( که در آن 72 عدد ثابتی است به معادله دیفرانسیل لژاندر موسوم است.ملاحظه می شود که نقطه 20 ود یک نقطه معمولی معادله است بنابراین دارای جوابی بصورت: ‏م ‏"ره ۲-۵ است که حداقل برای 1 2 | همگراست. له ‏هه 

صفحه 151:
که با جایگذاری در معادله داریم: ‎p+) a,x’ =0‏ + "وه کیره - ولا مر رد-0 ‎m2 il 0‏ Ge 2) 3 nn Da,x??- 2x3 nay! + pe) a,x” =0 ‏ور‎ mel n=) با تغيير انديس داريم: SY (ard n+ Qa,.x"- Yoo Ya,x,- Y2xqx"+ ‏عدرلا +م يبر لل‎ -0 ‏سر‎ m= id m=) Y|(n+ 2(n+Va,,,- ‏-صاط‎ Ya, 2na, + p+ Na,|x" =0 n=O asa 

صفحه 152:
_ ‏ورابطه باز كشتى: (1+م)م -ص2 + [آ1 -هام‎ ۷2 (n+ 2)(n- 1) _m- n+2n- p’- Pa (n+ 2)(n+1) 2 _ - p+n- By (n+ 2)(n+1) __ (p- ‏للج مواد‎ (n+2)(n+1) 7 a, , n=O TAS ‏نتیجه می شود‎ 

صفحه 153:
a= که با جایگذاری در معادله داریم: پم (2 + 2 - ‏+م)(1‎ 2 _-_ Mee da, =. (p> 2)(p+3) , _ A p- 1)(p+1)(p+ 3) a 3x4 a 53 - ‏+ص)(3‎ 4( - 1)(p- 3)(p+ 2)(p+ 4) a, =- (p De Da, _(p- Dp ype (p+ da & = (p- Dips 5) a Se P(p- 2)(p- 7 & - 90*6 2 __ (P= (p= 3)(P- 5)(p+ 2)(p+ 4 (p+ 6) a a, 6x7 5 7 99 

صفحه 154:
با قرار دادن این ضرایب در سری داریم: مد 2 م + ‎p+)‏ هه پولک اجه یمسر | هر (5+)(3 +م)(1 +مرا 4 ‎2)(p-‏ رز ب 3+مالاعماة اتز بتر للخل 3 ‎y‏ ‏6 4 بر ‎Spe Ope 4)(p+6)‏ 3 را( تا ‎3(p+2)(p+4) 9s‏ الا ار 8 } که برای 1 | همگراست واگر ‎P‏ عدد صحیح نباشد شعاع همگرایی هر دو سری داخل پرانتز برابر با یک است.توابع تعریف شده در جواب سری مشهور به توابع لژاندر می باشد که توابع متعالی هستند.در حالت ‎ald‏ ‏2 جواب سری ها ممکن است متناهی باشد. ‎aie 2‏ یر ‎ ‎aoe 

صفحه 155:
نقاط منفردمنظم معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم فرض کنیم که نقطه 26 يك نقطه منفرد معادله دیفرانسیل خطى همكن 0-,وود)یز + نرود)یز + مر باشد درصورتی که اگر معادله را بصورت 0-< ۵0207 + دا ‎(x- x) ¥+(x- x)‏ بنویسیم و 0 ‎G(X),‏ در 6 تحلیلی باشند» نقطه را نقطه منفريد منظم ناميم ‎G(x), 9) Sly‏ تحلیلی نباشند را نقطه منفرید غیر منظم می گوییم. 

صفحه 156:
مثال :نوع نقاط منفرد معادله دیفرانسیل ‎(x- 1 + 27-0‏ را بيدا كنيد. ‎ida‏ بو ‎x 1 fo‏ » معادله بالا به صورت ‎Vr qa - ei‏ تشم ‎a Sa‏ كه ‎na al eal‏ ‎x=1x=0‏ با ضرپ معادله باه در "۸ داریم : 0= - يز سر + زر ‎x1‏ )1 زر ‎y‏ ‎2x‏ - پس = ‎PO‏ - 89و وه 

صفحه 157:
که هر دو درل <2 تحليلى اند. يس 2-0 يك نقطه منفرد منظم است. حال اگر طرفین معادله را در 1(2 ) ضرب کنیم داریم : ‎(apy +X ty. M9 y=0‏ ‎x 1‏ که » هردو == ‎X=1-> Cx) =- 2(x- I), WX)‏ تحلیلی اند بيس 2-1 يك نقطه منفرد منظم است. 

صفحه 158:
متال : معادله لژاندر ‎pt+l)y=0‏ نز ‎(l- x) y'- 2xy/+‏ را به صورت زیر می نویسیم . 1+ ری ‎rp, 2X‏ ‎4X ‘Doo‏ __ 7 1 مر ۲ روشن است كه 2-1 و1 --5 نقاط منفرد معادله اند که اگر طرفین معادله را در 1(2 -عر) ضریب می کنیم داریم : وه ( -1()2 + بر (1 دده ‎(x+1) x+1‏ (x 1? V+ aso, 

صفحه 159:
آنگاه: ‎aa ie 2x(x- 1)‏ اه هردو در1<مو تحليل أن يس 2-1 يك نقْطَة منفرد منظم معادله است. حال اگر طرفین معادله را در *(1+) ضرب کنیم داریم : ‎2Mx+1) , Dp+i)(x+ Dy ‎ ‎ ‎ ‎(xt 1? y+ 7 ۳ 20 x1 _- Pp+i(x+1) _2x(x+1) ‏و 8 هردو در‎ 20 01 ‏1 -< 2 تحلیلی اند پس 1 -<ع يك نقطه منفرد منظم معادله ‏است. ‏وه 

