رياضی عمومی (2)

صفحه 1:


صفحه 2:
لازم به تذکر است به جهت این که ۳010 بکاربرده شده در اسلاید ها 111122231111 28 می باشد خواهشمندیم قبل از نمايش اسلایدها به نصب 3010 مذکور که در 1ن) موجود می باشد اقدام 

صفحه 3:
نام درس: ریاضی عمومی (۲) تعداد واحد: ۴ واحد منبع درس: کتاب ریاضی عمومی (۲) مؤلف: محمد جلوداری ممقانی تهيه كننده: محسن ساعدى نوع درس: ياسايه دق دانشگاه تام نور 

صفحه 4:
فصل اول: دنباله وسری که شامل ع ایدم خاشو: فصل دوم: هندسه تحلیلی که شامل ۱۰۰ اسلاید می باشد. فصل سوم: جبر خطی که شامل ۱۴۷ اسلاید می باشد. فصل چهارم: رویه ها و دیگر دستگاههای مختصات که شامل ۴۲ اسلاید می باشد. فصل پنجم: توابع برداری یک متغیره اک شام وا شلات مت ماش 

صفحه 5:
فطل ادف 1757 سرى ها هدفهاى كلى دنباله و سرى از مفاهيم بنيادى حساب ديفرانسيل و انتكرال هستند. دانشجو در اين درس با اين مفاهيم . مفاهيم وابسته و كاربردهاى ساده آنهاء نظير ييدا كردن حد برخی دنباله ها ء به دست آوردن مقدار تقریبی برخی اعداد و .. آشنا می شود. هدف کلی از ارائه این فصل آشنا کردن دانشجو به طوری که مطالعه درسهای آنالیز ۱ و معادلات دیفرانسیل برای آنان آسانتر والذت بخشتتر باشد. 

صفحه 6:
هدفهای رفتاری: دانشجو پس از مطالعه این فصل باید بتواند : lls Sees ‏هاى صعودى :ولي و‎ a) ‏مثالى ذكر كنت‎ plas 7 دنباله هاى همك را و واكرا را از هم باز بشناسد . و در هر مورد كال راك كسد SA ea a sy eas pastas ee SY ۴ ثابت کند که مجموع . تفاضل ‏ حاصلضرب ؛ و خسارج قسمت دو هه لت ابرم مر هت وی لاله ای ‎eal‏ 

صفحه 7:
۵ سری, جم له عمومی سری, مجم_وع جزئی « ام سری.همگرایی وواگرایی سری را تعریف کند. ۶ او ون کوه ی برای هفگزایی وا را نان ‎Ug a2‏ از آن آرمون وک رای لي ار ۲ آزمون همگرایی سری‌های با جمله های نامنفی و مجمسوع جزئی کراندار را بیان کند. - انواع آزمونهای همگکرایی . آزمون مقایسه . آزمون نسبست ۰ BOS ‏اد‎ NN lS Lh eS ‏أزمون ری‎ ‎A‏ ثابت کند که سری قوگرا و سری “10.1 >< كملكااست. ‎nek 7‏ 

صفحه 8:
۰ سری‌های متناوب را شناسایی و آزمون همگرایی آنها را بیان کند و به کار برد ‎tos I a, Lang GE eS 1١‏ روگ رابى مطلق همگرایی معمولی را ایجاب می کند . ‏۳ سریهای توان را تعریف کند . شعاع همگرایی و بازه همگرایی را برای هر سرى تون را به دست أورد. ‏۳ با سریهای توان روی بازه همگرایی به عنوان یک تابع رفتار كند و ‏تشخیص دهد که تحت چه شرایطی:می توان حد سسری توان را محاسبه کرد ار اون ف یبیرقت 

صفحه 9:
he Sal lg weak ‏رف د‎ oe al ۵ رابيان کنیم . در میان اين مفاهیم . ايى دنباله اهميت ‎ley‏ دارد در واقة؛ بيك جواهيم كر كه بد هر صتبالة الى عددى ‎Siege Se‏ اين كار امكان يدير باشدامى كوييم دنياله جمكراست کته دنله واكر ناغير حتكو هنا كد ونه یک تر نين الله ا ,| مق و وا سد وسقي كني 

صفحه 10:
اس رد تعریف فرض کنید ۸ مجم_وعه ای دلخواه باشد. تابع ]با قلمرو لاو برد ۵ را یک دنباله ذر ۸ می گوییم‌مقت دار ۶به ازای ‎as) ayes alee Lyn‏ ] مین امیمو معمولابه صویت 76۰ (0. ن شارمي‌دهيم‌در تعریف ۱ ار ۸۳8 با 4 ش- آنگاه دنباله را حقیقی یا مخثلط ‎ga‏ نامیم. ‎Ney‏ 7 الف) دنباله ‎SAPs‏ دنباله از اعداد حقیقی و لذا یک دنباله حقیقی اشت . جمله غمومی این دنباله عبارت است از: ‎a, =n‏ 

صفحه 11:
۱:۱۴ تعریف: می گوییم دنباله حقیقی .19 عدد اهمگراست اگر به ازای هر ۰ ل8<۷ یک عدد طبیعی "جود داشته باشد که از نجه می شود: عع لا - مها كو كتاله ‏ وله عدمی همتگرا تخت واگتیوا دامی ده می شود ۵ زاره اگر دنباله ‏ (مقآبه اعداد حقیقی او همتسرا باشد آنگاه به عبارت ديكر , هر دفباله مي وی یاک به بک عدد حفيقى قنگر باشد: 

صفحه 12:
1-11 eg we Sgt ‏فرض كنيد [* و در تعریف همگرایی را تقباوی با‎ ‎n> : 1 :‏ بر ای رت «لجود دارد که از مارح ‎BS‏ ‎iS ‎ee yet ‏ار رل نع‎ ta ‏عال با اسفاده ات امساوی مطت و نامساوى های فتوی به ای ۰ بات (۱-1 1-1۱ ‎te‏ نها - بوک 1 -1 ‎e‏ لو -[1 -یه 1 - ی 1 حلا 2 1 واكرا از اين رو > ‏آين یک تناقض است > ولذا ۰ "یا استفاده از این گزاره تعریفن زیر را داریم: ‎ 

صفحه 13:
۶ تعریف : اگر دنباله (ي©ه عدد 1 همگرا باشد می نویسیسم: 1=lima, ترفك ‎fa,} ES ae Es se a‏ به ‎GO‏ را باشک نیز به کار می بریم : يعني ‎sly Paks)‏ 9 باشتد آنگاه : ‎=lima,‏ مه 

صفحه 14:
eo AN ‏همگراست:‎ Be = ft ‏الف) دنباله‎ 3 oe Bae ‏برای مشاهده اين امر ۰ 00حراادر نظر بگیرید و قرار دهید‎ آن [] نماد جزء صحیح است . در این صورت از واتجللریف جزء 1 نا خر وک lim+ =o aoe 

صفحه 15:
الف) دنباله حقیقی ,9 صعودی (نسزولی) می نامیم اگر به ازای هر عدد طبیعی ۰ داشته باشیم : ‎Ayn <A)‏ بيق>ية ‎eal coe (slg 3.) gg ro Ua atin‏ اگر به ازای هر عدد طبیعی ‎actly n‏ باشیم: ‏(بیقک مق) ‎Sa,‏ يبية ‏ب) دنباله ما که دست کم در یکی از ویژگیهای (الف) یا (ب ) صدق ند یکنوا می تامیم: 

صفحه 16:
ت) دنباله ۰ ۳7 از بالا (پایین) کراندار می نامیم اگر عده نامنفی ‎M‏ وجود داشته باشد که به ازای هر عدد طبیعی ه داشتسه باشیم: ‎a,<M (M<a,)‏ ث) دنباله ‎Han}‏ کراندار می نامیم اگر از بالا و از پایین کراندار باشد. كبكالة كف كراكدار دإستتحد بيك كران تامیتگنه یی هن تون 

صفحه 17:
۰ ۱ مثال: ‎ae‏ و ‏1 >2 برقرار لست ليرجن 4 بىك ولراستزی_را بسه ازلی‌هر عدد مثبت ۷ و به ازای [22]1۷ داريم 2+1<1/4 . ‏2-1 ‏ب) دنبالة . .2« ‎soy}‏ است » زیر به ازای 1<1 داریم: ‎ ‎a 0‏ 2 حال اگر 2<1 آنسگاه با توجه به نامساوی ‏تم >1 لثم 

صفحه 18:
وف هه یی هریم Bugs aie te ane 9 3+1 ملس ‎og a‏ امنا 1 ب) دنبالة أنزولى و کراندار است . در واقع به ازای هر عدد طبیعی « داریم و 2+1 نامساوى وسط حاكى از نزولى بودن دنباله و نامساوى كنارى حاكى از كراندار بودن آن هستند. 

صفحه 19:
۵ متا از مثال ۰۷ ۱۰۱ می دانیم که دنباله ‏ - ‎Alea}‏ عمومی a, =D" واگراست: از طرف دیگر به ازای هر ظ دازیم: 1 0۳ 2 امه A Casi slat alias 015) 5 

صفحه 20:
تر دنباله هرا کوشی می نامیم اگر به ازای هر طل3 كلبيعى موه هاش اش ایح وه خی نب مج شود >إمة - معا تال : 1 ‎alls‏ [2 آکوشی است . (۷< ۶ را در نظر می گیریم . به آزای هر دو عدد طبیعی « , 2 داريم 1 حك وس حمر , اه ale m ni 

صفحه 21:
1 و از این رو با انتخاب 1+ = و با استفاده از نامساوی طرف چپ داریم Ia oe ae YN YY ‏رشتين‎ ABST iG 5A Sey Sas wl ‏اك لعفا يك دی‎ ‏گر انیت‎ Bit, See AG Se, see ede Ca alah 

صفحه 22:
‎ANY.‏ ال ‏ا ‏القع دنباله سا 2-1 کوشی است »زیر همگراست. ‏)حون يه ازاى :+821 دشاله 1 ۴ هیگراست . پس کوشی ات ‏ب) دنباله 7 لَى كران ولذا واكراست و بنابراين كوشى نیست . 

صفحه 23:
CBS Van A ‏فرض کنید دنباله های ۰ (۹8۰ ۰ (ماترتیب به ۵ , ظ همگرا باشند و » عددی‎ دلخواه باشد . در این صورت الف) دنباله ‏ :۲ * مقابه +2 همگراست ‏ یعنی linfa, +b,) =lima, +limb, ب) دنباله ,م8 به طله همگراست » یعنی: ‎linfa,b,) =lima, limb,‏ به ويزه ‎limca, =clima,,‏ 

صفحه 24:
۰» ‏طو به ازای هر‎ si یعنی ۶ ۱ دمتال : cs [foo fal oti 70 ‏ل ل‎ aoe Bh “limb, 1 : ‎iin 1+ 3 call‏ محاسبه کنید. اد جل: ل" فرض كنيد 1 و ملاچون limb, =Q. lima, =1 lin 14+ | =linfa, +b,) =lima, + limb, =1+0=1 

صفحه 25:
حدهای صورت و مخرج را جداگانه محاسبه می کنیم. limt+ lim 210-1 2 بنابراین 

صفحه 26:
۶ قضیه ساندویجی گر دنيالة. ‎٠‏ جر در به هدام هی گرا زاشند ,و دنله جون لح به ازای هر در »هط ند آنگاه ‏ نیز ‎cl Bae a‏ اثبات: E> ‏“را در نظر بكيريد. نا به تعریف همگرایی ی لبود دارد كه‎ ۲ هک 6 ر دية > 6 - 5 يط خط بنابراین اگر ۳ آلگاه -e<a,- a<b,- a<c,-a<e cel Sama Pat ‏بنابراين‎ 

صفحه 27:


صفحه 28:
‎RSA (er‏ ۰ اج لت ‎es ‏(,ع) را به صورت‎ هلابند‎ ‏احم ‎Ae‏ جطلةك يه ‎ ‏تعریف می کنیم . روشن است که به ازای هر ۰ ‏ی و ‎nn- D2 0 ‏+ يج +1ك 12+ يه) ص ‏بنابراين به ازاى ‏ 22 قاریم ‎ 

صفحه 29:
له وه 3 ۱ ی اران lime/n =1+ lima, =1+0=1 ۸ قطیید : فرض کنید تابع 70207167 وى[ پیوسته و ‎Buds‏ اى از (عضای تاش كه ‎es‏ فمكراسك. در اين شور له (,666 به(1)8 همكراست. 

صفحه 30:
la Ven الق تب کال روم بل وه ات اراس داریا ب) می دانیم که تابع (10(<1۳)1+2 روی 1-< 5 پیوسته است . همچنین می دائیم ‎g cA BA) gl Mim 1S‏ داريم: limin@+ ¥/n) =Inl1+ lims/n) =Ind+) =In2 

صفحه 31:
شرکنپذیری عمل جمع روی مجموعه اعداد حقیقی (مختلط) موجب می شود که مجموع هر تعداد متناهی بت :يقن إقداد معنى دار باشد و به روش یکتایی به صورت م3 ...+ بقكارة داده شود. با وجود اينء مجموع بينهايت عدد داراى معناى روشنى نيست. در اين قسمت مفهوم مجموع بينهايت عدد را با معرفى سرى ارائه مى دهيم. 

صفحه 32:
رف به دنباله 4« .0 دنباله جدید ‏ ابا تعریف S, =a,,S, =a, +a),...,S, =a tat...ta, aa, ار ‎eae‏ ای ای ی ی بای با 2 تشان مین دهیم و می خوانيم « دنیگمای :۰۳۰4 را خطه ممومی MBSE yO alla ln a vee GV alte (hse ‏ری و۱ هرا موم‎ ‎RY 0‏ مجموعهاى جزئى سرى. © هع ناميم. توجه كنيد كه اكر تعريف كنيم ‏0 آنگاه ‎a, =S,- So n=12,...‏ 

صفحه 33:
da ‏یم لوا مقاريم‎ فرض كنيد ae a Be آاتوجه کنید که برای محاسبه 1 1 1- an =G + at. ad Ayn = S =2, =G)'=5 = 2 ‏کل الب‎ S, =a,+a, - + =1,1.3 S, =a+a,+ از# مول تصاعد هندسی استفاده کرده آیم. 

صفحه 34:
۴ ۱.۲ تعریف: ‎fe‏ بكرا همسگرا می نامیم اگر دنباله مجموعهای جزئی آن ‏]ناد ايخ ی اواکترا هی تامیم 8 51 ‎|S oe‏ باشد.درغیر اين صورت سری را واگرا می نامیم. اگر . یعتی دنباله مجموعهای جزئی سری ۰ ۰ "52۸۴ همگرا باشد » 5 را مجموع ‏سری می امیم و می نویسیسم. 

صفحه 35:
۵ هشال : الف) دنباله مجموعهاى جزئى سری ‎Ae‏ رام ذر مثال 35 . ( ديديم كه 1 تج 

صفحه 36:
رط کر دای هک ‎eye‏ 2همگراست اگر و تنها اگر به اای هر 5 طبیعی یافت شود که به ازای هر ‎pst a DEN PPD‏ ee ee این شرط را شرط کوشی برای همگرایی سری یی نامیم . یکی از نتایج بسیار مهم شرط کوشی را که نوعی آزمون واگرایی است در زیر می آوریم. 

صفحه 37:
‎BY,‏ ره ‎SS) So gh lima, OST ash Se 9۰ یرس ‏اگر‎ ‎ima, #0 ‎Se ee acter ae‏ واس ‎a ess Go Se WS aS ap gl‏ فوق نادرست است .آبدین معیتی که ‎lima, =0 5‏ ‎Ope cell Shi‏ م#بللشرط وه نود مارد لامتذکر می شویتم که نتیجتهو نکته فوق حاکتی از آن اند که برای بيدا كردن سريهاى همكرا بايد در ميان سريهايى بكرديم كه حد ‎Geel ks Ul eg ae aL 

صفحه 38:
۸ تال : eal cl ‏بو‎ T9592 ‏الف)می دانیم که سسری‎ تا روشتتن آست که ‎ee.‏ =: as 4 Sn Timm? = 40 ‏ب) سری .3 یگ واگراست » زیرا‎ بو اي رواک راست از ۰ -#دنلود ندارد. 1 ت) بنابر مشال ۱۰۳۰۵ (پ) سری . تشر بنابراين در شرط كوشى صدق مى كند. 

صفحه 39:
ت) كد كال 6 ‎١‏ ران شري ‎"١‏ تمص كرفت وطابرائن در شرط كوشى يلاق مى انها در زير دسته اى از سريها را كه كاربردهاى فراوان دارند معرفى مى كنيم. ‎ss‏ رت ‎Sa‏ ‏وی یقرت عدن وود ات اسن مت وم 3 رايك سرى هندسى با قدر نسبت 8 مى ناميم. جون به ازاى هر ۰۸ ‏با اد ار ار با امه ی ‏هندسی به ازای هر ۵ با شرط ۰ 1< #أكراست . 

صفحه 40:
با استفاده از عمسلهای جمع » ضرب . تفریق » تقسیم و ... اعداد حقیقی می توان از سریس‌های داده شده » سریسهای جدیدی به دست آورد . در اين قسمت همگرایی یا واگرایی برخی از این سریهای جدید را مورد بحث و بررسى قرار مى دهيم. 

صفحه 41:
ار ۱:۲ تعریف ؛ ‎a ncn‏ ری مه وی باه Sibu SPs Sip Be hd.) ‏الف) سری‎ Cc ae. ‏ودر هر‎ ABC eI ata) 

صفحه 42:
۲ قضیه : ‎Sa 1‏ 1 و گرا و » عددی دلخواه باشد . ‏آنگاه سریهای ‏ (,9 + ,@+ ; هر هد داكت ‏بط تک + بت کر (ررط + به) کر ‎20 n=O n=O ‏د ‎n=O 0 

صفحه 43:
Se ee : ‏مثال‎ ١ ose BEE SES le ps elle Banas 0 ‏لات‎ ‎na ‏و‎ 2 n+) ‏انا‎ ‏ار‎ ‎11 es ‏الال ارين + ذا‎ Dy eee eat oe ce تچ و 

صفحه 44:
Bis Vet AG ختیاله مق جمله های ان واه ‎Ke, mm teil ts‏ اعداد تابخ كسيد در نظردمى كبري ‎zi‏ الف ) اگر ‎oe‏ (واگرا باشد آنگاه ۰۱ یگ ‎sie pas cud OSL)‏ تعداد متناهى جمله از اول سرى در همك رايى (واكرايى) آن تاثيرى ندارد. ب) سرى )230 رابه صورت زير تعريف مى كنيم: b, n=012...k Arce N=k+1k+2.. 

صفحه 45:
در این صورت . (sigan ‏(واگراست ) اک و تنه اكر‎ Sas aR باشد . یعنی اضافه کردن تعداد متناهی جمله به اول سری همگرایی آن را تفییر نمی دهد. ‎we (۳‏ : x 2 5 ‏سر‎ ‎Saat es eee a, se ne a Neal Saw ‎Tet‏ 1 ا ‎٠ 2 2‏ هک 2 ‎Ce So oabe exe 

صفحه 46:
| ۱ ۱۰۵ همگرایی مطلق . همگرایی مشروط در این قسمت سری های با جمله های نامتفی و سریهای متناوب را که جمله های آنها به طور متوالی مثبت و منفی هستند » معرفی می کنیم . سریهای با جمله های نامنفی نت نف ‎RC Gh Oy ry Ue, Pegs‏ Fase Vad a4 5 aes ‏الست مسي لسري تاوت مق‎ ٠. ‏هرا كد كن إن شام‎ 2 ‏ا‎ 

صفحه 47:
NON الف) سری سری متناوب است . در اینجا به ازای هر ۰ ‎ae‏ ‏این سری واگراست . رب م س4 2 ‎١‏ تكسارت اننت ‎pha las ease nie‏ ی این منظور فرض می کنیم که . مجموع جزئی ام سری باشد ثابت می شود که 6, ee 

صفحه 48:
۴ قتعریف : و موم vases ۵ Mig foe less do Slee Gach el ou ab ‏اثبات:‎ ‎S, =a,+a,+..+a, ِ‏ قرار می دهیم: ‎esa Rss eal eae ee Oa oe has ‏ور‎ ‏سرى ‏ متقرفت. 

صفحه 49:
۶ ممنثال : الف) فرض كنيد 1 en ‏اه‎ ‎0 ‏فرد‎ 2 & aes ay (oes OE etl ee ‏و‎ سری عبارت اند از ‎S =a, =0 S, =a, +a, =0+1=1‏ ‎S, =0+1+0=1 5 =0+1+0+1=2‏ به راحتی می :وان دید که ار ولذا 181 بى كران و بتابراين ‎on ie‏ 

صفحه 50:
ب) ‎(+2M+3)‏ بت سری با جمله های مثبت است . دارم = 1 ‏ل‎ ۱ Sed oar 6 ee ee, ‏مت د‎ 7 2 23 2 1+2 1+3 3 n+3 1 مشاهده می کنیم که به ازای هر ‎ .«‏ 5 ولذا سری مذکور همگراست . ۷ or au tee ‏همگرای مطلق می نامیم اگر سری‎ ae or ‏ار شد‎ Bos Sea Shea ‏م‎ clea 

صفحه 51:
: ‏منال‎ ٩ الف) در متال ۵۰۲ ۱۰:دیديم که تر مان ۱۳۵ دیديي که شزرو x6 or . ‏سری یگ همگرای مشروط است‎ ned ‎gle ag Fay‏ است . زیرا بنابر مثال ۰۵ ۱۰۳ (چ) ‎eae e Sole n(n- 1) ‎ 

صفحه 52:
اکن عند قصية برای ین همگزای با واگرای ‎ail ly‏ داده ادج این قضیه ها عبارت اند از : ‎ima lima, 40‏ 3 الف) اگر و تاه کاب :22 ‏وراه ‏ب شرط عوشي ورا ام راي رف 02 ب) أكر دنباله مجموعهای جزفی سری با جمله ‎STAMPS (piel ele‏ سری همگراست (قضیه ۰۵ ۰۵ 0 ‎0087 06 ‏“متكراست (قضيد‎ ٠ tet sani sce sl Gos ‏در اين قسمت ابزارهایی برای تعیین همگرایی سریهای ارائه می دهیم که متکی بر ‏له ها موی سریها هنن 

صفحه 53:
‎EEN‏ ۱ قضیه (آزمون مقایسه) ‎b, »‏ سریهای با جمله های نا منفی ‎2m‏ "بر نظربگیریدو فرض کنید به ازلى هر ‎a, <b,‏ ‎an ‎. ‏“عراست‎ ٠ ‏يهمكرا باشد. آنكاه‎ gt al cca MP ST ‏ب) اكر 38 نصواكرا باشد ء‎ 

صفحه 54:
۲ سمنال: 5 1 ا ا و حل: به ازای 20 وداريم: 1 ۳ ‎a‏ ۱۱۱, -< map lo p<0 و لذا بتابر ‎Sal Shy og pV 0 Vee‏ ‎coy P= Lace at‏ قورون به دسا مکی آید که واگ راننت - حال فرض مى كنيم ‎8>1<٠‏ . در این صورت داریسم : ‎Pineal‏ ‏از اين وازاين رو ‎n=12....‏ دم ‎mn on‏ 3 4 7 1 . ‏#يزيظكراست‎ dalle geil ple ee ed SEX ‏جون‎ 

صفحه 55:
۴ قضیه (صورت حدی آزمون مقایسه) فرض کنید در مورد سریهای با جمله های نافنفی ۰ ۰ 2 دافله‌ماشيم: kim? = Boe b, #0 ‏القع‎ در این صورت اگر الف) ۰ > >لگاه سریهای ۰ ۵۰ 2 ۰ (شیک نوع هستند. ب) 20 پا 2 آنگاه نوع یک سری تعیین کننده نوع سری دیگر نیست. 

صفحه 56:
قم اتفال : لل الف) سری ‎cul SE ya@-D‏ . در واقع داريم: 2 = ۱17۳۱ ۰۳ ۰۳ 0 n 1 1 Day Sed ish ‏و‎ 1 1 Pea ‏سمكراست ؛ زيراً‎ eae ashes 

صفحه 57:
‎OREN:‏ ۱ قضیه (آزمون نسبت يا آزمون دالامبر) ‏يي ‏فرض كنيد 0< #80 ازاى هر ‎me a gm‏ ‏الف) 1> و انعامعة ب2 گر ب) 1< 8ه آنگاه ‎cual Sly‏ ‎CEG laa anda einem nae Tis 

صفحه 58:
Sear Be See ۸ الف) به ازای چه مقادیری از «. سری . ور بهمگراست . tegen Cll Gl lps ae eve lace Ca ‏روفن ان‎ صورت زير در می آید. ‎aia‏ و ‎ ‏لذا فرض می کنیم . 0 به جای سری داده شده . سری ‎ah‏ ‏نظر می گیریم. داریم: ‎se‏ در بنابراین سری اور يه ازاى هر همكراست . و لذا سرى ‎mo nl‏ ‏به ازای هر < همگرای مطلق است . 

صفحه 59:
۳ قضیه (آزمون انتگرال ) 3 f:[0) > R Sa, ee . ‏لت ی 2 با شرایط زیر را در نظر بگیرید‎ الف) ؟ روی پیوسته و نامنفی است . [L~) ‏ب) به ازاى هر‎ £(n) = > (ye ‏با روی .و‎ limf (x) =0 te) ‏لأدراين صورت انتكرال ناسره همگراست اگر و تنها اگر سری‎ ‏ممع ل‎ 7 همكرا ‎Sa,‏ 

صفحه 60:
۴ مثال : 1 neal; ‏او - 0 الدافنة‎ < at Se Tap LP) ass p <0 ‏له إزاى‎ 1 1 Gs je 9 ‏و ری ی‎ f £@)dx=lim 5, dx=lim fx Pdx Wane —(pet-1) ‏ادم‎ 1 =lim| + P Slip earns = ‏21م ار‎ | O<p<1 ce ‏ازای 9<1 همگرا و به ازاى 2 توافرامت . در نتيجه‎ 3 2 NS ole . ‏ب5]ء12< همک راو به ازای واکلاکت‎ یرس‎ 

صفحه 61:
دنباله توابع ‎=a,‏ ()و , (0 ‎(x) =a, (x- O”,..,£,%) =a,x-‏ ,£- زا که در ان 201 ‎lsat‏ و 6 عددئ تابث ‎Cual‏ هدر نظر می گيريم: را یا یک سری توان و دنباله تکاله ضرایب 1 ae 

صفحه 62:
لأتوجه كنيد كه سرى توان ۰ 2۳ 806 الى هر عدد 2 ابه يى سری عددی ۰ ‎٩۳‏ ۰۳۳ یدیل می شود. لنوجه تعیین مقادیری از ۶ که به ازای آن همگ راست حائر اهمیت است . PSV x ‏سری میک سری توان است .در این سری 2-0 0 .و‎ 1م 1 اين سرى به ازای 20 ر 1 ۴ ‎es 1+0 3‏ اموا ‎sn‏ 1 ا 1 ‎So‏ ‏اليديل مى شوم ‏, 5-2 به ترتيب به سريهاى عددى 

صفحه 63:
‎fx] <Js1‏ آنگاه سری ‎ae‏ همگراست و داریم: ‎Seas. 1 ‎0 1-x ‎ ‏لذا سری مذکور روی بازه (-۰۱ ۱) یک تابع تعریف می کند. این تابع عبارت ‎eee LD se‏ رو ‎1-x‏ ‏()1 را مجموع سرئتولن ‎٠‏ ” میناميمو می‌نویسيم ‏1 ر تا ومع 

صفحه 64:
0 فرض كنيد سری توان ۰ 9۷*۲ يثهازاى ‏ 0* كز و به ازای ‎X=S‏ ‏واگرا باشد + دنباله این ضورت الف) شري بذ ارایاهر دبا فرط > لشلگرای مطلق است ۱ كا لسرن اران قر با کر ‎SAS Ae‏ ار 

صفحه 65:
ار به ازای هر سری توان “م ها یکی از موارد زیسر درست است : الف) این سری فقط به ازای 1620 همگراست . ب) اين سرى به ازای هر ‎Gilles IER‏ است . ب) عدد مثبت ۲ وجود دارد که به ازای هر ‎cel Glee PEELED‏ وه رای هل كارا شت رط ‎BLT‏ راست . امتذکرمی شویم که رفتاراسری در نقاطا الايد ج باگانه بررنس ‎ig SA‏ با توجه به این قضیه تعریف زیر را می آوریم: 

صفحه 66:
‎te‏ خر وی ‏عدد ۶ در قسمت (پ) قضیه فوق را شاع همكرايى سرى ‏ ۵ 2 ان ‏كر ۳ 2 فقط به ازای 2-0 همگرا باشد ۰ شعاع همگرایی آن را 0 تعریف ‎PS ist 0 ry 1 0 ‏با‎ ‏اگر " 0ك به ازای تمام ها همگرا باشد » شعاع همگرابی آن را تعریف می‎ ‏کم‎ ‎me “ig ‏مه ۲ >یا‎ ‏باشد آنگاه‎ ۳ eee pee ae ‏توح‎ ‏مجموعه همگرایی این سری توان به صورت یکی از بازه های, (-, 7-],[1 , 1 ‎cole], (r, 0); ror 

صفحه 67:
2,20) r=00 واگر آنگاه مجموعه همگرایی سری برابر است با بازه در ۲20 مجموعه همگرایی عبارت است از [1۰ که بازه ای به طسول صفر ات تساه ی کی کوش کورو مت وه هگ اتف یار مایت این بازه را بازه همگرایی سری می نامیم. أتوجه : آزمون نسبت براى به دست آوردن شعاع همكرايى روش بسيار نيرومند است 

صفحه 68:
ری ‎n=)‏ ‏كا ‎=i‏ اک ‎rae‏ رت آنگاه 00= .2 0 20 2 مه 1 ۲ 2 2 Goal nts aals ‏شري توان‎ al Sa ‏أنكاه : شماع‎ 

صفحه 69:
2 : ‏سمنال‎ ۱ x Ry re ae en enero ‏شعاع و بار‎ حل: ۳ “Ten oe cp 2 =m! =i ‏اک ا‎ Gree ‏مس یز‎ 13 ‏ددحم ۳ )| عت ها دجم‎ 1+ )2+12 ‏لص ع1‎ ‏مدرد ات‎ oe ‏ور هه شمارا ری ۱۳ استد‎ Ly 3 سری به ازای 2-1 , 6-1 و به ترتیب عبارت است از ‎a ieee‏ Sg Sie 

صفحه 70:
آزمون مقایسه نشان می دهد که اين سریها همگرا هستند . یعنی بازه همگرایی سری توان داده شده [-۱, ۱] است . این بدان معناست که سری توان داده شده روی بازه[-۱ , ۱] یک تابع تعریف می کند یعنی به ازای هر ‎Be‏ چون (0] وجود دارد که fore e Bs on ‏هه‎ 

صفحه 71:
| ۱۰۸ پیوستگی » مشتق و انتگرال سری توان به طوری که در قسمت قبل دیدیم هر سری توان روی بازه همگرایی خود یک تابع معرفی می کند . به عبارت دقیقتر. اگر1 بازه همگرایی سری توان و و ‎ea aes‏ هر برابر با (100 انك امه بل tol ‏عددی چون (01؟ وجود دارد که مجموع سری‎ ۶۵-۶ ‏اه‎ tel oh هدف این قسمت مطالعه ویژگیهای تابع (108 با توجه به ویژگیهای دنباله توابع ‎no‏ رها «بسیار ساده» 

صفحه 72:
۲ ققضیه : 8 اگر؟ شعاع همگرایی سری اد . آنگاه تابع مد ره ومع ‎cs‏ روی بازه 7 , 6 پیوسته است . به عبارت دیگر به ازای هر ۰ ‎EGLED‏ Lif Go ‏که زود‎ =£00 = 5a, 

صفحه 73:
۴ متا ox Be ‏اسب ار‎ ee eee aw ‏الق‎ ۶ Ve ‏در‎ ]- 10 روی بازه (-۰۱) پیوسته است . ات ب) بازه همگرایی سری ‏ - و قصرابر است با ‎BiG?)‏ تابع روی 8 پیوسته است . 

