کنترل پیشرفته

کنترل پیشرفته

اسلاید 1: Ali KarimpourAssociate ProfessorFerdowsi University of MashhadADVANCED CONTROLReference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.I thank my students , Saina Ramyar and Parisa Tavakkoli, for their help in making slides of this lecture..

اسلاید 2: 2Lecture 5StabilityTopics to be covered include:Introduction.Input-Output Stability of LTI systems. Internal Stability. Lyapunov Theorem.Stability of Linear Time-Varying(LTV) Systems

اسلاید 3: 3آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزید مفهوم پایداری ورودی-خروجی (BIBO) شرط وجود پایداری ورودی-خروجی (BIBO) مفهوم پایداری داخلی (لیاپانوفی و مجانبی) شرط وجود پایداری لیانوفی و مجانبی بررسی پایداری مجانبی توسط معاله لیاپانوف بررسی پایداری در سیستمهای LTV Input-output stability (BIBO) Input-output stable systems Internal stability(in the sense of Lyapunov and asymptotic) Marginal and asymptotic stability conditions Internal stability by Lyapunov equation Stability analysis for LTV state equation

اسلاید 4: 4خاصیت سیستم خطیLinear System propertyپاسخ ورودی صفر+ پاسخ حالت صفر = پاسخ کاملمقدمهIntroductionپاسخ سیستمهای خطی را می توان بصورت جمع پاسخ حالت صفر و پاسخ ورودی صفر بیان نمود. 1- پایداری ورودی خروجی سیستمهای خطی پایداری BIBO (ورودی کراندار خروجی کراندار) نامیده می شود. (پاسخ حالت صفر ) 2- پایداری داخلی سیستمهای خطی پایداری مجانبی نامیده می شود. (پاسخ ورودی صفر )

اسلاید 5: 5Input output stability of LTI systemدر سیستم تک ورودی تک خروجی خطی غیر متغیر با زمان (LTI) خروجی را میتوان بصورت نمایش داد که g(t) پاسخ ضربه بوده و سیستم در t=0 آرام است. پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI تعریف 5-1 : یک سیستم را پایدار BIBO گویند اگر هر ورودی محدود خروجی محدود را تولید کند. این پایداری برای پاسخ حالت صفر تعریف شده و سیستم در ابتدا آرام است. قضیه 5-1 : یک سیستم SISOتوصیف شده با معادلات (I) را پایدار BIBO گویند اگر و فقط اگر قدر مطلق g(t) در بازه [0,∞) انتگرال پذیر باشد یا M عدد ثابت می باشد.

اسلاید 6: 6Input output stability of LTI systemابتدا قسمت اول را ثابت می کنیم. لذا خروجی محدود است. پس سیستم پایدار BIBO است.اثبات قضیه 5-1: باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: سیستم پایدار BIBO  g(t) مطلقا انتگرال پذیرg(t) مطلقا انتگرال پذیر  سیستم پایدار BIBO فرض کنید g(t) بطور مطلق انتگرال پذیر است باید نشان دهیم هر ورودی کراندار منجر به خروجی کراندار می شود. ورودی کراندار دلخواه با شرط |u(t)| ≤ um < ∞ را در نظر بگیرید:

اسلاید 7: 7Input output stability of LTI systemحال به اثبات قسمت دوم قضیه می پردازیم. اثبات قضیه 5-1(ادامه): باید دو عبارت زیر را اثبات کنیم: سیستم پایدار BIBO  g(t) مطلقا انتگرال پذیرg(t) مطلقا انتگرال پذیر  سیستم پایدار BIBO نشان می دهیم اگر g(t) مطلقا انتگرال پذیر نباشد، به تناقض می رسیم.فرض کنید ورودی کراندار زیر را انتخاب کنیم:تناقضفرض کنید سیستم پایدار BIBO است باید نشان دهیم g(t) بطور مطلق انتگرال پذیر است.اگر g(t) مطلقا انتگرال پذیر نباشد، آنگاه یک t1 وجود دارد به طوری که:

اسلاید 8: 8Input output stability of LTI systemپایداری ورودی خروجی سیستمهای LTIآیا محدود بودن انتگرال قدرمطلق پاسخ ضربه به معنی محدود بودن پاسخ ضربه است؟مثال 5-1: تابع مقابل داده شده است.مساحت زیر هر مثلث: 1/n2انتگرال قدر مطلق تابع :تابع مطلقا انتگرال پذیر است اما تابع محدود نیست و برای t→∞ به صفر میل نمی کند.

اسلاید 9: 9قضیه 5-2 : اگر سیستمی با پاسخ ضربه g(t) پایدار BIBO باشد برای t→∞داریم:1) خروجی تحریک شده به وسیله t ≥ 0، u(t)=a به سمت ĝ(0)×a میل می کند.2) خروجی تحریک شده به وسیله t ≥ 0،t u(t)=sin ω̥ به سمت میل می کند که ĝ(s) تبدیل لاپلاس g(t) است یعنی:اثبات (1)اگر برای تمام t ≥ 0، u(t)=a باشد، داریم: طبق تعریف تبدیل لاپلاس به ازای s = 0 نتیجه می دهد که وقتی t→∞بخش اول قضیه 5-2 اثبات شد.Input output stability of LTI systemپایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI

اسلاید 10: 10Input output stability of LTI systemاگر برای t ≥ 0 ورودی برابر t u(t)=sin ω̥ باشد، خروجی عبارتست از: لذا برای t→∞ داریم:با جایگزینی بخشهای حقیقی و موهومی در رابطهپایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI اثبات (2)چون سیستم پایدار BIBO است دو انتگرال فوق کراندار است و از طرفیبخش دوم قضیه 5-2 اثبات شد.

اسلاید 11: 11قضیه 5-3 : یک سیستم SISO با تابع انتقال گویا و مناسب ĝ(s) پایدار BIBO است اگر فقط اگر هر قطب ĝ(s) دارای بخش حقیقی منفی باشد یا، به طور متعادل، در نیمه چپ صفحه s واقع شود. اگر ĝ(s) دارای قطب pi با درجه تکرار mi باشد، بسط به صورت کسرهای جزئی آن شامل عوامل زیر است:لذا تبدیل لاپلاس معکوس ĝ(s) یا پاسخ ضربه آن دارای عوامل زیر باشد. می توان نشان داد که هر یک از این جمله ها مطلقا انتگرال پذیر است اگر و فقط اگر pi دارای بخش حقیقی منفی است.Input output stability of LTI systemپایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI

اسلاید 12: 12مثال 5-2 : پایداری BIBO سیستم مقابل را بررسی کنید. Input output stability of LTI systemپایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI پاسخ ضربه سیستم عبارتست از:می دانیم:حالپس سیستم برای |a|<1 پایدار BIBO است. تابع انتقال بصورت زیر است ولی نمی توان از روی آن پایداری BIBO را تشخیص داد چرا که ...

اسلاید 13: 13Input output stability of LTI systemپایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI قضیه 5-4 : یک سیستم MIMOتوصیف شده با ماتریس ضربه G(t)=[gij(t)] را پایدار BIBO گویند اگر و فقط اگر قدر مطلق gij(t) در بازه [0,∞) انتگرال پذیر باشد.قضیه 5-5 : یک سیستم MIMOتوصیف شده با ماتریس انتقال G(s)=[gij(s)] را پایدار BIBO گویند اگر و فقط اگر هر قطب هر gij(s) دارای بخش حقیقی منفی باشد. تشخیص پایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI از معادلات فضای حالت:ماتریس تابع انتقال عبارتست از:پس اگر کلیه مقادیر ویژه A دارای بخش حقیقی منفی باشد. در اینصورت .................... ولی اگر .................

اسلاید 14: 14مثال 5-3 : شبکه نشان داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. معادله حالت این شبکه به صورت زیر است، پایداری BIBO آن را بررسی کنید. تابع انتقال عبارتست از:تابع انتقال فاقد قطب است پس پایدار BIBO است.ماتریس A و مقدار ویژه آن برابر 1 است. مقدار ویژه یک بخش حقیقی مثبت داردInput output stability of LTI systemپایداری ورودی خروجی سیستمهای LTI

اسلاید 15: 15Internal stabilityپایداری داخلیتعریف 5-2: پاسخ ورودی صفر سیستم ẋ = Ax را به مفهوم لیاپانوف پایدار(پایدار حاشیه ای) گویند اگر هر حالت اولیه محدود x0 پاسخ محدودی را بوجود آورد. علاوه بر این اگر پاسخ به صفر میل کند پایداری مجانبی حاصل می شود.قضیه 5-6 :1) معادله ẋ = Ax پایدار حاشیه ای (پایدار لیاپانوفی) است اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه A دارای بخشهای حقیقی صفر و منفی باشند و آنهایی که دارای بخش های حقیقی صفر هستند ریشه های ساده چند جمله ای مینیمال A باشند.2) معادله ẋ = Ax پایدار مجانبی است اگر و فقط اگر تمام مقادیر ویژه A دارای بخشهای حقیقی منفی باشند.

اسلاید 16: 16اثبات قضیه 5-6 – بخش اول:تبدیل همانندی پایداری یک معادله حالت را تغییر نخواهد داد.P ناویژه است بنابراین: اگر x محدود باشد، x͞ هم محدود خواهد بود.اگر x برای t→∞ به سمت صفر میل کند، x͞ هم به همین به سمت صفر میل می کند.این پاسخ محدود است اگر و فقط اگر هر درایه هر درایه eĀt برای تمام t≥0 محدود باشد.Internal stabilityپایداری داخلیمی توان پایداری A را با استفاده از Ā مورد مطالعه قرار داد. ( مقادیر ویژه A و Ā یکسان هستند.)

اسلاید 17: 17 اگر یک مقدار ویژه دارای بخش حقیقی منفی باشد، هر درایه ماتریس eĀt محدود است و برای t→∞ به سمت صفر میل می کند. اگر یک مقدار ویژه دارای بخش حقیقی صفر بوده و فاقد بلوک جردنی از مرتبه 2 یا بالاتر باشد، درایه مربوطه در ماتریس eĀt برای تمام tها یک ثابت یا سینوسی است که محدود است. اثبات قضیه 5-6 – بخش دوم: اگر Ā دارای مقدار ویژه ای با بخش حقیقی مثبت باشد، هر درایه eĀt به طور نامحدود افزایش می یابد. اگر Ā دارای یک مقدار ویژه ای با بخش حقیقی صفر و بلوک جردن آن از مرتبه 2 یا بالاتر باشد، eĀt دارای حداقل یک درایه خواهد بود که به طور نامحدود افزایش می یابد. برای پایدار مجانبی بودن، هر درایه eĀt باید برای t→∞ به سمت صفر میل کند.هیچ مقدار ویژه ای با بخش حقیقی صفر مجاز نیست.← اثبات کفایت بخش اولیه قضیه 5-6Internal stabilityپایداری داخلی

اسلاید 18: 18Internal stabilityپایداری داخلیمثال 5-4 : سیستم مقابل داده شده است، پایداری حاشیه ای این سیستم را بررسی کنید.چندجمله ای مشخصه :چندجمله ای مینیمال :مقادیر ویژه : 0, 0, -10 : ریشه ساده چندجمله ای مینیمالمثال را برای سیستم مقابل تکرار کنید :چندجمله ای مینیمال :0 : ریشه ساده چندجمله ای مینیمال نیست.پایدار حاشیه ای نیست.پایدار لیاپانوفی (حاشیه ای ) است.

اسلاید 19: 19Internal stability and input-output stability پایداری داخلی و ورودی خروجیمثال 5-5: سیستم مقابل داده شده است. مطلوبست بررسیپایداری مجانبی و پایداری BIBOBIBO stability:Internal stability:For internal stability we need state-space model so we have:?++فاقد قطب سمت راست پس پایدار

اسلاید 20: 2020BIBO stability:Internal stability:For internal stability we needstate-space model so we have:++The system is not internally stable (neither asymptotic nor Lyapunov stable).Very important note: If RHP poles and zeros between different part of system omitted then the system is internally unstable although it may be BIBO stable.فاقد قطب سمت راست پس پایدارInternal stability and input-output stability پایداری داخلی و ورودی خروجیمثال 5-5: سیستم مقابل داده شده است. مطلوبست بررسیپایداری مجانبی و پایداری BIBO

اسلاید 21: 21Internal stabilityپایداری داخلیقضیه 5-7:تمام مقادیر ویژه ماتریس دارای بخش حقیقی منفی هستند، اگر و فقط اگر برای هر ماتریس متقارن معین مثبت معادله لیاپانوف دارای جواب متقارن، معین مثبت و یکتای باشد.قضیه 5-8:اگر تمام مقادیر ویژه دارای بخش حقیقی منفی باشند، معادله لیاپانوفبه ازاء هر ماتریس دارای جواب یکتایی به صورت زیر است.تمرین 5-12: قضیه فوق را اثبات کنید.تمرین 5-13: قضیه فوق را اثبات کنید.

اسلاید 22: 22BIBO stability of LTV systemsپایداری BIBO در سیستمهای LTVرابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی، تک ورودی-تک خروجی:یک سیستم دارای پایداری ورودی-خروجی یا BIBO است در صورتی که هر ورودی محدود منجر به خروجی محدود شود.رابطه ورودی-خروجی یک سیستم متغیر با زمان خطی، چندمتغیره:شرط پایداری BIBO سیستم فوق اینست که هر درایه G بطور مطلق انتگرال پذیر باشد و یاشرط پایداری BIBO این است که:

اسلاید 23: 23در صورتی که معادلات حالت سیستم داده شده باشد:پاسخ ضربه سیستم:پاسخ حالت صفر سیستم:پاسخ حالت صفر سیستم دارای پایداری ورودی-خروجی(BIBO) است اگر و فقط اگر M2 و M1 موجود باشند به قسمی کهBIBO stability of LTV systemsپایداری BIBO در سیستمهای LTV

اسلاید 24: 24Internal stability of LTV systemsپایداری داخلی سیستمهای LTVدر پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم:پاسخ ورودی صفر سیستم یعنی پاسخ معادله پایدار حاشیه ای است اگر هر شرطاولیه محدود منجر به حالت محدود شود. جواب معادله حالت فوق عبارتست از:پاسخ ورودی صفر سیستم پایدار حاشیه ای است اگر وفقط اگر عدد ثابت ومحدود M وجود داشته باشد به قسمی که

اسلاید 25: 25Internal stability of LTV systemsپایداری داخلی سیستمهای LTVدر پایداری داخلی ورودی نداریم لذا با معادله مقابل باید کار کنیم:جواب معادله حالت فوق عبارتست از:پاسخ ورودی صفر سیستم یعنی پاسخ معادله پایدار مجانبی است اگر هر شرطاولیه محدود پاسخ محدودی بوجود آورد که در به صفر میل کند. پاسخ ورودی صفر سیستم پایدار مجانبی است اگر عدد ثابت و محدود M وجود داشته باشد به قسمی کهو

اسلاید 26: 26Internal stability of LTV systemsپایداری داخلی سیستمهای LTVمثال 5-6 : سیستم مقابل داده شده است، پایداری حاشیه ای و مجانبی این سیستم را بررسی کنید.چندجمله ای مشخصه :لذا برای تمام t دو مقدار ویژه در 1- داریم.می توان نشان داد که ماتریس گذار حالت عبارتست از:واضح است که سیستم نه پایداری حاشیه ای دارد و نه مجانبی.

اسلاید 27: 27Exercisesتمرینها

اسلاید 28: 28Exercisesتمرینها

اسلاید 29: 29Exercisesتمرینها تمرین 5-12: قضیه 5-7را اثبات کنید.تمرین 5-13: قضیه 5-8 را اثبات کنید.

اسلاید 30: 30Answers to selected problemsجواب 5-1: جواب 5-2: خیر ، بلیجواب 5-3: y(t)-6 و y(t) 1.26sin(2t+1.25)جواب 5-6: مجانبی نیست ولی حاشیه ای است.جواب 5-8: هر دو پایدار BIBO هستند.جواب 5-10: پایدار BIBO و حاشیه ای است ولی مجانبی نیست. P(t) تبدیل لیاپانوفی نیست.