صفحه 160:
مثال: معادله ديفر انسيل خطى 7201-0 - 32 ) + بهد + بتر Saul Cag je JD ‏كه به معادله بسل(/2--062) از مرتبه‎ Ly ‏در نظر می گیریم در این معادله که 2 عدد ثابت نا صفر‎ 1 ‏مى باشد با نوشتن معادله بصورت دعر‎ 7+ yt ye Zz y=0 ‏ملاحظه می شود که ۶-0 نقطه منفرد معادله مى باشد وبا‎ ‏كه درنقطه‎ OX =L AN HX - ‏توجه به توابع م‎ ‏تحليلى اند يس0 -عر نقطه منفرد‎ 2-0 ‏ومنظم معادله است.‎ oo 

صفحه 161:
تعریف: سری بصورت y =(x- x) a(x- x9)" n=O =YVa(x- x,)™ n=0 ‏عددی حقیقی ویا مختلط است به سری‎ GS ‏که در آن‎ فروبنیوس (عنسا۳) مشهور است. 060 

صفحه 162:
تذکر: اگرمتر < یک نقطه منفرد منظم معادله مرتبه دوم خطی باشد ثابت می شود که معادله دارای یک وگاهی دو جواب بصورت سری فروبنیوس با ۶0« م۵ است. در اینجا 5 ‎Gare‏ حقیقی است اين روش را با ارائه چند متال توضیح می دهیم. وه 

صفحه 163:
مثال: معادله دیفرانسیل ‎2x + M2x+Dy- y=0 7"‏ را در نظر می گیریم واضح است که 20 0 نقطه منفرد منظم معادله است جواب سرى فروبنيوس ‎١‏ . 8 ره < ار إل ادير را در نظر می گیریم بنابراین : = ‎as‏ ‏تثرو( -ى +م)و +م) أ( د مر د اختريوو +ه) للد تر عه سر با جايكذارى در معادله ديفرانسيل نتيجه مى شود: ‎S(nt s- Na, x"? + 242+ (7 (n+ s)a,x"*' - Sax" =0‏ جور رد ‎nO‏ حم m=O 066 

صفحه 164:
‎J‏ يا: ‎(n+ 9)(n+ s- Na,x"* +2Y (n+ a,x" + 2 )2+ (۵ - a,x"? =‏ 2 مر ‎m=‏ ‎: ‏با تغيير انديس داريم‎ 25 (n+ s\(nt s+ Da,x" +23 (n+ s- Na, x" + ¥ ‏"برج لل - “بورهو جم)‎ -0 2 a 2 5 ‎23)(s- Dax + 2 (n+ s)(nt s- Na, x" + oy (nt s- Na, x"* + sax ‎+ (n+ a,x" - ‏روز - تبرق‎ -0 mon ‎aor 

صفحه 165:
0 ‎(n+ §)(n+ s- 1) + (n+ s)- la, +An+ s- Na, ws‏ ۳ -+(1 -296) لسسييه 0 ره پس : ‎2As- 1)+s-1=0‏ 1-0 -ى +25 - ‎2s‏ ‏1-0 -ى -242 اين معادله را معادله شاخص و ريشه هاى آن را توان شاخص معادله ديفرانسيل در نقطه منفرد منظم ناميم . يس توان هاى 1< ور -<و 2 ,یٌباخص معادله دیفرانسیل در نقطه منفرد منظم هستند 

صفحه 166:
حال به ازای هر کدام از مقادیر که ضرایب ‎a,‏ ها در رابطه بازگشتی : ‎(2(n+ s\(n+ s- 1)+n+s- Da,‏ =- 2(n+ s- lha,, ۳ - Ant s-1) ‏ويا:‎ ‎i = 21 ‏ر‎ <1 2(n+ s)(n+ s- 1)+n+s-1 ۳ - 2(n+ s- 1) ۳ -2 ۳ nel (n+ s- )(Qn+2s+1)"' 2n+2s+1 ۰ , 5 وه 

صفحه 167:
الف) اگر ‎S=1‏ رابطه بالا نتیجه می دهد که : a - 2) 5x7 _(-2)¢ 2) 2) 5x7x9 20 سس 6 0 

صفحه 168:
2 2 -1 ‎b‏ 1> 291 ره رو ‎ane (+1 2 7<1‏ پس ۰ 1- ‎a‏ 2 2 5 1221© 1 ‎a= 3a x ۱‏ 96161 _ و3 -_ ‎a 3% 953‏ ‎ ‏وه 

صفحه 169:
در نتيجه دو جواب سری فروبینوس عبارت است از : 2۳ (2۳ veg 2" ‏ع‎ ‎A= ‏ولا‎ 5 tape? ‏ا‎ | a مرس پقر 1 ‎eal‏ 1۳ تابر و2 3 ۰ ۰ 2۱ 9 و دو تابع ‎Ve‏ 7 ول[ بدلیل ? ‎X‏ در بازه )00+ ,0( تقل خطي وهمكرا هستند يس : ‎o 2۳ 3) 2 1۳‏ ‎x‏ تربار ‎ach VO‏ ‎Asan ag prox os‏ 7 جواب عمومی معادله دیفرانسیل است . oo 

صفحه 170:
حالتی که معادله شاخص دارای ریشه های برابر است. تذکر: در‌ادامه بحث خود معادلاتی را مورد بررسی قرار می دهیم که دارای یک نقطه منفرد در 2<0 است.در این حالت معادله به صورت 0-<7 020 + 7 در + مغر در می آیده‌که در آن . 0 ,۵20 در 220 تحلیلی هستند. همچنانکه قبلا مشاهده کردیم»اين محدودیت از کلیت بحث نمی کاهد زیرابا تغيير متغير 0 -6<] نقطه منفردمنظم ۸ رابه صفر تبدیل می کند. م 

