صفحه 1:
اسلاید فصل ها
فصل اول : آمار توصیفی فصل دوم : مبانی احتمال
فصل سوم : توابع احتمال کسسته فصل چهارم : توابع احتمال پیوسته
فصل پنجم : توزيع هاى خاص فصل ششم : نظریه تصمیم
صفحه 2:
صفحه 3:
تا آمار:
آمار مجموعه ای از روشها را برای جمع آوری و خلاصه کردن داده ها » طبقه بندی آنها
و روشهای تحلیلی برای پیش بینی ».بر آورد و تصمیم گیری درشرایط مختلف ارائه می
دهد .
ل جامعه :
جامعه بزرگترین مجموعه ای از موجودات است که در یک زمان معین مطلوب ما قرار می
گیرد.
لا نموفه:
تعداد محدودی از آحاد جامعهٌ آماری که ببان کننده وی گیهای اصلی جامعه باشد.
صفحه 4:
ل بارامتر:
براى بدست آوردن برخى از شاخص ها در جامعه » اكر اين شاخصها زا با اندازه كيرى از
تمامى عناصر جامعه بدست آوريم آنها زا بارامتز مى نامنها.
لا آماره :
ویژگی های عددی مربوط به نمونهء آماره نامیده می شوند ۰
< مثال:
اكر بخواهيم ميانكين د رآمد کار کنان دولت را بدست آوریم : در صورتی که این کاز
با استفاده از در آمد کلیه کار کنان دولت محاسبه کردد پارامتر » و اگر با استفاده از در آمد
بخشی آز کار کنان بدست آید آماره نامیده می شود.
صفحه 5:
سیر تحول آمار
سیر تحول آمار از نظر موضوعی به سه مرحله تقسیم می شود:
| آما رتوصیفی
چنانچه محاسبه مقادیر و شاخصهای جامعه آماری با استفاده از سیشماری تمامی عناصر آن»
انجام گیرد آمار توصیفی خوانده می شود .
۲- آماراستنباطی
در اين نوع آمار معقق با استفاده از مقادبر نمونه آماره ها را محاسبه ؛ و سپس به کمک
تخمين و آزمون فرضي آماری » آماره ها به پارامترها ی جامعه تعمیم داده می شوند.
به عبارت دیگر آمار استنباطی شامل روشهایی است که با استفاده از آنها اطلاعات موجوذ در
نمونه به کل جامعه تعمیم داده می شوند .
صفحه 6:
“ات آمار فابارامتريق
اين نوع آمار در مقابل آمار بارامتريك ببان مى شود .
” .فورض اساسى در آمار پارامتریک برخوردار بودن مشاهدات از توزیع نرمال است در صورتی
که در اين نوع آمار این فرض ضرورتی ندارد .
۲ بیشتر در علوم رفتاری که متفیرهای آن با مقیاسهای کیفی سنجیده می شوند از اين فنون
استفاده می شود.
مراحل پژوهش علمی در آمار
۱ - مشخص کردن هدف ۲- جمع آوری داده ها
۳- تجزبه و تحلیل داده ها ۴- بیان یافته ها
صفحه 7:
انواع متغیرها
_ صفتی است که مقدار آن از یک از یک عضو جامته آماری به عضو دیگر ممکن ات تغیر
aS
1( متغیر ستقل : مقدار آن به متغیرهای دیکر بستگی ندارد و توسط محقق مشخص می شود.
۲ _متغیر وابسته : مقداز آن به متغیر مستفل بستگی دارد.
۳ متفیر کیفی : متغیرهایی که نه قابل شمارش و نه قابل اندازه گیری هستند.
۴ منفیر کمی : متغیرهایی که با قابل شمارش و یا قابل اندازه گیری هستند.
۵ اندازه گیری
اندازه گیری عبارت است از نسبت دادن اعداد به خصوصیات ایله و وقایع یا افراد بر طبق
قواعدی منطقی و قابل قبول.
صفحه 8:
مطالعه توصیفی داده های طبقه بندی نشده
a شاخص های عددی
اعدادی که به منظهر بیان کمی توزیع اندازه ها از آنها استفاده می شود شاخصهای عددی
نامیده می شوند.
2 انواع شاخصن های عددق
1( نماد گذاری مجموعه مشاهدات و عمل جمع
۲ " پارامترهای مرکزی
۳ . پارامترهای پراکندگی
صفحه 9:
3 نماد گذاری مجموعه مشاهداث و عمل جمع
محموعه مشاهدات را به وسیله نمادهایی نشان می دهند تا بحث محدود به مجموعه
ای مشخص از اعداد نشود .
> : تعداد > مشاهده را به صورت زیر نمایش میدهند:
کر ...رک MX, XX,
9 نماد ۶:
برای اجتناب از نوشتن مکرر علامت ( + ) از نماد 2 استفاده می شود.
> مثال:
5
D erat at GP ot
ial
صفحه 10:
مطالعه توصيفي داده هاي طبقه بندي نشده
د خواص 2
a=WNa
۸
bx =b>’ عد
ial
(% + ¥) Sd yi
۳
i
iMz iM:
Mz
a
ik
صفحه 11:
پارامترهای مرکزی
لا میانگین
۱- میانگین هسایی :
% معدل مجموعه ای از مشاهدات را میانگین حسابی می نامند :
"این میانگین بوسیله تقسیم کردن مجموع مشاهدات بر تعداد آنها محاسبه می شود :
n
en
x= 9
n
صفحه 12:
< مثال
نمره مسئولیت پذبری پنج مدیربه شرح زیر است : ۰۱۰ ۰۱۵ ۰۱۴ ۸ ۳
میانکین حسابی این مشاهدات عبارت است از:
60 ۰ 9+13 +1010+14 -
Rae Ae 3
۷ میانگین حسابی موژون
گاهی اوقات ممکن است هریک از مشاهدات , دارای وزنی ( یا تکرار ) مانند ,۷۷
باشندکه در این صورت مبانگین مشاهدات از فرمول زیر محاسبه می شود:
2
>, WX
sy
i=l
صفحه 13:
< مثال
نمرات ۵ درس دانشجویی به شرح زیر است مطلوبست میانگین نمرات وی :
x(a) 6% OF 00 706 7 6
۵ هم © .روحم 9 e
xt (2x6) + (5x10 + (6124 (4x15 =10/45
3+ 2+ 5+ 6+4
صفحه 14:
ویژگی های میانگین حسابی
۱- اگر هریک از مشاهدات را با عذد ثابت ه جمع کنیم میانگین اعداد بدست آمده برابر میانگین اعذاد قبلی بعلاوه
۰ خواهد بود یعنی اکر بت آنگاه داریم :
4 ۲-2۲
۲- اکر هریک از مشاهدات جامعه آماری در عدد ثابت دا ضرب شوند میانکین اعداد جدید برابر میانگین اعداد قبلی
ضرب در عدد دا است. بعنی اگر . ,<< ,۷ آنگاه داریم :
عاط حمل
صفحه 15:
<. مثال فرض کند : 4دک 3 رز x36
2+4=6 94 2 329 26-3-12
۲- میانکین هندسی
برای محاسبه ميانكين اندأزه هاى نسبى ماذند نسبتها » درصدها و نرخهای رشد از ميانکین
هندسی استفاده می شود .
ميامنگین هندسی ”7 ,ر... رركا ,1 از فرمول زیز بدست می آید:
اه
صفحه 16:
۶ مثال
نسبت سود شرکت زمزم در سال ۱۳۶۷ به ۱۳۶۶ بزابر ۳» سال ۱۳۶۸ به سال ۱۳۶۷
مساوی ۲ و سال ۱۳۶۹ به سال ۱۳۶۸ برابر ۴/۵ است
يعنى میانگین هندسی نسبت سود در این سه سال عبارت است از :
227-3 2324/5 بد. ,و6
در صورتی که داده ها در این نوع میانکین از وزن برخوردار باشند میانگین هندسی
موزون از رابطه زیر بدست می آيدة
د د د 1ح 6
که در آن 1-۷ 2
صفحه 17:
lin <
درصد کارایی ۲۰ نفر ماشین نویس بضورت زیر است
SL درصد (| . 0 65 55
(
عم ؟ | .88 1۷
Nae ape tes
میانگین در صد کارایی این ۲۰ نفر بصوزت زیر محاسبه می شود:
6-3788 80 26558
صفحه 18:
ع - مياتكئين هارمولیک
جنانجه داده ها از مقياس تركيبى مثل كيلومتر در ساعت يا دور در ثانيه با نفر
اعت برخوردار بأشند براى محاسبه ميانكين از ميانكينَ هارمونيك استفاده مى شود. اكر
ما ,ءء» رحلا روا داده ها باشند میانگین هارمونیک از فرمول زير بدست مى آيد
صفحه 19:
+ مثال
راننده ای مسنافت تهران - قم را با سرعت ١م كيلومتر در ساعت طیمی کند و همین سافت
را با سرعت ۱۰۰ کیلومتر در ساعت برمی گردد متوسط سرعت راننده در طول مسیر رفت
و برگشت بصورت زير است:
2 2. 800
Hee tt Taga 2-9
80 100 400
در صورتی که داده ها دارای وزن باشتد میانگین هارمونیک از رابطه زیر بندست می آیدد
ee لا صرق pet
کر دق قزر لد SF, 1
Meee 5 os
Mg
x |S
|S
صفحه 20:
lie. ۶
یک هواپیما فاصله ۴ هزار کیلومتری را با سرعت ٩۰۰ کیلومتر در ساعت و فاصله ۳ هزار
کیلومتری را با سرعت ۶۰۰ کیلومتر در ساعت و فاصله ۵ هزار کیلومتری را با سرعت ۸۰۰
کیلومتر در ساعت طی می کند سرعت متوسط هوا پیما بصورت زیر محاسبه می شود:
0 .0 40000
7000 3000 5000 1150007
“900° “600 900 7200
لا مد(نما)
مد به معنای توزیع آماری مقداری است که بیشترین تكرار زا در ميان مشاهدات داشته باشد.
.در صورنی که همه مشاهدات به یک اندازه تکرار شده باشند می گویند داده ها فاقد مد.
5
صفحه 21:
3 چارکها
۲,چارک لول
چارک اول مقدار عددی است که ۲۵ درصد مشاهدات جامعه پایین تر از آن و ۷۵
درصد بالاتر از آن قرار می گیرند چارک اول را با :00 نشان می دهند.
5 چارک دوم
چارک دوم را که با 42 نمایش می دهند » مقدار عددی است که ۵۰ درصد داده های
جامعه پایین تر از آن و ۵۰ درصد بالاتر از آن قرار می كيرند
7 چارک دوم را میانه می گویند و آنرابا 1/101 2 نمايش مى دهند.
صفحه 22:
.روش محاسبه چارکیا
برای محاسبه چا رکها مراحل زیر را انجام می دهیم:
أ داده ها را بطور صعودی مرتب می کنیم
۲ داده های مرتب شده را از | تا ۷۱ کد گذاری می کنیم
۳._ محل چارک pli را با استفاده از فرمول زیر محاسبه می کنیم :
ain 1 9
2 4
۴ با استفاده از محل چارک» چارک را بدست می آوریم
¥ درصورتیکه ,62 عدد صحیح باشدداده شماره 0 چارک است.
صفحه 23:
۷ چنانچه ,04 عدد غیر صحیح باشد آن را به صورت <.0 م*: نوشته که در آن
یسکعدد صحیح و . ملعشاری لستحل [چا رک بللستفاده از فرمولزیر بسدستخواهد
Q=x%+ AX,;- x) 3
صفحه 24:
۶ مثال
چار کها را برای داده های زیر بدست آورید:
۰ ۱
الف ) داده های مرتب
۰ 4848
ب) کد گزاری مشاهدات
کد مشاهدات : ۷ ۶ ۵ ۴ ۳ ۲ ۱
مشاهدات: : ۰ ۰۱۳۰ ۹۰۱۰۰ ۸۰۰۸۵
ابتدا محل چار کها و سپس چار کها را محاسبه مى كنيم :
صفحه 25:
2-5 83 2300/+85- 4 مس 2/25- +
لحرا ري و
Q,=126-0/75140 120=135 ور بط 0
صفحه 26:
پارامترهای پراکندگی
ل دامنه تغيرات
یکی از ساده ترين بارامترهاى براكندكى دامنة تغبيرات است .
”7 این شاخص از تفاضل بزرگترین داده و کوچکترین داده بدست می آید . يعنى :
Re Keb Ket
ل انحراف متوسط از میانگین
انحراف متوسط از میانکین ازتقسیم مجموع قدر مطلق تفاضل مشاهدات از ميانكين آنها
بر تعداد آنها بدست می WT
صفحه 27:
یکی از اشکالات اساسی انحراف متوسط از میانگین این است که در صورتی که تعداد کمی
انحرافات بزرک در مقابل تعداد زباذی انحرافات کوجک وجود داشته باشد این شاخص
تأثیز انحرافات بزرگ را نشان نمی دهدء
ود
xl اش
11
9 واریادس
در صورتی که انحرافات از میانگین را بتوان دو بزسانيم . ( مجذور شوند ) و مجموع
مجذورات انحراف از میانگین را برتعداد داده ها تقنیم کنیم آن زا واریانس می نامند .
SF OS x)
77-1
صفحه 28:
3 انحراف معیاز: جذر واریانس را انحراف معیار می نامند.
داده های زیر نشان دهنده وزن محصولات تولید شده در یک کارخانه طی یک روز است .
۰۰ ۰۱۳۰۰۱۳۰۰۱۲۰ ۰۱۳۵ ۰۱۴۰ ۱۳۰۰۱۵۰۰۱۲۵
انحراف متوسط از میانگین » واریانس و انحراف معیار بصورت زیر است: ابتدا میانگین») محاسبه
مى كنيم : 4
2
140+150+125+140+135+140+130+120+1500_
10 =
x=
=1330_533
10
صفحه 29:
4 31 ای و میتی
1
2
وووو-2090- 2 میس
9 11-1
22093 9 2 5 انم
صفحه 30:
” ” ویژگی های واریادس
۱- اگر هریک از مشاهدات را با عدد ثابت جمع کنیم واریانس تغییو نمی کند. یعنی aber Ft آنگاه داریم :
Sy=Sx
۲-اگر هریک از مشاهدات جامعه آماری در عدد ثابت دا ضرب شوند واریانس اعداد جدید برابر میانگین اعداد
قبلی ضرب در عدد 2 دا است. یعنی اگر . ,لادا-,۷ آنگاه داریم:
هنز - 57
صفحه 31:
< مدال
اكر واريانس داده هاى - مشاهده برابر ٩ باشد واربانس و انحراف معیار داده های زیر
513 وبل 317 رن ان 1 8 0 :31
برابراست با :
22۵-8 رک 2 2 29 - وک که
1 ضریب پراکندگی
گاهی لازم است که برای توصیف داده ها » پراکندگی بصورت کسری از میانگین بیان شود .
دراین صورت ضریب پراکندگی بصورت زیر تعريف مى شود: 5
دان
xX
صفحه 32:
طبقه بندی و توصیف هندسی
مشاهدات جامعه اماری
4 طبقه بندی و سازماندهی مشاهذات
در بیشتر تحقیقات با حجم عظیمی از مشاهدات مواجه هستیم » بنابراین منظم كردن
و خلاصه کردن داده ها » به صورتی که اطلاعات مهم برای بررسی جدا و.اطلاعات
کم اهمیت کنار گذاشته شوند اولین قدم در قابل تفسیر کردن آنها است,
صفحه 33:
۵ نوزیع فراوانی
توزیع فراوانی تعدادی از داده ها عبارت است از جدول مرتب شدهْ مقادیر آن داده ها که
تکرار وقوع هر داده در آن مشخص شده است. به عبارت ساده cg توزیع فراوانی جدولی
خلاصه شده از دادههای جمع آوری شده جامعه آماری است .
طبقه بنذی داده ها
ل داده های پیوسته
۲ فاصله طبقات را با ۱ نمایش می دهند و با اتفده از فرمول زیر بدست می آید:
صفحه 34:
< مثال
نسبت قبمتببه درآنمد سهام 8! شركت در بازار بورس تهران-به صورت زیر است جدول توزیع
فراوانی آن را برای ۶ طبقه به دست آورید .
۵ ۰۷/۱۲ ۰۴/۱۵ ۰۹/۹ ۰۱/۲۴ ۰۶/۱۵ ۰۵/۱۹ ۵/۲۰
۳ ۰۳/۲۳ ۰۸/۷ ۰۹/۱۶ ۰۶/۲۸ ۰/۱۷
PINE ۰ ۵ ۲ ۵
"یزان 5=23/6 -28/6= R=maxy- minx
”7 فاصله طبقات
ور اس یز
Ge 8
صفحه 35:
جدول اعداد طبقه بندي شده برّاي نرخهاي تسبت سود بة درآمد سهامٌ
Bb 17 7حدود طنقات ۲ dling, BS” فراواني مطلی؟
ی 006
0 مه 1// 8
e موه HY. 9
9 49 HU II e
م 60 6
5 € 1 HHL / 9
9 uy 04
es
صفحه 36:
داده های گسسته
درصورتی که داده ها گسسته باشند طبقه بندی آنها در فاصله های پیوسته معنی دار
نخواهد بود » تعداد غایبین یک شرکت » تعداد زدگیهای یک توپ پارچه و تعداد تصادفات
روزانه در یک شهر از این دست هستند ء
برای بدست آوردن توزیع فراوانی داده های گسسته کافی است جدول دو ستونی تهبه
شود که ستون اول نشان دهنده. 2 ,و ستون دوم تعداد > تکرارهای را نشان
می دهد .
صفحه 37:
حر مثال
به منظور بررسی تعداد غابین یک شرکت دفاتر حضور و غیاب مورد بررسی قرار
گرفته است که ننایج بدست آمده در خدول زیر ثبت شده است .
oA Lae | )تعداد :روز
) )
0 do
0 6
8 6
9 de
۰ ao
2 ¥ £260
صفحه 38:
لا وی
توزیع فراوانی نسبی و تجمعی
ذرصورتی که طبقه بندی داده ها براساس نسبت داده های هر طبقه به کل مشاهدات جامعه تهیه شوذ» آن
را توزیع فراوانی نسبی می نامند.
۲ فراوانی نسبی هر طبقه از رابطه زیر بدست می آید:
ل آتوزیع فراوانی تجمعی
فراوانی تجمعی که با نشان داده میشود » نشان دهنده تجمع داده ها ازخد پایین اولین طبقه تا
حدبالای طبقه موره نظر لست . فومول مخاسبه فراوانی تجمعی بضورت زیر است:
f=
i
مدا م
صفحه 39:
تال :
جدول توزیع نسبت سود به در آمد سهام در مثال قبل را در نظر گرفته توزیع فراوانی نسبی و
تجمعی آن بصورت زیر است:
f 4 F ره
9 22 9 ۹ 9
ad 6 2007 9 و9
412-9 | (Ss 2 9969 ds
90-05 ۱ 9 10 ed
99-0 9 9 990 or
6-99 | cP 0 OF% 99
ub ۶ 7 2 0
صفحه 40:
02 نمایش هندسی مشاهدات
۲ _ برای نمایش توزیعهای فراوانی اغلب از نموداراستفاده میشود نمودارها کمگ می کنندکه
تصوير توزيع به آسانی قابل مشاهده باشد.
۲ اگر مقیاس داده ها از نوع فاصله ای و نسبی باشد از ننودارهای کمی اسثفاده می شود.
,و چنانچه مقیاس مشاهدات ازنوع اسمی با رتبه ای باشد با نمودارهای وصفی نمایش داده
می شوند.
3 نمودارهای کمی
نمودارهای کمی برای توزیعهای آماری پیوسته و گسته قابل استفاده هستند -
”7 لازمه استفاده از انن نمودارها مقدازی بودن مشاهدات است.
صفحه 41:
۵ تمودار بافت نگار (هیستوگرام)
برای رسم نمودار بافت نگار از فراوانی مطلق يا فراوانی نسبی استفاده می شود.
۲ _ در صورتی که حدود طبقات واقعی نباشد » حدود طبقات را بصورت واقعی بدست می
آوریم.
برای واقعي کردن حدود طبقات قاعده :نیم واحد را از آخرین رقم سمت زاست پایین
طبقه کم می کنیم وسپس آن را به مکان بعد از آخرین رقم حد بالای همان طبقه
مى افزاييم.
”در نمودار بافت نكارء محور افقى دستكاه مختصات با حدود واقعى طبقات و محور عمودی
با فراوانی نسبی یا مطلق مدرج میگردد.
صفحه 42:
7 مثال
بافت فکار توزیع فراوانی نسبت قیمت به در آمد هام« منال قبلبضورت زیر است +
02
حدود طبقات
صفحه 43:
"2 حجم مایع ۷۰ شیشه بر حسب میلی لیتر در جدول زیر آمده است نمودار بافت نکار توزیع
را رسم کنید.
حدود واقعی طبقات 1 ره
e 9099-89 96-60
qd 99/94/99 96/96/9
‘fg 99/9S-99/SS 96/4989
ad 99/6948 99/948۶
99/8-S0/9 er 99۳۶294/9
99/098 9 92/0/0
qd 9/94/99 91/94/9
92/99/99 00 9/۵
66م 0- 85/2/66 qd 9/9۶
92۵94۵۵99 0 902/99
صفحه 44:
صفحه 45:
ل
v
مود رحد مولع
نمودار چند ضلعی نموداری است که نقطه میانی هر طبقه روی محور افقی و فراوانی
تسبی یا مطلق هر یک از نقاط میانی روی محور عمودی آن نشان داده می شود بنابر این
برای هر طبقه یک نقطه در صفحه مختصات بدست می آید.
به نقاط بدست آمده دو نقطه فرضی اضافه می کنیم : یکی نقطه میانی طبقه ما قبل»
طبقه اول و دیگری نماینده طبقه ما بعد طبقه آخردر GUL نقاط بدست آمده را به هم
وصل می کنیم.
صفحه 46:
< مال
نمودار چندضلعي داده های lio قبل را رسم می کنیم
2968
فراواني مطلق
صفحه 47:
لا نمودار جعبه ای
نمودار جعبه ای براي مقایسه دو یا چند جامعه آماری بكار ميرود.
27 نمودار جعبه ای نشان دهنده چارکها و حداقل و حداکثرمشاهدات است؛ بدین ترتیب که جعبه
شامل اختلاف چارک اول و سوم است.
در این نمودار (از بادین به بال ) ابتدای جعبه جارك اول و انتهای جعبه چارک سوم است .
_ خطی که جعبه را به دو نیم تقسیم می کند نشان دهنده میانه است.
Q روش رسم نمودار جعبه ای
به ترتيب حد اقل و حداکثر داده ها و میانه چارک اول و چازک سوم را بدست می آوریم .
سپس نمودار را زسم می کنیم .
صفحه 48:
= مثال:
جدول زیر نشان دهنده تعداد لغات انتخاب شده برای عنوانهای درشت دو روزنامه کیهان و
اطلاعات طی روزهای مختلف است نمودار جعبه ای هر دو را تهیه و مقایسه می کنيم :
فراواني لغات در روزنامه اطلاعات ( روز )
06
9
60
هه
ry
0
o
9
eur
فراوانی لغات در روزنامه کیهان ( روز )
0
9
م0
of
9
eo
ae
10
ae
مم
تعداد لفات عنوانهای درشت.
8
.6
9
9
8
0
aa
06
6
مجموع
صفحه 49:
طبقهبندی و توصیف هندسی مشاهدات جامعه آماری
روزنامه کیهان
روزنامه اطلاعات 6
صفحه 50:
لمودارهای ومعطی
این نمودارها برای نمایش هندسی داده های کیفی بکار می روند ۰
لا نمودار ستونی
این نمودار را در یک دستگاه که محور افقی نشان دهنده کیفیت مشاهدات و محور عمودی آن
تشان دهنده فراواتی مطلق با فراوانی نسبی هر گروه نت رسم می کنند:
dua >
در مدیریت » انسانها رابه لحاظ ارتباطات به چهار دستة تصویری » احساسی » صوتی و
ارقامی تقسیم می کنند . کار کنان یک سازمان از اين لحاظ مورد بررسی قرار گرفته اند
که حاصل تحقیق در جدول زیر آمده است -نمودار ستونی آن نیز رسم شده است.
صفحه 51:
ارقامی صوتی احساسى
۵۰
۱۵۰ ۳۰۰
۳1 8
ارقامی
x
لذ
۳2
تصویری | گروه ارتباطی
احساسی
تعداد کارکنان
صفحه 52:
لا نمودار دایره ای
نمودار دابره ای عموماً برحسب درصد رسم می شود . برای رسم نمودار دایره ای مراحل
زير را انجام می دهیم .
أ فراوانی مطلق را به فراوانی نسی تبدیل می کنیم
۲ با استفاده از رابطه 220660 ساحت هر قطاع از دایره را پیدا می کنيم .
". براساس 2 مساحت دايرة را تقسيم مى كنيم .
۴ نوع مشاهدات و درصد آنها راانست به کل مشاهدات بر روی دایره می نویسیم .
< مثال
نمودار دایره ای داده های مثال قبل را رسم مى كنيم
صفحه 53:
فراوانی نسبی
a?%
269
9۹6
۹0
تعداد كاركنان
90۰
500
60
27-60
گروه ارتباطی
تصویری
احساسی
صوتی
ارقامی
صفحه 54:
نمودار دایره ای
صفحه 55:
توصیف مقداری مشاهدات -
طبقه بندی -
2
. OND
صفحه 56:
پارامترهای مرکزی در داده های طبقه بندی شده
ل میانگین
۲ میانگین برای داده های طبقه بندی شده از فرمول زیر بدست می WT
1 ی
n
در این فرمول فراوانی مطلق 2 » نماینده طبقات >< و « کل مشاهداث است.
صفحه 57:
Jue <
یک شرکت دارویی دارای ۱۰۰ کازمند است که در آمد ماهیانه آنها در
جدول زیر آمده است میانگین آنها را بدست می آوریم :
3
as
50
eo
60
do
2 1-۲
C- L
۱۰-۰
و
۳۰-۴۰
۴۰-۵۰
۵۰-۰
صفحه 58:
روش محاسبه میانگین در جدول زیر خلاصه شده است.
دب
Ses
PSO
ers
S00
SSO
(330= %£ »>
C-L 2 1
10-4405 9 as
0-00 99 00
200-60 56 Ss
FO-SO FS co
60-20 SS do
2-۲
xa 2 و3300
22 ۰ 100
صفحه 59:
لا مد
مد مقداری است که بیشترین تکرار را در میان مشاهدات جامعه داشته باشد .
این تعریف برای داده های گسسته کاملاً گویا استولی برای داده های پیوسته فقط نشان دهنده طبقه
مد دار است بنابراین مد برای داده های طبقه بندی شده از رابطه زیر بدست می آید:
ال که در فرمول فوق :
ited
Mod=L,;+ Fa
راهد پ لیبق حد دار ».۸ فر ولذيمطلقطبقه مد دار . <افراولنيهمطلقطبقه حاقبلطبقه عد دار
و ,0 فراولنيمطلقطبقه ملبعد طبقهحد دا ركست
صفحه 60:
Jo 7" مد داده هاق منال قبل را بدست آورید
£ ی
aS 10-900
pas (6۵) ۰ 6060
توجه به جدول داریم : 99 9060
30-15=15=,£ ديه وت ۱ نموم
do 50-0
n=10C | @=f- f,=30- 25=5
و و و
Mod=20+ (== >.) x10= 27/5
صفحه 61:
%
چندکها
چندکها مقادیری از مشاهدات هستند که دامن تغییرات را بهٌ فاصله های چندکی مورد نیاز تقسیم می
کنند» بظوری که فراوانیها در هریک از این فواصل درصد معینی از فرآوانی کل را تشکیل می دهد.
اكر دامنه تغييرات را به جهار قسمت مساوى تقسم كنيم جاركها بدست می آیند .
چنانچه دامنه تغييرات به ده قسمت مساوي تقسيم شوند به دهكها مى رسيم . و اكر دامنه تغيرات به صد
قسمت مساوی تقسیم شوند صد کها را خواهیم داشت.
جاركيا
مراحل محاسبه جاركها در داده هاى طبقه بندى شده به شرح زیر است :
صفحه 62:
أ فراوانی تجمعی می آوریم 7
_in
۲ محل جارك ام راب استفاده از رابطه 7۳ 2 پیدامی کنیم» که در این
رابطه 1 . شماره چارک و 0,۰ محل چارک است.
۳ با توجه به مقدار (() و فراوانی تجمعی ؛ طبقه چارک دار را پیدا مى كتيم .
5-0
© طبقه چارک دار» اولین طبقه ای است که باشد.
8 ,با استفاده از فرمول زیر مقدار جارك .1 ام را محاسبه می کنیم
17 Bi
EG
ع تب عن
صفحه 63:
< مثال
با استفاده از داده های جدول زیر چارک اول تا سوم را محاسبه می کنیم :
C-L f E
4040: 1 as | as
0400: ۱ 90 | €46-+— Qua»
S00 | es | دوم Qu
060 | eo | 6D+~—— Que
80-60 | ۵ | doo
2-00 FE i, ee airs
0 -20+ 2274020۵0
صفحه 64:
: چارک دوم ( میانه)
و بو
2 =304 (22: 3) 10-304 x10=32
25 5
چارک سوم :
a 75
1=3> Q=
0-5 میم ونم 40= Q,
صفحه 65:
_دهکیا
دهکها رابا 0 _نمایش داده و به شرح زیر محاسبه مى شوفد *
فراوانی تجمعی را بدست می آوریم
7 محل دهى 1 امارا با استفاده از رابطه 0 ,10“ 0 بيدا مى كنيم
V با توجه به مقدار, D, و فراوانی تجمعی؛ طبقه دهک دار را پیدا می کنیم
”7 طبقه دهک دار » اولین طبقه ای است که ,<< باشد:
”7 با استفاده از فرمول زیر مقدار دهک را محاسبه می کنیم
ل
= ی ور
صفحه 66:
“Jia ~ با استفاده از داذه های جدول زیر دهک پنجم و هفتم را محاسبه می کنیم:
GE eh eh
4٩0-0 ۰ ۱۰ ۵
0و | ومههعو | ۵
20-40 | eS | @D+—— Dur
€0-S0. |. 2d | CO>— Pap
6060 | ao. | doo
200
صفحه 67:
(dike) دهک پنجم :
i=5> D, و
0232 4 +0-30 > فم +30-<1:
: دهک هفتم
صفحه 68:
O پازامترهای پزاکندگی در داده های طبقه بندی شده
شاخصهای زیر به عنوان پارامترهای پراکندی مورد بزرسی قرار می گیرند :
7 انحراف متوسط از میانگین
7" واربانس
انحراف معیار
کر
لا انحرآف متوسط از میانگین 7
انحراف متوسط از ميانكين از زابطه زیر بدست می آید:
صفحه 69:
ل وازيانس واريانس را با فرمول زير مى توان محاسبة کرد:, -
2 2 و
n-1
gly bo ~ داده های دستمزد ماهیانه کارکنان شرکت دارویی مثال قبل انحراف متوسط از
مياذكين را مخاسبه مى كنيم .
ود موی اد شود قط 1 عقي 3 و الق
0 همه ١ 46 56 ۱481 49 40-۰1
6200 1 .0 1 869 ۵0 90
So | doo 6 | ۶ |اهو| هم | 90
eo les) © | ae | 560 660 | 98
موجه | وهم | 6۵ ۱ ۶ |هو| وه 90-۱
0
مه 0
SO 0
صفحه 70:
۵ 1% _3300.,, 6
2-100
f\x- x
apae tle Ae 102075 0.2.0. dite انعراف متوسط از
n 100
E(x- x)?
وا شب و 9 ae 7 7 واریانس
لا انحراف معبار
انحراف معيار برابر جذر واريافس است .
صفحه 71:
ل پارامترهای انحراف از قرینگی
ذزْمقايسة دو با چند جامعه با همدیگر )ابا از پارامترهای مرکزی استفاده آمی شود .
7 _ گاهی اوقات تصمییم گیرنده به علت مساوی بودن پارامترهای مرکزی ( بخصوص ميانكين )
دچار مشکل می شود در این صورت اختلاف جوامع آماری به کمک شاخصهای پر کندگی
مئل انحراف معیار مشخص می شود . امکان دارد دو جامعه آماری دارای مینگین و
واریانس برابر باشند ولی دو جامعه از توزيع یکسانی برخوردار نباشند . مانند شکل زیر که
دو جامعه را نشان می دهد که دارای میانگین و واریانس برابر هستند ولی توزیع جامعه
دارای تراکم نزدیک مبدا مختصات است در حالیکه مد جامع ( تراکم ) در نقطه مقابل آن
صفحه 72:
میانگین
باه
مد
را ee
توزیع آماری: ws
شكل 5:) توزیهاینامقارن ۸و9 7 اشکل 44 توزیع زنگی شکل و متقارن
این تفاوت را چولگی با انحراف از قرینگی می نامند.
صفحه 73:
۲ "توزیع چوله به راست : توزیعی است که مد جامعه آمازی پاین تر از میانه و افنادگی
توزیع بالاتر از آن واقع شود . (میانگین > ميانه >"مد)
% -نوزیع متفارن : توزیعی است که پارامترهای مرکزی آن ( مد مبانگین و میانه) با
همدیگر مساوی , باشند.
_توزیع چوله به چپ: اگر مد جامعه بزرکتر از میانه باشد و افنادگی جامعه سمت چپ آن
واقع گردد جامعه دارای چولگی چپ خواهد بود. (میانگین < میانه < مد)
صفحه 74:
7 شاخص اندازه كيرى بارامترهاى تعبين انحراف از قرنکی «ضریب چولگی » نامیده می شود.
Y در صورتی که توزنع جامعه جوله به چب باشد ضریب چولگی منفی است۰
اکر که توزیع جامعه چوله به راست باشد ضریب چولگی مثبت است .
7 و درصورتی که جامعه از توزیع متقارن برخوردار باشد ضریب چولگی برابر صفر خواهد بود .
”7 قدر مطلق ضریب چولکی نشان دهنده میزان اختلاف جامعذ آماری با توزيع نرمل از نظر قرینکی است .
بنابر این هر چه این ضریب بزر کتر باشد تفاوت جامعه از نظر قرینگی با توزیع نرمال بیشتر خواهدبود
فنریب چونگی اول و دوم _x- Moa os 2
5
صفحه 75:
7 مثال
داده های جدول زیر سود سالنه ۵۰ شرکت بر حسب :1 میلیون ریال است ضرایب
مني به ۵۵ هه و م
چولگی پیرسون را برای آن حساب می کنیم .
در x x
99 8 660
وه 6 600
eels es 9
99 هه Sols
eI 99 eos
ee ۵0 060
doors 9 ۰0۵
موه So ۸6
ه9026
حدود کرانه
۵0
+6868
هوجو
ووه وروه
ه666
6/۵۵6
:66/6
اوه
40/0۰
deus
Co Fs
4049
مههو
90-64
60-08
99-70
60-99
60-00
006-10
صفحه 76:
eee % _ 2785,
=55/7
n .50 0
0-12
وی alg: = 2 TEE. 12772
Mod=37/5+ (1) 14=42/17
1+2
Md=5Y5+ C25 14-5
_ x Mod_55/7- 42/17
5 2000
ie _3x- Md .3(55/7- 51/5)
5 2772
9 =0/49
=0/45
صفحه 77:
(" _پارامترهای تعیین اتحراف از کشیدگی
منظور از کشیدگی توزیع ها مقدار اوج ( بلندی ) آنها است . بعنوان مثال در شکل زیردو
منعنی 0 و 0 از نظر پارامترهای مرکزی و چولکی یکسان هستند هلی منحنی 0
از منحنی 60 کوتاهتر است.
دونطلحلی ele pal rl عرکزی ککسای و کشیدگی متفاوت
صفحه 78:
در حالتهای خاص که تضمیم گیری به کمک پارامترهای مر کزی و چولگی امکان پذیر نیست
» يكى از پارامترهاق مناسب استفاده از مقایسه پراکندگنی توزیع جامعه با توزیع نرمال
است:
شاخص سنجش پراکندکی جامعه نسبت به توزنع نرمال" «ضریب کشیدکی » است که با 6
نمایش داده می شود .
منحنی توزیع های آماری از نظر کشیدگی به سه گروه تقسیم می شوند:
«I آن دسته از منحنی هایی که نسبت به توزیع نرمال از پراکندگی بیشتری
برخوردارند. یعنی منحنی توزیع نسبت به منحنی نرمال کوتاهتر است .
“اين دسته از توزیع ها دارای ضویب کشیدکی منفی هستند ..
f(x-
K 2 لسافرمول محاسبة ضریب کشیدگی3
صفحه 79:
7
v
۳
32
توزیعهایی هستند که از توزيع نومال بلندترند يعنى از أوج بيشترى بوخوردارفد.
ضريب كشيدكى ابن دسته از توزيعها مثبتٍ خواهد بود.
توزيعهايى هستند كه كشيدكى آنها با كشيدكى توزيع نرمال كاملاً مساوى است.
ضریب کشیدگی در این توزیعها مساوی صفر است ۰
فكل بدا مقا قل كتيركى
صفحه 80:
7 مثال
د رآمد کارکنان یک شرکت برحسب یکصدهزار ریال دز جدول زیر آمده است ضریب
کشیدگی را محاسبه می کنیم.
0 “قد 0م ع دود | ور | و | سل عم
as 98 |. 46 | ۵90, |۵۵ | 06 | 60م
es | © 6 190 60 | 50 | موه
doo #00 8 9 | 99 | :هه | وههو
eo | es | © 9 ۹ | ¢0-60
5
S050 | a | so a ee | €eeo_ | coresoo
90
0
و9
0
doo 4690600 | 0
صفحه 81:
محاسبات با استفاده از جدول در زیر آمده است :
موس 23300 تسش ِِ
n 0
د ا ا
12/15— آوو 2 و
2-1
x, 4455200 ا
- 32205 3-7095
nS 1002/15
صفحه 82:
سر
صفحه 83:
تا نضظریه احتمال
واژه «احتمال » دال بر « عدم اطمینان » نسبت به آینده است . ما در بسیاری از موارد از پیش
بینی آینده ناتوان هنتیم و برای اندازه گیری این عدم اطمینان از نظریه احتمال استفاده
می کنیم .
تامفهوم احتمال
بطور کلی می توان احتمال را شانس وقوع پیشامد خاصی تعریف کرد»
به تعبیری دیگر» احتمال وقوع یک پیش آمد برابر نسبت دفعاتی است که پیش آمد
خاصی در تکرارهای زیاد رخ خواهد داد .
صفحه 84:
ل احتمال عيني و ذهني
اختمال عینی به نظر اشخاص مختلف وابسته نیست و احتمال وقوع از قبل مشخص
انشتة
احتمال ذهنى به عقايد اشخاصى وابسته است كه آن را ارزيابى مى كنند. دو
ily احتمال ذهنی را می توان احتمال تخصیص داده شنده به وسیله یک فزد به
یک پیش آمد تعریف کرد.
ل" آزمایش
در نظریه احتمال فعالیتی که نتیجه آن از قبل مشخص نباشد به آزمایش »
معروف است .
صفحه 85:
مبادي احتمال
لا فضاي نمونه
مجموعه پیامدهای ممکن یک آزمایش را فضای نمونه آن آزمایش . . می
نامند . عموماً فضاق نمونه را با لگایش می دهند:
منال 1-5
. نمونه پرتاب یک سکه بصورت 7 7/ ,727 1ح 5 است clad
< مثال 2-5
فضای نمونه پرتاب يك تاس عبارت است از: ۰ (5,6 ,4ر3 ,711,2 5
صفحه 86:
مبادي احتمال
اکر فضای نمونه شامل تعداد متناهی یا تعداد نامتناهی عضو ولی شمارش پذیر
باشد آن را « فضای نمونه گسته » می نامند.
فضای نمونه بعضی از آزمایشها که گسته نباشد پنوسته نامیده می شود.
صفحه 87:
مبادي احتمال
> منال 3-5
clad ۰۱ نمونه پرتاب یک سکه يا پرتاب یک تاس فضای نمونه کسسته است
۲ فضای نمونه برای عفر نوعی لامپ که توسط یک کارخان خاص تولید می شود و
حداکثر عمر آن ۱۷۸۰ ساعت ات عبارت است
یا = Xs Og نشان دهنده عمر لامپ است یک فضای
فمونه پیوسته است .
صفحه 88:
مبادي احتمال
پیش آمد یکی از زیر مجموعه های فضای نمونه است .
> منال 4-5
أ پرتاب یک سکه را در نظرمی گیریم.اکر 2 را بيش آمد ظاهر شدن شير
( 7 ) تعریف کنیم عضوهای پیش آمنگ بصورت زیر هستند-
A={H}
st ۲ تیش آمد ظاهر شدن عدد زوج در پرتاب تاس باشد
پیش آمد 13 بصورت زیر است - (46 22 و
صفحه 89:
مبادي احتمال
پيامدهاي مقدماتي هم شانس
اكر در آزمایش نوعی تقاون وجود داشته باشد بطوری که مطمئن بانیم
وقوع یک پیامد همان. قدر امکان دارد که وقوع هرپیامد دیگر ؛ می گوییم
فضای نمونه دارای پیش آمدهای اولیه یا «پیامدهای مقدماتی » هم شانس
Sead
5-5 منال
در فضای نمونه پرتاب یک سکه یا پرتاب یک تاس پیامدهای مقدماتی هم
شانس هستند .
صفحه 90:
مبادي احتمال
لا احتمال يك پیشامد
اکر در یک فضای نمونه همه پیشامدهای مقدماتی هم شانس باشندذر این
صورت : احتمال وقوع پیشامد خاصی مانند گبارت است از تعداد
متوهای پیش آ مد تقسیم بر نعداد قضوهای فضاو لو .بعنی دار
TA) تعداد عضوهایپیشاند۸
"٠ 11)5( تعداد عضوهای فضای نمونلاگ و 7
صفحه 91:
مبادي احتمال
منال 6-5
مى خواهيم در پرتاب دو سکه احتمالات زیر را حساب کنیم
1( دقیقاً دو خط ظاهر شود:
۲ حداقل یک خط ظاهر شود .
۳ .هر دو یک چیز رانشان دهند .
ابتدا فضای نمونه را می نویسیم
S={HH ATTH TT}
1( بيشامد ظاهر شدن دقيقاً دو خط[ (A)
و ۰۸۲۸۵ 7)جم
صفحه 92:
مبادي احتمال
۲ پیشامد ظاهر شدن حداقل یک خط
Zs WB) 3
B={HTT.
1 ATT PB= iste
1( پیش آمد آنکه هر ده یک چیز ظاهر شوند:
1
0270 ۶0 39 eo =F;
صفحه 93:
مبادي احتمال
در بسیاری از آزمایشها پيامدها ی مقدماتی دارای شانس مساوی برای
انتخاب شدن نستند.
در چنین حالتی از فراوانی نسبی وقوع پیش آمد در صورتی که آزمایش
تحت شرایط یکسان مکرراً انجام شده باشد .
صفحه 94:
مبادي احتمال
¢ بنابر این فراوانى نسبى بيش آم 41 در ۷ بارتکرار آزمایش جنين
تعریف مى شود :
تعداد دفعاتی که 24 در تکوار آزمایش روى مَى دهف
< _ فراوانی نسبی ینش آمد AL
N
۲ , در صورتی میتوان از فراوانی نسبی به عنوان مبنای احتمال استفاده كرد كه
تعداد تکرارهای آزمایش A
) فراوانی نسبی 4 در2۷ تکرار PA) =lint
به سمت بی نهایت میل کند یعنی :
صفحه 95:
مبادي احتمال
* منال 7-5
در نمونه ای وسیخ که قبلاً از جمعیث ایران گرفته شده است تعداد
فرزندان هر خانواده همراه با نسّت افرادی که دارای این تعداد فرزند
هستند نشان داده شده است . داده ها در جدول زیر آمده است :
تعداد فرزندان ۰ ۱ ۲ ۳ ۴
۵ و بیشتر
نسبت خانواده
هابى که این تعداد | ۰۵/۰ ۱۰/۰۰ ۰ ۳۵/۰ ۳۵/۰ ۱۸/۰
فرزند دارند ۳/۸
صفحه 96:
مبادي احتمال
qa
(۳
0
۳
۳
اگر خانواده ای را بطور تصادفی انتخاب کنیم » می خاهیم احتمال هریک از
پیش آمدهای زیر را خساب کنیم .
کمتر از دو فرزند داشته باشند .
بین دو تا چهار فرزند داشته باشند .
چهار فرزند یا بیشتر داشته باشد .
جواب :
P(A) =0/05+0/1 0=0/15
PCB) =0/35+0/25+0/15=0/75
P(A) =0/15+0/10=0/25
احتمال داشتن کمتر از دو فرزند
احتمال داشتن و تا خهار فرزند
احتمال داشتن چهارفرزند با یشتر
صفحه 97:
مبادي احتمال
لا خواص مقدماتي احتمال
A
احتمال پیش آمدی همچون + متعلق به فضای نمونه همواره بت با
مساوى صفر و کوچکتریا مساوی یک است . یعنی OS PA) SD
احتملوفوع فضای نعونه © پرابری اس PCS) HD san
صفحه 98:
مبادي احتمال
لا . قواعد شمارش
۵ اصل اساننی شمارش
اکر عملی مستلزم ۳ مرحله باشدکه مرحله اول به . .54 طريق » مرحله
دوم ash Th a .... و مرحله ک ام هی طریق انخلم پذیرد»
آنگاه عمل مذبور به 2۰۰۰2672 Th XID, طریق ممکن انجام
می شود .
صفحه 99:
مبادي احتمال
> منال 8-5
می خواهیم بدانیم گر قرار باشد پلاک اتومبیلها را با استفاده از نام یک
شهر ایک حرف فارسی و ۵ رقم مشخص کنیم با این شرط که فقط نام ۲۵
شهر مجاز باشدچند ماشین مختلف را مى توانيم شماره كذارى كنيم ( رقم
اول شماره ماشیننباید صفر باشد)
253204 0۵ 0۳۳ 271
صفحه 100:
مبادي احتمال
3 جایگشت ( ترتیب )
تعداد جایگشتما شئي برابر استت با
n=nx(n- 1)x...x3x2x1
۲ تعداد جایگشنلاي آشثي از شتي"فتمایز
برابژ است با
PP =nx(n- 1)x...x(n- 2+1 Pt pl
صفحه 101:
مبادي احتمال
2 منال 9-5
می خواهیم از بين ۱۵ عضو شرکت کننده در یک جلسه یک رئیس » یک
معاون و یک سخنگو انتخاب کنیم » ترتیب انتخاب نیز مهم است تعدا طرق
ممکن برای اين سه نفر بصورت زیر است :
eet 15 15 2
=2731
3 7 (np)! 5-3) 12 12 3
صفحه 102:
مبادي احتمال
لا ترکیب
تعداد تركيبعاي pial] از شني متماتن
برابر است با رز (A=
او -ص) بر 777
~ منال 10-5
قرار است از بین 10 مشتري عمده يك
فروشگاه سَه قفر انتخاب کرده و از آتهامدر باره
ce ره اي
3! )10۳
صفحه 103:
مبادي احتمال
. تعداد طرقى كه مى توان مجموعه . 17 شئیرابه .. زیر مجموعه
با 11 شنی در مجموعه اول » 12 شنی در مجموعه دوم »... و 7 شنی در
مجموعه ام افراز کرده برابر است با
a ) _ a (
Ty) Tint ml ورن
Jin * 10-5
می خواهیم بدانیم به چند طریق می توان ۸ کارمند را در دو اطاق ۳ نفره و
یک اطاق دو نفرة جای داد .
!8
چون ۲+۳+۲-۸ داریم : =56C 330 = لو دی
صفحه 104:
مبادي احتمال
لا عملیات روي پیش آمدها و قواعد
احتمال
7 نمودار ون : برای نشان دادن پیش آمدها در یک فضای نمونه از نمودار ی به
نام نمودار ون استفاده کرد .در اين نمودار کل فضای نمونه با یک مستطیل » و
هر بيش آمد با يى دايره م 4 5
۵
صفحه 105:
مبادي احتمال
GLE jis Lael و پیتن
دو پیش آمد در صورتی نا ساز کار نامیده می شوند که در یک لحضه فقط و
فقط یکی از آنها بتواند واقع شود :یعنی امکان وقوع همزمان دو پیش آمد
ناسا ز کار وجود ندارد .
v
v
دو پیش آمد ناسا ز کار هیچ عضو مشترکی ندارند .
3 و
دو پیش آمد سازگار
دو پیش آمد در صورتی سازگار نامیده می شوند که وقوع یک پیش آمد
مستلزم عدم وقوع دیگری نباشد .
۲ دو پیش آمد سازکار دست کم یک عضو مشترک دارند.
صفحه 106:
مبادي احتمال
v متمم يك پیش آمد
متمم پیش پیشاهد 4 مجموعه تمام عضوهایی است که در 4 نیستند.
ic
متمم بيشامد 4 راب یا پصورت نشان میدهند-
> منال 11-5
در پرتاب یک تاس > (* پیشامد ظاهر شدن عدد گوچکتر از ۳ است . متمم
Salad مرت یر
A={l2}——e A ={3,45,6}
صفحه 107:
مبادي احتمال
دا برخي از قواعد احتمالات
7 اكر لو 10 دوبيش آمد مربوط به يك فضاى آزمايش باشند بطوری
AgB باشد ذر اینصورت داریم :
P(A) <P(B)
7 باتوجه به اينكهداريم ٠ 4-5 لال و 1- (265 ينابر اين
عد ا مس + رمس
P(A) =1- P(A)
صفحه 108:
مبادي احتمال
v اكر ل و 10 دوپیش آمد مربوط به یک فضای آزمایش باشند دز
اینصورت داریم:
م54 - (۳۲ + ۲۸ < 9 ب۳4
Y و و B دو پیشامد ناساز کار باشند خواهیم داشت :
PAU B) =PA)+ AB)
صفحه 109:
مبادي احتمال
2 منال 11-5
احتمال اینکه خانواده ای اتومبیل » موتورسیکلت و با هردو را داشته باشد به
ترتیب برابر ۸۶۱/۰ ۲۵/۰ و ۰۸/۰ اش اکر خانوادهای بصورت تصادفی اتخاب
شود می خواهیم احتمالات زیر را حساب کنیم .
الف ) اتومبیل نداشته باشد .
ب ) دست کم یکی از این دو را داشته باشد .
حل :اكر 4
الف ) ' 0/61-0/39 -<1- .يه)2 : -1- )2
ي ¢ 0/08=0/78 -0/61+0/25= PAN B) ۳+ 2۳۵۸ ناش
ببشامد ذاشتن اتومبيل و.. أپیشامد داشتن موتیرسیکات باش داريم
صفحه 110:
مبادي احتمال
2 احتمال شرطي
gat Te ng to otis «ite gue بداقيم
ca as Osby Bus, در ايتضورت احتمال وقويك به
احتمال وقوع oR رو برض نشان داده می
شود ) تغیبرمیپابد .که آن را أحتمال شرطی می نامند .
۳ احتمال شرطل ۲۹7" تصورت زیر محاسبة می شود
PLAN B)
A es
صفحه 111:
مبادي احتمال
> مثال 12-5
اطلاعات مربوط به سود خالص یک سال یک سال ۱۵۰ شرکت که در چهار
صنعت مختلف فعالیت می کنند به شرح زیر است :
میزان سود
2
AD مینیب
صنعت آلومینيم B
صنعت مواد غذایی CO
صنعت چوب و كاغذ 10
رس |
5
و dl
9
50
0
0
6
66
eo
aso
صفحه 112:
مبادي احتمال
۲ مى خواهیم اختمالات زیر را در صورتی که یکی از اين شرکنهابهتادف
انتخاب شده باشذ محاسبه کنیم
الف ) احتمال اینکه شرکت انتخابی سود کمتر یا مساوی ۵۰ میلیون ریال داشته
oe 90
0/6- ~=
P(E) 150 /
ب ) احتمال اینکه شرکت انتخابی در صنعت آلومینيم مشغول فعالیت باشد
_65
AB) == 50/43
صفحه 113:
مبادي احتمال
ج ) احتمال اينكه شركت انتخابی هم از صنایع نساجی باشد و هم سود بیشتر از
۵۰ میلیون ریال داشته باشد ء
15
An F) =— =0/1
PAN F) 15 /
د) احتمال اینکه شرکت انتخابی یا در صنعت نساجی باشد با سودی بیشتر از ۵۰
ميليون ريال داشته باشد ء
15 .60 ,32 _ 0 3
ا و Fee
صفحه 114:
مبادي احتمال
) احتمال اینکه شرکت انتخابی در صنعت نساجی مشغول فعالیت باشد در صورتی
که بدانيم سودی بیشتر از ۵۰ میلیون ریال دارد.
13 سوه - تممص
و 60150 AF) زب
و) احتمال اينكه شركت انتخابى سودى كمتر يا مساوى +8 ميليون ريال داشته باشد
در صورتى كه بدانيم در صنعت نساجى فعاليت ندارفد .
/35+28+10(
Pe Ay = BOA) ا 150-9769
PA). 65+33+20/150
صفحه 115:
مبادي احتمال
لا قانون ضرب اختمال
کر کت ی ۸
اتوجه هانکه در احتمال شرطی داریم ۰ ۰ 8 ۱
مرب طرفین ین بط درآ خواهيم scale
3 ۴۵۱ ۴9 2 مار
که این رابطه به « قانون ضرب احتمالات » معروف است.
قانون ضرب احتمالات زمانی که محاسبه احنمال اشتراک دو پیشامد به راحتی
امکان پذیر نباشد» کمک می کند ؛
صفحه 116:
مبادي احتمال
> منال 13-5
فرض کنید ظرفی حاوی ۱۲ مهره است که ۵ مهرهْ آن قرمز و بقیه سبز
هستند . می خواهیم بدانیم اگر دو مهره را بدون جایگذاری بیرون آوریم
احتمال آنکه هر دومهره قرمز باشند چقدر است .
A pie پیشامد قرمز بودن مهره اول و B قرمز بودن مهره دوم
باشد داریم :
5 4 5
P(An B) = RA) AB A) =x == =0/152
12 او eS.
صفحه 117:
مبادي احتمال
دو پیشامد را «مستقل » می نامند در صورتی که وقوع يا عدم وقوع یکی در
وقوع با عدم وقوع ديكرى هيج تأثیری نداشته باشد ؛
7 مانند احتمال تصادفی در یک خیابان تهران و احتمال غرق شدن یک قایق در
چابهار
۲ در صورتی که دو پيشامه مستقل باشند داریم pe و
نتيجه خواهيم داشت :
PAN B) = RA) XPB)
صفحه 118:
مبادي احتمال
+ منال 14-5
سکه ای را دو بار پرتاب می کنیم . می دانیم در بار آول شیز آمده است»
می خواهیم اختمال اينکه در بار دوم نیز شیر بیاید را محاسبه می کنیم »
حل : شیر و خط آمدن سکه در بار اول هیچ تأثیری در شیر یا خط آمدن سکه
در بار دوم ندارد بنابر اين داریم ؛*
۳) ۲7| ۲( - ۳۲ -5
صفحه 119:
مبادي احتمال
لا قانون احتمال كلي
7 درصورتی که فضای نمونه وشات ‘ 3 و
A
۰ افراز شده باشد احتمال وقوع پیشامد 7" بصورت زیر بدست می آید
لها
P(A) =FA R)PCR)+ PCA|B) PCB) +... A|B) PCB) => PAI B)PCB)
صفحه 120:
مبادي احتمال
Jin > 15-5
سه ماشین A 2 کل محصولات کارخانه ای را تولید می کنند:-
اطلاعات مربوط به تولید و محصولات معیوب تولید شده توسط هر ماشین در جدول زیر
آمده است ۰ اگر یک محصول از تولیدات این کارخانه به تصادف انتخاب شود » احتمال
اینکه این محصول معیوب باشد چقدر است 1
B A a 6
موارد
درصد تولید محصول توسط هر ماشین 80 20 8
درصد محصولات معیوب هر ماشین
86 9 &
صفحه 121:
مبادي احتمال
7 فرض كنيد 10" پيشامد انتخاب فحصول معیو ب باشد. داریم
2-4 ۳250 ۰ 2۵/03 ۰۰.۳۱ 0/02 ۳5۸
P(A) =0/60 PCB) =0/3C PC) =0/1€
احتمال معیوب بودن محصول انتخابی
PUB) =0/60-0/02+0/300/03+0/10-0/04=0/025
صفحه 122:
مبادي احتمال
ممکن انست احتمال وقوع پیشامدی را در شرایط مغمولی بدانیم » ولی
اطلاعات جدیدی بدست آوریم که در احتمال وقوع پیشامد اولیه تجدید
نظر کنیم. به اجتمال وقوع پیشامدی قبل از کسب اطلاعات جدید اختمال
پیشین » و به احتمال وقوع آن پيشامد بعد از کست اطلاعات
جدید: « احتمال پسین » می گویند .
صفحه 123:
مبادي احتمال
V درضورتی که احتمال (2 41] تمعلوم ( احتمالبيشين )و بخواهيم
اختمال وقوع(4 |7010 . .( احتمال بسين ) را حساب كنيم از فرمول زير كه
به قضيه بيز معروف است استفاده مى كنيم :
5648
B =
۳5۱۸ AA
صفحه 124:
مبادي احتمال
ek
16-5 Ji. ~
در مثال ۱۵-۵ احتمال آنکه محصول انتخاب شدة توسط Bite
تولید شده باشد درصورتی که بدانیم کال معیوب است » جقدر است ؟
PB) 0/025 PE|B)=/03 PLB) =0/3C
p -PBAE|D _0/30-0103 p46
P(E) 0/025 ا
صفحه 125:
توابع احتمال کسسته
صفحه 126:
توانع احتمال گسسته
a
a
۳
(۳
«۴
4۵
(2
Vv
(A
a
0
موارد مورد بررسي در اين فصل
متغیر تصادفی گسمته » تابع اختمال و تابع توزيع
امید ریاضی و واریانس متغیر تصادفی
تابع احتمال توأم
كوواريانس و استقلال دو متغير تصادفى
توزيع برنولى
توزيع دو جمله اى,
توزيع هاى ذو جمله ای منفی و هندسی
توزیع چند جمله ای
توزیع فوق هندسی
توزیع پواسن
صفحه 127:
۲ متغیر تصادفی ؛ تابعى است كه دامنة آن فضای نمونه و حوزهْ آن مجموعه ای
از اعداد حقیقی است .
متغير تصادفئ كسسته متغيرى است كه تعداد مقاذیری که می توانداختیار
كند » متناهى يا شتمارش يذير tly
۲ . تعداد مقادیر متغیر تصادفی پیوسته» نامتناهی است.
لا تابع احتمال
" . تابع احتمال تابعی است که دامنة آن مقادير ممكن متغير تصادفى و حوزة آن
احتمالات مربوط به هر مقدار متغیر تصادفی است ء
صفحه 128:
توائع اختمال گسنسته
< منال 1-6
فرض کنید سکه سالمی را دو بارپرتاب می کنیم بدا فضای نمونه را
می نویسیم و سپس آرتباط آن را با نعدا شیرهای ظاهوشده مشخص می کنیم :
S={TT TH HT HH}
حوزه مقادیر متغیر تصادفی ؟: 0 TH:
2 -
THe 2 X=012}
HT——
HE- 2
تعداد شیرها فضای نمونه
حوزه مقادیر دامنه
صفحه 129:
توانع احتمال گسسته
۵ تابع احتمال
تابع احتمال تابعی است 45 diols آن مقادیر ممکن متغیر تصادفی و حوزةٌ
آن احتمالات مربوط به هر مقدار متغیر تصادفی است
< مثال 2-6
فرض كنيد كه سالمى زا دو باز برتاب مى كنيم اكرمتغير
تصادفى 1 شیرهای ظاهرشده باشد تابع احتمال آن بصورت زير اسث .
جمع
ad
esl
0
600/0
0
6
66/0
x)
xX
۳۲ <
صفحه 130:
توانع احتمال گسسته
1 Xx
: در تابع احتمال برای هر" داریم 7
O<P.X =x) <1
2062 رن
“ برای تابع احتمال Pl x) أريم :
۶ ۳2 < ۵ -1
صفحه 131:
وانع اختمال گسنسته
< منال 2-6
مى خواهيم بدانيم آيا تابع زیر می تواند تابع احتمال باشد
4
x-01234 ير
4 4 Ax tle
&,9,9,9 @
16 16 16 16 16
4
بنابراین می تواند تابع احتمال باشد 1<
4
alr
=
9
BR
9
يم
6
خم
9
صفحه 132:
توانع احتمال گسسته
تابع توزیع, تابعی است که به ازای جمیع مقادیر ممکن متغیر
xX ah KO crs
تصادفی " » احتمال وقوع Galo lb So 95 (5 shri با را
نشان می دهد .
صفحه 133:
توانع احتمال گسسته
۹0/0
2
2 <
2 منال 3-6
جدول تابع احتمال زیر را درنظر گرفته تابع توزیع آن را بدست می آورنم
20 9 9 0 8ه
00 50/0 766/0 6/۵
تابع توزیه
do. 5 8 0 8ه
0 ۵/00 0*۰ 900 ۰0 ۰ 40/0
F(X) 2۲۲ >
صفحه 134:
توانع احتمال گسسته
منال 4-6
شرکت بیمه اطلاغات مربوط به تعداد تصادفات ۶۰ روز یکی از مناطق شهری
را در جدول زیر جمع آوری کرده است
oO 0 9 2 a تحص
do 9 © Pe 6 6 تعداد روزها
الف ) تابع احتمال و تابع توزبع تعداد تصادفات را بدست آورید
ب ) اگر وزی از اين ۶۰ روز را برحسب تصادف انتخاب کنیم » احتمال اينكه
در این روز کمتر از ۳ تصادف رخ داده باشد » چقدر است ٩
صفحه 135:
توانع احتمال گسسته
الف ) تابع احتمال و تابع توزيع
جدول تابع احتمال
x 0 qd 6 9
۱ 0 ۰40۵ ۶/۵ 68060 5610
AX =x) 3
جدول تابع توزيع
x 0 6 9 0
0 96/0۵۰ 66/0 ,56/0 56/0
Fly =AX<x)
(ye
PX s4 =P X A) + ۳2۲ <1( + PX =2) =0/84
صفحه 136:
توانع احتمال گسسته
ل اميد رياضي متغیر تصادفي
اميد رياضى همان ميانكين موزون است كه احتمالات در آن نقش وزنها
(ضرایب) را ايفا مى کند
7 افيد رياضى متغير تصادفى كسسيتة © به صورت زیر محاسبه می شود :
( 1620 < 220 ۲2۴ 7 . رادرنظر می (ma
lx) =) xf)
صفحه 137:
توانع احتمال گسسته
متال 5-6
شرکتی تولید کننده آب گرمکن کازی است , تقاضای مأهانه همراه با احتمالات
مربوط در جدول زبر آمده است امید ریاضی تعداد تفاضا را بدست می آوریم :
E(x) = 5 )ند 28
xf x)
1۵
۵
۹۰
A
۵۰
YAS
1)
۱/۰
۵/۰
۳/۰
۳/۰
۳/۰
0
x
1۰
Yoo
۳.۰
fee
dee
صفحه 138:
توائع اختمال گسنسته
ل واریانس
واریانس متفیز تصادفی کسسته 7*۰" که میزان پزاکندگی را حول ميانکین
(امید ریاضی ) نشان WET gna co نشان میدهيم که
بصورت زیر محاسبه می شود .
و CECI رح ۲/۲۵
همچنین بجای استفاده افرمول بالاءمی توان از فرمول زیر استفاده کره:
۲۱۵ < ۲2۶(- ۲۳۵۴
صفحه 139:
توانع احتمال گسسته
< منال 6-6
جدول تابع احتمال زیر را درنظر گرفته واریانس را بدست می آوریم
Oye 67 NO) 0 مه xX
do 48/87 96/0 500/0 ۵
f(x)
|X FD] cere | اد ی | بر
e- ۳/۰ 9/۰ ۴ ۴/۰
© ۱/۰ ۰ ۰ 5
9 ۳۵/۰ ۷۵/۰ 4 2/۲
6 ۳/۰ ۸ ۲۵ 2/۷
a ۳/۰ ۲ foo “7
۷۳۵/۳۳ ۴ ۱ جمع
صفحه 140:
توانع احتمال گسسته
7 -2 xf) =4/05
7216-9) a 2 ۶) =33/75
11) =F) - [EYP =33/75- (4/05? =17/347!
275-5 ()/۲/:- :5 انعراف معبار
صفحه 141:
توانع احتمال
گسسته
b vo
اكر 2 اشند دا
و2 دو عدد ثابت باشند دا
سا
: اريم
1 ع طاط
+ ۳۲۵ < ( رو ]۳ ِ
)
c Vib =0
(۳
ا د ط
Viax+ 8
صفحه 142:
توانع احتمال گسسته
منال 7-6
اكرك - 2120 34= EC) باشد مقادیر زیر را حساب کنید
Vay , E(@x+3) , VA) , ۷02۰
۱ V(x)= E(®)-(E(X)=3425=9
y) AS x+ 3) =5F(X) +3 =5x5+3 =28
رم VA)=0
رم ۳2 7(<2 ۲۷۵6-2۵28
صفحه 143:
توانع احتمال گسسته
۵ تابع احتمال توأم
در مواردی لازم است که علاوه بر رفتار هر متغیر رفتار آنها در
ارتباط با یکدیگر مورد برسی قرار گیرند در این صورت رفتار دو یا
چند متفر تصادفی را كه توأما بررسى مى شوند تابع احتمال توام
مى كويند .
صفحه 144:
توانع احتمال گسسته
آکر لد كأو متغير باشند جدول تابع احتمال
توام ۲ و 7 بصورت زیر انت.
XY مر VM
ری رید ۰۰۰ (ول رود ey)
3 روت)1 ۰ (1 )2 ۰ ( رود)1
fay, ¥) Fe) ++ = Gey ¥)
x
aCe
صفحه 145:
توانع احتمال گسسته
< مئال 8-6
فروش روزانه دو بنكاه اتومبيل را در نظر مى كيريم تعداد اتومبيلهاى فروخته
شده در بنگاهاول 2۴ ( حداكثر دو اتومبيل ) و تعداد اتومبيل هاى فروخته
شده در بنكاه دوم
اتومبیل به شرح زیر است :
“1 (خد اكثريى اتومبيل ) احتمالات فروش روزانه دو
gap (KY) احتمال
00 0/05
0 0/18
(49 ————-0/22
12 0/35
(20 ——— 0/15
2) 0/05
صفحه 146:
توانع احتمال گسسته
تابع احتمال توأم فروش روزانه دو بنگاه اتومبیل را تنظیم مى کنیم
۲۱ 0 0
9۸
09۸
99۸
Selo
06/0
19۸
۵ بل
صفحه 147:
توانع احتمال گسسته
Jin > 9-6
با استفاده از جدول احتمال توأم مثال ۸-۶ احتمالات زی را محاسبه می کنیم :
(۲ +5 < 2 )۳ ج) (1 < 7۲۸ ب) wAX=)
PX =1Y =I) 20/220/357 +(20< ۲ با 2۳۷2۲ (1- ۳02 ده
(1< ۲ ,۳22 +20 ۲ ۲۶22 +(20 ۲ ب[< )2۳ (1 < ۲ ب)
PUX > Y) =0/22+0/15+0/05=0/42
3 27 5. © 60 ©
OW ۰06/66۵/۵ 06/0
142
صفحه 148:
توانع احتمال گسسته
دا احتمالات خاشیه اي
با در دست داشتن جدول احتملات توام ۳ و 7 می تون تابغ اختمال
جداگانه هر کدام از متغیرها را بدست آورد -
7 برای بدست آوردن احتمال متغیر تصادفی احتمالات هر سطررا جمع
می کنیم و آن را در حاشیه سمت راست جدول می نویسیم .
_برای بدست آوردن احنمال متغیر تصادفی 1 احتمالات هر ستون را جمع
می کنیم و آن را در حاشیه پایین جدول می نویسیم +
صفحه 149:
توانع احتمال گسسته
< منال 10-6
احتمالات حاشیه ای جدول توأم مثال ۸-۶ را بدست می آوریم :
اختمال حاشیه ای
LY
0/6
9
06
?
O/e
oO
qd
0
06/0
OS/D
9/۸
0
OS/D
19
Mee
ات
oO
0
9
12
احتمال حاشیه ای
صفحه 150:
توانع احتمال گسسته
لا ;
کوواریانس
امید ریاضی تغیرات دو متغیر بر خسب میانگینشان را کوواریانس
می نامییم +
کوواریانس معیار عددی است که نوع و شدت رابطة خطی بین دو متغیر
تصادفی را نشان می دهد .
¥ کوواربانس دومتغیر تصادفی 7 و * رابا (1 :00۷۹۲ نشان ميدهيم و
با استفدهازریکی از دو فرمول زير محاسبه مى شود .
cov, Y) =A(x-u,)(y- uy]
cov(X, Y) =EUXY)- F(X) EY)
صفحه 151:
توانع احتمال گسسته
v
0
۳
۳
رابطه دو متغیر می تواند به یکی از سه صورت زیر باشد :
رابطه مستقیم : هردو متغیر در یک جهت افزایش یا کاهش یابند.
”7 در این صورت کوواریانس مثبت است.
رابطه معکوس : دو متغیر در جهت عکس همدیگر حرکت کنند ( یعنی با
افزایش یکی دیگری کاهش پیدا کند و بالعکس )
در این حالت کوواریانس منفی است
دو متغیر مستقل : افزایش يا کاهش یک متغیر هیچ تأثیزی در دیگری نداشته باشد
. در چنین حالتی کووراریانس برابر صفر است.
صفحه 152:
توانع احتمال گسسته
Ji. > 11-6
تابع احتمال توام دو متغیر تصادفی کم و 3 بصورت زیر است کواریانس
x 8 0 sree enn
S- ۳9۰۵۰۵۰ ۵0
do S0/
زا SOM
سر )م املق Xx! FX 7A
oF POE = 0 POM 0
ao 600 68 0 ocd 06/0۵
aon 560/00 8 3 ۱ جمع
۸/۱ ۱ جمع
صفحه 153:
توانع اختمال گسنسته
”7 محاسبه كوواريانس با استفاده از جداول بدست آمده
AX) = xf 4 ALY) =, yfly) =1/18
AXY => Y xy, x, y)) <-5)00/30+- 500/02
o> Hs
+ ) 5( 02 0/089 + 000/30 + )1 0000 + 0 002( 0/50 2-1
کواربانس
cov, Y) < ۳6 (21202 =9/1- 4x4/18=9/1- 4/72=4/38
صفحه 154:
توانع احتمال گسنسته
4 استقلال دو متغیر تصادفي
دو متغیر تصادفی مستقل هستند اگر به ازای تمام
زوجهای ( ,17 ,25) رابطه زیر برقرار باشد .
122, ( = f(%) fy,)
: اكر دو متفیر تصادفی 2۳ و 1 مسنقل باشند آنگاه داريم 7
E(XY) =A) AY)
”7 توجه شود که اكزادو متغير تصادفئ مستقل باشند كووازيانس آنها برابرطفراست
اما اكر كوواريانس برابر صفر باش لزومى ندارد که آن دو متغير مستقل باشند .
صفحه 155:
توائع اختمال گسنسته
ل آزمایش برتولي
آزمایشهایی که دارای شرایط زیر باشند به آزمایشهای برنولی معروف
هستند :
۱) آزمايشها داراى دو بيامد باشند «موفقيت » ( وقوع بيشامد مورد
نظر) «شكست » ( عدم وقوع بيشامد مورد نظر)
۲ احتمال موفقیت و شکست هر پیامدی از آزمايشئ به آزمايش ديكر
. باشد Col
۳ آزمایشها مستقل از یک دیگر انجام شوند .
صفحه 156:
توانع احتمال گسسته
۲" توزیع برنولي
توزيع تعداد موفقیت ها( ۰ با ۱) را در آزمایش برنولی
توزیع برنولى » مى نامند و احتمال موفقیت در آزمایش برنولی
رابا “1 وعدم موفقيت رون 0 -1 يا © نمايش مى دهيم
با توجه به مكمل بودن دو احتمال داريم :
ptgq=1
صفحه 157:
توانع احتمال گسسته
منال 12-6
بر اساس آمار متولدین » مشخص شده است که از هر ۱۰۰ نوزاد بطور
متوسط ۴۸ نفر دختر و بقیه پسرند . می خواهیم بدانیم آيا اين آزمایش »
آزمايش برنولی است .
جواب بله است زیرا اگر احتمال دختر بودن نوزاد را موفقیت بنامیم آنگاه برای
هر نوزاد ذاريم : p+ q=0/48+0/52=1
52
دو تدر 31 010 در فتيجه
صفحه 158:
توانع اختمال گسنسته
ل توزيع دو جمله.اي
در آزمایش برنولی که در آن احتمال موفقیت ۰ است» متظیر
تصادفی؟/ را تعداد موفقیتها در نظر می گیریم ۰
تؤزيع احتمال را «توزیع دو جمله ای » با احتمال موفقیت 10 می نافیم
که در آن متغیر تصادفی 2۴ مقادیر ۰۰ 0۰.۰6۱ »را . اختیار می کند .
7 فرمول توزیع احتمال دو جمله ای بصورت زیر است :
PX =x) <) ی ۳ 2
صفحه 159:
توانع احتمال گسسته
"تا استفاده از جدول توزیع دو جمله اي
در صورتی که » "نسبتاً بیرگ باشد از جداولی که قبلاً آماده شده اند استفاده می
کنیم
در اين جدولها احتمال تجمعي ۰ * 7 ابر ۶ < 0> ۲ برای
0
مقادیر مختلف ۰2 » و « آورده شده است.
صفحه 160:
توائع اختمال گسنسته
منال 12-6
احتمال اینکه مشتری ای که وارد فروشگاهی می شود چیزی بخرد ۷/۰ است ۰
گر ۸ مشتری وارد فروشگاهی شده باشند احتمالات زیر را محاسبه کنید.
الف ) حد اکثر ۶ مشتری خرید کنند .
ب ) حداقل چهار مشتری خرید کنند .
ج) دقیقاً ۵ مشتری خرید کنند .
د) همه خرید کنند .
صفحه 161:
134. 387 630 0 ور
1
0194-06 -1- (> 2۳02۲ -1= (4< ۳0۲ رب ۰ 20/747 (6> ۳۲ (الف
AX=5)=PX <5)- P(X <4) =0/448 0/194=0/254 ج
PX =8) =A X<8)- P(X <7) -1- 0942-6 )3
صفحه 162:
توانع احتمال گسسته
(" میانگین و واریانس توزیع دو جمله اي
ميانكين و واريانس توزيع دو جمله از رابطه ای زیر بدست می آیند :
wie 0) 2( < 77
os, V(X) =npc
صفحه 163:
توابع احتمال گسسته
منال 13-6
میانگین » واربانس و انحراف معیار مثال ۱۳-۶ را بدست آوریم :
n=10, p=0/7 , ۵
ECX) =2p=100/7 =7 مبانعين
VX) =npg=100/7>0/3 =2/1 وارياس
eI SD=/npq=V10-0/7 0/3 =V2/1 =1/44¢
صفحه 164:
توانع احتمال گسسته
ل توزیع دو جمله اي منفي
کاهی به دانستن تعداد آزمایشهایی که در آنها ۱ موفقیت رخ می دهد نیازمندیم .
”7 اند احتمال ابنكة ششمين كالاى مغيوب در يك كارتن ؛ پنجمین کالای فعیوبی
باشد که مأمورین کنترل کیفیت متوجه آن شده اند .
ل در چنین مواردی از توزیع دو جمله ای منفی با فرمول زير استفاده می کنیم ۰
باعل ماح رخو )- ور< ۳
۲ امید ریاضی و واریانس توزیع دو جمله ای منفی بصورت زیر است -
۲2( ak VX) ا
2 7
صفحه 165:
توانع اختمال گسنسته
> منال 13-6
اگر کالایی معبوب باشد معیوب باشد مأمور كنتر كيفيت با احتمال ۸۰ درصد
متوجه آن می شود . احتمال اينکه ششمین کالای معیوب ؛ پنجمین کالای
معیوبی باشد که وی متوجه آن شده است برابر است با :
k=5 و
PX =6) =) Pg" * =61)0/80°0/20°° =0/39
صفحه 166:
توانع احتمال گسسته
ل توزیع هندسي
اگر در توزیع دوجمله ای منفی ۱-0 باشد یعنی اگر بخواهیم اولین موفقیت را
لام در آزمایش بدانیم» می توانیم از اين توزیح استفاده کنیم که دز این
حالت خاص به آن توزیع هندسی می گویند .
برای توزنع هندسی از فرمول زیر استفاده می کنیم :
PX =%) =p X=123,...
”7 امید ریاضی و واریانس توزیع هندسی بصورت زیر است.
1 _@
=a ۳۷ =
صفحه 167:
توانع احتمال گسسته
< منال 14-6
احتفال مطلع شدن هربار مشتری از آگهی مربوط به یک شرکت که از
تلوزیون پخش می شود ۶۷/۰ است . احتمال اینکه ذر سومین آگهی شز کت
» مشتری مطلع شود چقدر است 1
p=0/67 ۰ 3 k=1 x=3
2-2 9۲و < )3= PX
670/1089=0/07296/(=
صفحه 168:
توانع احتمال گسسته
لا توزیع چند جمله اي
اکر آزمایشی ۰ بار بصورت مستقل انجام کیرد و هر آزمایش شامل :1
پیامد مجزا با احتمالهای ثابت Py By Po sy
بطوری که 7 +۰.۰ + 17 * (آباد احتمل وقوع ..بر امد
اول 2 بار از یامد دوم ۰ ... ig” بار ازبيامة جام از فرمول زیر که
به توزیع چند جمله ای معروف است بدست می آید.
PUN ERX =H, =X) ود DE
که در آن 217 یلا +... + ود + پا
صفحه 169:
توانع احتمال گسسته
< منال 15-6
۵ درصد افراد شهری به نامزد اول » ۳۵ درصد به نامزد دوم و ۴۰
درصد به نامزد سوم رأی می دهند . فرض کنیم ده نفر هم اکنون پای صندوق
منتظر رأی دادن هستند می خواهیم بدانیم احتمال اینکه ۲ نفر به نامزد اول »
۳ نفر به نامزد دوم و ۵ نفر به نامزد سوم رأی دهند چقدر است .
IX =2 Mead, Xo. 5) Ss
(9350/25 *)0/33*)0/40 =0/07
صفحه 170:
توائع اختمال گسنسته
۲ توزیع فوق هندسي
اگر بخواهیم که اين احتمال را پیدا کنیم که از بین () شئی مورد نظر که ۲ تا
آنها دارای شرایط مشخصی هستند» :۰ شئی را انتخاب کنیم بطوری که ۳ تای
آنها واجد آن شرایط باشد » از فرمول زیر استفاده می کنیم که به توزیع فوق
هندشبی معروف است.
OG) as
اد و
” نید ریاضی و واریانس توزیع فوق هندسی بصورت زیر است :
_nk nk N- K(N- 1)
Ne 7 === ورزر
N(N- 1) و N
۳2۶ < =
صفحه 171:
توانع احتمال گسسته
<«منال 16-6
از بین ۸ مدیری که به یک جلسه دعوت شده اند » ۳ نفرشان رابطه مدار و
بقیه کار مدار هسْتند. اگر بطور تصادفی ۴ نفر را انتخاب کنیم » احتمال اینکه ۲
مدیر رابطه مدار انتخاب شوند » چقدر است ۰
در این منال ۷8 ,123,124 و 22 استپس داریم:
G)G) 9
@) 70. 14
PX =2) ای =
صفحه 172:
توانع احتمال گسسته
5 ee SE)
توزیع پواسن
در مواقعی که در توزیع دوجمله ای » به سمتبی نهایت و ع به سمت صفر
میل می کند بطوری که مقدار سب ابت بماند » استفاده از توزیع زیر که
توزیع پواسون نامیده می شود برای تفریب توزیع دوجمله ای مناسب خواهد
. بود
رزخ
PX =x) =
x=012..:.
که در آن 7 پاامتر توزیع و1 < veut, C@2/7TE , A
صفحه 173:
توانع احتمال گسسته
اميد رياضى و واريانس توزیع پواسون بصورت زیر است.
E{X) =V(X) =A
بطور كلى در صُورقى يي) 11<2 9 5 باشد توزيع پواسن 7
. تقریب خوبی برای توزیع دوجمله اي است
npsiC | 2<100 و
7 همجنين وقتی باشد توزیع پواسون تقریب
بسیار عالى براى توزيع دوجمله اى است
صفحه 174:
توانع احتمال گسسته
< منال 16-6
از بین ۲۰۰۰ واحد کالای شرکتی که هر کدام به احتمال ۰۰۱۵/۰ معیوبند»
احتمال اينکه ۵ تا از آنها معیوب باشند چقدر است 1
A =np=20000/00153
PX =5) =
امید ریاضی و واریانس تعداد کالاهای معیوب
HX) 2۱) 22-3
صفحه 175:
توانع احتمال گسسته
Jlis > 17-6
به تجربه مشخص شده است که یک تلفنچی ۳ درصد از تلفنها را اشتباء وصل
می کند. اگر او امروز ۱۵۰ تلفن وصل کرده باشد » موارد زیر را محاسبه
می کنيم :ٌ
الف ) امیذ ریاضی ( ميانكين ) تلفنهایی که اثتباه وصل شده اند.
ب) احتمال اينكه سه شماره را اشتباه وصل کرده باشد.
ج) احتمال اينکه بیش از یک شماره را اشتباه وصل کرده باشدء
صفحه 176:
توانع احتمال گسسته
FLX) =2 =np=2000/03=6 الف
20
P(X =3) a 0/08 OL
PA X>1) =1- AX sl) =1- [AX =0+ AX =D] (¢
ae eee 6 داك 0017-0384
صفحه 177:
توانع احتمال گسسته
۲ برای محاسبه احتمالات توزیع پواسون میتوان از توزیع تجمعی آن
استفاده کرد .
< منال 17-6
توزيع پواسون با بزمتر , 2/3 11 را درنظر کرفته و احتمالات زیررا
حساب كنيد . )4< P(X
P(X =5)
PX 23)
صفحه 178:
۳2۲ >4( 2-91
P(X =3)=1- P(X <2) =1- 0/544=0/45€
P(X =5) =P(X <5)- PX <4) 0/958 0/89 1-0/067
صفحه 179:
۳۹
توابع احتمال ببوسته
صفحه 180:
تواتع احتمال پیوسته
QO مطالب مورد بررسي در توابع
احتمال پیوسته
)_ تابع چگالی احتمال و تابع توزیع متغیر تصادفی پیوسته
۲ امید ریاضی و واریانس تصادفی پیوسته
صفحه 181:
توانع احتمال پیوسته
ل تابع چگالي احتمال
۷ احتمال اینکه متغیر تصادفی پیوسته ی > و تا را بگیرد برابر
است با سطح زیر منحنی بين ابن دو نقطه يعنى :
f flgdx - (> ۲ > هط
ار 2۳ متفیر تصادفی پیوسته باشد . تبع چکالی احتمال رابا ۰ A
می دهیم .
صفحه 182:
توانع احتمال پیوسته
v
در متغبرهای پیوسته ؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی * یک مقدار مشخص را
بکیرد برابر صفر است زیرا:
10-0 | -(2 2ع دمل - (۵- 6 ۲
تب gan iggs SOD sting اعداد حقیقیتعریف شده باشد
تابع چکالی احتمال است اگر شرایط زیر برقرار باشند :
f(x) 20 2
۷ 11
صفحه 183:
توانع احتمال پیوسته
مثال 1-7
متغیر تصادفی 2 با تابع چگالی اختمال زیر داده شده است :
O<x<1 عر 1
0
این مقادبر را حساب می کنیم :
الف ) مقدار ۱ را حساب کنید.
)0/5< 2 > ۲0
ب(
20/5 > 2) >1(
صفحه 184:
توانع احتمال پیوسته
الف) 1- امد مع ی | حرق وم إل
4 1
k=? سح 1-<ع() - +۳4( -
30+ 30
1
5
PO<X <0/5) = fe طبر sk del 1h 3 kof” = =2,
(e
PDEA 154
PO/5 <X <1) = [.G x5 k dela x +5 ls ops)
صفحه 185:
تواتع احتمال پیوسته
تابع توزيع متغیر تصادفی پیوسته از فرمول زیر بدست می آید :
F(X) =AX <x) ={ f(tdt
7 براى تانع توزيع متفیر تصادفی پیوسته داریم :
F(-00-) =0
F(+00) =1
صفحه 186:
توانع احتمال پیوسته
< مثال 2-7
: تابع چگالی احتمال زیر داده شده است LY تصادفی pico
1 0 («بی 2 ۳
0
الفد) تابع توزیه زرا بدست آورید.
ب) مقدار (5 2/> 26 )77 وا بدست آورید »
صفحه 187:
توانع احتمال پیوسته
(at
29+ 8( 5= زو + گ
2 2
F(X) = 1 5 10-505
ب(
PX 0/25 =FO/29 =410/25' +20/2]=0/187:
صفحه 188:
تواتع احتمال پیوسته
7 امید رياضي و واریانس متغیر
غبر تصادرفي ببوسته به ترتيب از روابط زیر بدست
اميد رياضى و واريانس متغير تصاددفي پیوسته بهترتیب
EC) =f xfoddx
= XI
~ مى آيند.
0 )4 [1ض)ط + ]] - ۷2۵
صفحه 189:
توانع احتمال پیوسته
منال 3-7
اميد رياضى و واريانس تابع جكالى احتمال مثال ۲-۷ را بدست می آوریم.
0
bets ars دی ده ماس[ - ضام
Wo, Aeks
EX) وج 2
صفحه 190:
توانع احتمال پیوسته
Seed) i 2ج ۵( 9۲ عدا | = VX)
w=? pet le, M5, 1125 as
Dk eae ,115¢ 25
VO = 3G +99" G62 * 81
1/115, 25-33
aa tne =0/204
ee ce 7 و 162
صفحه 191:
توزیع نرمال
صفحه 192:
توزیع نرمال
7 مطالب مورد بررسي در اين فصل
0 . توزیع نرمال
۲ . استفاده مستقیم از جدو ل توزیع نرمال استاندارد
۳ استفاده غیر مستقیم از جدول توزیع نرمال استاندارد
۴ تقریب توزیع دو جمله ای به وسیله توزیع نرمال
۵ . تقریب توزیع پواسن به وسیله توزیع نرمال
۶ قضیه حد مرکزی
صفحه 193:
توزیع نرمال
توزیع نرمال
متقیر تصادفی پیوسته 6 بامياتكين 4و انحرافمعيار ۰ 7 دارق توزیع
نرمال است اکر تابع چکالی آن بصورت زیر باشد :
ما 1
19
1202
“” دراین رابطه ,,3/14159< 7 9 6۵<2/71828. است:
7 در صورتی که متفیر ۰ X دارایتوزیع نومال بامینکین ۸/۰ و انحراف معیار
237 2 باشد مینویسند: X~Mu,o)
f(x) =
صفحه 194:
توزیع نرمال
Q
0
(۳
(۳
ويژگي هاي توزیع نرمال
سطح زیر منحنی بالای محور ها برابر ۱ استیعنی: 109 ۳
به ازای تمام مقادیر ۳ مقدار a بزرگتر یا ساوی صفر است.
f(x) =0
بعنی به ازای تمام مقادیر an
sl مقدار :84و 1 + ابفاصل ص دوك
صفحه 195:
توزیع نرمال
وا
(۵
(7
Vv
تابع حول ميانكين ۲ متقارن است . به بیان دیگر داریم :
( +عر ۶ = f(x+ uw)
2
امید ریاضی و واریانس ۲ بهترتیب "و ,7 است بهبيان ديكر:
we ده فد ] = EUX)
VX) = fice (۳ f()dx=0?
i
با دورتر شدن از" » چه درسمت راست و چه درسمت چپ » منحنی به
محور ۰ ها نزدیک می شود ولی هیچگاه به صفر نمی رسد«
در توزیع نرمال » میانگین » میانه و مد با هم برابرند -
صفحه 196:
توزیع نرمال
۸ " الف) احتمال فاصله ای به اندازه« یک انحراف معیاردر هر طرف میانگین »
برابر ۶۸۳/۰ است: ب6 20 (0 +۸ > 2 > 0 Plu-
ب ) احتمال فاصله ای به اندازه « دو انحراف معیاردر هر طرف میانگین »
Plu- 20 <X <w+20) ) 9/934 برابر ۹۵۴/۰ است
ج ) الف ) احتمال فاصله ای به اندازه « ۳ انحراف معیازدر هر طرف میانگین »
ابر ۹4۷/۰ 0997 (30 + ۸۷ > 2۷ > ۳-30
صفحه 197:
توزیع نرمال
۷ «Mot ۳
۸-6 ۲ج بر eto |p wt
احتمال فاصله اى أيه اندازة دو احتمال فاصله اى به اندازة سه
انحراف معيار از مبانكين انحراف معبار از ميانكين
صفحه 198:
توزیع نرمال
لا توزیع ثرمال اشتاندارد
با توج به اینکهتبع جكالى توزيع نرمال چنان است که امکان محاسبه انتگرال
آن براحتی امکان پذیر نیست.
بنابر اين جدولى تهیه شده است که برای توزيع نرمال با ميانكين صفر و انحراف
معیار « یک » قابل استفاده اس
o #۳ 7 Fe 7 2
SII داراى توزيع نرمال با ميانكين ' وانحراف معيار باشد
2
Z= - 4 کین
متغير. .رابصورت م تعريف مى كنيم ٠
صفحه 199:
توزیع نرمال
با توجه به تبع چکالی توزیع نرمال» تابع جکالیص . بصورت زیرخواهد
بود . 1
= له
L(Y) wa ae
a
متفیر با این تعریف دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و انحراف معیار 7”
یک است.
توزیع نرمال با میانگین صفو و انحراف | توزیم نرمال استاندارد
تزا ety زع ين
es 4 نرمال استاندارد 0 بصورت می
صفحه 200:
توزیع نرمال
7 باداشتن میانگین و واریانس هر آمتفیری که دارای توزیع نرمال باشدآمی توان
آن را به توزیع نرمال استاندارد تبدیل کرد :
باتبدیل متفر تصادفی به > مقياس تغبير مى کند. در شکل زیر مقایسه
دو مقیاس نشان داده شده است.
مقیاس ۷ +
7 ۵۸۲۵ ۲0+ وج عر مسي ماس eto
نيس یسب
5-8 ۳ ۲ ۳
صفحه 201:
توزیع نرمال
لا استفاده از جدول توزیع نرمال استاندارد
برای بدست آوردن احتمال پیشامدی مشخص» كه متغير دارای توزیع نرمال است ادا
آن را به متغیر نرمال استاندارد تبدیل و نس با مراجعه به جدول توزيع نرمال
استاندارد» احتمأل آن زا بدست می آوریم :
جدول» اختمال تجمعی را 20 > > 7۲۳۰۳ ).وانشان می دهد .
”7 احتمال اينکه مقداری کمتر از ۵۹/۳-را بگیرد نقریباً ابر صفر ابت
7-0 > 2 - 3/59 200/00020
“7 احتمال اينکه مقداری کمتر از ۵۹/۳-را بگیرد تقریباً برابر یک است.
|۲0 > 2۶3/59 =0/99981
صفحه 202:
3
a
N
a
۷
5
8
3
توزیع نرمال
< منال 1-8
صفحه 203:
توزیع نرمال
< مثال 1-8
22 دامع "0/8940- و2۱2 eee te
[oo 01020304 05 [os 07 08 0
“5000 5040 5080 5120 .5160 5199 [5239 5279 5315 5359
3398 5438 [5478 5517 5557 5596 |s636 5675 5714 5753
5793 5832 5871 5910 5948 5987 [6026 Sosa 6103 ۱
6179 6217 16255 6293 16331 6368 [6405 6443 6480 6517
16554 16591 6628 16664 6700 6736 |6772 6808 6844 6879
6915 16950 6985 7019 .7054 7088 |7123 7157 مور .7224
6|.7257 (7291 7324 17357 7389 7422 |7454 7486 7517 7549
7| 2580 (7611 "7642 "7673 7703 [7734 |7764 794 7823 7852
‘s|:7881 7910 7939 7967 7995 ‘023 |g0si 8078 8106 8133
9| 8159 8186 8212 8238 8264 8289 [8315 8340 8365 8389
0|.8413 .8438 8461 8485 8508 8531 |sss¢ 8577 8599 8621
8643 8665 8686 8 30
015
77
وروو:
صفحه 204:
توزیع نرمال
< منال 2-8
احتمال 3/22 -ک ص) رامحاسه کنید.
PZ <- 3/22 =0/000¢
جدول ۳ 70 احتمالهای نرمال استاندارد
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
.0002 .0002 .0002 |.0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002
.0003 .0003 .0003 |.0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0002
-35
-34
—3.3). 5 . . . x . 1
—3.2].0007_.0007 |.0006 .0006 .0006 .0006 .0005 .0005 .0005
-30 ‘0013 0013 .0013 .0012 ‘0012 1 0011 ‘0011 ‘0010 ‘0010
صفحه 205:
توزیع نرمال
< منال 3-8
اختمال 1/09< )7 رامحاسه کنید.
۱۳۹
۳۲2 <1/59 <21- ۲2 >1/59 -1-. 61
صفحه 206:
توزیع نرمال
< منال 4-8
احتمال 22/70 1/10 )۲ . را محاسبه كنيد.
-۱/۷۰ ۰ ۱/۷۹
۲) 1/1 02 2/79 < ۳2 >2/70- ۳2 >- 0
20/99 4
صفحه 207:
توزیع نرمال
بطور کلی برای بدست آوردن احتمالات توزیع نرمال استاندره از جدول :
PEED) has)
مستقیمً از جدول توزیع نرمال استخراج می
شود.
۲ فرمولهای زیر برای بدست آوردن سایر احتمالات از جدول توزیع نرمال
سک ۶۶ -1< 2 < 12
استاندارد کاربرذ د)رتده
(2 > ۳2 -( > 2 < (2 < 2 > ۳۲2
صفحه 208:
توزیع نرمال
| استفاده معکوس از جدول توزیع
نرمال استاندارد
در استفاده معکوس » مقدار 17 برای ما مشخص نیست و تنها
احتمال آن مشخص است » احتمال را در جدول پیدا کرده » سپس ,1
متناظر با آن را مشخص می کنیم ۰
صفحه 209:
صفحه 210:
7157 190 ۰
4) .7486 .7517 .7549
4) .7794 .7823 .7852
805) 8078 8106 .8133
8289 8315 .8340 8365 .8389
خ سیخ با جح ماخ با (مآما
8212 87
8264 .
8186
MZ<2) =0/805& 2-06
صفحه 211:
توزیع نرمال
ل تقریب توزیع دو جمله اي به وسیله
Poon 1
توزیع نرماك ۰ و
اک دای نویه دوجمله مها پر لش
بطوریکه . به اندازه كافى بزرى و به ضفر يريك زیادنزدیک نباشد
تقريب نرمال با بارامترهاى 9 تقريب
خوبى براى توزيع دو جمله ای است.
صفحه 212:
توزیع نرمال
¥ در صورتی که 4 "و ."هر دو بزرکتر از ۵ باشند تقریب نرمال برای
دوجمله ای تقزیب خوبی است .
در مواردی که نزدیک به ۵/۰ باشه تقریب نرمال برای Bo
کوچک نیز برای دوجمله ای خوب است.
” با توجه به اینکه توزیع دوجمله ای توزیع گسسته است و توزیع نرمال یک
توزیع پیوسته است وقتی از توزیع نرمال برای تقریب دوجمله ای استفاده
می شود » باید از تصحیح پیوستگی استفاده کنیم .
صفحه 213:
توزیع نرمال
تصحیح های پیوستگی توزیع دو جمله ای به منظور تقریب نرمال
احتمال مورد نظر از توزیع نرمال
(6+0/5> > 0/5 )۳۲
PLX < x+0/5)
PX <x- 1+0/5) = P(X <x- 0/5)
P(X = x- 0/5)
P(X = x+1- 0/5) =P(X = x+0/5)
P(x- 0/5 <X <x +0/5)
احتمال مورد نظر از توزیع دو جمله ای
PX =x)
AX sx)
AX< x)
< ۳2
PX> x)
Ax <X <x)
صفحه 214:
توزیع نرمال
منال 6-8
شصت و پنج نفر از کل افرادی که که به فروشگاهی مراجعه می کنند »خرید
می کنند ۰ اکر در یک روز ۳۰ نفر به اين فروشكاه مراجعه کنند » احتمالات
زير را حساب کنید»
الف ) حداقل ۲۲ نفر خرید کنند.
ب ) کمتر از ۱۵ نفر خرید کنند .
ج ) دقيقاً بیست نفر خرید کنند.
صفحه 215:
توزیع نرمال
p=0/65 005
np=300/65=195>5. nq=300/35=105>5
5 همجن 2۳۲۶95 ۲
(at
X-u £22195
احتمال نرمال احتمال دوجمله ای
PX =22 =P.X =21/5) =A 3 = 261
)0/:7794-0220 -1- 0/77 )اط . 21ت (0/7< ۳۲2۶ <
صفحه 216:
توزیع نرمال
ب( أحتمال نومال اختمال دوجمله ای
5195 کم - ود 22 19> زكر
2/61 0
= PZ <0/- 1/92 =0/0274
0( احتمال نرمال اختمال دوجمله ای
(205> 2 > 2۳95 220 26
۰209-1 ۸۰ 2 190 *190.
<a با سا بای و سح
=P0<Z 0/38 ) 2/01 رو 2/61 4
=P{Z <0/38)- P\Z <0 =0/6480 0/5 =0/148!
صفحه 217:
توزیع نرمال
تا تقریب توزیع پواسون بوسیله
توزیع نرمال 2
وقتی میانکین توزیع پواسون . نسبتاًبزرگ باشد میتوان تقریب نرمال
را برای آن بکار برد.
در این صورتمیانکین و انحرافهعیر تربع نرمال بصورت زیر است:
(ل< و
صفحه 218:
توزیع نرمال
<منال "7-8
بطور متوسط در هر دقيقه ۵/۰ مشتری با توزیع پواسون به قنمت پرداخت
فروشگاهی مراجعه می کنند . احتمال اينکه پیش از ۲۰ مشتری در طی نیم
ساعت مراجعه کنند چقدر است .
2 =30-0/5 =15>1C
o =VA =3/87 در
احتمال نرمال احتمال پواسون
X- 205-1
> - (205< 2۳۲ 20 < 27
PX >20 =X <205( 2۷ 23787
< ۳۶ <1/42( 21- ۲2 1/42 -1- 6
صفحه 219:
توزیع نرمال
لا قضیه حد مركزي
توزیع نرمال تقریب خوبی برای توزیع مجموع متغیرهای تصادفی انت .
7 اکر 26 روگمم۰۰۰, «رکمتغیر های تصادفی مستقلی باشندء وب به اندازه
کافی بزرگ باشد آنگاه متفیر تصادفی " کر + ,. + 2 + 27 - 17
دارای توزیع نرمال است .
میانگین و واریانس توزیع نزمال در اين حالت بصورت زیر می باشند :
5
i tee 2 د
My = لط x, oF =D يوه
GZ: 1۳
صفحه 220:
توزیع نرمال
مثال 8-8
زمان مورد انتظار ( مبانكين ) و انحراف معيار زمان انجّام دادن فعاليتهاق
مسير بحراني بروزه اى در جدول زير آورده شده است . ( واحد زمان هفته
Cot | واوبانی ميانكين فعاليت
qa 9. en
6 6 9۰
9 90 5۸0
e 6 م
90 9 6
9 95 6
e 50 ore
© qd a
© Slo Sid
صفحه 221:
توزیع نرمال
الف) احتمال تکمیل پروژه بین ۲۰ تا ۲۶ هفته جقدر است؟
ty, 23+ 2+-1/8+ 5+ 3+ 3+4/2+1+0/5 5 رطع ما
ia
A
o =V9/6 =3/1
FX J 3/5, Ata 26028 /5
FS ii SFE ASIP
=PC 1/13<Z<0/8) =A Z<0/8)- AZ<-1/13
<20/ 6
OF =S 0% =1/2+0/8+0/5+ 2+1/54+1+2/1+0/3+0/2=9/6
صفحه 222:
توزیع نرمال
ب) احتمال تکمیل پروژه طی حداکثر ۲۲ هفته جقدر است ؟
YB Y- we 22 23/5
PY <22 = PC 7 < 3/1
< ۳2 >- 049 2/151
)
صفحه 223:
صفحه 224:
توزیع نرمال
یا كال رد سملا ميد الى فصلا
|) ' فش كام در نظرنه تصميم
۲ انواع شرایط تصمیم گیری
۳). تصمیم کیری در شرایط عدم اطمینان
۴ تصميم کیری در شرایط ریسک
۵ ارزش مورد انتظار اطلاعات کامل
صفحه 225:
توزیع نرمال
لا شش گام در نظریه تصمیم
)۱ تعریف روشن از نسأله ای که با آن مواجهیم
۲ تعیین کزینه های ممکن
۳). تعیین پیامدهای ممکن
(F تعبین بازده یا سود برای هر ترکیب گزینه - حالت طبیعت
8) . انتخاب یکی از مدلهای کمی نظریة تصمیم
۶ به کارگیری مدل و اتخاذ تصمیم
صفحه 226:
توزیع نرمال
”7 _برای رسم جدول بازده علامت گذاری های زیر را درنظر
می گیریم :
۱) راه حلهای مختلف با استراتژیهای ممکن برای یک مسأله
pee Tl, 9 a نشان می
دهیم .
صفحه 227:
توزیع نرمال
۳ _پیامدهای ممکن يا حالات طبعت (متغیر های غبر قابل کنترل)
Se S wt ».وا _ نشانمیدهم:
۳ بازدهناشی از انتخاب گزینه و حالت طبیعت رل
2
4 ب نمایش می دهیم .
صفحه 228:
توزیع نرمال
شکل کلی جدول بازده
حالات طبعت
SH وگ S
گزینه ها
Mi و لط 0
My, 7 Me ری a
My; ولط x Ma
صفحه 229:
توزیع نرمال
> مثال 1-9
شرکتی برای ولید محصولی جذید می تواند از یکی از سه فرایند 460 0 و
( استفاده نماید . میزان تقاضا برای این سه محصول در آینده مشخص نیست
برای سادکی شوکت تقاضای بالقوه را به تقاضاى كم ء متوسط و زیاد رده بندی
کرده است . میزان سود سالانه برآوردی ناشی از هر ترکیب فرایند تولیدی و
سطح تقاضا در جدول زير نشان داده شده است :
صفحه 230:
توزیع نرمال
زياد
20
جدول بازده تولید محصول جدید( ارفام به هزار ریال)
متوسط
Soo
deo
00
سطوح تقاضا
فرایند
تولیدی
©
©
Or
صفحه 231:
توزیع نرمال
|) . تصصی مكيرى در شرابط اطمنان کامل : در اين شرايط تصمیم کیرندکان با
اطمینان پیامدهای هر گزینه یا تصمیمی را می دانند « بنابراین گزینه ای را
انتخاب می کنند که منافع آنها را حداکثر کند .
۲ تصهیمکنری در شرالط عدم اطهننان : در این نوع تصمیم گیری » تصفیم
گیرنده نمی داند کذامیک از حالات طبیعت رخ می دهد در ضمن نمی تواند
احتمال وقوع هریک را مشخص کند .
صفحه 232:
توزیع نرمال
6 تصمیمکبری در شرایط رسک : در این شرابط تصمیم گیری » تصمیم گیرنده
نمی داند کدامیک از حالات طبیعت واقع می شود » ولی می تواند أحتمال
وقوع هریک را مشخص کند.
صفحه 233:
توزیع نرمال
تا تصمیم گيري در شرایط عدم اطمینان
¥ معیارهای تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان
0
را
۳
2(
6
حداكثر حداكثو
حداكثر حد اقل
احتمالات مساوى
واقعكرايى
حداقل خداكثر غبن
صفحه 234:
توزیع نرمال
تا معیار حداکنر حداکنر
معبار حداكثّر حداکنربدنبال زین ای است که حداکثربزده کزیله ها
مختلف را حد اکثر کند. . بهترین گزینه » گزینه حداکثر حداکثرها است ۰
صفحه 235:
توزیع نرمال
منال 2-9
با استفاده از داده های مثال ۱-۹ بهترین گزینه با معبار حداکثر حداکثر را
تعین می کنیم :
جدول تصمیم کیری با معبار حداکثر حداکثر(ارقام بههزازریل)
سطوح
تقاضا
احم جواكثر | زياد 2 متوسط
بهترین گزیله با معیار احتعالات,مضاو: فرايند
ر توليدي el 2 توليدى
9.
صفحه 236:
توزیع نرمال
Qa معیار حداکنر حداقل
این معیار بدنبال گزینه ای است که حداقلٌ پیامدهای مختلف را
حد اکثر کند . بهترین گزینه » گزینه متناظر حداکثر حداقلها است ۰
صفحه 237:
توزیع نرمال
<منال 2-9 :
با استفاده از داده هاى مثال ١-4 بهترين كزينه با معيار حداكثر حداقل را تعين
إمى كنيم ٠.
جدول تصميم كيرى با معيار حداكثر خداقل ( ارقام به هزار ريال)
سطوح
تقاضا
حداقل | زباد متوسط
حداکثرحدا @ 2
فرایند
نهترین گزیله با معیار احتمالات مساوي گرایند
al gee | | ولیدی
صفحه 238:
توزیع نرمال
تا معیار احتمالات مساوي
این معیار که معیار لاپلاس نیز نامیده می شود شانس احتمالات مختلف
طبیعت را یکسان فرض می کند » بدین ترتیب دنبال گزینه ای است که
متوسط بازده آن از بقیه گزینه ها بیشتر باشد.
برای پیدا کردن بهترین گزینه.ابتدا متوسط هر سطر را را حساب ودر ستونی
یاداشت می کنیم » سپس حداکثر این ستون به عنوان بهترین گزینه انتخاب
می شود .
صفحه 239:
توزیع نرمال
Jin < 3-9 :
با استفاده از داده های منال ۱-٩ بهترین گزینه با معبار احتمالات مساوی را
“ee جدول تصمیم کیری با معیار اختمالات مساوی( ار قام به هزار ریال)
سطوح
تقاضا
Bags 77 موس ریاد oe!
فرایند
ر احتمالات مساوئ/فرايند 1 ليدى te بهترین |گزینه
. توليدي . ,وا T 0 ذولي
صفحه 240:
توزیع نرمال
| معبار واقعگرايي
این معیار بر این اصل مبتفی است که تصمیم گیرنده کاملا خوشبین یا
بدبین نیست و بين دو معیار خوشبینانه ( حداکثر حداکثر ) وبدبینانه
( حداکثر حدافل ) تعادلی برقرار میکند .
ابتدا ضریب خوشبینی تصمیم گیرنده که آن را با 7 )نشان می دهیم حدس
زده می شود » مقدار این ضریب بین صفر و یک است یعنی
00 >1
صفحه 241:
توزیع نرمال
معیار واقع گرایی هر کزینه را از فرمول زیر بدست آورده سپس گزینه ای که بیشترین
مقدار را به خودٌ اختصاص دهد به عنوان بهترين كزين انتخاب مى شوة.
2 رز i 1
( حداقل بازده گزینه ۰ )( 5 wd حذاكثر بازده كزينه es ) 1 ١ واقع گرایی کزینه
صفحه 242:
توزیع نرمال
> منال4-9:
با استفاده از داده های مثال ۱-٩ بهترین گزینه با معیار واقعگرایی را با این
فرض که ضریب خوش بینی تصمیم گیرنده برابر ۷/۰ باشد را مشخص می کنیم
)16 0/7(200+0/3(70 سروان عرب فأ نتوينق 1
210 3)80 /80+0 0/71 .. سبر وق راب ریننویدی قز
142= 00 0/7(160+0/30= معيار واقع كرابى فراين توليدى 79
بسهتریرک زینه بر ساس يار ولقع كرلي ف رليند تسولیای_ بلست.
صفحه 243:
توزیع نرمال
دا معیار حداقل حداکنر غبن
تصمیم گیرنده ای که می خواهد از این معیار اْتفاده کند باید تطور کند
که پس آز انتخاب یکی از گزینه ها / یکی از حالات طبیعت واقع شده است :
7 میزان غبن عبارت است از تفاوت بازده بهترين كزينه و كزينه انتخاب شده .
صفحه 244:
توزیع نرمال
برای انتخاب بهترین گزینه بر مبنای معیار حداقل حداکثر غبن» ابتدا
جدولی بنام « جدول غبن» را که به آن «جدول هزینه فرصت از دست
رفته » نیز گفته می شود » تشکیل میدهیم . سپس حداکثر هر سطر را
مشخص کرده و در پایان حداقل آنها را تعین می کنیم و گزینه متناظر با آن
را انتخاب می کنیم
صفحه 245:
توزیع نرمال
> منال 5-9
با استفاده از داده های مثال "1-٩ بهترین گزینه با معیار حداقل حداکثر
غبن را مشخص می کنیم .
ابتدا جدول غبن را تشکیل می دهیم :
جدول تصمیم گیری با معیار حداقل حداکثر غبن ( ارقام به هزار ریال)
سطوح
تقاضا
,تشد Raye زياد متوسط
بهترین گزینه باحدا حداکثر غبق فوآیند تولیدی
فرایند
go et at
صفحه 246:
توزیع نرمال
~ تصميم كيري در شرايط ريسك
ذر صورتی که تصفیم گیرنده بتواند اختمال وقوع حالات مختلف طبیغت را oh
مسألة تصمیم » تعین کند » تصمیم كيرى از نوع ريسك خواهد بود .
42
مهمترين معیار تصمیم گیری در شرایط ریسک «معیار ارزش پولی مورد انتظار »
( ۰ 6۷۰ات (ارزش پولی موردانتظار همان امید ریاضی است.)
صفحه 247:
توزیع نرمال
7 فوض كنيد تصميم كيرندهاى ٠. عزينة "+ 16
ممکن: 0 »22 »...وت داشته وبا عالت
لک Cae سا 6و مواجهباشد.
7 اكر ٠. 4 بازدة ناشى ازانتخاب كزينه... ووقوع ١ 2
Is بوده و 7 احتمال و قوع ل امین خالت طبیعت انين
(بطوری که 277 ).
صفحه 248:
توزیع نرمال
آنگاه ارزش پولی مورد انتظار گزینه Fi (20162 )از
فرمول زیر محاسبه می شود .
hk
Ss
EMV\a) = 8M, + BM, +:.4+ FyMy =), B
۳
1
صفحه 249:
توزیع نرمال
<مثال ۶-۹
جدول بازده زیر و احتمالات حالات طبیعت GT را در نظر گرفته بهترین گزینه
را در شرایط ریسک بدست می آوریم»
ارقامٌ به هزار ريال
سطوح تقاضا
yA بجر ۰ کموسطتر ۰ 20/1 جکم
فرایند تولیدی
© COO
© dew 0
tl’ 16 den
صفحه 250:
توزیع نرمال
۷ را برای هر مورد محاسبه می کنیم ( ارقام به هزار ریال است)
447 0/۵۵00 +0/5(020+ 070 (00/1-< 7۲۲۸
2-۲ 80 0 (0/4) ,+20 1 (0/5) + 80) 00/1 < )۲7۲
EMXC) =0/1) 000+ )0/ 5( 0 23 + )0/4( 060 2-5
گزینه برتر »فرایند تولیدی 44 است.
صفحه 251:
توزیع نرمال
ل ارزش مورد انتظار اطلاعات کامل
ارزش مورد انتظار با اطلاعات کامل » بازده مورد انتظار است اگر
اطلاعات کامل قبل از اخذ تصمیم موجود باشد .
۷ ارژش مورد انتظار اطلاعات کامل رابا EVP فشان می دهیم
صفحه 252:
توزیع نرمال
7 ارزش مورد انتظار با اطلاعات کامل از رابطه زیر بدست می آید :
H
EVPI=PM, + 924 +..+ P,M, =¥ PM,
Ja
۷ هدر آن يرن بازده تعام کزینه ای حالت تست ام 2
A احتمال وقوع حالت cheb اس
“8 ارزش مورد انتظار اطلاعات کامل از رابطه زیر بدست می آید ۰
م۲ ۳ ۲ 2 ارزش مورد انتظار اطلاعات کامل
كه در آن :م1 12:11 ٠ ارزش مورد انتظار بهترین گزینه است .
صفحه 253:
توزیع نرمال
منال 7-9
برای جدول بازده منال ۶-٩ ارزش اطلاعات کامل را بدست می آوریم :
26 2 2122 ۶ 6 1< 7۸
155 0/۸۵0۵ +25 0/50 +00 0/001 ۳۲۲6۸
بدون اطلاعات کامل ( تحت شرایط ریسک ) بهترین گزینه پولی مورد انتظار
برابر ۱۳۷ هزار ربال است یعفی 4 1 7 7۸
147-5 5252 1 ,/۲ 5 7۲7 <ارزش اطلاعات کامل
ارزش اطلاعات کامل برابر ۵۵۰۰ ریال است
صفحه 254:
مه
موفق باشید