آنسامبل کانونی بزرگ

آنسامبل کانونی بزرگ

اسلاید 1: 1

اسلاید 2: 2سمينار مكانيك آماري پيشرفته يكاستاد: آقاي دكتر جلالي ارائه دهندگان : نسيم سياف معصومه ياراحمدي هاجر رزاقي مريم زهرايي

اسلاید 3: فصل چهارم آنسامبل كانوني بزرگ

اسلاید 4: 4در فصل گذشته ما اساس آنسامبل كانوني را توسعه داديم و طرحي از عملگرها را براي به دست آوردن خواص ترموديناميكي گوناگون سيستم هاي فيزيكي داده شده برقرار كرديم. اهميت اين روش از مثال هايي كه در آن جا بحث شده است كاملاً مشخص است.اين مسائل با مطالعات بعدي كه در كتاب پتريا آمده خيلي بيشتر روشن و قابل درك مي گردد. اگر چه براي يك تعدادي از مسائل چه فيزيكي چه شيميايي آنسامبل كانوني محدود مي شود و مفيد نيست ولي در حالت كلي شرايط ايجاب مي كند كه بيشتر به اين آنسامبل توجه كنيم وآن را تعميم دهيم.همان طوري كه با تعميم آنسامبل ميكروكانوني به آنسامبل كانوني مي رسيم. حالا نيز يك تعميم براي آنسامبل كانوني مفيد است و اين قدم بعدي اي است كه بايد طي كنيم.آنسامبل كانوني بزرگ

اسلاید 5: 5ما بايد بدانيم كه اندازه گيري نه فقط انرژي يك سيستم بلكه تعداد ذرات تشكيل دهنده يك سيستم نيز به طور مستقيم به همان اندازه سخت و پردردسر است.ما فقط مي توانيم به واسطة بررسي غيرمستقيم سيستم آن ها را تخمين بزنيم.بنابراين ما هر دو كميت E , N را به عنوان متغيرهايي در نظر مي گيريم و مقادير چشم داشتي <E> , <N> را به كمك مطابقت دادن با كميت هاي ترموديناميكي تعيين مي كنيم.طرز عمل براي مطالعة آماري كميت هاي E , N كاملاً بديهي است. در ابتدا 1) فرض مي كنيم كه سيستم A را داريم كه در يك منبع حرارتي بزرگ َ Aغوطه ور است و مي توانند با هم به تبادل انرژي و هم تبادل ذره بپردازند و يا 2) آن را به عنوان عضوي از آنچه كه ما آنسامبل كانوني بزرگ مي ناميم در نظر مي گيريم كه شامل يك دستگاه A و نيز يك تعداد زيادي از كپي هاي متعلق به آن است (البته به طور ذهني) كه اعضاي اين آنسامبل يك تعادل دو طرفه ، انرژي وذره را مي توانند با هم انجام دهند و در نهايت به نتايج يكساني خواهد رسيد.

اسلاید 6: 6تعادل بين يك سيستم و يك منبع انرژي – ذره (4-1)ما يك دستگاه داده شده A را كه در يك منبع حرارتي بزرگ َA غوطه ور است. در نظر مي گيريم كه مي توانند به مبادلة انرژي و ذره با هم بپردازند (شكل 1-4 را مشاهده كنيد)بعد از مدتي، فرض مي شود كه دستگاه و منبع حرارتي به يك حالت تعادل متقابل مي رسند. سپس فرض مي كنيم كه دستگاه و منبع حرارتي داراي يك دماي مشترك T و يك پتانسيل شيميايي مشترك هستند.كسر تعداد كل ذرات و انرژي كل ذرات كه دستگاه A در هر زمان t مي تواند داشته باشد متغير است (به طوري كه كميت هاي آن در واقع يك جايي بين صفر و يك قرار مي گيرند)در يك لحظة خاص كه دستگاه A در يكي از حالت هاي خودش است تعداد ذرات آن Nr و مقداري انرژي آن ES است در حالي كه تعداد ذرات در منبع حرارتي و انرژي آن است.Nr+Nr = N(0) = const (1) ; ES + ES = E(0) = cont (2)

