صفحه 1:
صفحه 2:
سری فقوریه
فرض (۲ع F(X) تابعی متناوب با دوره تناوب 5-21 باشد.
آنگاه می توان تابع مذکور را به صورت مجموعی از
جملات سيتوسى و كسينوسى ما اركومان هاى مختلف كه
به سرى فرويه تايع +b, sin ra) 7 ره Dal + 3 ۳
1۶ nt ۳
مه و 9 و 2 و 1 اقا و a فا( رل تیا
۳ 7 1
b,= و ta و n=152535..
iz
۵
صفحه 3:
برای توابع زو و فرد A, b, 7a, ضرائب
تاد es ee
آن بصورت زیر نوشته می شود. i
cost + 3-(0)]
5
8 -3f راکمه(
اگر تایع)16۶ در فاصله -بآ و بآ فرد باشد. بسط فوریه ان
بصورت زیر است.
an=0
f(x) یج sin 22 x
بح دک مهم | 2 - ره
صفحه 4:
مثال-سری یه تایع )۴ را بدست آورید.
fix)
F(X) g(xy=d> زوح است , پس00۳<
قدم دوم: دوممتنابرییرر,] برابر ی
باشد. (۶ لتخا
قدم سوم: محاسبه :2 . چون برای محاسبه ,2 , ضابطه
egles ul F(x) باشدلذا ضابطه ()۴ را بدست می
آوریم.
صفحه 5:
مهس موم 2
25
oA bs aisles د yomxia و 0
0
3 212077 721
2 ۴
ک ور +« ود
7
ار
7
rele 2 > > 0
F(x)=
1 ,
7
صفحه 6:
7
a, هگ مگ
ay 8
2 2 des 2
به = —| (I-=x)—sin nx —) — cos nx
7 7 7 am
mk
wa ۰ 4
)0 1+ ۳( ]چپ -
مسب لا لا مر a
27 2
*- 00
0
|
صفحه 7:
fe}
ve 1
oX
ot 7
1
با( , >
0 , -- ۶
صفحه 8:
ججح 1 1
تابع فرد است
a=0
a,=0
توم مس[ 0 2 هون 2 i=
zh 2 7
لاقل تققد قر ue ووم Ds
Th, “راش ره
بو 1 ۳ 4 -
0 سسا دصار
تکلیف- سری فوریه تابع رابدست ام بد؟ F(x)
صفحه 9:
مثال- سرا:/وریه ()] را بدست آورید
حل())] تابع فرد است. ۲
دوره تناوب 1حام 2
ضابطه 1>*>1- f(2¥(X)
ao=an = 0
f(x)
هگ هش b,
1 و1
]ی 1 fxs جوم ]2 - و
nz
= Lye
F(x) = yee و
re
صفحه 10:
خب ۱7
می توان نشان داد که
پیو(/ باشد آنگاه */ )۴۲مقدار سری فوریه تایع به برابر
8 )۳ در
۳
xX FQ 3
۶ x FG, ) + FS)
fix) wa ow. م3
مثال - سری قوریه تب »و بدست وبع . ١ ]1
و با استفاده از آو واصل ew در ما a.
=—sinna Te | سیگ موه
راید وريد ne ne 21
حل - تايع زوج است. پس مه
دوره تناوب 25-21-27 yy, عوبرج فق عزنا
a 7 3
صفحه 11:
0 :که پیوستگی cowl gl طبق فرضیه دیریکله داریم
ی
cos =1 ور 2 د رم
بر 9-2
an
۱-5۶
و۳
مثال - تابع جع رو ۳)۷(<6-۲۷0 مفروض است. در سری
.فوریه اين glade Da را بدست آورید
-حارم()تناوبی است با تناوب Flex)
F(x), F7(x2L=4
L=2
صفحه 12:
خب ۱7
سر فوریه کسیپنوسیمتناظر با (6].
تعرژ:!/, شده باشد. اگر اين (0 با-) بطور زوج گسترش داده
فرض (0,L)ojL 59 F(x) تابع را در فاصله fix)
و براعتابع حاصلشده سرعف,
گفته می شود
۱
۳ - | ede n=0,1,2,
™ DS L ۱
6,=0
صفحه 13:
سری فوریه سینوسی متناطر با( :حال ار این تابع را در فاصله (0 ,1-)بطور فرد كستوش داده و براى تابع حاصل شده سرق
فوريه بنويسيم + به أبن سرى فوربه سينوسى كفته مى شود.
(x)=) 3 2, Sin LE ep
=
na 24
بوک رم 2 7
5
a,=0 0
مثال -سری قوریه سینوسی متناظر با ابدست آورید.
صفحه 14:
fee),
5 3
| موه Om xd}
۱ 1
8 7
ba=— 5 sin
nT 2
پس از انجام محاسبات انتگرال داریم:
sin Fx. <x <1
14
= a WE
و(
,و 21 2) sin Zee
11 z
1
2.
3
= و(
صفحه 15:
مشتق گیری و انتگرال گیری از سری فوریه
هرگهاع() ۱ دوره موب 2 در فاصله(, )دای سوی فوریه بهفر زیر اد
nt 7 ی 1
X)= =a + > (2,cos—x+ b, sin —x)
وه که رز + (م۶
میتوان تشان داد:
و) اگر (1- /-(1) باشد وهم چنیز(4] در این فاصله پپوسته تکه ای باند . آنگاه سری FUN sd را میتوان با مشتق گیری
لضم ررحم را(
جمله به جمله از سری فوریه[:2) یدست آورد و سری حاصل در هر تقطه <به سمت 2 همگرا است.
)3 "005 لدع تعره fe =L
2
۳02
ط) میتوان از رایط(ت2) انتگرال گیری کرد و سری قوربه را برای در فاصله [-L,L) دست آورد.
Loy ax nt © 1
x —b, cos — ولاه ) 2-١و بعرم = (X)de
K هه رطق اپ 2 ff aut
15
صفحه 16:
> > 1,0
مثال- سرى فوريه تابع تناوبى
| )سورد
0 > جرا
ene ح #رابا محاسبه اتتكرال (36) در
2 oa oF آنگاه از قضیه انتگرال گیری استفاده نموده و سپس مقدار (b)
57-08 al فاصله
حل-()5 قرد است بس 0- ,4 - ,4 مى باشند.
دوره تناوب (:)]برابر ج7 - ,ل جح +2 - ,/2 - ]است .بس
fix) f(x) = Xb, Sinnsas
1
16
صفحه 17:
2
(جمومه -1) ك2
2202035 صنو 2 د بره
)(- 20 +(-12)""] sin nx
—Afsinx +4sin3x+4sinsx+...J
2 3
ola
SF Grex موص ae cost gr cos ...جک
Fe 0
1
تکلیف -سری فوریه ۴۳ ۴ 7 "و عد(::)] را یدست آورید.
(0) با انتگرال گیری از سری حاصل ۰ سری فوریه *< را محاسبه کنید.