صفحه 74:
۳ SN: ‎as 1 3‏ اگر ء شعاع همگرایی سری توان "ملد . آگه به زای هر ‎pee‏ ‏داریم: ‎f(x) {Sax} =S lax") - ‏مد‎ ‏به علاوه شعاع همگرایی سری توان طرف راست این برابری مساوی است با 7. 

صفحه 75:
۶ نتیجه: اگر + شعاع همگرایی سری توان رح بر (:7! لاعددى طبيعى باش » آنگاه مشتق ام ‎of eb‏ هر نقطه (1,1 -) کوترابطه زیر صدق می کند £O) =S nta- D...- k+Da,x"* - به علاوه شماع ممكرانى تبرئ, توان طرف رست برابر انيت با ۶ 

صفحه 76:
۷ ما فى دانیم که ‎xt? x84... - Lex‏ كك ‎Tex‏ 1 1 بنابراین به ازای هر-۱< 1> 26 داریم ‎ws 7 > n(- x"?‏ = nn- DE Dx”? 4+ ne ae FF Sala Dea 0 1 _€n(n- )@- 2M- 3) Hae Gx a 3 Co و( عط صا ‎eee‏ 

صفحه 77:
۹ قضیه: که ۶ - و۶ اگر شعاع همگرایی سری توان ‎Benth i saa Son‏ آنگاه : دوع ون ی ‎Sa, [x “Bl? )‏ مک به ویژه اگر 0۵ ‎inet ee‏ ‎aa‏ دعدم ل موه هه هک زاین درا ثوان ط رف جت ماوق ابت نا ۶ بویمان دیگر از ری توا در بازه همکراش ام وان اجملداية حمل التكرال ترفك ات وال اسر توان وا جه دست آورد: 

صفحه 78:
‎NGS.‏ مال انیم که = ‎oe‏ 1*1 وه ‏و لذا بنابر قضیه فوق داریم ‎Ind+t) = 0 1? fxtax Sa ae ‏و‎ ne ‏برای مثال داریم ‎ ‏و و و سس اه 

صفحه 79:
‎١ 1‏ سرى دو جفله ‎(el‏ ‏مق انم هدارا هر ده سم وت ۸ یرب ع 8 ‎BO‏ + یروط بل "ودب 7 1 ‏سوال اين است كه اكر به جاى2 در طرف جب عدد غير صحيح مثبتى قرار دهيم در طرف راست جه تغييراتى بايد اعمال كنيم ؟ براى اين منظور نشان مى دهيمكه اكر « عددی حقیقی و مثبت باشد. آنگاه سری توان ‎us m(n- })...€@- n+) ‏مب‎ ‎nat nl 1( ‏به تابمی چون‎ )١١1-( ‏که به سری دو جمله ای موسوم است ۰ روی‎ ‏همگراست یعنی:‎ 6 +9 ‏مب‎ ‎feos eS ee a a 

صفحه 80:
7م 4 مان ‎١‏ ‏سرى دو جمله اى معرف تابع 2( +1)- (#4#دست مى أوريم. حل: 1 در اینجا ‏ 2 2۳ ولذا > 1 1 3 f(x) =(+x)? =1+ Y 5 ‎ed‏ ی یه دی شب ‎ot 3‏ حال اكر در اين برابرى ‎SQ err NB‏ ‎By 3 ae 3x5 aa | ‏اح لامع يمد 2 هت‎ 2/5 2 02( 2 ANS ‏3 ‏را که به ‎eee‏ اي ‎ ‎1 ‎x ‎ ‎Nie ‎Nie ‎NI ‎Nie ‎1+ 

صفحه 81:
۴ متا ؛ با استفادهدستور دو حمله ای معرف سری نوا نایم ‎ee SIX‏ مى آوریم. ها sin! x= eee 4 1 geile اکنون تابع زیر علامت انتگرال .یعنی شخ وله صورت سری توان می نویسیم a =(l- x) 2 =1+ ‏م‎ ae | 1 1 v1- x 

صفحه 82:
این برابری پس از ساده کردن طرف دوم به برابری زیر تبدیل می شود . ‎L @1x3x5x...x@n- Dn‏ Ay Ome, 1 Vie ee Saeco eS 2 2 5 ۱ ‏ف اين برا‎ fel ‏ا‎ ‎na 2x4x...x(2n) a, Seber Seon ye ‏از دو طرف اين برابرى انتكرال‎ are ee ee al ‎1x3x5x..<(2n- 1) Ee 35‏ < حال با قرار دادن داریم: 2( ‎$a 2x4x...<(2n)2n+1)‏ ‎ 

صفحه 83:
در قسمت قبل دیدیم که هر سری ‎oly‏ در بازه بازی معرف یک تابع Cr ‏بار مشتسق پذیر است . همچنین دیدیم که به تابع‎ ol gs ‏تؤان تیک ری توان »تک هر باره ۱ هگ رات »نیت داك درا‎ Ga ‏دهن مك ا حي م كنم له هر نايع ماف‎ BRU |, ‏كيك حك اخ‎ یک سری توان نسبت بدهیم. 

صفحه 84:
ره ‎a)"‏ ,در اكر سرى توان #تهرف تابع ()5 در فاصله (2+1 , 2-7) باشد و ‎fo ‏ل ار‎ ‎_ ۶۵ ‎n=0,1,2,... ‎n! ‏۰۰۲ قضیه (تیلور) ‏فرض كنيد مشتق های مرتبه اول » دوم » ..۰ (0+1ام تابعگ روی بازه باز 1 پیوسته ‎ ‎ ‎ ‎PS eye sob Sees x) neg 12 ‏باشند. اگر لكان‎ ۳ + oo 6 a (x- a)P+ 1۳10 (x- ay ‎nt (n+D! 

صفحه 85:
با توجه به اين قضيه تعریف زير را می آوریم: ‎aay‏ یز عبارت طرف راست برابری موجود در قضیه ۱۰۹۰۲ را بسط تیلسور !در نقط هه می نامیم : چند جمله ای ‏تم سم مق ...ره عم مق رمت ور ‏را چند جمله ای مرتبه «ام تيلور ؛ و عبارت ‎ae ‎+D! ‎ ‎f(x)- p, x) =R, (x) = 6 ۳ ‎nn) ‏راباقکتی مانده مرتبه هام تبلور ۶ در # می نامیم: مورت لاكرانوى يا صورت ‏مشتقدى باقى مائدة نيز ناميدة ملى شود 

صفحه 86:
درف اگر تمام مشتقهای تابع ۶در نقطه 2 5 وجود ‎eG‏ آنگاه سری تسوان ‎F(a‏ = 2 nO) (x- a)" را سری تیلور ؟ در نقطه 2۵ ۶ می نامیم. سری تیلور ] در نقطه 8-0 را سسری مک لورن ۶ می نامیم. EG) Seine) £0) 2 aly oy Sac VAT Je را پیدا و مشاهده کردیم که این سریها در هر نقطه ‏ هنود این توابع همگرا ‎ont‏ 5 ‏يعنى:‎ ٠ ‏اهستند‎ ‎oe Oe a لأتوجه :مثال زير نشان مى دهد كه اين حكم در مورد تمام سريهاى تيلور درست 

صفحه 87:
ال سری مک لورن تابع رابه دست می آوريم. حل: ne ‏به ازای گذاریم:‎ a ۴ هد mF cy 4. x ie ‏ی‎ ‎0 x0 1 ج-- 1 x £ (x) ‏وج ]مهد‎ ae خیرات © لك چند جما ده ای از درجه 32 است 

صفحه 88:
:با استفاکه ار دس ور هوییتال دار یم لح هر به ارای 2 0= 0 روز د للك ررك ۶10 ‎ae‏ ‏مد ند ۶0 ۵ب و به طور کلی با توجه به lim? — ein x40 XP ta 1 ۳ ۲ ‏ود‎ ۶00 -0 ee OE ee eS 3 لم 0۳-۶0۵۰ سر ‎nO‏ مه 

صفحه 89:
‎١ 1‏ كاربردهاى بسط تيلور و سرى تيلور ‎2١‏ | ‎ ‏در این قسمت چند کاربرد ساده از بسط و سری تیلور را بیان می کنیم. اين کاربردها عبارت اند از : رابطه قضیه تیلور با قضيه ميانكين ‎٠‏ تعيين نوع نقاط بحرانی توابع «همچنین تقریب ‏برخی اعداد و محاسبه حد برخی توابع. 

صفحه 90:
¥ تال دج یر ی ‎Bos ene),‏ 0 سرى مك لورن تابع (12)3+1 عبارتست از Ind+x) =x- -1<x <1 x- Ind+x) =x[4+%-...] -1<x <1 as ‏و اك جر‎ f@) = -(5- ‏چون تابع امد‎ زه ( ته است: روی بازه (-1, 11 پیوسته داریم = ‎limf(x) =f‏ ‎x) _‏ جب‌صا -عد ‎a‏ ‏آزاین ‏و ازاین رو ‎li‏ ‎x40 

صفحه 91:
هدفهای کلی رنه دکارت ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی در سال ۱۶۳۷با انتشار کتاب 060۳066 مبانی‌هندسه تحلیلیا معرفی‌کرد. هدفووازلینکار حل مسائل هندسی با استفاده از روش های ج-بری بود وبی تردید نوآوری دکارت گام بلندی در تغییر شیوه نگرش به موجودات ریاضی + تجدید ‎Sho‏ هندسه. وبه وجود آمدن هندسه های جدید بود. بااین نو آوری نقطه جای خود را به دوتانی سه تایی یاچندتایی مرتبٌ از اعداد داد و بر عکس . مفهوم فاصله بين دو نقطه و حاسبات هندسی ناشی از آن با دقت بسیاری بیان شد. 

صفحه 92:
خط و صفحه و... با زیر مجموعه های خاصی از مجموعه های شناخته شده متناطر و به یک معنا با آنهایکی شدندو... هدف های کلی از ارائه این فصل عبارت اند از: ۱ آشنا کردن دانشجویان با این قسمت از ریاضیات. ۲ استفاده از روش های جبری برای برخی از مسائل هندسی. ۴ آماده کردن دانشجویان برای دروس ریاضی آینده از جمله ریاضی عمومی ۲ | هدفهای رفتاری | دانشجو پس از مطالعه اين فصل بایدبتواند ۱ تعریف بردار و مفاهیم وابسته به آن در صفحه و فضا را بداند. ۲ اعمال روی بردارها را بداند وآنها را به کار ببرد. ‎alae 9 slaw ou clo yo‏ با تعاس دشكافيان محصات راسكره و چچپگرد را بشناسد ودر مواقع لزوم به کار ببرد. 

صفحه 93:
& 04 . فاصله دو نقطه » کره و معادله کره را بداند و بنویسد. حاصلضرب داخلی دو بردار و تمام مفاهیم وابسته به آن را بداندو به کار ببرد. معادله های دکارتی و پارامتری خطها را بداند وضع نسبی دو خط را بشناسد. حاصلضرب خارجی و تمام ویژگی های آن رادرموارد مختلف از جمله محاسبه مساحت مقلث» تشکیل کنج توسط سه بردار ؛ فاصله خطهای متنافر و ..: به کار ببرد. 3 زاوية بين دو خط ويك خط ويك صفحه را محاسبه کند. ۰.شرط متنافر بودن دو خط . شرط واقع نشدن سه خط بردار یک صفحه را بداند و از آنها استفاده کند. 

صفحه 94:
۲ تععریف فاصله دو نقطه 4 و 8 به ترتيب با مختصات ‎OY) 9 @,b)‏ را با نماد هم نشان مى دهم و به صورت ‎(x- a)? +(y- b)?‏ ,= هم ‎ ‏تعریف می کنیم. ‏ای اهم طول بردار ۸ 8 باشد. داریم ‎=(x- a)?+(y- b?‏ هم 

صفحه 95:
تال اگر (0 ,۰1305 (3 ,۸)2 آنگاه انز رن و بردار های آن 0 مبدا مختضات است, عبارت است از: 2 3+5 9۳ 6 +2۳ -5/- اه هنماد ‎+G- 0? =3V2‏ ?)5 -@/= امه ‎loa 2 0۳+ 6-0 22+ - 13‏ lox =/6- 07 +007 =5 

صفحه 96:
۴ . تعریف ‎cD cD Al‏ ار و راهمسنگ می گوئیم ومی ‎poise. gies‏ جهت آنها یکی باشد چها ربردار هم سنگ 

صفحه 97:
۷ تعریف (جمع دو بردار ) 1 0 ,68 0 منظور از مجموع دو برد برداری چون ‏ لست به طوری که ازی | است کد0۵ 08۰ اضلاع مجا قطر متوازی الاضلاعی ضلاع مجاور آن هستند. ‎oc‏ oc مجدوع دو ‎OB, OA,‏ رابا 08 006-0۸ نشان مى دهيم . pe ca 

صفحه 98:
‎WPA‏ هه در ارم رای مر 08-050۸ +0۸ ‎lee Gene a ies (all‏ رن ‏مجموع دو بردار مستقل از ترتیب آنها ست. ‎oa ‘OA+ OB)+OC=OA+ (OB+ O ‏ی عجن رای ش رکذت‎ eee ‏است . بنابراين مجموع سه بردار مستقل از يرانتزكذارى است و لذا مجموع سه ‏08۲0804 زنل ‏بردار مذکور را ن می دهیم. 

صفحه 99:
2 00 00-04 +04 , يعنى بردار ‏ وجود دارد که با هر برداری جمع 2 شود . حاصل خود آن بردار مى شود. 00 : 8 را بردار صفر می نامیم و با ‎spate coo‏ ت) بردار . (1توجودذاردكه ‎OA+OD=0‏ ۳۹ : 0) - را قریته ‏ ی نامیم وبا نشان می دهیم. 

صفحه 100:
۹ تعریف (ضرب عدد در بردار) ‎OB (0): nee OA 0‏ به آزای عدد وبردار ‏ منظور از حاصلضرب در برداری چون است به ظوری اینت که ‎6H = lao)‏ یر ۰0۵ ‎fot‏ وى امول ‎alice:‏ برایر اندازه : ‎ ‏0۸ 68 ادن 5 ب هم جهت اند اگر و در خلاف جهت هم هستند اگر ره ۵۵ 0۸ 3 حاصلضرب در رابا نشان می دهیم. به اين ترتیب داریم ‎OB=a0A 

صفحه 101:
۱ قضیه (ویژگی های ضرب عدد در بردار) ‎bust ne ane a‏ 10۸-۸ (all ‎eee, a(OA+ OB) =a OA+ a QB‏ ی ی و در گنه عم ‏برداری پخش پذیر است. ‎(a+p)OA =a OA+ BOA,‏ ‎(ap) OA =a(p 9۸ 1 

صفحه 102:
اثبات الف) بنا به تعریف روشن است. تن ‎a>0‏ ‏ب) فرض می کنیم . شکل زیر درستی رابطه 08 » جذ0 ه- (018 جه 0)» را نشان مى دهد. در اين شكل مثلث هاى 00 و 00 رتشابه اند و 

صفحه 103:
۲ ریت ‎QA‏ ‏هر بردار به طول واحد را یک بردار بکه می نامیم . خطی که بردار ‏ جزئی از آن است خط حامل این بروار تامیده مق شود ۵ 0 1 1 بردارهاى يكه متعارقى1 ‎J‏ 

صفحه 104:
ar VANE ‏طولفة هاى افعى وقائم رردارا‎ os Come Yes iy shel , OA ‏وه‎ me aie ‏و بردارهاى 3< و [لآ را به ترتيب تصوير های افقی وقائم بردار می نامیم.‎ ۵ مثال برد و 0۸-۵1 +22۵۳ و عدد ‏ *ا در نظر بگیرید. می خواهیم مولفه های افقی و قائم بردارهای 0۴ +0۸۵ ,۰0۸ (019)) +0۸ را تعیین کنیم. 

صفحه 105:
حل: داریم 1 ‎OA+ OB=(ait b) + (xi+ y) =(a+Wi+ (b+y)j‏ OA =a(ai+b) =alad + «(bp =(aai + (ab) OAs (- (OB) =(ait b)- (xi+ yp =(a- wi+ (b- y)j ۶ تععریف (تفریق دو بردار) ۵۵0 08117 0۸ بردار راتثریق از می نامیم و آن رابه صورت OA- OB ‏نشان می دهیم.‎ 

صفحه 106:
x 0۳8-0۸ 8 

صفحه 107:
سه محور 02 , 01 ,0 را که در نقطه ه دو به دو بر هم عمودند. در نظرمی گیریم. اين محورها نسبت به هم به نحوه های مختلفی قرار می گیرند. در شکل زیر روش قرار گرفتن آنها را مشاهده می کنیم. y 1 x 2 2 ‎be 0 0‏ 1 0 ‎x x‏ این روشهای قرار گرقتن را اصلاً می توان به دو دسته افراز کرد: راستگرد و چبکرد 

صفحه 108:
۱ ۲ تعریقب سه تایی مرتب(0,03,02) را یک دستگاه راستگرد می نامیم اگر ناظری که در نقطه 0 ایستاده است و سرش در جهت. 2 قرار دارد و به « نگاه می کند ‏ ۶ را طرف ‎eel,‏ مستكامى رکه رگید تاشن میگ دش سم 2 2 ‎Fae 3‏ دستگاه د ‏وگ ارت ‎ay‏ ‎4 

صفحه 109:
از اين به بعد با دستگاههای راستگرد سرو کار خواهیم داشت. * دستگاه راستگرد را با 03632 یا به ختصار 26972 نشان خواهیم داد و آن رادستگاه 2 خولهيم خولند ‎ie SL TA eae Lye Sy MS ete ee‏ مرتب (0,8,6) از اعداد حقيقى نظير مى شود. 2 ,8 , © را به ترتيب -« مختصء - و مختص و +#مختص نقطة :4 مى ناميم.به ذليل آين تناظراست كه كاه نقطه را باسه تایی‌مرتبد۳,6,) یبکی‌می‌گبریم و می‌سویسیم (۸)8,,0 ۰ ونیز كاه مى نويسيم (۸)8,,6 ۰ بدین معنی که نقطه 4 به ترتيب داراى- مختصء -مختص و -2 مختص ۵ ,2 ,© است. 

صفحه 110:
دستگاه مختصات ‎XYZ‏ 

صفحه 111:
۲ تعریف دستگاه 672 را یک دستگاه مختصات دکارتی برای فضا وعددهای 6 ‎1a, b,‏ مختصات نقطه ۸ می نامیم . ۴ مثال صفحه 2۲057 در فضا متناطر است با مجموعه نقاط 220 ر ۷65 ,65 ((2 ,۷ | بنابراین ۰ معادله 0 < 2 را معادله صفحه 501 می نامیم. بدین معنی که هر نقطه واقع بر صفحه 057 دارای مختصات ‎Vox‏ و 0 < 2 است. به همین ترتیب 0 < 5 معادله صفحه 102 است. یعنی هر نقطه واقع بر صفحه 2 دارلیم ختصات0 < ۶ و و 2 لست و نیز 0 2 7 معادله صفحه 202 لست 

صفحه 112:
۵ ۰۲ ۲ تعریف صفحه های 60۲ , 02 , 20 را که معادله های آنها به ترتیب ‏ ,0 < 2 0 < 0۲7 - است » صفحه مختصات می نامیم. * توجه کنید که منظور از اصطلاح صفحه 0 < 2 . صفحه 201 است. در شکل اسلاید بعدی صفحه های مختصات را نشان داده ایم. 

صفحه 113:
صفحه های مختصات 

صفحه 114:
1۸02, 2, 4) ره به رصم 

صفحه 115:
‎٩‏ تعریف ‎go B(x,y,z) , A(a,b,c) 5‏ نقطه در فضا باشند. فاصله آنها را با ‎ba‏ ‏شان می دهیم و تعریف می کنیم ‎(x- a)? +(y- b)?+(z- 2‏ ,= هما ‏نوجه کنید که بنا بر این تعریف داریم ‎Isa =(@- xP +b We F ‏؛ لذا فاصله 3 از ۸ مساوی است با فاصله ۸ از ۰8 یعنی ‎AB =|B4l 

صفحه 116:
0 كله به ازاى سه نقطه (۸۵)۵,۳,0 2 76+15 (دربو,»)0 رابطه زير برقرار است. ‎JAB =|AG+|CH‏ ‎auth Lad jo Sls ABC SI cw‏ أنكاه طول هر:ضلع آن از مجموع دو ‏ضلع دیگرش بیشتر نیست. و لذا نابرابری ** را نابرابری مثلث می نامیم. ‏۸ متا ‏فاصله نقطه های )1 ‎A(L-1,‏ , (3 ,2 ,301 برایراست با ‎(Q+1?+(@- 1? =/3+2 =V13‏ + ?1 -@/= لهم 

صفحه 117:
‎Gs) eat (‏ کره ای به مرکز (0,,)) و شعاع . مجموعه نقاطی چون (260,7,2 در فضا است به طوریکه ‎jcx| =r‏ به عبارت دیگر مجموعه ‎S=|X = y,2)€ R|&- a + (y= bE + @ OF =1‏ ‎pol at CNG ODO) sae |; ‏معادله ‏۵ مه اه مد با ‎(x- a)’ +(y- b?+(z- 0? =P ‏را معادله کره می نامیم.‎ 

صفحه 118:
یکلا کرد وزیا ‎SS ok cos ee vate ee Bl aint‏ ‎(x- a +(y- bY +(z- cP =P‏ می گوئیم نقطه ‎X(Ky,Z)‏ 9 داخل کره واقع است اگر در نابرابری 2> 2ن ‎(x- a)? +(y- b)?+(z-‏ صدق کند. به همین ترتیب ‎X(K,Y,Z)‏ در خارج كره است اكر 6 ‏+(ج‎ )۲- (+) 0 =r مجموعه نقاط واقع در داخل (خارج) کره را داخل کره ( خارج کره) می نامیم. 

صفحه 119:
‎Oe‏ مان الف) معادله کره ای به مرکز (۰,۰,۰) و شعاع ۲ عبارت است از ‎(x- 0? + (y- 07+ (z- OP =x + + 22 <4‏ داخل این کره . مجموعه نقاط (1,2,-26)2 است به طوری که دشک ‎Pio‏ ,2 را تمایشن ‎else‏ ‎5 

صفحه 120:
۱ قعریف (بردارهای یک متعازفی) ‎eeu‏ 120۵۵ , ملمع ز , 000- ز اندازه هر یک از این بردارها برابر ۱ می باشد. این تردار ها بر دارهای بکه متعارف ‎Pgh go tial‏ اگر بردارهای فا ۸ 00 ‎oat als‏ باشده و نقطه هانعهای الو رهاز درا مختصات (۸)8,۲,0 باشده آنگاه OA =ait bj+ ck ‏در نتيجه به هر نقطه فضا یک بردار فضایی به مبدا وبه هر بردار فضایی با‎ مبدا ۵ فقط یک نقطه در فضا می توان نسبت داد. 

صفحه 121:
۳ حرف الف) به ازای بردار فضایی ‎OA =ai+ bj+ ck‏ عددهای ۵ ,2 ,6 را به ترتيب -ف- , ل , ع[ مولفه های 0 می نامیم. OB, OA برابرند و می نویسیم ۰ ‎OA=OB‏ ب) می گو نیم دو بردار فضایی ‎analy WE] alee ole wal, gest‏ لت مدو برد ‎OA =ait bj+ ck‏ ‎OB=xi+ yj+ zk . 2 < 6 , ۷ < ‏برابرند اگر واتنها اگر < 5 , ظ‎ ‏۴ به عبارت دیگر دو بردار برابرند اگر قابل تشخیص نباشند. وا 2 و بردار برایر: مه سر ‎a‏ 

صفحه 122:
نا 0 1 فرض می ‎eS‏ ‏عددی حقیقی باشد. الف) متظور از مجموع دو برد ۰ 0 برداری است چون . ‎QE‏ طوری که ۰ OB=xi+yj+zk , OA =ait bj+ ‏دو بردار فضایی و‎ 1 1 a OC =(a+x)i+ (b+ y)j+(c+z)k OC=OA+ 0B ‏در بزدار 04 بردارق ابت جو" هيه‎ palo ijn OD =(aa)i + (ab)j + Gow ‏م‎ OD=a0A 

صفحه 123:
‎١‏ مثال ‏ركله + 3 + 0۵ برع 22 ‏به ازاى بردا “بودارهاى ‏ده , هه ‎COA OB), GOB,‏ به دست آوريد عله + زه + 31ح عله + ز(1 +3) + ذل +2) - 618 ‎OA+‏ ‎«OA =2xOA =4i +6j+8k‏ ‎OB=2xOB=2 +2}‏ « ‎«(OA+ OB) =AOA+ OB) =6i+ 8j+ 8k 

صفحه 124:
مان OB=-i+j+k , OA=i+j+k 6 الف) معادل 0262203 ۵۴ حل كنيد. i 2 (OA+ OX) + (- OA) =20B+ (- OA) bs OX =- 31+ j+k 

صفحه 125:
ب) معادله ‏ 013-0 +۴0۸۵ راحل کنید . حل: بنابر قضیه فوق داریم ‎xOA=- OB‏ xi+xj+xk=-i+j+k ‏ويا 1- > ۶ و 1 < 5 و از اینرو ۱--۱. در نتیجه معادله جواب ندارد.‎ ب) از معادله > ۵۳ 2۷ ۴۳ مقادیر «و ۷ را پیدا کنید. sie بنابر قضیه فوق باید داشته باشیم 

صفحه 126:
507 تعريف به ازاى دو نقطه (©,طبة)4 و (3,2 ,)8 اندازه برد(ظهه .را ب [قظك ا نان ميدهيم أن را برابر با فاصله دو نقطه 8 و 8 تعريف مى كنيم. يعنى ‎|AB =|AB =J(x- a)? + (y- be +(@- 2‏ ۵ منال طول ‎se‏ ای است با |AB =/2+ (57 +4 =/445+16=5 

صفحه 127:
1 © تغريت فا منظور از حاصلضرب داخلى دو بردار ‎OA =ait bjtck‏ ‎OB=xi+ yj+zk‏ ‎Cul ax +by+ezsxe‏ . این عدد رآ نشان می دهیم » یعنی ‎OA.OB=ax+ by+cz‏ توجه کنید که اگر 0 < 2 < ‎OF OB aa ts, ic‏ به بردارهایی در صفحه 501 تبدیل می شوند و حاصلضرب داخلی آنها از فرمول ‎ax+ by=OA.OB‏ هت می آید: 

صفحه 128:
ا لاصتال الف) حاصلضرب داخلى بردارهاى راپیدا کنید. حل: داریم OB=3i+2j+4k , OA =4i+3j- 2k OA.OB=12+6- 8=1€ ب) طول بردار 2 -[3 + 4 0۵ مساوی است با 29 2+ 3 +222 0۵:0۵ 2 0۸[ ب) به ازای بردارهای (لف) و بردار >3 + [2 -1< 6 دداريم OA+OC=5i+ j+k ‏ولذا‎ ‎6۲ 6۸+ 00 215+ 2+ 4-1 

صفحه 129:
۵ ۴ ۲ قضیه ( نابرابری کوشی- شوارتس) ‎we QBHXi+ y+ zk / OA =ai+ bjt chy, ee‏ 1 دده ات ‎sae 2 3‏ و برابری برقرار است اگر و تنها اگر عددی چون "وجود داشته باشد که ‎OA =, xOB ‏را ‎abe‏ # را نابرابری کوشی شوراتس می نامیم. 