اسلاید 7: 7در يك همچنين حالتي به زمانيكه منبع حرارتي بسيار بزرگتر از دستگاه داده شده A فرض مي شود، كميت هاي Nr و Es كه اهميت عملي (تجربي) پيدا مي كنند، كسر بسيار كوچكي از كل و را شامل مي شوند بنابراين براي تمام اهداف عملي:هم اكنون احتمال Pr,s كه در هر زمان t، دستگاه A در حالت (Nr, Es) مي تواند داشته باشد به طور مستقيم متناسب است با تعداد حالت هاي ميكروسكپي كه منبع حرارتي مي تواند داشته باشد در حالي كه حالت ماكروسكوپيك را داراست. مي دانيم كه:

اسلاید 8: 8بنابراين داريم:

اسلاید 9: 9به كمك رابطة (3 و 4) مي توان بسط را تشكيل داد و داريم:

اسلاید 10: 10از رابطة (5 و 6) داريم:

اسلاید 11: 11در حاليكه از قبل ميدانيم:

اسلاید 12: 12اگر آن را نرماليزه كنيم داريم:منظور از جمع روي r , s ، جمع روي كلية حالت هاي (Nr , Es) قابل دسترس براي دستگاه A است بايد توجه كرد كه بيان نهايي تابع احتمال Pr,s از انتخاب منبع حرارتي مستقل است.

اسلاید 13: 13يك سيستم در آنسامبل كانوني بزرگ (4.2)ما هم اكنون مي توانيم آنسامبلي (مجموعه اي از) N سيستم يكسان (كه البته مي توانند از N1 1,2….) برچسب زده شوند) و به طور متقابل در تعداد كل ذرات و انرژي كل NE سهيم است را متصور شديم.حال nr,s بر تعداد سيستم هايي كه در هر زمان t با تعداد ذرات Nr و مقدار انرژي Es كه (r,s=0,1,2…) مي تواند وجود داشته باشد دلالت مي كند. پس آشكارا

اسلاید 14: 14هر بسطي از كه بتواند شرايط اجباري را ارضاء كند، يكي از حالت هاي ممكن توزيع ذرات و انرژي در بين اعضاي آنسامبل را به ما نشان مي دهد.به علاوه هر حالتي از توزيع ذره و انرژي با شرايط بالا مي تواند از راه هاي گوناگون به دست آيد به طوري كه:ما هم اكنون حالتي از توزيع با بيشترين احتمال را به صورت تعريف مي كنيم به عنوان حالتي كه آن يا به عبارتي تابع وزن آن ماكزيمم است. يعني تعداد راه هاي بازنويسي آن بيشينه است و در يك زمان همة شرايط اجباري (1) را ارضاء مي كند.

اسلاید 15: 15براي محاسبة كافي است w را ماكزيمم كنيم.از رابطه ln مي گيريم:

اسلاید 16: 16مي دانيم كه از (1 a) داريم: مي خواهيم ماكزيمم حالت را بيابيم.

اسلاید 17: 17شرايط به قرار زير است و بايد آن ها را وردش داد.

اسلاید 18: 18اولين جمله را - برابر و دومين جمله را برابر و سومين جمله را برابر كرده و با جمع مي كنيم.

اسلاید 19: 19

اسلاید 20: 20از (a1) داريم:

اسلاید 21: 21در رابطة * جايگزين مي كنيم مي دانيم كه مقدار چشم داشتي <nr,s> از رابطة زير به دست مي آيد.

اسلاید 22: 22در حالي كه اين مجموع روي تمام توزيع حالت هايي است كه شرايط (1) را ارضاء كند. در نهايت خواهيم داشت: (5)از معادلة (1b) داريم.

اسلاید 23: 23به كمك رابطة (*‘)

اسلاید 24: 24و از معادلة (1c) داريم به كمك رابطة (*)

اسلاید 25: 25

اسلاید 26: 26

اسلاید 27: 27اهميت فيزيكي كميت هاي آماري گوناگون (4-3)براي برقراري ارتباطي بين بخش آماري در آنسامبل كانوني بزرگ و ترموديناميك سيستم تحت مطالعه كميت q را به صورت زير معرفي مي كنيم.كميت q تابع پارامترهاي و همة E ها است. اگر از q ديفرانسيل بگيريم و از فرمولهاي 4-2-4 و 25-4 و 7-2-4 استفاده كنيم به دست خواهيم آورد.

اسلاید 28: 28

اسلاید 29: 29تفسيري كه براي اين عبارت و پرانتز سمت راست مي توان كرد اين است كه در مقايسه نزديك و تناظر با قانون اول ترموديناميك است.هر يك از سمبل هاي بالا معناي خود را دارد.

