فراکتال ها

فراکتال ها

اسلاید 1: فراکتال هاگرد آورندگان:شهره هدایتی سپهریزهرا ذوالفقاریانالهه اکبریمهشاد بیگلریان

اسلاید 2: مقدمهتعریف آشوبفصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد. شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی میدانست اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.

اسلاید 3: فراکتالها اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردندما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد.

اسلاید 4: فراکتال چیست؟فراکتال شکل هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از کل شکل است. حالا به تصویرها نگاه کنید!self similarity تشابه به خود در کتاب ریاضی خوانده ایم و می‌دانیم که تشابه ، یکسانی اشکال در عین متفاوت بودن اندازه هاست. به زبان ساده تر اگر بتوانیم با بزرگ یا کوچک کردن دو شکل آنها را درست مثل هم کنیم ، آن دو متشابه اند اما شکل های خود متشابه کدام‌ها هستند؟ به این شکل دقت کنید! شکل کلی آن یک ذوزنقه است و خودش از ذوزنقه های کوچکتر کنار هم پدید آمده است. این یک مثال از تشابه به خود است.

اسلاید 5: حالا به این مثلث خاص نگاه کنید. این مثلث بزرگ که نامش مثلث سیرپینسکی است از مثلثهای مشابه کوچکتر درست شده است که همین طور کوچکتر و کوچکتر هم می‌شوند. ببینید چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟

اسلاید 6: fractional dimension ابعاد کسری همانطور که می‌دانید ، یک نقطه بعد ندارد یک خط ، شکلی یک بعدی است. یک صفحه ، دو بعد دارد ودر آخر شکلهای حجیم ، سه بعد دارند اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید ؟                                      حالا دو خط داریم که درست مثل هم هستند. اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور ؟ حالا چهار مربع هم اندازه داریم.با نصف کردن هر سه بعد یک مکعب به هشت مکعب کوچکتر می‌رسیم .                                            

اسلاید 7: چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد ، همان توان است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصله باید 2 را به توان بعد آن شکل برسانیم. هر شکل خود متشابهd n= 2dIterative formation تشکیل از راه تکرار مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط) را برداریم و با آن یک شکل پیچیده تر بسازیم. بعد با آن شکل به دست آمده شکل پیچیده تری بسازیم ، و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی بر ایجاد آنها نوشته شده است. هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند مثلاً مثلث سیرپنیکی که قبلاً دیدید یا : دانه برف کخ

اسلاید 8: الگوهای رویش برخالی ایده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال 1872کارل وایرشتراس مثالی از تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولی در هر جا مشتق پذیر نبود.گراف ‌این تابع اکنون برخال نامیده می شود. در سال ۱۹۷۵ مندلبرو جهت مشخص کردن شئی که بعد ((هاوسدورف بیسکویچ)) آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال را‌ایجاد کرد. او‌این تعریف ریاضی را از طریق شبیه سازی خاص کامپیوتری تشریح کرد   برخالی از مجموعه مندلبرو

اسلاید 9: هلگه فون کخ تعریف هندسی‌تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به برفدانه کخ معروف است. شکل زیر سه مرحله از ایجاد منحنی برفدانه کخ را نشان میدهد. روند کار بایک قطعه آغاز میشود که دو نقطه را به هم وصل می کند. در اولین تکرا روال ، قطعه اولیه با یک منحنی که مولد منحنی برفدانه کخ نامیده می شود جایگزین می گردد در مرحله دوم هر قطعه از مولد با یک نسخه کوچکتر خودش جایگزین می گردد. با بی نهایت تکرار این روند فراکتال کامل به دست می آید.                                 .2

اسلاید 10: فراکتال ها تصویری از یک زندگی واقعی دارند . کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آن شکل تخیلی بدهند . یک معادله ی فراکتال می توان ساخت که شکل ابرها را بسازد . در فیلم ها ی متعددی از فراکتال ها برای چشم انداز پشت صحنه استفاده می کنند. فراکتالها همه جا هستند. شکل لانه زنبور یا همان کندو. شکل یک برگ که رگ برگها و آوندها در آن معلوم است . بافت پوست انسان.و یک چیز چندش آور برای خیلی خانوما : طرح بافت گوشت سیرابی

اسلاید 11: همان طور که می بینید ، در بسیاری از حالات ، 200 تکرار لازم است تا تنها یک نقطه تعیین شود . در اغلب کامپیوترها ، معمولاً تعداد نقاط برای یک فراکتال 303,200 تاست . به همین دلیل است که برای محاسبه ی عملیات زیاد و دقت انجام آن ها به کامپیوتر نیاز داریم.