صفحه 130:
۶ تعریف ‎eae aoa te ee a‏ ی یه اا ‎1 OA,OB ‏می نامیم.‎ ‏نتیجه وق رمن اه معوممه . هعوومه ‏۷ ۲ مثال ‏الف) زاویه بین بردارهاء 16 + + 0۵ ۰ 08-13 بيداكنيد. ‏حل: ‏داریم :2 ۱ فان ۸ 5 7 9۹99 ‏بنابراين 3 دمم 6 ‎cos = 

صفحه 131:
‎٩‏ ۰۳ ۲ تعرزیف ‏0ل ‎OB OA oP‏ اكر <ياى عموداز 4 بر خط2 باشد. بردار را تصویر روی و ‎op‏ مه و6 ‏اندازه. رامولفه . روی می نامیم. 1 1 1 ۱ ‎i‏ ‏1 ‏۱ ‏۲ ‏در نتیجه تصویل) بر 23)عبارت است از ‏وت کت ون ‎ 

صفحه 132:
۰۶ مقا OA =21+ 3j+ ‎Bai+j+k | ۱‏ تصویر پردار راروی بردار ‏ار ال ‎a‏ ار ان ‏تصوير راييدا كنيد. ‏با توجه به تعاریف بای0| و را پیدا کنیم. داریم ‎OH =VE+P +P =v3 , OA.OB=2+3+4=9 ‎OB, OA,pa OBI,‏ باشد. داریم ‎eee Ss‏ = ‎OP ‏ز + 30- رن 5د و‎ +19 =31+3j+3k ۲ ‏و نیز داریم ‎ 

صفحه 133:
۵ ۲ خط در صفحه و در فضا ۱ 0 رن خط جهت دار نا با ميةا”.. و نقطه را در جهت مثبت آن درنظرمی گیریم. ‎sh OWL RP ue, Obes‏ ‎OK‏ 34 لق) پردار یک جر ‎Spit bgt As ies UE gurl)‏ دم ‎at ge yee eee gag‏ ب) زاويه هاى بردار نابا جهت های مثبت محور های مختصات را زویه های ا 

صفحه 134:
ار ی زاويه هاى هادى نا به ترتیب با محور های ع رل رت باشند, Mab oat Ls BP OA. , Fests eluates [peop 00s). 11008 

صفحه 135:
۳۲ ؟ مثال ‎P(A, 6)y) Oakes sty ks‏ 5( كذرد . مى خؤاقيم مفاهيم موجوة در تعريف فوق را با محاسبه تحقيق كنيم . : ‏"عبارت است أز‎ AE. RP =(- Di+ 4- Oj+ G- Dk =31+4j+5k ‎cals‏ بركار با ميذا 01 4 انظ گرفته وی ابر ارس کر تغریف ۵ ۲ خاصل: می شود لا ‎OA =31+4j+5k‏ ‏سوی این بردار عبارت است از برداز یکه تا: ‎aos ‏59+نه.ق جد‎ = gp + ‏زه‎ +50 joal +42 + ‎ 

صفحه 136:
زا ويه هاى اين بردار با بردار هاى يكه 1 ,ل , 1 زاویه های هادی هستند. داریم 0 2 انا cosy = pee Usp da ‏نا‎ 52 2 7 توجه کنید کبلا 005 + ۰03 + 605 مجنور طول نا است ولذا coga+cosp+cos y=1 

صفحه 137:
‎oo‏ بردارهای موازی اگر بردارگای " ند بذترتیب بامیدا های ۸ و © موازی و بردارهای ‎oak Sites Seuss lies Oh; OO AB ,CD ‏مساوی است ‎Bs‏ » برحسب اینکه هم جهت باشند یا غير هم جهت. ۶ ؟ مثال به ای برچ[ + [ + ۸ ‎as,‏ )123 رع جام كا ‎BPs 26.51, xyz)‏ ره باشد 

صفحه 138:
حل: داریم ‎ast‏ ‎RP =(x- Di+(y- Dj+(Z- Dk‏ بنابر شرط توازی۳ موازی24 است اگر وتنها اگر جح ۷-2 1۳ -ع۶د بل رن 12 1 بتابراین به ازای هر عدد حقیقی )باید داشته باشیم cele ۱ 2-3 ‏ع‎ ويا ِ غخ+3د ع , 24د عو رن ب1دعر 

صفحه 139:
Gish ON ‏نمی گذرند و‎ ۳۰ VorZo) هطقن ‏الف) معادله های پارامتری خط 1 که از‎ ‏با بردار »1 6+ز +1 2 موازی اند عبارت اند از‎ x =x)+ta y =yo+ tb Z=z)+tc ب) معادله های دکارتی خطی که از نقطه (20 ,ول بای گذرد و با بردار ‎aitbj+ek‏ مواری است+عبارت است از ‎ 

صفحه 140:
ب) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز ۰ 0200 2 بگذرد عبارت اند ازه 0 2 - 10 1۳ ولا لا 2-2 1-0 ولا ولا توجه کنید که این مطالب در مورد صفحه 60 رو خط های واقع بر آن نیز درست اند. فقط در اين حالت ‎٠‏ یعنی وقتی که صفحه 16017 و خطهای آن مطرح هستند معادله ها به صورت زیر در می آیند. RO Yo) ‏معادله های پارامتری خط 1 واقم در صفحه بزو يدك از تومل‎ (cll می گذرد و با بردار [ط+21 موازی است ها + میات در ‎Y =yo+ tb‏ 

صفحه 141:
ب) معادله های دکارتی خط با واقع در صفحه 017:«که از نقطه ‏ ۳ گذرد و با بردار 9 +83 موازی است ب) معادله های دکارتی خطی که از نقطه های متمایز ۰ (120 ‎ROA) BG‏ بگذرد عبارت اند ازن 1-0 ماد < وا توجه : 9 اكر در معادله های فوق مخرج کسری مساوی با صفر باشد, صورت آن را نيز برابربا صفر قرار می دهیم . لذا معادله های خطی چون با که از نقطه ۰ (20 سل 10605 می گذرد و با بردار ز ظ +1 ۵ موازی است( در اینجا 0 < 6 عبارت اند از: 

صفحه 142:
الف) معادله های پارامتری 2 + معدح عد ب) معادله های دکارتی توجه: شرط 0< 6 <ظ < ۵ نتیجه می دهد که بردار 616 +زط+ 21 در تعریف ۰۱۰ ۲۰۵ مساوس است با بردار صفرو لذا اين شرط جهتی را مشخص نمی کند این بدان معناست که ققط با استفاده از نقطه ۱۰ نمی وان معادله های خطی را به دست آورد. 

صفحه 143:
۱ منال ‎Cail‏ شلد هی کار وبا کی خی داتفه زا ‎Sy‏ ‎cole ta Baa tO iL,‏ بیدا کنید. ‏حل: ‎ea ek‏ بارآمتری ای عط عباوت اند از ع2 +1- عر ‎y =1+ 3t‏ ‎Z=-1+t‏ ‏معادله های دکارتی این خط عبارت اند از ‎ 

صفحه 144:
Bg «Aussie als eevee sinc eae ‏من‎ -2+ 3 : ‏قن كار وا را موازی است:‎ حل: ل در اینجا 2 < ۵ , 3 < 1 , 0 > » . بنابراين معادله هاى دكارتى خط مور ابر است با برابر 9 ‎x-1_y-1‏ ‏3 2 2-2-0 معادله های پارامتری این خظ عبارت اند از ‎x =1+ 2e‏ جات بو Z=2+0t =2 

صفحه 145:
‎yay ۳‏ دو خط او را متنافر می نامیم اگر منطبق» موازی و متقاطع نباشند. ‏مال ‏در يك مكعب مستطيل يالهايى وجود دارند که خطها ی شامل آنها متنافرند. ‏در شكل زير خط هايى كه شامل ياره خطهاى 413 و 17© هستند. متنافرند. ‎B‏ ‎ 

صفحه 146:
‎AAV‏ فيه خطهای ۱[ با اتدادهای به ترتيکله +زط +ن< 0۸ 6 + ط + تم< 08 ‏موازی اند یا منطبق اند اگر وتنها اگر ‎a‏ زیر برقرار باشد. ‎a c‏ ‎a bo ‏از قضیه فوق نتیجه می شود که یک شرط لازم برای تقاطع یا تنافر دو خط ‎a ee re yi‏ ‎a be! 2 ‏کت ی ی طی‎ ab eae a aw pow ‏برقرار باشد. 

صفحه 147:
** در برخی از مثالهای زیر هیچ یک از این شرایط برای تقاطع يا متنافر دو خط و رس ۶ ۲ مثال الف) به ازای خط های ‎x- 1‏ 1 es ‏ی‎ fs ‏دای تفر‎ بنابراین لو موازی یا منطبق اند نقطه (۱, 0.۲ از ۱ در معادله های ‎Ghee‏ ۲ ie ‏مهازی انذا و مطی سس‎ giles cost 

صفحه 148:
در ‎Il‏ ‎NIX‏ ‏۱ ‏اه ‎os‏ ‏۱ ‎I‏ a 9 5/2 te 2 Win صدق می کند. بنابراین اين خطها موازی یا منطبق نیستند و نشان می دهیم که متقاطع اند.برای اين منظور معادله های پارامتری خطها را در نظر می گیریم. ‎y =3s‏ ای ۳ y =2t 9 Z=3t 

صفحه 149:
ار اه ام باشمد عدفهای و بحو ورف نه اور ی که t=1+2s 2635 Spe 2 ‏از این معادله ها به دست می اوریم 2- < 5 , 3- 2 8 . بنابراین (9-,6- ,۳-3 نقطه‎ ‏تقاطع است.‎ ‏ب) به ازاى خطهای‎ 1; =¥ =2 1. ‏جح لاح‎ 1 5 10 ay ee ‏برقرار است. اگر این خطها متقاطع باشنه باید دستگاه‎ al ob ” ‏شرط تح‎ t=s Eos 3t =1+ 3s 

صفحه 150:
جوابی متحصر به فرد داشته باشد. از ‎go‏ معادله اول نتیجه می شود که 20 < 5 ولذا از معادله سوم نتیجه می شود 1/3 = ‎t‏ که تناقض است لذا خطهای فوق متنافرند. ت) ملاحظه می کنیم که خطهای خر ‎Il‏ ‎NIX‏ ‎ll‏ ‏ان ‎ALIN‏ WIN در نقطه (0 ,0 ,060 متفاطع اند. در مورد این دو خظ داری. 

صفحه 151:
۶ ۲ معادله صفحه ۱ هدف اين قسمت جبری کردن مفهوم تعریف نشده صفحه است . بدین معنی که به هر ضفحه یک معادله جبری نسبت می دهبم ولذااویدگی 2 های آن را از این معادله جبری طلب می کنیم. در مورد صفحه . اصول اقلیدسی زیر را در نظر خواهیم داشت. _ کشت کم یک صفعد ونقله‌ای خارج آن وود دارده دضت کر در یک صفحه دو خط متقاطع وجود دارند. دو صفحه متقاطع یک خط مشترک دارند. كك ی ان یقت ای ره ناه خطياى إن صفحه عهود إلنت. باشتقاده اران ورركى معادلة صفحة ‎pals‏ شده ای را به دست می آوریم. 

صفحه 152:
2" (معادلة مجه أى كذ ار يك ‎aay‏ مى گذره ویر یک برهار شود اسشت): فرض می کنیم صفحة از ‎RO Yo 7s‏ مى كذرد و بر بردار OA =ai+ bj+ck = 0 ‏ا‎ ‏زر اط زا در سفسه ات م كنم دار تب برد مود‎ cla alas است ولذا ‎RP.OA =0‏ 

صفحه 153:
3 5 5 Wee ‏به صورت زیر می نویسیم‎ 99 P ‏این معادله را بر حسب مختصات ۸ و‎ a(x- Xo) + 67 - yo) + (Z- Z) =O ‎aaa jas Manis 515s aloles |, doles gpl‏ (0:20[ :0 فلى كذرد و ‎=ait bj+ ck‏ ۵( امنداد قائم بر آن است. می نامیم. ‎jeer et ‏بل دار وتارس صفحه ی راوید ماو تمه ۶ کیرد ‎0۸-2 + 3+ 5 + 3[+ 515 ‏و بر بر عمود است. بنویسید. ‏حل: ‏فرض می کنیم (۳)06,1/,2 نقطه دلخواهی بر این صفحه باشد.معادله برداری صفحه ‎11 ‏عبارت اسبت از 0- ‎BP.OA‏ 

صفحه 154:
ولذا معادله دکارتی آن به صورت زیر آمنت . Ax- )+3(y- 2)+5(z- 3) =0 1 29 2x + 3y +5z- 23=0 7 به طور کلی هر معادله به صورت ‎ax + by +cz+d=0‏ ؛ با مجهول هاى 2 ,۷7 ,2 معرف یک صفحه است. 

صفحه 155:
ta ae Wer OA=aitbj+ck ‏ور‎ 1 فرص كل 1۳ دو صفحه با بردارهای قائم .5 3 ‎ee ee cs‏ و کی ‎mS Sa‏ : nH ‏و می نامیم.‎ اكراين زاوية" باشدء بنا به تعريف داريم 

صفحه 156:
زاويه بين دو صفحه ‎FA‏ مثال مى خواهيم زاويه بين دو صفحه ‎FL‏ !ا بيدا كنيم: ‏2--2+4+2: [1 واكك ع ديد 1 

صفحه 157:
ل امتدادهاى قائم بر اين دو صفحه عبارت اند از ع + ز4 + 2- واه , ع+زجنعمه بنابراین ‎DENT.‏ ی ‎V3V4ae16-1 ۷5۷7 3‏ ولذا دارم ‎Oso <x‏ 0< »ه ‎7 ‎3 

صفحه 158:
۰ ۶ ۲ فاصله یک نقطه از یک صفحه رو صفحه 4 معادله 00 +17+02 +23 داده شده است. منظور ‎re‏ و ی ی و صفحه واقع است. ‎Bb‏ 5 00 ext Jl ‏را فاصله از‎ HBb, Jb 

صفحه 159:
لد ا ل اد ‎PB‏ ‏داريم مصاد قمر و ‎i‏ اندازه تصویر هیر < است. در نتيجه داريم 

صفحه 160:
۱ فرمول فاصله بر حست مختصات در فرمول * فرض می کنیم نقطه ۶ واقع بر آارای مختصات (06,,2 بیاشد: 1 ee PR =(%- X)i+ (Yo- Wi+ (2- Dk PA =ait bj+ ck d=- (ax+ by+c2 ‏و از این رو‎ ‎y) + C(Z- Z)| _|a%+by+e% +d)‏ و۳62 + ‎x)‏ - و266 ‎Serre etree «#‏ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 161:
Jee VF ANY ‏فاصله نقطه (۱, ۳. ۲ را از صفحه 1+2+2<0+ پیدا کنید. همچنین معادلات‎ ‏خطی را بنویسید که از این نقطه می گذرد و بر این صفحه عمود است.‎ حل بنا بر فرمول * این فاصله مساوی ا 1434242 8 3 1+1+1 خط عمود بر صفحه با امتداد قائم بر صفحه موازی است و لذا اگر (6,7,2) نقطه دلخواهی بر خط باشد. عدد حقیقی ؛ وجود دارد که ‎PR =tG+j+k‏ بنابراین معادله های دکارتی خط قائم عبارت x-l=y-3=z-2 ‏از‎ 

صفحه 162:
۵ ۶ ۲ نتیجه ‎:ax+by+cz+d-0 , 11 10 ica‏ ][ منطبق اند اكر وتنها اكر ‎te ants gpl ply‏ 1 با معادله های فوق موازی و نامنطبق اند اگر تنها اگر ‏2 ‎a b 0 0‏ ‎Jie YF ۶‏ الف) صفحه هاى 7 11 20 ‎Tl‏ ‏موازى اند ولى منطبق نيستند. در واقع در اينجا ‎a=a-0, b=b=-0 , c=c=1 , d=d=-1‏ 

صفحه 163:
۱ تعریف ( حاصلضرب خارجی) مور از ‎OC ie Sl Ee Be SOs oe eee‏ به طوری که الف) سه تایی مرت۲2 0 1۸ ایک دستگاه راستگرد باشد. 9 بر صفحه ای که از سنه نقطه ۵ و نو ۵ می گذرد عموه باشد: ا ار ميا ا اي فستد ره مهب ۱96 nl OB ORs ash 01 ‏كه در‎ 

صفحه 164:
حاصلضرب خارجی ‎OB QA‏ 5067۸۵۵8 می دهیم این حاصلضرب گاه . حاصلضرب برداری نیز نامیده می شود. ۲ ۲ منال ‎eal‏ و ور تاره ولو ی مى ‎el‏ 9 2 ‎OC=ixj =k 1‏ 1= چسنه |ز| ند ‎jog‏ ب) حاصلضرب خارجى تمام زوجهاى حاصل از مجموعه (ك1,ل,1) را ‎x ica) weeds‏ بيدا كنيد 

صفحه 165:
۲۰۷۵ حاصلضرب برداری دو برذار برحسب مولقه های آنها مى خواهيم به ازلى بردارماى كلت خزط جنه- ك0 ‎OB=xi+ yj 2k,‏ ع را بر حسب 8 ,۲ ,6 بر ,2,87 محاسيه كنيم: توط ج+زهم) -نوم) -عاووم) + زوم) ‎OAxOB=(- b¥)k+‏ =(bz- cy)i- (az cx)j+(ay- bx)k این بردار را به صورت دترمینانی زیر نمایش می دهیم. qo i OAxOB=|a x NO 

صفحه 166:
۷۵ ۲ مثال ‎al‏ مى تخواهب امفاذله صفح الى كه از ملة نقمله )1 رو ۱2 (1 27 6037 ‎SS ACL, 2 3).‏ بیدا کم حل: ‎sa‏ ‎cat‏ یه شامل برد ها | ‎ABxAC‏ ‎yf ils Slacal eal ols Ba‏ لون صفك عبارت است از بردار ‎ae‏ ‎AB=i+j-2 , AC =2- 2k‏ ‎ABxAC =- 2i- 2j- 2k =- 24+ j+k)‏ ‏بنابراین معادله صفحه مورد نظر برابراست با ‎- 2x- 2y- 2z+d=0 

صفحه 167:
جوی ای صفحه رفظ )3 2 ۵01 مر کرد دار ده -0<0+۲-۴۶ و لذا معادله صفحه عبارت است از xt+y+z+6=0 

صفحه 168:
۶ یک تعبیر هندسی ضرب خارجی در مثلث 0۸1 که در آن ‏ اندازه زاوبه ۸013 است. اضلاع 0۸ و08 Sis Cl eee Ses vase Oe OP ta eae Aes ous 3 ‏بترم‎ B H ee ‏يك‎ را به a S 

صفحه 169:
‎ea‏ را ۳ و" محاسبه می کنیم . در مثلث قائم الزویه ‎ea eue Js OBH‏ ‎|BH =|OHsino ny‏ ‏بنابراین * به صورت زير در مى آيد ‎ ‎ ‏مصنه ينه م0 3- 5 و ی ی ی و و ‎oaxoH‏ ‎ ‏بنابراین مى توان كفت كه ۴ اندازه خاصلضرب خارجی دو بردار برابراست با مساحت مثلتی که آن کوبردار ‏اضلاغ آن هستند. 

صفحه 170:
۷ منتال الف) می خواهیم نشان دهیم که سه نقطه )3 ,2 ,31 ,1 ‎CG, 1,2), BQ,‏ ‎ix,‏ خط نیستند و مضاحت مقلث ۸ را پیدا کنیم؛ می دانیم که دو بردار موازی اند اگر وتتها اگر حاصلضرب خارجی آنها مساوی با صقر باه شابراین عله هاى ل , 8 ,© در يك خط فراز تنارين اكر ‎ABxAC 40‏ ‎AB=i-j , AC =2- j-k ae‏ ‎acaba‏ ‎ABxAC=]1 -1 0|=i+j+k~0‏ 2 

صفحه 171:
‎ies, C, BpA IM,‏ یک مثلث اند. مساحت این معلت مساوی است با ‎ ‎5 =5|ABxAC - ‏جا‎ 1+1 ‏ب) مساحت مثلث با راسهاى (2 ,1 ,20)0 ,4 ,803 , (0 ,1- بل را بيدا مى كنيم. حل: ار بنابر ۶ ۰۷ ۲ می دانیم که این مساحت برابراست با ممملوی, ‎AB=3i+3j+3k ‏ر‎ AC =-i- 2j- 2k ‎ 

صفحه 172:
و از این رو » مساحت مثلث :880 برابراست بآ 3 1 "= — 3 ال له 5 ‎V2‏ 2 0 |3 ‎٩‏ تعریف ‏05-0024009 را سلف ري سدكاله مشتلط مه بر ‎OGOBOA‏ ا ل قر ملاس نی کي 04 ۵ ۶ میرف 04 وهی عمود باشد. بر کم 4 که توسط بردارهای نت تشکیل می شود عمود است پس ۳4 بر۳۳۹06 ‎oye‏ است اگر وتنها ‏كدر سس *. راقع باشد ‎less elses‏ که 

صفحه 173:
ل رتوار ال 02 ۵8 9 ساخته می شود . اگر" ‎OAL ay;‏ »<< آمشد. آنگاه OA.OBxOO =0a|OB-0dcos: = SB. x © OP ‏دضع‎ ‏مساحت متوازی الاضلاع 013۳6 قاعده متوازی السطوح مذکور‎ 6304 ‏ام مد‎ OD OA ‏ی تست‎ و(تصوير بر" )ارتفاع این متوازی خم امكوارى اسار جل اسن كل مقط لس ‎OB OD ist‏ تا بو شود 

صفحه 174:
ارتفاع متوازی السطوح 0 ای لیب سس وتو لمهي 

صفحه 175:
فرض می کنیم ‎OA=ai+bj+ok , OB=ai+b,j+ok,‏ 60 - ‏علي + زيط + فيه‎ ae عل( يقيط - يطية) + ز(يعية -يعية) + 1(يعيط - يعيط) - 0 0820 © (يقيط - يطية) + بط(يعية - ‎b,c,)a; + (asc,‏ - يعرط) - 2200 0) .من ‎a hq‏ یه بط ‎Sa‏ ‏یه بط وه 

صفحه 176:
۱ قضبه سه برد04 06۸013 مذکور در بالا را در نظر می گیریم. الف) این سه بردار در یک صفحه هستند اگر وتنها اگر كه ‎a bh‏ لاح ات ‎a2 D>.‏ وه انط امتح ب) اين سه بردار يك كنج درست مى كنند (مستقل خطى هستند) اكر وتنها اكر هط رد 0+ ات بط ‎a,‏ یه بط ‎jas‏ 

صفحه 177:
پ) حجم متوازی السطوح تشکیل شده توسط این سه بردار مساوی است با ‎a ha‏ يه یط ‎a‏ a, b ‏وه‎ ۲ منال اس آیا چهر 9۵ :۵00 , (3 ,2 ‎BR, 3A0,‏ ,2,0 بان صفحه هستند یا نه؟ در صورت منفی بودن جواب حجم متوازی السطوح تشکیل یافته توسط 6۵ را تعیین کنید. ‎OA=i+2j+3k , OB=2i+3j+k Als‏ OC=3i+2j+k 

صفحه 178:
106 OA.COBxOO =|2 3 1/ =1+2- 5=-1270 3 2 بنابراین چهار نقطه بر یک صفحه نیستند ۰ وحم متازی السطوح به یالهای 12-12 00 08 04 wee youl gly 

صفحه 179:
۴ فاصله یک نقطه از یک خط ‎OA= =ait bj+ Gk iy) us‏ و نقطه (20 ,10 مدا ر خارج آن داده شده اس عقاو از فصل از 1طول کوتاهترین یاه حملي لست که تایه یک نقطه 1 وصل می کند. ‏بای مان قامله ‎١‏ . أر خط ل شلوا اباب کی اه تسه یعنی ملول برد ‎PE‏ مساوى است با تصوير بردار 06 أروى خطى كه از مض گذرد وبر ‏1 عمو د است. 

صفحه 180:
ا زاویه بین 12 و خط 1باشد. آنگاه RH =|RP{sino |CaxRF =|OA\|RF|sine ear loaner eae ‏ع‎ و از این رو 

صفحه 181:
۲ ۵ منال فاصله نقطه3 3 از خط 1 با معادلة های دکارتی زیر را پیداامی کنیم: x-3_y-1_z+2 ی تقطه (2- 11 ,2)3 را براين خط انتحاب دى اكنيم كاريم عله - ز2 - 2- 13 چون امتداد خط ۱ برد16 +2 +2 -< 608 است. پس فاصله * از 1 عبارت است از ‎OAxR,‏ ee BH ‏لگ‎ ae ‏ور‎ مه 

صفحه 182:
۷ شرط متنافر بودن دو خط ‎rie ics‏ مره من ۳ متنافرند اگر ‎gla ala‏ .و ب 1 0۸,۸ ۳ پر !و وجود داشته باشند به طوری که بردارهای یک ‏تشکیل دهند. یعنی ‎ ‎PP’. (OAxOA’) 40‏ ۸ مود مرک ‎ale LS‏ خطی که دو خط متنافر را قطع کند و پر هر دو عمود باشد» عمود مشترک آنها ناميده مى شود. اكر عمود مشترك خطهاى !و لين خطها را به ترتيب در نقطه هاى "تو قطع كند. طول ‎sop bu PP bs ob‏ عمود مشترك خطهاى ١و1‏ می نامیم. گاهی این طول را فاصله دو خط 1و ‎AES Paap ae ‘‏ 5 1 نیز می نامیم. در واقع ۳و نزدیکترین نقاط روی او هستند. 

صفحه 183:


صفحه 184:
fev VY: موی ی ان ار با معادله های دکارتی زیر را دا می کنیم. م۶2 بل 21 ۷-4 كنع بر ‎aa 5‏ 4 ص نا ‎PD Mca‏ امتداد های این خطها عبارت اند از 2 ‎OA=2-j+ae OA’ =4i- 3j+5k‏ pas ieee) hi] years aire none SP CART). cla aka te sr 8 ‏دا = >= ب‎ PP’ =5i- 6j+5k ‏بر‎ OAxOA’ =i- 2j- 2k °°? PP’ (OAXOA) =5+12-10=7 , ‏لخههم)‎ 4 23 IPP.OAxOA| d= = در نتيجه طول عمو مشترك برابر است با 3 لخهحمه 

صفحه 185:
۴ قععریف دو صفحه که منطبق یا موازی نباشند متقاطع نامیده می شوند. محل تقاطع دو صبحة متتاطع يى خط.اسث اين دو خط.ر فصل مشترى دو صفحه مى ناميم. ‎ee :‏ 1 ۰ * می خواهیم معادله های فصل مشترک صفحه های ول به دست آوریم اين خط را. لو امتداد ‎ge OBI pl‏ نامیم و فرض 5 کم ‎sate‏ ‎y 11 1 :‏ ‎Tee ate oll‏ و1 باشند, جو اروی. "قرار دارد یس ‎ODA‏ ‏عمود است. در تتیجه 05 با ‎OAXOA\,,,‏ قاری ال 

صفحه 186:
یعنی امتداد ! عبارت است از برار: ۳29 ۳۳ نقطه ای بر او (۳0,,2 نقطه دلخواهی از ۱باشد ‎let?‏ ‎OAXOA™‏ است و لذا عدد حقیقی ؛ وجود دارد که : ‎BP =tOAxOA’ 2‏ در واقع * معادله برداری 1 است. فرض كنيم OAxOA’ =ait bj+ ck و # را به صورت زیر می نویسیم (x- x )i+(y- 30([ + )2- %)k =tlait bj+ ck) 

صفحه 187:
بنابراین معادله های پارامتری 1 به صورت ما جروج , ‎y=yorth‏ . هع رود عدر به دست می آیند. با حذف ؛بین معادله های معادله دکارتی 1عبارت می شوند از: ‎Xr % _Y7 Vo 2%‏ a Gis Sapte AN user Ce ileal ‏اه گر‎ برای این منظور فرض می کنیم ‎TI :ax+by+ez+d=0‏ [[ :ax+by+cz+d=0 1 مكادلة ی معادله سه مجهولی زیر تشکیل شده است. 

صفحه 188:
ax+ by+cz+d=0 ax+by+cz+d =0 ‎hy, wales gil‏ دنگری برای معرفی خط 1 است. ۵ منال ‏ارات 70+ +2+3: ][ ‎TI :x+4y+52+2=0 ‏متقاطع هستند؟ در صورتیکه جواب مثبت باشد معادله برداری » معادله های ‏پارامتری و دکارتی آن را پیدا کنید: 

صفحه 189:
ce امتدادهای قائم بر و 11 به ترتيب عبارت اند از OA =2+3j+4k ‏رب‎ OA’ =i+4j+5k ea este a cle eae ONG ae ‏چون 0۸ موازی نیستند » پر و اامتقاطع اند .امتداد فصل مشتر‎ عبارت است از OAxOA’ =- i- ‏عل5 + ز6‎ كد ۱ اکنون نت لا 026 واقع بر هر دو صفحه را انتخاب مى كنيم . براى اين ‎Peet :‏ = منظور در معادله های و قرار می دهیم ‏ ۳ م2 ع2 ‎x+3y+7=0 ‎x+4y+2=0 ‏وبه دست ‎ae‏ آوریم 

صفحه 190:
از این دستگاه 5 > و 22- > ع به دست می آید. بنابرای 22 306 در نتیجه معادله برداری فصل مشترک عبارت است از RP =t i- 6j+5k) ‏ای دی وش معاداه های قراشری او وا یف‎ al ga ‏ای له‎ 1 كم 00 اوددج 4 ‎y =5- Gt‏ رغ 22 دير با حذف از اين معادله ها . معادله های دکارتی | به دست می آیند. x+22 ‏كت‎ 

صفحه 191:
8 ی هدفهای کلی برای درک مفاهیم علمی در بسیاری از شاخه های علوم و تکنولوژی دانستن مفهوم ماتریس و ویژگیهای ابتدایی آن اجتناب ناپذیر است . خاستگاه ماتریس ‎Oe oe eet er ee ah ee ee‏ Pacem he ie ate ‏همه‎ a, ‏امتح‎ 

صفحه 192:
بنابراین هدف از ارائه این فصل براورده کردن اهداف کلی زیر است : الف) آشنا کردن دانشجو با کلیات و روشهای جبر خطی ب) ارتقاه درک غلمی عمومی دانشجو ب) آماده کردن دانشجو برای کاربرد روشهای جبر خطی در ادامه ریاضی عمومی۲ و درس بلافصل آن ریاضی عمومی ۰۳ هدفهای رفتاری | ‎ets‏ بدن ا امطالعة ابن فطل بان وات :ماتريسو مفاهيم ولبسته به لزرا بدلند. از جمله ليزمفاهيم عإرتند از ‎(le‏ ‏درایه های ماتریس . سطرها و ستونهای ماتریس 

صفحه 193:
۰ لنولع ماتریس‌ها را بشناسد. ماتریس‌مربع: ماتریس‌ولحد ۰ ماتریس‌صفر ۲77 ماتریس قطری , ماتریس بالا مثلثی. ماتریس پایین مثلثی از جمله این ماتریسها - هستند عملهای‌جمع ماتریسیو ضربعدد در ماتریس ویژگیهاینها را بلندو 177 See aa عمل شوب ا رش و[ شام وو كاي آنا رانلاك ‎Jae Wily shall ya‏ جمع ماتريسى و ضرب عدد در ماتريس بشناسد و به كار ببرد . ۵- دترمینان ماتریس داده شدهای را محاسبه کند . ۶ ویژگیهای دترمینان را بشناسد و آنها را در محاسبه دترمینان به کار برد 

صفحه 194:
۷ مفاهیم ماتریس الحاقی . ماتریس منفرد و ماتریس نامنفرد و رابطه آنها را با دترمینان بداند . ۸- وارون ماتریس را با استفاده از ماتریس الحافی محاننبه کند 3 ماتریس متعامد و ماتریس متقارن را بشناسد و ویژگیهای مقدماتی آنها را تشخیص دهد . ۰ ویژه مقدارها و ویژه بردارهای وابسته به آنها را برای یک ماتریس مربع محاسبه کند و بداند که ماتریس متقارن با درایه های حقیقی دارای ویژه مقدارهای حقیقی است ۰ ۱ ماتریس تغییر مختصات و معادلات تغییر مختصات را برای بدست آوردن صورت متعارفی صورتهای درجه دوم دو و سه متغیره بکار بیرد 

صفحه 195:
‎ove my! cl alo‏ را را که در « سطر و « ستون مرتب شده اند یک ماتریس ‎MDD‏ (بخوانید ۰« در «) می نامیم . ‏ماتریس ها را با حرفهای بزرگ لاتین ۸۵8 ... نشان می دهیم . هر یک از ‎TAN‏ ‏عدد مذکور را یک درایه ماتریس می نامیم. ‎Ok‏ یه بیع ‎Om‏ وه وه ریق عه يض 22 ‎Ag‏ یه ‎Qt Am ++ Anji Amal 

صفحه 196:
i=12...m A=(a,) ‏لل‎ ويا اكر امكان ابهامى در ميان نباشد به (7)00 *صورت نشان داد نکته آخر این که اگر ۸ ماتریسی «0اشد ۰ ۰و ه را ابعاد و كاه .. تعزو ‎Rotor e st‏ 

صفحه 197:
ClO ‏ل‎ فرض می کی 4 و70۳ 7 دو ماتریس 0باشندمی گوییم ۸ برابر است با 8 و مى نويسيم 4-78 اكر ص... جك ز وصر... م1 رطد رد به عبارت ديكر ل برابر است با اكر درايه هاى متناظر در آنهابرابر باشند. تعریف۹ .0 .9 فرض می کنل۵)< 4۵ و(رط)< 3 دو ماتریس 0<0باشند . منظور از مجموع این دوماتریس . ماتریلك ۳ ای چوو(:)7 "است به طوری که G=ath, i=l2...m9j=12..n 

صفحه 198:
مجموع هو 8 یعنی6 رابا +۵ نشان می دهیم . SPS Os مجموع ماتریش های۸ وظ را بدست می ‎Hetil‏ ‏1-4 1-0 امه و ‎Beals‏ 06 ام 8- 0 4 9 8 7 oe داریم 7 2 0[ 3+4 2+0 11 A+B=/4+3 5-5 6-2-7 0 4 7+4 8+0 98 |11 8 

صفحه 199:
تعریف(ضربعدد در ماتریس) 9 .0 فرض ال خم ‎G TMG, ste‏ عددی دلخواه باشد . منظور از حاصلضرب ‎eal BOD gf MD suas 7‏ بطوری که bj=aa, i=12...mg j=12...n ‏ماتریس 9 را حاصلضرب" در ۸ می نامیم و می نویسیم‎ B=aA 49. 0. ‏م9‎ 9 29 2 A=lo 1 9 bla 0 احم © اهم 3x1 3x2 3X] [3 6 0۵ oA =3A =|3>0 3x1 372-10 3 6 3x1 30 3x2) |3 0 § داریم 

صفحه 200:
۶ تعریف (ضرب ماتریسی ) فرض مى كنرلرة)- ل (و)” 8 به ترتيب ماتريسهاى 19000 ‎ABP‏ منظوراز حاصلضرب هدر 8 ماتريس 10”8 جون (:6)- نكست بطورى كه مه + + ره + مرطرية > ‎Cy,‏ به ازای > 1 و1 3 ملاحظه می کنیم که در رابطه #. عددهاى ‎Am‏ مقر درایه های سطر نام ۸ و عددهای ,روز بیط 

صفحه 201:
درانه های ستون ام ظ هستند بتابراین می توان کفت که لق عرب اعضای متناظرسطر نام ۸ در ستون ۲ ام 8 و جمع آنها به دست آمده است . اه تمه - مه ما 1 

صفحه 202:
و آن را به صورت دستگاه معادله های عددی.می تویسیم ۹ x 8 am i ۳ ~ PN 1 tI 2 ‏دم‎ ‎Ay ‎aN ‎i ‎< ب ) در معادله 6 0 1 2 3 1 0 1 1 AB=/2 1 0 ۱2 4 4 داریم 2 3 4 0 1 2۱0 1 2 1 0 11 0 1 2 1 012 1 0-14 1 2 AA 13 1 

صفحه 203:
ل داريم ‎x+2y+3z‏ 2- 7+ 42 3 بنابه تعریف برابری ماتریس ها آخرین برابری معادل است با دستگاه تمعادله های زیر 2 + -3 می دانیم که هر یک از این معادله ها معرف یک صفحه در فضاست . 

صفحه 204:
قضیه 19.0.5 هر دستگاه : معادله « مجهولی خطی را می توان توسط یک معادله ماتریسی یک مجهولی نشان داد . یعنی دستگاه « معادله « مجهولی ۱ +a,.xX, ‏بت‎ & X, +X, +: +a,,X, =b, a) AX + ‏مره‎ +۰۰ + Ay Xy =D 2 ‎Xy 7‏ 4 را که در آن متجهول اند می توان به صورت ‎AX=B (2)‏ ‎mxl nxt ‏نوشت . که در آن ۸ماتریسی 2709 8 به ترتیب ماتریس های ‏ره 

صفحه 205:
SO. d. Days ‏را به ترتیب ماتریس ضرایب ۰ ماتریس طرهای دوم و‎ BOAX ‏ماتریس های‎ ‏ماتریس مجهولهای دستگاه (۱) می نامیم . ماتریس را که از افزودن ستون‎ ‏بسه لنتهایسمتولستماتریس۸ حاصل‌می‌شود . ماتریسافزوده دستگاه‎ 7 ‏می نامیم . بنابراین ماتریس افزوده (۱) عبارت است از‎ )۱( Gf vag ae ay a Dy Ca ee ‏مدا‎ لي و در نماد فوق خط قائم نشان می دهد که ماتریس مورد بررسی ‏ ماتریس افزوده كاه تیادله ها اش 

صفحه 206:
م9 .90.0 الف ) ماتریس ضرایب ۰ ماتریس طرفهای دوم ۰ ماتریس مجهولها و ماتریس افزوده دستگاه اه 2-5 2+1 ‎-x+y-Z=-1‏ ‏عبارتند از ماتریس ضرایب 4 ‎A=|2 1-1‏ ‎Sis‏ ‏ماتریس طرفهای دوم 1 ‎B=|5‏ 

صفحه 207:
ماتریس مجهولها م ۱ و به N 2 es ‏مت ود 2 - رده‎ تن در در ‎ae‏ i ‏حم‎ تعریفللنطع ماتریس) 9 .0 .99 الف ) اگر 111-10 یعتی اگر تعداد سطرهای ۸ برابر تعداد ستونهای آن باشد ۸ را یک ماتریس مرب" می نامیم . در ماتریس مربع ۸ قطری را که شامل . درايه ها 29 ۳9-9 است ‏ قطر اصلی می نامیم 

صفحه 208:
ب ) ماتریس واحبودو را با ,1 نشان مى دهيم . داریم 10 ‏وا , رز‎ ۰-0 1 00 2) a, 0 0 na 0% a5 0 2-0: ‎٠‏ اين ماتريس قطرى را با نماد زير نشان مى دهيم ‎A =diaga,p ...9 a) 

صفحه 209:
ت ) اگر درایه های پایین (بالای) قطر اصلی ماتریس مربع ۸ صفر باشند . ۸ را ب لاپ ایبی مشلثیسین امیم. جند ماتريس, ا لامثلثىبه قرار يرن A, Ay ay lal ae ‏ا‎ ‎0 2 عا ين المت بر اب صورت رشان مه مه ييه ره ‎a |‏ 9 ۰ 

صفحه 210:
تعریف(ت لنهادم یکماتریس) 9 .6006.0 دا ما اد ترس ای خرن ‎Pale ct‏ مي نامیم كر م و..و2ول<ع1 ‎ba =a,‏ ‎m‏ 9--:1=%25 ترانهاده ماتریس ها نشان می دهیم . منل(9 .989.0 ترانهاده هر یک از ماتریس های زیر را پیدا می کنیم 2 1 (ت) 4 ۵ 1- 7 6 5 8-1 2 3 ‏ل4‎ bie 

صفحه 211:
> ‎I‏ ‏جم زم ين ال ه صر هو ند ب ) داریم 50.4 ‏تین‎ ‏كد‎ Ca se, لف قرا مسقارن .نامي کر ی شارت در ماستقارن ان آکر ‎i=12..n9 j=12..n‏ رعع ره GMs SAE Soe aes SUL aula Ge cil aa aj=-a, i=12...n9 j=l2..n ‏است اگر‎ 

صفحه 212:
1 2 3 4 Es 12223) eae @ )1 ‏ماتريسهاى‎ ‏ا‎ ‎4 6 8 9 مر با ۰ از ۳ 6 5 ‎D=|4‏ ‏متقارن اند ولی ما ارن اند ولی ماتریسر متقارن نیست ۲ ماتریس های ل ‎aes , B=|2 0 4], C= 3‏ ‎Bo es eS OKT‏ 2 پاد متقارن اند . توجه کنید که اعضای روی قطر اصلی هر ماتریس پاد متقارن صفر اند . 

صفحه 213:
مغر 0 .66 الف ) به ازاى ماتريسهاى ‎cma §‏ ده | af مشاهده ی کنيم که ‎calplS Gaal ones UU‏ صحبت از برابری (0()۸ )0۸ در مورد این ماتریسها بی مورد است ب ) به ازای ماتریسهای و 3 C=|2 3 4 ۴ مشاهوه ی کنیع كه (ظ8) © تعريف شدة است بتابراين (8)86 نيز تعريفة - 1[ i 288 50 ‏شده اسث وداريم‎ PPO ‏ا 1 و‎ 

صفحه 214:
ب ) به ازای ماتریس های واحد ‎et By‏ رل 4- 1- 0 مشاهده می کنیم که ماتریس های ‎DA‏ تولف شده اند بنابراین ۸۸ وو۵ح ‎LA‏ ولی ماتریس مایل4 وت تعریف نشده اند و لذا صحبت از برابری آن باه بی مورد است . 

صفحه 215:
تعرینه .90.0 ae Aa ane aes Seas ‏فرض کنید ۸ ماتریسی " باشد . توانهای صحیح نامنفی ۸ را به صورت زیر‎ As! BN ‏ال اتب اش‎ ۸ <۸ te Am =A" 

صفحه 216:
منذرة :0 :810 اه و اه لد رسمه .رواد ه ‎wove ef‏ رین 60.4 1X +B t+ AyX =H, ‏متطورار يك حوات دنه معادلد:های‎ 2 ريطت يكامية + ‎+٠٠:‏ ركترية + ركرية وت وكتريية + ‎+٠٠:‏ يلوي + ركترية 

صفحه 217:
با ۳ اس کنه در ام ماه ماملی و تک ی یک عونت ‎Gay SS‏ ات ار داشته اشیم 8 (ty FAX +++ FAG, =D, ‏یلع مرو + ۰۰۰+ رارق + وا) و3‎ م2 مه ۰۰۰+ لوبق + رلار3 حال اگر ‎xX Oy‏ ‎Go‏ إن أو ‎x=‏ ‎On.‏ مد آنگاه ملاحظه می کنیم که دستگاه معادلات بالا معادل است با 

صفحه 218:
که در آن ۸ ماتریس ضرایب (::) و 8 ماتریس طرفهای دوم (:) است. بتابراین اگر دستگاه معادله ‎cle‏ داده شده ای جواب داشته باشد ۰ آنگاه معادله ماتریسی متناظر با آن نیز جواب دارد و بر عکس. ‎١‏ متا صورت ماتریسی دستگاه 5- 4 +3 +2 ‎-x+y+z=2‏ ‎Sx+y- 32=4‏ ‏عبارت اسك از 

صفحه 219:
- یک جواب معادله ماترینی متناظر با آن اس 

صفحه 220:
ار ماتریس مربع ۸ را وارون پذیر می نامیم اگر ماتریس مربع ظ وجود داشته باشد که ‎AB=BA=I‏ در این صورت ظ را یک وارون ۸ می نامیم . یعنی وارون هر ماتریس در صورت وجود یکتاست . 8-۱ وارون ۸ را در صورت وجود با نماد زیر نشان می دهیم . 

صفحه 221:
۲ منال الف ) وارون ماتریس ‎gale 5‏ لل © واكام كمه فرض مى كنيم كه ‎BS 1‏ ‎est‏ ‏وارون ۸باشد .داریم ‎BAC y| [a bl] _fax+cy bx+dy 1‏ ‎“|z t| [ce 0| |azect bz+dt} |0 1‏ 

صفحه 222:
بنابراین طبق تعریف تساوی ماتریسها داریم ‎ax+cy=1 az+ct=0‏ bx+dy=0 — bz+dt=1 ‏از دو معادله طرف چپ و عو از دو معادله طرف راست 2۸ بدست می آیند:‎ مشروط بر إين 86745 ‎OF‏ در واقع داریم ‎d =D) C a‏ ‎x=, y= 2 < pa eS‏ ‎ad- be ad- be ad- be ad- be‏ در نتیجه اگ(007 -20آنگاه ‎oe‏ 1 - 04 1 0ظ ۵0 0ظ 20 | ‎a ad be|-c a‏ 6 ‎ad be ad- be)‏ با یک امتحان ساده ملاحظه می کنیم که ‎AB=I=BA‏ ‎BAY‏ 

صفحه 223:
اک هرس مریم 4 غارون داشته باشطی آنگاه معاوله ماترس ٩۸فا‏ بك جواتب هارت تارج قبارت امت X=A"B PP. d. Oph. ‏دستگاه‎ ‎2k +3y =5 4x+17y =6 .را حل می کنیم 

صفحه 224:
حل He cess ‏این‎ le ‏مائرس‎ ‏ام‎ 3 41 3 i Cs a ilps Ou ween cee ولذا 1/63 _ }5{ }3 - 1117 ‎x‏ ‏== 2۵۸8 |12 ‎lace 4‏ حي جوت دسكاء عبارت اسار كش ل و ‎PV Til oy a‏ 

صفحه 225:
به ازای ماتریس ۵ A= © ‏له‎ عدد 20-20 را دترمینان ۸ می نامیم و آن را با نماد0©]4 يا اكلشان می دهیم . |A| =detA =ad- be ‏بنابراين‎ ال 7 7006 برای تعریف مفهوم دترمینان در مورد ماتریس هلی ۰ ‎2۳٩‏ ودابتدا مفهوم همسازه را تعریف می کنیم . 

صفحه 226:
اب ‎3x3‏ ‏به ازاى ماتريتق” ای چون ديه ‎A Ap‏ ‎A=|@ A a;‏ اد :هه رية ‎2x2.‏ 3 ‎Shey‏ .از آن » دترمینانماتریس > ‎Joe‏ از حذف سطر و ستولی که در آن قرار دارد را کهاك" می نامیم و آن زايا 9 لشان مى دهیم . منظور از ‎Aes‏ عبارت ست از عدت ور ‎A, =¢ DM,‏ ‎ay ‏فرض کنید ۸ماتریس3۳۹ مذکور در بالا باشد دترمینان ۸ را با ‏اه مق مه هاعه یا إية دية رية ‏إدجة دمة ريما 

صفحه 227:
ان می دهیم و به صورت زیر تعریف می کنیم detA =a, Anta AntaArs اتوجه كنيد كه 00 ‎arya‏ -ویقررهع 181 )د ريم أدمة دوا ‎a,‏ و ‎aa)‏ مم اه و ‎aoe b Ass A323‏ 2 ‎a,‏ ‎(a... ayer)‏ © 1۳۳۳ 2 ور ادوة 891 بنابراین دترمینان ۸را می توانیم بر حسب درایه های آن به صورت زیر بنویسیم det =a, (a,a,,- a,A,))- a,{a,A,,- ‏لويقية -ديقيةأوية + لويقرية‎ 

صفحه 228:
مرن 8:9 الف ) در مورد ماتریس زیر تمام همسازه های درایه ها را محاسبه و آنگاه آن را محاسبه می کنیم : همسازه های ‎als‏ های ۸ از این قرارند ۳ 1 ={ ره و 1-3 ره 

صفحه 229:
مر 0 ریش . در 17 )د ويه ‎ee‏ 1 3 -)- ا 1 2 -)- 1-4 پیش : 1 ‎cm‏ ‏51 7 ‎he 1‏ + د 1*7 )- ريه ‎mh 1 =1‏ )2 ويك ‎detA =1A,,+2A,,+3A,, =-3- 44+3=-4 ‏بنابراین داریم 

صفحه 230:
ماتريس ه31 ای چون ۸را در نظر می گیریم الف ) فرض کنید ماتریس 8 از ضرب یکی از سطرها (یا ستونهای ) ۸ در عددی چون ۲ بدست آمده باشد .در این صورت ‎detB=kdetA‏ ‏ب ) اگر ماتریس 8 از تعویض جای دو سطر (ستون ) ۸ بدست آمده باشد آنگاه ‎detB=-detA‏ ‏ت ) اگر دو سطر (ستون ) ماتریس ۸ مساوی باشند » آنگاه detA=0 

صفحه 231:
ما © ۷ زاف دترمینانهای ‎bed‏ بدست می آوریم هماه Ah st SON 2 Js eS x 

صفحه 232:
ب ) سطر سوم این دترمینان ۲ برابر سطر اول آن است . لذا داریم و ‎Te‏ ‏2>0=0= 7 << 7 6 1-2 4 2 پ ) در سطر اول از عدد ۲ می توان فاکتور كرفت و دترمينان را با استفاده از تعریف محاسبه کرد . 2 0 1 0 5 4 5 6 -24 5 - ۳ 3 7 3 7 ت ) ستون سوم این دترمینان ۳ برابر ستون اول آن است از این رو 37 9 0= 4 3/=31 14 7 8 7 8 

صفحه 233:
‎oy‏ امه ثيه ده امه دم ا و 22 ‏.را در نظر می گیریم ‎ae) - )x(n-‏ دمن ما إى كه از ذف بطر :ام ولسزون رامق حاطل ‎a 7 Ny 1‏ می شود رآبا . نشان می دهیم و آن را کهاد "و عدد ‎Ay=CD™M,‏ ‏را همساؤة مى ناميم التأبسط دترمينان نسبت به سطر نام ‎16۵ 22 ‏شرت‎ ‎a 

صفحه 234:
مطزهترمیانمانریس خی :0 16۰ . مى خواهيم دترمينان ماتريس زير را محاسبه كنيم ع ‎ay,‏ ‏در 08 O07 dag 05, حل بيه 00020 0 A= دترمینان را نسبت به ستون اول بسط می دهیم ‎det =a, Ay, +0A,,+..+0A,, =a, Aj,‏ ملاحظه می کنیم که دترمینانی (1 0۳7( 07 از نوع دترمینان ۸ است واز این رو به استقرا داریم مب + .۰ .«وقر ب< 061۸ یعنی دترمینان یک ماتریس بالا (پایین ) مثلثی یا قطری مساوی ا ا ها وع قراس 3 

صفحه 235:
3 an, . ‏ماتريس 2 ای چون ۸را در نظر می گیریم‎ الف ‎Asi‏ ترانهاده ۸ باشد . آنگاه ‎detA’ =detA‏ ب ) اگر تمام درایه های یک سطر (ستون ) ۸ مساوی با صفر باشند . آنگاه 0= ‎detA‏ ‏ب ) اگر یکی از سطر (ستون) های ۸ مضربی از سطری ( ستون ) دیگر باشد . آنگاه 0= ‎det‏ ت ) اگر ماتریس 8 از ضرب یکی از سطرها (ستونها کی ۸ در عددی ناصفر چون » بدست آمده باشد . آنگاه ‎defB =cdetA‏ 

صفحه 236:
7 nxn ‏ث ) اگر وه دو ماتریس " باشند . بطوری که درایه های سطر (ستون)‎ الم و ) مساویب‌اشند و گر سایر درلیه های۸ و 8 و © یبکسازی اشند آنگام ‎detA =deB+deC‏ ج ) اگر ماتریس ظ از تعویضهای دو سطر (ستون ) ۸ بدست آمده باشد .آنگاه ‎deiB =- detA‏ ج ) اگر ماتریس ‏ از تعویضهای دو سطر ( ستون ) :م۸ با مجموع مضربی از سطر(ستون ) ام و سطر ام ۸ بدست آمده باشد . آنگاه det B=det A ح ) اگر قماترس1 باشد آنگاه ‎det AB = detA detB‏ 

صفحه 237:
م9 .9 .49 ‎ee‏ ‏( الف 0 6 62 45 77 86 3 =0 ب ) چون سطر دوم دترمینان زیر مضربی از سطر اول است پس 1 2 0 9 0 100 1 85 10° 82 =0 ب ) داريم =o, نم ان 06 1 4 7 

صفحه 238:
بنا به ت : ae 6 ‏ها‎ 0 ath بتا به الف > م ‎yin‏ ‏60 م دك 

صفحه 239:
کت نف :2 197 ماتریس مربع ۸ را نا منشرد می نامیم اگر وارون پذیر باشد . ماتریسی که تامتفرک نباشد , منفرد نامیده می شود . مشر .6. 09 الف ) ماتريس هاى 1 1 0 1<ظ ر 1 چاه 011 وارون پذیرند . در واقع داریم 

صفحه 240:
1 1 1 202 ‎aa paji .1 1‏ 7 20 5 ‎pe‏ ‎ea‏ ور نا براین این مانریس ها نا متفرفند ب )ماتريس 2 1 6 4 0-2 578 منفرد است برای مشاهده این امر از برهان خلف استفاده کنید . 

صفحه 241:
٩0.9. ‏قضیه‎ اگر ۸ وارون پذیر باشد آنگاه ‎sted)‏ کر مات نت مر اند و ‎Salsa ete‏ تعریف(ماتریس | احاقی) 9 .9 .99 فرص كي 4 اماد ده و *" همسازه درایه باشد . ماتریس 1 ‎adjA=(A,)‏ Mo enh cog 

صفحه 242:
۸ ماتریسی باشد اناد ‎A(adjA)=(adjA)A=(det/‏ Te ellie Gitte Ga pied as FoR osm ayes Sle ace ‏زمه تدهم‎ detA ‏معره 6 م6‎ وارون ماتریس زیر را پیدا می کنیم . 

صفحه 243:
حا َه أبنذا ممسازة هاي درايه ها را بيدا مى كنيم ؟ 0 0 1 ا ‎oe‏ 1 1 2 ما مه بنابراین ماتریس همسازه ها و ماتریس الحاقی ۸عبارت اند از ‎aia Died.‏ 4- 4 4 - رها 1 

صفحه 244:
ار ‎adjA-la,) =|-2 4 -2‏ ‎Pea‏ اکنون دترمینان ۸ را محاسبه می کنیم det =a, A,,+a,A,)+a,Ay, =-3- 44+3=-440 A a ‏بنابراین **وجود دارد و داریم‎ 25 a Deedee 5 1 يدر أشن نیجه زا ازماس نیم 

صفحه 245:
=(deA)I ‎٠‏ و از این رو » نتیجه بدست آمده درست است 

صفحه 246:
| فضایبرداریو تابع خطی9 .9 , تاکنون ساختارهای ریاضی بسیاری را دیده ایم که ازویژگیهای یکس‌انی برخوردارند.مثلاً در ریاضی عمومی ۱ دیدیم که اگر ۲ مجموعه تمام توابع پیوسته با دامنه[0, 41 باشد . آنگاه به ازای هر سه تابع ۵؟ و « متعلسق ‎Fa‏ B se ‏و هر دو عدد حقیقی "و داریم‎ 1+ ‏و 9+1< و‎ 1+ ۳ 1 +(و +۶6)< (]+و) +1 ۳ تابع صفر ۴ ام , یف 6:(0< 0 پیوسته است » یعنی ۳ وداریم ‎£+0=0+f =f‏ 

صفحه 247:
۳ تابع؟ دارای قرینه (-ه است ‏ یعنی توخ‌اويم 1+0 ۵ تابع ثابت يك را به صورت ‎O11 Ro‏ در می گیریم . نخست توجه می کنیم که يس ‎1f=f‏ یعنیعدد۱ ضربدر ] مسافیلسبا ۶ 20۴*۳0 (9+ گگلگی توابع هر دو طرف به 7 تعلق دارند و تساوی برقرار ‎mak‏ alf+g)=af+ag (ap)f =a(p)£ 

صفحه 248:
هر مجموعه ای که روی آن عمل جمع اعضا و عمل ضرب اعداد در اعضا تعریف شده باشد ودر ‎coe SAV tal‏ کته یک فضایی برذاری عقیقی ناه و ‎ky ales Us pps ls‏ مثال رد مر ‏. می کنیم سر وکار داریم 

صفحه 249:
توجه کنید که بردارهای ‎J, =(10..9 ,1, =Q1..9,...1, =(0...91)‏ که در آن ها فقط موّلفه :ام برابر با ۱ و بقیه صفرند اعضایی از . هسثكك . قراس نی ‎can‏ د که الا 3 کرد .در این صورت هر عضو را یک بزگار سطری می نامیم . ترانهاده هر بردار سطری را یک بردار ستونی می نامیم . چون یک تناظر یک به یک بین بدارهای سطری «- بعدی و ترانهاده آنها وجود دارد . هر عضو را می توان به ‎Bs gee 3 ce ۳‏ 0 صورت برداری ستونی نیز در نظر گرفت . 

صفحه 250:
۲ تعریف ا 2" برنازهاص 0 301 8 یی ‎SO pial aes‏ ‎01,V,‏ .وله + ور 10 ‎Vie ei,‏ eae ‏کت‎ ‎eee rene 9 ‏مظات .نب‎ ممه- ج 5< = اس دوهی 2000 3 1-0109 9( جروا ب رادر ترس گیریم . اگر (7 :نار لخراهى از . باشد آنگهبثأبه تعریف جمع برداری و ضرب عدد در بردار » داریم . w =(0.09 +060 + 0 y) =al, +61, + yl, يعنى « يك تركيب خطى از ‎hy‏ وطابقك . 

صفحه 251:
B, su oat 5A10-5)9 v, =(23-43)9 v, =(1- 20), EG ‏ت‎ Fibs hf bleh) es eS Vv, +Vv,+0v, =(34,- 64) (- Dv, + v, =Q10) Sv, + v2 =@909 =90100) 3v, +4v, +5v, =(- 173538-10 1 8, - ‏بت + رت9‎ =C000 =o 

صفحه 252:
۷ تعریف | ۱ n=DR® : می گوییم فضای برداری ‎(Vays: Mil ie; te‏ شده اش گر هن عضو ۰ کار کیت جصی از تفارهای ۰ ۲۸۵۰9۰۱۲ ‎oy‏ باشد . در این صورت یک مجموعه ‎ays‏ مى ‎eb‏ الف ) مجموط2 ۱۷۳ مذکو(/01< ۷۱ و 0 -2< و یک مولد . اس مجمول ۱۳۰۵ مزکو 200 و و2 -)< و۷ ولا 01 ولا ی ب ) مجموطة9 ۱۳۰۲۳ مذکور یک موند 202,710 ۲ ول4 2237 ,۲ و 210 نست 

صفحه 253:
ت) مجموعه :»با (۲:<01 و 1240)حتلل خطی است ولی مولد ‎١‏ یت یرای هت اين مطلف فرص كيد XV +YV, =(& XX) + (Y2yD =(K+y,x+2y,x) - 000 ۲ داریم 0عتو 7-0 بنابراین ۲۲ مستقل خطی است . حال اگر ۰ 0618 ,طبع) ترکیبی خطی از ‎ode Yi‏ آنگاه باید «و و وجود داشته باشد بطوری که (xty,x+2y,x) =(a,b.c) ‏ويا‎ x+y =a,x+2y =b,x =c ‏بنابراین باید داشته باشیم‎ y=a-c,y=b-a 3 ولك 3 ای ار ی ی ار و زو و۷ 

صفحه 254:
۲ ۳ قضیه ‎oe Seon a‏ یت ‎COM) case) cul Sha ate wal‏ ‎lel saeca"l Sul, siete elses‏ تمام باب ‎Bute‏ بر می نامیم و می نویسیم ‎n=dimR”‏ ۳ عمال الف ) با توجه به ۳۷ ۷۱ 9 (01-ودلضیه فوق می ببینیم که ‎dimR? =2‏ به همین ترتیپ ۰ ۳010 ۷ 9 ‎TOM =O‏ می دهد که ‎dimR® =3‏ 

صفحه 255:
ب ) فرض کنید ۳3 و در" مجموعه بردرهای (00...01- مل..., ©...01- ,1 0..۵)< را در نظر مى كيريم . مى بينيم كه اكد 200.9 ‎x1+xb+x) =X)‏ ae ‏آنگاه‎ x= و لذا 9 مستقل خطی است . حال اگر ‏ 2۳ 92۰-80 ادلخواهی باشد آنگاه بنابر ویژگیهای جمع برداری و ضرب عدد در بردار داریم ‎(a,a,...a,) =a), +a, +..+a),‏ وی رو تیک وک ات هه اك عراف ات و این n=dimR® 

صفحه 256:
برخی زیر مجموعه های ود در اصول فضای برداری صدق می کنند . اين زیر مجموعه ها را زیر فضاهای ‏ می نامیم گر زیر به تعریف این مفهوم مى پردازیم . ۰۵ ۰۲ ۲ تعریف زیر مجموعه ناتهی ‎slab iT‏ مياميم اکر درشرایط زیر صدق کید . الف ) به ازای هر 2 ‎veS eas er alitves (‏ ‎ueS aeR aueS‏ يا توجة به شرط (ب) روشن انيت كد كر ‎IER OL‏ باشب اناك 305 “أراين رون اكر 5 زیر فضایی از ‎Ul el By‏ ريق بك شرط کی رای آتکه دز قضا نباف [ن 2 62517057 

صفحه 257:
‎Ve‏ ۲ تال ‏الف ) مجموعه ‎pled‏ ترکیبهای خطی بردار (اواو1) را 5 می امیم - داريم ع0 يا ي) > >۱022(۲ و ‎ ‏روشن است که ۹ )با ۷ و ()ما- لو عضو 5 باشند. آنگاه ‏5 (02(یا + ب)< 00یا + )با رل + را ‎ay, =(at) dies‏ ‏۲ و 5 3 بنابراین مجموعه تمامی ترکیبهای خطی بردار (اواو1) یک زیر فضای 3 است . چون این مجموعه فقط توسط یک بردار غير صفر (1و1و1) توليد شده است .داریم ‎dimS=1 

صفحه 258:
ب ) مجموعه تمام ترکیبهای خطی بردار صفر (0و0:0) مساوی است با 3 ((0و0و00) روشن است که ((0و0و00)-٩‏ یک زیر فضای است ‎at‏ تعریف ‎dimS=0‏ ‏ب ) فرض كنيم 83 ع8 عن ع منا 5-1 0 ‏و‎ sie, ail atl ops oat PCy ‏دو عضو‎ 21 ua(& +(x, yO =(k+x y+y DES au=a(x, yO =(ax,ayQeS روشن است که ((0واو0) و (0و0و۱)) مستقل خطی و یک مولد ‎٩‏ است ‏ بنابراین ‎dimS=2‏ 

صفحه 259:
هت فرض می ‎2h mabs‏ دو عدد طبیعی باشند . تابع ‎Sikes Ae‏ تابع خطی می گوییم اگر شرایط زیر برقرار باشد f(u+v) =f(u)+f(v) ,u,veR® ,) F(ou) =af(u) , ce R,we RP اگر در شرط (ب) قرار دهیم 7 *بدست می آوریم ‎=u) =CF(u) =‏ )0(£ بتابراین یک شرط لازم بزای خطی بودن #برقرار بودن تساوی* 0 لمك اکنون فرض می کنیم ۷(" "1" گیک تابع خطى است و 17 © یلار ‎(Vi Yor Vn) ER™ « X‏ ۷ 9 (0) جر نويسيم ۱ 

صفحه 260:
بدست می آوریم (00 2 را 00ح يلآ )سل ولا . ‏عددی حقیقی است‎ sa fo elie (el laa ees f é . ‏یدز اشت به علاوة ۰ هاتایعی خی هستند‎ Slik lps 1 نک ون ۱۳ در نتيجه تابع خطى 6 راى توان توسط « تابع خطى حقيقى 2 9-9 معين كرد . اين توابع حقيقى را موءلفه هاى تابع ؟ مى ناميم . 

صفحه 261:
019. 9. ‏م9‎ ‎canes ava) as ‏الف ) تابع‎ f(x, y)=(2x+3y,x+2y) eee us Gey) Ail ‏خطی است: در واقع به‎ u+v=(x+x yt+y), au=(ax,ay) £(u+v) =Q(x+x’)+3(y+y),x+x'+Ay+y)) =(2k + 3y+2k' + Byx+2y+x'+2y) = (2x + 3y,x+2y) + (2x'4 3y,x'+2y) f(u)+f(v) £(au) =f (ax, ay) =Qax) + 3ay),0x+2ay)) =a(2x + 3y,x+2y) =af (u) 

صفحه 262:
موءلفه های این تابع عبارتند از : ‎Y, =f y) =2x+ 3y, y =£,(x,y) =x+2y‏ به آسانی دیده می شود که این موعلفه ها توابع خطی هستند . ته باتو = ‎Behe‏ ‎gore,‏ را مت )00,£,)0,£,)0,€= (۶< ۷ y, =f\(x,y) =x+y41 ‏که در آن‎ Yo =£,(x,y) =x+2y Y3 =£,(x, y) =3x+4y خطی نیست . اگر ۶ خطی باشد باید داشته باشیم )0 ,0 ,0)=(0 ,0(£ چون داریم ۶۵ 100 < )00,£,00,£,00,£(= £0 يس ؟ خطی نیست . توجه کنید که علت خطی نبودن ] وجود جمله ثابت ادر موءلفه اول است . 

صفحه 263:
)ورن به اتمازه راوید ‎Pe‏ سول میا مختصات ۶ یک نایم خی ۱ < ۳ 2 فرض می کنیم که با دوران مذکور نقطه تبدیل شود . با توجه به شکل ۱ > 

صفحه 264:
داریم ‎OB=OY cost +p)‏ ‎BY =OYsin& +6)‏ ون و یعنی مختصات نقطه ۷ به ترتیب عبارتند از 00و3۷ و به دلیل دوران ,0۷06 پس برابریهای فوق به برابریهای زیر تبدیل می شوند. ‎xX, =OYcosrcos)- OYsina sind =x, cos)- y, sind‏ ‎y, =OYsina cos) + OY cosx sind =y, cod) + x, sind‏ ‎f=(6) ‏توسط‎ Ro Ray gst x, =f,(x,,y,) =x,co#- y,sind ‎y, =£,(%,, y,) =x, sind + y, cos) ‏تعریف می کنیم . روشن ‎f aS Col‏ تابعی خطی است . 

صفحه 265:
تعریف(ماتریس‌تابع خطی) 9 .۰.9 90 تم ‎Pe ee em‏ و مقدار ۶ در تیک ‎Xa‏ = ريا ...)+ كباش ‎i‏ mae? fine Ef is oo a) ‏اینصورت توابع سورت ا مس‎ £=( 5h, tn) y, =f) =a,X, +a,X) +...4a,X, مكابية +... + وترية + رورت (0) رک وا ‎AX‏ +... + يكتوية + ركتيبة- (06 ,1ت برلل 

صفحه 266:
ماتریس ضرایب دستگاه معادله های فوق را ماتریس ؟ (نسبت به پایه های متعارفی ) می نامیم . بنابراین ماتریس ۶ عبارت است از ‎Ay Ay Aly‏ ‎Me aa An es an‏ ‎Be a‏ 3 عم معو ‎mxn‏ ‎os ale‏ كه فا ون تیم 0 960 OD Oj. Dads ‏(ي]2 و3 بدم)(,/تداريم‎ 5 7 Rs ‏الف ) در مورد تابع‎ ۱ 

صفحه 267:
‎Gal‏ لويس امار ارت است از ‎J‏ 2 ‎۷2 2 ‏ب ) در مورد تابع خطی ‎f(x) =(2x,3x,0F:R> R?‏ داریم ‎=f) =2x, y, =£,(x) =3x, y, =f, (x) 20‏ :¥ ‏بنابراین ماتریس ‏ ماتریس 31و عبارت است از ‏دم تت © ‎ ‎ 

صفحه 268:
۴ تعریف ‎fe Res Rees‏ 8 تابع خطی 7 را در نظر می گیریم مجموعه 20 6160۵ ۱ < 1 را هسته می نامیم . به عبارت دیگر هسته ] مجموعه تمام جوابهای ‎Sealy ales‏ 7۳۹0 هسته ‏ را بانمادً یا 672 نشان می دهیم . ل و اه یی تون میا قرو راید صورت معادله ماتریسی ‎AX’ =o‏ پا دستگاه معادله های زیر نوشت 

صفحه 269:
y, =f) =a, X, +a, X +...4a,x, 20 ‎=a,x, + a,x, +...4a,x, =O‏ (2) رگ رل ‎Yin =f (X) = Apa + ApX +--+ AX, =O ‏بنابراین؟ 165 مجموعه جوابهای دستگاه معادله های فوق است . دستگاه ‏معادله هايى را که طرف دوم آنها صفر است همگون می نامند . 

صفحه 270:
‎ct eh eo eR we‏ مره ‎Rif) = f@)KeER"‏ ‏را تصویر ۶ می نامیم .به عبارت دیگر تصویر ۶ مجموعه تمام مقادیر؟ است . یم که |219۶ 12 آنگاه ۶ پوشا است . ‎ ‎ ‏ر قضیه زیر ویژگیهای اصلی هسته و تصویر را بیان می کنیم . ۶ قضیه ‏فرض مى كنيم لط امد ‏الف ) 6 هسته ۶ یک زیر فضای ‎el‏ ‏ب ) 18080 تصویر؟ یک زیر فضای "القت . ‎dim K+dim R(f)=n ( = 

صفحه 271:
GAY ‏بعد هسته و بعد تصوير تابع خطی 88 ”لأا ترتيب يوجى و رتبه*] مى‎ . ‏ناميم و آنها رابه ترتيب (2)4 و(1)5 نشان مى دهيم‎ n(f)/=dim K , r(f)=dim R(f) 

صفحه 272:
۸ منال ‎Ais‏ ‏ب ) ماتریس » هسته ؛ تصویر برتبه تبع خطی ۰ ‎LEBER‏ f(x, y)=(2x,-x+y,x+4y) را بيدا می کنیم بنا به تعریف ماتریس ۶ عبارت است از 20 ‎A=|-1 1‏ 4 1 بنا به تعریف » هسته ؟ مجموعه جوابهای دستگاه زیر است . 20 2 -x+y-0 x+dy =0 

صفحه 273:
و لذا((0و00)->1 یعنی هسته ۶ صفر بعدی است و .16(<2 00 اکنون پایه ای برای )2 بيدا مى كنيم . ا ‎RE) = fy, y)eR?‏ = (Ox, x+y,x+4y)keRyeR =x(Q-1)+yOl4xeRyeR V2 = O19 HO AD wofl0,1)=(0,1,4) 5 £1,0)=(2,-1,1) Soe به 168 تعلق دارند » مجموعه ۰ ‎chs JEM!‏ 5 مولد 168 است . ۱ VV) بنابراین 88-2 حصنه و یک پایه برای آن 

صفحه 274:
توجه کنید که تعداد سطرهای مستقل خطی ماتریس ۸ نیز 2 است.(امتحان کنید) . یعنی ‎r(A)=r()=dimR(f)=2‏ ريف اد ۳ ب ‎R‏ ‎eS ab Sele wh alt eee‏ وجود ‏داشته باشد به طوری که ‎fog=‏ لا ‏بنابراین تعریف » ماتریس های 100 و 00۴ به ترتیب برابرند با ماتریس همانی ‎oR gof=, ‎nxn mxm ‏اكر تابع ع با شرايط فوق يافت شود ء آن را يك وارون ؟ مى نامیم و‎ ‏مى نويسيم . 0 

صفحه 275:
واروق هر نائغ ادر قورت وود ‎BN‏ ‏مى دانيم كه يك شرط كلى وارون يذيرى تابع ن است . قبل از بيان معادل جبر خطى اين شرط كلى مثال زير را مى أوريم Skis R ۱ مطل الف ) تابع ؟ در 3*۳ - : 21-2,0,0۴ +0 (2,,ت100 وارونپذیر نیست زیر یک به یک نیست . تچ ‎Ge‏ مر هت تا ارون يذ فنست ورا يوشا ست الب ‎Ba ot Ge alec‏ 

صفحه 276:
‎R‏ ان و رت ‎one ‏اا‎ ‎£(x,y,z)=(2x+3y+z,x+y+3z) ‏يك به يك نيست . در واقع دو صفحه ‎2x+3y+z=0 ‎x+y+3z=0 ‏دست كم دو نفطه تقاطة دارند و آنا مسته ؟ بيش اريك نقطه ‎es Slo‏ #يكبه يكنيستو در نتيجه وارمنيذير نيست ‎VY:‏ (. ۲ قضبه ‎ieee ay cee ‏فرض کنید‎ ‏الف ) ۶ یک به یک است اگر وتنها اگر (0) ۶۳ 667 . به عبارت دیگر ‏ یک به یک است اگر و تنها اگر 280-0 

صفحه 277:
ب ) اگر 102 و] یک به یک باشد . آنگاه ] پوشاست . به عبارت دیگر تحت این فرضها. وجودٌ دارد . پ ) اگر 302 و1 پوشا باشد . آنگاه ] یک به یک است .به عبارت دیگر تحت این فرضها . وجود دارد ت) یک شرط لازم برای پوشا بودن ؟ اين است كه .بن گر مک آنگاه ؟ وارون پذیر نیست . ار ذك) سعد مل ‎Mus gs‏ بي كر 22-2 بنابراين ث ) تابع يك به يك ( يا يوشاى ) ؛ وارون يذير است اكر وتنها اكر 2-0 . ج ) اگر ۸ ماتریس ۶ باشد آنگاه ۶ وارون پذیر است اگر وتنها اگر ۸ وارون پذیر باشد. به عبارت دیگر وجود دارکاگر وتتها اکر و ی 

صفحه 278:
۴ "۲ لتخم تابع خطی * *- 5 والزون يذير است اگر وتنها اگر ‎r(H=n‏ ‏این نتیجه را رتبه ماتریس به ماتریس ها نیز می توان تعمیم داد . كرض كتين ‎eS)‏ مع 3 ‎ae epee Wa clase escrow) EN‏ ‎MA 9‏ كيريم . مثلا سطرة ام رابا نشان مى دهيم . داريم (م.- 8 و8)< ۷ Ge sls Oy soe) is ‏نولدت مى‎ Ns Mal ‏موجه‎ دهيم . 

صفحه 279:
۵ ۲ تعریف بعد زیر فضای 5 را رتبه ۸ می نامیم و آن را با(10 نشان می دهیم . بنا به تعریف بُعد ۲)۸(۰ بیشترین تعداد بردارهای مستقل خطی مجموعه (A) <m ‏منال‎ ۲ ۶ 1 ‏الف ) سطرهای ماتریس مربع‎ ‏یه‎ ‎۱ ‎ie ‏عبارتند از 70 ۷۶ ۰ 0۳2" راحتی دیده مى شود كه‎ خطی است بنابراین ۲0۸(<2 توجه می کنیم که ‎deta =-3 0‏ 

صفحه 280:
ت ) رتبه ماتریس 1 > ll ۲ ۵ ۵ ‏در‎ 0 1 0 1 پرابر است با 3. توجه می کنیم که بزرگترین دترمینان غير صفر حاصل از آن نیز است . در قضیه زیر ویژگیهایی از ماتریس و رتبه تابع خطی را بیان می کنیم . Meech eaves 7 Ebi se oie Ros BE at ‏فرض می کنیم ابمی خطی با ماتریس ۸ باشد.ویژگیهای زیر برقرارند.‎ r(A)=r(f) (| 1 ‏صقر حاصل از هرایست‎ ei Alea gs GaeShy clean clas TIA) CG ب ) اكرط>20 آنكاه وجود دارد اگر وتنها اگر -(۲08 و لذا -(۸) معادل است با ‎det 40‏ 

صفحه 281:
هدف این قسمت بررسی حبذ بری و حل دستگاههای ‎m‏ معادله « مجهولی است . برای این منظور روشی به نام روش حذفى كاوس -جردن معرفى مى کنیم . معرفی این روش نیازمند ابزارهای خاصی به نام عملهای سطری مقدمانی است . به هر عمل سطری مقدماتی یک ماتربس مرب نامنفرد به نام ماتریس مقدماتی این عمل وابسته است . از این رو . ضمن معرفی روش گاوس _جردن اين ماتریسها را نیز معرفی می کنیم .از جمله دستاوردهای جنبی روش گاوس - جردن روشی جهت محاسبه وارون و رتبه ماتریس است . 

صفحه 282:
علاوه بر روش گاوس- جردن می توان دستگاههای « معادله « مجهولی را به استفاده از دترمینان ماتریس ضرایب مورد بررسی قرار داد .این روش برای دستگاهی که دترمینان مذکور صفر نباشد . به فرمول کرامر برای جواب دستگاه ی کر دترمیتان ماتریس ضرانب فستگاه او معادله اد مجهوتی a, + aX, +..+,,X, =D, ‎oi‏ ها توا ‎AyX FAK tt AX, =D 9 ‎lr Ar. ‏مه‎ ore ‏اده ... ديه ریق‎ ‏مه ‎Ax‏ مق 

صفحه 283:
غیر صفر باشد . آنگاه دستگاه (۱) فقط یک جواب به صورت X=A'B 1 b ‏دارد . که در آن‎ x=|"| , Ba|P Xn by, ‏قضیه (دستور کرامر)‎ ۰۱ ‏با نمادهای فوق داریم‎ detA, 0) ee det? Bre 7 که در آن_ از قرار دادن 8 به جای ستون زام ۸ به دست می آيد . يعنى 

صفحه 284:
Aya b, Aya ‏مه‎ ‎Ay Dy By’ eer Om @z by Aya - Gaal JY FY ‏الف ) در مورد دستگاه معادله های‎ xty+z=2 2x- y+z=0 x+2y-z=4 ‏داریم‎ ‏بل‎ 2 2 A=|2 -1 1], ‏او(‎ , 820 4 a 4 detA =7 40 OF (محاسبه کنید) . پس دستورهای کرامر را می توان به کار برد . 

صفحه 285:
اه 1 1 5 مر 5 EON ‏امم‎ 2 aes 7 البته با استفاده از وارون ماتریس نیز می توان ‎X‏ را محاسبه کرد . 6 22 و 21 ‎X=A'B=-|3 -2 ۵ 3 1‏ 2 34- 1- 5 دستگاه معادله های 222+ 2:7 1< ا +2 ۷ +36 ‎x42y-2- t=4‏ ‎x+y-2+t=5 

صفحه 286:
تال اس با اوه بارس AX=B که در آر 2 0 x| 2 ‏کر‎ ‏کر‎ Weave Z| ae eel ‏با‎ t 5 چون ۸-0 66(چرا؟) پس دستگاه جواب ندارد یا بیشتر از یک جواب دارد . البته با اندکی ماه در هی بانم که ‎alas‏ عراف نذارد یرای زلحك عر شدن كارامى وان نا ۷۶ اتتضاب کرد - دستگاهي | ‎ole alles‏ خطى رز که دستت کم یک جواب داشته باشد: سازگار و در غیراین صورت ناسازگار می نامیم . ادر ا ار با تانارکار ی نک ستگه ار معافه های حطی غاراستفاده از عبلهای سطری مقدماتی به راحتی صورت مى كيرد . 

صفحه 287:
۴ تعریف ایک دستگاه « معادله « مجهولی داده شده است الف ) هر یک از عملهای . ‏دو معاذله را جا به جا کنیم‎ ) ١ ‎ey‏ نتيجه را به جاى معادله 1ام قرار دهيم ‏۲ ) معادله ۲ ام را با معادله ۱ ام (معادله ۶ ام در جای خود می ماند ) ‏۳ ) معادله ای را در عدد غیر صفری چون » ضرب کنیم . ‏ماتریس راف رمات سن افروکه ۵ تکام حاعلاراعمال یک با چ عل سطری مقدمانی بر این دستگاه را به ترتیب هم ارز سطری ماتریس ضرایب و ماتریس افزوده دستگاه اصلی می ‎ae ‎ 

صفحه 288:
ب )با هرعمل سطری مقدماتی روی یک دستگاه یک ماتریس مربع متنالالشت ۰ بطوری که وقتی از طرف چپ در ماتریس افزوده دستگاه ضرب شود » ماتریس افزوده دستگاه حاصل از اعمال این عمل سطری مقدماتی در دستگاه اصلی بدست می آید . این ماتریس را ماتریس مقدماتی می نامند. ۵ مثال دستگاه سه معادله سه مجهولی ‎2k+y-z=1‏ ‎Zook‏ ‎-x+5y+2 55‏ و + ۲+5۷ 27 32+ 6+33 - را در نظر می گیریم . 

صفحه 289:
مرت مار مه ار سار بط اجان با تعویض جای معادله های اول ودوم . این دستگاه به 2 جح +5 +یر- ‎x+5yt5 5‏ 2+ 2-1 - 6+33 +32 27 @) تیدیل‌امی شود . مشاهده می کنیم که عنورت ماتریسین آنن دستگاه جدید. 1 1 ee lbs 2 ‏عبارت است از‎ 221 ‏إعوالا-‎ -1 56 55 5102| 7 

صفحه 290:
حال در ماتريس واحد ‎I dst BE‏ 15 3 کنیم و بدست می آوریم. ‎E,=/1 0‏ 1 0 0 این ماتریس را از طرف چپ در ماتریس افزوده دستگاه اصلی ضرب می کنیم ‏1 ‏د ‏2 ‎52 1 -1 26 33 3 ‎2 1 ‏1 ‏در ‏33 6- ‏سر ایور بح ‏خر این خرس | بای ‏مشاهده می کنیم که‌ماتریس حاصل ماتریش افزوده دستگاه ( *) است بنابراین: ماتریسی اش مقدماتی که با ضرب آن در هر ماتریس سطرهای اول و دوم اين ماتريس ‏جا به جا مى شوند. 

صفحه 291:
۷ ۴ ۳ تعریف 2 mxn . ‏چون ظ را در نظر می گیریم‎ ۱ را تحویل شده سطری می نامیم اگر ماتریس الف ) اولین درایه غیر صفر (در صورت وجود ) هر سطر ظ برابر با اباشد. ب ) همه درایه های ستونی از 18 که شامل اولین درایه غیر صفر سطری از 8 برابر با صفرباشند . ۲ 8 را تحویل شده سطری پلکانی می نامیم اگر تحویل شده سطری باشد و در شرایط زیر هم صدق کند ب ) اولین درایه غیر صفر هر سطر از اولین درایه غیر صفر سطری بعدی به ستون اول ‎Ge! is)‏ نز دیکتر بش ‏ت ) بعد از سطری که همه درایه های آن صفرند . سطر غیر صفری وجود نداشته باشد 

صفحه 292:
۰ تال الف ) با انجام عملهای سطری مقدماتی ماتریس زیر را به یک ماتریس تحویل شده سطری پلکانی تبدیل می کنیم . 457 ‎AS11209‏ ‏و ‏01 10 حل ‎tt‏ 1- ۱-0 001 00 2- 12060 7 5 ۵-4 ور 3 29 10-2 15 5 0/ع ۸ یگس 5 2 را 

صفحه 293:
2 - 0 1 1 3 1 ۶۱0 ۵ كوظرى يكرى ,25 7 02 2- 0 1 3 3 1 20 ۵ وري كرو يد تلوى يه 9000 0 1 9 1 0 ۵ كور كرو رد كوو يكور يكو 5 1 0 0 رابطه فوق نکته های بسیاری را بیان می کند . اول اين که این رابطه نشان می دهد که 3 روه ی ی ترا 1 1 ود بطري يكرد یی کدی گم 5< اه كدر أ مات بت واه ‎ae‏ 

صفحه 294:
بنابراین اگر هنگام انجام عملهای سطری مقدماتی روی ۸ جهت پیدا کردن هم ارز تحویل شده سطری پلکانی ۰۸ این عملها را روی ماتریس واحد هم اندازه با نيز انجام دهیم به محض تبدیل شدن ۸ به ماتریس واحد . ماتریس واحد نیز به وارون بو شود + ذوم اينكه از اين رابطه نتيجه مى شود كه نه حاصلضربى از ماتريس هاى مقدماتى است , البته اين تجزيه يكتا نيست و به ترتيب انجام عملهاى سطرى مقدماتى بستگی دازد : متذکر می شویم که اگر بعدا نیازی به ذکر عملهای سطری مقدماتی نباشد . می توان از درج آنها خودداری کرد . 

صفحه 295:
01 ما کاربرد عملهای سطری مقدماتی در حل دستتگاههای معادله های خطی می خواهیم سازگاری یا عدم سازگاری دستگاه چهار معادله سه مجهولی زیر را تعیین x-y+2=3 pete. 2xk+y-z=6 - X+2y+2z=1 3x- 2y- 22=-1 با استفاده از هم ارز سطری . ماتریس افزوده دستگاه را به صورت ساده تری می نویسیم . ماتریس افزوده دستگاه عبارت است 3 1 9 Aol 24 3222-2 

صفحه 296:
با ضرب سطر اول به ترتیب در ۱2 3- و جمع حاصل به ترتیب با سطرهای دوم » سوم و چهارم ۸ تبدیل می شود به ماتریس 111 ها 0 1- ود 2 0 با ادامه اين روش صورت تحویل شده سطری ۸ به صورت زير به دست می آید . 1 0 0 3 OA Ona 3 0 0 1 1 0 0 0 1 A 

صفحه 297:
بنابراین دستگاه اصلی هم ارز معادله ماتریسی 1 0 x| 01 yl 00 2 00 t ویا هم ارز دستگاه معادله های زیر 3= است .آخرین معادله که یک تناقض است ؛ نشان می دهد که دستگاه ناسازگار است . 

