مبانی کامپیوتر: سیستم های نمایش اعداد و کدگذاری داده ها

صفحه 1:
سیتمهای نمایش اعدادو کدگذاری داده ها کتاب مبانی کامپیوتر سال ‎٩۳‏ 

صفحه 2:
درریاضیات مرتبه های هرعددرابه چه نامهایی می شناسیم؟ ۷ یکان.دهگان.صدگان.هزارگان و... * درجایگاه یکان چه اعدادی می توانندقرارگیرند؟ عدادصفرو او ۲و۳ووشوعو/اولو۹ * درجایگاه دهگان چه اعدادی می توانندقرارگیرند؟ عدادصفرو او و۳ و و۵وعو/اومو۹ * درجمع دوعددوقتی جواب از ۰ ۱بیشترمی شودچه می کنیم؟ "رقم یکان راقرارمی دهیم وعددیک رابه مرتبه بعدی منتقل می کنیم * درتفریق دوعددوقتی عددبالایی صفرباشدیاکمترازعددپایینی چه می کنیم؟ بداعدهيالاني 3ه .رااعناقة امن كنيق. وين مقداراضافة رالزمزقية بعد قرض مى گیزیم 

صفحه 3:
اعدادموجوددرهرمرتبه 8 7 6 5 4 3 2 1 0 این اعدادراباتوانهای ۱۰ همسان کنید 9 مرتبه ها 7 ‎١‏ يكان ‎wet‏ ‏۰ دهگان تا ۰ صدگان ۰ هزارگان 

صفحه 4:
می خواهیم یک عددراباتوانهای ۰انمایش دهیم 4937=4x10 3 +9x102 +3x10! +7x10° 4937 4937=4000 +900 + 30 + 7 4937 4937| 1 493 

صفحه 5:
به این سیستم ده دهی_گفته می شود * ده دهی یا دسیمال|661۴03] * سیستمهای دیگر: * دودويى يا باينرى /811311 * چهارتایی * هشت تایی یااکتال |01 شانزدهی یاهگزادسیمال ۳۱۵۷۵۲61۳۵۱ الماسيستم موجودردرمحاسبات ریاضی ده دهی می باشد اماسیستم عددی در کامپیوتردودویی یاصفرویک است ۱ به اين معناکه درکامپیوترهای اولیه روشن بودن چراغ به معنای یک وخاموش بودن آن به ‎er‏ آسابه علت اينکه خواندن اعداددراین مبناءاحتمال خطای زیادی داردمثلاا ۱۱۱۱۰۰۰۱ ‎wae‏ ‏ازتبديل سيستمها(يامبناها)به يكديكراستفاده مى شود 

صفحه 6:
اعدادموجوددرهومبنا * درسیستم ده دهی(۱۰) ‎AAVEFOFY YN:‏ *؟ درسیستم دودویی(۲) ۱۰ * درسیستم چهارتایی(۳) ۰ "۳ * درسیستم هشت تایی(۸) ۰ ۱ ۲ ۲ ۴ ۵ ۶ ۷ * درسيستم شانزدهی(۱۶) ۴۳۲۲۰ ۵ ۶ ۸۷ -۱۵-۱۴-۱۳-۱۲-۱۱-۱۰ ABC DE F ۲ * درسیستم!اتایی(۲۱) ۲۱-۱ ۴ ۳ ۲ ۱ ۰ 

صفحه 7:
لطفامثالهای زیر راحل کنید: * کدامیک ازاعدادزیردرمبنای ۲ می باشند؟ |ل)۱۲۱۶ب) ۱۱۱۰ج)۱۲۶۸)۵۱۲۰۱ * کدامیک ازاعدادزیردرمبنای ۴ می باشند؟ الف) ۲۵۶ ب)۱۳۴۵ج)۱۲۶۸)۵۱۲۳۱ * کدامیک ازاعدادزیردرمبنای ۸ می باشند؟ الف) ۲۵۶ (ب) ۱۳۹۵ج)۱۲۶۸)۵۸۲۳۱ * کدامیک ازاعدادزیردرمبنای ۱۶ می باشند؟ الف) ۲۵۶ ب) ۱۳۴۵ج)۱۲۶۸)۵۱۲۳۱ * یک عدددرمبنای آمثال بزنید: * یک عدددرمبنای ۴مثال بزنید: * یک عدددرمبنای ۸مثال بزنید: ؟ يك عدددرمبنای ۱۶مثال بزنید: 

صفحه 8:
درهریک ازمبناهاهر عدد.درهرمرتبه درتوان آن مبنا ضرب می شود تابه سيستم ده دهی تبدیل شود (3132),=3x4 +142 + +2x4° +222) 1 )4934 (|), 1 63 +2 +1 +10x16° =(18746),: (1011),=1x23 +062 + +1x2° “11)10 (4537).=4%8 +5 x82 +1 +6 =(2399),, 4937=4x10 3 +9x102 +3x10! +7x10° 

صفحه 9:
مثال: 7 04 4 3 2 1 20 1 + 0۷+ Ox+1x+0x Bl -16 +8 +4 +2 +0 وتوان های بعدی هرکدام در آضرب می شوند 

صفحه 10:
لطفامثال راحل کنید: (۱۱۰۰۱۰۱),ر ۳ 

صفحه 11:
برای سادگی حل این تبدیل ها به صورت زیرعمل می کنیم: و ‎val‏ ‏1 2 4 168 هريك ازتوانهارادربالاى اعدادمى نويسيم ‎j‏ م ه آم سپس توانهایی که بایک متناظرندرا جمع می کنیم ,16 + 18 

صفحه 12:
لطفامثال راباراه ساده حل کنید: (۱۱۰۰۱۰۱),ر ۳ 

صفحه 13:
برای سرعت بیشتردرحل, توانهای آرابه ذهن می سپاریم لطفامثالهای زیررابه سرعت توان گذاری کنید =2° وبه مبتاى ‎٠١‏ ببريدة 212 2 2. 24- + 26 222 ۱۱۰۰۱ 21 12 20-0 ۱۶:۱ ۳۳۱ 22-0 48 

صفحه 14:
درهریک ازمبناهای ۴و۸و۱۶.به روش گفته شده عمل می کنیم * یعنی ضرب هرعدددرمبنابه توان مرتبه 

صفحه 15:
مثال: در ۱ ‎4+2x43x‏ 06 م 1 ى ۱۰۲۳ 1 4/16 توان اول ۱ 843 +0 +64 توان دوم ۴ وتوان های بعدی هر کدام در ۴ ضرب می شوند 15 = 

صفحه 16:
لطفامنالهای زیر راحل کنید: al PO VYY) ۳۹۹ ‏)حر‎ 5 ye Vee) 

صفحه 17:
yeh PUFFY) »> 2+ كا6 + 2ك + 35 2 ۲۳۶۲ 1 64 2 توان اول ۱ 2 +48 1536256 لا سدم ودرا رموس قن 184 _ 2 

صفحه 18:
لطفامثالهای زیر راحل کنید: gail ‏يود‎ 1) 6 (۱۳۰ ۱( wal (-«,)۱۱۰۰۱۱( 

صفحه 19:
52 ), ZA6C) ‏مثال:‎ ‎26022407102+ 6 »1 12 6 9 x1 8192256+ 96+ 12 ۱ ‏توان اول‎ ‏توان دوم 1۶ ص‎ 10 ‏وتوان های بعدی هر کدام در 1۶ ضرب می شوند‎ 6 ۱۰ ‏حرف معادل عدد‎ 1١ ‏حرف 8معادل عدد‎ حرف ©معادل عدد ‎1١‏ حرف (اآمعادل عدد ۱۳ VF ove JoluE ‏حرف‎ حرف امعادل عدد ۱۵ 19 

صفحه 20:
لطفامثالهای زیر راحل کنید: ‎LD304)‏ ,) >, Q0-YY) (-«,)۱۲۰۲( aed +d) 76 1 1 

صفحه 21:
21 Y>)- تلجع م ۱۶۰ جمع بندی ضرب درتوانهاءازسمت راست اوبعد آوبعد ضرب در ۲ راه سریعءحفظ توانهاونوشتن سریع وجمع توانهاب بالاى | ضرب درتوانها:ازسمت راست اوبعد۴وبعد ضرب در۴ ضرب درتوانهانازسمت راست اوبعد۸وبعد ضرب در۸ ضرب درتوانهانازسمت راست اوبعد۱۶وبعد ضرب در۱۶ 

صفحه 22:
هرعددبانة 2 مبنا مى تواندبه مبنا 0 د بدبل سو 3° 1 سیستم دودویی(۲)باتق ا ویی(۲)باتقسیم متوالی بر ۲ i ۴ ‏سبستم چهارتایی(۴) باتقسیم متوالی بر‎ ون ۳ ‎BLA) gb Cut 1‏ 5 سیستم هشت تایی(۸)باتقسیم متوالی بر ۸ © فرسيسكم قبائة إسيستم شانزدهى(2١)باتة‏ 3 هی(۱۶)باتقسیم متوالی بر ۱۶ 

صفحه 23:
منال: (۱۸). صر ‎it‏ تبدیل مبنای ۱۰به ۲ باتقسیم های متوالی بر۲ is 2 9 |2 4 | 2 ‏2ا‎ . 2 2 0 1 0 0 1 0 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هاراا آخرین تقسیم می نویسیم مشاهده می کنیم که همه اعدادصفریایک می باشند 

صفحه 24:
لطفامثال راحل كنيد: (0ع) .هر 3 

صفحه 25:
7 3 : قت كيراست تقسیم های متوالی برای تبدیل اعدادبزرگ به مبنای طولانی و وقت گیرا * راه سریع: * درادامه اين روش رابررسی می کنیم 

صفحه 26:
تفریق های متوالی ‎(YY)‏ ,> 5 ثال: ابتداتوانهای ۲راتارسیدن به کوچکترین توان .ازعددموردنظریعنی ۲۳می نویسیم سپس بزرگترین توان نسبت به ۲۳ رابا ۱ روشن می کنیم ۶ راز توان روشن شده کم می کنیم (۲۳-۱۶-۷) بزرگترین توان نسبت به ۷رابا ۱ روشن می کنیم ۷راازتوان روشن شده کم می کنیم (۷-۴-۳) بزرگترین توان نسبت به ۳رابا ۱ روشن می کنیم ۳راازتوان روشن شده کم می کنیم (۳-۲-۱) بزرگترین توان نسبت به ارابا ۱ روشن می کنیم (1-۱-۰) 1 2 4 8 1 جر د يه بد بن 5 2 این کارراتارسیدن به صفرادامه می دهیم بقیه توانهاراباصفرپرمی کنیم 26 

صفحه 27:
لطفامثال راباتفريق هاى متوالى حل کنید:. زج رو 5 

صفحه 28:
لطفامثالهای زیر راباتفریق های متوالی حل کنید: y=) 7.01) ‏حر‎ 09 ‏يدر‎ ‏بكر‎ ‎7.09) لطفااين توانهاوتبدیلاتش راتاحدامکان درذهن بسياريد ودرتبدیل آنهاسریع شوید )7.0 ).> حر (6) ,جر (۵ ,۶( (۶), ,9( (۶,.۷ ).> (). ,۶ 

صفحه 29:
منال: (۳۳۱). سر 5 تبدیل مبنای ۱۰به ۴ باتقسیم های متوالی بر۴ 2 3 2 0 1 1 331 4 . 24 24 5 4 .1 ۸ 20 5 0 1 1 0 2 3 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هارااز آخرین تقسیم می نویسیم مشاهده می کنیم که همه اعدادصفرتا ۳ می باشند 

صفحه 30:
لطفامثال راحل کنید: (۷۵). ( 1 

صفحه 31:
منال: (۵۶۰).,ص( ۳ تبدیل مبنای ۱۰به ۸ باتقسیم ‎cle‏ متوالی بر۸ قا 1 كه با ‎|S.‏ 560 9 6 9 1 1 0 6 0 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هارااز آخرین تقسیم می نویسیم مشاهده می کنیم که همه اعدادصفرتا ۷ می باشند 

صفحه 32:
لطفامتال راحل کنید: ‎Ad >, (V+)‏ 

صفحه 33:
منال: (۱۰۰۰). صر 5 تبدیل مبنای ۱۰به ۸ باتقسیم ‎cle‏ متوالی بر۸ 1009. 62 [2 3 ۳ 2 ee 8 8 14 3 3 E 8 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هارااز آخرین تقسیم می نویسیم مشاهده می کنیم که همه اعدادصفرتا ۱۵ می باشند 

صفحه 34:
لطفامتال راحل کنید: (۱۲۰۰). وم( 4 

صفحه 35:
تقسیم های متوالی برای تبدیل اعدادبزرگ ازمبنای ۱۰به ۴ و۸و۱۶ وقت گیراست * ازتفریق متوالی هم می توانیم برای مبناهای ۴و۸و۱۶استفاده کنیم * به زودی روش سربع دیگری رابرای این تبدیلات بیان می کنیم 

صفحه 36:
كت 1 ۱۰-۸ ۱۰-۶ جمع بندی تقسیم های متوالی بر ۲ راه سریع:تفریق های متوالی تقسیم های متوالی بر؟ راه سریع:تفریق های متوالی ونبدیل میانی ۱۰۲۴ تقسیم های متوالی بر۸ ۱ تقسیم های متوالی بر۱۶ راه سریع:تفریق های متوالی وتبدیل میانی ۱۰۳۸۲۳۸۱۶ 

صفحه 37:
مثال: 1 )هر 5 تبدیل مبنای ۲به ۴ باجداسازی ۲تایی از آنجاکه ۲۲-۴می باشد بنابراین اعدادرادو تادوتاازسمت چپ جدامی کنیم ۱ سا عمط ۲ سپس هردوعددرابه معادل ۱۰ آن تبدیل می کنیم 1 7 توجه شودکه حفظ تبدیلات ازقبل به سرعت کارکمک می کند ۷ ۲ 7 

صفحه 38:
لطفامثال راحل كنيد: )هم 1 

صفحه 39:
if 0 BY} 1) ‏مثال:‎ تبدیل مبنای آبه ۸ باجداسازی ۳تایی از آنجاکه ۲۲-۸می باشد بنابراین اعدادراسه تاسه تاازسمت چپ جدامی کنیم سپس هردوعددرابه معادل ۱۰ آن تبدیل می کنیم توجه شودکه حفظ تبدیلات ازقبل به سرعت کارکمک می کند 

صفحه 40:
AC A Ve +) ‏لطفامتال راحل کنید:‎ 

صفحه 41:
مثال: (۱۱ برر۱۰),-( ‎sal‏ تبدیل مبنای آبه ۱۶ باجداسازی ۴تایی از آنجاکه ۲۲-۱۶می باشد بنابراین اعدادراچهار تاچهار تاازسمت چپ جدامی کنیم ۱ ۰ ۱ ۱ ۱ سیسس فردوعذذرابهمعادل -1 آن تبذیل من کنیم ‎eet‏ تس توجه شودکه حفظ تبدیلات ازقبل به سرعت کارکمک می کند )\ 1 2 B 41 

صفحه 42:
لطفامثال راحل کنید: ‎Adee)‏ ۶ 

صفحه 43:
جمع بندی ‎Nay‏ جداسازی ۲تایی ‏۲-۸ جداسازی آتایی ‏۱9 جداسازی ۴تایی ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 44:
مثال: (۲۱۲ )مرا ۳ تبدیل مبنای ۴به ۲ باگسترش ۲تایی از آنجاکه ۲۲-۴می باشد بنابراین هرعددرابه دوعددمعادل آن درمبنای ۲ تبدیل می کنیم ۱ ااه 1 oe ۱۱ توجه شودکه حفظ تبدیلات ازقبل به سرعت کارکمک می کند 

