هندسه کاربردی

هندسه کاربردی

اسلاید 1: دانشگاه پيام نورهندسه کاربردی رشته مهندسی معماری تاليف: امير سامان محسنی

اسلاید 2: هدف:چگونگی استفاده از ابزار و وسايل ترسيم و تسلط بر آنها.آشنايي با علائم و قراردادهای ترسيم نقشه برای ثبت و انتقال اطلاعات مختلف.روشهای ترسيم و ارائه يک بنا بصورت دو بعدی.ترسيم اشکال سه بعدی از روی تصاوير دو بعدی.قدرت بخشيدن به تصور فضايي.آشنا نمودن ترسيم جسم سه بعدی به روی صفحات از طريق قوانين خاص.کسب توانايی درک و تجسم احجام و دخل و تصرف در آنها.

اسلاید 3: موضوع:اين درس اهداف خود را از طريق موضوعات زير بطور موازی دنبال مي کند:1- به دانشجو آمادگی آنرا می دهند که در ذهن خود فضای مورد نظرش را تجسم کند، از هر زاويه ای به آن نگاه کند، در آن دخل و تصرف به عمل آورد و به درک جامعی از آن حجم و فضا دست يابد.2- توان درک نقشه های معماری و نيز ترسيم دقيق و درست آنها را تقويت می کنند و سرفصلهای زير را شامل می شوند:

اسلاید 4: 1- به دانشجو آمادگی آنرا می دهند که در ذهن خود فضای مورد نظرش را تجسم کند، از هر زاويه ای به آن نگاه کند، در آن دخل و تصرف به عمل آورد و به درک جامعی از آن حجم و فضا دست يابد.اين تمرينها مبتنی بر سرفصلهای زيرند:.- شناخت و تصوير کردن خطوط، سطوح، احجام.تصوير نمودن احجام بر روی صفحات افق و قائم تصوير. برش احجام با صفحات مختلف و دوران، ترکيب، تسطيع، ترفيع و تداخل آنها.- تکرار و گسترش احجام و درک فضايی از احجام حاصله و تصور و تصوير نمودن آنها.- يافتن و تصوير گسترده احجام.- درک و ساخت احجام از طريق تصاوير آنها.- انواع روش‌های نمايش تصاوير را بشناسند.

اسلاید 5: 2- توان درک نقشه های معماری و نيز ترسيم دقيق و درست آنها را تقويت می کنند و سرفصلهای زير را شامل می شوند:- ترسيم خطوط موازی، شبکه، دواير و خطوط مماس، تقسيم خطوط، منحنی ها، عمود منصف نيمساز...- ترسيم اشکال متشابه در مقياسهای متفاوت.- ترسيم اشکال و انتقال، دوران و تکرار آنها.- ترسيم مناظر مايل از احجام و اشکال.- يافتن نمای مجهول.- درک نما و برش های افقی و عمودی از طريق تجربه روی احجام ساده تا پيچيده (پر و تو خالی).- نقشه خوانی.- نسخه برداری از روی نقشه های پُرکار.- کامل نمودن نقشه های ناقص.- يافتن و تکميل و ترسيم مقاطع جديد از روی نما و نقشه های ارائه شده.- ترسيم کامل نقشه، نما و برشهای يک ساختمان.- ترسيم مناظر مايل و برشهای سه بعدی از يک ساختمان.

اسلاید 6: مقدمه:آثار معماری گذشته به ويژه آنهايي که بيانگر تمدنهای عظيم بشری هستند نشان دهندة بکارگيری عمق وسيع هندسه در طراحی بنا بوده اند بصورتيکه بناهای عظيم و مانـدگـار دوران گذشتـه، خود را مقيـد به هنـدسه مطلـق نمـوده و به خاطـر رعايـتجنبـه هـای نظـم (بـه ويـژه تقـارن) بـسيـاری از بنـاهـای ديـگـر معمـاری را پشـت سر گذاشته اند.هندسه معرب کلمة اندازه است و به دانش اطلاق می شود که رابطه رياضی مابين نقاط، طول ها، سطـوح و حجم ها را تعييـن می کنـد و نسبت های ميـان آنها را نشـان می دهد.کلمة هندسه در زبانهای اروپايي، ريشه يونانی دارد (Geometry) و به معنای مساحی است.

اسلاید 7: آغاز دانش هندسه را به تجارب مساحی و معماری نسبت داده اند ود اولين قدمهای آنها در ترسيم روی زمين (به منظور تعيين و يا ترسيم مجدد حدود اراضی زراعی و يا احداث ساختمان...) صورت گرفته است. اولين آثار ترسيمات و احداثاث منظم به دوران نوسنگی تعلق دارد. بعدها که دستورالعملهای مختلفی برای مساحی و ترسيمات بدست آمد برخی مساحان به کشف روابط پيچيده تر آن همت گماشتند و سرانجام اولين قدمها در راه جمع آوری و تدوين مباحث و تعاريف اين دانش در قرن قبل از ميلاد توسط اقليدس صورت گرفت که به صورت دانش مستقل از حرفه های مساحی و معماری مطرح گشت.

اسلاید 8: هندسه در اصل علم اندازه گيری زمين بوده است. هرودوت مورخ يونانی (سده پنجم قبل از ميلاد) پيدايش هندسه را به مساحان مصری نسبت می دهد ولی تمدنهای کهن ديگر هم اطلاعات هندسی زيادی داشته اند. مطالعات و تجربيات نشان می دهد بدست آوردن و به کار بستن اصول طراحی هندسي در معماری که با شرايط وامکانات طراحی و اجرائی معاصر تناسب داشته باشد، از يک سو در افزايش سرعت و دقت ساختمان سازی از طريق ترسيم و اجرای صحيح ساختمان مؤثر خواهد بود و از طرف ديگر به ايجاد هويت و منطق در گزينش و ترکيب شکلها و حجمها در طرحهای معماری ياری خواهد نمود.

اسلاید 9: علاوه بر آن ترويج اين اصول و تشويق گرايش به آنها موجب صرفه جويي اقتصادی قابل توجهی از طريق تهيه نمودن سطوح و ابعاد فضاها در هماهنگی با نيازها و محدوديتهای مختلف اجرائی خواهد نمود.کتاب حاضر بر اساس مطالب ذکر شده و نياز دانشجويان رشتة معماری طراحی شده که با شناخت کامل هندسه و بيان نمودن اصول آن در طرحهای خود و تجسم احجام قبل از طرح بتوانند ضمن خلق بناهايي زيبا در جهت ارتقای اين دانش قدم بردارند و شامل 5 بخش می باشد که به دانشجو اين توانايي را می دهد در ذهن خود فضای مورد نظرش را تجسم کند و نقشه های دقيق معماری آنرا ترسيم نمايد.

اسلاید 10: بخش اول ابزار و وسايل نقشه كشي

اسلاید 11: برخي از وسايل و ابزارهاي نقشه كشي متداول كه كاربرد فراواني دارد در زير آمده است: 1.كاغذ2.مداد3.اتود4.مداد تراش دستي5.پاك كن6.قلم هاي رسم مركبي7.تخته رسم8.خط كش مدرج9.خط كش T10.چسب11.پايه چسب12.گونيا13.پرگار14.نقاله15.پيستوله16.شابلن17.چراغ مطالعه18.برش دهنده كاغذ19.صندلي20.شابلن21.اشل

اسلاید 12: كاغذجهت نمايش كليه خطوط و اشكال هندسي از كاغذ استفاده مي شود.كاغـذها بسته بـه جنس يا انـدازه، رنـگ و سطـح ظاهري به انواع مختلف دسته بندي مي شوند كه عبارتند از:1ـ انواع كاغذ از نظر رنگ: الف ـ كاغذ كاهي: با رنگ كدر و جنسيت نامرغوب جهت چرك نويس و يا اتود اوليه استفاده مي گردد. ب ـ كاغذ سفيد: با رنگ روشن و جنسيت عموماً مرغوب جهت ترسيم نقشه هاي اصلي. ج ـ كاغذ گلاسه: با رنگ روشـن بـراق جهت چاپ نقشه ها و يا ترسيم به وسيله ماژيك و ... استفاده مي گردند.

اسلاید 13: 2ـ از نظر ضخامت: الف- كاغذهاي خيلي نازك: كه اگر بـر روي شكل يا نقشـه اي قـرار دهيم خطوط شكل از زير كاغذ ديده شده، جهت اصلاحات اوليه بر روي طرح هاي ترسيمي مورد استفاده قرار مي گيرند. ب ـ كاغذهاي متوسط : براي ترسيم طرح يا نقشه اين نوع كاغذ مورد بهره برداري هستند. ج ـ كاغذهاي ضخيم يا مقوايي كه جهت ترسيم پوسترها يا نقشه هاي خاص استفاده مي گردند.

اسلاید 14: 3ـ از نظر سطح: الف ـ كاغذ خط دار1ـ كاغذهايي كه فقط داراي خطوط افقي هستند كه بيشتر جهت نگارش مورد استفاده قرار مي گيرند.2ـ كاغـذهايي كه خطوط افقي و عمودي دارند به شطرنجي يا ميليمتري معروفند كه براي ترسيم طرح هايي با زواياي 90 درجه استفاده مي گردند. ب ـ كاغـذ بدون خط: جهـت طـراحي يا رسـم انـواع نقشـه ها از اين نوع كاغذ بهره برداري مي گردد.

اسلاید 15: 4ـ از نظر اندازه : به دو گونه مختلف B و A تقسيم مي شوند كه به شرح زير مي باشند:1000×707 = B1 1189×841 = A0500×707 = B2 594×841 = A1500×354 = B3 594×420 = A2250×354 = B4 297 ×420 = A3 273×182 = B5 210× 297 A4 = 148×210 = A5

اسلاید 16: مدادجهت نگارش كلمات و يا ترسيم خطوط و اشكال هندسي عموماً از مداد استفاده مي شود.مدادها از جهت نرمي و سختي در گروه هاي مختلف طبقه بندي مي گردند.1-مدادهاي سخت: كه به مدادهاي گروه Hard مشهورند و با علامت اختصاري H معرفي مي گردند اين مدادها كم رنگ هستند.2-مدادهاي نرم: كه در گروه مدادهاي Black قرار مي گيرند و به مدادهاي گروه B معروفند. اين مدادها پررنگ و نرم هستند.3-مدادهاي متوسط: يا Firm كه داراي نرمي متوسطي هستند و با علامت اختصاري F و يا HB نمايش داده مي شوند. نكته اينكه گاهي قبل از حروف H يا B شماره هايي درج مي شوند كه بيانگر درج سختي يا نرمي مداد هستند.

اسلاید 17: اتود اتودها مدادهايي هستند با نوك قابل تعويض كه بزرگترين مزيت آنها كشيدن خطوط يكنواخت است. اين مدادها كه با ضخامت هاي 2/0 ميلي متر الي 5 ميلي متر در بازار موجود هستند نيازي به تيز كردن مداوم ندارند و با وارد آوردن فشار به شستي انتهاي آنها، نوك مغز از سر غلاف محافظ به اندازه دلخواه خارج مي شود. نوك اين مدادها نيز مي توانند سخت، متوسط و يا نرم باشند. ضمناً در اتودها با ضخامت بالا نوك اتود بايستي توسط سمباده و يا مداد تراشي كه در انتهاي اتود تعبيه شده به ميزان دلخواه تيز گردد.

اسلاید 18: مدادتراشمدادتراش ها ابزاري هستند كه در جهت تيز كردن نوك مدادها بكار مي روند و بر دو نوعند:1ـ روميزي كه ممكن است دستي و يا برقي باشند.2ـ دستي كه داراي بدنه هايي از جنس فلز و يا پلاستيكي مي باشند.مقدار تيزي نوك مداد به ضخامت خطوط ترسيمي بستگي دارد، هر چه خطوط ترسيمي مورد نياز نازكتر باشند نوك مداد تيزتر خواهد بور و يا برعكس.

اسلاید 19: پاك كنپاك كن ها در جهت پاك كردن خطوطي كه به اشتباه ترسيم شده اند و يا نياز به اصلاح و تغييـر دارنـد مورد استفاده قرار مي گيرند و در اشكال و انواع مختلف به چشم مي خورند. ضمناً برخي از انواع پاك كن ها قادر به پاك كردن خطوط رسم سده با راپپيد نيز مي باشند كه عموماً به رنگ زرد هستند.

اسلاید 20: قلم هاي رسم مركبي قلم هايي هستند كه بجاي كربن بكار رفته در مداد، به وسيله مركب خطوط را بر روي صفحه كاغذ ترسيم مي نمايند. برخي از اين مدادها رت به هنگام ترسيم خطوط و يا نگارش كلمات مرتباً بايستي در جوهر فرو برد و سپس به كار ببريم و برخي ديگر جوهر را در خود جاي داده و با مكانيسمي خاص از آن استفاده مي نمايد كه عموماً به آنها خودنويس گفته مي شود. البته نوع جديدتر آن كه در نقشه كشي كاربرد زيادي دارد راپيد و گراف است. از خصوصيات آن مي توان به موارد زير اشاره نمود:1ـ داراي مخزن ذخيره جوهر بوده كه با تمام شدن آن قابليت پركردن مجدد را دارد.2- داراي نوك در ضخامت هاي مختلف مي باشد از 1/0 الي 2/1 كه امكان تعويض در آن وجود دارد.

اسلاید 21: 3ـ خطوط ترسيمي توسط آن داراي ضخامت يكنواخت مي باشد.از موارديكه بايد به آن توجه كرد عبارت است از:1ـ پس از هر بار مصرف بايد نوك آن را تميز و خشك كرد.2ـ حركت دست در هنگام رسم بايد يكنواخت باشد.3ـ نحوه قرار گرفتن روي كاغذ به صورت عمودي بوده تا جوهر يكنواخت پخش شود. راپيد قابليت نصب بر روي پرگار براي كشيدن دايره را دارد در ضمن براي استفاده از شابلون هاي مختلف مناسب مي باشد.

اسلاید 22: تخته رسماز تخته رسم براي ترسيم خطوط بر روي كاغذ استفاده مي گردد. بدين ترتيب كه كاغـذ را بـه وسيلـه چسب بر روي تخته فيكس نموده، به وسيله ابزار مختلف از جمله خط كش مدرج و خط كش T ، گونيا و غيره به ترسيم طرح هاي مورد نظر مي پردازيم.از خصوصيات آن مي توان گفت :1ـ سطح روي آن كاملاً مسطح بوده.2ـ گوشه هاي آن زواياي 90 درجه داشته باشند كه هنگام استفاده از خط كش T بتوان به آن استناد كرد.

اسلاید 23: خط كش مدرجبـراي رسـم خطـوط صاف با انـدازه هاي مشخص از خط كش بهــره مي بريم. خط كش ها بر حسب جنس يا اندازه به دسته هاي مختلف تقسيم مي شوند:1ـ انواع خط كش از نظر جنس: الف- پلاستيكي ب- فلزي ج- چوبي لازم به ذكر است خط كش هاي پلاستيكي به لحاظ انعطاف، شفافيت و نيز دقت بيشتر مورد استفاده قرار مي گيرند. ضمناً درج بندي روي خط كش ها بر حسب ميلي متر و سانتي متر و يا اينچ و گاهي نيز هر دو مي باشد.