صفحه 298:
5 7 ۱ " وجود پایه های متعدد برای فضای برداری«پاین آمکان را فرآهم می آورد که براى مقاصد مختلف از بايه هاى متفاوت و مناسب استفاده كنيم .از آنجا كه هر بايه (مرتب) يك دستكاه مختصات برای ,پرفراهم می کند ۰ این بدان معناست که مثلاً اگر در دستگاه مختصات 50 معادله خم ه به صورت ‎x? 4+2xy- y? =1‏ باشد » ممکن است در دستگاه مختصاتی چون 10۷ این معادله را به صورت ‏ساده تری بنویسیم و به این ترتیب امکان شناسایی کامل خم را مهیا کنیم . 

صفحه 299:
برای رسیدن به این هدف لازم است قبلا مفاهیمی چون ویژه بردار و ویژه مقدار یک ماتریس مربع و نیز مفهوم ماتریس های متشابه را بدانیم . خواهیم دید که ویژه بردارهای یک ماتریس یک ‎Cal) ly al‏ لب در بسیاری مواردا رای مقاصد این درس کفایت خواهن کرک ages Ca) 3 ‏هو واه‎ Be ath gt QA RO RY ‏كيم‎ Gas بردار 7۹ امتعلق به . ریک ویژه بردار 8 می نامیم اگر عددی چون ‎ek‏ وجود داشته باشد که 0 2۷ (۶)۷ در اين صورت “را يك ويزه مقدار ؛ مى ناميم . 

صفحه 300:
قرض كنيد ‎RY‏ © تتأيع همانى باشد ‏ در این صورت به ازای هر ۰ | ‎VER‏ I(V)=V و بنابراین معادله (۱) را می توان به صورت £(V)- 2L(V) =(£- AD(V) =0 @) 3 3 1 : 1 1-1 توت و لذأ ويزه بركارهاى ‎١‏ عصوهاى غير صدر هته تابع خطى 'مسسيد ‎Sie‏ دیگر هر ویژه بردار ‏ ريشه غير صفرى از معادله (2) است . ‎Deora}‏ ویژه بردارها و ویژه مقدارهای تابع خطی ‎£:R’> R’ 9 f(x,y) =(k+2yAx- y)‏ را پیدا می کنیم . 

صفحه 301:
حل برای این منظور معادله ‎y)- Ay)‏ 2+2۲ (,6(-۶) =(x- Ax+2yAx- Ay- y) =O یا دستگاه معادله های ‎x(L- A)+2y =0‏ ‎Ax- (1+ A)y =0‏ راشتت به اجان ‎Spice‏ 1 1-2 2 4 -(1+d) 

صفحه 302:
می دانیم که این دستگاه جواب غیر صفر دارد اگر وتنها اگر دترمینان ضرایب آن صفر باشد ۰ یعنی 820 -(1-2(0+2) - یا 2-9-0 6) بنابراین ویژه مقدارهای ۶ عبارت اند از قح و حال هر یک از این مقدارها را در دستگاه معادله های ( #) قرار می دهیم ودستگاه را حل می کنیم تا ویژه بردارهای وابسته به این ویژه مقدار بدست آیند . 

صفحه 303:
الغا ) به ازائة - 2 دستگاه به صورت - 2+27 0 4x- 4y =0 در می آید . مشاهده که هر بردار ۷ به صورت 2 4 وبا شرط <17 یک جواب این دستگاه است . بنابراین بردارهای 1 ‎vex x40 3‏ 23 ویژه بردارهای متعلق به ویژه مقدار . هستند . یکی از اين ویژه بردارها با 

صفحه 304:
لخدو انتخاب 2/2 به صورت زير بدست مى آيد . ‎ale‏ ‎V2‏ ‎V, 1‏ 5 طول این ویژه بردارمساوی است با ۱و لذا برداری یکه ؛ ویژه بردار یکه است . ‎ ‏ب ) به آزای اه ( #) به صورت 0= رهب ‎Ax +2y =0‏ ‏در مى آيد . هر جواب غير صفر اين دستكاه به صورت عد ‎us| |‏ باع2 -- ث8 ‎x40,‏ ‏ا ‎1 ‎U= ‏را‎ ‏است . بنابراین هر یک از بردارهای 870 ‎ ‎ 

صفحه 305:
یک ویژه بردار متعلق به 1 که رای و كيت فى [يد : داراى طول واحد ولد ویاه برداری بکه اشت : برای کاربردهای بعدی خلاصه حل مثال فوق را بیان می کنیم . الف ) ماتریس تابع خطی ۰ را لکیل دادیم ب ) دترمينان اين ماتربس را مساوی با صفر قرار دادیم و با حل معادله حاصل مقدارهای را بدست آوردیم , این مقدارها همان ویزة مقذارهای 6 هستید - 

صفحه 306:
پ ) هر یک از ویژه مقدارهای؟ را در معادله ‎(f- ADv =|‏ قرار دادیم و ویژه بردارهای وابسته به آن را پیدا کردیم . ت ) به ازای هر ویژه مقدار یک ویژه بردار با طول واحد انتخاب کردیم . ‎i 3 detf- a1) =0 2‏ مشاهده می کنیم که در این روش معادله ‎etal any cee‏ می کنت لد نام ویژه ای هم دارد + ‎aes YO‏ ‎a7 AF . £:R°> R® oe‏ فرض می کنیم ‎Pe subs ab "‏ آن باشد . در این صورت ماتریس ‎7 f = 21) feet Sole a ‏تابع خطی‎ 

صفحه 307:
2۲ 0 0 0 [ai-% ‏وب‎ a, a 020 0 Gye Lage Nc oe PE 060 3 Oe Shs 000% ay dip se a De ‏ماد کی ۶ وله‎ stay ly ‏ای اف‎ detA - AI) =0 را معادله مشخصه ۶ و چند جمله ای درجه «ام طرف چپ معادله را چند جمله ای مشخصه 1 می نامیم . روشن است که ريشه های معادله مشخصه ؛ ویژه مقدارهای ] ۴ مثال الف ) ماتريس تابع خطي ۳ بارت أبنت از 0 1 حم 

صفحه 308:
ویژه ماتریسن ‏ معادله مشخصه : ویژه بردارها ویژه مقدارهای ۶ را پیدامی کنیم حل ویژه ماتریس ؟ عبارت است از 0 1-2 0 2 7 0 Av] 0311 0:1 ۸-1 -| و لذا معادله مشخصه ۶ را به صورت زیر به دست می آوریم . xX ‏كان بردار ؟ باشد ,يايد داشته‎ £(V) =AV =1.-V roe براى بيدا کردن ویژه بردارهای ؟ فرض می کنیم 

صفحه 309:
ويا ۲ ملاحظه می كنيم كه از حل این معادله ماتریسی نسبت به ۱ 1 ‎V=x|‏ : =x ‏بنابراین 0 یک ویژه بردار وابسته به ويزه مقدار‎ 

صفحه 310:
۵ تعریف فرض می کنیم ‎Ge (aj)‏ «واشهد . منظور از یک ویژه مقدار ۸ عددی چون اس 2: detA - a1) =0 ‏به طوری که‎ X Spl tok Mssig Ng) lea es ۸۷ x ‏یا‎ ‎V(A- ADV =O کنون که با مفاهیم ویژه مقدار و ویژه بردار برای یک تابع خطی يا برای یک ماتریس آشنا شدیم » چند نکته ضروری است . 

صفحه 311:
الف ) برخی ویژه مقدارهای برخی ماتریسها ممکن آست اعداد حقیقی نباشد بنابراین سوءال این است که ویژه مقدارهای کدام ماتریسها همگی حقیقی اند؟ ب زر ب ) مجموعه ویژه بردارهای تابع خطی ‎EE‏ خطی است در مورد بند (الف) مثالی می آوریم و ثابت می کنیم که هر ماتریس حقیقی دارای ویژه مقدارهای حقیقی است . در مورد بند (ب) قضیه ای را بدون ات ای کی 

صفحه 312:
JY OY ویژه مقدارهای ماتریس doles gla ats, داریم 1+ = 0 |A- at wae a ‏مهف کر ها تن ارف‎ اند از اعداد مختلط دح 

صفحه 313:
۸ ۵ ۲ لم ‎R= R?‏ اما ی تا ی قارن باشد . آنگاه به ازای هر ‎£(X), Y=X,f(Y)‏ 2 XER CoS ; که درآن 4۶ تشانگر ضرب فاخلی در اس ۰ "۲ قضیه ‎pls ST asl pte RN AEs i al‏ وه فعدارهای آن ععی تند » به علاوه ویژه بردارهای وابسته به ویژه مقدارهای متفاوت متعامدند و لذا مجموعه ی هرس من ی ات 

صفحه 314:
qd. S. Opt. درستی حکمهای قضیه قبل را در مورد ماتریس )22.20 2 8-1-2-1 0-0-0 + بررسى ام كديم ویژ معادله مشخصه ماتریس ۸ عبارت است از 2-0 2=0- 1-2 ۵2-2« -هامه یا 0 

صفحه 315:
ويا بالاخره 6+8-0 - 23-32 ‎ss‏ ار ريش قاى اتن ممادله انلك ووو ريشه دیگو از عل ‎Male‏ ‏821 -2 -22 شك من ايك ری مها ار 2-< و2 و 24 و بتابراین ویژه مقدارهای ۸ حقیقی هستند . اكنون ويذه برذارهاى وابستة بد این ‎ce Sets lots oy‏ أوريم الف ) فرض مى كنيم (ر] ویژه برداری وابسته به ويزه مقدار ‎cele‏ 1 رز 2 باشد . در این صورت باید داشته باشیم یا ‎(A-DV,=0 AV, =V,‏ 

صفحه 316:
x MOG ronet ‏و از اين رو‎ 0 -2 - ۴ 2-2-0 اين معادله ماتريسى معادل است با دستكاه معادله های خطی ‎x- 2y=0‏ ‎2x- 22=0‏ - 2-0 -27 - از حل این دستگاه بدست می آوریم vey i le) که در آن « عدد حقیقی غیر صفر دلخواهی است . 

صفحه 317:
x ‏یک ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار ۰ 32372 لالج نلليم,داريم‎ ( AY, = 2V, يا ‎[x 1‏ ]0 2- 4 < || 2- 3 2- ‎|b z|‏ 2 م0 مانند (الف ) این معدله را نسبت به ۰ حل می کنیم و بدست می آوریم م 2 2 Mf )د 22 که در آن ‏ عدد حقيقى غير صفر دلخواهى است . 

صفحه 318:
ب ) و بالاخره با اندکی محاسبه ویژه بردار متناظر با ویژه مقدار 1 2- 8 می اوریم 2 ‎zy:‏ ۷ 2]1 ‎Coal alg ER (Oy sas‏ . مشاهده می کنیم که 0 ,۷ لات رلا لات يل لا و2 و و به دو متعامدند . در مثال فوق اگر ویژه بردارهای یکه متناظر با ویژه مقدارهای ‎hee eee‏ 4= ‎bas ‎1 ‏رنا‎ ‎Ss ‎ ‏۱ ‏توجة كنيد كد إلا ورلا قافن خطي وا ‎algal ali gg gil‏ ات ۳ 

صفحه 319:
۴ ۲۰۵ («ماتریس ‎(alice cle‏ فرض کنید ۸8 دو ماتربس مربع . اش . می گوییم ۸ با لا متشابه است اگر -c} Bee ‏ماتریس نامنفرد » وجود داشته باشد بطوری که‎ ‎١ 216‏ ريت ماتريس مربع ه را قطرى شدنى مى ناميم اكر با يك ماتريس قطرى له گت ‎shales‏ ذر إن صورت ‎١‏ 1 راءمشابة قطرى .د مى ‎Ral‏ ‏اكنون سوءال اين است كه جكونه مشابه قطرى يك ماتريس را بيدا كنيم . براى اين ‏منظور قضيه زير را بدون اثبات مى أوريم . 

صفحه 320:
۶ ۵. ۲ قضیه ۳ nxn ee فرض می کنیم ۸ ماتریسی باشد. 4با ماتریس قطری ظ متشابه است. اگر و فقط اگر مجموعه ویژه بردارهای آن مستقل خطی و شامل ۰« بردار باشد . در اين صورت اعضای روی قطر ظ. ویژه مقدارهای ۸ هستند . ۷ منال الف ) نشان می دهیم که ماتریس ابا ۵ 1 A=|3 -5 3 6 -6 4 feces ‏قطرى‎ حل به آسانی دیده. شود که ی م له .21ج het, A Be AE ‏با اه اس‎ 

صفحه 321:
4 ویخه مقدارهای ۸ هستند . به ویژه مقدار دو ویژه بردار 1 1 لاد ,۷ , ۵۱ ديلا 1 وابسته است . به همين ترتيب ويزه بردار ‏ |1|جهرِقزه مقدار 2 واهستهاست . 2 ‎clas Yaeger Gg‏ خطی اسب بش ۸ قظری شدتی است ‎fle‏ با لستفاده ار این وید دارها ماتريس © را به صورت 1 11 0 ۷۱ ۷ ده 1 نکیل می دهیم . به آسانی دیده می شود 

صفحه 322:
AC=|AV, AV, AV,|=|-2V, -2V, 4V,| +2. 0 0) +2 0 0 ‏و۷ ده‎ ۷۱0 -2 0-00 2 0 0 0 4 004 بنابراین 0 0 2- 0 2 0-عمي 4 0 0۰ یعنی ۸قطری شدنی است 

صفحه 323:
۹ ۳ تعریف ماتریس مربع > را متعامد می نامیم اگر ۰ 0 بنابراين ‎EG) oy‏ لتعامد باشد و ۰ (ر۵< 00 آنگاه بتابه تعریف خاصلضرب دو ماتریس و با توجه به تعریف ترآنهاده ماتریس داریم 0۵0 i¥j oy Che a kal 1-12 رای ول هرت و كا ‎les pial‏ بد وان برد تایه مساوی است با ۱و به علاوه دو سطریا ستون ناهمنام اینگونه ماتریسها بر هم عمودند . 

صفحه 324:
۰ مثال دا 9 2 عم م2 متعامد است ۰ زیرا طول هر سطر یا ستون آن ۱ است و هر دو سطر یا ستون نا ماف إن كام اند البنة نا جد ی ی و عدن و 

صفحه 325:
Lest N NY ۱ [seca Sia sled CRU ‏لم ور و دودر يسائر و تا رام‎ 12 ‏گر ويزه مقدارهاى ماتريس متقارن 8 باشد آنكاه ماتريس متعامد © وجود دارد‎ که 3 ‎ie‏ ‏يد دعم ‎Jee‏ اي اس ‎el he, CP‏ كليم :جه ‎eed fi‏ كنيد ‎Geeta ye ‏می دانیم که ویژه مقدارهای ماتریس ‎ 

صفحه 326:
85 5 ٩ moo ه هو 9 ‎IO‏ اک 2 2ص 220 = تا 0 1- 22 وا ta? ی C'AC =CAC = متعامد است I. Dayle 0 2 a 3 3 4 aaa aN 9 بم هم ال ل 5 5 مات ‎tl‏ ‏0 ویژه بردارهای یکه متناظر با اين مقدارها عبارت اند از 

صفحه 327:
این بدان‌معناست که گر ۸ ماتویس تایع خطی ۰۰۰ ۱ ‎a UR‏ متعارفی ‏ پاشد آنگاه این ماتریس نسبت به پایه مرب مسرت ین ات بنابراین بهازای ماتریس متقارن "ای تون ۸ با ویژه مقدارهای اگر ویژه بردارهای یکه متناظر با آنها را به ترتیب ‎Us‏ ینیع زلگاه ماتریس مورد نظر خواهد بو . 7 ‎as‏ 

صفحه 328:
۵ تعریف هر عبارت به صورت ‎ax’ +cxy+ by‏ ax’ + Qdxys by’ +2oyzt 2fzx+ cz ‏ويا‎ را يك صورت درجه دوم دو يا سه متغيره مى ناميم . ‎x‏ x 7 1 x= ‏یا ام آنگاه صورتهای درجه دوم دو يا سه متغيره را‎ | مشاهده می کنیم که اگر می توان به ترتیب به صورت ‎ac‏ ‏إط »6 

صفحه 329:
df 2110 ‏ظ‎ ۶ 09 ع بع دا نوشت . ماتريس متقارن موجود در هريك از اين صورتها را ماتريس آن صورت درجه دوم اه ۶ ۵ ۳ مثال 2 الف ) عبارت ‎gs ee eee yt‏ ار ی تفای ادن رگد کت دوم عبارت است از 1 1 0 + +2 5 لت ی را درجه دوم عبارت | تن ادم نادم هر 

صفحه 330:
2 ‎Cs a 1 + 3+ 72 + 222+22‏ ب )عبارت” ‎y‏ لك مور ره دوه مه متیر أت يا رشن إن سورت درس ‎Neal Cleo‏ 3 1 ج 1 2 10 = 2 18502 روش توشكن ماتزيس صورنا درجه قوم ‎ax’ + by +22’ + Qdxy+ 2eyzt 2fzx‏ را در شکل 35 شان ذاده ايمر ‎=z‏ هد ‎oe‏ ‏ع ‎sx a a‏ ‎a b e‏ م5 ‎e c‏ £ = 

صفحه 331:
deo iG 7 ۰ Be chet, ‏اکنون فرض می کنیم ۸ ماتریس یک صورت درجه دوم سه متغیره و‎ آن باشند . می دانیم که اگر ‎BUR rps‏ متناظر با ویژه مقدارهای باشند آنگا ب(وی(ووژ 8 01 ی يد عم 2 3 که در آن ‎c=|U, U, U,|‏ بنابراین اگر 3 5 ‎hyo Gi‏ ۱۳ )@ 2 3 10000 ۳ ‎th‏ 2+ تبرت لا 6 مب دید hs 

صفحه 332:
مشاهده می کنیم که در دستگاه مختصاتی که محورهای آن در امتداد ‎seal ae se ees‏ بورك در جف وم دهم شنم ‎Slay eile‏ ‎E 1 3 3‏ 435 27301 15“ را به خود مى كيرد» اين حالت را صورت متعارفی صورت درجه دوم و0 را ماتريس تغيير مختصات مى ناميم . معادله ماتريسى ( *) يا دستكاه معادله هاى عدت + اين + ين - ا عوك + الوك + يون - ل[ عليه + الوه + قري - 2 را که در آن 0 دنتگاه معادلات تغییر مختصات می نامیم . 

صفحه 333:
۸ عثال 7 الف ) فرض می کنیم |2- 10 ‎A=|-2‏ ‏17 ماتربس یک ضورت درجه دوم باشد . دستگاه مختصاتی پیدا مئ كنيم كه اين صورت درجة دوم در آن دستگاه دارای جمله مخلوطی به صورت 250172 نباشد . سپس این صورت را به صورت متعارفی در می آوریم . حل ابتدا ویژه مقدارهای ۸ و سپس ویژه بردارهای متناظر با این مقدارها را بدست می آوریم . 2 04 as -2 102 -2/=-29+24?-180+432-0 3 ‏ک‎ 26 ‏و‎ dy =12 2, 

صفحه 334:
اکنون ویژه بردارهای متناظر با اين ویژه مقدارها را پیدا می کنیم . فرض x ۶ 27 2 ‎ate eal tie ot xt‏ + لكاويرة وا ما با فد ‎hx‏ و نز د لوا 2- 4 6-2 -ه) 11 برع ‎x-2y+z=0‏ باشد چون هر یک از بردارهای 

صفحه 335:
۳ و ور( جوابهاى دستكاه مذكورند. يس به ترتيب مى توانند ويزه بردارهاى متناظر با 54 تفت شوو دك ويزة برذار مشاطر ‎Asal stele CE aL‏ ‎se‏ و 2-0 - 2- 2-2 12(6-ه) ‎eg a i> DZ‏ یا دستگاه ‎5x+2y- z=0‏ 2+20 +2 ‎x- 2y- 5z=0 6‏ با حذف از دو معادله اول ؛ اين دستكاه معاذل مى شود با دستكاه 20 2 -ع x- 2y- 5z=0 

صفحه 336:
از اين رو » به ازای هر 1570 x 1 X =|- 2x) =x]- 2 x 1 dy =12 oul ‏یک بردار ویژه متناظر با‎ ات ‎aa de 3 Ao‏ خال ماتریی > را با قرار دادن ویزه برداز یکه متناظر با درستون ام آن تشکیل می دهیم: tlio ey v3 V2 V6 Cal 0. 22) v3 v6 ‏د‎ ‏3ل‎ V2 V6 به راحتى اديده مى شود اكق ان عادر بين ‎Died Saleen‏ 

صفحه 337:
حال دستگاه مختصاتی را در نظر می گیریم که امتدادهای محورهای آن به ترتیب ستونهای اول ۰ دوم و سوم © هستند . اكر به ترتيسجراسيتونهاى ,اول دوم سوم عباشئد , اعداد وجود دارند بطوريع كيد رع و و ع ‎x|‏ ‏و 20 رونا + رقرنا +رعرنا - | |< > 3 2 سه معادله حَاصل از اين دستكاه معادلات ‎٠‏ معادلات تغییر مختصات هستند . در نتیجه ی به صورتجزيم جر مى آيد 3 ممماءة مق 6۸۵62 3§ 65 +65) +125 

صفحه 338:
هدفهای کلی هدف کلی از ارائه این فصل آشناکردن دانشجو با مفهوم رویه برویه های درجه دوم ورده بندی آنها ودستگاههای مختصات معروف در فضای سه بعفی انس 

صفحه 339:
دانشجو پس از مطالعه اين فصل بايد ‎.١‏ مفاهيم مربوط به رويه هاى استوانه اى ودوار را بداندو به كار ببرد. ‏”. رويه هاى درجه دوم رابا استفاده از روش هاى جبرخطى فصل ۲ شناسایی کند. ۲ از روی معادله متعارفی درجه دوم. شکل رویه معرف آن را تشخيص دهد. ‏۴ دستگاههای مختصات استوانه ای و کروی را بشناسد واز آنها استفاده کند: 

صفحه 340:
‎١‏ ؟ روية هاى استوانة رود های دوز ‎ ‎ ‏۰۱ تعریف ‏فرض کنید » خمی واقع بر صفحه ای چون ۳و با خطی ناواقع براین صفحه اشت که بان موازی نیشته خطی که متکنابر :6 وموازی :1 حركت كيذ رویه ای تولید می کند. این رویه را استوانه یا رو به استوانه ای می نامیم. ‏خم © را هادى استوانه وهر يك از خطهاى با ناو متكى بر خم © را ‎ ‎alge (Ss‏ رانك نی تام 

صفحه 341:
۲ منال: فى ذانيم که ‎iste SL‏ 2-0 , تن معادله های دایره به مرکز (۰, ۰۰ ۰) و شعاع 21 ۲ در صفحه 017 هستند. حال اگر خطی بر این دایره تکیه و موازی با محور ۶ حرکت کند . یک استوانه قائم يديد می آورد. معادله های پارامتری خطی ازاین نوع که از نقطه ‎ae‏ بردایره میگذرد عباتست از 7 2 2 ملاع لا , ولا< ۶ Bip es Ee desley ay gia ie alanine Sst ‏و۲۵ را حذف می کنیم و معادله زیر‎ , Kole ‏تغییر‌کند . ازاین معادله‎ می آوریم. ۳ 

صفحه 342:
عدم وجود 2 در اين معادله نشانه دلخواه بودن 2 است . بنابراین(۱) معادله مورد بحث أست . در شكل رير كسمتى ازاين استوانة ‎adele ols Gl‏ 

صفحه 343:
۴ ۱ معادله استوانه 3 بطور کلی هر خم ‏ در فضای سه بعدی ** مجموعه جواب های یک دستگاه کو تعادله سه محهولی است. حال آگر لین معادله هارا 90,2 20 (۷,2,)و بنامیم آمگاه خم 6 وا به ضورت 0 (2 56۷۸ ‎Need 2-0‏ نشان مى دهيم. 

صفحه 344:
حال فرض کنید هادی استوانه ای توسط دستگاه معادله های ‎f(x, y,z) =O‏ ‎Gc:‏ ‎ee y,Z) =O‏ 5 داده شده ياشد. اكر خط (1 يکي از مولذهای اين استوانه الى باشدء قرا می توان فصل مشترک دو صفحه در نظر گرفت. یعنی رح ‎ie‏ 9 ‎axtby+oz=u‏ 2 ‏کدوقنی در ادن دشتکله وه نع کل خطرطه موی‎ Aan ae ee 

صفحه 345:
حال فرش کید زمر ۸0 نقظه ای روت استونه ای ناهد ‎TE Shia il,‏ ”> بایه چنان اختیار شوند که نقطه (۸0,3,2 در معادله های (۳) صدق ‎WS‏ ارف رای مر و راید کون هط کید مت رای ط وز باید در نقطه لیچوو(نارا ,15 مشت رکب اشند بعنیلین: قطه بساید در معادله های (۲) و(۳) به طور همزمان صدق کند . یعنی ‎lees =0 ee‏ g(s, tu) =O as+bt+oqu=u اکنون بين اين معادله ها 58 ,6 , 14 را حتف می کنیم و در معسادله حاصل قرار می دهیم ‎A=axtby+aqz 7 ax+by+oz=u‏ ومعادله استوانه را در نظر می گیريم. 

صفحه 346:
۵ ؟ مثال: می خواهیم معادله استوانة اى را بنويسيم كه © هادی آن دارای معادله هائ y=4x" 2-0 ‏ومولد آن موازی خط 2 > 7 جاشد.‎ D: x-y=r معادله های مولد را به صورت ‎“\x- zen‏ تعصهع ۲ در طر فى كيريم. خال :از دستكاه معادلة های. 2-0 ودج دعر 

صفحه 347:
۶ ,2:1 را حذفمیک نيم. ن تیجه می‌شود . ‎y=p-A , (u-A) =A?‏ , برك 2 در نتیجه معادله استوانه مورد نظر عبارتست از ‎(x- z- x+ y) =4(x- 2‏ 4x? +47?- 8xz- y+z=0 ۷ ۱ تعریف خم »و خط ارا که هردو روی یک صفحه هستند . در نظر می گیریم. اگر 6 حول! دورلنک ند ۰ رویه لیبه نام رویه دوار حاص‌می‌شود . خم 6 را يك مولد و خط ارا محور دوران اين رويه می نامیم. 

صفحه 348:
می خواهیم معادله رویه دوار ی را که از دوران خم 6 حول محور [ يديد مى آيد پدشتت آورنه؟ 8 وریم. 

صفحه 349:
۸ منال ‎y=x‏ ‏حم حول محور « دوران می کند. معادله رویه دوار حاصل را پیدا کنید. 2 ‎=x?‏ 4 وق ‎Y‏ حول محور « دوران می کند هر نقطه اش دایره ای پدید می آورد که مرکز آن روی محور ‏ است. 2 

صفحه 350:
دن رك 113 ل + تفط الخرافل وى ادن رو دار ‎Spec‏ ‏بر محور دوران ۰ محورل[0 را رسم مى كنيم تا رويه را در دايره اى به مركز .4 و خم 6 را در نقطه ظ قطع کند. مختصات ۸ عبارتست ازر0.۰, 6 اگر ظ دارای ‎Coy Dee‏ باشدء باید داشته باشیم. yoy . y =x? ‏چون فاصله ظو 8 از نقطه ۸ باهم براپر است » داریم:‎ ‎y+ OF‏ - +07 -&/= ۳+0۵( بو + 2و -عولء ‏واز این رو با توجه به این رابطه و روابط(۴)معادله رویه دوار به صورت زیر حاصل ‎Sabie‏ 2 ب و زا ‏این رویه را سهمیوار دوار می نامیم. ‎ 

صفحه 351:
۰ مثال فرض كنيد خط « واقع بر صفحه ‎XOY‏ 9 موازی با محور ۷ حول این محور دوران ‎alps oles Sige Gul sos‏ بدید می ایدم خواهي معاذله این استوانه را ند دو طریق بدست آوریم. حل راه حل اول. به شکل زیر توجه کنید. 

صفحه 352:
فرض کنید (005,1,2ظ نقطه دلخواهی واقع بر استوانه باشد. این نقطه بر دایره به مرکز (۸0,۷,0 واقع است. این دایره خط 9 را که دارای معادله 26 است در نقطه (6)6,۷,۵ قطع می کند. از تساوی ۸036 نتیجه می شود: (c- 0? +(y- (+0 0۴ 00۴+) 0+۵۴ واز این رو معادلة استوانه عبار تست از az =e 

صفحه 353:
راه حل دوم . خط ط محل تلاقی دو صفحه 620 - و 0 .2 است. بنابراین؛ هر یک از مولدهای استوانه به صورت ات ۳ مرک < است. معادله خمی که این خط ها متکی بر آن به موازات ظ قرار دارند و استوانه را مى سازند عبارتست از ع نیرب هر ‎pS‏ در نتیجه معادله استوانه عبارتست از مد مور ج یز 

صفحه 354:
اکنون که با رویه های استوانه ای و رویه های دوار آشنا شدیم. رویه هایی را معرفی می کنیم که تعمیم طبیعی خمهای درجه دوم . یعنی مقاطحع مخروطی هستند.این رویه هابرویه های درجه دوم نامیده می شوند. * کره یک مثالی از یک رویه در جه دوم است. 