صفحه 171:
- بررسی حالت کلی معادله دیفر انسیل مرتبه دوم 07-20 + در + زر را در نظرمی گیریم . فرض 260 نقطه منفردمنظم باشد در اين صورت در , تحليلى هستند»در نتيجه به ازاى 1 > لا| » داريم: DX =5 PX qx) - ‏درو‎ و ّ تابعی بصورت: 00 

صفحه 172:
9 =x ¥ a,x" =S a,x ar 0 ‏باشد» آنگاه:‎ ۶) << ‏و +0)ر2‎ n=O V(X => a, (n+ 9)(n+ s- I)x™*? n=O XAD (9 =¥(S (n+ 9a,K (ES px) =S (Sk 9a,p, x" A9W9 =X(¥ a, XS GX) =Y (YM ag dx” ‎k=O‏ 0 سر 0ح ‏با قرار دادن مقادیر بالا در معادله دیفرانسیل داریم: 

صفحه 173:
‎(k+ 3a,p, pee SS ad)" =0‏ & که روا ‎gut s-‏ دا در نتيجه ‎Ppt Tp play bX’ 20)‏ ما + ,1(2 -و +م)(و + که با فرض ضریب کوچکترین ‎ayn (n=0),x os‏ ‏0- و( + جز5) + ,1(2 5/6 ‏چون 0 وة ‎wt‏ و + جرد( -ع)- ()۶ ويا 6 +1(9 - و ) + ۶ (د)۶ معادله شاخص مى باشد و ريشه هاى آن را توان هاى شاخص معادله ديفرانسيل در نقطه منفرد منظم ناميده مى شود. 

صفحه 174:
ملاحظه می شودکه سه حالت زیر می تواند در مورد معادله شاخص رخ دهد: الف) اگر بو - ,و عدد غیر صحیح وغیرصفر باشد. ب) اگر ,5 - و عدد صحیح ومثبت باشد. ‎A(z‏ يه -5 صفر باشد. ‏در حالت الف) معادله دیفرانسیل دارای دو جواب مستقل به صورت ‎yO =P Bx', WY =X Y a,x” n=O n=O ‏دارد. قبلا متالهایی در این مورد ملاحظه شد. ‎wee 

صفحه 175:
در حالت ب) و ج) فقط یک جواب به صورت ya = Y a,x" 70 دارد. برای پیدا کردن جواب مستقل دیگر نشان داده می شود كه جواب به صورت 3 رن 5 ‎Ay (Mlogx+ x‏ = ير n=O ‏است که می توان با مشتق گیری وجایگذاری در معادله‎ ‏دیفرانسیل ضرایب ,0 هاو ۸4 راپیدا کردکه ممکن‎ است مقدار 4 برابرصفر باشد که در این صورت() [به شکل یک سری فروبینوس می با شد. 006 

صفحه 176:
تذكر: در فیزیک و ریاضیات محض.اغلب بررسی جواب معادله دیفر انسیل ‎axy=0‏ + زد کید + رز مر وقتی متغیر مستفل 2 بینهایت باشده‌مورد نظر است. با به ۱ 1 ۲ كار بردن تغيير. متغير .هر مقادیر بزرگ 2 با مقادیرکوچک أ ‏ متناظر خواهند بود. 

صفحه 177:
با جایگذاری ] به جای6/ جوابهایی از معادله دیفرانسیل جدید را بدست می آوریم که اگر معادله جدید دارای یک نقطه معمولی در 0</ باشد» گوییم معادله دیفرانسیل دارای یک نقطه معمولی دربینهایت است. به همین نحوء اگر معادله جدید دارای یک نقطه منفرد منظم در 0< باشد» گوییم معادله دیفرانسیل دارای یک نقطه منفرد منظم دربینهایت است. 

صفحه 178:
دستگاه معادلات دیفرانسیل در اين فصل با توجه به کاربردهای دستگاه معادلات دیفرانسیل در فيزيك و مكانيك و دیگر کاربردهای آن به بررسی و مطالعه این دستگاه ها می پردازیم. ۵ 

صفحه 179:
تعریف: مجموعه ای بیش از يك معادله دیفرانسیل همزمان را دستگاه معادلات دیفرانسیل نامیم. ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل دستگاه دو معادله دیفرانسیل می باشد که عبارت است از: a és ax dt’ dt’ ‏مل‎ f(t, x, dy dy a” t, ‏مت‎ és sane a oe 9, ۲۰ oe ae 0۳ 006 

صفحه 180:
برای اينکه ساده ترین دستگاه معادلات دیفرانسیل را بررسی کنیم اين نوع دستگاهها را با بیان شرایطی به ساده ترین صورت در نظر می گیریم. ساده ترین دستگاه معادلات دیفر انسیل» دستگاه دو معادله دیفرانسیل مرتبه اول می باشد :که عبارت است از 8 بان 5 ‎dx‏ ‎f(t, x, — )=0‏ ‎dt‏ 2-0 رعرع ‎Ht, vd‏ «oo 

صفحه 181:
که ممکن است مضربی از اولی در دومی ظاهر شود و بالعكسء بنابراین صورت دیگری از دستگاه دو معادله دیفر انسیل مرتبه اول بصورت زير است: dx a f(t, x, y, (t, x, y ah’ ) =0 gt, X,Y, a, 2-0 dt 060 

صفحه 182:
حال اگر توانهای ‎oe de‏ ۳ برابر با يك باشد آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی نامیم یعنی: 0 9 +00 )4 نگ 8 مرها دواع - لك وه 