صفحه 45:
لطفامثال راحل كنيد: )جر 5 

صفحه 46:
مثال: (۲۵۱۷ ۳( ۱۰۱۰۱ ‎aC‏ ‏تبديل مبناى ابه ‎١‏ باكسترش "تايى از آنجاکه ۲۲-۴می باشد بنابراین هرعددرابه سه عددمعادل آن درمبنای ۲ تبدیل می کنیم ۲ لا ۲ ۷ ۰۱۰ Ved eed ۲۱ توجه شودکه حفظ تبدیلات ازقبل به سرعت کارکمک می کند 

صفحه 47:
لطفامثال راحل كنيد: )جر 5 

صفحه 48:
مثال: ‎VVe\ eV LE B5)‏ = تبدیل مبنای ۱۶به ۲ باگسترش ۴تایی از آنجاکه ۲۲-۴می باشد بنابراین هرعددرابه چهار عددمعادل آن درمبنای ۲ تبدیل می کنیم 6 3 ۱ توجه شودکه حفظ تبدیلات ازقبل به سرعت کارکمک می کند ۰ 0 ‎LL‏ way ‏ار‎ 

صفحه 49:
لطفامثال راحل کنید: (1ظ)( ۳ 1۶ 

صفحه 50:
جمع بندی ‎Foy‏ ترش آتابی ‏۸۲ ترش "تايى ‏۱۶-۲ ترش ۴تایی ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 

صفحه 51:
قبلاتبدیلات ۱۰ به ۴و۸و" اراباتقسیم های متوالی انجام دادیم دراعدادبزرگ ازروش زیربرای این تبدیلات استفاده می کنیم: ؟استفاده ازتبدیل میانی به ۲ 

صفحه 52:
(۱۲۳۱۹۲ سر ود ۱۳۰۶ ۲ (۰6۰۹۲ اد( باروش جداسازی ۲تایی ۳ باروش تفربق متوالی مثال: Vary) جر ۱۷۷ ) ۷۱۱۵۱۳۷( باروش جذاسازی ‎A pur‏ باروش تفریق متوالی (6۲): در هر 0ا5 / «898)اهدوا باروش جداسازی ۴تایی 7 باروش تفریق متوالی 

صفحه 53:
درتبدیل هرمبنابه مبنای دیگرمی توانیم ازتبدیل میانی به ۲استفاده کنیم: 

صفحه 54:
لطفامثالهای زیرراحل کنید: (۸ 9,۲۲۰( توت مت (۱۳۰۱),( باروش جداسازی ۳نایی" باروش گپسترش آتایی (C9) 499), ۱۷۷ ‏بر‎ ett aboot ‏باروش‎ uy ‏باروش جداسازی‎ )جر ‎PRON) Coe =‏ باروش جداسازی ۴تایی باروش گسپترش ۲تایی 

صفحه 55:
جمع بندی باتبدیل میانی به ۲ ۴-9۸ وبرعک 9 3 ‎ae‏ باتبدیل میانی به ۲ ‎VF‏ ]وبرعكسر ‎ya‏ 6 باتبدیل میانی به ۲ ۶ وب 3 ‎oe J sole‏ 

صفحه 56:
لطفاجمع بندی تبدیلات زیررابنویسیدومثالی ذکرکنید 

صفحه 57:
جمع وتفریق درمبناهای دیگر * به راحتی می توانیم دوعدددرمبنای غیراز ۰ اراباهم جمع کنیم یازهم کم * این کارماننداعداددرمبنای ۱۰انجام می شود * جمع وتفریقی رادرمبنای ۱۰بررسی می کنیم: ‎pis‏ ۰ ۸ ه ۱ ۳1 + 4 ۱۱ ۲ Vy کسره۸ازصفرممکن نیست بنابراین ۰!واحدبه آن اضافه کرده جواب ۱۱می باشد که ازمرتبه اش یعنی ۱۰بزرگتراست وازمرتبه بعدی یک واحدکم می کنیم پس رقم یکان رانگه داشته ورقم دهگان رابه مرتبه بعدی منتقل می کنیم 

صفحه 58:
۱ 3 ۱۰۱ 2 + \ = ۱ ۳ ۱۱ A کسراازصفرممکن نیست بنابراین آواحدیه آن اضافه کرده ‏ جواب ۲یاهمان ۰امی باشد که ازمرتبه اش یعنی ۲بزرگتراست وازمرتبه بعدی یک واحدکم می کنیم پس رقم یکان رانگه داشته ورقم دهگان رابه مرتبه بعدی منتقل می کنیم 

صفحه 59:
لطفامنالهای زیرراحل کنید: ۱۲۱۰۱ ۱۳۱۱۰۰۱ oN ia NN = ١١١ ۱۲ ۱ ۳۰ ‏اط‎ ا ۳ 5 A AAW 

صفحه 60:
این جمع وتفریق هارامی توان درمبناهای دیگرنیزانجام داد لطفامثالهای زبرراحل كنيد 2 ‎mere ye pp ۱‏ ‎BY)‏ قي ‎yT‏ و 3 A3\ ao + ۷ ۶ ۵ 

صفحه 61:
۲-۵ انواع کد در یک تقسیم‌بندی کلی می‌نوان کدها را به‌صورت زير دسته‌بندی کرد: ‎BCD‏ ‏کدهای عددی و مازاد.۳ نواع كد ‎GRAY‏ ‎ASCII‏ کدهای حرفی عددی ‎a‏ نواع دیگر کدهای عددی و حرفی عددی نیز وجود دارند که در اینجا به آنها اشاره نشده است. 61 

صفحه 62:
کدهای حرفی عددی * کداسکی(5»1): یکی ازروشهای متداول برای کدگذاری حروف.ارقام وعلامت هادررایانه ها * کداسکی ۷بیتی بوده که می تواند۱۲۷نشانه (برابربا۲۲)رانشانه گذاری کند * کداسکی توسعه یافته ۸بیتی بوده که می تواند۲۵۶نشانه (برابربا۲۸)رانشانه گذاری کند * ازاین تعداد * ۳۲کدالیهبرای کاراکترهای ارتباطی وکنترلی مانندکنتول چاپگر ‎٩۶ *‏ کدبرای حروف کوچک وبزرگ انگلیسی ورقم های +تا٩‏ وسایرعلامت های صفحه کلید * بقیه برای منظورهای خاص ‎unicodess *‏ * ۱۶بیتی بوده که می تواند۶۵۵۳۶نشانه (برابربا"۲)رانشانه گذاری کند * آزاین کدهابرای زبانهای مختلف دنیااستفاده می شودوهمه حروف ونمادهای مورداستفاده کشورهای مختلف رادارمی باشد 

