آمار

آمار

اسلاید 1: اسلايد فصل هافصل دوم : مباني احتمالفصل سوم : توابع احتمال گسستهفصل چهارم : توابع احتمال پيوستهفصل پنجم : توزيع های خاصفصل اول : آمار توصیفی فصل ششم : نظريه تصميم

اسلاید 2: فصل اول آمار توصیفی

اسلاید 3: آمار : آمار مجموعه اي از روشها را براي جمع آوري و خلاصه كردن داده ها ، طبقه بندي آنها و روشهاي تحليلي براي پيش بيني ، برآورد و تصميم گيري درشرايط مختلف ارائه مي دهد .جامعه : جامعه بزرگترين مجموعه اي از موجودات است كه در يك زمان معين مطلوب ما قرار مي گيرد.نمونه : تعداد محدودي از آحاد جامعۀ آماري كه بيان كننده ويژگيهاي اصلي جامعه باشد.

اسلاید 4: پارامتر : براي بدست آوردن برخي از شاخص ها در جامعه ، اگر اين شاخصها را با اندازه گيري از تمامي عناصر جامعه بدست آوريم آنها را پارامتر مي نامند .آماره : ویژگی های عددی مربوط به نمونه، آماره ناميده مي شوند .مثال : اگر بخواهيم ميانگين درآمد كاركنان دولت را بدست آوريم : در صورتي كه اين كار با استفاده از درآمد كليه كاركنان دولت محاسبه گردد پارامتر ، و اگر با استفاده از درآمد بخشي آز كاركنان بدست آيد آماره ناميده مي شود.

اسلاید 5: سير تحول آمار سير تحول آمار از نظر موضوعي به سه مرحله تقسيم مي شود: 1 - آمار توصيفي چنانچه محاسبه مقادير و شاخصهاي جامعه آماري با استفاده از سرشماري تمامي عناصر آن ، انجام گيرد آمار توصيفي خوانده مي شود . 2- آمار استنباطي در اين نوع آمار محقق با استفاده از مقادير نمونه آماره ها را محاسبه ، و سپس به كمك تخمين و آزمون فرض آماري ، آماره ها به پارامترها ي جامعه تعميم داده مي شوند. به عبارت ديگر آمار استنباطي شامل روشهايي است كه با استفاده از آنها اطلاعات موجود در نمونه به كل جامعه تعميم داده مي شوند .

اسلاید 6: 3- آمار ناپارامتريك اين نوع آمار در مقابل آمار پارامتريك بيان مي شود . فرض اساسي در آمار پارامتريك برخوردار بودن مشاهدات از توزيع نرمال است در صورتي كه در اين نوع آمار اين فرض ضرورتي ندارد . بيشتر در علوم رفتاري كه متغيرهاي آن با مقياسهاي كيفي سنجيده مي شوند از اين فنون استفاده مي شود. مراحل پژوهش علمي در آمار 1- مشخص كردن هدف 2- جمع آوري داده ها 3- تجزيه و تحليل داده ها 4- بيان يافته ها

اسلاید 7: انواع متغيرها صفتی است كه مقدار آن از يك از يك عضو جامعه آماري به عضو ديگر ممكن است تغيیر كند .متغير مستقل : مقدار آن به متغیرهای دیگر بستگی ندارد و توسط محقق مشخص می شود.متغير وابسته : مقدار آن به متغیر مستقل بستگی دارد.متغير کیفی : متغیرهایی که نه قابل شمارش و نه قابل اندازه گیری هستند.متغير كمی : متغیرهایی که یا قابل شمارش و یا قابل اندازه گیری هستند. اندازه گيري اندازه گيري عبارت است از نسبت دادن اعداد به خصوصيات اشياء و وقايع يا افراد بر طبق قواعدي منطقي و قايل قبول.

اسلاید 8: مطالعه توصيفي داده هاي طبقه بندي نشدهشاخص هاي عددي اعدادي كه به منظور بيان كمّي توزيع اندازه ها از آنها استفاده مي شود شاخصهاي عددي ناميده مي شوند.انواع شاخص هاي عددينماد گذاري مجموعه مشاهدات و عمل جمع پارامترهاي مركزيپارامترهاي پراكندگي

اسلاید 9: نماد گذاري مجموعه مشاهدات و عمل جمع مجموعه مشاهدات را به وسيله نمادهايي نشان مي دهند تا بحث محدود به مجموعه اي مشخص از اعداد نشود .مثال: تعداد n مشاهده را به صورت زير نمايش مي دهند:نماد ∑ : براي اجتناب از نوشتن مكرر علامت ( + ) از نماد ∑ استفاده مي شود. مثال :

اسلاید 10: خواص ∑ مطالعه توصيفي داده هاي طبقه بندي نشده

اسلاید 11: ميانگين 1- ميانگين حسابي : معدل مجموعه اي از مشاهدات را ميانگين حسابي مي نامند . اين ميانگين بوسيله تقسيم كردن مجموع مشاهدات بر تعداد آنها محاسبه مي شود : پارامترهاي مركزي

اسلاید 12: مثال نمره مسئوليت پذيري پنج مديربه شرح زير است : 10 ، 15 ، 14 ، 8، 3 ميانگين حسابي اين مشاهدات عبارت است از: ميانگين حسابي موزون گاهي اوقات ممكن است هريك از مشاهدات xi داراي وزني ( يا تكرار ) مانند Wi باشندكه در اين صورت ميانگين مشاهدات از فرمول زير محاسبه مي شود:

اسلاید 13: مثال نمرات 5 درس دانشجویی به شرح زیر است مطلوبست میانگین نمرات وی :

اسلاید 14: 1- اگر هريك از مشاهدات را با عدد ثابت a جمع كنيم ميانگين اعداد بدست آمده برابر ميانگين اعداد قبلي بعلاوه a خواهد بود يعني اگر yi=xi+a آنگاه داريم : 2- اگر هريك از مشاهدات جامعه آماري در عدد ثابت b ضرب شوند ميانگين اعداد جديد برابر ميانگين اعداد قبلي ضرب در عدد b است. يعني اگر yi=bxi آنگاه داريم : ويژگي هاي ميانگين حسابي

اسلاید 15: مثال فرض كنيد :3 - ميانگين هندسي براي محاسبه ميانگين اندازه هاي نسبي مانند نسبتها ، درصدها و نرخهاي رشد از ميانگين هندسي استفاده مي شود . ميامنگين هندسي x1, x2, …, xn از فرمول زير بدست مي آيد:

اسلاید 16: مثال نسبت سود شركت زمزم در سال 1367 به 1366 برابر 3 ، سال 1368 به سال 1367 مساوي 2 و سال 1369 به سال 1368 برابر 4/5 است يعني ميانگين هندسي نسبت سود در اين سه سال عبارت است از : در صورتي كه داده ها در اين نوع ميانگين از وزن برخوردار باشند ميانگين هندسي موزون از رابطه زير بدست مي آيد:که در آن

اسلاید 17: مثال درصد كارايي 20 نفر ماشين نويس بصورت زير است ميانگين درصد كارايي اين 20 نفر بصورت زير محاسبه مي شود:55 65 80 88( درصد كارايي )2 7 5 6( تكرار )

اسلاید 18: 4 - ميانگين هارمونيك چنانچه داده ها از مقياس تركيبي مثل كيلومتر در ساعت يا دور در ثانيه يا نفر ساعت برخوردار باشند براي محاسبه ميانگين از ميانگين هارمونيك استفاده مي شود. اگر x1, x2, …, xn داده ها باشند ميانگين هارمونيك از فرمول زير بدست مي آيد

اسلاید 19: مثال راننده اي مسافت تهران – قم را با سرعت 80 كيلومتر در ساعت طي مي كند و همين مسافت را با سرعت 100 كيلومتر در ساعت برمي گردد متوسط سرعت راننده در طول مسير رفت و برگشت بصورت زير است: در صورتي كه داده ها داراي وزن باشند ميانگين هارمونيك از رابطه زير بدست مي آيد:

اسلاید 20: مثال يك هواپيما فاصله 4 هزار كيلومتري را با سرعت 900 كيلومتر در ساعت و فاصله 3 هزار كيلومتري را با سرعت 600 كيلومتر در ساعت و فاصله 5 هزار كيلومتري را با سرعت 800 كيلومتر در ساعت طي مي كند سرعت متوسط هوا پيما بصورت زير محاسبه مي شود:مد ( نما ) مد به معناي توزيع آماري مقداري است كه بيشترين تكرار را در ميان مشاهدات داشته باشد. در صورتي كه همه مشاهدات به يك اندازه تكرار شده باشند مي گويند داده ها فاقد مد هستند

اسلاید 21: چاركهاچارك اول چارك اول مقدار عددي است كه 25 درصد مشاهدات جامعه پايين تر از آن و 75 درصد بالاتر از آن قرار مي گيرند چارك اول را با Q1 نشان مي دهند.چارك دوم چارك دوم را كه با Q2 نمايش مي دهند ، مقدار عددي است كه 50 درصد داده هاي جامعه پايين تر از آن و 50 درصد بالاتر از آن قرار مي گيرندچارك دوم را ميانه مي گويند و آن را با Md نمايش مي دهند.

اسلاید 22: روش محاسبه چاركها براي محاسبه چاركها مراحل زير را انجام مي دهيم:داده ها را بطور صعودي مرتب مي كنيمداده هاي مرتب شده را از 1 تا n كد گذاري مي كنيممحل چارك i ام را با استفاده از فرمول زير محاسبه مي كنيم : 4. با استفاده از محل چارك ، چارك را بدست مي آوريمدرصورتيكه Qi عدد صحيح باشد داده شماره Qi چارك است .

اسلاید 23: چنانچه Qi عدد غير صحيح باشد آن را به صورت =i+p Qi نوشته كه در آن i يك عدد صحيح و p اعشاری است حال چارك با استفاده از فرمول زير بدست خواهد آمد :

اسلاید 24: مثال چاركها را براي داده هاي زير بدست آوريد: 160 ، 85 ، 140 ، 120 ، 80 ، 90 ، 100 الف ) داده هاي مرتب 140،160 ، 120 ، 100 ، 90 ، 85 ، 80 ب) كد گزاري مشاهدات كد مشاهدات : 7 6 5 4 3 2 1 مشاهدات : 160 ، 140، 120 ، 100 ، 90 ، 85 ، 80 ابتدا محل چاركها و سپس چاركها را محاسبه مي كنيم :

اسلاید 25:

اسلاید 26: دامنه تغيرات يكي از ساده ترين پارامترهاي پراكندگي دامنۀ تغييرات است .اين شاخص از تفاضل بزرگترين داده و كوچكترين داده بدست مي آيد . يعني :انحراف متوسط از ميانگين انحراف متوسط از ميانگين ازتقسيم مجموع قدرمطلق تفاضل مشاهدات از ميانگين آنها بر تعداد آنها بدست مي آيد. پارامترهاي پراكندگي

اسلاید 27: يكي از اشكالات اساسي انحراف متوسط از ميانگين اين است كه در صورتي كه تعداد كمي انحرافات بزرگ در مقابل تعداد زيادي انحرافات كوچك وجود داشته باشد اين شاخص تأثير انحرافات بزرگ را نشان نمي دهد.واريانس در صورتي كه انحرافات از ميانگين را بتوان دو برسانيم ( مجذور شوند ) و مجموع مجذورات انحراف از ميانگين را برتعداد داده ها تقسيم كنيم آن را واريانس مي نامند .

