پارادوكس

صفحه 1:
9 و 5 

صفحه 2:
مب 5 ‏يارادوكس ( باطلنما ) جيست؟‎ 1 ee een Pe erro! 09 ۳ 9) ۳ ‎See‏ ی معط سس یحو ‎ear‏ ‏2 

صفحه 3:
est ee ۱ ‏پارادوکس دروغگو‎ ۳ 0 ‎edad‏ ا ایجاد انگیزه براي گسترش مرزهاي»دافش ‎ie‏ 032 هاي ‎apace)‏ ‎۱ 5 ‏وضع قوانين زبان شناختي جديد ‏0 ‏2 تدقیق نظریه مجموعه هاي کانتور طرح برهان قضية ناتماميت كودل ‎۱ ‎Sere sy ets 

صفحه 4:
‎Ten Looe nee ed Ie‏ اند ‎RCER ae ASR Awe‏ ۱ يده را به ذهن نزديك هي کنند که جرا تنا ‏را نيذيريم! ‎ ‎ ‎ ‏نطق_بیراسازگار ‏ی ) ‏تناة 2 ام الا که از لو ‎me Su‏ 

صفحه 5:
پارادوکس باناخ - تارسكي ‎Banach - Tarski‏ ( ‎Paradox)‏ باناخ و تارسكي در 906 به كمك اصل انتخاب ثابت کردند که مي توان با برش يك گوي (پرتغال) به شش قطعه» ایجاد حرکات صلب ( يعني دوران و انتقال ) و دوبار چساندن آنها دو گوي ( پرتغال ) هم اندازة اولي به دست آورد. در ۴ ر. م. رابینسون تعداد قطعات را از شش به پنچ تقلیل داد. 

صفحه 6:
۱ پارادوکس روز لو اگر 60 نفر در اين سخترانی شرکت کرده باشند» احتمال اين که حداقل 2 نفر روز تولدشان یکی باشد حدود 9660 است» اكر ©© نفر شرکت کرده باشند این احتمال حدود © 0 و اگر بیش از ‎OD‏ نفر حضور داشته باشند اين عدد بزرگتر از 9۵96 است. 

صفحه 7:
پاردوکسهاي زنون ‎Paradoxes ) ( Zeno’s‏ »در صورتي كه باره خط بينهايت بار تقسيم يذير باشد» حركت ناممكن است» ‎ees‏ ۷ لو كه رويك ‎(GUE Yorie pi wy OMe)» owt Een ened net)‏ ۰ نقطة وسط آن 19 برسيم و قس عليهذا. بس نمي توان حتي از نقطة 8/ ‎A---D---C------- 8 ۶۱‏ ۶ در مسابقه " دو" بین آشیل تندرو و لاك پشت کندرو آشیل که کمي عقب تر از لاك بشت استء هيجكاه به او نمي رسد. زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه لاك بشت از آنجا حركت كرده است. اما وقتي به آنجا مي رسد لاك بشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعیت قبل روي مي دهد و با تکرار این روند» گرچه آشیل به لاك پشت نزديك مي شود ولي هیچگاه به او نمي رسد. ‎Say‏ 

صفحه 8:
ار چهارم دقيقه خاموش مي شود به مدت یک هشتم دقیقه 1 رريوشن خواهد بود يا خاموش؟ 

صفحه 9:
پارادوکس دار غیرمنتظره (Unexpected Hanging Paradox) به يك زنداني گفته مي شود که او در يكي از روزهای بین شنبد و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد اما تا روز به دار آويخته شدن؛ ‎ee CES‏ ا ل ل 0 0 ‏ا ا ا ل‎ ise ew] ‏باشد مي فهمد که اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت. اما‎ 0 Wee CH Srp Siren rem rey wee ‏شود زیرا اگر‎ “gt APS IeNE nt SPs r per ererin cigs tet ‏تا سه شنبه زنده بماند» با توجه به اين که بنا به استدلال بالا روز‎ ‏پنجشنبه اعدام 090 فهمد كه روز جهارشنبه اعدام انجام‎ ‏خواهد شد. استدلال مشابه نشان مي دهد كه أو در هيجيك از‎ ‏روزهاي دیگر نیز نمي تواند اعدام شود.‎ ۳ روزي غير از بنجشنبه جلاد وارد مي شود و وي را اعدام مي 

