اصول مهندسی زلزله

صفحه 1:


صفحه 2:
ینامیکی ساز ۱ ‎OU ....‏ به سه روش مختلف می توان به ت ۲ ‎ue‏ می توان به تحلیل سازه های مقاوم در برابر نیروی زلزله 6 برابر نیروی زا روش‌آیین امه لعیاشبه لستاتیکی- 4 8 روش‌طیفی‌باشبه دیامیکی- 5 6 روش‌معمول‌دینامیکی- 0 © 

صفحه 3:
انواع تغيير شكل هنكام ارتعاش الف - محوری ب - خمشی ج - برشی د 

صفحه 4:
ورد تک ©6 © تغداد. مختصات مستقل مورد نياز جهت تعيين موقعيت يك جرم مرتعش ادر هر © لحظه »درجات آزادى آن جرم به شمار مى آيد ۱ ۱ 1 ۱ \ 0-0 دو درجه آزادی شش درجه ‎gals T‏ یک درجهآ زادی درجات آزادی سیستم های مختلف 

صفحه 5:
یک جرم در انتهای یک ستون یا یک جرم روی چند چرخ و متصل به یک فنر و یک .میراکننده (کمک فنر) مطابق شکل در نظر گرفته می شود جرم در انتهای‌ستون 

صفحه 6:
اگر جرم به اندازه ۰ لحتی ارتجاعی ستون در حالك لول دش 6 فنر در حالت دوم باعث برگشت به وضعیت اولیه جرم خواهد شد. نیروی اعمالی فوق توسط ستون یا فنر تابع تفییر مکان بوده و نیروی فنر يا نیروی سختی نامیده می 0 اين جرم با يك سرعت معين به وضيعت اوليه بركشته و به طرف ديكر متمايل مى © شود و در حقیقت ارتعاش می نماید . اكر سيستم داراى رفتار ارتجاعى باشد و هيج اتلاف انرژی صورت نگیرد. جرم همچنان ارتعاش خواهد کرد. ولی در عمل اصطکاک با هواء اصطکاک بین اجزا سیستم یا اتصالات. گسیختگی مصالح و غیره . باعث اتلاف .انرژی می شوند . بطوریکه ارتعاش سیستم پس از چند لحظه مستهلک می گردد أليروقايي ‎Biel. AF‏ استهلاك ‎uel‏ ولك انيروهاى: ميرائ 'تاميناه: من شود © 

صفحه 7:
معادله حرکت یک سیستم یک درجه آزادی يك جرم «که توسط یک فنر و یک کمک فنر به تکیه گاه متصل می باشد يا يك © سیستم با رفتار ارتجاعی نظیر قاب شکل زیر . که تحت اثر نیروی (6تابع زمان قرار دارند. در نظر گرفته می شود. اگر تغییر مکان " بطرف راست باشد. نیروی فنر موثر بر جرم به سمت چپ و بنابراین دارای علامت منفی خواهد بود. بطور مشابه نیروی میرائی در جهت خلاف سرعت بوده و بنابراین به سمت چپ عمل می کند. اگر دیاگرام آزاد : سیستم جرم در نظر گرفته شود . نیروهای موثر عبارتند از © @W) —hu- od با توجه به قانون دوم نیوتن این نیروها برابر جرم ضرب در شتاب می ‎BY‏ پس © : معادله حرکت به شرح زیر خواهد بود ‎wi =R(i) —hu ot‏ © ‎eu‏ (60 دده ند + نه © 

صفحه 8:
‎Salat‏ فلت مدل جرم و فشر مييرا كر ‎va ‎ku ‏پیکره آزاد سیستم 

صفحه 9:
آزاد دستگاه رجه آزادى فاقد ميرائ برای حل معادلهدیفرانسیل )0( بیستی ‎SEV ay Aa ab gidyal‏ © .آزاد) و جواب عمومی معادله را 0 درخسن +ن © ‎cos Wt‏ 06 + ألن كك 09 >(1)ن اك :شرايط اولي يصورت تفيين مكان اولیه " و سرعت اولیه * در نظر كرفته شود. 6 :معادله فوق بصورت زير در مى آيد النا عدف + ‎«(t= (G/U) sie Wt‏ 

صفحه 10:
© از روابط 00 فوق را می توان 8 \ ۱ ‎sf‏ سس 49 =|" +(4)sinot+a) 6 a =Arctgl v 2 (م مهمه رتك + شم - من Vv B= Arctg 

صفحه 11:
T= 2en0 

صفحه 12:
اد د عل اله ‎١ gee‏ © © ‏وجود نیروی ميرائى و بدون طرف ثانى (ارتعاش آزاد) حل مى كنيم‎ SELL) iste: O mi tr th=O OG + (Cho) + (hho =O St u=ce ۰ > 063+ © 5+) =0 m 

صفحه 13:
©. © © ددن بو ك+ 0 3 30 -- 0 * برد < 5 آن ضریب میرائی که مقدار زیر رادیکال را برابر صفر نماید . ضریب میرائی بحرانی 6 :دستگاه نامیده می شود و برابر است با رباع مه 2m 

صفحه 14:
در کل سه حالت در مورد ضریب میرائی پیش می آید: ول)<6) حالت فوق بحرانی > 7 (>) حالت زير ات 