صفحه 183:
که اگر 0- (16)0 < )و آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی همگن نامیم و در صورتی که © ,£0 , )یط ,£0 » اعداد ثابت باشند آنرا دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی همگن با ضرایب ثابت نامیم. اکنون با تعدادی از دستگاه معادلات دیفرانسیل آشنا شدیم. روشهایی را برای حل برخی از آنها بیان می کنیم. لازم به تذکر. می باشد که جواب دستگاه دو معادله دیفرانسیل بصورت (2)6< 2 , (2۳)2< 7 می باشد. قضیه ای» وجود دارد که شرط وجود جواب و منحصر بفرد بودن را بررسی می کند که از ذکر آن صرفنظر می کنیم و فرض می کنیم که وجود دارد و منحصر. بفرد است. وه 

صفحه 184:
برای حل برخی از دستگاه دو معادلات دیفرانسیل روشهایی را بیان می کنیم. ۱ روش اول: یکی از معادلات دستگاه مستقلً قابل حل می باشد. با يك مثال توضیح می دهیم. مثال :دستگاه زیر را حل می کنیم: ‎dx‏ — =2xt- x dt dy “YY -9 dt t+ x aor 

صفحه 185:
چنانکه ملاحظه می شود معادله اول معادله جداشدنی است يس مگ دح مر 2-۵ ۳ 1 2 2 € =" سیر ‎Inx=f- tees‏ = كه با انتتخاب “ع برابر با 6 داريم: , م ۰ ب ی برابر با داریم: ی سم که با جایگذاری در معادله دوم دستگاه نتیجه مى شود: ‎dy 2. dy 3‏ ‎=2yt+ gd! —=- 2ty=cd"'‏ = ‎ae a = a UH‏ qos, 

صفحه 186:
و این معادله نیز معادله مرتبه اول خطی است پس: به 9 ‎fer ge‏ 7 و -بر و +۵ “6 و + هو ‎y=dl-‏ >= اه 0 9] وب يس و و دير y=- Gd +o جواب دستگاه می باشد. وه 

صفحه 187:
روش بالا را می توان برای دستگاه سه معادله نیز بکار برید. مثلا دستگاه سه معادله زیر را می توان حل کرد. وق ‎dt‏ ‎dy‏ ‎=3x+2t‏ — ‎dt +‏ dz S=x+dytt dt 2 7+ «or 

صفحه 188:
روش دوم: حل دستگاه دو معادله مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت: ‎dx‏ ‎f(d‏ + هی ‎Daaxebys 940 ‏مشتق گیری از. معادلات دستگاه و استفاده از معادله دوم ‎os‏ آنرا به معادله مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت تبدیل می کنیم که با حل آن قبلاً آشنا شده ایم. با يك مثال توضیح می دهیم. ‎99 

صفحه 189:
مثال : دستگاه زیر را حل می کنیم: یرو یه ‎at‏ مرج ۳ ‎dx_,dx, dy 5‏ 3 مشتق گیری از معادله اول داریم: ‎aE =3 75° at‏ ‏و با جايكذارى 3 از معادله دومى نتيجه مى شود: ‎+X‏ 3243 عه ‎de dt 7‏ ‏وه 

صفحه 190:
با جایگذاری 7 از معادله اول داریم: ax _ 3x ae +E 3 dt at’ at 2% ** ax ‏یرو بو که‎ X’- 6X +8x=0 هه 

صفحه 191:
که دارای معادله کمکی 8-0 +60 7 است که 7-4 و ‎D=2‏ اهن + هن دير ريشه های متمایز هستند. پس: حال با جایگذاری در معادله اول دا 304 - و الق 4 + ۲ نیو تيرج کل رو ون + وى -- ‎dt‏ 1 1 أ بنابراین گر + 7 ود وى + وى ‎y=‏ ‎sa,‏ دستگاه است. 

صفحه 192:
روش سوم: اين روش مشهور به روش عملگر یا اپراتور می باشد. ‎d ۳۳ ۰ 7‏ در این روش فرض می کنیم که ۳ ۰ آنگاه با جایگذاری عملگر دستگاه را به روش حذفی گوس حل می کنیم. با يك مثال این روش را توضیح می دهیم. 

صفحه 193:
مثال : دستگاه زیر را به روش ( حل می کنیم: d ‏با استفاده از. نماد > وداريم:‎ 2Dx- x+ Dy+4y=1 Dx- Dy=t-1 وه 

صفحه 194:
(2D- 1)x+(D+4)y=1 Dx- Dy=t-1 با ضرب معادله اول در 7 ومعادله دوم در4 +72 و جمع طرفین دستگاه داریم: (1 )4 +(1) + (7 -عرر] (4 +12 ) جعر(1 ‎D(2D-‏ (2D°- D+ D? +4D)x=0+ D(t)+4t- 0(- 4 (3D? +3D)x=4t- 3 این معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت غیرهمگن می باشد پس: aor 

صفحه 195:
3D°+3D=0 = 3D(D+)=0 = D=0, D=-1 بنابراین 0:6 + 6 < ‎X‏ 9 براى بيدا كردن ركد جواب .خاص غیرهمکن آنرا به روش ضرایب تابت حل می کنیم :چون صفر ريشه معادله کمکی است پس X, =WAt+ A) x,=AP+At > x,=2At+A > X,=2A qos, 

صفحه 196:
با جایگذاری در معادله نتیجه می شود: ‎3x, +3x, =4t- 3‏ ‎6A +6At+34 =4t-3 > A =< LA 3‏ 7 2 پش ‎gts af‏ و6 » بنابر اينع 2 - 2 2+ ' فين + و دير بنابراین با جایگذاری معادله داریم: ‎dx d dy_dx‏ ‎=t-1 > J‏ له = t+1 ‘dt dt dt dt وه 

صفحه 197:
or OV ite ‏اه یف‎ “a 14 LY _ st —==-coe'+—t-= ‏عن‎ *3°3 1,4 ‎ft. eet . 4‏ = ‎fav= fl 06+ t gat‏ ‎at 12 4‏ رو خا - 8ج + اف دير 7 م2 رم اج 6+5 + و<د 0-6 او سیر جواب دستگاه می باشد. 

