صفحه 1:
psghas ور
صفحه 2:
Fractal) Jess یا برخال یا فرکتال شاخه جدیدی از ریاضیات و هنر
است. اغلب مردم فراکتال‌ها را فقط به عنوان تصاویر زیبایی می‌شناسند که برای
پس‌زمینه صفحه نمایش رایلنه یا کارت پستال به کار می‌برند. اما فراکتال‌ها
واقعاً چه هستند؟
اغلب سیستم‌های فیزیکی در طبیعت و بسیاری از مصنوعات بشر آشکال
هندسی منظمی مطابق هندسه استاندارد اقلیدسی ندارند. هندسه فراکتالی
روش‌های تقریبا نامحدودی برای توصیف. سنجش و پیش‌بینی این پدیده‌های
طبیعی ارلئه می‌کند. اما آیا می‌توان با استفاده از معادلات ریاضی کل جهان را
تعریف کرد؟
صفحه 3:
بسیاری از افراد مجذوب تصاویری هستند که به آنها فراکتال می‌گویند.
هندسه فراکتللی فراتر از تصور معمول مردم درباره ریاضیات است که آن را
فرمول‌های پیچیده و کسل‌کننده می‌بینند. این هندسه. ریاضیات را با هنر در
می‌آمیزد و نشان می‌دهد که معادله‌ها چیزی جز یک مجموعه عدد نیستند.
آنچه فراکتال‌ها را جذاب‌تر می‌کند. لین است که بهترین توصیف‌های ریاضیاتی
موجوه: برآی بسیاری از بدیده‌های اظبیعی: ماندد بنواعل: کودها یا بخش‌هانی از
موجودات زنده هستند.
صفحه 4:
اگرچه هندسه فراکتللی ارتباط نزدیکی با فناوری و رایلنه دارد. اما برخی افراد
مدت‌ها قبل از اختراع رايانه بر روی فراکتال کار کرده بودند. این افراد
نقشهبرداران بریتانیلیی بودند که در اندازه‌گیری طول ساحل انگلیس با مشکل
روبهرو شدند. خط ساحلى كه روى يك نقشه در مقياس بزرك به دست آمده
بود. تقریباًنیمی از طول خط ساحلى بود كه در يك نقشه دقيق و با جزئيات
اندازه‌گیری شده بود. هرچه Gal 99 نقشته به یکدیگر نزدیگ‌تر می‌شدند. خط
ساحلی دقیق‌تر و طولانی‌تر می‌شد. آنها به این نکته پی نبرده بودند که یکی از
اصلی‌ترین ویژگی‌های فراکتال‌ها را کشف کرده‌اند.
صفحه 5:
ویژگی های فراکتال
دو مورد از مهم‌تریین خصوصیات فراکتال‌ها. خودتشابهی. Self-)
۷ و 1 (Non-integer Dimension) e»2,é
آنها است.
اما خودتشابهی چیست؟ اگر به برگ سرخس دقت کنید. متوجه می‌شوید که
شکل هر برگ کوچک (بخشی از برگ بزرگتر) شبیه کل برگ سرخس است و
می‌توان گفت که برگ سرخس شبیه خود سرخس است. همین مورد برای
فراکتال‌ها نیز وجود دارد: می‌توانید آنها را بارها و بارها بزرگ‌نملیی کنید و بعد
از هر مرحله. همان شکل را بب
صفحه 6:
صفحه 7:
ویژگی های فراکتال
توضیح غیرصحیح بودن بعد فراکتال کمی دشوارتر است. هندسه کلاسیک با
اشيائى با ابعاد صحیح سر و کار دارد: نقاط صفربعدی. خطوط یک‌بعدی.