اسلاید 24: خط كش T اين نوع خط كش كه به شكل T انگليسي بوده به جنس هاي پلاستيكي و يا چوبي به چشم مي خورند و عموماً جهت ترسيم خطوط با زاويه 90 درجه بكار مي روند. البته با قرار گرفتن گونيا بر روي لبه آن طراح قادر به ترسيم خطوط زاويه دار نيز مي باشد نجوه استفاده از آن نيز بدين ترتيب است كه تيغه كوچك بالاي آن را بر روي لبه تخته رسم گذاشته، خطوط مورد نظر را رسم مي نماييم همچنين با قرار دادن گونيا بر روي لبه آن قادر به ترسيم خطوط با زواياي ديگر نيز مي باشيم.

اسلاید 25: چسباز چسب ها در جهت چسباندن و فيكس نمودن كاغذ بر روي ميز نقشه كشي و يا تختـه رسـم استفاده مي شـود كه ممكـن است از جنس پلاستيك و يا كاغـذ باشد. چسب هاي كاغـذي به دليل دوام بيشتر و سهولت در چسباندن و كندن در اولويت قرار مي گيرند.

اسلاید 26: پايه چسب براي استفتده تميزتر و برش راحت تر چسب ها از پايه چسب استفاده مي شود كه ممكن است بزرگ بوده و روي ميز قرار گيرد يا نصب شود و ممكن است كوچك، سبك و قابل حمل باشد.

اسلاید 27: پرگار از پـرگار در جهت ترسيـم قـوس هاي متقـارن و دايره در اقطار گوناگون استفاده مي شود و داراي دو پايه مي باشد كه انتهاي يكي از پايه ها به سوزني نوك تيز و انتهاي پايه ديگر به مداد يا مغزي منتهي مي گردد و با پيچي كه در بالا يا يين دو پايه قرار دارد اندازه دهنه و شعاع دايره مورد تقاضا تنظيم مي گردد. لازم به ذكر است كه بـرخي از پـرگارها بـه وسيله ابـزاري خاص يك عـدد راپيد گراف نصب مي شود كه در نتيجه آن مي توان قوس ها يا دواير مورد درخواست را با جوهر ترسيم نمود.

اسلاید 28: گونيا جهت ترسيم خطوط با زواياي 30، 60، 45 و 90 درجه نسبت به خط افقي از گونيا استفاده مي شود كه در انواع چوبي، فلزي و يا پلاستيكي به چشم مي خورد. اندازه گونيا نيز مي تواند كوچك ( با ارتفاع تقريبي 10 سانتيمتر) متوسط و بزرگ باشد كه البته در كتاب استاندارد گرافيك حداقل ارتفاع آن را 10 سانتيمتر و حداكثر ارتفاع 45 سانتيمتر تعريف شده است.

اسلاید 29: نقاله از نقاله براي اندازه گيري يا ترسيم زواياي مختلف استفاده مي شود كه مي تواند به شكل دايره كامل با 360 درجه يا G 400 گردد و يا نيم دايره 180 درجه يا G 200 باشد. ضمناً تقاله در انواع فلزي و پلاستيكي به چشم مي خورد كه نوع پلاستيكي آن داراي دقت و كارائي بالاتري است. جهت تبديل گراد ده درجه مي توان عدد گرادي را در 10/9 ضرب نمود، حاصل درجه همان گراد است.

اسلاید 30: شابلن شابلون ها ابزاري هستند كه براي رسم دقيق، سريع و راحت اشكال مختلف از جمله دايره،‌بيضي، مربع و ... استفاده مي شـونـد. علاوه بـر اشكال فوق برخي از اشكال قراردادي در نقشه ها از قبيل مبلمان، سرويس ها، وسايل برقي منصوب در ساختمان را نيز مي توان با شابلون و به سهولت طراحي نمود.شابلون ها بر حسب مقياس و انواع در گروه هاي مختلف طبقه بندي مي شوند. شابلون حروف و اعدادشابلون مبلمان و معماري شابلون اشكال هندسي شابلون تاسيسات مكانيكي و الكتريكي شابلون سازه

اسلاید 31: پيستوله شابلوني است با شكلي تقريباً مارپيچ كه از آن در جهت ترسيم خطوطي كه داراي قوس هاي نامتقارن هستند استفاده مي شود.

اسلاید 32: چراغ مطالعه براي تنظيم جهت تابش نور روي صفحه كاغذ از چراغ مطالعه استفاده مي كنيم كه اين چراغ ها باعث ديد بيشتر و كاهش مشكلات بينايي مي گردد. اين چراغ ها ممكن است روي ميز قرار گيرد و يا بر روي آن نصب گردد. جهت نصب چراغ بر روي ميز نيز به راست دست يا چپ دست بودن نقشه كش بستگي دارد.

اسلاید 33: صندلي جهت استفاده از ميز نقشه كشي و نشستن بالاتر از كف اتاق صندلي بهترين و تنهاترين وسيله ممكن است. صندلي ها بسته به نوع نياز در انواع مختلف با پشتي، بدون پشتي، با دسته، بدون دسته، ثابت، چرخدار و ... طبقه بندي مي شود.

اسلاید 34: اشل براي مشخص نمودن اندازه ها و تبديل اين مقياس ها به اندازههاي واقعي ساختمان از ابزاري به نام اشل استفاده مي شود. اشلها عموماً داراي سه ضلع بوده كه بر روي هر لبه آن مقياس خاص درج شده است. اين مقياس ها عبارتند از 1.20 ،1.25، 1.50، 1.75، 1.100، 1.200 كه در صورت نياز با ضرب يا تقسيم نمودن مقياس هاي فوق الذكر به عدد 10 مي توان مقياس هاي بزرگتر يا كوچكتر را به دست آورد.

اسلاید 35: بخش 2 ترسيمات هندسی

اسلاید 36: بعضي از ترسيمات هندسي كه به وسيله ابزار نقشه كشي امكان پذير مي باشد و در رسم فني موارد استعمال فراوان دارد در زير آمده است :1ـ تقسيم پاره خط به چند قسمت مساويپاره خط AB مفروض است براي تقسيم اين پاره خط به تعداد مساوي ابتدا خطي از نقطه A به دلخواه رسم مي كنيم و آن را به تعدادي مساوي توسط خط كش يا پرگار جدا مي كنيم و از آخرين تقسيم به انتهاي پاره خط AB وصل نموده و ديگر نقاط تقسيم را موازي با خط فوق كشيده تا پاره خط AB به تعداد مورد نظر تقسيم گردد طبق قوانين و اصول هندسه اين تقسيمات با يكديگر مساوي هستند.

اسلاید 37: 2ـ نصف كردن يك زاويه زاويه AÔB مفروض است براي تقسيم اين زاويه به دو قسمت مساوي ابتدا به مركز O و به شعاع دلخواه كماني زده تا زاويه فوق را در نقاط 2 و 1 قطع كند. از اين دو نقطه دو كمان مساوي به طوري مي زنيم كه همديگر را قطع كند از محل تقاطع اين دو كمان به O وصل نموده بدين ترتيب زاويه AÔB به دو قسمت مساوي تقسيم مي گردد.

اسلاید 38: 3 ـ تقسيم زاويه به قطعات مساوي در حالت كلي زاويه AÔB مفروض است براي تقسيم اين زاويه به قطعات مساوي ابتدا كماني دلخواه به مركز O رسم نموده تا خط عمود بر يكي از اضلاع را در دو نقطه D و C و زاويه را در نقاط 2و1 قطع نمايد به مركز C و شعاع CD كماني مي زنيم تا امتداد ضلع OA از زاويه را در نقطه m قطع نمايد از نقطه m به نقطه 1 وصل نموده تا پاره خط OD را در نقطه n قطع كند حال پاره خط on را به تعداد مورد نظر مطابق نحوه تقسيم پاره خط به تعداد مورد نياز تقسيم مي كنيم.به همين جهت پاره خطي دلخواه كه از نقطه O مي گذرد را رسم نموده و آن را به تعداد مساوي تقسيم مي كنيم از آخرين تقسيم به نقطه n وصل نموده و مابقي نقاط را موازي با خط فوق كشيده تا پاره خط on به تعداد مورد نياز تقسيم شود از نقطه m به اين نقاط تقسيم وصل نموده و امتداد مي دهيم تا كمان بين نقطه 1 و 2 را قطع كند اگر از مركز زاويه (O) به اين نقاط وصل كنيم زاويه AÔB به تعداد مورد نياز تقسيم مي گردد.

اسلاید 39: 4ـ دو برابر كردن يك زاويه براي دو برابر كردن يك زاويه به صورت عكس تقسيم زاويه عمل مي كنيم بدين صورت كه ابتدا به مركز O كماني مي زنيم تا زاويه AÔB را در نقاط b و a قطع كند و آن را امتداد مي دهيم سپس به مركز نقطه b و شعاع ab كماني مي زنيم تا كمان قبلي را در نقطه C قطع كند از مركز زاويه AÔB به اين نقطه وصل نموده و امتداد مي دهيم بدين ترتيب زاويه فوق دو برابر مي شود.

اسلاید 40: 5ـ انتقال يك زاويهبراي انتقال زاويه AÔB به خط O′A′ ابتدا كماني به مركز O به شعاع دلخواه مي زنيم تا زاويه AÔB را در نقاط n و m قطع كند سپس به مركز m و mn كماني مي زنيم حال همين كار را نسبت به خط O′A′ انجام مي دهيم ابتدا به مركز O′ و شعاع om كماني مي زنيم تا خط O′A′ را در نقطه m′ قطع كند به مركز m′ و شعاع mn كماني مي زنيم تا كمان قبلي را در نقطه n′ قطع كند از نقطه O′ به نقطه n′ وصل نموده و امتداد مي دهيم بدين ترتيب زاويه AÔB به محل جديد انتقال پيدا مي كند.A′Ô′B′= AÔB

اسلاید 41: 6ـ رسم زواياي مشخصبعضي از زواياي مشخص كه در هندسه كاربرد زيادي داشته به شرح زير مي باشد:°180 و °165 و °150 و °135 و °120 و °155 و °90 و °75 و °60 و °45 و °30 و °15 اين زوايا را مطابق با اشكال زير توسط دو گونيا رسم مي كنيم:

اسلاید 42: 7ـ تقسيم دايره به دو قسمت مساويبراي تقسيم دايره به دو قسمت مساوي كافي است بدانيم هر خطي كه از مركز دايره بگذرد اين دايره را به دو قسمت مساوي تقسيم مي كند.

اسلاید 43: 8ـ تقسيم دايره به سه قسمتالف- با استفاده از پرگاربراي تقسيم دايره به سه قسمت با دانستن اينكه دايره يك زاويه °360 است با تقسيم زاويه °360 به سه قسمت توسط پرگار مطابق با آنچه گفته شد مي توان دايره را به سه قسمت مساوي تقسيم كرد بنابراين به مركز اولين نقطه تقسيم و شعاع دايره اصلي دايره را به شش قسمت تقسيم و با وصل كردن يك در ميان دايره به سه قسمت تقسيم مي شود.ب- با استفاده از گونيادر تقسيم دايره به سه قسمت توسط گونيا مطابق با شكل با قراردادن يك گونيا و تغيير مكان آن دايره را تقسيم كرد.

اسلاید 44: 9ـ تقسيم دايره به چهار قسمت مساوي براي تقسيم دايره مفروض به چهار قسمت كافي است دو قطر عمود بر هم دايره را رسم نماييم كه در اين صورت دايره به چهار قسمت مساوي تقسيم مي شود.

اسلاید 45: 10ـ تقسيم دايره به پنج قسمت مساويبراي تقسيم دايره به پنج قسمت مساوي مراحل زير را طي مي كنيم:ابتدا نقطه n را در وسط خط om انتخاب مي كنيم و به مركز b و شعاع 1b ( 1 اولين نقطه تقسيم) كماني مي زنيم تا امتداد خط om را در نقطه n قطع كند به مركز 1 و شعاع 1n كماني مي زنيم تا دايره را در نقطه 2 قطع كند طول كمان (2و1) طول تقسيم دايره است.

اسلاید 46: 11ـ تقسيم دايره به شش قسمت مساويدر تقسيم دايره به شش قسمت مساوي طول هر تقسيم برابر شعاع دايره بوده بنابراين مي توان توسط پركار دايره را به شش قسمت مساوي تقسيم كرد.

اسلاید 47: از طريق گونيا نيز مطابق با شكل زير مي توان دايره را به شش قسمت مساوي تقسيم كرد.

اسلاید 48: 12ـ تقسيم دايره به هفت قسمت مساويمطابق شكل براي تقسيم دايره عمود منصف OA را رسم نموده طول اين عمود منصف (BC) برابر طول وتر قوسي كه دايره را به هفت قسمت مساوي تقسيم مي كند.

اسلاید 49: 13ـ تقسيم دايره به هشت قسمت مساويمطابق شكل براي تقسيم دايره به هشت قسمت مساوي از گونياي °45 استفاده مي نماييم.

اسلاید 50: 14ـ تقسيم دايره در حالت كلي در حالت كلي چون دايره را مي توان به يك زاويه به اندازه °360 فرض نمود در تقسيم دايره به n قسمت كافي است از روش تقسيم زاويه به n قسمت استفاده نمود.

اسلاید 51: 15ـ رسم عمود منصف يك پاره خطپاره خط AB مفروض است براي رسم عمودمنصف به مركزهاي B و A و شعاع مساوي به صورتيكه همديگر را قطع كنند كماني را رسم مي كنيم اين دو كمان همديگر را در دو نقطه N و M همديگر را قطع مي كند با وصل كردن دو نقطه N و M عمود منصف پاره خط AB رسم مي شود.

اسلاید 52: 16ـ رسم عمود بر يك خط از يك نقطه ثابترسم عمود بر يك خط از يك نقطه ثابت دو حالت دارد:الف ـ اين نقطه بر روي پاره خط AB قرار دارد.ب ـ اين نقطه خارج از پاره خط AB قرار دارد.در حالت الف ابتدا از نقطه M بر روي پاره خط AB به شعاع دلخواه كماني را رسم مي كنيم تا خط AB را در دو نقطه D و C قطع كند به مركز اين دو نقطه و شعاع مساوي دو كمان مي زنيم تا همديگر را در دو نقطه N و P قطع نمايند با وصل كردن اين دو نقطه به يكديگر عمود مورد نظر رسم مي گردد.

اسلاید 53: درحالت دوم نيز همانند حالت اول عمل نموده وعمود مورد نظر را رسم مي كنيم.

اسلاید 54: 17ـ رسم پنج ضلعي به طول L) )بر پاره خط MY نقاط B و A را برابر طول L مشخص نموده و به مراكز A و B به شعاع AB دو قوس مي زنيم تا MY را در نقاط K و P قطع نمايد از نقطه A عمودي بر خط AB رسم مي كنيم تا قوس PB را در R قطع كند از نقطه M وسطAB و شعاع MR قوسي مي زنيم تا MY را در نقاط T و S قطع كند. به مركز A و شعاع AT قوسي مي زنيم تا قوس AK را در نقطه C قطع كند و همينطور به مركز B و شعاع BS قوسي مي زنيم تا قوس BP را در نقطه E قطع كند همچنين دو قوس BS و AK همديگر را در نقطه D قطع مي كند. نقاط A,B,C,D,E نقاط رأس پنج ضلعي مفروض است كه با وصل كردن آنها به يكديگر پنج ضلعي رسم مي گردد.

اسلاید 55: 18ـ رسم مماس از نقطه اي ثابت بر دايره اي مفروضدر دو حالت اتفاق مي افتد:الف- نقطه بر روي دايره قرار دارد كه در اين صورت از آن نقطه عمودي بر خط OA رسم مي كنيم اين خط خط مماس بر دايره است.

اسلاید 56: ب ـ نقطه در خارج از دايره قرار دارد.