صفحه 198:
تذکر : روشهای اول و سوم چنانکه ملاحظه می شود از حل دستگاه معمولی ‎2x43=7‏ ‏3< 7 +ر نتیجه گیری شده است. ‎Nie‏ دستگاه معمولی را می توان بسادگی حل کرد که یکی از معادلات دستگاه مستقلاً قابل حل می باشد و روش سوم نیز همان روش حذفی گاوس می باشد که درحل دستگاه 2+3 27 X+ y=2 ‏استفاده می شود.‎ وه 

صفحه 199:
تذکر: روشهای بالا را برای حل دستگاه دو معادلات خطی استفاده کردیم می توان آنرا برای حل دستگاه سه معادلات خطی نیز استفاده کرد و همچنین می توان آن را تعمیم داد و برای دستگاههایی با معادلات دیفرانسیل خطی بیشتر نیز استفاده کرد. وه 

صفحه 200:
تذكر: همانطوری که در دستگاه معمولی ممکن است دستكاه داراى جواب منحصر بفرد و يا بى نهايت جواب و یا جواب نداشته باشند در دستگاه معادلات دیفرانسیل نیز چنین می باشد. مثلاً دستگاه ‎Dx =t‏ -ر(] ‎4Dx - 4Dx, =4t‏ دارای بی نهایت جواب می باشد. ۵0و 

صفحه 201:
۳ 2 عد و 26 1 مثلاً 2 و مق جوابهایی ‎—5e ,‏ % 6ع 322 ود از دستگاه است. در هر کدام از جوابها )224 د را به دلخواه انتخاب کرده و دستگاه را بر حسب )ود ود حل می کنیم. ولی Dx- Dx =t ‏دستگاه‎ ‎Dx- Dx =? دارای جواب نیست. 900 

صفحه 202:
تذکر: ملاحظه شد که دستگاه معادلا ت دیفرانسیل در روش سوم بصورت کلی: 90 <7() +ع«(1)0 £(D)x+ f(D y=HD ‏می باشد که دترمینال ضرایب یعنی:‎ t(D) £(D) رصم ‎me £(D) £(D)‏ را دترمینان دستگاه معادلات دیفرانسیل نامیم. ewe 

صفحه 203:
قضیه زیر را بدون اثبات می پذیریم. قضیه :تعداد پارامتر در جواب عمومی (200 < ‎y= Kd‏ دستگاه بالا WD) +0 oli MD: أست مشبروظ ير أيثقد باشد. بنابراین در جوابهایی از د(لگ4آهایی که تعداد پارامتر بیشتر از توان است » می توان پارامترهای اضافی را با جایگذاری در دستگاه معادلات حذف کرد. e098 

صفحه 204:
در این فصل ملاحظه خواهیم کرد چگونه با به کار بردن تبدیل لاپلاس در مورد يك معادله دیفرانسیل با شرایط اولیه . می توان آن را به مسئله ساده تری تبدیل کرده بطوری که با وارون تبدیل لاپلاس جواب مسئله ابتدانی بدست می آید و همچنین ملاحظه خواهد شد كه روش های تغییر پارامتر و ضرایب ثابت را در مورد حل معادلات ديفرانسيل غير همگن که تابع طرف دوم ناپیوسته باشد نمی توان بکار برد که در این حالت می توان از تبدیل لاپلاس استفاده کرد. eur 

صفحه 205:
تبديل لايلاس تبديل مفهوم تعميم يافته تابع مى باشد » يعنى رابطه اى كه به هر تابع » تابع ديكرى را نسبت دهدء يك تبديل ناميم. از جمله تبدیلات مشهور. تبديل مشتق و انتكرال و مضريب در عبارتى .مى باشد كه معمولا با نماد زير بترتيب نشان مى دهيم )0 )۳ < (1)20 )لا (© ۵ +۵4۵[ ‎EXD) ase‏ و۶ »© - (1)20 )امار 

صفحه 206:
تعریف: فرض کنیم تابع 1 بربازه (م»,0 ] تعریف شده باشد » انتگریال ناسره نتگرال ناسر ‎fest (ode‏ راکه 5 عدد حقیقی است به ازای مقادیری ‎AS Rj)‏ همكرا باشد آنرا تبديل لاپلاس تابع گر نامیم و با نماد (5) نشان مى دهيم يعنى : 875 4 F(s) = fe *f (x)dk برای بیان رابطه ‎on‏ تابع 7 و تبدیل لاپلاس تابع گز می نویسیم: ‎F(s) =L(f)(x)‏ همه 

صفحه 207:
شرایط وجود تبدیل لاپلاس ربا بعداً مطالعه خواهیم کرد. اينك تبدیل لاپلاس چند تابع خاص را پیدا می کنیم . تبدیل لاپلاس تابع 1< 200 را پیدا می کنیم. یعنی: Db ex ey b I) = F(s) = fe “dx= timfe ‏سیر لد‎ fini ی امد 1 رس 1 یر 0+ *5 - 1] < 00 5 1 به ازاى 0 <5 انتكرال همكراست يس: 1 ی 10 