صفحه 15:
حالتی که اکثرا در سازه ها بوجود می آید حالت زیر بحرانق ‎BOS Pr‏ لين © كال البارنماش آزاه دسلاگ نی خواهد بود در عمل معمولا مقدار میرائی در سازه ها بصورت درصد يا نسبت 2 /5-0 بيان مى ۰ :شود. یعنی 0۳6۵ بنابراین مقداگ از رابطه (۳) برایر است با © 3 (2ع-۱/)0سطسع- > (2-0ع) ااسعسع- > ‎G=-Ewsy ((Ew)?-w?)‏ © اگر عبارت 6 (0-2)احب »© ‎OL.‏ يعنى تواتر زاويه اى ارتعاش آزاد با ميرائى نمايش داده شود © ‎G=-w§tiwd‏ © 

صفحه 16:
© ۱ 06 © ‏در معاد‎ oe u(t)=6 €'( ge? + ge A) با استفاده از روابط مثلثاتی و رابطه اولر . جواب ارتعاش آزاد با میرائی دستگاه یک درجه آزادی به 6 :شرح زیر ساده می شود Ub =e" WtSeh “S00 sinw,t ‏رت‎ 00929 d 

صفحه 17:


صفحه 18:
Oe he — £2 © wiitnithe =P. sta OF : معادله دیفرانسیل فوق دارای یک جواب عمومی و یک جواب خصوصی به شرح زیر می باشد u, =6*""(Acogn,t+ A.sinn,f) 2 -1/.س- يمه هدم 256 - مصلل 6 حل اج إن ‎(ep)? + (26‏ 6 ”م وه - 9 =AsinQt- ¢) 

صفحه 19:
معادله حرکت د: آزادی تحت اثر نیروی هاره میرائی مجموع و" عمال شرایط اولیه جهت تعیب ‎ee‏ نبه شرح ذیل خواهد بود ‎Sut ۲ R 5100 ¢)‏ - ‎sas‏ اف روم ترم ع ‎u(t) =e (A cosw,t+ A, sinw jt) + K‏ : ضريب بزركنمائى ديناميك در اين حالت برابر است با pa taal - 1 [۰)۵۵۵ ۶۳ 0 دين ۶ 

صفحه 20:
7 فریب بزرگنما یی دینا میکی 

صفحه 21:
۵) ( ۵ اگر مدل تحلیلی و ریاضی یک سازه با تعدادى بيشتر از الك سوم سيج الب قا قن لها و چرخش آزاد هر یک از اجرام. درجه آزاد براى أن سیستم میم حافا ت. حال اگر تعادل هر : یک از جرم ها جداگانه مورد بررسی قرار گیرد . معادله هر یک به صورت زیر در می آيد ۵ 2 یه + ی + : زير نويسع نشانگر درجه آزادیا ام است. در معادله فوق داریم © oo ۱ ‏ا‎ ‏نش مه‎ ee oh ۱ ‏له‎ se 

صفحه 22:
ایا بصورت خلاصه تر زیر می توان نوشت 

صفحه 23:
‎ses ahs‏ خن ‎Ky‏ كه عبارت انست از یر | شده ۱ توسط یک تغییر درجه آزادی یا نقطه آدر حالتی ‎cal aE)‏ كان با داشت ‎J‏ ی ‎= Ky + Kyu, tnt Kyu, ‎4 ‎fy = Ky * Ky ‏تست‎ Ku, 

صفحه 24:
st الى نيروى مُيرائ بصورت فيروى أن )= 3 اهيم 5 اماد ها ‎Shale ale ask [ls‏ بردار سرعت ‎fo‏ بردار نيروى ميرائى است 

صفحه 25:
تس کلی درجات زوس درجه آزادی نوشته شود. خواهی ور ا- ای + اواج ما نو در نهایت معادلهدینامیکی سیستم چند درجه آزادی ۰ بصورت ماتریسی ذیل نوشته می شود ۳ 

صفحه 26:
[ ۰ )تواتر زاويه اى ارتعاش و مودها ی نابهکنه -معادله دیفرانسیل:0)_را بذون طرف نی و در حالت بدون میرایی بررسی می کنیم © ) : جواب این معادله دیفرانسیل ماتریسی بصورت زیر در نظر گرفته می شود : مشتق دوم عبارت فوق بصورت زیر است [or] {4} + [0] (4) = {0} 00 ۰ {u} = {a} vin (Wi + 8) 9 {G} = -w? sia (wt + 6( © ‏با قرار دادن مقادیر فوق در معادل(٩) داریم‎ : -)? [ev] fa} vier (Wt + 9( + [CK] {a} ict (Wi + 8) = {O} Grave via (Wt + 8)#O » [CK] {a} - w? [er] {a} = {O} : به شکل ساده شده زیر داریم: © معادله اخیر . معادله مقادیر مشخصه بوده و می توا تعداد درجات آزادی » تواتر زاویه ای لا IK] - wf] {} = {0} () و بردار مود مربوطه بدست می آید ن آنرا به روشهای گوناگون حل کرد و در نتبجه به © 

صفحه 27:
حافك ت که لز حل معاد! ‎ge‏ ها ‎Jee)‏ می شود ۰ لق دامنه ارتعاش ب نكتنه : يس از تشكيل دترمینان ماتریس [[0*۳۳" - ‎UN‏ و برابر صفر قرار دادن آن, مقادیر ۵ © حاصل مى شود . بايد دقت داشت که کوچکترین تواتر زاويه اى يك سيستم جند درجه آزادی , + مود اول و به همین ترتیب تواترهای دیگر به ترتیب بزرگی نامگذاری شوند 029222 

صفحه 28:
@ © 3 teat © ‏یکی از روابط ریاضی مهم و مفید که مودهای ارتعاشی سیستم های چند درجه آزادی دارند :رابطه‎ ‎lege als‏ پیت به ماتریتن بچزم ومادزیشاسخی اس این خاضیت:دارای کاربره اسایتی دز .روش آناليز مودال سيستمهاى جند درجه آزادى مى باشد براى مثال با فرض دو مود < و و انجام برخی عملیات ماتریسی (لستفاده از ترلنسپوزه برداری © :و ...) رابطه تعامد مودها نسبت به ماتريس جرم بين دو مود فوق به صورت زير خواهد بود _- 11 ‎{o,} Ll @,} =0‏ : به طریق مشابه نسبت به ماتریس سختی داریم ‏ 6 ‎0۹ @,}=0 ‏.که تعامد مودها نسیت به ماتریس سختی را بیان می کند © 

صفحه 29:
© فوق فقط از ۲ خواهیم. ۳ ‎e‏ / 4۸( ]تم 1( 10] زره .رابطه اول بيانكر جرم مودى در مودا؛ ام و رابطه دوم نشانگر سختی در آن مود می باشد از جرم مودی در روش تحلیل شبه دینامیکی یا طیفی و برای محاسبه ی وزن موثر مودی استفاده خواهد -شد 

صفحه 30:
‎AD)‏ جهت سل سا چند درجه آزادی ‎Qe ١‏ » ‏در رابطه فوق مجهول تغییر مکان فیزیکی ۷ یکمک ماتریس مودال [ به مجهول مودال (7 مرتبط ۱ : می شود. مشتقات اول و دوم رابطه فوق بصورت زیر است (0) [ه] -() * [ه] () ۶ : با جاگذاری مشنقات فوق در معادله ماتریسی تعادل سیستم چند درجه آزادی داریم © }( = 14 ]0[ + }2 [ه] [ع] + }0 ]0[ ‎[oe]‏ © ‏: با پیش ضرب رابطه بلا در ترانسپوزه موف ام خواهیم داشت © ‎Ot = 0, (P00)‏ فالتا رن مان 

صفحه 31:
‎es‏ انجام شوب وبا یوداج عه بجر 3 صفر هستند. در ‎LO hy OY PO}‏ ما + رت( 0 ]ك[رنه) + رت [ بها انس[ ك(رهة ‏تبه شكل ساده تر داريم ‎Gi KY; =o} {PO}‏ + رت( ‏اگر طرفین رابطه فوق بر ا0)تقسیم شود با توجه به روابط زیر ‎2 ‎=a, ‎Blo ‎۱۱ ‎0 ‎& ‎Bla 

صفحه 32:
هن )© 2۹ لش پر در نودم ك2 + رن تس با استفاده از انتگرال دیوهامل برای دستگاههای یک درجه آزادی می تولن ۷ معادله حاصل را حل .نموده و در نهایت" مجهول ۷‏ بدست می آیند که بردار مختصات ‎loge‏ را تشکیل می دهند 

صفحه 33:
|(شبه دینامیکی ه ها در برابر زلزله / روش دینامیکی تحلیل نتازه ها برای تعیین تغیبرمکانها و نیروهای ناش از له در سازه ارلئه نتایج مورد نظر با دقت بسیار خوب . خیلی پر زحمت و طولانی و وقت گیر می باشد. ولی با عنایت به اينكه در طراحى سازه ها در برلبر زلزله معمولا مقادير حداكثر نتايج مورد نظر مى باشتد. لذا با محدود نمودن تاريخجه جوابها به مقادير حداکثر. از حجم عملیات و زمان محاسبات به شكل قابل .توجهی کاسته می گردد و مسئله از حالت پیچیده به حالت ساده تر سوق داده می شود .براى دسترسى به اين مهم مى توان از روش تحلیل طیفی بهره جست ‏ © يرغم 

صفحه 34:
همع © اگر یک سیستم فقط تحت حرکت ناشی از زمین لرزه باشد. گرچه مقدار نیروی خارجی صفر می باشد ليكن به دليل اين حركت. نيروئى برابر () 5 ۳--() *) بر سازه اثر می نماید که با استفاده از انتگرال :دیو هامل جواب معادله به شرح زیر بدست مى آيد uy = foe"? sino(t- rar oO :اگر عبارت انتگرال فوق برابر() () در نظر گرفته شود. خواهیم داشت ub 2 = ‏اه‎ 2۷۵ مه 

صفحه 35:
بها سرعت ‎al‏ مي از زمان است. بنابراین در طول مان ت که این مقدلر حدا نمایش می ذهند | مقدار حداکثر ‎)٩(‏ ۷ بصورت * "گنشان داده می شود و طیف تغییر مکان نامیده می شود. در نهایت © : رابطه ‎Ox Cy‏ بصورت زير می باشد سب © 2ل 8 © به علت وجود رابطه هاى موجود بينك ©, © وه © مى توان منحنى هاى مربوطه را در روى ‏ © یک کاغذ لگاریتمی سه جانبه بر حسیا" له رسم نمود . نمونه ای از طیف طراحی سه جانبه در صفحه بعد آورده شده است © نکته: در استفاده از طیف های پاسخ بایستی دقت کرد چنانچه حداکثر شتاب مبناى طرح در يروزه © يك سازه مقاوم در برابر زلزله (در محل مورد نظر) به غير از شتاب مقیاس شده طیف مورد استفاده باشد. اعداد قرائت شده از ‎ab‏ شتاب مبنای حداکثر طرح به شتاب مقیاس شده .طیف اصلاح نمود رامی 