صفحه 355:
۰۱ تعریف نمودار معادله در جه دوم سه مجهولی Ax? + By’ +Cz + Dxy+ Eyz+ Fzx+ Gx+ Hy+Iz+J =0 ‏ب‎ را که درآن ۸ ,ظ ,6 ,ظ رظ رظ ,6 راط با رل اعداد ثابت و 4 ,8 ,0 ,© ر ,1 همه صفر نیستند. یک روبه درجه دوم می نامیم. 7۳ به عبارت دیگر یک رویه درجه دوم مجموعه نقاطی چون (003,2 متعلق 3 به فشای ‎Wale ous OS Gu‏ # دی مي کنند: 

صفحه 356:
Jee FY ۲ در معادله * قرار می دهیم الف)[- - 21 © 8-2 ع م ,0 - 181 - 6 < ۴ < 8 > (1 وبه دست مى آوريم: - 2ج ب شب تيو مشاهده مى كنيم كة اين معادلة:: معادله كرة به مركز («و “و ‎)٠‏ و شعاع ۱ است. بنابراین می توان ادعا کرد که برخی از رویه های دوار رویه در جه دوم نیز هستند. ب) با قرار دادن 1 > 8 > 4و 1- > 1 و 20 [ 2 ۲۲ < 6 < ۲ < ۴ < ظ < و به دست مى أوريم. ‎Ze ey‏ 7 دیدیم » این معادله معرف سهمیوار دوار است . بنابراین سهمیوار دوار تمونه دیگری ازیک رویه درجه دوم است. 

صفحه 357:
i ‏د‎ 

صفحه 358:


صفحه 359:
1 - و + یر و 

صفحه 360:
۴ ۲ مثال رویه معرفی شده توسط معادله درجه دوم زیر را شناسایی کنید. +2 6+12 جع مرول رهش ب+قور جاع ادن متطور ‎pious Mews cae‏ طرف كت عادله فوع اف ‎y,Z) =2x? + y’- Axy- 4yz‏ )ط را درجه دوم نظر می گیریم(2 ,۳ ط یک صوررت درجه دوم سه متفیره است: ضورت ماتریسی (1/۶ ,)۳ عبارتست از ام مه 2 ‎P(x, y.z)=[k y z]/-2 1 - 257‏ ]00-220 

صفحه 361:
ویژه مقدارهای ماتریس ضرایب صورت درجه دوم مذکور عبارت اند از ‎Ag =4‏ ,2-= یز ,رب ‏ویژه بردارهای یکه متناظر با این ویژه مقدارها عبارت اند از [2- 1 ‏درب ‏2 ‎PO y,zZ)‏ را به صورتویر در می‌آورد ‎P(x, y,Z) =x?- 2y? +42? 

صفحه 362:
قسمت درجه اول معادلة داده شه را نیز با استفاده ه برحنیب: ۰ ۳ ۱۶ ۸۱۲ می نویسیم و بدست می آوریم 3+ 6+12 -- +13 - 2 دراه ‎ahh A‏ شده بر حيتي 2< ‎OY‏ بداصورت ريرادر مى أيد o’- 3°- ay’- ‏هه تق‎ 5? =8 مشاهده مى كنيم که این معادله معرف يك هذا 

صفحه 363:
۳ ۴ مختصات استوانه ی وکروی هدف این قسمت تعمیم مختصات قطبی به فضای سه بعدی است. بنابراین دستگاههای مختصات استوانه ای و کروی را معرفی وبرخی ویژگیهای 

صفحه 364:
۱ ۰۲ تعریف اگر (۸)0,3/,2 نقطه ای در دستگاه دکارتی 12 و 8 تصویر قائم آن بر صفحه زد ‎gee bogs Crean Ose evar antl‏ قطن ‎oe Tacs ons, Ox‏ )8 را کی ‎ae‏ عتضا قس لته ای نقطه ۸ می نامیم. eit 1 ele ‏و ای‎ has as ‏و20 را معرف محور 2 می گیریم.‎ ‏مشاهده می کنیم که با این محدودیت ها به هر نقطه در فضا فقط یک دسته‎ ® مختصات استوالة إى تشيت حادم مي شود 

صفحه 365:
‎YY‏ رابطه مختصات دکارتی و استوانه ای ‎1 70, ee ‏فرض می کنیم (66,۷,2 ‎OF)‏ به ترتیب مختصات دکارتی و استوانه ای نقطه 4 باشند. ‏در مثلث قاتم الزاویه 005 (قائمه در 6) شکل ** داریم ‎2۲008 , y =rsind 0 ‏به علاوه بنا به تعریف داریم ‎2-2 (2) ‎Resi aGb islata alia ashton shat ‏از روابط (۱ و(۲) مختصات دکارتی ۸ به دست می آیند. 

صفحه 366:
برعكسء باتوجه به شرایملا۳ "و 57 9 7 از روابط (۱) نتیجه می شود که tarp =v ۲ 40 = لو عدم Ook > 0 بنا براین اگر مختصات دکارتی (0,1/,2 نقطه ۸ داده شده باشد آن گاه مختصات استوانه ای آن عبارت خواهد بود از tan| 7 x>0 x ۳2 0 2 x-0,y0 3 x نما + 4 A 5 

صفحه 367:
۲ مان ‎ACS WO,‏ در دستگاه مختصات دکارتی داده شده است ۰ مختصات استوانه ای آن را تعیین می کنیم. فرض م کنیم که(2 ۲۳۹۶ مختصات استوانه ای هاباشد / دازیم 2-2 , r=vi+1=/2 

صفحه 368:
۶ استوانه فرض کنید ۰ عددی ثابت ونامنفی باشد. در دستگاه مختصات استوانه ای مجموعه 20 60,2 ات هر استواته اى اسبت که عم هادی ان ‎z=0‏ ‏ع رو + قير و مولت ان موی با مج ات معاده ان استرله کر مگ مات اشتواند ای ودر دستگاه مختصات دکارتی است. 

صفحه 369:
استوانه 6 r= 

صفحه 370:
۷ نیم صفحه ‎x2]‏ )عم ‏فرض می کنیم مجموعه 00 0 ‎B= (8,z)|‏ ‏عندی تابت باشد در دستگاه مختصات استواند ای ‏نک ‎ele‏ شنته به ارام این تیم ضفحه عبات است از تقام نعاط ‏صفحه 0 که شامل نیمه نامنفی محور « است. ‎ 

صفحه 371:
Jeet YA و ‎Spee Slates Mien ese‏ کی این تموقاا عبارت آست آز فجموعه تقاط ‎r=20+cos)))‏ دروت ادم ین مختص ‏ ععددی است اختیاری": مر یک دلنما در صفحه 01 است. بنابراین» مجموعه مایا لسوت سد مدي إن كات به ازاى 0 - مذكور و مولد آن موازى با محور 2 است 

صفحه 372:
ی از نمودار معدله 204608 

صفحه 373:
۰ تعریف عه تا 0907900007 ‎yal oA asics Geena)‏ 2 3 : . 0 20 7 3 توجه کنید که چوق معرف یک نیم صفحه ومحور 02 واقع در آن محور ری > 0۷ ی > م ارت قطبی است. دامنه تغییرات از ۲۱ ارابطه مختصات دکارتی و کروی اگر (۷,2, مختصات دکارتی نقطه ۸ باشد. آن گاه مختصات کروی ‎a‏ ور دست م اشن ‎ ‎ ‎tan| 3 x>0 ‎x ‎0 0) tan! 3| x<0 ‎x ‎ 

صفحه 374:
برعکس 9۳ :۲۳۰۳ ۰ مختصات کروی نقطه ۸ با مختصات دکارتی ‎G2)‏ ‏باشد آن گاه با توجه به شکل اسلاید بعدی وروابط فوق داریم Z=pcosp x =OBcos) =psinp cos y =OBsind =p sinp sino 

صفحه 375:
مختصات کروی: 

صفحه 376:
۲ منال نقطه (3- ,1 ,۸2 در دستگاه مختصات دکارتی داده شده است. مختصات كروى اين نقطه را بيدا مى كنيم. دارم 14.- 4+1+9/.- 2 + تو + تقول - م ‎=cos'—3_ ~cos'(0/80002~3657'‏ گ نومه نو 714 6 در مورد © داریم 2 2- ‎cos =—————. =- —— 44‏ ‎V5‏ ۰ 221 ولذا داریم 2-24 2636 -180- و 

صفحه 377:
۳ ۵ الف) معادله کره : می دانیم که ‎x4yez =r‏ معادله کره به مرکز ۵ و شعاع ۲ است این معادله در دستگاه مختصات کروی 8 Car a ‏نوشته می شود.‎ ‏ب) معادله نیم صفحه : همانند دستگاه مختصات استوانه ای اگر‎ | ‏وک ۳ ۰ عددواثابت باشد ۳۵ مرف یک ثم ضفحه‎ > پ) معادله مخروط :)5 ‎OT)‏ > 0عددی ثابت باشد. می خواهیم نمودارمعاد؟ " ۴ راپیدا کنیم. 

صفحه 378:
x/2<qy <x 

صفحه 379:
كمال صورت دكارتى معادله کروی ۰ 30050 + 0517305170 جتلإسيد. برای این کار دو طرف معادله داده شده را در "ضرب می کنیم تا به دست آوریم. ووم م3 + مصنو مصنه م6< *م اکنون با توجه به روابط تعریف شده داریم: ‎Gy tae‏ ی 45 bs Pine x +(y- P+ 2 4 2 Ol) ‏بنابراین معادله داده شده » معادله کره به مرکز 27 وست.‎ 

صفحه 380:
هدفهای کلی هدفهای کلی این فصل را می توان به صورت زیر خلاصه کرد. ۱ آشناکردن دانشجو با توابع برداری یک متغیره . حساب دیفرانسیل و انتگرال وکاربردهای این توابع ۲ مطالعه حرکت در صفحه و فضا با استفاده از ویژگی های توابع برداری ۳ به کاربستن مطالبی از فصل هاى كذشته در اين فصل . 

صفحه 381:
دانشجو پس از مطالعه این فصل بایدبتواند 8 حده مشتق وانتگرال توابع برداری یک متفیره را محاسبه کند: ‎D‏ خم و مسیر را تعریف ومعادله های پارامتری برخی از مسیر ها را پیدا کند 6 خم هموار را بشناسد؛ طول خم‌داده شده را محانبه و در صورت آمکان تحم را توسط طول خم پارامتری کند. ‏ت- برخی خم ها ی معروف از جمله سیکلوئید (چرخزاد)... رابشناسد وطول و انحنای آنها را محاسبه کند. ‏شب مفاهیم مربوط به حرکت در یک صفحه بازجمله سرعت: شتاب» عندی؛ ‏مولقة قاى قائم و مفاسئ فيتاب را مخاسية كد 

صفحه 382:
Siglo SG ck care SATIN ‏ع تاه مجاهت ور‎ واز آن برای محاسبه افجنای مسیر: و معادله دایره آنخنا استفاده کند. ج- فرمول های مربوط به انحنای مسیر را بداند. ح-دستكاة مختصات فضابى 12/8 را در هر نقطه از مسير داده شده به دست ‎ee‏ از آن انحتا وتاب مشير هاى فضا را بيذا كند. خ) فرمول هاى مربوط به تاب را به دست آورد ومسطح يا نا مسطح بودن خم را تشخيص دهد. د) صفحه قائم و صفحه بوسان و صفحه رکتیفایر را در مورد هر خم داده شده به دست او 

صفحه 383:
Ss 2 11 ees 1۳9۵ Re ‎ai sas‏ 2 وس فدرا نت تایم برداری یکت متفیره ‎R ‏مجموعه ۸ را دامنه و مجموعه را برد اين تابع مى ناميم.‎ R ‏توانیم به صورت زير بنویسیم:‎ wel A(t). pn = 2 ‏به ازای‎ ۶) 6) ‏)گر‎ ) f,:A> 2 ‏دقع‎ 5 ‏که در توابعی حقیقی روی. ۸ هستند. از طرف ‏خر رف ‎SOS Re tai‏ اسك رای ار ‏00 )دع , "ایک 

صفحه 384:
معادله های (۱) را معادله پارامتری نگاره ۶یعنی مجموعه (10۸ موتوابع و را مولفه هاى ؟ و متفیر ؛ را یک پارامتر می نامیم. به همین ترتیب به ازای 23 1 , اگر توابع حقیقی ‎Bee ede aie‏ FH =(E(0,.600,£,0) tea fo آنگاه این توابع را مولفه های ۶ و معادله های z=f,() , ‏هادا‎ x=f() را معادله های پارامتری (10۸ و متفیر !را یک پارامتر می نامیم 

صفحه 385:
".1ف مَثال به ازای 0,1] < ۵ ‎ee‏ بت ‎£(t) =(sin2xt, co@xt)‏ دارای مولفه های ‎f(t)=sinkkt , f£,(t)=co@rt teA‏ و مجموعه (8] دارای معادله های پارامتری » مه - ز , زود است. توجه کنید که (868 دایره به مرکز (0)0,0 و شعاع 21 7 »یعنی دایره واحد fx y)e f(A) است.در واقع اگر نقطه دلخواهی متعلق به (10۸ باشد .آنگاه x? +y? =(sirf 2t+ cog 2xt) =1 

صفحه 386:
یعنی (,06 متعلق به دایره واحد است. برعکس هر نقطه دلخواه روی دایره واحد زافقط به یک صورت می توان توستط معادله های هیا مان ادا توجه كنيد كه نمودار ۰۲ یعنی مجموعه G=|(t£() teA =|(tsirdxt,comxt)| teal ‎f 0 kG L‏ متفاوت است. در شکل اسلاید بعدی مجموعه های (80۵ و ۵ را در ‏دستگاه مختصات 7 نشان داده ایم. توجه کنید که 6 روی است انه ‎x+y? =1‏ ‏قرار دارد. ‎ 

صفحه 387:


صفحه 388:
۳ منال تا ‎f:R- R°‏ با ‎ker‏ تعریف ‎£(t) =(2cost 2sint,3t) ‏دارای مولفه های ‎£(t)=2cot , £(t) =2sint , f(t) =3t‏ ‏است. معادله های پارامتری (210 عبارت اند از: پا ‎2sinb‏ و ‎x =2cost i‏ 4 تحه که فد این ات تدارا تک مان ۶ امت ول | فا ‎ites‏ ول ‎ECR)‏ معروعه اما اس ارم اوح ‎£(R) =| Gy, 2)|x =2cost /y =2sint ,z‏ 

صفحه 389:
=4 teR 2 مشاهده مى كنيم كه به ازاى هر 2 چتابراین هر نقطه ۳ أروى أسشوانه قات 4 130 © واقع است. مجموعه ‎A(R)‏ ‏یعنی نگاره؟ را یک پیچوار(هلیسم) مدور می نامیم. وت موتو 

صفحه 390:
۶ تعریف ا ‎=(£,(t),£,(t) ) ۷ ey‏ ۶0 ‎f£:ACR-— R?‏ ي )0(£, £00 ,40+ ‎fo‏ ار وا ورب ‎Geb) ), L=Qbd‏ یت ار | ملک ‎(ime, <1, Lime, (t) =1, ime, (t)‏ ‎lim, (}) =1, limf,() =1,‏ اه عبارت دیگر تابع ۶ دز نقطه .فد دارد اکر و عن ها اگر هیک از مولفه های آن در این نقطه حد داشته باشد. 

صفحه 391:
۹ مى ‎ss‏ تابع 18 ۵21 که در آن 2 هیا 3 هدر نت بل 12۵۴۸ سته است اگر داشته باشیم: 7 ۳ (ه)۶- )عسنز ؟ را روی۸ ببوسته مین امیملگر در هر يكاز نقاط 4 ييوسته باشد با توجه به تعریف مشاهده می کنیم که تابع ] در نقطه ۵ < 1 پیوسته است اگر و تنها اگر هر یک از مولفه های ؟ در ۸ پیوسته باشد. به عبارت دیگر اگر (۵)یگر6)۵)< هک یا ()وگ,0)یظ,)گ)< ۶00 (hie ts 6 Feller ‏هون است اک وا کر بایغ‎ tol etl 

صفحه 392:
۰ مثال ‎eee‏ 1 ‎Ca 9 =|VE+1sint,e) , 9‏ حل: ريا همه مولفه های ۶ در این نقطه پیوسته هستند.در واقع داریم: ‎ea‏ انا ‎spas‏ يا ‎lim/t + le limsint =O=six0 , lime' =1‏ sint Sm nes | , ‏ب ۳ 2 -<ا‎ که نقطه هس پیوسته لیست. 1,60 < oe زیرا تبلع ‏ در نقطه0 < ] تعریف نشده است. با وجود این داریم: Imf(t) =(1,1n2) 

صفحه 393:
۲ شريف ‎Ln =2,acb flabl> Rg‏ 3= تابعى بيوسته روى اطرةاباشد . آنگاه 1 ‎R‏ رایک خم در یا ی نامیم. نکاره ۶ یعنی مجموعه رااثر یا مسیر خم (و گاه خود خم)و معادلات پارامتری[,8] ۶ را معادلات پارامتری خم می نامیم. ۳ مثال 11 11 ام ) تا رلا|ا< )۶ R ‏روی [-۱۰۱] پیوسته و لذا یک خم در است. معادلات پارامتری این خم‎ : ‏عبارت اند از‎ ,11 اي 0 اخ 

صفحه 394:
اثراين كم يا نكا ره ف عبار كانت ارد f[- 11] =|£(|tel- 11)} @y| x=|{. y=t, tel- 1] & x)| O<x <1 در شکل زیر [1,1-] ۶را رسم کرده ایم. 

صفحه 395:
توجه کنید که وقتی ؛از ۱- تا ۰ افزایش می یابد » نقطه (,06 اثر خم ۶ را از (۱, 0 تا (.و-) یک بار می پیماید.همچنین وقتی !از ۰ تا ۱ افزایش یابد نقطه (زرعم اثر خم ۶ را از (۰.» تا (0,۱ مجدداً طی می کنند. با این هریک از دسته معادله های ‎x=-t, y=t te[-10 *‏ x=t, y=t te[ol ie معادلات پارامتری خم واحدی هستند. در شکل (ب) خم متکور با معادلات پارامتری * ودر شكل (ب) خم مذكور با معادلات پارامتری ** نشان داده شده اند.در این شکل ها پیکانها جهت حرکت نقطه (06,1 روی خم را نشان می دهند. 

صفحه 396:
)۱,۱( ),۱( شكل (پ) شکل (ب) 

صفحه 397:
۴ ال ‎f(t) =(coskt , sinltt,t) teR ves‏ ۳ ‎gk pil‏ حل: بنا بر تعریف , اثر ؟ عبارتست از: ۶)5( < ‏,هن ر نظعمع)‎ t)| teR, ‏چون‎ ‎x?- y* =cosh2t- sinK2t =1 005۳28 ‏به ازای هر0<‎ ge ‏“قرار دارد.‎ 7 3 Hh etl og) FA) ye ‏پس برای ترسیم استوانه مذکور تنها شاخه ای از هذلولی‎ ‎yal‏ أ ‎2-0 ‏را در نظر مى كيريم كه مختص اول هر نقطه آن مثبت است. 

صفحه 398:
در شکل زیر قسمتی از (1078. اثر ۶ را روی قسمتی استوانه 1- ۳ - تازسم کرده ایم. یکی از مجانب های هذلولی 

صفحه 399:
۵ منال قسمتی از خم فصل مشترک رویه های 2 رو + قهر 4< 2و + رو + تعر (eo را که دز ایک هشتم اول دشگاه مختصات 2 است رسم می کنیم. بنابر تعریف یک هشتم اول دستگاه مختصات 612 مجموعه نقاط (06,1,2 است که 77 ۷ 7۳۰ .خم مورد نظر از تلاقی استوانه 1< + 1۳ 6 0 JOM co Sas a a ‏با كرد‎ 

صفحه 400:
در شکل زير این خم را با تعویض نقش محور های « و ۷رسم کرده ایم. 

صفحه 401:
۷ همنال دابره اع نه شعاع + در صفحه و6 روی معور «بدون اکن بلفره می غلنده ‎coy ly oils cel lead ame‏ نام اين نقطه یکت شم روی صفته [ز۳۵ بدید می آورداین خم را چر خزاد يا سیکلوئید می نامیم .می خواهیم معادله های پارامتری چرخزاد را به دست آوریم. برای این منظور فرض می کنیم مکان اولیه ۰۳ نقطه 0 مبدا مختصات باشد. ای خر ی ی رت ی ی و قرار گیرد. 

صفحه 402:


صفحه 403:
توحه کنید که طول های کمانهای 08 وظط و پاره خط 0 منامی لد بتابراین شکل . مختصات نقطه « به زاویه ۴ ‎OGY) Tob Sew‏ مختصات نقطه ۶ باشد آنگاه x=OB-AB , — y=OD-DE=a+DE از مثلث 880 دا ‎AB =FC=aco} 5 0| =asind‏ ED=PF=asin| p= 3] =- aco) در دایرف به مرکز > و شغاع ۵ داریم ‎OB =PB=a‏ 90 x=a)-asind , y=a- aco ‏در نتیجه‎ 

صفحه 404:
A, A, جرخزاد. طول خم ,0148 برابراست با 268 

صفحه 405:
‎٩‏ تعریف ‏می گوئیم تابع برداری (3-ه یاعم , ع8 ب[طية]:ع ‎. x=tela bh; a ‏هشتقیذ بر است اگر ‎lim—+_(£(x)- £0) ae xt ‏وجود داشته باشد. بدابهى است در نقاظ ‎jl plate t =D yt Ha‏ وجود خد فوق» ‏وجود حد هاى يكطرفه به ترتيب راست وجب است. 

صفحه 406:
درصورتی که ؟ در نقطه ؛ مشتقيذير باشد.حد فوق را مشاتق ؟ در نقطه ) مى ناميم df =, (t) ۳ وآن را با ‎dt‏ نشان می دهیم. بنابراین ۶ lim! (۰ 0 xt est f@) f(a’) ‏مشتق ] در نقطه 20 8 و 8-2 را به ترتيب بآ یا نشان می دهیم.‎ £(x)- f(a) 1 2 - ۳ f(a") =lim f£(x)- f(b) f(b) =i Oe eea5 

صفحه 407:
« به ازای 2 - 52۵۲9 )کت ۶ ‎(AW, £00, £50p) 5‏ )۶ به ازاى ‎of lly‏ نقطه ) مشتقید بر اسث اگر وتنها اکز مولفه های آن درالین ‏نقطه مشتقپذیر باشند. ‏-5 ما ‎Inx, 1- x2) pias‏ | #عماك مع ‏1 ‏زا خر تفه ور ميد ع كيم 

صفحه 408:
ee J : ‏بنابر رابطه :::* به ازای هر 2 داریم‎ f(x) = es 2x| x )2 - ,ور ی )- )3 {£ N ۲۳ ۵ مثال می خوامی0 ۴۵ , ©" (وعد ع) م 496060 به ازاى 1,20 - 1,12 +عيماء )۶ Docs, ‎ean‏ وی م9 ‎o(t) =In@t +0) 

صفحه 409:
حل: «م4- هماع . مد و۶ داریم 2 gO =Q- 10 ‏همع 0و‎ مصح 0 , 20 ۵0 (£.g)O =f OgO+fOgO -0+ 2-2 Le Tjian DRO. 22) ‎eet SE‏ ی ‎5)+C 2-22 =O-25)‏ -0@= ‎Jj ‎ xg)'O = 0-5 1 ‎ONIRE ‎ ‎(£)'O =o OfO + 0۶0 ‏كفك ¢= 02 لماك‎ 

صفحه 410:
۶ ۱ ۵ قضیه: [ab] —~-1—% R" n=2 \3 ‏زنجیر توابع‎ ee 90 را که درآ ۳( ‎٩‏ و یک بازه در 8 است در نظر بگیرید. فرض كنيد ؟ در ‎te[ab] .‏ 3 ‎SRLS‏ ور له ‎heeds Tb)‏ ياست در اين مورب نافع برداري ‎gof:[a,b]> R”‏ ‎ ‏در نقطه ؛ مشتقپذیر ت و داریم ‏ ‎(god () =g'(E (HE ‎d(go) _dgds_dgaf HE dt ds dt dsdt ‎ ‏توجه کنید که در این قضیه تابع ۶ یک ‎Canal Sl ail‏ 

صفحه 411:
۷ ۵ منال 1 ‎h(t) = in/t- 1‏ ) اكر ‎int]‏ 1 يمه , جلي | ‎(t)‏ ‏(2)5 و به ويز) 2 را محاسبه می‌کنيم حل: قرار می دهیم سل )۶ ر |۵۱ ‎na‏ دنه 2 - 90 ‎t t-1‏ h(t)=(gof)(t) ‏و به دست می آوریم‎ 7 1 vas ‏رم‎ aad ۶0 -- 200-1 Bet OS toy t ass 4 1 2 1 =|- = =|-1, g(t) ‏ر 609 ر‎ ۱ 0 | 1, cod, } 

صفحه 412:
nw =- Sct- ae 31 cos, ۱ 2 h@ =g ME =- 0 16 3 ‏ریت‎ 5 1-63 حم ح[طیه]: ۶ را روى اط,ة] هموار مى ناميم اكر به ازاى ‎tela)»‏ (1) جود داشت روى [8,0] پیوسته باشد. م کر و به آزای هر ۱ توجه کنید که اگر به ازای 2 < 9 قرار دهیم ‎f(t) =(£,(0),£,(0))‏ آنگاه نابرابری :: به صورت زیر در مى آید. ‎(f(D)? + (0)? 40‏ 

صفحه 413:
؟* وابنا براين ‎Slant o>‏ روی (ظ,۵)هموار انست اگز فتنها اگر در هر نعطلا مشتق یکی از مولفه های ۶ غیر صفر باشد. توجه کنید که این مطلب در حالت 3 > 9 نیز برقرار است. :م مثال الف) خم ‎jt, Ind+t) ,G+t))‏ )- ومع روی ۰۱-1 ۱] هموار نیست » زیرا در نقطه 0 > 8 مولفه اول آن 2 5 ب) خم زیر روی [۰,۱] هموار است. f(t) =(sint,sint ,? +1) 

صفحه 414:
۳ ۵ منال الف) خم ‎te[- 11]‏ ((2ا+0, وعفصاءنم )- ومع ‎ ‏روی [-۱۱] پاره هموار است . زیرا این خم در نقطه 0 < تا مشتق ندارد. ‏ب) چرخزاد به عنوان یک خم در نقطه های + هموار نیست ودر بقیه نقاط هر بازه متناهی هموار است. ۳ ار تا تاک ()۳ ‏در نقطه 0 < با هموار نیست. زیرا ‎|£O| =o‏ 

صفحه 415:
۴ 1 ۵ تعریف الف) فرض می کنیم 3 با 22 1 ‎f:[ab]> R®‏ خمی هموار باشد. طول این خم را با 5 نشان می دهیم وبا رابطه زیر تعریف می کنیم: ‎s= {lf at‏ got jlgo——_2 ob la,bl a gle. ta - ---- abies or sic ‏طول ؛رانا ره رير تعريق دى كليم‎ 20207280755 خوره) عن جع لت ۴۵ ] عد 

صفحه 416:
با قرار داهگک 8 وویمتاع ط این فرمول به صورت زیر در می آید. ع ۳۵ ۶ - ‎fie)‏ رده ‎fietajat‏ عم ‎١‏ عه هعمال ‏طول خم پاره هموار ‎ 

صفحه 417:
7 توجه کنید که اگر به ازای 2- 8 ‎f(t) =(£,(t), £,(t))‏ s= pif] dt= PFO +f Wat ‎ =(£,(0, £00, £.‏ همجنين به ازاى 3 > 2 و بنابراين و ‎ce‏ ‏خ00) 2 )کل له (ه ۴ | ع و 

صفحه 418:
۵ مان الف) طول خم تتماتع 200 مساوی ات با ‎Gina V5)‏ 7 0 حتلم دخورصت جتارل ‏ب) خم ماع ‎£(t) =(cost, sind)‏ ‏هموار است و طول آن مساوى است با ‎fVsitt+costdt= f dt=x 

صفحه 419:
7 مشاهده می کنیم كه طول خم تابعى از بارامتر تعريف کننده خم نیز هست. رح s(t) = 660 dn ‏ج ۴ تانق اوه روی ناما لشت اس نأض مشعید ارك ات‎ ‏و داریم‎ Ab) eh areal <= 3 در نتیجه 3 aS با توجه به این پدیده تعریف زیر را داریم. 

صفحه 420:
۷ ۰ تعریف مى كوئيم خم 3 يا 2-2 ماطیه]:؟ يا (ه) یگ, () رگ (©) ,)كت (5) 5 با ((ع)یگ, (ه) 6)< ‎£(s)‏ توسط طول خم پارامتری شده است اگر 2 ۲ بت اه 3 البته با توجه به قاعده زنجیری» اگر ! پارامتر دی گری برای خم باشد. داریم ۶ _ 96 9۶ ‏هگ ندیم‎ ds? dt: ds ds ds dt _ عه 

صفحه 421:
۸ © مثال ب)پیچوار ۶۲) =(acost, asint, bd teR ‏رانسبت به طول خم پارامتری می کنیم.‎ ‏حل:‎ ‏طول خم در بازه [۰,] عبارت است از‎ s(t) = {ve + ۲۳ ‏ح‎ Bt s(t) = ve + ‏لح م۳‎ 22 + واز اين روء در هر دو مورد داریم حال این مقدار ؛ را در تعریف ! فرار مى دهيم و به دست مى آوریم. 

صفحه 422:
bs ‏سوه رتش ومد‎ 50 ‎oe ‘dee‏ کب + ها ‏اکنون توجه کنید که با این نمایش طول خم ] در بازه [5,۰] مساوی است با5 و به علاوه ‎f(s) =| ‎ ‎ ‏دا ‏اريم ‎Iss 5‏ ‏پ) آیا خم ‎f(t) =(e' sint, e' cost e') teR‏ ‏را می وان با طول خم پارامتری کرد؟ حل: ‎AB‏ را در نظر می گیریم. طول خم از نقطه 110*602 عبارتست از ‏ره - )2/3 9۷30۱ ] ع و لاک ع هد 

صفحه 423:
بنابراین ؛ تابعی از + است و داریم 5 مم قد نه ان ‎+e]‏ لد ‎t=‏ V3 در نتيجه خم را می توان توسط : پارامتری کرد و مولفه های آن را به صورت زیر ست ار £,(s) =| wat e * | sintr{ ‏0ه , [ © + حتف‎ £,(s) =| 4 +e" | cosa + +e] ,s=0 £,(8) =z +e" » S=O ‎Oa ax aos a >‏ 15 اين مولفه ها صورت ساده ترى به خود مى كيرلك 

صفحه 424:
۰ ۵ تعریف انتگرال تابع پیوسته ‎filabloR , f(t) =(£,(t), £,(t),£,(0)‏ رابه صووفل) ۶ آل نشان می دهیم و به صورت زير تعریف می کنیم. Preac=( fam@at Pemat ‏زوه عل‎ به همين ترتيب انتكرال تابع بيوسته زير تعريف مى شود. [ط به] > ۱ 0) 5)< ‎f(b)‏ ® توجه كنيد كه انتكرال هر تابع بردارى ‎٠‏ بردارى ازا جنس مقادير همان تايع است. مفهوم انتكرال تابع بردارى بسيارى از ويزكى هاى انتكرال توابع حقيقى را داراست. باوجوداین.این مفهوم درقضيه ميانكين براى انتكرال صدق نمى كند. 

صفحه 425:
۲ ۵ حرکت در صفحه | ل بردار 0۸.را شعاع حامل متحرک در لحظه ؛ می نامیم : در شکل زیر مسیر مر ‎aod‏ ها »و ۷ مشاهدهمی کنید. ۶0+ ۸0 1) 

صفحه 426:
te cle pa OY ۶)0 =x(Di+ y(oj Bas ‏فرص‎ ‏مکان متحرکی در لحظه ) باشد. در این صورت رابطه‎ £(t+ At) =x(t+ Abi+ y(t+ Adj t+ At. ‏مکان انب مرک در لحظه خواهد بود. بنابراین‎ £(t+ At)- f(t) At ‏در تیه در‎ teat Ab ‏تمانتده برتار شرغت متووشط در بازه مان از وتا‎ ‏ور ی ۵9-0 گیورزر‎ ieee poe At وجود داشته باشد. برابربا بردار سرعت در لحظه ؛ خواهد بود. 

صفحه 427:
با توجه به این مطلب اگر سرعت متحرک در لحظه !را ‎V(E)L‏ نشان دهیم بنا به تعريف مشتق داريم 1 1 ‎ee‏ 1 ۷۵ ز) ۶ + :) << )۶1 یعنی مشتق ۶ در لحظه 4 مساوی است با سرعت متحرک در اين لحظه؛ اكنون با توجه به شکل اسلاید بعدی مشاهده می کنیم که £(t+ At) =f(Hi+PQ ‏بنابراین داریم‎ ۶0+ ۸۵ ۶0۵ _PQ At At 

صفحه 428:
y £(t+ at) 51 7 از (1)6 رسع شود » بر مسیر متحرک مماس است. 

صفحه 429:
در نتيجه اگر ۰ ۵۳ آنگاه نقطه 0 روی مسیر متحرک به نقطه میل مى كند و ‎ed 4s PO Leo‏ مماین بر خم تبدیل مي شود اين ردان ففناست که اكز ذا بردار ۲ را به نقطه ۴ منتقل کنیم آنگاه ()۷ بر مسیر متحرک يا بر خم داده شده مجاس می نود بنابراین مشتق به عنوان یک بردار بر مسیر متحرک مماس است. 

صفحه 430:
۲ ۲ ۵ تعریف t Ee ‏ای و‎ Minas ot ee ouny a pales ‏بنابرا مشتهیت‎ 100 )01 ۳ مسر متحرك باشد انكاه اندازه بردار سرعت اين متحرى عبارت أست از اه ام ا ردیل - + ]$( = ۳26 +269 (۳)۵ توجه کنید که سرعت متحرک یک بردار و اندازه بردار سرعت یک عدد است. 

صفحه 431:
۴ ۲ ۵ منال الف) مکان متحرکی در لحظه ؛ عبارت است از ‎=eli+e'j‏ )۶ مدل درغت وانداره بردار ضرفت اين امتكرك ‎(a pans‏ مختصات متحرک در لحظه » عبارت اند از ۴ < 57 9 مشاهده می کنیم که در هر لحظه 0< :۰ او 0< 7 و 1 تج رو ‎x‏ 1 بتابراین مکان متحرک شاخه ای از هذلولی ع< 7 "است که در ریع اول واقع است. 

صفحه 432:
شرعت ‎tied yo Ses dl ce By ld‏ اغبارت اند ارا v(t) =elit+e'j , lv(t)| =Ve* +e =/2cosRt 

صفحه 433:
‎as Aes‏ سيم كي 1 ‎VAR) eee‏ ون ‎dx x( 4‏ ‎ ‎ ‏بنایراین زاویه بردار سرعت با جهت مغبت محور ۸ باز (متفرجه) است لا بردار ‏سرع يه صورتی!است که در شکل اسلاید پیش نشان داده شده است: ب) یک ذره طبق رابطه زیر حرکت می کند ‎£(t) =(@cospvt)i+ (rsinwt)j‏ ‎0 ‎RD ye lator dol a eer CS Berra ka? ‏متجرک زا شناسایی .می کنیم؛ 

صفحه 434:
این متحرک در لحظه ؛ عبارت انداز ‎y(t) =rsinwt‏ ر ‎x(t) =rcosvt‏ OF (+ yb) =P ‏مسیر متحرک دایره ای به مرکز مبدا مختصات و شعاع ۲ است.‎ (guy سرعت و اندازه بردار سرعت متحرک در لحظه ؛ عبارت اند از v(t) =(- nosinot)i+ (wm cosnt)j مصاع ‎cos wt)‏ بتای گننه) "مالک )۱۳ 

صفحه 435:
چون dy __ rcosvt —_—— = mocotanot =ta: ۳ + ‏بای‎ ‎dx - nosinwt 2 بردار سرعت (۷)۲ با جهت مثبت محور « مساوی ‎[+t]‏ ‏2 با توجه به اينكه ‎U f(t) Jal> glad. t abied j9‏ جهت مثبت محور ۶ مساوی ات نا بننچه مي کلم که بردارهای (۵ ۶ (۷00 در هر لحم بر هم عمودند وجهت (۷)۷ در جهت افزایش + است. 

صفحه 436:
شماع حامل و سرعت متعامدند: 

صفحه 437:
۵ ۰۲ ۵ تعریف فرض كنيد خم )۲+ )<< سا ر ‎filablo R‏ هسیر متحرکی است وزدست کم دو بار مشتقپذیر باشد: در این صورت بردار )"7 + )<< )”ع را شتاب متحرک می نامیم ومعمولاً آن را با (2)0 نشان می دهیم. ۳ تایراین بردارد(ا)ه شاب جرک ۰ هشتی ‎ail Spee Gey‏ زظ) 7 + نها) ع<ع )۷ ‎a(t)‏ 

صفحه 438:
ules ‏بردان بك‎ 8 Vey. فرض کید مسیر متحرک ۰ خم ‎f:[abl> R? , ۶) <<) +‏ توسط بارامتر طول خم 5 پارامتری شود. به ویژه داریم ‎s(t) = fiv@)| dn‏ بنابراین داریم ds ag ce ‏اف‎ إومي كك_عة عه عف_ ووى. ‎dt dsdt ds‏ ‎ae _ veo‏ ون ۵ 05 

صفحه 439:
یعنی اگر خم . مسیر متحرک . نسبت به پارامتر طول خم پارامتری شود. بردارسرعت نسبت به این پارامتر : برداری واحد است و جهت آن با جهت ‎Ss el ie a Seeley‏ يكى اسك اين بزخار را 'برقار يكه مماس می نامیم و با 1 نشان می دهیم. ‎af _ v(t)‏ ds fv] در شکل اسلاید بعدی بردار یکه مماش را در لحظه) رسم کرده ایم. 

صفحه 440:
v(t) 

صفحه 441:
۶ ۵ بردار نکه قائم فرض كنيد خم هموار filabloR , f(t) =x(Hi+ yj ‏مسیر حرکت یک متحرک باشد. بنابراین درهر لحظه ۰۰ بردار یکه مماس 7 بر‎ ‏اين خم ايا مشر تعريف شدة أت زاويه انا جوت مثيت محور: رام نم‎ جون ۶برداری بکه است. پس جهت آن تابنی از اندازه راوید اكيت با توجه به شکل اسلاید بعدی می نویسیم ز(مصنعی) + ن(ودمی)ع ‎T =T@)‏ داریم ‎(cos)j=cofo+S)i+sirf 0+],‏ + ت(مصنو تا 

صفحه 442:
sind x dT ‏برداری یکه وعمود بر 7 است و با جهت مثبت محور + زاویه ای به‎ “qpllk 7 ۳-9 اندازلا * 2 مى سازد. بنابراين ون ” دو بردار يكه قائم بر 7 با جهت هاى مخالف هم هستند.یکی از این دو بردار را که جهت آن به طرف تعقر خم است بردار يكه قائم مى ناميم وبا 11 نشان می دهیم. 

صفحه 443:
بردار‌های یکه قائم مماس 

صفحه 444:
10 ف مولمه هاف مما فا برعت شتا فرض كنيد مسير متحرك , خم هموار و دو بار مشتقيذير ‎filabloR? , f(t) =x(Hi+ yj‏ باشد. سرعت این متحرک در لحظه ) مساوی است با ۶ ‏عه )_عه عه_‎ 2 Mi at sae dt =| ae ‏با‎ Giese itis ‏با‎ ‎va -| 2 ‏تم‎ 05 یعنی مولفه های ()۷ در دستگاه 1 عبارت است از عل و ۰ اين عددها را به ترتیب مولفه های مماسی و قائّم سرعت می نامیم. 

صفحه 445:
حال أر رايطة © ‎ee Op hig ete eo‏ ورن ‎ail ad‏ اك ‎ ‎act) = Tomb ‎d ‏ادا كن داز‎ Ae alin dl OH (Siz daT_dtde _dtTdods ‏ع‎ ‏+ 35 مك ‎dt do’ dt‏ ‎aT‏ ۰ با قرار داهج" از این رابطه در رابطه فوق به دست می آوریم ‎ds)* do i eee‏ وتو ‎5 ‏ی‎ ae ‎aT ‎Seal Gl cas Give ‏قائم‎ ale el ‏مى تم کم‎ ‏یحو ان قرار دهیم. برای تشخیص جهت‎ eet ‏به صورت زیر عمل می کنیم.‎ do 

صفحه 446:
و0 < 2 ‎eae Pica‏ ؛ صعودى است وبتايراين با افزيش. + 7 در جهتمئلناتى:ابيده مىوشود و لذا زاميه بين1 و که ب لير و ‎Gate, cage‏ تفییرمی کندر‌این ندان معناست که 11 مه et gtilsal Case ‏سيك به تر وق اك والدا ف‎ 3+ ASO, apg OSes ‏در حهتعقربه های‌ساعنتابیده می‌شود. و درلین‌حالتداریم‎ 1 0 do ‏در نتیجه فرمول :::را می توان به صورت زیر نوشت‎ ره 98 مد | 0ك )2 ] ‎aT‏ ‘dt ‏(ككق الغة)‎ dt 

صفحه 447:
با استفاده از اين فرمول . رابطه ::::# به صورت زير در می آید. ‎ds)*|do‏ وتلق ‎a(t) = rt+( 3] lw‏ ‎ ‏۴۳ را به ترتیب مولفه های مماسی وقائم شتاب ‎a, ‏تامیم وانها را به ترتیج با و نشان می دهیم. بنابراین داریم‎ oe a(t) =a,T+a,N ‏از این رابطه نتیجه می شود که يكح + مكو ‎jacy)?‏ ‏نارای بای بیدا کردر 2۸4 6۵2 وري روي جه ضام لنت - 6ج ] ‏را محاسبه کنیم. 

صفحه 448:
ممتال الق بردار یکه قائم » مولفه های مماسی و قائم شتاب متحرکی با معادلة هشیر حرکت زیر را پیدا کنید. ‎£(t) =3(coxt+ tsint)i+ 3(sint- tcost)j‏ حل: در له )دار v(t) =(Btcost)i+ Btsint)j ‏بنایراین‎ ‏بنابراین‎ = =|veo| =3t ولذا برذار يكد مما در لحظة ‏ عبارت ات او 7 ae =(cos)i + (sint)j 0 

صفحه 449:
ع فرمول تكان مى دهن كه راوية 1 با جيك مثيت نخور > برابراست ا 1 = 2 ‎asap et Owes ok‏ کل فان بر مسا ‎Soul‏ ‎ence 3‏ 7 11 زردهم) + زراصزه )< 2 ‎OF‏ پس 5 ‏05 05 و بنابرآين عولفة هاى مماسى .و قائم شتاب ‎Ga Ta‏ ‎ ‎5-5-5-0 3 or ae =a ae) = 3 -(23)| do) _ Gu? _ 5, ‏نج ی | ‎N‏ ‎3T+3tN ‎ ‎a(t) = 

صفحه 450:
مه ‎Se‏ ‏,0 را که سرعت خمیده شدن مسیر متحرک نسبت به پارامتر طول ‎K 1 . :‏ خم است. انحنای مسیر یا خم می ناميم و آن را با حرف يونانى (بخوانيد ‎do‏ ‏۱ ‏04 ‏می توان ثابت کردکه انحنای" ذاتی خود مسیز است و به انتخاب دستگاه ‎Pe ae ‏مايه‎ Ol pela ass ‏کی لاد با رح ای دا‎ Ls ‏حي مختضات مور اسشاده ار ‎EE Sa lea‏ ‏شان مل مهي ‎7,۴ 

صفحه 451:
ay ‏با توجه به تعریف مشاهده می کنیم که هر چه لیشتر ( كمتر) باشد‎ ‏خمیدگی خم بیشتر ( کمتر ) است و لذا انتظار می رود که خمیدگی یک دایره‎ کوچک عددی بسیار بزرگ و بر عکس خمیدگی خط راست صفر باشد. ۵ ۵۰۲ مثال الف) انحنای خط راشت زیر را پیدا کنید. y=axtb با قرار دادن با < ۶ این خط را می توان به عنوان نگاره خم زیر در نظر گرفت. ‎f(t) =tit (at+b)j‏ 

صفحه 452:
داریم a(t)=0 ‏و از این رو‎ ee =a ‏و‎ ‏چون‎ ‏ودع‎ =Vi+ a +0 ‏پس‎ ‎do ‏ا‎ ‎fas *” بنابراین انحنای خط راست صفر است. چیزی که انتظارش را داشتیم. 

صفحه 453:
‎AO A ANY.‏ لا حك وهات ‏۸ منتال الف) مسیر متحرکی خمی با معادلات پارامتری زیر است ‎x(t) = 3cos t 7 y(t)=4sint ‏انسیا مسيررا ذر لحظة ) واسيس در لحظد هلى 0 > ]و جح تیدا کنید. داريم ‎x =-3sint , ‏دا‎ 3008 , y=4cot , y =-Asint ‏بنابراین‎ ‏12 | 12005 + تند 1| 55 ‏1+1 65 16602072 ووو 27 

صفحه 454:


صفحه 455:
حك أخران هم ای قسیت لنش کایره | تحار قرف ی کت ۰ ۵ تعریف خم هموار و دو بار مشتقپذیر زير و نقطه ۳ واقع بر آن را در نظر می گیریم. براین خم در نقطه ۲ دایره ای مماس می کنیم کهه الف) انحنای دایره مساوی با شد با انحنای خم ب) مرکز دایره در طرف تقعرخم و روی خط قاثم بر خم در ۳ باشد . این دایره را دایره انحنا ء مرکز و شعاع آن را به ترتیب مرکز و شعاع انحنای خم در نقطه ۳ می نامیم . 

صفحه 456:


صفحه 457:
1 مان معادله دایره انحنای خم >< 9 را در نقطه (۱و۰) پید | می کنیم حل: نخست شعاع انحنای مسیر را پیدا می کنیم. برای این منظور انحنای مسیر را به دست می آوریم‌داریم ‏ ی این در نقطه (۰,۱) انحنا مساوی است با 3 | -» ‎Va‏ در نتیجه شعاع انحنا برابر است با a == =(Y3) 7 

صفحه 458:
اکنون روی خط عمود بر خم در نقطه (۰, ۸ مرکز دایره انحنا را پیدا می کنیم. معادله این خط عبارت است از ۷ < 1 بنابراین اگر (۸)2,1 مرکز انحنا باشد . باید داشته باشیم b=1-a, a&+(b- 1(2 =2 با حل این دستگاه نسبت به هو « بدست مى آوريم 3 > ط و 1- > 8 . بنابراين نقاط ممکن برای مرکز دایره انحنا عبارت اند از (3 ,2-)۵ و (1- ,۸)2 در طرف مقعر خم واقع است در نتيجه معادله دایره انحنا عبارت اند از (x+2)?+(y- 3) =2 

صفحه 459:
۱ ۳ ۵تعریف مفاهیم اولیه فرض كنيد خم مشتقيذير ‎=x(Di+ y(Dj+z(Dk‏ ۶6۵ ره ماد مش یک مرک باشه ۶بردار £(t) =x (i+ 7 ‏ع1() 2 + زها)‎ را سرعت متحرک در لحظه ‎ott‏ نامیم و آن را با ()۷ نشان می دهیم . 

صفحه 460:
ردان تترعت بر مین معانن نت چون به ازای 14 ,۲2 4 (0) ۶ (۷۲۷ پس بردار یکه 1 را گت )د = فد ‎T Fa po?‏ بدون ابهام تعریف می شود. 

صفحه 461:
این بردار را بردار یکه مماس بر خم ( یا مسیر متحرک) در نقطه ؛ می نامیم. فرض می کنیم ‎z‏ ‏دل |60 ۶ - ‎s(t)‏ + طول خم از نقطه (4)8 تا نقطه ()] باشد. در اين صورت(])5 تابعى صعودى و مشتقپذیر از (])9 است و داريم (#- ‏تچ‎ S(t) =|] ae ‎ds 7۵‏ با استفاده از روابط * و #* داريم ‏_ 09 ای 16 _ 1۶ ‎ds dt ds ۳۵ ‎ 

صفحه 462:
یعنی مشتق بردار موضع نسبت به طول خم مساوی است با بردار یکه مماس طول ‎vee Soy‏ يعر( جر لحظه زرا مقدار بردار مرعت متحرک ‎Peo‏ *” أكر غلاوه بر اهموار بودن ‎١‏ تايف دو يار مشتقپذیر باشدد آنگاه بردار >1() 2 + ز() 7 + 1(ا) "دع )200۶۲ راشتاب متحرک در لحظه ! می نامیم. 

صفحه 463:
۲ ۳ ۵ مثال در مثال ۰۳۵ ۱. ۵ (ب) طول ييجوار ‎teR‏ علط) + ز(اصنعه) +(دهعم)ع )۲ را که بین نقطه های ( 160 و ()] و 0 < ۸ واقع است به صورت ‎s(t) = {Vat +B dy =Va?+ bt‏ محاسبه کردیم. چون ‎v(t) =C asint)i+ (acost)j+bk‏ يس بردار يكه مماس مساوی است با هاط بزومعه متاصتعه ) لب - 76۷ - موی که dt T همچنین داریم ‎a(t) =- a(codi+ sint)‏ 

صفحه 464:
۴ ۳ ۵ صفحه قائم و مولفه های شتاب می خواهیم بردار شتاب ()8 را که از نقطه (1)۲ رسم می شود به مجموع ذو بردار تجزیه کنیم » یکی در امتدادبردار يکه مماس 1 و دیگری برداری واقع در صفحه عمود بر 7 در نقطه (5)6 . اين صفحه را صفحه قائم بر خم ( يا مسیر) در لحظه 1 Fale 

صفحه 465:
صفحه قائم وتجزیه بردار شتاب 

صفحه 466:
ما كي كك نا هن ‎anes pacer‏ ری فا است. a(t) =AB+AC ‏می خواهیم این بردار ها را برحسب تابع ۶ شناسایی کنیم. با استفاده از قاعده‎ ‏زنجیری می نویسیم‎ 2 a a dt_d@s ‏اه‎ a(t) = a 2 + 2 ~ dtl dt ds dt) dt 481 16 ds dt eer (aa) (ae ~ dt dt) | d¢ 

صفحه 467:
اکنون از دو طرف رابطه زیر نسبت به ۵ مشتق می گیریم. ‎af df‏ ‎ie a 3‏ در نتيجه ‎Wf df df‏ 3 af ۸ ‏بنابراین بردارچی بر بردار مماس 7 عمود است. بنابراین اگر از نقطه‎ رسم شود روی صفحه قائم خواهد بود. بردار يکه لا را به صورت i 223 2 Wy 

صفحه 468:
تعریف می کنیم وآن را بردار قائم اصلی بر خم در نقطه (60؟ ۸ می نامیم. با استفاده از * بر دار (2)0 را به صورت زیرمی نویسیم. a(t) =—>T+ @s ds)" PE apt laa aN بتابراین بردار (2)0 به مجموع دو بردار تجزیه می شود. 

صفحه 469:
۵ ۰۲ ۵ تعریف ‎ee‏ و 2 5 الف) عددهاجق. * |02 زرا ل - شتاب در لحظه ؛ مى ناميم وآنها را به صورت زير نشان مى دهيم ae ee or ae dt} [ag 8 aT ‏ب) بردایج- و اندازه آن عدد‎ 32 ‏كا‎ ‎ds ds راابد ترنيب بردار اتحنا و اتخناى مسير در ‎(at lie‏ نیم 

صفحه 470:
۶ منال الف) بردار قائم اصلى . معادله صفحه قائم و انحنای خم ‎teR‏ علراط) + زراصتععم) +تروهعع)< )۶ رادر ۳522 260 ۵7 که به ازای ‎ge ces atm‏ آیده پیدا می کنیم. حل: بنا بر مثال ۳.۲ ۵ بردار یکه مماس در لحظه ) عبارت است از و لذا در نقطه ۸ داریم 

صفحه 471:
همچنین در لحظه ‏ داریم = 2 1 +3 11 011 11 ‎SU AS GE pies Ee st) 2 1‏ گر ‎ds dtds ds /#+b ۳ eet)‏ بنابراین با توجه به رابطه 10 ‏بر‎ ‎ds ds Ja#+b dt در نقطه ۸ یعنی در لحظه 27۳ ۲ داریم بتایراین انحنای مسیر در نقطه داده شده » مساوی است با ‎a‏ ره ‎a+b‏ 

صفحه 472:
و از این رو بردار قائم اصلی عبارت است از ‎dt‏ ‎N=ds =i‏ ‎K‏ چون صفحه قائم از ۸ می گذرد و بر 7 عمود است پس معادله آن عبارت است از (x+ay,z- br).T -0 ay- b(z- br) =O 

صفحه 473:
در شکل زیر مبدا را در ۸ قرار داده و آن زا رسم کر ده ایم. توجه کنید که جهت او محور یکی است. بردارهای قائم اصلی و يکه مماس در ۸۸۵ 

صفحه 474:
21 ان مصافت وتات دیدیم که اگر خم هموار [طیع]ع۲ 2016 + )7۷ + ()<ع )۶ دو بار مشتقپذیر باشد. آنگاه به ازای هر ۰۱ صفحه قائم بر خم و مولفه های مماسی و قائم شتاب بدون هیچ ابهامی تعریف می شوند. می دانیم که بردار قائم اصلی ‎DN‏ ‏صفحه قاتم قرار داردو بردار یکه مماس ۲ براین صفحه عمود است .اکنون در صفحه قائم بردار یکه 8 را چنان در نظر می گیریم که دستگاه 1(118 یک دستگاه راستگرد باشد. بردار را قائم مضاعف بر خم . صفحه تشکیل شده توسط بردارهای و1 را صفحه پوسان و صفحه تشکیل شده توسط بردار های ‏ و3 را صفحه رکتیفایر (یکسوساز) در لحظه می نامیم. 

صفحه 475:
7 ی کهستگاه رلستگرد لست 

صفحه 476:
0 a ١ i ‏در‎ ‎. ‏بر ۲ نیزعمود است‎ ds dB ‏مضربی از بردار لا است. یعنی عددی چون رجود دارد که‎ ei» dB 5 ‏بم خلت‎ ds 3 را تاب خم در نقطه مورد محاسبه مى ناميم. فرمول * نشان مى دهد که ‎JAB)‏ ‎ds|‏ "و از این رو. تاب آهنگ چرخش بردار ظ است. ‎cy 1 ۳‏ ان ّ 5 ۴ نوج سيد که ایام ۱ هرکر قفی نت ول ‎tl‏ تالک بت صفر یامنفی باشد. 

صفحه 477:
‎٩‏ ۳ ۵ مثال الف) معادله صفحه بوسان و تاب خم ‎f(t) =(/3cos)i+ (V3sintj+k teR‏ ‏ارا بيدا كنيد. ‎Be ‎CA ‏اش سل هم و و‎ ‏خمی مسطح است. پس صفحه بوسان آن عبارت است از 1 < 2 .چون خم ‏0د ع مسطخ ایست پس تابی تدارد بعنی 

صفحه 478:
۲ محاسبه انحنا اه _ ‎xath|‏ ای “مم ‎a‏ ‎dt‏ ۳ مثال سير محر کی عتارت اهنت از f(t) =tit tj+ Pk teR می خواهیم انحنای مسیر را پیدا کنیم و معادله صفحه قائم بر مسیر را در نقطه ای که انحنا بیشنه است به دست آوریم. 

صفحه 479:
حل: f(t) =i+j+2tk , £(t) =2k ‏ثاريم‎ ‏بنابراين‎ ‎۶0۶00 -- 2+2 , jE WE | =2V2 | £@| =v2+4e ‏از این رو‎ 2/2 Sie ergot Gat ae So Eee )/2(3)1+ 22(2 )1+ 222 ‎aos beta‏ به دست مل ابد اكه 210 یه ازای این‌معتار عون ‏صفحه قائم از نقطه (۰, ۰, ۰» می گذرد و بر بردار یکه مماسی ‎To ae)‏ ‏عمود است. پس معادله آن به صورت زیر است ‎1 + >60 

صفحه 480:
محاميه نت ‎by‏ به تعریف عدد ‎dees)‏ تن ~ كه صدق می گکند تاب خم یا مسیر متحرک می نامیم. ‎Oxf Wf")‏ £(_ ‎[EO xt (HP‏ با استفاده آزاین فرمول یکی از مهمترین خصوصیات خمها مسطح به دست می آید: ی یه گر 7 که عم متسه انس بد عبارت د بكر كر ‎(HW £"(W) =O ae‏ <۶0) آنگاه خم داده شده (60؟ مسطح است. 

صفحه 481:
(POLLO) (GO Seed Shy ‏باشد‎ ele A) ‏جم‎ St se نمی توانند كنجى نابديهى بسازند واز اين روه ** مجدداً برقرار است. ™ بنابراين خم (5)5 در يك صفحه قرار دارد اكر وتنها اكر تاب آن صفر باشد. به عبارت دیگر خم مسطح است اگر و تنها اگر رابطه #* بر قرار باشد. ۶ ۳ مثال الف) خم ۶60 ‏زتا +ل1 + تال‎ +26 teR مسطح است( در یک صفحه قرار دارد)بنابراین تاب آن در هر نقطه صفر است: 

صفحه 482:
ب) تاب خم ‎f(t) =(€'cosi+(e'sinjj+e'k teR‏ را در نقطه دلخواه (804 محاسبه می کنیم و نشان می دهیم که این خم مسطح ۶)( -- 6 ۱)608:+ ‏زراصنه -6۱)609 + نزو‎ - e'k £"(t) =(e 'sint)i- Ae‘ cost)j+e'k £°(t) =2e ‘(cos-- sint)i+2e '(cost+sint)j- © ‏ع1‎ بنابراین داریم 20 + ز(اصنه -9مم) ۶ و + نرلصته جومع) 62 -< ‎(t)‏ 11)0<۶ 

صفحه 483:
۶ )۵< 6۵ 6*6 * 2-2 (7)0 ۵۶ <۶۵) در نتیجه داریم 5 حك - ۶0( 6<۶)) _ 3 oT PtP "Get ج66 ۲ يس خم داده شده مسطح نیست.