صفحه 208:
: ‏تبدیل لاپلاس تابع < ۶20 را بيدا مى کنیم‎ 3 b 7] =F(s) = fé sx -xdx=tim(xé“dx= Po 5 b - Laetf's flema} = fin ‏دود سور[‎ 1 1 سس 1 وی 1 1 ق + بور ‏ + لا ج لور - - [ورز] < ‎fin 5 eo Ss?‏ به ازاى 0 < 5 انتگرال همگراست يس 1 1 جع 108 مهو 

صفحه 209:
تبدیل لاپلاس ‎a‏ را بيدا مى كنيم F(x) =x" L(x") = Je x'dx=- ve" +7 ‏خر ع]‎ =2 10) =2 Dra) = =2 24.21 5 5 5 5 به ازای () < © انتگرال همگراست پس : ‎=F.‏ e090 

صفحه 210:
درتمرینات نشان داده می شود: اگر 0 < و » آنگاه هوه 

صفحه 211:
خواص تبديل لايلاس با توجه به اينكه تبديل لايلاس توسط انتكرال تعريف شده .است لااقل دارای خواص خطی انتگرال را می باشد 600 

صفحه 212:
+ نشان دهید که ‎F(x) + 1g)‏ 2 (909 +1۵ »11 ‎A oe Ou‏ عدد ثابت می باشد پس ‎La f(X)+ GX) =fer@ 1) + ‏(30)و‎ 6- =a fe * F(x) dx+ fe “o(xdx=alL f(x))+ L(gG(X) ‏گرچه این خاصیت اثبات کوتاهی دارد ولی خواص خیلی‎ ‏قوی می باشد و می توان بسیاری از تبدیل لاپلاس توابع را ‏بيدا كرد. 

صفحه 213:
:مثال ‎L( f(X) = LX +12 =51(x%) +1200)‏ 2 10 1 2 =5x—4+12x— =~ + — ‏و لو‎ Ss 5 L(o(x)) = LBeé* + 3x) =3L(e*) + 3L(x) 

صفحه 214:
حال تبدیل لاپلاس تابع * “6 - )م عبارت است از ۳ ‏و از طرفی‎ Le) = L(cosrx+ isinax) = L(cogxx) + iL(sinzx) بتابر تساوی دو طرف اول تساويها داريم: Usinx) =" ‏5ت‎ 30 2 1609 - Faw +a 

صفحه 215:
مثال: ی ‎_1)_l)sta-sta)_ a‏ أ ۳ و( ی 2 ‎are‏ یواژ L(g(x) =L(wshax) =L(2 7 ‏عجرم(‎ ( 5 د ونه داه +5 1_. 1 + 1 ,1 72 دشي 2ن دشم 2 ‎sta‏ بن-ى 2 باشرط © < 9| 

صفحه 216:
به عنوان دومین خاصیت ا ز تبدیل لاپلاس خاصیت انتقال مى باشد. 95 قضيه: فرض كنيد (2 )21 9 آنگاه Le" f(x)) =F(s- a) Lé* f(9)) = fe* . ‏حال )1 ته‎ اثبات: = fe Axydx= Fls- a) Fs) = fe“ fads چون 

صفحه 217:
مثلا: 1 5 ۱ ‏اه سس زوم‎ 1 9 (s- 7)? +25 7 - 3 L(e* costx) = =a ide ‏ب‎ ‎7702 = 3 (s+ 2° (۹ 

صفحه 218:
به عنوان سومین خاصیت از تبدیل لاپلاس خاصیت مضرب می باشد . قضیه: فرض کنید ()21)۶< (7)8 آنگاه 0 Uxf{x)) =- — F(s) ds d d* 0 wat - ar =- asl® f(x)dx=- fae? f(xdx = fe xe “fF (x)dk = fe * (xf (x))dk =L(xf (x)) 

صفحه 219:
نتيجه : وک -)- )9( 712۶ اثبات: 5 LX f(x) = Lx-xfxX)) =(- ) SLA) = _~ dd at qe. =( ‏و(‎ = 1) 13 F(s) به استقراء نتیجه می شود که ‎1A)‏ 5 ?0 - (۶9 1 

صفحه 220:
مثال: ‎2s 25")‏ - 1 ‎asin = G4 = (ap (e+)‏ ‎et‏ _ 2+1-2# ری ‎ ‎LUxcosx) = Hes. )= = TAD. ‎“dss+l (s+)? ۳ ‎9( ‎۳ 2s \_ As +1)’- 89(s +1) _- 6s'- 45° +2 Hoésing = EP (F405 (Fa ‏ممه 

صفحه 221:
از آنجانیکه معادله دیفرانسیل ازترکیباتی از 2 یعنی ۶ ومشتق یعنی ‎VY‏ و مشتقات مراتب بالا تشکیل شده است بنابراین در این قسمت تبدیل لاپلاس مشتق را بررسی می کنیم . 

صفحه 222:
قضيه: ‎sso‏ , 100 -(ر92- 10 Ly)= fer yax= tim fe -Ydx ‏اثبات: جون‎ با استفةحؤ ل وى جز به و[ لعز 0 7[ نال حمر ”6و ‎ -‏ ۷< 7 Ly) - ‏فرص‎ Pt, 0 56 b = tint ye” yOe + sfé “yay Ly) =- ¥O+ sly) =sI(y)- yO s>0 

صفحه 223:
نتیجه: نشان دهید. (170 - 50 ‎LY) =SLy)-‏ اثبات: - 770 -(20 -()ع)ک< ۶0 -(۶رکلوع ((ثز)لا - وزيا ۶0۵ - 570 - 291 به استقراء نتیجه می شود که: Ly") =s"Ly- 81 ¥O- s”¥O- ~~ s¥O- ¥”O 