سیتمهای نمایش اعدادوکدگذاری داده ها کتاب مبانی کامپیوتر سال93 درریاضیات • مرتبه های هرعددرابه چه نامهایی می شناسیم؟ ‏یکان،دهگان،صدگان،هزارگان و... • درجایگاه یکان چه اعدادی می توانندقرارگیرند؟ ‏اعدادصفرو1و2و3و4و5و6و7و8و9 • درجایگاه دهگان چه اعدادی می توانندقرارگیرند؟ ‏اعدادصفرو1و2و3و4و5و6و7و8و9 • درجمع دوعددوقتی جواب از10بیشترمی شودچه می کنیم؟ ‏رقم یکان راقرارمی دهیم وعددیک رابه مرتبه بعدی منتقل می کنیم • درتفریق دوعددوقتی عددباالیی صفرباشدیاکمترازعددپایینی چه می کنیم؟ ‏به عددباالیی ده رااضافه می کنیم واین مقداراضافه راازمرتبه بعدی قرض می گیریم 2 توجه اعدادموجوددرهرمرتبه 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 مرتبه ها یکان 3 1 این اعدادراباتوانهای 10همسان کنید 100 دهگان 10 101 صدگان100 102 هزارگان1000 103 می خواهیم یک عددراباتوانهای 10نمایش دهیم 4937=4×103 +9×102 +3×101 +7×100 4937 1 0 0 1 0 4 4 49 9 4 4 1 0 49 7 3 493 3 9 4 4937=4000 +900 + 30 + 7 4937 4937 1 0 493 7 به این سیستم ده دهی گفته می شود • • • • • • ده دهی یا دسیمالDecimal سیستمهای دیگر: دودویی یا باینریBinary چهارتایی هشت تایی یااکتالOctal شانزدهی یاهگزادسیمالHexaDecimal ‏سیستم موجودردرمحاسبات ریاضی ده دهی می باشد اماسیستم عددی درکامپیوتردودویی یاصفرویک است به این معناکه درکامپیوترهای اولیه روشن بودن چراغ به معنای یک وخاموش بودن آن به معنای صفراست به علت اینکه خواندن اعداددراین مبنا،احتمال خطای زیادی داردمثال100000111100011 ازتبدیل سیستمها(یامبناها)به یکدیگراستفاده می شود 5 اعدادموجوددرهرمبنا • درسیستم ده دهی()10 • درسیستم دودویی()2 • درسیستم چهارتایی()4 • درسیستم هشت تایی()8 • درسیستم شانزدهی()16 • • درسیستمnتایی()n 6 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 3 2 1 0 7 6 5 4 3 2 1 0 15-14-13-12-11-10- 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ‏ABC DE F 0 1 2 3 4 ........... n-1 لطفامثالهای زیر راحل کنید: • کدامیک ازاعدادزیردرمبنای 2می باشند؟ الف)1216ب)1110ج)1201د)1268 • کدامیک ازاعدادزیردرمبنای 4می باشند؟ الف)1256ب)1345ج)1231د)1268 • کدامیک ازاعدادزیردرمبنای 8می باشند؟ الف)1256ب)1395ج)8231د)1268 • کدامیک ازاعدادزیردرمبنای 16می باشند؟ الف)1256ب)1345ج)1231د)1268 • یک عدددرمبنای 2مثال بزنید: • یک عدددرمبنای 4مثال بزنید: • یک عدددرمبنای 8مثال بزنید: •7یک عدددرمبنای 16مثال بزنید: درهریک ازمبناهاهرعدد،درهرمرتبه درتوان آن مبنا ضرب می شود تابه سیستم ده دهی تبدیل شود 2→1 0 4 →10 (3132)4=3×4 3 +1×42 +3×41 +2×40 (= 222) 10 16 →10 (1011)2=1×2 3 +0×22 +1×21 +1×20 (= 11)10 8 →10 (493A )16=4×1 63 +9×162 +3×161 +10×160 (4537)8=4×8 3 +5×82 +3×81 +7×80 =(18746)10 =(2399)10 8 10 4937=4×103 +9×102 +3×101 +7×100 مثال: ((→2)10010 ×10010 = 1×+ 0×+ 0× + 1× + 0 20 توان اول 1 21 22 2 4 23 ×= 1× + 0×+ 0× + 1×+ 0 توان دوم 2 وتوان های بعدی هرکدام در2ضرب می شوند = 16 + 80 + 40 + 2 + 10 = 18 9 )10 لطفامثال راحل کنید: ((→2)1100101 )10 = 1100101 10 برای سادگی حل این تبدیل ها به صورت زیرعمل می کنیم: ((→2)10010 هریک ازتوانهارادرباالی اعدادمی نویسیم سپس توانهایی که بایک متناظرندرا جمع می کنیم 16 8 4 2 1 0 1 0 0 1 16 + 2 18 11 )10 لطفامثال راباراه ساده حل کنید: ((→2)1100101 )10 = 1100101 12 برای سرعت بیشتردرحل ،توانهای 2رابه ذهن می سپاریم لطفامثالهای زیررابه سرعت توان گذاری کنید وبه مبنای 10ببرید: 011001101 11001 101111 13 =20 =21 1 =2 2 4 =23 =24 8 5 2 =16 32 =26 7 2 =1 64 8 2 =2 28 9 2 56=5 10 2 =10 12 211=20 24 48 درهریک ازمبناهای 4و8و،16به روش گفته شده عمل می کنیم • یعنی ضرب هرعدددرمبنابه توان مرتبه 14 مثال: ((→4)1023 ×1023 = 1× + 0× + 2× + 3 1 توان اول 1 توان دوم 4 وتوان های بعدی هرکدام در 4ضرب می شوند 15 )10 4 8 + 3 16 64 64 + 0 + 75 = = لطفامثالهای زیر راحل کنید: ((→4)1133 16 )10 ((→4)12132 )10 ((→2)1011001 )10 مثال: ((→8)3462 ×3462 = 3×5 + 4× + 6× + 2 1 توان اول 1 توان دوم 8 وتوان های بعدی هرکدام در 8ضرب می شوند 17 )10 8 64 12 + 256+ 48+ 2 1536 184 2 = = لطفامثالهای زیر راحل کنید: 18 ((→8)13701 )10 ((→4)1301 )10 ((→2)110011 )10 مثال: ()10)2A6C (→16 2A6C= 2×40 + 10×2 + 6×1+ 12 56 ×1 6 96 + 12 + 8192 256 96 + = توان دوم 16 0 وتوان های بعدی هرکدام در 16ضرب می شوند 108 = 6 حرف Aمعادل عدد 10 توان اول 1 حرف Bمعادل عدد 11 حرف Cمعادل عدد 12 حرفDمعادل عدد 13 حرف Eمعادل عدد 14 حرف Fمعادل عدد 15 19 لطفامثالهای زیر راحل کنید: ()10)1D304 ((→8)1072 20 (→16 )10 ((→4)1203 )10 ((→2)1101001 )10 جمع بندی 2→10 21 ضرب درتوانها:ازسمت راست 1وبعد2وبعد ضرب در2 راه سریع:حفظ توانهاونوشتن سریع وجمع توانهاب باالی1 4→10 ضرب درتوانها:ازسمت راست 1وبعد4وبعد ضرب در4 8→10 ضرب درتوانها:ازسمت راست 1وبعد8وبعد ضرب در8 16→10 ضرب درتوانها:ازسمت راست 1وبعد16وبعد ضرب در16 →10 2 هرعددباتقسیم متوالی برمبنا می تواندبه مبنا 10تبدیل شود • درسیستم دودویی( )2باتقسیم متوالی بر 2 →10 4 • درسیستم چهارتایی( )4باتقسیم متوالی بر 4 →10 8 • درسیستم هشت تایی()8باتقسیم متوالی بر 8 10→1 6 • درسیستم شانزدهی()16باتقسیم متوالی بر16 22 مثال: ((→10)18 تبدیل مبنای 10به 2باتقسیم های متوالی بر2 2 2 1 2 2 1 0 4 2 0 1 0 2 1 4 0 0 9 0 )2 2 9 1 1 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هاراازآخرین تقسیم می نویسیم 23 18 مشاهده می کنیم که همه اعدادصفریایک می باشند 0 لطفامثال راحل کنید: 24 ((→10)67 )2 تقسیم های متوالی برای تبدیل اعدادبزرگ به مبنای 2طوالنی و وقت گیراست • راه سریع :تفریق های متوالی • درادامه این روش رابررسی می کنیم 25 روش تفریق های متوالی ((→10)23 مثال: ابتداتوانهای 2راتارسیدن به کوچکترین توان ،ازعددموردنظریعنی 23می نویسیم سپس بزرگترین توان نسبت به 23رابا 1روشن می کنیم 16راازتوان روشن شده کم می کنیم ()23-16=7 بزرگترین توان نسبت به 7رابا 1روشن می کنیم 7راازتوان روشن شده کم می کنیم ()7-4=3 بزرگترین توان نسبت به 3رابا 1روشن می کنیم 3راازتوان روشن شده کم می کنیم ()3-2=1 بزرگترین توان نسبت به 1رابا 1روشن می کنیم ()1-1=0 1 2 4 8 1 1 1 0 این کارراتارسیدن به صفرادامه می دهیم 26 1 6 1 3 2 بقیه توانهاراباصفرپرمی کنیم )2 لطفامثال راباتفریق های متوالی حل کنید: 27 ((→10)67 )2 لطفامثالهای زیر راباتفریق های متوالی حل کنید: ((→10)10 ((→10)11 ((→10)12 ((→10)13 ((→10)14 ((→10)15 لطفااین توانهاوتبدیالتش راتاحدامکان درذهن بسپارید ودرتبدیل آنهاسریع شوید 28 )2 )2 )2 )2 )2 )2 ((→10)1 ((→10)2 ((→10)3 ((→10)4 ((→10)5 ((→10)6 ((→10)7 ((→10)8 ((→10)9 )2 )2 )2 )2 )2 )2 )2 )2 )2 مثال: ((→10)331 تبدیل مبنای 10به 4باتقسیم های متوالی بر4 4 4 1 4 5 1 0 1 3 20 5 1 2 4 20 0 0 82 1 )4 331 4 82 2 1 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هاراازآخرین تقسیم می نویسیم 29 مشاهده می کنیم که همه اعدادصفرتا 3می باشند 3 لطفامثال راحل کنید: 30 ((→10)75 )4 مثال: ((→10)560 تبدیل مبنای 10به 8باتقسیم های متوالی بر8 8 8 1 0 1 1 0 8 6 8 0 0 8 70 )8 560 8 70 6 1 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هاراازآخرین تقسیم می نویسیم 31 مشاهده می کنیم که همه اعدادصفرتا 7می باشند 0 لطفامثال راحل کنید: 32 ((→10)230 )8 مثال: ((→10)1000 تبدیل مبنای 10به 8باتقسیم های متوالی بر8 1 60 3 3 8 ‏E 1 63 62 )16 1000 1 662 14 3 تقسیم هاراتارسیدن به خارج قسمت صفرادامه می دهیم سپس باقیمانده هاراازآخرین تقسیم می نویسیم 33 مشاهده می کنیم که همه اعدادصفرتا 15می باشند 8 لطفامثال راحل کنید: 34 ((→10)1200 )16 تقسیم های متوالی برای تبدیل اعدادبزرگ ازمبنای 10به 4و8و 16وقت گیراست • ازتفریق متوالی هم می توانیم برای مبناهای 4و8و16استفاده کنیم • به زودی روش سریع دیگری رابرای این تبدیالت بیان می کنیم 35 جمع بندی 10→2 10→4 10→8 10→16 36 تقسیم های متوالی بر2 راه سریع:تفریق های متوالی تقسیم های متوالی بر4 راه سریع:تفریق های متوالی وتبدیل میانی10→2→4 تقسیم های متوالی بر8 راه سریع:تفریق های متوالی وتبدیل میانی10→2→8 تقسیم های متوالی بر16 راه سریع:تفریق های متوالی وتبدیل میانی10→2→16 مثال: تبدیل مبنای 2به 4باجداسازی 2تایی ( 223 (→2)101011 )4 ازآنجاکه 22=4می باشد بنابراین اعدادرادوتادوتاازسمت چپ جدامی کنیم سپس هردوعددرابه معادل 10آن تبدیل می کنیم توجه شودکه حفظ تبدیالت ازقبل به سرعت کارکمک می کند 37 1 1 0 1 0 1 3 2 2 لطفامثال راحل کنید: 38 ((→2)101100 )4 مثال: تبدیل مبنای 2به 8باجداسازی 3تایی ( 53 (→2)101011 )8 ازآنجاکه 23=8می باشد بنابراین اعدادراسه تاسه تاازسمت چپ جدامی کنیم سپس هردوعددرابه معادل 10آن تبدیل می کنیم توجه شودکه حفظ تبدیالت ازقبل به سرعت کارکمک می کند 39 1 1 0 1 0 1 3 5 لطفامثال راحل کنید: 40 ((→2)101100 )8 مثال: تبدیل مبنای 2به 16باجداسازی 4تایی (→2)101011 ( 2B )16 ازآنجاکه 24=16می باشد بنابراین اعدادراچهار تاچهار تاازسمت چپ جدامی کنیم سپس هردوعددرابه معادل 10آن تبدیل می کنیم توجه شودکه حفظ تبدیالت ازقبل به سرعت کارکمک می کند 41 1 1 0 1 0 1 11 2 ‏B 2 لطفامثال راحل کنید: 42 ((→2)101100 )16 جمع بندی 43 2 →4 جداسازی2تایی 2 →8 جداسازی3تایی 2→16 جداسازی4تایی مثال: تبدیل مبنای 4به 2باگسترش 2تایی 1100011 ((→4)1203 ازآنجاکه 22=4می باشد بنابراین هرعددرابه دوعددمعادل آن درمبنای 2تبدیل می کنیم 3 0 2 1 توجه شودکه حفظ تبدیالت ازقبل به سرعت کارکمک می کند 44 01 10 00 11 )2 لطفامثال راحل کنید: 45 ((→4)13002 )2 مثال: تبدیل مبنای 8به 2باگسترش 3تایی 10101001111 ((→8)2517 )2 ازآنجاکه 22=4می باشد بنابراین هرعددرابه سه عددمعادل آن درمبنای 2تبدیل می کنیم 7 1 5 2 توجه شودکه حفظ تبدیالت ازقبل به سرعت کارکمک می کند 46 010 101 001 111 لطفامثال راحل کنید: 47 ((→4)13002 )2 مثال: 1101100110101 ()1C35 تبدیل مبنای 16به 2باگسترش 4تایی ازآنجاکه 22=4می باشد بنابراین هرعددرابه چهار عددمعادل آن درمبنای 2تبدیل می کنیم ‏C 3 5 1 توجه شودکه حفظ تبدیالت ازقبل به سرعت کارکمک می کند 48 (→16 )2 0001 1011 0011 0101 لطفامثال راحل کنید: 49 ()2)51E (→16 جمع بندی 50 4 →2 گسترش2تایی 8 →2 گسترش3تایی 16→2 گسترش4تایی قبالتبدیالت 10به 4و8و10راباتقسیم های متوالی انجام دادیم دراعدادبزرگ ازروش زیربرای این تبدیالت استفاده می کنیم: • استفاده ازتبدیل میانی به 2 51 مثال: 1300 (→10 ()192 1110000 ) ((→10)192 4باروش تفریق متوالی →( 1300 باروش جداسازی 2تایی →( 177 177 (→10 ()127 1111111 ) ((→10)127 8باروش تفریق متوالی باروش جداسازی 3تایی →( 5D ) 16 باروش تفریق متوالی باروش جداسازی 4تایی 52 1300 →( (10)93 1011101 ((→10)93 )4 )2 )8 )2 )16 )2 درتبدیل هرمبنابه مبنای دیگرمی توانیم ازتبدیل میانی به 2استفاده کنیم: 53 لطفامثالهای زیرراحل کنید: ……)(→4 (1301 (.. )1301 ………. →( 4 ) →( 8 ………تایی باروش جداسازی 3تایی باروش گسترش 2 ….. )............ (8)5C9 ……… →( )2)5C9( ) 177 ……تایی باروش جداسازی 3تایی 8باروش گسترش 4 →( ........ )16 باروش جداسازی 4تایی 54 ……(→4 ()1201 … ……… →( (4)1201 …2 ..تایی باروش گسترش )8 )2 (→16 (→16 )16 )2 جمع بندی 4→8وبرعکس 4→16وبرعکس 8→16وبرعکس 55 باتبدیل میانی به 2 4→2→8 باتبدیل میانی به 2 4→2→16 باتبدیل میانی به 2 8→2→16 لطفاجمع بندی تبدیالت زیررابنویسیدومثالی ذکرکنید 2 10 2 4 8 16 4 8 16 2 4 8 16 10 2 4 8 16 56 جمع وتفریق درمبناهای دیگر • به راحتی می توانیم دوعدددرمبنای غیراز10راباهم جمع کنیم یاازهم کم کنیم • این کارماننداعداددرمبنای 10انجام می شود • جمع وتفریقی رادرمبنای 10بررسی می کنیم: 1 2 1 + 9 11 2 1 1 10 0 2 8 1 2 کسر8ازصفرممکن نیست بنابراین 10واحدبه آن اضافه کرده 57وازمرتبه بعدی یک واحدکم می کنیم جواب 11می باشدکه ازمرتبه اش یعنی 10بزرگتراست پس رقم یکان رانگه داشته ورقم دهگان رابه مرتبه بعدی منتقل می کنیم درمبنای 2به همین ترتیب عمل می کنیم: 2 2 01 1 1 101 + 1 10 110 0 11 کسر1ازصفرممکن نیست بنابراین 2واحدبه آن اضافه کرده وازمرتبه بعدی یک واحدکم می کنیم 58 جواب 2یاهمان 10می باشدکه ازمرتبه اش یعنی 2بزرگتراست پس رقم یکان رانگه داشته ورقم دهگان رابه مرتبه بعدی منتقل می کنیم لطفامثالهای زیرراحل کنید: 59 11001 101 1101 +1001 10011 001 110101 + 1111 این جمع وتفریق هارامی توان درمبناهای دیگرنیزانجام داد لطفامثالهای زیرراحل کنید د ر مب 5741د ر م + 6 2 7 1بن ا ی8 3321 +1223 ‏A31 +765 60 د ر مب ن ا ی 16 ن ا ی 4 61 کدهای حرفی عددی • کداسکی(:)Ascii یکی ازروشهای متداول برای کدگذاری حروف،ارقام وعالمت هادررایانه ها • کداسکی 7بیتی بوده که می تواند127نشانه (برابربا)27رانشانه گذاری کند • کداسکی توسعه یافته 8بیتی بوده که می تواند256نشانه (برابربا)28رانشانه گذاری کند • ازاین تعداد • 32کداولیه برای کاراکترهای ارتباطی وکنترلی مانندکنترل چاپگر • 96کدبرای حروف کوچک وبزرگ انگلیسی ورقم های 0تا 9وسایرعالمت های صفحه کلید • بقیه برای منظورهای خاص • کدunicode • 16بیتی بوده که می تواند65536نشانه (برابربا)216رانشانه گذاری کند • ازاین کدهابرای زبانهای مختلف دنیااستفاده می شودوهمه حروف ونمادهای مورداستفاده کشورهای مختلف رادارمی باشد 62