صفحه 10:
يك دانة كندم يك تودة كندم» به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة كنم با اضافه كردن يك دانه كندم ديكرء سه دانه كندم حَواهيم داشت که توده محسوب نمي شود. اگر اين عمل را تکراز .كنيم» هيجكاه به تودة ككندم نمي رسيم اما زماني که این گرداية گندم به قدر 0000 .نامیده مي شود 

صفحه 11:
‎ate‏ عددي وجود دارد ‎es‏ توان 7 رابا یرک و ‎Rs MSO NOE heen RCD OS Sie‏ حرف فارسي نمایش داد وجود دارد. اما عبارت بالا که بین دو نماد ‎Dre Bony Oe cari‏ 0 داردء يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد! 

صفحه 12:
آیا خداوند می تواند سنگی بسازد که نتواند باند 

صفحه 13:


صفحه 14:
‎EBLE SIS) ie Bye eres)‏ سر ا ‎FeO EN‏ سياه ارائه نشده است. " نوشته شده است. 2 در ابن صورت گرچه عدد 6 روي تخته سیاه نمایش داده لاد ‏است, 

صفحه 15:
پارادوکس بوچوفسكي (Buchowski Paradox ) فيض كنيد شما فقط دو برادر داريد كه هر دو از شما مسن تر هستند. در اين صوريت جملة به ظاهر غلط ذيل» راست است* " برادر جوانترم از من مسن تر است* 

صفحه 16:
يارادوكس دروغكو ‎ne pee ezss‏ 0 ‎ey ee‏ ۱ (he ‏زرم‎ مي كويند روزي اثوبوليدسء متفكر يوناني قرن جهارم قبل از ميلاد» كفت: ا 0 اگر كفتة او درست باشدء آنگاه بنا به آنچه گفته است» ‎ly‏ ۳۰ اش دروغ باشدء واكر كفتة او دروغ باشدء دوباره بنابر ‎eR}‏ 1 شود كه كفته اش درست است, ‎ 

صفحه 17:
بارادوكس دور 0 Ve Tey eer eres pots) epee! ‏است:‎ ۰ جملة ‏ این است: ۳ دروغ است* ene) rere eC a ee tee 1۱۳ ‏م‎ a ren Pere) ‏كه در آن كزاره ها بتوانند فقط يكي از ارزشهاي ”راست“» ” دروغ‎ ‏و ” نه راست - نه دروغ “ را داشته باشند آنكاه كزارةم) به‎ “ سورت * «6 دروخ یا نه راست ‏ نه دروخ است" نمي تواندهیچید 

صفحه 18:
پارادوکس تابلو این پارادوکس در 906 توسط ریاضیدان انگليسي جردن م ‎RSS rey Sher Ce‏ ل ل ا و در طرف دیگر آن 2003 اين تابلو دروغ است.* << 

صفحه 19:
00 نقل شده است که سقراط روزي گفته است:۳ چيزي که مي دانم این لو 

صفحه 20:
يارادوكس جزيرة وحشي ها ا را رز( مي كردند كه دو خداء خداي راستي و خداي دروغ داشتند. آنها هر كس را كه به جزيره مي آمد ‎Yee ne)‏ ا ا ۱ راست مي گفت او را قرباني خداي راستي و اگز دروخ مي كفت» او را قرباني خداي دروغ مي كردند. روزي شخصي وارد جزيره شد. او را كرفتند و از او يرسيدند” 000 0 Sr eee ror ei قرباني خداي دروغ خواهید کرد.* با این جواب وحشي ها مستاصل شدند زیرا خواه راست گفته باشد و ‎ha eal aed dea ae ak ales aE ee‏ سا 

صفحه 21:
بارادوكس آرايشكر , 1 ‎Barber Paradox)‏ ( = ‎IG‏ 2 ‎Russell’s Paradox‏ در دهكده اي فقط يك آرايشكر وجود دارد. او فقط ريش ‎PPT BEY Se BE Ce Drea py hs‏ 000 سوال این است که ریش خود ریش تراش را چه كسي مي تراشد؟ اك او ريش خود را نتراشدء بايد نزد ريش تراش يعني خودشء برود تا ريشش را بتراشد و اكّر ريش خود ل ا ‎eT Ove‏ 0 0 

صفحه 22:
پارادوکس فهرست = ( ‏عسوماهای‎ Paradox ) كتابداري در حال تدوین يك فهرست كتابشناسي از تمام فهرستهاي كتابشناسي و تنها انهايي است كه نام خود را در فهرست ۳0 ال ۱ بر مت گیورد؟ ۱ 

صفحه 23:
پارادوکس خود نا توصیف ‎Heterological Paradox )‏ ( خود ناتوصیف» کلمه اي است که خودش را توصیف نمیکند. پس کلمة "...۰۰ " خود ناتوصیف است اگر و فقط اككر خود ناتوصيف نباشد. 

صفحه 24:
پارادوکس اسمارانداچ وا 6201 فرض كنيد .2 يكي از عبارات ممكنء كامل و . . باشد. در این صورت " ‎Prey‏ ‏در ۱ PP ‏غیر ممکن نیز ممکن‎ * 0 ۳( " هیچ چیز کامل ن نیست " این که ۲ ۱ ۱ 

صفحه 25:
9 (Cantor's Paradox ) ۱ Pd OV Ey Verne) 3) card(P(A))=card(A) ‏طرفي بنا به قضية‎ 2 sus 0-500 cae 

صفحه 26:
ا ا ا ا 00 ‎adh‏ Sap GAL ly sul Ya (OOOODOOU-LE ® 4 Ns OODLE @ mm شما باید فقط جعبه 9) را انتخاب کنید و یا هر دو جعبه 69 و که شما انتخاب خود را انجام دهید» پيشگويي بر اساس ا خواهيد دا د در جعبه 0000000 6 دلار قرار ا ‎ES Sees eS EN ee‏ ۹۳ سوال: اگر شما به انتخاب فقط 9) تمایل داشته باشید» مي ت کنید؟ 

صفحه 27:
C2) 8 [1] Quine, W. V. "Paradox." Sci. Amer. 206, 84- 96, Apr. 1962. [2] Erickson, G. W. and Fossa, J. A. Dictionary of Paradox. Lanham, MD: University Press of America, pp. 137-139, 1998. [3] Bunch, B. Mathematical Fallacies and Paradoxes. New York: Dover, 1982. ۳ http://en.wikipedia.org/wiki/Paradox#List_of parad oxes [5] http://mathworld.wolfram.com/Paradox.html 

پارادوكس محمد صال مصلحيان گروه رياضي دانشگاه فردوسي مشهد پارادوكس ( باطلنما ) چيست؟ آنچه كه تناقض آميز ،باورنکردني يا خالف انتظار (و .شهود) ماست آنچه به نظر درست مي رسد ولي غلط است ،به نظر( غلط مي رسد ولي درست است ،يا به نظر غلط می ) .رسد و واقعا” غلط است فايده پارادوکسها ايجاد انگيزه براي گسترش مرزهاي دانش تعميق بينش تعميم شيوه هاي استدالل افزايش دقت وضع قوانين زبان شناختي جديد ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ پارادوكسهاي زنون پارادوكس راسل پارادوكس دروغگو پارادوكس بوچفسکي پارادوكس المپ تامسون ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ تكامل حسابان در قرنهاي 17تا 19 تدقيق نظريه مجموعه هاي كانتور طرح برهان قضية ناتماميت گودل رفع نارسائيهاي زبان طرح مشكالت مفاهيم نظري در فيزيک بعضي پارادوكسها که متضمن تناقض اند صادق به نظر مي رسند وحتي اين ايده را به ذهن نزديك مي كنند كه چرا تناقضها را نپذيريم! در منطق پيراسازگار ( )paraconsistentمي توان تناقض داشت و بر خالف رياضيات کالسيک ،چنين نيست كه از تناقض هر چيزي نتيجه شود. پارادوكس باناخ ـ تارسكي ( Banach – Tarski )Paradox باناخ و تارسكي در 1924به كمك اصل انتخاب ثابت كردند كه مي توان با برش يك گوي (پرتغال) به شش قطعه ،ايجاد حركات صلب ( يعني دوران و انتقال ) و دوبار چساندن آنها دو گوي ( پرتغال ) هم اندازة اولي به دست آورد. در 1944ر .م .رابينسون تعداد قطعات را از شش به پنچ تقليل داد. پارادوکس روز تولد اگر 23نفر در این سخنرانی شرکت کرده باشند، احتمال این که حداقل 2نفر روز تولدشان یکی باشد حدود %50است، اگر 22نفر شرکت کرده باشند این احتمال حدود 5 %0/0و اگر بیش از 60نفر حضور داشته باشند این عدد بزرگتر از %99است. پاردوكسهاي زنون ‍Paradoxes ‏Paradoxes ) ( Zeno’s در صورتي كه پاره خط بينهايت بار تقسيم پذير باشد ،حركت ناممكن است، زيرا براي اين كه پاره خطي مانند ABرا با شروع از نقطه Aبپيماييم، ابتدا بايد به نقطة وسط آن Cبرسيم .براي اين كه ACپيموده شود ،بايد به نقطة وسط آن Dبرسيم و قس عليهذا .پس نمي توان حتي از نقطة A ‏A---D---C-------B حركت كرد. در مسابقه ” دو“ بين آشيل تندرو و الك پشت كندرو ،آشيل كه كمي عقب تر از الك پشت است ،هيچگاه به او نمي رسد .زيرا ابتدا بايد به نقطه اي برسد كه الك پشت از آنجا حركت كرده است .اما وقتي به آنجا مي رسد الك پشت قدري جلوتر رفته است و همان وضعيت قبل روي مي دهد و با تكرار اين روند ،گرچه آشيل به الك پشت نزديك مي شود ولي هيچگاه به او نمي رسد. ------A------------T پارادوكس المپ تامسون () Tompson Lamp Paradox المپي به مدت يک دوم دقيقه روشن مي شود ،سپس براي يک چهارم دقيقه خاموش مي شود ،به مدت يک هشتم دقيقه روشن مي شود و قس عليهذا .درست بعد از يك دقيقه المپ روشن خواهد بود يا خاموش؟ پارادوكس دار غيرمنتظره ( ) Unexpected Hanging Paradox به يك زنداني گفته مي شود كه او در يكي از روزهاي بين شنبه و پنجشنبه به دار آويخته خواهد شد ،اما تا روز به دار آويخته شدن، وي نخواهد دانست كه كدام روز اعدام مي شود. او روز پنجشنبه به دار آويخته نمي شود ،زيرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد مي فهمد كه اعدام در روز پنحشنبه صورت خواهد گرفت ،اما به او گفته شده است كه وي از روزي كه به دار كشيده مي شود پيشاپيش آگاه نيست .او روز چهارشنبه نيز اعدام نمي شود زيرا اگر تا سه شنبه زنده بماند ،با توجه به اين كه بنا به استدالل باال روز پنجشنبه اعدام نمي شود ،مي فهمد كه روز چهارشنبه اعدام انجام خواهد شد .استدالل مشابه نشان مي دهد كه او در هيچيك از روزهاي ديگر نيز نمي تواند اعدام شود. اما در روزي غير از پنجشنبه جالد وارد مي شود و وي را اعدام مي كند. پارادوكس توده ( ) Sorites Paradox يك دانة گندم يك تودة گندم نيست .با اضافه كردن يك دانه گندم ،به دو دانه دست مي يابيم كه باز هم تودة گندم نيست. با اضافه كردن يك دانه گندم ديگر ،سه دانه گندم خواهيم داشت كه توده محسوب نمي شود .اگر اين عمل را تكرار .كنيم ،هيچگاه به تودة گندم نمي رسيم اما زماني كه اين گرداية گندم به قدر كافي بزرگ شود ،توده .ناميده مي شود پارادوكس ريچارد ( Jules Richard’s )َ hard’s Paradox آيا ” كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد“ وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبيعي نا متناهي و تعداد حروف فارسي متناهي است پس عددي وجود دارد كه نمي توان آن را با عبارتي شامل كمتر از صد حرف فارسي تعريف كرد .بنا به اصل خوش ترتيبي در اعداد طبيعي ،كوچكترين عدد طبيعي كه نتوان آن را با كمتر از صد حرف فارسي نمايش داد وجود دارد .اما عبارت باال كه بين دو نماد ” و “ قرار دارد كمتر ار صد حرف ( يعني پنجاه و سه حرف ) دارد ،يعني عدد ارائه شده با كمتر از صد حرف فارسي تعريف شد! پارادوکس خداوند قادر مطلق آیا خداوند می تواند سنگی بسازد که نتواند بلند کند؟ پارادوكس اژدها چگونه مي توانيم راجع به چيزي كه وجود ندارد صحبت كنيم، وقتي كه مي گوييم ” اژدهاي هفت سر وجود ندارد“. پارادوكس تخته سياه تخته سياهي را در نظر بگيريد كه روي آن عالوه بر اعداد ،1 ،3 ،2جملة ” كوچكترين عدد طبيعي كه روي اين تخته سياه ارائه نشده است “ .نوشته شده است. در اين صورت گرچه عدد 4روي تخته سياه نمايش داده نشده است ،ولي عبارت مذكور روي تخته سياه ،مبين 4 است. پارادوكس بوچوفسكي ) ( Buchowski Paradox فرض كنيد شما فقط دو برادر داريد كه هر دو از شما مسن تر هستند .در اين صورت جملة به ظاهر غلط ذيل ،راست است: ” برادر جوانترم از من مسن تر است“ پارادوكس دروغگو (( Liar's Paradox پارادوكس ائوبوليدس ) (Eubulides' Paradox مي گويند روزي ائوبوليدس ،متفكر يوناني قرن چهارم قبل از ميالد ،گفت ” :چيزي كه آالن مي گويم دروغ است“ .اگر گفتة او درست باشد ،آنگاه بنا به آنچه گفته است ،بايد گفته اش دروغ باشد ،واگر گفتة او دروغ باشد ،دوباره بنابر آنچه گفته است نتيجه مي شود كه گفته اش درست است. پارادوكس دور اين پارادوكس توسط آلبرت ساكسوني در قرون وسطي طرح گرديده است: • جملة Pاين است q” :دروغ است“. • جملة qاين است P “ :راست است“ . نکته جالب اين است كه اگر ما داراي يك نوع منطق سه ارزشي باشيم كه در آن گزاره ها بتوانند فقط يكي از ارزشهاي ”راست“ ” ،دروغ “ و ” نه راست ـ نه دروغ “ را داشته باشند آنگاه گزارة Pبه صورت “ Pدروغ يا نه راست ـ نه دروغ است“ نمي تواند هيچيك از ارزشهاي ” راست “ ” ،دروغ “ و ” نه راست – نه دروغ“ را به خود بگيرد. پارادوكس تابلو اين پارادوكس در 1913توسط رياضيدان انگليسي جردن ( )P. E. B. Jourdainارائه شد: تابلوئي داريم كه در يك طرف آن ”جمله پشت اين تابلو راست است“. و در طرف ديگر آن ”جمله پشت اين تابلو دروغ است“. نوشته شده است! پارادوكس سقراط ‏Paradox) ‍‍(Socrates نقل شده است كه ســـــقراط روزي گفته است ”:چيزي كه مي دانم اين اسـت كه من هيـچ چيز نمي دانم “. پارادوكس جزيرة وحشي ها در جزيره اي قبيله اي وحشي زندگي مي كردند كه دو خدا ،خداي راستي و خداي دروغ داشتند .آنها هر كس را كه به جزيره مي آمد قرباني مي كردند ،به اين ترتيب كه از وي سوالي مي پرسيدند ،اگر راست مي گفت او را قرباني خداي راستي و اگر دروغ مي گفت، او را قرباني خداي دروغ مي كردند. روزي شخصي وارد جزيره شد .او را گرفتند و از او پرسيدند” سرنوشت تو چه خواهد بود؟“ آن شخص جواب داد ” شما من را قرباني خداي دروغ خواهيد كرد“. با اين جواب وحشي ها مستاصل شدند زيرا خواه راست گفته باشد و خواه دروغ بايد هم قرباني خداي راستي شود و هم قرباني خداي دروغ! پارادوكس آرايشگر )( Barber Paradox پارادوکس راسل ‏Russell’s Paradox در دهكده اي فقط يك آرايشگر وجود دارد .او فقط ريش كساني را مي تراشد كه ريش خود را نمي تراشند. سوال اين است كه ريش خود ريش تراش را چه كسي مي تراشد؟ اگر او ريش خود را نتراشد ،بايد نزد ريش تراش يعني خودش ،برود تا ريشش را بتراشد و اگر ريش خود را بتراشد ،نبايد توسط ريش تراش يعني خودش، ريشش تراشيده شود. پارادوكس فهرست ( ) Catalogue Paradox كتابداري در حال تدوين يك فهرست كتابشناسي از تمام فهرستهاي كتابشناسي و تنها آنهايي است كه نام خود را در فهرست ذكر نكرده اند. آيا فهرست اين كتابدار ،نام خودش را نيز در بر مي گيرد؟ پارادوكس خود نا توصيف ) ( Heterological Paradox خود ناتوصيف ،كلمه اي است كه خودش را توصيف نميكند. پس كلمة "خود ناتوصيف" خود ناتوصيف است اگر و فقط اگر خود ناتوصيف نباشد. پارادوكس اسمارانداچ () Smarandache Paradox فرض كنيد Aيكي از عبارات ممكن ،كامل و . . . باشد. در اين صورت ” همه چيز Aاست“ ايجاب مي كند که “~ Aنيز Aباشد”. مثًال‌وقتي مي گوييم ” همه چيز ممكن است“ ، نتيجه مي شود كه ” غير ممكن نيز ممكن است“ ،يا از ” هيچ چيز كامل نيست “ اين كه ” كامل نيز كامل نيست “ مستفاد مي شود. پارادوكس كانتور ( ) Cantor's Paradox فرض كنيد Aمجموعه همة مجموعه ها باشد ،پس P(A)=Aو لذا ) card(P(A))=card(Aاز طرفي بنا به قضية کانتور) card(P(A))<card(Aو اين تناقض است. پارادوکس نيوکام فرض کنيد دو جعبه Aو Bداده شده باشد .سر جعبه Aباز و سر جعبه B بسته باشد. Aشامل 1000دالر و Bشامل 1000000دالر است و يا شامل هيچ چيز نيست. شما بايد فقط جعبه Bرا انتخاب کنيد و يا هر دو جعبه Aو Bرا .اما قبل از اين که شما انتخاب خود را انجام دهيد ،پيشگويي بر اساس انتخابي که شما انجام خواهيد دا د در جعبه B 1000000دالر قرار مي دهد اگر شما فقط جعبه Bرا انتخاب کنيد و هيچ چيز نمي گذارد اگر شما هر دو جعبه Aو Bرا انتخاب کنيد. سوال :اگر شما به انتخاب فقط Bتمايل داشته باشيد ،مي توانيد Aرا نيز انتخاب کنيد؟ مراجع [1] Quine, W. V. "Paradox." Sci. Amer. 206, 8496, Apr. 1962. [2] Erickson, G. W. and Fossa, J. A. Dictionary of P aradox. Lanham, MD: University Press of America, pp. 137-139, 1998. [3] Bunch, B. Mathematical Fallacies and Paradoxe s. New York: Dover, 1982. [4] http://en.wikipedia.org/wiki/Paradox#List_of_par adoxes [5] http://mathworld.wolfram.com/Paradox.html