قانون احتمال کل

صفحه 1:
قانون احتمال کل k P(B)=P(BNS)=P|Bn{] JA, P(B)= P[(BNA,)U (BN A,)U...U (BN A,)I P(B) = P(BNA,) +--+ P(BN Ax) P(B) = P(A,)P(BIA,) + + + P(A,)P(BIA;) P(B) = XE, P(A,)P(BIA,) 

صفحه 2:
مثال در جعبه اول ۱۰ بيج كوثاه و ‎5٠‏ بيج بلند وجود دارد. در جعبه دوم * پیج کوناه و ۲۰پیچ بلند وجود دارد.یک جعبه به تصادف انتخاب کرده و پیچی برمی داریم.احتمال اینکه پیج کوناه انتخاب کرده باشیم, چقدر است؟ 

صفحه 3:
حل گر پیشامد انتخاب جعبه اول ود ۸ پیشامد انتخاب جعیه * ‎B‏ دوم و پیشامد انتخاب پیج کوناه باشد 1 P(A.) =5 PCAs ۱-3 P(BIA:) - ‏رک‎ P(BIA, = 60 1 0 1 P(B) = P(A,)P(BIA,) + P(A2)PCBIAz) = 5X 755 +5 % 3g 

صفحه 4:
قانون بیز چقدر است؟ 8 سهم هریک پیشامدهای افراز در تولید * P(A) P(BIA,) PCAIB) = Se BCA PCBIAD 

صفحه 5:
مثال سه ماشین ,/۱و 12 و ۸45 با احتمالهای نقص تولید به ترنیب یک * درصید؛دو درصد و سه درصد درگارخانه ای کار می کنند.درصید کالاهای تولیدی این سه ماشین به ترئیب ۰)درص‌د,۲۰درصد و ۵۰درصداست.فرض کنیدکالای به تصادف از اين کارخانه انتخاب کرده و مشاهده شده که معیوب است.احتمال اینکه از ماشین اول تولید شده باشد, چقدر است؟ 

صفحه 6:
حل * ‏كالاى معيوب باشد 12 فرض کنید پیشامد‎ هدنهدناشن٠‎ P(M,)=0.2 P(D|M,)=0.01 P(M,)=0.3 P(D|M,) = 0.02 P(M,)=0.5 P(D|M,) = 0.03 

صفحه 7:
ادامه بنابراين * )م ‎P(M,)P(D|M,) + P(M,)P(D|M,) + P(M;)P(D|M;)‏ )0.01)(0.2( 7 )0.03)(05( + )0.02)(0.3( + )0.01)(02( ~ P(M,|D) = = 0.087 

صفحه 8:
مثال یکماشیروجود دارد.در بهترین‌ط تماشینادرصد از نولیداتآرمعیوب * استو ۶۰ دیدید از تولیداتدر ص ورتن قص‌ماشین‌معیوب‌هستند.۰٩‏ درم‌ید از اوقاتعاشیربه صورتایده ل(بار می‌کند.اگراز | تمونه اوکم به نصادفانتخابشده است؟ کل لامعیوبب اشد احتما (لینکه ماشین ‎by ple yo‏ کار خود باشد چقدر اس 

صفحه 9:
حل 3 ‏2تااز 6 تن‎ Pah (reefer) 7 ‏(2ثاز 6 تامعيوب باد أخوب)‎ ) ‏ید2 از 6) ۶ (ید) 2 + (خوب]2 از 6) ۸ (خوب‎ (0.9) (6) (0.01) (0.99) کر 0.4)2(0.6)4( )0.1)(8( + *)0.01)2¢0.99( )0.9)(8( 

صفحه 10:
متغیر تصادفی و توابع آماری 

صفحه 11:
مثال سکه سالمی را دو بار مستقل از هم پرتاب مى كنيم.فضاى نمونه بصورت * * زیر است ‎S={ HH,HT,TH,TT }‏ : متغیر تصادفی برابر تعداد شیرها در دو پرتاب باشد , داریم , 26 اگر ‎X(HH)=2‏ ‎X(HT,TH)=1‏ ‎X(TT)=0‏ 

صفحه 12:


صفحه 13:
متغیر تصادفی متغیر تصادفی ثابعی است که دامنه آن فضای نمونه و برد آن * زیره‌جموعه ای از اعداد حقیقی می باشد 5 در واقع با فضاون‌مونه مفروض * عدد 5 یک قاعده است که برای هریک از عناصر 26 متغیر تصادفی ‎٠‏ ‎٠‏ حقيقى تعيين مى کند 7 2:5 

صفحه 14:
:ثليه كاه متغير تصادفى برد متغير تصادفى شامل اعداد مى باشد.اكر اعداد را در مجموعه اى * قرار دهیم,نکیه ‎olf‏ صتغیر تصادفی به دست می آید.ئکیه گاه را با نمابيك . نشان می دهیم s, = {0,1,2} 

صفحه 15:
متغیر تصیادفی گسسته و پیوسته اگر مقادیر تکیه گاه شاصل اعداد گسسته باشد متغیر تصادفی را گسسته * و ار تکیه گاه به صورت یک فاصبله باشد یا اجتماع چند فاصبله باشد, متغیر تصادفی را پیوسته گویند 

صفحه 16:
مثال واحد و مرکز 5] را به تصادف در داخل دایره ای به شعاع۷انقطه ۰ از تمام نقاط داخل دایره 5 انتخاب می کنیم.فضای نمونه 0 گیل می گردد 

صفحه 17:
ندازه پاره خط برای هر ‎abi‏ فرضر کنید متغیر تصادفی ‎Cw) ly‏ دهیم ۱ 0 1۷۱ زا ۱ كيه 1 باشدءكه 0 0 5 هی ‎OIDs M‏ ابر است 0 "7 §, =|0R دس ْم 

صفحه 18:
? تابع احتمال برای متغیر تصادفی گسسته : اگر تئیه کاه متیر تصبادفی از اعداد گسسته تشکیل شده باشد در ایتصورت داریم ‎VXE S.‏ ا ‎VXE 5,‏ 1- - 1 ۲ 2 ۰ ‎HES, ‎* 5 4x=x%-0 ۷6 6 

صفحه 19:
بصورت خلاصه می نوان گفت ثابع احتمال نمی تواند منفی باشد و مجموع نمامی احتمالات * بيشامدها بايد برابريك ‎Mil‏ 

صفحه 20:
از نظر فیزیتی مى نوان نابع احتمال را بصورت یک میله فلزی به وزن یک کیلوگرم * تصور کرد بطوریکه وزن بر روی تقاط معینی نقسیم شده باشد 

صفحه 21:
دم احبر در | جر Ale 5 اما می دانیم که احتمال هر پیشامد بصورت زیر اسست * ‎S={ HH,HT,TH,TT }‏ 1 ‎P(HH)=P(X=2)=,‏ P(HT or TH)=P(HT) +P(TH)=P(X=1)= P(TT)=P(X=0)=" 

صفحه 22:
به طور خلامه x 0 ۹ 2 9" 3 1 1 8 27 2 2 2 0 تعداد شيرها در دو ء 26 جدول فوق بینگر ثابع احتمال متغير نصافى * «بار برئاب سكه مى باشد 

صفحه 23:
نمودار ثابع احتملل 98 $ A@@@o$_ $_ ‏لل‎ ‎as + 0.4 + 03 + 0.2 + 01 + 

صفحه 24:
مثال :تابع زير را درنظر مي كيريم ‎٠‏ ۶) ‏لو‎ - ۱ xX=1,2,3.... 0 Ow .را طوریبیابید تا تابم. فوقجك! لياحتما لكردد >! 

صفحه 25:
Piss x1 1 12 2 <0> 4 0 => k>O 2 2 parce SA) of flo 1)’ 1 5 11 لد ‎eel;‏ كدير > 3 2 3 3 +...) ‏هر د1-‎ =1> 2k=1 1 1- = 2 

صفحه 26:


صفحه 27:
‎gio} gli‏ (تجمعی) متغیر تصادفی ‎* ‏فرض كنيد يك متغير تصادفى باشد.تايع حقیقی‎ -X ‏لاط‎ - 23: >93 ‏کی نامیم 26 که درآن . یک عدد حقیقی استء تابع لوزيع * ‏سکس ‎x 

صفحه 28:
متغیر تصادفی گسسته در حالتی که متغیر تصادفی گسسته است مجموع احتمالات تمامی * جهش ها برابریک است.نمودار بین جهش ها افقی است ‎a‏ این معنی که احتمال در بین فواصل جهش ها برابر صفر است 

صفحه 29:
ple 3- 2+ د لد نار + 0 درا - مثال : مثال قبل را در نظر ميكيريم * ‎X=x : \ ۲ 0.۳۷‏ ‎P(X= 1 2‏ ‎a 4 2‏ : بطور مثال مقدار تابع ی برابراست با ۶ 3 3 لر- 2 2 Fy 

صفحه 30:


صفحه 31:
* بنابراين | oO ‏وه‎ ort a 

صفحه 32:
نمودار ابع توزیع X<O >> 420۰9 =e 80 Orluws 0 oO aes ane 0 

صفحه 33:
خواص ابع توزيع ‎ - 6 > ]2>0‏ 1> 0 > 0 005 ‎Flo) =1 F(- «) =0‏ ‎Ha’) =Ha) Vx=a‏ 

صفحه 34:
محاسیه احتمال از روی ثابع توزبع مى نوان احتمالات در بازه ها را توسط نابع توزیع تجمعی بدست * دو مقدار حقیقی باشند,بطوریکه ۵ و 8آورد.اگر ‎*a<=b‏ 

صفحه 35:
+ 3} © q b pXel) =p Xelay) = pa<xX<D=pX<D- pX<a > pa<X<D=FD- Fla) 

صفحه 36:
9 1۵ > 2 > - 2 > - ۲ > = pa<X<D=F,(D- Fla) 

صفحه 37:
}2 له 5 0 3 و > ۲ 1 - (> ۲ < > 1۲ > 19 ( ها -(طاع - 8ه 1 كوم + 

صفحه 38:
تس ۱ ه> ۲ - > 11۲ - > 1۲ > و1 ‎pa<X<D=F(b)- Fla)‏ > 

صفحه 39:
احتمال در نقطه ر 0 -( ۳0 ( > ۲ > ,۲0 < ( و < ۳0۲ 

صفحه 40:
ax js در حالت پیوسته احتمال در یک نقطه برابر صفر است مگر اینگه جهش * وجود داشته باشد که درایتصورت میزان احتمال برابر مقدار جهش است ] point mass exists at jump ] Pr=0 when flat ۶ 

صفحه 41:
مثال تصادفی »* كنيد متغير او جمعی آن را یبد مغرو يك احتدل ‎shoe‏ لوزیع تجمعی تقاط 1 ۲ در 

صفحه 42:
حل * ‏م‌دانیم‎ 2) - 0) = P(X = 1) =+ * ‏ينابراين‎ ‎x<0 ‎PQS x) = Fy(x) =4— O<x<1 2 ea F(x) 1 —> 05 

صفحه 43:
«ثابع زیر را در نظر بگیرید * ‎x x=0,1,25‏ 6] - 0 - نم تالا . 0 0 الف-تايع توزيع تجمعى را بيابيد * (2 > خآ > 0)م-. جقدراست؟ * 

صفحه 44:
متغیر تصادفی ثابن اگر نمام احتمال در 4 2 متمركز شود , یعنی داشته * باشيم 2-0-1 ‎esl 0» X‏ یک متغیر ثابت است ‎Ay {1 X<C‏ ‎X>C‏ 1 

صفحه 45:


صفحه 46:
متغیرهای تصادفی همتوزیع دو متغير تلاق و - را همتوزیع گید هگا برای هرعدد * 27 : حقیقی داشته باشیم 11۲ > 2 - ۲ > 2 - 2 ۷2 87 

صفحه 47:
در برئاب سكه سالم در دو بار فرض مى كنيم متغير تصادفى للا.0 داحم احير داحم احير مثال : متغير تصادفى - اد | دب AIN|- تعدادشیرها جر تعداد خطها باشد. در ایتصورت 4 X=x P(X=x ) Y=y P(Y=y) 

صفحه 48:
ابع چئالی احتمال برای متغیر تصادفی پیوسته ء متغیر تصادفی بيوستهاست * ‎XxX‏ ‏هرگاه احتمال را از فضای نمونه به محور طولها بيرد ودر یک يا اجتماع چند * «فاصله جاى دهد بنابراين * * ىفداصت ‏لكيه كاه متغير‎ ٠ 5, ‏یک مجموعه یک فامله و شمارش تابذير‎ KX اسن 

صفحه 49:
میزان فشردگی احتمال در هر نقطه روی محور طولها تشکیل یک نابع حقیقی با خواص زیر * ‎X‏ *میدهد که آنرا تابع چگالی می نامند AX) >0 Wx 2: [, fddxs [Ax -1 

صفحه 50:
محاسبه احتمال در بازه A= [a,b] * ‏بافد‎ 0 > Day *بصورت زیر است P(A) - ۴) ]0,۷[( < ۵ > ۲ > ۲( - fe (x) dx 

صفحه 51:
۵( < ظ > > وخر 

صفحه 52:
وجه * ‏أثر نقطه اى به تصادف برروى فاصله انتخاب كنيد‎ ٠ * ‏احتمال انتخاب نقطه معين برابر صفراست‎ ٠ PX=a= P@@xx<a)=| f@)dr=0 

صفحه 53:
رابطه بين نابع جكالى احتمال و نابع توزيج اگر متغیر تصادفی پیوسته باشد ,ثابع توزیع با استفاده از انتگرال گیری از ۶ ‎ga‏ چئالی در بازه بدست می آید F@) =P@ =x) - f(x)dx سم 

صفحه 54:
Ax =f. ۶) 0۱ ۶) ‏(ر‎ - ۳۷ ۵ 

صفحه 55:
مثال اتخاب می 18 و به شعاع 6۵ نقطه ای درون دایره ای به مرگز * «در نظر می ‎eyd‏ 2 کنیم.فاصله نقطه نا مرکز را متغیر تصادفی ۱ (| Gore ۱ CS) } * ‏«می خواهیم را بيابيم‎ P(X <x) 

صفحه 56:
حل :می خواهیم مساحت هاشور خورده را بدست آوریم * 1 ‏مساحت به شعاء‎ 2 P(X <x) = = P(X =) =~ 0 *) Replat ecole Osx) mR? * ‏بنابراين‎ 0 2 x<0 ‏)م‎ > :( - a O<x<R 8 

صفحه 57:
مثال تابع جكالى در مثال فوق را بدست آورید * * ‏()ب۳ه بر :حل‎ 2x ۲ )1( < ay ~ R2 ۰ ‏و‎ ‎ox . a 0 > > 8 Fy(x) = R2 0 07 

صفحه 58:
تمرين الف-در مثال فوق احتمال اينكه نقطه انتخابى به مركز نزديكتر باشد نا به * محیط چقدر است؟ «ب-احتكال زيررا محاسبه كنيد * ‎R/,)‏ تم و۳ 

صفحه 59:
مثال ۲فرض کنید متغیر تصادفی .۰ طول عمریک لامپ برحسب ساعت باشد. نشان * دهيد كه تابع زير مى تواند يك نايع جكالى باشد. تابع توزيع رابيدا كرده 5< 2و را محاسبه كنيد 74 1 ‎ioe x>0‏ - لرار 0 > 2 0 

صفحه 60:
70 <0 ۷ 1عرل 9 )7 2۴ a dx=- 6 =-(- 1) =1 ۱۳ ‏فا‎ 0 1] x Ax = Addt= ‏1و 0و‎ 

صفحه 61:
Aa) = 0 > 0 = ao 1- 0 <0 pX>50 =1- dX <50 =1- dX <50 1 =1- H50 =1- 1+e2 =0.607 

صفحه 62:
*نوزیع توام(تابع توام) اگر دو متغیر تصادفی و یا بیشتر داشته باشیم * چه اثفاقی خواهد افتاد؟ ۰ 

صفحه 63:
برای مثال فرض كنيد اندازه وزن و قد شخصی را اندازه گیری کنیم.هر عدد به * نهایی اطلاعانی درباره جفت داده ندارد.در این حالت نیازمند به تعریف .توزیع توام حستیم گاهی اوقات بر روی یک فضای نمونه بیش ازیک متغیر تصادفی تعریف * ءمی شود در اینجا حالت دو متغیره را مورد بررسی قرار می دهیم 

صفحه 64:
+ تعریف تابع (چئالی) احتمال توام دو متغیر تصادفی دو متغير تصادفی گسسته(پیوسته)باشند آنگاه ۷ و 26 اگر * تابع (چگالی) احتمال توام به صورت زیر نعریف می شود * ‎P(X =x,Y=y)>=0 Vx € Sy , WV ES,‏ ‎P(X=x,Y=y)=0 Vx € Sy, Vy € Sy‏ TUPC=*%,Y=y)=1 Vx € Sy ,Vy © Sy 

صفحه 65:
مثال نشان دهنده 26 فرض کنید سکه سالمی را ۳ بار پرتاب کرده اید اگر * نشان دهنده تعداد شیر ها در ۲ پرتاب ۷ تعداد شیرها در ۳ پرتاب و ]خر باشد می خواهیم ثابع احتمال نوام آنها را ‎als‏ 

صفحه 66:
حل: : اترسكه را سه بار برئاب كنيم نتيجه زير حاصل خواهد شد رس اس برتاب در بارسوم 7 لحك الي َك مشاهده می شود که مقادیردو متغیر زوج های * [(3,2) ,(2,2) ,(2,1) ,(1,1) ,(1,0) ,(0,0)) ع ‎(x,y)‏ را تشکیل داده است ‏ ۰ 

صفحه 67:
اين مقادیر را در جدول توام نمایش می دهیم 200 0 alt 2 3 Y=y 0 1 1 0 0 8 8 1 ۳ 0 8 8 ۵ Cole 

صفحه 68:
جثالى حاشيه اى (كنارى) اگر از ابع (چکالی) احتمال توام برروی حدود یک متغیر مجموع * يابى (انتكرال كيرى )كنيم جثالى حاشيه اى براى متغير دوم بدست مى آيد * ‎PX =x) =)’ PX =%Y=y)‏ = رمم ‎yesy ‎fe) = | fer, y)dy 

صفحه 69:
مثال در منال قبل چئالی های حاشیه ای را بیابید * ۰ ‏#حل‎ ‎=z 2 | eS Y=y 0 1 1 0 0) 2 8۳۱ 8 11 0۵ 2 2 oe 8 8 8 7 0 0 1 1 2 8 ۱ ۵ ‏8ه‎ ‎(X =x) nm 2 3 1 8 8 8 8 

صفحه 70:
مثال تابع چئالی توام دو متغیر تصادفی بصورت زیراست * 2 ع 3ك 1,0 که ۷ > 0 ۳4 fan %y) = ow و چکالی های حاشیه ای را بيابيد کامقدار * 

صفحه 71:
حل طیق تعریه ابع چئالي باید داشته بانیم * ‎f(x,y) dx dy=1‏ 9 2 1 ۳ 2 1 8 =| [ kee +yaxay=[ k(5+y) dy ==k=1 0 0 0 3 3 3 * ‏بنابراين‎ ‎k=2 8 

صفحه 72:
ادامه :برای نعیین چگالی های حاشیه ای دارم * 3 3 Bh as fea] foray=[ oe nay fae osxst 8 : 0 0۷۳ ۰ ‏و‎ ‏هه‎ 4 1 3 oy &O)=[ fluyar=[ ‏ی‎ 0 > > 2 / 0 90 

صفحه 73:
: وزیع (تجمعی) توام دو متغیر تصادفی متغیر تصادفی گسسته(پیوسته) باشند (۲ ,)۷وروی گر ۰ را توزیع نوام آنها گوییم و به صورت زیر تعریف می کنیم x Fay) =PX<%¥<y) - 0 ‏دلاو‎ ‎5 t 9 x oy Fa y@y) =P(X<x%Y<y)= | ۱ fxy(s,t) dt ds 

صفحه 74:
از نظر شکل می توان تابع توزیع تجمعی توام را بصورت زیر نشان داد &y) 

صفحه 75:
تابع توزیع تجمعی برای فقط یک متغیر را بخواهيم 36 اگر تابع توزیع تجمعی برای فقط یک متغیر مانند * :دارم ۶ Fy(x) = P(X < x) = P(X <x,Y > ‏(هه ,تد) ۲] < (مم+‎ < lim F(x, y) 

صفحه 76:
نج ره ح او ند او مثال ارلجه یال زیر دار را بيابيد * 

صفحه 77:
حل 2 2. ‏رت‎ )2,1( - ۳۵۲ > 2,۷ > 10 - >> Pe =sY=0 s=0t=0 6 = P(X =0,Y =0) +--+ PX =2,Y=1)=5 ae = 0 0 1 8 2 هو ه ‎alr‏ ‏لنت | 0-0 اه اه ‎Ole‏ 

صفحه 78:
مثال مزفیره‌اوی جادف‌پیوستم داراعنابع ‎x 9 Y dite‏ فرضكنيد: ° لو 7 بافند.با فده ازنموف ‎Ihe ays gil‏ + «را بيابيد 26 حاشيه اى 

صفحه 79:
حل Fy (xe) = P(X <x) = P(X <x%,Y < +m) = 1 [iran dy dx #داریم 26 حال با مشتق گرفتن از انتگرال با نسبت متغیر * 0 (رمر | - صم 

صفحه 80:
استقلال دو متغیر تصادفی :مستقل باشند داریم ‎oB‏ ۸۸ اگردو پیشامد * ‎P(ANB)= P(A)P(B)‏ در این صورت برای دو متغیر تصادفی گسسته * P(X¥€A,YE€B)=P(XEA)P(Y EB) PR =2Y'=y) =F =a) P= 

صفحه 81:
مستقل هستند؟ ۷و 2 آیا دو متغیر * ‎ot So eee‏ كر ‎Y=y‏ ‏۳ ا 0 8 8 8 ۳۵ ۳ 77 1 8 8 8 ‎on (۳‏ 0 2 8 8 8 ‎(X =x) ‎۱ ۲ 

صفحه 82:
حل:یک نقطه به تصادف از جدول انتخاب می کنیم 100 az i 2 ™ 9: 8 8 ۳ - 1.۲ -< 1(- ۳) = PV =1) 2 3 4 عه - 8708 ه x 1 ot اه و 0 تن 1 us ° ol 00 ‏م‎ 

صفحه 83:
مهمترین انتظار 9 چگونه با آن برخورد می ‎Saud‏ 

صفحه 84:
مثال در جعبه ای ۲ مهره قرمز و ۲ مهره سبز و ۶ مهره سفيد و١‏ مهره آیی وجود دارد. به تصادف مهره ای از جعبه خارج می کنیم رنگ آن را تگاه کرده سپس به جعبه باز می کردانیم. اگر نگ مهره قرمز بود ۲ ریال برنده ,اگر سبز بود ۲ ریال برنده, اگر سفید بود ۳ ریال بازنده و اگر آیی بود ‎١‏ ريال بازنده ایم.اگر این کار را چند بار تکزار کنیم انتظار داریم برنده بازی باشیم یا بازنده بازی؟ 

صفحه 85:
:حل ابتدا به نظر مى رسد كه نه برد خواهيم داشت و نه باخت * :به دو دليل * «نعداد مهره هاعبد و باختب ربرایرت1 ۰ یارب رد و باختب ابراست 2 * 

صفحه 86:
(2)(0.3) + (2)(0.2) + (—3)(0.4) + (—1)(0.1) = —0.3 

صفحه 87:
امید ریاضی ءامید ریاضی در مسائل مختلف مفاهیم متفاوئی دارد ازآن به معنای * .میانگین مقادیر « متوسط . مقدار مورد انتظار Jd Sn. یه گاه و ... استنباط می شود 

صفحه 88:
تعریف امید ریاضی گر متغیر تصادفی گسسته(پیوسته)باشد داریم * xP(X =x) بوك عمد EQ) = | xfx (x) dx 

صفحه 89:
منال ت نظر 3 ( 90( ) فرض كنيد ‎wb‏ سالمی \ برئاب كرده ايم.انتظا مقدا . جه 

صفحه 90:
حل می دانیم احتمال رخداد هریک از وجوه با هم برابراست * 200 - y xP(X =x) 35 1 6 1 1 2 6 + + 2ع 1 دع 6 6 

صفحه 91:
فکر دیگر این طور تصور کنیدکه,روی میله ای افقی به اندازه یک واحد جرم * «دارید به شکل زیر توجه کنید * Py Pp ‏و بو‎ * ‏در اين حات برابر مركز تقل روى ميله است‎ Oly ‏اميد‎ ٠ 

صفحه 92:
مثال ‎aa»‏ زیر را در نظر بگیرید. نقطه تعادل )| ‎sale‏ * 3x2 0 > >1 0 0 1,۵ < 

صفحه 93:
حل 1 1 E(x) =| (x x 3x?) dx =| 3x3 dx 0 0 3 3 و | هب 

صفحه 94:
اميد ثابعی از یک متغیر تصادفی اگر تابعی از یک متغیر تصادفی باشد * 9)(۴) 2 ( 5 E(g(X)) = [ 9 (0 

صفحه 95:
منال ۲ درمثال قبلى اميد جقدراست؟ * 1 > 0 رو ۶0۵1 حل * 1 عر (اتررقامد ديو ۱ = ‎E(g(X)) = E(X2)‏ 0 

صفحه 96:
خواص اميد رياضى ‎Gels bao.‏ ائد1 ‎٠‏ ‎ah) sao «‏ )2-208 + © B- E(axX+b)=ak(X) +b 

صفحه 97:
ادامه ۰ ‏گ4‎ G(X) = dy + ۲٩۰۰ ‏الآييه‎ ۶ ‏ابعی چند جمله ای از درجه‎ N wth. E(g(X)) = do + a, E(X) + ٠.١ + Gg E(X") 

صفحه 98:
مثال (اداصه) ‎E(X(X — jot 8) Jl).‏ را بيابيد * ۰ ‏حل‎ ‎E(X(X — 1) +3) = E(X?2 —X +3) = E(X?) —E(X) +3 3 3,3 7 25 4 1 20 

صفحه 99:
مثال: (توزيع كوشى) ‎٠‏ ابتدا ثابت كنيد كه ابع زير جكالى احتمال است * سيس اميد رياضى متغير تصادفى را بيابيد * 1 ™*** ~~ وريوجأ - 260 0 027 

صفحه 100:
حل * ‏جهت درستى جكالى بايد از تابع روى حدود انتكرال كرفت‎ ٠ 0 1 1 ——_ dx == tan“ (x)|", =1 | was 9 71 an" (x) |» 

صفحه 101:
ادامه : حال براى بدست أوردن اميد رياضى داريم * 5 1 E|X| = ——~ d Ix! | ‏ينجن"‎ 0 ‘a x =2 ——. d I ma +x2) “* 1 = 7, na +x7)|9 = 0 

صفحه 102:
توجه ‎٠‏ اميد زمانى وجود دارد ‎of‏ امید قدرمطلق کمتر ازبی تهایت گردد * بنابراین * «در توزيع كوشى اميد وجود ندارد * 

صفحه 103:
مثال ام اكرشيربيايد مرنیه پناب می کنیم درپرتاب ‎N‏ سكه سل ‎X)‏ ‏0 --و ال خط مشاهده شود درنظر می گیریم.تعداد شیرها برابر است با سس وچ و ءامید را بیاپید 

صفحه 104:
حل * ‏می دانیم‎ E(X,) = 1x P(X, = 1) + 0x P(X, =0) =p * ‏که احتمال هرشیراست‎ E(X, +X, +--+X,) = E(Xy) + EX) + + EX) =ptpt--+p=np 

صفحه 105:
واریانس * ‏ميزان تغييرات يك متغیر با واریانس محاسیه می شود‎ ٠ ۷۵۳ - ۲0۲ - 00(( = E(X*) — 200 0 

صفحه 106:
خواص واریانس ‎naka} = 0‏ 0 گر( 1 ۰ ‎2)s$1 alist yy5a.08 Yar (X)‏ + ۰ 3( Var(aX + b) = a’Var(Xx) 

صفحه 107:
اميد ثابعی از دو متغیر تصادفی دارای تابع احتمال توام باشند, ام( ۷۲)) ]1 اگر * ‎at‏ صورت زیر تعریف می شود * 1ح لاود - :)2 ةر ار ‎Sd YESy‏ كعمد 500, ۷( - | 1 | M6) ferry) dy dx xES, YYESy 

صفحه 108:
منال * ‏در جدول زیرامید‎ 0,۷ (<۰2+ ۲۷ 9 h(x,y)=XY را محاسبه کنید و 3 لت و دز ‎Y=y‏ ‏2 0 0 1 1 0 8 ۵ ۱ 8۱ ۳ 0 2 2 0 1 8 8 8 ظ [ 1 1 0 0 2 8 8 8 ‎Cae‏ 727 8 8 8 8 

صفحه 109:
20:0۰ (PPS Se ‎gi‏ هس رب ‎x=0 y=0 ‎ ‎= +0) (;)+a+0) G)+-+6+0@ 5 ‎2 

صفحه 110:
ادامه E(h(X,Y)) = E(XY) = 3 Sooner =x%Y=y) 20 20 = (0x0) 06 +(x 0) 6 ++ BX 2)(0) =2 

صفحه 111:
تمرين تحقيق لنيد له * آيا در مثال فوق رابطه زير برقرار است * ٠ E(XY)=E(X)E(Y) 

صفحه 112:
وجه Ne ain ‏اگر دو‎ ‏متغیر تصا‎ ادفی مستقل ‎bly‏ مستقل باشند آنگاه رابطه بهه ى 5 زير برقرار است * E(XY) = E(X)E(Y) 

صفحه 113:
مثال ۷ باشد آبا ۷26۶ دارای چئالی زیر است اگر 26 فرض کنید * مستقاند؟ 

صفحه 114:
حل : ابتدا مى خواهيم رابطه زیر را بررسی ‎ead‏ * E(XY) = E(X)E(Y) 

صفحه 115:
ادامه ‎EQ) = ye: (x =x)‏ 5 20 (+ 0) (+ 0) )=0 E(X2) = 2 *P = x) =r G)+or@ ror) 2 E(XY) = E(XX*) = F(x?) = - )ققد )= 

صفحه 116:
ادامه مشاهده می شود رابطه برقرار است * ‎do‏ * نمى ‎CaS IS‏ که دو متغیر مستقل هستند ۶ )1 = 1(۳0۷ < ۲۲ < (1 < 1,۷ < )0 P(X =1) =P(X =1)P < 1( 11 1 <عديع 2 4 4 

صفحه 117:
کوواریانس «مى دانيم تغييرات يك متغیر را با واریانس اندازه گیری می کنند * داشته باشیم میزان پراکندگی همزمان ۷ و 26 اگردو متغیر تصادفی * آنها توسط کوواریانس صورت می كيرد Cov(X,Y) = E[(X — E(X)(Y - E(Y))] * ‏و یا بطور خلامه‎ (00 18 (ة) 18 - (7][) 1 ح- ( 7[ ,)06017 

صفحه 118:
خواص کوواریانس ‎1)Cov(X,Y) = Cov(Y,X)‏ ‎2)Cov (X,K)=0 K = cob ons‏ 3( ‏اکر 1,۲ مستقل باشند‎ = E(X,Y) = E(X)E(Y) = Cov(X,¥) =0 

صفحه 119:
ادامه اكر ‏ ,8 اعداد ثابت باشند (4 ‎Cov(X + b,Y + d) = Cov(X,Y)‏ اگر 0 ۶ 26 اعداد ثابت باشند(5 ‎Cov(ax, cY) = ac Cov(X,Y)‏ 6)Cov(ax + b,cY + d) = ac Cov(X,Y) 

صفحه 120:
ادامه اگر ‏ ۷,۷,۷ ,۷ متغیرهایی باشند (7 609) + X2,¥;—Y2) = Cov(X1,¥4) — Cov(X1,¥2) + Cov(X2,¥,) — Cov(X2, V2) 8)Cov(X,X) = Var(X) 

صفحه 121:
مثال ست محاسبه مطلوب ‎١‏ ‏حتمال توام زیر را در نظر بكيريد ۱ 

صفحه 122:


صفحه 123:
ادامه ب-باید از فرمول زیر برای به دست آوردن کووارپانس استفاده کرد * ‎Cov(X,Y) = E(XY) — E(X)E(Y)‏ ۷ 2۸ امید ریاضی * ‎E(X)= xP(X =x)‏ XESy هلاه دنه 1(« - ۱۳۵ 2 د اع yesy 

صفحه 124:
ادامه * ‏اميد رياضى‎ XY 2 E(XY) = 2 ۵۳۵-۷ ‏و(«‎ xES, YESy و ‎Cov(X,Y) = E(XY) — E(X)E(Y)‏ Cov(X,Y) = ; - (00 - -5 

صفحه 125:
ادامه ج-ابتدا عبارت زير محاسبه مى شود * E(X2) = > PPX =x)= ; = E(Y*) سپس Var(X) = E(X*) — E?(X) = 3 (5 1 = = Vay) 

صفحه 126:
Var(X —Y) = Var (X) + Var(Y) — 2Cov(X,Y) 1 1 1 Var(X-¥) =545+2(-5)=0 

صفحه 127:
مثال :در مثال فوق مطلوب است * ‎Cov(Y,X)‏ -الف ۰ Cov(¥,X) Cov(X,¥) ۰ ۰ Cov(X + 3,۷ -7( * ‏حل‎ ‎600+ 5۲-7 6000 2 

صفحه 128:
مثال 6 (v3) 973 * ‏حل‎ ‎4 ‏د ار‎ - 6090, - ov(-v.3)=-3 0801/1 ‏ع‎ ‎Cov(X,—X) ‎* ‏حل‎ Cov(X, —X) = —Var(X) = + 

صفحه 129:
اندازه گیری رابطه آماری رابطه آماری یا همیستگی ءششدت و جهت تغییرات دو متغیر را نسبت به یکدیگر نان می دهد بطور مثال همبستگی ‎yw Qa‏ و قدرت حافظه و یا همبستی بین قدرت درآمد و هیزان ‎gw‏ ‎٠‏ تغذيه منظور ازشدت :مقدار کمی میزان همیستگی 9 منظور از جهت :همسوی روند تغییرات دو متغیریا جهت محالف یکدیگر است 

صفحه 130:
ضریب همبستگی مقدار عددی رابطه آماری ءمیزان شدت و جهت تغییرات دو متغیر از * «نظر خطى بودن را اندازه كيرى مى كند 

صفحه 131:
تذ کر به یاد داشته باشید ضریب همبستگی بین دو متغیر ار تباطی به اینکه یکی معلول دیگری باشد ندارد. 

صفحه 132:
۷ 5»2116۲نمودار پرا کنش( وجود رابطه آماری بین دو متغیر بیشتر از همه در نموداری ‎eb a‏ * » نمودار پراکتش خود را نمایان می کند این نمودار یک نمایش نرسیمی است که از طریق آن می وان ارتباط بین * دو خصوصیت عددی را به طور تصویری در دستگاه مختصات نشان ءداد 

صفحه 133:
1همبستگی مثبت -کامل 

صفحه 134:
2-1 ۲همبستگی منفی -کامل 

صفحه 135:
1 همبستگی مثبت -ناقص 

صفحه 136:
0 همبستگی معکوس -ناقص 

صفحه 137:
۲-0وجود همبستگی غیر خطی 

صفحه 138:
عدم همبسشگی 

صفحه 139:
ی «میزان همبستگی خطی بین دو متغیر را اندازه گیری می کنند * ‎Cov(X,Y)‏ JVar(X),/Var(Y) p(X,Y) = p(%Y) E(XY) — E(X)E(Y) VE(X2) — E2(X),/E(Y2) — E2(¥) 

صفحه 140:
خواص ضریب همبستگی (۲,۶)م < (06,۷م(1 ‎2)p(ax + b,cY + d) = p(X,Y)‏ ‎3)-1<p<1‏ مستقلی آشند میزانخ ریب‌همیستگمر فراست 26,۷ اکر( 4 ‎٠‏ 

صفحه 141:
1 ابست محاسیه * ( دول زیر مطلو 

صفحه 142:
حل ‎Var(X) = E(X?) — E2(X) = 9 - 0‏ 1 ‎Va(Y)‏ -25 Cov(X,Y) = ; - (00 - -5 Cov (X,Y) War (Var) < (6,۷)م 

صفحه 143:
متغیر استاندارد دارای میانگین و مر - (06) تلكا الرمتعي( دمم ۰۷ معلوم باشد متغییر استاندارد به صورت زیر تعریف می شود سحلا وم لعا 50269 6 

صفحه 144:
تمرين ‎cali‏ كنيد * ‎E(Z)=0‏ Var(Z)=1 

صفحه 145:
به نام خدا 

صفحه 146:
توزيع هاى گسسته توزيع يرنولى توزيع دوجمله اى توزيع هندسى لوزیع پواسون لوزیع یکنواخت گسسته 

صفحه 147:
توزيع برتولی هر آزمایشی تصادفی ‎bad of‏ دارای دو نتیجه پیروزی و شکست باشد, * آزمایش برتولی نامیده می شود نشان داده و2] اگرعدد یک را به عنوان پیروزی و احتمال پیروزی را با * * عدد صفر را به عنوان شکست در نظر بگیریم در این صورت P(X=1)=p ۲ P(X =0)=1-p 

صفحه 148:
ادامه باشد با نماد دارای توزیع برتولی با احتمال پیروزی ‎SIX‏ * ‎X~Ber(p)‏ *نشان داده و ابع احتمال آن به صورت زیر است ۰ P(X = x) = pa - (۳ x= 01 0 0۷ 

صفحه 149:
مثال احتمال اينكه يك بسكتباليست توب را وارد سید کند./درصد است.او یک * بار توپ را پرتاب می کند .آیا این یک آزمایش برتولی است؟نابع احتمال «آن را بنويسيد 

صفحه 150:
حل می دانیم که پرئاب دو حالت دارد گل می شود و يا ممکن است گل نشود * + پس یک آزمایش برنولی ‎Gas‏ X~Ber(0.8) P(X =x)= ۳ 8(* ۳ 21۳ ~~ 1 

صفحه 151:
مثال احتمال اینکه هر شخص به کاندیدای معینی رأی دهد ۶۰درصد است. * ازيك شخص نظر سنجى مى شود آيا اين يك أ زمايش برتولی است؟ حل:هر شخص راى مى دهد يا نمى دهد. احتمال راى دادن ٠ع‏ درصد * ٠است‏ * oily? X~Ber(0.4) 6 - ‏(د‎ - 0 _— 6) * ‘- 1 

صفحه 152:
تمرين یک اس سالم را يك بار برئاب هىكنيم. بيروزى ما در أصدن عدد 1 است. * آیا اين یک آزمایش برتولی است؟ «نابع احتمال آن را بنویسید ۰ احتمال اینکه صفر مشاهده شود چقدراست؟ * 

صفحه 153:
c\ alox93 x95 (Binomial) 6بار تحت شرایط یکسان تکرار میم و ۲ اگریک آزمایش برتولی را * بار آزمایش باشد. در اینصورت می ۲ تعداد موفقیت ها در این «دارای توزیع دوجمله ای است 26 گوییم * ‏شان داده و تابع احتمال آن به صورن‎ X~Bin(n adh ‏زیر است‎ * 

صفحه 154:
5 ۴ 5 ۴ 1 0 1 1 0 م ‎p lp‏ 1-0 يي سير ‎١‏ ‏م. 6زم كسمل بم1) 4 ۳۳1-۳ 

صفحه 155:
: بنابراين n ع عب 255 حلام 0 aw pX=x= 1 

صفحه 156:
وجه * ‏امين آزمايش باشد 3 اكر تعداد پیروزی در‎ X; ۰ oll ‎+X,‏ للم اه ل اكز ‎* cul. 

صفحه 157:
25 و 10 < وزیع دو جمله ای 1 ۲ ۲ ۴ i 

صفحه 158:
مثال درصد از لا مپهاییکم در یک ارخانه نولید می‌ش ود معیوب40 * هستند. احتما (لینکه در یکدوجیراصلا لا مپمعیویین باشد ‎Sue‏ DX =x) ‏ا‎ - ./۴(۲ ۴ x = Bx =) ={ or srr = PX =) C79)" 

صفحه 159:
۳ جدول وزیع احتمال دوجمله ای x Cc ۳ oN 3 ۷ A \ AW 5 X=x P(X=x X=x 

صفحه 160:
0 015 0 (sive ‏ار‎ 10 11 12 13 14 15 16 17 8 

صفحه 161:
تمرين دریکن‌ظرسنجیاز ‎١0‏ نفردر صورد راودادريه ثاندينا سول1 ‎٠‏ ‏مىشود. ا حتملإلينكم ‎٠١‏ نفرراوصثيتدهند جقدر اس8در تحقيقات ءاحتها (رای‌مثیت‌هر فرد 7/۸۰ ذكرشده است فروشکا هی راساسن ظرسنجی‌متوجم شده استکه ۷۵ از -2 ۰ مردم طرفدار ناویزیونینگیسا خن رکتخاصی‌هستند.از ۱۰۰ دستكام موجود در فروشگاه احتما (لینکه بیشتراز ۲۵دستکام و کمتراز ۰ دستگاه بم فروش‌رسد چقدر است 

صفحه 162:
‎(Geometric)‏ وزيع هندسى ‏يك آزصايش برنولى را مستقلا أنقدر تكرار مى كنيم نا براى اولين بار بيروز * تعداد آزمايشات نا رسيدن به اولين بيروزى باشد 26 شويم. اكر «داراى توزيع هندسی است > دراینصورت میگوییم ‎* ‏نماد نشان داده‎ yX~G(p) ‏9 ‏* تابع احتمال آن به صورت زیراست * 

صفحه 163:
پیروز شکست شکست... شکستر ‎F F ۴‏ 0 0 0 0 ‎(1-p)‏ (1-۳) بت (ص-1)(م-1). ‎Xx‏ ‏~— F )(1-p) peewee 1-P).. ۳2 

صفحه 164:
= بنابراين و 21 - - ۲ 0 Ow 

صفحه 165:
مثال یک نیرانداز آنقدر به هدف شلیک می کند نا برای اولین باریه هدف بزند. * احتمال به هدف زدن او ۸۰ درصد است.احتمال اینکه در بار سوم موفق شود چقدر است؟ ‎BX =x =(0.8\(1- 0.8)**‏ ‎BX =3) =(0.8)(1- 0.9)*"‏ = 0.032= )3= 1 1 = 

صفحه 166:
28 جدول نوزیع احتمال هندسی برای ] | | || | 0.6 | 0.8 | 0۵.09 | 0۵.0۵0 ۱0.000 ۱ 0۵ e or © oe 

صفحه 167:


صفحه 168:
مثال تعداد 26 یک سئه سالم را آنقدر برئاب مى كنيم ذا شير بيايد.فرض كنيد * دارای26 آزمایشات لازم نا رسیدن به اولين بيروزى باشد. مى كوييم «توزيع هندسى با احتمال .07 است 1 1 1 ‏سب‎ 12/3)... ‏بهم‎ - 0 - ]20-2 56 x ow 0 1 

صفحه 169:
ادامه 

صفحه 170:
تمرين جنگنده ایب ا احتم (۹۵/: بم هدف‌می‌زند احتما (لینکم در ۵امیج1 * بار موفقبم انهدام هدف‌گردد چقیر اس مأمور کنترلک یفیتدر یک ارخانه با احتمل ل۸۹ کل لومعیوپ-2 ۰ را نشخیمرمریهد احتما (لینگه پنجمیرکا لومورد بیسی‌اولین کا ل۵معیویب اشد کم او متوجه آرشده است چقیر اس 

صفحه 171:
(0155©1) توزيع بواسون بسيار زياد و 59 اكردر توزيع دوجمله اى تعداد أزمايشات مستقل * بسيار كوجك باشدء ( سایق فا حلمال پیروزی به سمت بى ۲ عدد ابتى ماتند است.اثر 20/رصورت حاصلضرب «داراى توزيع بواسون خوهد بود ‎X‏ نهايت ميل كند متغير تصادفى با نماد نمايش داده و نابع احتمال أن بى * ‎oOo? X~Po(A)‏ زیر است X~Bin(nt,pl) , lim np=A => X~Po(A) n+0,p+0 

صفحه 172:
وجه توزيع بواسون بيان كننده تنوع موقعيت است بطورمثال * تعداد خطاهای ثایپی در یک کتاب در صفحه بخصوص ويا * تعداد ستارگان که بطور تصادفی در نقطه ای از آسمان وجود دارد .و غیره ۶ لوزیع پواسون نقريب خویی برای مسائل دنیای حقیقی است 

صفحه 173:
<< - ۲ لز نج | نج 1 7*5 p= a. ‏بر ار‎ ay - ‏از تور لا زار‎ السك سات - ور 2 6.. فلل + ۲ - ۳ RX 1 11 0 xn on n 

صفحه 174:
صى دانيم له * 

صفحه 175:
۳0۵۵ Ow * بنابراين 222 - 2 کر 

صفحه 176:
مثال جعیه ای حاوی .۲۰ ابزار است که احتمال معیوب بودن هر کدام از * آنها ۰۲/.می باشد. مطلوبست احتمال اینکه نمام ابزار یک جعبه ‎sib elu abs.‏ pX=0 = 1) | 2030: 0,097" = JX =0) =(0.97° =0.00226 

صفحه 177:
*بنابراین ‎A =np=(200(0.03 =6‏ pX=0 = ee =6° =0.0024 

صفحه 178:
0.00 oa 9 6 8 9 0.00 0.00 جدول احتمال دوجمله ای و پواسون 9 6 9۰ 6 09 6 0.00 or 0.00 09 9 6 ee 6 ae 0.00 qo 0.00 ۴ 9 66© ow 09 0.00 ee? 0.00 9 0.08 هم 0.08 9 0.04 0 9 OOF 0.06 6© aq 0.08 qe 0.08 es 0 0.00 و 220 0,06 0.06 09 0 0.00 ee j| 0 0.00 j | 0.09 

صفحه 179:
01 ۳ ا ۳9 

صفحه 180:
مثال تعداد ‎X‏ به طور متوسط دريك سال در ايران ‎٠١‏ زلزله رخ هی دهد اگر :زلزله ها در ايران دريك سال باشدء مطلوب است الف)نعیین نابع احتمال ب)احتمال اینکه یک زلزله رخ دهد ج)احتمال اینکه در آبان هیچ زلزله ای رخ ندهد 

صفحه 181:
حل * etl ‏مى‎ 6 ‏یکسال‎ ‏راكد‎ ‎Po(A= ‎= 10) ‏اسون‎ ‏وزيم بو‎ ‏داراى لو‎ أسن -الق * ‎P(X‏ ‎er P00‏ ل ‎ye |‏ * 012 - 0 5 0۳ 00 اس ۱۱۱ 1 0 

صفحه 182:
ادامه ط 5 8 ۲ ۶ 5 5 51 51 61 دمده 

صفحه 183:
ادامه ج)یکسال دارای ۱۲ ماه است.آیان یک ماه می باشد.بنابراین باید ثابع * جدیدی برای یک ماه بدست آورد «دارای لوزیع 3 = ‎(a‏ 0 لمی باشد 26 درایتصورت * له 0 : 7 ۲ - 0( - 76 

صفحه 184:
ax js * ‏غالبا در مسنله اگر‎ ۰ ‏مان‎ ‎* ‏يا‎ ‎* ‏زمان‎ ‎* ‏ويا‎ ‎* ‏مکان و زمان توام‎ * cuol ‏و کلمه به طلور متوسط ذکر شد توزع پواسون‎ 

صفحه 185:
تمرين به طور متوسط در هر ۱۵ دقیقه ۳ خودرو وارد ایستگاه سوخت گیری * می شود. احتمال اینکه از ساعت ۹:۶۰ الی ‎٩:۵۰‏ دقبقه کمتراز ؟ خودرو وارد ایستگاه شوند, چقدر است؟ 

صفحه 186:
توزیع یتنواخت گسسته مقادیرمتناهی ۰ (....,1,2) .با احتمال بزایر برا هر * پیشامد دارای توزیع یکتواخت گسسته هستند داراى توزيع يتنواخت باشد با نماد > امه :نمايش داده و ابع احتمال آن به صورت زیر است * 1 P(X=x)=)n ee hon 0 1 

صفحه 187:
مثال در جعیه‌ای ۵ مهره وجود دارد که شماره‌های ۱ تا ۵ برروی آن نوشته * شده است. از جعبه‌ای مهره‌ای به روش بدون جایگذاری خارج «می‌کنیم. تابع احتمال را ‎daly‏ 

صفحه 188:
حل شماره روی مهره باشد (96 آرقتظیر تصادفی * :اسن 1 ‎P(XX=x)=)e Bh Ahan fi‏ 0.47 0 

صفحه 189:
نوزیع های پیوسته تابع چکالی یکتواخت پیوسته تابع جكالى تمالى ‎Je ali‏ نرمال ‏نابع چکالی نرمال استاندارد 

صفحه 190:
‎ab‏ چکالی یکنواخت پیوسته ‏دارای نوزیع یکتواخت ‎[a,b]‏ برروی فاصله 26 اگر متغیر تصادفی * باف(با ما04 سم زر نمایش داده و تابع احتمال آن بصورت * زیر است ‎1 ‎fe@) = jb —a 0 ‎a<x<b ‎0.7 

صفحه 191:
نتیجه يك قرار دهیم,نوزیع 0 صفرو به جای 8 در حالت خاص اگریه جای * «یکتواخت در بازه [ا,-] بدست می آید 092۰1 1 X ~U(O1) fe) = {5 mn 

صفحه 192:


صفحه 193:
مثال دارای توزيع 0۵1 ,2] برروی فاصله 26 فرض کنید متغیر تصادفی * »برقرار باشد 0 > 0 > 6 > هینواخت باشد.اگر چقراس( 0 > ۷ > )۳ ۰ 

صفحه 194:
حل 2 1 ‏حر ارت‎ Ptc< X <d) I 

صفحه 195:
تابع جثالى نمالى یکی از توابع بسیار مهم نابع نمایی است که معروف به نابع عمر * ۰محصولات کیفی (الکترونیکی) می باشد درواقع * » زمان بین اتفاقات متوالی در توزیع پواسون دارای توزیع نمایی است * برروی فامبله دارای توزیع (8ل, اناد 26 اکرمتغیر تصادنی * :با ‎X ~ F(A) slos‏ نمایش داده و ثابع احتمال آن بصورت زیر است 

صفحه 196:
ادامه 0 < ۲ ار feo) =| 0 0۳۷ انتگرا گیری از ابع بالا منتج به يك می شود * 1 ۴ 1 |عمدم د )۸ - و0 2-22 1 0 2 0 

صفحه 197:
500 300 Jllis 200 100 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 

صفحه 198:
تابع چگالی نرمال و لا دارای توزیع نرمال با میانگین ( اگر متغیر تصادفی ۰ ‎gL,‏ باشد با نماد (2و,م)۷- ‏ نشان داده وتابع چگالی آن به صورت زیر است 1 -@-w?* @ 2a? ‏مه‎ > ۲ > + fx) = 270 ‏مه-‎ > ۲ > + ‏2و‎ < 0 0 ow 

صفحه 199:
محي رل 

صفحه 200:


صفحه 201:
پلدگوری چگالاتابعا 1011 احتمالآوردن!ادستابهابرای * گر فت 110000000 نظر 1110100000000000 1 (x0? e 20° dx V2n0? P(a<Xx< ‏كان‎ 

صفحه 202:
مثال اندازه قد دانشجویان کلاس دارای توزیع نرمال با میانگین ۰ 0 سانتی متر و واریانس 16 می باشد.اگر یک دانشجو به تصادف از کلاس انتخاب کنیم احتمال اينکه اندازه قد آن از 06 سانتی متر بزرگتر و از ۳0 + چقدر است؟ ۳ 3 ‘i 0.02 155 166 165 170 175 180 ۰185 

صفحه 203:
حل انتگرال را در بازه (۲20) و ‎ati ch: (IOS‏ چگالی ۰ .نرمال با ميانكين 100 و واریانس 10) محاسبه می کنیم 170 =(x-168)" )165 > ۲ > 170( - |. vane’ 22 dx on 0.06 0.06 ‏موه‎ ‎9 155 160 170 175 180 185 

صفحه 204:
تابع چگالی نرمال استاندارد یک متغیر تصادفی دارای توزیع نرمال با میانگین ‎HX‏ ‎o‏ و واریانس باشد متغیر تصادفی - ۸ سرا 0 دارای توزیع نرمال استاندار( و69 -ب#نماد :نشان داده و تابع چگالی آن به صورت زیر است کت 1 م+ > ع > م- ‎jin‏ 0 ow 

صفحه 205:


صفحه 206:
مثال در مثال قبل می خواهیم احتمال در بازه (020 و 19) ۰ را با استفاده از تابع نرمال استاندارد محاسبه کنیم (168 - 170 > م - 2 > 168 - ۳165 > (170 > 1 > 165) 8 - 170 بر ی 1۳0 — 165 4 0 4 P(-0.75 <z<0.45) = P(z < 0.45) — P(z < -0.75) = 0.6915 — 0.2260 = 0.4691 = 0.6915 — 0.2260 = 0.4691 

صفحه 207:
تمرین قطر داخلی پیچ های تولیدی یک کارخانه دارای توزیع ۰ نرمال با میانگین 2.00 اینچ و انحراف معیار 0.)09) کارخانه پیچی معیوب است که 060 اینچ است که از نظر قطر داخلی آن بزرگتر از 0.060 و با کمتر از 0.6) اینچ باشد.چند درصد از محصولات کارخانه سالم هستند؟ 

صفحه 208:
نمونه تصادفی «کتایین: 11 جامعه ۲ اگر یک نمونه تصادفی ۰ مشخص در صورتی که مستقل و هم توزیع باشند یک ,نمونه تصادفی هستند 

صفحه 209:
اگر و واريانسهم ه دارلوتوزیم نرمالهامیلگین26 ‎٠‏ ‏:باشند در این صورت ۰ x= .میانگین نمونه تصادفی است ۰ 

صفحه 210:
امید میانگین نمونه تصادفی 5 (= =) EX) =E n 1 ]او له 1 ۳ E(X) = “lr (X,) ++ EX) =F t+ a 4 E(X) =—np=pe n 

صفحه 211:
واریانس میانگین نمونه تصادفی = = t Var(X) = Var =") n 1 ‎VarX,)‏ 44 قم ‎Var(X) = 5g [Var‏ ‎2Cov (x1,%2) +++ 2Cov |‏ + چون نمونه تصادفی است بنابراین مقدار کوواریانس صفر ۰ .است Cov(X;,X;) =0 ۰ ‏بنابراین‎ ‎1 5 a Var(X) = no? = — 

صفحه 212:
و واریانس‌میع/ ه دارلعتوزیم نرما لها میانگین26 ۰ :باشند درلین‌صورت 2 ‎Var(X) = =‏ < ()۲] یعنی 2 .و واریانس است ۸4 دارای توزیع نرمالم‌جا میانگین 02 = ات 

صفحه 213:
مثال کودکستانی شامل 000600 کودک می باشد اندازه قد کودکان ۰ متغیر تصادفی نرمال با میانگین ‎OO‏ سانتی متر و ‎X‏ ‏انحراف معیار 0 سانتی متر است اگر یک نمونه تصادفی ,۰ تایی انتخاب کنیم مطلوب است * ‏الف)امید و واریانس‎ x ب)احتمال اینکه متوسط قد اين نمونه تصادفی از 60.0 ۰ بزرگتر و از 00.0 کوچکتر باشد چقدر است؟ 

صفحه 214:
حل ۰ ‏آآٍ-می دانیم دارای توزیع نرمال با میانگین‎ Hy 0 ٠ ‏است‎ Gall, — E(X) = 68 Var(X) = Ls 

صفحه 215:
ادامه :ب-مى خواهيم احتمال زير را به دست آوريم ‎٠‏ ‏(68.8 > ][ > 66.3)م :مى توان از استانداريد استفاده کرد ۰ 

صفحه 216:
ادامه :با استفاده از استاندارد كردن خواهيم داشت ‎P(66.3 < X < 68.8)‏ ‎K-p 688-68‏ 68-—66.3 11ب ‎a Ss‏ ‎ae 6‏ 5 Vn 5 < ۳) >1.3( - ۴ > -2.8( = 0.9032 — 0.0026 = 0.9006 ‏بنابراين‎ ‎0.9006 + 100 - 0 

صفحه 217:
قضیه حد مرکزی ...2:۰ __ یک نمونه تصادفی از جامعه مشخص با * معلوم باشد در این صورت اگر 6و واریانس 9 ۸4 میانگین میانگین نمونه تصادفی را استاندارد کنیم در صورتی که تعداد نمونه به سمت بی نهایت میل کند توزیع حدی آن به .سمت نرمال استاندارد میل خواهد کرد 

صفحه 218:
X- E(X) lim ——— ~ n(0,1) سب از ‎lin” — ~ n(0,1)‏ ‎oz‏ جوز ‎ ‎n 

صفحه 219:
مثال یک نمونه تصادفی (0)تایی از توزیع یکنواخت پیوسته ‎٠‏ ‎(OA)‏ انتخاب کرده ایم احتمال اينكه مجموع (10(6)عدد از 600 بزرگتر باشد چقدر است؟ 

صفحه 220:
حل دارای توزیع یکنواخت گسسته ‏ می دانیم متغیر تصادفی ۰ 1۲-۷) - 0,۲ < 1( 

صفحه 221:
ادامه ابتدا بايد اميد و واريانس ربا به دست آورد ۰ 3 2 1 E(X)= | fear = | x(1)dx = ‏و‎ ‎0 1 0 E(x?) = J Prcoar = ۱ x*(1)dx Var(x) = £(X?) ~ E(x) = 3— (5) = 

صفحه 222:
ادامه می توان نوشت ۰ 100 1۳ 50 BUD X,>50)=P det 100 10 = P(X > 0.5) حال استاندارد می کنیم PR > 0.5) =P] ——> 1 د -(0 جمد 

صفحه 223:
آمار اسنباطی 

صفحه 224:
شانس‌خود را برایت‌رگرمیو سود ‎Bun‏ 

صفحه 225:
شما و فرضيات :سئوال را بيازماييد 09 میزان سختی خوب * ! ! ميخواهيد يك محقق شويد 

صفحه 226:
أمار استنياطى عبارنست از تصمیم گیری دربارة کل جامعه به کمک نمونه ای که ازآن * جامعه به تصادف انتخاب شده ومعرف آن جامعه می باشد 

صفحه 227:
جمعیت و نمونه ب «مجموعه افراد با اشیا که دریک یا چند صفت(ویژگی)مشترک باثند * تمولة * قسمتی از جمعیت که مطالعه رو ی آن انجام گرفته و تتیجه به * ءجمعیت بسط داده می شود 

صفحه 228:
پارامتر و برور گر پارامتر * آگر در جامعه چیز مجهولی وجود داشته باشد که بخواعید آنرا په * دست آورید به آن پارامتر گوییم برآوردگر * اگر آن مقدار مجهول جامعه را توسط معیاری از نمونه عبین کنید * به آن معیار برآوردگر گوییم 

صفحه 229:
آمار استتباطی 6 ه)الف-برآورد ( ۲651۳9 0۵۲۳6515 ۳۱۷) ب-آزمون فرضیه 

صفحه 230:
yoly-al\( (Estimate * ینیمختو ‏عبارت است از نعیین پارامتری ازجامعه به طورتقریبی‎ ٠ ‎obsing\4( (Point Estimation‏ اج1 ‎2z\olols yoy ( (Interval Estimation‏ 

صفحه 231:
۲ اب رآوردنقطه 1۱ ‎Estimation‏ اگریک مقدار عددی برای تخمین پارامتر مجهول جمعیت (جامعه) * در نظر بكيريم به ان عدد برآورد نقطه ای گوییم مثال ۰ فرض کنید با استفاده از نمونه تصادفی معینی میزان مدت اقامت * بیماران در بخش زنان بیمارستان امام ۷۸/2 برحسب روز به دست آمده أست 

صفحه 232:
آماره پآآن 1 لاکهاتصاد فی [[آنمونه اا زاتابعی‌ اهر ۰ اگویند00000101انبا شداامجهول 1000011 U= ‏كناو‎ Xn) 

صفحه 233:
مثال ‎(Xp Xn) =Xy to + Xn 1‏ 1 - 1ن ‎«if‏ ترك لجس ل ‎Uz = G2(Xp Xn) XP‏ ‏۳) 1 < ولا ‎Max(X;)— Min(X;)_ Vv‏ = ‏5 6 + 27 (,..۲,۰) 1 ع ولا 

صفحه 234:
برآوردگر اگر مقدار عددی یک آماره به عنوان تخمین مناسب برای پارامتر در نظر ۶ «كرفته شود به آن برأورد و نابع أن را برآوردگر گویند 

صفحه 235:
انواع پارامتر و پرآوردگر الف-پارامتر و برآوردگر برای میائئین جامعه ابامتزه‌تژگین جامعه را با نماد ‎N‏ ۳ نشان داده و ‏راوس ور نمونه با نماد ‎ ‎n ‎res gpl. ‎EX)=p>X=f 

صفحه 236:
مثال فرض کنید متوسط نعداد مراجعین به بیمارستان معینی در سال ۸۲۱ * را ندانیم.می خواهیم آن را برآورد کنیم.بنابراین نموته تصادفی مثلا ۱۷ ماه تخاب میکتیم و میانگین آن را محاسبه می کنیم.به مقدار به «دست آمده برآورد نقطه ای متوسط مراجعین درسال ۸۲ می گوییم ۵1919۳۹9۲9۷9 ۲7۱9۱۷)و2610 5 23 ۰ 2 4+ .۰ +2261 +2119 _ و ود i=171 n 7 X= = 2040.71 

صفحه 237:
ب-پارامتر و برآوردگر برای واریانس جامعه پارامتر واریانس جامعه را با نماد كت ‎IEG‏ _2 ‎N‏ نشان داده و > آوردگر آن وا نه با نما و ان وان نمو د باع «نشان مى دهيم E(S?) = 0? = S?=02 

صفحه 238:
مثال در مثال قبل میزان واریانس تعداد مراجعین را بیابید * ‎go Deas)? _ (2115 ~ 204071)? + ~ + (2352 — 204071)‏ 46225 = ‎n-1 71‏ همانطوری که می دانیم برای راحتی بیان تغییرات از انحراف معیار * ءاستفاده می کنیم s = 52 - ۰46225 - 5 

صفحه 239:
ج-پارامتر و برآوردگر برای نسبت جامیعه پارامتر نسبت جامعه را با نماد A P=— = نشان داده و ‎a‏ برآوردگر آن نسبت نمونه با نماد ‎Bo ‎E(p)=p > p=p ‏«نشان مى دهيم 

صفحه 240:
مثال فرض کنید تعداد کسانی کهبه بیمارستان معین مراجعه کرده اند را از * نظر جنسیت بخواهیم مورد بررسی قرار دهیم.در اينجا مثلا مى خواهیم بیابیم که چند درصد از مراجعین را مردان تشکیل داده اند.ازبین ۱2۲۸۵ نمونه گرفته شده مشخص می شود که ۸۵۲۲ فرد مرجعه کننده مرد بوده اند.پنابرلین یک برآورد نقطه ای درصد مردان *مراجعه کننده پرابر است با a 8532 p=- 59:7 = سس ‎n 14285‏ 

صفحه 241:
۷۵۱ ) برورد فاصلم اج2 ‎Estimation‏ شامل دو عدد است که پارامتر مورد نظر را با اطمینان معینی تحت * «پوشش قرار می دهد تابعى از نمونه (۹40 کال کی به طورى له * -تصادفی ...۰ ‎Xn)‏ .6,۰۰ ا, با اطمینان ۱ اگر پارامتر مجهول را پپوشانید یک برآورد فاصله ای یا فاصله ی 0 اطمينان مى باشد 

صفحه 242:
۲۵5 ۳۱۷) آزمون فرضیه ‎Testing )‏ ممکن است پارامتر جامعه معلوم باشد ولی در درستی یا نادرستی * مقدار آن شک به وجود آمده است.آزمودن صحت و سقم موضوع را «آزمون فرض گویند يا * روشی است جهت سنجش میزان تطابق وهمخوانی داده های بدست * آمده ازنمونه با فرضیه ای که محقق درصدد بررسی درستی ویا نادرستی آن است 

صفحه 243:
فرضیه چیست؟ حدس 0 ال ويائمان عالمانه اى كه امكان 5 قبول ويا رد دارد * ويا انك وتصوريست له نتيجهُ مشاهده وتفكر به دست ۱ ن وتصو ) له درنتيح ۰ هی اید وبه بيش بينى هاى قابل بطال ويا بطال ‎i‏ ‏منجر می شود 

صفحه 244:
مثال مثال۱- متوسط میزان استرس در کارمان رسمی 9 قرار دادی مدارک پزشکی دانشگاه علوم پزشکی مازندران متفاوت است » مثال>- اندازة فشارخون بدست آمده از دو بازو یکسان است مثال"!-بين ‎shod‏ مراجعین نوع بیمارستان (دولتی و خصوصی ) ‎dU)!‏ ‏«وجود دارد «مثالع- دركرة مريخ موجود زنده وجود دارد 

صفحه 245:
انواع فرضیه فرض صفر ( اولیه) * فرض يك (جايكزين يا محقق) * 

صفحه 246:
فرض صفر اگر فرض صفرمی توانست صحبت کند میگفت . * من بیان میکنم هیچ ارتباطی بین متغیرهایی که شما مطالعه می کنید وجود «تدارد به عبارت ديكر * فرض صفر كزاره ای است که نشان دهنده این است که تغییرات درمشخمه های زندگی حقیقی (باورها)و رفتارهای علمی برابر هستند 

صفحه 247:
اهداف فرض صفر الف-نقطه شروع کندچون بیان کننده امری است ت نقطه شروع عمل می کندچ ۱ ‎we‏ مت که در غیاب هر اطلاعات دیگری پذیرفته شده است مثال ‎Sold‏ بین مقادیر فشار خون در دست راست ‎٩‏ نفر با مقادیر فشار ‎a‏ در ‎use‏ چپ ۱۲ نفر بیماران بستری در بخش جراحی وجود ندارد 

صفحه 248:
فرض صفر کمک میکند نا تعیین کنیم هر تفاوت مشاهده شده بین * «كروه ها به علت شانس است با ناشی از عوامل دیگر 

صفحه 249:
فرض یک فرض یک گزاره مشخصی است که ‎UD‏ بين متغيرها را بیان می * ‎Me‏ *منال تفاوت بین مقادیر فشار خون در دست ‎٩‏ نفر با مقادیر فشار خون در دست «چپ ۱۲ نفر بیماران بستری در بخش جراحی وجود دارد 

صفحه 250:
انواع فرض یک دو دامنه * «بيان كننده تفاوت بين كروه ها است ولى جهت أن معلوم نيست * يك دامنه * بیان کننده لفاوت بین گروه ها است و جهت آن معلوم است * 

صفحه 251:
بعضی تفاوت در فرض صفر و یک ديبياندرفرضص فر ميكوييم نفلوتوجو د ندارد ولی‌در فرفریک 1 * ۰می‌گوییم وجود دارد فرضه. فر همیشم بم جمعیتب رمی‌گردد ولی‌فرضر یگب و-2 ۰ «تمولى نبايد فرضص فررا جهتدار بیارکد ولی‌فرضیکب صورنجهت-3 * دار بیانمی‌ش ود 

صفحه 252:
فرض خوب چگونه است؟ ٠بصورتخروبيارش‏ ود- 1 «ايتباط بیرمتغیرها را ادعا کند-2 «صخته‌رو بیارکنندم نکته باشر-3 قابل زمورباش-4 

صفحه 253:
& ۲ !مراقب خطاها باشید می دانیم دنیای ما کامل نیست * بنابراين * .همیشه خطا وجود دارد * 

صفحه 254:
انواع خطا الف- خطاى نوع اول * ب-خطاى نوع دوم * 

صفحه 255:
الف- خطاى نوع اول أكردر أزمون فرضيه به ناحق فرض صفر را رد كنيدشما در تصميم كيرى * خطا كرده ايد.به اين نوع خطا خطاى نوع اول كويند و با لعاد ءنشان می دهیم 

صفحه 256:
خطای نوع دوم اگر در آزمون فرضیه به ناحق فرض یک را رد کنید * ‎loud‏ در تصمیم گیری خطا کرده اید.به این نوع خطا خطای نوع دوم * 0 گویند و با نماد نشان می دهیم 

صفحه 257:
‎Ht‏ وجه ‏سطح معنی داری همان میزان خطای نوع اول است که محقق با * توجه به اين مقدار در مورد رد شدن و یا رد نشدن فرض صفر تصمیم گیری می کند 

صفحه 258:
مقدمه ای بر آزمون معنی داری *بهترین کاری که آمار استتباطی انجام می دهد اين است که * به شما اجازه می دهد تا براساس اطلاعات نمونه در مورد جامعه * «لصمیم گیری کنید 

صفحه 259:
چئونه یک آزمون معنی داری کار می کند؟ ۰فرض صفر در ارتباط با نوع مشخصی از آماره است * و هرآماره ای در ارثباط با وزيع خاصى است له شما با داده هاى به دست * ‎٠‏ أمده از نمونه مقايسه مى كنيد 

صفحه 260:
و در نتیجه مقایسه ی بین مشخمصه های نمونه شما و مشخصه های توزیع * آزمون اين امكان را فراهم می کند که بتوانید تتیجه گیری زیر را داشته *باشید آيا تفاوت بين مشخصه های نمونه و نوزیع جامعه براساس شانس * است يا نه؟ 

صفحه 261:
مراحل انجام آزمون فرضیه ‎A‏ ° Leys, ‏«فرضصغفررا‎ سطی ریسک(سطو معنی‌دارو یا خطاون وع اول را نعییج 2 ‎yids.‏ آملره آ زمورمناسبر تخاب نید 3 ° ءصقدار آملیم آزمون( مقدار مشاهدم شدم) را محاسبم کنیر- 4 95 

صفحه 262:
A ‏ادامه‎ مقدار مهرد نیلز را بریرد ورین و3 5 ° ‎٠‏ مناسبز مقدار بحرئمي! جدول تعييركنيد ° 6 ais cuslan. ory hain Ly) 05.8 osaltp do. 

صفحه 263:
جایی له ‎٠‏ زیبایی واقعی آمار استنباطی چشم ها را خیره می کند الرمقنار مشاهده شده خيلى_ يشتر ز كم ازمقتار حرا 7 © باشد فرضه فررا دیگرن‌مینو ‘ يعلى * استفاده از كلمه شانس براى دليل تفاوتها ‎in‏ 8 ‎a‏ عبارت دیگر * فاوت براساس عواصلی غیر از شانس است ۰ 

صفحه 264:
A ‏ادامه‎ اثرمقدار مشاهدم شدم و ‎)lad‏ ب حرانی| ختلاف‌زیادوب 1 هم- 8 ° ‎oui.‏ باشند فرضم_فر جذابن رین وضیح است ‎a‏ عبارت دیگر * اگر شما نمی توانید برای تفاوت به دست آمده دلایل غیر از شانس را * ارائه دهید * sash ab * ‏به خاطر شانس است و نه چیزدیگر‎ Dold ‏«ثنها دليل‎ 

صفحه 265:
اینجا تصویری است که هزاران کلمه می ارزد IVs ۳۷/۷۶ ۶ 

صفحه 266:
لوزیع های نمونه ای نوزیع ترمال استاندارد لوزیع کای دو ۴ توزیع نی استیودنت وزيع فيشر 

صفحه 267:
‎Z)‏ توزیع ) توزیع نرمال استاندارد ‏و ۵آگر..۲,,۰ يك نمونمى تصادفى از لوزيع نرمال با ميائثين * ‎ay! «lls‏ نرمال استاندارد2 واریانس معلوم باشند دراين منورت 5 :است اسن - رو میانگین استاندارد شده نمونه تصادفی نیز دارای نوزیع نرمال استاندار * است لر - 7 2 11 ‎ ‎a= ~normal( = 0,07 = 1) 

صفحه 268:
۱ 250 201359 00214 SY 200013 #0 +30 +0 977% ‏و‎ ‎+20 +30 +40 7 80 The Normal Distribution 1889 Values 7 ‏ك2‎ + Probablityof Cases ۱ in portions of the curve 00013, 20014 01353 1 ‏ار‎ ‎FromTheMen “#0 3 03 30 rilative % ۵1 238 ‏و‎ ‏م25‎ 40 30 20 10 TScores 2 30 0 

صفحه 269:
نوزیع کای دعْ27 اگر نرمال استاندارد را به توان دو برسانیم در این صورت مجموع آنها * «درجه آزادی خواهند بود ۲۱ دارای توزیع کای دو با _ xi 6 

صفحه 270:
ذكته معلوم نباشد د این صورت از میانگین نموله ۲ اگرمیالگین جامه * ‎٠‏ استفاده می کنیم 7 9 ‏و‎ n X,-X., Pay B=) Chae 

صفحه 271:
می دانیم :)و _ 1 - 1 52 9 )0-1(52 - 2 (2 i=1 بنابراين * 2 _ 0-1 Xx 22 x(n 5 1) 

صفحه 272:
درجه آزادی میزان آزادی عمل هر متغیر را درجه آزادی آن گویند * 

صفحه 273:
نمودار کلی دو با درجه آزلدی هلی متفلوت ac ao 9 ae ad ads 0 4 6 5 6 © © ۶ © © 00 add de 49 06 dS 

صفحه 274:
۴ لوزیع نی استیودنت را نقسيم بر چذریک حتغیری که 2 اگریک متغیر ترمال استاندارد * داراى توزيع كاى 25 می باشد كنيم به طورى كه كأى دو به درجه بدست مى آيد 2 آزادى خود تقسيم شده است توزيع 

صفحه 275:
ادامه فرض كنيد (02 بل) تحرط ...روك مى دانيم بنابراين ۸ - ۲ 6 vn ~n(0, 1) 

صفحه 276:


صفحه 277:


صفحه 278:
به طور خلامه 2 اگر در نوزيع نرمال واریانس جامعة مجهول باشد بنابراين بايد از * ‎isto t un-‏ نمونه استفاده كرد كه در اينصورت توزيع آماره «درجه آزادی خواهد بود 1 7 s? 11 t= ~t(n—-1) 

صفحه 279:


صفحه 280:
نمودار تمودرتی با درجهآزدی مقلوت 

صفحه 281:
‎gt‏ 2 شباهت ‏«هردو زنگی‌ش کل‌ستند-1 ۶ «هردو متقلرنهستند- 2 ‎٠‏ ‏(2 )ريل كيؤهود 9 ‎Beal‏ © ‏«هردو توزيع ميلنئينجامعم را هعيرهىكنند- 4 ‎٠‏ ‎1 ‏و‎ ‎+ n(0,1) t=—> ‎vn vn ‎2 - ‎ ‎ ‎Z= ~t(n—1) 

صفحه 282:
‎t‏ 9 2 تفاوت وچلتراست» از واربانس وزیع 2 واربانس وزیع-1 * ‎Var(t)‏ = سب <1= ‎Var(Z)‏ ‏لوجه ‏اگر تعداد نموته و بیشتر ۳۰باشد واریانسها برابر فرض می شوند * ‎1 ‎1 7 < 0 | < 1 noon — 2 

صفحه 283:
ادامه در <لتمعلوم بعدرواريانسجامعم. و نوزیع 2 زوزیع-2 ۰ حللسجهول یهن استفاده می‌شود کم‌تکایداز . استفلدم كد ۲ 5 ‎t=—> P ~t(n-1)‏ (,0)م- گچد - 2 vn vn ۰ب زگترسلوی ۳ هردو نوزیع ی کسانفرض‌می‌ش ود 0 در حلل 3 * 

صفحه 284:
(فیشر) ۴ متغیر تصادفی آگر دو متغیر تصادفی کای دو را که به درجه آزادی هایشان نقسیم شده * اند به هم تقسیم نیم متغیر تصادفی فیشربا درجه آزادی صورت و ۰مخرج بدست می آید 

صفحه 285:
ادامه 5,2( - 6 _ 5 فرض كنيد * 2 1 2 2) -1( ‎ee, gn= i)‏ تيا ‎My ay ‏مس 2 و9 

صفحه 286:
ادامه ‎(n- 1)s,?‏ )1 3 حال ۰ aa 2 و( ۱ 3 5 3 2 2 0 رگ 2 $27 Oy ~Fisher(n 1,111 1) 

صفحه 287:
اتمودلر لف برلى درجه أزلدى متفلوت 0808 8 6% 6 Gand 8 60+ © 

صفحه 288:
WWW.NUTRO N.TK © www.nutron.tk ~ \ 55rouzbeh66@gmail.com — ون 4