اسلاید 57: 19ـ مماس كردن قوسي از دايره به شعاع R بر دو خط مفروضمطابق با شكل دو خط موازي با دو خط مفروض و به فاصله R شعاع دايره مفروض رسم نموده محل برخورد اين دو خط مركز دايره فوق مي باشد.

اسلاید 58: 20ـ مماس كردن دايره اي به شعاع R بر دايره O و نقطه مفروض m واقع بر محيط دايره:مطابق شكل بسته به نوع مماس نقطه m′ را در امتداد om به اندازه شعاع R رسم نموده آنگاه دايره مفروض را رسم مي نماييم.

اسلاید 59: 21ـ مماس بر خط و دايره مفروض توسط دايره اي با شعاع R مطابق شكل و بسته به نوع مماس مي توان با جمع كردن و يا كم كردن در شعاع دايره و پيدا كردن محل تقاطع دايره جديد با خط موازي خط مفروض به اندازه R مي توان مرمز دايره مماس را پيدا نمود و با شعاع R اين دايره را رسم كرد.

اسلاید 60: 22ـ مماس بر دو دايره مفروض توسط دايره اي به شعاع R مطابق با شكل مي توان براي رسم مماس هاي داخلي يا خارجي دو دايره مفروض دايره اي به شعاع R رسم نمود.

اسلاید 61: تمرين زير را ربه راهنمای رسم در کاغذ 70*50 بوسيله راپيد 2/0 و 5/0 ترسيم نمائيد.

اسلاید 62:

اسلاید 63:

اسلاید 64:

اسلاید 65:

اسلاید 66: بخش 3رسم تصاوير احجام

اسلاید 67: اشكال از طريق تصويري كه در صفحه ها ايجاد مي كند معرفي مي نمايند براي رسم تصوير هر جسم از نقاط آن بر صفحه تصوير عمود رسم مي كنيم.اگر نقطه A بين ناظر و صفحه P قرار گيرد و شعاعي از آن نقطه بگذرد و بر صفحه P عمود باشد محل برخورد اين شعاع بر صفحه P نقطه a مي باشد كه اين نقطه تصوير نقطه A بر صفحه تصوير P است.

اسلاید 68: اگر تصوير خط AB بر روي صفحه تصوير P را بخواهيم كافي است تصوير نقطه B و A را بر صفحه تصوير پيدا كنيم بدين ترتيب كه از نقاط B و A بر صفحه P عمود رسم مي كنيم و پاي عمودها را bوa مي ناميم با وصل كردن اين دو نقطه تصوير خط AB بر صفحه تصوير P خط ab مي باشد.

اسلاید 69: اگر اين خط موازي صفحه باشد در اين صورت تصوير خط اندازه واقعي آن را نشان مي دهد.

اسلاید 70: در صورتيكه خط عمود بر صفحه باشد در اين صورت تصوير آن يك نقطه است.

اسلاید 71: تصوير صفحه ABCD بر صفحه تصوير Pبراي پيدا كردن اين تصوير كافي است تصوير كنج هاي آن را بر صفحه تصوير p مشخص نموده و از وصل كردن آنها به يكديگر تصوير صفحه ABCD بر روي صفحه تصوير p مشخص مي گردد.

اسلاید 72: اگر صفحه اي عمود بر صفحه تصوير p باشد تصوير آن به صورت يك خط مي باشد.

اسلاید 73: اگر صفحه اي موازي با صفحه تصوير p باشد تصوير آن به اندازه واقعي مي باشد و اگر صفحه اي با صفحه تصوير p موازي با عمود نباشد در اين صورت اندازه آن از اندازه واقعي كوچكتر است.

اسلاید 74: تصوير يك جسم بر روي صفحه تصوير با تصوير كردن نقاط كنج جسم مورد نظر و يا خطوط يال و يا سطوح تشكيل دهنده جسم بر روي صفحه تصوير p مي توان تصوير آن جسم را بر روي صفحه فوق به دست آورد در اين صورت خطوط مخفي به صورت خط چين رسم مي گردد.

اسلاید 75: همانگونه كه توضيح داده شد در بعضي اوقات تصوير سطوح و خطوط از اندازه واقعي كوچكتر و يا به صورت يك خط مستقيم بوده كه در اين صورت براي مشخص شدن وضعيت جسم آن را داخل يك مكعب قرار داده و هر يك از سطوح مربع را يك صفحه تصوير فرض مي نماييم و تصاوير جسم را بر روي هر يك از اين صفحات تصوير به دست مي آوريم.

اسلاید 76: حال با باز كردن و گسترش اين مكعب تصوير جسم مورد نظر بر روي صفحات به شكل زير در می آيد.

اسلاید 77: با كمي دقت در اين تصاوير در مي يابيم كه اين تصاوير دو به دو با يكديگر برابر و فقط در خطوط مرئي و مخفي با يكديگر تفاوت دارند بنابراين با داشتن سه تصوير از شش تصوير فوق مي توان جسم مورد نظر را تصوير نمود.

اسلاید 78: در نتيجه ما فقط از سه صفحه عمود بر هم مي توانيم استفاده كنيم اين سه صفحه تشكيل يك كنج قائمه را ميدهند تصاوير رسم شده بر روي هر يك از اين صفحات به

اسلاید 79: نام هاي نماي روبرو، نماي جانبي و نماي بالاي جسم مورد نظر مي نامند كه با باز كردن اين سه صفحه و گسترش آن بر روي صفحه كاغذ محل تصاوير نامبرده شده مشخص مي گردد.

اسلاید 80: اگر به رابطه ي متقابل تصاوير سه خانه ي متقابل A دقت كنيد مي توان پي برد كه محل هر نقطه از جسم را با داشتن دو تصوير از آن نقطه و خطوط رابطه تعيين و كنترل مي شود.

اسلاید 81: تمرين:تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده رسم نماييد.

اسلاید 82:

اسلاید 83:

اسلاید 84:

اسلاید 85:

اسلاید 86:

اسلاید 87:

اسلاید 88:

اسلاید 89:

اسلاید 90:

اسلاید 91:

اسلاید 92:

اسلاید 93:

اسلاید 94:

اسلاید 95:

اسلاید 96:

اسلاید 97:

اسلاید 98:

اسلاید 99: تمرين:نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 100: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 101: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 102: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 103: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 104: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 105: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 106: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 107: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 108: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 109: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 110: نمای مجهول را با توجه به نماهای دیگر کامل کنيد.

اسلاید 111: (حل)

اسلاید 112: (حل)

اسلاید 113: (حل)

اسلاید 114: (حل)

اسلاید 115: (حل)

اسلاید 116: (حل)

اسلاید 117: (حل)

اسلاید 118: (حل)

اسلاید 119: (حل)

اسلاید 120: (حل)

اسلاید 121: (حل)

اسلاید 122: (حل)

اسلاید 123: (حل)

اسلاید 124: (حل)

اسلاید 125: تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده تکمیل نماييد.

اسلاید 126: تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده تکمیل نماييد.

اسلاید 127: تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده تکمیل نماييد.

اسلاید 128: تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده تکمیل نماييد.

اسلاید 129: تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده تکمیل نماييد.

اسلاید 130: تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده تکمیل نماييد.

اسلاید 131: تصاوير اشكال زير را با توجه به جهت ديد مشخص شده رسم نماييد.

اسلاید 132: تداخل احجام کروی باتوجه به فرم احجام از صفحات موازی استفاده نموده و احجام را برش مي‎دهيم محل برخورد اين صفحات با احجام را در تمام تصاوير مشخص مي‎کنيم. هر چقدر تعداد اين برش‎ها بيشتر شد نقاط تقاطع بيشتری داريم و تصاوير دقيقتر مي‎شوند.

اسلاید 133: تداخل استوانه با کره 1) ابتدا صفحه های برش را رسم مي‎کنم

اسلاید 134: 2) تقاطع اين صفحه‎ها را با احجام به دست مي‎آوريم 3) با توجه به نقاط تقاطع فصل مشترک را رسم مي‎کنيم

اسلاید 135: بخش 4ترسيم نقشه هاي معماري ساختمان و استانداردهاي نقشه كشي

اسلاید 136: اگر بخواهيم بر روي يك قطعه زمين ،ساختمان و بنايي بسازيم، اين بنا بايد با هزينه و زحمات زيادي ساخته تا سال هاي متمادي مورد استفاده قرار گيرد. بنابراين براي ايجاد توازن و زيبايي و راحتي استفاده كنندگان آن فضا، نياز به يك طرح مناسب با عملكرد متناسب مي باشد. اين طرح هر چه تكميل تر باشد، مجريان آن بنا اعم از مهندسين و عوامل اجرايي)مثل كارگر و بنا و نجار و ... ) كمتر دچار مشكل و تغييرات كمتري در طرح اوليه مي شوند.

اسلاید 137: از اينجاست كه به اهميت يك نقشه كش مي توان پي برد، با هنر و مهارت يك نقشه كش خوب و با تجربه است كه ايده ها و طرح هاي اوليه مهندس طراح به نقشه هاي استاندارد كامل، تميز و خوانا، همراه با نوشته ها و توضيحات فني لازم تبديل شده و زمينه احداث يك ساختمان خوب فراهم مي آيد..شناخت استانداردها و قواعد نقشه كشي، آشنايي با وسايل ترسيم و تكثير نقشه ها و همچنين مهارت در ترسيم از ضروريات اوليه نقشه كشي است.

اسلاید 138: روند احداث بنا از برنامه ريزي تا اتمام، مراحل زيادي را پشت سر مي گذارد، در هر يك از اين مراحل گروه هاي زيادي اعم از مهندسان، تكنسين ها ، استادكارها و كارگران همكاري مي كنند..در ابتداي اين همكاري براساس يك برنامه فيزيكي، نيازهاي گروه استفاده كننده شرايط زمين، موقعيت، منطقه، ميزان بودجه، مطالعات مختلف اقتصادي، اجتماعي و ... مشخص مي شود و فضاهاي مورد نياز و روابط بين فضاها را معين مي كنند و پس از تعيين برنامه، مهندس معمار با هماهنگي كارفرما اين برنامه را به طرح و نقشه هاي اوليه تبديل مي كتد. در اين روند، تهيه نقشه هاي ساختماني چند فاز راشامل مي شود.

اسلاید 139: 1ـ نقشه هاي فاز اولدر اين نقشه ها ويژگي هاي اصلي پروژه مانند عمل استقرار ساختمان، نحوه ورود به ساختمان، تعداد طبقات، نوع نماهاي خارجي و ... نمايش داده مي شود.اين نقشه ها فاقد مشخصات دقيق مصالح و نكات فني براي اجراي ساختمان هستند.

اسلاید 140: 2ـ نقشه هاي فاز دوماين نقشه ها كه به نقشه هاي اجرايي معروف هستند توسط مهندسين هر رشته اعم از مهندس معمار، مهندس سازه، مهندس تأسيسات مكانيكي و مهندس تأسيسات برقي تهيه مي گردد و اين مهندسين با توجه به نقشه هاي فاز اول اقدام به تهيه نقشه هاي اجرايي مي كنند كه در نهايت اين نقشه ها در اختيار مهندس معمار قرار مي گيرد و پس از هماهنگي بين نقشه هاي گروه هاي مختلف با طرح اوليه اين نقشه ها در اختيار نقشه كش ها قرار مي گيرد.

اسلاید 141: انواع نقشه هاي معماريطرح ساختمان را مي توان به روش هاي مختلف نمايش داد:الف ـ نقشه هاي دو بعدياين نقشه ها مشخصات دقيق داخل و خارج ساختمان، شكل، اندازه ها و ابعاد هر قسمت از آن را نشان مي دهند.ب ـ نقشه هاي سه بعدياز اين تصاوير معمولاً براي ايجاد تصوير روشن از ساختمان و تكميل نقشه هاي دو بعدي استفاده مي شود.

اسلاید 142: انواع نقشه هاي دوبعديالف ـ پلانبراي مشخص شدن فضاهاي داخلي و جزئيات بيشتر داخل فضار از يك برش افقي از بنا استفاده مي شود، در اين برش جاي دقيق ديوارها ، عملكرد فضاها، تناسبات و ابعاد فضاها، محل قرارگيري درها، پنجره ها، پله ها و ... نشان داده مي شود. اين نقشه به پلان معروف است. در ساختمان ها با چند طبقه از هر طبقه يك برش افقي ايجاد و پلان آن طبقه را رسم مي كنيم.اين پلان ها بسته به بزرگي و يا جزئيات آنها در مقياس هاي مختلف ترسيم مي شوند.

اسلاید 143: ب ـ نماتصوير خارجي تمامي بخش هاي ساختمان را در چهار سمت نشان مي دهد؛ نماهاي ساختمان، شكل، تناسبات و جزئيات بيروني ساختمان را نشان مي دهد.

اسلاید 144: ج ـ مقطعبرش عمودي از ساختمان براي مشخص شدن فضاها، ارتفاع، تناسبات و ... داخلي ساختمان مي باشد، اين نقشه ها به مقطع معروف هستند. تعداد مقاطع در نقشه مختلف بوده و بستگي به نياز ما براي نشان دادن جزئيات بيشتر فضاهاي داخل دارد.

اسلاید 145: ترسيم پلانهمانطور كه گفته شد، پلان تصوير برش افقي ساختمان است صفحه برش در ارتفاعي از طبقه زده مي شود كه بيشترين جزئيات از ساختمان را به ما نشان مي دهد. اين صفحه محل اتصال ديوارها به پنجره ها،قرارگيري درها ، كمدها، پله ها و عناصري مانند مبلمان، لوازم خانه، كف سازي، اختلاف سطوح و ... را نشان مي دهد.براي خوانايي، قسمت هايي از صفحه كه برش خورده با ضخامت بيشتري نسبت به قسمت هايي كه برش نخورده نشان داده مي شود. در نقشه پلان براي خوانايي و يكسان سازي نقشه ها از علائم و استانداردهاي نقشه كشي استفاده مي شود. در اين علائم ديوارها به صورت دو خط موازي با فواصل مختلف ( ديوارهاي خارجي و داخلي) كشيده مي شوند. ديوارها اصلي ترين قسمت در نقشه هاي پلان مي باشند.

اسلاید 146: درها عناصر ساختماني بازشويي هستند كه فضاها و بخش هاي مختلف ساختمان را از هم تفكيك مي كنند. از ديگر عناصري كه بايد در پلان دقيقاً مشخص شود پنجره ها و محل قرارگيري آنها هستند. پنجره ها به صورت لولايي و كشويي بوده كه به صورت هاي مختلف در نقشه نشان داده مي شوند.پله ها ديگر عناصري هستند كه در تمامي نقشه ها بايد نشان داده شوند. از پله براي ارتباط دو سطح استفاده مي شود؛ انواع پله با اندازه و فرم هاي مختلف در زير آمده است.

اسلاید 147:

اسلاید 148: در پله ها جهت شروع و خاتمه پله بايد دقيقاً مشخص شود و همچنين محل نصب دست انداز و ارتفاع آن تعيين شود.طول و عرض و ارتفاع تابع شرايط مختلفي از جمله نوع استفاده، محل قرارگيري، تعداد طبقات و ... مي باشد ولي در تمامي اين پله ها راحتي استفاده كننده و يكنواخت بودن عرض و ارتفاع در تمام نقاط مهم مي باشد.عرض كف پله بين 30-29 سانتي متر بوده و اين متناسب با استقرارانسان است، مي توان براي كنترل عرض و ارتفاع از فرمول 64 -63=2h+b استفاده نمود. در اين فرمول h ارتفاع پله و b عرض پله مي باشد.

اسلاید 149: يكي ديگر از عناصر تشكيل دهنده پلان، مبلمان فضاهاي مختلف مي باشد كه بايد براساس استانداردها و ابعاد دقيق تجهيزات موجود رسم گردد؛ مانند يخچال، تختخواب، گاز،‌قفسه ها، ميز نهارخوري و تجهيزاتي كه داخل حمام و سرويس قرار مي گيرد.از مهمترين عناصر تشكيل دهنده پلان اندازه گذاري فضاهاي مختلف و تعيين محورهاي طولي و عرضي مي باشد كه در حين ساخت هر چه دقيق تر باشد، اجراء راحت تر و با دقت بيشتر انجام مي گيرد. در اين پلان ها كدهاي ارتفاعي نيز بايد لحاظ شود.

اسلاید 150: قبل از شروع ترسيم، وسايل و لوازم نقشه كشي مورد نياز را منظم كنيد، از تميزي دست ها و وسايل كار مطمئن شويد و طرح هاي اوليه را نيز به دقت مطالعه نماييد تا طرح را كاملاً درك كنيدوابهامات احتمالي براي شما رفع گرديده باشد، روش عمل به ترتيب زير است.

اسلاید 151: 1ـ كاغذ را كه باتوجه به ابعاد نقشه انتخاب شده است با لبه تخته رسم يا ميز تنظيم كرده و بر آن مي چسبانيم.2ـ ابتدا با استفاده از خطوط كمكي ( كم رنگ ) و با توجه به ابعاد كار، نقشه را ترسيم مي كنيم. به ياد داشته باشيم كه براي خوانايي، سالم ماندن و امكان آلبوم و بايگاني كردن نقشه ها وجود حاشيه مناسب، ضروري است.

اسلاید 152: 3ـ محل تقريبي ترسيم پلان را با توجه به ابعاد پلان، فضاي لازم براي اندازه گذاري ( 6-3 سانتيمتر) ، محل ترسيم جدول مشخصات نقشه و محل نوشتن عنوان و توضيحات نقشه معين مي كنيم.همان طوري كه مي دانيد، جدول مشخصات نقشه در واقع شناسنامه نقشه است و در آن اطلاعاتي از قبيل عنوان پروژه، نام كارفرما، عنوان مهندس مشاور، مقياس نقشه، واحد مورد استفاده در اندازه گذاري، شماره نقشه، نام نقشه كش و ... ذكر مي گردد. در شكل يك نمونه از جدول مشخصات نقشه ارائه شده است.

اسلاید 153: 4ـ خطوط بيروني ديوارهاي خارجي ساختمان را با استفاده از خطوط كمكي و با مداد 4H يا مداد كپي كم رنگ در محل تعيين شده ترسيم مي كنيم.5ـ ديوارهاي خارجي ساختمان را كامل كرده و مقطع ستون ها را ترسيم مي كنيم. قبل از تعيين ستون ها، ترسيم خط آكس طولي و عرضي ستون ها كه دقيقاً از وسط هر ستون مي گذرند الزامي است.6ـ خطوط ديوارهاي داخلي را رسم مي كنيم.7ـ موقعيت و اندازه درها و پنجره ها را معين مي كنيم.8ـ پلان پله ها را رسم مي كنيم.

اسلاید 154: 9ـ كابينت هاي بالا ( عرض 30 سانتي متر) و پايين ( عرض 60 سانتيمتر) آشپزخانه را مشخص و محل لوازم و تجهيزات ثابت در آشپزخانه را با توجه به ابعاد استاندارد ترسيم مي كنيم ، همين كار را در مورد حمام و توالت نيز تكرار مي نماييم.

اسلاید 155: 10ـ نرده ها و دست اندازهاي پله و بالكن ها را رسم مي كنيم.11ـ صحت كارهاي انجام شده را كنترل مي كنيم تا از هماهنگي آنها با طرح هاي اوليه و استانداردهاي موجود اطمينان حاصل نماييم.سپس با قلم مناسب همه خطوط عناصر ساختماني برش خورده مانند ديوارها و ستون ها را پر رنگ مي كنيم ( با مدادH يا F و بسته به مقياس نقشه، با راپيد 6/0 يا 4/0).12ـ از بالا به پايين نقشه، علايم درها و پنجره ها را اضافه مي كنيم. همه كابينت ها، لوازم و تجهيزات ساختماني را با مداد H يا 2H و يا راپيد 4/0 و يا 2/0 با توجه به مقياس ترسيم مي كنيم.

اسلاید 156: 13ـ در صورت لزوم عناصر محوطه سازي كنار ساختمان را اضافه مي كنيم.14ـ با استفاده از خطوط كمكي، خطوط اندازه گذاري خارجي و داخلي ساختمان و زاويه امتدادهاي مختلف را ترسيم مي كنيم.

اسلاید 157: 15ـ تراز ارتفاعي كف ها را با استفاده از علامت فوق مشخص كرده و با توجه به تراز سطح مبنا را مشخص مي كنيم.16ـ اندازه ها را با دقت در وسط و بالاي خطوط اندازه مي نويسيم. براي اين كار مي توان از مداد H يا F ، قلم راپيد 3/0 و شابلن 3/0 ، برحست مورد، استفاده كرد. 17ـ تصوير شكستگي هاي سقف، كنسول سقف، لبه هاي بالكن را به صورت خط چين ترسيم مي كنيم.18ـ مسير خط برش و محل مقاطع عرضي و طولي را ترسيم مي كنيم.

اسلاید 158: تمرين:تعدادي از پلان هاي اجرايي به همراه نماها و مقاطع مربوط ارائه گرديده، آنها را در مقياس 1:50 توسط راپيد ترسيم نماييد.

اسلاید 159:

اسلاید 160:

اسلاید 161:

اسلاید 162:

اسلاید 163:

اسلاید 164:

اسلاید 165:

اسلاید 166:

اسلاید 167:

اسلاید 168:

اسلاید 169:

اسلاید 170:

اسلاید 171:

اسلاید 172:

اسلاید 173:

اسلاید 174:

اسلاید 175:

اسلاید 176: كليات نقشه1ـ در يك پروژه مشخص اندازه تمامي نقشه ها بايد يكسان استاندارد باشد. در برخي موارد استثنايي ممكن است براي نقشه هاي مختلف اندازه هاي متفاوتي تصويب شده باشند كه بهرحال نبايد از حالت استاندارد خارج شود.2ـ بجز در موارديكه شكل ديگري تصويب شده باشد، تمام توضيحات نقشه بايد در قسمت سمت راست بالا درج گردد.3ـ علاوه بر موارد فوق الذكر كليه علائم ترسيمي مربوط به مقياس، شماره نقشه، مهر و غيره بايد در قسمت بالا سمت راست قرار گيرند. به همين منظور بايد جاي كافي براي آن در نظر گرفت.4ـ توضيحات نقشه بايد ساده و روان و عاري از پيچيدگي و ايهام باشد.5ـ تركيب نقشه نيز بايد ساده و بدون پيچيدگي باشد و جزئيات بايستي با دقت و به شكلي منظم درج گردند.

اسلاید 177: 6ـ رعايت جهت اصلي در كليه نقشه ها الزامي است و نقشه بايد طوري طراحي شود كه جهت شمال در بالاي نقشه قرار گيرد و نيز بايد دقت نمود كه پلانهاي يك طرح كلاً هماهنگ و در يك جهت قرار گرفته باشند. ضمناً جزئيات، يادداشتها و اندازه ها بايد از قسمت پايين يا سمت راست كاملاً خوانا باشند.7ـ جزئيات نقشه بايد به وسيله خطوط تطابق كاملاً مشخص باشد.8ـ مقياس نقشه بايـد در قسمت مـربـوط درج شـود و اگر نقشـه داراي جزئيات با مقياس هاي متفاوتي است حتماً بايد مقياس هاي متفاوتي براي آن ترسيم گردد.9ـ واحد بكار رفته نقشه ها صرفاً در سيستم متريك معني مي يابند.10ـ مهرهاي مورد استفاده در نقشه ها بايستي حتماً استانداردهاي مربوطه را دارا باشند.11ـ نقشه ها بايستي به شكلي تا شوند كه جدول عناوين نقشه به سمت خارج قرار گيرد.

اسلاید 178: ابعاد نقشه نقشه ها بايستي در كوچكترين اندازه ممكن كه البته وضوح لازم براي مندرجات را داشته باشند، اختيار شوند.نقشه را به صورت افقي و يا عمودي مي توان استفاده نمود كه البته ابعاد آنها بايد مطابق جداول 1، 2 و 3 انتخاب شوند.1ـ جداول نوع A : كه ابعاد ترجيحي نقشه مي باشند و در جدول ذيل درج شده اند.2ـ جداول نقشه هاي بزرگ: كه در صورت بزرگ بودن طول نقشه ها مورد استفاده قرار مي گيرند و با قرار دادن ضريب هاي 3، 4 و يا 5 در عرض نقشه هاي A4 و A3 تنظيم مي گردند.3ـ جدول نقشه هاي خيلي بزرگ: از اين جدول تنها براي نقشه هايي كه نياز به ابعادي خيلي بزرگتر از حد معمول دارند استفاده مي شود و با قرار دادن ضريب هاي 2 الي 9 در جلو عرض نقشه هاي A0 به دست مي آيند.

اسلاید 179: جدول عنوان نقشه1ـ موقعيت عناوين نقشهجدول عناوين نقشه بايد كه گوشه پايين سمت راست و در داخل كادر انتخاب شود. ضمناً جهت ديد عنوان نقشه بايد با جهت ديد نقشه يكسان باشد. در صورت نياز مي توان شماره نقشه را در جاهاي ديگر نيز تكرار نمود.2ـ ابعاد جدول عنوانحداكثر طول در نظر گرفته براي جدول عنوان 170 ميلي متر است كه بهرحال مجموع اين طول و عرض حاشيه نبايستي از 190 ميلي متر تجاوز نمايد.3ـ اطلاعات جدول عنوان نقشهدر جدول عنوان نقشه بايد نام كارفرما، نام مرجع تهيه كننده نقشه، عنوان پروژه و نقشه، مقياس نقشه، شماره نقشه، محلي براي امضاء طراح، ترسيم كننده، كنترل كننده و تصويب كننده نقشه همگي تاريخ دار مي باشند، همچنين نشانه و شرح تغييرات به همراه محل امضاء تاريخ دار، طراح، كنترل كننده و تصويب كننده تغييرات در آن مشخص گردد.ضمناً مي توان در آن از سيستم واحدها، رشته مرتبط با نقشه، شماره پروژه و طرح و ... در آن استفاده نمود. 

اسلاید 180: حاشيه و كادر نقشه 1ـ حاشيهدر كليـه نقشه ها بايـد قسمت هاي بيـن لبه هاي كاغذ نقشه و سطح اصلي نقشه به وسيله كادري محدود كننده مشخص باشد كه بهتر است اين حاشيه در نقشه هاي قطع A0 و A1 بيست ميليمتر و در نقشه هاي A2 و A3 و A4 برابر يا يك ميليمتر لحاظ شود. البته اين اندازه ها را در صورت لزوم مي توان به 10و 7 ميليمتر كاهش داد.2ـ حاشيه براي بايگانيبراي بايگاني نقشه در محل هاي مخصوص مي توان حاشيه اي براي سوراخ نمودن آن درنظر گرفت كه بهرحال نبايد كمتر از 20 ميلي متر، البته با احتساب حاشيه اصلي باشد و اين حاشيه در لبه سمت چپ نقشه پيش بيني مي گردد.3ـ كادر نقشهبراي محدود نمودن سطح اصلي نقشه از كادري با خطي به قطر 5/. ميلي متر استفاده مي شود كه البته مي توان آن را ضخيم تر نيز درنظر گرفت.

اسلاید 181: علائم وسط نقشهكاربـرد علائم وسط نقشـه در كار چاپ يا تهيـه ميكـرو فيلم از نقشه است كه بدين منظور از چهار علامت به ضخامت حداقل 5/0 ميلي متر در وسط و در دو انتهاي محورهاي متقارن نقشه استفاده مي گردد كه از لبه كاغذ شروع شده و پس از قطع كادر نقشه به اندازه 5/0 ميلي متر ادامه پيدا مي كند.در صورتيكه نقشه در ابعاد بزرگتر ترسيم شده باشد تعداد اين علائم بيشتر مي شود به طوريكه به اندازه كافي روي هم آمدگي داشته باشد. در هر صورت بايد شماره نقشه و شماره كادر در هر قسمت ديده شود.

اسلاید 182: علائم جهت نقشه از اين علائم كه منطبق بر خطوط وسط نقشه و به شكل پيكانهايي در روي خطوط كادر و در طول و عرض آن قرار دارند براي مشخص نمودن نحوه استقرار نقشه روي ميز نقشه كشي استفـاده مي شـود بـه شكلي كه همـواره جهت يكي از پيكانها به سمت نقشه كش است.

اسلاید 183: مقياس درجه بندي شده متريك در بسياري از نقشه ها از مقياس مدرج متريك به طول 100 ميلي متر كه خود به ده قسمت ده ميلي متري تقسيم شده استفاده مي شود. اين مقياس عموماً در حاشيه نقشه و چسبيده بـه كادر، به عرض 5 ميلي متر و با خطوطي به ضخامت 5/0 ميلي متر ترسيم مي گردد. 

اسلاید 184: شبكه بندي مرجع جهت سهولت تعييـن موقعيت جزئيـات، اضافات و اصلاحات و غيـره از يـك شبـكه بندي مرجع با بخش هايي زوج و متناسب با سادگي و پيچيدگي نقشه بهره برده مي شود. طول هر كدام از اين بخش ها بين 25 تا 75 ميلي متر است كه با خطوطي ممتد و با ضخامت در حدود 5/0 ميلي متر ترسيم مي گردند.در دو لبـه مـوازي مستطيل هاي تشكيـل دهنـده شبكه حروف و در دو لبه ديگر اعداد نام هاي اين شبكه را تشكيل مي دهند. اين حروف و اعداد با فاصله اي حدود 5 ميلي متر از لبه كاغـذ و در نزديكـي كادر نقشه نوشتـه مي شوند. ضمناً اگر تعداد حروف براي تقسيم بنـدي كافـي نباشـد از تكرار حروف به شكل دوتايي مثل BB-AA و ... استفاده مي شود. 

اسلاید 185: علائم برش نقشه از اين علائم كه به شكل يك مثلث متساوي الساقين قائم الزاويه هستند و در چهار گوشه نقشه قرار دارند در جهت سهولت برش استفاده مي شود. گاهي بجاي اين علامت از دو خط عمود بر هم به ضخامت 2 ميلي متر و طول 10 ميلي متر در لبه كاغذ بهره برده مي شود

اسلاید 186: بخش 5اصول هندسه ترسيمي و رسم تصاوير

اسلاید 187: شكل هر قطعه پيچيده و مفصل را مي توان به قطعات مجزايي با سطوح هندسي ساده تقسيم كرد و براي مشخص تر شدن هر يك از اين قطعات مجزا، خطوط لبه اي كار را مشخص نمود كه كافي است با داشتن خطوط لبه اي و تبديل آنها به خطوط مستقيم و مي توان نقاط ابتدايي و انتهايي هر خط را به دست آورد در نتيجه داشتن نقاط رأس، ابتدايي و انتهايي مي توان تمامي شكل هاي پيچيده را ساده و قابل درك نمود پس به صورت كلي مي توان گفت هر شكل از يك سري نقاط تشكيل شده كه با داشتن مشخصات اين نقاط و وصل كردن آنها به يكديگر شكل مورد نظر رسم مي گردد كه براي اين كار ما بايد بدانيم در فضا، هر نقطه داراي سه مشخصه است: 1ـ عرض از يك مبدأ مشخص، 2ـ طول (بعد) 3ـ ارتفاع، (x,y,z) .

اسلاید 188:

اسلاید 189: 1ـ تصوير نقطه فضايي بر روي يك صفحه تصويرنقطه دلخواه A و صفحه دلخواه H را درنظر مي گيريم تصوير اين نقطه بر روي صفحة فوق برابر است با محل برخورد عمودي از آن نقطه، بر صفحه مذكور كه اين اثر در روي صفحة فوق تصوير آن نقطه بر صفحه H است.

اسلاید 190: 2ـ تصوير نقطه فضايي بر روي دو صفحه عمود بر هم اگر دو صفحه V و H را طوري انتخاب كنيم كه اين دو صفحه بر يكديگر عمود باشند بنابراين فصل مشترك اين دو صفحه خطي است بنام ox كه اگر ما تصوير نقطه A را بر روي دو صفحه V و H بخواهيم بايد از آن نقطه دو عمود جداگانه بر روي اين دو صفحه رسم كنيم و آثار آن را بر روي دو صفحه پيدا كنيم كه در اين صورت اگر تصوير نقطه A را بر صفحه H با a نشان دهيم و تصوير همان نقطه را بر صفحه V با a′ نمايش داده شود و تصوير نقطه A را بر خط ox به نام ax بناميم در مي يابيم كه:الف ـ aax= Aa′ ب ـ a′ax= Aa

اسلاید 191: اگر اين صفحه را طوري انتخاب كنيم كه صفحات موازي افق باشد در نتيجه صفحه دوم عمود بر سطح افق قرار مي گيرد كه در اين صورت به صفحه H صفحه افق (Horizantal) و صفحه عمود بر افق را صفحه قائم به نام V (Vertical)مي نامند.تصوير بر صفحه افقي H را تصوير افقي يا بالاي نقطه و تصوير بر صفحه قائم را تصوير قائم يا روبرو مي نامند.

اسلاید 192: مطابق شكل (a)‌اگر صفحه اي كه از سه نقطه xoz تشكيل گرديده صفحه قائم و صفحه xoy را صفحه قائم نمايش دار كه اگر صفحه V را ثابت نگه داشته و صفحه افقي H را 90 درجه چرخانده به صورتي كه دو صفحه بر روي يكديگر قرار گيرند شكل (ط) در اين صورت دو تصوير افقي و قائم نقطه A براي اين دو صفحه a و a′ مشخص می گردد.

اسلاید 193: صفحات تصويردر شكل اگر بخواهيم تصوير نقطه b را مشخص كنيم مي بينيم كه مطابق شكل (b) نيز، اين نقطه داراي تصويري مانند نقطه A دارد به صورتي كه تصوير افقي نقطه b برابر نقطه تصوير افقي نقطه A و تصوير قائم نقطه B براي تصوير افقي نقطه B . در نتيجه مطابق شكل در مي يابيم b′bx= a′ax و همچنين bbx= aax در صورتي كه اين دو نقطه در فضا دو نقطه جدا هستند ولي در تصاوير قائم و افقي با هم منطبق هستند بنابراين براي از بين بردن اين نقص نياز به يك مؤلفه ديگر به جز تصوير افقي و قائم داريم به صورتي كه در تصوير دوم جاي اين دو نقطه و تفاوت قرارگيري اين دو نقطه در فضا مشخص مي شود.

اسلاید 194: مطابق شكل اگر صفحه سومي را طوري رسم كنيم كه دو صفحه افقي و قائم را قطع كند و بر روي اين صفحات عمود باشد و تصوير نقاط را بر روي اين صفحه مشخص كنيم به نام b و a در مي يابيم كه اين دو نقطه، دو نقطه جدا از يكديگر هستند. اين تصوير را تصوير نيمرخ و صفحه اي را كه نقطه بر روي آن قرار گرفته صفحه جانبي (L ) از نقطه مفروض مينامند.

اسلاید 195: .مطابق شكل اگر صفحات را طوري باز كنيم بصورتي كه صفحه جانبي در سمت راست صفحه قائم قرار گيرد، فصل مشترك دو صفحه فوق oz و oy و ox بوده كه دو به دو بر يكديگر عمود مي باشند. در تعيين تصاوير مختلف اين خطوط بصورت سه محور عمود بر هم كه جهت مثبتشان به ترتيب از مبدأ o به طرف z وy وx مي باشند.

اسلاید 196: 4ـ تصوير نقطه فضايي بر روي سه صفحه تصويرهمانگونه كه گفته شد براي مشخص شدن وضعيت يك نقطه در فضا از سه صفحه كه دو به دو بر يكديگر عمود هستند استفاده مي كنيم بنابراين براي مشخص شدن وضعيت نقطه A بر روي سه صفحه افقي، قائم و جانبي تصاوير اين نقطه را به روي اين صفحات پيــدا مي كنيم و آنهـا را با حـروف كوچـك بـه ترتيـب a و a′ و a نامگذاري مي كنيم.طول خطوط مصـور نقطـه A را مختصات اين نقطه ناميده و با XA و YA و ZA نمايش مي دهند.

اسلاید 197: الف ـ ZAعبارت است از طولي برابر a′ax فاصله بين نقطه A و صفحه افقي تصوير(H)ب ـ YA برابر است با طول aax يعني فاصله بين نقطه A و صفحه قائم تصوير(V)ج ـ XA برابر است با طول aay تعيين فاصله بين نقطه A و صفحه جانبي تصوير(L)

اسلاید 198: مثال : مختصات نقطه اي به ترتيب برابر است با 7= Aa=X و 8=Aa′=Y′ و 9=Aa = Z كه به ترتيب طول و عرض و ارتفاع نقطه را نشان مي دهد كه در اين صورت مي توان نقطه را به فرم 7= A a =X نشان داد لذا با داشتن اين 8= Aa′ = Y A 9=Aa′ = Z مختصات تصاوير نقطه را بروي صفحات تصوير رسم مي كنيم..

اسلاید 199: حل: با توجه به آنچه که گفته شده محل نقطه A مشخص مي‎گردد.

اسلاید 200: 5-تصوير نقطه فضايي بر روي صفحات مسطحاگر سه صفحه افقي (H )، قائم (V ) و جانبي (L ) را طوري نسبت به فصل مشترك خودشان بچرخانيم كه صفحه افقي (H) در زير و امتداد صفحه قائم V) ) پو صفحه جانبي (L) در سمت راست صفحه قائم V قرار گيرد. فصل مشترك سه صفحه را رسم كنيم به نامهاي ox و oy و oz و محل تلاقي آنها را (مبدأ مختصات) با حرف o مشخص مي گردد. بنابراين مطابق شكل در هر صفحه تصوير دو مؤلفه از نقطه وجود دارد يعني در صفحه تصوير قائم طول (X) و ارتفاع (Z) و در صفحه تصوير افقي طول(X) و عرض (Y) و در صفحه تصوير جانبي عرض (Y) و ارتفاع (Z) . 7مثال : تصاوير قائم، افقي و جانبي نقط 8 A را تعيين كنيد. 9

اسلاید 201: با توجه به شكل :الف ـ ابتـدا از نقطـه مبـدأ o هفت (7) واحـد در جهـت مثبـت مـحور ox جـدا نمـوده (Xa مشخص مي گردد) و از آن نقطه عمودي بر محور ox رسم مي كنيم.ب ـ از همان مبدأ هشت (8) واحد در جهت مثبت محور oy جدا نموده ( ya در دو صفحه افقي و جانبي) و از آن نقطه عمودي بر محور oy رسم مي كنيم.ج ـ از مبدأ مختصات o نه (9) واحد در جهت مثبت محور oz جدا مي كنيم ( za مشخص مي گردد) از آن نقطه عمودي بر محور oz رسم مي كنيم.

اسلاید 202: از محل تلاقي اين سه عمـود در صفحـات مختـلف محل قرارگيري نقطه A مشخص مي گردد.الف ـ متداد عمودها از xa و za يكديگر را در صفحة تصوير قائم در نقطه a′ قطع مي كند كه تصوير قائم نقطه A است.ب ـ امتداد عمودها از za و ya يكديگر را در صفحة تصوير جانبي نقطه a قطع مي كنند كه تصوير جانبي نقطه A است.ج ـ امتداد عمودها از ya و xa يكديگر را در صفحة تصوير افقي نقطه a قطع مي كند كه تصوير افقي نقطه A است.

اسلاید 203: تصاوير خط مستقيم1-تصوير يك خط بر روي دو يا سه صفحههر خط مستقيم مثل AB به وسيلة دو نقطه ابتدا و انتهاي آن تعيين مي گردد براي رسم تصوير AB بروي صفحات تصوير مي توان به دو طريق عمل نمود:الف-از دو نقطه A و B عمودهايي بر صفحات تصوير وارد نموده و پاي عمودها را به ترتيب در صفحـه افقـي b و a و در صفحـه قائـمb′ و a′ و در صفحه جانبــي b و a مي نامند. از وصل كردن تصاوير اين نقاط به يكديگر تصوير خط AB بر روي صفحات مشخص مي گردد.1ـ ab تصوير خط AB بر روي صفحه تصوير افقي2ـ a′b′ تصوير خط AB بر روي صفحه تصوير قائم3ـ ab تصوير خط AB بر روي صفحه تصوير جانبي

اسلاید 204: ب ـ بر روي خط AB نقاط B , E , D , C , A را نتخاب كرده از هر نقطه عمودي بر صفحات تصوير وارد مي كنيم تمام اين نقاط را مي توان به عنوان صفحه ي Q فرض كرد. فصل مشترك اين صفحه با صفحات تصوير عبارت از خطي است مستقيم، كه محل تلاقي خطوط عمود مذكور با صفحات تصوير همگي بر روي اين خط واقعند به اين جهت اين نقاط، تصاوير نقاط متعلق به خط AB مي باشند و طولهاي acdeb و a′c′d′e′b′ و acdeb تصاوير افقي، قائم و جانبي خط AB بر روي صفحات افقي، قائم وجانبي خواهد بود.

اسلاید 205: مثال: تصوير خط AB را بروي صفحات تصوير افقي و قائم مشخص كنيد (به طريق مشخص كردن تصوير نقاط ابتدايي و انتهايي) x2 x1 y1 B y2 A z1 z2

اسلاید 206: اگر خط مستقيم AB را بين دو صفحه افقي H و قائم V قرار داده و تصوير نقاط ابتدايي و انتهايي را بر روي صفحات تصوير مشخص كنيم بنابراين از نقطه A عمودي بر صفحات تصوير وارد مي كنيم و محل برخورد اين نقاط با صفحه افقي را a و با صفحه قائم a′ مي ناميم به همين صورت تصوير نقطه B را بر روي صفحات تصوير به نام b و b′ مي ناميم پاره خط ab تصوير خط AB بر روي صفحه تصوير افقي بوده و پاره خط a′b′ تصوير خط AB بر روي صفحه تصوير قائم مي باشد.

اسلاید 207: حال اگر صفحه افقي H را طوري حول فصل مشترك دو صفحه (ox ) بچرخانيم كه صفحه افقي در راستا و زير صفحه قائم قرار گيرد در اين صورت تصوير خط را روي سطح به دست مي آوريم.

اسلاید 208: اگر خط فضايي AB را بين سه صفحه تصوير قرار دهيم و سه صفحه كمكي α و β و γ را به طوري كه :الف ـ صفحه كمكي α را از خط AB عبور داده به صورتي كه بر صفحه افقي H عمود شود فصل مشترك اين دو صفحه خط ab خواهد بود كه تصوير افقي خط فضايي AB است.ب ـ صفحه كمكي β را بر خط AB عبور داده به صورتي كه بر صفحه قائم γ عمود شود فصل مشترك اين دو صفحه خط a′b′ خواهد بود كه تصوير قائم خط فضايي AB است.ج ـ صفحه كمكي γ را بر خط AB عبور داده به صورتي كه بر صفحه جانبي L عمود شود فصل مشترك اين دو صفحه خط ab خواهد بود كه تصوير جانبي خط فضايي AB است.

اسلاید 209: حال در صورتي كه اين صفحه را طوري كنار هم قرار دهيم كه صفحه افقي H در زير صفحه قائم و صفحه جانبي L در سمت راست صفحه ي قائم قرار گيرد تصوير خط AB در صفحه مسطح مطابق شكل خواهد بود.

اسلاید 210: 2 5مثال: مختصات دو نقطه ابتدايي و انتهايي خط AB به ترتيب 3 A 6 B مي باشد. 5 7سه تصوير خط AB را رسم نماييد.مراحل رسم به ترتيب عبارت است از :الف- دو واحد از نقطه o در امتداد محور ox جدا نموده و عمودي بر خط ox وارد مي كنيم تا نقطه xa بـه دست آيد و همين كار را براي به دست آوردن xb به اندازه 5 واحد انجام مي دهيم تا xb به دست آيد.

اسلاید 211: ب ـ 3 واحد از نقطه o در امتداد محور oy جدا نموده عمودهايي بر خط oy وارد مي كنيم تا نقطه ya در صفحات تصوير افقي و جانبي به دست آيد و همين كار را به اندازه تا 6 واحد انجام داده تا yb بدست آيد.ج ـ از محل تلاقي دو عمود ya و xa در صفحه تصوير افقي نقطهa و از محل تلاقي دو عمود yb و xb در آن صفحه نقطه b به دست آيد خط ab تصويرخط AB است بر صفحه تصوير افقي (H)

اسلاید 212: د ـ در محور Oz نيز 5 واحد از نقطهO جدا نموده و عمودي بر خط Oz وارد مي كنيم تا نقطه za در صفحات تصوير جانبي و قائم به دست آيد و همين كار را به اندازه 7 واحد براي به دست آوردن zb انجام مي دهيم.ه ـ از محل تلاقي دو عمود za و xa در صفحه تصوير قائم نقطهa′ و از محل تلاقي دو عمود za و ya در صفحه تصوير جانبي نقطه a به دست مي آيد همچنين از محل تلاقي دو عمود zb و za در صفحه تصوير قائم نقطه b′ و از محل تلاقي دو عمود zb و yb در صفحه تصوير جانبي نقطه b به دست مي آيد.

اسلاید 213: و ـ خط ab در صفحه تصويرافق تصوير خط AB در صفحه افقHز- خط a′b′ در صفحه تصوير قائم تصوير خط AB در صفحه قائم Vح ـ خط ab در صفحه تصوير جانبي تصوير خط AB در صفحه جانبی L

اسلاید 214: ارتباط بين تصاوير خطوط و وضع قرار گرفتن آنها در فضا با توجه به مطالب گفته شده در ارتباط با تصوير خطوط در مي يابيم:الف ـ تصاوير دو خط موازي در روي هريك از صفحات تصوير با هم موازي هستند.

اسلاید 215: ب ـ در صورتي كه دو خط متقاطع باشند تصاوير هم نام آنها هم متقاطع هستند و محل تلاقي تصاوير مشابه آنها مي بايست بر روي يك رابط عمود بر محور فصل مشترك باشند .

اسلاید 216: ج- اگر دو خط با هم نه موازي و نه متقاطع باشند يا به عبارتي متنافر، تصاوير آنها متقاطع است. محل تلاقي تصاوير مشابه آنها بر روي دو رابط مختلف عمود بر فصل مشترك قرار مي گيرند و رابطه آنها با فصل مشترك زاويه دارد.