منحنىها و شكلقاى صفحه-دوبعدى مانند مربعقا:و دايرههاء:و اجسام سةيعدى
مانند مکعب‌ها و کره‌ها. با لين حال بسیاری از پدیده‌های طبیعی را می‌توان با
استقافه از اسافیبین ذو عده سای بهتر فوسیف گوند بتابزلين»:در حالى كه
يك بعد یک خط مستقیم یک است بسته به اينکه فضا به همان اندازه پیچ
خووفه ومفحنین بمنتة اشود بيكك.منحدئ فزاکتال بعدای.بین يك خا ذو خواهد
داشت.
صفحه 8:
ویژگی های فراکتال
هرچه فرکتال مسطح یک صفحه را پر کند. بعد آن به دو نزدیک می‌شود. به همین
ترتیب. «منظره فراکتال کوهستانی» به ابعادی بین دو تا سه می‌رسد. بنابراین: BH
یک منظره فراکتال که از یک تپه بزرگ پوشیده از تپه‌های ریز و کوچک تشکیل شده
است. به دو نزدیک می‌شود. اما اگر کوه شامل یک سطح ناهموار متشکل از تعداد
زیادی تپه متوسط باشد. بعدی نزدیک به سه خواهد داشت.
فراکتال‌ها انواع مختلفی دارند که در اینجا دو نوع از محبوب‌ترین آنها را معرفی
می‌کنیم: فراکتال‌های عدد مختلط ۱۱۷۳۵۵۲ 0۳۱۵۱۵) و فراکتال‌های
سیستم تابع تکرارشونده (5۷5۲6۲۳ ۴۵۳۲1۱۵۲ ۲6۲۵۲60) يا ۱۳5
صفحه 9:
یک عدد مختلط شامل یک عدد حقیقی است که با یک عدد موهومی جمع
می‌شود. معمولاً وقتی یک عدد مختلط را در صفحه مختلط نشان می‌دهیم. آن
را یک «نقطه» در نظر می‌گیریم. اگر عدد مختلط 0.1 + 3 = 2را داشته
باشیم» مختصات این نقطه. 2 (محور افقی حقیقی) و 0 (محور عمودی
موهومی) هستند. واحد اعداد موهومی 1 - 2۷ است.
دو محقق برجسته در زمینه فراکتال‌های عدد مختلط, «گاستون موریس ژولیا»
و «نواً مندلبرو» هستند.
صفحه 10:
۱
گاستون موریس ژولیا در اواخر قرن نوزدهم در الجزایر به دنیا آمد. او زندگی
خود را صرف مطالعه تکرار چندجمله‌ای‌ها و تولبع گهیا کرد. ژولیا در حدود دهه
۰ پس از انتشار مقلله خود در مورد تکرار یک تلبع گویا مشهور شد. با این
حال. او را پس از مرگ به فراموشی سپردند.
در دهه ۱۹۷۰ كار كاستون موريس زوليا توسط بنوآ مندلبرو لهستانی احیا شد
و محيوبيت پیذا کرد»سنحلیزو که کازسنة فرکنت آی‌بی‌ام. بوده.باالهام از کار
ژولیا و با کمک گرافیک رای‌ای. توانست اولین تصاویر را از زب
فراكتالهابي که تاکنون شناخته شده‌اند به نمایش ب
صفحه 11:
مجموعه bli 5! clacgexe (Mandelbrot Set) 5 luis روی یک
صفحه مختلط است. برای ساخت مجموعه مندلبرو باید از یک الگوریتم مبتنی
بر فرمول باز گشتی استفاده کنیم:
0+ ر 23 <.27
نقاط روی صفحه مختلط را به دو دسته تقسیم می‌کنیم:
* نقاط درون مجموعه مندلبرو
* نقاط بیرون مجموعه مندلبرو
صفحه 12:
تصویر زیر بخشی از صفحه مختلط را نشان می‌دهد. نقاط مجموعة منتلبرو با
رنگ سیاه مشخص شده‌اند. 1
4
صفحه 13:
همجنين مىتوان رنكى راجه نقاط خارج از 0
رنگ آنها به تعداد تکرارها برای تعس. نقاط خارج از محموعه
5
دارد.