صفحه 36:
ne sees Set nao te bet RK 7 Tut ‏تناو املی‎ by طیف طراحی معتبر و رایج آمریکا بر اساس زلزله های بزرگ ایالات متحده تهیه شده توسط هاوزنر و مقیاس شده بر اساس شتاب حداکثر ‎FOG‏ 3 

صفحه 37:
© \ | ‏سام ميد سد‎ Ae ۱ لام ‎2E 0; i +0; J;‏ رت 1 :با فرض () 3 2--() 248 داريم 10 ا لقا = ‎oY;‏ جر 250 رات ‘i 

صفحه 38:
دا ام بصورت زیلٍ u, =, ln =U} Ld} :شكل نهايى معادله یک درجه آزادی بصورت زیر در می آید )ترم ‎M,‏ : برای حل معادله فوق با استفاده از انتگرال دیو هامل داریم ۳ ۳ Die ‏ل‎ ‎bjt Bajvj +o; Y= yd =H fis ‏)موزو و(‎ (۵ Mo, j 

صفحه 39:
a. ~ ‏تست‎ 5 0 ‎YO = Ma, “ 2‏ :در روش آناليز مودال . طبق تیدیل مختصات فیزیکی به مختصات مودال داشتیم ‏ابره درق ‎calle ‎=¥ yy LO uor=$ 0 ‏اف‎ 

صفحه 40:
1 ‏زاا‎ ‎My; برای بدست آوردن جواب کل بايد مقادیر ماکزیمم فوق را در کلیه مودهای مورد نظر بدست آورده و ترکیب کرد. لیکن مقادیر حداكثر تغيير مكان در مودهاى مختلف در يك لحظه اتفاق :نمی افتند و بنایراین ترکیب مستقیم آنها صحیح نخواهد بود max(0}43' max G(d} چندین نمونه از روش های آماری برای ترکیب حداکثر پاسخهای مودی در نمودار درختی صفحه بعد .آورده شده اند 

صفحه 41:
روشهای آماری ترکیب مودی الف) روش جذر مجموع ب) روش ترکیب مربع 7 مربعات کامل قدر مطلق ها ممم ‎(Cac) ١٠1١‏ 0) ) 6) 

صفحه 42:
ای فوق الک رو مج تشر مود رد که ‎oe‏ ۱ .در این روش پاسخ کلی ۱ ۰ در امتداد هر درجه آزادی از رابطه زیر بدست می آید © این روش در صورتی از دقت کافی برخوردار می باشد که زمان تناوب مودهای مختلف فاصله کافی : همدیگر داشته باشند به نحوی که 

صفحه 43:
1 2 max{()}~ ‏ون‎ ©, Mil iA Mw, |! نیروی زلزله وارد به پای سازه, ناشی از مود !ام . برابر مجموع حاصل ضرب جرم هر طبقه در شتا : موثر وارد به آن طبقه در اثر زلزله خواهد بود Ui ()= wu(t) ‎Gul plat‏ نیروی وارد بصورت زیر خواهد بود ‎0 =») TY; Ug; i 

صفحه 44:
~~ Oo 0-37, WO ۱ vi = Fo= py erly 10 ‏اس‎ 1 0 ‎Then‏ مالسالا رب سمت ‎FD = ‏لا‎ ۸ 0 ‎ ‎ 

صفحه 45:


صفحه 46:
/ ۱ } برای محاسبه و در ياى سازه » با ‎de‏ نظر گرفتن .۲ یر مختلف .در مودهای را ترکیب نمود و چون زمان وقوع مقادیر ‎i‏ : یکسان نمی باشد» بنایراین از قانون جذر مجموع مریعات استفاده:می شود 