اسلاید 30: 30پارامتر فاكتور مكمل گرما است از اين رو بايد هم ارز و معادل عكس دما باشد.بنابراين ابتدا حدس مي زنيم بتوان آن را به صورت زير نوشت.از اينرو كميت در تناظر با متغير ترموديناميكي مي شود. از اين رو ما شكل زير را براي پتانسيل q به دست مي آوريم:

اسلاید 31: 31به هر حال برابر است با G و انرژي آزاد گيبس سيستم، كه برابر است، و ما به دست مي آوريم.

اسلاید 32: 32معادله (10) بيانگر ارتباط اساسي مابين ترموديناميك سيستم و آمار مطابق با آنسامبل كانوني بزرگ است. و اين فرمول يك فرمول اساسي براي اين فصل است و ارتباط مهمي را به دست آورديم.براي به دست آوردن اطلاعات ترموديناميكي بيشتر، ما ترجيح مي دهيم كه پارامتر z را به صورت زير تعريف كنيم.پارامتر z به fugacity و يا به عبارتي تمايل پذيري (واكنش پذيري) سيستم بر مي گردد. اگر زياد شود z نيز زياد مي شود و اگر z زياد شود نمي توان به سيستم ذره داده ونه از سيستم ذره گرفت زيرا z زياد نتيجه بالا بودن پتانسيل شيميايي است.با توجه به تعريف z، پتانسيل q فرم زير را مي گيرد.

اسلاید 33: 33بنابراين ممكن است بتوان نوشت (14)تابع پارش آنسامبل كانوني بزرگ بايد توجه شود كه براي رفتن از فرمول (12) به (13) ما جمع بر روي همه مقادير از Es در حالي كه Nr را ثابت گرفته ايم انجام شده است و در بستگي آن به V از بستگي به Es و اينكه E ها به V بستگي دارند مي آيد.

اسلاید 34: 34بايد توجه شود كه براي رفتن از فرمول (12) به (13) ما جمع بر روي همه مقادير از Es در حالي كه Nr را ثابت گرفته ايم انجام شده است و در بستگي آن به Vاز بستگي به Es و اينكه E ها به V بستگي دارند مي آيد.و براي رفتن از (13) به (14)، (به طور ذهني) جمع دار بر روي همة Nr ها از 0 تا ....... انجام داده و از اين رو تابع پارش بزرگ را نوشته ايم. پتانسيل q كه با شناخته شد به صورت لگاريتم تابع پارش بزرگ داده شده است.ديده مي شود كه براي به دست آمدن بايد تابع پارشي را به دست آورد و ما اكنون به دنبال اين هستيم كه دستورالعمل كاملي براي به دست آوردن كميت هاي ترموديناميكي از پتانسيل q بنويسيم. اول از همه براي فشار در سيستم داريم.

اسلاید 35: 35در قدم بعدي براي براي و با كمك گرفتن از 4-2-4 و 5-2-4 و (11)

اسلاید 36: 36

اسلاید 37: 37حذف Z بين معادله هاي (16) و (17) معادله حالت سيستم يعني ارتباط بين (T,V,P) را حاصل مي كند. از طرف ديگر حذف Z بين معادلات (17) و (18)، U را به صورت تابعي از T , V , N مي دهد. از اين رو به آساني مي توان گرماي ويژه در حجم ثابت يعني را محاسبه كرد. انرژي آزاد هلمولتز به وسيله فرمول زير داده مي شود.

اسلاید 38: 38كه قابل مقايسه با فرمول آنسامبل كانوني است كه در آنسامبل كانوني به دست آورديم. در نهايت ما براي آنتريوپي سيستم داريم.

اسلاید 39: 39براي پيدا كردن از فرمول هاي روبرو استفاده مي كنيم.