اسلاید 28: انحراف معيار: جذر واريانس را انحراف معيار مي نامند. مثال: داده هاي زير نشان دهنده وزن محصولات توليد شده در يك كارخانه طي يك روز است . 100، 150 ، 120 ، 130 ، 140 ، 135 ، 140 ، 125 ، 150 ، 140 انحراف متوسط ازميانگين ، واريانس و انحراف معيار بصورت زير است: ابتدا ميانگين را محاسبه مي كنيم :

اسلاید 29: : انحراف متوسط از ميانگين: واريانس: انحراف معيار

اسلاید 30: 1- اگر هريك از مشاهدات را با عدد ثابت a جمع كنيم واریانس تغییر نمی کند. يعني اگر yi=xi+a آنگاه داريم : 2- اگر هريك از مشاهدات جامعه آماري در عدد ثابت b ضرب شوند واریانس اعداد جديد برابر ميانگين اعداد قبلي ضرب در عدد 2 b است. يعني اگر yi=bxi آنگاه داريم : ويژگي هاي واریانس

اسلاید 31: مثال اگر واريانس داده هاي n مشاهده برابر 9 باشد واريانس و انحراف معيار داده هاي زير برابراست با :ضريب پراكندگي گاهي لازم است كه براي توصيف داده ها ، پراكندگي بصورت كسري از ميانگين بيان شود . دراين صورت ضريب پراكندگي بصورت زير تعريف مي شود:

اسلاید 32: طبقه بندي و توصيف هندسيمشاهدات جامعه آماري طبقه بندي و سازماندهي مشاهدات در بيشتر تحقيقات با حجم عظيمي از مشاهدات مواجه هستيم ، بنابراين منظم كردن و خلاصه كردن داده ها ، به صورتي كه اطلاعات مهم براي بررسي جدا و اطلاعات كم اهميت كنار گذاشته شوند اولين قدم در قابل تفسير كردن آنها است.

اسلاید 33: توزيع فراواني توزيع فراواني تعدادي از داده ها عبارت است از جدول مرتب شدۀ مقادير آن داده ها كه تكرار وقوع هر داده در آن مشخص شده است. به عبارت ساده تر، توزيع فراواني جدولي خلاصه شده از داده هاي جمع آوري شده جامعه آماري است . طبقه بندي داده ها داده هاي پيوسته فاصله طبقات را با i نمايش مي دهند و با استفاده از فرمول زير بدست مي آيد: دامنۀ تغييراتتعداد طبقات

اسلاید 34: مثال نسبت قيمت به درآمد سهام 25 شركت در بازار بورس تهران به صورت زير است جدول توزيع فراواني آن را برای 6 طبقه به دست آوريد . 0/5 ، 7/12 ، 4/15 ، 9/9 ، 1/24 ، 6/15 ، 5/19 ، 5/20 4/13 ، 4/18 ، 8/11 ، 3/23 ، 8/7 ، 9/16 ، 6/28 ، 0/17 9/15 ، 6/12 ، 8/20 ، 1/22 ، 8/8 ، 8/16 ، 2/9 ، 2/19 ،3/14 دامنه تغييراتفاصله طبقات

اسلاید 35: جدول اعداد طبقه بندي شده براي نرخهاي نسبت سود به درآمد سهام

اسلاید 36: داده هاي گسستهدرصورتي كه داده ها گسسته باشند طبقه بندي آنها در فاصله هاي پيوسته معني دار نخواهد بود ، تعداد غايبين يك شركت ، تعداد زدگيهاي يك توپ پارچه و تعداد تصادفات روزانه در يك شهر از اين دست هستند . براي بدست آوردن توزيع فراواني داده هاي گسسته كافي است جدول دو ستوني تهيه شود كه ستون اول نشان دهنده x و ستون دوم تعداد x تكرارهاي را نشان مي دهد .

اسلاید 37: مثال به منظور بررسي تعداد غابين يك شركت دفاتر حضور و غياب مورد بررسي قرار گرفته است كه نتايج بدست آمده در جدول زير ثبت شده است .

اسلاید 38: توزيع فراواني نسبي و تجمعي درصورتي كه طبقه بندي داده ها براساس نسبت داده هاي هر طبقه به كل مشاهدات جامعه تهيه شود ، آن را توزيع فراواني نسبي مي نامند. فراواني نسبي هر طبقه از رابطه زير بدست مي آيد: توزيع فراواني تجمعي فراواني تجمعي كه با F نشان داده مي شود ، نشان دهنده تجمع داده ها ازحد پايين اولين طبقه تا حدبالاي طبقه مورد نظر است . فرمول محاسبه فراواني تجمعي بصورت زير است :

اسلاید 39: مثال : جدول توزيع نسبت سود به درآمد سهام در مثال قبل را در نظر گرفته توزيع فراواني نسبي و تجمعي آن بصورت زير است : 9-513-917-1321-1725-2129-257111519232735763112%20%28%24%12%04%3815212425 حدود طبقات

اسلاید 40: نمايش هندسي مشاهداتبراي نمايش توزيعهاي فراواني اغلب از نموداراستفاده ميشود نمودارها كمك مي كنندكه تصوير توزيع به آساني قابل مشاهده باشد.اگر مقياس داده ها از نوع فاصله اي و نسبي باشد از نمودارهاي كمي استفاده مي شود.و چنانچه مقياس مشاهدات ازنوع اسمي يا رتبه اي باشد با نمودارهاي وصفي نمايش داده مي شوند.نمودارهاي كمي نمودارهاي كمي براي توزيعهاي آماري پيوسته و گسسته قابل استفاده هستند .لازمه استفاده از اين نمودارها مقداري بودن مشاهدات است.

اسلاید 41: نمودار بافت نگار (هیستوگرام ) براي رسم نمودار بافت نگار از فراواني مطلق يا فراواني نسبي استفاده مي شود. در صورتي كه حدود طبقات واقعي نباشد ، حدود طبقات را بصورت واقعي بدست مي آوريم.براي واقعي كردن حدود طبقات قاعده :نیم واحد را از آخرين رقم سمت راست پايين طبقه كم مي كنيم وسپس آن را به مكان بعد از آخرين رقم حد بالاي همان طبقه مي افزاييم. در نمودار بافت نگار ، محور افقي دستگاه مختصات با حدود واقعي طبقات و محور عمودي با فراواني نسبي يا مطلق مدرج ميگردد.

اسلاید 42: مثال بافت نگار توزيع فراواني نسبت قيمت به درآمد سهام مثال قبل بصورت زير است . 591317212529فراواني مطلقحدود طبقات

اسلاید 43: حجم مايع 70 شيشه بر حسب ميلي ليتر در جدول زير آمده است نمودار بافت نگار توزيع را رسم كنيد.

اسلاید 44: فراواني مطلقحدود طبقات35/9536/1536/3536/5536/7536/9537/1537/3537/5537/7537/95

اسلاید 45: نمودار چند ضلعي نمودار چند ضلعي نموداري است كه نقطه مياني هر طبقه روي محور افقي و فراواني نسبي يا مطلق هر يك از نقاط مياني روي محور عمودي آن نشان داده مي شود بنابر اين براي هر طبقه يك نقطه در صفحه مختصات بدست مي آيد. به نقاط بدست آمده دو نقطه فرضي اضافه مي كنيم : يكي نقطه مياني طبقه ما قبل ، طبقه اول و ديگري نماينده طبقه ما بعد طبقه آخردر پايان نقاط بدست آمده را به هم وصل مي كنيم.

اسلاید 46: مثال نمودار چندضلعي داده هاي مثال قبل را رسم مي كنيمفراواني مطلق

اسلاید 47: نمودار جعبه اي نمودار جعبه اي براي مقايسه دو يا چند جامعه آماري بكار ميرود. نمودار جعبه اي نشان دهنده چاركها و حداقل و حداكثر مشاهدات است ، بدين ترتيب كه جعبه شامل اختلاف چارك اول و سوم است.در اين نمودار ( از پايين به بالا ) ابتداي جعبه چارك اول و انتهاي جعبه چارك سوم است . خطي كه جعبه را به دو نيم تقسيم مي كند نشان دهنده ميانه است.روش رسم نمودار جعبه اي به ترتیب حد اقل و حداكثر داده ها و ميانه ، چارك اول و چارك سوم را بدست مي آوريم . سپس نمودار را رسم مي كنيم .

اسلاید 48: مثال: جدول زير نشان دهنده تعداد لغات انتخاب شده براي عنوانهاي درشت دو روزنامه كيهان و اطلاعات طي روزهاي مختلف است نمودار جعبه اي هر دو را تهيه و مقايسه مي كنيم :

اسلاید 49: طبقه بندي و توصيف هندسي مشاهدات جامعه آماريروزنامه كيهانروزنامه اطلاعاتنمودار جعبه اي

اسلاید 50: نمودارهاي وصفي اين نمودارها براي نمايش هندسي داده هاي كيفي بكار مي روند . نمودار ستوني اين نمودار را در يك دستگاه كه محور افقي نشان دهنده كيفيت مشاهدات و محور عمودي آن نشان دهنده فراواني مطلق يا فراواني نسبي هر گروه است رسم مي كنند.مثال در مديريت ، انسانها رابه لحاظ ارتباطات به چهار دستۀ تصويري ، احساسي ، صوتي و ارقامي تقسيم مي كنند . كاركنان يك سازمان از اين لحاظ مورد بررسي قرار گرفته اند كه حاصل تحقيق در جدول زير آمده است .نمودار ستوني آن نيز رسم شده است.

اسلاید 51: تصويرياحساسيصوتيارقامي

اسلاید 52: نمودار دايره اي نمودار دايره اي عموماً برحسب درصد رسم مي شود . براي رسم نمودار دايره اي مراحل زير را انجام مي دهيم .فراواني مطلق را به فراواني نسبي تبديل مي كنيم . با استفاده از رابطه si=360×fi مساحت هر قطاع از دايره را پيدا مي كنيم .بر اساس si مساحت دايره را تقسيم مي كنيم .نوع مشاهدات و درصد آنها را نسبت به كل مشاهدات بر روي دايره مي نويسيم .مثال نمودار دايره اي داده هاي مثال قبل را رسم مي كنيم

اسلاید 53:

اسلاید 54: صوتيارقامياحساسيتصويرينمودار دايره اي50%8%17%25%

اسلاید 55: توصيف مقداري مشاهدات طبقه بندي شده

اسلاید 56: پارامترهاي مركزي در داده هاي طبقه بندي شده ميانگين ميانگين براي داده هاي طبقه بندي شده از فرمول زير بدست مي آيد در اين فرمول فراواني مطلق fi ، نماينده طبقات xi و n كل مشاهدات است.