بسم اهلل الرحمن الرحیم دانشکده فنی جزوه ی درسی اصول مهندسی زلزله مدرس :دکتر غالمرضا نوری تهیه کننده :حامد نوری تحلیل دینامیکی سازه ها در برابر زلزله به سه روش مختلف می توان به تحلیل سازه های مقاوم در برابر نیروی زلزله  :پرداخت روش آیین نامه ای یا شبه استاتیکی – 1 روش طیفی یا شبه دینامیکی – 2 روش معمول دینامیکی – 3 انواع ارتعاشات الف – محوری ب – خمشی ج – برشی انواع تغییر شکل هنگام ارتعاش د -پیچشی  درجات آزادی تعداد مختصات مستقل مورد نیاز جهت تعیین موقعیت یک جرم مرتعش در هر  .لحظه ،درجات آزادی آن جرم به شمار می آید درجات آزادی سیستم های مختلف سختی و میرایی یک جرم در انتهای یک ستون یا یک جرم روی چند چرخ و متصل به یک فنر و یک .میراکننده (کمک فنر) مطابق شکل در نظر گرفته می شود اگر جرم به اندازه uتغییر مکان یابد ،سختی ارتجاعی ستون در حالت اول و کشش  فنر در حالت دوم باعث برگشت به وضعیت اولیه جرم خواهد شد .نیروی اعمالی فوق توسط ستون یا فنر تابع تغییر مکان بوده و نیروی فنر یا نیروی سختی نامیده می .شود این جرم با یک سرعت معین به وضیعت اولیه برگشته و به طرف دیگر متمایل می  شود و در حقیقت ارتعاش می نماید .اگر سیستم دارای رفتار ارتجاعی باشد و هیچ اتالف انرژی صورت نگیرد ،جرم همچنان ارتعاش خواهد کرد .ولی در عمل اصطکاک با هوا ،اصطکاک بین اجزا سیستم یا اتصاالت ،گسیختگی مصالح و غیره ،باعث اتالف .انرژی می شوند ،بطوریکه ارتعاش سیستم پس از چند لحظه مستهلک می گردد .نیروهایی که باعث استهالک انرژی می شوند ،نیروهای میرائی نامیده می شوند  معادله حرکت یک سیستم یک درجه آزادی یک جرم mکه توسط یک فنر و یک کمک فنر به تکیه گاه متصل می باشد یا یک  سیستم با رفتار ارتجاعی نظیر قاب شکل زیر ،که تحت اثر نیروی )F(tتابع زمان قرار دارند ،در نظر گرفته می شود .اگر تغییر مکان uبطرف راست باشد ،نیروی فنر موثر بر جرم به سمت چپ و بنابراین دارای عالمت منفی خواهد بود .بطور مشابه نیروی میرائی در جهت خالف سرعت بوده و بنابراین به سمت چپ عمل می کند .اگر دیاگرام آزاد :سیستم جرم در نظر گرفته شود ،نیروهای موثر عبارتند از ‏ F(t) – ku – ců با توجه به قانون دوم نیوتن این نیروها برابر جرم ضرب در شتاب می باشند ،پس  :معادله حرکت به شرح زیر خواهد بود ‏ mü =F(t) – ku – ců یا  ) mü + ců +ku = F(t )(a ارتعاش آزاد دستگاه های یک درجه آزادی فاقد میرائی برای حل معادله دیفرانسیل ) (aابتدا بایستی آن را بدون طرف ثانی در نظر گرفت (ارتعاش  .آزاد) و جواب عمومی معادله را تعیین نمود ‏ mü + ku = 0 ‏k 2 ‏ ‏m اگر شرایط اولیه بصورت تغییر مکان اولیه :فوق بصورت زیر در می آید ‏u ‏ ü + ω²u = 0 ‏ u(t)= A sin ωt + B cos ωt و سرعت اولیه ůدر نظر گرفته شود ،معادله  ‏ u(t)= (ů/ω)sin ωt + ucos ωt با استفاده از روابط مثلثاتی رابطه ی فوق را می توان بصورتهای زیر نیز :نوشت ) u(t)  (u2  ( v )2)sin(t ‏ ‏ Arctgu ‏v ‏v 2 2 ) u(t)  (u  ( ) ) cos(t   ‏ ‏v ‏  Arctg ‏u جواب ارتعاش آزاد دستگاه یک درجه آزادی بدون میرائی با شرایط اولیه ů.:و ‏u. ارتعاش آزاد دستگاه یک درجه آزادی توام با میرائی :معادله) (aرا با فرض وجود نیروی میرائی و بدون طرف ثانی (ارتعاش آزاد) حل می کنیم  ‏ mü + ců + ku = 0 ‏ ü + (c/m)ů + (k/m)u = 0 ‏c 2 ‏ce (s  s   ) 0 ‏m 2 ‏st » © ‏st ‏u  ce c 2 ‏s  s 2 0 ‏m )(b ‏c 2 ‏c 2 ‏s  ((  ) )   2m 2m آن ضریب میرائی که مقدار زیر رادیکال را برابر صفر نماید ،ضریب میرائی بحرانی  :دستگاه نامیده می شود و برابر است با ‏Cc ‏ ‏ 2m ‏ در کل سه حالت در مورد ضریب میرائی پیش می آید: ‏C=Ccr ‏C>Ccr ‏C<Ccr حالت بحرانی حالت فوق بحرانی حالت زیر بحرانی حالتی که اکثرا در سازه ها بوجود می آید حالت زیر بحرانی )C<Ccrاست که در این  ( .حالت جواب ارتعاش آزاد دستگاه ،نوسانی خواهد بود در عمل معموال مقدار میرائی در سازه ها بصورت درصد یا نسبت :شود .یعنی، C=2mωξبنابراین مقدار Sاز رابطه ) (bبرابر است با ξ=C/بیان می  ‏Ccr ) S=-ξω±√ ((ξω)²-ω²) = -ξω±ω√ (ξ²-1) = -ξω±iω√(1-ξ² اگر عبارت  ) ω√(1-ξ² ،با ωdیعنی تواتر زاویه ای ارتعاش آزاد با میرائی نمایش داده شود  ‏ S=-ωξ±iωd © داریم  ‏s جاگذاری در معادله :با ‏ idt ‏c2e ) ‏idt (c1e ‏ t ‏u(t)e با استفاده از روابط مثلثاتی و رابطه اولر ،جواب ارتعاش آزاد با میرائی دستگاه یک درجه آزادی به  :شرح زیر ساده می شود ‏v0  u0 ( )sindt  u0 cosdt ‏d ‏ t ‏u(t) e : جواب ارتعاش آزاد دستگاه های یکدرجه آزادی با میرائی با شرایطu.اولیه ů. و معادله حرکت سیستم یکدرجه آزادی تحت اثر نیروی کلی با وجود میرائی ‏ mü+ců+ku = P. sin Ωt :معادله دیفرانسیل فوق دارای یک جواب عمومی و یک جواب خصوصی به شرح زیر می باشد )uc e t ( A1 cosdt  A2 sindt ‏d  1  2 ‏P0  (1  2) sinΩ t  2 cosΩ t  ‏up   )  Asin(Ωt   ‏ 2 2 2 ‏K ) (1  )  (2 ‏ 2 ‏  Arctg 1  2 جواب کلی معادله حرکت دستگاه یکدرجه آزادی تحت اثر نیروی هارمونیکی سینوسی در حالت با میرائی ،مجموع upو ucبا اعمال شرایط اولیه جهت تعیین ضرایب A1وA2 :به شرح ذیل خواهد بود ) sin(Ωt  ] [(1  2 )2(2 )2 ‏P0 ( A1 cos d t  A2 sin d t)  ‏K ‏ t ‏u(t)  e :ضریب بزرگنمائی دینامیک در این حالت برابر است با )umax(t 1 ‏D ‏ 2 2 2 ‏p0 ([ 1 ‏ ‏ ) ‏ ( 2 ‏ ) ] ‏ust  ‏k در حالت تشدید و همگامی (رزونانس) که :است با ‏β=1 است ،مقدار ضریب بزرگ نمائی برابر 1 ‏D  1  2 تحلیل دینامیکی دستگاه های چند درجه آزادی اگر مدل تحلیلی و ریاضی یک سازه با تعدادی بیشتر از یک جرم متمرکز باشد ،به تعداد هر حرکت  و چرخش آزاد هر یک از اجرام ،درجه آزادی برای آن سیستم خواهیم داشت .حال اگر تعادل هر :یک از جرم ها جداگانه مورد بررسی قرار گیرد ،معادله هر یک به صورت زیر در می آید )fIi  fDi  fsi  pi (t آزادی ام است ،در معادله فوق داریم  ‏i ‏i نویس نشانگر درجه :زیر ‏üi ‏fIi  mi ‏fDi  Ci ů i ‏fsi  Ki ui :با فرض nدرجه آزادی برای سیستم مورد نظر شکل ماتریسی نیروی اینرسی به شرح ذیل خواهد بود ‏ fI 1   m1 0 . . 0   ü 1  ‏ f  0 m ‏ü  . 2 ‏ I 2  ‏ 2 ‏ ‏.   . . .   . ‏ ‏.  . . .   . ‏ ‏ fIn   0 0 . . mn   ü n  :یا بصورت خالصه تر زیر می توان نوشت ‏ fI   m  ‏ü برای نیروهای سختی با توجه به تعریف ضریب سختی kijکه عبارت است از نیروی االستیک ایجاد شده در درجه آزادی iتوسط یک تغییر مکان واحد در درجه آزادی یا نقطه jدر حالتی که درجات آزادی دیگر :ثابت و بدون تغییر مکان باشند ،خواهیم داشت ‏fs1  K11u1  K12u2  ...  K1nun ‏fs2  K21u1  K22u2  ...  K2nun . . ‏fsn  Kn1u1  Kn2u2  ...  Knnun و یا ‏ fs   K u به همین ترتیب برای نیروی میرائی با تعریف Cijبصورت نیروی ایجاد شده در نقطه iتوسط اعمال یک :سرعت واحد در نقطه ، jخواهیم داشت ‏ fD   Ců  .که] [Cماتریس ضرایب میرائی {ů} ،بردار سرعت و {fDبردار نیروی میرائی است } :اگر معادله تعادل کلی درجات آزادی سیستم با چند درجه آزادی نوشته شود ،خواهیم داشت ‏ fI    fD    fs    p(t) :و در نهایت معادله دینامیکی سیستم چند درجه آزادی ،بصورت ماتریسی ذیل نوشته می شود (C ) ‏m   C   K u  p(t) ‏ů ‏ü ) ، ( تواتر زاویه ای ارتعاش و مودهایΦ ω وابسته :معادله دیفرانسیل (Cرا بدون طرف ثانی و در حالت بدون میرایی بررسی می کنیم  ) )(d }[m] {ü} + [K] {u} = {0 :جواب این معادله دیفرانسیل ماتریسی بصورت زیر در نظر گرفته می شود  ){u} = {a} sin (ωt + θ :مشتق دوم عبارت فوق بصورت زیر است  }{ü} = -ω² sin (ωt + θ) {a :با قرار دادن مقادیر فوق در معادله) (dداریم  }-ω² [m] {a} sin (ωt + θ) + [K] {a} sin (ωt + θ) = {0 ‏ ‏ ‏ ‏ } Since sin (ωt + θ) ≠ 0 » [K] {a} - ω² [m] {a} = {0 :به شکل ساده شده زیر داریم  )(e } [[k] - ω²[m]] {a} = {0 معادله اخیر ،معادله مقادیر مشخصه بوده و می توان آنرا به روشهای گوناگون حل کرد و در نتیجه به  .تعداد درجات آزادی ،تواتر زاویه ای ωو بردار مود مربوطه بدست می آید باید توجه داشت که از حل معادله ) (eمقادیر نسبی دامنه ها } {Φحاصل می شود و نمی توان  .مقادیر مطلق دامنه ارتعاش یعنی} {aرا تعیین نمود نکته :پس از تشکیل دترمینان ماتریس ]] [[k] - ω²[mو برابر صفر قرار دادن آن ،مقادیر  ω حاصل می شود .باید دقت داشت که کوچکترین تواتر زاویه ای یک سیستم چند درجه آزادی ، .مود اول و به همین ترتیب تواترهای دیگر به ترتیب بزرگی نامگذاری شوند ‏123......n رابطه تعامد مودها یکی از روابط ریاضی مهم و مفید که مودهای ارتعاشی سیستم های چند درجه آزادی دارند ،رابطه  تعامد مودها نسبت به ماتریس جرم و ماتریس سختی است .این خاصیت دارای کاربرد اساسی در .روش آنالیز مودال سیستمهای چند درجه آزادی می باشد برای مثال با فرض دو مود sو rو انجام برخی عملیات ماتریسی ( استفاده از ترانسپوزه برداری  :و ). . .رابطه تعامد مودها نسبت به ماتریس جرم بین دو مود فوق به صورت زیر خواهد بود {s}T [m]{r}0 :به طریق مشابه نسبت به ماتریس سختی داریم  {s}T [k]{r}0 .که تعامد مودها نسبت به ماتریس سختی را بیان می کند   :حال اگر در روابط فوق فقط از یک مود استفاده شود خواهیم داشت  ‏T {i } [m]{i }Mi ‏T {i } [k]{i }Ki .رابطه اول بیانگر جرم مودی در مود i iام و رابطه دوم نشانگر سختی در آن مود می باشد از جرم مودی در روش تحلیل شبه دینامیکی یا طیفی و برای محاسبه ی وزن موثر مودی استفاده خواهد .شد روش آنالیز مودال جهت تحلیل سازه های چند درجه آزادی } {u} = [Φ] {y در رابطه فوق مجهول تغییر مکان فیزیکی uبکمک ماتریس مودال :شود .مشتقات اول و دوم رابطه فوق بصورت زیر است ][Φمجهول مودال به }{y مرتبط می  } {ů} = [Φ] {ý } {ü} = [Φ] {ÿ :با جاگذاری مشتقات فوق در معادله ماتریسی تعادل سیستم چند درجه آزادی داریم  }) [m] [Φ] {ÿ} + [c] [Φ] {ý} + [k] [Φ] {y} = {P (t :با پیش ضرب رابطه باال در ترانسپوزه مود ام خواهیم داشت  ‏i ‏T ‏T ‏T ‏T }){i} [m][ ]{ ÿ} {i} [c][ ]{ý} {i} [k][ ]{y}{i} {P(t اگر ضرب های فوق انجام شود ،و با توجه به خاصیت تعامد مودها ،کلیه عبارات بجز عبارت مربوط به :جمله ام ،برابر صفر هستند .در نهایت داریم }){i}T [m]{i}ÿ i  {i}T [c]{i} ýi  {i}T [k]{i}yi {i}T{P(t :به شکل ساده تر داریم })Mi ÿ i  Ci ý i  Ki yi {i}T {P(t اگر طرفین رابطه فوق بر Miتقسیم شود با توجه به روابط زیر ‏Ki 2 ‏i ‏Mi ‏Ci ‏2ii , ‏Mi  :خواهیم داشت }){i }T {P(t ‏i  i yi  2 ‏Mi ‏ 2ii ý ‏ÿ i ‏i=1,n با استفاده از انتگرال دیوهامل برای دستگاههای یک درجه آزادی می توان nمعادله حاصل را حل .نموده و در نهایت nمجهول yبدست می آیند که بردار مختصات مودال} {yرا تشکیل می دهند روش طیفی (شبه دینامیکی) تحلیل سازه ها در برابر زلزله روش دینامیکی تحلیل سازه ها برای تعیین تغییر مکانها و نیروهای ناشی از زلزله در سازه ها ،علیرغم  ارائه نتایج مورد نظر با دقت بسیار خوب ،خیلی پر زحمت و طوالنی و وقت گیر می باشد .ولی با عنایت به اینکه در طراحی سازه ها در برابر زلزله معموال مقادیر حداکثر نتایج مورد نظر می باشند ،لذا با محدود نمودن تاریخچه جوابها به مقادیر حداکثر ،از حجم عملیات و زمان محاسبات به شکل قابل .توجهی کاسته می گردد و مسئله از حالت پیچیده به حالت ساده تر سوق داده می شود .برای دسترسی به این مهم می توان از روش تحلیل طیفی بهره جست  طیف پاسخ دستگاههای خطی اگر یک سیستم فقط تحت حرکت ناشی از زمین لرزه باشد ،گرچه مقدار نیروی خارجی صفر می باشد لیکن به دلیل این حرکت ،نیروئی برابر ) P (t)=-m ü (tبر سازه اثر می نماید که با استفاده از انتگرال :دیو هامل جواب معادله به شرح زیر بدست می آید ‏ )d ‏ü ( )e  (t  ) sin (t  ‏t 1 ‏ 0 ‏u(t)  :اگر عبارت انتگرال فوق برابر ) V (tدر نظر گرفته شود ،خواهیم داشت )u(t) V (t ‏ )V (t ‏u(t)  ‏ مقدار) V (tشبه سرعت نامیده می شود ،و تابعی از زمان است .