صفحه 14:
مجموعه‌های ژولیا (565 2االال كاملا با مجموعه مندلبرو در ارتباط هستند
و عملكرد تكرارى كه براى توليد آنها به کار می‌رود. همان فرایند مجموعه
متذلليرو. اسات- كنهبا تقاوت»«نحوه:استقاذه: از اين فرمول seein yelp neal!
تصويرى از مجموعه مندلبرو هميشه با شروع از 0 < 20 فرمول را براى هر
نقطهن) در صفحه مختلط تكرار مىكنيم. اكر بخواهيم از يك مجموعه زوليا
تصويرى بسازيم. در كل مراحل تشكيل od ) باید ثلبت باشد در حالى كه
مقدار 04 متغيير است. مقدار :). شكل مجموعه زوليا را تعيين م ىكند. به
عبارت دیگرنهر نقطه از ضفحه:مختلط با يك مجموعه خاض زوليا متناظر
صفحه 15:
فراکتال‌های سیستم تابع تکراری
فراکتال‌های سیستم تابع تکراری (۳5) بر اساس تبدیلات ساده صفحه. مانند تغییر مقیاس,
جابه‌جایی و چرخش محورها ایجاد می‌شوند. ایجاد یک فراکتال 1۳5 شامل مراحل زیر است:
.۱ تعریف مجموعه‌ای از تبدیلات صفحه
رسم یک الگوی اولیه در صفحه (هر الگویی)
تبدیل الگوی اولیه با استفاده از تبدیلات تعریف شده در مرحله اول
تبدیل تصویر جدید (ترکیبی از الگوهای اولیه و تبدیل شده) با استفاده از همان
مجموعه تبدیلات
0 تکرار مرحله چهارم هر چند بار ممکن (در تلوری؛ این روش می‌تواند بارها و بارها تکرار
كود
هذ هذ بهد
صفحه 16:
معروف‌ترین فرکتال‌های ۳5| مثلث سیرپینسکی و برفدانه کخ هستند.
مثلث سیرپینسکی فراکتللی است که با وصل کردن نقاط میانی هریک از
اضلاع یک مثلث متساوی‌الاضلاع تشکیل می‌شود. تکرارها را بید بارها و بارها
انجام دهیم. شکل‌های زیر چهار مرحله اول ساخت مثلث سیرپینسکی را نشان
می‌دهد.
صفحه 17:
صفحه 18:
با استفاقه از Jie gal مي‌توانيم اقبات 'كنيم بعد 'فزاكتال ها غدذى :.صحيج
تیلست
ابتدا بايد دريابيم كه «بعد» يك جسم با افزايش بعد خطى لن جكونه رفتار
می‌کند. در یک بعد می‌توانیم یک بخش خط را در نظر بگیریم. اگر بعد خطی
قطعه خط دو برایر شود. طول (اندازه مشخصه) خط نیز دو برابر می‌شود. در دو
بعده اگر ابعاد خطی یک مربع مثلاً دو برابر شوده اندازه مشخصه. یعنی مساحت»
با ضریب ۴ افزايش می‌یابد. همچنین در سه بعد. اگر بعد خطی یک جعبه دو
برابر شود. حجم آن با ضریب ۸ افزایش می‌یابد.
