نامساوی ها و کاربردهای آن

صفحه 1:
نامساوی ها كاربردهاى آن 

صفحه 2:


صفحه 3:
#نظریه اعداد مثال : فرض كنيد اعداد طبیعی 2 در معادله 325 2< مر +2 ‎wer ge Gao‏ نثان دهید 2 < اثبات : فرض می کنیم 2 1 ر ۲ دو به دو متمایز باشند. ابتدا نان میدهیم که 2 نمی تواند حداقل یا حدا کثر مقدار در بین اعداد 2 رل ر ع داشته باشد. به عنوان مثال 7 ‎ <‏ < 2 در این صورت داریم : 2< 22 ترد 2< 7د جد ‎Z>y‏ كه تناقض با فرض 327 ‎$Y‏ 26 می باشد. به همين صووت براى بقية خالات بخصوص براق حداقل مقدار نيز ابت فى شود حال نثان مى دهيم كه نمى تواند بین مقادیر 7[ , ا اختيار شود. به عنوان مثال '[ < 2 < ۲ در این صورت داریم: 1( و < ‎2x‏ = تزه ب #(لب1 )توك تدج 2< 20 -(2<2)431 -2<27 2 

صفحه 4:
‎Y <0- 2 4۲ <2 - 37 <2 (2) )1()2(- 327 < 42‏ چون ‏که تناقض است. لذا 2 نمی تواند بين مقادیر « ول باشد. پس تنها حالتی که می ماند همان تساوی 27 < مز > > ‎ ‎eee TONS a‏ لانت فى او ©مثلة ‎ ‏مثال : فرض عنيد زواياى (05) © ع برو رعردر مرغ 2 5170615119۳15112 . مدق کند. بت کنید: ‎cosx+cosy+cosz < 5 : ‏اثبات‎ ‎x ‎: ‏در بزهلر0) محدب مى باشد . بنا به قضيه ينسن داريم‎ COS , ‏از اینکه توابع هلک‎ ‎cog K FY +Z) . cosx teosy +cox (5)‏ ریت8 لها 50 هه ‎3 35 3 )1( ‏فرض مسئله و‎ sine) =f 2 sinh 2%) 2s ‎ 

صفحه 5:
5 د ‎sinh <‏ 1 گت زو 9 3 )3( قاد وم 55 و 3 3 9 3 ‎cosx+cosy +cosz 15 15‏ ‎(2)(3h —=— = <= cosx-eosyoszs 15‏ #توايع 5 3 مثال: وم 1 سب و۶ ‏در شرط مفروضند. ثابت کنید اعداد 17 رت در بازه |۰,۱) وجود دارند به طوری که داریم : ‎ay- (£00 +oy)) 5 ‏اثبات : ‏1 ‏فرش كنيد يراى هر موصدد تو ‎x,‏ ده ,ای > [(900+ 3090) ود 

صفحه 6:
> رتوبردم حدير ودر ‎x=y=0= |ROvAO)<2‏ x=] y=0> | ALA O)<3 بنا به نامساوی مثلث خواهيم داشت : A+ G1p=L-| 2(90( ۱6۵0۸۵۵۳ | 10۲۵۵( x=yal= I 111(۲9)1(< 17 ۳ 3-2-2 =t 4 4 4 4 ‏لذا فرض 2-پسمد اشتباه و حکم ثابت است.‎ ‏دستگاههاي چند مجهولي‎ Jo : ‏مثال‎ همه اعداد امنفی 2 >.... > ي > 2 را بياييد كه داشته باشيم : ata, t..ta, =96 @ +a +. ‏“مد‎ 4 a) ta) +...ta, 211 

صفحه 7:
اثبات : با نوجه به ناساوى كوشى - شوارتز داريمز ‎(ata, t...+a,)(a? +a, +...+a,’) =(a? +a) +...+a7) 3‏ و تساوی ‎OE Fe Ee ar Sl By Gilad‏ با توجه به دستگاه معادلات در فرض ‎gue‏ راب( 1614 9602 متوجه می شویم که حالت تساوی رخ داده ‏است لذا داریم: ‎na=96‏ ‎né 4 = a=, n=32 ‎Niw ‏216 تور 

صفحه 8:
ee er ee? ye? 2 ‏#ناساوی های واسطه (برای اعداد مثبت)‎ ‏و‎ 7 Qt+atuta, atrat.ta, n 1 = = = > ey se (واسطه توافقی) (واسطه هندسی) (واسطه حسایی) 2 (واسطه مربعى) مثال ۱: برای اعداد میت هه 22۰۰۰۰۰ 3۰ ثابت کنید: ) ‏تيه + ته‎ + ...+ a, Mit + BP +...+ B)) (ah + ab +. a,b)? eee ee ‏اطاط‎ 

صفحه 9:
0 Oe 1 مسا اثبات : دى هی مد با استفاده از نامساوي حسابي - توافقي داریم : ? مر( 11 ( ‎n‏ ع 4 .+۵ +5 ‎at ss a (at et. (4+ tt —)‏ ‎n Be “418 4‏ * 2 1 مثال 2: م ترات پرای اعداد مثبت 6 , 10 ۵ رثابت کنیک 6 2*3 اثبات: با استفاده از ‎gi‏ حسابي توافقي براي ار ‎ai, et,‏ 33 2 2 682 يبه 2 و 2 ‎gp 0‏ ل وفك كي رةه 

صفحه 10:
ی مثال : ثابت کنید اگر ۵و ‎cae b‏ باشند آنگام ‎-Va+B <asinx+ boosxsV2 +B.‏ (asinx+ boos? <(@+ B) (sixt ‏جر‎ cot wml sets ‏اثبات :طبق نامساوی‎ وان . 26-1 004 +ع2 و مي دانیم: 5 2 +۶ |۲۳ 

صفحه 11:
ee قبل از بيان نامساوى بعدىء ابتدا به تعريف زير توجه كنيدة 9 قبل از بیان نامساوی بعدی, ابتدا به تعریف زیر توجه کنید: ی هی ۲ ‎Fle 6) > Revs‏ را در نظي بگیرید . ‎ee‏ ‏الف) ۶ محدب است اگر داشته باشیم : ۷ 0۰ fla +(EA)p) <Afla)+(E A) Ap) : ‏ب ) * مقعر است اكر داشته باشیم‎ (1)6 (2 ع1)+ (ماكنة- (2(6 1) + عقا : 1 022 ‎١‏ ‏©نامساوى ينسن : الف نايم محدب ‎ :‏ (يكقررنه +.... + 02% + ‎Oty MX) = MX‏ .+ (1)26 ينه + (1]36 يبه ۳ Daa V ies nena eee lien) 127 ace genes at Tol ya © id 1 1 وهمچنین ,26 :16.۰۰ :2 به دلخواه در بازه | انتخاب شله اند تیم مرب ره ‎FUG) + ey FUG) +t hy MA) = MOQ + 02% +o‏ 

صفحه 12:
مال : ‎oe‏ نام فرض کنید 2 , ۷ ‎ ,‏ سه زاویه یک مثلث باشند. ثابت کنید : ‎oe?‏ ‏33 موز ‎sinx sings‏ * لور اثبات : چون 2 . لا , * زاواياي مثلث هستند لذا داریم(2)0 بر و چون تابع 8110 در بازه مذکور مقعر است ۰ در نتیجه : ‎sinxs siny+ sing _ 4 (X+ +2 _ i) 3 ۱‏ بنابراین حکم برقرار است 2 3 3 3 #نامساوي مثلث : ۱ 2+۶ دح او + ول ...+ و + ول + + ولد ‎Saab,‏ 0 2 a,=a 5 4 كه در آن همه اعداد فوق مثبت و همجنين : دماج ساس ال و حالت تساوي زماني است كه : 

صفحه 13:
ee gr : ‏مثال‎ فرض کنید ۶ , لا , * اعدادي مثبت هستند. ثابت کنید ؛ ‎wee‏ ‎Vx +14 Vx +14 x41 Oat yt 2‏ ) اثبات : با استفاده از نامساوی مغلت داریم : 2 ۱ ‎Q@=X Q=Y a=Z = a=atata,=x+ytz‏ ‎R=b=b,=1 = b=h+h+b,=3‏ 2 جز جعد )6 < 9 +32 جر جعر )ل < 1+ 2 لب + ۶ز/ + + راد یرآ با فرد > ۵ خواهيم داشت : ۰ ۰ ۲ ۰ ۲ ۲ ی ی و حالت تساوي زماني است که 1 2 < 7 - ع <