بنابراین در طول زمان ،دارای مقدار  .حداکثری است که این مقدار حداکثر را vبا Sنمایش می دهند مقدار حداکثر ) u (tبصورت S dنشان داده می شود و طیف تغییر مکان نامیده می شود .در نهایت  :رابطه v بینd Sو Sبصورت زیر می باشد ‏ S d = S v/ω به علت وجود رابطه های موجود بین ، S d ‏T .یک کاغذ لگاریتمی سه جانبه بر حسب S vو S aمی توان منحنی های مربوطه را در روی  یا ωرسم نمود .نمونه ای از طیف طراحی سه جانبه در صفحه بعد آورده شده است  نکته :در استفاده از طیف های پاسخ بایستی دقت کرد چنانچه حداکثر شتاب مبنای طرح در پروژه  یک سازه مقاوم در برابر زلزله (در محل مورد نظر) به غیر از شتاب مقیاس شده طیف مورد استفاده باشد ،اعداد قرائت شده از طیف را می باید به نسبت شتاب مبنای حداکثر طرح به شتاب مقیاس شده .طیف اصالح نمود طیف طراحی معتبر و رایج آمریکا بر اساس زلزله های بزرگ ایاالت متحده تهیه شده توسط هاوزنر و مقیاس شده بر اساس شتاب حداکثر a=0.2 ‏g تحلیل سیستم های چند درجه آزادی به روش طیفی T {i } {P(t)} ÿ i  2 ii ý i  i yi  2 Mi داریمP (t)=-m ü (t) با فرض: ÿ T {  } ü (t) i [m]{I} 2 i  2 ii ý i  i yi  Mi  :با تعریف ضریب شکل پذیری مودال زلزله در مود iام بصورت زیر }i {i}T [m]{I}{I}T [m]{i :شکل نهایی معادله یک درجه آزادی بصورت زیر در می آید )i ü(t ‏ÿ i  2 ii ý i  i yi  ‏Mi 2 :برای حل معادله فوق با استفاده از انتگرال دیو هامل داریم ‏i t )   (t  ‏ü ( )e ‏yi (t)  ‏sin (t   )d ‏ 0 ‏Mii :اگر عبارت انتگرال با) V (tنشان داده شود ،خواهیم داشت ‏i ‏yi (t)  )Vi (t ‏Mii :در روش آنالیز مودال ،طبق تبدیل مختصات فیزیکی به مختصات مودال داشتیم ‏n ){u(t)} {i}yi (t ‏i1 :بنابراین ‏ iVi (t)  ‏ {u(t)} {i } ‏i1 ‏ Mii  ‏n i {max }ui (t)}{i ‏Svi ‏Mii برای بدست آوردن جواب کل باید مقادیر ماکزیمم فوق را در کلیه مودهای مورد نظر بدست آورده و ترکیب کرد .لیکن مقادیر حداکثر تغییر مکان در مودهای مختلف در یک لحظه اتفاق :نمی افتند و بنابراین ترکیب مستقیم آنها صحیح نخواهد بود ‏n {max {u(t)} max })ui (t ‏i1 چندین نمونه از روش های آماری برای ترکیب حداکثر پاسخهای مودی در نمودار درختی صفحه بعد .آورده شده اند روشهای آماری ترکیب مودی الف) روش جذر مجموع مربعات (SRS )S ب) روش ترکیب مربع کامل )(CQC ج) روش جمع قدر مطلق ها (ABS ) از میان روش های فوق الذکر ،روش اول یعنی جذر مجموع مربعات بیشتر مورد استفاده قرار می گیرد که :به تشریح آن می پردازیم .در این روش پاسخ کلی ، Xدر امتداد هر درجه آزادی از رابطه زیر بدست می آید  2 ‏n ‏Xn ‏ ‏i ‏X ‏1 این روش در صورتی از دقت کافی برخوردار می باشد که زمان تناوب مودهای مختلف فاصله کافی از  :همدیگر داشته باشند به نحوی که ‏Tn1 ‏0.67 ‏Tn :با این اوصاف در مورد حداکثر تغییر مکان داریم 1 2 ‏ ‏ ‏ 2 ‏ n   { }   {max ‏u(t)}   i i  Svi  ‏ i1   Mii   نیروی زلزله وارد به پای سازه ،ناشی از مود i iام ،برابر مجموع حاصل ضرب جرم هر طبقه در شتاب :موثر وارد به آن طبقه در اثر زلزله خواهد بود )ü (t)= ω²u(t :بنابراین نیروی وارد بصورت زیر خواهد بود ‏n ‏Fi (t)  mki uKi 2 ‏i1 uKi {i}yi (t)  yi (t)  i Vi (t) Mii   ii  Vi (t) Fi (t) {I} [m]{i}  Mi  T Since i {I}T [m]{i} Then  i 2i  Vi (t) Fi (t)   M i    می توان نوشتF (t) برای مقدار حداکثر:  i 2i   Svi maxFi (t)   M i    , Sai i Svi  i 2   Sai maxFi (t)   M  i در این حالت نیز برای محاسبه نیروی ناشی از زلزله در پای سازه ،با در نظر گرفتن اثرات مودهای سازه در مودهای )F (t مختلف را ترکیب نمود و چون زمان وقوع مقادیر حداکثر آنها می باید مقادیر مختلف :یکسان نمی باشد ،بنابراین از قانون جذر مجموع مربعات استفاده می شود 1 2 2 ‏ ‏ ‏ ‏ ‏ n   2   ‏ {max ‏F(t)}   i  Sai  ‏ i1   Mi  