اسلاید 57: مثال يك شركت دارويي داراي 100 كارمند است كه درآمد ماهيانه آنها در جدول زير آمده است ميانگين آنها را بدست مي آوريم :

اسلاید 58: روش محاسبه ميانگين در جدول زير خلاصه شده است

اسلاید 59: مد مد مقداري است كه بيشترين تكرار را در ميان مشاهدات جامعه داشته باشد . اين تعريف براي داده هاي گسسته كاملاً گويا است ولي براي داده هاي پيوسته فقط نشان دهنده طبقه مد دار است بنابراين مد براي داده هاي طبقه بندي شده از رابطه زير بدست مي آيد: كه در فرمول فوق :LMحد پايين طبقه مد دار ، fi فراواني مطلق طبقه مد دار، fi-1 فراواني مطلق طبقه ماقبل طبقه مد دار و fi+1 فراواني مطلق طبقه مابعد طبقه مد دار است

اسلاید 60: مثال مد داده هاي مثال قبل را بدست آوريد 30طبقه مد داربا توجه به جدول داريم :

اسلاید 61: چندكها چندكها مقاديري از مشاهدات هستند كه دامنۀ تغييرات را به فاصله هاي چندكي مورد نياز تقسيم مي كنند ، بطوري كه فراوانيها در هريك از اين فواصل درصد معيني از فراواني كل را تشكيل مي دهد.اگر دامنه تغييرات را به چهار قسمت مساوي تقسم كنيم چاركها بدست مي آيند .چنانچه دامنه تغييرات به ده قسمت مساوي تقسيم شوند به دهكها مي رسيم . و اگر دامنه تغيرات به صد قسمت مساوي تقسيم شوند صدكها را خواهيم داشت.چاركها مراحل محاسبه چاركها در داده هاي طبقه بندي شده به شرح زير است :

اسلاید 62: فراواني تجمعي مي آوريم محل چارك i ام را با استفاده از رابطه پيدا مي كنيم ، كه در اين رابطه i شماره چارك و Qi محل چارك است.با توجه به مقدار Qi و فراواني تجمعي ، طبقه چارك دار را پيدا مي كنيم .طبقه چارك دار ، اولين طبقه اي است كه باشد.با استفاده از فرمول زير مقدار چارك i ام را محاسبه مي كنيم

اسلاید 63: مثال با استفاده از داده هاي جدول زير چارك اول تا سوم را محاسبه مي كنيم : طبقه طبقه طبقه

اسلاید 64: چارك دوم ( ميانه ) :چارك سوم :

اسلاید 65: دهكها دهكها را با Da نمايش داده و به شرح زير محاسبه مي شوند : فراواني تجمعي را بدست مي آوريم محل دهك i ام را با استفاده از رابطه پيدا مي كنيمبا توجه به مقدار Da و فراواني تجمعي ، طبقه دهك دار را پيدا مي كنيم طبقه دهك دار ، اولين طبقه اي است كه Fi >Da باشد.با استفاده از فرمول زير مقدار دهك را محاسبه مي كنيم

اسلاید 66: مثال با استفاده از داده هاي جدول زير دهك پنجم و هفتم را محاسبه مي كنيم : طبقه طبقه

اسلاید 67: دهك هفتم :دهك پنجم ( ميانه ) :

اسلاید 68: پارامترهاي پراكندگي در داده هاي طبقه بندي شده شاخصهاي زير به عنوان پارامترهاي پراكندي مورد بررسي قرار مي گيرند : انحراف متوسط از ميانگينواريانسانحراف معيارانحراف متوسط از ميانگين انحراف متوسط از ميانگين از رابطه زير بدست مي آيد:

اسلاید 69: واريانس واريانس ر ا با فرمول زیر مي توان محاسبه كرد:مثال براي داده هاي دستمزد ماهيانه كاركنان شركت دارويي مثال قبل انحراف متوسط از ميانگين را محاسبه مي كنيم .10-2020-3030-4040-5050-601530252010152535455522575087590055018821222270240502402204860192010028804840مجموع1003300102014600

اسلاید 70: انحراف متوسط از ميانگينميانگينواريانس انحراف معيار انحراف معيار برابر جذر واريانس است .

اسلاید 71: پارامترهاي انحراف از قرينگي درمقايسۀ دو يا چند جامعه با همديگر ، ابتدا از پارامترهاي مركزي استفاده مي شود . گاهي اوقات تصمييم گيرنده به علت مساوي بودن پارامترهاي مركزي ( بخصوص ميانگين ) دچار مشكل مي شود در اين صورت اختلاف جوامع آماري به كمك شاخصهاي پراكندگي مثل انحراف معيار مشخص مي شود . امكان دارد دو جامعه آماري داراي ميانگين و واريانس برابر باشند ولي دو جامعه از توزيع يكساني برخوردار نباشند . مانند شكل زير كه دو جامعه را نشان مي دهد كه داراي ميانگين و واريانس برابر هستند ولي توزيع جامعه داراي تراكم نزديك مبدأ مختصات است در حاليكه مد جامع ( تراكم ) در نقطه مقابل آن است.

اسلاید 72: اين تفاوت را چولگي يا انحراف از قرينگي مي نامند.

اسلاید 73: توزيع چوله به راست : توزيعي است كه مد جامعه آماري پاين تر از ميانه و افتادگي توزيع بالاتر از آن واقع شود . (میانگین > میانه > مد )توزيع متقارن : توزيعي است كه پارامترهاي مركزي آن ( مد ميانگين و ميانه ) با همديگر مساوي باشند. توزيع چوله به چپ : اگر مد جامعه بزرگتر از ميانه باشد و افتادگي جامعه سمت چپ آن واقع گردد جامعه داراي چولگي چپ خواهد بود. (میانگین < میانه < مد )

اسلاید 74: شاخص اندازه گيري پارامترهاي تعيين انحراف از قرينگي « ضريب چولگي » ناميده مي شود.در صورتي كه توزيع جامعه چوله به چب باشد ضريب چولگي منفي است .اگر كه توزيع جامعه چوله به راست باشد ضريب چولگي مثبت است .و در صورتي كه جامعه از توزيع متقارن برخوردار باشد ضريب چولگي برابر صفر خواهد بود .قدر مطلق ضريب چولگي نشان دهندۀ ميزان اختلاف جامعۀ آماري با توزيع نرمال از نظر قرينگي است . بنابر اين هر چه این ضریب بزرگتر باشد تفاوت جامعه از نظر قرينگي با توزيع نرمال بيشتر خواهدبودضريب چولگي اول و دوم پيرسن

اسلاید 75: مثال داده هاي جدول زير سود سالانه 50 شركت بر حسب 10 ميليون ريال است ضرايب چولگي پيرسون را براي آن حساب مي كنيم .

اسلاید 76:

اسلاید 77: پارامترهاي تعيين انحراف از كشيدگي منظور از كشيدگي توزيع ها مقدار اوج ( بلندي ) آنها است . بعنوان مثال در شكل زيردو منحني A و B از نظر پارامترهاي مركزي و چولگي يكسان هستند ولي منحني A از منحني B كوتاهتر است .دو منحني با پارامتر هاي مركزي يكسان و كشيدگي متفاوت

اسلاید 78: در حالتهاي خاص كه تصميم گيري به كمك پارامترهاي مركزي و چولگي امكان پذير نيست ، يكي از پارامترهاي مناسب استفاده از مقايسه پراكندگي توزيع جامعه با توزيع نرمال است. شاخص سنجش پراكندگي جامعه نسبت به توزيع نرمال « ضريب كشيدگي » است كه با E نمايش داده مي شود . منحني توزيع هاي آماري از نظر كشيدگي به سه گروه تقسيم مي شوند: آن دسته از منحني هايي كه نسبت به توزيع نرمال از پراكندگي بيشتري برخوردارند. يعني منحني توزيع نسبت به منحني نرمال كوتاهتر است .اين دسته از توزيع ها داراي ضريب كشيدگي منفي هستند .فرمول محاسبۀ ضريب كشيدگي

اسلاید 79: توزيعهايي هستند كه از توزيع نرمال بلندترند يعني از اوج بيشتري برخوردارند. ضريب كشيدگي اين دسته از توزيعها مثبت خواهد بود .توزيعهايي هستند كه كشيدگي آنها با كشيدگي توزيع نرمال كاملاً مساوي است. ضريب كشيدگي در اين توزيعها مساوي صفر است .

اسلاید 80: مثال درآمد كاركنان يك شركت برحسب يكصدهزار ريال در جدول زير آمده است ضريب كشيدگي را محاسبه مي كنيم.

اسلاید 81: محاسبات با استفاده از جدول در زير آمده است :

اسلاید 82: مبانی احتمالفصل دوم

اسلاید 83: نظريه احتمالواژه « احتمال » دال بر « عدم اطمينان » نسبت به آينده است . ما در بسياري از موارد از پيش بيني آينده ناتوان هستيم و براي اندازه گيري اين عدم اطمينان از نظريه احتمال استفاده مي كنيم . مفهوم احتمال بطور كلي مي توان احتمال را شانس وقوع پيشامد خاصي تعريف كرد. به تعبيري ديگر ، احتمال وقوع يك پيش آمد برابر نسبت دفعاتي است كه پيش آمد خاصي در تكرارهاي زياد رخ خواهد داد .

اسلاید 84: احتمال عيني و ذهني احتمال عيني به نظر اشخاص مختلف وابسته نيست و احتمال وقوع از قبل مشخص است. احتمال ذهني به عقايد اشخاصي وابسته است كه آن را ارزيابي مي كنند. در واقع احتمال ذهني را مي توان احتمال تخصيص داده شده به وسيله يك فرد به يك پيش آمد تعريف كرد.آزمايش در نظريه احتمال فعاليتي كه نتيجه آن از قبل مشخص نباشد به « آزمايش » معروف است .

اسلاید 85: فضاي نمونه مجموعه پيامدهاي ممكن يك آزمايش را فضاي نمونه آن آزمايش مي نامند . عموماً فضاي نمونه را با نمايش مي دهند . مثال 5-1 فضاي نمونه پرتاب يك سكه بصورت است .مثال 5-2 فضاي نمونه پرتاب يك تاس عبارت است از :مبادي احتمال

اسلاید 86: فضاي نمونه گسسته و پيوسته اگر فضاي نمونه شامل تعداد متناهي يا تعداد نامتناهي عضو ولي شمارش پذير باشد آن را « فضاي نمونه گسسته » مي نامند. فضاي نمونه بعضي از آزمايشها كه گسته نباشد پيوسته ناميده مي شود.مبادي احتمال

اسلاید 87: مثال 5-3فضاي نمونه پرتاب يك سكه يا پرتاب يك تاس فضاي نمونه گسسته استفضاي نمونه براي عمر نوعي لامپ كه توسط يك كارخان خاص توليد مي شود و حداكثر عمر آن 1780 ساعت است عبارت است از كه نشان دهنده عمر لامپ است يك فضاي نمونه پيوسته است . مبادي احتمال

اسلاید 88: پيشامد پيش آمد يكي از زير مجموعه هاي فضاي نمونه است .مثال 5-4پرتاب يك سكه را در نظر مي گيريم .اگر را پيش آمد ظاهر شدن شير ( ) تعريف كنيم عضوهاي پيش آمد بصورت زير هستند . اگر پيش آمد ظاهر شدن عدد زوج در پرتاب تاس باشد پيش آمد بصورت زير است .مبادي احتمال

اسلاید 89: پيامدهاي مقدماتي هم شانس اگر در آزمايش نوعي تقارن وجود داشته باشد بطوري كه مطمئن باشيم وقوع يك پيامد همان قدر امكان دارد كه وقوع هر پيامد ديگر ، مي گوييم فضاي نمونه داراي پيش آمدهاي اوليه يا « پيامدهاي مقدماتي » هم شانس است .مثال 5-5 در فضاي نمونه پرتاب يك سكه يا پرتاب يك تاس پيامدهاي مقدماتي هم شانس هستند .مبادي احتمال

اسلاید 90: احتمال يك پيشامد اگر در يك فضاي نمونه همه پيشامدهاي مقدماتي هم شانس باشنددر اين صورت : احتمال وقوع پيشامد خاصي مانند عبارت است از تعداد عضوهاي پيش آمد تقسيم بر تعداد عضوهاي فضاي نمونه . يعني داريم :مبادي احتمالتعداد عضوهاي پيشامد تعداد عضوهاي فضاي نمونه

اسلاید 91: مثال 5-6 مي خواهيم در پرتاب دو سكه احتمالات زير را حساب كنيمدقيقاً دو خط ظاهر شود .حداقل يك خط ظاهر شود .هر دو يك چيز را نشان دهند . ابتدا فضاي نمونه را مي نويسيم پيشامد ظاهر شدن دقيقاً دو خطمبادي احتمال

اسلاید 92: پيشامد ظاهر شدن حداقل يك خطپيش آمد آنكه هر دو يك چيز ظاهر شوند:مبادي احتمال

اسلاید 93: احتمال و فراواني نسبي در بسياري از آزمايشها پيامدها ي مقدماتي داراي شانس مساوي براي انتخاب شدن نيستند . در چنين حالتي از فراواني نسبي وقوع پيش آمد در صورتي كه آزمايش تحت شرايط يكسان مكرراً انجام شده باشد .مبادي احتمال

اسلاید 94: بنابر اين فراواني نسبي پيش آمد در بار تكرار آزمايش چنين تعريف مي شود :در صورتي مي توان از فراواني نسبي به عنوان مبناي احتمال استفاده كرد كه تعداد تكرارهاي آزمايش به سمت بي نهايت ميل كند يعني :مبادي احتمالفراواني نسبي پيش آمدتعداد دفعاتي كه در تكرار آزمايش روي مي دهدفراواني نسبي در تكرار

اسلاید 95: مبادي احتمالمثال 5-7 در نمونه اي وسيع كه قبلاً از جمعيت ايران گرفته شده است تعداد فرزندان هر خانواده همراه با نسبت افرادي كه داراي اين تعداد فرزند هستند نشان داده شده است . داده ها در جدول زير آمده است :

اسلاید 96: اگر خانواده اي را بطور تصادفي انتخاب كنيم ، مي خاهيم احتمال هريك از پيش آمدهاي زير را حساب كنيم .كمتر از دو فرزند داشته باشند .بين دو تا چهار فرزند داشته باشند .چهار فرزند يا بيشتر داشته باشد . جواب :احتمال داشتن كمتر از دو فرزند احتمال داشتن دو تا چهار فرزند احتمال داشتن چهار فرزند يا بيشترمبادي احتمال

اسلاید 97: خواص مقدماتي احتمالاحتمال پيش آمدي همچون متعلق به فضاي نمونه همواره بزرگتر يا مساوي صفر و كوچكتريا مساوي يك است . يعني احتمال وقوع فضاي نمونه برابر يك است يعني : مبادي احتمال

اسلاید 98: قواعد شمارش اصل اساسي شمارش اگر عملي مستلزم مرحله باشدكه مرحله اول به طريق ، مرحله دوم به طريق ، ..... و مرحله ام به طريق انجام پذيرد ، آنگاه عمل مذبور به طريق ممكن انجام مي شود .مبادي احتمال

اسلاید 99: مثال 5-8 مي خواهيم بدانيم اگر قرار باشد پلاك اتومبيلها را با استفاده از نام يك شهر ،يك حرف فارسي و 5 رقم مشخص كنيم با اين شرط كه فقط نام 25 شهر مجاز باشدچند ماشين مختلف را مي توانيم شماره گذاري كنيم ( رقم اول شماره ماشين نبايد صفر باشد )مبادي احتمال

اسلاید 100: جايگشت ( ترتيب )تعداد جايگشتهاي شئي برابر است با تعداد جايگشتهاي شئي از شئي متمايز برابر است با مبادي احتمال

اسلاید 101: مثال 5-9 مي خواهيم از بين 15 عضو شركت كننده در يك جلسه يك رئيس ، يك معاون و يك سخنگو انتخاب كنيم . ترتيب انتخاب نيز مهم است تعدا طرق ممكن براي اين سه نفر بصورت زير است :مبادي احتمال

اسلاید 102: تركيب تعداد تركيبهاي شئي از شئي متمايز برابر است با مثال 5-10 قرار است از بين 10 مشتري عمده يك فروشگاه سه نفر انتخاب كرده و از آنها در باره كيفيت محصولات توليدي نظرخواهي كنيم طرق مختلف انتخاب بصورت زير است :مبادي احتمال

اسلاید 103: تعداد طرقي كه مي توان مجموعه شئي را به زير مجموعه با شئي در مجموعه اول ، شئي در مجموعه دوم ،... و شئي در مجموعه ام افراز كرده برابر است با مثال 5-10 مي خواهيم بدانيم به چند طريق مي توان 8 كارمند را در دو اطاق 3 نفره و يك اطاق دو نفره جاي داد . چون 8=2+3+3 داريم :مبادي احتمال

اسلاید 104: عمليات روي پيش آمدها و قواعد احتمال نمودار ون : براي نشان دادن پيش آمدها در يك فضاي نمونه از نمودار ي به نام نمودار ون استفاده كرد .در اين نمودار كل فضاي نمونه با يك مستطيل ، و هر پيش آمد با يك دايره داخل مستطيل نمايش داده مي شود.مبادي احتمال

اسلاید 105: دو پيش آمد نا سازگار دو پيش آمد در صورتي نا سازگار ناميده مي شوند كه در يك لحضه فقط و فقط يكي از آنها بتواند واقع شود .يعني امكان وقوع همزمان دو پيش آمد ناسازگار وجود ندارد . دو پيش آمد ناسازگار هيچ عضو مشتركي ندارند .دو پيش آمد سازگار دو پيش آمد در صورتي سازگار ناميده مي شوند كه وقوع يك پيش آمد مستلزم عدم وقوع ديگري نباشد . دو پيش آمد سازگار دست كم يك عضو مشترك دارند .مبادي احتمال

اسلاید 106: متمم يك پيش آمد متمم پيش پيشامد ، مجموعه تمام عضوهايي است كه در نيستند. متمم پيشامد را با يا بصورت نشان مي دهند .مثال 5-11 در پرتاب يك تاس ، پيشامد ظاهر شدن عدد كوچكتر از 3 است . متمم پيشامد بصورت زير است .مبادي احتمال

اسلاید 107: برخي از قواعد احتمالاتاكر و دو پيش آمد مربوط به يك فضاي آزمايش باشند بطوري كه باشد در اينصورت داريم : با توجه به اينكه داريم و بنابر اين داريم : مبادي احتمال

اسلاید 108: اكر و دو پيش آمد مربوط به يك فضاي آزمايش باشند در اينصورت داريم : در صورتي كه و دو پيشامد ناساز گار باشند خواهيم داشت : مبادي احتمال

اسلاید 109: مثال 5-11 احتمال اينكه خانواده اي اتومبيل ، موتورسيكلت و يا هردو را داشته باشد به ترتيب برابر 61/0 ، 25/0 و 08/0 است . اگر خانوادهاي بصورت تصادفي اتخاب شود مي خواهيم احتمالات زير را حساب كنيم . الف ) اتومبيل نداشته باشد . ب ) دست كم يكي از اين دو را داشته باشد . حل : اگر پيشامد داشتن اتومبيل و پيشامد داشتن موتورسيكلت باش داريم الف ) ب )مبادي احتمال

اسلاید 110: احتمال شرطي اكر پيشامدي مانند به پيشامد ديگري مثل مربوط باشد و بدانيم پيشامد به وقوع پيوسته است ، در اينصورت احتمال وقوع ، به احتمال وقوع به شرط (كه بصورت نشان داده مي شود ) تغيير مي يابد . كه آن را احتمال شرطي مي نامند .احتمال شرطي بصورت زير محاسبه مي شود .مبادي احتمال

اسلاید 111: مثال 5-12 اطلاعات مربوط به سود خالص يك سال يك سال 150 شركت كه در چهار صنعت مختلف فعاليت مي كنند به شرح زير است :مبادي احتمال

اسلاید 112: مي خواهيم احتمالات زير را در صورتي كه يكي از اين شركتها به تصادف انتخاب شده باشد محاسبه كنيم الف ) احتمال اينكه شركت انتخابي سود كمتر يا مساوي 50 ميليون ريال داشته باشد . ب ) احتمال اينكه شركت انتخابي در صنعت آلومينيم مشغول فعاليت باشد .مبادي احتمال

اسلاید 113: ج ) احتمال اينكه شركت انتخابي هم از صنايع نساجي باشد و هم سود بيشتر از 50 ميليون ريال داشته باشد . د ) احتمال اينكه شركت انتخابي يا در صنعت نساجي باشد يا سودي بيشتر از 50 ميليون ريال داشته باشد .مبادي احتمال

اسلاید 114: ه ) احتمال اينكه شركت انتخابي در صنعت نساجي مشغول فعاليت باشد در صورتي كه بدانيم سودي بيشتر از 50 ميليون ريال دارد .و ) احتمال اينكه شركت انتخابي سودي كمتر يا مساوي 50 ميليون ريال داشته باشد در صورتي كه بدانيم در صنعت نساجي فعاليت ندارند .مبادي احتمال

اسلاید 115: قانون ضرب احتمال با توجه به اينكه در احتمال شرطي داريم با ضرب طرفين اين رابطه در خواهيم داشت : كه اين رابطه به « قانون ضرب احتمالات » معروف است .قانون ضرب احتمالات زماني كه محاسبه احتمال اشتراك دو پيشامد به راحتي امكان پذير نباشد ، كمك مي كند . مبادي احتمال

اسلاید 116: مثال 5-13 فرض كنيد ظرفي حاوي 12 مهره است كه 5 مهرۀ آن قرمز و بقيه سبز هستند . مي خواهيم بدانيم اگر دو مهره را بدون جايگذاري بيرون آوريم احتمال آنكه هر دومهره قرمز باشند چقدر است . حل : اگر پيشامد قرمز بودن مهره اول و قرمز بودن مهره دوم باشد داريم :مبادي احتمال

اسلاید 117: پيشامد مستقل دو پيشامد را « مستقل » مي نامند در صورتي كه وقوع يا عدم وقوع يكي در وقوع يا عدم وقوع ديگري هيچ تأثيري نداشته باشد .مانند احتمال تصادفي در يك خيابان تهران و احتمال غرق شدن يك قايق در چابهاردر صورتي كه دو پيشامد مستقل باشند داريم در نتيجه خواهيم داشت :مبادي احتمال

اسلاید 118: مثال 5-14 سكه اي را دو بار پرتاب مي كنيم . مي دانيم در بار آول شير آمده است ، مي خواهيم احتمال اينكه در بار دوم نيز شير بيايد را محاسبه مي كنيم . حل : شير و خط آمدن سكه در بار اول هيچ تاثيري در شير يا خط آمدن سكه در بار دوم ندارد بنابر اين داريم :مبادي احتمال

اسلاید 119: قانون احتمال كليدرصورتي كه فضاي نمونه به دو پيشامد ، ، ، ... و افراز شده باشد احتمال وقوع پيشامد بصورت زير بدست مي آيد . مبادي احتمال

اسلاید 120: مثال 5-15 سه ماشين ، و كل محصولات كارخانه اي را توليد مي كنند . اطلاعات مربوط به توليد و محصولات معيوب توليد شده توسط هر ماشين در جدول زير آمده است . اگر يك محصول از توليدات اين كارخانه به تصادف انتخاب شود ، احتمال اينكه اين محصول معيوب باشد چقدر است ؟مبادي احتمال

اسلاید 121: فرض كنيد پيشامد انتخاب محصول معيو ب باشد. داريممبادي احتمالاحتمال معيوب بودن محصول انتخابي

اسلاید 122: قضيه بيز ممكن است احتمال وقوع پيشامدي را در شرايط معمولي بدانيم ، ولي اطلاعات جديدي بدست آوريم كه در احتمال وقوع پيشامد اوليه تجديد نظر كنيم . به احتمال وقوع پيشامدي قبل از كسب اطلاعات جديد « احتمال پيشين » و به احتمال وقوع آن پيشامد بعد از كسب اطلاعات جديد « احتمال پسين » مي گويند .مبادي احتمال

اسلاید 123: در صورتي كه احتمال معلوم ( احتمال پيشين )و بخواهيم احتمال وقوع ( احتمال پسين ) را حساب كنيم از فرمول زير كه به قضيه بيز معروف است استفاده مي كنيم :مبادي احتمال

اسلاید 124: مثال 5-16 در مثال 5-15 احتمال آنكه محصول انتخاب شده توسط ماشين توليد شده باشد درصورتي كه بدانيم كالا معيوب است ، چقدر است ؟مبادي احتمال

اسلاید 125: فصل ششم توابع احتمال گسسته

اسلاید 126: موارد مورد بررسي در اين فصلمتغير تصادفي گسسته ، تابع احتمال و تابع توزيعاميد رياضي و واريانس متغير تصادفيتابع احتمال توأمكوواريانس و استقلال دو متغير تصادفيتوزيع برنوليتوزيع دو جمله ايتوزيع هاي دو جمله اي منفي و هندسيتوزيع چند جمله ايتوزيع فوق هندسيتوزيع پواسن توابع احتمال گسسته

اسلاید 127: متغيير تصادفي گسسته متغير تصادفي ، تابعي است كه دامنۀ آن فضاي نمونه و حوزۀ آن مجموعه اي از اعداد حقيقي است . متغير تصادفي گسسته متغيري است كه تعداد مقاديري كه مي تواند اختيار كند ، متناهي يا شمارش پذير باشد . تعداد مقادير متغير تصادفي پيوسته ، نامتناهي است .تابع احتمال تابع احتمال تابعي است كه دامنۀ آن مقادير ممكن متغير تصادفي و حوزۀ آن احتمالات مربوط به هر مقدار متغير تصادفي است .توابع احتمال گسسته

اسلاید 128: مثال 6-1 فرض كنيد سكه سالمي را دو بار پرتاب مي كنيم ابتدا فضاي نمونه را مي نويسيم و سپس ارتباط آن را با نعدا شيرهاي ظاهرشده مشخص مي كنيم : توابع احتمال گسستهتعداد شيرهافضاي نمونهدامنهحوزه مقاديرحوزه مقادير متغير تصادفي

اسلاید 129: تابع احتمال تابع احتمال تابعي است كه دامنۀ آن مقادير ممكن متغير تصادفي و حوزۀ آن احتمالات مربوط به هر مقدار متغير تصادفي است .مثال 6-2 فرض كنيد سكه سالمي را دو بار پرتاب مي كنيم اگرمتغير تصادفي شيرهاي ظاهرشده باشد تابع احتمال آن بصورت زير است .توابع احتمال گسسته2 1 0 جمع 25/0 50/0 25/01

اسلاید 130: در تابع احتمال براي هر داريم :براي تابع احتمال داريم : توابع احتمال گسسته

اسلاید 131: مثال 6-2 مي خواهيم بدانيم آيا تابع زير مي تواند تابع احتمال باشدحل :توابع احتمال گسستهبنابراين مي تواند تابع احتمال باشد

اسلاید 132: تابع توزيع ( تابع احتمال تجمعي ) تابع توزيع ، تابعي است كه به ازاي جميع مقاديرممكن متغير تصادفي ، احتمال وقوع مقداري كوچكتر يا مساوي با را نشان مي دهد .توابع احتمال گسسته

اسلاید 133: مثال 6-3 جدول تابع احتمال زير را درنظر گرفته تابع توزيع آن را بدست مي آوريمتوابع احتمال گسسته 10 5 3 0 2- 1 80/0 0 5/0 25/0 10/0تابع توزيع

اسلاید 134: مثال 6-4 شركت بيمه اطلاعات مربوط به تعداد تصادفات 60 روز يكي از مناطق شهري را در جدول زير جمع آوري كرده است توابع احتمال گسسته الف ) تابع احتمال و تابع توزيع تعداد تصادفات را بدست آوريد ب ) اگر وزي از اين 60 روز را برحسب تصادف انتخاب كنيم ، احتمال اينكه در اين روز كمتر از3 تصادف رخ داده باشد ، چقدر است ؟

اسلاید 135: الف ) تابع احتمال و تابع توزيع ب ) توابع احتمال گسسته 4 3 2 1 0جمع 06/0 1/0 17/0 42/0 25/0 1 4 3 2 1 0 1 94/0 84/0 67/0 25/0 جدول تابع احتمالجدول تابع توزيع

اسلاید 136: اميد رياضي متغير تصادفي اميد رياضي همان ميانگين موزون است كه احتمالات در آن نقش وزنها ( ضرايب ) را ايفا مي كنداميد رياضي متغير تصادفي گسستۀ به صورت زير محاسبه مي شود : ( را درنظر مي گيريم ) توابع احتمال گسسته

اسلاید 137: مثال 6-5 شركتي توليد كننده آب گرمكن گازي است . تقاضاي ماهانه همراه با احتمالات مربوط در جدول زير آمده است اميد رياضي تعداد تقاضا را بدست مي آوريم :توابع احتمال گسسته

اسلاید 138: واريانس واريانس متغير تصادفي گسسته كه ميزان پراكندگي را حول ميانگين ( اميد رياضي ) نشان مي دهد و آن را با نشان مي دهيم كه بصورت زير محاسبه مي شود . همچنين بجاي استفاده ازفرمول بالا ، مي توان از فرمول زير استفاده كرد .توابع احتمال گسسته

اسلاید 139: مثال 6-6 جدول تابع احتمال زير را درنظر گرفته واريانس را بدست مي آوريمتوابع احتمال گسسته2-0351010/015/025/030/020/020/0-075/05/124092510040/0025/25/720جمع105/475/33جدول محاسبات

اسلاید 140: توابع احتمال گسستهانحراف معيار

اسلاید 141: اگر و دو عدد ثابت باشند داريم :توابع احتمال گسسته( 1( 2( 3( 4

اسلاید 142: مثال 6-7 اگر و باشد مقادير زير را حساب كنيدتوابع احتمال گسسته( 1( 2( 3( 4

اسلاید 143: تابع احتمال توأم در مواردي لازم است كه علاوه بر رفتار هر متغير رفتار آنها در ارتباط با يكديگر مورد برسي قرار گيرند در اين صورت رفتار دو يا چند متغير تصادفي را كه توأماً بررسي مي شوند تابع احتمال توأم مي گويند .توابع احتمال گسسته

اسلاید 144: آگر و دو متغير باشند جدول تابع احتمال توأم و بصورت زير است . توابع احتمال گسسته

اسلاید 145: مثال 6-8 فروش روزانه دو بنگاه اتومبيل را در نظر مي گيريم تعداد اتومبيلهاي فروخته شده در بنگاه اول ( حداكثر دو اتومبيل ) و تعداد اتومبيل هاي فروخته شده در بنگاه دوم ( حد اكثريك اتومبيل ) احتمالات فروش روزانه دو اتومبيل به شرح زير است :توابع احتمال گسستهاحتمالفروش

اسلاید 146: توابع احتمال گسستهتابع احتمال توأم فروش روزانه دو بنگاه اتومبيل را تنظيم مي كنيم

اسلاید 147: توابع احتمال گسستهمثال 6-9 با استفاده از جدول احتمال توأم مثال 6-8 احتمالات زي را محاسبه مي كنيم :( الف( ب( ج( الف( ب( ج

اسلاید 148: احتمالات حاشيه اي با در دست داشتن جدول احتملات توأم و ، مي توان تابع احتمال جداگانه هر كدام از متغيرها را بدست آورد .براي بدست آوردن احتمال متغير تصادفي احتمالات هر سطر را جمع مي كنيم و آن را در حاشيه سمت راست جدول مي نويسيم .براي بدست آوردن احتمال متغير تصادفي احتمالات هر ستون را جمع مي كنيم و آن را در حاشيه پايين جدول مي نويسيم .توابع احتمال گسسته

اسلاید 149: مثال 6-10 احتمالات حاشيه اي جدول توأم مثال 6-8 را بدست مي آوريم :توابع احتمال گسسته 1 0012 18/0 05/0 35/0 22/0 05/0 15/00/230/570/200/42 0/581احتمال حاشيه اياحتمال حاشيه اي

اسلاید 150: كوواريانس اميد رياضي تغيرات دو متغير برحسب ميانگينشان را كوواريانس مي نامييم .كوواريانس معيار عددي است كه نوع و شدت رابطۀ خطي بين دو متغير تصادفي را نشان مي دهد .كوواريانس دو متغير تصادفي و را با نشان ميدهيم و با استفاده از يكي از دو فرمول زير محاسبه مي شود .توابع احتمال گسسته

اسلاید 151: رابطه دو متغير مي تواند به يكي از سه صورت زير باشد :رابطه مستقيم : هردو متغير در يك جهت افزايش يا كاهش يابند. در اين صورت كوواريانس مثبت است .رابطه معكوس : دو متغير در جهت عكس همديگر حركت كنند ( يعني با افزايش يكي ديگري كاهش پيدا كند و بالعكس ) در اين حالت كوواريانس منفي استدو متغير مستقل : افزايش يا كاهش يك متغير هيچ تأثيري در ديگري نداشته باشد در چنين حالتي كووراريانس برابر صفر است .توابع احتمال گسسته

اسلاید 152: مثال 6-11 تابع احتمال توأم دو متغير تصادفي و بصورت زير است كواريانس را حساب مي كنيم :توابع احتمال گسسته 2 1 05-10 08/0 02/0 30/0 50/0 0 10/0 5-10 40/060/02-6جمع1401240/002/058/0002/016/1جمع118/1

اسلاید 153: محاسبه كوواريانس با استفاده از جداول بدست آمدهتوابع احتمال گسسته كواريانس

اسلاید 154: استقلال دو متغير تصادفي دو متغير تصادفي مستقل هستند اگر به ازاي تمام زوجهاي رابطه زير برقرار باشد .اگر دو متغير تصادفي و مستقل باشند آنگاه داريم :توجه شود كه اگر دو متغير تصادفي مستقل باشند كوواريانس آنها برابرصفر است اما اگر كوواريانس برابر صفر باشد لزومي ندارد كه آن دو متغير مستقل باشند . توابع احتمال گسسته

اسلاید 155: آزمايش برنولي آزمايشهايي كه داراي شرايط زير باشند به آزمايشهاي برنولي معروف هستند :آزمايشها داراي دو پيامد باشند «موفقيت » ( وقوع پيشامد مورد نظر ) « شكست » ( عدم وقوع پيشامد مورد نظر ) احتمال موفقيت و شكست هر پيامدي از آزمايشي به آزمايش ديگر ثابت باشد . آزمايشها مستقل از يك ديگر انجام شوند . توابع احتمال گسسته

اسلاید 156: توزيع برنولي توزيع تعداد موفقيت ها ( 0 يا 1 ) را در آزمايش برنولي « توزيع برنولي » مي نامند و احتمال موفقيت در آزمايش برنولي را با و عدم موفقيت را با يا نمايش مي دهيم با توجه به مكمل بودن دو احتمال داريم : توابع احتمال گسسته

اسلاید 157: مثال 6-12 بر اساس آمار متولدين ، مشخص شده است كه از هر 100 نوزاد بطور متوسط 48 نفر دختر و بقيه پسرند . مي خواهيم بدانيم آيا اين آزمايش ، آزمايش برنولي است . جواب بله است زيرا اگر احتمال دختر بودن نوزاد را موفقيت بناميم آنگاه براي هر نوزاد داريم : توابع احتمال گسستهودر نتيجه

اسلاید 158: توزيع دو جمله اي درآزمايش برنولي كه در آن احتمال موفقيت است ، متغير تصادفي را تعداد موفقيتها در نظر مي گيريم . توزيع احتمال را « توزيع دو جمله اي » با احتمال موفقيت مي ناميم كه در آن متغير تصادفي مقادير 0 ، 1 ، ... ، n را اختيار مي كند .فرمول توزيع احتمال دو جمله اي بصورت زير است :توابع احتمال گسسته

اسلاید 159: استفاده از جدول توزيع دو جمله اي در صورتي كه n نسبتاً بزرگ باشد از جداولي كه قبلاً آماده شده اند استفاده مي كنيم در اين جدولها احتمال تجمعي براي مقادير مختلف n ، p و c آورده شده است .توابع احتمال گسسته

اسلاید 160: مثال 6-12 احتمال اينكه مشتري اي كه وارد فروشگاهي مي شود چيزي بخرد 7/0 است . اگر 8 مشتري وارد فروشگاهي شده باشند احتمالات زير را محاسبه كنيد. الف ) حد اكثر 6 مشتري خريد كنند . ب ) حداقل چهار مشتري خريد كنند . ج ) دقيقاً 5 مشتري خريد كنند . د ) همه خريد كنند .توابع احتمال گسسته

اسلاید 161: توابع احتمال گسستهالف)ب)ج)د)

اسلاید 162: ميانگين و واريانس توزيع دو جمله اي ميانگين و واريانس توزيع دو جمله از رابطه اي زير بدست مي آيند :توابع احتمال گسسته ميانگين واريانس

اسلاید 163: مثال 6-13 ميانگين ، واريانس و انحراف معيار مثال 6-12 را بدست آوريم :توابع احتمال گسسته ميانگين واريانس انحراف معيار

اسلاید 164: توزيع دو جمله اي منفي گاهي به دانستن تعداد آزمايشهايي كه در آنها k موفقيت رخ مي دهد نيازمنديم .مانند احتمال اينكه ششمين كالاي معيوب در يك كارتن ، پنجمين كالاي معيوبي باشد كه مأمورين كنترل كيفيت متوجه آن شده اند .در چنين مواردي از توزيع دو جمله اي منفي با فرمول زير استفاده مي كنيم .اميد رياضي و واريانس توزيع دو جمله اي منفي بصورت زير است .توابع احتمال گسسته

اسلاید 165: مثال 6-13 اگر كالايي معيوب باشد معيوب باشد مأمور كنتر كيفيت با احتمال 80 درصد متوجه آن مي شود . احتمال اينكه ششمين كالاي معيوب ، پنجمين كالاي معيوبي باشد كه وي متوجه آن شده است برابر است با :توابع احتمال گسسته

اسلاید 166: توزيع هندسي اگر در توزيع دوجمله اي منفي k=1 باشد يعني اگر بخواهيم اولين موفقيت را در آزمايش بدانيم ، مي توانيم از اين توزيع استفاده كنيم كه در اين حالت خاص به آن توزيع هندسي مي گويند .براي توزيع هندسي از فرمول زير استفاده مي كنيم :اميد رياضي و واريانس توزيع هندسي بصورت زير است .توابع احتمال گسسته

اسلاید 167: مثال 6-14 احتمال مطلع شدن هربار مشتري از آگهي مربوط به يك شركت كه از تلوزيون پخش مي شود 67/0 است . احتمال اينكه در سومين آگهي شركت ، مشتري مطلع شود چقدر است ؟توابع احتمال گسسته

اسلاید 168: توزيع چند جمله اي اگر آزمايشي n بار بصورت مستقل انجام گيرد و هر آزمايش شامل k پيامد مجزا با احتمالهاي ثابت باشد بطوري كه باشد احتمال وقوع بار از پيامد اول ، بار از پيامد دوم ، ... و بار از پيامد k ام از فرمول زير كه به توزيع چند جمله اي معروف است بدست مي آيد .توابع احتمال گسستهكه در آن

اسلاید 169: مثال 6-15 25 درصد افراد شهري به نامزد اول ، 35 درصد به نامزد دوم و 40 درصد به نامزد سوم رأي مي دهند . فرض كنيم ده نفر هم اكنون پاي صندوق منتظر رأي دادن هستند مي خواهيم بدانيم احتمال اينكه 2 نفر به نامزد اول ، 3 نفر به نامزد دوم و 5 نفر به نامزد سوم رأي دهند چقدر است .توابع احتمال گسسته

اسلاید 170: توزيع فوق هندسي اگر بخواهيم كه اين احتمال را پيدا كنيم كه از بين N شئي مورد نظر كه k تا آنها داراي شرايط مشخصي هستند ، n شئي را انتخاب كنيم بطوري كه تاي آنها واجد آن شرايط باشد ، از فرمول زير استفاده مي كنيم كه به توزيع فوق هندسي معروف است.اميد رياضي و واريانس توزيع فوق هندسي بصورت زير است :توابع احتمال گسسته

اسلاید 171: مثال 6-16 از بين 8 مديري كه به يك جلسه دعوت شده اند ، 3 نفرشان رابطه مدار و بقيه كار مدار هستند. اگر بطور تصادفي 4 نفر را انتخاب كنيم ، احتمال اينكه 2 مدير رابطه مدار انتخاب شوند ، چقدر است . در اين مثال و است پس داريم :توابع احتمال گسسته

اسلاید 172: توزيع پواسن در مواقعي كه در توزيع دوجمله اي n به سمت بي نهايت و p به سمت صفر ميل مي كند بطوري كه مقدار np ثابت بماند ، استفاده از توزيع زير كه توزيع پواسون ناميده مي شود براي تقريب توزيع دوجمله اي مناسب خواهد بود . كه در آن پارامتر توزيع و و است .توابع احتمال گسسته

اسلاید 173: اميد رياضي و واريانس توزيع پواسون بصورت زير است .بطور كلي در صورتي كه و باشد ، توزيع پواسن تقريب خوبي براي توزيع دوجمله اي است .همچنين وقتي و باشد توزيع پواسون تقريب بسيار عالي براي توزيع دوجمله اي است توابع احتمال گسسته

اسلاید 174: مثال 6-16 از بين 2000 واحد كالاي شركتي كه هركدام به احتمال 0015/0 معيوبند ، احتمال اينكه 5 تا از آنها معيوب باشند چقدر است ؟توابع احتمال گسستهاميد رياضي و واريانس تعداد كالاهاي معيوب

اسلاید 175: مثال 6-17 به تجربه مشخص شده است كه يك تلفنچي 3 درصد از تلفنها را اشتباه وصل مي كند. اگر او امروز 150 تلفن وصل كرده باشد ، موارد زير را محاسبه مي كنيم : الف ) اميد رياضي ( ميانگين ) تلفنهايي كه اشتباه وصل شده اند. ب) احتمال اينكه سه شماره را اشتباه وصل كرده باشد. ج) احتمال اينكه بيش از يك شماره را اشتباه وصل كرده باشد.توابع احتمال گسسته

اسلاید 176: الف ) ب ) ج )توابع احتمال گسسته

اسلاید 177: براي محاسبه احتمالات توزيع پواسون مي توان از توزيع تجمعي آن استفاده كرد .مثال 6-17 توزيع پواسون با پارمتر را درنظر گرفته و احتمالات زير را حساب كنيد .توابع احتمال گسسته

اسلاید 178: توابع احتمال گسسته

اسلاید 179: فصل هفتم توابع احتمال پيوسته

اسلاید 180: مطالب مورد بررسي در توابع احتمال پيوستهتابع چگالي احتمال و تابع توزيع متغير تصادفي پيوستهاميد رياضي و واريانس تصادفي پيوسته توابع احتمال پيوسته

اسلاید 181: تابع چگالي احتمالاحتمال اينكه متغير تصادفي پيوسته مقداري بين a و b را بگيرد برابر است با سطح زير منحني بين اين دو نقطه يعني :اگر متغير تصادفي پيوسته باشد . تابع چگالي احتمال را با نشان مي دهيم .توابع احتمال پيوسته

اسلاید 182: در متغيرهاي پيوسته ، احتمال اينكه متغير تصادفي يك مقدار مشخص را بگيرد برابر صفر است زيرا:تابعي با مقادير كه روي مجموعۀ اعداد حقيقي تعريف شده باشد تابع چگالي احتمال است اگر شرايط زير برقرار باشند : 1- 2-توابع احتمال پيوسته

اسلاید 183: مثال 7-1 متغير تصادفي با تابع چگالي احتمال زير داده شده است : اين مقادير را حساب مي كنيم : الف ) مقدار k را حساب كنيد . ب ) ج ) توابع احتمال پيوسته

اسلاید 184: الف )توابع احتمال پيوستهب )ج )

اسلاید 185: تابع توزيع متغير تصادفي پيوسته تابع توزيع متغير تصادفي پيوسته از فرمول زير بدست مي آيد :براي تابع توزيع متغير تصادفي پيوسته داريم :توابع احتمال پيوسته

اسلاید 186: مثال 7-2 متغير تصادفي با تابع چگالي احتمال زير داده شده است : الف ) تابع توزيع را بدست آوريد. ب ) مقدار را بدست آوريد . توابع احتمال پيوسته

اسلاید 187: الف ) توابع احتمال پيوستهب )

اسلاید 188: اميد رياضي و واريانس متغير تصادفي پيوسته اميد رياضي و واريانس متغير تصادفي پيوسته به ترتيب از روابط زير بدست مي آيند. توابع احتمال پيوسته

اسلاید 189: مثال 7-3 اميد رياضي و واريانس تابع چگالي احتمال مثال 7-2 را بدست مي آوريم. توابع احتمال پيوسته

اسلاید 190: توابع احتمال پيوسته

اسلاید 191: فصل هشتم توزيع نرمال

اسلاید 192: مطالب مورد بررسي در اين فصلتوزيع نرمالاستفاده مستقيم از جدو ل توزيع نرمال استاندارد استفاده غير مستقيم از جدو ل توزيع نرمال استاندارد تقريب توزيع دو جمله اي به وسيله توزيع نرمالتقريب توزيع پواسن به وسيله توزيع نرمالقضيه حد مركزي توزيع نرمال

اسلاید 193: توزيع نرمال متغير تصادفي پيوسته با ميانگين و انحراف معيار داري توزيع نرمال است اگر تابع چگالي آن بصورت زير باشد :در اين رابطه و است .در صورتي كه متغير داراي توزيع نرمال با ميانگين و انحراف معيار باشد مي نويسند:توزيع نرمال

اسلاید 194: ويژگي هاي توزيع نرمالسطح زير منحني بالاي محور ها برابر 1 است يعني :به ازاي تمام مقادير مقدار بزرگتر يا مساوي صفر است . يعني به ازاي تمام مقادير داريم حد اكثر مقدار تابع در حاصل مي شود .توزيع نرمال

اسلاید 195: تابع حول ميانگين ، متقارن است . به بيان ديگر داريم : اميد رياضي و واريانس به ترتيب و است به بيان ديگر :با دورتر شدن از ، چه درسمت راست و چه درسمت چپ ، منحني به محور ها نزديك مي شود ، ولي هيچگاه به صفر نمي رسد.در توزيع نرمال ، ميانگين ، ميانه و مد با هم برابرند.توزيع نرمال

اسلاید 196: الف ) احتمال فاصله اي به اندازه « يك انحراف معياردر هر طرف ميانگين » برابر 683/0 است . يعني : ب ) احتمال فاصله اي به اندازه « دو انحراف معياردر هر طرف ميانگين » برابر 954/0 است . يعني : ج ) الف ) احتمال فاصله اي به اندازه « 3 انحراف معياردر هر طرف ميانگين » برابر 997/0 است . يعني :توزيع نرمال

اسلاید 197: توزيع نرمالاحتمال فاصله اي به اندازۀ يك انحراف معيار از ميانگين احتمال فاصله اي به اندازۀ دو انحراف معيار از ميانگين احتمال فاصله اي به اندازۀ سه انحراف معيار از ميانگين

اسلاید 198: توزيع نرمال استاندارد با توجه به اينكه تابع چگالي توزيع نرمال چنان است كه امكان محاسبه انتگرال آن براحتي امكان پذير نيست . بنابر اين جدولي تهيه شده است كه براي توزيع نرمال با ميانگين صفر و انحراف معيار « يك » قابل استفاده است . حال اگر داراي توزيع نرمال با ميانگين و انحراف معيار باشد متغير را بصورت تعريف مي كنيم .توزيع نرمال

اسلاید 199: با توجه به تابع چگالي توزيع نرمال ، تابع چگالي بصورت زيرخواهد بود . متغير با اين تعريف داراي توزيع نرمال با ميانگين صفر و انحراف معيار يك است.توزيع نرمال با ميانگين صفر و انحراف معيار يك را توزيع نرمال استاندارد مي نامند .توزيع نرمال استاندارد را بصورت مي نويسند .توزيع نرمال

اسلاید 200: با داشتن ميانگين و واريانس هر متغيري كه داراي توزيع نرمال باشد مي توان آن را به توزيع نرمال استاندارد تبديل كرد . با تبديل متغير تصادفي به مقياس تغيير مي كند . در شكل زير مقايسه دو مقياس نشان داده شده است. توزيع نرمال

اسلاید 201: استفاده از جدول توزيع نرمال استانداردبراي بدست آوردن احتمال پيشامدي مشخص ، كه متغير داراي توزيع نرمال است ابتدا آن را به متغير نرمال استاندارد تبديل و سپس با مراجعه به جدول توزيع نرمال استاندارد ، احتمال آن را بدست مي آوريم .جدول ، احتمال تجمعي را ( ) را نشان مي دهد .احتمال اينكه مقداري كمتر از 59/3-را بگيرد تقريباً برابر صفر است .احتمال اينكه مقداري كمتر از 59/3-را بگيرد تقريباً برابر يك است . توزيع نرمال

اسلاید 202: مثال 8-1 احتمال را محاسبه كنيد .توزيع نرمال

اسلاید 203: مثال 8-1 احتمال را محاسبه كنيد .توزيع نرمال

اسلاید 204: مثال 8-2 احتمال را محاسبه كنيد .توزيع نرمال

اسلاید 205: مثال 8-3 احتمال را محاسبه كنيد .توزيع نرمال

اسلاید 206: مثال 8-4 احتمال را محاسبه كنيد .توزيع نرمال

اسلاید 207: بطور كلي براي بدست آوردن احتمالات توزيع نرمال استاندارد از جدول :مقدار مستقيماً از جدول توزيع نرمال استخراج مي شود.فرمولهاي زير براي بدست آوردن ساير احتمالات از جدول توزيع نرمال استاندارد كاربرد دارند.توزيع نرمال

اسلاید 208: استفاده معكوس از جدول توزيع نرمال استاندارد در استفاده معكوس ، مقدار Z براي ما مشخص نيست و تنها احتمال آن مشخص است ، احتمال را در جدول پيدا كرده ، سپس Z متناظر با آن را مشخص مي كنيم .توزيع نرمال

اسلاید 209: مثال 8-5 مقدار در صورتي كه را بدست مي آوريم .توزيع نرمال

اسلاید 210: توزيع نرمال

اسلاید 211: تقريب توزيع دو جمله اي به وسيله توزيع نرمال اگر داراي توزيع دوجمله اي با پارامترهاي و باشد بطوريكه به اندازه كافي بزرگ و به صفر يا يك زياد نزديك نباشد تقريب نرمال با پارامترهاي و تقريب خوبي براي توزيع دو جمله اي است .توزيع نرمال

اسلاید 212: در صورتي كه و هر دو بزرگتر از 5 باشند تقريب نرمال براي دوجمله اي تقريب خوبي است .در مواردي كه نزديك به 5/0 باشد تقريب نرمال براي هاي كوچك نيز براي دوجمله اي خوب است.با توجه به اينكه توزيع دوجمله اي توزيع گسسته است و توزيع نرمال يك توزيع پيوسته است وقتي از توزيع نرمال براي تقريب دوجمله اي استفاده مي شود ، بايد از تصحيح پيوستگي استفاده كنيم .توزيع نرمال

اسلاید 213: تصحيح هاي پيوستگي توزيع دو جمله اي به منظور تقريب نرمالتوزيع نرمال

اسلاید 214: مثال 8-6 شصت و پنج نفر از كل افرادي كه كه به فروشگاهي مراجعه مي كنند ،خريد مي كنند . اگر در يك روز 30 نفر به اين فروشگاه مراجعه كنند ، احتمالات زير را حساب كنيد. الف ) حداقل 22 نفر خريد كنند. ب ) كمتر از 15 نفر خريد كنند . ج ) دقيقاً بيست نفر خريد كنند.توزيع نرمال

اسلاید 215: الف )توزيع نرمالاحتمال دوجمله اياحتمال نرمال

اسلاید 216: ب ) ج )توزيع نرمالاحتمال دوجمله اياحتمال نرمالاحتمال دوجمله اياحتمال نرمال

اسلاید 217: تقريب توزيع پواسون بوسيله توزيع نرمال وقتي ميانگين توزيع پواسون نسبتاً بزرگ باشد مي توان تقريب نرمال را براي آن بكار برد . در اين صورت ميانگين و انحراف معيار توزيع نرمال بصورت زير است :توزيع نرمال

اسلاید 218: مثال 8-7 بطور متوسط در هر دقيقه 5/0 مشتري با توزيع پواسون به قسمت پرداخت فروشگاهي مراجعه مي كنند . احتمال اينكه بيش از 20 مشتري در طي نيم ساعت مراجعه كنند چقدر است .توزيع نرمالاحتمال پواسوناحتمال نرمال

اسلاید 219: قضيه حد مركزي توزيع نرمال تقريب خوبي براي توزيع مجموع متغيرهاي تصادفي است .اگر متغير هاي تصادفي مستقلي باشند، و n به اندازه كافي بزرگ باشد آنگاه متغير تصادفي داراي توزيع نرمال است .ميانگين و واريانس توزيع نرمال در اين حالت بصورت زير مي باشند : توزيع نرمال

اسلاید 220: مثال 8-8 زمان مورد انتظار ( ميانگين ) و انحراف معيار زمان انجام دادن فعاليتهاي مسير بحراني پروژه اي در جدول زير آورده شده است . ( واحد زمان هفته است )توزيع نرمال

اسلاید 221: الف) احتمال تكميل پروژه بين 20 تا 26 هفته چقدر است؟ توزيع نرمال

اسلاید 222: ب) احتمال تكميل پروژه طي حداكثر 22 هفته چقدر است ؟توزيع نرمال

اسلاید 223: فصل نهم نظريۀ تصميم

اسلاید 224: مطالب مورد مطالعه در اين فصلشش گام در نظريه تصميمانواع شرايط تصميم گيريتصميم گيري در شرايط عدم اطمينانتصميم گيري در شرايط ريسكارزش مورد انتظار اطلاعات كاملتوزيع نرمال

اسلاید 225: شش گام در نظريه تصميمتعريف روشن از مسأله اي كه با آن مواجهيمتعيين گزينه هاي ممكنتعيين پيامدهاي ممكنتعيين بازده يا سود براي هر تركيب گزينه – حالت طبيعتانتخاب يكي از مدلهاي كمي نظريۀ تصمييمبه كارگيري مدل و اتخاذ تصميمتوزيع نرمال

اسلاید 226: براي رسم جدول بازده علامت گذاري هاي زير را درنظر مي گيريم :راه حلهاي مختلف يا استراتژيهاي ممكن براي يك مسأله را با ، ، ... و نشان مي دهيم . توزيع نرمال

اسلاید 227: پيامدهاي ممكن يا حالات طبعت (متغير هاي غير قابل كنترل ) را با ، ، ... و نشان مي دهيم .بازده ناشي از انتخاب گزينه و حالت طبيعت را با نمايش مي دهيم .توزيع نرمال

اسلاید 228: شكل كلي جدول بازده توزيع نرمال

اسلاید 229: مثال 9-1 شركتي براي توليد محصولي جديد مي تواند از يكي از سه فرايند A ، B و C استفاده نمايد . ميزان تقاضا براي اين سه محصول در آينده مشخص نيست براي سادگي شركت تقاضاي بالقوه را به تقاضاي كم ، متوسط و زياد رده بندي كرده است . ميزان سود سالانه برآوردي ناشي از هر تركيب فرايند توليدي و سطح تقاضا در جدول زير نشان داده شده است :توزيع نرمال

اسلاید 230: توزيع نرمالسطوح تقاضافرايند توليديزياد متوسط كم ABC 200 120 70 180 120 80 160 125 100جدول بازده توليد محصول جديد( ارقام به هزار ريال)

اسلاید 231: انواع شرايط تصميمتصميم گيري در شرايط اطمينان كامل : در اين شرايط تصميم گيرندگان با اطمينان پيامدهاي هر گزينه يا تصميمي را مي دانند ، بنابراين گزينه اي را انتخاب مي كنند كه منافع آنها را حداكثر كند .تصميم گيري در شرايط عدم اطمينان : در اين نوع تصميم گيري ، تصميم گيرنده نمي داند كداميك از حالات طبيعت رخ مي دهد در ضمن نمي تواند احتمال وقوع هريك را مشخص كند .توزيع نرمال

اسلاید 232: تصميم گيري در شرايط ريسك : در اين شرايط تصميم گيري ، تصميم گيرنده نمي داند كداميك از حالات طبيعت واقع مي شود ، ولي مي تواند احتمال وقوع هريك را مشخص كند.توزيع نرمال

اسلاید 233: تصميم گيري در شرايط عدم اطمينانمعيارهاي تصميم گيري در شرايط عدم اطمينانحداكثر حداكثرحداكثر حد اقلاحتمالات مساويواقعگراييحداقل حداكثر غبنتوزيع نرمال

اسلاید 234: معيار حداكثر حداكثر معيار حداكثر حداكثر بدنبال گزينه اي است كه حداكثر بازده گزينه هاي مختلف را حد اكثر كند . بهترين گزينه ، گزينه حداكثر حداكثرها است .توزيع نرمال

اسلاید 235: مثال 9-2 با استفاده از داده هاي مثال 9-1 بهترين گزينه با معيار حداكثر حداكثر را تعين مي كنيم .توزيع نرمالسطوح تقاضافرايند توليديزياد متوسط كم حداكثر سطر ABC 200 120 70 180 120 80 160 125 100200180160جدول تصميم گيري با معيار حداكثر حداكثر( ارقام به هزار ريال)حداكثر حداكثربهترين گزينه با معيار احتمالات مساوي فرايند توليدي است .

اسلاید 236: معيار حداكثر حداقل اين معيار بدنبال گزينه اي است كه حداقل پيامدهاي مختلف را حد اكثر كند . بهترين گزينه ، گزينه متناظر حداكثر حداقلها است .توزيع نرمال

اسلاید 237: مثال 9-2 : با استفاده از داده هاي مثال 9-1 بهترين گزينه با معيار حداكثر حداقل را تعين مي كنيم .توزيع نرمالسطوح تقاضافرايند توليديزياد متوسط كم حداقل سطر ABC 200 120 70 180 120 80 160 125 1007080100جدول تصميم گيري با معيار حداكثر حداقل ( ارقام به هزار ريال)حداكثرحداقلبهترين گزينه با معيار احتمالات مساوي فرايند توليدي است .

اسلاید 238: معيار احتمالات مساوي اين معيار كه معيار لاپلاس نيز ناميده مي شود شانس احتمالات مختلف طبيعت را يكسان فرض مي كند ، بدين ترتيب دنبال گزينه اي است كه متوسط بازده آن از بقيه گزينه ها بيشتر باشد.براي پيدا كردن بهترين گزينه ابتدا متوسط هر سطر را را حساب و در ستوني ياداشت مي كنيم ، سپس حداكثر اين ستون به عنوان بهترين گزينه انتخاب مي شود .توزيع نرمال

اسلاید 239: مثال 9-3 : با استفاده از داده هاي مثال 9-1 بهترين گزينه با معيار احتمالات مساوي را تعين مي كنيم .توزيع نرمالسطوح تقاضافرايند توليديزياد متوسط كم متوسط سطر ABC 200 120 70 180 120 80 160 125 100130127128جدول تصميم گيري با معيار احتمالات مساوي( ارقام به هزار ريال)احتمالات مساويبهترين گزينه با معيار احتمالات مساوي فرايند توليدي است .

اسلاید 240: معيار واقعگرايي اين معيار بر اين اصل مبتني است كه تصميم گيرنده كاملاًخوشبين يا بدبين نيست و بين دو معيار خوشبينانه ( حداكثر حداكثر ) وبدبينانه ( حداكثر حداقل ) تعادلي برقرار ميكند .ابتدا ضريب خوشبيني تصميم گيرنده كه آن را با نشان مي دهيم حدس زده مي شود ، مقدار اين ضريب بين صفر و يك است يعني توزيع نرمال

اسلاید 241: معيار واقع گرايي هر گزينه را از فرمول زير بدست آورده سپس گزينه اي كه بيشترين مقدار را به خود اختصاص دهد به عنوان بهترين گزينه انتخاب مي شود. ( حداقل بازده گزينه )( )+( حداكثر بازده گزينه ) = معيار واقع گرايي گزينه توزيع نرمال

اسلاید 242: مثال 9-4 : با استفاده از داده هاي مثال 9-1 بهترين گزينه با معيار واقعگرايي را با اين فرض كه ضريب خوش بيني تصميم گيرنده برابر 7/0 باشد را مشخص مي كنيم توزيع نرمالمعيار واقع گرايي فراين توليدي معيار واقع گرايي فراين توليدي معيار واقع گرايي فراين توليدي . بهترين گزينه بر اساس معيار واقع گرايي فرايند توليدي است

اسلاید 243: معيار حداقل حداكثر غبن تصميم گيرنده اي كه مي خواهد از اين معيار استفاده كند بايد تصور كند كه پس از انتخاب يكي از گزينه ها ، يكي از حالات طبيعت واقع شده است .ميزان غبن عبارت است از تفاوت بازده بهترين گزينه و گزينه انتخاب شده .توزيع نرمال

اسلاید 244: براي انتخاب بهترين گزينه بر مبناي معيار حداقل حداكثر غبن ، ابتدا جدولي بنام « جدول غبن » را كه به آن « جدول هزينه فرصت از دست رفته » نيز گفته مي شود ، تشكيل ميدهيم . سپس حداكثر هر سطر را مشخص كرده و در پايان حداقل آنها را تعين مي كنيم و گزينه متناظر با آن را انتخاب مي كنيم.توزيع نرمال

اسلاید 245: مثال 9-5 با استفاده از داده هاي مثال 9-1 بهترين گزينه با معيار حداقل حداكثر غبن را مشخص مي كنيم . ابتدا جدول غبن را تشكيل مي دهيم :توزيع نرمالسطوح تقاضافرايند توليديزياد متوسط كم متوسط سطر ABC 0 5 30 20 5 20 40 0 0 302040جدول تصميم گيري با معيار حداقل حداكثر غبن ( ارقام به هزار ريال)حداقل حداكثر غبنبهترين گزينه باحداقل حداكثر غبن فرايند توليدي است .

اسلاید 246: تصميم گيري در شرايط ريسك در صورتي كه تصميم گيرنده بتواند احتمال وقوع حالات مختلف طبيعت را براي مسألة تصميم ، تعين كند ، تصميم گيري از نوع ريسك خواهد بود .مهمترين معيار تصميم گيري در شرايط ريسك « معيار ارزش پولي مورد انتظار » ( ) است . ( ارزش پولي مورد انتظار همان اميد رياضي است . )توزيع نرمال

اسلاید 247: فرض كنيد تصميم گيرنده اي گزينۀ ممكن ، ، ... و داشته و با حالت طبيعت ، ، ... و مواجه باشد . اگر بازده ناشي از انتخاب گزينه و وقوع طبيعت بوده و احتمال و قوع امين حالت طبيعت باشد ( بطوري كه ) . توزيع نرمال

اسلاید 248: آنگاه ارزش پولي مورد انتظار گزينه ( ) از فرمول زير محاسبه مي شود . توزيع نرمال

اسلاید 249: مثال 9-6 جدول بازده زير و احتمالات حالات طبيعت آن را در نظر گرفته بهترين گزينه را در شرايط ريسك بدست مي آوريم .توزيع نرمالارقام به هزار ريال

اسلاید 250: را براي هر مورد محاسبه مي كنيم ( ارقام به هزار ريال است )توزيع نرمالگزينه برتر ، فرايند توليدي است .

اسلاید 251: ارزش مورد انتظار اطلاعات كامل ارزش مورد انتظار با اطلاعات كامل ، بازده مورد انتظار است اگر اطلاعات كامل قبل از اخذ تصميم موجود باشد .ارزش مورد انتظار اطلاعات كامل را با نشان مي دهيم .توزيع نرمال

اسلاید 252: ارزش مورد انتظار با اطلاعات كامل از رابطه زير بدست مي آيد :كه در آن بهترين بازده تمامي گزينه هاي حالت طبيعت ام و احتمال وقوع حالت طبيعت است .ارزش مورد انتظار اطلاعات كامل از رابطه زير بدست مي آيد .توزيع نرمالارزش مورد انتظار اطلاعات كامل كه در آن ارزش مورد انتظار بهترين گزينه است .

اسلاید 253: مثال 9-7 براي جدول بازده مثال 9-6 ارزش اطلاعات كامل را بدست مي آوريم : بدون اطلاعات كامل ( تحت شرايط ريسك ) بهترين گزينه پولي مورد انتظار برابر 147 هزار ريال است يعنيتوزيع نرمال = ارزش اطلاعات كامل ارزش اطلاعات كامل برابر 5500 ريال است

اسلاید 254: پايانموفق باشيد