17
صفحه 18:
تساوی پارسوال
فریض ey تاوی (ع5 که در فاصله .1+ و .1-تعریف شده است دارای سری قوریه به صهرت زیر stl
nz nz 1(
X) ==, oo in-—
F(x) 26+ (a,c08 “FE x + bSin x)
آنگاه قضیه پارسوال بیان می کند:
و هب عم هدرن فرع 1
02 هه[
262-[2) زا يدست eat
اس هو وب ی زا
مثال-سری قوریه Texel
حل تايح زوج است يس
18
صفحه 19:
7
0 Ae
we
sie
lta - با ستفاده از تیجه مثال باا و قتضیه پارسوال حاصل
ae
ل :5 - 7 و يدست آوريد
Sai + b2) + وه 3 - هد هی 2 if
pr as
2 - 2 EP +> Mc 1+0
a2 ve
رح اه انز 19
و 950
1۳
صفحه 20:
تکلیف -اگر بسط سری فوریه کسینوس,عصفهح(:) 7 > عه > ۵ به صورت زیر باشد.
مه[ ی رز ۶-2-2
آنگاه مقدار مری .., +
37
انتگرال فوریه: تابع 0 > + > y= fH). در نظر می گیریم. فرض می کنیم|1) ] مطاقاً انتگرال پذیر باشد پعنی
م > ««ح عله ((:) ) ] هد که در آن 8 عددی است :ٍت. در این صورت() وا می توان به صورت جز سرى فوریه
ا تناوب 2-41 نشان داد وقتی که 0ه جه بر
filx
یک قاع نوی
(x)
ik هه Le cos" x42, sin x)
sf = nn . mt
F(x) = lima + 9 (a, eos" x +0,sin 7 9)
Low
و رجنين حدى ذر حقيقت بيان انتكرال قوريه ناميده مى شود كه به صورت زير نوشته مى شود
صفحه 21:
به
چنین حدی در حقبقت بیان انتگرال فوربه ناميده مى شود که به صورت زیر نوشته می نود
IS! فوریه
F(X)- [La@yeosar + b(w)sin ajdt
که در آن ضرالب اننگرال فوریه()ه و( به صورت زیر می بامند.
f F(x) coseacdy
مه هورگ
أكر )5 زوج باشد 0س(هه)ة و اگر قرد باشد ۵-(0»)ه است.
مثال-تایع 0جدو 25-ع-(ج-)1-(ج0 مفروض است. با استفاده از انتكرال فوربه ان تیع . حاصل انتگرال 5 بدسست آورید.
T= [peso
با توجه به زوج بودن ۳0(»)او
21
صفحه 22:
0:۵0 0هجمه حمر شد ممه
Kes ®
محر - (ه هر
)2( ۳
میدانیم يا مقايسه (3) با (2) داريم:
بس انتكوال فوريه تایع چنین است.
pe do
در 2-> که تقطه پیوستگی تبع یت است طبی قضیه ذیریکله داویم:
م سس مر 4002
7
۳ 4
22
صفحه 23:
23
تبديل فوريه : نيع ()ربريازه >> © - تعریف مى شود. تبديل فور(به صورت زیر
تعریف می شود
tox 1
FQ) = FO) = Jeg ito 22
تبدیل قرب معکوس (07بهصورت زیر است:
fi كن Fon =e frome do
تبدیل فوریه کسینوسی:
مه )هام
2
تبديل فوريه سينوسى:
F@= Els ()sin wed
ao
S FUAG)}= RO)
FURG)I= Fw)
Fah + i= ak, + BR, 55
صفحه 24:
) تبديل قوريه مشتق يك تابع: 9
24
E we (x) =@n Fon)
Fea rs
FU (x-@}=e Fw)
Fe™ f(x) J=Flw-a)
قم متو = (aw)? Fs) ,1
»)خاصیت انتقال
© مقداری است ثایت
کاتولوسن: F(X) h(x) > yx)
300000 لهالا عق yx) = [rene
m0) F(x) * صم
۸۵( - رضانم
ماج )2 هر
صفحه 25:
معرفی چند نع ورگ : af (x)
1الس مریعی
fo > 2
0 , otherwise
fa 13 را به صورت زیر نان هیدهند f(x)
25
صفحه 26:
2تابع هله
26
صفحه 27:
7
قاس تفت باه
Ft)
A
اپ
fy =n)
صفحه 28:
متال تبديل قووبه ll مریعی ( را بدست آرید.
?1 3
Pde = [sede < (م)
پر lng tae
asst?
A miwti2 dwt! | 1 4
+ = ل = Fo)
ت L. Tae )#4 0
صورت ومخرج کسرحاصل را در 2 ودر ۴ ضرب مى كنيم. داريم:
وس - 700
2 7
۳۱
يسم [(۷) ۴
aa
w
۳-۳۹
5 2
28
صفحه 29:
اعداد مختلط: مجموعه تعدتد مختلط را با زوج هاى مرتب به صورت Z= (XLV) نشان میدهند.
که «قسیت خیقی 2 ماع
y=Relz] Fag omni
اعداد مختلط را می توان به فرم های مختلف ببان نمود
فرم راستگوشه( دکرتی یا کارتزین)اعداد مختلط: ۱
Z-x+iy
X قسمت حقیقی2
۷-1 قسیت مودومی ۶
۷:7 - +
مزدوج 2
زج 2 -مزدوج 2
29
صفحه 30:
خب ۱7
نهایش 2در صفحه 2 ۷
تا
x * | ده
سما هدر
صفحه 31:
اثمايش 2 در صفحه 2:
توان یک عدد مختلط:
31
فرم قطبى اعداد مختلط
20 =rZ0 =r(cos f +isind)
wT
x=reos @
yar sing
ام بو
=1,(cos 0, +isin 8.) 260 2
(2)" =e" y" =H'n"™ =r" (cos nd, +isinnd,)
صفحه 32:
valent: lan x
[7,(cos 8, + isin 0(| = 17," (cosn@, +isinnA@)
ريشة « ام یک عدد مختلطا:
z|(cos@, +ésin n6,)
oe
a z
باهدء فى عوافيع. 3/2 زا يمنت امزيخ.
۳ > ججح 2/ة فرض
=|P\(cose +ising)
|z\(cos@+isin 0) =|W|" (cosmo + isin me)
با مساوى قرار دادن طرفين (قسمت هاى >3 با 3 وجول با جل ) داريم
رل کر اوه 1
m
۳ رق »مم وإ is اسف k=0,2,....m—1
تن faces دعو #وه
32
صفحه 33:
ley «Lala sll ay sala = Ja معا + *-بدست آرید.
4-052 =-b=e" =I
iat)
x, = 20 | k= 01,23
X =2e 4 =V20 +H
فجت - “مدو
x,=V2(-1-/
™ _ aH
ce
x; =2e
33
صفحه 34:
توابع مختاط:
خاصله ین دو نقطه 2 ود پر است با [2- 2]
R
م2 - 2 دوه ای است به شعاع و مرکز 70
قرص باز: نامساوی > | رج - 2 | نقاط درو فىدايره را نشان ميدهد. اين ناحيه را قرص دایره ای بازمی نامتد.
قرص دايره اى ببسته : نامساوى خ > | ,2 - 2 نقاط درون و تقاط درونى و نقاط روى دايره را نشان ميدهد أين ناحيه را ناحبه
پسته هی نامند.
طوق باز: نامساوی ری > | ,2 - 2 > و ناحبه بین دو داد متحد المرکز به شعاع های ,5, و2 را نشان میدهد که به ان
طوق باز می گویند
34
صفحه 35:
تعریف تابع
2 در هیک عدد مختلط مانند 1۷ تسپت دهد. 187 را مقدار (5)2 در عمی نامند وهی نویسند (
(عنمی نامند.
و مجموعه ازاز اعداد مختلط مى باشد.تابع (5)2 که پر 5تعریف شده است. با عده ای است که به هر
۰ (ع۳ رید مقادیرتابع
را بک نگاشت از صفعه مبه صفعه ۷ ناميم. )ما می باشد ک [( سل( عادو
lay FReF)]
35
صفحه 36:
مثال سنقطه 2-141 در صفحه 2 تحت ضابطه 22-(1]2-:۱ به جه نقطه ای در صفحه ۷ نگافته می شود
۷
+X لاح
حدود پیبوستگی : حدود پیوسنگی در توایع مختلط مانندحد و پیوستگی درتوابع حتبقی می باشد.
36
صفحه 37:
متال -هرگاه iny + = ج -(7)2 اد اک( زور بدست رد
Rass aren Kawa Js ی کرد( نوی ی زور
توابع زب ,(ز ,)۷ درو 2 پیوسته باشند. Uv
aos ابد ناسنا
(ey) zap 3
2-0
37
صفحه 38:
فاقد حد است زیا
پس (2] روفتی 0 2۳ دارای حد نیست.
38
صفحه 39:
مثال — cub slate وا طوری بدست آورید تا تابع مختلط
z+lmz
F(z)=}27+Rez
a@,z=0
220
در 2-0 ييوسته باشد.
lel ye ge درس ييوسته امت اك
z= 7
tim )2(- f(z)
وجود
او
+( ونر _ 2طا +2 خطلتة سن لهال سر
+( - )2 سم لمك روج يوج
39
صفحه 40:
+ + 0
37-2 0
(x) > (0,0)
lim
سیم
حال نجوه میل کردن متعیر به صفر را به صورت زیر در نظرمی گبریم.
1-اول فرض لاد و بعد ۵ میل می کند
lim lim + 0+ 1( 1۶
۳
0ب ۲ 0ب ز
2 حال اول ۳-0زوسپس0 چستد ميل مى كند.
x+y(1+i) 1 فق fiat
3 3-2
x>0y>0
بس چون دو جواب مختلف دارم تیع به + هچ مقدار 7 دارای حد نمی باشد.
40
صفحه 41:
f %)=lim Fa+A2)- fa)
مشتق تابع مختلط: تابع (0-1]2درج2 مششتق يذير أمست أكر حد i
Az>0
وجود داشته باشد. اين حد را مشتق تابع (2)/ در 20 مى نامند.
41
صفحه 42:
تعاریف: ْ
1- تابع تحليلى ١ تبع (2/تعرار 0مس تحليلى كويند اكردرتيام یک ماگ از سب
il ale, و- لاقام
gli? تام : أكرتع |1 دتمم قاط صفحه مخغلط مشتق بذير باش آنا تع تلم مى كو
aT 5
مق یه ,21-2) [
Z, SIZ gig -3 ۵05 ,تاه جانطبلی اند
this -4 نکین: ارتبع NY م 5S GAS
فى تامند.
مثال - درموره تحليلى بودن ونقاط تكينى تابع 7 )جد كيه
Zz
1 0
حل كما ردرهر تقطه بجزدر 2-0 وجود دارد بنابراين [2)"/ر هر تقطه بجز در 2-0 تحلیلی ات
صفحه 43:
معادلات کوشی - ریمان
قنیه 1- (تنیه اول کوی- ریمان) : دگه
zaztiy abi 52 weflz)-u(xy)tiv(zy) مشتق بافد آنگاه:
roy uv
ae
fa ee
or
+. Lau 2
fan)
io oy
مشتو 2)/ با هم و قسمت های موهومی دو مشتی با هم برأبر قرار ميدهيم: gs قسمت های حقیقی
ou ou
معادلات کوفی - ریمان {*
داك سنا
ay ox
43
صفحه 44:
44
قفبه (- (قفبه درم کوشي - ریمان):
ع طنط plea 2 كيريد pr gu 28 )50 30( ار ی اس اه ,وشات
جزی آناوسنه باشند آنگدیر)جود داشنه ویر است پا
JQ
مثال - ليس 0-22 لصف تخل Sco
حل - + (ز-م((+- از
صفحه 45:
سح <<
ty بر نا و 0-ب«است. براى تحليلى بودن بايد ره معادلات گوشی ریمان صدق کند و بلاوه ,او مشتفات ج
a
أن پیوسته باشد.
Bu, 04 u,=2x
ox Cae 21 ۶ 0 ۰0ر قط
du 9 ره
ey | إلى
قطيرةءو > ندبرج 227 وا
vr=0
پس تنها نقطه ای که در روابط کوشی ریمان صدق می کند 2-0 است . در این نقعه مشتفات نسبی پیوسته اند. پس تابع در این
.نقطه و فقط در آين نقطه داراى مشتق است . بس (42 فقط در صفحه ۶ تحلیلی است,
45
صفحه 46:
خب ۱7
توابع همسا ز : تابع حفبتى1/تابعى همسازم نامند هركاه در معادله لابلاس زير صدق كند
27
ait
ox
coin jlmed D yo DU 1ST any galetz dad yaw-flzutiy . اگرددر
رای با صادنی اسست. oly زرا چون (عتعیلی است پس معادلات كوشى
زم الال
a (a)
ema’ (1) 3) 51 5 و از (2) نیت به تزمشتق بگیریم و طرفین را باهم جمع کنیم داريم
هم چنین می توان ثابت کرد
46
صفحه 47:
el: مزدوج همساز
أكر دو تابع مقروض مانند. 14,زا در حوزه 10 همساز باشند مشتقات جزئی مرتبه اول آنها در ۳ در معادلات کوشی-ریمان صدق
ديس 0
باشند .ناه میگويم ایک مزدوج همساز ۵ است.
ees ی
2 2
J Le 7 اکرژوع) ۷ ,ند( Sena 2 mine | 2) (5 98) db aly poled alge al آورید.
حل - چور(:)۶اتحلیلی است و ۰۷" در معادلات کوشی -ریمان صدق می کند.
(1) مسد (رو)مج ندم ةم مد
2) ay (2)
معادله (2) طرف اول به نو طرف دوم به *وابسته است يس معادله برابر تعدادى اسست ثابث.
427
صفحه 48:
48
u(y)=K 3u()=ky+4
v, =k > fx) =-ke +B
w= F(z): y+ 4) + thet B) = + fy) + AFB = ike +e
F(2)=-ike +6 يس
مثال - فرض كنيد cos2ay مات = PED) caste st, MOY) مزدوج همساز اين تابع باشد و
ديشت اي 13:3 +( 2۱۳ ملویست مانب("
حل 5 و
و f =u, +iv, =u,
cos2xy—2ye" sin 2xy مرج د ريز
cos2xy—2ye"” sin 2ay 7 ورهت ره
f'=F'0,) 0,0.) 0,0.)
=-2ie )0,8( ,0,4 = (0,1) يلا
f'0,i) =0-i(-2ie) = 2
صفحه 49:
متا رای پلید ای توص راد رد ۶( مسر
jis ae path aah 2*40 22 گرا ید
gly Jo اینکه 6*12" هینناز باه بایددرمعادله لاس صبق iS
۳
خانم +2ay? +12x) +(Qax? +12by? +2cr) =0
جون روابط فوق مى خواهد همواره به ازاء هر بر پررر اد دریم:
x7 :1242a=0=a=-b
9-1 05 - 20+126: *ز
هه 1 - (12+26): «
49
صفحه 50:
حال بید مزدوج همساز(ج)ایعنی (0 ,062 رأ بدست آورد
50
wax! —6x°y? 42x) رودم كبرب
me =4x° -12xy? + 6x? _6y? = uy
vay) = Jordy =4x5y—4xy5 + 6x?y—2y' + SO)
v(x, y) = 4x? y— dey? + 6x7 y—2y te
\(@ =(x* -6x? y? +2x° + y* Oxy") + i(4x' y— 4p" + 6x? y-2y? +0)
fi@=7' +22 +i
مثال - ار قو نایز رس اس زشجسا اتزی ال یک تابع تحلیلی باشد که
=e" (xsiny — yeosy) (ز ,)با می باشد .آنگاه ( ,۵2 را بدست آورید
حل — چون (]ناعتحلیی است و ,نا در معادلات کوشی ریمان صدق مى كند
ux = wy =-€*(xsiny—ycosy)+sinye™ +e" (—wsiny+ycosy+siny)
با انتكرال كيرى از رابطه قوق نسبت به ب داريم.
(woos y + ysin y) +(x) 2ه - زب يدانا
صفحه 51:
w= f(z) 0
نگکاشت ها :_تابع؟به نقطه از دامنه خود( در صفحه ع) ۰ نقط صفحه 7< را مريوط می سازد.رابعله
ای که بدین صورت تعریف می دود را نگاشت دامته ] به توی صفحه ۷ می نامند.
1 /
تعازیف: مس یر سمل ۳۱9۲۹
باشد آنگه(۳2 در تابعى همديس امت . يعنى هر زاويه اراس را بدون آنکه اندزه و جهت آن رأ تقبير دهد به صفحه 7
۳
A ¥ ۷
hy we
ok ie
x fey 0 2
نقطه ابت : -فرن (ع4- باشد, نفاطی که از حل معادله ع-(ع40 بدست aul ye را قاط ثابت می نامند
51
صفحه 52:
توابع <
1 تایع +عمسه: فرش 64طرهر15-جه-» در تمام صفحه د ها بيوسته و مشتق بذير اسث. حال أكر
6
۵ < ,"| -0 با داريم
5+ ماما - و + رم
2- بنابراین تبدیل ۷ به توتیب عبارت است از
3- دوران به اندازه عوریه
fol slate blast oll 4
ال به افدازة 8
6- مثال -مريع واحد در صفحه عرا يا ضابطه (2)3-3(ة+1)- توى صفحه #«يتكاريد.
ay
(As.
1
ioe
ment)
w=az+b-(V2 e: V2re
dre” +1-
52
صفحه 53:
7 بيس هر ضلع مرب دون به 15/4 و انیساطی (قط ضلع)به ادازه 2 درد و شکل حاصل تحت بردر تا
منتقل می شود. ۳
a +
اه محل
0 204
x ۲ تك
\ 4
™
رواش Bg ؛ مسئله رام توان در مختصات دكارتى حل تيوه
W=(14i)(xtiy) Hi
=Gryt DHi(xty-L)
f =u-l
u=x-yt1>
x+y=v+l
تن
53
صفحه 54:
uax+l =0
بای LE یم { ۶ که حال با دادن مقادپر مختلف روی خظ «ع ره بدست می آید:
vax
اد > و 04
اس x ul
1- | 1 0
0 )2 ۳
|= a
0
dong
برای سایر اضلاع بدست می أوريم.
54
صفحه 55:
خب ۱7
مثال - تابع2+ع(1)طووض است. شکل زیر با ضابطه بالادر صفحه 1 نگاشته می شود.
ده دس
55
صفحه 56:
CD 421 0 نوبز یار و 02 -واجوو- ۷
پس هرع به انداز! /7 دوران در جهت مثلناتی و انبساطی به إندازه 11+41 و انتقالى قائم به اندازد 2 رو به بالا انجام مى
شود .
56
صفحه 57:
اشت 2:21 <۱۳ . دایرد 121-1 را به كدام منحنى مى تكارد 5
۷ - و2 عز-( أي( #لاوج) د ط+ جع 6+۳۵ be
¥
B vt
A
of | \
é x ۳ Dx
ba
3 c
همان طور که دیده می شود دابهبه شعاع واحد Soa baal شعاع 2 تبديل شده ويس از دوران به اندازه 35/2 . يك
واحد به باكين انتقال مى يابد . يعنى مركز آن 4 و شعاع آن 2 است
57
صفحه 58:
2 - تابع ۱۷-22
تابع 2 - #آدر pli تقاط صفحه 2 تحلیلی است . در هر نقطه په جز در 0 -:2 که مشتق آن صفر است ۰ همديس مى
تصویر هر نقطه 20 به مختصات ( 2:6) از صفحه 2 ۰ متناظر با نقطه مخالف صفر به مخحصات (26, هه ) از
صفحه 1۷7 است .
Zare® دم
Ble ye ped og بانشند که eZ a1 9Z = 0 تقاط تابت این تیدیل
58
صفحه 59:
cd
by نك
2
ابن تبديل تكن يك يديك ازرع اول 2 0 ۴ و ۱۳0 در صفحه Z وی نم صفحا بالايي صفحه , 1
۴ > 0 >0 و0>م مي باشد .نيم صفحه بالثى صفح 7 به وی تمام صفحه 17 نگاشت می ود .
59
صفحه 60:
wands gy ay], 10 2 ناحبه محصور شده در شکل زیر با ضابط - SLi
9-60
x =120
0st 3/22
60
صفحه 61:
5 5
مثال - تصوير ناحيهي >> (ع ) متك 0 توسط تابع 122 -؟ را بدست أوريد .
ber? 2
اشت *ع2 و(2) و راد بابرمیکندپس ناحبه تحت نگاشت *2 به ریع ول تصوير ی كند .
61
صفحه 62:
35
حال ضرب 4 در 22 باعث دوران شكل به انداء
(14) كع است. يس ناحيه به ربع دوم تصوير مى شود.
62
صفحه 63:
۳ 3
3 -تابع ۷-۶ :
اين تابع در تمام نقاط صفحه 2 ها به جز در 0 22 ( میدً يبوسته است. . يس در 2-0 مشتق يذير فيست.. حال در
صفحه 22 دایرد 121-1 وا در نظر فى كيريم
داریم :
w
2
يس تقاط غیر صفر داخل دایوه 1 = Lda ayle gle bb g eeu! Iw] = Legls gb LWIZI نقاط غير صفر
eines لذا نیم دایره بلایی 1 -1 7 [ را به نيم دايره باتينى در صفخه 77 تبديل مى کند.
ay
ep -
63
صفحه 64:
tots oy
weasel! = le
1 ay
“sf اطي 8
- i
ید 2
رم 2
مى دانيم معادله كلى يك دايره يا خط است عبارت است
a(x?+y?)+bx+cy+d=0
حال اگر به جای 5 و "ز ردابط (1) و (2) را در (3) فرار دهیم » دارم :
d(u?+u? )+bu+cu+a=0
64
صفحه 65:
65
1
أكر 0 2ه و0 432 در(ة) باشد , يعنى دای زمدآمختصات عبور نكند , تبديل 2
ی از دا متصات نی گنر تبديل هى كند (4).
أكر 0 3 ه و0 12 . هر دايره كه از مبدا می گذرد به يك خط راست كه از مبدا نمی گنرد : تبديل فى شود
ود را به دید
اگر 0 2 هو 0 42 باشد » هر خط راست که از مدا نمی گنرد به یک دابره كه از مبدا مى كذرد . تبديل مى
شود
أكر 0 غ7 و0 432 باشد : يعنى خط رامست که از دا می گنرد به خط راست گذرنه آرمبدا تبدیل می شود
صفحه 66:
مثاد - تمویر خط ۷-۷+۶ را توسط نگاشت ۷ بیابید
1
حل : 8ه 2+نا- نوكه ب مقايسه بامعادله (3) داريم :
1 i
با قزر دادن این تصاویر در معادله 4 : نگاشت خط <+ 5 با قاعده 2 ۷8 پدست می آید:
= وود
عر ةيا
(u+1)?4+(v-1y
opt pon wade,» (uet)sY — 1 )glgW > 2 لاد yerep hey
66
صفحه 67:
مشال - تدیل plan tLe tela wet بهکدم هکل تدیلمی کند و
جل :
Iz-11=1 4 Wed)tiyl=1 0 > (xa)Pty?=2
xr +y?—2x=0
ور 0عهر د قار axl
حال تصاوير را در رابطه 4 قرار مى دهيم :
-2u+1=0 > oust
2
2
حال این تصویر در aes ays pbb به اند sabe
يس تصوير يك خط موازی محور حقیفی در صفحه (ع ]1 است.
67
صفحه 68:
متال - نگ ناحيه نشان داده ده درل زراعت نگاشت ssl cma
حل ۶ حدود تاحیه هافور زده را سس يي غيم معادله خط هر
ab=1,c=1
X+y-1=0
مرز اول
تبديل خط لد نم سیر یشان
<(6:01(*۰۱۷۵ مرز دوم
68
صفحه 69:
نگاشت دوخطی یاخطی کسری یاتبدیل موبیوس
az+b
~ez+d
: توان به صورت زير نيز فوشت gly Sel Sine 9 ho نگاشت های J oS CS oe ate می
عو كفت يصوت
كه 0 غدءط- هه باشد را تبديل خطى كسرى يا تبديل دو خطى يا تبديل موبيوس
be-ad
قضیه : سه نفطه مجزا و مفروض 22,21, 23 از صفحه عرا همواره می توان با یک و تنها یک تبدبل خطی کسری
w= fz) ه ترتیب بر روی سه تقطه مجزای شخص 1 103,۱۳2 از صفحه 1۲ تكانالت .
این تبدیل از معادله زیر بدمت می آيد
W-W, 9 W2_W3 _ 2-24 29-25
W-W3 " WoW, 2-23) 29-24
نقطه می نود ری مت yl Jul در تفاضلى كه nad ys atl Cel g BEY گر یکی
69
صفحه 70:
Lie - تبديل خطى كسرى كه نقاط 2 -حيت . - وت را به ترقيب به روى 60 و0
24
و« می نگارد را بدست آورید .
w-w,
حل : باحذف كسرشامل :۷ایعنی
ان تبدیل مطلوب وابدست اوردپی
و و۷
2+2
2-2
5 ۳ 5 1 3
تک یف - تبديل ناحبه محصوريين دو دايره 21-1-علوا عاتوسط تیع جرا پدستآورید.
70
صفحه 71:
تبديل خط كسرى خاص
نگلنات نیم صفحه بر روی فرص : مى خواهيم تيديل خطى كتمرى ييابيم كه نيم صفحه فوقاتى صفحه ها را بد نقاط دايره
واسد به طور یک به یک تبدیل کند یعنی صفحه 0 2۳ و روی 4 ۱۰۳1 نگاشت نعود
07
weflz) ۳
cee
5
24 ۷-۶
1
لام
71
صفحه 72:
02+
catd
71-0 > we
Wor flbl=eldl = sel ب
5
72
صفحه 73:
تگاقت لگاریتمی :
73
Weed 2-8” asap سملو ناد 2ه
>> , (26 +1)0+عمادعما
که در آن 1 یک عدد صحیح نسبی است . ملاحظه می شود رابطه فو برای هر عدد مختلط . بی نهایت مفدار بای 2
تولید می کند لذا به خودى خود بيانكر يك تابع نمى بإشد . لذا اكر بخواهيم به معادك 92 - به عنوان یک نگاشت
نكاد كنيم بايد رابطه فوق را به بك ع[ خاص كه معمول 1-0 فرض می شود مدنظر قرار دهیم .بدین ترتیب می توان نگاشت
لگارینمی را تعریف کرده به مقدار بدست آمده با فرض زاويه 35> © >75- مقدار اصلى تابع مى كوييم .
welnz =Inr+i0 -1> 0 >
مقدار اصلی مب بو را با َو نیز نشان می دهند.
صفحه 74:
همان طور كه ملاحظه مى شود براى اينكه درط - ٠0 به عنوان يك تابع بحساب آيد به © نبايد اجازة دوران بدهيم يعنى
> 26د
معا اينكه شرايط كودشى ريمان در هر جا به جز ميدا
ا
1
du/dr = > =
3 ov
+ dusae =-= 31
صفحه 75:
* تابع نمايى *» بازاء تمام مقادير 2 تحليلى است .
u { حب وعدم ع مهمعدي
ex
exsiny (2)
با ور دادن نه, ۷ در معادلات كويفى ريمان ملاحظه مى مود كه غرايط كوهى - ريمان برقوار لست
عساها ليك جيم تایعی cool gol با دورد تناوب 27۳8 وبا
eztedt — gz g20t py 1 =
یعنی با تبدیل توپه 27۳+ و در معادلات (2) و (2) در عبارات .ها تغييرى ايجاد تب يخود .
لذا اين نكاشت خطوط ثابت ه -> را برروی دوایر و
ع - 0) مى تكارد .
6 و خطوط ثابت > 72 را برروى شعاع هاى
ناحبه مستطیلی 9 > < که و ) تک ۳ تک بر روی ناحیه
25
صفحه 76:
> >
۲
,
LHe
> > و
صفحه 77:
انتکر اد گیری از توابع مختلط
تعریف خم -اگر توابع حقیقی (:د و(0) در AS LD abo توابعی پیوسته از متغیر 1 باشند آنگاه معادله
پاامتری (1) را یک نم پبوسته (۵ ) می امند .
در شکد - 1 a
ZM=x(t) +iv@
97
b 5 (el (ed
1 | كه ۱ 3 2 ۱
پر | - 5
متحتى غير ساده ویسته متحقى يسته و ساده
فرض خم ( © )با معادله (1) بیان شود و تابع (۶)2 به صورت. (بزرخ ) هلل + ( بورج )ل - (1]2 روى (©) تعريف شود مى
توان تشان داد که :
JS f@)dz= ftiv)(dx +idy) = Judx—vdy +i fudx +udy
c ۳ 5 ۰
صفحه 78:
مثال 2 - ارتابع ۳-22 (2) در طول 08 (8) در طول 0۸8 انتگرال بگیرید .
) 8 - حل
] 22 dz = [(udx —vdy) +i [(vdx +udy)
Z=xt+iy > Zew-y tin
Pew —y + xy
78
صفحه 79:
مسيرء يعنى ياره خط 08 دارای معادله y= است . حال اگر عتدانتخاب مود : 7-4 است که 0861 می
باشد
بره تتح جعة وه)] 1+[ 2۵(۵۲) ۵( 66-۳]] <42 12
3
با فرار دادن 2-4 وعز داریم:
Diy a
raged 2/3
79
1 1
2 2 [ زج 21[ <42 22]
0
۶
3
صفحه 80:
مثال - ازتابع ۳21/2 درطول سیر دابه ای که در جهت مثلثاتى انتكرال بكبريد :
حل :5
0 > ٩ 7 ول - 10 8
(28 =e! ,
dz
7
۰
27 jel? dp
I < 2
ei?
. مال - ازتايع الات در طول سیرداودیک در جهت مات التكال يكبريد
عق مر وه
0- 930ت-م Z 1 1 -if |
Ic o & 8
7
80
صفحه 81:
متال - مقدل انتكزال زير ,ا حساب كنيد . ©« عدد صحیح وم2 مقداری
(- 2)" dz
key
که در آن 6 دایره ای است یبد قعام ۶ و مرک ها +
= ۵ > وهم و و حر »+ Z-Z-te®
dz =ire’ do » مع < ۳( م2 - 2)
$.% — zq)dz = fo" r™ e'9 ire da = ir™* [Pet m408 وق
مقدار اتتكرال براير 2751 خواهد بعد .اما کر تور پاش . ales any m= SI
20( ی ی
ee dO rica {o-°
81
صفحه 82:
خب ۱7
قفیه انتگرال کوشی :
بیان قفیه : اگر (12-* روی منحنی و داخل آن تحلیلی باشد درآن
صورت :
1 =0
که اننگرال بر منحنی بسته (ع) در جهت مثلثاتی است .
82
صفحه 83:
2+41
مثال - انتكرل 42 bP Fog حاب كنيد . جدايرة فى است به معادله إهسدء |
حل - (82 در ناحيه داده شده تحليلى امنت . لذا مقدار انتكرل برابر صغر ست .اين تابع در دو نقطه 2-0 ,سر
gable god ul اين نقاط درون دايرد » واقع نيستند زبراء داير اى است به شعاع 2 و مركز (1و2):
|Z) -2i |=|@1) +i(y2)|=2
4- رم +(
83
صفحه 84:
قفیه - فرمول انتگر الی کوفی :
اگر (؟ در درون در ری مرز> حوزه ماه 10 تحلییبوده وم 2بک تقطه در داخل SST sabe
(2) 211 - عل .اك {
0
هم چنین میتوان نشان داد كه :
gl Aare
که 6 مسیر ceed gl ing ashe ك4 م هر هرؤن أن قرار ذارد .
84
صفحه 85:
هشال - حاصل اثنگرل زیر رابدست آورید ۰( مرز دايره 2 - |2 | در جهت مثلثاتى است )
I= J cam ©
حل ۶
2-1 2 قطب مرتبه چهارم تابع در داخل دابره وائع اییت...., اگر ۶ 6 < (1]2 باشد
e483 =@ ۶۲
Ff" (eet
85
صفحه 86:
ی
مثال - اربع حب جح > (2)/ برروى دايد یک نتكرل بكبريد.
7(2-2) ©
pe dz = 2ni f (2)
Zu
[Pte تس keep at
صفحه 87:
7
2
مثال - $e dz راروی» که یک داد 2-2 | است محامبهکند +
3
حل :
8 2 ۶ < (ع) , 2-0 يس "2,64 <عه ل
تکنه : اگر(2) ] درفقاط .مث , .... , 21 , 20 _كه در داخل منحنى ع قرار دارد تحليلى نباشد آنگاه
4 |[ +... +42 )1 [ + عذ(ه)[ | - م4(ت)/ ل
3 G 3
که درآن 76۱60" "م6 دوايرى هستند به مرکز 2.20 .... .م2 كه ابن دواير يكديكر را قطع نمی کنند.
87
صفحه 88:
قفا سد پالسناده گوس هن دهد ما T وه
de
1
جد 22+11
يل - 100 ot > (8)2 تبديل مى كنيم و يك مسبر انتگرال گیری به شرح زير تعريف مى كتيم :
wy
iD.
وانتكول 02 يبيد ] رابدست مآوريم
a gf ot) =
tenner 9 aay دک =
94
88
صفحه 89:
dz R dz a ire® ag ١
ار طف دیگر رف ۱۳۹ و توملل يرم
ee {
fs
| 1+
89
صفحه 90:
Saar رايست سن اميم
“dz انتگرال
1422
تس eve
2 - ون 22 و
zt 2
سم را
حال انتگرال را نوی دو سمیر 0۸ و ۸6-0 تجزیه مس کنیم -
90
صفحه 91:
pele" و
zt mene?
0
FE e AR el? 6
ibe 9 (09م توب
iso
1+x? lAx?
= coswxdx sin
ne” | سس | dx
۴ coswx
dx = me”
د Ita? Sew
91
صفحه 92:
حة_ مه
مگال - انگرال توب ول را محاسیه کتید
حل
dx
ابتدا انتكزال با روی مسیر زیر محاسبه می کم
in نتم
خرچ 0 1+ 74
=ein/s = ein) 0 i
z=e یو ,4ا۳قآن ویو , تلم جح ورور 4
Seni ee eee
از چهار ريشه باتوجه به مسير انتكرال هقط دو ريهه 4/#اج و 015۳/۶ در ناحيه انتكزال كيرى قرار دارند و مور
قبول مى باشتد . يس
92
صفحه 93:
27] ۱ oe ey ee |
+ es
(وو-م(وه-ع)(وعع) ‘zac t (2-201 )(@-22)(2-22) lee
==
=
R ۲
1 dz = | dx » iRe® do _ 0
وي 40و 4 +1 4+1 1 + 4و
-R ACB
93
صفحه 94:
Ss"
۲ 5300002 ۳ oF ea مثال شا
i
f@ .
$n 02 = 21 0 js
f (z)=e7sinz , m=0 , f'(2)=-e%sinz+ etcosz
1 )0(-1
1-27 0(-27[
94
صفحه 95:
فشال - کلب مت حب و را محاسبه كنيد .ع دايره اى است كه به مركز مبدا است
حل + می دانیم
وم 2 دن 4207
0002-2 nl
جح مهم ود ها , عه بت $=
68,
ی
و رورم ۴ 2 - (ه) که 4 - ریم
1 نايس ها وس ليوو 06 dz Be f
سيت رورس ل عقر
95
صفحه 96:
سری هاى مختلط
تعریف دنبله -اگر به هر عدد صحیح مثبت Za ala gous en نسبت داده شود أثكاة كوبيم اعداد
224 . .... .22 .21 7 یک دنباله را تشکیل می دهد . دنباله Zap همگرا است اگر
كروي
اكر دنباله همكرا نباشد واگ است.
تعريف سرى -اكر دتباله جرت , ...ء ,22 ,22 وجود باشد دابغته مجموع زير را سرى مى نافد
لد ل ولع وت ور
1
براى بررسى شرط همكرابى دو روش وجود دارد
1 - روش كوشى ( بررسى شرط همكرانى )
اگر سری عددی os را در نظر بگیریم جنانجه حد زیر وجود داشته باشد
96
صفحه 97:
خب ۱7
آم۲/۱2 :1 < م
مب ور
1
م- 8 را شعاع همگرایی می نامند..
آنگاه برای 1 >> 4 سری همگرایی مطلق و برای 1 << + واگراست .
97
صفحه 98:
روش دالامبر
2
tim [4] <1
nel Zq
سری توانی حول 270
Co + Ci (2-20) + €2 (2-20)? +... = Yeo Cn (xno)
سری توانی حول مبد!
cp ypiicamny فق مواق + 22و چرون جم6
بسط تیلور
هركاه تابع (4)2 در نفطه 20 تحليلى باشد اين تابع را می توان برحسب توان های صحیح نامنفی از عبارت (( 2-20 ) که به
بسط تیور تایع موسوم است به فرم زیر بسط داد
98
صفحه 99:
Cn (2-209" مسا
که در آن :
rele. سس موس
يهم هد مها -
ال Sa= nt art
dz
logle Gh. أست يه مركز Zo در درفن دابره © است.
سر سك كوت 2
سرى توانى (1) را سرى تيلور حول 0:
ذر زبربسط مك لورن جند تابع ارائه نقده اسك
مه ا د
٠ >اءا . جنيك *- )6 -
مه < bel حت “
99
:2 مى تامتد . سرى تيلو حول مبدا وا سوی مک لورن می تاد
صفحه 100:
د (2m)! مم
مثال - شاع همكرابى سرى 2 2 ريع 2020 را بدست اوريد
de
] جوم ۲ 0
3 1+2 2+)
go tims 0 یه هیفاک
R=1/4
مثال - سرى تیلور تابع 22
fa) = حول نقطه 2-0 را بدست آورید
حل
cos 2z) +1( م۸ - ع 2 ووو
1-5 - 2 قوع
عقوت ع
Gay — م2 6 + ۵ - 2 2 ووو
100
صفحه 101:
sinz ۲
مثال - سه جمله اول سرى لوران تابع چم "-(2) ر هر 20 را نویسید.
حل
3
- 2 +2 و - و و5
a 3
22 1
3 2 702
صفرها . قطب ها و مرتبه آنها - نقاط تکین
مقر یک تایع تحلیلی : ريشه های معادله 0-(120 را صف تابع تحلی ذامند.
۲
)20( FO SN gress wes باشدرا مرتبه صفر (1)2 مى نامفد.
101
صفحه 102:
مثال - بر صفرتيع 22 - (2) در 20 را یبد .
حل :
40 م2 أي , 0< مم|2عه) ۶ 0< مس[ مهد 1
يس 2-0 صفر مرتبه دوم است . بناباین اگر:
f(20)=f'(20)= =F ©*2(20)=0 ff (20) 40
- دئمات صفر تابع را ازمرتبه 1 مى ath
102
صفحه 103:
مثال - بسط تبلور ابع sin z 2)=22( حول 2-0 باب است th
f@=2 (2-284) Bit
بنابرین مرتبع ply 220 Sem ab be 3است
نقطه تکین :
نفطه 20 یک نقطه تکین تابع(1[2 نامیده مي شود هرگاه(1[2 در این نقطه تحللي atl
تکین منفرد
نقطه 20 -2 را تكن منفرد تابع (2)] گویند . اک همسایگ از 20 موجود باشد که (2 در آن همسایگی
شامل نقطه تكين دیگری ناد
103
صفحه 104:
2+1
مكال - قاط تكين
2 دسر
و( گر دای سه تکینمنفرد است که عبارتد اتید 20 و
قطب ها
F(Z) wb Si در تقطه ای ماتند 20 2 دارای تکین منفرد باهد آنگاه اين تابع دارای سری لوران است که در
وابطه زیر معرفی هده است :
۱ 1)
Zo)"
عبارت دوم (1) را بخش اصلی (2)] در 20 < 2 مى تامند.
آگر پخش اصلی بسط دوران (2)؟ در م2 - 2 دارای تعداد متتاهی جمله باشد یعنی (1) به صورت زیر بیان شود :
۳ سم si 2 %
fl) “Esto (2-4) + AS + Ct يع
آنگاه 2-20 را قطب و عد را مرتبه قطب (توان آخرین جمله ) می نامیم m1 Sh بانهد قطب را قطب ساده مى
“teh
صفحه 105:
تکین منفرد اساسی
هرگاه قسمت اصلی بسط دوران تابع 162 در 2-20 دارای تعداد نامتناهی جمله باشد آنگاه 220 را تکین
gg gill #اتنتد.
هشال - تابع زبریک تکین منفرد اساسی در 2-0 دارد:
سره
یساس سس 144- 8 -
m=0 Dion 2122
تکین برداشتی
نقطه 27-2 را یک نقطه تکین برداهتی نتى نامند هركاه (1]2را در توان طوری تعریف کرد که نابع یر تحلیی درج 2به
تابعى تحليلى در م2 تبديل شود :
105
صفحه 106:
aut fore? Wee ,كاقف
حل
1
بش بو وعيت بخ جد وت وجوت و و
پس 2-0 یک نقطه تکین اساسی است .
sing
3 ور نايع گ (م كر به نوع نقطه ای است 2-0 us — SUS
حل
ست يس -2 در 0-ع تحليلى a alg يس نقطه صفر يكت
0-ع یک نقطه تکین است ولی چون 1
نقطه تکین بردااهتی است .
مانده در بسط نودان
اک تح یک نقطه تکین منفردتابع ۶)2( باشد انگاه ضریب سس در بسط لوران تایع (ع)۶
ماتده بسط تامیده می بشود . مانده در 20 را با نماد (ع40ععظ با (0ع) ععلظ می تامند .