اسلاید 12: درنيمه نخست قرن بيستم، اشياي رياضي با ويژگي خودساني بسيار بالا معمولا چيزهايي عجيب يا هيولاهاي رياضي تلقي مي‌شدند كه كاربردهاي چنداني نداشتند. بنويت مندلبرات يكي از اولين رياضيداناني بود كه چنين چيزهاي عجيبي را به رسميت شناخت و شاخه رياضي جديدي را پي ريزي كرد. مندلبرات كلمه‌ي فراكتال را براي اشيايي كه در همه مقياس‌ها خودسان بودند، اختراع كرد. او دركتاب برجسته‌اش كه در سال 1982 منتشر كرد، فراكتال را اين‌گونه تعريف كرد: فراكتال يك شكل هندسي ناهموار يا تكه تكه است كه مي‌تواند به قسمت‌هايي تقسيم شود به طوري كه هر كدام (حداقل به طور تقريبي) نسخه كوچك‌تري از كل شكل باشد. يكي از معروف‌ترين فراكتال‌هايي كه نام مندلبرات را نيز به همراه دارد، مجموعه‌ي مندلبرات است. اكتشافات مندلبرات كمك كرد تا توجه رياضيدانان، دانشمندان، مهندسان، دانشمندان كامپيوتر و ساير تخصص‌ها بر سوالات اساسي مرتبط با هندسه فراكتالي و سيستم‌هاي آشوبناك متمركز گردد. در نتيجه آن، كشفيات زيادي صورت گرفته‌اند و كاربرد‌هاي بسياري توسعه يافته‌اند كه نگرش ما را درباره رياضيات، تغيير داده‌اند.

اسلاید 13: برخالها یا خود متشابه اند (self similarity) یا خود الحاق (self affinity) هستند. در مورد خود متشابه‌ای شکل جز شباهت محسوسی به شکل کل دارد این جز، در همه جهات به نسبت ثابتی رشد می کند و کل را به وجود می آورد. اما در خود الحاقی شکل جز در همه جهات به نسبت ثابتی رشد نمی کند. مثلاً در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی متفاوت از بعد برخالی عرضی است لذا شکل حوضه آبریز کشیده ‌تر از زیر حوضه‌های درون حوضه است. به خود متشابه‌ای همسانگرد isotropy به خود الحاقی نا همسانگرد anisotropyمی گویند .

اسلاید 14: یکی از کاربردهای فراکتال در مکانیک سیالات و شیمی است. تعدادی از این کاربرد ها به صورت زیر است : کروماتوگرافى(جدا کردن عناصر رنگى از هم) سیال های دوفازی یا تک فازی ، تبادل یونی ، جذب از سطح ، تقطیر ، هوادهی به مایعات ، جدا سازی ناخالصی ها از گاز ها ، استخراج ، ته نشین سازی و تصفیه ، مخلوط کردن و  عملیات راکتور ها .به طور کلی می توان گفت فراکتال های مهندسی شده کنترل دقیقی بر روند مقیاس بندی و توزیع سیال ایجاد می کنند طوریکه کیفیت کار با سیالات بالا می رود. مقیاس بندی ذرات سیال و پخش آن از ملزومات کار با سیالات(مخلوطی از ذرات و حلال) است که در روند انجام عمل مخلوط سازی و اصلاح هندسی سیال به کار می رود. فراکتال ها به لحاظ ساختاری دارای مقیاس بندی عمیقی هستند و همین خاصیت آنها را مخاطب مسائل مشخصی می نماید ، مثلا در یکنواخت سازی سیال و روند افزایش مقیاس به طریقی که هدایت شده و منطقی  باشد. در موارد مشخصی می توان یک فراکتال مهندسی شده و کارآمد را جایگزین آشفتگی روش های قبلی کرد.

اسلاید 15: فراکتال توزیع که در موارد گوناگون  توزیع و جمع آوری سیال بطور یکنواخت کاربرد دارد، اندازه این وسیله از چند سانتیمتر تا بالای 6 متر تغییر میکند و در فرآیند های چند فازی شامل گازها ، آب و حلال های ارگانیک ، اسید های غلیظ و سایر محیط های خورنده فلزات کاربرد دارد.

اسلاید 16: این وسیله بر پایه تکنولوژی چند فراکتالی ساخته شده و به طور کلی برای مقیاس بندی و توزیع دو سیال یا بیشتر به طور همزمان کاربرد دارد. این وسیله با انژری کم کار می کند و گرداب های غیر یکنواخت را حذف میکند و همچنین دارای واکنش آنی به تغییرات فرآیندی است.(اینرسی فرآیندی پایین)

اسلاید 17: تصویر بالا هم  برای توزیع و جمع آوری مایعات در حجم به کار میرود تصاویر پایین متعلق به نمونه های اصلی است از فراکتال ها برای چگالی های متفاوت و در اندازه ای متفاوت است.تصویر آخری هم نمونه ای از فراکتال های حجمی با بعد نا صحیح ( 2.32) است .بعد یک فراکتال بر ویژگی فضا پر کنی آن تاثیر دارد.