صفحه 1:
فراکتال ها
:گرد آورندگان
شهره هدایتی
سپهری
Oly Ballas lhe}
الهه اکبری
مهشاد بیگلریان
صفحه 2:
ww
هقف مه
تعریف آشوب
فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است . تاکید بر
اين نكته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه
ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است . اما خروجی این سیستم ها
ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.
شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را
مفهومی احتمالاتی میدانست اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را
.اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد
بر اساس این تعریف . آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می
شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود
ندارد. اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط
.شود
صفحه 3:
فراكتالها
اكرجه آشوب نظريه اى است كه بر موضوعات كوناكون اجتماعى و سياسى
و اقتصادی نظر دارد. اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و
این عرصه ای بود که هندسه آشوب يا فراکتالها خلق کردند
ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم تصاویری که
بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز مى كنيم .
نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر
بازخورد در آن نقش اساسی دارد
صفحه 4:
tena
فاق كل نسي ند ررس لست لم تون أن اه که ای شم رد رتهب یز شل اس اب وراد
etsy mana
Seb a Ste an کی اش ری ی رسد laa A AE
seal مهم
کل لآ ک واه اس و وش ge a i ti
صفحه 5:
حالا به این مثلث خاص
.نكاه كنيد
اين مثلث بزرى كه نامش مثلث سیرپینسکی است از مثلثهای مشابه کوچکت
درست شده است که
همین طور کوچکتر و کوچکتر هم می‌شوند.
ببینید چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارن
۲ ع
صفحه 6:
بعاد کسری fractional dimension
همانطور که می‌دانید ,یک نقطه بعد ندارد
یک خط , شکلی یک بعدی است.
یک صفحه . دو بعد دارد
ودر آحر شکلهای حجنم ۰ سه بعد 3ازنت: | 1 |
اگر یک پاره خط را نصف کنیم چه پیش می‌آید ؟
حالا دو خط داریم که درست مثل هم
,هستند
اگر هر دو بعد یک مربع را نصف کنیم چطور ؟ حالا Lo ۳
.چهار مربع هم اندازه داریم
1
8 ۲
با نصف كردن هر سه بعد يك مكعب به
هشت مکعب کوچکتر می‌رسیم
صفحه 7:
چه الگویی وجود دارد ؟ به نظر می‌رسد که بعد . همان " توان " است. یعنی
.برای بيدا کردن تعداد اشکال حاصله باید ۲ را به توان بعد آن شکل برسانیم
هر شکل خود متشابه n= ?d d
تشکیلاز رله تسکرار ۲0۲۳۱۵۱0۳ ۱۳6۲۵۱۷6
مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک
فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط) را برداریم و
با آن یک شکل پیچیده تر بسازیم. بعد با آن شکل به دست آمده شکل
پیچیده تری بسازیم . و همین طور به این کار ادامه دهیم اشکال فراکتالی
به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی بر ایجاد
آنها نوشته شده است. هر کدام از آنها هم اسم و رسمی برای خود دارند
: مثلاً مثلث سیرپنیکی که قبلاً دیدید یا
PY, دانه برف کخ
ی
صفحه 8:
الگوهای رویش برخالی
ايده خود متشابه در اصل توسط لایبنیتس بسط داده شد. او حتی
بسیاری از جزئیات را حل کرد. در سال ۱۸۷۲کارل وایرشتراس مثالی از
تابعی را پیدا کرد با ویژگیهای غیر بصری که در همه جا پیوسته بود ولى
.در هر جا مشتق پذیر نبود گراف این تابع اکنون برخال نامیده می شود
در سال ۱۹۷۵ مندلبرو جهت مشخص کردن شثی که بعد ((هاوسدورف
بیسکویج)) آن بزرگ‌تر از بعد توپولوژیک است کلمه برخال راایجاد کرد.
اواين تعريف رياضى را از طریق شبیه سازی خاص کامپیوتری تشریح
کرد
برخالی از مجموعه مندلبرو
صفحه 9:
هلگه فون کخ تعریف هندسی تری از تابع متشابه ارائه داد که حالا به
.برفدانه کخ معروف است
يد ف
2 ك0
2 5
yg
Qe
شکل زیر سه مرحله از ایجاد منحنی برفدانه كخ را نشان ميدهد. روند كار
بایک قطعه آغاز میشود که دو نقطه را به هم وصل می کند. در اولین تکرا
روال . قطعه اولیه با یک منحنی که مولد منحنی برفدانه کخ نامیده می
شود جایگزین می گردد در مرحله دوم هر قطعه از مولد با یک نسخه
کوچکتر خودش جایگزین می گردد. با بی نهایت تکرار این روند فراکتال
.كامل به دست می آید
صفحه 10:
فراکتال ها تصویری از یک زندگی واقعی دارند . کامپیوترها می توانند یک
شکل واقعی را بگیرند و با انجام تكرار زياد به آن شکل تخیلی بدهند . یک
معادله ی فراکتال می توان ساخت که شکل ابرها را بسازد . در فيلم ها ى
.متعددی از فراکتال ها برای چشم انداز پشت صحنه استفاده می کنند
فراکتالها همه جا هستند. شکل لانه زنبور یا همان کندو. شکل یک برگ که رگ
برگها و آوندها در آن معلوم است . بافت پوست انسان.و یک چیز چندش آور
برای خیلی خانوما : طرح بافت گوشت سیرایی
صفحه 11:
همان طور كه مى بينيد . در بسيارى از حالات . ۲۰۰ تکرار لازم است تا تنها
يك نقطه.تعيين شود . در اغلب كامييوترها . معمولاً تعداد نقاط برای یک
فراکتال ۳۰۳,۲۰۰ تاست . به همین دلیل است که برای محاسبه ی عملیات
.زياد و دقت انجام آن ها به کامپیوتر نیاز داریم
صفحه 12:
کاربردهای چندانی نداشتند. بنویت مندلبرات یکی از اولین ریاضیدانانی
بود که چنین چیزهای عجیبی را به رسمیت شناخت و شاخه رباضی
جدیدی را پی ریزی کرد. مندلبرات کلمه‌ی "فراکتال " را برای اشیایی که
در همه مقیاس‌ها خودسان بودند. اختراع کرد. او درکتاب برجسته‌اش که
:در سال ۱۹۸۲ کرد. فراکتال را این گونه تعریف کرد
فراکتال یک شکل هندسی ناهموار یا تکه تکه است که می‌تواند به
قسمت‌هایی تقسیم شود به طوری که هر کدام (حداقل به طور تقریبی)
.نسخه کوچک تری از کل شکل باشدِ
یکی از معروف‌ترین فراکتال‌هایی که نام مندلبرات را نیز به همراه دارد.
مجموعه‌ی مندلبرات است. اکتشافات مندلبرات کمک کرد تا توجه
ریاضیدانان. دانشمندان. مهندسان. دانشمندان کامپیوتر و سایر تخصص‌ها
بر سوالات اساسی مرتبط با هندسه فراکتالی و سیستم‌های آشوبناک
متمرکز گردد. در
.بسیاری توسعه یافته‌اند که نگرش ما را درباره ریاضیات. تغییر داده‌اند
آن. کشفیات زیادی صورت گرفته‌اند و کاربردهای
صفحه 13:
برخالهاییا خود متشلبه لند (ببا 2 Ge یا خود الحاق PRriy) یی
هستند. در مورد خود متشابه‌ای شکل جز شباهت محسوسی‌به شکل کل
دارد لین جز, در همه جهات‌به نسبت ابنتی رشد می کند و کل رلبه وجود
می آورد. اما در خود الحلقی شکل جز در همه جهات‌به نسبت ابتی رشد
نصی کند. مثلا در مورد رودخانه‌ها وحوضه‌های آبریز بعد برخالی طولی
متفاوت از بعد برخللی عرضی است لذا شکل حوضه آبریز کشیده تر از زیر
حوضه‌های درون حوضه است. به خود متشابه‌ای همسانگرد سود به
خود الحاقی نا همسانگرد بمسسطههمی گویند .
صفحه 14:
یکی از کاربردهای فراکتال در مکانیک سیالات و شیمی است
: تعدادى از اين كاربرد ها به صورت زیر است
كروماتوكرافى(جدا كردن عناصر رنكى از هم) سيال هاى دوفازى يا تى
فازی . تبادل یونی . جذب از سطح . تقطير . هوادهى به مايعات . جدا
سازی ناخالصی ها از گاز ها . استخراج . ته نشين سازى و تصفيه . مخلوط
٠ كردن و عمليات راكتور ها
به طور كلى مى توان كفت فراكتال هاى مهندسى شده كنترل دقيقى بر
روند مقياس بندى و توزيع سيال ايجاد مى كنند طوريكه كيفيت كار با
سيالات بالا مى رود. مقياس بندى ذرات سيال و بخش آن از ملزومات كار
با سيالات(مخلوطى از ذرات و حلال) است كه در روند انجام عمل مخلوط
سازى و اصلاح هندسى سيال به كار مى رود. فراكتال ها به لحاظ ساختارى
داراى مقياس بندى عميقى هستند و همين خاصيت آنها را مخاطب مسائل
مشخصی می نماید . مثلا در يكنواخت سازى سيال و روند افزايش مقياس
به طريقى كه هدايت شده و منطقى باشد. در موارد مشخصى مى توان يك
فراكتال مهندسى شده و كارآمد را جايكزين آشفتكى روش هاى قبلى
كرد
صفحه 15:
فراکتال توزیع که در موارد گوناگون توزیع و جمع آوری سیال بطور
یکنواخت کاربرد دارد. اندازه این وسیله از چند سانتیمتر تا بالای ۶
میکند و در فر آیند های چند فازی شامل گازها . آب و حلال
=
های ارگانیک . اسید های غلیظ و سایر محیط های خورنده فلزات
کاربرد دارد
صفحه 16:
لین وسیله بر پلیه تکنولوٍی چند فراکتالی ساخته شده و به طور کلی
برای مقیاس بندی و توزیع دو سیال یا بیشتربه طور همزمان کاربرد
دارد. لين وسیلمبا انژری کم کارمی کند و گرداب های غیر یکنواخت
را حذف میکند و همچنین دارای واکنش آنی به تغیبرات فرآیندی
04
است.(اینرسی فر آیندی
صفحه 17:
تصویر بالا هم برای توزیح و جمع آوری مایعات در حجم به کار میرود
تصاویر پایین متعلقبه نمونه های اصلی است از فراکتال ها برای چگللی
های متفاوت و در اندازه ای متفاوت اسست.تصویر آخری هسم نمونه ای از
فراکتال های حجمی با بعد نا صحیح ( ۲۰۳۲) است .بعد یک فراکتال بر
ویژگی فضا پر کنی آن تاثیر دارد.