اسلاید 217: انواع خطبا توجه به نحوه قرار گرفتن خط در فضا و صفحات تصوير مي توان انواع خط را به هفت گروه تقسيم كرد:1ـ خط افقيه2ـ خط جبهيه3ـ خط نيمرخ4ـ خط قائم5ـ خط منتصب6ـ خط مواجه7ـ خط نامشخص

اسلاید 218: 1ـ خط افقيهاين خط، خطي است موازي افق و در نتيجه موازي صفحه تصوير افقي (H)

اسلاید 219: از خصوصيات اين خط مي توان گفت :تصوير قائم اين خط موازي محور oxتصوير جانبي اين خط موازي محور oyو تصوير افقي اندازه واقعي خط را نشان مي دهد.

اسلاید 220: 2ـ خط جبهيهخطي است عمود بر افق و موازي صفحه تصوير قائم (V )

اسلاید 221: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف- تصوير افقي خط موازي محور oxب- تصوير جانبي خط موازي محور oz و عمود بر محور oyج- تصوير قائم خط اندازه طول واقعي را نشان مي دهد.

اسلاید 222: 3ـ خط نيمرخخطي است عمود بر افق و موازي صفحه تصوير جانبي (L)

اسلاید 223: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف- تصوير افقي آن عمود بر محور ox و موازي بر محور oyب- تصوير قائم آن عمود بر محور ox و موازي محور ozج- تصوير جانبي خط اندازه طول واقعي را نشان مي دهد.

اسلاید 224: 4-خط قائمخطي است عمود بر صفحه تصوير افقي

اسلاید 225: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف ـ تصوير افقي آن يك نقطه است.ب ـ تصوير قائم آن عمـود بر محـور ox و مـوازي محور oz و اندازه واقعي خط را نشان مي دهد.ج ـ تصوير جانبي آن عمود بر محور oy و موازي محـور oz و انـدازه واقعي خط را نشان مي دهد.

اسلاید 226: 5-خط منتصبخطي است موازي افق و عمود بر صفحه تصوير قائم (V )

اسلاید 227: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف ـ تصوير قائم آن يك نقطه است.ب ـ تصوير افقي آن عمود بر محـور ox و مـوازي محور oy و اندازه واقعي خط را نشان مي دهد.ج ـ تصوير جانبي آن عمود بر محور oz و مـوازي محـور oy و اندازه واقعي خط را نشان مي دهد.

اسلاید 228: 6ـ خط مواجهخطي است موازي افق و عمود بر صفحه تصوير جانبي (L )

اسلاید 229: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف- تصوير جانبي آن يك نقطه است.ب- تصوير افقي آن مـوازي محـور ox و عمود بر محور oy و اندازه واقعي خط را نشان مي دهد.ج- تصوير قائم آن مـوازي محـور ox و عمـود بر محـور oz و اندازه واقعي خط را نشان مي دهد.

اسلاید 230: 7ـ خط نامشخصاين خط موازي و يا عمود بر هيچكدام از صفحات تصوير نيست.از خصوصيات آن مي توان گفت: هيچكدام از تصاوير اندازه واقعي خط را نشان نمي دهند.

اسلاید 231: تعيين اندازه حقيقي انواع خطوطدر صورتي كه خطي به صورت نامشخص باشد و اندازه واقعي آن مشخص نباشد براي بدست آوردن اندازه واقعي آن دو روش وجود دارد:الف ـ تعيين اندازه حقيقي خطوط به روش دورانب ـ تعيين اندازه حقيقي خط نامشخص به روش تسطيح

اسلاید 232: الف ـ تعيين اندازه حقيقي خطوط به روش دورانخط AB در بين دو صفحه افقي H و قائم V قرار دارد كه موازي هيچكدام از صفحات نمي باشد. براي تعيين اندازه حقيقي خط AB به روش دوران مراحل زير را طي مي كنيم:الف- با ثابت نگه داشتن نقطه A مخروطي رسم مي كنيم به طول يال AB ، قاعده آن موازي صفحه تصوير افق ب ـ تصوير اين مخروط را بر روي دو صفحه تصوير مشخص مي كنيم.

اسلاید 233: تصاوير اين مخروط در صفحه تصوير افق به صورت دايره اي است به مركز a و شعاع ab و همچنين تصوير آن در صفحه قائم بصورت مثلثي′ c a′b′1 (a′b′ تصوير خط AB بر صفحه تصوير قائم)با دقت در اين دو تصوير در مي يابيم كه خط AB بدون تغيير در اندازه دوران پيدا كرده و بصورت AB1 و ياAC در مي آيد كه موازي صفحه قائم V مي باشد (خط جبهيه)، اگر تصاوير اين دو خط را در صفحه قائم a′c′ و a′b′1 بناميم اندازه طول آنها طول حقيقي خط AB مي باشند بر روي صفحه قائم V

اسلاید 234: همين روش را مي توان با ثابت نگه داشتن نقطةB و ساخت مخروط به طول AB و قاعده اي موازي با صفحه تصوير قائم انجام داد كه در اين صورت تصوير به دست آمده بر صفحة افقي اندازه واقعي پاره خط AB مي باشد.

اسلاید 235: ب ـ تعيين اندازه حقيقي خط نامشخص به روش تسطيحپاره خط AB و تصاوير آن بر صفحات افقي ab و قائم a′b′ مشخص مي باشد.

اسلاید 236: براي تعيين طول واقعي خط AB به روش زير عمل مي كنيم:الف ـ صفحه ي كمكي كه مـوازي خط AB باشـد و بر صفحه افقي عمود است را رسم مي كنيم.ب ـ تصوير خط AB را بر روي اين صفحه ي كمكي به نامهاي a1 و b1 مي ناميم.چون صفحه كمكي موازي خط AB بوده و عمود بر افق، بنابراين تصوير خط AB بر روي اين صفحه اندازه واقعي خط مي باشد و همچنين فصل مشترك اين صفحه و صفحه ي افقي موازي تصوير افقي خط AB است. بنابراين براي تعيين طول واقعي خط AB در صفحات مسطح به روش زير عمل مي كنيم:1- محل تلاقي خط aa′ با فصل مشترك دو صفحه را o و محل تلاقي خط bb′ با فصل مشترك دو صفحه o′ مي ناميم.2- از نقطه b و a عمودي بر خط ab وارد مي كنيم.

اسلاید 237: 3- بر روي اين عمودها به اندازه oa′ و o′b′ جدا نموده تا نقاط b″1 و a″1 به دست آيد.خط b″1 و a″1 اندازه واقعي پاره خط AB مي باشد.

اسلاید 238: همين صفحه كمكي را مي توان طوري انتخاب نمود كه علاوه بر موازي بودن با خط AB بر صفحه قائم عمود باشد كه در اين صورت اين صفحه با صفحه افقي موازي مي باشد و مراحل بالا را مي توان در صفحه قائم نيز انجام داد و اندازه واقعي خط AB را بر روي اين صفحه مشخص نمود.

اسلاید 239: مشخص كردن آثار محل برخورد خط d بر صفحات تصويرهمانطوريكه در شكل ديده مي شود با امتداد دادن خطD و برخورد آن با صفحات تصوير افقي و قائم نقاط T و K به دست مي آيد.

اسلاید 240: بنابراين اگر در صفحات تصوير دو خط d و d تصوير خط D بر صفحات تصوير باشد با امتداد دادن خطd ( تصوير خط D بر صفحه قائم تصوير) و محل برخورد آن با فصل مشترك دو صفحه (XY) نقطه ‘t به دست مي آيد اگر از ‘t عمودي رسم كنيم تا امتداد خط d (تصوبر خط D بر صفحه افقي تصوير) را در نقطه t قطع كند نقطه برخورد خط D با صفحه تصوير افقي به دست مي آيد اگر خط d را از سمت ديگر امتداد داده تا خط XY را در نقطه k قطع كند و از نقطه فوق عمودي بر خط xy رسم كنيم تا امتداد خط d را در ‘k قطع كند بدين صورت نقطه برخورد خط D با صفحه تصوير قائم به دست مي آيد.‘tt اثر افقي‘kk اثر قائم

اسلاید 241: مشخص كردن نقطه اي بر خط D كه ارتفاع و بعد آن با هم برابر باشد (e=h ) خط d و d تصوير خط D بر صفحات تصوير افقي و قائم مفروض است براي پيدا كردن نقطه اي بر روي آن كه ارتفاع و بعد آن با هم برابر باشد به روش زير عمل مي كنيم:ابتدا خط d تصوير قائم خط D را امتداد مي دهيم تا XY را در نقطه ‘t قطع كند. از نقطه ‘t خطي رسم مي كنيم كه زاويه آن خط با خط XY برابر زاويه خط d با خط xy باشد اين خط ‘خط d را در نقطه k قطع مي كند. تصوير اين بر روي خط d را به دست مي آوريم نقطه K نقطه اي است كه ارتفاع و بعد آن با هم برابر است.

اسلاید 242: مشخص كردن نقطه اي بر خط D كه مجموع ارتفاع و بعد آن برابر عدد ثابت K باشد (e+h=K ) خط d و d تصوير خط D بر صفحات تصوير افقي و قائم مفروض است براي پيدا كردن نقطه اي بر روي آن كه مجموع ارتفاع و بعد آن برابر عدد ثابتي باشد به طريق زير عمل مي كنيم:ابتدا خط d تصوير خط D را در صفحه تصوير قائم را امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه ‘t قطع كند.

اسلاید 243: از نقطه ‘t عمودي بر خط xy رسم مي كنيم به طول K از نقطه t موازي خط d رسم مي كنيم تا خط d را در نقطه m قطع كند. تصوير نقطه m را بر روي خط d به دست مي آوريم (m ) نقطه M نقطه اي است كه مجموع ارتفاع و بعد آن برابر عدد ثابت K است.

اسلاید 244: مشخص كردن نقطه اي بر خط D كه تفاضل بعد و ارتفاع آن نقطه برابر عدد ثابت K باشد.خط d و d تصوير خطD بر صفحات تصوير افقي و قائم مفروض است براي پيدا كردن نقطه اي بر روي آن كه تفاضل بعد و ارتفاع آن برابر عدد ثابت K باشد به روش زير عمل مي كنيم:ابتدا خط d تصوير خط D را در صفحه تصوير قائم امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه ‘t قطع كند.

اسلاید 245: از نقطه ‘t خطي رسم مي كنيم كه زاويه آن با خط xy برابر زاويه خط d با خط xy باشد ( خط L) از نقطه ‘t عمودي بر خط xy رسم مي كنيم به اندازه K از نقطهt موازي خط L رسم مي كنيم تا خط d را در نقطه m قطع كند.نقطه mنقطه اي بر خط Dاست كه تفاضل بعد و ارتفاع آن نقطه برابر عدد ثابت K باشد.

اسلاید 246: مشخص كردن نقطه بر خط D كه نسبت بعـد با ارتفـاع آن برابر عدد ثابت K باشد (e/h=K ) خط d و d تصوير خط D بر صفحات تصوير افقي و قائم مفروض است براي پيدا كردن نقطه اي بر روي D كه نسبت بعد و ارتفاع آن برابر عدد ثابت K باشد به طريق زير عمل مي كنيم:1ـ ابتدا خط d تصوير خط D را در صفحه تصوير قائم امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه ‘t قطع كند.

اسلاید 247: 2ـ در صفحه قائم تصوير خط موازي محور xy به ارتفاع يك واحد رسم مي كنيم تا خط d را در نقطه n قطع كند.3ـ از n عمودي برخط xy رسم نموده و به اندازه عدد ثابت K امتداد مي دهيم (n)4ـ از نقطه ‘t به نقطه n وصل نموده و امتداد مي دهيم تا خط d را در نقطه m قطع كند.5ـ تصوير نقطه m را بر روي خط d به دست مي آوريم (m)نقطه M نقطه اي است كه نسبت بعد به ارتفاع آن برابر K است.

اسلاید 248: رسم تصاوير صفحه روي صفحات تصويررسم تصاوير صفحاتي كه به خطوط مستقيم محدود باشند با تصوير كردن خطوط مشخص مي گردد، يعني پس از تصوير كردن نقاط رأس با وصل كردن اين نقاط و كشيدن خط مي توان شكل فوق را رسم كرد.مثال: اگر صفحه مربع ABCD را در نظر بگيريم تصاوير اين نقاط را بر روي صفحات تصوير مشخص نماييد.

اسلاید 249: براي تعيين اين صفحات ابتدا تصوير نقاط رأس را بر روي صفحات مشخص نموده و به ترتيب نامگذاري مي نماييم تصوير نقاط بر روي صفحه افقي (H ) به نام a,b,c,d و بر روي صفحه قائم (V ) a′,b′,c′,d′ و بر روي جانبي (L ) a″,b″,c″,d″ مي ناميم از وصل كردن نقاط به يكديگر مي توان تصوير مربعABCD را بروي صفحات به دست آورد. abcd تصوير مربع ABCD بر روي صفحه افقي a′b′c′d′ تصوير مربع ABCD بر روي صفحه قائم a″b″c″d″ تصوير مربع ABCD بر روي صفحه جانبي است.

اسلاید 250: انواع صفحاتصفحات را نيز مي توان مانند خطوط به 7 نوع تقسيم كرد:1ـ صفحه افقيه2ـ صفحه جبهيه3ـ صفحه نيمرخ4ـ صفحه قائم5ـ صفحه منتصب6ـ صفحه مواجه7ـ صفحه نامشخص

اسلاید 251: صفحه افقيهاين صفحه موازي صفحه افقي تصوير مي باشد.

اسلاید 252: از خصوصيات اين صفحه مي توان گفت:الف-ارتفاع تمام نقاط صفحه مساوي يكديگرند.ب-تصوير قائم و جانبي اين صفحه يك خط مستقيم مي باشد.ج-جهت تصاوير قائم و جانبي عمود بر محور ارتفاعات است.د-تصوير افقي آن اندازه حقيقي صفحه را نشان مي دهد.

اسلاید 253: 2-صفحه جبهيه اين صفحه موازي صفحه قائم تصوير مي باشد.

اسلاید 254: از خصوصيات اين صفحه مي توان گفت: الف- عرض تمام نقاط صفحه با يكديگر مساوي است.ب- تصوير جانبي و افقي اين صفحه يك خط مستقيم است.ج- جهت تصاوير افقي و جانبي عمود بر محور عرضها است.د- تصوير قائم آن اندازه حقيقي صفحه را نشان مي دهد.

اسلاید 255: 3- صفحه نيمرخ صفحه اي است موازي صفحه جانبي (L ) تصوير مي باشد.

اسلاید 256: از خصوصيات اين صفحه مي توان گفت:الف- طولهاي تمام نقاط صفحه با يكديگر مساوي است.ب- تصوير افقي و قائم اين صفحه يك خط مستقيم است.ج- جهت تصوير افقي و قائم عمود بر محور طولها است.د- تصوير قائم آن اندازه حقيقي صفحه را نشان مي دهد.

اسلاید 257: 4- صفحه قائم صفحه اي است عمود بر صفحه تصوير افقي (H )

اسلاید 258: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف- تصوير افقي و قائم اين صفحه سطوحي هستند كه اندازه واقعي را نشان نمي دهند.ب- تمام نقاط در تصوير جانبي اين صفحه روي يك خط قرار مي گيرند.ج- صفحات افقيه و جبهيه حالات خاصي از اين نوع صفحه مي باشند.

اسلاید 259: 5- صفحه منتصبصفحه اي است عمود بر صفحه تصوير قائم (V )

اسلاید 260: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف- تصوير جانبي و افقي اين صفحه سطوحي هستند كه اندازه واقعي را نشان نمي دهد.ب- تمام نقاط اين صفحه در تصوير قائم بر روي يك خط قرار دارد.ج- صفحات افقيه و نيمرخ حالت خاصي از صفحه منتصب مي باشند.

اسلاید 261: 6- صفحه مواجهصفحه اي است عمود بر صفحه تصوير جانبي

اسلاید 262: از خصوصيات آن مي توان گفت:الف- تصوير افقي و قائم اين صفحه سطوحي هستند كه اندازه واقعي را نشان نمي دهند.ب- تمام نقاط در تصوير جانبي اين صفحه روي يك خط قرار مي گيرند.ج- صفحات افقيه و جبهيه حالات خاصي از اين نوع صفحه مي باشند.

اسلاید 263: 7- صفحه نامشخصصفحه اي است كه با هيچكدام از صفحات تصوير موازي و يا عمود نباشد.از خصوصيات آن مي توان گفت:الف- در كليه تصاوير قائم، افقي و جانبي اندازه سطوح حقيقي را نشان نمي دهد.

اسلاید 264: حالات مختلف خط و صفحهبين يك خط و يك صفحه سه حالت ممكن است بوجود آيد:الف- خط در داخل صفحه قرار دارد.

اسلاید 265: ب- خط موازي صفحه باشد كه در اين خط و صفحه هيچگونه تقاطعي ندارد.

اسلاید 266: ج- خط صفحه را قطع كند كه در اين صورت خط و صفحه يك نقطه تقاطع دارند.براي اثبات موازي بودن خط و صفحه كافي است كه خط موازي با يكي از خطوط صفحه باشد و بالعكس اگر خطي با يك خط در صفحه اي موازي باشد با آن صفحه موازي است بنابراين اگر لازم باشد كه از نقطه معلوم A خطي موازي با صفحه P كشيده شود، ابتدا بايد خطي در اين صفحه رسم نمود و سپس از نقطه A خط مفروض را به موازات اين خط اختياري رسم كنيم كه در اين صورت تصاوير مشابه خطوط موازي بايد با هم موازي باشند.

اسلاید 267: تعيين نقطه برخورد خط و صفحهبراي تعيين نقطه برخورد خط و صفحه مطابق با شكل ابتدا صفحه كمكي قائمي درنظر مي گيريم كه خط مفروض يكي از آن خطوط صفحه كمكي باشد و چون صفحه اختياري قائم است پس تصوير افقي آن خط است و چون خط مفروض يكي از خطوط آن صفحه است پس بر روي هم منطبق مي باشد فصل مشترك صفحه كمكي قائم و صفحه مفروض را پيدا نموده و تقاطع اين خط با صفحه مفروض را پيدا نموده

اسلاید 268: و همين نقاط را در صفحه قائم مشخص مي كنيم كه اين نقاط فصل مشترك صفحه كمكي با صفحه مفروض در صفحه قائم تصوير مي باشد حال با پيدا كردن محل تقاطع تصوير قائم صفحه كمكي اوليه با خط فصل مشترك جديد نقطه برخورد خط و صفحه مشخص مي گردد و اگر محل اين نقطه را در صفحه افقي پيدا كنيم محل تقاطع خط و صفحه در صفحه افق مشخص مي گردد.

اسلاید 269: مثال: صفحه كمكي ABC و خط EF با يكديگر تقاطع دارند محل برخورد اين دو را در دو صفحه افقي و قائم تصوير مشخص نمايد.ابتدا براي صفحه كمكي قائم α را طوري انتخاب مي كنيم كه خط EF يكي از خطوط آن صفحه باشد و در نتيجه چون صفحه كمكي قائم است پس تصوير آن و تصوير افقي خط EF به نام ef بر يكديگر منطبق است در صفحه افقي تصوير فصل مشترك صفحه كمكي α با صفحه ABC خط mn مي ناميم كه در امتداد خط ef مي باشد و نقطه m روي خط ac و نقطه n روي خط cb قرار دارد با مشخص شدن تين نقاط در صفحه قائم تصوير نقاط n′ و m′بدست مي آيد از تقاطع خط m′n′ و e′f′ در صفحه قائم تصوير نقطه o′ بدست مي آيد كه اين نقطه در صفحه تصوير افقي و نقطه تقاطع خط و صفحه است حال بايد ديد اين خط در كدام جهت نقطه o مرئي و در كدام جهت مخفي مي باشد

اسلاید 270: براي اينكار نقطه s′ از خط a′b′ و نقطه r′ از خط مفروض را طوري درنظر مي گيريم كه اين دو نقطه بر روي يكديگر منطبق گردند و محل اين دو نقطه را در صفحه تصوير افقي پيدا مي كنيم به نامهاي r و s و چنانچه در شكل ديده مي شود نقطه s روي خط ab مربوط به صفحه abc داراي عرض كمتري نسبت به نقطه r بر روي خط است يعني در تصوير قائم قسمتي از خط كه نقطه r′ بر روي آن قرار دارد تا نقطه برخورد o′ مرئي و از نقطه o′ بقيه خط صفحه قرار دارد كه به صورت خط چين مشخص مي گردد و به همين ترتيب خط مخفي و مرئي را در صفحه تصوير افقي مشخص مي كنيم به اين صـورت كه دو نقطـه p از خط ac و نقطـه را از خط مفـروض طـوري درنظـر مي گيريم كه بر يكديگر در صفحه تصوير افق منطبق باشد و محل اين نقاط را در صفحه تصوير قائم به نامهاي p′ و t′ به دست مي آوريم چنانچه در شكل ديده مي شود ارتفاع نقطه p′ از نقطه t′ بيشتر است در نتيجه نقطه t زير نقطه p در صفحه تصوير افقي قرار مي گيرد و چـون نقطـه t مربـوط بـه خط مفـروض بوده و نقطه p مربوط به صفحه مي باشد بقيه خط از نقطه t تا محل برخورد خط و صفحه abc نامرئي و مابقي از نقطه o مرئي مي باشد.

اسلاید 271: تعيين فصل مشترك دو صفحه همانطور كه مي دانيم فصل مشترك دو صفحه خطي است مستقيم و با داشتن دو نقطه از اين خط مي توان اين فصل مشترك را تعيين كرد براي اين كار سه روش وجود دارد:الف- تعيين فصل مشترك دو صفحه مشخص ب- تعيين فصل مشترك دو صفحه نامشخص.

اسلاید 272: الف: تعيين فصل مشترك دو صفحه مشخصدر اين صفحات با توجه به خصوصيات هر يك از آنها مي توان فصل مشترك را از روي محل برخورد تصاوير اين صفحات بدست آورد برخي از نمونه هاي آن در زير رسم شده است

اسلاید 273:

اسلاید 274: ب- تعيين فصل مشترك دو صفحه نامشخصيكي از روشهاي تعيين فصل مشترك دو صفحه نامشخص استفاده از برخورد خط استفاده است بدين صورت كه ابتدا يك ضلع از يكي صفحات را بصورت خط فرض نموده و تقاطع اين خط و صفحه دوم را پيدا مي كنيم . محل تقاطع مشخص شده يكي از نقاط خط فصل مشترك است براي پيدا كردن نقطه دوم نيز از يكي ديگر از اضلاع استفاده مي كنيم و محل تقاطع اين خط و صفحه دوم را بدست مي آوريم بدين صورت دو نقطه فصل مشترك پيدا شده از وصل كردن و امتداد دادن اين نقاط خط فصل مشترك بدست مي آيد.

اسلاید 275: مثال: دو صفحه DEF و ABC دو صفحه مفروض مي باشد كه با يكديگر تقاطع دارند براي پيدا كردن فصل مشترك اين دو صفحه به صورت زير عمل مي كنيم:ابتدا خط DE از صفحه DEF را درنظر گرفته و محل تقاطع اين خط با صفحه ABC را مشخص به نام M سپس خط EF را به عنوان خط درنظر گرفته و تقاطع اين خط با صفحه ABC را به دست آورده به نام N حال: با وصل كردن دو نقطه N و M به يكديگر خط فصل مشترك مشخص مي شود بنابراين خط mn در صفحه تصوير افقي و m′n′ در صفحه تصوير قائم تصوير فصل مشترك دو صفحه است در صفحات تصوير و پس از مشخص شدن فصل مشترك نقاط مرئي و مخفي خط را مطابق با آنچه گفته شد تعيين مي كنيم.

اسلاید 276:

اسلاید 277: تسطيح يك نقطه واقع بر روي صفحه اي مشخص صفحه PαQ و نقطه aa با واقع برآن مشخص مي باشد براي تسطيح نقطه مذكور به روش زير عمل مي كنيم:1ـ از نقطه a افقيه اي رسم مي كنيم تا αQ  را در نقطه t قطع كند. 2ـ از t عمود بر xy وارد مي كنيم تا نقطه t به دست آيد. 3ـ از نقطه O به شعاعot قوسي مي زنيم. 4ـ از نقطه t عمود بر OP رسم كرده و امتداد مي دهيم تا قوس مذكور را در نقطه T قطع كند. 5ـ از نقطه a عمودي بر خط OP رسم نموده و امتداد مي دهيم. 6ـ از نقطه T موازي OP رسم مي كنيم تا عمود فوق را در نقطه A قطع كند. نقطه A تسطيح شده نقطه aa است.

اسلاید 278:

اسلاید 279: تسطيح يك خط واقع بر روي صفحه اي مشخصبا دانستن اين نكته كه خط از بينهايت نقطه تشكيل شده با داشتن نقاط اين خط ( ابتدايي و انتهايي كافي است) و تسطيح هر كدام به روش قبل مي توان تسطيح شده نقاط را به دست آورد و سپس آن خط را رسم كرد.بدين ترتيب به روش زير عمل مي كنيم:

اسلاید 280: خط AB مفروض است و نقاط ابتدايي و انتهايي آن را تك تك تسطيح مي كنيم.1ـ از نقاط b و a افقيه اي رسم كنيم تا خطOQ را در نقاطs و t قطع كند. 2ـ از نقاط s و t عمودي بر خط xy رسم مي كنيم تا نقاط t و s به دست آيد. 3ـ از نقاط t و s عمود بر خط OP رسم مي كنيم و امتداد مي دهيم. 4ـ به مركز O و شعاعos و ot دو قوس مي زنيم از امتدادهاي فوق را در نقاط T و S قطع كند. 5ـ از دو نقطه T و S موازي خط OP رسم مي كنيم. 6ـ از دو نقطه b و a دو عمود بر خط OP رسم مي كنيم تا خطوط مذكور را در نقاط B و A قطع كند با وصل كردن دو نقطه B و A به يكديگر پاره خط AB به دست مي آيد كه اندازه واقعي مي باشد.

اسلاید 281:

اسلاید 282: ترفيع صفحهعكس عمل تسطيح را ترفيع گويند بدين معني كه در بعضي حالت ما اندازه وضعيت دقيق نقاط را روي سطح افق به دست مي آوريم و يا عمل ترفيع نقطه فوق را به صفحات تصوير افقي و قائم انتقال مي دهيم.براي ترفيع نقطه A به طريق زير عمل مي كنيم:

اسلاید 283: 1ـ از نقطه A موازي ضلع OP رسم مي كنيم تا خط OQ را درنقطه T قطع كند. 2ـ از نقطه O و شعاع OT قوسي مي زنيم تا خط OQ را در نقطه t قطع كند. 3ـ از نقطه t افقيه اي رسم مي كنيم. 4ـ از نقطه T بر خط OP عمود رسم مي كنيم و امتداد مي دهيم تا خط xy را درنقطه T قطع كند. 5ـ از نقطه T موازي OP رسم مي كنيم تا عمودي كه از نقطه A بر خط OP رسم مي شود را در نقطه a قطع كند. 6ـ از a بر خط xy عمود رسم مي كنيم و امتداد مي دهيم تا خط افقيه را در نقطه a قطع كند نقطه aa ترفيع نقطه A است بر صفحات تصوير افقي و قائم

اسلاید 284:

اسلاید 285: تسطيح مثلث ABC واقع در صفحه قائممثلث ABC با مشخصات زير واقع در صفحه قائم PαQ است مطلوب است تسطيح مثلث مورد نظر و به دست آوردن مساحت واقعي آن(3و2) aa (4و4) bb(5و1) cc ابتدا محل قرارگيري نقاط رأس مثلث را در صفحه PαQ پيدا مي كنيم

اسلاید 286: افقيه اي با توجه به مختصات رأس A به بعد 2 و ارتفاع 3 رسم مي كنيم افقيه فوق خط αP را در نقطه a قطع مي كند از نقطه a عمودي بر خط xy رسم مي كنيم و امتداد مي دهيم تا افقيه به ارتفاع 3 را در نقطه a قطع كند aوa محل قرارگيري نقطه A در صفحه تصوير افقي و قائم است به همين ترتيب محل قرارگيري نقاط B و C را در اين صفحات به نامهاي b و b و c و c مشخص مي كنيم.2) از نقاط c و b و a بر خطαP  عمودي رسم مي كنيم و بر روي آنها عمودها به اندازه ارتفاع هاي نقاط C و B و A جدا مي كنيم تا نقاط C و B و A به دست آيد با وصل كردن اين نقاط به يكديگر مثلث ABC به دست مي آيد كه با داشتن اندازه دقيق اضلاع مساحت آن مثلث مشخص مي شود.

اسلاید 287:

اسلاید 288: تسطيح مثلث ABC در صفحه منتصبمثلث ABC با مشخصات زير در صفحه منتصب PαQ واقع است مطلوب است رسم تصاوير قائم و افقي مثلث و اندازه واقعي اضلاع و بدست آوردن مساحت واقعي آن(1و3) aa (2و4) bb(3و1) cc

اسلاید 289: ابتدا محل قرارگيري نقاط رأس مثلث را در صفحه PαQ پيدا مي كنيم.1) افقيه اي با توجه به مختصات رأس A به بعد 3 و ارتفاع 1 رسم مي كنيم افقيه فوق خط αQ را در نقطه a قطع مي كند از نقطه a عمودي بر خط xy رسم مي كنيم و امتداد مي دهيم تا افقيه به بعد 1 را در نقطه a قطع كند a و a محل قرارگيري نقطه A در صفحه تصوير افقي و قائم است به همين ترتيب محل قرارگيري نقاط B و C را در اين صفحات به نام هاي b و b و c و c مشخص مي كنيم.2) به مركز O و شعاع c و b و a قوس هايي را مي زنيم تا خط xy را قطع كند از اين تقاطع ها عمودهايي را بر خط xy رسم مي كنيم تا افقيه هايي را كه از رئوس c و b و a رسم مي كند قطع كند بدين ترتيب نقاط C و B و A به دست مي آيد اين نقاط را به هم وصل مي كنيم مثلث ABC به صورت اندازه واقعي رسم مي گردد. كه با داشتن طول ضلع واقعي اضلاع مساحت آن به دست مي آيد.

اسلاید 290:

اسلاید 291: تسطيح مثلث ABC در صفحه نيمرخ مثلث ABC با مشخصات زير و در صفحه نيمرخ PαQ واقع است مطلوب است رسم تصاوير قائم واقعي مثلث و اندازه واقعي مساحت آن(1و3) aa (2و4) bb(3و1) ccابتدا محل قرارگيري نقاط رأس مثلث را در صفحه نيمرخ PαQ پيدا مي كنيم.