صفحه 19:
لین رابطه بين بعد (آء مقياس خطى ا و نتيجه افزليش اندازه 5 را مى توان به
صورت كلى تعميم داد و به شكل زير نوشت:
S=L.D
با بازنویسی مجدد این فرمول بسته به اندازه به عنوان تابعی از مقیاس
بندی خطی, توصیفی را برای بعد بدست می آوریم:
صفحه 20:
برای ساختن برفدلنه کخ. باید از مثلث متساوی‌الاضلاعی با طول ضلع مثلاً ١
شروع کنیم. در میلنه هر ضلع. مثلث متساوی‌الاضلاع جدیدی با ضلع یک‌سوم
اضافه خواهیم کرد و اين روند ۰۰۱۰ »| :اٍ<ود تکرار می‌کنیم. طول مرزها يا
همان محیط بی‌نهلیت است ( ۰۰۰۰ ۰3 ۰3 3 :3» مساحت کمتر از مساحت یک
دایره محیطی در اطراف مثلث اصلی است. لین بدان معنی است که یک خط
بی‌نهلیت طولانی یک سطح محدود را احاطه کرده است. ساختار نهلیی برفدانه
کخ شبیه اخط ساحلی است:
صفحه 21:
fh زیر چهار گام تفکیل برف‌داند کنخ .را فشان مي‌فهد:
صفحه 22:
تصویر متحرک مقابل نیز تکرار در
تشکیل برفدانه کخ را به خوبی نشان
می‌دهد.
صفحه 23:
صفحه 24:
۳
هندسه فراکتللی در بسیاری از حوزه‌های علمی مانند اخترفیزیک و علوم زیستی
کاربرد دارد و به یکی از مهمترین تکنیک‌ها در گرافیک رایانه‌ای تبدیل شده
است.
بیشترین استفاده از فراکتال‌ها در زندگی روزمره در علم رایلنه است. بسیاری از
طرح‌های فشرده‌سازی تصویر از الگوریتم‌های فراکتال برای فشرده‌سازی
پرونده‌های گرافیکی رایانه به کمتر از یک‌چهارم از اندازه اصلی استفاده می‌کنند.
گرافیست‌ها از اشکال فراکتال زیادی برای ایجاد مناظر با بافت‌های وییّه و سایر
مدل‌های پیچیده استفاده می‌کنند.
صفحه 25:
۳
همچنین. می‌توان انواع تصاویر واقعی فراکتللی را از مناظر طبیعی, مانند مناظر
قمری. کوهستان‌ها و خطوط ساحلی ایجاد کرد. تصاویر فراکتالی در جلوه‌های
ویثه بسیاری در فیلم‌ها و همچنین در تبلیغات تلویزیونی وجود دارند. از
سیگنال‌های فراکتللی نیز می‌توان برای مدل‌سازق اشیاء طبیعی استفاده کرد
که به ما لین امکان را می‌دهد تا از نظر ریاضی محیط خود را با دقت بالاثری
نسبت به گذشته تعریف کنیم.
صفحه 26:
صفحه 27:
بسیاری از دانشمندان دریافته‌ند که هندسه فراکتللی ابزاری قدرتمند برای کشف اسرار
طیف گسترده‌ای از سیستم‌ها و حل مسائل مهم در علوم کاربردی است و به همین دلیل؛
تعداد سیستم‌های فیزیکی فراکتال شناخته شده به سرعت در حال رشد است.
فراکتال‌ها دقت ما را در توصیف و طبقه‌بندی اشیاء تصادفی یا ارگانیک بهبود بخشیده‌اند.
اما شاید هنوز کامل نباشند. شاید آنها فقط به دنیای طبیعی ما نزدیک‌تر شده‌اند و هنوز
خود آن نیستند. برخی دانشمندان هنوز بر این باورند که واقعیت تصادفی بودن است و
هیچ معادله ریاضی قادر ثیست آن رابه:طور کامل توصیف کند. هرچند؛ تمی‌توان گفت
کیام گفته درشنت انتت.
شاید برای بسیاری از افراد فراکتال‌ها هرگز چیزی بیش از تصاویری زیبا نباشند.
a
صفحه 28:
By dye) 1
۰ دو مورد از مجمترين خصوصیات فراکتال ها کدام است؟
۱ خودتشایهی در فراكتال را توضيح دهيد.
sds 1 : ف
فرمول ساخت مجموعه مندلبرواز جه فرمولى استفاده مى شود؟
صفحه 29: