تئوری پایداری سازه ها

تئوری پایداری سازه ها

اسلاید 1: كريم عابديStability Theory of Structuresتئوری پایداری سازه ها

اسلاید 2: فصل پنجمبررسی پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدود

اسلاید 3: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیدر بخش های پیشین مساله اساسی در تحلیل غیرخطی و روش بنیادی مورد استفاده در تحلیل غیرخطی را ارائه نمودیم و نتیجه گرفتیم که برای یک تحلیل نموی مؤثر ، (Effective Incremental analysis)، معیارهای مناسب تنش و کرنش را باید به کار گیریم. سپس، معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange را به عنوان معیارهای مناسب تنش و کرنش ارائه دادیم و در نهایت اصل تغییرمکان های مجازی را برحسب تنش های دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش های Green-Lagrange نوشتیم.حال از این نتیجه بنیادی برای ایجاد دو فرمول بندی عمومی نموی مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته برای مسائل غیرخطی استفاده می کنیم.در این بخش معادلات مکانیک محیط پیوسته (Continuum mechanics equations) را بدون ارجاع به یک روش حل خاص عناصر محدود درنظر می گیریم. در بخش بعدی از این نتایج در ارتباط با روش مؤثر حل عناصر محدود غیرخطی استفاده خواهیم نمود.معادله اساسی که می خواهیم حل کنیم :

اسلاید 4: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیاین معادله شرایط تعادل و سازگاری جسم عمومی موردنظر در بافتار t+∆t را بیان می کند.در رابطه مذکور معادلات مشخصه (Constitutive equations) در محاسبات تنش ها وارد می شوند.از آنجا که در حالت کلی جسم می تواند متحمل تغییرمکان های بزرگ، دوران های بزرگ و کرنش های بزرگ شود و نیز روابط مشخصه می توانند غیرخطی باشند، از اینرو رابطه مذکور را نمی توان مستقیماً حل کرد.ولی می توان1- ابتدا یک جواب تقریبی را از طریق ارجاع کلیه متغیرها به بافتار تعادلی که پیش از این محاسبه شده است 2- و خطی سازی (Linearizing) معادله حاصل، به دست آورد 3- و سپس جواب حاصل را از طریق تکرار بهبود داد.برای ایجاد معادلات خطی سازی شده حاکم(Governing Linearized Equation)، مبنا را بر این می گذاریم که جواب ها برای زمان های قبلاً محاسبه شده اند و اکنون از روابط زیر استفاده می کنیم. تنش و کرنش به بافتار تعادل معلوم ارجاع می دهیم:

اسلاید 5: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیدر اساس، یکی از بافتارهای تعادلی را که پیش از این محاسبه شده اند می توان مورد محاسبه قرار داد. در عمل در واقع با دو انتخاب مواجه می شویم:الف) ارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان 0ارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان 0، منجر به فرمول بندی لاگرانژی کلی (TL) می شود. در این روش حل، کلیه متغیرهای استاتیکی و سینماتیک به بافتار اولیه در زمان 0 ارجاع داده می شوند. ب) ارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان tارجاع به بافتار تعادل مربوط به زمان t( بافتار تعادلی محاسبه شده پیشین)، منجر به فرمول بندی لاگرانژی به هنگام شده (UL) می شود. در این روش حل، کلیه متغیرهای استاتیکی و سینماتیک به بافتار تعادلی در زمان t ارجاع داده می شوند. هر دو فرمول بندی TLوUL شامل کلیه اثرات غیرخطی سینماتیک به دلیل تغییرمکان های بزرگ، دوران های بزرگ و کرنش های بزرگ می باشند. اما، این که آیا رفتار کرنش های بزرگ به طور مناسبی مدل می شود یا نه، بستگی به روابط مشخصه خاص مورد استفاده (Specified constitutive relations) دارد( که بعداً توضیح داده می شود).

اسلاید 6: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیمزیت اصلی استفاده از یک فرمول بندی به جای فرمول بندی دیگر صرفاً به کارایی عددی (Numerical efficiency) آن فرمول بندی بستگی دارد. با توجه به معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange، در فرمول بندی TL معادله بنیادی زیر را درنظر می گیریم:و در فرمول بندی UL معادله بنیادی زیر را درنظر می گیریم: کار مجازی خارجی(External Virtual Work) می باشد که در حالت کلی بستگی به سطح و حجم جسم موردنظر دارد. برای سهولت بحث فرض می کنیم که بارگذاری مستقل از تغییرشکل ها می باشد. بعداً در مورد چگونگی وارد نمودن بارگذاری وابسته به تغییرشکل ها در تحلیل بحث خواهیم کرد.

اسلاید 7: یک نکته مهم در استخراج معادلات عناصر محدود در تحلیل خطی: اعمال اصل تغییرمکان های مجازی و استخراج معادلات: سطوح عناصر است که قسمتی از سطح کلی S جسم می باشند. برای عناصری که کاملا بوسیله سایر عناصر احاطه شده اند، چنان سطحی وجود ندارد، در حالی که برای عناصر واقع در سطح جسم، یک یا چند سطح در انتگرال گیری سطحی وارد می شوند.در استفاده از اصل تغییرمکان های مجازی فرضیات یکسانی را برای تغییرمکان ها و کرنش های مجازی به کار می بریم به عبارت دیگر داریم:اصل کار مجازی برای یک جسم عمومی را به صورت زیر نوشتیم :اصل کار مجازی مذکور را اگر به مجموعه همبسته عناصر اعمال کنیم، در این صورت خواهیم داشت:

اسلاید 8: اگر روابط مذکور را در اصل کار مجازی جایگذاری کنیم:ماتریس های درون یابی تغییرمکان های سطحی از جایگذاری مختصات مناسب سطحی عنصر در ماتریس های درون یابی عنصر به دست می آیند.: بردار شامل بارهای متمرکز وارد بر گره های مجموعه همبسته عناصر می باشند که مولفه iام بردار یک نیروی گرهی متمرکز است که متناظر با iامین مولفه تغییرمکان در بردار می باشد.رابطه زیر را بدست می آوریم:

اسلاید 9: درنهایت به رابطه روبرو می رسیم:بردار بار ناشی از نیروهای حجمی عنصریبردار بار ناشی از نیروهای سطحی عنصریبردار بار ناشی از تنش های اولیه عنصری

اسلاید 10: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیجدول زیر مراحل خطی سازی (Linearization) معادله حاکم مورد استفاده در فرمول بندی های TL و UL را نشان می دهند. معادله خطی سازی شده حرکت ( Linearized equation of motion) برای هر دو فرمول بندی TL و UL، برای استخراج معادلات موردنظر در تحلیل غیرخطی عناصر محدود مورد استفاده قرار خواهد گرفت. در اینجا مراحل مورد استفاده برای استخراج معادله خطی سازی حرکت بر مبنای فرمول بندی TL و UL با جزئیات توضیح داده می شوند.

اسلاید 11: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیمرحله دوم در فرمول بندی TL:در مرحله دوم، کرنش ها و تنش ها را تجزیه نموی (Incrementally decomposition) می کنیم که مجاز می باشد، زیرا کلیه تنش ها و کلیه کرنش، از جمله نموهای تنش و کرنش، به بافتار اولیه ارجاع داده می شوند. نمو تنش دوم Piola-kirchhoff از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار اولیه مربوط به زمان 0 ارجاع داده می شوند. تجزیه نموی کرنش های Green-Lagrange عبارتست از: تجزیه نموی تنش های دوم Piola-kirchhoff عبارتست از:نمو کرنش Green-Lagrange از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار اولیه مربوط به زمان 0 ارجاع داده می شوند. این نمو را می توان به حاصل جمع کرنش های نموی خطی (Linear Incremental Strain) - - و کرنش های نموی غیرخطی (Nonlinear Incremental Strain) - - (منظور کرنش های پلاستیک نیست، بلکه کرنش های غیرخطی هندسی است) تجزیه نمود که هر دو به بافتار مربوط به زمان 0 ارجاع داده می شوند.غیرخطیخطیاثر تغییرمکان اولیه

اسلاید 12: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیمرحله دوم در فرمول بندی UL:در مرحله دوم، کرنش ها و تنش ها را نموی تجزیه(Incrementally decomposition) می کنیم که مجاز می باشد، زیرا کلیه تنش ها و کلیه کرنش، از جمله نموهای تنش و کرنش، به بافتار پیشین ارجاع داده می شوند. نمو تنش دوم Piola-kirchhoff از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار مربوط به زمان t ارجاع داده می شوند. تجزیه نموی کرنش های Green-Lagrange عبارتست از: تجزیه نموی تنش های دوم Piola-kirchhoff عبارتست از:نمو کرنش Green-Lagrange از زمان t تا زمان t+Δt است که به بافتار مربوط به زمان t ارجاع داده می شوند. این نمو را می توان به حاصل جمع کرنش های نموی خطی (Linear Incremental Strain) - - و کرنش های نموی غیرخطی (Nonlinear Incremental Strain) - - (منظور کرنش های پلاستیک نیست، بلکه کرنش های غیرخطی هندسی است) تجزیه نمود که هر دو به بافتار مربوط به زمان t ارجاع داده می شوند.غیرخطیخطی

اسلاید 13: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیمرحله سوم در فرمول بندی TL:در این مرحله داریم: مساوی صفر است، زیرا تغییر حول بافتار مربوط به زمان t+Δt انجام می گیرد:و رابطه کار مجازی به صورت زیر در می آید: این ترم به ازای یک وردش تغییرمکان (displacement variation) داده شده، معلوم می باشد، زیرا مستقل از ( نمو تغییرمکان از زمان t تا زمان t+Δt و )است.

اسلاید 14: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیمرحله سوم در فرمول بندی UL:در این مرحله داریم:در این صورت رابطه کار مجازی به صورت زیر در می آید: این ترم به ازای یک وردش تغییرمکان (Displacement variation) داده شده، معلوم می باشد، زیرا مستقل از ( نمو تغییرمکان از زمان t تا زمان t+Δt و است. لازم به یادآوری است که سمت چپ معادله اصل کار مجازی، بر حسب تغییرمکان نموی بسیار غیرخطی است.لذا در مرحله چهارم عبارت مذکور را خطی سازی می نماییم.

اسلاید 15: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیمرحله چهارم در فرمول بندی TL:لازم به ذکر است که عبارت برحسب تغییرمکان های نموی خطیاست. بنابراین، عبارت مذکور را بدون تغییر حفظ می کنیم. اثرات غیرخطی به دلیل ترم است و لذا عبارت را با استفاده از بسط تیلور، خطی سازی می نماییم. یادآوری: سری تیلور به صورت روبرو می باشد:صرف نظر

اسلاید 16: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطییادآوری می شود که ، تانسور نموی تنش – کرنش در زمان t می باشد که به بافتار مربوط به زمان 0، ارجاع داده می شود. لازم به یادآوری است که در خطی سازی مذکور ازتقریب سازی های و استفاده نموده ایم.عبارت بر حسب تغییرمکان های نموی خطی است. زیرا مستقل از می باشد. بنابراین معادله خطی سازی شده حرکت (یا معادله تقریبی حرکت) به صورت زیر به دست می آید:

اسلاید 17: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیمرحله چهارم در فرمول بندی UL:لازم به ذکر است که عبارت برحسب تغییرمکان های نموی خطیاست. بنابراین، عبارت مذکور را بدون تغییر حفظ می کنیم. اثرات غیرخطی به دلیل ترم است و لذا عبارت را با استفاده از بسط تیلور، خطی سازی می نماییم که نتیجه زیر حاصل می شود:عبارت حاصل، بر حسب تغییرمکان های نموی خطی است. زیرا مستقل از است.در خطی سازی مذکور ازتقریب سازی های و استفاده شد. بنابراین معادله خطی سازی شده حرکت (یا معادله تقریبی حرکت) به صورت زیر بدست می آید:

اسلاید 18: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیدر مقایسه فرمول بندی TL و UL نکات زیر قابل ذکر است:هر دو روش کاملاً مشابه به هم بوده و تنها اختلاف تئوریکی آنها در انتخاب بافتار تعادل مرجع است.اگر در حل عددی، تانسورهای مشخصه مناسبی به کار گرفته شوند، درواقع در این صورت نتایج یکسانی از هر دو فرمول بندی حاصل خواهند شد. انتخاب فرمول بندی TL و UL به مؤثر بودن نسبی عددی آنها بستگی دارد (Relative Numerical effectiveness) که به نوبه خود به عناصر محدود و قانون مشخصه (Constitutive Law) مورد استفاده بستگی دارد. یک نکته باید ذکر شود که کرنش های خطی نموی در فرمول بندی TL شامل یک اثر تغییرمکان اولیه می باشد که منجر به یک ماتریس کرنش-تغییرمکان پیچیده ای نسبت به فرمول بندی UL می شود.

اسلاید 19: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیاز معادلات خطی سازی شده حرکت بر مبنای فرمول بندی های TL و UL، می توان برای محاسبه یک نمو در تغییرمکان ها استفاده کرد که با استفاده از آنها نیز می توان تقریب هایی را به تغییرمکان ها، کرنش ها و تنش های متناظر با زمان t+Δt محاسبه نمود. تقریب های تغییرمکان متناظر با زمان t+Δt را می توان به سهولت از طریق افزودن نموهای محاسبه شده به تغییرمکان ها در زمان t بدست آورد.تقریب های کرنش را می توان از تغییرمکان ها با استفاده از روابط سینماتیک در دسترس ( مثلاً ) بدست آورد.تعیین تنش های متناظر با زمان t+Δt، بستگی به روابط مشخصه مورد استفاده دارد که بعداً به تفصیل ارائه خواهند شد.

اسلاید 20: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیبا فرض اینکه تغییرمکان ها، کرنش ها و تنش های تقریبی محاسبه شده اند، اکنون می توان میزان اختلاف بین کار داخلی و خارجی را محاسبه نمود. اگر مقادیر تقریبی محاسبه شده را با اندیس بالای (1) نشان دهیم(با توجه به ضرورت انجام تکرارها) ، خطای ناشی از خطی سازی در فرمول بندی TL عبارت است از:لازم به ذکر است که با معادل است هنگامی که تغییرمکان های کنونی مورد استفاده قرار گیرد و در فرمول بندی UL عبارت است از:لازم به ذکر است هر دو سمت راست روابط بالای خطا و هر دو سمت راست روابط اصلی کار مجازی در فرمول بندی TL و UL، بیانگر کار مجازی خارج از توازن هستند.ولی سمت راست های روابط اصلی کار مجازی در فرمول بندی TL و UL، بیانگر کار مجازی خارج از توازن، پیش از محاسبه نموها در تغییرمکان ها می باشند، در حالی که سمت راست روابط خطای بالا بیانگر کار مجازی خارج از توازن، بعد از محاسبه نموها در تغییرمکان ها می باشند که ناشی از خطی سازی انجام شده است.

اسلاید 21: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیبرای کاهش بیشتر کار مجازی خارج از توازن نیاز داریم که یک تحلیل تکراری را انجام دهیم که درآن روش حل ارائه شده تکرار می شود تا اینکه تفاوت بین کار مجازی داخلی و کار مجازی خارجی با مقایسه با یک معیار همگرایی قابل صرف نظر کردن باشد.با استفاده از فرمول بندی TL، معادله ای که بطور تکراری به ازای k=1, 2, 3,… حل شود عبارت است از:با استفاده از فرمول بندی UL، معادله ای که بطور تکراری به ازای k=1,2,3,… حل شود عبارت است از:که در آنها k=1 متناظر با همان روابط اصلی کار مجازی داخلی برای فرمول بندی TL و UL است و تغییرمکان ها به صورت زیر به هنگام می شوند:

اسلاید 22: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیروابط سه گانه بالا، متناظر با یک روش تکرار Newton-Raphson می باشد. بنابراین عبارات در انتگرال ها متناظر با تغیرمکان های کنونی محاسبه شده و تنش های متناظر می باشند. توجه شود در فرمول بندی UL، تنش های Cauchy و رابطه مشخصه مماسی و کرنش های نموی به بافتار و حجم در زمان t+Δtدر انتهای تکرار (k-1) ارجاع داده می شوند، به عبارت دیگر،کمیت های موردنظر، به ارجاع داده می شوند که در آن به ازای k=1 داریم:تا کنون فرض کردیم که بارگذاری مستقل از تغییرمکان است و می توان آن را پیش از تحلیل نموی به صورت زیرمحاسبه کرد:لازم به یادآوری است که شرط فوق برای انواع خاصی از بارگذاری محتمل است. نظیر بارگذاری متمرکز و بارگذاری هایی که راستای آنها در راستای تغییرشکل تغییر نمی کنند.

اسلاید 23: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیاگر کار مجازی وابسته به تغییرشکل باشد، در این صورت کار مجازی خارجی مذکور را اغلب می توان با دقت کافی با استفاده از شدت بارگذاری مربوط به زمان t+Δt ولی از طریق انتگرال گیری روی اخرین حجم و سطح محاسبه شده در تکرار به صورت زیر تقریب سازی نمود:

اسلاید 24: 5- فرمول بندی لاگرانژی کلی(Total Lagrangian Formulation) و لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) مکانیک محیط پیوسته در تحلیل غیر خطیفرمول بندی های TL و UL ، معادلات نموی مکانیک محیط پیوسته هستند که شامل کلیه اثرات غیرخطی می باشند ولی در عمل، در برخی اوقات کافی خواهد بود که فقط غیرخطی مادی درنظر گرفته شود. در این حالت، از مؤلفه های کرنش غیرخطی و به هنگام نمودن سطوح و حجم ها صرفنظر می شود. بنابراین، معادلات خطی سازی شده برای فرمول بندی TL و UL و با ملاحظه تحلیل تکراری به معادله زیر می رسیم:که در آن ، تنش واقعی فیزیکی در زمان t+Δtو در انتهای تکرار (k-1) است. در این تحلیل فرض کرده ایم که حجم جسم تغییر نمی کند و داریم: از آنجا که هیچ نوع غیرخطی های هندسی (سینماتیک) در رابطه مذکور درنظر گرفته نشده اند، از اینرو اگر مصالح از نوع الاستیک خطی باشند، در این صورت رابطه مذکور به همان صورت رابطه اصل کار مجازی مورد استفاده در تحلیل خطی بدست می آید.

اسلاید 25: 6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدوددر مبحث فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته مراحل زیر ارائه گردید:استخراج اصل کار مجازی بر مبنای معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange در زمان گسسته خاص،استخراج معادله خطی سازی شده حرکت جسم محیط پیوسته بر مبنای فرمول بندی های لاگرانژی کلی و به هنگام شده.اکنون با داشتن معادله خطی سازی حرکت می توان ماتریس های سختی مورد نیاز در تحلیل غیرخطی را به آسانی استخراج نمود. مراحل اساسی در استخراج معادلات حاکم عناصر محدود همان مراحل مورد استفاده در تحلیل خطی می باشند:انتخاب توابع درون یابی، درون یابی مختصات و تغییرمکان های هر عنصر با استفاده از توابع مذکور در معادلات حاکم مکانیک محیط پیوسته،استفاده از اصل کار مجازی برای استخراج معادلات ماتریسی عناصر محدود.

اسلاید 26: اگر درون يابي هاي مختصات و تغيير مكان هاي عناصر را در نظر بگيريم، اين نكته بايد ملاحظه شود كه استفاده از درون يابي هاي يكسان براي مختصات و تغيير مكان ها در هر زمان و كل زمان ها در حين حركت عنصر حائز اهميت است. از آنجا كه مختصات عنصري جديد با افزودن تغيير مكان هاي عنصري به مختصات نخستين به دست مي آيند، از اين رو استفاده از درون يابي هاي مشابه براي تغيير مكان ها و مختصات، يك روش حل سازگاري را به نمايش مي گذارد و آن بدين معني است كه بحث هاي انجام شده در مورد شرايط همگرايي در تحليل خطي، مستقيما براي تحليل نموي قابل كاربرد مي باشند.6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود

اسلاید 27: 6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود در روابط زیر فرض بر این است که بارهای خارجی مستقل از تغییرشکل ها می باشند و بنابراین بردار بار مربوط به کلیه پله های بار(یا زمان) را می توان پیش از تحلیل نموی محاسبه کرد.تحلیل استاتیکی غیرخطی صرف مصالح:تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی TL:تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی UL: که در آنها داریم:

اسلاید 28: 6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود ماتریس های عناصر محدود ارائه شده در بالا همچون تحلیل خطی تعیین می شوند. جدول زیر، برای یک عنصر واحد، انتگرال های اساسی موردنظر و نحوه تعیین ماتریسی آنها را نشان می دهد: در تعیین و محاسبه ماتریس های عناصر محدود از نمادگذاری های زیر استفاده شده است: البته لازم به ذکر است که در صورتی که معادلات مذکور توآم با روش تکراری نیوتن-رافسون نوشته شوند خواهیم داشت: برای تحلیل غیرخطی صرف مصالح: برای تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی TL: برای تحلیل استاتیکی غیرخطی با استفاده از فرمول بندی UL:

اسلاید 29: 6- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدوداین ماتریس ها بستگی به عنصر خاص مورد نظر دارند.ماتریس های درونیابی تغییرمکان، به آسانی مانند تحلیل خطی، با استفاده از توابع درون یابی تغییرمکان ایجاد می شوند.در این قسمت نیز، درون یابی های تغییرمکان و ماتریس های کرنش-تغییرمکان بر حسب مختصات ایزوپارامتریک بیان می شوند.طبیعتاً کلیه انتگرال گیری های اشاره شده در جدول قبل، مانند انتگرال گیری عددی در تحلیل خطی خواهد بود چون کلیه عناصر مورد نظر ما ایزوپارامتریک هستند.

اسلاید 30: الف - تحلیل خطی سازی شده کمانش Linearized Buckling Analysis))یکی از روش های یافتن بار بحرانی سازه ها به طور عام – و قاب ها به طور خاص – استفاده از روش تحلیل خطی کمانش یا تحلیل خطی سازی شده کمانش می باشد.ماتریس های سختی در زمان ها (یا ترازهای بار) t-∆t و t را در نظر می گیریم که بردارهای متناظر بارهای خارجی آنها می باشند.تراز بار می تواند بار صفر یا بار مرده و ماتریس سختی می تواند ماتریس سختی بافتار تغییر شکل نیافته یا ماتریس سختی بافتار تغییر شکل یافته متناظر با بار مرده باشد.در تحلیل خطی سازی شده کمانش فرض می کنیم که در هر زمان τ یا تراز بار ماتریس سختی عبارت است از:7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدود

اسلاید 31: و بردار بار متناظر آن عبارت است از:و λ فاکتور مقیاسی است.در بار خرابی یا کمانش، ماتریس سختی مماسی تکین است و بنابراین داریم:که می توان آن را به صورت معادل زیر نوشت:که در آن ф یک بردار غیر صفر است.7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدود

اسلاید 32: از جایگذاری در معادله بالا خواهیم داشت: که یک ویژه مساله تعمیم یافته است. ویژه مقادیر i λ و i=1,2,…..n بارهای کمانش را بدست می دهد و i ф نمایشگر مدهای کمانش متناظر می باشند.فرض می کنیم که ماتریس های هر دو معین مثبت می باشند. ولی باید یادآوری شود که در حالت کلی نامعین است. بنابراین ویژه مساله مورد نظر می تواند دارای ویژه مقادیر مثبت و منفی باشد. اما مشخص است که ما به دنبال کوچکترین ویژه مقدار مثبت می باشیم. بنابراین معادله بالا را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدود

اسلاید 33: ویژه مقادیرi λ همگی مثبت هستند ما به دنبال کوچک ترین ویژه مقادیر γ1 می باشیم. با بدست آوردن λ1بار کمانش (یا خرابی) به صورت زیر به دست می آید:7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدودیک نکته مهم در مورد تحلیل خطی سازی شده کمانش عبارتند از:- رابطه بیانگر این است که تحلیل خطی سازی شده کمانش می تواند حتی در هنگام وجود غیرخطی های هندسی و مصالح نیز انجام گیرد.

اسلاید 34: 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدودب- فلوچارت تشخیص نوع ناپایداری در تحلیل ناپایداری سازه هايك سازه N درجه آزادي با الگوي بارگذاري مشخص و هندسه معلوم در دست مي باشد . مراحل تشخيص نوع ناپايداري اين سازه در یک تحلیل ناپایداری به شكل يك فلوچارت در زير آورده شده است : تحليل غيرخطي هندسي و مصالح با اعمال كنترل تغييرمكان ( مثلاً با استفاده از روش Arc-Length Method )استخراج رفتار بار – تغييرمكان سازه Perfectمحاسبه دترمينان ماتريس سختي سازه در هر تراز بارگذاري. در يك تراز بار اين دترمينان صفر يا منفي خواهد شد

اسلاید 35: اعمال تغييرمكان را ادامه مي دهيم انجام تحليل Linear Buckling Analysis و استخراج مودهاي كمانش سازهاگر با افزايش تغييرمكان ، افزايش بار داشته باشيم ناپايداري از نوع دوشاخگي خواهد بود چنانچه با افزايش تغييرمكان ، بار كاهش پيدا كند ناپايداري نقطه حدي خواهيم داشتپايان اعمال مود كمانش غالب در دو جهت به سازه Perfect و ايجاد سازه Imperfect7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدود

اسلاید 36: تحليل غيرخطي هندسي و مصالح سازه Imperfect و استخراج رفتار بار – تغييرمكان سازه درهردو جهت چنانچه سازه در دو جهت مختلف رفتار يكساني نداشته باشد، ناپايداري از نوع دو شاخگي نامتقارن مي باشدچنانچه مسير دوم تعادل پايدار باشد ، ناپايداري از نوع دو شاخگي متقارن پايدار است پايان چنانچه سازه در دو جهت مختلف رفتار يكساني داشته باشد، ناپايداري از نوع دوشاخگي متقارن مي باشدچنانچه مسير دوم تعادل ناپايدار باشد، ناپايداري از نوع دو شاخگي متقارن ناپايدار است پايان پايان 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدود

اسلاید 37: 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدودپ- روش های نیرو – تغییر مکان – قید (روش های کنترل تغییر مکان)یک تحلیل غیرخطی، عمدتاً مستلزم محاسبه بار خرابی یک سازه است. شکل زیر به طور شماتیک پاسخ یک مدل سازه ای را نشان می دهد که ممکن است مورد نظر باشد. برای بارهای بسیار کوچک، پاسخ بار - تغییرمکان خطی است. دراین صورت با افزایش بار، پاسخ سازه ای به طور فزاینده ای غیرخطی می شود و در نقطه A به بار خرابی می رسد. پاسخ بعد از نقطه A به عنوان پاسخ پس خرابی یا پس کمانش معروف است. یادآوری می کنیم که در این شکل با افزایش تغییر مکان، نخست بار در این ناحیه کاهش و سپس افزایش می یابد.

اسلاید 38: 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدودبرای محاسبه پاسخی که نشان داده شد، در آغاز نموهای نسبتاً بزرگ بار را می توان به کار برد ولی با نزیک شدن به بار خرابی، نموهای بار باید کوچک تر شوند و همچنین گذر از نقطه خرابی دشوار است. در آن نقطه ماتریس سختی تکین است (شیب منحنی پاسخ بار - تغییر مکان صفر است) و در آن سوی نقطه مذکور، از یک روش حل خاصی برای محاسبه پاسخ پس خرابی باید استفاده شود تا کاهش در بار و افزایش در تغییر مکان را میسر سازد. برای بدست آوردن پاسخی که نشان داده شد، یک روش بار- تغییر مکان- قید را می توان به کار برد که در اساس توسط Riks پیشنهاد شده است. ایده اصلی در این روش، وارد نمودن یک ضریب بار در معادلات است که شدت بارهای وارد را افزایش یا کاهش می دهد تا اولاً همگرایی سریعی در هر گام بار حاصل شود، ثانیاً گذر از نقطه خرابی امکان پذیر گردد و ثالثاً پاسخ پس خرابی تعیین شود.

اسلاید 39: 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدودروش های کارآمد متنوعی پیشنهاد شده اند که در آنها برخی جزئیات عددی می توانند حائز اهمیت باشند. در ادامه بحث تنها به جنبه های عمومی این روش اشاره خواهیم کرد و از ارائه برخی جزئیات صرف نظر خواهیم نمود.فرض بنیادی در تحلیل این است که بردار بار در هنگام محاسبه پاسخ به طور متناسب تغییر میکند. معادلات حاکم عناصر محدود در زمان t+Δt عبارتند از:که در آن t+Δtλ یک ضریب بار (اسکالر) مجهول است که باید تعیین شود و R بردار بار مرجع برای n درجه آزادی مدل عناصر محدود است. این بردار می تواند شامل هر گونه بارگذاری در روی سازه باشد، ولی در سرتاسر محاسبه پاسخ سازه ای ثابت است. بردار t+ΔtF بردار معمول نیروهای n نقطه گرهی متناظر با تنش های عنصری در زمان t+Δt است. مقدار ضریب بار می تواند افزایش یا کاهش یابد و در حالت عمومی، نمو در هر پله زمانی بر حسب مشخصات پاسخ سازه ای تغییر می کند.

اسلاید 40: 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدود از آنجا که معادله مذکور نمایشگر n معادله با n+1 مجهول است، از این رو به یک معادله اضافی نیاز هست که در تعیین ضریب بار مورد استفاده قرار گیرد. اگر یکی از روش های پیشین برای حل معادله مذکور به کار روند نتیجه زیر حاصل می شود: که در آن ماتریس ضریب τK متناظر با روش های حل است که در بخش های پیشین مورد بحث قرار گرفتند. مجهولات در n معادله بالا، نموهای تغییر مکان ΔU(i) و نمو ضریب بارΔλ(i) می باشند. معادله اضافی مورد نیاز برای حل، یک معادله قیدی بین ΔU(i) و Δλ(i) به صورت زیر است:

اسلاید 41: 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدوداکنون در درون یک پله بار روابط زیر را تعریف می کنیم: بنابراین U (i) بیانگر نمو کلی در تغییر مکان ها در درون یک پله بار است {تا تکرار (i)} و (i) λ نمو کلی متناظر در ضریب بار را نشان می دهد. یک معادله قیدی موثر به وسیله معیار طول کمان ثابت کروی مشخص می شود:

اسلاید 42: 7. تحلیل پایداری سازه ها با استفاده از تحلیل غیرخطی عناصر محدودکه درآن ΔL طول کمان برای پله بار و β فاکتور نرمال شده (برای بدون بعد کردن عبارات) است. شکل زیر معیار مذکور را نشان می دهد. در عمل مقدار ΔL براساس تاریخچه تکرارها در گام های پیشین انتخاب می شود و اگر در پله بار کنونی دشواری های همگرایی پیش آیند، ΔL کاهش می یابد. اساساً هنگامی که پاسخ سازه ای تقریباً خطی است، ΔL باید بزرگ باشد و هنگامی که پاسخ بسیار غیر خطی است، باید مقدار ΔL کوچکی انتخاب شود.

اسلاید 43: با تشکر از توجه شما …