اسلاید 292: 1) افقيه اي با توجه به مختصات رأس A به بعد 1 و ارتفاع 5 رسم مي كنيم افقيه فوق خط PQ را در نقطه a و a قطع مي كند به همين ترتيب نقاط b و b و c و c را به دست مي آوريم نقاط c و b و a و c و b و a تصاوير رئوس مثلث است در صفحات تصوير افقي و قائم 2) به مركز o و شعاع oc و ob و oa قوسي مي زنيم تا خط xy را قطع كند از اين نقاط عمودهايي را رسم مي كنيم تا افقيه هايي كه از نقاط c و b و a رسم مي شود را در نقاط C و B و A قطع كند اين نقاط رئوس مثلث ABC در اندازه واقعي مي باشند كه با داشتن طول واقعي اين اضلاع مساحت مثلث به دست مي آيد.

اسلاید 293:

اسلاید 294: انواع نمايش صفحه نمايش صفحه به چهار صورت امكان پذير است:الف- سه نقطه كه در يك استقامت نباشند.ب- دو خط متقاطعج- يك خط و يك نقطه در خارج از آنپ- دو خط موازي

اسلاید 295: الف: نمايش صفحه توسط سه نقطه كه در يك استقامت نباشند.سه نقطه C و B و A با مختصات زير مفروض است مطلوب است نمايش صفحه اي كه از اين سه نقطه تشكيل شده است. (5و1و6) A (4و2و5)B (1و5/1 و 8) c

اسلاید 296: حل:ابتدا محل قرارگيري سه نقطه را در صفحات تصوير مشخص مي كنيم.1) نقطه A با عرض از مبدأ 6 و بعد 1 و ارتفاع 5 را رسم مي كنيم. 2) نقطه B با عرض از مبدأ 5 و بعد 2 و ارتفاع 4 را رسم مي كنيم. 3) نقطه C با عرض از مبدأ 8 و بعد 5/1 و ارتفاع 1 را رسم مي كنيم. 4) خط ab را امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه kقطع كند. 5) خط baرا امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه t قطع كند. 6) از نقاط k و t دو عمود بر خط xy رسم مي كنيم تا امتداد خط ab و ba را در نقاط k و t قطع كند. 7) حال همين كار را براي خط ac انجام مي دهيم تا دو نقطه s و s و m و m به دست آيد. 8) با وصل كردن دو نقطه s و k و امتداد آن تا خط xy نقطه o به دست مي آيد. 9) از α به m وصل نموده امتداد مي دهيم (حتماً از نقطه t عبور مي كند)

اسلاید 297: بدين ترتيب صفحه PαQ رسم مي شود.

اسلاید 298: ب: نمايش صفحه توسط دو خط موازي دو خط مواجه D و L مفروض است مطلوب است نمايش صفحه اي كه از اين دو خط تشكيل شده است

اسلاید 299: حل:1) يك صفحه نيمرخ از اين دو خط مي گذرانيم اين صفحه تصا وير دو خط Lو D(dd و ll)را در نقاط mm و nn قطع مي كند2) دو نقطه n و m را تسطيح كرده تا دو نقطه M و Nبه دست آيد. 3) از امتداد خط N و M تا خط XY نقطه o به دست مي آيد. 4) قرينه خط αP را نسبت به خط xy رسم مي كنيم αQ به دست مي آيد. 5) بدين ترتيب صفحه PαQ رسم مي شود.

اسلاید 300:

اسلاید 301: ج: نمايش صفحه توسط دو خط متقاطعدر اين حالت نقطه تقاطع و دو نقطه دلخواه از دو خط را انتخاب نموده و همانند سه نقطه واقع در يك استقامت صفحه را رسم مي كنيم.د: نمايش صفحه توسط يك خط و يك نقطه در خارج آندر اين حالت نقطه مفروض و دو نقطه از خط را به عنوان نقطه در نظر گرفته و صفحه را رسم مي كنيم.

اسلاید 302: رسم صفحه اي موازي صفحه مفروض از نقطه اي در خارج آننقطه A و صفحه PαQ مفروض است.1) ابتدا تصاوير اين دو را بر روي صفحات تصوير به دست مي آوريم. 2) از نقطه a خطي موازي αP رسم مي كنيم تا خط xy را در نقطه t قطع كند. 3) از نقطه t عمودي رسم مي كنيم تا افقيه اي كه از نقطه a رسم مي شود را در نقطه t قطع كند. 4) از نقطه t خطي موازي αQ رسم مي كنيم تا نقطه B به دست آيد. 5) از نقطه B خطي موازي αP رسم مي كنيم تا BR به دست آيد. بدين ترتيب صفحه RBS موازي صفحه PαQ رسم مي شود.

اسلاید 303:

اسلاید 304: تعيين فصل مشترك خط و صفحهبراي پيدا كردن فصل مشترك خط و صفحه از اثر افقي خط يك صفحه قائم مي گذرانيم براي اين كار به ترتيب زير عمل مي كنيم:در تصوير افقي خط d را امتداد مي دهيم خط xy را در نقطه n قطع كند از اين نقطه در صفحه تصوير قائم عمودي بر خط xy وارد كرده تا خط αQ  را در نقطه n قطع نمايد. از محل تقاطع خط d و خط ) αP نقطه ( tعمودي بر خط xy وارد مي كنيم از محل تقاطع (نقطه (t به نقطه n وصل مي نماييم. محل برخورد اين خط با خط) dنقطه( m نقطه برخورد خط و صفحه در صفحه قائم تصوير است.

اسلاید 305: محل برخورد اين خط با خط) dنقطه( m نقطه برخورد خط و صفحه در صفحه قائم تصوير است.3) محل اين نقطه را در روي خط d مشخص مي كنيم (نقطه m ) نقطه mm تصوير نقطه برخورد خط D و صفحه PαQ در صفحات تصوير افقي و قائم است.

اسلاید 306:

اسلاید 307: تعيين فاصله نقطه از صفحه صفحه PαQ و نقطه A در قاصله اي از آن صفحه مفروض است مطلوب است تعيين فاصله نقطه از صفحه براي پيدا كردن فاصله از نقطه A عمودي بر صفحه رسم مي كنيم و فصل مشترك خط و صفحه را به دست مي آوريم. 1) از نقاط a و a بر دو خط αP وαQ عمودرسم مي كنيم و پاي عمود را tوsمي ناميم.2)از نقطه t بر خط xy عمود رسم نموده تا نقطه t به دست آيد.

اسلاید 308: 3)خط at را امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه n قطع كند از اين نقطه عمودي بر خط xy وارد مي كنيم تاαQ را در نقطه n قطع كند.4) از نقطه n به نقطه t وصل نموده تا خط as را در نقطه m قطع كند اين نقطه محل برخورد خط با عمود بر صفحه با صفحه PαQ است.5) محل نقطه m را در صفحه تصوير افقي به دست مي آوريم(نقطه m)6) حال به روش تسطيح اندازه واقعي خط maرا به دست مي آوريم.

اسلاید 309: بدين ترتيب اندازه واقعي فاصله نقطه از صفحه به دست مي آيد

اسلاید 310: تعيين فاصله دو صفحه موازي دو صفحه PαQ و RBS در فاصله اي از يكديگر قرار دارند مطلوب است تعيين فاصله دو صفحه براي پيدا كردن به ترتيب زير عمل مي كنيم:1) از نقطه B دو عمود بر خط αP وαQ رسم مي كنيم و پاي عمود به نام هاي t و n مي ناميم.2) از خط Bt صفحه اي قائم رسم مي كنيم تا نقاط k و t 3) محل برخورد tk با خط Bn (نقطه m)محل برخورد عمودي است كه از نقطه B بر صفحه PαQ است.4) با تسطيح خط mB فاصله دو صفحه مشخص مي گردد.

اسلاید 311:

اسلاید 312: رسم صفحه اي به موازات صفحه ديگر به فاصله (L) صفحه PαQ مفروض است مطلوب است رسم صفحه اي به فاصله L و موازي صفحه مفروض.براي رسم صفحه به ترتيب زير عمل مي كنيم:1) از نقطه α عمودي بر تصاوير صفحه در دو صفحه تصوير رسم مي كنيم.2) از نقطه دلخواه k بر روي صفحه تصوير قائم و در امتداد عمود رسم شده انتخاب مي كنيم و تصوير آن را بر روي صفحه تصوير افق مشخص مي كنيم (نقطه k) 3) اندازه واقعي αk را به روش تسطيح مشخص مي كنيم (خط αK)4) در امتداد خط αK نقطه L را به اندازه طول L جدا مي كنيم.

اسلاید 313: 5) از طريق ترفيع ( عكس تسطيح) محل نقطه L را در دو صفحه تصوير افقي و قائم مشخص مي كنيم.6) حال با داشتن نقطه L صفحه اي رسم مي كنيم كه اين نقطه در داخل آن صفحه قـرار گيـرد بـراي ايـن كار امتداد خط l تا خط xy را مشخص مي كنيم تا نقطه t به دست آيد از نقطه t عمودي بر خط xy رسم نموده تا افقيه اي كه از نقطهl رسم مي شود را قطع كند (نقطهt)از نقطه t موازي α Q رسم نموده تا خط xy را درنقطه B قطع كند و از نقطه B موازي αP رسم مي كنيم.

اسلاید 314: صفحه RBS صفحه مورد نظر است.

اسلاید 315: تعيين صفحه عمود منصف پاره خطخط D با آثار d و d در صفحات تصوير مفروض است براي تعيين صفحه عمودمنصف پاره خط D به ترتيب زير عمل مي كنيم:1) وسط پاره خط d را به دست مي آوريم (نقطهm) 2) از نقطه d عمودي رسم مي كنيم تا خط d را درنقطه m قطع كند.3) از نقطه m عمود بر خط d رسم نموده تا خط xy را در نقطه t قطع كند.4) از نقطه t عمود بر خط XY رسم نموده تا افقيه اي كه از نقطه m رسم مي شود را در نقطهt قطع كند. 5) از نقطه t عمود بر خط d رسم نموده و در جهت مخالف امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه α قطع كند. 6) از نقطه α بر خط d عمود رسم مي كنيم و امتداد مي دهيم.

اسلاید 316: بدين صورت صفحه PαQ صفحه عمودمنصف پاره خط D رسم مي شود

اسلاید 317: تعيين صفحه اي از نقطه اي خارج خط عمود بر آن خط D و نقطه A خارج آن مفروض است مطلوب است تعيين صفحه اي عمود برآن خط كه از نقطه A مي گذرد.براي تعيين صفحه مذكور به ترتيب زير عمل مي كنيم:1) از نقطه a عمود بر خط d رسم نمود و امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه t قطع كند.2) از نقطه tعمود بر خط xy رسم نموده تا افقيه اي كه از نقطهa رسم مي شود در نقطه t قطع كند.3) از نقطهt  عمود بر خط d رسم نموده و امتداد مي دهيم تا خط xy را در نقطه α قطع كند.4) از نقطه α عمود بر خط d رسم مي كنيم و امتداد مي دهيم.

اسلاید 318: صفحه PαQ  صفحه مورد نظر است.

اسلاید 319: تمرين 1: صفحه منتصب َPαQ ( α مركز كاغذ) و زاويه °60= yαQ′ را رسم كنيد مربع ABCD در اين صفحه واقع است بطوريكه مختصات مركز آن (5 و 5) oo′ و قطر دايره محيطي مربع 4=D مي باشد(راس A درنزدیکترین فاصله به خط XY قرار دارد)اين مربع قاعده مكعب ABCDEFGH مي باشد رأس e در صفحه افق واقع است ملخص مكعب را رسم كنيد و خطوط مرئي و مخفي آن را مشخص نماييد.حل: را مطابق با فرضیات مساله رسم می کنیم . PαQ′ ابتدا صفحه Ha < hb < hd < he

اسلاید 320: و چون نقطه o مختصات مركز آن نيز داده شده محل آن را در صفحه فوق مشخص مي كنيم براي اين كار در صفحه قائم خطي موازي فصل مشترك (XY ) در صفحات تصوير قائم و افقي در فاصله 5 واحدي رسم مي كنيم اين خط صفحه منتصب را در صفحه قائم در نقطه o′ قطع مي كند از نقطه o′ عمودي بر فصل مشترك (XY ) رسم نموده و امتداد مي دهيم تا در صفحه افق نقطه o به دست آيد و چون اين نقطه در مركز سطح ABCD قرار دارد پس سطح فوق را به صورت حقيقي پيدا مي كنيم در نتيجه از نقطه α مركز دو صفحه قائم و افقي و به شعاع αo′ كماني رسم مي كنيم تا امتداد خط αx را در نقطه 1 قطع كند از آن نقطه نيز خطي عمود رسم مي كنيم تا خط افقي كه از نقطه o رسم شده را در نقطه O قطع كند اين نقطه مركز دايره محيطي مربع ABCD مي باشد. به اين مركز و شعاع4 دايره اي رسم مي كنيم و از طريق رسم هندسي مربع ABCD را ترسيم مي نماييم با رسم دو قطر عمود بر هم دايره نقاط D و C و B و A را تعيين مي كنيم

اسلاید 321: حال به طريق عكس از هر يك از اين نقاط عمودي بر امتداد محور αx (فصل مشترك) رسم نموده و از نقطه مركز α كماني مي زنيم تا صفحه منتصب را در نقاط d′ و c′ و b′ و a′ قطع نمايد اين نقاط محل نقاط D و C و B و A است ازصفحه قائم (V) از نقاط d′ و c′ و b′ و a′ عمودي بر محور αx (فصل مشترك) رسم نموده و امتداد مي دهيم تا خطوط افقي كه از نقاط D و C و B و A رسم شده را در نقاط d و c و b و a قطع كند اين نقاط محل قرارگيري نقاط D و C و B و A است در صفحه تصوير افق (H )

اسلاید 322: با مشخص شدن محل نقاط D و C و B و A در صفحات تصوير قائم و افقي مربع ABCD را در اين صفحات رسم مي كنيم حال براي رسم مكعب ABCDEFGH به طريق زير عمل مي كنيم:

اسلاید 323: از نقاط d′ و c′ و b′ و a′ عمودي بر تصوير صفحه منتصب (αQ′ ) در صفحه قائم (V ) رسم نموده (طول اين عمودها برابر طول ضلع مربع ABCD مي باشد) تا نقاط h′ و g′ و f′ و e′ به دست مي آيد از اين نقاط عمودي بر فصل مشترك كشيده و آن را امتداد مي دهيم تا خطوط افقي رسم شده از نقاط d و c و b و a را در نقاط h و g و f و e قطع نمايد با مشخص شدن محل نقاط h و g و f و e در دو صفحه افقي و قائم مكعب ABCDEFGH رسم مي گردد.

اسلاید 324: تمرين 2: صفحه َPαQ (α مركز كاغذ) و زاويه °60= y=y α Q pαمثلث متساوي الاضلاع ABC در اين صفحه واقع است بطوريكه نقطه)4و4)M وسط ضلع BC بوده و نقطه(3و2)A . اين مثلث قاعده هرم متساوي الاضلاع SABCمي باشد هرم را رسم كنيد و خطوط مرئي و مخفي آن را رسم كنيد.

اسلاید 325: تمرين 3:صفحه نیمرخ َPαQ (α مركز كاغذ) را رسم کنید پنج ضلعی ABCDE دراین صفحه قرار دارد بطوریکه مختصات مرکز آن (5و3) َoo و خط AB برابر 4 واحد این مربع قاعده هرم SABCDE بوده و نقطه راس این هرم برروی فصل مشترک در صفحه قراردارد هرم را رسم کنید و خطوط مرئی و مخفی آن را رسم کنید.

اسلاید 326: پايان