صفحه 224:
معکوس تبدیل ‎OLY‏ ‏فرض کنیم تبدیل لاپلاس تابع ‎F(X)‏ وجود داشته باشد. در این صورت واضح است که تابع منحصر بفردی مانند (ه)7] وجود دارد که ‎F(s) =U f(x)‏ اينك عكس اين حالت را در نظر مى كيريم. فرض كنيد تابعی مانند ‎adh oad cals FS)‏ آيا تابع منحصر بفردی مانند (2)3 وجود دارد به كونه اى كه داشته باشيم : F(s) 1 £(x)) ‏اگر پاسخ سوال مثبت باشد می‎ 19 <1 (FS) ‏را وارون يا معكوس تبديل لايلاس تابع (5)"/ناميم.‎ 2) مع 

صفحه 225:
اينك برخی خواص معکوس تبدیل لاپلاس را بررسی می کنیم. قضیه :نشان دهید: L'(aF(3)+ G9) =aL'(F(S9) + L(G(9) اثبات: قضیه قبلی ملاحظه شود. 

صفحه 226:
LC) ‏رو‎ =5x1=5 (a 5 5 14 6 ‏2رد‎ aig 22 ‏ة‎ ۳ 2 Gta =2E (G)+3E a ۳ ۱ 2 1 ‏و‎ -1 —2e3* 66 & C 3) 9 

صفحه 227:
قوط بلج 3 روط رن ‎oo” air a?‏ 1 وج ۲ ‎i‏ د ع ‎pal)‏ _ ‎C ) é‏ —( 1 0 = ممه رليم يليام 2+1 لو 1+ )2و + ی - IMS) =x- sinx 

صفحه 228:
خواص معکوس تبدیل لاپااس قضیه: نشان دهید: ‎L'(F(s- a)) =&* f(x)‏ اتبات قضیه قبلی ملاحظه شود. 

صفحه 229:
مثال: الف) هد سر 1ن ‎é* -sinx‏ 2 ی 1 ايها ‎L‏ (a تور گر ‎ee 5 2x “Sj‏ وت مسجت ببس تلا > 26 2 تبي ‎(s+2)+9‏ 

صفحه 230:
:بقیه مثال a) ‏)نز‎ 44) sar ‏تر دود بق‎ ‏(3+و)‎ oe ‏(د‎ ‏ون‎ St3 ) 74, St142 ‏بر ند‎ s+1 5 2 iro 7s © pee t ۳ ‏و‎ GaP? =6 *co@x+ ‏و‎ 2 ممه 

صفحه 231:
حل معادله دیترانسیل بروش لاپلانس اينك آماده هستیم نشان دهیم که چگونه می توان جواب يك مسئله با مقدار اولیه دشوار را به کمك تبدیلاث لاپلانن ۶ به مساله دیگزی با شرایط ساده قر تبدیل کرده و سپس با استفاده از وارون تبدیل لاپلاس جواب معادله دیفرانسیل را بدست آورد. با يك مثال ساده در مورد معادله دیفرانسیل مرتبه اول توضیح می دهیم. 

صفحه 232:
مثال : معادله “© ترز + تل را با شرط 1 (1,0 حل مى كنيم : حل: ابتدا تبديل لايلاس را روى معادله اثر مى دهيم : ‎Ly+y=Le) = Ly)+Ly=Le)‏ ‎SLY- YO+ Ly) =LHe*)‏ 1 = 1- ‎SUy)- 1+ UL =‏ 1 1+ 5-1 ‏ی‎ ‎1 ‏سل 1 یتح‎ (s+ DULY) 5- 1 5-1 s-1 

صفحه 233:
AO 107 حال وارون تبديل لابلاس را محاسبه می کنیم: 2 2 عد 5 )1 +2.) “ De) Ca s+1 y= 0 (+ 5 () 12 1° << 0+2 aan) * yal 

صفحه 234:
مثال : معادله * 6 <27 + 17 را با شرط 22 ‎Jay‏ می کنیم. حل : ابتدا تبدیل لاپلاس را روی معادله اثر می دهیم: ‎Ly +29 =e") = Wy) +2) =Le*)‏ ‎Siy)- 0+2۵ =Le*)‏ = 2s+3 y= 25+3 1 6062 حب عر زيط ممه 

صفحه 235:
حال وارون تبديل لابلاسس را محاسيه مى كنيم: ‎=f! _ Sto‏ ‎y=E CGD‏ ‎cap © 1‏ لدع اردع 32 6 ۳ ‎a, 1 1 =f! -1 _ ‏چم‎ ۶ 5 2x y Capt Ce? ۲۷ 7۳ ۳ 

صفحه 236:
مثال : مطلوب است جواب معادله »4 477 + رز با شرایط ‎YO=1‏ و 25 (۶)0 7 حل: 1/۳ +4y=L4y >= 1۳(+ 4 -4« و4 < خزلله + (7)0ز - (0)ز5 - ()7 ۶ ک کت وبو + - وریرره + و) 

صفحه 237:
4 + وج + لو كخ )۶-1 =~) ) S(8 +4) 4 32 ‘gat 2+4 2 re 5 1 a (۹ +4 9 _ ‏و‎ +52 +4 A= S(¢ +4) _ ‏1ن‎ 5+4 y=L Gta )= yal") 1) 

صفحه 238:
تبدیل لاپادس برخی توابع قبل از آنکه به تبدیل لاپلاس برخی توابع دیگر. بپردازیم خوب است شرایطی را که تابع باید دارا باشد تا تبدیل لاپلاس داشته باشد» دقیفتر مورد توجه قرار دهیم. برای تضمین وجود تبدیل لاپلاس کافی است فرض کنیم که پیوسته و یا لااقل قطعه به قطعه پیوسته است. مقصود از عبارت اخیر آن است که تابع 20 در هر فاصله متناهی >> 0 پیوسته است» مگر احتمالاً در تعدادی متناهی نقطه که دارای نا 

صفحه 239:
یعنی تابع در آن نقاط حد های چپ و راست متفاوتی دارد. 1 اين شرط لازم نيست مثلآ تابع 72 - )۶ در ‎x=0‏ ‏داراى يك نا ييوستكى از نوع بينهايت است وبنابر اين قطعه به قطعه پیوسته نیست با اين وجود انتگرالش از )تا ‎b‏ ‏وجود دارد و از آنجا که برای های بزرگ کراندار نیز(/مهی. تبدیل لاپلاس آن وجود دارد.,در واقع» برای» ‎Ux?) = fe"x? dx‏ داریم: 6 

صفحه 240:
3 ع ‎=f‏ نت 1 ‎slo‏ 1 و تغيير. متغيرً سس ةا 10د ‎tas!‏ ول # و 2 رذ يى تغيير متغير بدست مى دهد 1 ‏در درس حساب ‎nS Just‏ نشان داده مى شود كه 2 ‏اتگرال اخیر برایر 2 = ( له » لذا داریم: ‎ero 

صفحه 241:
تعریف: تا ‎Ox<x<c‏ 0 تعریف؛ تابع ۳ 0 <2 ۱ نا 6<0 که می باشد را تابع پله ای واحد نامیم و تبدیل لاپااهمی آ] وانپیداامنن ‎fue‏ 0 cs ‎ges) 6‏ 41 ی ل سنك و ‎=lint-‏ ‎baw 85 5 5‏ ‏0 <5 با فرط ‎ord 

صفحه 242:
مثال: تابع زیر را برحسب توابع پله ای واحد می نویسیم؟ 0 >> 6 ‏د‎ ‎1 ‏و > ك‎ X, <X< xX, حل: و <26 1 100 F(X) =] £09) ‏هيع‎ ‎£9 FX) = ‏)و‎ +] ۵ - HOO, (9+ L0)- flu, (9+ [£)- £00u,(9+140)- £00u, 09 ere 

صفحه 243:
مثال: تابع x 0 >> 4 ۶) <5 4 >> 5 x x>5 را بصورت تابع پله ای واحد می نویسیم؟ ‎+(x - u(x)‏ )یبد -5) +عرع و1 

صفحه 244:
تذکر:از تابع پله ای واحد می توان برای انتقال تابع داده شده ‏ » که دامنه تعریف آن 0<ع به اندازه ) واحد در جهت راست استفاده کرد. برای مثال تابع تعریف شده توسطی >> 0 0 0 <عر ۶ |- 0 ارت نمایش انتقالی از تابع به اندازه “رم واحد در جهت ثبت زر می باشد . one 

صفحه 245:
قضیه: نشان دهید: و جو . )9*2 (۵ 2 115۵ اثبات: ۲ 00 6*۶ ] هه 1 هید ] = )0 ‎Hu,(9) fx‏ با تغيير متغير © 22 7] داریم: ‎Hu,(9 f(x- 0) = f ex”? f(wdu=‏ ‎e“fe"fludu=e“F(s) s>0‏ ers 

صفحه 246:
منال:تبدیل لاپلاس تابع ‎fla = sinx 0 > > 7۲‏ ريا بيدا مى کنیم. ‎sinx+ Cosx X>20‏ حل: با استفاده از مثال قبل تابع ‎fF‏ رامى توان بر حسب تابع يله اى (2) را بهوصورت ‎f(x) =sinx+ u,, (x)cosx‏ نوشت. چون )27 ‎cost=cosk-‏ ‎f= =sinx+u,,(x)cosk- 27( ‎5 ‏خواص و فرْتقوزلع هلى تبدول لإبلدس‎ ple Ms) = ¥6 2+1 $41 a ‎ ‎ ‎ero 

صفحه 247:
G9 =LAX) 5 FS) ‏قضيه:اكر (1)30 14 ح‎ هر دو به ازای ‏ 0<و موجود باشد آنگاه )9 = ۳)(609 - ورن که در آن 9604( 4 ] < ول تابع 7 به کنولوسیون ۴ و 7 معروف است وآن را با h= fxg نشان می دهیم. 

صفحه 248:
f+ (XY =9* (XY) ‏نشان می دهیم که‎ o fx ga) = f flx- ‏سس )ول‎ با بکار بردن تغییر متغیر 17<7 7 انتگرال بالا را می توان به صورت زیر fx fX) = Tae we dy = fox v) f(wdv = gx f(x) ero 

صفحه 249:
مثال:با بکار بردن کنولوسیون تبدیل معکوس تابع ۳ را پیدا می = ‎F(s)‏ كيد 69 ‎so 1‏ 7 لين 2 تبدیل لاپلاس ‎L(sinax =‏ 2) 19 = Fe eae wo (2 wsinaudi با بكار برردن روش ‎BBS = ae‏ 23 - وريز ‎a‏ ero 

صفحه 250:
تذکر:متال بالا را می توان با بکار بردن کسر‌های جزیی بصورت زير محاسبه کرد : ‎a‏ 1 ‎A(s) => (5- =)‏ ‎ate ۳‏ = )9( بنابر اين I(x) =5 (ax sinax) ممه 

صفحه 251:
قضیه: : نشان دهید کم اگر با یک عدد مثبت باشد آنگاه 3 م < (1)۶)6 L f(c) = fe ses ‏اثبات:‎ ‎_, CX=u Lee ta EE At dat v8 oe IS 4b c مه <ور و دک عرووم۶ ‎fer‏ 1 ‎coc 6‏ 6 

صفحه 252: