مقاومت مصالح

1 صفحه 2 فهرست مطالب - 1تعریف تنش - 2انواع بارها - 3انواع تکیه گاه ها - 4عکس العمل تکیه گاه ها - 5اصول برش در علم مقاومت مصالح - 6قانون هوک برای تنش محوری (تک محوری) صفحه 3 فهرست مطالب - 7قانون هوک برای تنش سایشی (تک محوری) - 8تنش خمشی - 9مقادیر سطح مقطع (سطح ،مرکز سطح ،ممان سطحی) - 10معادله Stein - 11معادله Steinبرای سطوح ترکیبی - 12محاسبه برای حالت گردش سیستم محور مختصات صفحه 4 فهرست مطالب - 13محور های اصلی و ممان های اینرسی اصلی - 14سطوح متقارن - 15دایره اینرسی مور - 16پیچش در مقاطع متقارن چرخشی - 17تنش سایشی نیروی عرضی - 18نسبت مقادیر حداکثر :تنش عرضی به تنش خمشی در نیروی عرضی - 19تاثیر نیروی عرضی بر خم تیر ها ،ضریب پخش سایش - 20تنش شکاف صفحه 5 پروژهاي درسي طراحي و محاسبه مناسبترين ميز كار در منزل ميزنهارخوري در منزل صندلي كار در منزل تخت خواب در منزل كتابخانه در منزل ميز اتو سبد رخت صفحه 6 پروژهاي درسي طراحي و محاسبه مناسبترين خشك كن رخت و لباس جاكفشي جاي CD ميز TV صفحه 7 ساختار گزارش پروژه : اهداف پروژه وضعيت موجود موضوع در داخل كشور وضعيت موجود موضوع در خارج از كشور -تحليل اطالعات جمع آوري شده و ارايه طرحنو -انجام محاسبات الزم -فهرست منابع علميصفحه 8 زمانبندي فازهاي اجرايي : فازهاي اول ،دوم و سوم :حداكثر 3هفته بعد از اعالم فاز چهارم :حداكثر 5هفته بعد از اعالم فاز پنجم :حداكثر 1هفته قبل از امتحان صفحه 9 نحوه ارزيابي : 1نمره حضور 3نمره Home workدر کالس حل و تمرین 6نمره پروژه 10نمره ميان ترم و پايان ترم 3 +نمره نماینده کالس صفحه 10 حیطه کاری : بررسی بار گذاری متریال ،ناشی از نیروهای درونی و ممانها تغییر فرم قطعات ناشی از بارهای وارد بر آن صفحه 11 کاربرد : تعیین ابعاد قطعه (در فاز طراحی) ابعاد نسبت به استحکام ابعاد نسبت به سختی و سفتی قطعه نشانه تنش و فرم پذیری نشانه نسبت به استحکام نشانه نسبت به سختی و سفتی محاسبه میزان بار قابل تحمل میزان بارکذاری براساس استحکام میزان بارگذاری بر اساس سختی و سفتیصفحه 12 فرضیات : جسم صلب نبوده بلکه فرم پذیر است تغییر فرم ها در مقایسه با ابعاد قطعه کار ناچیز هستند مواد بایستی هموژن و ایزوتروپ باشند (خواص یکسان در نقاط و جهات) ‏خطی بودن تغییر فرم و میزان بارهای وارده بر جسم (قانون هوک) هیچ نیروی اولیه ای در داخل سازه ها قبل از بار گذاری وجود ندارد توضیح :سیستم های نامعین ایستایی درجه یک را می توان با صفحه 13 مدلهای پایه : مدلهای پایه ،مدلهایی با ساختار هندسی ساده هستند .برای این نوع مدلها میتوان شرایطی را بطور تقریبی در نظر گرفت. این نوع مدلها میتوانند بصورت سطحی و یا خطی باشند. صفحه 14 مدل قطعات سطحی که از جمله مدلهای دو بعدی با ضخامت کم می باشند ،عبارتند از : پوسته ورق صفحه تئوری پوسته ای تئوری ورق تئوری صفحه ای صفحه 15 مبانی بار گذاری در اجسام خطی کشش /فشار خمشی پیچشی صفحه 16 مدل های اجسام خطی ،از جمله مدلهای تک بعدی هستند که در آنها انبساط طولی جسم در برابر ابعاد عرضی خود بیشتر میباشد. شفت یا تیر طناب یا میله طناب یا زنجیر تئوری تیرها تئوری میله کششی مکانیک طنابها صفحه 17 مبانی بار گذاری در اجسام خطی سایشی /قیچی پرس سطحی ( لهیدکی) انحناء صفحه 18  - 1تعریف تنش چنانچه نیروی Fبر یک سطح Aاثر کند ،نسبت نیرو به واحد سطح را تنش گویند. ‏Fn ‏ ‏A صفحه 19 تجزیه نیروی Fدر دو راستای محور xو :y هریک از نیرو های تجزیه شده گویای نیروی محوری Fnو نیروی عرضی Ftمی باشند. صفحه 20  Fnنیروی محوری و عمود بر سطح مقطع جسم ،تنش محوری n صفحه 21  Ftنیروی موجود در سطح مقطع جسم که باعث تنش سایشی τمی گردد صفحه 22 نوع بار :کششی – فشاری ََ چنانچه نیرو عمود بر سطح اثر کند ،باعث ایجاد یک تنش محوری میشود صفحه 23 این تنش به عنوان تنش کششی /فشاری z/dنامیده می شود. بر اساس تعریف : ‏z/d = F / A توافق: تنش های کششی را مثبت و تنش های فشاری را منفی می گیریم صفحه 24 نوع بار :خمشی چنانچه نیرویی در جسم ایجاد ممان خمشی ( ) Mbکند، باعث ایجاد تنش خمشی bدر جسم می گردد که این تنش یک نوع تنش محوری است. ممان خمش Mbحول محور zها (از سطح به بیرون) تاثیر می کند. صفحه 25 کشش محور خنثی فشار حداکثر ممان خمشی Mb max = F* lاست. صفحه 26 نوع بار :پیچش ممان پیچشی در یک جسم باعث ایجاد یک تنش پیچشی τ میگردد. تنش های پیچشی از جمله تنش های سایشی هستند ،یعنی که بردار های تنشی در داخل سطح Aقرار دارند. تنش داخل سطح در مرکز سطح تنش صفر است .چه در شفت های تو پر و یا تو خالی Mtممان پیچشی حول محور xها تاثیر می کند. صفحه 27 نوع بار :نیروی عرضی سایشی نیرویی که بطور عرضی بر محور اصلی جسم اثر کند باعث ایجادتنش سایشی در سطح مقطع جسم می گردد .این تنش τq به صورت سهموی در سطح مقطع جسم Aتوزیع می گردد. صفحه 28 تنش لهیدگی صفحه 29 يادآوري :انواع تکیه گاه ها • تکیه گاه غلتکی • تکیه گاه ثابت • تکیه گاه گیر دار صفحه 30 تکیه گاه غلتکی تکیه گاه غلتکی دارای یک عکس العمل در راستای محور xقید و بند خود میباشد در اینجا به عنوان مثال Ayاست. مفصل صفحه 31 عمال این نوع تکیه گاه در صنعت می تواند یک بلبرینگ سوزنی باشد. صفحه 32 تکیه گاه ثابت تکیه گاه ثابت دارای دو عکس العمل در راستای محور xها و yها است .مثال Axو Ay صفحه 33 این نوع تکیه گاه عمال در صنعت می تواند یک بلبرینگ ساچمه ای باشد. صفحه 34 تکیه گاه اتصال گیر دار یک تکیه گاه اتصال گیر دار در سطح دارای سه عکس العمل می باشد .به عنوان مثال Ax ، Ayو Meرا می توان نام برد. ممان اتصال گیردار = ‏Me صفحه 35 محاسبه عکس العمل تکیه گاه ها داده ها F , α , l , a : مطلوبست :عکس العمل تکیه گاه ها صفحه 36 حل: • تجزیه نیرو ها در راستای محور های xو : y ‏Fx=F* cos α ‏Fy=F* sin α • منظور نمودن تمامی عکس العمل های ممکن تکیه گاه ها (جهت نیرو ها در ابتدا به دلخواه) صفحه 37 شرایط تعادل: الف) مجموع نیرو ها در محور xها بایستی صفر باشد: = 0 => Fx=Bx صفحه 38 ب) مجموع تمامی نیرو ها در محور yها بایستی صفر باشد: = 0 -Fy+Ay+By = 0 صفحه 39 ج) مجموع تمامی ممان ها حول هر تکیه گاه دلخواه بایستی :صفر باشد => ‏Fy با جایگزین کردن 2در :3 => معادالت 1تا 3از نوع معادالت خطی برای مجهوالت Ay ، Bxو Byبوده و تشکیل سیستم معادالت خطی را می دهند که با حل آن می توان سه مجهول مساله را تعیین نمود. صفحه 40 اساس برش در بحث مقاومت مصالح داده هاF , α , l , a : مطلوبست :نیرو های برش و ممان برش در مقطع برش I صفحه 41 حل: – 1محاسبه نیرو های عکس العمل تکیه گاه ها از روابط قبل داشتیم که: =By ‏Bx = Fx = Ay – 2برش قطعه کار در محل X راست چپ مقطع برش نیرو های داخلی صفحه 42 در مقطع برش نیرو های داخلی ظاهر می شوند که منجر به ایجاد تنش می گردند. – 3معادالت تعادل: الف) مقطع برش سمت چپ: ()1 منجر به ایجاد یک تنش z/dمی شود. ()2 صفحه 43 با جایگزین کردن Ayدر رابطه ( )2منجر به محاسبه ‏Qlمی شود: ()3 صفحه 44 با جایگزینی Ayنتیجه می شود: شرط تعادل باعث ایجاد سه معادله خطی می شود که یک سیستم معادالت خطی را تشکیل می دهد. ب) مقطع برش سمت راست: صفحه 45 کششیهای محوری (تک محوری) تنش تنش تنش کششی – فشاری صفحه 46 قانون هوک برای تنش های محوری (تک محوری) آزمایش کشش: اندازه ها با اندیس :0در حالت بدون بار گذاری اندازه های بدون اندیس :در حالت بارگذاری صفحه 47 نمونه ميله كششي با مقطع گرد براساس استاندارد ‏DIN50125-B1470 = d0قطر پراب = L0طول اولیه (L0 = 5 )d0 = D1قطر دنده = Lsطول میله در حال تست = L1طول کامل میله = hارتفاع کلگی صفحه 48 نمونه ميله كششي با مقطع تخت براساس استاندارد DIN50125-E5.50 =aضخامت پراب = L0طول اولیه = bپهنای دنده = Lsطول هنگام تست = Bپهنای کلگی = L1طول کامل = hارتفاع کلگی صفحه 49 صفحه 50 در میله های گرد : میله های کوتاه : میله های بلند : در قطعات تست با تقاطع غیر گرد : صفحه 51 صفحه 52 صفحه 53 صفحه 54 ازدیاد طول میله کششی: انبساط طولی: انبساط عرضی: ضریب انبساط عرضی یا ضریب جمع شدگی مقطع: صفحه 55 قانون هوک برای تنش محوری: ‏ =E*ε E = tan αضریب تناسب است که به ضریب ارتجاعی E معروف است که بستگی به جنس مواد دارد. صفحه 56 صفحه 57 هدف: تعیین رفتار مواد تحت بار محوری کششی و بدست آوردن شاخص های مواد که به راحتی برای سایر انواع بار ها قابل انتقال هستند. روند آزمایش: - 1آماده سازی نمونه ( پراب) بخاطر تاثیر شکل نمونه بر نتایج آزمایشات فرم و ابعاد آن استاندارد می باشد: فرم ( گرد و یا تخت ) نسبت طول به قطر آن برای نمونه های کوتاه 5و براینمونه های بلند 10می باشد. صفحه 58 روند آزمایش: - 2روند آزمایش نمونه را بطور آهسته و بدون برگشت تا مرحله شکست کشیده و روند نیرو و ازدیاد طول ثبت و رسم می گردد. صفحه 59 صفحه 60 صفحه 61 صفحه 62 جدول ضرایب مواد مختلف جنس مواد ضریب ارتجاعی 10 N/mm² 5 G 104 N/ضریب ‏mm² فوالد 2,1 8,0 ‏GG12 0,75 3,0 ‏GG22 1,2 4,9 ‏Cu 1,3 - ‏Al 0,72 2,6 ‏Bronze 1,16 - صفحه 63 نمودارتنش – کرنش یا نمودار ‏ -ε قانون هوک صفحه 64 عالئم: : Rpمرز تناسب ،مرز روان شدن : Rmاستحکام کششی خط ممتد :مواد با مرز روان شدن کامال مشهود خط نقطه :مواد با مرز روان شدن غیر محسوس : R0.2مرز روان شدن جایگزین یا مرز انبساط 2/0 درصد یعنی انبساط االستیکی تا 2/0درصد مجاز است. صفحه 65 نمودارتنش – کرنش یا نمودار ‏ -ε قانون هوک صفحه 66 صفحه 67  max 68 صفحه F  Amin جدول( -)2-1ضریب ارتجاعی پواسون و ضریب حرارتی ‏μ )E(kN/mm2 )α(10-6 /K مواد (فلزات) 9/23 34/0 71 تا 5/18 24 - تا 59 78 آلومینیوم آلیاژی تا 8/16 8/18 35/0 تا 108 124 برنز 29 44/0 19 سرب 7/11 28/0 206 آهن تا 9 12 - تا 64 181 چدن 8/16 34/0 125 مس 26 - 44 منیزم 4/14 41/0 206 نیکل تا 9 19 تا 2/0 4/0 تا 186 216 12 28/0 215 فوالد ساختمانی 5/8 46/0 108 تیتان 30 29/0 128 قلع آلومینیوم فوالد آلیاژی صفحه 69 μ ) E(kN/mm )α(10-6 /K 2 مواد (غیرفلزات) تا 4/5 2/14 تا 15/0 22/0 تا 22 49 بتن - 34/0 8/9 یخ ( -4درجه ) تا 5/4 5/5 تا 1/0 28/0 تا 39 98 شیشه تا 9/4 1/5 44/0 تا 1 14 چوب صفحه 70 صفحه 71 صفحه 72 صفحه 73 صفحه 74 ضریب اطمینان : ضریب اطمینان ( )Factor of safetyبصورت زیر تعریف می شود بار شکست یک قطعه بار مجاز یک قطعه ‏S در قطعات تحت کشش این ضریب می تواند در تقسیم تنش شکست (حد) به تنش مجاز بدست آید. صفحه 75 پخش تنش موجود در مقطع غیر عمود بر محور جسم در این بخش ،پخش تنش های موجود در یک مقطع غیر عمود بر محور میله که تحت تاثیر بار کششی و یا فشاری است ،بررسی  می گردد 0برای این فرضی زده می شود برش عمودی آن مقطع نسبت به سطح زاویه میله با مقطع B-B منظور در صفحه 76 صفحه 77 Fiy  0  F  cos    A  0 A0 A cos  F 2    cos  A0   o  cos 2  Fix  0    A  F  Sin   0 78 صفحه F F 1    sin    cos   sin   o   sin 2 A Ao 2 2 2 o  45  o  ( )  2 2 o  45    max 2 79 صفحه صفحه 80 قانون هوک برش رابطه میان ضریب ارتجاعی Eو ضریب سایشی G صفحه 81 میله صاف بارگذاری شده در راستای محور – 1تنش و تغییر طول صفحه 82 با فرض ثابت بودن ) A(xو ) N(xانتگرال ساده شده : سفتی انبساط میله ساده صفحه 83 بار ناشی از وزن خود جسم G صفحه 84 شرط تعادل : صفحه 85 روند حل مسئله در طراحی قطعات : -1تعیین نیروها و ممان های موثر بر قطعه کار (مباحث استاتیک) -2محاسبه تنش محوری ‏M ___ ‏W و نیز تنش بر شی =τ -3تعیین مقادیر حداقل σو τاز جداول استاندارد حسب نوع جنس قطعه -4از مقادیر حداقل σو τو ضریب ایمنی Vمقادیر تنش های مجاز مجاز τو مجاز σمحاسبه می گردد. -5چک کردن اینکه تنش مجاز بیشتر از مقدار تنش موجود در قطعه کار است .به عبارت دیگر تنش موجود در قطعه کار بایستی همواره کمتر از تنش مجاز باشد. در غیر اینصورت بایستی سطح مقطع جدیدی برای قطعه کار در نظر گرفته شود. صفحه 86 مسئله : یک سیستم کابل مجموعه ای از سیمچه هایی به قطر = mm 1,2 dو تنش روان شدن .N/mm2 1600 = Rmچنانچه این سیم کابل تحت بار نیروی kN 100 = Fsقرار گیرد ،مطلوبست محاسبه تعداد سیمچه های کابل چنانچه ضریب ایمنی آن در برابر پارگی 4باشد (تنش روان شدن = 4برابر تنش مجاز )؟ صفحه 87 حل : صفحه 88 مثال: با فرض داده های A2و Fبرای میله کششی داده شده در شکل مطلوبست : -1تعیین تنش عمود بر سطح مقطع ، A2تنش عمود بر سطح A1و تنش برشی τبعنوان تابعی از A2 ، Fو α درجه ؟ صفحه 89 صفحه 90 مثال : سازه ای متشکل از دو میله که در نقطه Aاز طریق یک مفصل به یکدیگر متصل شده اند ،در مفصل تحت تاثیر نیروی Fقرار می گیرند .با فرض معلوم بودن مقادیر F ، A1 ، L1 ، L2 ، E ، α و β مطلوبست تعیین مقدار A2بطوریکه نقطه Aتنها در راستای عمودی انتقال یابد. صفحه 91 صفحه 92 مثال : ورقهای پرچ شده به ابعاد داده شده در شکل با نیروی F= 40kN کشیده می شوند .مطلوبست تعیین مقدار حداکثر تنش کششی σ ‏max موجود در هر یک از ورقه ها ؟ صفحه 93 حل : حداکثر تنش در حداقل سطح موثر است .در مقطعی از ورق فوالدی که در اثر سوراخ پرچ تضعیف شده است ،حداکثر تنش بوجود می آید ،حداقل سطح این مقطع با ابعادش در شکل داده شده است. صفحه 94 صفحه 95 مثال : به قطعه پالستیکی استوانه ای شکل به طول loنیروی فشاری fاثر می کند ،در نتیجه باعث کاهش طول در قطعه پالستیکی می شود .با فرض اینکه طول کاهش یافته االستیکی قطعه I1و ضریب ارتجاعی آن E1باشد ،با مفروضات داده شده : مطلوبست محاسبه : -1تنش فشاری موجود در قطعه پالستیکی ؟ -2قطر الزم برای قطعه پالستیکی d؟ صفحه 96 مثال : بلوک آزمایشی از جنس چینی به قطر mm 30با وراد آمدن نیروی Fبه میزان kN 378 تحت زاویه 450می شکند. مطلوبست محاسبه تنشهای محوری و عرضی ( )τ, σموجود در لحظه شکست ؟ حل : طبق معادالت زیر می توان نوشت که : صفحه 97 مثال : یک سیم بکسل که مجموعه ای از چندین سیمچه (سیم های باریک) است باید نیروی Fرا تحمل کند .با فرض داده های مساله این سیم بکسل باید از چند سیمچه به قطر dتشکیل شده باشد ،تا تنش موجود در سیم حداکثر برابر تنش مجاز مواد سیمچه (مجاز ) σ باشد ؟ داده ها : صفحه 98 مثال: کابل جرثقیل به طول Lباری به نیروی وزنی Gرا باید تحمل کند .کابل خود از nسیمچه تشکیل یافته است .بر فرض اینکه تنش مجاز مواد سیمچه ها در برابر پارگي (مجاز )σمعلوم باشد و ضریب اطمینان در برابر پارگی Sباشد ،با فرض داده های مساله مطلوب است محاسبه قطر یک سیمچه در صورتیکه وزن سیم نیز در محاسبات در نظر گرفته شود؟ حل : صفحه 99 مثال : سازه ای با مقطع استوانه ای شکل به قطر خارجی Dو قطر داخلی لوله dتحت تاثیر نیروی کششی Fقرار می گیرد .با داده های مساله مطلوب است محاسبه قطر داخلی لوله dبا فرض بر اینکه تنش مجاز آن مجاز σباشد؟ صفحه 100 مثال : مطلوبست محاسبه حداکثر طولی را که یک میله آویز از جنس فوالد St 34با مفروضات زیر قبل از گسیختگی در اثر وزن خود می تواند داشته باشد .؟ صفحه 101 مثال : در صنعت ورق کاری عمومًا از پرچ جهت اتصال دو ورق به یکدیگر استفاده می شود .حال اگر قطر پرچ mm 25 = dو نیروی کششی kN 18 = Fباشد .پهنای ورق ؟ ابعاد b)sو s مطلوبست تعیین تنش مجاز آن باشد و ضخامت آن ( باشد؟ )bده برابر ورق ( صفحه 102 مسئله : یک سیم کابل بایستی نیروی N 250را انتقال دهد .این سیم کابل از 37سیمچه هر یک به قطر mm 28/0تشکیل یافته است .مطلوبست محاسبه حداقل استحکام کششی این کابل چنانچه ضریب ایمنی آن در برابر پارگی 12باشد (تنش روان شدن = 4برابر تنش مجاز ) ؟ صفحه 103 مثال : سیستم کششی داده شده در شکل که مجموعه ای از پروفیل های Uشکل می باشد ،تحت نیروی کششی kN 38 = Fmaxقرار گرفته است .مطلوبست محاسبه سطح مقطع پروفیل هر یک از دو بازوی محوری این سیستم، در صورتیکه ضریب ایمنی آن در برابر تغییر فرم پالستیکی 9باشد؟ صفحه 104  - 7قانون هوک برای تنش های سایشی (تک محوره) عالئم: تنش سایشی = τ زاویه سایش ،زاویه قیچی = γ همچون قانون هوک برای تنش های محوری برای تنش های سایشی رابطه زیر معتبر می باشد: ‏τ=G*γ در این رابطه Gبه عنوان ضریب سایش یا فاکتور تناسب نامیده می شود. ‏ رابطه بین Eو : G که در این رابطه پواسون است. عدد جمع شدگی مقطع و یا ضریب صفحه 105 جابجایی قیچی کردن: تغییر زاویه انبساط : تغییر طول نسبی زاویه برش رابطه برش انبساط طولی انبساط مقطعی انبساط حچمی صفحه 106 رابطه بین انبساط و قیچی شدن صفحه 107 رابطه مابین ضرایب مرتبط با مواد صفحه 108 یک صفحه بازوی مثلثی که در تکیه گاه Bبا امکان چرخش درگیر می باشد از طرف دیگر در Cبر روی یک میله االستیک با مقطع چهارگوش قرار گرفته است .اندازه سطح مقطع در راستای محور xها متغیر می باشد .در قسمت پایین اندازه لبه برابر 2fو در قسمت باال برابر 2eمی باشد .این بازو در نقطه Aتحت تاثیر نیروی Fمی باشد .با ‏ (x ) مطلوبست : صفحه صرف نظر از وزن – 1نیروی h وارده بر میله در نقطه C؟ – 2تنش محوری در طول میله -3تغییر طول ؟ ؟ داده ها a,b,c,f,h,F,E : صفحه 109 مثال : مطلوبست محاسبه l تغییر طول قطعه داده شده در شکل که تحت نیروی کششی Fقرار دارد؟ داده ها F,E,d,D,l : صفحه 110 مثال : صندلی صلب داده شده در شکل تحت تاثیر نیروی Fقرار دارد .با فرض بدون وزن بودن صندلی مطلوبست محاسبه میزان جابجایی عمودی و افقی نقاط Aو Bو نیز میزان چرخش صندلی ؟ صفحه 111 مثال : برای سیستم داده شده در شکل با طول l = 1400 mو نیروی وزن G = 9,3 kNمطلوبست : – 1عکس العمل های درون تکیه گاه ها ؟ – 2مقادیر N,Q,Mدر مقاطع 3-1 , 2-1 , 1-0و نیز نمایش نمودار آنها؟ تعیین مقطع بحرانی؟ اجزای سیستم ملیه هایی از نوع پروفیل I-100هستند. مطلوبست – 3توزیع تنش محوری در مقاطع بحرانی و رسم نمودار آن و نیز تعیین حداکثر تنشهای کششی و فشاری در مقاطع بحرانی ؟ مقادیر برای پروفیل I – 100عبارتند از : صفحه 112 شکل : 1 صفحه 113 مثال : سیستم مفصلی داده شده در شکل ABCتحت نیروی Fبوده و توسط طناب فوالدی به قطر dبه محیط اطراف متصل است. مطلوبست : ‏ ‏s – 1تنش محوری موجود در کابل ؟ – 2نشست مفصل ) C (UCy؟ داده ها : ‏a = 1 m , F = 10000 N, d = 4 mm , Est = 2,1.10 5 N/mm2 صفحه 114 صفحه 115 مثال : مطلوبست تعیین روند ممان خمشی برای سازه داده شده در شکل که تحت بار گسترده و نیز محل و میزان حداکثر تنش خمشی؟ فرضیات : ابعاد مقطع تیر :ارتفاع hو عرض b داده ها : صفحه 116 سیستم های نامعین ایستائی تحت بار محوری موقعی که در یک سازه تعداد معادالت ایستایی جهت محاسبه نیروهای عکس العمل تکیه گاه ها و مفاصل آن کافی نباشد ،آن سازه را سازه نامعین ایستایی گویند. میزان درجه نامعینی هر سیستم برابر است با : تعداد معادالت ایستایی – تعداد مجهوالت = n 117صفحه  :مثال میله صلب ABCدر نقطه Aبه تکیه گاه صلب لوال شده است و در نقاط Bو Cاز کابلهای مشابه آویز شده است. طول ،قطر و جنس کابلها یکسان بوده و میله تحت تاثیر نیروی F = 100kNقرار گرفته است . مطلوب است نیروهای موجود در کابل ها و تعیین مقدار نیروهای عکس العمل موجود در تکیه گاه A؟ 118صفحه حل : با استفاده از دیاگرام آزاد جسم در شکل می توان شرط تعادل نیروها را در راستای محور yها و ممان نسبت به تکیه گاه Aرا نوشت : 119صفحه .بدین ترتیب دو معادله حاصل شود ،در صورتیکه 3مجهول موجود می معادله سوم را می توان از رابطه هندسی بین تغییر طولها نوشت .اگر تغییر طول طنابها متصل به نقاط Bو Cرا به B Δو C Δنمایش داده شود از تشابه دو مثلث ’OBB ‏BB ‏CC کهB : و ’OCCمی توان نوشتC ‏ ‏ ‏ ‏ C 2 B ‏OB ‏OC 2 ‏m 4 ‏m 120صفحه مقدار جابجایی ΔLبا توجه به طول Lطناب از رابطه زیر قابل محاسبه می باشد : 121صفحه  :در خرپاهای ایستایی نامعین درجه یک محاسبه نیروی میله ها : 122صفحه  :محاسبه انتقال گره ها این رابطه هندسی است که گویای یک رابطه مضائف می باشد 123صفحه  :خرپاهای ایستایی معین :ابتدا محاسبه نیروی میله ها :محاسبه تغییر طولها 124صفحه  :محاسبه انتقال گره ها 125صفحه  :مثال سه میله مفصلی S1 ، S2و S3از فوالد به قطر mm 20 = d طبق شکل باید نیروی F = 40 kNرا تحمل کنند .با فرض α = 030مطلوب است محاسبه تنش وارده بر هر یک از سه میله کششی ؟ 126صفحه  :مثال میله مستقیم همگن که از دو طرف گیردار می باشد تحت اثر نیروی محوری Fاست که در یک سوم طول تیر از نقطه باالیی قرار گرفته است ،مطلوبست تعیین تنش ماکزیمم در تیر ؟ 127صفحه  :حل دستگاه نامعین از درجه اول است. ‏ΣFiy = 0 → FA + FB = F طول کلی میله تغییر نمی کند ،زیرا دو سرش گیر دار است. پس ازدیاد طول قسمت باالیی برابر با انقباض قسمت پایین است . 128صفحه FB 129صفحه سیستم نامعین ساخته شده از مصالح متفاوت (سیستم مرکب) در بعضی از سازه ها الزم است که اجزائی از آن با جنس های مختلف بکار برده شود ،مثًال کابل های برق ترکیبی از مس و فوالد می باشند. سیم های مسی جهت انتقال جریان برق و سیم فوالدی جهت تقویت قدرت تحمل کابل بکار گرفته می شود. مثال دیگر را می توان در رابطه با ستونهای بتون آرمه نام برد. صفحه جهت توضیح بیشتر این مطلب شکل را که از دو میله با 130 طول برای اینکه حالت تعادل جسم آویز به دو میله حفظ گردد ،باید ازدیاد طول هر دو میله یکسان باشد ،پس با جایگزینی مقادیر برای I Δمی توان مقدار هر یک از این نیروها را جهت محاسبه نیرو به انجام رساند : 131صفحه IΔ 132صفحه E1 . A1 F. L1 F1  E1 . A1 E2 . A2  L1 L2 E1. A1 F. L1 F1  n Ei . Ai 1 L i صفحه133 مثال ستون بتون آرمه کوتاهی مطابق با شکل محتوی 9عدد میله فوالدی به قطر mm 20 می باشد .اگر ابعاد این ستون cm2 50 × 50باشد و تحت فشار نیروی kN 1000 = Fقرار گرفته باشد ،مطلوبست : -1مقدار تنش های موجود در بتن و فوالدها ؟ -2مقدار کاهش طول ستون که تحت فشار قرار گرفته است ؟ 134صفحه  :با فرض اینکه 135صفحه  :مثال مطلوبست محاسبه نیروهای راکسیون تکیه گاه های Bو Cبرای شفت داده شده در شکل با مفروضات داده شده در شکل ؟ :داده ها 136صفحه مثال : تیر داده شده در شکل توسط دو کابل با استحکام انبساطی EA و تکیه گاه Dبه محیط اطراف خود متصل شده است .نیروی خارجی Fدر نقطه Bبر این تیر وارد می آید. مطلوبست: – 1محاسبه نیروهای وارده در کابل ها و عکس العمل های تکیه گاه D؟ – 2محاسبه میزان جابجایی نقطه Bبر اثر نیروی خارجی F؟ – 3ارایه یک تخمین برای محدوده اعتباری مقادیر محاسبه شده با فرض فوالدی بودن کابل ها ؟ داده ها : 137صفحه مثال : لوله ( Hطول lو سفتی انبساط ( ) H)EAبا پیچ ( Sارتفاع رزوه tو سفتی انبساط (( S)EAدر ابتدا بگونه ای متصل شده است که هیچگونه نیرویی بین مهره و لوله بوجود نمی آید .حال با سفت کردن مطلوبست: به میزان nدور کامال لوله با مهره پیچ – 1محاسبه میزان نیروی وارده از پیچ بر لوله FS؟ پیچ درگیر می شودls . ؟ طولپیچ – 2محاسبه تغییر – 3مقادیر موارد 1و 2چقدر خواهد بود چنانچه پیچ و لوله را صلب در نظر بگیریم یعنی :داده ها 138صفحه  :مثال 139صفحه سیستم داده شده در شکل از سه میله با طولهای l1,l2و l3 تشکیل یافته که بدون تنش در نقطه Cتحت نیروی Fقرار دارد. مقادیر استحکام کششی میله ها EA1, EA2و EA3می باشد. مطلوبست : – 1نوشتن معادالت تعادل در نقطه C؟ - 2محاسبه میزان انبساط میله ها؟ – 3رسم نمودار جابجایی و رابطه آن با شرایط قابل تحمل بار؟ – 4تعیین نیروهای S1,S2و S3؟ داده ها : 140صفحه مثال: سیستم داده شده در شکل که متشکل از دو میله 1و 2می باشد تحت تاثیر نیروی Fقرار دارد. مطلوبست : – 1محاسبه نیروهای S1و S2؟ – 2میزان جابجایی نقطه تاثیر نیروی ()B 141صفحه ر درجه حرارت بر پخش تنش و کرنش طولی در سیستم های معین تاثیر درجه حرارت بر پخش تنش و کرنش طولی در سیستم های مع افزایش درجه حرارت در جسم باعث افزایش طول و عرض و یا به عبارتی انبساط آن در دو بعد می شود. میزان انبساط بستگی به میزان افزایش درجه حرارت داده شده و نوع مصالح جسم دارد. در اجسام یکنواخت و ایزوتروپ این انبساط در هر نقطه و در هر جهتی بصورت یکسان صورت می پذیرد. 142صفحه بعنوان مثال یک میله به طول Lدر اثر ازدیاد درجه حرارت ( )ΔTبه میزان Lt Δافزایش طول می یابد که مقدار افزایش طول حرارتی آن برابر است با : ‏ΔLt = α × ΔΤ × L 143صفحه دراین رابطه ضریب انبساط گرمائی αبستگی به نوع مصالح جسم دارد. مقدار αبرای هر جنس ثابت نبوده بلکه بستگی به میزان درجه حرارت آن دارد. مقادیر داده شده برای αعمومًا برای یک محدوده درجه حرارت معتبر می باشد .بعنوان مثال مقادیر زیر برای درجه 1 حرارت6 01تا C100 معتبر 1 می  6 . باشند ‏α AL 2410 0 , 16/510 0 , α Fe 1210 0 ‏C ‏C ‏C ‏6 144صفحه پس کرنش گرمائی برابر است با تغییر طول نسبی در اثر درجه حرارت در صورتیکه تنش وجود نداشته باشد : ‏L ‏T  )  T  ( T  To ‏L 145صفحه میزان کرنش حرارتی در حالت سرد کردن نیز صادق است و فقط عالمت آن منفی می شود .اگر از انبساط حرارتی یک جسم جلوگیری شود ،در نتیجه در آن تنش بوجود می آید. کرنش حرارتی می تواند تنها در یک سیستم استاتیکی نامعین پدید آید ،یعنی جائی که از انبساط حرارتی ممانعت بعمل آید. 146صفحه در یک سیستم استاتیکی معین نمی تواند کرنش حرارتی ایجاد شود زیرا که تغییر فرم ایجاد شده در اثر انبساط حرارتی مجددًا به حالت اولیه خود باز می گردد. تنش در هر جسم باعث ایجاد انبساط االستیک در آن می گردد. 147صفحه از این رو در یک جسم با تنش حرارتی همیشه یک انبساط االستیکی ( )εelو یک انبساط حرارتی ( )εTپدید می آید که در مجموع کل انبساط برابر می شود : ‏ L  LT  Lel ‏ l   LT   Lel  ‏ ‏ ‏e ‏L ‏e ‏  T   el 148صفحه طبق قانون هوک می توان تنش حرارتی را تابعی از ضریب ارتجاعی و کرنش حرارتی نوشت : )  T E  T  E  (T  To 149صفحه  :مثال دو سر سه میله ،توسط دو صفحه افقی مسدود شده است. اگر این میله ها را به میزان ΔΤحرارت داده شوند ،برای اینکه حالت تعادل صفحات حفظ گردد باید میله های یک و سه دارای یک طول و کامًال از هر نظر یکسان باشند .مقدار انبساط طولی و طول هر سه میله نیز یکسان می باشد. مطلوبست محاسبه تنش حرارتی موجود در هر یک از این سه میله؟ 150صفحه  ΔL = 3ΔLبا فرض اینکه طول هر سه میله مساوی باشند و = 2ΔL = 1ΔL A = 1 Aو E = 1 E 3و 3α = 1 α 3 :حل سیستم را مطابق شکل برش آزاد زده و شروط تعادل برقرار می شود. 151صفحه ΣFiy  0  F1  F2  F3  0  2F1 0F2  2σ 1 A 1 0 σ 2 A 2  σ2 صفحه152 A1  0/5  σ 1  A2 بدلیل یکسان بودن میله های 1و 3کرنش طولی در این دو با هم برابر است : ‏1 ‏F1 ‏ 1  1el   1T   1  T  ‏ 1 T ‏E1 ‏A1  E1 ‏σ2 ‏F2 ‏ε 2  ε 2el  ε 2T  ‏ α 2 ΔT  ‏ α 2 ΔT ‏E2 ‏A 2 E 2 153صفحه  :از معادالت تعادل نتیجه می شود که ‏F2   2F1 ‏F1  F3 ‏L1  L2 ; L1  L2  1  2 154صفحه  تغییر فرم داده نتیجه می شودF1 این رابطه را برحسب F1  2  F1 1  2   1 T    2 T A1  E1 A2 E2 1 2 F1 (  ) ( 2   1) . T A1 E1 A2 E2 صفحه155 مقدار نیروی کششی موجود در میله یک ( 2  1 ) T ‏F1  1 2 ( ‏ ) ‏A1 E1 ‏A2 E2 مقدار تنش کششی موجود در میله یک که برابر مقدار تنش کششی موجود در میله سه از رابطه زیر محاسبه می گردد: ( 2  1 ) T ‏1  1 2 A1 ( ‏ ) ‏E1 1 ‏A2 E2 156صفحه  :مقدار تنش موجود در میله دوم ‏A1 ‏ 2   2  1  ‏A2 157صفحه  :مثال تیر صلب بدون وزن OABد رنقطه Oلوال شده و توسط دو میله CAو DBآویز می باشد .اگر درجه حرارت سیستم به اندازه ΔΤباال رود ،با فرض داده های در شکل چه تنشهای درهر یک از میله ها بوجود می آید؟ 158صفحه  :حل در اثر انبساط میله ها تیر حول نقطه Oچرخیده و بصورت داده شده در شکل در می آید .نیروهای موجود در میله ها را ابتدا کششی فرض می شوند .دو میله در اثر ازدیاد درجه حرارت سعی در افزایش طول دارند .تیر صلب OABمانع از انبساط آنها میگردد .در نتیجه باعث ایجاد دو نیروی FAو FBدر هر یک از دو میله می شود. 159صفحه ازدیاد طول میله ) CA (ΔAدر اثر نیروی FAدر درجه حرارت ΔΤبرابر است با : ‏FA L ‏A  ‏   T L ‏E A ازدیاد طول میله ) DB (ΔBدر اثر نیروی FBدر درجه حرارت ΔΤبرابر است با : ‏FB  L ‏B  ‏   T L ‏E A صفحه 160 از روابط مثلثاتی دو مثلث OBBو OAAنتیجه می شود که : ‏B ‏A  2 با جایگزینی مقادیر داده شده در رابطه فوق نتیجه می شود که ‏FA  L 1 ‏FB L (   T  L   )  T L ‏E A 2 ‏E A ‏FA 0/5 FB 0/5 T E A 161صفحه از شرط تعادل معادله ممان نقطه Oنتیجه می شود : ‏M o 0  FA   FB 2 0  FA   2 FB مقادیر دو نیروی FAو FBاز حل دو رابطه فوق حاصل می گردد 1 1 ‏FB   E  T  B   E  T 5 5 2 2 ‏ E  T  A  ‏ E .  T 5 5 ‏FA   162صفحه  :مثال میله ای با سطح مقطع یکسان از دو جنس فوالد و مس بطول هر یک m 1 = Lcuو m 5/1 = Lstساخته می شود .با فرض داده های مساله اگر درجه حرارت میله به اندازه C0 50افزایش داده شود ،مطلوبست محاسبه مقدار تنش حاصل در میله ؟ 163صفحه 5 Est 2/110 N / mm -7  cu 16510 صفحه164 2 , Ecu  110 N / mm 1 0 C 1 ,  st  12510 0 C 5 -7 2  :حل 165صفحه مثال میله ای مطابق شکل در دمای 0C 15 - = T1در بخش باالئی خود کامال درگیر است و بخش زیرین آن با صفحه صلب mm 4/0فاصله دارد ،اگر دمای میله را تا موجود درمیله ها با فرض : ‏N ‏Est 2/110 ‏mm 2 5 1 ‏C0 ‏7 ‏ cu 16510 ‏N ‏Ecu 1 10 ‏mm 2 5 1 ‏ st 12510 ‏C0 -7 166صفحه  :حل 167صفحه مثال: میله ای به شکل مخروط ناقص در هر دو طرف خود کامًال درگیر است .در صورتیکه حرارت آن C0 30افزایش یابد، مطلوبست محاسبه مقدار حداکثر تنش موجود در آن ،با ‏N فرضیات داده شده زیر  7 1 : ‏E st 2/110 ‏12510 0 2 ‏mm / σ st ‏C 5 ‏L 100cm , T  30C 0 , d1 10cm , d 2 100cm 168صفحه  169صفحه :مثال میله ای فوالدی از دو قسمت تشکیل یافته که سطح مقطع هر یک A1و A2به طولهای L1و L2مطابق شکل می باشد .اگر میله در درجه حرارت T1بین دو دیوار محکم شده باشد و دما را تا درجه حرارت T2افزایش دهیم. 170صفحه مطلوبست محاسبه مقدار حداکثر تنش ایجاد شده در میله در درجه حرارت T2با مفروضات داده شده در مساله ؟ 2 5 0 0 ‏L1  L2  L , T1  5 C , T2  25 C , E  2 / 1 10 N / mm 1 ‏C0 ‏7 ,  125 10 2 , A2 15 cm 2 ‏A1 5 cm 171صفحه  172صفحه تاثیر تنش حرارتی در ورقهای چند الیه ای در صنعت اغلب جداره مخازن بدلیل نیازهای فنی از چند الیه متفاوت تشکیل می گردند ،که هر یک رفتار خاصی را نسبت به درجه حرارت از خود نشان می دهند. 173صفحه ورقه های مرکب از سه الیه از دو جنس مختلف تحت اثر ازدیاد درجه حرارت قرار دارد ،برای سادگی جنس فوالد و برنج را در نظر گرفته می شود. وقتیکه درجه حرارت افزایش یابد ،بعلت تفاوت ضریب انبساط حرارتی در صورتیکه الیه ها به هم نچسبیده باشند ،در فلز دارای انبساط طولی متفاوتی خواهند شد. لذا چون الیه ها به هم چسبیده شده اند ،الیه فوالدی مانع از ازدیاد طول بیشتر الیه برنجی می گردد. 174صفحه اگر این الیه ها آزاد بودند و با هم اتصال نداشتند ،فوالدها بمقدار ΔΤ . I.max αو برنج به مقدار ΔΤ . I.B αازدیاد طول پیدا می کرد .الکن چون این سه الیه متصل با یکدیگرند ،الیه برنجی باعث افزایش طول بیشتر الیه فوالدی می گردد. کل سیستم مطابق شکل تغییر طولی می یابد. 175صفحه  176صفحه Lst  B . L. T   st . L . T  LB Lst  LB  ( B   st ) . T .L Lst . Fst LB . FB L .T . ( B   st )   Est . Ast E B . AB 2.Fst  FB  2. st . Ast  B . AB صفحه177 مثال : ورقه ای به عرض mm 50و به ضخامت mm 36از سه الیه متفاوت به ضخامت یکسان mm12مطابق شکل ساخته شده است .الیه آلومینیومی در وسط و الیه های برنجی در بهم متصƒل شƒده انƒد .اگƒر درجƒه حƒرارت C 18 افزایش دو طرف آن و در درجه حرارت الیه را تا میزانC 50 مجموعه 3 یابد ،مطلوبست تنش ایجاد شده در هر یک از الیه ها با مفروضات داده N شده3 : ‏E AI  70 10 ‏mm 2 ‏N 3 ‏E B 100 10 ‏mm 2 1 0 ‏C 1 0 ‏C ‏6 ‏ AI  22 10 ‏ B  18 10  6 178صفحه  :حل 179صفحه مثالعرض mm 50و به ضخامت ورقه ای به mm 36از سه الیه متفاوت به ضخامت یکسان mm12 مطابق شکل ساخته شده است .الیه آلومینیومی در وسط و الیه های برنجی در دو طرف آن و در درجه حرارت C0 18بهم متصل شده اند .اگر درجه حرارت مجموعه 3الیه را تا میزان C0 50 افزایش یابد، مطلوبست تنش ایجاد شده در هر یک ‏N داده E Al ‏ 70 ‏10 شده : مفروضات از الیه ها با ‏mm2 ‏N 3 ‏EB  10010 ‏mm2 3 1 ‏6 ‏ Al 22 10 ‏C0 1 ‏6 ‏ B 18 10 ‏C0 180صفحه  181صفحه    T   el  T  E  T  E   (T  To ) صفحه182  :مثال فرض اینکه طول هر سه میله مساوی باشند و ‏L1  L2  L3  L , 1  3 , E1  E3 ‏A1  A3 183صفحه  حل: Fiy  0  F1  F2  F3  0  2 F1   F2  2 1  A1    2 A2 A1   2  2  1  A2 1 F1  1   1eI   1T   1  T   1  T E1 A1  E1 صفحه184 2 F2  2   2 el   2T    2  T    2  T E2 A2  E2 F1  F3 ; F2  2 F1 F1  2  F1 1  2    1  T    2  T A1 E1 A2  E2 1 2 F1  (  )  ( 2   1 )  T A1 E1 A2 E2 صفحه185 ( 2  1 )  T F1  1 2 (  ) A1  E1 A2  E2 ( 2   1 )  T  1 1 2 A1 (  ) E1 A2 E2 A1  2   2  1  A2 صفحه186 مثال تیر صلب بدون وزن OABدر نقطه Oلوال شده و توسط دو میله CAو DBآویز می باشد .اگر درجه حرارت هر سیستم باال رود ،با فرض ‏T به اندازه های در شکل چه تنشهائی در هر یک از میله ها بوجود می آید؟ 187 صفحه  188صفحه مثال : میله ای مطابق شکل در دمای = C0 15- T1در بخش باالئی خود کامال درگیر است و بخش زیرین آن با صفحه صلب mm 4/0 فاصله دارد .اگر دمای میله را تا 85 = T2افزایش یابد .مطلوبست تنش ‏N 5 ‏E st  2,1 10 2 ‏mmها با فرض : میله موجود در 1 ‏C0 ‏7 ‏ cu  156 10 ‏C0 ‏N ‏mm 2 1 ‏C0 5 ‏7 ‏E cu  1 10 ‏ st 125 10 189صفحه  190صفحه مثال : میله ای به شکل مخروط ناقص در هر دو طرف خود کامال درگیر است .در صورتیکه حرارت آن C 30افزایش یابد، مطلوبست محاسبه مقدار حداکثر تنش موجود در آن؟ با فرضیات داده شده زیر : 1 ‏7 ;  st 125 10 0 ‏C ‏N 5 ‏Est  2,1 10 ‏mm 2 ‏L 100 cm ; T 30 C 0 ; d1 10 cm ; d 2 100 cm 191صفحه  :حل 192صفحه مثال: میله داده شده در شکل بایدT سرد شود تا به بمیزان طول L-2aکوتاه شده تا در جایگاه خودش قابل تعبیه باشد. برای این منظور میزان اختالف دما چقدر باید باشد؟ پس از تعبیه میله در جایگاه خود به دمای محیط رسیده و در جایگاه خودش محکم می گردد .مطلوبست محاسبه تنش م.جود در تک تک مقاطع میله؟ داده ها : ‏a, b, L, A1 , A2 , E ,  T 193صفحه حل: 194صفحه مثال : میله داده شده در شکل در بین در دیواره بدون تنش و آزاد مطلوبست تعیین رابطه )u (x ) (x توزیع تنش تعبیه شده است. و محدوده T جابجایی میزان ناشی از گرم کردن میله به ؟ داده, rهاR, E , T , : T ,l 195صفحه مثال : منبع آب داده شده در شکل که از یک پایه مقطع گرد که شعاع آن بصورت خطی با میزان xکاهش می یابد و بر روی این پایه منبع با وزن Gقرار گرفته است .از وزن پایه صرف نظر میشود .بر اثر تابش خورشید بر پایه منبع یک توزیع حرارتی روی پایه صورت ) (x میگیرد که به صورت خطی با xافزایش می یابد .با فرض داده )(x هایuمسئله مطلوبست : – 1تعیین تابع تنش – 2تعیین تابع جابجایی داده ها : 0 1 ‏r0 , r1 , H , E , G,  T , T , T 196صفحه تنش لهیدگی میزان تنش لهیدگی باستی همواره کمتر ازمیزان حد مجاز حسب نوع جنس قطعه کار باشد. ‏Pshekast ‏F ‏P ‏Pmojaz  ‏n. A ‏ که در این رابطه : : Aسطح عمود به نیرو (تصویر سطح) = nتعداد سطح برش = ضریب ایمنی 197صفحه تنش لهیدگی ناشی از نیروی تک محوری (فشار سطحی) یکی دیگر از آثار نیروهای تک محوی ایجاد تنش لهیدگی است ،زیرا که انتقال نیرو از یک جسم به جسم دیگر تنها از طریق سطح تماس آنها امکان پذیر می باشد .اهمیت این امر در صنعت در موقع نصب ماشین آالت در جایگاه های خاص خود می باشد. 198صفحه تکیه گاه ها باید قادر به تحمل فشار سطحی باشند که منجر به تنش لهیدگی می شود. برای سطوح تماس مسطح ،فرض می شود که نیرو بطور یکنواخت در سطح مشترک آنها پخش باشد. تنش ناشی از این نوع فشار وارده بر سطح را تنش لهیدگی گویند، محاسبه می گردد: ‏F ‏ازPرابطه زیر مقدار آن ‏A 199صفحه واحد تنش لهیدگی نیز همچون دیگر انواع تنش N/mm2می باشد. تنش لهیدگی مقیاسی است برای بارهای خارجی وارده بر جسم که از آن جمله می توان بارهای گسترده را نام برد. 200صفحه پخش لهیدگی ناشی از تماس یک غلطک بر سطح مسطح داده شده است .پخش تنش لهیدگی در کل سطح تماس بصورت یکنواخت نمی باشد .حداکثر مقدار تنش در راستای نیروی وارده Fمیباشد. از جائیکه محاسبه پخش این گونه تنش بسیار پیچیده می باشد ،لذا کافی است در محاسبات از تصویر سطح تماس استفاده شود. 201صفحه تنش لهیدگی در سطوح شیبدار در مکانیک بعضا باید تنش لهیدگی را برای سطح شیبدار محاسبه نمود ،زیرا تنها مولفه عمودی هر نیرو بر سطح است که میتواند عامل تنش لهیدگی باشد. بعنوان مثال ،چنانچه سطح داده شده در شکل در نظر گرفته شود ،جهت محاسبه تنش وارده بر هر یک از دو داردF . ‏ 800 سطح با اندازه های داده شده دو راه حل N وجود ‏  300 ‏A1 2000 ‏mm 2 ‏A2 1000 ‏mm 2 202صفحه  :راه حل اول جسم را مطابق شکل برش آزاد زده و نیروهای خارجی و راکسیون وارد بر آن را رسم کرده و رابطه کلی را برای هر یک از سطوح نوشته شود: ‏F ‏ ‏Cos  ‏FN 1 ‏FN 2  F . tan  203صفحه 0/462N / mm 2 2 ‏FN 2 ‏F . tan  ‏P2  ‏ ‏A2 ‏A2 ‏0/462N / mm ‏FN 1 ‏F ‏P1  ‏ ‏A1 ‏A1 . cos  :راه حل دوم محاسبه تنش با استفاده از تصویر سطح شیبدار است که در آن : ‏F ‏ ‏A . cos  ‏F ‏P  ‏Aproj 204صفحه تنش لهیدگی در دنده های پیچ و مهره ها خوردگی دنده های اتصال پیچ و مهره بستگی به میزان تنش لهیدگی موجود مابین این دو دارد. از این رو در پیچ هائی که دائمًا در حرکت می باشند همانند پیچ های بزرگ در دستگاه پرس باید از ارتفاع ( )mکافی برخوردار باشد ،تا اینکه حداکثر تنش وارده بر آن از مقدار مجاز آن تجاوز نکند ،ذیًال به چگونگی محاسبه ارتفاع دنده های پیچ اشاره می شود. 205صفحه معموًال برای پیچ هایی که دائمًا در حرکت باشند از دنده های ذوزنقه ای شکل استفاده می شود .با فرض اینکه ضریب گام = ، Pعمق درگیری دنده ها ، H1تصویر سطح یک دور دنده تصویر ΔAو تعداد گام های دنده ها i شکل می توان نوشت : باشد ،طبق m ‏p ‏i  و Aproj  . d 2 . H1 206صفحه پس تصویر کل سطح درگیر مابین پیچ و مهره برابر است با ‏m ‏Aproj i . APr oj  . d 2 . H1 . ‏p تنش لهیدگی که مقدار آنها باید همواره کوچکتر از مقدار تنش لهیدگی مجاز باشد ،برابر است با : ‏p.F ‏ ‏ Pmojaz ‏ .d 2 .H1 . m ‏F ‏Aproj ‏P  از این رابطه ،می توان رابطه محاسبه مقدار ارتفاع الزم دنده تعیین نمود. ‏P.F ‏m   . d . H . Pالزم 2 1 ‏mojaz 207صفحه تنش لهیدگی در تکیه گاه های سایشی و اتصاالت پرچی محاسبه تنش لهیدگی در چنین سطوحی همچون سطح تماس یک شفت با تکیه گاهش و یا اتصال پرچ با محیط اطرافش همواره پیچیده تر از سطوح مسطح می باشد. حداکثر تنش همواره در راستای تاثیر نیروست و مقدار آن نسبت به محیط اطراف تا مقدار صفر کاهش می یابد .در محاسبات مقاومت مصالح معموًال مقدار ماکزیموم تنش را در نظر گرفته می شود. 208صفحه جهت محاسبه تنش ماکزیمیوم Hertz ،روابط خاصی را از نتایج آزمایشات خود توصیه نموده که در اینجا بدانها اشاره می شود. جهت سادگی در محاسبات پرچها و تکیه گاه شفتها بجای معادالت پیچیده تنها یک تنش متوسط Pدر نظر گرفته می شود که در آن فرض می شود که نیروی Fبطور یکنواخت بر روی تصویر سطح تماس پخش می باشد. 209صفحه F ‏F ‏P  ‏ ‏ Pmojaz ‏Aproj ‏d . L مقدار ضریب خطائی که در این صورت در محاسبات وارد می شود با در نظر گرفتن مقدار تنش مجاز از این راه تقریبًا قابل اغماض می باشد. 210صفحه درپرچها تنش لهیدگی بستگی به تعداد پرچها ،نیروهای وارده و تصویر سطح تماس دارد. در محاسبات پرچها جهت باال بردن ضریب اطمینان باید کوچکترین ضخامت ورق را در نظر گرفت .بعنوان مثال در شکل به این تفاوت اشاره می شود. 211صفحه مثال: با فرض اینکه ضخامت mm 7 = S1و mm 5/3 = S2باشد ،مقدار سطح تصویر هر یک برابر است با : × mm 14 = d × mm 7 × 2 = A1 ‏d و ‏d × mm 5/10 = d × mm 5/3 ×3 = A2 چون مقدار سطح در رابطه تنش در مخرج قرار می گیرد ،از کمترین مقدار سطح بیشترین تنش حاصل می شود .در اینجا حداکثر تنش در هر یک از سه ورق به ضخامت S2می باشد. 212صفحه تنش مجاز لهیدگی در حالت بارگذاری ساکن مواد ( )N/mm2مجاز P فلزات : 50تا 60 فلزات سبک ،نرم 70تا 110 فلزات سبک ،سخت 30تا 40 فلزات رنگی (برنز ،مس، 100تا 150 150تا 180 70تا 80 چدن سرخ) فوالد فوالد سخت شده چدن خاکستری 213صفحه تنش مجاز لهیدگی در حالت بارگذاری ساکن مواد ( )N/mm2مجاز P واشرها : 5/1 5 5 8 الستیکی ،نرم الستیکی ،سخت چرم فایبر مصالح ساختمانی : 6/1 2 5/2 7/0 بتن ،کالسه متوسط بتن ،کیفیت خوب بتن ،کیفیت عالی دیوار آجری 214صفحه تنش لهیدگی در سطح تماس دو سطح قوس دار (روابط ) HERTZ این نوع تنش بعنوان مثال در سطح تماس دو جسم دوار (کره ای شکل ،سوزنی شکل و یا چرخ ها) پدید می آید که مقدار آنرا نیز میتوان از روابط HERTZمحاسبه نمود. کاربرد این روابط مشروط به وجود نکات زیر می باشد : دو جسم درگیر کامًال حالت ارتجاعی را داشته و هیچگونه تغییر فرم پالستیکی در هر یک از آنها رخ ندهد. در هر دو جسم درگیر قانون هوک نیز هنوز معتبر باشد. میزان تغییر شکل ارتجاعی در مقایسه با ابعاد اجسام درگیر بسیار ناچیز باشد. 215صفحه ‏در سطح تماس دو جسم ،تنها تنش محوری موجود باشد نه تنش لهیدگی موجود مابین یک کره با سطح مسطح و یا سطح تماس بین دو کره با توجه به شکل مقادیر داده شده از روابط زیر قابل محاسبه می باشد. ‏F . r 1/ 3 ( a 1,11 . ) ‏E ‏Po ‏P . ( a 2   2 )1/ 2 ‏a 1,5 . F ‏Po  ‏ . a2 ‏F2 ‏  1,23 . ( 2 )1/ 3 ‏E . r 216صفحه  = Lطول استوانه به mm = Pفشار وارد بر سطح به فاصله ρاز مرکز تا راستای تاثیر نیرو به N/mm2 Pmax = Poفشار وارد بر مرکز سطح تماس به N/mm2 = ρشعاع متغیر و یا طول تماس به mm = δکل سطح صاف شده و یا میزان نزدیکی دو جسم به یکدیگر به mm 217صفحه تنش لهیدگی موجود مابین دو غلطک با توجه به اندازه های داده شده در شکل روابط زیر را می توان نوشت : ‏F. r ( a 1,52 . . L ) 1/ 2 ‏E ‏Po 2 2 1/ 2 ) P  . (a   ‏a 2F ‏Po  ‏ .L. a صفحه 218 در این رابطه ها : = aشعاع سطح فشاری نيم دایره ای شکل و یا نصف عرض سطح چهارگوش به mm = Fنیروی فشاری به N =δمیزان نزدیکی دو جسم به یکدیگر ()mm = rشعاع معادل = شعاع قوس کره و یا استوانه به ،mmدر حالتی که هر دو جسم قوس داشته باشند مقدار rبرابر است با : 1 1 1 r1  r2 ‏  ‏ ‏r r1 ‏r2 ‏r1 . r2 219صفحه 1 اگر یکی از دو جسم مسطح0 ‏r2 .میگردد باشد در نتیجه = Eضریب ارتجاعی به N/mm2در صورتیکه دو جسم با جنسهای متفاوت باشند مقدار Eبرابر می شود با : 2  E1  E2 ‏E  ) ( E1  E2 220صفحه مثال : یک شفت کششی باید از طریق مهره خود در راستای طولی خود نیروی F= 20kNرا انتقال دهد . با فرض اینکه تنش کششی مجاز شفت N/mm2 80و تنش مجاز لهیدگی مابین دنده ها = N/mm2 15مجاز Pباشد مطلوبست -1تعیین نوع دنده های ذوزنقه ای شکل ؟ -2محاسبه ارتفاع مهره m؟ 221صفحه حل : 222صفحه مثال : تکیه گاه سایشی باید نیروی محوری Faو نیروی عمودی Frرا تحمل کند .با فرض بر اینکه نسبت L/d = 2,1و تنش مجاز لهیدگی = N/mm2 5مجاز Pو N 15000 = Frو kN 6 = Faمطلوبست محاسبه اندازه های L , d , D؟ 223صفحه ح :ل 224صفحه  :مثال بر روی قطعه ای از یک سیلندر هیدرولیکی نیروی FAبر روی تکیه گاه Aاثر می کند .مطلوبست : -1محاسبه قطر شفت dBبا ضریب ایمنی 8در برابر شکست ‏ ‏shekastباشد؟ = N/mm2 376 برای حالتی که جنس شفت از St50 -2محاسبه ضخامت لبه دهانه بازوئی Sزمانی که قطر انتخابی شفت mm 20 = dB باشد و میزان تنش لهیدگی از میزان مجاز آن = N/mm2 35مجاز Pتجاوز نکند؟ ‏FA = 20 kN 225صفحه  حل:   mojaz  FA  Bruch  .FA 8.20kN   A  212,8mm 2 2 2A  2. Bruch 2.376 N / mm 2 – ضخامت گوشوارهS A  .d B 4  dB  4. A  صفحه226 16,5mm  :مثال با توجه به شکل میزان نیروی سیلندری وارد بر قطعه FK = 10 kNبوده و جنس شفت CK45و ضریب ایمنی در برابر شکست چنانچه 8و تنش لهیدگی مجاز = N/mm2 30مجاز P باشد ،مطلوبست : -1محاسبه حداقل قطر مناسب برای شفت؟ -2محاسبه ضخامت ( )bبرای تنش لهیدگی مجاز؟ داده ها : 2 ‏ shekast 520 N / mm 227صفحه  :حل 228صفحه  :مثال ممان یک شفت محرک (موتور) توسط یک خاربه شفت دیگر انتقال می یابد. با فرض تنش لهیدگی مجاز سطوح جانبی شکاف = N/mm2 125مجاز pو عمق شکاف خار t = 6,4mmباشد. مطلوبست محاسبه طول خار ،وقتی که باید ممان 1500Nmبر روی یک شفت به قطر d=100 mmمنتقل شود ؟ 229صفحه  :حل 230صفحه  :مثال پیچ بست یک قطعه از یک ماشین از جنس C35 بوده و دارای قطر dB=18mmاست. مطلوبست محاسبه ضریب ایمنی زمانی که پیچ 2 نیروی موثر وارد بر ‏ shekast 416 N / mm آن FW=19kNباشد؟ 231صفحه  حل:   mojaz  صفحه232 2. A. shekast FK  shekast   11,1 2. A  FW  :مثال -1مطلوبست محاسبه قطر شفت خار( )dکه از جنس 16MnCr5در مفصل داده شده و با یک ضریب ایمنی سه در برابر شکست در زمانی که نیروی موثر بر آن FK=70 kNباشد؟ -2در دو گوشواره طرفین یک تنش لهیدگی = N/mm2 100مجاز Pمجاز می باشد. مطلوبست ضخامت گوشواره در صورتیکه ضخامت خار استوانه ای d=16mmانتخاب شده باشد ؟ ‏ shekast 704 N / mm 2 233صفحه  :حل 234صفحه  :مثال در تکیه گاه داده شده نیروی FK= 250 kNبر روی شفت از جنس ( C45E)CK45با تنش لهیدگی = N/mm2 30مجاز Pو طول تحت فشار b=150 mmبا یک ضریب ایمنی V=4,5در برابر شکست، مطلوبست محاسبه قطر خار استوانه ای ؟ 2 ‏ shekast 520 N / mm 235صفحه  236صفحه برش 4- دو نیروی مساوی مختلف الجهت که در یک راستا به صورت عمودی بر محور اصلی یک جسم اثر کنند ،سعی در انتقال یکایک مقاطع نسبت به یکدیگر را دارند ،از اینرو ،برش در جسم صورت می گیرد . 237صفحه در اثر نیروی عرضی وارده بر جسم ،در سطح مقطع برش، تنش برشی ایجاد می گردد .با این فرض که پخش تنش در سطح مقطع به صورت بکنواخت باشد ،می توان از شرط تعادل ،معادله آن را نوشت . 238صفحه  a  w ایندکس aبرای برش می باشد .با وجود اینکه شرط در نظر گرفته شده در رابطه با پخش یکنواخت تنش در سطح مقطع بندرت اتفاق می افتد ،الکن از آزمایشات انجام شده اعتبار رابطه داده شده تائید شده است . در محاسبات تنش فوالد نرم بجای مقدار τaاز مقدار تنش Rm استفاده می شود ،زیرا مواد نرم در مقایسه با مواد سخت که ترد و شکننده هستند ،تغییر فرم بیشتری را به خود میگیرند. برای آنکه یک قطعه مقاوم به برش باشد ،بایستی رابطه زیر صادق باشد . ‏ a  w صفحه 239 که در آن twتنش مجاز برش قطعه است . در صورت نیاز به برش قطعه ای باید تنش برشی به مقداری معادل با مقاومت گسیختگی برشی آن برسد ،بنابراین نیروی الزم جهت بریدن برابر است با : ‏F  a . A 240صفحه چنانچه در شکل داده شده است ،رگه های موجود در جسم عمدتًا تحت بار کششی قرار می گیرند .عمومًا تنش برشی همراه با تنش خمشی است . لذا در میله های کوتاه ،پیچ ها و پرچها به دلیل طول کم از مقدار ناچیز تنش خمشی ایجاد شده می توان صرف نظر نمود. 241صفحه در پرچها به دلیل کشش دو سر پرچ و الیه های میانی آنها ،عمومًا تحت تاثیر تنش کششی قرار می گیرند . در محاسبات ،پرچ موقعی تحت تاثیر برش در نظر گرفته می شود که اصطکاک ایجاد شده برای انتقال نیرو کافی نباشد . 242صفحه مثال : سه ورق داده شده در شکل توسط 9پرچ در سه ردیف 3تایی با یکدیگر متصل شده اند . به میزان ورقه وسطی توسط نیروی کششی F kN 40کشیده می شود .با فرض اینکه قطر هر پرچ mm 11 = dباشد ،مطلویست تنش برشی برای 9پرچ پرسی داده شده؟ 243صفحه حل : در حالت بحرانی هر یک از دو ورق ماکزیموم 50درصد نیروی F را باید تحمل کنند ، الکن بحرانی ترین وضع مربوط ورق وسط با نیروی Fاست .میزان تنش وارده بر آن با وجود 9عدد پرچ باید محاسبه گردد .از آنجا که طبق تعریف ،برش در حالتی صورت می گیرد که دو نیروی مساوی ،مخالف الجهت و در یک راستا بر جسم اثر کنند ،در اینجا مقاطع بحرانی پرچها از دو ناحیه امکان برش وجود دارد .پس سطح کل پرچهای درگیر را باید با مضرب دو در نظر گرفت : ‏11 2 mm 2  1711 mm 2 ‏ 4 ‏A  2 9  40 103 N 2 ‏ a  ‏ 23 , 4 ‏N / ‏mm 1711 mm 2 244صفحه پس میزان تنش برشی با فرض یکنواخت بودن پخش آن بر روی پرچها ،برابر N/mm2 24فرض می باشد . 245صفحه جهت صرفه جویی در مواد تولیدی چرخ مثال : در دنده عموماً جایی که بار زیادی بر آن وارد نیاید ،چرخ دنده از دو حلقه توخالی به قطر مطلوب که از طریق جوش به هم متصل شده اند ،تشکیل می شود ،در شکل چرخ دنده ساخته شده با مفروضات مساله داده شده است. مطلوبست محاسبه مقدار ممان مجاز وارده از طرف لوله توخالی توسط صفحه ارتباط در نقطه جوش مثلثی شکل با این فرض که مقدار تنش برشی مجاز آن باشد ؟ = N/mm2 60مجاز τ 246صفحه حل : کوچکترین سطح برش را خال جوش روی دو حلقه بعنوان رابطه آنها داراست .لذا حداکثر تنش در جوش داده شده ،در مقطع B-Bمی باشد .زیرا که کوچکترین سطح مقطع در این نقطه است .مقدار مقطع سطح برش Aminبرابر است با : 247صفحه Amin  2 . dm .  . a  2 .10 4 mm .  . 6 mm  3921 mm 2 :حداکثر نیروی مجاز در این مقطع برابر است با 235,2 kNحداقل  A مجا ز ‏ مجاز ‏Fmax  F :ممان ایجاد شده برابر است با  rm  Fmax  0,052 m . 235,2 kN  12,23 kNmمجازM 248صفحه مثال : صفحه ورقی به ضخامت mm 3 = Sوتنش مجاز برشی N/mm2 350 =aτ بایستی توسط پرس اشتانس به فرم داده شده در شکل در آید . مطلوبست محاسبه نیروی برشی الزم جهت انجام کار ؟ 249صفحه حل: ابتدا سطح جانبی برش محاسبه می شود : حداقل مقدار نیروی الزم برای برش را از مقدار سطح و تنش برشی می توان محاسبه نمود. نیروی برشی برابر می شود با N 246 = A × τa = Fپس برای انجام برش ،پرس نیروی برشی kN 250را باید دارا باشد . 250صفحه تنش خمشی سطح ‏A نیروی Fباعث ایجاد تنش خمشی Mbمی گردد. این تنش خمشی ایجاد شده ((b یکنواخت خطی است که میزان حداکثر آن برابر است با : بطوریکه Wbضریب ممان مقاوم دربرابر خمش است. 251صفحه خمش در حالت کلی 252صفحه مثال 253صفحه مثال 254صفحه َ تنش خالص تنش خالص تنها درصورت اثر نیرو در راستای محور تقارن مطرح باشد 255صفحه معادله اصلی خمش خالص بررسی نیروی عرض در مقطع تیر 256صفحه پخش تنش کششی و فشار در مقطع تیر 257صفحه پخش یکنواخت و خیط تنش در مقطع تیر 1 ‏h ‏Fi  i  Ai   max   b 2 2 1 h 2 ‏e h  2    h 3 2 3 258صفحه 1 ‏b h 2 ‏bh 2 ‏M b  Fi  e   max  ‏ h  max  2 2 3 6 تاثیر ارتفاع مقطع در میزان خمشی 259صفحه حاسبه تنش خمشی برای یک پروفیل چهارگوش و خم صاف 260صفحه پخش تنش فشاری کششی در یک مقطع تی شکل ‏dFi   dA ‏Fi  0  Fi  Fi  0 ‏dF  0    dA  0 ‏i 261صفحه  بدلیل تشابهSAB و SAمثلثهای B   max  max   y ymax y ymax     max  y ymax dA  0 y  dA  0 dM  y  dFi  y   dA صفحه262 M o  dM   y   dA برابر جمع این ممان ها M o با جایگزین مقدار 2 y Mo   max  dA  max [ ymax Wx  2 y   dA ymax ] 2 X  dA ymax هاX رابطه را می توان برای بارهای وارده در راستای W y  y dA / X max 2 صفحه263 I x  y  dA 2 Wx  W  Ix ymax Is e max Mb   y  y Ix صفحه264 I y  X Wy  2 dA Iy X max در حالت کلی: Is ‏W ‏emax ‏Mb ‏b  ‏W پخش تنش خطی در مقطع نیز خود مشروط به برقراری شرایط و مفروضات زیر خواهد بود : -1محور تیر باید باید همواره صاف باشد .بعنوان مثال در یک تیر خمیده بخاطر انحناء آن خطوط تنش در نقاط حساس آن متمرکز می شوند. 265صفحه  -2مقطع مورد بررسی تیز نباید در نزدیکی مقاطعی که سریعًا اندازه آنها کاهش و یا افزایش یافته باشد ،زیرا که این خود نیز باعث تمرکز تنش در مقاطع حساس خواهد شد. 266صفحه  -3مقطع مورد بررسی تیر نباید در نزدیکی نقطه تاثیر نیرو و یا تکیه گاه باشد .زیرا در نقاط تاثير نیرو ،پخش نیرو عمومًا در سطح مقطع مزبور بصورت یکنواخت نمی باشد. 267صفحه  -4مصالح مورد استفاده باید در موقع تغییر فرم ،تابع قانون هوک باشد .در حالت تغییر فرم نیز باید همواره سطح مقطع ها صاف و عمود بر محور اصلی تیر باشند .این شرط در خیلی از مصالح همچون بتون برقرار نمی باشد. -5ماکزیموم تنش وارده در لبه های اطراف تیر نباید بیشتر از حد مجاز تنش آن مصالح باشد. -6ضریب ارتجاعی باید برای فشار و کشش مقادیر مساوی را داشته باشد. 268صفحه معادله اصلی خمش خالص در تیرها تنها در صورتی معتبر است که مفروضات زیر نیز برقرار باشد. ‏طول تیر حداقل بیش از ده برابر ارتفاع آن باشد. ‏ابعاد مقطع تیز باید طوری باشد که تیر با وارد شدن تنش خمشی دچار انحناء نشود. ‏نیروها و بارهای وارده بر تیر همواره باید در سطح تقارن آن وارد آیند. ‏تیر در حالت آزاد نباید هیچگونه تنشی را در خود داشته باشد. ‏تیر تحت تاثیرهیچگونه بارها و یا نیروهای ضربه ای نباشد. 269صفحه مفروضات اعتباری معادله اصل خمش 270صفحه  271صفحه  272صفحه  273صفحه  274صفحه  275صفحه  276صفحه مقادیر سطح مقطع :سطح ،مرکز ثقل، ممان سطحی – 1سطح کل : nتعداد المان های جزء سطح = Ages 277صفحه  – 2موقعیت مرکز ثقل Sدر کل سطح Ages xi , yiمحور های مختصات المان سطح Δ Ai xS , ySمحور های مختصات مرکز کل سطح Ages 278صفحه  – 3ممان سطحی درجه اول یا ممان استاتیکی توضیح :ممان استاتیکی مقاطع دلخواه زمانی که نسبت به محور مراکز ثقل منظور شود ،صفر می باشد. – 4ممان اینرسی سطحی درجه دوم یا ممان اینرسی ممان اینرسی محوری نسبت به محور xها: ممان اینرسی محوری نسبت به محور yها: 279صفحه  :ممان گریز از مرکزی :ممان اینرسی قطبی مثال :ممان اینرسی یک مقطع چهار گوش داده هاh,b : مطلوبستIx,Iy : 280صفحه :راه حل الف) به صورت تقریبی از طریق جمع سطوح ‏ΔAi=(b*h)/8, ب) به صورت دقیق از طریق انتگرال گیری 281صفحه :به همین گونه در حالت خمش حول bتنش خمشی ها xمحور xممان مقاوم خمشی نسبت به محور ها 282صفحه مشخصات مقاطع برش • سه گوشی /چهار گوشی • دایره ای و با قطاع شکل • بیضی – 1مقادیر مقاطع سه گوش /چهارگوش سه گوش: 283صفحه ممان اینرسی کمترین ممان مقاوم 284صفحه چهار گوش سطح فاصله از محور ثقل سطح ممان اینرسی کمترین ممان مقاوم 285صفحه مقادیر مقاطع دایره ای شکل و قطاع دایره سطح فاصله از محور ثقل سطح ممان اینرسی کمترین ممان مقاوم 286صفحه قطاع سطح فاصله از محور ثقل سطح ممان اینرسی کمترین ممان مقاوم 287صفحه مقادیر مقطع بیضی شکل بیضی سطح فاصله از محور ثقل سطح ممان اینرسی کمترین ممان مقاوم 288صفحه قضیه اشتاینُ Steinیا قضیه محورهای موازی داده هاAges ,Ix, Iy, Ixy, Ipol x,y, a, b, c : مطلوبستIu, Iv, Iuv, Ipol, u,v : 289صفحه نتایج: عبارت خالصه شده اشتاین: وقتی که محور مختصات xو yدر مرکز ثقل سطح مقطع قرار گیرد، مقادیر ممان های استاتیکی صفر می باشند و در نتیجه: 290صفحه توضیح :کمترین ممان های اینرسی وقتی است که نسبت به محور های مرکز ثقل محاسبه