2-7 a
صفحه 107:
۶ ول < (ع) en ( 2-20)" + at (2-20) + a2 (2-20)? tect am (Z-Z0)-™
حال آگر طرفین را در (7-20) ضرب وسپس از طرفین ( 12-1 ) بار مشتق می گیریم وحد
طرفین را وقتی 20 *- 7 میل کند بدست می آوریم . داریم :
1 ۲2-20۳ چگ روم وططا ی - ()] دم د به
2-26
براى قطب مرتبه مد ام اكر 2-20 يك قطب ساده (2)؟ باشد داریم :
86512 حيد
2-26
a1.= Res f(z) = lim (2-20) f(@)
zn
107
صفحه 108:
+1
را بدست آورید. F(Z) Fag مثال - ماندهوتع
: حل
g+4=0—- [ ia قطن اقا
22-2
8 8 PH
wae Pt ‘Tim (3-2) (@- 2i)( 242i) ۲
2+1
zea
108
صفحه 109:
محاسبه برخی انتگرال های حقیقی به کبک روش نانده ها
Quad مانده ها : هرگاه (1)2 بر مرز ساده و بسنه 6 تحلیلی و در درون آن به جزدر . 2# , .., 21,22 تحليلى
باشد آنگاه
ب0,1 عاو (702 65 ,ول 27 2(02)] 8
Sit asad ۶-2 . (2)م , (2)2 2-20 تحليلىو 20 (8)20
باشد آنگاه:
)9@0—
Res f(z) ۰ (1)
Z> 20
109
صفحه 110:
مثال - مانده تابع
حل
- (2 گر درتقطه 3 ارا ينمت أهريد.
ee De +1)
تابع به صورت 2 == f@ است و (2)م و (4)2 در 2-41 تحليواندو a@
0- و 0 ۶ (004 مى باشد . طبق رابطه (1) در بالا
1 + عه - 32 - واو
- ی - (] معط
اه
2-1
محاسبه برخى از انتكرال ها
1 - محاسبه انتگرال به فرم
8 ( وصنعط , قومعع) ثيل دا
110
صفحه 111:
ged) جع - مومه
۲ و ee
sin@ == (z— 7) =3-(27-1)
و این مقادیر وا در اتتگرال مورد نظر قرار می دهیم و اتتگرال 42 )2( ( را حل می کنیم ۰ 6 دايره ای است به
ممع 221 .
. عه _ مد
SLY deere ~ SETS
حل
ع بده , Z=e” ,cosx=%(z+zZ)
az
iz a = BF 0
lel=a 242( 2241) “lel=tiz ۰ Pears
2dz 5 pe
Singer ~ 27 bp Pe apa]
2+az+1=0
243.4503 0 5-37
111
صفحه 112:
با توجه به ناحیه انتگرال گیری فقط :2 قابل قبول است پس
dx 1 27 =
بجي - مسطووبیووبی) ۳ - ۳۱۰۱0 - وی بو /
SE f@) sine dx ,f" f()cosxdx اتتگرال به فم ۳(0) گيل ء
فض اكراتكرال بد هيم ...تفه نم 5 (ع) ز رل بهد انب صورت تایح نمایی
دك 61# (36) 1[ یل می نويسيم وسعی می کیم افگوال ۰ 4122 6 (22 8 راحل می کنيم
ان را غالبا یک نیم دایره در نیم صفحه بالای محور یا پابین محور 25 در نظر می گیریورز
مک
112
صفحه 113:
00 cosax
مثال - هقدارانتكرل FX بي ,2م وا
ab 045 T= است راحل كنيد
حل
cosax مه:
تابع وبر اتتكرل زوج است پس 60ج پوم 18 است
| = 86۶ نج2] مع-۱
در این :2 یک قطب ساده تابع واقع در بالای محور حقیقی است
113
صفحه 114:
در ان لاه یک قطب سادهتبع وفع در بای محور حفینی است .
114
صفحه 115:
co _coswa :
مشاد 2 ال Gagne OF چا را ساس كتيد.
حل
ابا تك (2) / yee ah کت( ات را روى متحتي ح محاسسيه م كنيم
رت
5
de)
LL.
/ :
eM gm [ Res
Cieet (ley
و 1-0 + قرو
115
صفحه 116:
قطب از مرتبه دوم ۱
1۳۱-2
=li a (2-tP eZ _ tw (2+t)- 26
Res fle) slime: ل توي توي >
رت ]ار wtt ]_ (Rete pr etwRel? 9,10
ani [ew SF] = ول t+ So Gaara
a
1 ax = 2 [ew
هم + .ا
116
صفحه 117:
2
Seu casiaresenransn) oy!
مثال - هندار اتكوال 46 بي وى بيرت -
می آوریم.
24+a=0 +2=2i, BGs eS)
لغ قق) م دمر مودي م 2s1s0
حل : 3
ee
Res f(z) ری 2 ۱
k=Q,1,2,.. ,
عقي اه -ع ی تی-
Vent = ~ 2 ا
oe
117
صفحه 118:
7
۲ ی 3 sae se
Res fl2) = capone سواه - ها = —G
= 2
Res fle) = (2-21) Cay perapesan be=20 = ay
Res [27 (-2+5] =" =|
معادلات با مشتقات جرئى
معادلاتى كه شامل تابع مجهول و مشتقات آن باشد را معادلات ديف رنسيل مى میم .
ار ابع مجهول به دو ب جند متغير مسمتفل ingly بايد معادله را معادله ديفتسيل با مشتفات جزثى مى ثاميم .
118
صفحه 119:
فرم کلی این معادلات بصورت زیر می باشد:
Buyy + CUyy + Du, + Buy + Fu=G + یرم
در مسائل مهندسی بررسی معادلات زیر از اهمیت خاصی برخوزدار است .
معادله موج
معادله گرا
معادله لایاس
لایاسین یکیعدی
لایلاسین د ویمدی
119
۱۷292 یف hy
صفحه 120:
مسئله انتقال كرما
معادله انتقال حرارت بك بعدى همكن با شرايط اوليه غير صفر و مقادير كرانه ای صفر پسورت زیر نوشتهمی شود .
ام کر یف PDE: p=
C: u(x 0)= x) 0S x <L
Bc: [ u(0,t)=0
u (Lt) =0
Ulsy)
120
صفحه 121:
روش هاى حل :
1 -جداسازی متغیرها
2 -«الامير
3- تبديل لابلاس
جداسازى متغيرها
۰۲۵ 0۵ - علا
Ube et =X.
5
X'+2X=0 = | X(u)=Asin Ax +B cosix = عر دعا دم
1 + رت ۲ 0 T(t) = Cy eH E
121
صفحه 122:
خب ۱7
u(0,1)=0= x0)
X(Q)=0> B=0= X(x)= Asin Ax
u(L,t)=0> X(L)=0
a مقنادين وينذه
Asin L=0=sia 1 Jn
my,
Tenens T"
مک مروت :)بل
جو اب عمومی a دا u(x,t)=
122
صفحه 123:
و یا 4s) begs gt sila فنصت في أبفع
12:00
جر دک هه باب
هس كك -2from بط
حل معادله موچ به روش دالایر
قرض بخو اهیم معادله يه روش
a) 0
u(0.2)
0 + #20 1 و )2(
وار - (0بويد
foes «See a4)
18s, 3 oS
xt tox
Vt t7
zov
Nut
123
صفحه 124:
124
(6)
)7(
)8(
حال »نا و عونا را يدست مى
می دهیم :
(10)
dl)
mele, dev Fly برع رنه ماع[ ع( ولا aed) = hey “Fhe tae)
يه همين ترتيب هيوق را يدست مى آوريم . داریم
(12)
Ung = thy — 2th +H
حال (11) و (12) را در (1) قرار مى دهيم.
uy =0 )13(
w= YO) +u(2) (4)
جو اب عمومی هس هه یضیب
صفحه 125:
حل چتد مسئله - جواب معادله:
Cu
yu جیی و - 24 Bt
)1( : de
۳ ux. Y= f().GQ) = FG
وق وا
id 7
FG F
- ج و بو
F =
125
صفحه 126:
خب ۱7
۶ جع همق sh Fax tert
6
1 عورد رمم
مسئله انتقال
یز و 0م