اسلاید 40: 40از طرفيمعادله اصلي ترموديناميك

اسلاید 41: 41

اسلاید 42: 424. مثالها 4در اين قسمت دو مثال ساده را بيان مي كنيم و هدف ما اين است كه نشان دهيم اين كه آنسامبل نتايجي شبيه به آنسامبل هاي ديگر مي دهد اما اين مثال ها بيان كنندة توانايي آنسامبل كانوني بزرگ نيست توانايي واقعي اين آنسامبل زماني كه با مسائل و مثالهايي كه با تأثير آماركوانتومي و يا سيستم هايي كه داراي برهم كنش هاي داخلي هستند آشكار مي شود و اين مسائل در فصل 6 ديده مي شود. اولين مسئله كه بررسي مي كنيم گاز ايده آل است. در بخش 5 . 3 نشان داديم كه تابع پارش اين سيستم به صورت روبرو نوشته مي شود. (1) در حالي كه تابع پارش مربوط به يك تك ذره در سيستم است. اول از همه ما بايد توجه كنيم كه رابطه (1) مربوط به حالتي بدون هيچ محدوديتي بر روي حركت ذرات است. حركت و رتبه حركت اگر وجود داشته باشند. بر روي نتيجه نهايي از طريق اثر مي گذارد. و بايد توجه كرد عامل N! در مخرج از اين حقيقت كه ذرات تميز ناپذير هستند و اين تميز ناپذيري ارتباط نزديكي با غير localized بودن ذرات دارد و در اين حالت از آنجا كه

اسلاید 43: 43كه ذرات در هر جايي از فضا قرار مي گيرند تابع به صورت مستقيم متناسب است با V: (2) و f(T) تابع دما است. تابع پارتيشن بزرگ گاز به صورت:

اسلاید 44: 44فرمول هاي 4-3-16 تا 4-3-20ما را به نتايج زير مي رساند.

اسلاید 45: 45از قبل داريمبا حذف Z بين معادلات (5) و (6)و توجه شود كه در رابطة (10) نيازي به تابع f(T) نيست.

اسلاید 46: 46با حذف Z بين (6) و (7)

اسلاید 47: 47با حذف Z بين (6) و (11)ديده مي شود كه براي به بدست آوردن Cv نياز به تابع f(T) داريم. در يك نمونة ساده تابع f(T) به طور مستقيم با T متناسب است و حال اگر ، روابط (11) و (12) به صورت زير يعني ( َ11) و ( َ12) تغيير مي كند.

اسلاید 48: 48( َ11) ( َ12) از طرفي فشار متناسب است با دانسيتة انرژي گاز و ثابت تناسب است.قابل يادآوري است كه اگر باشد مطابق است با گاز غير نسبيتي و هنگامي كه 3 = n است مطابق با يك نمونه نسبيتي مي شود.با حذف z بين (6) و (8) و (9) مي توان A و S را به صورت تابعي از T,V,N به دست آورد.مسئله بعدي كه بررسي مي كنيم يك ذره localized شده است كه مانند يك جامد بلوري است، و اين سيستم شبيه به يك سيستم نوسانگر هارمونيك است.

اسلاید 49: 49يك همچنين سيستمي همانند يك سيستم تميز پذير است زيرا هر يك از ذرات localized شده اند و براي نوشتن نيازي به تقسيم به N! نيست. و تابع پارش سيستم به صورت زير نوشته مي شود.(13) و از نقطه نظر localized بودن ذرات و اين كه ارتعاشات ضعيفي دارند حجمي را به خود اختصاص نداده، و تابع پارش يك ذره اساساً مستقل از حجم است. بنابراين مي توان نوشت.(14)و تنها تابع دما است. تابع پارش بزرگ سيستم به صورت زير است.(15)

اسلاید 50: 50كه در معادله بالا داراي توان 1- است و در واقع نتيجه، يك تصاعد هندسي بر روي است:ترموديناميك سيستم به صورتي مستقيم از رابطه (15) بدست مي آيد.از آنجائي كه هر دو متغير Z , T، متغيرهاي Intensive هستند. سمت راست معادله (16) هنگامي كه ، به صفر مي گرايد. بنابراين در حد ترموديناميكي P = 0 براي ديگر كميتهاي مورد نظر به كمك معادله 4.3.17 و 4.3.20 به دست مي آوريم:از آنجائيكه هر دو متغير Z,T ، متغيرهاي Intensive هستند، سمت راست معادله (16)هنگاميكه ، به صفر مي‌گرايد.بنابراين در حد ترموديناميكي براي ديگر كميتهاي مورد نظر به كمك معادله‌هاي و بدست مي آوريم.

اسلاید 51: 51واز معادله (17) بدست مي‌‌آوريم.

اسلاید 52: 52و به دنبال آن :معادله‌هاي ( 17 )تا ( 20)به ما مي‌دهد :و و با جايگزين كردن

اسلاید 53: 53در اين فرمولها، نتايج مربوط به يك سيستم مكانيك كوانتومي،نوسانگرهاي هماهنگ يك بعدي را بدست مي‌آوريم.با جايگزيني در طرف ديگر به نتايج مربوط به يك سيستم كلاسيكي، نوسانگرهاي هماهنگ يك بعدي منجر مي‌شود در اينجا مسأله تعادل جامد- گاز را بيان مي‌كنيم.يك سيستم داراي دو فاز جامد وگاز در حالت تعادل را در نظر مي گيريم كه در يك محفظه بسته به حجمv و به دمايT قرار دارند.از آنجائيكه فازها آزادند تا ذره تبادل كنند يك حالت تعادل دو طرفه هنگاميكه پتانسيل شيميايي آنها برابر باشند- برقرار مي‌شود.اين در حقيقت به معناي آن است كه آنها يك fugacity مشابه دارند اكنونZg، fugacity فاز گازي به وسيله رابطه زير معين مي‌شود. كه تعداد ذرات فاز گازي و حجم اشغال شده به وسيله آنهاست.

اسلاید 54: 54در موارد نوعي، فوگاسيتي فاز جامد در طرف ديگر بوسيله معادله(21) معين مي‌شود.از معادل قرار دادن(25)و(26) وبراي چگالي ذرات در فاز گازي در حالت تعادل بدست مي‌آوريم.اكنون چگالي در فاز گازي به حد كافي پايين و دماي سيستم به حد كافي بالاست فشارگاز بوسيله رابطه زير معين مي شود.اگر فرض كنيم گاز تك اتمي باشد تابع بفرم زير در مي‌آيد:

اسلاید 55: 55به عبارت ديگر اگر فاز جامد بتواند به وسيله يك مجموعه نوسانگرهاي هماهنگ سه بعدي تقريب زده شود بوسيله يك تك فركانس (مدل انيشتين)مشخص مي‌شود تابع بصورت زير درمي‌آيد:بهر حال يك تفاوت مهم در اينجا وجود دارد: يك اتم در يك جامد بيش از يك اتمي كه آزاد است مقيد است كه اين دليل اينست كه يك آستانه انرژي معين نيازمند به تغيير شكل يك جامد به اتمهاي مجزا مي‌باشد. اجازه دهيد را بصورت مقدار اين انرژي در هر اتم كه صفر طيف انرژي و كه به توابع (29)و(30)منجر مي‌شود كه نسبت به هم‌ديگر به وسيله يك مقدار جايگزين شدند، تعريف كنيم.در نهايت براي فشار گاز بدست مي‌آوريم.

اسلاید 56: 56از آنجا كه و همچنين پس داريم:و از (27) داريم:ما توجه مي‌كنيم كه معادله همچنين شرايط لازم براي شكل‌گيري فاز جامد را به ما مي‌دهد. شرايط به وضوح اين چنين است كه تعداد كل ذرات در سيستم است. ما نياز داريم كه (33)كه يك دماي مشخصه است كه بوسيله رابطه (34) تعيين مي‌شود. هنگاميكه دو فاز ظاهر مي‌شوند تعداد يك مقداري كه بوسيله معادله(27) تعيين مي‌شود خواهد داشت. در حاليكه باقيمانده فاز جامد را تشكيل خواهد داد.

اسلاید 57: 575 . 4 چگالي و افت و خيز انرژي در آنسامبل كانوني بزرگمتناظر با ديگر آنسامبل‌هادر آنسامبل كانوني بزرگ متغيرهايNو E براي هر عضو آنسامبل مي‌تواند بين تا قرار داشته باشد بنابراين، آنسامبل كانوني بزرگ بسيار متفاوت از آنسامبل‌هاي قبلي (آنسامبل كانوني و آنسامبل ميكروكانوني)ظاهر مي‌شود.به هر حال تا آن‌جا كه به ترموديناميك مربوط مي‌شود نتايج به دست آمده از اين آنسامبل مشابه با دو آنسامبل ديگر به دست مي‌آيد.بنابراين علي رغم تفاوت‌هاي ظاهري، رفتارعمومي يك سيستم فيزيكي معين، عملاً چه متعلق به يك نوع آنسامبل باشد يا نوع ديگر مشابه است.دليل اصلي براي اين، اين است كه «افت و خيز نسبي»در مقادير كميت‌هايي كه از عضوي به عضو ديگر در آنسامبل متفاوت اند، اساساً قابل چشم‌پوشي است.بنابراين علي رغم محدوديت هاي متفاوتي كه آنسامبل‌هاي مختلف براي يك سيستم فيزيكي معين فراهم مي‌كنند رفتار كلي سيستم به طور مشخص تحت تأثير قرار نمي‌گيرد.

اسلاید 58: 58براي فهم اين مطالب ما در اين جا افت و خيز نسبي در چگاليn وE يك سيستم فيزيكي معين در آنسامبل كانوني بزرگ را ارزيابي مي‌كنيم.يادآوري مي‌كنيم كه : ( 1)پس داريم :

اسلاید 59: 59كه از آن نتيجه مي‌شود :(2) بنابراين :(3) از (3) براي ميانگين مربعي افت وخيز نسبي در چگالي ذرات به دست مي‌آوريم(4) و اگر آن را بر حسب متغير بنويسيم خواهيم داشت : (5)

اسلاید 60: 60براي نوشتن اين نتيجه به شكل آشناتر ما رابطة ترموديناميكي زير را يادآوري مي‌كنيم:(6) كه اثبات آن به صورت زير است:از طرفي: پس: و از آنجا:

اسلاید 61: 61بر اساس اين كه (در دماي ثابت)= ، معادلة (5)به شكل زير درمي‌آيد:(7) كه در آن ، تراكم پذيري همدماي سيستم را نشان مي‌دهد.بنابراين ريشه ميانگين مربعي افت و خيز در چگالي ذرات سيستم از مرتبة است و بنابراين قابل صرف نظر است.به هر حال استثناءهايي مي‌تواندوجود داشته باشد. مانند آنچه برخورد مي‌كنيم با آن درموقعيتي كه انتقال فاز وجود دارد.دراين موقعيت‌ها تراكم پذيري يك سيستم معين مي‌تواند خيلي بزرگ شود.كه در سيستم‌هاي هم دما بوقوع مي‌پيوندد.تحت اين شرايط استخراج و لذا كميت مي تواند از مرتبة باشد.در نتيجه ريشه ميانگين مربعي افت وخيز ذرات مي‌تواند از مرتبة (1) باشد.بنابراين در نواحي انتقال فاز مخصوصاً در نقاط بحراني ما انتظار مواجهه با افت و خيزهاي بزرگ در چگالي ذرات سيستم به طور نامعمول را داريم.

اسلاید 62: 62واضح است كه تحت اين شرايط فرمول بندي آنسامبل كانوني بزرگ مي‌تواند اساساً به نتايجي كه لزوماً مشابه با آنچه از آنسامبل كانوني نظير به دست مي‌آيد منجر شود .در چنين مواردي اين فرمول بندي آنسامبل كانوني بزرگ است كه ترجيح داده مي‌شود زيرا اين تصوير صحيحي از موقعيت فيزيكي واقعي فراهم خواهد كرد. اكنون ما بايد افت و خيز در انرژي سيستم را بررسي كنيم.بر اساس روش معمول به دست مي‌آوريم:(8) براي اين كه معادلة(8) به شكل قابل فهم‌تري دربيايد مي‌نويسيم:(9)

اسلاید 63: 63كه در آن نماد به جاي مورد استفاده قرار گرفته است براساس اين حقيقت كه (10) داريم :(11)و بنابراين :(12) چون:

اسلاید 64: 64از طرفي: پس: پس: كه در رابطة بالا از عبارت زير استفاده كرده ايم:

اسلاید 65: 65كه اثبات آن به صورت زير است:پس: از طرفي:چون A ديفرانسيل كامل است:

اسلاید 66: 66پس: و به رابطة مورد نظر يعني: مي رسيم.با جايگذاري عبارت (9) و (12)در (8)ويادآوري اين كه كميت همان كميت آشناي است به دست مي‌آوريم.(13)

اسلاید 67: 67در نهايت از معادلات 3 . 6 . 3 و (3) به دست مي‌آوريم:(14) فرمول (14) نكات مفيدي را در بردارد اين فرمول به ما مي‌گويد كه ميانگين مربعي افت و خيز در انرژي E سيستم معين درآنسامبل كانوني بزرگ برابر با مقدار آن درآنسامبل كانوني به علاوه يك توزيع ناشي از اين حقيقت كه اكنون تعداد ذرات N همچنين درحالت افت و خيز است مي‌باشد.دوباره تحت شرايط عادي ريشه ميانگين مربعي افت و خيز در چگالي انرژي سيستم در عمل قابل چشم پوشي است.به هر حال در نواحي انتقال فاز، افت وخيز بزرگ غيرعادي در مقدار اين متغير مي‌تواند ناشي از جمله دوم فرمول باشد.

اسلاید 68: 68با تشكراز شما