شوند. مثال برای عبارت اشتاین :خمش در یک تیر با مقطع چهار گوش داده هاF, l, b, h : مطلوبست :حداکثر تنش خمشی ( ) bx , bu 291صفحه :راه حل = Mb max :با عبارت اشتاین :در نتیجه 292صفحه نتیجه :اصوال تنش های خمشی قابل تغییرند وقتی که محور های خمش تغییر می یابند! سطوح مرکب توضیح: ممان اینرسی سطوح مرکب را می توان از مجموع ممان های اینرسی هر یک از سطوح محاسبه نمود ،با این فرض که تماما نسبت به یک محور مختصات مشترک در نظر گرفته شوند. مثال برای سطوح مرکب (ممان اینرسی) داده ها :مقطع Lشکل با ابعاد a,b,c,h مطلوبست: الف ) موقعیت مرکز ثقل S ب) ممان اینرسی محوری 293صفحه راه حل: )1رسم یک سیستم محور مختصات دلخواه )2تجزیه کل سطح به سطوح کوچکتر و ساده تر )3محاسبه مختصات مرکز ثقل ‏us,vs )4محاسبه ممان اینرسی محوری نسبت به مرکز ثقل 294صفحه :کل سطح :مختصات مرکز ثقل راه( Sنسبت به Iyو Ixممان اینرسی محوری ):مستقیم 295صفحه محاسبه در حالت چرخش سیستم محور مختصات داده هاIx, Iy, Ixy, Ipol x,y ,φ : مطلوبستIu, Iv, Iuv, Ipol uv : 296صفحه راه حل: vو = uمختصات مرکز ثقل سطح المان dAدر سیستم محور مختصات انتقال محور مختصات با جایگزین کردن در انتگرال و استفاده از قوانین Sin ها و Cosها نتیجه می شود: 297صفحه در نتیجه ممان ها به صورت تابعی از φ بدست می آید: )Iu = Iu(φ), Iv = Iv(φ), Iuv = Iuv(φ محور های اصلی اینرسی و ممان های اصلی اینرسی چرخش محور های مختصات به میزان φزاویه 298صفحه ممان اینرسی محوری نسبت به بردار uیعنی Iu برای چه میزان از زاویه φ ، Iuحداکثر مقدار خود را می یابد؟ محدوده ()π/2,π/2- برای این زاویه ،ممان اینرسی اصلی منتج می شود که طبق تعریف I1از I2بزرگتر است( .یعنی I1حداکثر ممان اینرسی و I2حداقل ممان اینرسی) 299صفحه تعیین موقعیت محور های اصلی و زاویه : φ 1 و 2محور های اصلی اینرسی هستند. آنها بر هم عمود هستند. 300صفحه مورد : 1 مورد : 2 مورد : 3 مورد : 4 301صفحه مطلوبست ممان اینرسی Ixو ممان مقاوم Wxسطح داده شده در شک 302صفحه حل : 303صفحه مثال : مطلوبست محاسبه ممان اینرسی Ix = Iyو ممان مقاوم = Wx Wyبرای سطح داده در شکل ؟ 304صفحه  :حل 305صفحه مثال : مطلوبست ممان اینرسی Ixو ممان مقاوم سطح داده شده در شکل ؟ 306صفحه  307صفحه ل: طلوبست محاسبه مقادیر ذیل برای سطح داده شده در شکل ؟ )1فواصل مرکز ثقل e1و e2؟ )2ممانهای اینرسی Ixو Iy؟ )3ممان مقاوم اینرسی Wx1و ٌWx2و Wy؟ 308صفحه  309صفحه مثال : مطلوبست ممان اینرسی Ixو Iyو ممان های مقاوم Wxو Wy برای سطح داده در شکل ؟ 310صفحه  311صفحه  :مثال مطلوبست محاسبه ممان اینرسی پروفیل داده شده در شکل نسبت به محور ثقل x-xدر پروفیل؟ 312صفحه  313صفحه مثال : با توجه به شکل داده شده و ابعاد آن مطلوبست محاسبه : الف – ممان اینرسی Ixو Iy؟ ب – ممان مقاوم اینترسی Wxو Wy؟ 314صفحه  315صفحه : جه به شکل و ابعاد داده شده در آن مطلوبست محاسبه : – فواصل مرکز e1و e2؟ ممان اینرسی Ixو Iy؟ ممان مقاوم 1Wxو Wx2و Wy؟ 316صفحه  317صفحه مثال : لوله ای با قطر داخلی mm 100و ضخامت mm 6و تنش مجاز مصالح لوله N/mm2 100 = max σتحت خمش با ممان خمشی وارده بر آن ‏N/mm2 10 × 5 = Mb.max قرار دارد .آیا مقدار تنش خمشی موجود در لوله کمتر از حد مجاز قابل تحمل است یا خیر ؟ 318صفحه  319صفحه مثال : دو تخته روی هم قرار گرفته به ابعاد داده شده در شکل، تحت تاثیر نیروی Fقرار می گیرند .مطلوبست محاسبه مقدار تنش خمشی این سیستم برای هر یک از موارد زیر؟ )1دو تخته جدا از یکدیگر و بر روی هم قرار گرفته اند؟ )2دو تخته توسط چندین میخ به یکدیگر متصل شده اند؟ با فرض cm2 = S؛ m 2/0 = b؛ N 500 = F؛ m 2 = L 320صفحه  321صفحه  322صفحه مثال : پروفیلی بطول Lو با سطح مقطع مثلثی شکل تحت تاثیر بار گسترده مثلثی شکل قرار دارد .مطلوبست محاسبه نسبت تنش فشاری به تنش کششی موجود در سطح مقطع پروفیل ؟ 323صفحه  324صفحه مثال : مقدار ممان تیری که تحت تاثیر خمش ساده قرار گرفته در طول ثابت است .محل اتصال تیر به دیوار بیشترین مقدار تنش را داراست. مقدار ممان خمشی در این تیر بدلیل متغیر بودن سطح مقطع تابعی از طول در راستای محور zهاست. مطلوبست تعیین مقدار ارتفاع تیر نسبت به نقطه ای از تیر که حداکثر ممان را داراست ؟ 325صفحه  326صفحه مثال : تیری به طول Lو سطح مقطع مربع شکل تحت تاثیر نیروی خارجی Fقرار می گیرد. 327صفحه با فرض داده های مسئله مطلوبست : )1محاسبه مقدار حداکثر ممان خمش ؟ )2محاسبه مقدار ممان مقاوم الزم ؟ )3طول ضلع aپروفیل موقعی بصورت سطحی قرار گرفته باشد ؟ )4طول ضلع a1پروفیل موقعی که پروفیل بر روی یک زاویه خود باشد ؟ )5کاربرد چه نوع از این پروفیل از لحاظ اقتصادی مقرون به صرفه تر هستند ؟ داده ها : حد مجاز تنش خمشی = N/mm2 120مجاز σb 328صفحه  329صفحه مثال: حداکثر ممان خمشی وارده بر یک پروفیل توپر با مقطع چها رگوش چنانچه Nm 4375 = Mbmaxباشد ،مطلوبست محاسبه ابعاد مقطع چهار گوش پروفیل ( bو ،) hچنانچه نسبت b × 4 = hدر مقطع پروفیل حاکم بوده و تنش خمشی مجاز آن N/mm2 220 =σb باشد. 330صفحه مثال : مطلوبست محاسبه حداقل قطر شفت یک گیره کششی پشت خودرو که بایستی نیروی kN 40 = Fbmaxرا تحمل کند .تنش خمشی مجاز برای جنس متریال این شفت = N/mm2 240 مجاز σbمی باشد .برای محاسبه فرض شود که نیرو در فک کوپلونگ در نقاط Dو Cاثر کرده و نیروی Fbmaxنیز در وسط طول شفت mm 80 = L3اثر کند. 331صفحه  332صفحه مثال: با فرض داده های زیر : نیروی وزنی اهرم مانع نیروی وزنی گیره اهرم مانع وزن وزنه تعادل ‏N 300 = F1 ‏N 900 = F2 ‏kg 120 = m ‏L1= 3300 mm, L2 = 400 mm, L3 = 600 mm ‏L4 = 5000 mm , L5 = 1870 mm , L6 = 925 mm مطلوبست محاسبه حداکثر ممان خمشی اهرم مانع در لحظه باز شدن یعنی FA=0؟ محاسبه ضخامت میله توخالی اهرم مانع چنانچه قطر خارجی آن D= 132 mmو تنش مجاز خمشی برای جنس انتخابی اهرم مانع = N/mm2 12مجاز σbباشد؟ 333صفحه  334صفحه مثال: شفت چرخ کابل بازکن از جنس ( C60E )CK60می باشد. با فرض داده زیر : ‏FC = 10 kN , a = 800 mm , d = 500 mm, b = 600 mm مطلوبست : محاسبه حداکثر ممان خمشی وارده بر شفت ؟ محاسبه قطر شفت dwدر صورتیکه ضریب ایمنی در برابر خمش 4بوده و ممان خمشی آن نیز Nm 500باشد ؟ 335صفحه  336صفحه  :مثال ای سطح مقطع پروفیل داده شده در شکل مطلوبست : – تعیین موقیعت مختصات مرکز ثقل ) S ( y s , z s – ممان اینرسی Iy,Iz , Ipنسبت به محور مختصات y , z 337صفحه  338صفحه :مثال برای سطح مقطع پروفیل داده شده در شکل مطلوبست محاسبه ممانهای اینرسی Iy,Iz,Iyzنسبت به محور مختصات داده شده در شکل و نیز تائید مختصات مرکز ثقل داده شده در شکل؟ 339صفحه  340صفحه :مثال برای سطح مقطع پروفیل داده شده در شکل مطلوبست محاسبه ممانهای اینرسی Iy,Iz,Iyzنسبت به محور مختصات داده شده در شکل ؟ 341صفحه  342صفحه تعیین ممان اینرسی وفیل های 4گوش :ممان اینرسی نسبت به مختصات مرکز ثقل – 1 ممان اینرسی کل سطح نسبت به مختصات مرکز ثقل با رابطه اشتاینر – 2 تیجه می شود tبا صرف نظر از جزء توان 2و 3 به همین صورت برای Iz 343صفحه تیجه می شود tبا صرف نظر از جزء توان 2و 3 ممان Iyz 344صفحه :مثال برای سطوح مقاطع پروفیل داده شده در شکل مطلوبست محاسبه ممان اینرسی مرکزی نسبت به محور مختصات داده شده در شکل و ‏Sنیز مختصات مرکز ثقل سطح کل می باشد؟ 345صفحه  346صفحه مقاطع متقارن (ممان اینرسی) توضیح :ممان گریز از مرکزی مقاطع متقارن نسبت به مرکز تقارن صفر می باشد .این مطلب برای تقارن های ساده نیز صادق می باشد. توضیح :برای مقاطع متقارن موارد زیر صادق می باشد: – 1ممان های اینرسی اصلی با ممان های محوری اینرسی اصلی سطوح مطابقت دارند. – 2محور های تقارن همزمان محور های اصلی اینرسی هستند. 347صفحه